平面向量练习题附答案

平面向量练习题

一．填空题。

1．BA CD DB AC +++等于________．

2．若向量a ＝（3，2），b ＝（0，－1），则向量2b －a 的坐标是________．

3．平面上有三个点A （1，3），B （2，2），C （7，x ），若∠ABC ＝90°，则x 的值为________．

4.向量a 、b 满足|a |=1,|b |=2,(a +b )⊥(2a -b ),则向量a 与b 的夹角为________．

5．已知向量a ＝（1，2），b ＝（3，1），那么向量2a －21的坐标是_________． 6．已知A （－1，2），B （2，4），C （4，－3），D （x ，1），若AB 与CD 共线，则|BD |的值等于________．

7．将点A （2，4）按向量a ＝（－5，－2）平移后，所得到的对应点A ′的坐标是______．

8.已知a=(1,－2),b=(1,x),若a ⊥b,则x 等于______

9. 已知向量a,b 的夹角为 120，且|a|=2,|b|=5,则（2a-b ）·a=______

10. 设a=(2,－3),b=(x,2x),且3a ·b=4,则x 等于_____

11. 已知BC CD y x BC AB 且),3,2(),,(),1,6(--===∥DA ，则x+2y 的值为_____ 12. 已知向量a+3b,a-4b 分别与7a-5b,7a-2b 垂直，且|a|≠0,|b|≠0，则a 与b 的夹角为____

13． 在△ABC 中，O 为中线AM 上的一个动点，若AM=2，则()

OA OB OC +的最小值是.

14．将圆222=+y x 按向量v =（2，1）平移后，与直线0=++λy x 相切，则λ的值为.

二．解答题。

1．设平面三点A （1，0），B （0，1），C （2，5）．

（1）试求向量2AB ＋AC 的模； （2）试求向量AB 与AC 的夹角；

（3）试求与BC 垂直的单位向量的坐标．

2.已知向量a =(θθcos ,sin )（R ∈θ）,b =(3,3)

（1）当θ为何值时，向量a 、b 不能作为平面向量的一组基底

（2）求|a －b |的取值围

3．已知向量a 、b 是两个非零向量，当a +t b (t ∈R)的模取最小值时，

（1）求t 的值

（2）已知a 、b 共线同向时，求证b 与a +t b 垂直

4. 设向量)2,1(),1,3(-==OB OA ，向量OC 垂直于向量OB ，向量BC 平行于OA ，试求

,=+的坐标.

5.将函数y=－x 2进行平移，使得到的图形与函数y=x 2

－x －2的图象的两个交点关于原点对称.(如图)求平移向量a 及平移后的函数解析式.

6.已知平面向量).2

3,21(),1,3(=-=若存在不同时为零的实数k 和t,使 .,,)3(2t k t ⊥+-=-+=且

（1）试求函数关系式k =f （t ）

（2）求使f （t ）>0的t 的取值围.

参考答案

1.

2.（－3，－4）

3.7

4.90°

（21，321

）．

6.73．

7.（－3，2）．

8.－2

9.12

10.31

-

11.0

12. 90°

13.2-

14.51--或

（1）∵AB ＝（0－1，1－0）＝（－1，1），AC ＝（2－1，5－0）＝（1，5）． ∴ 2AB ＋AC ＝2（－1，1）＋（1，5）＝（－1，7）．

∴ |2AB ＋AC |＝227)1(+-＝50．

（2）∵ |AB |＝221)1(+-＝2．|AC |＝2251+＝26，

AB ·AC ＝（－1）×1＋1×5＝4．

∴ cos ＝||||AC AB ⋅＝2624⋅＝1313

2． （3）设所求向量为＝（x ，y ），则x 2＋y 2＝1．①

又＝（2－0，5－1）＝（2，4），由⊥，得2 x ＋4 y ＝0．②

由①、②，得⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-==．55552y x 或⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧==．－55552y x ∴（552，－55）或（－552，55）

即为所求．

13．【解】（1）要使向量a 、b 不能作为平面向量的一组基底，则向量a 、b 共线

∴33

tan 0cos 3sin 3=⇒=-θθθ

故)(6Z k k ∈+=π

πθ，即当)(6Z k k ∈+=π

πθ时，向量a 、b 不能作为平面向量的一组基

底

（2）

)cos 3sin 3(213)3(cos )3(sin ||22θθθθ+-=-+-=-b a 而32cos 3sin 332≤+≤-θθ

∴132||132+≤-≤-b a

14．【解】（1）由2222||2||)(a bt a t b tb a +⋅+=+

当的夹角）

与是b a b a b b

a t αα(cos ||||||222-=⋅-=时a+tb(t ∈R)的模取最小值

（2）当a 、b 共线同向时，则0=α，此时|||

|b a t -=

∴0||||||||||||)(2=-=-⋅=+⋅=+⋅b a a b b a a b tb a b tb a b

∴b ⊥(a +t b )

18．解：设020),,(=-=⋅∴⊥=x y y x ① 又0)1()2(3)2,1(,//=+---+=x y y x 即：73=-x y ②

联立①、②得⎩⎨⎧

==7,

14y x ………10分)6,11(),7,14(=-==∴OA OC OD OC 于是

.

19．解法一：设平移公式为

⎩⎨⎧-'=-'=k y y h

x x 代入2x y -=，得到

k h hx x y h x k y +-+-=-'-=-'2222.)(即，

把它与22--=x x y 联立，

得⎪⎩⎪⎨⎧--=+-+-=22222x x y k

h hx x y

设图形的交点为（x 1，y 1），（x 2，y 2），

由已知它们关于原点对称，