01背包详解包含路径输出

背包问题——“01背包”详解及实现（包含背包中具体物品的求解）

分类：背包问题 2011-11-26 14:41 9554人阅读评论(10) 收藏举报pathtabledelete测试c算法

-----Edit by ZhuSenlin HDU 01背包是在M件物品取出若干件放在空间为W的背包里，每

件物品的体积为C

1，C

2

，…，C

n

，与之相对应的价值为W

1

,W

2

，…，W

n

.求解将那些

物品装入背包可使总价值最大。

动态规划（DP）：

1）子问题定义：F[i][j]表示前i件物品中选取若干件物品放入剩余空间为j的背包中所能得到的最大价值。

2）根据第i件物品放或不放进行决策

(1-1)

其中F[i-1][j]表示前i-1件物品中选取若干件物品放入剩余空间为j的背包中所能得到的最大价值；

而F[i-1][j-C[i]]+W[i]表示前i-1件物品中选取若干件物品放入剩余空间为j-C[i]的背包中所能取得的最大价值加上第i件物品的价值。

根据第i件物品放或是不放确定遍历到第i件物品时的状态

F[i][j]。

设物品件数为N，背包容量为V，第i件物品体积为C[i]，第i 件物品价值为W[i]。

由此写出伪代码如下：

[cpp]view plaincopy

1.F[0][] ←{0}

2.

3.F[][0] ←{0}

4.

5.for i←1to N

6.

7.do for k←1to V

8.

9.F[i][k] ←F[i-1][k]

10.

11. if(k >= C[i])

12.

13. then F[i][k] ←max(F[i][k],F[i-1][k

-C[i]]+W[i])

14.

15.return F[N][V]

以上伪代码数组均为基于1索引，及第一件物品索引为1。时间及空间复杂度均为O(VN)

举例：表1-1为一个背包问题数据表，设背包容量为10根据上述解决方法可得到对应的F[i][j]如表1-2所示，最大价值即为F[6][10].

表1-1背包问题数据表

表1-2前i件物品选若干件放入空间为j的背包中得到的最大价值表

很多文章讲背包问题时只是把最大价值求出来了，并没有把所选的是哪些物品找出来。本人在学习背包问题之前遇到过很多的类似问题，当

时也是只求得了最大价值或最大和，对具体哪些物品或路径等细节也束手无策。再次和大家一起分享细节的求法。

根据算法求出的最大价值表本身其实含有位置信息，从F[N][V]逆着走向F[0][0]，设i=N,j=V，如果F[i][j]==F[i-1][j- C[i]]+W[i]说明包里面有第i件物品，同时j -= C[i]，不管F[i][j]与F[i-1][j-C[i]]+W[i]相不相等i都要减1，因为01背包的第i件物品要么放要么不放，不管放还是不放其已经遍历过了，需要继续往下遍历。

打印背包内物品的伪代码如下：

[cpp]view plaincopy

1.i←N

2.

3.j←V

4.

5.while(i>0 && j>0)

6.

7.do if(F[i][j]=F[i-1][j-C[i]]+W[i])

8.

9.then Print W[i]

10.

11. j←j-C[i]

12.

13. i←i-1

当然也可以定义一个二维数组Path[N][V]来存放背包内物

品信息，开始时Path[N][V]初始化为0,当 F[i][j]==F[i-1][j-C[i]]+W[i]时Path[i][j]置1。最后通过从Path[N+1][V+1]逆着走向Path[0] [0]来获取背包内物品。其中Path[0][]与Path[][0]为边界。

加入路径信息的伪代码如下：

[cpp]view plaincopy

1.F[0][] ←{0}

2.

3.F[][0] ←{0}

4.

5.Path[][] ←0

6.

7.for i←1to N

8.

9.do for k←1to V

10.

11. F[i][k] ←F[i-1][k]

12.

13. if(k >= C[i] && F[i][k] < F[i-1][k-C[i]]+

W[i])

14.

15. then F[i][k] ←F[i-1][k-C[i]]+W[i]

16.

17. Path[i][k] ← 1

18.

19.return F[N][V] and Path[][]

打印背包内物品的伪代码如下：

[cpp]view plaincopy

1.i←N

2.

3.j←V

4.

5.while(i>0 && j>0)

6.

7.do if(Path[i][j] = 1)

8.

9.then Print W[i]

10.

11. j←j-C[i]

12.

13. i←i-1

在时间及空间复杂度均为O(NV)的情况下，利用Path[][]的方法明显比直接通过F[i][j]==F[i-1][j-C[i]]+W[i]来打印物品耗费空间，Path[][]需要额外的空间O(NV)但总空间复杂度不变仍为O(NV)。但下面要讲到的O(V)的空间复杂度的方法却不能利用关系式 F [j]==F [j-C[i]]+W[i]而只能利用Path[][]进行标记.

接下来考虑如何压缩空间，以降低空间复杂度。

时间复杂度为O(VN)，空间复杂度将为O（V）