成都市近十年中考数学二次函数压轴题(含规范标准答案)

二次函数中考压轴题

【2018 成都中考】如图，在平面直角坐标系xOy 中，以直线512

x =

为对称轴的抛物线2

y ax bx c =++与直线():0l y kx m k =+>交于()1,1A ，B 两点，与y 轴交于()0,5C ，直线l 与y 轴交于D 点.

（1）求抛物线的函数表达式；

（2）设直线l 与抛物线的对称轴的交点为F 、G 是抛物线上位于对称轴右侧的一点，若

3

4

AF FB =，且BCG ∆与BCD ∆面积相等，求点G 的坐标；

（3）若在x 轴上有且仅有一点P ，使90APB ∠=︒，求k 的值.

解：（1）由题可得：5,225, 1.b a c a b c ⎧-=⎪⎪

=⎨⎪++=⎪⎩

解得1a =，5b =-，5c =.

∴二次函数解析式为：255y x x =-+.

（2）作AM x ⊥轴，BN x ⊥轴，垂足分别为,M N ，则

3

4

AF MQ FB QN ==. 32MQ =Q ，2NQ =∴，911,24B ⎛⎫

⎪⎝⎭

，

1,91,24

k m k m +=⎧⎪⎨+=⎪⎩∴，解得1,21,2

k m ⎧

=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，1122t

y x =+∴，102D ⎛⎫ ⎪⎝⎭，

.

同理，1

52

BC y x =-

+. BCD BCG S S ∆∆=Q ，

∴①//DG BC （G 在BC 下方）

，11

22

DG y x =-+， 2115522

x x x -+=-+∴，即22990x x -+=，123

,32x x ==∴.

5

2

x >Q ，3x =∴，()3,1G -∴.

②G 在BC 上方时，直线23G G 与1DG 关于BC 对称.

1211922G G y x =-+∴，2119

5522x x x -+=-+∴，22990x x --=∴.

5

2x >

Q ，x =∴G ⎝⎭

∴.

综上所述，点G 坐标为()13,1G -；2G ⎝⎭

. （3）由题意可得：1k m +=.

1m k =-∴，11y kx k =+-∴，2155kx k x x +-=-+∴，即()2540x k x k -+++=.

11x =∴，24x k =+，()

24,31B k k k +++∴.

设AB 的中点为'O ，

P Q 点有且只有一个，∴以AB 为直径的圆与x 轴只有一个交点，且P 为切点.

OP x ⊥∴轴，P ∴为MN 的中点，5,02k P +⎛⎫ ⎪⎝⎭

∴. AMP PNB ∆∆Q ∽，AM PN

PM BN

=

∴

，AM BN PN PM •=•∴， ()255314122k k k k k ++⎛

⎫⎛⎫⨯++=+-- ⎪

⎪⎝⎭⎝⎭

∴1，即23650k k +-=，960∆=>.

0k >Q ，6163

k -+=

=-+∴. 【2017成都中考】如图1，在平面直角坐标系xOy 中，抛物线C ：y=ax 2+bx+c 与x 轴相交于A ，B 两点，顶点为D （0，4），AB=4，设点F （m ，0）是x 轴的正半轴上一点，将抛物线C 绕点F 旋转180°，得到新的

抛物线C ′．

（1）求抛物线C的函数表达式；

（2）若抛物线C′与抛物线C在y轴的右侧有两个不同的公共点，求m的取值范围．

（3）如图2，P是第一象限内抛物线C上一点，它到两坐标轴的距离相等，点P在抛物线C′上的对应点P′，设M是C上的动点，N是C′上的动点，试探究四边形PMP′N能否成为正方形？若能，求出m的值；若不能，请说明理由．

解：（1）由题意抛物线的顶点C（0，4），A（2，0），设抛物线的解析式为y=ax 2+4，

把A（2，0）代入可得a=﹣，

∴抛物线C的函数表达式为y=﹣x2+4．

（2）由题意抛物线C′的顶点坐标为（2m，﹣4），设抛物线C′的解析式为y=（x﹣m）2﹣4，由，消去y得到x2﹣2mx+2m2﹣8=0，

由题意，抛物线C′与抛物线C在y轴的右侧有两个不同的公共点，

则有，解得2＜m＜2，

∴满足条件的m的取值范围为2＜m＜2．

（3）结论：四边形PMP′N能成为正方形．

理由：1情形1，如图，作PE⊥x轴于E，MH⊥x轴于H．

由题意易知P（2，2），当△PFM是等腰直角三角形时，四边形PMP′N是正方形，

∴PF=FM，∠PFM=90°，

易证△PFE≌△FMH，可得PE=FH=2，EF=HM=2﹣m，

∴M（m+2，m﹣2），

∵点M在y=﹣x2+4上，

∴m﹣2=﹣（m+2）2+4，解得m=﹣3或﹣﹣3（舍弃），

∴m=﹣3时，四边形PMP′N是正方形．

情形2，如图，四边形PMP′N是正方形，同法可得M（m﹣2，2﹣m），

把M（m﹣2，2﹣m）代入y=﹣x2+4中，2﹣m=﹣（m﹣2）2+4，解得m=6或0（舍弃），∴m=6时，四边形PMP′N是正方形．

【2016成都中考】如图，在平面直角坐标系xOy中，抛物线y=a（x+1）2﹣3与x轴交于A，B 两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C（0，﹣），顶点为D，对称轴与x轴交于点H，过点H的直线l交抛物线于P，Q两点，点Q在y轴的右侧．

（1）求a的值及点A，B的坐标；

（2）当直线l将四边形ABCD分为面积比为3：7的两部分时，求直线l的函数表达式；（3）当点P位于第二象限时，设PQ的中点为M，点N在抛物线上，则以DP为对角线的四边形DMPN能否为菱形？若能，求出点N的坐标；若不能，请说明理由．

解：（1）∵抛物线与y轴交于点C（0，﹣）．

∴a﹣3=﹣，解得：a=，

∴y=（x+1）2﹣3

当y=0时，有（x+1）2﹣3=0，

∴x1=2，x2=﹣4，

∴A（﹣4，0），B（2，0）．

（2）∵A（﹣4，0），B（2，0），C（0，﹣），D（﹣1，﹣3）

∴S四边形ABCD=S△ADH+S梯形OCDH+S△BOC=×3×3+（+3）×1+×2×=10．

从面积分析知，直线l只能与边AD或BC相交，所以有两种情况：

①当直线l边AD相交与点M 1时，则S=×10=3，

∴×3×（﹣y）=3