背包问题 实验报告

实验报告

课程名称：算法设计与分析实验名称：解0-1背包问题任课教师：王锦彪专业：计算机应用技术班级: 2011 学号： ****** 姓名：严焱心完成日期： 2011年11月

一、实验目的：

掌握动态规划、贪心算法、回溯法、分支限界法的原理，并能够按其原理编程实现解决0-1背包问题，以加深对上述方法的理解。

二、实验内容及要求：

1． 要求分别用动态规划、贪心算法、回溯法和分支限界法求解0-1背包问题；

2． 要求显示结果。

三、实验环境和工具：

操作系统：Windows7

开发工具：Eclipse3.7.1 jdk6

开发语言：Java

四、实验问题描述：

0/1背包问题:现有n 种物品，对1<=i<=n ，第i 种物品的重量为正整数W i ，价值为正整数V i ，背包能承受的最大载重量为正整数C ，

现要求找出这n 种物品的一个子集，使得子集中物品的总重量不超过C 且总价值尽量大。

动态规划算法描述: 根据问题描述，可以将其转化为如下的约束条件和目标函数：

⎪⎩⎪⎨⎧≤≤∈≤∑∑==)1}(1,0{C max 1

1n i x x w x v i

n

i i i n

i i

i

寻找一个满足约束条件，并使目标函数式达到最大的解向量),......,,,(321n x x x x X =，使得C 1∑=≤n i i i x w ，而且∑=n

i i i x v 1达到最大。 0-1背包问题具有最优子结构性质。假设),......,,,(321n x x x x 是所给的问题的一个最优解，则),......,,(32n x x x 是下面问题的一个最优解：∑∑==⎪⎩⎪⎨⎧≤≤∈-≤n i i i i

n

i i i x v n i x x w x w 22

11max )2}(1,0{C 。如果不是的话，设),......,,(32n y y y 是这个问题的一个最优解，则∑∑==>n i n i i i i i x v y v 22

，且∑=≤+

n i i i y w x w 211C 。因此，∑∑∑====+>+n i i i n i n i i i i i x v x v x v y v x v 1

221111，这说明),........,,,(321n y y y x 是所给

的0-1背包问题比),........,,,(321n x x x x 更优的解，从而与假设矛盾。

按照上面的情况，可以得到递推公式：设最优值为m(i,j)。

⎩⎨⎧+-+++=}),1(),,1(max{),1(),(i i v w j i m j i m j i m j i m i

i w w ≥<≤j j 0

⎩⎨⎧=n v j n m 0),( i

i w w ≥<≤j j 0 贪心算法描述:计算每种物品单位重量的价值；将尽可能多的单位重量价值最高的物品装入背包；如果单位重量价值最高的物品全部装入背包后，背包的总重量小于c ，则选择单位重量次高的物品并尽可能多的装入背包；依次进行下去，直到背包装满为止。

回溯算法描述：回溯法从根结点出发，以深度优先的方式搜索整个解空间。开始结点成为一个活结点，同时也成为当前的扩展结点。在当前的扩展结点处，搜索向纵深方向移至一个新结点。新结点就成为一个新的活结点，并成为当前扩展结点。如果在当前的扩

展结点处不能再向纵深方向移动，则当前扩展结点就成为死结点。此时往回移动至最近的一个活结点处，并使这个活结点成为当前的扩展结点。回溯法递归地在解空间中搜索，直至找到所要求的解或解空间中已没有活结点时为止。针对所给问题，定义问题的解空间；确定易于搜索的解空间结构；以深度优先的方式搜索解空间，并且在搜索过程中用剪枝函数避免无效搜索。

分支限界算法描述：分支限界法以广度优先的方式搜索问题的解空间树，每一个活结点只有一次机会成为扩展节点。活结点一旦成为扩展节点，就一次性产生其所有儿子节点，那些导致不可行解或导致非最优解的儿子节点被舍去，其余儿子节点被加入到活结点表中。此后，从活结点表中取下一节点成为当前扩展节点，并重复上述节点扩展过程。这个过程一直持续到找到所需的解或活结点表为空时为止。

五、实验原理、结果与结论：

1.1、动态规划求解0-1背包问题

实验结果：

实验原理：动态规划方法建立在最优原则的基础上，以空间换取时间，将一个问题的解决方案视为一系列决策的结果。在动态规划中，还要看每个最优决策序列中是否包含一个最优子序列。即无论过程的初始状态和初始决策是什么，其余的决策必须相对于初始决策所产生的状态构成一个最优决策。如果把第i个物品装入背包，则背包中物

品的价值就等于把前i-1个物品装入容量为i w j -的背包中的价值加

上第i 个物品的价值i v ；如果第i 个物品没有装入背包，则背包中物

品的价值就是等于把前i-1个物品装入容量为j 的背包中所取得的价值。取二者中价值较大者作为把前i 个物品装入容量为j 的背包中的最优解。

2.1、贪心算法求解背包问题：

实验结果：

实验原理：贪心算法也要求问题具有最有子结构性质。0-1背包问题不能用贪心算法来求解。在选择物品)1(n i i ≤≤装入背包时，可以选择一部分，而不一定要全部装入背包。贪心法得不到最优解，无法保证最终能将背包装满，部分闲置的背包容量使背包单位重量的价值降低了。

3.1、回溯法求解背包问题：

实验结果：

实验原理：用回溯法解0-1背包问题时，用到状态空间树。在搜索状态空间树时，只要其左儿子结点是一个可行结点，搜索就进入其左子树。当右子树有可能包含最优解时才进入右子树搜索，否则将右子树剪去。计算右子树中解的上界将剩余物品依其单位重量价值排序，