南昌二中高一月考数学试卷

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江西省南昌二中高一上学期12月月考(数学)

江西省南昌二中09—1高一上学期12月月考（数学）一、选择题（每小题5分，共60分） 1.下列角中终边与330相同的角是A ．－630B ．－1830C ．30D ．9902．已知圆上一段弧长等于该圆内按正方形的边长，则这段弧所对的圆周角的弧度数是A. 2B. 22C.22 D. 42 3. 若α为第三象限角，β角终边与α角终边关于y 轴对称，则π-β是 A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限4.集合M ｛x ｜x ＝k ·180°+90°，k ∈Z ｝ N ＝｛x ｜x ＝k ·90°+180°，k ∈Z ｝则A ．M ＝NB ．M ⊃NC ．M ⊂ND ．M ∩N ＝φ5．若角α的终边过点(sin 30,cos30)-，则sin α等于A ．12 B ．．12- D ．6．已知(,2)θππ∈，且sin cos a θθ+=，其中(1,0)a ∈-，则关于tan θ的值，以下四个答案中，可能正确的是A ．－5B ．5或15 C ．15- D ．－5或15- 7.设2tan()5αβ+=，1tan()44πβ-=，则tan()4πα+的值为A ．318B ．322C ．138D ．13228.在△ABC 中，A ＝15cos()A B C -+的值为A ．2B C D ．29．△ABC 中，tan tan 1A B ⋅>，则△ABC 为A ．直角三角形B ．锐角三角形C ．钝角三角形D ．不能确定10．已知(tan )cos 2f x x =，3f 的值是A ．-．12 D ．12-11．已知对于任意实数x ,均有()()f x f x π-=-与(2)()f x f x π-=成立，当x ∈[0,2π]，()cos 2x f x =，则65()3f π-=A ．12 B ．2-．12- D ．212．定义在R 上的函数()f x 满足2log (1),(0)()(2)(4),(0)x x f x f x f x x -≤⎧=⎨--->⎩，则(2009)f =A.2B.3C.4D. 5二、填空题（每小题4分，共16分） 13．已知2sin 23α=，(0,)απ∈，则sin cos αα+= 14．cos43°cos77°+sin43°cos167°的值为15．若2sin 4y x x =++的最小值为－1，则a =16．函数()f x =的定义域为三、解答题17．（本题满分12分）化简：sin 2sin cos 1cos 21sin 1sin αααααα⋅⋅-+-18．（本题满分12分）若)(x f 为奇函数，且当0x >时，x x x x f 2cos sin )(+=.求当0x <时，)(x f 的解析式.19．（本题满分12分）已知1tan()42πα+=（1）求tan α的值；（2）求2sin 2cos αα-的值。

《精编》江西省南昌市第二中学高一数学第一次月考试题新人教A版.doc

南昌市第二中学2021-2021学年高一第一次月考数学试题一、选择题(共10题，每题5分，共50分)1.：a ∈{-1,a 2,1}那么实数a 的值为( )D.-1,0,12.：全集u={x∈N |1<x<4},A={x|x 2+4=4x},那么C u A=( )A.{3}B.{2,3}C.{2}D.{-3}3.：M ＝{x |31x x +-<0},N ={x |x ≤-3}那么集合{x |x ≥1}=( ) A.M∩N B.M∪N R (M∩N) R (M∪N)A ＝{x |-2≤x ≤7},B ={x |m +1<x <2m -1},且B≠φ，假设A ∪B ＝A ，那么m 的取值范围是( )A.(2,4]B.(-3,4)C.(2,4)D.[-3,4]5.：M ＝{a ,b ,c },N={-1,0,1},从M 到N 的映射f 满足：f (a )-f (b )=f (c )，那么不同的映射f 的个数是( )B.1C.5D.7y( ) A.{x |0≤x ≤1}B.{x |x >0}C.{x |x <-1或-1<x <0}D.{x |x ≠-1,且x ≠0} 7.:f (x -1x )=x 2+21x,那么f(x+1)=( ) A.(x+1)2+21(1)x + B.(x -1x )2+211()x x - C.(x +1)2+2 D.(x+1)2+1 y( )A.[-2,2]B.[1,2]C.[0,2]9.假设f (x )=-x 2+2ax 与g (x )=1a x +在[1，2]上都是减函数，那么a 的取值范围是( ) A.(-1,0)∪(0,1) B.(-1,0)∪(0,1]C.(0,1)D.(0,1] 10.设函数[](0)()(1)(0)x x x f x f x x -≥⎧=⎨+<⎩,其中[x ]表示不超过x 的最大整数,假设函数y =k (x +1)(k >0)与函数y =f (x )的图像有三个不同的交点,那么k 的取值范围是( ) A.(14,13] B.(0, 14] C.[14,13] D.[ 14,13)二、填空题(共5小题，每题5分，共25分)11.满足{1，3}∪B＝{1，3，5}的不同集合B 的个数是______.R 上的函数f (x )满足：f (x +y )=f (x )+f (y )+2xy (x ,y ∈R )且f (1)=2，那么f (-3)＝________.13.A={x |x 2-3x -10≤0},B＝{x |p +1≤x ≤2p -1}，假设B ⊆A ,那么实数p 的范围是______.222231x x y x x -+=-+的值域是_______________.直线⊥x 轴，从原点开始将向右平行移动到x =8处停止，它截△AOB所得的图形的面积为s ，它与x 轴的交点为(x ,0),且A (4,4),B (8,0),那么s =f (x )的函数解析式是______.三、解答题(共75分)16.(12分)A ＝{x |0≤x -2≤6},B=1|06x x x -⎧⎫<⎨⎬-⎩⎭,C ={}|x x a >,全集u =R . (1)求(C u A )∩B ;(2)假设φ (A∩C )，求实数a 的取值范围。

江西省南昌市第二中学2023-2024学年高一上学期月考数学试题(一)

教队伍的职称只有小学中级、小学高级、中学中级、中学高级，无论是否把我计算在内，
以上条件都成立"由队长的叙述可以推测出他的职称是
.
四、解答题
17．已知集合 A x 2 x 8 ， B x 1 x 6 ， C x x a ，全集U R ． (1)求 A B ； ðU A B ；
(2)如果 A C ，求 a 的取值范围．
所含的纯农药药液不超过桶的容积的 20% ，则桶的容积可能为（）
A．7
B．9
C．11
D．13
11．下列命题正确的是（） A．若 0 a b 3， 2 a b 1，则 1 2a b 4
B．命题“ a 1 ， a2 1 0 ”的否定是“ a0 1， a02 1 0 ”
C．若 ac2 bc2 ，则 a b
b
1
.
波利亚在《怎样解题》中指出：“当你找到第一个藤菇或作出第一个发现后，再四处看
看，他们总是成群生长”类似问题，我们有更多的式子满足以上特征.
阅读材料二：基本不等式 ab a b (a 0, b 0) ，当且仅当 a b 时等号成立，它是解 2
决最值问题的有力工具.
例如：在 x 0 的条件下，当 x 为何值时， x 1 有最小值，最小值是多少？ x
m，对于任意
x，y，使得
m
x
2y
恒成立，则 m 的最大值为
.
16．长沙市为了支援边远山区的教育事业.组织了一支由 13 名教师组成的队伍下乡支教，
记者采访队长时询问这个团队的构成情况，队长回答：“有中学高级教师，中学教师不
试卷第 2页，共 4页
多于小学教师，小学高级教师少于中学中级教师，小学中级教师少于小学高级教师，支

江西省南昌二中高一数学上学期第三次月考试卷(含解析)

2015-2016学年江西省南昌二中高一（上）第三次月考数学试卷一、选择题（共12小题，每小题5分，共60分）1．已知A={第一象限角}，B={锐角}，C={小于的角}，那么A、B、C关系是（）A．B=A∩C B．B∪C=C C．A⊊C D．A=B=C2．sin2cos3tan4的值（）A．小于0 B．大于0 C．等于0 D．不存在3．化简的结果是（）A．cos160° B．﹣cos160°C．±cos160°D．±|cos160°|4．函数的周期、振幅、初相分别是（）A．B．C．D．5．函数的图象（）A．关于原点对称 B．关于点（，0）对称C．关于y轴对称 D．关于直线对称6．A为三角形ABC的一个内角，若sinA+cosA=，则这个三角形的形状为（）A．锐角三角形B．钝角三角形C．等腰直角三角形D．等腰三角形7．要得到函数y=cos2x的图象，只需将y=cos（2x+）的图象（）A．向左平移个单位长度B．向右平移个单位长度C．向左平移个单位长度D．向右平移个单位长度8．已知f（x）=Asin（ωx+φ）（A＞0，ω＞0）在x=1处取最大值，则（）A．f（x﹣1）一定是奇函数B．f（x﹣1）一定是偶函数C．f（x+1）一定是奇函数 D．f（x+1）一定是偶函数9．已知函数y=sinax+b（a＞0）的图象如图所示，则函数y=log a（x+b）的图象可能是（）A．B．C．D．10．当x∈[0，2π]时，不等式tanx＜sinx的解集是（）A．B．C．D．11．已知函数f（x）=，又α，β为锐角三角形两锐角则（）A．f（sinα）＞f（cosβ）B．f（sinα）＜f（cosβ）C．f（sinα）＞f（sinβ）D．f（cosα）＞f（cosβ）12．在直角坐标系中，如果两点A（a，b），B（﹣a，﹣b）在函数y=f（x）的图象上，那么称[A，B]为函数f（x）的一组关于原点的中心对称点（[A，B]与[B，A]看作一组）．函数关于原点的中心对称点的组数为（）A．1 B．2 C．3 D．4二、填空题（共4小题，每小题5分，共20分）13．如图，点O为作简谐振动的物体的平衡位置，取向右方向为正方向，若振幅为3cm，周期为4s，且物体向右运动到距平衡位置最远处时开始计时．则该物体10s时刻的路程为cm．14．已知函数f（x）=Asin（ωx+φ）（A＞0，ω＞0，|φ|＜π）在一个周期内的图象如图所示，则该函数的解析式为．15．已知函数在区间（0，1）内至少取得两次最小值，且至多取得三次最大值，则a的取值范围是．16．已知函数f（x）=tanx﹣sinx，下列命题中正确的是（写出所有正确命题的序号）①f（x）在（﹣，）上有3个零点；②f（x）的图象关于点（π，0）对称；③f（x）的周期为2π；④f（x）在（，π）上单调递增．三、解答题（共6小题，共70分）17．已知2sinα﹣cosα=0，求值：（1）；（2）．18．已知sinα+cosα∈[﹣，]，且满足4sinαcosα﹣5sinα﹣5cosα=1，（1）求sinα+cosα的值；（2）求sin3α+cos3α的值．19．有两个函数，它们的最小正周期之和为3π，且满足，求这两个函数的解析式，并求g（x）的对称中心坐标及单调区间．20．已知点A（x1，f（x1）），B（x2，f（x2））是函数f（x）=2sin（ωx+φ）图象上的任意两点，且角φ的终边经过点，若|f（x1）﹣f（x2）|=4时，|x1﹣x2|的最小值为．（1）求函数f（x）的解析式；（2）求函数f（x）的单调递增区间；（3）求当时，f（x）的值域．21．已知函数，其中a＞0且a≠1．（1）当时，求函数f（x）的值域；（2）当f（x）在区间上为增函数时，求实数a的取值范围．22．已知函数f（x）=ax2+bx+c，其中a∈N*，b∈N，c∈Z．（1）若b＞2a，且f（sinx）（x∈R）的最大值为2，最小值为﹣4，试求函数f（x）的最小值；（2）若对任意实数x，不等式4x≤f（x）≤2（x2+1）恒成立，且存在x0使得f（x0）＜2（x02+1）成立，求c的值；（3）对于问（1）中的f（x），若对任意的m∈[﹣4，1]，恒有f（x）≥2x2﹣mx﹣14，求x的取值范围．2015-2016学年江西省南昌二中高一（上）第三次月考数学试卷参考答案与试题解析一、选择题（共12小题，每小题5分，共60分）1．已知A={第一象限角}，B={锐角}，C={小于的角}，那么A、B、C关系是（）A．B=A∩C B．B∪C=C C．A⊊C D．A=B=C【考点】任意角的概念；集合的包含关系判断及应用．【分析】先明确第一象限角的定义，锐角的定义，小于的角的定义，结合所给的选项，通过举反例、排除等手段，选出应选的选项．【解答】解：∵A={第一象限角}={θ|2kπ＜θ＜2kπ+，k∈Z}，C={小于的角}={θ|θ＜}，B={锐角}=，∴B∪C=C，故选：B．2．sin2cos3tan4的值（）A．小于0 B．大于0 C．等于0 D．不存在【考点】三角函数值的符号．【分析】根据2弧度、3弧度、4弧度所在象限分析三角函数值的正负，最后得出答案．【解答】解：∵1弧度大约等于57度，2弧度等于114度，∴sin2＞0∵3弧度小于π弧度，在第二象限∴cos3＜0∵4弧度小于弧度，大于π弧度，在第三象限∴tan4＞0∴sin2cos3tan4＜0故答案选A3．化简的结果是（）A．cos160° B．﹣cos160°C．±cos160°D．±|cos160°|【考点】同角三角函数基本关系的运用；三角函数值的符号．【分析】确定角的象限，然后确定cos160°的符号，即可得到正确选项．【解答】解：160°是钝角，所以=|cos160°|=﹣cos160°故选B4．函数的周期、振幅、初相分别是（）A．B．C．D．【考点】y=Asin（ωx+φ）中参数的物理意义．【分析】直接利用函数的解析式写出周期、振幅、初相即可．【解答】解：函数=的周期是=4π、振幅是2、初相是：．故选：D．5．函数的图象（）A．关于原点对称 B．关于点（，0）对称C．关于y轴对称 D．关于直线对称【考点】正弦函数的图象．【分析】根据正弦函数的图象与性质，对选项中性质进行分析、判断即可．【解答】解：∵函数，当x=0时，函数y=2sin=≠0，函数y的图象不关于原点对称，A错误；当x=时，函数y=2sin（2×+）=2sin=≠0，函数y的图象不关于点（，0）对称，B错误；当x=0时，函数y=2sin=≠2，函数y的图象不愿意y轴对称，C错误；当x=时，函数y=2sin（2×+）=2，函数y的图象关于x=对称，D正确．故选：D．6．A为三角形ABC的一个内角，若sinA+cosA=，则这个三角形的形状为（）A．锐角三角形B．钝角三角形C．等腰直角三角形D．等腰三角形【考点】三角形的形状判断．【分析】将已知式平方并利用sin2A+cos2A=1，算出sinAcosA=﹣＜0，结合A∈（0，π）得到A为钝角，由此可得△ABC是钝角三角形．【解答】解：∵sinA+cosA=，∴两边平方得（sinA+cosA）2=，即sin2A+2sinAcosA+cos2A=，∵sin2A+cos2A=1，∴1+2sinAcosA=，解得sinAcosA=（﹣1）=﹣＜0，∵A∈（0，π）且sinAcosA＜0，∴A∈（，π），可得△ABC是钝角三角形故选：B7．要得到函数y=cos2x的图象，只需将y=cos（2x+）的图象（）A．向左平移个单位长度B．向右平移个单位长度C．向左平移个单位长度D．向右平移个单位长度【考点】函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换．【分析】我们可以选设出平移量为A，根据函数图象平移变换法则“左加右减”，我们可以根据平移前后函数的解析式，构造关于A的方程，解方程即可求出答案．【解答】解：设将y=cos（2x+）的图象，向右平移A个单位长度后，得到函数y=cos2x的图象则cos[2（x﹣A）+）]=cos（2x）易得A=故选B8．已知f（x）=Asin（ωx+φ）（A＞0，ω＞0）在x=1处取最大值，则（）A．f（x﹣1）一定是奇函数B．f（x﹣1）一定是偶函数C．f（x+1）一定是奇函数 D．f（x+1）一定是偶函数【考点】正弦函数的图象．【分析】根据三角函数的图象和性质，即可得到结论．【解答】解：∵函数f（x）在x=1处取最大值，∴x=1是函数f（x）的一条对称轴，将函数f（x）向左平移1个单位，得到函数f（x+1）的图象，此时函数关于y轴对称，则函数为偶函数．故选：D9．已知函数y=sinax+b（a＞0）的图象如图所示，则函数y=log a（x+b）的图象可能是（）A．B．C．D．【考点】由y=Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式．【分析】根据函数y=sinax+b（a＞0）的图象求出a、b的范围，从而得到函数y=log a（x+b）的单调性及图象特征，从而得出结论．【解答】解：由函数y=sinax+b（a＞0）的图象可得 0＜b＜1，2π＜＜3π，即＜a＜1．故函数y=log a（x+b）是定义域内的减函数，且过定点（1﹣b，0），故选C．10．当x∈[0，2π]时，不等式tanx＜sinx的解集是（）A．B．C．D．【考点】正切函数的图象；正弦函数的图象．【分析】由条件分类讨论求得不等式tanx＜sinx的解集．【解答】解：当x∈[0，）时，sinx＜x＜tanx，不满足tanx＜sinx；当x∈（，π）时，sinx＞0，tanx＜0，满足tanx＜sinx；x=π时，tanx=sinx=0，不满足tanx＜sinx；当x∈（π，）时，tanx＞0，sinx＜0，不满足tanx＜sinx；当x∈（，2π）时，cosx∈（0，1），tanx=＜sinx；当x=2π时，tanx=sinx=0，不满足tanx＜sinx．综上可得，不等式tanx＜sinx的解集为（，π）或（，2π），故选：D．11．已知函数f（x）=，又α，β为锐角三角形两锐角则（）A．f（sinα）＞f（cosβ）B．f（sinα）＜f（cosβ）C．f（sinα）＞f（sinβ）D．f（cosα）＞f（cosβ）【考点】三角函数线．【分析】先判断函数f（x）的单调性，由α，β为锐角三角形的两个锐角，可得α+β＞，进而β＞﹣α，且β，﹣α均为锐角，结合正弦函数的单调性和诱导公式5，可得结论．【解答】解：作出函数f（x）的图象，则函数为单调递减函数，∵α，β为锐角三角形的两个锐角，∴α+β＞，∴β＞﹣α，且β，﹣α均为锐角，∴sinβ＞sin（﹣α）=cosα，cosβ＜cos（﹣α）=sinα，∴f（sinα）＜f（cosβ），故选：B．12．在直角坐标系中，如果两点A（a，b），B（﹣a，﹣b）在函数y=f（x）的图象上，那么称[A，B]为函数f（x）的一组关于原点的中心对称点（[A，B]与[B，A]看作一组）．函数关于原点的中心对称点的组数为（）A．1 B．2 C．3 D．4【考点】余弦函数的对称性；分段函数的解析式求法及其图象的作法；对数函数的图象与性质．【分析】根据函数图象的变化，分析可得函数y=log4（x+1）（x＞0）的图象过空点（0，0）和实点（3，1），结合题意，找到其关于原点对称的点，易得其对称的图象与有两个交点，即可得答案．【解答】解：函数y=log4（x+1）可以由对数函数y=log4x的图象向左平移1个单位得到，又由x＞0，则图象过空点（0，0）和实点（3，1），则与函数y=log4（x+1），x＞0图象关于原点对称的图象过（﹣3，﹣1），所以对称的图象与有两个交点，坐标分别为（0，0）（﹣3，﹣1），故关于原点的中心对称点的组数为2，故选B．二、填空题（共4小题，每小题5分，共20分）13．如图，点O为作简谐振动的物体的平衡位置，取向右方向为正方向，若振幅为3cm，周期为4s，且物体向右运动到距平衡位置最远处时开始计时．则该物体10s时刻的路程为﹣3 cm．【考点】由y=Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式．【分析】设该物体在ts时刻的位移为ycm，根据当t=0时y达到最大值3，可设y=3cosωt，由三角函数的周期公式算出ω=，得函数解析式为y=3cos t，再将t=10s代入即可得到该物体10s时刻的位移值．【解答】解：根据题意，设该物体在ts时刻的位移为ycm，∵物体向右运动到距平衡位置最远处时开始计时，振幅为3cm，∴当t=0时，y达到最大值3．因此，设y=3cosωt，∵函数的周期为4s，∴=4，解之得ω=，得函数解析式为y=3cos t，由此可得，该物体10s时刻的位移为3cos（•10）=3cos5π=﹣3cm．故答案为：﹣3．14．已知函数f（x）=Asin（ωx+φ）（A＞0，ω＞0，|φ|＜π）在一个周期内的图象如图所示，则该函数的解析式为f（x）=2sin（2x+）．【考点】由y=Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式．【分析】由函数的图象的顶点坐标求出A，由特殊点的坐标求出φ的值，再根据五点法作图求出ω的值，从而求得该函数的解析式．【解答】解：由函数f（x）=Asin（ωx+φ）的图象可得A=2，再根据图象过点（0，1），可得2sinφ=1，sinφ=，结合|φ|＜π，可得φ=．再根据五点法作图可得ω•+=π，求得ω=2，故，故答案为：f（x）=2sin（2x+）．15．已知函数在区间（0，1）内至少取得两次最小值，且至多取得三次最大值，则a的取值范围是（7，13] ．【考点】三角函数的周期性及其求法．【分析】令t=x，则题目转化为函数y=sint在区间（0，）内至少取得两次最小值且至多取得三次最大值，据正弦函数的图象即可求a的取值范围．【解答】解：函数y=sin x（a＞0）在区间（0，1）内至少取得两次最小值且至多取得三次最大值，可以令t=x，则题目转化为复合函数y=sint在区间（0，）内至少取得两次最小值且至多取得三次最大值，如图：y=sint在开区间（0，）内至少取得两次最小值，则＞π．y=sint在开区间（0，）内至多取得三次最大值，则≤．得到7＜a≤13．故答案为：（7，13]．16．已知函数f（x）=tanx﹣sinx，下列命题中正确的是②③④（写出所有正确命题的序号）①f（x）在（﹣，）上有3个零点；②f（x）的图象关于点（π，0）对称；③f（x）的周期为2π；④f（x）在（，π）上单调递增．【考点】命题的真假判断与应用．【分析】画出函数f（x）=tanx﹣sinx，据图所示，即可判断出．【解答】解：函数f（x）=tanx﹣sinx，如图所示，①f（x）在（﹣，）上有1个零点；②f（x）的图象关于点（π，0）对称，正确；③f（2π+x）=tan（2π+x）﹣sin（2π+x）=tanx﹣sinx=f（x），而f（π+x）=tan（π+x）﹣sin（π+x）=tanx+sinx≠f（x），∴f（x）的周期为2π，或由图象可以看出；④f（x）在（，π）上单调递增，正确．故答案为：②③④．三、解答题（共6小题，共70分）17．已知2sinα﹣cosα=0，求值：（1）；（2）．【考点】运用诱导公式化简求值；三角函数的化简求值．【分析】由题意利用同角三角函数的基本关系求得，再利用诱导公式、同角三角函数的基本关系求得所给式子的值．【解答】解：由2sinα﹣cosα=0知，，（1）化简原式===；（2）原式=．18．已知sinα+cosα∈[﹣，]，且满足4sinαcosα﹣5sinα﹣5cosα=1，（1）求sinα+cosα的值；（2）求sin3α+cos3α的值．【考点】同角三角函数基本关系的运用．【分析】（1）令sinα+cosα=t换元，得到sinα•cosα，代入已知等式求得t，则sinα+cosα的值可求；（2）展开立方和公式，则sin3α+cos3α的值可求．【解答】解：（1）令sinα+cosα=t（），两边平方得，1+2sinαcosα=t2，∴4sinαcosα=2t2﹣2，代入4sinαcosα﹣5sinα﹣5cosα=1，得2t2﹣2﹣5t=1，即2t2﹣5t﹣3=0．解得：t=3（舍），或t=﹣，即sinα+cosα=；（2）由（1）得，sinαcosα==．∴sin3α+cos3α=（sinα+cosα）（sin2α﹣sinαcosα+cos2α）=（sinα+cosα）[（sinα+cosα）2﹣3sinαcosα]=×=．19．有两个函数，它们的最小正周期之和为3π，且满足，求这两个函数的解析式，并求g（x）的对称中心坐标及单调区间．【考点】正切函数的图象；正弦函数的图象．【分析】根据题意列出方程组，求出k、a、b的值，写出函数f（x）、g（x）的解析式，再求函数g（x）的对称中心坐标与单调区间．【解答】解：依题意可得：，解得：；故；令，得，故g（x）的对称中心坐标为，当时，g（x）单调递增，即当时，g（x）单调递增，无递减区间．20．已知点A（x1，f（x1）），B（x2，f（x2））是函数f（x）=2sin（ωx+φ）图象上的任意两点，且角φ的终边经过点，若|f（x1）﹣f（x2）|=4时，|x1﹣x2|的最小值为．（1）求函数f（x）的解析式；（2）求函数f（x）的单调递增区间；（3）求当时，f（x）的值域．【考点】三角函数中的恒等变换应用；由y=Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式．【分析】（1）由已知求得，结合φ的范围求得φ，再由已知求得ω得答案；（2）直接由复合函数的单调性求得函数的增区间；（3）由x的范围求得相位的范围，进一步求得sin（）的范围得答案．【解答】解：（1）角φ的终边经过点，∴，∵，∴．由|f（x1）﹣f（x2）|=4时，|x1﹣x2|的最小值为，得，即，∴ω=3．∴；（2）由，得，k∈Z，∴函数f（x）的单调递增区间为（k∈Z）；（3 ）当时，即0≤x≤，则0≤3x≤π，∴，由函数单调性可得：，∴，∴函数f（x）的值域为．21．已知函数，其中a＞0且a≠1．（1）当时，求函数f（x）的值域；（2）当f（x）在区间上为增函数时，求实数a的取值范围．【考点】复合函数的单调性；函数的值域．【分析】（1）把代入函数解析式，可得定义域为R，利用配方法求出真数的范围，结合复合函数单调性求得函数f（x）的值域；（2）对a＞1和0＜a＜1分类讨论，由ax2﹣x+1在上得单调性及ax2﹣x+1＞0对恒成立列不等式组求解a的取值范围，最后取并集得答案．【解答】解：（1）当时，恒成立，故定义域为R，又∵，且函数在（0，+∞）单调递减，∴，即函数f（x）的值域为（﹣∞，1]；（2）依题意可知，i）当a＞1时，由复合函数的单调性可知，必须ax2﹣x+1在上递增，且ax2﹣x+1＞0对恒成立．故有，解得：a≥2；ii）当0＜a＜1时，同理必须ax2﹣x+1在上递减，且ax2﹣x+1＞0对恒成立．故有，解得：．综上，实数a的取值范围为．22．已知函数f（x）=ax2+bx+c，其中a∈N*，b∈N，c∈Z．（1）若b＞2a，且f（sinx）（x∈R）的最大值为2，最小值为﹣4，试求函数f（x）的最小值；（2）若对任意实数x，不等式4x≤f（x）≤2（x2+1）恒成立，且存在x0使得f（x0）＜2（x02+1）成立，求c的值；（3）对于问（1）中的f（x），若对任意的m∈[﹣4，1]，恒有f（x）≥2x2﹣mx﹣14，求x的取值范围．【考点】函数恒成立问题；二次函数的性质．【分析】（1）先由题找到x∈[﹣1，1]，f（x）max=2，f（x）min=﹣4再利用a∈N*，b∈N和b ＞2a，判断出函数在x∈[﹣1，1]上递增，再利用f（sinα）（α∈R）的最大值为2，最小值为﹣4，求出a，b，c，再利用配方法求出f（x）的最小值；（2）先由4≤f（1）≤4找到a+b+c=4①，再f（x）≥4x恒成立⇒△=（b﹣4）2﹣4ac≤0②，和f（x）≤2（x2+1）的结合求出a=1，c=1．（注意对二次项系数的讨论）；（3）问题转化为x2﹣（m+3）x﹣12≤0对∀m∈[﹣4，1]恒成立，根据二次函数的性质求出m 的范围即可．【解答】解：（1）由b＞2a，得，又sinx∈[﹣1，1]故当sinx=﹣1时，f（sinx）Min=f（﹣1）=a﹣b+c=﹣4；…①当sinx=1时，f（sinx）Max=f（1）=a+b+c=2；…②由①式+②式，得b=3，又且a∈N*，∴a=1，带入①式，得c=﹣2∴f（x）=x2+3x﹣2，则；（2）由题意可知，当且仅当，即x=1时，4≤f（1）≤4，也即f（1）=4，得a+b+c=4，…③又f（x）=ax2+bx+c≥4x对∀x∈R恒成立，故△=（b﹣4）2﹣4ac≤0…④由③式知，4﹣b=a+c代入④式，得（a﹣c）2≤0，∴a=c…⑤又∵∃x0∈R，使得成立，也即有解由a∈N*，讨论如下：i）若a=1，由③，⑤式知，b=2，c=a=1，则显然有解，符合题意；ii）若a=2，由③，⑤式知，b=0，c=a=2，则，显然不存在，舍去；iii）若a＞2，由⑤式知，c=a＞2，又由③式，得b＜0，这与条件中b∈N矛盾，舍去．故a=1，也即c=1．（3）由（1）知，f（x）=x2+3x﹣2，则题意即为x2+3x﹣2≥2x2﹣mx﹣14，化简为：x2﹣（m+3）x﹣12≤0对∀m∈[﹣4，1]恒成立令g（m）=x2﹣（m+3）x﹣12，则只需成立，也即解得：﹣2≤x≤3故x的取值范围为[﹣2，3]．。

2020-2021学年江西省南昌二中高一(上)第一次月考数学试卷及答案

2020-2021学年江西省南昌二中高一（上）第一次月考数学试卷一、选择题（每小题5分，满分60分）1．（5分）方程组的解集可表示为（）A．{1，2}B．（1，2）C．{（x，y）|x＝1，y＝2}D．2．（5分）已知集合A＝{a，|a|，a﹣2}，若2∈A，则实数a的值为（）A．﹣2B．2C．4D．2或43．（5分）已知集合A＝{x|ax2+2x+a＝0，a∈R}，若集合A有且仅有2个子集，则a的取值是（）A．1B．﹣1C．0，1D．﹣1，0，1 4．（5分）下面的对应是从集合A到集合B的一一映射（）A．A＝R，B＝R，对应关系f：y＝，x∈A，y∈BB．X＝R，Y＝{非负实数}，对应关系f：y＝x4，x∈X，y∈YC．M＝{1，2，3，4}，N＝{2，4，6，8，10}，对应关系f：n＝2m，n∈N，m∈MD．A＝{平面上的点}，B＝{（x，y）|x，y∈R}，对应关系f：A中的元素对应它在平面上的坐标5．（5分）对于全集U的子集M，N，若M是N的真子集，则下列集合中必为空集的是（）A．（∁U M）∩N B．M∩（∁U N）C．（∁U M）∩（∁U N）D．M∩N6．（5分）已知m＜﹣2，点（m﹣1，y1），（m，y2），（m+1，y3）都在二次函数y＝x2﹣2x 的图象上，则（）A．y1＜y2＜y3B．y3＜y2＜y1C．y1＜y3＜y2D．y2＜y1＜y3 7．（5分）已知定义在R上的函数f（x）的值域为，则函数的值域为（）A．[，]B．[，1]C．[，1]D．（0，]∪[，+∞）8．（5分）某年级先后举办了数学、历史、音乐的讲座，其中有85人听了数学讲座，70人听了历史讲座，61人听了音乐讲座，16人同时听了数学、历史讲座，12人同时听了数学、音乐讲座，9人同时听了历史、音乐讲座，还有5人听了全部讲座．则听讲座的人数为（）A．181B．182C．183D．1849．（5分）已知函数的值域是[0，+∞），则实数m的取值范围是（）A．[﹣2，2]B．[﹣1，2]C．[﹣2，﹣1]∪[2，+∞）D．（﹣∞，﹣1]∪[2，+∞）10．（5分）已知函数，则不等式f（x+1）＞f（2x）的解集为（）A．（﹣∞，1）B．（﹣∞，1]C．[，0]D．[，1）11．（5分）已知函数，当x∈[1，4]时，f（x）＞1恒成立，则实数m的取值范围为（）A．[﹣4，+∞）B．[﹣2，+∞）C．（﹣4，+∞）D．（﹣2，+∞）12．（5分）若存在n∈R，且存在x∈[1，m]，使得不等式|mx2+1|+|2nx|≤3x成立，则实数m 的取值范围是（）A．[1，2]B．（﹣∞，2]C．（1，2]D．[2，+∞）二、填空题（每小题5分，满分20分）13．（5分）设函数，函数f（x）•g（x）的定义域为．14．（5分）函数y＝kx2﹣4x﹣8在区间[5，10]上单调递增，则实数k的取值范围为．15．（5分）已知集合A，B，C，且A⊆B，A⊆C，若B＝{1，2，3，4}，C＝{0，1，2，3}，则所有满足要求的集合A的各个元素之和为．16．（5分）已知函数，若方程f（x）＝g（x）有两个实根为x1，x2，且x1＝tx2，t∈[，3]，则实数a的取值范围为．三、解答题（共6小题，共70分）17．（10分）已知集合A＝{x|≤0}，B＝{x|x2﹣3x+2＜0}，U＝R，．求（Ⅰ）A∩B；（Ⅱ）A∪B；（Ⅲ）（∁U A）∩B．18．（12分）（1）已知f（x）满足3f（x）+2f（1﹣x）＝4x，求f（x）解析式；（2）已知函数，当x＞0时，求g（f（x））的解析式．19．（12分）已知集合A＝{x|0≤x≤2}，B＝{x|a≤x≤3﹣2a}．（1）若（∁U A）∪B＝R，求a的取值范围；（2）若A∩B≠B，求a的取值范围．20．（12分）已知二次函数f（x）＝ax2+bx+c，f（0）＝1，f（1）＝0，且对任意实数x均有f（x）≥0成立．（1）求f（x）解析式；（2）若函数g（x）＝f（x）+2（1﹣m）x在[2，+∞）上的最小值为﹣7，求实数m的值．21．（12分）已知定义在R上的函数f（x）对任意x1，x2∈R都有等式f（x1+x2）＝f（x1）+f（x2）﹣1成立，且当x＞0时，有f（x）＞1．（1）求证：函数f（x）在R上单调递增；（2）若f（3）＝4，关于x不等式恒成立，求t的取值范围．22．（12分）已知函数f（x）＝|x+m|2﹣3|x|．（1）当m＝0时，求函数y＝f（x）的单调递减区间；（2）当0＜m≤1时，若对任意的x∈[m，+∞），不等式f（x﹣m﹣1）≤2f（x﹣m）恒成立，求实数m的取值范围．2020-2021学年江西省南昌二中高一（上）第一次月考数学试卷参考答案与试题解析一、选择题（每小题5分，满分60分）1．（5分）方程组的解集可表示为（）A．{1，2}B．（1，2）C．{（x，y）|x＝1，y＝2}D．【分析】求出方程组的解，结合选项即可得解．【解答】解：方程组的解为，∴方程组的解集中只有一个元素，且此元素是有序数对，∴{（x，y）|x＝1，y＝2}、、{（1，2）}均符合题意．故选：C．【点评】本题主要考查方程组的解以及集合的表示方法，属于基础题．2．（5分）已知集合A＝{a，|a|，a﹣2}，若2∈A，则实数a的值为（）A．﹣2B．2C．4D．2或4【分析】由集合A＝{a，|a|，a﹣2}，2∈A，得a＝2，|a|＝2或a﹣2＝2，再由集合中元素的互异性能求出实数a的值．【解答】解：∵集合A＝{a，|a|，a﹣2}，2∈A，∴a＝2，|a|＝2或a﹣2＝2，解得a＝﹣2或a＝2或a＝4．当a＝﹣2时，A＝{﹣2，2，﹣4}，成立；当a＝2时，a＝|a|，A中有两个相等元素，不满足互异性；当a＝4时，a＝|a|，A中有两个相等元素，不满足互异性．实数a的值为﹣2．故选：A．【点评】本题考查实数值的求法，考查元素与集合的关系等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是基础题．3．（5分）已知集合A＝{x|ax2+2x+a＝0，a∈R}，若集合A有且仅有2个子集，则a的取值是（）A．1B．﹣1C．0，1D．﹣1，0，1【分析】若A有且仅有两个子集，则A为单元素集，所以关于x的方程ax2+2x+a＝0恰有一个实数解，分类讨论能求出实数a的取值范围．【解答】解：由题意可得，集合A为单元素集，（1）当a＝0时，A＝{x|2x＝0}＝{0}，此时集合A的两个子集是{0}，∅，（2）当a≠0时则△＝4﹣4a2＝0解得a＝±1，当a＝﹣1时，集合A的两个子集是{1}，∅，当a＝1，此时集合A的两个子集是{﹣1}，∅．综上所述，a的取值为﹣1，0，1．故选：D．【点评】本题考查根据子集与真子集的概念，解题时要认真审题，注意分析法、讨论法和等价转化法的合理运用．属于基础题．4．（5分）下面的对应是从集合A到集合B的一一映射（）A．A＝R，B＝R，对应关系f：y＝，x∈A，y∈BB．X＝R，Y＝{非负实数}，对应关系f：y＝x4，x∈X，y∈YC．M＝{1，2，3，4}，N＝{2，4，6，8，10}，对应关系f：n＝2m，n∈N，m∈MD．A＝{平面上的点}，B＝{（x，y）|x，y∈R}，对应关系f：A中的元素对应它在平面上的坐标【分析】利用映射和一一映射的定义求解．【解答】解：对于选项A：集合A中的元素0，在集合B中没有与之对应的y的值，所以选项A错误；对于选项B：集合X中的元素2与﹣2都与集合Y中的元素16对应，所以不是从集合X 到集合Y的一一映射，所以选项B错误；对于选项C：集合N中的元素10在集合M中没有原像，所以不是从集合M到集合N的一一映射，所以选项C错误；对于选项D：平面上的任意一点都存在唯一的有序实数对（x，y）与之对应，反过来，任意一组有序实数对（x，y）都对应平面上的唯一的一个点，所以是从集合A到集合B 的一一映射，所以选项D正确，故选：D．【点评】本题主要考查了映射和一一映射的概念，是基础题．5．（5分）对于全集U的子集M，N，若M是N的真子集，则下列集合中必为空集的是（）A．（∁U M）∩N B．M∩（∁U N）C．（∁U M）∩（∁U N）D．M∩N【分析】根据题目给出的全集是U，M，N是全集的子集，M是N的真子集画出集合图形，由图形表示出三个集合间的关系，从而看出是空集的选项．【解答】解：集合U，M，N的关系如图，由图形看出，（∁U N）∩M是空集．故选：B．【点评】本题考查了交、并、补集的混合运算，考查了集合的图形表示法，考查了数形结合的解题思想，是基础题．6．（5分）已知m＜﹣2，点（m﹣1，y1），（m，y2），（m+1，y3）都在二次函数y＝x2﹣2x 的图象上，则（）A．y1＜y2＜y3B．y3＜y2＜y1C．y1＜y3＜y2D．y2＜y1＜y3【分析】欲比较y3，y2，y1的大小，利用二次函数的单调性，只须考虑三点的横坐标是不是在对称轴的某一侧，结合二次函数的单调性即得．【解答】解：∵m＜﹣2，∴m﹣1＜m＜m+1＜﹣1，即三点都在二次函数对称轴的左侧，又二次函数y＝x2﹣2x在对称轴的左侧是单调减函数，∴y3＜y2＜y1故选：B．【点评】本小题主要考查函数单调性的应用、二次函数的性质、二次函数的性质的应用等基础知识，考查数形结合思想．属于基础题．7．（5分）已知定义在R上的函数f（x）的值域为，则函数的值域为（）A．[，]B．[，1]C．[，1]D．（0，]∪[，+∞）【分析】由f（x）的值域可知f（x+1）的值域，先用换元法设t＝1﹣2f（x+1）将g（x）转化为关于的二次函数，再结合二次函数的性质即可求出g（x）的值域．【解答】解：R上的函数f（x）的值域为，则f（x+1）的值域也为，故1﹣2f（x+1）∈，设t＝1﹣2f（x+1）∈，则，∴＝，，由二次函数的性质可知：当时，g（x）取最大值1；当时，g（x）取最小值；∴g（x）的值域为，故选：C．【点评】本题考查了利用换元法和数形结合思想，判断二次函数的最值问题，属于中档题．8．（5分）某年级先后举办了数学、历史、音乐的讲座，其中有85人听了数学讲座，70人听了历史讲座，61人听了音乐讲座，16人同时听了数学、历史讲座，12人同时听了数学、音乐讲座，9人同时听了历史、音乐讲座，还有5人听了全部讲座．则听讲座的人数为（）A．181B．182C．183D．184【分析】设全班同学是全集U，听数学讲座的人组成集合A，听历史讲座的人组成集合B，听音乐讲座的人组成集合C，根据题意，用韦恩图表示出各部分的人数，即可求出【解答】解：设全班同学是全集U，听数学讲座的人组成集合A，听历史讲座的人组成集合B，听音乐讲座的人组成集合C，根据题意，用韦恩图表示，如图所示：，由韦恩图可知，听讲座的人数为62+7+5+11+4+50+45＝184（人），故选：D．【点评】本题主要考查Venn图表达集合的关系和运算，比较基础．9．（5分）已知函数的值域是[0，+∞），则实数m的取值范围是（）A．[﹣2，2]B．[﹣1，2]C．[﹣2，﹣1]∪[2，+∞）D．（﹣∞，﹣1]∪[2，+∞）【分析】m＝﹣2，则y＝（m+2）x2+2mx+1为一次函数，符合题意；m≠﹣2，y＝（m+2）x2+2mx+1为二次函数，需要开口向上，且与x轴有交点，用判别式求解m的范围即可．【解答】解：要使函数的值域是[0，+∞），则y＝（m+2）x2+2mx+1的最小值≤0，当m＝﹣2时，，符合题意；当m≠﹣2时，要使函数的值域是[0，+∞），则y＝（m+2）x2+2mx+1为二次函数，开口向上，且与x轴有交点，∴m+2≥0，且△＝4m2﹣4（m+2）≥0，∴﹣2＜m≤﹣1或m≥2；综上可知﹣2≤m≤﹣1或m≥2，故选：C．【点评】本题需要对m＝﹣2和m≠﹣2进行分类讨论，当m≠﹣2时结合利用二次函数的根的存在性判断即可，属于基础题．10．（5分）已知函数，则不等式f（x+1）＞f（2x）的解集为（）A．（﹣∞，1）B．（﹣∞，1]C．[，0]D．[，1）【分析】根据题意，先分析函数的定义域，再由常见函数的单调性可得f（x）在区间[﹣1，1]上为增函数，由此原不等式等价于，解可得x的取值范围，即可得答案．【解答】解：根据题意，函数，有，解可得﹣1≤x≤1，即函数的定义域为[﹣1，1]，函数y＝在区间[﹣1，1]上为增函数，y＝在区间[﹣1，1]上为减函数，则函数f（x）＝﹣在区间[﹣1，1]上为增函数，则f（x+1）＞f（2x）⇔，解可得﹣≤x≤0，即不等式的解集为[﹣，0]，故选：C．【点评】本题考查函数单调性的性质以及应用，注意函数的定义域，属于基础题．11．（5分）已知函数，当x∈[1，4]时，f（x）＞1恒成立，则实数m的取值范围为（）A．[﹣4，+∞）B．[﹣2，+∞）C．（﹣4，+∞）D．（﹣2，+∞）【分析】设＝t，t∈[1，2]，原不等式等价为﹣m＜t+在t∈[1，2]恒成立，即有﹣m＜t+在t∈[1，2]的最小值，运用基本不等式可得最小值，进而得到所求范围．【解答】解：设＝t，由x∈[1，4]，可得t∈[1，2]，则当x∈[1，4]时，f（x）＞1恒成立，即为t2+mt+4＞1，即﹣m＜t+在t∈[1，2]恒成立，即有﹣m＜t+在t∈[1，2]的最小值，由t+≥2＝2，当且仅当t＝∈[1，2]时，取得等号，则﹣m＜2，即m＞﹣2，可得m的取值范围是（﹣2，+∞）．故选：D．【点评】本题考查函数恒成立问题解法，注意运用参数分离和基本不等式，考查转化思想和运算能力，属于中档题．12．（5分）若存在n∈R，且存在x∈[1，m]，使得不等式|mx2+1|+|2nx|≤3x成立，则实数m 的取值范围是（）A．[1，2]B．（﹣∞，2]C．（1，2]D．[2，+∞）【分析】由题易知m＞1恒成立，则此时利用|2n|恒定非负将不等式进行变形求解即可．【解答】解：因为x∈[1，m]，所以m＞1，则mx2+1＞0，所以原不等式可变为mx2+1+|2nx|≤3x，因为x∈[1，m]，所以原不等式进一步变形为mx2+1+|2n|x≤3x，所以，令，则f（x）在区间[1，m]上是减少的，由存在性可知在区间[1，m]上有解，所以f（x）在[1，m]上的最大值应不小于0，所以f（1）≥0，即﹣m+2≥0，解得：m≤2，综上可得：m的取值范围为1＜m≤2．故选：C．【点评】本题考查基本不等式及不等式恒成立问题，属于难题．二、填空题（每小题5分，满分20分）13．（5分）设函数，函数f（x）•g（x）的定义域为（，+∞）．【分析】根据f（x），g（x）的解析式即可得出：要使得f（x）•g（x）有意义，则需满足2x﹣3＞0，然后解出x的范围即可．【解答】解：要使f（x）•g（x）有意义，则：2x﹣3＞0，解得，∴f（x）•g（x）的定义域为．故答案为：．【点评】本题考查了函数定义域的定义及求法，考查了计算能力，属于基础题．14．（5分）函数y＝kx2﹣4x﹣8在区间[5，10]上单调递增，则实数k的取值范围为[，+∞）．【分析】由题意可知区间[5，10]是函数增区间的子集，对k分情况讨论，利用二次函数的性质求解．【解答】解：∵函数y＝kx2﹣4x﹣8在区间[5，10]上单调递增，∴区间[5，10]是函数增区间的子集，①当k＝0时，函数y＝﹣4x﹣8，在区间[5，10]上单调递减，不符合题意；②当k＞0时，函数y＝kx2﹣4x﹣8的增区间为[，+∞），∴，解得k，∴k；③当k＜0时，函数y＝kx2﹣4x﹣8的增区间为（﹣∞，]，∴10，解得k，∴k∈∅，综上所述，实数k的取值范围为[，+∞），故答案为：[，+∞）．【点评】本题主要考查了二次函数的图象和性质，对k分情况讨论是解题关键，是中档题．15．（5分）已知集合A，B，C，且A⊆B，A⊆C，若B＝{1，2，3，4}，C＝{0，1，2，3}，则所有满足要求的集合A的各个元素之和为24．【分析】由题意推出集合A是两个集合的子集，求出集合B，C的公共元素得到集合A，进而求出结论．【解答】解：因为集合A，B，C，且A⊆B，A⊆C，B＝{1，2，3，4}，C＝{0，1，2，3}，所以集合A是两个集合的子集，集合B，C的公共元素是1，2，3，所以满足上述条件的集合A＝∅，{1}，{2}，{3}，{1，2}，{1，3}，{2，3}，{1，2，3}，∴所有满足要求的集合A的各个元素之和为：4（1+2+3）＝24．故答案为：24．【点评】本题考查集合的基本运算，集合的子集的运算，考查基本知识的应用．16．（5分）已知函数，若方程f（x）＝g（x）有两个实根为x1，x2，且x1＝tx2，t∈[，3]，则实数a的取值范围为[，]．【分析】把方程f（x）＝g（x）有两个实根为x1，x2，转化为ax2+x+1＝0（x≠0）有两个实根为x1，x2，由根与系数的关系及x1＝tx2可得a与t的关系，分离a，结合双勾函数求最值．【解答】解：方程f（x）＝g（x）即为，亦即ax2+x+1＝0（x≠0），由题意，△＝1﹣4a≥0，即a．且，，又x1＝tx2，得a＝＝＝，t∈[，3]，当t＝1时，有最小值4，则a有最大值，当t＝或3时，t+有最大值，则a有最小值为．∴实数a的取值范围为[，]，故答案为：[，]．【点评】本题考查函数零点与方程根的关系，考查数学转化思想方法，训练了利用双勾函数求最值，是中档题．三、解答题（共6小题，共70分）17．（10分）已知集合A＝{x|≤0}，B＝{x|x2﹣3x+2＜0}，U＝R，．求（Ⅰ）A∩B；（Ⅱ）A∪B；（Ⅲ）（∁U A）∩B．【分析】化简集合A、B，再求A∩B与A∪B、（∁U A）∩B．【解答】解：集合A＝{x|≤0}＝{x|﹣5＜x≤}，B＝{x|x2﹣3x+2＜0}＝{x|1＜x＜2}，U＝R，（Ⅰ）A∩B＝{x|﹣5＜x≤}∩{x|1＜x＜2}＝{x|1＜x≤}；（Ⅱ）A∪B＝{x|﹣5＜x≤}∪{x|1＜x＜2}＝{x|﹣5＜x＜2}；（Ⅲ）∵∁U A＝{x|x≤﹣5或x＞}，∴（∁U A）∩B＝{x|x≤﹣5或x＞}∩{x|1＜x＜2}＝{x|＜x＜2}．【点评】本题考查了集合的化简与运算问题，是基础题目．18．（12分）（1）已知f（x）满足3f（x）+2f（1﹣x）＝4x，求f（x）解析式；（2）已知函数，当x＞0时，求g（f（x））的解析式．【分析】（1）直接利用换元法的应用和解方程组求出函数的关系式．（2）利用函数的定义域的应用求出函数的关系式．【解答】解：（1）解令x＝1﹣x，则1﹣x＝x，所以3f（x）+2f（1﹣x）＝4x，整理得3f（1﹣x）+2f（x）＝4（1﹣x），则，解得：；（2）由于函数，当x＞0时，g（f（x））＝．故：．【点评】本题考查的知识要点：函数的解析式的求法，换元法，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于基础题．19．（12分）已知集合A＝{x|0≤x≤2}，B＝{x|a≤x≤3﹣2a}．（1）若（∁U A）∪B＝R，求a的取值范围；（2）若A∩B≠B，求a的取值范围．【分析】（1）根据补集与并集的定义，列出不等式组求得a的取值范围．（2）根据A∩B＝B得B⊆A，讨论B＝∅和B≠∅时，分别求出对应a的取值范围，再求A∩B≠B时a的取值范围．【解答】解：（1）由集合A＝{x|0≤x≤2}，所以∁U A＝{x|x＜0或x＞2}，又B＝{x|a≤x≤3﹣2a}，（∁U A）∪B＝R，所以，解得a≤0；所以实数a的取值范围是（﹣∞，0]．（2）若A∩B＝B，则B⊆A，当B＝∅时，3﹣2a＜a，解得a＞1；当B≠∅时，有a≤1，要使B⊆A，则，解得；综上知，实数a的取值范围是；所以A∩B≠B时a的取值范围是的补集，为．【点评】本题考查了集合的定义与运算问题，也考查了推理与转化能力，是中档题．20．（12分）已知二次函数f（x）＝ax2+bx+c，f（0）＝1，f（1）＝0，且对任意实数x均有f（x）≥0成立．（1）求f（x）解析式；（2）若函数g（x）＝f（x）+2（1﹣m）x在[2，+∞）上的最小值为﹣7，求实数m的值．【分析】（1）利用函数值以及函数的值域，转化求解a，b，c，即可得到函数的解析式．（2）求出函数的解析式，通过函数的最小值，求解m的值即可．【解答】解：（1）二次函数f（x）＝ax2+bx+c，f（0）＝1，f（1）＝0，所以c＝1，a+b ＝﹣1，对任意实数x均有f（x）≥0成立，△＝b2﹣4a＝0，解得a＝1，b＝﹣2，所以函数的解析式为：f（x）＝x2﹣2x+1；（2）g（x）＝x2﹣2mx+1，函数的对称轴为x＝m，①当m＜2时，g（x）min＝g（2）＝5﹣4m＝﹣7，则m＝3（舍）；②当m≥2时，，得．综上，．【点评】本题考查函数的解析式的求法，二次函数的最值的求法，考查转化思想以及计算能力．21．（12分）已知定义在R上的函数f（x）对任意x1，x2∈R都有等式f（x1+x2）＝f（x1）+f（x2）﹣1成立，且当x＞0时，有f（x）＞1．（1）求证：函数f（x）在R上单调递增；（2）若f（3）＝4，关于x不等式恒成立，求t的取值范围．【分析】（1）任取x1，x2∈R，且x1＜x2，则x2﹣x1＞0，结合已知条件以及单调性的定义推出结果．（2）结合已知条件推出恒成立，利用函数的性质，转化求解即可．【解答】（1）证明：任取x1，x2∈R，且x1＜x2，则x2﹣x1＞0，∴f（x2﹣x1）＞1，f（x2）＝f（x1）+f（x2﹣x1）﹣1，∴f（x2）＞f（x1）．故函数f（x）在R上单调递增．（2）解：f（3）＝f（1）+f（2）﹣1＝f（1）﹣1+f（1）+f（1）﹣1＝3f（1）﹣2，∴f（1）＝2，原不等式等价于，故恒成立，令，，∴，y+t＞1，∴t＞1﹣y，∴t∈（﹣1，+∞）．【点评】本题考查函数的应用，不等式的证明，考查转化思想以及计算能力，是难题．22．（12分）已知函数f（x）＝|x+m|2﹣3|x|．（1）当m＝0时，求函数y＝f（x）的单调递减区间；（2）当0＜m≤1时，若对任意的x∈[m，+∞），不等式f（x﹣m﹣1）≤2f（x﹣m）恒成立，求实数m的取值范围．【分析】（1）求得m＝0时，f（x）的分段函数形式，结合二次函数的对称轴和单调性，可得所求单调递减区间；（2）由题意可得原不等式等价为x2﹣4x+6m﹣1+3|x﹣（1+m）|≥0在x∈[m，+∞）上恒成立，令g（x）＝x2﹣4x+6m﹣1+3|x﹣（1+m）|，只需g（x）min≥0即可，写出g（x）的分段函数的形式，讨论单调性可得最小值，解不等式可得所求范围．【解答】解：（1）因为m＝0，所以f（x）＝x2﹣3|x|＝，因为函数f（x）＝x2﹣3x的对称轴为，开口向上，所以当时，函数f（x）＝x2﹣3x单调递减；当时，函数f（x）＝x2﹣3x 单调递增；又函数f（x）＝x2+3x的对称轴为，开口向上，所以当时，函数f（x）＝x2+3x单调递增；当时，函数f（x）＝x2+3x 单调递减；因此，函数y＝f（x）的单调递减区间为：（﹣∞，﹣）和；（2）由题意，不等式f（x﹣m﹣1）≤2f（x﹣m）可化为（x﹣1）2﹣3|x﹣1﹣m|≤2x2﹣6|x﹣m|，即x2﹣4x+6m﹣1+3|x﹣（1+m）|≥0在x∈[m，+∞）上恒成立，令g（x）＝x2﹣4x+6m﹣1+3|x﹣（1+m）|，则只需g（x）min≥0即可；因为0＜m≤1，所以1＜m+1≤2，因此g（x）＝x2﹣4x+6m﹣1+3|x﹣（1+m）|＝，当m≤x≤m+1时，函数g（x）＝x2﹣7x+9m+2开口向上，对称轴为：，所以函数g（x）在[m，m+1]上单调递减；当x＞m+1时，函数g（x）＝x2﹣x+3m﹣4开口向上，对称轴为．所以函数g（x）在[m+1，+∞）上单调递增，因此，由g（x）min≥0得m2+4m﹣4≥0，解得或，因为0＜m≤1，所以．即实数m的取值范围为．【点评】本题考查函数的单调区间的求法，以及函数恒成立问题解法，考查转化思想和分类讨论思想、运算能力和推理能力，属于中档题．。

高一数学上学期第二次月考试题及答案

南昌二中2018-2019学年度上学期第二次考试高一数学试卷一、选择题（本大题共10小题，每小题5分，共50分）1.设集合A={第一象限的角}，B={第二象限的角}，C={正角}，则( ) A ．A B ⊆ B. B C ⊆ C ．A B =∅ D ．A B C =2. sin 3tan 4cos5⋅⋅的值( )A. 小于0B.大于0C.等于0D.不存在3. 已知t 是()2f x x =--的零点，0x t >，则0()f x 的值满足 ( )A. 0()0f x =B. 0()0f x >C. 0()0f x <D. 0()f x 的符号不确定4.设集合1{|}22xM x y ==-，{|lg }2x N x y x==-，则M N = ( ) A. (0,2) B. ∅ C. (2,)+∞ D. (0,1)(1,2) 5. 当1x ≤ 时，函数1422x x y +=-+ 的值域为( ) A. [1,)+∞ B. [2,)+∞ C. [1,2) D. [1,2]6. 函数y =的单调递增区间是( ) A.(3,)+∞B. (1,)+∞C. (,1)-∞-D. (,1)-∞7. 已知()f x 是定义在R 上的奇函数，且当0x >时，()sin lg f x x x =-，则()f x 的零点个数为 ( ) A. 7 B. 6 C. 5 D. 4 8.已知函数3cos(2)3y x π=+的定义域为[,]a b ，值域为[1,3]- ，则b a - 的值不可能是( )A.3πB.2π C. 34πD. π9.已知函数()2sin(2)6f x a x b π=++的定义域为[0,]2π，值域为 [5,1]-，则函数7()bx g x a +=在[,]b a 上， ( )A. 有最大值2B.有最小值2C.有最大值1D.有最小值110. 已知定义在R 上的函数()f x 是偶函数，对x R ∈，都有33()()22f x f x +=-，且当(0,1)x ∈时，()31xf x =-，则243(log )f 的值为 ( )A.18 B. 98C.13 D. 4311. 若角73π的终边上有一点(P a ，则实数a = 12. 一扇形的圆心角为120，面积为π，则此扇形的弧长为13.函数2()2sin(2),[0,)33f x x x ππ=--∈的值域为 14.化简：522cos()cos()sin()663x x x πππ-++--= 15.函数3sin(2)3y x π=-的图像为C ，有如下结论：①图像C 关于直线1112x π=对称；②图像C 关于点2(,0)3π对称；③函数()f x 在区间5(,)1212ππ-内是增函数；④由3sin 2y x =的图像向右平移3π个单位长度可以得到图像C.其中正确的结论序号是（写出所有正确结论的序号）三、解答题16. (本题12分)（Ⅰ）计算：2cos(870)(3--（Ⅱ）若(cos )sin19f x x =，求(1)f 的值.17. (本题12分)求函数()f x =的定义域18.(本题12分)已知函数()sin()f x A x ωϕ=+，x R ∈（其中0,0,02A πωϕ>><<）π，且图像关于直线8x π=对称.（Ⅰ）求()f x 的解析式；（Ⅱ）将函数sin y x =的图像作怎样的变换可以得到()f x 的图像？19. (本题12分)设函数()sin2f x x π= （Ⅰ）求(1)(2)(2013)f f f +++；（Ⅱ）令2()()g x f x π=，若任意,Rαβ∈，恒有()()2cossin22g g αβαβαπβ+-++=⋅，求537coscos 2424ππ⋅的值．20. (本题13分)已知函数()x f x a =的图像经过点1(2,)4,其中0a >且1a ≠ （Ⅰ）求a 的值；（Ⅱ）若函数45()a g x x =，解关于t 的不等式(21)(1)g t g t -<+21. (本题14分)已知函数21()1log ,[,16]64xf x x =+∈，令22()[()]()g x f x f x p =++，p 为常数.（Ⅰ）若()g x 的最大值为13，求p 的值；（Ⅱ）函数()g x 是否存在大于1的零点？若存在，求出实数p 的取值范围，若不存在，说明理由；（Ⅲ）设函数()g x 有两个互异的零点,αβ，求p 的取值范围，并求αβ⋅的值.18．（本题12分）19．（本题12分）20．（本题13分）21．（本题14分）南昌二中2018-2019学年度上学期第二次月考高一数学参考答案1－10 C B D D D C A D B A11. 3 12. [1,2]- 14. 0 15. ①②③16. （Ⅰ） 32π-（Ⅱ）cos 12()x x k k Z π=⇒=∈(1)sin1920f k π∴=⋅=17. (2,2)(2,2)()4664k k k k k Z ππππππππ-+-+-++∈18. （Ⅰ）())4f x x π=+（Ⅱ）（1）将sin y x =向左平移4π个单位，然后纵坐标不变，横坐标压缩到原来的12倍，最())4f x xπ=+（2）将siny x =纵坐标不变，横坐标压缩到原来的12倍，然后向左平移8π个单位，最())4f x x π=+19. （Ⅰ） 1（Ⅱ） 11511553773716464cos cos sin cos 2cos sin 24242424222ππππππππ+-⋅=⋅=⋅⋅ 11151119[()()](sin sin )264264gg πππππ=++=+ 11(22=-=20. （Ⅰ）12（Ⅱ）25()g x x =其为定义在R 上的偶函数，在(,0)-∞上递减，在(0,)+∞上递增，所以(21)(1)|21||1|g t g t t t -<+⇔-<+22|21||1|t t ⇔-<+02t ⇒<<21. （Ⅰ）222222()[()]()(1log )1log g x f x f x p x x p =++=++++222(log )4log 2x x p =+++令2log t x = 1[,16]64x ∈ [6,4]t ∴∈- 则2()()42g x h t t t p ==+++ 当4t =时，取得最大值，所以341321p p +=⇒=- （Ⅱ）由（Ⅰ）知，若()g x 存在大于1的零点，即()h t 在(0,4]t ∈时有零点 ()h t 表示的二次函数开口向上，对称轴为02t =-，所以若()h t 在(0,4]t ∈时有零点，即(0)0h <，且(4)0h ≥20340p p +<⎧⇒⎨+≥⎩342p ⇒-≤<- 即p 的取值范围为[34,2)--（Ⅲ）由（Ⅰ）知，若()g x 有两个相异的零点，即()h t 在[6,4]t ∈-时有两个相异零点()h t 表示的二次函数开口向上，对称轴为02t =-(2)020142(6)0140h p p h p -<-<⎧⎧∴⇒⇒-≤<⎨⎨-≥+≥⎩⎩即p 的取值范围为[14,2)-此时，方程2()420h t t t p =+++=的两根124t t +=-即2221log log 4log 416αβαβαβ+=-⇒=-⇒=。

江西省南昌市第二中学2023-2024学年高一下学期月考(一)数学试题

江西省南昌市第二中学2023-2024学年高一下学期月考（一）数学试题学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、单选题1．10πsin 3⎛⎫-= ⎪⎝⎭（）AB．C ．12D ．12-2．已知()π,2πα∈，tan 2α=，则2sin cos αα-=（） AB．CD ．03．已知1611sin ,tan ,log 244a b c ===，则（）A ．a b c <<B ．b a c <<C ．c<a<bD ．a c b <<4．折扇在我国已有三千多年的历史，“扇”与“善”谐音，折扇也寓意“善良”“善行”.它常以字画的形式体现我国的传统文化，也是运筹帷幄､决胜千里､大智大勇的象征（如图1），图2为其结构简化图，设扇面A ，B 间的圆弧长为l ，A ，B 间的弦长为d ，圆弧所对的圆心角为θ（θ为弧度角），则l ､d 和θ所满足的恒等关系为（）A ．2sin2d lθθ= B ．sin2d lθθ=C ．2cos2d lθθ=D ．cos2d lθθ=5．已知a β、都是锐角，且cos a =，cos β=a β+=（） A ．4πB ．34πC ．4π或34πD ．3π或23π6．设5π7π22α<<，且sin cos 22αα-=πtan 24α⎛⎫+= ⎪⎝⎭（）A ．13 B ．3 C ．13- D ．-37．已知π0,||2ωϕ>≤，在函数()sin()f x x ωϕ=+和()cos()ωϕ=+g x x 的图象的交点中，相邻两个交点的横坐标之差的绝对值为π2，且()f x 的图象关于点π,06⎛⎫- ⎪⎝⎭对称，则π12g ⎛⎫ ⎪⎝⎭的值为（）A ．1BC ．12D ．08．函数ππ()(2π)cos sin ,(2π,3π)22f x x x x x ⎛⎫⎛⎫=----∈- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭的所有零点之和为（）A ．0B ．5π2 C ．7π2D ．7π二、多选题9）A ︒︒B ．2cos 15sin15cos75︒︒︒-C ．2tan 301tan 30︒︒-D ()1︒︒+10．已知函数π()2cos 26f x x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，则下列说法正确的是（）A ．()f x 的最小正周期为πB ．()f x 的图象的一个对称中心是π,012⎛⎫⎪⎝⎭C ．()f x 的图象关于直线11π12x =-对称D ．()f x 在区间π2π,33⎛⎫⎪⎝⎭上单调递减11．主动降噪耳机让我们在嘈杂的环境中享受一丝宁静，它的工作原理是：先通过微型麦克风采集周围的噪声，然后降噪芯片生成与振幅相同的反相位声波来抵消噪声，已知某噪声的声波曲线2ππ()2sin ||32f x x ϕϕ⎛⎫⎛⎫=+<⎪⎪⎝⎭⎝⎭，且经过点(1,2)，则下列说法正确的是（）A ．函数14f x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭是奇函数B ．函数()f x 在区间(1,2)上单调递减C ．N n *∃∈，使得(1)(2)(3)()2f f f f n ++++>LD ．R,(1)(2)(3)x f x f x f x ∀∈+++++的值为定值三、填空题12．sin15sin 75cos15cos75︒︒︒︒+=+.13．已知函数π()cos (0π)2f x x ϕϕ⎛⎫=+<< ⎪⎝⎭，且()()f x f x -=-，则()()()12...2026f f f +++=.14．已知函数()()sin 2f x x ϕ=+，其中ϕ为实数，且π<ϕ，若()π6f x f ⎛⎫≤ ⎪⎝⎭对x ∈R 恒成立，且()ππ2f f ⎛⎫> ⎪⎝⎭，则()f x 的单调递增区间为.四、解答题15．已知3sin()cos cos()sin 5αβααβα---=，且α是第三象限角. (1)求tan 2β的值；(2)求πcos 2cos(π)2πsin(π)sin 2ββββ⎛⎫-++ ⎪⎝⎭⎛⎫--+ ⎪⎝⎭的值.16．已知函数()4sin cos 2cos(2)6f x x x x ππ⎛⎫=⋅+++ ⎪⎝⎭.(1)求()f x 的最小正周期和单调增区间；(2)若00113,,654f x x πππ⎛⎫⎡⎤-=-∈ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦，求0sin 24x π⎛⎫- ⎪⎝⎭的值.17．已知函数()sin cos ()f x x x x =+∈R . (1)求函数π()4y f x f x ⎛⎫=⋅- ⎪⎝⎭在π0,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦的值域；(2)将函数()f x 的图象上的每个点的横坐标都变为原来的1(0)ωω>倍，纵坐标不变，得到函数()h x 的图象，若函数()h x 在π,π2⎛⎫⎪⎝⎭上没有最值，求ω的最大值.18．函数π()sin()0,0,2f x A x A ωϕωϕ⎛⎫=+>>< ⎪⎝⎭的部分图象如图所示.(1)求函数()f x 的解析式；(2)函数111π2π(),,263h x f x x ⎛⎫⎡⎫=∈-⎪⎪⎢⎝⎭⎣⎭的图象与直线43y =恰有三个公共点，记三个公共点的横坐标分别为123,,x x x 且123x x x <<，求()123cos 2x x x ++的值；(3)函数π()4g x f x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，若对于任意12,[0,]x x t ∈，当12x x <时，都有()()()()1212f x f x g x g x -<-成立，求实数t 的最大值.19．如图，学校新校区有两块空闲的扇形绿化草地AOB (圆心角为π3)和COD (圆心角为π2)，BD 为圆的直径.在劣弧AB 和劣弧CD 上分别取点P 和点F ，且PF 为圆的直径，分别设计出两块社团活动区域，其中一块为矩形区域OEFG ，另一块为矩形区域MNPQ ，已知圆的直径50PF =米，点Q 在OA 上、点G 在OC 上、点M 和N 在OB 上、点E 在OD 上.(1)经设计，当583PF EOPN-达到最小值时，取得最佳观赏效果.请给出最佳观赏效果的设计方案(2)学校本周将在矩形区域OEFG 进行社团活动展示，现需要在矩形区域内铺满地垫，并在矩形区域四周放置围栏.铺设的地垫每平方米20元，围栏每米10元，则场地布置的费用最高不超过多少元( 1.41=)。

江西省南昌市第二中学高一数学上学期第一次月考试题

南昌二中2016—2017学年度上学期第一次月考高一数学试卷一、选择题（每小题5分，共60分。

）1．已知集合}01|{2=-=x x A ，则下列式子表示不正确的是（） A ．A ∈1 B ．A ∈-}1{C ．A ⊆φD ．A ⊆-}1,1{2．集合{}{}02|,1|2≤--=-==x x x B x y y A ，则=B A I （） A ．[)∞+，2 B ．[]0,1C ．[]2,1D ．[]2,03．下列各组函数)()(x g x f 与的图象相同的是（）A ．2)()(,)(x x g x x f == B ．24()2x f x x -=-与g （x ）=x+2C ．0)(,1)(x x g x f == D ．⎩⎨⎧-==xx x g x x f )(|,|)( )0()0(<≥x x 4．已知映射()():,2,2f x y x y x y →+-，在映射f 下()3,1-的原象是（） A. ()3,1- B. ()1,1 C. ()1,5 D. ()5,7-5．若函数()y f x =的定义域是[0,2]，则函数(2)()1f xg x x =-的定义域是（） A ．[0,1] B ．[0,1)C ．[0,1)(1,4]UD ．(0,1)6．已知2211)11(x x x x f +-=+-，则)(x f 的解析式可取为（） A ．21x x + B ．212x x +- C ．212xx+ D ．21xx+-7．设函数()220,,0,x x x f x x x ⎧+≤⎪=⎨->⎪⎩，若()()2f f t ≤，则实数t 的取值范围是A.(.2⎤-∞⎦B.)2.⎡+∞⎣C.(].2-∞-D.[)2.-+∞8．函数()R x x x x f ∈++=45)(22的最小值为（）A.2B.3C.22D.2.59．幂函数8622)44()(+-+-=m mx m m x f 在()+∞,0为减函数，则m 的值为（）A ．1 或3B ．1C ．3D ．210．已知函数432--=x x y 的定义域是[]m ,0，值域为⎥⎦⎤⎢⎣⎡--4,425，则m 的取值范围是（） A. (]4,0 B. ⎥⎦⎤⎢⎣⎡4,23C. ⎥⎦⎤⎢⎣⎡3,23 D. ⎪⎭⎫⎢⎣⎡+∞,2311．设函数()()⎩⎨⎧<+≥+-=043066)(2x x x x x x f ，若互不相等的实数1x ，2x ，3x 满足)()()(321x f x f x f ==，则1x +2x +3x 的取值范围是（）A ．（320，326] B ．（320，326） C ．（311，6] D ．（311，6） 12．设()f x 满足(-)=()f x f x -，且在[1,1]-上是增函数，且(1)1f -=-，若函数2()21f x t at ≤-+对所有的[1,1]x ∈-都成立，当[1,1]a ∈-时，则t 的取值范围是（）A ．1122t -≤≤ B ．22t -≤≤ C ．12t ≥或12t ≤-或0t =D ．2t ≥或2t ≤-或0t =二、填空题（每小题5分，共20分。

江西省南昌二中2021-2022学年高一上学期第一次月考数学试卷 Word版含解析

南昌二中2021—2022学年度上学期第一次月考高一数学试卷命题人：孙涛审题人：曹开文一、选择题（每小题5分，共60分。

）1．下列给出的命题正确的是（）A.高中数学课本中的难题可以构成集合B.有理数集Q 是最大的数集C.空集是任何非空集合的真子集D.自然数集N 中最小的数是1 2．已知集合},02|{R x x xx M ∈≥-=，},12|{R x y y N x ∈+==，则=)(N M C R （） A.]2,0[ B. ]2,0( C.)2,(-∞ D. ]2,(-∞ 3.下面各组函数中表示同一函数的是（）A ．35x y -= 与 x x y 5-=B ．122++=x x y 与 12y 2++=t t C ．2)3(x y = 与 x y 3= D ．22-•+=x x y 与 ()()22-+=x x y4．函数()0212)(++++=x x x x f 的定义域为（） A.(-1，+∞) B.（-2，-1) ∪(-1，+∞) C.[-1，+∞) D.[-2，-1）∪(-1，+∞) 5.在映射中N M f →:,(){}R y x y x y x M ∈>=,,,其中,(){}R y x y x N ∈=,,;）对应到中的元素（y x M ,）中的元素（y x xy N +,，则N 中元素（4,5）的原像为（）A.（4,1）B.（20，1）C.（7,1）D.（1,4）或（4,1） 6.幂函数()132296m )(+-+-=m m x m x f ()∞+，在0上单调递增，则m 的值为（）A. 2B. 3C. 4D. 2或47.函数()[]⎩⎨⎧<+≥-=10,6,10,2)(x x F F x x x F ，则()5F 的值为（）A.10B. 11C. 12D. 138．假如2()(1)1f x mx m x =+-+在区间]1,(-∞上为减函数，则m 的取值范围（）A ．⎪⎭⎫⎢⎣⎡31,0B ．⎥⎦⎤ ⎝⎛31,0 C ．⎪⎭⎫ ⎝⎛31,0 D.10,3⎡⎤⎢⎥⎣⎦9．已知)(x f 的图像关于y 轴对称，且在区间(]0-，∞单调递减，则满足)21()13(f x f <+的实数x 的取值范围是（）A. [-，21-61） B.（-，21-61）C. [-，31-61）D. (-，31-61） 10．已知函数()()()25,1,1x ax x f x a x x⎧---≤⎪=⎨>⎪⎩是R 上的增函数，则a 的取值范围是（）A ．30a -≤<B ．2a ≤-C ．32a -≤≤-D ．0a <11．已知函数()()()21,143,1x x f x x x x ⎧-≤⎪=⎨-+>⎪⎩．若()()0≥m f f ，则实数m 的取值范围是（） A ．[]2,2-B ．[)2,24,⎡-++∞⎣C ．2,2⎡-⎣D ．[][)2,24,-+∞12．若函数)(x f 满足对任意的)](,[m n m n x <∈，都有km x f kn≤≤)( 成立，则称函数)(x f 在区间)](,[m n m n <上是“被K 约束的”。

2019-2020学年江西省南昌二中高一（上）第一次月考数学试卷（含答案解析）

2019-2020学年江西省南昌二中高一（上）第一次月考数学试卷（含答案解析）2019-2020学年江西省南昌二中高一（上）第一次月考数学试卷一、选择题（本大题共12小题，共60.0分）1. 集合A ={x|x 2?5x +6≥0}，B ={x|2x ?1>0}，则A ∩B =( )A. (?∞,2] ∪[3,+∞)B. (12,3)C. (12,3]D. (12,2] ∪[3,+∞)2. 已知集合A ={x|x +a >0}，B =[?1,1]，且B ?A ，则( )A. a >?1B. aC. a >1D. a <1 3. 若函数f(x)的定义域是[?1,4]，则y =f(2x ?1)的定义域是( )A. [0,52]B. [?1,4]C. [?5,5]D. [?3,7]4. 已知函数f(x)={0,x <0π,x =0x +1,x >0，则f{f[f(?1)]}=( )A. 0B. 1C. π+1D. π 5. 已知(x,y)在映射f 的作用下的象是(x +y,x ?y)，则在该映射作用下，(1,2)的原象是( )．A. (1,2)B. (3,?1)C. (，)D. (，)，6. 函数f(x)=√x +3的值域为( )A. [3,+∞)B. (?∞,3]C. [0,+∞)D. R7. 定义A—B ={x|x ∈A 且x ?B}，若A ={1,3，5，7，9}，B ={2,3，5}，则A—B 等于( )A. AB. BC. {2}D. {1,7，9} 8. 已知f(x +1)=x 2?2x +2，则f(1)=( )A. 2B. 1C. 0D. ?29. 若△ABC 的三边长为a ，b ，c ，且f(x)=b 2x 2+(b 2+c 2?a2)x +c 2,则f(x)的图象是( )A. 在x 轴的上方B. 在x 轴的下方C. 与x 轴相切D. 与x 轴交于两点10. 已知集合M ={a,b ，c ，d}，N ={?2,0，1}，若f 是从M 到N 的映射，且f(a)=0，f(b)=?2，则这样的映射f 共有( ) A. 4 B. 6 C. 9 D. 以上都不对 11. 若函数f(x)=x 2+ax +1在(?1,+∞)上单调递增，则实数a 的取值范围为( )A. a ≥?2B. a ≤?2C. a ≥2D. a ≤2 12. 已知函数f(x)=lnx +1lnx ，则下列结论正确的是( )A. x 1,x 2(x 1<="" 2)是f(x)的极值点，则f(x)在区间(x="" bdsfid="156" p="">B. 若x 1,x 2(x 1<="" 2)是f(x)的极值点，则f(x)在区间(x="" bdsfid="158" p="">C. ?x >0，且x ≠1,f(x)≥2D. ?x 0>0,f(x)在(x 0,+∞)上是增函数二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）13. 判断函数y =|x ?1|+|2x +4|的单调性是__________．14. 已知函数y =√x 2+2ax +1的定义域为R ，则实数a 的取值范围是______ ． 15. 已知函数f (x )=xx+1+x+1x+2+x+2x+3+x+3x+4，则f (?5)+f (0)=______________．16. 函数f (x )的定义域是[0,3]，则f (2x ?1)的定义域是__________．三、解答题（本大题共6小题，共70.0分）17. 已知全集U ={x|?1≤x ≤4}，集合A ={x|x 2?1≤0}，B ={x|0<="">A ∪B ，?U A ，(?U B)∩A ．18. 已知二次函数f (x )=x 2+bx +c ，且?1，3为方程f (x )=2的两根．(1)求二次函数f (x )的解析式；(2)若x ∈[t,t +1]，求f (x )的最小值． 19. 已知f(x)={(x ?a)2,x ≤0x +1x+a +4,x >0(Ⅰ)试判断y =f(x)在[1,+∞)的单调性，并用定义证明；(Ⅱ)求y =f(x)的最小值20. 已知函数f(x)={(12)x?1,x >1x 2,x ≤1．(Ⅰ)画出函数f(x)的图象；(Ⅱ)若f(x)>14，求出x 的取值范围．21.已知函数f(x)满足对一切x1，x2∈R都有f(x1+x2)=f(x1)+f(x2)?4，且f(2)=0，当x>2时有f(x)<0．(1)求f(?2)的值；(2)判断并证明函数f(x)在R上的单调性．22.二次函数f(x)满足f(x+1)?f(x)=2x，且f(0)=1．(1)求f(x)的解析式；(2)若在区间[t,t+2]上，不等式f(x)>2x+m恒成立，求实数m的取值范围．-------- 答案与解析 --------1.答案：D解析：解：集合A ={x|x 2?5x +6≥0}={x|x ≤2或x ≥3}，B ={x|2x ?1>0}={x|x >12}，则A ∩B ={x|122,2]∪[3,+∞)．故选：D ．解不等式得集合A 、B ，根据交集的定义写出A ∩B ．本题考查了交集及其运算，是基础题． 2.答案：C解析：【分析】本题主要考查集合与集合的关系，子集与真子集问题，属于基础题．【解答】解：A ={x|x +a >0}={x|x >?a}，因为B ?A ，所以?a 1．故选C ． 3.答案：A解析：∵函数f(x)的定义域是[?1,4]，∴函数y =f(2x ?1)的定义域满足?1≤2x ?1≤4，∴0≤x ≤52，∴y =f(2x ?1)的定义域是[0,52]．4.答案：C解析：解：由f(x)解析式可得，f(?1)=0，f(0)=π，f(π)=π+1，所以f{f[f(?1)]}=f{f[0]}=f{π}=π+1．故C ．根据分段函数式，由内层向外层逐个求解即可．本题考查分段函数求值问题，属基础题，按自变量的范围把自变量值代入相应“段”内求出即可． 5.答案：C解析：【分析】本题考查了映射的概念，训练了二元一次方程组的解法，是基础的计算题．直接由{x +y =1x ?y =2求解x ，y 的值即可得到答案．【解答】解：由{x +y =1x ?y =2，解得x =32，y =?12．∴象(1,2)的原象是(32,?12). 故选C ．6.答案：A解析：【分析】本题考查了函数定义域与值域，函数的单调性，属于基础题．由题意，可得函数f(x)的定义域为[0,+∞)，可得函数f(x)在[0,+∞)上为增函数，即可求出值域．【解答】解：由题意，函数f(x)的定义域为[0,+∞)，函数f(x)=√x +3在[0,+∞)上为增函数，∴f(x)≥f(0)=3，∴函数f(x)=√x +3的值域为[3,+∞)．故选A ． 7.答案：D解析：【分析】本题考查了集合的新定义问题，是一道创新题，属于基础题．理解新的运算，根据新定义A—B 可知，新的集合A—B 是由所有属于A 但不属于B 的元素组成．【解答】解：∵A—B ={x|x ∈A 且x ?B}， A ={1,3，5，7，9}，B ={2,3，5}，则A—B ={1,7，9}. 故选D ． 8.答案：A解析：【分析】本题考查了根据函数的解析式求值，属于基础题.由题意得f(1)=f(0+1)，代入即可求解．【解答】解：因为f(x +1)=x 2?2x +2，所以f(1)=f(0+1)=0?0+2=2，故选A ． 9.答案：A解析：【分析】本题主要考查二次函数的图像和性质，属于基础题．【解答】解：Δ=(b2+c2?a2)2?4b2c2=(b2+c2?a2+2bc)(b2+c2?a2?2bc)=(b+c+ a)(b+c?a)(b?c+a)(b?c?a)因为a、b、c，为△ABC的三边，所以b+c+a>0,b+c?a>0,b?c+a>0,b?c?a<0所以Δ<0所以f(x)的图像与x轴没有交点，又因为二次函数的系数b2>0所以抛物线开口向上，且与x轴没有交点，所以f(x)的图像在x轴的上方，故选A．10.答案：C解析：解答：若f是从M到N的映射，且f(a)=0，f(b)=?2，则集合M中元素c在集合N中的象有三种情况；集合M中元素d在集合N中的象也有三种情况；故这样的映射f共有3×3=9种情况.故选C．11.答案：C解析：解：根据题意，函数f(x)=x2+ax+1为二次函数，其对称轴为x=?a2，若f(x)在(?1,+∞)上单调递增，必有?a2≤?1，解可得a≥2；故选：C．根据题意，求出f(x)的对称轴，分析可得?a2≤?1，解可得a的取值范围，即可得答案．本题考查二次函数的性质，注意分析二次函数的对称轴，属于基础题．12.答案：D解析：【分析】本题考查命题的真假判断，考查导数知识的运用，正确求导是关键．求导数，可得(1e,e)上函数单调递减，(0,1e)，(e,+∞)上函数单调递增，即可判断．【解答】解：∵f(x)=lnx+1lnx(x>0且x≠1)，∴f′(x)=1x ?1x(lnx)2=0，∴x=e，或x=1e，当x∈(0,1e)时，f′(x)>0；当x∈(1e,1)，x∈(1,e)时，f′(x)<0；当x∈(e,+∞)时，f′(x)>0．故x=1e和x=e分别是函数f(x)的极大值点和极小值点，而函数f(x)在(1e,e)上单调递减，故A、B错误；当0<x<1时，lnx<0，f(x)<0，不满足不等式，故c错误；只要x0≥e，f(x)在(x0,+∞)上时增函数，故d正确．< bdsfid="308" p=""></x<1时，lnx<0，f(x)<0，不满足不等式，故c错误；只要x0≥e，f(x)在(x0,+∞)上时增函数，故d正确．<>故选D．13.答案：函数在[?2,+∞)上是增函数，在(?∞,?2]上是减函数解析：y=|x?1|+|2x+4|={3x+3,x>1x+5,?2≤x≤13x?3,x<2，由函数的图象可知，函数在[?2,+∞)上是增函数，在(?∞,?2]上是减函数．14.答案：[?1,1]解析：解：∵函数y=√x2+2ax+1的定义域为R，故△=4a2?4≤0，解得：?1≤a≤1，故答案为：[?1,1]．根据二次根式的性质以及二次函数的性质，得到关于a的不等式，解出即可．本题考查了求函数的定义域问题，考查二次函数的性质，是一道基础题．15.答案：8解析：【分析】本题考查函数的解析式及函数的值，根据题意可得f(0)=01+12+23+34,f(?5)=?55+1+?5+15+2+5+2?5+3+?5+35+4=54+43+32+2，进而即可求得结果．【解答】解：f(0)=01+12+23+34,f(?5)=?55+1+?5+15+2+?5+25+3+?5+35+4=54+43+32+2，因此f(?5)+f(0)=8．故答案为8．16.答案：[12,2]解析：因为函数f(x)的定义域是[0,3]，所以令，所以12≤x≤2，所以f(2x?1)的定义域是[12,2]．17.答案：解：由得，?1≤x≤1，则集合A={x|?1≤x≤1}，又B={x|0<x≤3}，< bdsfid="380" p=""></x≤3}，<>(1)A∩B={x|0<x≤1}；< bdsfid="382" p=""></x≤1}；<>(2)A∪B={x|?1≤x≤3}；(3)因为全集U={x|?1≤x≤4}，所以?U A={x|1<x≤4}；< bdsfid="385" p=""></x≤4}；<>(4)因为全集U={x|?1≤x≤4}，所以?U B={x|?1≤x≤0或3<x≤4}，< bdsfid="387" p=""></x≤4}，<>所以(?U B)∩A={x|?1≤x≤0}．解析：本题考查了交、并、补集的混合运算，属于基础题．先由x2?1≤0求出集合A，由交集运算求出A∩B；由并集运算求出A∪B；由补集运算求出?U A；由补集、交集运算分别求出?U A、(?U B)∩A18.答案：解：(1)由f(x)=2，得x2+bx+c?2=0，因为?1，3为方程的两根，则有?1+3=?b，?1×3=c?2，解得，b=?2，c=?1．所以，二次函数f(x)的解析式为，f(x)=x2?2x?1；(2)由(1)知：f(x)=x2?2x?1=(x?1)2?2，其对称轴x=1，∵x∈[t,t+1]，①当t+1≤1，t≤0时，f(x)在x∈[t,t+1]上是单减，∴f(x)的最小值g(t)=t2?2；②当t≤1<t+1，0<t≤1时，< bdsfid="403" p=""></t+1，0<t≤1时，<>则当x=1时，f(x)取得最小值g(t)=?2；③当t>1时，f(x)在x∈[t,t+1]上是单增，∴f(x)的最小值g(t)=t2?2t?1．解析：本题考查二次函数闭区间上的最值的求法，二次函数的解析式的求法，考查函数的基本知识的应用．(1)由?1，3是方程f(x)=2的两根，利用根与系数关系，可求出b，c，即可求解函数f(x)的解析式；(2)求出函数的对称轴方程，利用对称轴在[t,t+1]内以及区间外，分别求出函数的最小值，即可求函数f(x)的最小值．19.答案：解：(1)证明判断y=f(x)在[1,+∞)的单调性令x1>x2则f(x1)?f(x2)=x1+1x1+a+4?(x2+1x2+a+4)=(x1?x2)+(1x11x2)=(x1?x2)+x2?x1x1x2=(x1?x2)(1?1x1x2)．∵x∈[1,+∞),且x 1>x 2，知(x 1?x 2)(1?1x1x 2)>0，∴y =f(x)在[1,+∞)的单调递增；(2)当a <0时，在(?∞,0] f min =f(?a)，在(0,1)上，f min =f(1)，当a =0时；在(?∞,0]，f min =f(0)=0，在(0,1)上，f min =f(1)=6，当a >0时，在(?∞,0]=f(0)=a 2，在(0,1)上，f min =f(1)=a +6，根据题意，a 2≤a +6，解得?2≤a ≤3，综上所述．解析：本题主要考查了分段函数单调性和求最值问题．(1)判断y =f(x)在[1,+∞)的单调性，只需判断x +1x +a +4的单调性即可； (2)根据题意分类求解即可．20.答案：(1)作函数f(x)的图象如下，(2)解集为{x|x <12或12<3}．<="" bdsfid="447" p="">解析：(1)作函数f(x)的图象如下，(2)令f(x)=14，解得：x =±12或x =3；结合图象可知，f(x)>14的解集为{x|x2<3}．<="" bdsfid="455" p="">21.答案：解：(1)根据题意，在f(x 1+x 2)=f(x 1)+f(x 2)?4中，令x 1=x 2=0可得：f(0)=2f(0)?4，则f(0)=4，再令x 1=?2，x 2=2可得：f(0)=f(2)+f(?2)?4，则f(?2)=f(0)?f(2)+4=8，则f(?2)=8，(2)f(x)在R 上单调递减，证明：设02，则有f(x +2)=f(x)+f(2)?4=f(x)?4<0 则0<2时，f(x)<4，<="" bdsfid="462" p="">又∵当x >2时有f(x)<0，f(1)=0 综合可得x >0时，f(x)<4，设?x 10则f(x 1)?f(x 2)=f(x 1)?f(x 1+t)=f(x 1)?f(x 1)?f(t)+4=4?f(t) ∵t >0，∴f(t)<4，∴4?f(t)>0∴f(x 1)>f(x 2)∴函数f(x)在R 上为单调递减函数．解析：(1)利用赋值法，先令x 1=x 2=0，代入恒等式可得f(0)=2f(0)?4，求求得f(0)，再令x 1=1，x 2=?1，代入可得f(0)=f(2)+f(?2)?4，计算即可得答案；(2)先利用赋值法证明x >0时，f(x)<4，只需证明0<1时，f(x)<4，再利用函数单调性定义证明函数f(x)的单调性．<="" bdsfid="471" p="">本题考查抽象函数的应用，关键是根据题意所给的关系式，利用赋值法求出要求的值或利用定义函数的单调性．22.答案：解：(1)设f(x)=ax 2+bx +c ，由f(0)=1得c =1，故f(x)=ax 2+bx +1，∵f(x +1)?f(x)=2x ，∴a(x +1)2+b(x +1)+1?(ax 2+bx +1)=2x ．即2ax +a +b =2x ，即有2a =2，a +b =0，解得a =1，b =?1，∴f(x)=x2?x+1；(2)由题意得x2?x+1>2x+m在[?1,1]上恒成立．即x2?3x+1?m>0在[t,t+2]上恒成立．设g(x)=x2?3x+1?m，其图象的对称轴为直线x=32，①当t>1.5时，g(x)在[t,t+2]递增，可得最小值为g(t)=t2?3t+1?m>0，此时，m<t2?3t+1；< bdsfid="483" p=""></t2?3t+1；<>②当?12≤t≤32时，g(x)最小值为g(1.5)=?m?54>0，此时，m4；③当t2时，g(x)在[1,2]递减，可得g(x)最小值为g(t+2)=t2+t?1?m>0，此时m<t2+t?1．< bdsfid="498" p=""></t2+t?1．<>解析：本小题主要考查二次函数的解析式的求法，注意运用待定系数法，考查单调性的应用、二次函数的性质等基础知识，考查运算求解能力、化归与转化思想．属于中档题．(1)利用待定系数法求解．由二次函数可设f(x)=ax2+bx+c，由f(0)=1得c值，由f(x+1)?f(x)=2x可得a，b的值，从而问题解决；(2)由题意得x2?x+1>2x+m在[?1,1]上恒成立．即x2?3x+1?m>0在[t,t+2]上恒成立．设g(x)=x2?3x+1?m，其图象的对称轴为直线x=32，讨论区间与对称轴的关系，运用单调性，可得最小值，解不等式即可得到m的范围．。

2023-2024学年江西省南昌市高一下学期第二次月考数学模拟卷(含解析)

2023-2024学年江西省南昌市高一下册第二次月考数学模拟卷一、单项选择题（共8小题，每小题5分，共40分.每小题只有一个选项符合题意）1.若cosα3=且π,02α⎛⎫∈-⎪⎝⎭，则sinα=（）A. B.23- C.13- D.23±【正确答案】B【分析】根据同角三角函数的基本关系计算可得.【详解】cosα=π,02α⎛⎫∈-⎪⎝⎭，2sin3α∴=-.故选：B．2.下列函数中，对于任意x∈R，同时满足条件()()=f x f x-和()()πf x f x+=的函数是（）A.()sinf x x= B.()sin cosf x x x=⋅C.()cosf x x= D.()22cos sinf x x x=-【正确答案】D【分析】根据给定条件，确定函数()f x的性质，再逐项分析判断作答.【详解】由()()f x f x=-可得()f x是偶函数，由()()πf x f x+=可得()f x是周期为π的周期函数.对于A，()sinf x x=是奇函数，A不符合题意；对于B，1()sin cos sin22f x x x x==是奇函数，B不符合题意；对于C，()cosf x x=是偶函数，周期是2π，C不符合题意；对于D，22()cos sin cos2f x x x x=-=是偶函数，周期为π，D符合题意.故选：D.3.已知ABC的内角,,A B C的对边分别为,,a b c.若ABC的面积为)2224a b c--，则角A=（）A.6πB.3π C.23π D.56π【正确答案】C【分析】利用面积公式和余弦定理可求A .【详解】由余弦定理可得2222cos a b c bc A =+-，而三角形面积为1sin 2bc A ，故)22222c 1s 42os in b b c c c A A b bc +---=，整理得到tan A =，而A 为三角形内角，故23A π=.故选：C.4.若将函数()2sin f x x =的图像先向左平移π6个单位长度，再保持纵坐标不变，并将图像上所有点的横坐标缩短到原来的12倍，得到函数()g x 的图象，则函数()y g x =图像的对称中心可能是（）A.π,012⎛⎫-⎪⎝⎭B.π,06⎛⎫-⎪⎝⎭C.π,03⎛⎫⎪⎝⎭D.π,06⎛⎫⎪⎝⎭【正确答案】A【分析】首先根据三角函数的变换规则求出()g x 的解析式，再根据正弦函数的性质计算可得.【详解】将函数()2sin f x x =的图像先向左平移π6个单位长度得到π2sin 6y x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，再将π2sin 6y x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭保持纵坐标不变，图像上所有点的横坐标缩短到原来的12倍，得到()2sin 2π6g x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，令π2π6x k +=，Z k ∈，解得ππ122k x =-+，Z k ∈，所以函数的对称中心为ππ,0122k ⎛⎫-+ ⎪⎝⎭，Z k ∈，故符合题意的有π,012⎛⎫- ⎪⎝⎭.故选：A5.一艘海轮从A 处出发，以每小时40海里的速度沿南偏东40︒方向直线航行，30分钟后到达B 处．在C 处有一座灯塔，海轮在A 处观察灯塔，其方向是南偏东70︒，在B 处观察灯塔，其方向是北偏东65︒，那么B 、C 两点间的距离是（）A.海里 B.海里C. D.【正确答案】A【分析】如图，由题意可得20AB =海里、45ACB ︒∠=，结合正弦定理计算即可求解.【详解】如图，由题意得，130,105,40202BAC ABC AB ︒︒∠=∠==⨯=海里，得45ACB ︒∠=，在ABC 中，由正弦定理，得sin 30sin 45AB BC ︒︒=⨯=海里.故选：A.6.锐角ABC 的外接圆圆心为О，半径为2，π6ACB ∠=，则AO AB ⋅= （）A.1B.C.2D.【正确答案】C【分析】现根据正弦定理求得2AB =，进而结合外心的性质求解即可.【详解】由正弦定理得，12sin 2222AB R ACB =⋅∠=⨯⨯= ，设AB 中点为D ，连接OD ，OA ，OB ，因为点O 为锐角ABC 的外接圆圆心，所以OA OB =，即OD AB ⊥，所以21cos 22AO AB AO AB BAO AB AD AB ⋅=⋅⋅∠=⋅== .故选：C.7.如图，在ABC 中，12BM BC = ，23NC AC =，直线AM 交BN 于点Q ，则（）A.1233=+ BN BA BC B.AQ QM=C.3BQ QN=D.0QA QB QC ++= 【正确答案】BC【分析】根据共线向量的性质，结合三点共线定理逐一判断即可.【详解】对于A ，因为23NC AC = ，所以2NC AN =，则2133BN BA BC =+ ，故A 错误；对于B 和C ，因为A ，M ，Q 三点共线，由共线定理可知，存在实数λ，使得()()112BQ BM BA BA λλλλ=+-=+- ，设BQ BN μ=，所以()21233BC BA BC BA λμμλ+-=+，所以,2321,3λμμλ⎧=⎪⎪⎨⎪-=⎪⎩解得1,23,4λμ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，()1111122222BQ BM B AQ AM AQ A A B A M A BA B ⇒++=++⇒== ，显然AQ QM =成立，因为34BQ BN = ，所以3BQ QN = ，故B ，C 正确；对于D ，因为12BM BC = ，所以M 是BC 的中点，因此2QB QC QM +=，由上可知AQ QM QA QM =⇒=-，2QA QB QC QA QM ++=+ 0QM =≠，故D 错误．故选：BC8.设向量,a b满足1a b a b ==+= ，则()a tb t R -∈ 的最小值为（）A.2B.12C.1D.2【正确答案】A 【分析】根据1a b a b ==+= ，由21a b += 得到12a b ⋅=- ，然后由22222a tb a ta b t b -=-⋅+ ，再结合二次函数的性质求解.【详解】因为1a b a b ==+=，所以21a b += ，即2221a a b b +⋅+= ，即12a b ⋅=- ，所以222223214a tb a ta b t b t t -=-⋅+=++≥ ，所以()a tb t R -∈ 的最小值为2.故选：A本题主要考查平面向量的数量积运算以及模的最值的求法，属于基础题.二、多选题（共4小题，每小题5分，共20分）9.已知平面向量()1,2a =-r，()4,b y = ，则正确的有（）A.若//a b，则8y =-B.若a b ⊥，则a 在a b + 方向上的投影向量是()1,0C.若a 与a b + 的夹角为锐角，则y 的取值范围为9,2⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭D.若a，b的夹角为120︒，则3y =【正确答案】AB【分析】对于A ：根据向量共线的坐标表示得到方程，解得即可；对于B ：根据向量垂直的坐标表示求出y ，再根据投影向量的定义计算可得；对于C ：依题意可得()0a a b ⋅+> 且a 与a b +不同向，即可得到不等式组，解得即可；对于D ：根据夹角公式得到方程，代入检验即可；【详解】解：因为()1,2a =-r，()4,b y = ，对于A ：若//a b r r，则124y ⨯=-⨯，解得8y =-，故A 正确；对于B ：若a b ⊥，则()1420a b y ⋅=⨯+-⨯= ，解得2y =，所以()4,2b = ，所以()5,0a b += ，所以()5a a b ⋅+= ，5a b += ，所以a 在a b +方向上的投影向量是()()()()1515,01,055a a b a b a b a b⋅+⋅+=⨯=++ ，故B 正确；对于C ：()5,2a b y +=- ，若a 与a b + 的夹角为锐角，则()0a a b ⋅+> 且a 与a b +不同向，即()()15220y ⨯+-⨯->且()2512y -⨯≠⨯-，解得92y <且8y ≠-，故C 错误；对于D ：若a ，b的夹角为120︒，则1cos1202a b a b⋅︒==-⋅，（0y >）整理得21164160y y --=，显然当3y =时，上式不成立，故D 错误；故选：AB 10.已知函数()cos sin f x x x =⋅，下列说法正确的是（）A.4π34f ⎛⎫=-⎪⎝⎭B.若()()12f x f x =，则()12πZ x x k k =+∈C.()f x 在区间ππ,44⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上单调递增D.函数()f x 的周期为π【正确答案】AC【分析】对于A 项，代入解析式求值即可；对于BCD 项，由()1π3πsin 2,2π2π2221ππsin 2,2π2π222x k x k f x x k x k ⎧-+≤≤+⎪⎪=⎨⎪-+≤≤+⎪⎩，结合大致图象可判断C ，D 选项，画出()f x 大致图象，结合图象可判断B 选项.【详解】对于A项，4π4π4π1cos sin 333224f ⎛⎫⎛⎫=⋅=⨯-=- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，故A 正确；因为()1π3πsin 2,2π2π222cos sin 1ππsin 2,2π2π222x k x k f x x x x k x k ⎧-+≤≤+⎪⎪=⋅=⎨⎪-+≤≤+⎪⎩，大致图象如下：由图象可知，()f x 在区间ππ,44⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上单调递增，且周期为2π，故C 正确，D 错误；对于B 项，函数()f x的大致图象如下：由图象可知，()f x 的周期为π2，对称轴为：()πZ 4k x k =∈，若()()12f x f x =，则()12πZ 2k x x k =+∈或()12ππ2Z 42k k x x k +=⋅=∈，所以B 选项错误.故选：AC.11.已知ABC ，点Р是平面上任意一点，且(),AP AB AC λμλμ=+∈R，下列命题正确的是（）A.若点P 为ABC 的重心，则13λμ==B.将1AB λ= ，1ACμ= ，则P 为ABC 的内心C.若1λμ+>，则点Р在ABC 外D.若点P 在ABC 内，则01λμ<<且01λμ<+<【正确答案】ACD【分析】根据平面向量线性表示概念及对三角形内心、重心的理解，逐一分析四个答案结论的真假，可得答案.【详解】若点P 为ABC 的重心，()21113233AP AB AC AB AC ⎡⎤=+=+⎢⎥⎣⎦ ，即13λμ==，A 选项正确；若1AB λ= ，1AC μ= ，AB AC AP AB A ACC AB =+=+λμ，点Р在角A 的平分线上，但不一定是ABC 的内心，B 选项错误；令1t =+>λμ，()()AP AB AC t AB AC t AB AC AB t AB BC =+=-+=+-=+λμμμμμ，1t >，由向量加法法则可知，点Р在ABC 外，C 选项正确；当P 在ABC 内部时，延长AP 与BC 相交于点D ，则有AP xAD =，01x <<，因为D 点在线段BC 上，所以存在唯一实数()01y y <<，使得()1AD y AB y AC =+-，于是()1AP xy AB x y AC =+-，又(),AP AB AC λμλμ=+∈R，则(),1xy x y λμ==-，由01x <<，01y <<，则01xy <<，()011x y <-<，()1xy x y λμ=-⋅，有01λμ<<，xy x xy x λμ+=+-=，则有01λμ<+<，D 选项正确.故选：ACD.12.在ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，下列说法正确的有（）A.若角A ，B 均为锐角，且sin cos A B >，则ABC 的形状是钝角三角形B.已知a x =，2b =，60B =︒，如果ABC 有两组解，则x的取值范围为2x <<C.ABC 为锐角三角形，满足()()sin sin sin sin sin sin B A B A A C -+=，A C ¹，且1a =，则2cos bA=D.若2π3ABC ∠=，ABC ∠的平分线交AC 于点D ，且1BD =，则2a c +的最小值是3+【正确答案】BCD【分析】对于A ，结合诱导公式可得π2sin sin A B >-⎛⎫⎪⎝⎭，进而根据正弦函数的性质求解即可得到π02C <<，进而判断即可；对于B ，根据sin a B b a <<求解即可；对于C ，由正弦定理可得()()b a b a ac -+=，进而得到21b c =+，进而结合余弦定理化简即可求解；对于D ，根据等面积法可得111a c+=，进而根据基本不等式求解即可.【详解】对于A ，因为角A ，B 均为锐角，且sin cos A B >，所以π2sin sin A B >-⎛⎫⎪⎝⎭，又π0,2A ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，ππ0,22B ⎛⎫-∈ ⎪⎝⎭，且sin y x =在π0,2⎛⎫⎪⎝⎭上单调递增，所以π2A B >-，即π2A B +>，即ππ2C ->，即π02C <<，所以ABC 为锐角三角形，故A 错误；对于B ，由ABC 有两组解，所以sin a B b a <<，即22<<x x ，所以23x <<，故B 正确；对于C ，因为()()sin sin sin sin sin sin B A B A A C -+=，由正弦定理得()()b a b a ac -+=，即22b a ac -=，因为1a =，所以21b c =+，所以()22222222221222cos 12c b b b c b cb c a A b c a ac c cbc+=====+-+-++，故C 正确；对于D ，由题意得，ABC ABD BCD S S S =+△△△，即111sin sin sin 222AB BC ABC AB BD ABD BC BD CBD ⨯⨯∠=⨯⨯∠+⨯⨯∠，即12π1π1πsinsin sin 232323ac c a ⨯=⨯+⨯，即ac c a =+，即111a c+=，所以()11222333c a a c a c a c a c ⎛⎫+=++=++≥+=+⎪⎝⎭，当且仅当2c a a c =，即1a =，212c =+时，等号成立，所以2a c +的最小值是3+，故D 正确.故选：BCD.三、填空题（共4小题，每小题5分，共20分）13.在ABC 中，内角A 、B 、C 所对的边分别为a ，b ，c ，()()()sin sin :sin sin :sin sin 4:6:5A B B C C A +++=，则::a b c =_________.【正确答案】3:5:7【分析】根据正弦定理化角为边，进而即可求解.【详解】因为()()()sin sin :sin sin :sin sin 4:6:5A B B C C A +++=，由正弦定理得()()()::4:6:5a b b c c a +++=，设4a b x +=，6b c x +=，5c a x +=，解得32x a =，52x b =，72x c =，所以357::3:5:7222::x x b x a c ==.故答案为.3:5:714.已知()1,2a = ，()1,7b =- ，2c a b =+ ，则c 在a 方向上的投影向量的模长为_______．【正确答案】355【分析】根据向量线性运算的坐标表示求出c的坐标，根据向量投影的概念即可求出c在a方向上的投影向量的模长为cos ,c ac c a a⋅⋅= .【详解】()23,3c a b =+=-，则c 在a方向上的投影向量的模长为cos ,5c a c c a a ⋅⋅=== .故答案为.515.在ABC 中，12sin 13A =，3cos 5B =，则cosC =_______________．【正确答案】3365或6365【分析】利用同角三角函数关系式先求出cos A ，sin B 的值，再利用()()cos cos πcos C A B A B =-+=-+⎡⎤⎣⎦展开求解即可.【详解】在ABC 中，0πB <<，3cos 5B =，所以4sin 5B ==，又0πA <<，123π2πsin sin sin13233A =>==，所以π2π33A <<，所以5cos 13A =±，当5cos 13A =时，()()cos cos πcos C A B A B =-+=-+⎡⎤⎣⎦cos cos sin sin A B A B =-+531243313513565=-⨯+⨯=，当5cos 13A =-时，()()cos cos πcos C A B A B =-+=-+⎡⎤⎣⎦cos cos sin sin A B A B=-+531246313513565骣琪=--´+´=琪桫，故3365或6365.16.已知ABC 内一点P ，满足120APB APC BPC Ð=Ð=Ð=°，且::1:2:3A P B P C P =，若AP AB AC λμ=+，则λμ+=_________.【正确答案】511【分析】延长AP 交BC 于点D ，结合120APB APC BPC Ð=Ð=Ð=°可得PD 为BPC ∠的角平分线，结合::1:2:3A P B P C P =，可得32CD PC BD PB ==，设AP x =，2BP x =，3CP x =，再结合等面积法PBC PCD PBD S S S =+V V V ，可得65x PD =，115xAD =，进而根据平面向量的线性运算求解即可求解.【详解】如图，延长AP 交BC 于点D ，因为120APB APC BPC Ð=Ð=Ð=°，所以60DPC DPB Ð=Ð=°，即PD 为BPC ∠的角平分线，因为::1:2:3A P B P C P =，所以32CD PC BD PB ==，设AP x =，2BP x =，3CP x =，由PBC PCD PBD S S S =+V V V ，得111sin sin sin 222PC PB BPC PC PD DPC PB PD DPB ⋅⋅∠=⋅⋅∠+⋅⋅∠，即11132sin1203sin 602sin 60222x x x PD x PD ⋅⋅⋅︒=⋅⋅⋅︒+⋅⋅⋅︒，解得65x PD =，所以115xAD AP PD =+=，所以()()5555532111111115121121AP AD AB AB AB AC AB AB D AC B BC ⎛⎫⎡⎤=+=+=+-=+ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦=，所以311λ=，211μ=，所以511λμ+=.故答案为.511关键点睛：本题关键在于延长AP 交BC 于点D ，延长AP 交BC 于点D ，得到PD 为BPC ∠的角平分线，结合等面积法和角平分线的性质确定AP 与AD 关系、以及CD 与BD 关系，进而结合平面向量的线性运算求解即可.四、解答题17.已知||4a = ，||3b = ，(23)(2)61a b a b -⋅+=.（1）求a 与b的夹角θ；（2）若(1)c ta t b =+-r r r ，且0b c ⋅=，求t 及||c .【正确答案】（1）2=3πθ；（2）35t =，63||5c = .【分析】（1）由向量的数量积定义，代值计算即可；（2）先算出t ，求模，先平方再开方.【详解】（1）因为()()23261a b a b -⋅+=故2244cos 361a ab b θ-⋅-=解得：1cos 2θ=-因为[]0,θπ∈，所以23πθ=.（2）0b c ⋅=则()()10b ta t b ⋅+-= ()210ta b t b ⋅+-=化简得：159t =解得：35t =所以32||||55c a b =+==518.在△ABC 中，内角A,B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且．（1）求角B 的大小；（2）若b=3，sinC=2sinA ，求a ，c 的值【正确答案】（1）B =60°（2）a c ==【详解】（1)由正弦定理得【考点定位】本题主要考查三角形中的三角函数，由正余弦定理化简求值是真理19.已知向量()cos ,sin a x x =，()sin ,cos b x x =- ，设()1,0m = ，()0,1n =.（1）是否存在实数x 使得a与b平行，若存在求出x ，若不存在请说明理由；（2）设函数()()()()()2n f a x m a b n a b b ta a b ⎡⎤=⋅+⋅⋅++⋅++⋅+⎣⎦ ，当π0,4x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，()f x 的最大值与最小值的和为4+t .【正确答案】（1）不存在，理由见解析（2）12【分析】（1）根据平面向量共线的坐标表示求解即可；（2）根据平面向量的数量积的坐标表示求得()f x 解析式，进而根据三角恒等变换化简，再根据正弦函数的图象及性质求得最大值和最小值，再结合题意列方程求解即可.【小问1详解】不存在，理由如下：若a 与b平行，则22cos sin 0x x +=，而22cos sin 1x x +=，相互矛盾，所以不存在x 使得a 与b平行.【小问2详解】因为()cos ,sin a x x =，()sin ,cos b x x =- ，()1,0m = ，()0,1n =，所以()cos sin ,sin cos a b x x x x +=-+，所以()cos sin m a b x x ⋅+=- ，则()()0,cos sin m a b n x x ⋅+⋅=-，所以()()22cos sin cos 2m a b n a b x x x ⋅+⋅⋅+=-=，又()sin cos n a b x x ⋅+=+ ，()()22cos cos sin sinsin cos ta a b t x x x x x x t ⋅+=-++=，则()()22sin cos 12sin cos n a b x x x x ⎡⎤⋅+=+=+⎣⎦，所以()πcos 212sin cos sin 2cos 21214x x x t x x t x f x t ⎛⎫=+++=+++=+++ ⎪⎝⎭，因为π0,4x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，所以32πππ,444x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦+，所以当ππ244x +=或3π4，即0x =或π4时，()min 2f x t =+，当ππ242x +=，即π8x =时，()max 1f x t =++，由题意得，214t t ++++=+，所以12t =.20.在ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若c =π6B a ⎛⎫+= ⎪⎝⎭.（1）求C ；（2）求a b +的最大值.【正确答案】（1）π6C =（2）+【分析】（1）由已知可得π2sin 6c B a ⎛⎫+= ⎪⎝⎭，由正弦定理化边为角，化简可求解；（2）由余弦定理可得b ，c 的关系，利用基本不等式即可求解.【小问1详解】由c =π6B a ⎛⎫+= ⎪⎝⎭，可得π2sin 6c B a ⎛⎫+= ⎪⎝⎭，即ππ2sin coscos sin 66c B B a ⎛⎫+= ⎪⎝⎭，即sin cos B c B a +=，()sin sin cos sin sin C B C B A B C +==+，即sin sin cos sin cos cos sin C B C B B C B C +=+，即sin sin cos C B B C =，又(),0,πA C ∈，则sin 0A >，cos C C =，即tan 3C =，所以π6C =.【小问2详解】因为2222cos c a b ab C =+-，所以()(22232a b a b ab =+-=+-+，即()((223222a b a b ab +⎛⎫+-=≤+⋅ ⎪⎝⎭，所以()(264a b +≤=+，所以)1a b +≤=+，当且仅当2a b ==时，等号成立，所以a b +的最大值为.21.已知OAB 的顶点坐标为()()()0,0,2,9,6,3O A B -，点P 的横坐标为14，且OP PB λ=，点Q 是边AB 上一点，且0OQ AP ⋅=.（1）求实数λ的值及点P 的坐标；（2）求点Q 的坐标；（3）若R 为线段OQ (含端点)上的一个动点，试求()RO RA RB ⋅+的取值范围.【正确答案】（1）74λ=-，()14,7P -；（2）()4,3Q ；（3）25,02⎡⎤-⎢⎥⎣⎦.【分析】（1）根据()()14,8,3OP PB y y λλ⇒==---即可得解；（2）根据Q 是边AB 上一点满足三点共线，结合0OQ AP ⋅=即可求解；（3）设()4,3R t t ，且01t ≤≤，表示出()RO RA RB ⋅+根据二次函数求取值范围.【详解】（1）设()14,P y ，则()()14,,8,3OP y PB y ==---.由()()14,8,3OP PB y y λλ⇒==---，解得7,74y λ=-=-，所以()14,7P -.（2）设点(),Q a b 则(),OQ a b =，又()12,16AP =-.则由0OQ AP ⋅=，得34a b =①.又点Q 在边AB 上，且()()4,12,6,3AB BQ a b =-=-+，所以12346b a +=--，即3150a b +-=②.联立①②，解得4,3a b ==，所以点()4,3Q .（3）由于R 为线段OQ 上的一个动点，故设()4,3R t t ，且01t ≤≤，则()()()4,3,24,93,64,33RO t t RA t t RB t t =--=--=---，()88,66RA RB t t +=--则()()()22125488366505050,0122RO RA RB t t t t t t t t ⎛⎫⋅+=----=-=--≤≤ ⎪⎝⎭，所以()RO RA RB ⋅+ 的最大值为0，最小值为252-，故()RO RA RB ⋅+ 的取值范围为25,02⎡⎤-⎢⎥⎣⎦.22.如图，在等腰直角三角形ABC 中，斜边2BC =，点D ，E ，F 分别在边BC ，AB ，AC 上.（1）当DEF 为等边三角形时，求EF 的最小值；（2）当60BDE CDF ∠=∠=︒时，求EF 的最小值.【正确答案】（11-（21【分析】（1）由题意，设EF DE DF x ===，BDE θ∠=，120CDF θ∠=︒-，且0120θ︒<<︒，可得135BED θ∠=︒-，15CFD θ∠=︒+，在BDE △中，由正弦定理可得()135BD x θ=︒-，在DCF中，由正弦定理可得()15DC x θ=︒+，进而得到31π26x =⎝⎭（2）由题意可得60EDF ∠=︒，75BED ∠=︒，75CFD ∠=︒，设BD m =，则2DC m =-，且02m <<，在BDE △中，由正弦定理可得)1DE m =-，在DCF中，由正弦定理可得)()12DF m =--，进而根据余弦定理可得)1EF =性质求解即可.【小问1详解】在等腰直角三角形ABC 中，斜边2BC =，则45B C ∠==︒∠，因为DEF 为等边三角形，则EF DE DF ==，设EF DE DF x ===，BDE θ∠=，120CDF θ∠=︒-，且0120θ︒<<︒，则135BED θ∠=︒-，15CFD θ∠=︒+，在BDE △中，由正弦定理得sin sin DE BDB BED=∠∠()sin 1352BDθ=︒-，即()135BD x θ=︒-，在DCF 中，由正弦定理得sin sin DF DCC CFD=∠∠()sin 152DCθ=︒+，即()15DC x θ=︒+，所以()()135152BC BD DC x x θθ=+=︒-︒+=，即)1cos 14x θθ++=即31π26x =⎝⎭因为2π03θ<<，所以ππ5π666θ<+<，所以当ππ62θ+=，即π3θ=时，min 1312x ==，所以EF1.【小问2详解】由题意，60BDE CDF ∠=∠=︒，所以60EDF ∠=︒，75BED ∠=︒，75CFD ∠=︒，设BD m =，则2DC m =-，且02m <<，在BDE △中，由正弦定理得sin sin DE BDB BED=∠∠sin 752m=︒，即)212624DE m==，在DCF 中，由正弦定理得sin sin DF DCC CFD=∠∠2sin 7522m -=︒，即)()2122624DF m ==--，所以在DEF 中，由余弦定理得2222cos EF DE DF DE DF EDF =+-⋅⋅∠，即))())())()22222222112121364EF m m m m m m =+--⋅-=⋅-+，即))11EF ==-因为02m <<，所以当1m =时，min 1EF =-.方法点睛：三角形边的问题，常常通过正弦定理、余弦定理求解，而求边的最值问题常常适当设角度，得出所求边的函数关系式，再结合三角函数的图象及性质求解即可.。

江西省南昌市第二中学2024-2025学年高三上学期第一次月考数学试题(含答案)

南昌二中2025届高三第一次月考数学试题一､单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是正确的.请把正确的选项填涂在答题卡相应的位置上.1.已知集合，，则（）A.B.C.D.2.已知函数，则的值为（）A.C. D.23.下列幂函数中，是奇函数，且在上是增函数的是（）A.B.C.D.4.已知，则（）A.B. C.D.125.设函数的定义域为A ，函数的值域为B ，则“”是“”的（）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件6.若函数有唯一极值点，则下列关系式一定成立的是（）A. B.C.D.7.已知关于x在内恰有3个不相等的实数根，则的取值范围是（）A. B. C. D.{}30A x x =->{}2540B x x x =-+>A B ⋂=(,1)-∞(3),-∞(3,)+∞(4,)+∞2log ,0()3,0xx x f x x >⎧=⎨≤⎩1[()]4f f 192-()0,∞+53y x -=53y x =34y x =43y x =()()1sin 3cos ,tan tan 5αβαβαβ+=-=-tan tan αβ+=15-5-1251()ln 2xf x x -=+()4g x x =-x A ∈x B ∈()()22ln 0f x ax x b x ab =-+≠0,0a b <<0,0a b <>0ab <0ab >)1sin cos x x ωω-=(0)ω>()0,πω135,62⎡⎫⎪⎢⎣⎭135,62⎛⎤ ⎥⎝⎦519,26⎡⎫⎪⎢⎣⎭519,26⎛⎤⎥⎝⎦8.若不等式对任意的恒成立，则的最小值为（）A. B.C.D.二､多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对得6分，部分选对的得部分分，选对但不全的得部分分，有选错的得0分.9.已知正数满足，则下列选项正确的是（）A.B.C.D.10.已知函数，则（）A.是的极大值点B.的图象关于点对称C.有2个零点D.当时，11.在中，内角所对的边分别为，其中，且，则下列说法正确的是（）A.B.C.若为边的中点，则的最大值为3D.若为锐角三角形，则其周长的取值范围为三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12.已知扇形的圆心角为3，周长为30，则扇形的面积为__________.13.已知直线是抛物线的准线，抛物线的顶点为原点，焦点为，若为上一点，与()ln e ,x a x b a b x ≤+≤∈R 31,2x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦a 323e -325e 2-33ln 2233e 3ln 2-,a b (1)(1)1a b --=111a b+=8ab ≥4a b +≥228a b +≥()3223f x x x =-0x =()f x ()f x 11(,22()()1g x f x =+01x <<2(1)(1)f x f x ->-ABC ,,A B C ,,a b c a =2212b c bc +-=π3A =ABC D BC AD ABC (6+l 2:4C y x =O F A C l的对称轴交于点，在中，，则__________.14.函数的图象与过原点的直线恰有四个交点，设四个交点中横坐标最大值为，则__________.四､解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.15.（13分）已知函数的部分图象如图所示，图象与x 轴正半轴的第一个交点（从左至右）为，图象与y 轴的交点为.（1）求的解析式及对称中心；（2）将的图象上各点的纵坐标保持不变，横坐标缩短为原来的倍，再将所得图象上各点向右平移个单位长度，得到的图象，求在区间上的单调递减区间.16.（15分）已知函数.（1）若是上的奇函数，求函数的零点；（2）若函数在的最大值为，求实数的值.17.（15分）如图，在四棱锥中，四边形是等腰梯形，，，，.C B ABF sin AFB ABF ∠=∠AB =()()cos 0f x x x =≥θsin 2sin 2θθθθ+=()()π2sin 0,2f x x ωϕωϕ⎛⎫=+><⎪⎝⎭5π,06A ⎛⎫⎪⎝⎭()0,1B ()f x ()f x 12π4()g x ()g x []0,π()22xxf x a -=⋅-()f x R ()()32g x f x =+0x ()()42xxh x f x -=++[]0,1x ∈2-a P ABCD -ABCD AB CD ∥1AD BC CD ===2AB =AD PB ⊥（1）证明：平面平面；（2）若，且，求二面角的正弦值.18.（17分）如图，平面四边形中，，，为正三角形.（1）当时，求的面积；（2）设，求的面积的最大值.19.（17分）已知函数（）.（1））讨论的单调性；（2）证明：（，）；（3）若函数有三个不同的零点，求的取值范围.PBD ⊥ABCD DP =PD CD ⊥A PB D --ABCD 4DC =2AD =ABC π3ADC ∠=BCD (0π)ADC θθ∠=<<BCD 1()2ln f x m x x x=-+0m >()f x 2322221111(1)(1(1)e 234n+++⋅⋅⋅+<*n ∈N 2n ≥221()ln 2g x m x x x=--+m高三第一次月考数学参考答案一､单选题1-8DABC ACBA二､多选题9.ACD 10.AC11.ACD三､填空题12.5413.14.四､解答题15.【答案】（1）.（2）【详解】（1）过，由，又过，令，的对称中心为.（2）函数的图象上各点的的纵坐标保持不变，横坐标缩短为原来的倍，得到；再将所得图象上各点向右平移个单位长度，得到的图象，所以，2-()ππ2sin ;π,0,66f x x k k ⎛⎫⎛⎫=+-∈ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭Z 511π,π1212⎡⎤⎢⎥⎣⎦()f x ()0,1,2sin 1B ϕ∴=()πππ,,2sin 266f x x ϕϕω⎛⎫<∴=∴=+ ⎪⎝⎭()f x 5π5π5π,0,2sin π0,ππ2π,66666A k k ωω⎛⎫⎛⎫∴+=∴+=+∈⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭Z125π361,,,546255k T T k ωω∴=+∈<<∴<<Z ()π1,2sin 6f x x ω⎛⎫∴=∴=+ ⎪⎝⎭πππ,,π,66x k k x k k +=∈∴=-∈Z Z ()f x ∴ππ,0,6k k ⎛⎫-∈ ⎪⎝⎭Z ()y f x =12π2sin 26y x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭π4()g x ()πππ2sin 22sin 2463g x x x ⎡⎤⎛⎫⎛⎫=-+=- ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦，，在上单调递减区间为.16.【答案】（1）（2）【详解】（1）解：为R 上的奇函数，，.（若用得到，则必须检验，没有检验扣1分）所以，所以，令，则，，又，，解得，即，所以函数的零点为.（2）解：因为，令，则，对称轴，①当，即时，；②当，即时，（舍）；综上：实数的值为.17.【答案】（1）证明见解析（2）【详解】（1）过点作，ππ35112π2π2π,,ππππ,2321212k x k k k x k k +≤-≤+∈∴+≤≤+∈Z Z []5110,π,0,π,π1212x k x ⎡⎤∈∴=∈⎢⎥⎣⎦ ()g x ∴[]0,π511π,π1212⎡⎤⎢⎥⎣⎦1-3-()f x ()()0f x f x ∴-+=()()22220,1220,1x x x x x x a a a a ---∴⋅-+⋅-=∴-⋅+=∴=()00f =1a =()22xxf x -=-()3222x xg x -=-+()32202xxg x -=-+=()()2223220x x ⋅+⋅-=()()222210x x ∴+⋅⋅-=20x >2210x ∴⋅-=1x =-01x =-()g x 1-()[]2242,0,1xxx x h x a x --=⋅-++∈2x t =[]()[]21,2,,1,2t h t t at t ∈=+∈2a t =-322a -…3a -…()max ()2422,3h t h a a ==+=-∴=-322a ->3a <-()max ()112,3h t h a a ==+=-∴=-a 3-D DE AB ⊥由等腰梯形易知，因为，所以，因为，所以，所以，所以，因为，平面，所以平面，因为平面，所以平面平面；（2）因为平面，所以，因为平面，所以平面，所以为原点建立如图所示的空间直角坐标系，所以，所以，，设平面的法向量，所以，令，所以，同理可得平面的法向量，12AE =DE AB⊥DE =32BE=BD =222AD BD AB +=AD BD ⊥,,AD BD AD PB BD PB B ⊥⊥⋂=,BD PB ⊂PBD AD ⊥PBD AD ⊂ABCD PBD ⊥ABCD AD ⊥PBD AD PD ⊥,,,PD CD PD AD CD AD ⊥⊥⊂ABCD PD ⊥ABCD D ()(()1,0,0,,A PB ((,AP PB =-=()DB = APB ()111,,m x y z =111100x ⎧-+=⎪=11x=m ⎛= ⎝PBD ()1,0,0n =所以二面角的余弦值绝对值为，所以二面角18.【答案】（1）2）【详解】（1）在中，由余弦定理知，解得.由正弦定理.所以.因为，所以，所以，所以.所以.（2）设，在中，由余弦定理知，，所以.由正弦定理知，即，所以，所以，当且仅当，即时，等号成立，A PB D --cos m n m n θ⋅== A PB D --=4+ACD 222π12cos4162241232AC AD CD AD CD =+-⋅⋅=+-⨯⨯⨯=AC =sin sin AC AD ADC ACD∠∠=2sin ACD ∠=1sin 2ACD ∠=π3ADC ∠=2π0,3ACD ∠⎛⎫∈ ⎪⎝⎭π6ACD ∠=π2BCD ∠=1114222BCD S CD BC CD AC =⋅=⋅=⨯⨯= ACD ∠α=ACD 2222cos 2016cos AC AD CD AD CD θθ=+-⋅⋅=-2222cos AD AC CD AC CD α=+-⋅⋅212cos 8AC ACα+=sin sin AC AD ADC ACD ∠∠=2sin sin AC θα=2sin sin ACθα=()11πsin 4sin 223BCD S CD BC ACD ACB AC ∠∠α⎛⎫=⋅+=⨯⨯+ ⎪⎝⎭ 22sin 12π2sin 4sin 483AC AC AC AC θθθθ⎛⎫+⎛⎫=⋅+=-+=-+≤+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ππ32θ-=5π6θ=故的面积的最大值为.19.【答案】（1）答案见解析；（2）证明见解析；（3）.（1）函数定义域为，求导得，设，则，①当时，恒成立，且至多一点处为0，函数在上递减；②当时，有两个零点，则当或时，，即；当时，，即，即函数在上单调递减，在上单调递增，所以当时，的递减区间为；当时，的递减区间为，递增区间为.（2）由（1）知，当时，时，，则，令，于是，，所以.（3）函数，BCD4+(1,)+∞()f x (0,)+∞2222121()1m x mx f x x x x-+-'=--=2()21k x x mx =-+-24(1)m ∆=-01m <≤0,()0f x '∆≤≤()f x (0,)+∞1m >0,()k x ∆>120,0x m x m =->=+>10x x <<2x x >()0k x <()0f x '<12x x x <<()0k x >()0f x '>()f x 12(0,),(,)x x +∞12(,)x x 01m <≤()f x (0,)+∞1m >()fx (0,)m m+∞(m m -1m =(1,)x ∈+∞1()2ln (1)0f x x x f x=-+<=1ln 22x x x <-*211(,2)x n n n=+∈≥N 2222222111111111ln(1)(1(112212(1)4n n n n n n n +<+-=+<<++-111122n n =--+22221111ln(1ln(1ln(1ln(1234n ++++++++ 111111212()()()11111113322332222222n n n <-+-++-=-<-+-+-++ 2322221111(1)(1)(1e 234n+++⋅⋅⋅+<222221(1)()ln 2ln (ln ln x g x m x x m x m x m x x x -=--+=-=-+由于与同号，则，令，由，则有三个不同的零点等价于函数有三个不同的零点，由（1）知，当时，在上单调递减，不合题意；当时，由（1）知，的两极值点满足，所以，得，由，则，由（2）知，当时，，则因此，由零点存在性定理知，在区间上有唯一的一个零点，显然，而，则，于是当时，存在三个不同的零点，所以的取值范围是.小题详解一､单选题1.【答案】D【详解】或，所以或.故选：D.2.【答案】A 【详解】因为，故.故选：A 3.【答案】Bln x 1x -ln y m x =+1x =t =(1)0f =()g x ()f t 01m <≤()f t (0,)+∞1m >()f x 12,x x 121x x =121t t =121t t <<(1)0f =12)((1)(0)f t f f t <=<1t >1ln 22t t t<-ln <ln t <-2222222211114(42ln(442(2)40)4)424m f m m m m m m m m m m m-=-+<--+=<()f t 22(,4)t m 0t 000000001111((2ln 2ln 0)f t f m t t m t t t t t +=-++-+=0()0f t =0)(10f t =1m >()f t 001,1,t t m (1,)+∞{}{}{}()(){}2303,540410{4A xx x x B x x x x x x x x =->=>=-+>=-->=>∣∣∣∣∣1}x <()3,{4A B xx ∞⋂=+⋂>∣{}()1}44,x x x ∞<=>=+∣104>()221111log 2,234449f f f f -⎡⎤⎛⎫⎛⎫==-=-== ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦【详解】A 选项，中，，故在上单调递减，A 错误；B 选项，中，故在上单调递增，又定义域为，故为奇函数，满足要求，B 正确；C 选项，的定义域为，故不是奇函数，C 错误；D 选项，的定义域为，故为偶函数，D 错误.故选：B4.【答案】C【详解】因为，所以，即又所以所以，故选：C5.【答案】A 【详解】由，得，所以，令，则在单调递增，则，所以A 是B 的真子集，所以“”是“”的充分不必要条件.故选：A6.【答案】C【详解】由，得，令，若，此时单调，不存在极值点，所以，即，53y x -=503-<53y x -=()0,∞+53y x =503>53y x =()0,∞+()53f x x =()()5533R,()f x x x f x -=-=-=-53y x =34y x =[)0,∞+()43g x x =()()4433R,()g x x x g x -=-==43y x =1tan tan 5αβ=-sin sin 1cos cos 5αβαβ=-1sin sin cos cos 5αβαβ=-()()sin 3cos 3cos cos 3sin sin αβαβαβαβ+=-=+()112sin 3cos cos 3cos cos cos cos 55αβαβαβαβ⎛⎫+=+⨯-= ⎪⎝⎭()12cos cos sin sin sin sin cos cos sin 125tan tan cos cos cos cos cos cos cos cos 5αβαβαβαβαβαβαβαβαβαβ+++=+====102x x ->+21x -<<()2,1A =-)0t t =≥22y t t =+-[)0,∞+[)2,B ∞=-+x A ∈x B ∈()()22ln 0,0f x ax x b x ab x =-+≠>()22222b ax x b f x ax x x -+=-+='()()2220,Δ48g x ax x b ab ab =-+≠=-Δ480ab =-≤()f x 480ab ->12ab <由于有唯一极值点，故有正根，负根各一个，则，故.故选：C.7.【答案】B，所以，所以，由，可得，因为方程有3个不相等的实数根，所以由正弦函数的图像可得，解得，所以的取值范围.故选：B.8.【答案】A【详解】因为，所以，所以即求直线的纵截距的最小值，设，所以，所以在单调递增，所以在的图象上凹，所以直线与相切，切点横坐标越大，纵截距越小，令切点横坐标为，所以直线过点，且直线斜率为所以的直线方程为，当时，，即直线与相切时，直线与无交点，设，所以，所以在时斜率为，在时斜率为1，均小于直线的斜率，()f x ()g x 02b a<0ab <)1sin cos x x ωω-=cos x x ωω=12cos 2x x ωω⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭πsin 6x ω⎛⎫+= ⎪⎝⎭()0,πx ∈πππ,π666x ωω⎛⎫+∈+ ⎪⎝⎭7ππ8ππ363ω<+≤13562ω<≤ω135,62⎛⎤ ⎥⎝⎦ln e x a x b x≤+≤ln e x x x bx a x ≤+≤y bx a =+a ()e x f x x =()()e 10x f x x =+>'()f x 31,2x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦()f x 31,2x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦()f x 323233,e 22⎛⎫ ⎪⎝⎭y bx a =+325e 2y bx a =+3259e 24y x ⎛⎫=-⎪⎝⎭1x =3322e 2.56 1.024ln 44y x x =>=>y bx a =+()f x y bx a =+()f x ()ln g x x x =()ln 1g x x =+'()g x 32x =3ln 12+1x =所以可令直线在处与相交，在处与相交，所以直线方程为，所以截距为.故选：A.二､多选题9.【答案】ACD【详解】对于A ，由题可得，即，故A 正确；对于B ，为正数，为正数，，当且仅当时，等号成立.故B 不正确；对于C ，为正数，，当且仅当时，等号成立，故C 正确；对于为正数，，当且仅当时，等号成立.故D 正确.故选：ACD.10.【答案】AC【详解】对于A ，函数，令，解得或，故当时，当时，，当时，则在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增，故0是的极大值点，故A 正确：对于B ，因为，y bx a =+32x =()f x 1x =ln y x x =()()32323e 02103e 1312y x x -=-+=--323e -ab a b =+111b a a b ab++==,a b 11,a b111a b +=≥24ab ≥⇒≥a b 2==,a b ()112224b a a b a b a b a b ⎛⎫+=++=++≥+=⎪⎝⎭a b 2==D,,a b 2228a b ab +≥≥2a b ==()()()32223,6661f x x x f x x x x x =-=-=-'()0f x '=0x =1x =(),0x ∞∈-()0f x '>()0,1x ∈()0f x '<()1,x ∞∈+()0f x '>()f x (),0∞-()0,1()1,∞+()f x ()()3232322321232(1)3(1)2326623631f x f x x x x x x x x x x x x +-=-+---=-+-+--+-=-所以的图象关于点对称，故B 错误；对于C ，，易知的单调性一致，而，故有2个零点，故C 正确；对于D ，当时，，而在上单调递增，故，故D 错误.故选：AC.11.【答案】ACD【详解】对于A ，由题意可知，利用余弦定理得，，因为，所以，故A 正确；对于B ，由上述可知，的面积，且易知，解出，当且仅当，故B 错误；对于C ，在和中，对和利用余弦定理，，化简后有，由B 知，的最大值为12，因此最大为3，故C 正确；对于D ，利用正弦定理，，则，于是的周长，由于是锐角三角形，因此即解出，()f x 11,22⎛⎫- ⎪⎝⎭()()321231g x f x x x =+=-+()(),g x f x ()10g =()()1g x f x =+01x <<21110x x -<-<-<()f x ()1,0-()()211f x f x -<-2222212b c b c a bc +-=+-=2221cos 22b c a A bc +-==()0,πA ∈π3A =ABC 1sin 2S bc A ==2212212b c bc bc +-=≥-12bc ≥b c ==S ==ABD ACD ADB ∠ADC ∠22222222BD AD AB CD AD AC BD AD CD AD+-+-=-⋅⋅232bc AD =+bc AD 4sin sin sin b c a B C A===4sin ,4sin b B c C ==ABC π4sin 4sin 6L B C B ⎛⎫=++=++ ⎪⎝⎭π0,2π0,2B C ⎧<<⎪⎪⎨⎪<<⎪⎩π0,22ππ0,32B B ⎧<<⎪⎪⎨⎪<-<⎪⎩ππ62B <<则则，则，故D 正确.故选：ACD.三､填空题12.【答案】54【详解】设扇形所在圆半径为，则扇形弧长，于是，解得，所以扇形的面积.故答案为：5413.【答案】【分析】过A 作，垂足为，根据抛物线定义以及正弦定理可求得为等腰直角三角形，所以.【详解】过A 作，垂足为，如下图所示：易知，在中，，由正弦定理可得即则在中，可得，则，所以，即.可得为等腰直角三角形，又易知，可得.故答案为：14.【答案】【解答】函数的图象与过原点的直线恰有四个交点，直线与函数ππ2π,633B ⎛⎫+∈ ⎪⎝⎭πsin 6B ⎤⎛⎫+∈⎥ ⎪⎝⎭⎦(6L ∈+r 3l r =2330r r +=6r =2136542S =⨯⨯=AD l ⊥D AB =ABF AB =AD l ⊥D ()()1,0,1,0,F B AD AF -=ABF sin AFB ABF ∠∠=AB =AB =Rt ADB π4ABD ∠=π4ABF ∠=sin 1AFB ABF ∠∠===π2AFB ∠=ABF 2BF =AB =2- ()()f x cosx x 0=…∴在区间内的图象相切，在区间上，y 的解析式为，故由题意切点坐标为，切线斜率由点斜式得切线方程为：，直线过原点，，得，原式.故答案为：.()cos 0y x x =…3π,2π2⎛⎫ ⎪⎝⎭3π,2π2⎛⎫ ⎪⎝⎭cos y x =(),cos θθ∴y sin ,k θ=-'=∴()cos sin ,sin sin cos y x y x θθθθθθθ-=--∴=-++ sin cos 0θθθ∴+=1tan θθ=-∴()2211sin21sin21tan tan sin21tan tan θθθθθθθθθ⎛⎫+ ⎪+⎛⎫⎝⎭===-+ ⎪⎝⎭-()22sin cos 2sin cos 2sin cos 2cos sin θθθθθθθθ⎛⎫=-+⋅=-+=- ⎪⎝⎭2-。

江西省南昌市第二中学高一数学上学期第一次月考试题

南昌二中2015—2016学年度上学期第一次考试高一数学试卷一、选择题（每小题5分，共60分）1. 在①{}10,1,2⊆；②{}{}10,1,2∈；③{}{}0,1,20,1,2⊆； ④∅≠{}0上述四个关系中，错误．．的个数是（） A. 1个B. 2个C. 3个D. 4个2. 已知全集U =R ，集合{}|A x y x ==-，{}2|1B y y x ==-，那么集合()U C A B =I （） A ．(],0-∞B ．()0,1C ．(]0,1D ． [)0,13.已知集合⎭⎬⎫⎩⎨⎧∈+==Z k k x x M ,42ππ，⎭⎬⎫⎩⎨⎧∈+==Z k k x x N ,24ππ，则（） A ．M NB ．N MC ．N M =D ．φ=N M I4. 函数2()(31)2f x x a x a =+++在(,4)-∞上为减函数，则实数a 的取值范围是（） A ．3a ≤-B ．3a ≤C ．5a ≤D ．3a =-5. 集合,A B 各有两个元素，A B I 中有一个元素，若集合C 同时满足：（1）()C A B ⊆U ，（2）()C A B ⊇I ，则满足条件C 的个数为（） A.1B.2C.3D.46. 函数(5)||y x x =--的递减区间是（） A. (5,)+∞B.(,0)-∞C. (,0)(5,)-∞+∞UD. 5(,0)(,)2-∞+∞,7. 设P M ,是两个非空集合，定义M 与P 的差集为{}P x M x x P M ∉∈=-且,则()P M M --等于（）A. PB. P M IC. P M YD. M8. 若函数()y f x =的定义域是[0,2]，则函数(2)()1f xg x x =-的定义域是（） A ．[0,1)(1,2]UB ．[0,1)(1,4]UC ．[0,1)D ．(1,4]9. 不等式()()a x a x 224210-++-≥的解集是空集，则实数a 的范围为（） A ．6(2,)5- B ．6[2,)5-C ．6[2,]5-D ．6[2,){2}5-U10.若函数2(21)1,0()(2),0b x b x f x x b x x -+->⎧=⎨-+-≤⎩在R 上为增函数,则实数b 的取值范围为（）A ．[1,2]B ．1(,2]2C ．(1,2]D ．1(,2)211. 设集合34M x m x m ⎧⎫=≤≤+⎨⎬⎩⎭，13N x n x n ⎧⎫=-≤≤⎨⎬⎩⎭，且,M N 都是集合 {}01x x ≤≤的子集合，如果把b a -叫做集合{}x a x b ≤≤的“长度”，那么集合M N I 的“长度”的最小值是（）A.23 B.512 C.13 D.11212. 对实数a 和b ，定义运算“⊗”：,1.1a ab a b b a b -≤⎧⊗=⎨->⎩设函数()()22()2f x x x x =-⊗-，x R ∈,若函数()y f x c =-的图象与x 轴恰有两个公共点,则实数c 的取值范围是( )A ．(]3,21,2⎛⎫-∞-- ⎪⎝⎭UB ．(]3,21,4⎛⎫-∞--- ⎪⎝⎭U C ．111,,44⎛⎫⎛⎫-+∞ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭UD ．311,,44⎛⎫⎡⎫--+∞ ⎪⎪⎢⎝⎭⎣⎭U二、填空题（每小题5分，共20分）13．函数22,0()1,0x x f x x x -≤⎧=⎨+>⎩，若[()]0f f a =，则a = ．14．已知集合{}12,3,1--=m A ，集合{}2,3mB =，若A B ⊆，则实数m = ．15．某果园现有100棵果树，平均每一棵树结600个果子．根据经验估计，每多种一颗树，平均每棵树就会少结5个果子．设果园增种x 棵果树，果园果子总个数为y 个，则果园里增种棵果树，果子总个数最多．16．定义在R 上的函数)(x f 满足2)1(),,(2)()()(=∈++=+f R y x xy y f x f y x f ，则=-)3(f ．三、解答题（共70分） 17．（本题满分10分）设{}0222=++=ax x x A ,A ∈2. (Ⅰ) 求a 的值，并写出集合A 的所有子集；(Ⅱ) 已知{}5,2-=B ，设全集B A U Y =，求)()(B C A C U U Y .18．（本题满分12分）已知集合32{|1}2xA x x -=>-+，（I ）若B A ⊆，{|121}B x m x m =+<<-，求实数m 的取值范围；（II ）若A B ⊆，{|621}B x m x m =-<<-，求实数m 的取值范围.19．（本题满分12分）已知函数223()1x f x x -=+.(I)计算(3)f ，(4)f ，1()3f 及1()4f 的值； (II)由(I)的结果猜想一个普遍的结论,并加以证明；(III)求值：111(1)(2)...(2015)()()...()232015f f f f f f +++++++.20．（本题满分12分）已知函数(]2()23,0,3f x ax x x =-+∈.(I)当1a =时，求函数()f x 的值域；(II)若集合{()0,03}A x f x x ==<≤≠∅，求实数a 的取值范围.21．（本题满分12分）已知定义在区间()+∞,0上的函数)(x f 满足1122()()()x f f x f x x =-，且当1>x 时，0)(<x f .（I ）求)1(f 的值；（II ）判断)(x f 的单调性并予以证明；（III ）若,1)3(-=f 解不等式2-2f x >（）.22．（本题满分12分）已知函数2()(2)f x x a x b =+++，2)1(-=-f ，对于R x ∈，x x f 2)(≥恒成立． (Ⅰ)求函数)(x f 的解析式； (Ⅱ)设函数4)()(-=xx f x g .①证明：函数)(x g 在区间在),1[+∞上是增函数；②是否存在正实数n m <,当n x m ≤≤时函数)(x g 的值域为]2,2[++n m ．若存在，求出n m ,的值，若不存在，则说明理由．南昌二中2015—2016学年度上学期第一次考试高一数学试卷参考答案1-5：BCAAD 6-10：DBCBA 11-12：DB13． 0 14. 1 15. 10 16. 617．解：（1）A ∈2Θ 0228=++∴a 5-=∴a02522=+-∴x x ,解得122x x ==或，A={2,21}A 的子集为φ，{2}，{21}，{2,21} ---------------5分 (2) U A B =⋃={2,21,-5} ()()U U C A U C B ={21,-5} ---------------10分18．解：解不等式3212xx ->-+，得25x -<<，即(2,5)A =- （1）B A ⊆①当B =∅时，则211m m -≤+，即2m ≤，符合题意； ②当B ≠∅时，则有212215m m m >⎧⎪+≥-⎨⎪-≤⎩解得：23m <≤综上：(,3]m ∈-∞（2）要使A B ⊆，则B ≠∅，所以有21662215m m m m ->-⎧⎪-≤-⎨⎪-≥⎩解得：34m ≤≤19．解：（1）解得3(3)5f =-，13(4)17f =-，113()35f =，147()417f = （2）猜想：1()()2f x f x+=，证明如下。

江西省南昌市第二中学2020-2021学年高一上学期第一次月考数学试题

南昌二中2020—2021学年度上学期第一次月考高一数学试卷一、选择题（每小题5分，满分20分） 1. 方程组31x y x y +=⎧⎨-=-⎩ 的解集可表示为（）{}.1,2A().1,2B(){}.,1,2C x y x y ==()3.,1x y D x y x y ⎧⎫+=⎧⎪⎪⎨⎨⎬-=⎩⎪⎪⎩⎭2. 已知集合{},,2A a a a =-，若2A ∈，则实数a 的值为（） A.2B.-2C.4D.2或 43. 已知集合{}220,A x R ax x a a R =∈++=∈,若集合A 有且仅有两个子集,则实数a 的值为（） A.1B.-1C.0或1D.－1或0或14. 下面的对应是从集合A 到集合B 的一一映射（）.A ,,A R B R ==对应关系1:,,;f y x A y B x=∈∈.B {},X R Y ==非负实数，对应关系4:,,;f y x x X y Y =∈∈ {}{}.1,2,3,4,N ,C M ==2,4,6,8,10对应关系:2,,;f n m n N m M =∈∈{}(){}D.A ,,,,B x y x y R ==∈平面上的点对应关系:f A 中的元素对应它在平面上的坐标.5. 对于全集U 的子集,M N ，若M 是N 的真子集，则下列集合中必为空集的是（）().U A C M NB.MN ()().U U C C M C N()D.U MC N6.已知2,m <-点()()()1231,,,,1,m y m y m y -+都在二次函数22y x x =-的图像上，则（）123.A y y y << 321B.y y y << 132C.y y y <<213D.y y y <<7.已知定义在R 上的函数()f x 的值域为33,28⎡⎤-⎢⎥⎣⎦，则函数()()1g x f x =++的值域为（）17.,28A ⎡⎤⎢⎥⎣⎦7.,18B ⎡⎤⎢⎥⎣⎦1C.,12⎡⎤⎢⎥⎣⎦17.0,,28D ⎛⎤⎡⎫+∞ ⎪⎥⎢⎝⎦⎣⎭8.某年级先后举办了数学、历史、音乐的讲座，其中有85人听了数学讲座，70人听了历史讲座，61人听了音乐讲座，16人同时听了数学、历史讲座，12人同时听了数学、音乐讲座，9人同时听了历史、音乐讲座，还有5人听了全部讲座.则听讲座的人数为（） A.181B.182C.183D.1849.已知函数()f x =的值域是[)0,+∞ ，则实数m 的取值范围是（）[].2,2A - [].1,2B -[][).2,12,C --+∞ (][).,12,D -∞-+∞10.已知函数()f x ，则不等式()()12f x f x +>的解集为（） ().,1A -∞(].,1B -∞1.,02C ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦ 1D.,12⎡⎫-⎪⎢⎣⎭11. 已知函数()4f x x =+ 当[]1,4x ∈时,()1f x >恒成立，则实数的取值范围为（）[).4,A -+∞).B ⎡-+∞⎣().4,C -+∞().D -+∞12. 若存在n R ∈，且存在[]1,x m ∈，使得不等式2123mx nx x ++≤成立，则实数m 的取值范围是( )．[].1,2A(].,2B -∞.C (]1,2 [).2,D +∞二、填空题（每小题5分，满分20分）13.设函数()()f xg x ==，函数()()f x g x 的定义域为________. 14.函数248y kx x =--在区间[]5,10上单调递增，则实数k 的取值范围为________. 15.已知集合,,A B C ，且,,A B A C ⊆⊆若{}{}1,2,3,4,0,1,2,3B C ==，则所有满足要求的集合A 的各个元素之和为______. 16.已知函数()()()10,1f x ax a g x x=>=--，若方程()()f x g x =有两个实根为12,,x x 且121,,33x tx t ⎡⎤=∈⎢⎥⎣⎦，则实数a 的取值范围为_______ .三、解答题(共6小题，共70分) 17.(本小题10分)已知集合{}2230,320,5x A x B x x x x ⎧-⎫=≤=-+<⎨⎬+⎩⎭全集.U R =（1）求集合;AB（2）求集合().U C A B18.（本小题12分）（1）已知()f x 满足()()3214,f x f x x +-=求()f x 解析式；（2）已知函数()()21,0,0,g ,02,0x x x x f x x xx x x x ⎧⎧+>>⎪==⎨⎨-≤⎩⎪≤⎩ ，当0x >时，求()()g f x 的解析式.19.（本小题12分）已知集合{|02}A x x =≤≤，{|32}B x a x a =≤≤-．（1）若R B A C U =⋃）（，求a 的取值范围；（2）若A B B ≠，求a 的取值范围．20.（本小题12分）已知二次函数()2f x ax bx c =++，()()01,10,f f == 且对任意实数x 均有()0f x ≥成立.（1）求()f x 解析式；（2）若函数()()()21g x f x m x =+-在[)2,+∞上的最小值为7,-求实数m 的值.21.（本小题12分）已知定义在R 上的函数()f x 对任意12,x x R ∈都有等式()()()12121f x x f x f x +=+-成立，且当0x >时，有()1f x >.（1）求证：函数()f x 在R 上单调递增；（2）若()34f =，关于x 不等式)3f t f+>恒成立，求t 的取值范围.22.（本小题12分）已知函数()23f x x m x =+-.（1）当0m =时，求函数()y f x =的单调递减区间；（2）当01m <≤时，若对任意的[),x m ∈+∞，不等式()()12f x m f x m --≤-恒成立，求实数m 的取值范围.高一第一次月考数学参考答案1.C2. B3. D4. D5.D.6.B7.C8. D9.C 10. C 11.D 12.C313.,2⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭ 214.,5⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭ 15.24 3116.,164⎡⎤⎢⎥⎣⎦17解:（1）()35,,1,22A B ⎛⎤=-= ⎥⎝⎦故()5,2AB =-;(2)(]3,5,,2U C A ⎛⎫=-∞-+∞ ⎪⎝⎭故()3,2.2U C A B ⎛⎫= ⎪⎝⎭18.解：（1）()84;5f x x =- （2）()()21g f x x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭19. 解：（1）∵A={x|0≤x ≤2}，∴，若R B A C U =⋃）（，则320322a aa a -≥⎧⎪⎨⎪-≥⎩，即即12a ≤ ∴实数a 的取值范围是1,2⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦.（2）若AB B =，则B A ⊆．当B =∅时，则32a a -<得1,a >当B ≠∅时，1,a ≤ ∴当,B A ⊆则0322a a ≥⎧⎨-≤⎩ ，得1,12a ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，综上故 a 的取值范围为1,2a ⎡⎫∈+∞⎪⎢⎣⎭，故A B B ≠时的范围为1,2⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭的补集，即1,.2⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭20.解：（1）()221f x x x =-+；()2(2)g 21,x x mx =-+()I ()()min 2,g 2547,m x g m <==-=-则3m =（舍）； ()II ()()2min 2,17,m g x g m m ≥==-=-得)22-22.m =或舍综上，2 2.m =21解：（1）任取12,,x x R ∈且12x x <，则210,x x -> ()211,f x x ∴->()()()21211,f x f x f x x =+-- ()()21.f x f x ∴>故函数()f x 在R 上单调递增.(2)()()()()()()()312111111312f f f f f f f =+-=-++-=-,()12,f ∴=原不等式等价于))()121f t fft f +-=>=，1t >恒成立，令[])2,2,y x =∈-[]244,8,y =+,y ⎡∴∈⎣()1,.t ∴∈-+∞22.解：（1）因为0m =，所以()2223,033,0x x x f x x x x x x ⎧-≥=-=⎨+<⎩，因为函数()23f x x x =-的对称轴为32x =，开口向上；所以当302x ≤<时，函数()23f x x x =-单调递减；当32x ≥时，函数()23f x x x =-单调递增；又函数()23f x x x =+的对称轴为32x =-，开口向上；所以当302x -≤<时，函数()23f x x x =+单调递增；当32x <-时，函数()23f x x x =+单调递减；因此，函数()y f x =的单调递减区间为：(),0-∞和30,2⎛⎫ ⎪⎝⎭；（2）由题意，不等式()()12f x m f x m --≤-可化为22(1)3126x x m x x m ----≤--，即24613(1)0x x m x m -+-+-+≥在[)m,x ∈+∞上恒成立，令2()4613(1)g x x x m x m =-+-+-+，则只需min ()0g x ≥即可；因为01m <≤，所以112m <+≤，因此222792,m 1()4613(1)34,1x x m x m g x x x m x m x x m x m ⎧-++≤≤+=-+-+-+=⎨-+->+⎩，当1m x m ≤≤+时，函数2()792g x x x m =-++开口向上，对称轴为：712x m =>+，所以函数()g x 在[]m,m 1+上单调递减；当1x m >+时，函数2()34g x x x m =-+-开口向上，对称轴为112x m =<+；所以函数()g x 在[)1,m ++∞上单调递增；因此2min ()(m 1)44g x g m m =+=+-，由min ()0g x ≥得2440m m +-≥，解得2m ≥-+2m ≤--01m <≤，所以21m -+≤≤.即实数m 的取值范围为2⎡⎤-+⎣⎦.。

2023-2024学年江西省南昌市高一下册第一次月考数学试题(含解析)

2023-2024学年江西省南昌市高一下册第一次月考数学试题一、单选题1．已知角2023α=︒，则α的终边在（）A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限【正确答案】C【分析】利用角终边相同公式得到α的终边与223︒的终边相同，从而得到α的终边所在象限.【详解】因为20233605223α=︒=︒⨯+︒，而180223270︒<︒<︒，所以α的终边在第三象限.故选：C.2．如图，角α以Ox 为始边，它的终边与圆O 相交于点P ，点P 的坐标为(1,2)-，则tan α=（）A ．2-B ．12C ．12-D ．2【正确答案】A【分析】由三角函数定义求解即可.【详解】根据三角函数定义，2tan 21y x α-===-.故选：A3．已知扇形AOB 的圆心角23AOB π∠=，弧长为2π，则该扇形的面积为（）A ．2π3B ．2πC ．3πD ．6π【正确答案】C【分析】先求得扇形的半径，进而求得扇形的面积.【详解】扇形的半径为2π32π3r ==，所以扇形的面积为212π33π23⨯⨯=.故选：C4．有4个相同的球，分别标有数字1，2，3，4，从中有放回的随机取两次，每次取1个球.甲表示事件“第一次取出的球的数字是1”，乙表示事件“第二次取出的球的数字是2”，丙表示事件“两次取出的球的数字之和是5”，丁表示事件“两次取出的球的数字之和是6”，则（）A ．甲与丁相互独立B ．乙与丁相互独立C ．甲与丙相互独立D ．丙与丁相互独立【正确答案】C【分析】根据独立事件的概念分别判断.【详解】由题意得()14P =甲，()14P =乙，()14P =丙，()316P =丁，()()()0P P P =≠甲丁甲丁，()()()116P P P =≠乙丁乙丁，()()()116P P P ==甲丙甲丙，()()()0P P P =≠丙丁丙丁，根据独立事件的乘法公式可得甲与丙相互独立，故选：C.5．“sin cos x x <”是“tan 1x <”的（）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件【正确答案】D【分析】根据充要条件的定义进行判断即可．【详解】充分性：当2x π=-时，sin 1,cos 0x x =-=符合“sin cos x x <”，但是tan x 不存在，即“sin cos x x <”不能推出“tan 1x <”，故充分性不满足；必要性：当34x π=时，tan 1x =-符合tan 1x <，此时sin ,cos 22x x ==-不满足“sin cos x x <”，即“tan 1x <”不能推出“sin cos x x <”，故充分性不满足；所以“sin cos x x <”是“tan 1x <”的既不充分也不必要条件.故选：D ．6．要得到1cos 26y x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的图象，只需将1sin()2y x =的图象（）A ．向左平移3π个单位长度B ．向右平移3π个单位长度C ．向左平移43π个单位长度D ．向右平移43π个单位长度【正确答案】C【分析】将1sin()2y x =利用诱导公式化为y =cos 22x π⎛⎫- ⎪⎝⎭，再根据函数图象的平移，即可选择和判断.【详解】只需将1sin()cos 222x y x π⎛⎫==- ⎪⎝⎭的图象向左平移43π个单位长度，即可得到1cos 26y x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的图象，故选：C ．7．科学研究已经证实，人的智力，情绪和体力分别以33天、28天和23天为周期，按()sin y x ωϕ=+进行变化，记智力曲线为I ，情绪曲线为E ，体力曲线为P ，且现在三条曲线都处于x 轴的同一点处，那么第322天时（）A ．智力曲线I 处于最低点B ．情绪曲线E 与体力曲线P 都处于上升期C ．智力曲线I 与情绪曲线E 相交D ．情绪曲线E 与体力曲线P 都关于()322,0对称【正确答案】D【分析】由已知得第322天时，322除33余25,322除28余14，322除23余0，即智力曲线I 位于2533周期处，情绪曲线E 位于12周期处，体力曲线P 刚好位于起始点处，逐一判断可得选项．【详解】第322天时，322除33余25,322除28余14，322除23余0，即智力曲线I 位于2533周期处，情绪曲线E 位于12周期处，体力曲线P 刚好位于起始点处，A 项，253>334则智力曲线I 不处于最低点，故A 错误；B 项，情绪曲线E 处于最高点，即将开始下降，故B 错误；C 项，经过n 个周期后，因为周期不同，所以智力曲线I 与情绪曲线E 不一定相交，故C 错误；D 项，(322,0)位于体力曲线P 和情绪曲线E 的交点x 轴上，故D 正确，故选：D ．8．已知函数()2sin xx x e f x x k e e-=+++的图象关于点()0,1对称，则实数k 的值为（）A ．1-B ．0C ．1D ．2【正确答案】B由题意得出()()2f x f x -+=，可得出关于k 的等式，由此可解得实数k 的值.【详解】()2sin x x x e f x x k e e -=+++ ，()()22sin sin x xx x x xe ef x x k x k e e e e ----∴-=+-+=-+++，所以，()()22222x xx x e e f x f x k k e e--+-+==++，因为函数()2sin xx x e f x x k e e-=+++的图象关于点()0,1对称，则()()222f x f x k -+=+=，因此，0k =.故选：B.结论点睛：本题考查利用函数的对称性求参数，可利用以下结论来转化：①函数()f x 的图象关于点(),a b 对称，则()()22f x f a x b +-=；②函数()f x 的图象关于直线x a =对称，则()()2f x f a x =-.二、多选题9．下列四个函数中，以π为周期，且在区间3,24ππ⎛⎫⎪⎝⎭上单调递减的是（）A ．sin y x =B ．cos 2y x =C ．tan y x =-D ．sin 2y x=【正确答案】AC先判断各函数最小正周期，再确定各函数在区间3,24ππ⎛⎫⎪⎝⎭上单调性，即可选择判断.【详解】|sin |y x =最小正周期为π，在区间3,24ππ⎛⎫⎪⎝⎭上单调递减；cos 2y x =最小正周期为π，在区间3,24ππ⎛⎫⎪⎝⎭上单调递增；tan y x =-最小正周期为π，在区间3,24ππ⎛⎫⎪⎝⎭上单调递减；sin 2y x =不是周期函数，在区间3,24ππ⎛⎫⎪⎝⎭上单调递减；故选：AC10．若集合{}sin 21A x x ==，,42k B y y k Z ππ⎧⎫==+∈⎨⎬⎩⎭，则正确的结论有（）A ．AB B ⋃=B ．R RB A ⊆痧C ．A B ⋂=∅D ．R RA B⊆痧【正确答案】AB【分析】根据正弦函数可得集合A ，由集合间的关系和运算，对选项进行逐一判断.【详解】由{}4sin 21,,44k A x x x x k k Z x x k Z ππππ+⎧⎫⎧⎫====+∈==∈⎨⎬⎨⎬⎩⎭⎩⎭，又2,,424k k B y y k Z y y k Z ππππ+⎧⎫⎧⎫==+∈==∈⎨⎬⎨⎬⎩⎭⎩⎭，显然集合{}{}4,2,x x k k Z x x k k Z ππππ=+∈⊆=+∈所以A B ⊆，则A B B ⋃=成立，所以选项A 正确.R RB A ⊆痧成立，所以选项B 正确，选项D 不正确.A B A = ，所以选项C 不正确.故选：AB本题考查解三角方程，集合关系的判断与应用，集合的包含关系与补集关系的应用，属于中档题.11．关于函数()cos cos f x x x =+有下述四个结论中正确的是（）A ．()f x 是偶函数B ．()f x 在区间()0,π上递减C ．()f x 为周期函数D ．()f x 的值域为[]1,1-【正确答案】AC根据奇偶性的定义判断出()f x 为偶函数，A 正确；通过,2x ππ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时()f x 解析式，可知不满足单调递减定义，B 错误；通过分类讨论的方式去掉解析式的绝对值，得到分段函数的性质，可确定函数最小正周期，知C 正确；根据余弦函数值域可确定()f x 值域，知D 错误.【详解】()()()()cos cos cos cos f x x x x x f x-=-+-=+= ()f x \为偶函数，A 正确；当,2x ππ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，()cos cos 0f x x x =-=，不满足单调递减定义，B 错误；当2,222x k k ππππ⎡⎤∈-++⎢⎥⎣⎦，Z k ∈时，()2cos f x x =；当32,222x k k ππππ⎡⎤∈++⎢⎥⎣⎦，Z k ∈时，()0f x =()f x \是以2π为最小正周期的周期函数，C 正确；当2,222x k k ππππ⎡⎤∈-++⎢⎥⎣⎦，Z k ∈时，()[]2,2f x ∈-，故()f x 值域为[]22-,，D 错误.故选：AC本题考查与余弦型函数有关的函数的性质及值域的相关命题的辨析，涉及到函数奇偶性、单调性、周期性和值域的求解；关键是能够通过分类讨论的方式确定函数在不同区间内的解析式，进而研究函数性质.12．函数()3sin 23f x x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭的图象为C ，则以下结论中正确的是（）A ．图象C 关于直线12x π=对称B ．图象C 关于点2,03π⎛⎫⎪⎝⎭对称C ．函数()f x 在区间5,1212ππ⎛⎫- ⎪⎝⎭内是增函数D ．6y f x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭是偶函数【正确答案】BC【分析】利用正弦型函数的对称性可判断AB 选项；利用正弦型函数的单调性可判断C 选项；利用正弦型函数的奇偶性可判断D 选项.【详解】对于A 选项，因为33sin 31262f ππ⎛⎫⎛⎫=-=-≠± ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，故图象C 不关于直线12x π=对称，A 错；对于B 选项，因为23sin 03f ππ⎛⎫== ⎪⎝⎭，故图象C 关于点2,03π⎛⎫ ⎪⎝⎭对称，B 对；对于C 选项，当5,1212x ππ⎛⎫∈- ⎪⎝⎭时，2232x πππ-<-<，所以，函数()f x 在区间5,1212ππ⎛⎫- ⎪⎝⎭内是增函数，C 对；对于D 选项，3sin 23sin 2663f x x x πππ⎡⎤⎛⎫⎛⎫+=+-= ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦为奇函数，D 错.故选：BC.三、填空题13．函数y =_____________________．【正确答案】()52,2Z 66k k k ππππ⎡⎤++∈⎢⎥⎣⎦【分析】由2sin 10x -≥，可得1sin 2x ≥，结合正弦函数的性质，即可得到所求定义域．【详解】解：依题意可得2sin 10x -≥，可得1sin 2x ≥，解得52266k x k ππππ+≤≤+，Z k ∈，所以函数的定义域为()52,2Z 66k k k ππππ⎡⎤++∈⎢⎥⎣⎦.故()52,2Z 66k k k ππππ⎡⎤++∈⎢⎥⎣⎦．14．若2sin ,0()6log ,0x x f x x x π⎧≤⎪=⎨⎪>⎩，则14f f ⎛⎫⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭______________．【正确答案】##【分析】根据分段函数的解析式，先求出14f ⎛⎫⎪⎝⎭的值，再求14f f ⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭值．【详解】解：∵2sin ,0()6log ,0x x f x x x π⎧≤⎪=⎨⎪>⎩，211log 244f ⎛⎫∴==- ⎪⎝⎭，1(2)sin (2)sin 463f f f ππ⎛⎫⎛⎫⎡⎤⎛⎫=-=⨯-=-=- ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦⎝⎭⎝⎭故15．如果将函数()()()sin 30f x x φπφ=+-<<的图象向左平移12π个单位所得的图象关于y轴对称，那么ϕ=________．【正确答案】3π4-【分析】先判断函数()f x 图像平移后的解析式，再由正弦函数的对称轴性质求得ϕ的取值集合，最后根据题干中给定的范围确定ϕ的值.【详解】将函数()()sin 3f x x ϕ=+的图象向左平移π12个单位得ππ()sin[3(]sin(3)124g x x x ϕϕ=++=++，由题意知()g x 的图象关于y 轴对称，则有()()g x g x -=，即ππsin(3)sin(3)44x x ϕϕ-++=++，则ππ33π2πZ 44x x k k ϕϕ-+++++=+∈，，即ππZ 4k k ϕ=+∈，，又因为(π,0)ϕ∈-，所以3π4ϕ=-.故答案为.3π4-16．如图所示，某摩天轮设施，其旋转半径为50米，最高点距离地面110米，开启后按逆时针方向匀速旋转，转一周大约21分钟．某人在最低点的位置坐上摩天轮座舱，并开始计时，则第7分钟时他距离地面的高度大约为________米．【正确答案】85【分析】设乘客乘坐摩天轮与地面的高度()h t 与时间t 的关系，利用待定系数法求得对应系数，写出()h t 的解析式，再计算()7h 的值．【详解】设乘客乘坐摩天轮与地面的高度()h t 与时间t 的关系为：()sin()(0h t A t B A ωϕ=++>，0ω>，[0ϕ∈,2π))，由题意可知50A =，1105060B =-=，2π21T ω==，2π21ω∴=，即()2π50sin 6021h t t ϕ⎛⎫=++ ⎪⎝⎭，又()011010010h =-= ，即sin 1ϕ=-，故3π2ϕ=，()2π3π50sin 60212h t t ⎛⎫∴=++ ⎝⎭，∴()2π3750sin 76085212h π⎛⎫=⨯++= ⎪⎝⎭．∴第7分钟时他距离地面的高度大约为85米.故85.四、解答题17．已知cos α是方程2210x x --=的根，且α是第二象限的角，求23sin()cos()tan tan(+)2sin(2)cos()2παααπαππαα+--+的值．【分析】以同角三角函数基本关系和诱导公式解之即可.【详解】方程2210x x --=的两根分别为12-与1，由于α是第二象限的角，则1cos 2α=-，sin α=sin tan cos ααα==故23sin()cos()tan tan(+)2sin(2)cos()2παααπαππαα+--+()2cos cos tan tan tan sin sin ααααααα-⋅⋅⋅-=-⋅-＝＝18．已知函数π2cos 32y x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭．(1)求函数的单调区间及取得最大、最小值时自变量x 的集合；(2)判断函数的奇偶性．【正确答案】(1)单调递增区间为π2ππ2π,,6363k k k Z ⎡⎤-++∈⎢⎥⎣⎦，单调递减区间为π2ππ2π,,6323k k k Z ⎡⎤++∈⎢⎥⎣⎦，函数取最大值时自变量x 的集合是π2π,63k x x k Z ⎧⎫=+∈⎨⎬⎩⎭，函数取得最小值时自变量x 的集合是π2π,63k x x k Z ⎧⎫=-+∈⎨⎬⎩⎭.(2)函数为奇函数，理由见解析.【分析】（1）先用诱导公式化简，再用整体法求解函数单调区间及函数取最值时自变量的取值范围；（2）利用函数奇偶性定义进行判断.【详解】（1）π2cos 32sin 32y x x ⎛⎫=-= ⎪⎝⎭，令ππ2π32π22k x k -+≤≤+，Z k ∈，即π2ππ2π6363k k x -+≤≤+，Z k ∈，令π3π2π32π22k x k +≤≤+，Z k ∈，即π2ππ2π6323k k x +≤≤+，Z k ∈，故函数的单调递增区间为π2ππ2π,,6363k k k Z ⎡⎤-++∈⎢⎥⎣⎦，单调递减区间为π2ππ2π,,6323k k k Z ⎡⎤++∈⎢⎥⎣⎦，令π32π2x k =+，Z k ∈，即π2π63k x =+，Z k ∈时，函数取得最大值；令π32π2x k =-+，Z k ∈，即π2π63k x =-+，Z k ∈时，函数取得最小值，所以函数取得最大值时自变量x 的集合是π2π,63k x x k Z ⎧⎫=+∈⎨⎬⎩⎭，函数取得最小值时自变量x 的集合是π2π,63k x x k Z ⎧⎫=-+∈⎨⎬⎩⎭（2）函数定义域为R ，且()()()2sin 32sin 3f x x x f x -=-=-=-，故函数为奇函数.19．已知函数()()sin f x A x =+ωϕ()0,0,02πA ωϕ>><<的部分图象如图所示．(1)求函数()f x 的解析式，并求()f x 单调递减区间；(2)若()3π3sin 2224h x x ωϕ⎛⎫=+-+ ⎪⎝⎭，π0,4x ⎡⎤∈⎢⎣⎦，求()h x 的取值范围．【正确答案】(1)π()23f x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，单调递减区间为π7ππ,π(Z)1212k k k ⎡⎤++∈⎢⎥⎣⎦(2)9()0,4h x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦【分析】（1）由图可求得A 及周期，从而可得ω，再利用待定系数法求出ϕ即可，再根据正弦函数的单调性结合整体思想即可求出函数的减区间；（2）根据正弦函数的性质结合整体想即可得出答案.【详解】（1）由图可得：37ππ3π41264T ⎛⎫=--= ⎪⎝⎭，A πT =，故2ω=，当7π12x =时，7π7π126f ϕ⎛⎫⎛⎫=+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭所以7π3π2π62k ϕ+=+，即ππ,Z k k ϕ=+∈23，由于02πϕ<<，所以π3ϕ=，故π()23f x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，令ππ3π2π22π(Z)232k x k k +≤+≤+∈，得π7πππ(Z)1212k x k k +≤≤+∈，故函数的单调递减区间为π7ππ,π(Z)1212k k k ⎡⎤++∈⎢⎥⎣⎦；（2）3π3()sin 4264h x x ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭，由于π0,4x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，所以ππ5π4666x ⎡⎤-∈-⎢⎣⎦，故3π39sin 40,2644x ⎛⎫⎡⎤-+∈ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦，即9()0,4h x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦．20．如图是某市3月1日至14日的空气质量指数趋势图，空气质量指数小于100表示空气质量优良，空气质量指数大于200表示空气重度污染．某人随机选择3月1日至3月13日中的某一天到达该市，并停留2天．(1)求此人到达当日空气重度污染的概率；(2)求此人在该市停留期间只有1天空气重度污染的概率；(3)由图判断从哪天开始连续三天的空气质量指数方差最大？（结论不要求证明）【正确答案】(1)213(2)413(3)从5日开始连续5、6、7三天的空气质量指数方差最大【分析】（1）由图查出13天内空气质量指数小于100的天数，直接利用古典概型概率计算公式得到答案；（2）用列举法写出此人在该市停留两天的空气质量指数的所有情况，查出仅有一天是重度污染的情况，然后直接利用古典概型概率计算公式得到答案；（3）因为方差越大，说明三天的空气质量指数越不稳定，由图直接看出答案．【详解】（1）由图看出，1日至13日13天的时间内，空气质量重度污染的是5日、8日共2天．由古典概型概率计算公式得，此人到达当日空气重度污染的概率213P =．（2）此人在该市停留期间两天的空气质量指数()86,25、()25,57、()57,143、()143,220、()220,160、()160,40、()40,217、()217,160、()160,121、()121,158、()158,86、()86,79、()79,37共13种情况．其中只有1天空气重度污染的是()143,220、()220,160、()40,217、()217,160共4种情况，所以此人在该市久留期间只有1天空气重度污染的概率413P =．（3）因为方差越大，说明三天的空气质量指数越不稳定，由图看出从5日开始连续5、6、7三天的空气质量指数方差最大．21．已知函数()π2sin 216f x x m ⎛⎫=+++ ⎪⎝⎭在区间π0,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的最大值为3．(1)求使()0f x ≥成立的x 的取值集合；(2)将函数()f x 图象上所有的点向下平移1个单位长度，再向右平移一个单位长度，得到函数()g x 的图象，若12ππ,62x x ⎛⎫∈- ⎪⎝⎭，且()()12g x g x =，求222x x g +⎛⎫⎪⎝⎭的值．【正确答案】(1)ππππ,Z 62xk x k k ⎧⎫-+≤≤+∈⎨⎬⎩⎭∣；(2)2±.【分析】（1）根据三角函数的性质结合条件可得0m =，再根据正弦函数的性质解不等式即可；（2）由三角函数的图象变换可得()()π2sin 216g x x ⎡⎤=-+⎢⎥⎣⎦，求出()g x 在ππ,62⎛⎫- ⎪⎝⎭上的对称轴，从而可求解.【详解】（1）因为π0,2x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，所以ππ7π2,666x ⎡⎤+∈⎢⎥⎣⎦，所以π1sin 2,162x ⎛⎫⎡⎤+∈- ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦，所以2sin 2[1,2]6πx ⎛⎫+∈- ⎪⎝⎭，所以π2sin 21[,3]6x m m m ⎛⎫+++∈+ ⎪⎝⎭，因为函数()π2sin 216f x x m ⎛⎫=+++ ⎪⎝⎭在区间π0,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的最大值为3，所以33+=m ，解得0m =，所以π()2sin 216f x x ⎛⎫=++ ⎪⎝⎭，由()0f x ≥，可得π1sin 262x ⎛⎫+≥- ⎪⎝⎭，故ππ7π2π22π,Z 666k x k k -+≤+≤+∈，解得ππππ,Z 62k x k k -+≤≤+∈，故使()0f x ≥成立的x 的取值集合为ππππ,Z 62x k x k k ⎧⎫-+≤≤+∈⎨⎬⎩⎭；（2）将函数()f x 图象上所有的点向下平移1个单位长度，可得π2sin 26y x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，再向右平移一个单位长度，可得()()π2sin 216g x x ⎡⎤=-+⎢⎥⎣⎦，因为ππ,62x ⎛⎫∈- ⎪⎝⎭，所以()ππ7π212,2666x ⎛⎫-+∈--- ⎪⎝⎭，令()ππ21π,62x k k -+=+∈Z ，得ππ1,62k x k =++∈Z ，令1k =-，可得π13x =-，故()()π2sin 216g x x ⎡⎤=-+⎢⎥⎣⎦在ππ,62x ⎛⎫∈- ⎪⎝⎭上的对称轴为π13x =-，因为()()12g x g x =，所以12π123x x =-+，所以12ππ2sin 2112236x x g ⎡⎤⎛⎫⎛⎫=--+=- ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦+.令0k =，可得π16x =+，故()()π2sin 216g x x ⎡⎤=-+⎢⎥⎣⎦在ππ,62x ⎛⎫∈- ⎪⎝⎭上的对称轴为π16x =+．因为()()12g x g x =，所以12π126x x +=+．所以12ππ2sin 2112266x x g +⎡⎤⎛⎫⎛⎫=+-+= ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦，综上，222x x g +⎛⎫ ⎪⎝⎭的值为2±．22．已知函数()()12log 2sin 1 3.f x x =+-(1)求f (x )的定义域；(2)若0,6x π⎡⎤∈⎢⎣⎦，求f (x )的值域;(3)设R a ∈，函数()2232g x x a x a =--，[0,1]x ∈，若对于任意10,6x π⎡⎤∈⎢⎣⎦，总存在唯一的0[0,1]x ∈，使得()()01 g x f x =成立，求a 的取值范围.【正确答案】(1)7{|22,Z}66x k x k k ππππ-<<+∈；(2)[4,3]--；(3)53(,][1,]32-∞- .【分析】（1）由对数函数的意义，列出不等式，再求解作答.（2）求出函数2sin 1y x =+在[0,]6π上的值域，再结合对数函数单调性求解作答.（3）利用二次函数对称轴分类，结合（2）的结论列出不等式，求解作答.【详解】（1）函数12()log (2sin 1)3=+-f x x 有意义，有2sin 10x +>，即1sin 2x >-，解得722,Z 66k x k k ππππ-<<+∈，所以函数f (x )的定义域为7{|22,Z}66x k x k k ππππ-<<+∈.（2）当06x π≤≤时，10sin 2x ≤≤，则12sin 12x ≤+≤，121log (2sin 1)0x -≤+≤，4()3f x -≤≤-，所以f (x )的值域是[4,3]--.（3）由（2）知，1[0,]6x π∈，14()3f x -≤≤-，函数()2232g x x a x a =--图象对称轴232a x =，而[0,1]x ∈，当2312a ≤，即33a -≤≤时，显然(0)233g a =-≥->-，因为任意10,6x π⎡⎤∈⎢⎣⎦，总存在唯一的0[0,1]x ∈，使得()()01g x f x =成立，则必有2(1)1324g a a =--≤-，解得53a ≤-或1a ≥，显然无解，当2312a >，即a <或a >时，函数()2232g x x a x a =--在[0,1]上单调递减，()()()10g g x g ≤≤，因为任意10,6x π⎡⎤∈⎢⎣⎦，总存在唯一的0[0,1]x ∈，使得()()01g x f x =成立，则(0)3(1)4g g ≥-⎧⎨≤-⎩，于是得2231324a a a -≥-⎧⎨--≤-⎩，解得53a ≤-或312a ≤≤，满足3a <-或3a >，因此53a ≤-或312a ≤≤，所以a 的取值范围是53(,][1,]32-∞- .结论点睛：若[]1,x a b ∀∈，[]2,x c d ∃∈，有()()12f x g x =，则()f x 的值域是()g x 值域的子集．。

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