背包问题详解
理学背包问题详解
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
000000000000
x1=1
w1=2 v1=6 1 0 0 6 6 6 6 6 6 6 6 6
x2=1
w2=2 v2=3 2 0 0 6 6 9 9 9 9 9 9 9
x3=0
w3=6 v3=5 3 0 0 6 6 9 9 9 9 11 11 14
可用动态规划算法求解。
3
其他类型背包问题
完全背包问题(0/1)：
有N种物品和一个容量为V的背包，每种物品都有 无限件可用。第i种物品的费用是c[i]，价值是w[i]。 求解将哪些物品装入背包可使这些物品的费用总和 不超过背包容量，且价值总和最大。
多重背包问题
有N种物品和一个容量为V的背包。第i种物品最多 有n[i]件可用，每件费用是c[i]，价值是w[i]。求解 将哪些物品装入背包可使这些物品的费用总和不超 过背包容量，且价值总和最大。
{// 计算x
for (int i=1; i<n; i++)
if (m[i][c]==m[i+1][c])
x[i]=0;
else
{
x[i]=1;
c-=w[i];
}
x[n]=(m[n][c])?1:0;
}
11
算法改进
由m(i,j)的递归式容易证明，在一般情况下，对每一个确定的 i(1≤i≤n)，函数m(i,j)是关于变量j的阶梯状单调不减函数。跳跃 点是这一类函数的描述特征。在一般情况下，函数m(i,j)由其 全部跳跃点唯一确定。如图所示。
(7,7)
(6,6) (4,5)
(4,5)(6,6)
(0,
0)
(2,
(3,2) 1)
动态规划之01背包问题(最易理解的讲解)
01背包问题，是用来介绍动态规划算法最经典的例子，网上关于01背包问题的讲解也很多，我写这篇文章力争做到用最简单的方式，最少的公式把01背包问题讲解透彻。
01背包的状态转换方程f[i,j] = Max{ f[i-1,j-Wi]+Pi( j >= Wi ), f[i-1,j] }f[i,j]表示在前i件物品中选择若干件放在承重为j 的背包中，可以取得的最大价值。
Pi表示第i件物品的价值。
决策：为了背包中物品总价值最大化，第i件物品应该放入背包中吗？题目描述：有编号分别为a,b,c,d,e的五件物品，它们的重量分别是2,2,6,5,4，它们的价值分别是6,3,5,4,6，现在给你个承重为10的背包，如何让背包里装入的物品具有最首先要明确这张表是从右到左,至底向上生成的。
为了叙述方便，用e10单元格表示e行10列的单元格，这个单元格的意义是用来表示只有物品e时，有个承重为10的背包，那么这个背包的最大价值是6，因为e物品的重量是4，背包装的了，把e装进去后价值为6。
然后是e9单元格表示背包承重9，只有物品e, e装进去后，背包价值为6，接着是e8, e7单元格，一直到e3单元格表示背包承重3，但物品e承重4，装不了，所以e3=0,对于d10单元格，表示只有物品e，d时,承重为10的背包,所能装入的最大价值，是10，因为物品e,d这个背包都能装进去。
对于承重为9的背包，d9=10,是怎么得出的呢？根据01背包的状态转换方程，需要考察两个值，一个是f[i-1,j],对于这个例子来说就是e9的值6，另一个是f[i-1,j-Wi]+Pi；在这里，f[i-1,j]表示我有一个承重为9的背包，当只有物品e可选时，这个背包能装入的最大价值f[i-1,j-Wi]表示我有一个承重为4的背包（等于当前背包承重减去物品d的重量），当只有物品e可选时，这个背包能装入的最大价值f[i-1,j-Wi]就是指单元格e4值为6，Pi指的是d物品的价值，即4由于f[i-1,j-Wi]+Pi = 6 + 4 = 10 大于f[i-1,j] = 6，所以物品d应该放入承重为9的背包，所以d9=10.。
背包问题九讲(很详细)
P01: 01背包问题题目有N件物品和一个容量为V的背包。
第i件物品的费用是c[i]，价值是w[i]。
求解将哪些物品装入背包可使价值总和最大。
基本思路这是最基础的背包问题，特点是：每种物品仅有一件，可以选择放或不放。
用子问题定义状态：即f[i][v]表示前i件物品恰放入一个容量为v的背包可以获得的最大价值。
则其状态转移方程便是：f[i][v]=max{f[i-1][v],f[i-1][v-c[i]]+w[i]}这个方程非常重要，基本上所有跟背包相关的问题的方程都是由它衍生出来的。
所以有必要将它详细解释一下：“将前i件物品放入容量为v的背包中”这个子问题，若只考虑第i件物品的策略（放或不放），那么就可以转化为一个只牵扯前i-1件物品的问题。
如果不放第i件物品，那么问题就转化为“前i-1件物品放入容量为v的背包中”，价值为f[i-1][v]；如果放第i件物品，那么问题就转化为“前i-1件物品放入剩下的容量为v-c[i]的背包中”，此时能获得的最大价值就是f[i-1][v-c[i]]再加上通过放入第i件物品获得的价值w[i]。
优化空间复杂度以上方法的时间和空间复杂度均为O(VN)，其中时间复杂度应该已经不能再优化了，但空间复杂度却可以优化到O。
先考虑上面讲的基本思路如何实现，肯定是有一个主循环i=1..N，每次算出来二维数组f[i][0..V]的所有值。
那么，如果只用一个数组f[0..V]，能不能保证第i次循环结束后f[v]中表示的就是我们定义的状态f[i][v]呢？f[i][v]是由f[i-1][v]和f[i-1][v-c[i]]两个子问题递推而来，能否保证在推f[i][v]时（也即在第i次主循环中推f[v]时）能够得到f[i-1][v]和f[i-1][v-c[i]]的值呢？事实上，这要求在每次主循环中我们以v=V..0的顺序推f[v]，这样才能保证推f[v]时f[v-c[i]]保存的是状态f[i-1][v-c[i]]的值。
数据结构 背包问题
数据结构背包问题引言概述：数据结构是计算机科学中非常重要的一个领域，它涉及到如何组织和存储数据，以便能够高效地进行操作和处理。
背包问题是一个经典的计算机科学问题，它涉及到如何在给定的背包容量下，选择一些物品放入背包中，使得背包的总价值最大化。
本文将从五个大点来详细阐述背包问题的相关内容。
正文内容：1. 背包问题的定义与分类1.1 背包问题的定义：背包问题是指在给定的背包容量和一组物品的重量和价值下，如何选择物品放入背包中，使得背包的总价值最大化。
1.2 背包问题的分类：背包问题可以分为0/1背包问题、分数背包问题和多重背包问题。
0/1背包问题要求每个物品只能选择放入背包一次或不放入；分数背包问题允许物品被分割成若干部分放入背包；多重背包问题允许每个物品有多个可选的数量。
2. 背包问题的解决方法2.1 动态规划法：动态规划是解决背包问题的常用方法。
它将问题划分为子问题，并利用子问题的解来构建原问题的解。
通过构建一个二维数组来保存每个子问题的解，可以逐步求解出整个问题的最优解。
2.2 贪心算法：贪心算法是一种简单而高效的解决背包问题的方法。
它通过每次选择当前最优的物品来构建解决方案。
贪心算法的优势在于其计算速度快，但可能无法得到全局最优解。
2.3 回溯算法：回溯算法是一种通过试探和回溯的方式来解决问题的方法。
它通过遍历所有可能的解决方案来找到最优解。
回溯算法的优势在于可以找到全局最优解，但计算速度较慢。
3. 背包问题的优化3.1 剪枝策略：剪枝策略是一种通过提前终止无效的搜索分支来减少计算量的方法。
通过判断当前路径是否有可能达到更优解，可以避免无效的搜索。
3.2 近似算法：近似算法是一种通过近似解来求解问题的方法。
它可以在较短的时间内得到一个接近最优解的解决方案，但无法保证其准确性。
3.3 动态规划的优化：动态规划法可以通过一些优化技巧来提高算法的效率，如使用滚动数组来减少空间复杂度，或者使用一些启发式规则来提前终止无效的计算。
背包问题祥解
背包问题（knapsack problem ）一、背包问题（pack.pas ）【题目】某商店有N 类物品，第i 类物品价值为V i ，重量为W i ，背包最大能承受的重量为G 。
其中V i 和W i 和G 都为非负整数。
目标是如何选择装入背包的物品，使装入背包的物品总价值最大。
每类物品可选任意数量放入背包。
可将这个问题形式描述如下：求iNi iXV ∑=1max约束条件为G XW i Ni i≤=∑1， []1,0∈i X其中X i 是：该类物品装入背包的个数与该类物品总个数的比值，X i =0表示没有第i 种物品放到背包中；X i =1表示将第i 种物品全部放到背包中。
【输入】第一行为分别为G ，N ，第二行分别为N 类物品的重量，第三行分别为N 类物品的价值。
【输出】最大总价值。
【输入样例】pack.in100 5 30 10 20 50 40 65 20 30 60 40 【输出样例】pack.out163【算法分析】贪心算法。
样例分析：有4个可行解如下图所示：4个可行解中，第4个可行解的总价值最大。
解法②贪心策略：按价值递减的顺序依次选择物品;（虽然每一步获得了价值最大的增加，但是背包可用重量消耗过快）；解法③贪心策略：按重量递增的顺序依次选择物品;（重量虽然慢慢地消耗，但是价值没能迅速地增加）启发：我们应该采用在价值的增长速率和重量的消耗速度之间取得平衡的选择标准！解法④贪心策略：按（V i/ W i）递减的顺序依次选择物品（即每一次装入的物品应该使它占用的每一单位重量获得最大的单位价值，可以证明用该策略得到的是最优解）。
【算法描述】knapsack(v,w,g,x,n)x←0 // 初始化解c←g // c：背包剩余可用容量for i←1 to n doif w(i)≤c // 当前考虑物品的重量小于背包现能承受重量then x(i) ←1 // 物品放入c←c-w(i) // 更新背包现能承受重量elsebreakif i<nthen x(i) ←c/w(i) // 将物品一部分放入背包return x // 返回背包问题的解二、0/1背包问题（pack01.pas ）【题目描述】某商店有N 项物品，第i 个物品价值为V i ，重量为W i ，背包最大能承受的重量为G 。
背包问题的算法
背包问题是一种经典的优化问题，通常用于解决在给定一组物品和它们的重量、价值等信息的情况下，如何选择一些物品放入一个容量有限的背包中，使得背包中物品的总价值最大或总重量最小等问题。
以下是背包问题的一种经典算法——动态规划法：
1. 定义状态：设f[i][j]表示前i个物品中选择若干个物品放入容量为j的背包中所能获得的最大价值或最小重量。
2. 状态转移方程：对于第i个物品，有两种情况：
- 不放入背包中，此时f[i][j]=f[i-1][j]；
- 放入背包中，此时f[i][j]=max(f[i-1][j], f[i-1][j-w[i]]+v[i])，其中w[i]和v[i]分别表示第i 个物品的重量和价值。
3. 初始化：f[0][0]=0。
4. 计算最优解：根据状态转移方程，从上到下依次计算每个物品的状态值，最终得到f[n][m]即为所求的最优解。
时间复杂度：O(n*m)，其中n为物品数量，m为背包容量。
空间复杂度：O(n*m)。
数据结构 背包问题
数据结构背包问题背包问题是数据结构中一个经典的算法问题，它涉及到在给定的背包容量下，如何选择物品使得背包中的总价值最大化。
在本文中，我将详细介绍背包问题的定义、解决方法以及相关的算法和实例。
一、背包问题的定义：背包问题是指在给定的背包容量和一组物品的重量和价值下，如何选择物品放入背包中，使得背包中物品的总价值最大化。
背包问题可以分为0/1背包问题和分数背包问题两种类型。
1. 0/1背包问题：0/1背包问题是指每个物品要么放入背包中，要么不放入背包中，不能选择部分物品放入。
每个物品有一个固定的重量和价值，背包有一个固定的容量。
目标是选择物品放入背包中，使得背包中物品的总价值最大化，同时不能超过背包的容量。
2. 分数背包问题：分数背包问题是指每个物品可以选择部分放入背包中，可以按照比例放入。
每个物品有一个固定的重量和价值，背包有一个固定的容量。
目标是选择物品放入背包中，使得背包中物品的总价值最大化，同时不能超过背包的容量。
二、背包问题的解决方法：背包问题可以使用动态规划算法来解决。
动态规划算法的基本思想是将问题划分为多个子问题，并保存子问题的解，以便在需要时进行查找。
背包问题的动态规划算法可以分为两种类型：0/1背包问题和分数背包问题的解法略有不同。
1. 0/1背包问题的解决方法：0/1背包问题可以使用二维数组来表示状态转移方程。
假设dp[i][j]表示前i个物品放入容量为j的背包中的最大价值，那么状态转移方程可以定义为：dp[i][j] = max(dp[i-1][j], dp[i-1][j-w[i]] + v[i])其中，w[i]表示第i个物品的重量，v[i]表示第i个物品的价值。
通过遍历所有物品和背包容量的组合，可以求得dp[n][C]，即前n个物品放入容量为C的背包中的最大价值。
2. 分数背包问题的解决方法：分数背包问题可以使用贪心算法来解决。
贪心算法的基本思想是每次选择当前最优的解，然后将问题规模缩小，继续求解子问题。
背包问题的数学模型
背包问题的数学模型摘要：1.背包问题的定义2.背包问题的数学模型3.背包问题的求解方法4.背包问题的应用实例正文：一、背包问题的定义背包问题是一个经典的优化问题，它的问题是给定一个背包和n 种物品，其中，背包的容量为V，第i 种物品的质量为c_i，价值为p_i，如何通过物品选择，使得装入背包中的物品总价值最大。
二、背包问题的数学模型为了更好地理解背包问题，我们可以将其建立一个数学模型。
假设有n 种物品，分别用v_i 表示第i 种物品的价值，c_i 表示第i 种物品的质量，那么背包问题的数学模型可以表示为：f(x) = max {v_1x_1 + v_2x_2 +...+ v_nx_n}s.t.c_1x_1 + c_2x_2 +...+ c_nx_n <= Vx_i >= 0, i = 1,2,...,n其中，f(x) 表示背包中物品的总价值，x_i 表示第i 种物品的数量，V 表示背包的容量，c_i 表示第i 种物品的质量，v_i 表示第i 种物品的价值。
三、背包问题的求解方法背包问题的求解方法有很多，常见的有动态规划法、回溯法、贪心算法等。
这里我们以动态规划法为例进行介绍。
动态规划法的基本思想是将问题分解为子问题，通过求解子问题，最终得到原问题的解。
对于背包问题，我们可以将问题分解为：在容量为V 的情况下，如何选择物品使得总价值最大。
然后，我们可以通过递归的方式，依次求解子问题，最终得到原问题的解。
四、背包问题的应用实例背包问题是一个非常实用的优化问题，它在现实生活中有很多应用。
例如，一个果农需要根据市场需求和成本，选择合适的水果进行装箱；一个旅行者需要根据行李箱的容量和物品的价值，选择携带的物品等。
这些都可以通过背包问题来求解。
综上所述，背包问题是一个经典的优化问题，它有着广泛的应用。
算法背包问题的五种方法
算法背包问题的五种方法1. 动态规划背包问题是一种经典的组合优化问题，动态规划是解决背包问题的常用方法之一。
动态规划将问题分解为子问题，并利用已解决子问题的结果来求解更大规模的问题。
对于背包问题，动态规划算法的基本思想是创建一个二维数组dp，其中dp[i][j]表示在前i个物品中选择若干个物品放入容量为j的背包中所能获得的最大价值。
通过填表格的方式，从子问题逐步求解到原问题，最终得到最优解。
2. 贪心算法贪心算法是另一种解决背包问题的方法。
它的基本思想是每一步都选择当前看起来最好的选择，而不考虑之前的选择对后续步骤的影响。
在背包问题中，贪心算法通常是按照物品的价值密度（价值与重量的比值）进行排序，然后依次选择价值密度最高的物品放入背包，直到背包容量不足为止。
贪心算法的优势在于其简单性和高效性，但它并不一定能得到最优解。
3. 分支定界法分支定界法是一种通过搜索方式求解背包问题的方法。
它的基本思想是通过搜索可能的解空间，并根据当前搜索路径的特性进行剪枝操作，从而减少搜索的时间和空间复杂度。
在背包问题中，分支定界法通常根据当前节点的上界（通过松弛问题得到）与当前最优解进行比较，如果上界小于当前最优解，则该节点不再继续拓展，从而减少搜索空间的大小，提高求解效率。
4. 回溯算法回溯算法是一种通过不断试探和回退的方式求解背包问题的方法。
它的基本思想是从问题的初始状态开始，不断地尝试不同的决策，并根据约束条件判断该决策是否可行。
如果决策可行，则继续尝试下一步决策；如果不可行，则回退到上一步并尝试其他决策。
在背包问题中，回溯算法通过递归的方式依次尝试每个物品的放入与不放入两种选择，直到找到满足约束条件的解或者穷尽所有可能。
5. 近似算法近似算法是一种通过快速求解背包问题的“近似”解来减小计算复杂度的方法。
它的基本思想是用一种简单而快速的策略求解背包问题，并且能够保证求解结果的近似程度。
在背包问题中，常见的近似算法有贪心算法和启发式算法。
组合优化中的背包问题
组合优化中的背包问题背景介绍：组合优化是一种数学领域的研究，它主要关注如何在给定的限制条件下，找到最佳的组合方式。
背包问题是组合优化中的经典问题之一，它在实际生活和工业领域中都有广泛的应用。
本文将重点探讨组合优化中的背包问题。
一、问题描述：背包问题是指在给定的一组物品中，选择一部分放入背包中，使得所选物品的总价值最大化，同时不超过背包的容量限制。
背包问题通常包括两种类型：0-1背包和分数背包。
1. 0-1背包问题：0-1背包问题是指每个物品要么完全装入背包，要么完全不装入背包。
每个物品的重量和价值可能不同，背包的容量限制固定。
2. 分数背包问题：分数背包问题允许物品被分割成若干部分，可以选择物品的一部分放入背包，以满足容量的限制。
每个物品的重量和价值可能不同，背包的容量限制也可能不同。
二、解决方法：1. 动态规划：动态规划是解决背包问题最常用的方法之一。
通过构建一个二维数组，其中行表示物品的选择，列表示背包的容量限制，数组中的每个元素表示当前状态下的最优解。
通过迭代计算，找到最优解并记录在数组中。
2. 贪心算法：贪心算法是另一种解决背包问题的方法。
贪心算法的基本思想是每次选择当前状态下最优的物品放入背包中，直到达到容量限制或者所有物品都被选择。
贪心算法可能并不一定能得到全局最优解，但在某些情况下可以得到较好的结果。
三、应用领域：背包问题在实际生活和工业领域中有广泛的应用，如以下几个例子：1. 物流配送问题：在物流配送中，背包问题可以用来决定每个物流车辆应该运输哪些货物，以最大化运输总价值，同时不超过车辆的运载能力。
2. 投资组合优化问题：在金融领域中，背包问题可以用来优化投资组合，选择哪些证券或资产应该包括在投资组合中，以最大化组合的收益，同时控制总投资金额。
3. 选课问题：在学校选课系统中，背包问题可以用来确定学生应该选择哪些课程，以满足学分要求，并尽可能选择喜欢的课程。
结论：以上是关于组合优化中的背包问题的介绍。
数据结构 背包问题
数据结构背包问题背包问题是数据结构中一个重要的算法问题，它涉及到如何在给定的背包容量下，选择一定数量的物品放入背包，使得放入背包的物品总价值最大化。
在解决背包问题时，我们需要考虑物品的重量和价值，并且背包具有一定的容量限制。
一般来说，背包问题可以分为两种类型：0-1背包问题和完全背包问题。
1. 0-1背包问题：在0-1背包问题中，每个物品要么放入背包，要么不放入背包，不能选择部分放入。
我们需要根据物品的重量和价值，以及背包的容量限制，确定最优的放置策略。
假设有n个物品，每个物品的重量分别为w1, w2, ..., wn，价值分别为v1,v2, ..., vn，背包的容量为C。
我们需要找到一种放置策略，使得放入背包的物品总价值最大。
解决0-1背包问题的常用方法是动态规划。
我们可以使用一个二维数组dp[i][j]表示在前i个物品中，背包容量为j时的最大总价值。
动态规划的状态转移方程如下：- 当i=0或j=0时，dp[i][j] = 0，表示没有物品或背包容量为0时，最大总价值为0。
- 当j<wi时，dp[i][j] = dp[i-1][j]，表示当前物品的重量大于背包容量，无法放入背包，最大总价值与前i-1个物品相同。
- 当j>=wi时，dp[i][j] = max(dp[i-1][j], dp[i-1][j-wi]+vi)，表示当前物品可以放入背包，我们需要比较将其放入背包和不放入背包两种情况下的最大总价值，选择较大的那个。
通过动态规划的方式，我们可以依次计算dp[i][j]的值，最终得到dp[n][C]即为问题的解，表示在前n个物品中，背包容量为C时的最大总价值。
2. 完全背包问题：在完全背包问题中，每个物品可以选择放入背包的次数是无限的，即可以选择放入0个、1个、2个，直至放满背包。
我们需要根据物品的重量和价值，以及背包的容量限制，确定最优的放置策略，使得放入背包的物品总价值最大。
《背包问题详解》课件
VS
约束条件
背包的容量有限，每个物品的数量和重量 、价值是已知的，目标是最大化背包中物 品的总价值。
多重背包问题的最优解法
贪心算法
按照物品单位重量的价值进行排序，优先选择单位重量价值最高的物品，直到背包满或者无法再放入更多物品。
动态规划
将问题分解为子问题，通过解决子问题的最优解来得到原问题的最优解。具体来说，对于多重背包问题，可以将 问题分解为多个一维背包问题，然后分别求解每个一维背包问题的最优解，最后取最优解中的最大值。
02
背包问题通常涉及到多个约束条 件，如物品的重量、价值、体积 等，以及一个目标函数，如背包 中物品的总价值或总重量。
背包问题的分类
根据物品能否分割，背包问题可以分为可分割问题和不可分 割问题。在可分割问题中，物品可以被切割成任意大小，而 在不可分割问题中，物品只能以完整的形式装入背包。
根据是否考虑时间因素，背包问题可以分为静态问题和动态 问题。在静态问题中，所有物品的属性和背包的容量都是固 定的，而在动态问题中，物品的属性和背包的容量可能会随 着时间变化。
完全背包问题的最优解法
最优解法通常采用贪心算法，即每次选择单位重量价值最高的物品，直到背包容量用完为止。这种方 法能够得到最优解，但并不是所有情况下都能找到最优解。
在某些情况下，贪心算法可能会错过最优解，因为它的选择是基于当前的最优选择，而不是全局的最 优选择。
完全背包问题的动态规划解法
动态规划是解决完全背包问题的另一 种方法，它通过将问题分解为更小的 子问题来求解。对于完全背包问题， 动态规划的思路是先解决子问题，再 根据子问题的解来解决原问题。
《背包问题详解》ppt 课件
目录
• 背包问题的定义与分类 • 0-1背包问题详解 • 多重背包问题详解 • 完全背包问题详解 • 变种背包问题详解
背包问题系列算法详解
背包问题系列算法详解背包问题是一个关于最优解的经典问题。
通常被讨论的最多的，最经典的背包问题是0-1背包问题(0-1 Knapsack Problem)。
它是一切背包问题及相关背包问题的基础。
本篇博文将详细分析0-1背包问题，并给出0-1背包问题的几种解法，同时也对0-1背包问题的内涵进行延伸，丰富其外延至完全背包问题和多重背包问题，并给出背包问题的算法实现过程，希望对大家有帮助。
一、0-1背包问题有N件物品和一个容量为V的背包。
第i件物品（每个物品只有一件）的费用是c[i]，价值是w[i]。
求解将哪些物品装入背包可使价值总和最大。
（1）递归求解算法如下：#include "iostream"#define CAPACITY 10#define GOODSNUM 6using namespace std;int nVol[GOODSNUM];int nValue[GOODSNUM];int knapsack(int itemIndex,int vol);void main(){int i=0,j=0;while(i<GOODSNUM){cout<<"input the "<<i+1<<"th item(volume and value):";cin>>nVol[i]>>nValue[i];i++;}cout<<"The max value is: "<<knapsack(GOODSNUM,CAPACITY)<<endl;}int knapsack(int itemIndex,int vol){if (itemIndex==0||vol==0){return 0;}else if (vol>=nVol[itemIndex] &&knapsack(itemIndex-1,vol)<knapsack(itemIndex-1,vol-nVol[itemIndex])+nValue[itemIndex ]){return knapsack(itemIndex-1,vol-nVol[itemIndex])+nValue[itemIndex];}elsereturn knapsack(itemIndex-1,vol);}分析：递归求解，求解过程中的绝大部分变量存在重复求解的过程，算法的效率较低，有待改进；那怎么改进呢？最有效的是用数组保存每次计算的结果，不用重复计算，于是有二维数组求解。
数据结构 背包问题(2023最新版)
数据结构背包问题数据结构 - 背包问题简介背包问题是计算机科学中常见的问题之一，它涉及到在限定容量的背包中放置物品以达到最大价值。
在这个文档中，我们将介绍背包问题的几种常见解决方法和相关的数据结构。
背包问题类型0/1 背包问题在 0/1 背包问题中，每个物品要么被完全放入背包，要么不放入。
物品数量有限，目标是最大化背包中物品的总价值。
完全背包问题在完全背包问题中，每个物品都可以被选择无限次放入背包。
物品数量无限，同样的目标是最大化背包中物品的总价值。
多重背包问题多重背包问题给每种物品一个可选的数量上限，使此问题成为既有数量限制，又有是否选择的 0/1 特征的混合。
背包问题的解决方法动态规划动态规划是解决背包问题的一种常见方法，它将问题分解为更小的子问题，并通过存储解决子问题的结果来构建一个完整的解决方案。
贪心算法贪心算法选择当前具有最大或最小值的物品，并不考虑未来的影响。
尽管贪心算法并不总是得到最优解，但它可以在某些情况下提供近似解。
回溯算法回溯算法通过枚举所有可能的解决方案来解决问题。
对于背包问题，它可以尝试放入或不放入每个物品，并根据问题的限制条件确定最佳选择。
背包问题的数据结构物品每个物品都有自己的重量和价值，可以表示为一个结构体或对象。
在背包问题的解决中，我们需要使用这些信息来做出决策。
背包背包可以表示为一个简单的容器，用于存放物品。
我们可以使用数组、链表或其他数据结构来表示背包，并根据问题的限制来管理它。
价值数组价值数组是一个用于存储每个物品价值的数据结构。
我们可以使用数组、哈希表或其他数据结构来表示物品的价值，并在解决背包问题时使用它。
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背包问题
件物品和一个容量为V的背包 有N件物品和一个容量为 的背包。第i件物品的 件物品和一个容量为 的背包。 件物品的 费用是c[i]，价值是 费用是 ，价值是w[i]。这些物品被划分为若干 。 每组中的物品互相冲突，最多选一件。 组，每组中的物品互相冲突，最多选一件。求解 将哪些物品装入背包可使这些物品的费用总和不 超过背包容量，且价值总和最大。 超过背包容量，且价值总和最大。 for 所有的组k for v=V..0 for 所有的i属于组k f[v]=max{f[v],f[v-c[i]]+w[i]} // 例题见浙大3264
背包问题
DP
01背包问题 背包问题
最基础的背包
问题描述： 件物品和一个容量为V的背 问题描述：有N件物品和一个容量为 的背 件物品和一个容量为 件物品的费用是c[i]，价值是w[i]。 包。第i件物品的费用是 ，价值是 件物品的费用是 。 求解将哪些物品装入背包可使这些物品的费 用总和不超过背包容量，且价值总和最大。 用总和不超过背包容量，且价值总和最大。
(3)多重背包问题
在刚才的完全背包问题中,物品的数目是 无限的，而在多重背包问题中，每件物品最多 只能使用K次;
使用完全背包中的方法2，对每一件物品进行拆分（略）
(4)混合背包问题
分情况讨论： 1.只能使用一次的物品（逆向DP) 2.能使用无数次的物品（正向DP) 3.能使用有限次的物品（二进制拆分后在进行01DP)
方法一：转化为01背包问题 f[i][v]=max{f[i-1][v-k*c[i]]+k*w[i]|0<=k*c[i]<= v} 复杂度>>O(NV) 一件物品拆分成 V/c[i]件 方法二：采用二进制数拆分，一件物品拆分成 log2 (V/c[i]) 件 这种方法比上方法一拆分出来的物品数目小一些
数据结构 背包问题
数据结构背包问题背包问题是数据结构中的一个经典问题，它在计算机科学和算法设计中有着广泛的应用。
本文将详细介绍背包问题的定义、解决思路以及常见的解决方法。
一、背包问题的定义背包问题是指在给定的一组物品中，选择一些物品放入背包中，使得背包中物品的总价值最大化，同时受到背包的容量限制。
每一个物品都有自己的分量和价值，背包的容量是事先确定的。
二、解决思路背包问题可以使用动态规划的思想进行求解。
具体来说，可以定义一个二维数组dp，其中dp[i][j]表示在前i个物品中，背包容量为j时所能获得的最大价值。
然后根据状态转移方程进行递推求解。
三、常见的解决方法1. 0-1背包问题0-1背包问题是最基本的背包问题，每一个物品要末完整地放入背包中，要末不放入。
具体的解决方法是使用动态规划，根据状态转移方程进行递推计算。
2. 彻底背包问题彻底背包问题相较于0-1背包问题，每一个物品可以无限次地放入背包中。
同样使用动态规划进行求解，但在状态转移方程中需要进行一些调整。
3. 多重背包问题多重背包问题是在彻底背包问题的基础上，对每一个物品的数量进行了限制。
可以将多重背包问题转化为0-1背包问题进行求解。
4. 分组背包问题分组背包问题是在背包问题的基础上，将物品进行了分组。
每一个组内的物品只能选择一个放入背包中。
可以使用动态规划进行求解，需要对状态转移方程进行一些修改。
四、示例假设有一个背包的容量为10，有以下物品可供选择：物品1：分量3，价值4物品2：分量4，价值5物品3：分量5，价值6物品4：分量2，价值3我们可以使用动态规划来解决这个问题。
首先初始化一个二维数组dp，大小为(n+1)×(W+1)，其中n为物品的个数，W为背包的容量。
然后根据状态转移方程进行递推计算，最终得到dp[n][W]即为所求的最大价值。
具体的计算过程如下：1. 初始化dp数组，dp[0][j]和dp[i][0]均为0，表示背包容量为0或者没有物品可选时的最大价值为0。
《背包问题详解》课件
贪心算法
按照物品的单位价值排序，不断 选取物品放入背包，直至背包无 法再放入任何物品。
分支界限算法
通过添加上下界、剪枝和优化等 技巧，搜索并找到最优解。
多重背包问题的解法
动态规充最优解。
贪心算法
按照物品的单位价值排序，依次选取物品放入 背包，直至背包无法再放入任何物品。
《背包问题详解》PPT课 件
背包问题是一类经典的组合优化问题，涉及在限定容量的背包中选择一组物 品以最大化价值或满足约束条件。本课件将详细介绍背包问题的定义、分类 以及不同类型的解法。
背包问题的定义和分类
背包问题是指在给定背包容量和一组物品的条件下，选择恰当的物品放入背包中，使得物品价值最大化或满足 特定的约束条件。背包问题可以根据约束条件的不同分为0/1背包问题、完全背包问题和多重背包问题。
背包问题的贪心算法
贪心算法是一种启发式算法，通过按照某种策略选择物品放入背包，逐步构建出问题的解。贪心算法的优点是 简单高效，但是并不保证必然能够得到最优解，只能得到近似解。
背包问题的分支界限算法
分支界限算法是一种精确算法，通过搜索问题的解空间树并进行剪枝和优化， 找到最优解或最优解的近似解。算法的核心思想是根据上下界限制，分割问 题空间，减少搜索的规模。
背包问题的变种及其解法
1
部分背包问题
限制物品的选择范围，求解背包能容纳
零钱兑换问题
2
的最大价值。
将背包问题中的背包容量转化为固定的
面额，求解所需的最少硬币数量。
3
集合覆盖问题
将背包问题中的容量和物品价值转化为 集合和元素的关系，求解最小化子集覆 盖问题。
背包问题的动态规划算法
动态规划算法是求解背包问题的一种常用方法。通过定义状态转移方程和利 用动态规划表格，逐步计算填充最优解。算法的核心思想是将问题拆解成子 问题，并利用子问题的最优解构造出大问题的最优解。
背包问题的各种求解方法
背包问题的各种求解⽅法⼀、“0-1背包”问题描述： 给定n中物品，物品i的重量是w i，其价值为v i，背包的容量为c.问应如何选择装⼊背包中的物品，使得装⼊背包中的物品的总价值最⼤？形式化描述：给定c>0,w i>0,v i>0,1≤i≤n，要求找⼀个n元0-1向量（x1,x2,...,x n)，x i∈{0,1}，1≤i≤n，使得∑w i x i≤c，⽽且∑v i x i达到最⼤。
因此0-1背包问题是⼀个特殊的整形规划问题：max ∑v i x is.t ∑w i x i≤cx i∈{0,1}，1≤i≤n⼆、动态规划求解（两种⽅法，顺序或逆序法求解） 1.最优⼦结构性质 1.1 简要描述 顺序：将背包物品依次从1,2,...n编号，令i是容量为c共有n个物品的0-1背包问题最优解S的最⾼编号。
则S'=S-{i}⼀定是容量为c-w i且有1,...,i-1项物品的最优解。
如若不是，领S''为⼦问题最优解，则V(S''+{i})>V(S'+{i})，⽭盾。
这⾥V(S)=V(S')+v i.逆序：令i是相应问题最优解的最低编号，类似可得。
1.2 数学形式化语⾔形式化的最优⼦结构 顺序（从前往后）：设(y1,y2,...,y n)是所给问题的⼀个最优解。
则(y1,...,y n-1)是下⾯相应⼦问题的⼀个最优解： max ∑v i x is.t ∑w i x i≤cx i∈{0,1}，1≤i≤n-1如若不然，设(z1,...,z n-1)是上述⼦问题的⼀个最优解，⽽(y1,...,y n-1)不是它的最优解。
由此可知，∑v i z i>∑v i y i,且∑v i z i+w n y n≤c。
因此∑v i y i+v n y n>∑v i y i(前⼀个范围是1~n-1，后⼀个是1~n) ∑v i z i+w n y n≤c这说明(z1,z2,...,y n)是⼀个所给问题的更优解，从⽽(y1,y2,...,y n)不是问题的所给问题的最优解，⽭盾。
数据结构 背包问题
数据结构背包问题背包问题是计算机科学中的一个经典问题，涉及到在给定的一组物品中选择一些物品放入背包中，以使得背包的总重量不超过背包的承重限制，并且所选择的物品具有最大的总价值。
在解决背包问题时，通常需要考虑以下几个方面：1. 背包问题的分类：背包问题可以分为0-1背包问题、完全背包问题和多重背包问题。
0-1背包问题要求每个物品只能选择一次放入背包，完全背包问题则允许每个物品选择无限次放入背包，而多重背包问题则限制了每个物品的选择次数。
2. 输入数据的格式：在解决背包问题时，通常需要给出物品的重量和价值，以及背包的承重限制。
这些数据可以通过数组、矩阵或者其他数据结构来表示。
3. 动态规划算法：背包问题通常可以通过动态规划算法来解决。
动态规划算法将问题分解为子问题，并利用子问题的解来构建原问题的解。
在背包问题中，可以使用一个二维数组来记录每个子问题的最优解，并通过填表的方式逐步求解出最终的最优解。
4. 状态转移方程：在使用动态规划算法解决背包问题时，需要定义状态转移方程。
状态转移方程描述了当前问题与其子问题之间的关系，通过计算子问题的最优解来得到当前问题的最优解。
在背包问题中，状态转移方程通常为：dp[i][j] = max(dp[i-1][j], dp[i-1][j-w[i]] + v[i])其中，dp[i][j]表示在前i个物品中选择放入总重量不超过j的物品的最大价值，w[i]表示第i个物品的重量，v[i]表示第i个物品的价值。
5. 求解最优解：在得到动态规划表格后，可以通过回溯法来求解最优解。
通过从最后一个状态开始，根据状态转移方程逐步选择物品，直到达到初始状态，即可得到最优解。
6. 时间复杂度和空间复杂度：动态规划算法解决背包问题的时间复杂度通常为O(nW)，其中n为物品的数量，W为背包的承重限制。
空间复杂度则为O(nW)，需要使用一个二维数组来记录子问题的最优解。
综上所述，背包问题是一个经典的计算机科学问题，通过动态规划算法可以高效地求解。
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9 0 6 9 11 13 15
10 0 6 9 14 14 15
0 0 0 0 0 0
1 2 3 4 5
10
0 0
w1=2 v1=6 w2=2 v2=3 w3=6 v3=5 w4=5 v4=4 w5=4 v5=6
1 0 0 0 0 0 0
2 0 6 6 6 6 6
3 0 6 6 6 6 6
4 0 6 9 9 9 9
13
一个例子
n=3，c=6，w={4，3，2}，v={5，2，1}。
m(4,x) (0,0) m(4,x-2)+1 (2,1) m(3,x) (2,1) (0,0)
x
m(3,x) (2,1) (0,0) m(3,x-3)+2 (3,2)
x
m(2,x) (5,3) (0,0) (3,2) (2,1) (5,3)
x
x
m(2,x) (3,2) (2,1) (5,3)
x
m(2,x-4)+5 (7,7) (6,6) (4,5) (9,8) m(1,x)
x
(7,7) (6,6) (4,5) (3,2) (5,3) (0, 0) (2, 1) (9,8)
(0,0)
x
x
x
14
算法改进
• 函数 函数m(i,j)是由函数 是由函数m(i+1,j)与函数 与函数m(i+1,j-wi)+vi作max运 是由函数 与函数 作 运 算得到的。因此，函数m(i,j)的全部跳跃点包含于函数 的全部跳跃点包含于函数m(i+1， 算得到的。因此，函数 的全部跳跃点包含于函数 ， j)的跳跃点集 的跳跃点集p[i+1]与函数 与函数m(i+1，j-wi)+vi的跳跃点集 的跳跃点集q[i+1]的 的跳跃点集 与函数 ， 的跳跃点集 的 并集中。易知， 当且仅当wi≤ ≤ 且 并集中。易知，(s,t)∈q[i+1]当且仅当 ≤s≤c且(s-wi,t∈ 当且仅当 vi)∈p[i+1]。因此，容易由p[i+1]确定跳跃点集 ∈ 。因此，容易由 确定跳跃点集q[i+1]如下 如下 确定跳跃点集 q[i+1]=p[i+1]⊕(wi,vi)={(j+wi,m(i,j)+vi)|(j,m(i,j))∈p[i+1]} ⊕ ∈ • 另一方面，设(a，b)和(c，d)是p[i+1]∪q[i+1]中的 个跳跃 另一方面， 中的2个跳跃 ， 和 ， 是 ∪ 中的 则当c≥ 且 受控于(a， ，从而(c， 不是 点，则当 ≥a且d<b时，(c，d)受控于 ，b)，从而 ，d)不是 时 ， 受控于 p[i]中的跳跃点。除受控跳跃点外，p[i+1]∪q[i+1]中的其它跳 中的跳跃点。除受控跳跃点外， ∪ 中的其它跳 中的跳跃点 跃点均为p[i]中的跳跃点。 中的跳跃点。 跃点均为 中的跳跃点 • 由此可见，在递归地由表 由此可见，在递归地由表p[i+1]计算表 计算表p[i]时，可先由 计算表 时 可先由p[i+1] 计算出q[i+1]，然后合并表 和表q[i+1]，并清除其中的受 计算出 ，然后合并表p[i+1]和表 和表 ， 控跳跃点得到表p[i]。 控跳跃点得到表 。
7
1、0-1背包问题—动态规划算法 背包问题—
void Knapsack(int *v, int *w, int c, int n, int ** m) { int j; int jMax; if(w[n]-1>c) jMax=c; else jMax=w[n]-1; for (j = 0; j <= jMax ;j++) m[n][j] = 0; for (j = w[n]; j <= c; j++) m[n][j] = v[n] ; for ( int i=n-1; i>1; i--) { int jMax; if(w[n]-1>c) jMax=c; else jMax=w[n]-1; for (j = 0; j <= jMax; j++) m[i][j] = m[i+1][j]; for (j = w[i] ; j <= c; j++) if(m[i+1][j]> m[i+1][j-w[i]] + v[i] ) m[i][j]=m[i+1][j]; else m[i][j]=m[i+1][j-w[i]] + v[i] ; } m[1][c] =m[2][c]; if (c >= w[1]) m[1][c]=((m[1][c]>m[2][c-w[1]]+v[1])?m[1][c]:m[2][c-w[1]]+v[1]); }
多重背包问题
种物品和一个容量为V的背包。 种物品最多 有N种物品和一个容量为V的背包。第i种物品最多 n[i]件可用 每件费用是c[i] 价值是w[i] 件可用， c[i]， w[i]。 有n[i]件可用，每件费用是c[i]，价值是w[i]。求 解将哪些物品装入背包可使这些物品的费用总和不 超过背包容量，且价值总和最大。 超过背包容量，且价值总和最大。
5
0-1背包问题
设所给0-1背包问题的子问题 设所给 背包问题的子问题
max ∑ v k x k
k =i
n ∑ wk x k ≤ j k =i 算法复杂度分析： 算法复杂度分析： xk ∈ {0,1}, i ≤ k ≤ n
n
的递归式容易看出， 从m(i，j)的递归式容易看出，算法需要 ， 的递归式容易看出 算法需要O(nc)计算 计算 的最优值为m(i，j)，即m(i，，算法需要的计算时间较 的最优值为 ， ， 很大时 是背包容量为 可选择物品为i， ， 是背包容量为j， 时间。当背包容量c很大时 j)是背包容量为 ，可选择物品为 ， 时间。当背包容量 很大时， i+1，…，n时当c>2n时，算法需要 。由n)计算时间。 ， 例如， 背包问题的最优值 ， 时 背包问题的最优值。 0-1背包问题的最优子 背包问题的最优子 算法需要Ω(n2 计算时间 计算时间。 多。例如，0-1背包问题的最优值 结构性质，可以建立计算m(i，j)的递归式如下。 的递归式如下。 结构性质，可以建立计算 ， 的递归式如下
void Traceback(int **m, int w[ ], int c, int n, int x[ ]) {// 计算x for (int i=1; i<n; i++) if (m[i][c]==m[i+1][c]) x[i]=0; else { x[i]=1; c-=w[i]; } x[n]=(m[n][c])?1:0; }
j ≥ wi max{m(i + 1, j ), m(i + 1, j − wi ) + vi } m(i, j ) = 0 ≤ j < wi m(i + 1, j )
j ≥ wn v n m(n, j ) = 0 0 ≤ j < wn
6
0-1背包问题
0/1背包问题可以看作是决策一个序列 1, x2, …, xn)，对任 背包问题可以看作是决策一个序列(x 背包问题可以看作是决策一个序列 ， 一变量x 的决策是决定x 还是 还是x 。在对x 决策后， 一变量 i的决策是决定 i=1还是 i=0。在对 i-1决策后，已确定了 (x1, …, xi-1)，在决策 i时，问题处于下列两种状态之一： 问题处于下列两种状态之一： ，在决策x （1）背包容量不足以装入物品 ，则xi=0，背包不增加价值； ）背包容量不足以装入物品i， ，背包不增加价值； （2）背包容量可以装入物品 ，则xi=1，背包的价值增加了 i。 ）背包容量可以装入物品i， ，背包的价值增加了v 这两种情况下背包价值的最大者应该是对 决策后 决策后的背包 这两种情况下背包价值的最大者应该是 对 xi决策后的背包 价 值 。 令 V(i, j) 表 示 在 前 i(1≤i≤n) 个 物 品 中 能 够 装 入 容 量 为 j （ 1≤j≤C） 的背包中的物品的最大值 ， 则可以得到如下动态规 ） 的背包中的物品的最大值， 划函数： 划函数：
8
1、0-1背包问题—动态规划算法举例 背包问题—
例如，有5个物品，其重量分别是{2, 2, 6, 5, 4}，价值分别 为{6, 3, 5, 4, 6}，背包的容量为10。 根据动态规划函数，用一个(n+1)×(C+1)的二维表V，V[i][j] 表示把前i个物品装入容量为j的背包中获得的最大价值。
4
其他类型背包问题
完全背包问题(0/1)： 完全背包问题(0/1)： (0/1)
种物品和一个容量为V的背包，每种物品都有无 有N种物品和一个容量为V的背包，每种物品都有无 件可用。 种物品的费用是c[i] 价值是w[i] c[i]， w[i]。 限件可用。第i种物品的费用是c[i]，价值是w[i]。 求解将哪些物品装入背包可使这些物品的费用总和 不超过背包容量，且价值总和最大。 不超过背包容量，且价值总和最大。
2
解空间图示
以3个物品为例,解(0,1,0)表示(不取物品0,取物 root 品1,不取物品2)
0 1
0
1
0
1
0
1
0
3
0-1背包问题
问题陈述： 问题陈述： 给定n种物品和一背包。物品i的重量是wi 其价值为vi wi， vi， 给定n种物品和一背包。物品i的重量是wi，其价值为vi，背包的 容量为c。问应如何选择装入背包中的物品，使得装入背包中物品 容量为c 问应如何选择装入背包中的物品， 的总价值最大？ 的总价值最大？ 在选择装入背包的物品时，对每种物品i只有两种选择， 在选择装入背包的物品时，对每种物品i只有两种选择，即装入背 包或不装入背包。不能将物品i装入背包多次， 包或不装入背包。不能将物品i装入背包多次，也不能只装入部分 的物品i 因此，该问题称为0 背包问题。 的物品i。因此，该问题称为0-1背包问题。 解题思路： 解题思路： 此问题可转化为：给定c>0 wi>0，vi>0，1≤i≤n， c>0， 此问题可转化为：给定c>0，wi>0，vi>0，1≤i≤n，要求找出一 个n元0-1向量(x1，x2，…，xn)，xi∈{0，1}，1≤i≤n，使得 向量(x1，x2， xn)，xi∈{0，1}，1≤i≤n， (x1 wixi≤c，而且∑vixi达到最大 因此， 达到最大。 ∑wixi≤c，而且∑vixi达到最大。因此，0-1背包是一个特殊的 整数规划问题： 整数规划问题： max ∑vixi ∑wixi≤c， s.t. ∑wixi≤c， xi∈{0，1}，1≤i≤n xi∈{0，1}， 可用动态规划算法求解。 可用动态规划算法求解。