2020-2021学年江西省南昌二中高一(上)期中数学试卷及答案

2020-2021学年江西省南昌二中高一（上）期中数学试卷一、选择题（每小题5分，共60分）1．（5分）已知全集为实数集R，集合A＝{x|x2+2x﹣8＞0}，B＝{x|log2x＜1），则（∁R A）∩B等于（）A．[﹣4，2]B．[﹣4，2）C．（﹣4，2）D．（0，2）2．（5分）下列关系是从A到B的函数的是（）A．A＝R，B＝{x|x＞0}，f：x→y＝|x|B．A＝Z，B＝Z，f：x→y＝x2C．D．A＝{x|﹣1≤x≤1}，B＝{1}，f：x→y＝03．（5分）在下列区间中函数f（x）＝2x﹣4+3x的零点所在的区间为（）A．（1，2）B．C．D．4．（5分）若a＝log，b＝2，c＝2，则a，b，c的大小关系为（）A．a＜b＜c B．a＜c＜b C．b＜a＜c D．c＜a＜b5．（5分）集合M＝与N＝{a|a＝，k∈Z}之间的关系是（）A．M⊆N B．N⊆M C．M＝N D．M∩N＝∅6．（5分）已知函数f（x）的定义域为[3，6]，则函数y＝的定义域为（）A．[，+∞）B．[，2）C．（，+∞）D．[，2）7．（5分）函数f（x）＝（0＜a＜1）图象的大致形状是（）A．B．C．D．8．（5分）已知对任意的a∈[﹣1，1]，函数f（x）＝x2+（a﹣4）x+4﹣2a的值总大于0，则x的取值范围是（）A．x＜1或x＞3B．1＜x＜3C．1＜x＜2D．x＜2或x＞3 9．（5分）设函数f（x）＝，其中a＞﹣1．若f（x）在R上是增函数，则实数a的取值范围是（）A．[e+1，+∞）B．（e+1，+∞）C．（e﹣1，+∞）D．[e﹣1，+∞）10．（5分）对于函数f（x），若在定义域内存在实数x0满足f（﹣x0）＝﹣f（x0），则称函数f（x）为“倒戈函数”，设f（x）＝3x+m﹣1（m∈R，m≠0）是定义在[﹣1，1]上的“倒戈函数”，则实数m的取值范围是（）A．B．C．D．（﹣∞，0）11．（5分）设函数，若互不相等的实数x1，x2，x3满足f（x1）＝f（x2）＝f（x3），则x1+x2+x3的取值范围是（）A．B．C．D．12．（5分）已知f（x）＝x（x+1）（x2+ax+b）的图象关于直线x＝1对称，则f（x）的值域为（）A．[﹣4，+∞）B．C．D．[0，4]二、填空题（每小题5分，共20分）13．（5分）已知幂函数f（x）＝（m2﹣3m+3）在（0，+∞）上单调递增，则m值为．14．（5分）函数f（x）＝log4•（2x）的值域用区间表示为．15．（5分）函数f（x）＝x2﹣2x+4的定义域[﹣1，t]上的值域为[3，7]，则t的取值范围为．16．（5分）已知f（x）＝4x﹣m•2x+1，设，若存在不相等的实数a，b同时满足方程g（a）+g（b）＝0和f（a）+f（b）＝0，则实数m的取值范围为．三、解答题（70分）17．（10分）求下列各式的值：（1）0.027﹣（﹣）﹣2+256﹣3﹣1+（﹣1）0．（2）（log62）2+（log63）2+3log62×（log6﹣log62）．18．（12分）已知集合A＝{x|3＜x＜10}，B＝{x|x2﹣9x+14＜0}，C＝{x|5﹣m＜x＜2m}．（1）求（∁R A）∪B；（2）若C⊆（A∩B），求m的取值范围19．（12分）已知函数f（x）是定义在区间[﹣1，1]上的奇函数，对于任意的m，m∈[﹣1，1]都有＞0（m+n≠0）．（1）证明f（x）在定义域上单调递增；（2）解不等式f（x+）＜f（1﹣x）．20．（12分）已知函数f（x）＝log2x，g（x）＝ax2﹣4x+1．（Ⅰ）若函数y＝f（g（x））的值域为R，求实数a的取值范围；（Ⅱ）函数h（x）＝f2（x）﹣f（x2），若对于任意的x∈[，2]，都存在t∈[﹣1，1]使得不等式h（x）＞k•2t﹣2成立，求实数k的取值范围．21．（12分）已知函数是定义在R上的奇函数．（1）求a的值；（2）是否存在实数k，使得函数f（x）在区间[m，n]上的取值范围是？若存在，求出实数k的取值范围；若不存在，请说明理由．22．（12分）已知a∈R，函数．（1）当a＝4时，解不等式f（x）＞0；（2）若关于x的方程f（x）﹣log2[（a﹣4）x+2a﹣5]＝0有两个不等的实数根，求a的取值范围．2020-2021学年江西省南昌二中高一（上）期中数学试卷参考答案与试题解析一、选择题（每小题5分，共60分）1．（5分）已知全集为实数集R，集合A＝{x|x2+2x﹣8＞0}，B＝{x|log2x＜1），则（∁R A）∩B等于（）A．[﹣4，2]B．[﹣4，2）C．（﹣4，2）D．（0，2）【分析】可以求出集合A，B，然后进行补集和交集的运算即可．【解答】解：∵A＝{x|x＜﹣4或x＞2}，B＝{x|0＜x＜2}，∴∁R A＝{x|﹣4≤x≤2}，∴（∁R A）∩B＝（0，2）．故选：D．【点评】本题考查了描述法、区间的定义，一元二次不等式的解法，对数函数的定义域和单调性，交集和补集的运算，考查了计算能力，属于基础题．2．（5分）下列关系是从A到B的函数的是（）A．A＝R，B＝{x|x＞0}，f：x→y＝|x|B．A＝Z，B＝Z，f：x→y＝x2C．D．A＝{x|﹣1≤x≤1}，B＝{1}，f：x→y＝0【分析】根据题意，由函数的定义依次分析选项，综合即可得答案．【解答】解：根据题意，依次分析选项：对于A，A中有元素0，在对应关系下y＝0，不在集合B中，不是函数；对于B，符合函数的定义，是从A到B的函数；对于C，A中元素x＜0时，B中没有元素与之对应，不是函数；对于D，A中任意元素，在对应关系下y＝0，不在集合B中，不是函数；故选：B．【点评】本题考查函数的定义，关键是掌握函数的定义，属于基础题．3．（5分）在下列区间中函数f（x）＝2x﹣4+3x的零点所在的区间为（）A．（1，2）B．C．D．【分析】由已知函数解析式求得f（）＜0，f（1）＞0，结合函数零点存在定理得答案．【解答】解：函数f（x）＝2x﹣4+3x，∵f（）＝2×＝﹣3+＜0，f（1）＝2×1﹣4+3＝1＞0，满足f（）f（1）＜0．∴函数f（x）＝2x﹣4+3x的零点所在的区间为（，1）．故选：D．【点评】本题考查函数零点存在定理的应用，是基础题．4．（5分）若a＝log，b＝2，c＝2，则a，b，c的大小关系为（）A．a＜b＜c B．a＜c＜b C．b＜a＜c D．c＜a＜b【分析】根据对数函数和指数函数的单调性即可得出，并且可得出，从而可得出a，b，c的大小关系．【解答】解：∵，，∴b＜a＜c．故选：C．【点评】本题考查了对数函数和指数函数的单调性，对数的运算性质，对数的定义，考查了计算能力，属于基础题．5．（5分）集合M＝与N＝{a|a＝，k∈Z}之间的关系是（）A．M⊆N B．N⊆M C．M＝N D．M∩N＝∅【分析】分别判断两个集合元素的关系，然后判断集合的关系．【解答】解：对应集合M，α＝，k∈Z．因为N＝{α|α＝，k∈Z}，所以M⊆N．故选：A．【点评】本题主要考查集合关系的判断，通过判断元素的关系来判断集合关系是解决本题的关键．6．（5分）已知函数f（x）的定义域为[3，6]，则函数y＝的定义域为（）A．[，+∞）B．[，2）C．（，+∞）D．[，2）【分析】由函数的定义域得到2x的范围，根据分母不为0及被开方数非负得到关于x的不等式，求出不等式的解集．【解答】解：由函数f（x）的定义域是[3，6]，得到3≤2x≤6，故解得：≤x＜2；所以原函数的定义域是：[，2）．故选：B．【点评】此题考查学生掌握复合函数的定义域，考查了对数不等式的解法，是一道基础题．7．（5分）函数f（x）＝（0＜a＜1）图象的大致形状是（）A．B．C．D．【分析】确定函数是奇函数，图象关于原点对称，x＞0时，f（x）＝log a x（0＜a＜1）是单调减函数，即可得出结论．【解答】解：由题意，f（﹣x）＝﹣f（x），所以函数是奇函数，图象关于原点对称，排除B、D；x＞0时，f（x）＝log a x（0＜a＜1）是单调减函数，排除A．故选：C．【点评】本题考查函数的图象，考查函数的奇偶性、单调性，正确分析函数的性质是关键．8．（5分）已知对任意的a∈[﹣1，1]，函数f（x）＝x2+（a﹣4）x+4﹣2a的值总大于0，则x的取值范围是（）A．x＜1或x＞3B．1＜x＜3C．1＜x＜2D．x＜2或x＞3【分析】把二次函数的恒成立问题转化为y＝a（x﹣2）+x2﹣4x+4＞0在a∈[﹣1，1]上恒成立，再利用一次函数函数值恒大于0所满足的条件即可求出x的取值范围．【解答】解：原题可转化为关于a的一次函数y＝a（x﹣2）+x2﹣4x+4＞0在a∈[﹣1，1]上恒成立，只需⇒⇒x＜1或x＞3．故选：A．【点评】本题的做题方法的好处在于避免了讨论二次函数的对称轴和变量间的大小关系，而一次函数在闭区间上的最值一定在端点处取得，所以就把解题过程简单化了．9．（5分）设函数f（x）＝，其中a＞﹣1．若f（x）在R上是增函数，则实数a的取值范围是（）A．[e+1，+∞）B．（e+1，+∞）C．（e﹣1，+∞）D．[e﹣1，+∞）【分析】若函数f（x）＝，在R上是增函数，则e﹣a≤ln（1+a），解不等式可得实数a的取值范围．【解答】解：∵函数f（x）＝，其中a＞﹣1在R上是增函数，∴e﹣a≤ln（1+a），即ln（1+a）﹣e+a≥0，令g（a）＝ln（1+a）﹣e+a，则g′（a）＝+1，当a＞﹣1时，g′（a）＞0恒成立，又由g（e﹣1）＝0，故ln（1+a）﹣e+a≥0可化为：a≥e﹣1，故实数a的取值范围是[e﹣1，+∞），故选：D．【点评】本题考查的知识点是分段函数的应用，导数法求函数的最值，难度中档．10．（5分）对于函数f（x），若在定义域内存在实数x0满足f（﹣x0）＝﹣f（x0），则称函数f（x）为“倒戈函数”，设f（x）＝3x+m﹣1（m∈R，m≠0）是定义在[﹣1，1]上的“倒戈函数”，则实数m的取值范围是（）A．B．C．D．（﹣∞，0）【分析】根据题意可判断满足“倒戈函数”，只需f（﹣x）＝﹣f（x）有解即可，反解出m，求出等式右边的值域，即可求出m的范围．【解答】解：根据“倒戈函数”的定义可知，函数f（﹣x）＝﹣f（x）在[﹣1，1]上有解即可，即3﹣x+m﹣1＝﹣3x﹣m+1，∴2m＝﹣（3﹣x+3x）+2，令3x＝t，则t，设g（t）＝t+，可知当t＝1时，g（t）min＝2，当t＝时g（t）max＝，由题意可知：2m＝﹣（3﹣x+3x）+2∈[﹣，0]，又m≠0，所以m，故选：A．【点评】本题考查了“倒戈函数”的定义转化为在已知区间上的有解问题，涉及到对勾函数的性质问题，属于基础题．11．（5分）设函数，若互不相等的实数x1，x2，x3满足f（x1）＝f（x2）＝f（x3），则x1+x2+x3的取值范围是（）A．B．C．D．【分析】根据二次函数性质，一次函数性质，得出x1+x2+x3的取值范围即可．【解答】解：∵函数，∴根据二次函数性质得出x2+x3＝6，利用函数y＝3x+4得出：x1＝0时，x1+x2+x3＜6，y＝（x﹣3）2﹣3，3x1+4＝﹣3，x1＝，∴x1+x2+x3＞+6＝，∴x1+x2+x3的取值范围是（，6），故选：B．【点评】本题考查了函数性质，解析式的运用，关键理解f（x1）＝f（x2）＝f（x3），含义，属于中档题．12．（5分）已知f（x）＝x（x+1）（x2+ax+b）的图象关于直线x＝1对称，则f（x）的值域为（）A．[﹣4，+∞）B．C．D．[0，4]【分析】通过函数的零点以及函数的对称性求解a，b，然后利用换元法，结合二次函数的性质求解函数的最值，推出结果．【解答】解：因为函数f（x）＝x（x+1）（x2+ax+b）有两个零点﹣1，0，又因为其图象关于直线x＝1对称，所以2，3也是函数f（x）的两个零点，即f（x）＝x（x+1）•（x﹣2）（x﹣3），所以f（x）＝（x2﹣2x）（x2﹣2x﹣3），令t＝x2﹣2x＝（x﹣1）2﹣1≥﹣1，则，所以，即f（x）的值域为．故选：B．【点评】本题考查函数的零点与方程根的关系，函数的最值的求法，考查转化思想以及计算能力，是中档题．二、填空题（每小题5分，共20分）13．（5分）已知幂函数f（x）＝（m2﹣3m+3）在（0，+∞）上单调递增，则m值为2．【分析】由题意利用幂函数的定义和性质，可得m2﹣3m+3＝1，m2﹣m﹣1＞0，由此求得m的值．【解答】解：∵幂函数f（x）＝（m2﹣3m+3）在（0，+∞）上单调递增，∴m2﹣3m+3＝1，且m2﹣m﹣1＞0，解得m＝2，故答案为：2．【点评】本题主要考查幂函数的定义和性质，属于基础题．14．（5分）函数f（x）＝log4•（2x）的值域用区间表示为[﹣，+∞）．【分析】令t＝log2x，则t∈R，y＝f（x）＝（t2+t），结合二次函数的图象和性质，可得函数f（x）＝log4•（2x）的值域．【解答】解：函数f（x）＝log4•（2x）的定义域为（0，+∞），由f（x）＝log4•（2x）＝log2x•2（log2x+1），令t＝log2x，则t∈R，y＝f（x）＝（t2+t），当t＝时，函数有最小值﹣，无最大值，故函数f（x）＝log4•（2x）的值域为[﹣，+∞），故答案为：[﹣，+∞）【点评】本题考查的知识点是对数的运算性质，函数的最值，函数的值域，二次函数的图象和性质，难度中档．15．（5分）函数f（x）＝x2﹣2x+4的定义域[﹣1，t]上的值域为[3，7]，则t的取值范围为[1，3]．【分析】由已知确定二次函数的对称轴与已知区间的位置关系进行求解即可．【解答】解：函数f（x）＝x2﹣2x+4的对称轴为x＝1，当x∈[﹣1，1]时，f（x）∈[3，7]，当x⩾1时，f（x）为增函数，可得当x∈[1，t]时，f（x）∈[3，7]，可得f（t）＝7，解得：t＝3，故要使f（x）＝x2﹣2x+4的定义域[﹣1，t]上的值域为[3，7]，所以t的可取范围为[1，3]．故答案为：[1，3]【点评】本题主要考查了二次函数闭区间上最值的求解，解题的关键是取得最值的条件．16．（5分）已知f（x）＝4x﹣m•2x+1，设，若存在不相等的实数a，b同时满足方程g（a）+g（b）＝0和f（a）+f（b）＝0，则实数m的取值范围为[）．【分析】先求出g（a）+g（b）＝0满足的条件，然后利用指数函数的图象和性质即可得到结论．【解答】解：若g（a）+g（b）＝0，则，整理得2a+b+1＝2，即a+b+1＝1，则a+b＝0，即b＝﹣a，∴f（a）+f（b）＝0等价为f（a）+f（﹣a）＝0有解，即4a﹣m•2a+1+4﹣a﹣m•2﹣a+1＝0，则m＝，∵＝＝，设t＝2a+2﹣a，则t≥2，则，在t≥2时，单调递增，即m＝，∴要使m＝有解，则m，故答案为：[）【点评】本题主要考查与指数函数有关的综合问题，根据条件求出a+b＝0是解决本题的关键，综合性较强，难度较大．三、解答题（70分）17．（10分）求下列各式的值：（1）0.027﹣（﹣）﹣2+256﹣3﹣1+（﹣1）0．（2）（log62）2+（log63）2+3log62×（log6﹣log62）．【分析】（1）进行指数的运算即可；（2）进行对数的运算即可．【解答】解：（1）原式＝；（2）原式＝＝．【点评】本题考查了指数和对数的运算性质，完全平方式的应用，考查了计算能力，属于基础题．18．（12分）已知集合A＝{x|3＜x＜10}，B＝{x|x2﹣9x+14＜0}，C＝{x|5﹣m＜x＜2m}．（1）求（∁R A）∪B；（2）若C⊆（A∩B），求m的取值范围【分析】（1）由x2﹣9x+14＜0，解得2＜x＜7，可得B，A∩B，由集合A＝{x|3＜x＜10}，可得∁R A＝{x|x≤3，或x≥10}，利用并集的运算性质可得：（∁R A）∪B．（2）由（1）知，A∩B＝{x|3＜x＜7}，根据C⊆（A∩B）．对C与∅的关系、对m分类讨论即可得出．【解答】解：（1）由x2﹣9x+14＜0，解得2＜x＜7，∴B＝{x|2＜x＜7}．∴A∩B＝{x|3＜x＜7}，∵集合A＝{x|3＜x＜10}，∴∁R A＝{x|x≤3，或x≥10}，∴（∁R A）∪B＝{x|x＜7，或x≥10}．（2）由（1）知，A∩B＝{x|3＜x＜7}，∵∴C⊆（A∩B）．①当C＝∅时，满足C⫋（A∩B），此时5﹣m≥2m，解得m≤；②当C≠∅时，要使C⊆（A∩B），当且仅当，解得＜m≤2．综上所述，实数m的取值范围为（﹣∞，2]．【点评】本题考查了集合的运算性质、分类讨论方法、不等式的解法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．19．（12分）已知函数f（x）是定义在区间[﹣1，1]上的奇函数，对于任意的m，m∈[﹣1，1]都有＞0（m+n≠0）．（1）证明f（x）在定义域上单调递增；（2）解不等式f（x+）＜f（1﹣x）．【分析】（1）借助单调性的定义可得结论；（2）利用函数单调性可得去掉不等式中的符号“f”，转化为具体不等式，再考虑到函数定义域可得不等式组，解出即可．【解答】解：（1）任取x1，x2∈[﹣1，1]，且x1＜x2，则﹣x2∈[﹣1，1]因为f（x）为奇函数，所以f（x1）﹣f（x2）＝f（x1）+f（﹣x2）＝×（x1﹣x2），由已知得＞0，又x1﹣x2＜0，所以f（x1）﹣f（x2）＜0，即f（x1）＜f（x2），所以f（x）在[﹣1，1]上单调递增．（2）因为f（x）在[﹣1，1]上单调递增，由题意得f（x+）＜f（1﹣x）⇒，解得0≤x＜，所以原不等式的解集为[0，）．【点评】本题考查函数的单调性、奇偶性及其综合应用，考查抽象不等式的求解及恒成立问题，考查转化思想，考查学生解决问题的能力，利用函数性质去掉符号“f”是解决抽象不等式的关键．20．（12分）已知函数f（x）＝log2x，g（x）＝ax2﹣4x+1．（Ⅰ）若函数y＝f（g（x））的值域为R，求实数a的取值范围；（Ⅱ）函数h（x）＝f2（x）﹣f（x2），若对于任意的x∈[，2]，都存在t∈[﹣1，1]使得不等式h（x）＞k•2t﹣2成立，求实数k的取值范围．【分析】（Ⅰ）根据对数的性质，当真数取遍全体正数时，对数函数的值域是R，问题转化为内层函数的值域包括全体正数，再根据参数a的取值范围的不同，分三种情况讨论即可解答本题；（Ⅱ）不等式成立求参数取值范围的问题通常转化为最值问题求解，所以先求h（x）min，再转化求关于t的函数的最值，从而得出答案．【解答】解：（Ⅰ）a＜0时，内层函数有最大值，故函数值不可能取到全体正数，不符合题意；a＝0时，内层函数是一次函数，内层函数值可以取遍全体正数，值域是R，符合题意；a＞0时，要使内层函数的函数值可以取遍全体正数，只需要函数最小值小于等于0，故只需△≥0，解得a∈（0，4]．综上得a∈[0，4]．（Ⅱ）由题意可得在恒成立，则k•2t＜h（x）min+2＝1在t∈[﹣1，1]有解，即在t∈[﹣1，1]有解，∴，综上，实数k的取值范围k＜2．【点评】本题考查对数函数的性质，全称命题及特称命题的逻辑关系，转化化归的思想，本题的疑点是第一问函数值域是R的转化，难点是第二问中对于全称命题及特称命题逻辑关系的理解及正确转化．21．（12分）已知函数是定义在R上的奇函数．（1）求a的值；（2）是否存在实数k，使得函数f（x）在区间[m，n]上的取值范围是？若存在，求出实数k的取值范围；若不存在，请说明理由．【分析】（1）根据题意，由奇函数的性质可得f（0）＝＝0，解可得a＝1，验证即可得答案，（2）根据题意，分析函数的单调性，可得，即，据此分析可得方程有两个不等的实根，令4x＝t＞0，原问题等价于方程t2﹣（1+k）t﹣k＝0有两个不等的正根，结合二次函数性质分析可得答案．【解答】解：（1）根据题意，是定义在R上的奇函数，则有f（0）＝＝0，则a＝1，故f（x）＝，满足f（﹣x）+f（x）＝0，符合题意，故a＝1，（2）假设存在实数k，使之满足题意，f（x）＝＝1﹣，易得函数f（x）在[m，n]上单调递增，则有，即，则m，n为方程的两个根，即方程有两个不等的实根，令4x＝t＞0，即方程t2﹣（1+k）t﹣k＝0有两个不等的正根，则有，解可得，则存在实数k，使得函数f（x）在[m，n]上的取值范围是，并且实数k的取值范围是．【点评】本题考查函数与方程的综合应用，涉及函数的奇偶性与单调性的性质应用，属于基础题．22．（12分）已知a∈R，函数．（1）当a＝4时，解不等式f（x）＞0；（2）若关于x的方程f（x）﹣log2[（a﹣4）x+2a﹣5]＝0有两个不等的实数根，求a的取值范围．【分析】（1）a＝4带入可得，利用单调性即可求解；（2）转化为二次函数问题讨论方程的解，从而可得a的取值范围．（1）当a＝4时，，由f（x）＞0得，【解答】解：则，解得：x＞0或x，∴当a＝4时，解不等式f（x）＞0解集为{x|x＞0或x}．（2）由题意得f（x）＝log2[（a﹣4）x+2a﹣5]，即＝log2[（a﹣4）x+2a﹣5]，等价于，化简得（a﹣4）x2+（a﹣5）x﹣1＝0，（）即[（a﹣4）x﹣1]（x+1）＝0当a＝4时，x＝﹣1，不合题意，舍去；当a＝3时，x1＝x2＝﹣1，不合题意，舍去．当a≠3且a≠4时，x2＝﹣1，且x1≠x2．∴，可得a＞2，∴，可得a＞1，依题意，若原方程由两个不等的实数根，综上，可得a＞2，a≠3且a≠4，故所求a的取值范围为（2，3）∪（3，4）∪（4，+∞）．【点评】本题考查了方程的根与函数的图象的应用，二次方程根的讨论，属于中档题．。