背包问题详解

对每一个确定的i(1≤i≤n)，用一个表p[i]存储函数 ，j)的全部 ，用一个表 存储函数m(i， 的全部 对每一个确定的 存储函数 跳跃点。 可依计算m(i，j)的递归式递归地由表 的递归式递归地由表p[i+1]计算， 计算， 跳跃点。表p[i]可依计算 可依计算 ， 的递归式递归地由表 计算 初始时p[n+1]={(0，0)}。 初始时 ， 。
5 0 6 9 9 9 9
6 0 6 9 9 9 12
7 0 6 9 9 10 12
8 0 6 9 11 11 15
9 0 6 9 11 13 15
10 0 6 9 14 14 15
x1=1 x2=1 x3=0 x4=0 x5=1
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
0 0 0 0 0 0
1 2 3 4 5
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1、0-1背包问题—动态规划算法 背包问题—
void Traceback(int **m, int w[ ], int c, int n, int x[ ]) {// 计算x for (int i=1; i<n; i++) if (m[i][c]==m[i+1][c]) x[i]=0; else { x[i]=1; c-=w[i]; } x[n]=(m[n][c])?1:0; }
动态规划系列之二 背包问题
彭智朝 2010.6.8
1
解空间
设Xi表示第i件物品的取舍，1代表取，0代表舍， 搜索的空间为n元一维数组（X1,X2,X3,……， Xn）,取值范围为（0，0，0……，0，0）， （0，0，0……，0，1），（0，0，0……，1， 0），（0，0，0……，1，1），……，（1， 1，1……，1，1）。
j ≥ wi max{m(i + 1, j ), m(i + 1, j − wi ) + vi } m(i, j ) = 0 ≤ j < wi m(i + 1, j )
j ≥ wn v n m(n, j ) = 0 0 ≤ j < wn
6
0-1背包问题
0/1背包问题可以看作是决策一个序列 1, x2, …, xn)，对任 背包问题可以看作是决策一个序列(x 背包问题可以看作是决策一个序列 ， 一变量x 的决策是决定x 还是 还是x 。在对x 决策后， 一变量 i的决策是决定 i=1还是 i=0。在对 i-1决策后，已确定了 (x1, …, xi-1)，在决策 i时，问题处于下列两种状态之一： 问题处于下列两种状态之一： ，在决策x （1）背包容量不足以装入物品 ，则xi=0，背包不增加价值； ）背包容量不足以装入物品i， ，背包不增加价值； （2）背包容量可以装入物品 ，则xi=1，背包的价值增加了 i。 ）背包容量可以装入物品i， ，背包的价值增加了v 这两种情况下背包价值的最大者应该是对 决策后 决策后的背包 这两种情况下背包价值的最大者应该是 对 xi决策后的背包 价 值 。 令 V(i, j) 表 示 在 前 i(1≤i≤n) 个 物 品 中 能 够 装 入 容 量 为 j （ 1≤j≤C） 的背包中的物品的最大值 ， 则可以得到如下动态规 ） 的背包中的物品的最大值， 划函数： 划函数：
多重背包问题
种物品和一个容量为V的背包。 种物品最多 有N种物品和一个容量为V的背包。第i种物品最多 n[i]件可用 每件费用是c[i] 价值是w[i] 件可用， c[i]， w[i]。 有n[i]件可用，每件费用是c[i]，价值是w[i]。求 解将哪些物品装入背包可使这些物品的费用总和不 超过背包容量，且价值总和最大。 超过背包容量，且价值总和最大。
4
其他类型背包问题
完全背包问题(0/1)： 完全背包问题(0/1)： (0/1)
种物品和一个容量为V的背包，每种物品都有无 有N种物品和一个容量为V的背包，每种物品都有无 件可用。 种物品的费用是c[i] 价值是w[i] c[i]， w[i]。 限件可用。第i种物品的费用是c[i]，价值是w[i]。 求解将哪些物品装入背包可使这些物品的费用总和 不超过背包容量，且价值总和最大。 不超过背包容量，且价值总和最大。
9 0 6 9 11 13 15
10 0 6 9 14 14 15
0 0 0 0 0 0
1 2 3 4 5
10
0 0
w1=2 v1=6 w2=2 v2=3 w3=6 v3=5 w4=5 v4=4 w5=4 v5=6
1 0 0 0 0 0 0
2 0 6 6 6 6 6
3 0 6 6 6 6 6
4 0 6 9 9 9 9
12
算法改进
的递归式容易证明， 由m(i,j)的递归式容易证明，在一般情况下，对每一个确定的 的递归式容易证明 在一般情况下， i(1≤i≤n)，函数 是关于变量j的阶梯状单调不减函数 ，函数m(i,j)是关于变量 的阶梯状单调不减函数。跳跃 是关于变量 的阶梯状单调不减函数。 点是这一类函数的描述特征。在一般情况下，函数m(i,j)由其 点是这一类函数的描述特征。在一般情况下，函数 由其 全部跳跃点唯一确定。如图所示。 全部跳跃点唯一确定。如图所示。
5
0-1背包问题
设所给0-1背包问题的子问题 设所给 背包问题的子问题
max ∑ v k x k
k =i
n ∑ wk x k ≤ j k =i 算法复杂度分析： 算法复杂度分析： xk ∈ {0,1}, i ≤ k ≤ n
n
的递归式容易看出， 从m(i，j)的递归式容易看出，算法需要 ， 的递归式容易看出 算法需要O(nc)计算 计算 的最优值为m(i，j)，即m(i，，算法需要的计算时间较 的最优值为 ， ， 很大时 是背包容量为 可选择物品为i， ， 是背包容量为j， 时间。当背包容量c很大时 j)是背包容量为 ，可选择物品为 ， 时间。当背包容量 很大时， i+1，…，n时当c>2n时，算法需要 。由n)计算时间。 ， 例如， 背包问题的最优值 ， 时 背包问题的最优值。 0-1背包问题的最优子 背包问题的最优子 算法需要Ω(n2 计算时间 计算时间。 多。例如，0-1背包问题的最优值 结构性质，可以建立计算m(i，j)的递归式如下。 的递归式如下。 结构性质，可以建立计算 ， 的递归式如下
7
1、0-1背包问题—动态规划算法 背包问题—
void Knapsack(int *v, int *w, int c, int n, int ** m) { int j; int jMax; if(w[n]-1>c) jMax=c; else jMax=w[n]-1; for (j = 0; j <= jMax ;j++) m[n][j] = 0; for (j = w[n]; j <= c; j++) m[n][j] = v[n] ; for ( int i=n-1; i>1; i--) { int jMax; if(w[n]-1>c) jMax=c; else jMax=w[n]-1; for (j = 0; j <= jMax; j++) m[i][j] = m[i+1][j]; for (j = w[i] ; j <= c; j++) if(m[i+1][j]> m[i+1][j-w[i]] + v[i] ) m[i][j]=m[i+1][j]; else m[i][j]=m[i+1][j-w[i]] + v[i] ; } m[1][c] =m[2][c]; if (c >= w[1]) m[1][c]=((m[1][c]>m[2][c-w[1]]+v[1])?m[1][c]:m[2][c-w[1]]+v[1]); }
0 0
w1=2 v1=6 w2=2 v2=3 w3=6 v3=5 w4=5 v4=4 w5=4 v5=6
1 0 0 0 0 0 0
2 0 6 6 6 6 6
3 0 6 6 6 6 6
4 0 6 9 9 9 9
5 0 6 9 9 9 9
6 0 6 9 9 9 12
7 0 6 9 9 10 12
8 0 6 9 11 11 15
2
解空间图示
以3个物品为例,解(0,1,0)表示(不取物品0,取物 root 品1,不取物品2)
0 1
0
1
0
1
0
1
0
3
0-1背包问题
问题陈述： 问题陈述： 给定n种物品和一背包。物品i的重量是wi 其价值为vi wi， vi， 给定n种物品和一背包。物品i的重量是wi，其价值为vi，背包的 容量为c。问应如何选择装入背包中的物品，使得装入背包中物品 容量为c 问应如何选择装入背包中的物品， 的总价值最大？ 的总价值最大？ 在选择装入背包的物品时，对每种物品i只有两种选择， 在选择装入背包的物品时，对每种物品i只有两种选择，即装入背 包或不装入背包。不能将物品i装入背包多次， 包或不装入背包。不能将物品i装入背包多次，也不能只装入部分 的物品i 因此，该问题称为0 背包问题。 的物品i。因此，该问题称为0-1背包问题。 解题思路： 解题思路： 此问题可转化为：给定c>0 wi>0，vi>0，1≤i≤n， c>0， 此问题可转化为：给定c>0，wi>0，vi>0，1≤i≤n，要求找出一 个n元0-1向量(x1，x2，…，xn)，xi∈{0，1}，1≤i≤n，使得 向量(x1，x2， xn)，xi∈{0，1}，1≤i≤n， (x1 wixi≤c，而且∑vixi达到最大 因此， 达到最大。 ∑wixi≤c，而且∑vixi达到最大。因此，0-1背包是一个特殊的 整数规划问题： 整数规划问题： max ∑vixi ∑wixi≤c， s.t. ∑wixi≤c， xi∈{0，1}，1≤i≤n xi∈{0，1}， 可用动态规划算法求解。 可用动态规划算法求解。
13
一个例子
n=3，c=6，w={4，3，2}，v={5，2，1}。
m(4,x) (0,0) m(4,x-2)+1 (2,1) m(3,x) (2,1) (0,0)
x
m(3,x) (2,1) (0,0) m(3,x-3)+2 (3,2)
x
m(2,x) (5,3) (0,0) (3,2) (2,1) (5,3)
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1、0-1背包问题—动态规划算法举例 背包问题—
例如，有5个物品，其重量分别是{2, 2, 6, 5, 4}，价值分别 为{6, 3, 5, 4, 6}，背包的容量为10。 根据动态规划函数，用一个(n+1)×(C+1)的二维表V，V[i][j] 表示把前i个物品装入容量为j的背包中获得的最大价值。
x
x
m(2,x) (3,2) (2,1) (5,3)
x
m(2,x-4)+5 (7,7) (6,6) (4,5) (9,8) m(1,x)
x
(7,7) (6,6) (4,5) (3,2) (5,3) (0, 0) (2, 1) (9,8)
(0,0)
x
x
x
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算法改进
• 函数 函数m(i,j)是由函数 是由函数m(i+1,j)与函数 与函数m(i+1,j-wi)+vi作max运 是由函数 与函数 作 运 算得到的。因此，函数m(i,j)的全部跳跃点包含于函数 的全部跳跃点包含于函数m(i+1， 算得到的。因此，函数 的全部跳跃点包含于函数 ， j)的跳跃点集 的跳跃点集p[i+1]与函数 与函数m(i+1，j-wi)+vi的跳跃点集 的跳跃点集q[i+1]的 的跳跃点集 与函数 ， 的跳跃点集 的 并集中。易知， 当且仅当wi≤ ≤ 且 并集中。易知，(s,t)∈q[i+1]当且仅当 ≤s≤c且(s-wi,t∈ 当且仅当 vi)∈p[i+1]。因此，容易由p[i+1]确定跳跃点集 ∈ 。因此，容易由 确定跳跃点集q[i+1]如下 如下 确定跳跃点集 q[i+1]=p[i+1]⊕(wi,vi)={(j+wi,m(i,j)+vi)|(j,m(i,j))∈p[i+1]} ⊕ ∈ • 另一方面，设(a，b)和(c，d)是p[i+1]∪q[i+1]中的 个跳跃 另一方面， 中的2个跳跃 ， 和 ， 是 ∪ 中的 则当c≥ 且 受控于(a， ，从而(c， 不是 点，则当 ≥a且d<b时，(c，d)受控于 ，b)，从而 ，d)不是 时 ， 受控于 p[i]中的跳跃点。除受控跳跃点外，p[i+1]∪q[i+1]中的其它跳 中的跳跃点。除受控跳跃点外， ∪ 中的其它跳 中的跳跃点 跃点均为p[i]中的跳跃点。 中的跳跃点。 跃点均为 中的跳跃点 • 由此可见，在递归地由表 由此可见，在递归地由表p[i+1]计算表 计算表p[i]时，可先由 计算表 时 可先由p[i+1] 计算出q[i+1]，然后合并表 和表q[i+1]，并清除其中的受 计算出 ，然后合并表p[i+1]和表 和表 ， 控跳跃点得到表p[i]。 控跳跃点得到表 。
0 0
w1=2 v1=6 w2=2 v2=3 w3=6 v3=5 w4=5 v4=4 w5=4 v5=6
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2
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9
第一阶段，只装入前1个物品，确定在各种情况下的背包能够得到的最大价值； 第一阶段，只装入前 个物品，确定在各种情况下的背包能够得到的最大价值； 个物品 各种情况下的背包能够得到的最大价值 第二阶段，只装入前 个物品 确定在各种情况下的背包能够得到的最大价值； 个物品， 第二阶段，只装入前2个物品，确定在各种情况下的背包能够得到的最大价值； 依此类推，直到第 个阶段 最后， 个阶段。 便是在容量为C的背包中装入 依此类推，直到第n个阶段。最后，V(n,C)便是在容量为 的背包中装入 个物品 便是在容量为 的背包中装入n个物品 时取得的最大价值。 时取得的最大价值。