高中数学人教A版选修2-1：第二章章末复习课 Word版含答案

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高中数学人教A版选修2-1 第二章圆锥曲线与方程 2.3.2 Word版含答案

学业分层测评(建议用时：45分钟)[学业达标]一、选择题1．等轴双曲线的一个焦点是F 1(－6，0)，则它的标准方程是( ) A.y 218－x 218＝1 B.x 218－y 218＝1 C.x 28－y 28＝1D.y 28－x 28＝1【解析】设等轴双曲线方程为x 2a 2－y 2a 2＝1(a ＞0)， ∴a 2＋a 2＝62，∴a 2＝18，故双曲线方程为x 218－y 218＝1.【答案】 B2．已知双曲线方程为x 2－y 24＝1，过P (1，0)的直线l 与双曲线只有一个公共点，则共有l ( )A ．4条B ．3条C ．2条D ．1条【解析】因为双曲线方程为x 2－y24＝1，所以P (1，0)是双曲线的右顶点，所以过P (1，0)并且和x 轴垂直的直线是双曲线的一条切线，与双曲线只有一个公共点，另外还有两条就是过点P (1，0)分别和两条渐近线平行的直线，所以符合要求的共有3条，故选B.【答案】 B3．双曲线C ：x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的离心率为2，焦点到渐近线的距离为3，则双曲线C 的焦距等于( ) 【导学号：18490063】A ．2B ．2 2C ．4D ．4 2【解析】由已知得e ＝c a ＝2，所以a ＝12c ，故b ＝c 2－a 2＝32c ，从而双曲线的渐近线方程为y ＝±ba x ＝±3x ，由焦点到渐近线的距离为3，得32c ＝3，解得c ＝2，故2c ＝4，故选C. 【答案】 C4．若实数k 满足0<k <5，则曲线x 216－y 25－k ＝1与曲线x 216－k －y 25＝1的( )A ．实半轴长相等B ．虚半轴长相等C ．离心率相等D ．焦距相等【解析】若0<k <5，则5－k >0，16－k >0，故方程x 216－y 25－k ＝1表示焦点在x 轴上的双曲线，且实半轴的长为4，虚半轴的长为5－k ，焦距2c ＝221－k ，离心率e ＝21－k 4；同理方程x 216－k －y 25＝1也表示焦点在x 轴上的双曲线，实半轴的长为16－k ，虚半轴的长为5，焦距2c ＝221－k ，离心率e ＝21－k16－k.可知两曲线的焦距相等，故选D.【答案】 D5．双曲线两条渐近线互相垂直，那么它的离心率为( ) A ．2 B. 3 C. 2D.32【解析】双曲线为等轴双曲线，两条渐近线方程为y ＝±x ，即ba ＝1，e ＝ca ＝ 2.【答案】 C 二、填空题6．在平面直角坐标系xOy 中，若双曲线x 2m －y 2m 2＋4＝1的离心率为5，则m 的值为________．【解析】 ∵c 2＝m ＋m 2＋4，∴e 2＝c 2a 2＝m ＋m 2＋4m＝5， ∴m 2－4m ＋4＝0，∴m ＝2. 【答案】 27．已知F 为双曲线C ：x 29－y 216＝1的左焦点，P ，Q 为C 上的点．若PQ 的长等于虚轴长的2倍，点A (5，0)在线段PQ 上，则△PQF 的周长为________．【解析】由双曲线方程知，b ＝4，a ＝3，c ＝5，则虚轴长为8，则|PQ |＝16.由左焦点F (－5，0)，且A (5，0)恰为右焦点，知线段PQ 过双曲线的右焦点，则P ，Q 都在双曲线的右支上．由双曲线的定义可知|PF |－|P A |＝2a ，|QF |－|QA |＝2a ，两式相加得，|PF |＋|QF |－(|P A |＋|QA |)＝4a ，则|PF |＋|QF |＝4a ＋|PQ |＝4×3＋16＝28，故△PQF 的周长为28＋16＝44.【答案】 448．设直线x －3y ＋m ＝0(m ≠0)与双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的两条渐近线分别交于点A ，B ，若点P (m ，0)满足|P A |＝|PB |，则该双曲线的离心率是________．【解析】由⎩⎨⎧x －3y ＋m ＝0，y ＝b a x ，得点A 的坐标为： ⎝ ⎛⎭⎪⎫am 3b －a ，bm 3b －a ，由⎩⎨⎧x －3y ＋m ＝0，y ＝－b a x ，得点B 的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫－am 3b ＋a ，bm 3b ＋a ，则AB 的中点C 的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫a 2m 9b 2－a 2，3b 2m 9b 2－a 2，∵k AB ＝13，∴k CP ＝3b 2m 9b 2－a 2a 2m 9b 2－a 2－m＝－3，即3b 2a 2－（9b 2－a 2）＝－3，化简得a 2＝4b 2，即a 2＝4(c 2－a 2)，∴4c 2＝5a 2， ∴e 2＝54，∴e ＝52.【答案】 52 三、解答题9．双曲线与椭圆x 216＋y 264＝1有相同的焦点，它的一条渐近线为y ＝x ，求双曲线的标准方程和离心率．【解】由椭圆x 216＋y 264＝1，知c 2＝64－16＝48，且焦点在y 轴上， ∵双曲线的一条渐近线为y ＝x ， ∴设双曲线方程为y 2a 2－x 2a 2＝1. 又c 2＝2a 2＝48，∴a 2＝24. ∴所求双曲线的方程为y 224－x 224＝1. 由a 2＝24，c 2＝48，得e 2＝c 2a 2＝2，又e >0，∴e ＝ 2.10．已知双曲线x 23－y 2b 2＝1的右焦点为(2，0)． (1)求双曲线的方程；(2)求双曲线的渐近线与直线x ＝－2围成的三角形的面积．【解】 (1)∵双曲线的右焦点坐标为(2，0)，且双曲线方程为x 23－y 2b2＝1，∴c 2＝a 2＋b 2＝3＋b 2＝4，∴b 2＝1，∴双曲线的方程为x 23－y 2＝1. (2)∵a ＝3，b ＝1，∴双曲线的渐近线方程为y ＝±33x ，令x ＝－2，则y ＝±233，设直线x ＝－2与双曲线的渐近线的交点为A ，B ，则|AB |＝433，记双曲线的渐近线与直线x ＝－2围成的三角形的面积为S ，则S ＝12×433×2＝43 3.[能力提升]1．已知双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)的两条渐近线均与曲线C ：x 2＋y 2－6x ＋5＝0相切，则该双曲线的离心率等于( )A.355B.62C.32D.55【解析】曲线C 的标准方程为(x －3)2＋y 2＝4，所以圆心坐标为C (3，0)，半径r ＝2，双曲线的渐近线为y ＝±b a x ，不妨取y ＝ba x ，即bx －ay ＝0，因为渐近线与圆相切，所以圆心到直线的距离d ＝|3b |a 2＋b 2＝2，即9b 2＝4(a 2＋b 2)，所以5b 2＝4a 2，b 2＝45a 2＝c 2－a 2，即95a 2＝c 2，所以e 2＝95，e ＝355，选A.【答案】 A2．设F 1，F 2分别为双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的左、右焦点．若在双曲线右支上存在点P ，满足|PF 2|＝|F 1F 2|，且F 2到直线PF 1的距离等于双曲线的实轴长，则该双曲线的渐近线方程为( )A ．3x ±4y ＝0B ．3x ＋5y ＝0C ．5x ±4y ＝0D ．4x ±3y ＝0【解析】由题意可知|PF 2|＝|F 1F 2|＝2c ，所以△PF 1F 2为等腰三角形，所以由F 2向直线PF 1作的垂线也是中线，因为F 2到直线PF 1的距离等于双曲线的实轴长2a ，所以|PF 1|＝24c 2－4a 2＝4b ，又|PF 1|－|PF 2|＝2a ，所以4b －2c ＝2a ，所以2b －a ＝c ，两边平方可得4b 2－4ab ＋a 2＝c 2＝a 2＋b 2，所以3b 2＝4ab ，所以4a ＝3b ，从而b a ＝43，所以该双曲线的渐近线方程为4x ±3y ＝0，故选D.【答案】 D3．过双曲线x 2－y 23＝1的左焦点F 1，作倾斜角为π6的直线AB ，其中A ，B 分别为直线与双曲线的交点，则|AB |的长为________．【解析】双曲线的左焦点为F 1(－2，0)，将直线AB 的方程y ＝33(x ＋2)代入双曲线方程，得8x 2－4x －13＝0.显然Δ＞0，设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，∴x 1＋x 2＝12，x 1x 2＝－138，∴|AB |＝1＋k 2·（x 1＋x 2）2－4x 1x 2 ＝1＋13×⎝ ⎛⎭⎪⎫122－4×⎝ ⎛⎭⎪⎫－138＝3. 【答案】 34．已知中心在原点的双曲线C 的右焦点为(2，0)，右顶点为(3，0)．(1)求双曲线C 的方程；【导学号：18490064】(2)若直线l ：y ＝kx ＋2与双曲线C 恒有两个不同的交点A 和B ，且OA→·OB →>2，其中O 为原点，求k 的取值范围．【解】 (1)设双曲线C 的方程为x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)，由已知得a ＝3，c ＝2.又因为a 2＋b 2＝c 2，所以b 2＝1，故双曲线C 的方程为x 23－y 2＝1. (2)将y ＝kx ＋2代入x 23－y 2＝1中，得(1－3k 2)x 2－62kx －9＝0，由直线l 与双曲线交于不同的两点得：⎩⎪⎨⎪⎧1－3k 2≠0，Δ＝（－62k ）2＋36（1－3k 2）>0，即k 2≠13且k 2<1.①设A (x A ，y A )，B (x B ，y B )，则x A ＋x B ＝62k1－3k 2，x A x B＝－91－3k 2，由OA →·OB →>2得x A x B ＋y A y B>2，而x A x B ＋y A y B ＝x A x B ＋(kx A ＋2)(kx B ＋2) ＝(k 2＋1)x A x B ＋2k (x A ＋x B )＋2＝(k 2＋1)·－91－3k 2＋2k ·62k 1－3k 2＋2＝3k 2＋73k 2－1，于是3k 2＋73k 2－1>2，解此不等式得13<k 2<3. ②由①②得13<k 2<1.故k 的取值范围是⎝ ⎛⎭⎪⎫－1，－33∪⎝ ⎛⎭⎪⎫33，1.。

高中数学人教A版选修2-1 第二章圆锥曲线与方程 2.3.1 Word版含答案

学业分层测评(建议用时：45分钟)[学业达标]一、选择题1．方程x 22＋m －y 22－m ＝1表示双曲线，则m 的取值范围为( )A ．－2＜m ＜2B ．m ＞0C ．m ≥0D ．|m |≥2【解析】 ∵已知方程表示双曲线，∴(2＋m )(2－m )＞0.∴－2＜m ＜2.【答案】 A2．设动点P 到A (－5，0)的距离与它到B (5，0)距离的差等于6，则P 点的轨迹方程是( )A.x 29－y 216＝1B.y 29－x 216＝1 C.x 29－y 216＝1(x ≤－3)D.x 29－y 216＝1(x ≥3)【解析】由题意知，轨迹应为以A (－5，0)，B (5，0)为焦点的双曲线的右支．由c ＝5，a ＝3，知b 2＝16，∴P 点的轨迹方程为x 29－y 216＝1(x ≥3)．【答案】 D3．已知双曲线的中心在原点，两个焦点F 1，F 2分别为(5，0)和(－5，0)，点P 在双曲线上，且PF 1⊥PF 2，△PF 1F 2的面积为1，则双曲线的方程为( )A.x 22－y 23＝1 B.x 23－y 22＝1C.x 24－y 2＝1D ．x 2－y24＝1【解析】由⎩⎪⎨⎪⎧|PF 1|·|PF 2|＝2，|PF 1|2＋|PF 2|2＝（25）2，⇒(|PF 1|－|PF 2|)2＝16，即2a ＝4，解得a ＝2，又c ＝5，所以b ＝1，故选C. 【答案】 C4．已知椭圆方程x 24＋y 23＝1，双曲线的焦点是椭圆的顶点，顶点是椭圆的焦点，则双曲线的离心率为( )A. 2B. 3 C ．2D ．3【解析】椭圆的焦点为(1，0)，顶点为(2，0)，即双曲线中a ＝1，c ＝2，所以双曲线的离心率为e ＝c a ＝21＝2.【答案】 C5．若k ＞1，则关于x ，y 的方程(1－k )x 2＋y 2＝k 2－1所表示的曲线是( )A ．焦点在x 轴上的椭圆B ．焦点在y 轴上的椭圆C ．焦点在y 轴上的双曲线D ．焦点在x 轴上的双曲线【解析】原方程化为标准方程为x 2k 2－11－k ＋yk 2－1＝1，∵k ＞1，∴1－k ＜0，k 2－1＞0， ∴此曲线表示焦点在y 轴上的双曲线．【答案】 C 二、填空题6．设点P 是双曲线x 29－y 216＝1上任意一点，F 1，F 2分别是其左、右焦点，若|PF 1|＝10，则|PF 2|＝________．【解析】由双曲线的标准方程得a ＝3，b ＝4. 于是c ＝a 2＋b 2＝5.(1)若点P 在双曲线的左支上，则|PF 2|－|PF 1|＝2a ＝6，∴|PF 2|＝6＋|PF 1|＝16； (2)若点P 在双曲线的右支上，则|PF 1|－|PF 2|＝6，∴|PF 2|＝|PF 1|－6＝10－6＝4. 综上，|PF 2|＝16或4. 【答案】 16或47．已知F 1(－3，0)，F 2(3，0)，满足条件|PF 1|－|PF 2|＝2m －1的动点P 的轨迹是双曲线的一支，则m 可以是下列数据中的________．(填序号)①2；②－1；③4；④－3.【解析】设双曲线的方程为x 2a 2－y 2b 2＝1，则c ＝3，∵2a <2c ＝6，∴|2m －1|<6，且|2m －1|≠0，∴－52<m <72，且m ≠12，∴①②满足条件．【答案】 ①②8．已知△ABP 的顶点A ，B 分别为双曲线C ：x 216－y 29＝1的左、右焦点，顶点P 在双曲线C 上，则|sin A －sin B |sin P 的值等于________. 【导学号：18490058】【解析】由方程x 216－y 29＝1知a 2＝16，b 2＝9，即a ＝4，c ＝16＋9＝5.在△ABP 中，利用正弦定理和双曲线的定义知，|sin A －sin B |sin P ＝||PB |－|P A |||AB |＝2a 2c ＝2×42×5＝45.【答案】 45 三、解答题9．求与双曲线x 24－y 22＝1有相同焦点且过点P (2，1)的双曲线的方程．【解】 ∵双曲线x 24－y 22＝1的焦点在x 轴上．依题意，设所求双曲线为x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)．又两曲线有相同的焦点，∴a 2＋b 2＝c 2＝4＋2＝6. ①又点P (2，1)在双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1上， ∴4a 2－1b 2＝1.②由①②联立得a 2＝b 2＝3，故所求双曲线方程为x 23－y 23＝1.10．已知方程kx 2＋y 2＝4，其中k 为实数，对于不同范围的k 值分别指出方程所表示的曲线类型．【解】 (1)当k ＝0时，y ＝±2，表示两条与x 轴平行的直线； (2)当k ＝1时，方程为x 2＋y 2＝4，表示圆心在原点，半径为2的圆；(3)当k ＜0时，方程为y 24－x 2－4k ＝1，表示焦点在y 轴上的双曲线；(4)当0＜k ＜1时，方程为x 24k ＋y 24＝1，表示焦点在x 轴上的椭圆；(5)当k ＞1时，方程为x 24k＋y 24＝1，表示焦点在y 轴上的椭圆．[能力提升]1．椭圆x 24＋y 2a 2＝1与双曲线x 2a －y 22＝1有相同的焦点，则a 的值为( )A ．1B.2C ．2D ．3【解析】由题意知椭圆、双曲线的焦点在x 轴上，且 a >0.∵4－a 2＝a ＋2，∴a 2＋a －2＝0， ∴a ＝1或a ＝－2(舍去)．故选A. 【答案】 A2．已知F 1，F 2为双曲线C ：x 2－y 2＝1的左、右焦点，点P 在双曲线C 上，∠F 1PF 2＝60°，则|PF 1|·|PF 2|等于( )A ．2B ．4C ．6D ．8【解析】不妨设P 是双曲线右支上一点，在双曲线x 2－y 2＝1中，a ＝1，b ＝1，c ＝2，则|PF 1|－|PF 2|＝2a ＝2，|F 1F 2|＝22，∵|F 1F 2|2＝|PF 1|2＋|PF 2|2－2|PF 1|·|PF 2|·cos ∠F 1PF 2， ∴8＝|PF 1|2＋|PF 2|2－2|PF 1|·|PF 2|·12，∴8＝(|PF 1|－|PF 2|)2＋|PF 1|·|PF 2|， ∴8＝4＋|PF 1||PF 2|， ∴|PF 1||PF 2|＝4.故选B. 【答案】 B3．已知双曲线x 216－y 225＝1的左焦点为F ，点P 为双曲线右支上的一点，且PF 与圆x 2＋y 2＝16相切于点N ，M 为线段PF 的中点，O 为坐标原点，则|MN |－|MO |＝________．【解析】设F ′是双曲线的右焦点，连接PF ′(图略)，因为M ，O 分别是FP ，FF ′的中点，所以|MO |＝12|PF ′|，又|FN |＝|OF |2－|ON |2＝5，由双曲线的定义知|PF |－|PF ′|＝8，故|MN |－|MO |＝|MF |－|FN |－12|PF ′|＝12(|PF |－|PF ′|)－|FN |＝12×8－5＝－1.【答案】－14．已知双曲线x 216－y 24＝1的两焦点为F 1，F 2.(1)若点M 在双曲线上，且MF 1→·MF 2→＝0，求点M 到x 轴的距离；【导学号：18490059】(2)若双曲线C 与已知双曲线有相同焦点，且过点(32，2)，求双曲线C 的方程．【解】 (1)不妨设M 在双曲线的右支上，M 点到x 轴的距离为h ，MF 1→·MF 2→＝0，则MF 1⊥MF 2，设|MF 1|＝m ，|MF 2|＝n ，由双曲线定义知，m －n ＝2a ＝8， ① 又m 2＋n 2＝(2c )2＝80，②由①②得m ·n ＝8，∴12mn ＝4＝12|F 1F 2|·h ，∴h ＝255. (2)设所求双曲线C 的方程为x2 16－λ－y24＋λ＝1(－4<λ<16)，由于双曲线C过点(32，2)，所以1816－λ－44＋λ＝1，解得λ＝4或λ＝－14(舍去)．∴所求双曲线C的方程为x212－y28＝1.。

高中数学选修2-1第二章课后习题解答编辑版

新课程标准数学选修2—1第二章课后习题解答第二章圆锥曲线与方程 2．1曲线与方程练习（P37）1、是. 容易求出等腰三角形ABC 的边BC 上的中线AO 所在直线的方程是0x =.2、3218,2525a b ==.3、解：设点,A M 的坐标分别为(,0)t ，(,)x y . （1）当2t ≠时，直线CA 斜率 20222CA k t t-==-- 所以，122CB CA t k k -=-=由直线的点斜式方程，得直线CB 的方程为 22(2)2t y x --=-. 令0x =，得4y t =-，即点B 的坐标为(0,4)t -.由于点M 是线段AB 的中点，由中点坐标公式得4,22t tx y -==.由2t x =得2t x =，代入42ty -=，得422xy -=，即20x y +-=……①（2）当2t =时，可得点,A B 的坐标分别为(2,0)，(0,2) 此时点M 的坐标为(1,1)，它仍然适合方程①由（1）（2）可知，方程①是点M 的轨迹方程，它表示一条直线. 习题2.1 A 组（P37）1、解：点(1,2)A -、(3,10)C 在方程2210x xy y -++=表示的曲线上；点(2,3)B -不在此曲线上2、解：当0c ≠时，轨迹方程为12c x +=；当0c =时，轨迹为整个坐标平面. 3、以两定点所在直线为x 轴，线段AB 垂直平分线为y 轴，建立直角坐标系，得点M 的轨迹方程为224x y +=.4、解法一：设圆22650x y x +-+=的圆心为C ，则点C 的坐标是(3,0). 由题意，得CM AB ⊥，则有1CM AB k k =-.所以，13y yx x⨯=--(3,0)x x ≠≠ 化简得2230x y x +-=(3,0)x x ≠≠当3x =时，0y =，点(3,0)适合题意；当0x =时，0y =，点(0,0)不合题意.解方程组 222230650x y x x y x ⎧+-=⎪⎨+-+=⎪⎩，得5,3x y == 所以，点M 的轨迹方程是2230x y x +-=，533x ≤≤. 解法二：注意到OCM ∆是直角三角形，利用勾股定理，得2222(3)9x y x y ++-+=，即2230x y x +-=. 其他同解法一. 习题2.1 B 组（P37）1、解：由题意，设经过点P 的直线l 的方程为1x ya b+=. 因为直线l 经过点(3,4)P ，所以341a b+= 因此，430ab a b --=由已知点M 的坐标为(,)a b ，所以点M 的轨迹方程为430xy x y --=. 2、解：如图，设动圆圆心M 的坐标为(,)x y .由于动圆截直线30x y -=和30x y +=所得弦分别为AB ，CD ，所以，8AB =，4CD =. 过点M 分别作直线30x y -=和30x y +=的垂线，垂足分别为E ，F ，则4AE =，2CF =.ME =，MF =.连接MA ，MC ，因为MA MC =，则有，2222AE ME CF MF +=+所以，22(3)(3)1641010x y x y -++=+，化简得，10xy =. 因此，动圆圆心的轨迹方程是10xy =.2．2椭圆练习（P42）1、14. 提示：根据椭圆的定义，1220PF PF +=，因为16PF =，所以214PF=. 2、（1）22116x y +=；（2）22116y x +=；（3）2213616x y +=，或2213616y x +=.3、解：由已知，5a =，4b =，所以3c =. （1）1AF B ∆的周长1212AF AF BF BF =+++.由椭圆的定义，得122AF AF a +=，122BF BF a +=. 所以，1AF B ∆的周长420a ==.（2）如果AB 不垂直于x 轴，1AF B ∆的周长不变化.这是因为①②两式仍然成立，1AF B ∆的周长20=，这是定值. 4、解：设点M 的坐标为(,)x y ，由已知，得直线AM 的斜率 1AM yk x =+(1)x ≠-；直线BM 的斜率 1BM y k x =-(1)x ≠；由题意，得2AMBMk k =，所以211y y x x =⨯+-(1,0)x y ≠±≠ 化简，得3x =-(0)y ≠因此，点M 的轨迹是直线3x =-，并去掉点(3,0)-.练习（P48）1、以点2B （或1B ）为圆心，以线段2OA （或1OA 为半径画圆，圆与x 轴的两个交点分别为12,F F . 点12,F F 就是椭圆的两个焦点.这是因为，在22Rt B OF ∆中，2OB b =，22B F OA =所以，2OF c =. 同样有1OF c =. 2、（1）焦点坐标为(8,0)-，(8,0)；（2）焦点坐标为(0,2)，(0,2)-.3、（1）2213632x y +=；（2）2212516y x +=.4、（1）22194x y += （2）22110064x y +=，或22110064y x +=.5、（1）椭圆22936x y +=的离心率是3，椭圆2211612x y +=的离心率是12，12>，所以，椭圆2211612x y +=更圆，椭圆22936x y +=更扁；（2）椭圆22936x y +=，椭圆221610x y +=，因为35>，所以，椭圆221610x y +=更圆，椭圆22936x y +=更扁.6、（1）8(3,)5；（2）(0,2)；（3）4870(,)3737--.7、7.习题2.2 A 组（P49）1、解：由点(,)M x y 10=以及椭圆的定义得，点M 的轨迹是以1(0,3)F -，2(0,3)F 为焦点，长轴长为10的椭圆.它的方程是2212516y x +=. 2、（1）2213632x y +=；（2）221259y x +=；（3）2214940x y +=，或2214940y x +=. 3、（1）不等式22x -≤≤，44y -≤≤表示的区域的公共部分；（2）不等式x -≤≤，101033y -≤≤表示的区域的公共部分. 图略.4、（1）长轴长28a =，短轴长24b =，离心率e =焦点坐标分别是(-，，顶点坐标分别为(4,0)-，(4,0)，(0,2)-，(0,2)；（2）长轴长218a =，短轴长26b =，离心率3e =，焦点坐标分别是(0,-，，顶点坐标分别为(0,9)-，(0,9)，(3,0)-，(3,0).5、（1）22185x y +=；（2）2219x y +=，或221819y x +=；（3）221259x y +=，或221259y x +=. 6、解：由已知，椭圆的焦距122F F =.因为12PF F ∆的面积等于1，所以，12112P F F y ⨯⨯=，解得1P y =.代入椭圆的方程，得21154x +=，解得2x =±.所以，点P的坐标是(1)2±±，共有4个. 7、解：如图，连接QA . 由已知，得QA QP =. 所以，QO QA QO QP OP r +=+==. 又因为点A 在圆内，所以OA OP <根据椭圆的定义，点Q 的轨迹是以,O A 为焦点，r 为长轴长的椭圆. 8、解：设这组平行线的方程为32y x m =+. 把32y x m =+代入椭圆方程22149x y +=，得22962180x mx m ++-=. 这个方程根的判别式 223636(218)m m ∆=-- （1）由0∆>，得m -< 当这组直线在y轴上的截距的取值范围是(-时，直线与椭圆相交. （2）设直线与椭圆相交得到线段AB ，并设线段AB 的中点为(,)M x y .则 1223x x mx +==-. 因为点M 在直线32y x m =+上，与3mx =-联立，消去m ，得320x y +=.这说明点M 的轨迹是这条直线被椭圆截下的弦（不包括端点），这些弦的中点在一条直线上. 9、222213.525 2.875x y +=.（第7题）10、地球到太阳的最大距离为81.528810⨯km ，最下距离为81.471210⨯km. 习题2.2 B 组（P50）1、解：设点M 的坐标为(,)x y ，点P 的坐标为00(,)x y ，则0x x =，032y y =. 所以0x x =，023y y = ……①. 因为点00(,)P x y 在圆上，所以22004x y += ……②.将①代入②，得点M 的轨迹方程为22449x y +=，即22149x y +=所以，点M 的轨迹是一个椭圆与例2相比可见，椭圆也可以看作是由圆沿某个方向压缩或拉伸得到.2、解法一：设动圆圆心为(,)P x y ，半径为R ，两已知圆的圆心分别为12,O O .分别将两已知圆的方程 22650x y x +++=，226910x y x +--= 配方，得 22(3)4x y ++=， 22(3)100x y -+= 当P 与1O ：22(3)4x y ++=外切时，有12O P R =+ ……① 当P 与2O ：22(3)100x y -+=内切时，有210O P R =- ……②①②两式的两边分别相加，得1212O P O P +=12= ……③ 化简方程③.先移项，再两边分别平方，并整理，得 12x =+ ……④ 将④两边分别平方，并整理，得 22341080x y +-= ……⑤将常数项移至方程的右边，两边分别除以108，得2213627x y += ……⑥由方程⑥可知，动圆圆心的轨迹是椭圆，它的长轴和短轴长分别为12，12 ……①由方程①可知，动圆圆心(,)P x y 到点1(3,0)O -和点2(3,0)O 距离的和是常数12，所以点P 的轨迹方程是焦点为(3,0)-、(3,0)，长轴长等于12的椭圆.并且这个椭圆的中心与坐标原点重合，焦点在x 轴上，于是可求出它的标准方程. 因为 26c =，212a =，所以3c =，6a =（第4题）所以236927b =-=.于是，动圆圆心的轨迹方程为2213627x y +=. 3、解：设d 是点M 到直线8x =的距离，根据题意，所求轨迹就是集合12MF P M d ⎧⎫==⎨⎬⎩⎭ 由此得12=将上式两边平方，并化简，得 223448x y +=，即2211612x y +=所以，点M 的轨迹是长轴、短轴长分别为8，. 4、解：如图，由已知，得(0,3)E -，F 因为,,R S T 是线段OF ,,R S T '''是线段CF 所以，(1,0),(2,0),(3,0)R S T ；933(4,),(4,),(4,)424R S T '''.直线ER 的方程是33y x =-；直线GR '的方程是3316y x =-+.联立这两个方程，解得 3245,1717x y ==.所以，点L 的坐标是3245(,)1717.同样，点M 的坐标是169(,)55，点N 的坐标是9621(,)2525.由作图可见，可以设椭圆的方程为22221x y m n +=(0,0)m n >> ……①把点,L M 的坐标代入方程①，并解方程组，得22114m =，22113n =. 所以经过点,L M 的椭圆方程为221169x y +=. 把点N 的坐标代入22169x y +，得22196121()()11625925⨯+⨯=，所以，点N 在221169x y +=上.因此，点,,L M N 都在椭圆221169x y +=上.2．3双曲线练习（P55）1、（1）221169x y -=. （2）2213y x -=. （3）解法一：因为双曲线的焦点在y 轴上所以，可设它的标准方程为22221y x a b -=(0,0)a b >>将点(2,5)-代入方程，得222541a b-=，即22224250a b a b +-= 又 2236a b +=解方程组 222222425036a b a b a b ⎧+-=⎪⎨+=⎪⎩ 令22,m a n b ==，代入方程组，得425036mn m n m n +-=⎧⎨+=⎩解得 2016m n =⎧⎨=⎩，或459m n =⎧⎨=-⎩第二组不合题意，舍去，得2220,16a b ==所求双曲线的标准方程为2212016y x -=解法二：根据双曲线的定义，有2a =所以，a = 又6c =，所以2362016b =-=由已知，双曲线的焦点在y 轴上，所以所求双曲线的标准方程为2212016y x -=. 2、提示：根据椭圆中222a b c -=和双曲线中222a b c +=的关系式分别求出椭圆、双曲线的焦点坐标.3、由(2)(1)0m m ++>，解得2m <-，或1m >- 练习（P61）1、（1）实轴长2a =24b =；顶点坐标为-；焦点坐标为(6,0),(6,0)-；离心率4e =. （2）实轴长26a =，虚轴长218b =；顶点坐标为(3,0),(3,0)-；焦点坐标为-；离心率e （3）实轴长24a =，虚轴长24b =；顶点坐标为(0,2),(0,2)-；焦点坐标为-；离心率e =（4）实轴长210a =，虚轴长214b =；顶点坐标为(0,5),(0,5)-；焦点坐标为；离心率5e =2、（1）221169x y -=；（2）2213628y x -=. 3、22135x y -= 4、2211818x y -=，渐近线方程为y x =±. 5、（1）142(6,2),(,)33-；（2）25(,3)4习题2.3 A 组（P61）1、把方程化为标准方程，得2216416y x -=. 因为8a =，由双曲线定义可知，点P 到两焦点距离的差的绝对值等于16. 因此点P 到另一焦点的距离是17.2、（1）2212016x y -=. （2）2212575x y -= 3、（1）焦点坐标为12(5,0),(5,0)F F -，离心率53e =；（2）焦点坐标为12(0,5),(0,5)F F -，离心率54e =；4、（1）2212516x y -=. （2）221916y x -=（3）解：因为ce a==222c a =，因此2222222b c a a a a =-=-=.设双曲线的标准方程为 22221x y a a -=，或22221y x a a -=.将(5,3)-代入上面的两个方程，得222591a a -=，或229251a a-=. 解得 216a = （后一个方程无解）.所以，所求的双曲线方程为2211616x y -=.5、解：连接QA ，由已知，得QA QP =. 所以，QA QO QP QO OP r -=-==. 又因为点A 在圆外，所以OA OP >.根据双曲线的定义，点Q 的轨迹是以,O A 为焦点，r 为实轴长的双曲线.6、22188x y -=. 习题2.3 B 组（P62）1、221169x y -= 2、解：由声速及,A B 两处听到爆炸声的时间差，可知,A B 两处与爆炸点的距离的差，因此爆炸点应位于以,A B 为焦点的双曲线上.使,A B 两点在x 轴上，并且原点O 与线段AB 的中点重合，建立直角坐标系xOy . 设爆炸点P 的坐标为(,)x y ，则 34031020PA PB -=⨯=. 即 21020a =，510a =.又1400AB =，所以21400c =，700c =，222229900b c a =-=.因此，所求双曲线的方程为221260100229900x y -=. 3、22221x y a b-=4、解：设点11(,)A x y ，22(,)B x y 在双曲线上，且线段AB 的中点为(,)M x y .设经过点P 的直线l 的方程为1(1)y k x -=-，即1y kx k =+-把1y kx k =+-代入双曲线的方程2212y x -=得222(2)2(1)(1)20k x k k x k ------=（220k -≠） ……①所以，122(1)22x x k k x k +-==- 由题意，得2(1)12k k k -=-，解得 2k =. 当2k =时，方程①成为22430x x -+=.根的判别式162480∆=-=-<，方程①没有实数解.所以，不能作一条直线l 与双曲线交于,A B 两点，且点P 是线段AB 的中点.2．4抛物线练习（P67）1、（1）212y x =；（2）2y x =；（3）22224,4,4,4y x y x x y x y ==-==-.2、（1）焦点坐标(5,0)F ，准线方程5x =-；（2）焦点坐标1(0,)8F ，准线方程18y =-；（3）焦点坐标5(,0)8F -，准线方程58x =；（4）焦点坐标(0,2)F -，准线方程2y =；3、（1）a ，2pa -. （2），(6,-提示：由抛物线的标准方程求出准线方程. 由抛物线的定义，点M 到准线的距离等于9，所以 39x +=，6x =，y =±练习（P72）1、（1）2165y x =；（2）220x y =；（3）216y x =-；（4）232x y =-. 2、图形见右，x 的系数越大，抛物线的开口越大. 3、解：过点(2,0)M 且斜率为1的直线l 的方程为2y x =-与抛物线的方程24y x =联立 224y x y x=-⎧⎨=⎩解得1142x y ⎧=+⎪⎨=+⎪⎩2242x y ⎧=-⎪⎨=-⎪⎩ 设11(,)A x y ，22(,)B x y，则AB ===4、解：设直线AB 的方程为x a =(0)a >.将x a =代入抛物线方程24y x =，得24y a =，即y =±. 因为22AB y ==⨯==，所以，3a =因此，直线AB 的方程为3x =.习题2.4 A 组（P73）1、（1）焦点坐标1(0,)2F ，准线方程12y =-；（2）焦点坐标3(0,)16F -，准线方程316y =；（3）焦点坐标1(,0)8F -，准线方程18x =；（4）焦点坐标3(,0)2F ，准线方程32x =-.2、（1）28y x =-；（2），或(4,-3、解：由抛物线的方程22y px =(0)p >，得它的准线方程为2px =-. 根据抛物线的定义，由2MF p =，可知，点M 的准线的距离为2p . 设点M 的坐标为(,)x y ，则 22p x p +=，解得32p x =. 将32px =代入22y px =中，得y =. 因此，点M的坐标为3()2p，3(,)2p.4、（1）224y x =，224y x =-；（2）212x y =-（图略）5、解：因为60xFM ∠=︒，所以线段FM所在直线的斜率tan60k =︒. 因此，直线FM 的方程为1)y x =-与抛物线24y x =联立，得21)142y x y x ⎧=-⎪⎨=⎪⎩将1代入2得，231030x x -+=，解得，113x =，23x =把113x =，23x =分别代入①得1y =，2y =由第5题图知1(,33-不合题意，所以点M 的坐标为.因此，4FM ==6、证明：将2y x =-代入22y x =中，得2(2)2x x -=，化简得 2640x x -+=，解得3x = 则321y =±= 因为OB k =，OA k 所以15195OB OA k k -⋅===-- 所以 OA OB ⊥7、这条抛物线的方程是217.5x y = 8、解：建立如图所示的直角坐标系，设拱桥抛物线的方程为22x py =-，因为拱桥离水面2 m ，水面宽4 m 所以 222(2)p =--，1p =因此，抛物线方程为22x y =- ……①水面下降1 m ，则3y =-，代入①式，得22(3)x =-⨯-，x =这时水面宽为m.习题2.2 B 组（P74）1、解：设垂线段的中点坐标为(,)x y ，抛物线上相应点的坐标为11(,)x y .根据题意，1x x =，12y y =，代入2112y px =，得轨迹方程为212y px =. 由方程可知，轨迹为顶点在原点、焦点坐标为(,0)8p的抛物线.2、解：设这个等边三角形OAB 的顶点,A B 在抛物线上，且坐标分别为11(,)x y ，22(,)x y ，则 2112y px =，2222y px =.又OA OB =，所以 22221122x y x y +=+ 即221212220x x px px -+-=，221212()2()0x x p x x -+-= 因此，1212()(2)0x x x x p -++= 因为120,0,20x x p >>>，所以12x x = 由此可得12y y =，即线段AB 关于x 轴对称.（第8题）因为x 轴垂直于AB ，且30AOx ∠=︒，所以11tan303y x =︒=. 因为2112y x p=，所以1y =，因此12AB y ==.3、解：设点M 的坐标为(,)x y由已知，得直线AM 的斜率 (1)1AM yk x x =≠-+. 直线BM 的斜率 (1)1BM yk x x =≠-. 由题意，得2AM BM k k -=，所以，2(1)11y y x x x -=≠±+-，化简，得2(1)(1)x y x =--≠± 第二章复习参考题A 组（P80）1、解：如图，建立直角坐标系，使点2,,A B F 在x 轴上，2F 为椭圆的右焦点（记1F 为左焦点）.因为椭圆的焦点在x 轴上，所以设它的标准方程为22221(0)x y a b a+=>>.则 22a c OA OF F A -=-=63714396810=+=，22a c OB OF F B +=+=637123848755=+=解得 7782.5a =，8755c =所以 b ===用计算器算得 7722b ≈因此，卫星的轨道方程是2222177837722x y +=. 2、解：由题意，得 12a c R r a c R r -=+⎧⎨+=+⎩，解此方程组，得1221222R r r a r r c ++⎧=⎪⎪⎨-⎪=⎪⎩因此卫星轨道的离心率21122c r r e a R r r -==++. 3、（1）D ；（2）B .4、（1）当0α=︒时，方程表示圆.（2）当090α︒<<︒时，方程化成2211cos y x α+=. 方程表示焦点在y 轴上的椭圆. （第1题）（3）当90α=︒时，21x =，即1x =±，方程表示平行于y 轴的两条直线.（4）当90180α︒<≤︒时，因为cos 0α<，所以22cos 1x y α+=表示双曲线，其焦点在x 轴上. 而当180α=︒时，方程表示等轴双曲线. 5、解：将1y kx =-代入方程224x y -=得 2222140x k x kx -+--= 即 22(1)250k x kx -+-= ……① 222420(1)2016k k k ∆=+-=-令 0∆<，解得2k >，或2k <- 因为0∆<，方程①无解，即直线与双曲线没有公共点，所以，k 的取值范围为k >，或k <6、提示：设抛物线方程为22y px =，则点B 的坐标为(,)2p p ，点C 的坐标为(,)2pp -设点P 的坐标为(,)x y ，则点Q 的坐标为(,0)x .因为，PQ y ==2BC p =，OQ x =.所以，2PQ BC OQ =，即PQ 是BC 和OQ 的比例中项.7、解：设等边三角形的另外两个顶点分别是,A B ，其中点A 在x 轴上方.直线FA 的方程为 )32py x =-与22y px =联立，消去x ，得 220y p --=解方程，得 12)y p =，22)y p =把12)y p =代入)2py x =-，得 17(2x p =+.把22)y p =代入)32py x =-，得 27(2x p =-.所以，满足条件的点A 有两个17((2))2A p p +，27((2))2A p p -.根据图形的对称性，可得满足条件的点B 也有两个17((,2))2B p p +-，27((,2))2B p p --所以，等边三角形的边长是112)A B p =，或者222(2A B p =. 8、解：设直线l 的方程为2y x m =+.把2y x m =+代入双曲线的方程222360x y --=，得221012360x mx m +++=.1265m x x +=-，2123610m x x += ……①由已知，得 21212(14)[()4]16x x x x ++-= ……②把①代入②，解得 3m =±所以，直线l 的方程为23y x =±9、解：设点A 的坐标为11(,)x y ，点B 的坐标为22(,)x y ，点M 的坐标为(,)x y .并设经过点M 的直线l 的方程为1(2)y k x -=-，即12y kx k =+-.把12y kx k =+-代入双曲线的方程2212y x -=，得 222(2)2(12)(12)20k x k k x k ------=2(0)k -≠. ……①所以，122(12)22x x k k x k +-==- 由题意，得2(12)22k k k -=-，解得4k = 当4k =时，方程①成为 21456510x x -+=根的判别式25656512800∆=-⨯=>，方程①有实数解. 所以，直线l 的方程为47y x =-.10、解：设点C 的坐标为(,)x y .由已知，得直线AC 的斜率 (5)5AC yk x x =≠-+ 直线BC 的斜率 (5)5BCy k x x =≠-由题意，得AC BC k k m =. 所以，(5)55y y m x x x ⨯=≠±+- 化简得，221(5)2525x y x m-=≠± 当0m <时，点C 的轨迹是椭圆(1)m ≠-，或者圆(1)m =-，并除去两点(5,0),(5,0)-；当0m >时，点C 的轨迹是双曲线，并除去两点(5,0),(5,0)-；11、解：设抛物线24y x =上的点P 的坐标为(,)x y ，则24y x =.点P 到直线3y x =+的距离d ===当2y =时，d此时1x =，点P 的坐标是(1,2).12、解：如图，在隧道的横断面上，以拱顶为原点、拱高所在直线为y 轴（向上），建立直角坐标系.设隧道顶部所在抛物线的方程为22x py =-因为点(4,4)C -在抛物线上所以 242(4)p =--解得 24p =-为24x y =-.设0.5EF h =+. 则(3, 5.5)F h -把点F 的坐标代入方程24x y =-，解得 3.25h =. 答：车辆通过隧道的限制高度为3.2 m.第二章复习参考题B 组（P81）1、12PF F S ∆=2、解：由题意，得1PF x ⊥轴.把x c =-代入椭圆方程，解得 2b y a=±. 所以，点P 的坐标是2(,)b c a -（第12题）（第4题）直线OP 的斜率21b k ac=-. 直线AB 的斜率2b k a =-.由题意，得2b bac a =，所以，b c =，a =. 由已知及1F A a c =+，得a c +=所以(1c +=c =所以，a =，b =因此，椭圆的方程为221105x y +=. 3、解：设点A 的坐标11(,)x y ，点B 的坐标22(,)x y .由OA OB ⊥，得12120x x y y +=.由已知，得直线AB 的方程为25y x =-+. 则有 12125()250y y y y -++= ……①由25y x =-+与22y px =消去x ，得250y py p +-= ……② 12y y p +=-，125y y p =- ……③ 把③代入①，解得54p = 当54p =时，方程②成为245250y y +-=，显然此方程有实数根. 所以，54p = 4、解：如图，以连接12,F F 的直线为x 轴，线段12F F 的中点为原点，建立直角坐标系.对于抛物线，有176352922922p=+=，所以，4584p =，29168p =.对于双曲线，有2080529c a c a +=⎧⎨-=⎩解此方程组，得775.5a =，1304.5c = 因此，2221100320b c a =-=.所以，所求双曲线的方程是221601400.31100320x y -=(775.5)x ≥.因为抛物线的顶点横坐标是 (1763)(1763775.5)987.5a --=--=- 所以，所求抛物线的方程是 29168(987.5)y x =+ 答：抛物线的方程为29168(987.5)y x =+，双曲线的方程是221601400.31100320x y -=(775.5)x ≥. 5、解：设点M 的坐标为(,)x y由已知，得直线AM 的斜率 (1)1AM yk x x =≠-+ 直线BM 的斜率 (1)1BM yk x x =≠- 由题意，得2AM BM k k +=，所以2(1)11y y x x x +=≠±-+，化简，得21(1)xy x x =-≠± 所以，点M 轨迹方程是21(1)xy x x =-≠±.6、解：（1）当1m =时，方程表示x 轴；（2）当3m =时，方程表示y 轴；（3）当1,3m m ≠≠时，把方程写成22131x y m m +=--. ①当13,2m m <<≠时，方程表示椭圆； ②2m =时，方程表示圆；③当1m <，或3m >时，方程表示双曲线.7、以AB 为直径的圆与抛物线的准线l 相切.证明：如图，过点,A B 分别作抛物线22(0)y px p =>的准线l 的垂线，垂足分别为,D E .由抛物线的定义，得 AD AF =，BE BF =.所以，AB AF BF AD BE =+=+.设AB 的中点为M ，且过点M 作抛物线22(0)y px p =>的准线l 的垂线，垂足为C .显然MC ∥x 轴，所以，MC 是直角梯形ADEB 的中位线. 于是，11()22MC AD BE AB =+=. 因此，点C 在以AB 为直径的圆上.又MC l ⊥，所以，以AB 为直径的圆与抛物线的准线l 相切. 类似地，可以证明：对于椭圆，以经过焦点的弦为直径的圆与相应的准线相离；对于双曲线，以经过焦点的弦为直径的圆与相应的准线相交.（第7题）。

高中数学人教版A版必修一学案：第二单元章末复习课 Word版含答案

章末复习课网络构建核心归纳1．指数函数的图象和性质一般地，指数函数y ＝a x(a >0且a ≠1)的图象与性质如下表所示.数的范围，通常要用分类讨论思想．(2)a >1时，a 值越大，图象向上越靠近y 轴，递增速度越快；0<a <1时，a 值越小，图象向上越靠近y 轴，递减速度越快．(3)在同一坐标系中有多个指数函数图象时，图象的相对位置与底数大小有如下关系：在y 轴右侧，图象从上到下相应的底数由大变小；在y 轴左侧，图象从下到上相应的底数由大变小．即无论在y 轴的左侧还是右侧，底数按逆时针方向变大．这一性质可通过令x ＝1时，y ＝a 去理解，如图．2．对数函数的图象和性质对数函数y ＝log a x (a >0且a ≠1)与指数函数y ＝a x(a >0且a ≠1)互为反函数，其图象关于直线y ＝x 对称．(如图)4．幂函数的性质(1)所有的幂函数在(0，＋∞)上都有定义，并且图象都过点(1,1)． (2)如果α>0，则幂函数的图象过原点，并且在区间[0，＋∞)上为增函数．(3)如果α<0，则幂函数的图象在区间(0，＋∞)上是减函数，在第一象限内，当x 从右边趋向于原点时，图象在y 轴右方无限地逼近y 轴，当x 从原点趋向于＋∞时，图象在x 轴上方无限地逼近x 轴．(4)当α为奇数时，幂函数为奇函数；当α为偶数时，幂函数为偶函数．要点一指数、对数的运算指数式的运算首先注意化简顺序，一般负指数先转化成正指数，根式化为分数指数幂运算，其次若出现分式则要注意分子、分母因式分解以达到约分的目的．对数运算首先注意公式应用过程中范围的变化，前后要等价，熟练地运用对数的三个运算性质并结合对数恒等式，换底公式是对数计算、化简、证明常用的技巧．【例1】 (1)化简：a 43 －8a 13 b4b 23 ＋23ab ＋a 23 ÷⎝ ⎛⎭⎪⎫1－23b a ×3ab ； (2)求值：12lg 3249－43lg 8＋lg 245.解 (1)原式＝a 13 a －8bb 13 2＋2a 13 b 13 ＋a 132×a 13a 13 －2b 13×a 13 b 13＝a 13a －8b a －8b×a 13 ×a 13 b 13 ＝a 3b .(2)法一 12lg 3249－43lg 8＋lg 245＝lg 427－lg 4＋lg 7 5＝lg ⎝⎛⎭⎪⎫427×14×75 ＝lg 10＝12lg 10＝12.法二原式＝12(5lg 2－2lg 7)－43·32lg 2＋12(2lg 7＋lg 5)＝52lg 2－lg 7－2lg 2＋lg7＋12lg 5 ＝12lg 2＋12lg 5＝12(lg 2＋lg 5) ＝12lg 10＝12. 【训练1】 (1)化简：(8)－23 ×(3102)92 ÷105；(2)计算：2log 32－log 3329＋log 38－25log 53.解 (1)原式＝⎝⎛⎭⎫232 －23 ×⎝⎛⎭⎫1023 92 ÷1052 ＝2－1×103×10－52 ＝2－1×1012 ＝102.(2)原式＝log 34－log 3329＋log 38－5log 59＝log 3⎝ ⎛⎭⎪⎫4×932×8－9＝－7. 要点二指数函数、对数函数、幂函数的图象问题函数图象的画法4解析法一当x ＝0时，y ＝0，故可排除选项A ，由1－x >0，得x <1，即函数的定义域为(－∞，1)，排除选项B ，又易知函数在其定义域上是减函数，故选C ．法二函数y ＝2log 4(1－x )的图象可认为是由y ＝log 4x 的图象经过如下步骤变换得到的：(1)函数y ＝log 4x 的图象上所有点的横坐标不变．纵坐标变为原来的2倍，得到函数y ＝2log 4x 的图象；(2)把函数y ＝2log 4x 关于y 轴对称得到函数y ＝2log 4(－x )的图象；(3)把函数y ＝2log 4(－x )的图象向右平移1个单位，即可得到y ＝2log 4(1－x )的图象，故选C ．答案 C【训练2】在同一直角坐标系中，函数f(x)＝x a(x≥0)，g(x)＝log a x的图象可能是( )解析法一当a>1时，y＝x a与y＝log a x均为增函数，但y＝x a递增较快，排除C；当0<a<1时，y＝x a为增函数，y＝log a x为减函数，排除A．由于y＝x a递增较慢，所以选D．法二幂函数f(x)＝x a的图象不过(0,1)点，故A错；B项中由对数函数f(x)＝log a x的图象知0<a<1，而此时幂函数f(x)＝x a的图象应是增长越来越慢的变化趋势，故B错；D对；C项中由对数函数f(x)＝log a x的图象知a>1，而此时幂函数f(x)＝x a的图象应是增长越来越快的变化趋势，故C错．答案 D要点三大小比较问题数的大小比较常用方法：(1)比较两数(式)或几个数(式)大小问题是本章的一个重要题型，主要考查数、指数函数、对数函数幂函数图象与性质的应用及差值比较法与商值比较法的应用．常用的方法有单调性法、图象法、中间搭桥法、作差法、作商法．(2)当需要比较大小的两个实数均是指数幂或对数式时，可将其看成某个指数函数、对数函数或幂函数的函数值，然后利用该函数的单调性比较．(3)比较多个数的大小时，先利用“0”和“1”作为分界点，即把它们分为“小于0”，“大于等于0小于等于1”，“大于1”三部分，再在各部分内利用函数的性质比较大小．π，c＝π－2，则( )【例3】设a＝log2π，b＝log12A．a>b>c B．b>a>c C．a>c>b D．c>b>a解析因为π>2，所以a＝log2π>1，所以b＝log1π<0.因为π>1，所以0<π－2<1，即20<c<1，所以a>c>b.答案 C【训练3】设a ＝log 123，b ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫130.2，c ＝213 ，则( )A ．a ＜b ＜cB ．c ＜b ＜aC ．c ＜a ＜bD ．b ＜a ＜c解析 a ＝log 123＜0,0＜b ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫130.2＜1，c ＝213 ＞1，故有a ＜b ＜c . 答案 A要点四函数的定义域与值域函数值域(最值)的求法(1)直观法：图象在y 轴上的“投影”的范围就是值域的范围． (2)配方法：适合二次函数．(3)反解法：有界量用y 来表示．如y ＝1－x 21＋x 2中，由x 2＝1－y 1＋y ≥0可求y 的范围，可得值域．(4)换元法：通过变量代换转化为能求值域的函数，特别注意新变量的范围． (5)单调性：特别适合于指、对数函数的复合函数．【例4】 (1)函数f (x )＝1log 2x －的定义域为( ) A ．(－∞，2) B ．(2，＋∞) C ．(2,3)∪(3，＋∞)D ．(2,4)∪(4，＋∞)(2)设0≤x ≤2，y ＝4x －12 －3·2x＋5，试求该函数的最值． (1)解析由题意知⎩⎪⎨⎪⎧log 2x －，x －2>0，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ≠3，x >2，所以函数f (x )的定义域为(2,3)∪(3，＋∞)．答案 C(2)解令k ＝2x(0≤x ≤2)，∴1≤k ≤4.则y ＝22x －1－3·2x＋5＝12k 2－3k ＋5.又y ＝12(k －3)2＋12，k ∈[1,4]，∴y ＝12(k －3)2＋12，在k ∈[1,3]上是减函数，在k ∈[3,4]上是增函数，∴当k ＝3时，y min ＝12；当k ＝1时，y max ＝52.即函数的最大值为52，最小值为12.【训练4】 (1)若f (x )＝1log 0.5x ＋，则函数f (x )的定义域为( )A ．⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，＋∞ B ．(0，＋∞)C ．⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，0D ．⎝ ⎛⎦⎥⎤－12，0(2)函数f (x )＝ln ⎝⎛⎭⎪⎫1＋1x ＋1－x 2的定义域为________．解析 (1)f (x )＝1log 0.5x ＋的定义域为：⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋1>0，log 0.5x ＋，即⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪⎩⎪⎨⎪⎧ x >－12，2x ＋1<1，解得{x |－12<x <0}．故选C ．(2)由条件知⎩⎪⎨⎪⎧1＋1x>0，x ≠0，1－x 2≥0⇒⎩⎪⎨⎪⎧x <－1或x >0，x ≠0，－1≤x ≤1⇒x ∈(0,1]．答案 (1)C (2)(0,1]。

高中数学人教A版选修1-2：第二章章末复习课 Word版含答案

章末复习课[整合·网络构建][警示·易错提醒]1．进行类比推理时，可以从①问题的外在结构特征，②图形的性质或维数．③处理一类问题的方法．④事物的相似性质等入手进行类比．要尽量从本质上去类比，不要被表面现象迷惑，否则，只抓住一点表面的相似甚至假象就去类比，就会犯机械类比的错误．2．进行归纳推理时，要把作为归纳基础的条件变形为有规律的统一的形式，以便于作出归纳猜想．3．推理证明过程叙述要完整、严谨、逻辑关系清晰、不跳步．4．注意区分演绎推理和合情推理，当前提为真时，前者结论一定为真，而后者结论可能为真也可能为假．合情推理得到的结论其正确性需要进一步推证，合情推理中运用猜想时要有依据．5．用反证法证明数学命题时，必须把反设作为推理依据．书写证明过程时，一定要注意不能把“假设”误写为“设”，还要注意一些常见用语的否定形式．6．分析法的过程仅需要寻求结论成立的充分条件即可，而不是充要条件．分析法是逆推证明，故在利用分析法证明问题时应注意逻辑性与规范性．专题一合情推理合情推理包括归纳推理和类比推理，归纳推理是由部分到整体，由特殊到一般的推理，后面是由特殊到特殊的推理．但二者都能由已知推测未知，都能用于猜想，具有发现功能，但推理的结论不一定为真，有待进一步证明．[例1] (1)(2015·陕西卷)观察下列等式： 1－12＝121－12＋13－14＝13＋141－12＋13－14＋15－16＝14＋15＋16……据此规律，第n 个等式可为_______________________________．(2)设△ABC 的三边长分别为a ，b ，c ，△ABC 的面积为S ，内切圆半径为r ，则r ＝2Sa ＋b ＋c；类比这个结论可知，四面体ABCD 的四个面的面积分别为S 1，S 2，S 3，S 4，四面体ABCD 的体积为V ，内切球半径为R ，则R ＝________．解析：(1)由给出的等式看，左边共有2n 项且等式左边分母分别为1，2，3，…，2n ，分子均为1，且奇数项为正，偶数项为负．等式的右边共n 项，且分母分别为n ＋1，n ＋2，…2n .分子均为1，因此猜想1－12＋13－14＋……＋12n －1－12n ＝1n ＋1＋1n ＋2＋…＋12n(2)三角形边长――→类比四面体各面面积，三角形的面积――→类比四面体体积因此R ＝3VS 1＋S 2＋S 3＋S 4答案：(1)1－12＋13－14＋…＋12n －1－12n ＝1n ＋1＋1n ＋2＋…＋12n .(2)R ＝3VS 1＋S 2＋S 3＋S 4归纳升华1．归纳推理中，从特殊发现各项的变化规律，特别是各项的符号变化；从已知相同特征中推出一个明确表述的一般性命题．2．类比推理重在考察观察和比较的能力，题目一般情况下较为新颖，也有一定的探索性． [变式训练] (1)有一个奇数列1，3，5，7，9，…，现在进行如下分组：第一组含一个数{1}；第二组含两个数{3，5}；第三组含三个数{7，9，11}；第四组含四个数{13，15，17，19}；….则观察每组内各数之和f (n )(n ∈N *)与组的编号数n 的关系式为________．(2)在平面几何中，对于Rt △ABC ，设AB ＝c ，AC ＝b ，BC ＝a ，则△ABC 的外接圆半径为r ＝12a 2＋b 2，把上述结论类比到空间，写出类似的结论．(1)解析：由于1＝13，3＋5＝8＝23，7＋9＋11＝27＝33，13＋15＋17＋19＝64＝43，…，猜想第n 组内各数之和f (n )与组的编号数n 的关系式为f (n )＝n 3.答案：f (n )＝n 3(2)解：取空间中三条侧棱两两垂直的四面体A BCD 且AB ＝a ，AC ＝b ，AD ＝c ，则此四面体的外接球的半径为R ＝12a 2＋b 2＋c 2.专题二演绎推理演绎推理是由一般到特殊的推理方法，又叫逻辑推理，在前提和推理形式均正确的前提下，得到的结论一定正确，演绎推理的内容一般是通过合情推理获取．演绎推理的形式一般为“三段论”的形式，即大前提、小前提和结论． [例2] 已知函数f (x )＝12x 2＋a ln x (a ∈R)．(1)若f (x )在[1，e]上是增函数，求a 的取值范围． (2)若a ＝1，1≤x ≤e ，证明：f (x )<23x 3.解：(1)因为f ′(x )＝x ＋ax，且f (x )在[1，e]上是增函数，所以f ′(x )＝x ＋a x≥0在[1，e]上恒成立，即a ≥－x 2在[1，e]上恒成立，所以a ≥－1. (2)当a ＝1时，f (x )＝12x 2＋ln x ，x ∈[1，e]令F (x )＝f (x )－23x 3＝12x 2＋ln x －23x 3，又F ′(x )＝x ＋1x －2x 2＝（1－x ）（1＋x ＋2x 2）x≤0，所以F (x )在[1，e]上是减函数，所以F (x )≤F (1)＝12－23<0，所以x ∈[1，e]时，f (x )<23x 3.归纳升华数学中的演绎推理一般是以三段论的格式进行的．三段论由大前提、小前提和结论三个命题组成，大前提是一个一般性原理，小前提给出了适合这个原理的一个特殊场合，结论是大前提和小前提的逻辑结果．[变式训练] 若定义在区间D 上函数f (x )对于D 上的几个值x 1，x 2，…，x n 总满足1n[f (x 1)＋f (x 2)＋…＋f (x n )]≤f ⎝⎛⎭⎪⎫x 1＋x 2＋…＋x n n 称函数f (x )为D 上的凸函数，现已知f (x )＝sin x在(0，π)上是凸函数，则在△ABC 中，sin A ＋sin B ＋sin C 的最大值是________．解析：因为1n[f (x 1)＋f (x 2)＋…＋f (x n )]≤f ⎝⎛⎭⎪⎫x 1＋x 2＋…＋x n n，因为f (x )＝sin x 在(0，π)上是凸函数，所以f (A )＋f (B )＋f (C )≤3f ⎝⎛⎭⎪⎫A ＋B ＋C n ，即sin A ＋sin B ＋sin C ≤3sin π3＝332，所以sin A ＋sin B ＋sin C 的最大值是332.答案：332专题三综合法与分析法证明数学命题综合法是从原因推测结果的思维方法，即从已知条件出发，经过逐步的推理，最后达到待证的结论，这是常用的数学方法．分析法是从待证的结论出发，一步一步地寻找结论成立的充分条件，最后达到题设的已知条件或已被证明的事实．[例3] (2016·全国Ⅲ卷)如图，四棱锥PABCD 中，PA ⊥底面ABCD ，AD ∥BC ，AB ＝AD＝AC ＝3，PA ＝BC ＝4，M 为线段AD 上一点，AM ＝2MD ，N 为PC 的中点．(1)证明：MN ∥平面PAB ； (2)求四面体NBCM 的体积．(1)证明：因为AM ＝2MD ，所以AM ＝23AD ＝2.取BP 的中点T ，连接AT ，TN ，如图所示，由N 是PC 的中点知，TN ∥BC .TN ＝12BC ＝2.因为AD ∥BC ，所以TN ∥AM . 又BC ＝4，所以AM ＝12BC .因为TN ＝AM .所以四边形AMNT 为平行四边形．所以MN ∥AT .因为AT ⊂平面PAB ，MN ⊄平面PAB ，所以MN ∥平面PAB .(2)解：因为PA ⊥平面ABCD ，N 为PC 的中点，所以N 到平面ABCD 的距离为12PA ＝2.取BC 的中点E ，连接AE . 因为AB ＝AC ＝3，所以AE ⊥BC ，AE ＝AB 2－BE 2＝32－22＝ 5. 由AM ∥BC 得点M 到BC 的距离为 5. 所以S △BCM ＝12×4×5＝2 5.所以四面体N BCM 的体积V NBCM＝13×S △BCM ×2＝453. 归纳升华综合法和分析法是直接证明中的两种最基本的证明方法，但两种证明方法思路截然相反，分析法即可用于寻找解题思路，也可以是完整的证明过程，分析法与综合法可相互转换，相互渗透，要充分利用这一辩证关系，在解题中综合法和分析法联合运用，转换解题思路，增加解题途径．一般以分析法为主寻求解题思路，再用综合法有条理地表示证明过程．[变式训练] 在△ABC 中，三个内角A ，B ，C 对应的边分别为a ，b ，c ，且A ，B ，C 成等差数列，a ，b ，c 成等比数列，求证：△ABC 为等边三角形．证明：由A ，B ，C 成等差数列，有2B ＝A ＋C .①因为A ，B ，C 为△ABC 的内角，所以A ＋B ＋C ＝π.② 由①②，得B ＝π3.③由a ，b ，c 成等比数列，有b 2＝ac .④ 由余弦定理及③，可得b 2＝a 2＋c 2－2ac cos B ＝a 2＋c 2－ac . 再由④，得a 2＋c 2－ac ＝ac ，即(a －c )2＝0，因此a ＝c ，从而有A ＝C .⑤由②③⑤，得A ＝B ＝C ＝π3，所以△ABC 为等边三角形．专题四反证法的应用(1)反证法是一种间接证明的方法，它的理论基础是先否定命题，然后再证明命题的否定是错误的，从而肯定原命题正确，它反映了“正难则反”的思想．(2)反证法着眼于命题的转换，改变了研究的角度和方向，使论证的目标更为明确，由于增加了推理的前提——原结论的否定，更易于开拓思路，因此对于直接论证较为困难的时候，往往采用反证法证明．所以反证法在数学证明中有着广泛的应用．[例4] 设等比数列{a n }的公比为q . (1)推导{a n }的前n 项和公式；(2)设q ≠1，证明数列{a n ＋1}不是等比数列．解：(1)设{a n }的前n 项和为S n ，当q ＝1时，S n ＝a 1＋a 1＋…＋a 1＝na 1；当q ≠1时，S n ＝a 1＋a 1q ＋a 1q 2＋…＋a 1qn －1，①qS n ＝a 1q ＋a 1q 2＋…＋a 1q n ，②①－②得，(1－q )S n ＝a 1－a 1q n，∴S n ＝a 1（1－q n ）1－q ，∴S n ＝⎩⎪⎨⎪⎧na 1，q ＝1，a 1（1－q n ）1－q，q ≠1.(2)假设{a n ＋1}是等比数列，则对任意k ∈N *，有(a k ＋1＋1)2＝(a k ＋1)(a k ＋2＋1)a 2k ＋1＋2a k ＋1＋1＝a k a k ＋2＋a k ＋a k ＋2＋1，a 21q 2k ＋2a 1q k ＝a 1qk －1·a 1q k ＋1＋a 1q k －1＋a 1q k ＋1，∵a 1≠0，∴2q k ＝qk －1＋qk ＋1.∵q ≠0，∴q 2－2q ＋1＝0， ∴q ＝1，这与已知矛盾．∴假设不成立，故{a n ＋1}不是等比数列．归纳升华1．反证法必须从否定结论进行推理，即应把结论的反面作为条件，且必须根据这一条件进行推证，否则，仅否定结论，不从结论的反面进行推理，就不是反证法．2．推导出的矛盾多种多样，有的与已知相矛盾，有的与假设相矛盾，有的与已知事实相矛盾等等，推出的矛盾必须是明显的．[变式训练] 已知直线ax －y ＝1与曲线x 2－2y 2＝1相交于P ，Q 两点，证明：不存在实数a ，使得以PQ 为直径的圆经过坐标原点O .证明：假设存在实数a ，使得以PQ 为直径的圆经过坐标原点O ，则OP ⊥OQ . 设P (x 1，y 1)，Q (x 2，y 2)，则y 1x 1·y 2x 2＝－1，所以(ax 1－1)(ax 2－1)＝－x 1·x 2，即(1＋a 2)x 1·x 2－a (x 1＋x 2)＋1＝0. 由题意得(1－2a 2)x 2＋4ax －3＝0，所以x 1＋x 2＝－4a 1－2a 2，x 1·x 2＝－31－2a 2. 所以(1＋a 2)·－31－2a 2－a ·－4a1－2a2＋1＝0，则a 2＝－2，这是不可能的，所以假设不成立．故不存在实数a ，使得以PQ 为直径的圆经过坐标原点O . 专题五转化与化归思想的应用转化与化归的思想就是在处理问题时，通过某种转化过程，化归为一类已经解决或比较容易解决的问题，最终使问题化繁为简、化难为易．[例5] 设f (x )＝2x 2＋1，a ＋b ＝1，且a ，b 同号，求证：对任意实数p ，q 恒有af (p )＋bf (q )≥f (ap ＋bq )成立．证明：∵f (x )＝2x 2＋1，a ＋b ＝1∴af (p )＋bf (q )＝a (2p 2＋1)＋b (2q 2＋1)，f (ap ＋bq )＝2(ap ＋bq )2＋1.又af (p )＋bf (q )－f (ap ＋bq )＝a (2p 2＋1)＋b (2q 2＋1)－2(ap ＋bq )2－1 ＝2ap 2＋2bq 2－2a 2p 2－4abpq －2q 2b 2＝2ap 2(1－a )＋2bq 2(1－b )－4abpq＝2abp 2＋2abq 2－4abpq ＝2ab (p －q )2.因为a ，b 同号，所以2ab (p －q )2≥0. 所以原不等式成立．归纳升华本章内容中转化与化归思想主要应用于以下几个方面：归纳推理中特殊到一般的转化；演绎推理中一般到特殊的转化；分析法中结论与条件的转化；反证法中正难则反的转化；数学归纳法中无限与有限的转化等．[变式训练] 已知函数f (x )＝ax 3＋bx ＋c 在点x ＝2处取得极小值c －16. (1)求a ，b 的值；(2)若f (x )有极大值28，求f (x )在[－3，3]上的最小值．解：(1)因为f (x )＝ax 3＋bx ＋c ，所以f ′(x )＝3ax 2＋b .由已知f (x )在点x ＝2处取得极小值c －16，得⎩⎪⎨⎪⎧f ′（2）＝0，f （2）＝c －16，即⎩⎪⎨⎪⎧12a ＋b ＝0，8a ＋2b ＋c ＝c －16，则⎩⎪⎨⎪⎧12a ＋b ＝0，4a ＋b ＝－8，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝1，b ＝－12. (2)由(1)知f (x )＝x 3－12x ＋c ，f ′(x )＝3x 2－12. 令f ′(x )＝0，得x ＝－2或x ＝2.当x ∈(－3，－2)时，f ′(x )>0；当x ∈(－2，2)时，f ′(x )<0；当x ∈(2，3)时，f ′(x )>0. 所以f (x )在[－3，－2]上是增函数，在[－2，2]上是减函数，在[2，3]上是增函数．所以f (x )在x ＝－2处有极大值．因此f (－2)＝16＋c ＝28，所以c ＝12，所以f (－3)＝21，f (2)＝－4，f (－2)＝28，f (3)＝3. 故f (x )在[－3，3]上的最小值为f (2)＝－4.。

高中数学人教A版选修2-1 第二章圆锥曲线与方程 2.4.2 Word版含答案

学业分层测评(建议用时：45分钟)[学业达标]一、选择题1．已知点P (6，y )在抛物线y 2＝2px (p >0)上，若点P 到抛物线焦点F 的距离等于8，则焦点F 到抛物线准线的距离等于( )A ．2B ．1C ．4D ．8【解析】抛物线y 2＝2px (p >0)的准线为x ＝－p2，因为P (6，y )为抛物线上的点，所以点P 到焦点F 的距离等于它到准线的距离，所以6＋p2＝8，所以p ＝4，即焦点F 到抛物线的距离等于4，故选C.【答案】 C2．抛物线y 2＝4x 的焦点为F ，点P 为抛物线上的动点，点M 为其准线上的动点，当△FPM 为等边三角形时，其面积为( )A ．2 3B ．4C ．6D ．4 3【解析】据题意知，△FPM 为等边三角形，|PF |＝|PM |＝|FM |，∴PM ⊥抛物线的准线．设P ⎝ ⎛⎭⎪⎫m 24，m ，则M (－1，m )，等边三角形边长为1＋m 24，又由F (1，0)，|PM |＝|FM |，得1＋m 24＝（1＋1）2＋m 2，得m ＝23，∴等边三角形的边长为4，其面积为43，故选D.【答案】 D3．已知抛物线y 2＝2px (p ＞0)，过其焦点且斜率为1的直线交抛物线于A ，B 两点，若线段AB 的中点的纵坐标为2，则该抛物线的准线方程为( )A ．x ＝1B ．x ＝－1C ．x ＝2D ．x ＝－2【解析】设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，代入抛物线方程得⎩⎪⎨⎪⎧y 21＝2px 1， ①y 22＝2px 2， ②①－②得，(y 1＋y 2)(y 1－y 2)＝2p (x 1－x 2)．又∵y 1＋y 2＝4，∴y 1－y 2x 1－x 2＝2p 4＝p 2＝k ＝1，∴p ＝2.∴所求抛物线的准线方程为x ＝－1. 【答案】 B4．设F 为抛物线C ：y 2＝3x 的焦点，过F 且倾斜角为30°的直线交C 于A ，B 两点，则|AB |＝( )A.303 B ．6 C ．12D ．7 3【解析】焦点F 的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫34，0，直线AB 的斜率为33，所以直线AB 的方程为y ＝33⎝ ⎛⎭⎪⎫x －34，即y ＝33x －34，代入y 2＝3x ，得13x 2－72x ＋316＝0，设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则x 1＋x 2＝212，所以|AB |＝x 1＋x 2＋32＝212＋32＝12，故选C. 【答案】 C5．过抛物线y 2＝4x 的焦点作直线交抛物线于A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，若x 1＋x 2＝6，那么|AB |等于( )A ．10B ．8C ．6D ．4【解析】由题意知p ＝2，|AB |＝x 1＋x 2＋p ＝8.故选B. 【答案】 B 二、填空题6．抛物线y 2＝x 上到其准线和顶点距离相等的点的坐标为________．【解析】设抛物线上点的坐标为(x ，±x )，此点到准线的距离为x ＋14，到顶点的距离为x 2＋（x ）2，由题意有x ＋14＝x 2＋（x ）2，∴x ＝18，∴y ＝±24，∴此点坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫18，±24.【答案】 ⎝ ⎛⎭⎪⎫18，±247．直线y ＝kx ＋2与抛物线y 2＝8x 有且只有一个公共点，则k ＝________．【解析】当k ＝0时，直线与抛物线有唯一交点，当k ≠0时，联立方程消去y 得k 2x 2＋4(k －2)x ＋4＝0，由题意Δ＝16(k －2)2－16k 2＝0，∴k ＝1.【答案】 0或18．平面上一机器人在行进中始终保持与点F (1，0)的距离和到直线x ＝－1的距离相等．若机器人接触不到过点P (－1，0)且斜率为k 的直线，则k 的取值范围是________. 【导学号：18490074】【解析】设机器人为A (x ，y )，依题意得点A 在以F (1，0)为焦点，x ＝－1为准线的抛物线上，该抛物线的标准方程为y 2＝4x .过点P (－1，0)，斜率为k 的直线为y ＝k (x ＋1)．由⎩⎪⎨⎪⎧y 2＝4x ，y ＝kx ＋k ，得ky 2－4y ＋4k ＝0.当k ＝0时，显然不符合题意；当k ≠0时，依题意得Δ＝(－4)2－4k ·4k <0，化简得k 2－1>0，解得k >1或k <－1，因此k 的取值范围为(－∞，－1)∪(1，＋∞)．【答案】 (－∞，－1)∪(1，＋∞)三、解答题9．若抛物线的顶点在原点，开口向上，F 为焦点，M 为准线与y 轴的交点，A 为抛物线上一点，且|AM |＝17，|AF |＝3，求此抛物线的标准方程．【解】设所求抛物线的标准方程为x 2＝2py (p ＞0)，设A (x 0，y 0)，由题知M ⎝ ⎛⎭⎪⎫0，－p 2.∵|AF |＝3，∴y 0＋p2＝3， ∵|AM |＝17， ∴x 20＋⎝⎛⎭⎪⎫y 0＋p 22＝17，∴x 20＝8，代入方程x 20＝2py 0，得8＝2p ⎝ ⎛⎭⎪⎫3－p 2，解得p ＝2或p ＝4.∴所求抛物线的标准方程为x 2＝4y 或x 2＝8y .10．已知直线l 经过抛物线y 2＝6x 的焦点F ，且与抛物线相交于A ，B 两点．(1)若直线l 的倾斜角为60°，求|AB |的值； (2)若|AB |＝9，求线段AB 的中点M 到准线的距离．【解】 (1)因为直线l 的倾斜角为60°，所以其斜率k ＝tan 60°＝ 3.又F ⎝ ⎛⎭⎪⎫32，0，所以直线l 的方程为y ＝3⎝ ⎛⎭⎪⎫x －32. 联立⎩⎨⎧y 2＝6x ，y ＝3⎝ ⎛⎭⎪⎫x －32，消去y 得x 2－5x ＋94＝0.设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则x 1＋x 2＝5，而|AB |＝|AF |＋|BF |＝x 1＋p 2＋x 2＋p2＝x 1＋x 2＋p ，所以|AB |＝5＋3＝8.(2)设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，由抛物线定义知|AB |＝|AF |＋|BF |＝x 1＋x 2＋p ＝x 1＋x 2＋3，所以x 1＋x 2＝6，于是线段AB 的中点M 的横坐标是3.又准线方程是x ＝－32，所以M 到准线的距离为3＋32＝92.[能力提升]1．(2016·菏泽期末)已知抛物线x 2＝2py (p >0)的焦点为F ，过F 作倾斜角为30°的直线与抛物线交于A ，B 两点，若|AF ||BF |∈(0，1)，则|AF ||BF |＝( )A.15B.14C.13D.12【解析】因为抛物线的焦点为F ⎝ ⎛⎭⎪⎫0，p 2，故过点F 且倾斜角为30°的直线的方程为y ＝33x ＋p 2，与抛物线方程联立得x 2－233px －p 2＝0，解方程得x A ＝－33p ，x B ＝3p ，所以|AF ||BF |＝|x A ||x B|＝13，故选C.【答案】 C2．已知抛物线C ：y 2＝8x 与点M (－2，2)，过抛物线C 的焦点且斜率为k 的直线与C 交于A ，B 两点，若MA→·MB →＝0，则k ＝( ) A.12 B.22 C. 2D ．2【解析】由题意可知抛物线的焦点坐标为(2，0)，则过焦点且斜率为k 的直线的方程为y ＝k (x －2)，与抛物线方程联立，消去y 化简得k 2x 2－(4k 2＋8)x ＋4k 2＝0，设点A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则x 1＋x 2＝4＋8k 2，x 1x 2＝4，所以y 1＋y 2＝k (x 1＋x 2)－4k ＝8k ，y 1y 2＝k 2[x 1x 2－2(x 1＋x 2)＋4]＝－16，因为MA →·MB →＝0，所以(x 1＋2)(x 2＋2)＋(y 1－2)(y 2－2)＝0(*)，将上面各个量代入(*)，化简得k 2－4k ＋4＝0，所以k ＝2，故选D.【答案】 D3．抛物线x 2＝2py (p >0)的焦点为F ，其准线与双曲线x 23－y 23＝1相交于A ，B 两点，若△ABF 为等边三角形，则p ＝________．【解析】由于x 2＝2py (p >0)的准线为y ＝－p 2，由⎩⎨⎧y ＝－p 2，x 2－y 2＝3，解得准线与双曲线x 2－y 2＝3的交点为A ⎝⎛⎭⎪⎫－3＋14p 2，－p 2，B ⎝ ⎛⎭⎪⎫3＋14p 2，－p 2，所以AB ＝23＋14p 2.由△ABF 为等边三角形，得32AB ＝p ，解得p ＝6. 【答案】 64．已知抛物线x ＝－y 2与过点(－1，0)且斜率为k 的直线相交于A ，B 两点，O 为坐标原点，当△OAB 的面积等于10时，求k 的值. 【导学号：18490075】【解】过点(－1，0)且斜率为k 的直线方程为y ＝k (x ＋1)，由方程组⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－y 2，y ＝k （x ＋1），消去x ，整理得ky 2＋y －k ＝0，设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，由根与系数之间的关系得y 1＋y 2＝－1k ，y 1y 2＝－1.设直线与x 轴交于点N ，显然N 点的坐标为(－1，0)． ∵S △OAB ＝S △OAN ＋S △OBN ＝12|ON ||y 1|＋12|ON ||y 2|＝12|ON ||y 1－y 2|， ∴S △OAB ＝12（y 1＋y 2）2－4y 1y 2＝121k 2＋4＝10，解得k ＝－16或16.。

2020-2021学年数学高中人教A版选修2-1课后习题第2章

第二章圆锥曲线与方程2.1曲线与方程课后篇巩固提升基础巩固1.方程(2x-3)2+(y+2)2=0表示的曲线是()A.一个圆B.两条直线C.一个点D.两个点解析由已知得解得所以方程表示一个点.答案C2.与点A(-1,0)和点B(1,0)连线的斜率之和为-1的动点P的轨迹方程是()A.x2+y2=3B.x2+2xy=1(x≠±1)C.y=D.x2+y2=9(x≠0)解析设P(x,y),因为k P A+k PB=-1,所以=-1,整理得x2+2xy=1(x≠±1).答案B3.方程x-1=表示的曲线是()A.一个圆B.两个半圆C.两个圆D.半个圆解析∵方程x-1=等价于(x-1)2+(y-1)2=1(x≥1),∴表示的曲线是半个圆.故选D.答案D4.“点M在曲线y2=4x上”是点M的坐标满足方程y=-2的()A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分又不必要条件解析点M在曲线y2=4x上,其坐标不一定满足方程y=-2,但当点M的坐标满足方程y=-2时,则点M一定在曲线y2=4x上.答案B5.在直角坐标系中,方程|x|y=1的曲线是()解析由|x|y=1知y>0,曲线全部位于x轴上方,故选C.答案C6.已知点A(a,2)既是曲线y=mx2上的点,也是直线x-y=0上的一点,则m=,a=.解析由题意知解得a=2,m=.答案 27.已知定点A(-2,0),B(1,0),如果动点P满足|P A|=2|PB|,则点P的轨迹所包围的图形的面积等于.解析设P(x,y),由|P A|=2|PB|得=2,整理得x2-4x+y2=0,即(x-2)2+y2=4.故点P的轨迹是以(2,0)为圆心,以2为半径的圆,S=πr2=4π.答案4π8.已知动点M(x,y)到直线l:3x+4y+1=0的距离等于1,则动点M的轨迹方程为.解析由题意知=1,∴3x+4y+1=±5.∴点M的轨迹方程为3x+4y+6=0和3x+4y-4=0.答案3x+4y+6=0和3x+4y-4=09.如图,圆O1与圆O2的半径都是1,|O1O2|=4,过动点P分别作圆O1、圆O2的切线PM,PN(M,N 分别为切点),使得|PM|=|PN|,试建立适当的坐标系,并求动点P的轨迹方程.解以O1O2的中点为原点,O1O2所在直线为x轴,建立如图所示的平面直角坐标系,得O1(-2,0),O2(2,0).连接PO1,O1M,PO2,O2N.由已知|PM|=|PN|,得|PM|2=2|PN|2,又在Rt△PO1M中,|PM|2=,在Rt△PO2N中,|PN|2=,即得-1=2(-1).设P(x,y),则(x+2)2+y2-1=2[(x-2)2+y2-1],化简得(x-6)2+y2=33.因此所求动点P的轨迹方程为(x-6)2+y2=33.10.已知曲线C的方程是y2-xy+2x+k=0.(1)若点(1,-1)在曲线C上,求k的值;(2)当k=0时,判断曲线C是否关于x轴、y轴、原点对称?解(1)因为点(1,-1)在曲线C上,所以(-1)2-1×(-1)+2×1+k=0,解得k=-4.(2)当k=0时,曲线C的方程为y2-xy+2x=0.以-x代替x,y不变,方程化为y2+xy-2x=0,所以曲线C不关于y轴对称;以-y代替y,x不变,方程化为y2+xy+2x=0,所以曲线C不关于x轴对称;同时以-x代替x,-y代替y,方程化为(-y)2-(-x)(-y)+2(-x)=0,即y2-xy-2x=0,所以曲线C不关于原点对称.能力提升1.已知0≤α<2π,点P(cos α,sin α)在曲线(x-2)2+y2=3上,则α的值为()A. B.π C. D.解析将点P坐标代入曲线方程,得(cos α-2)2+sin 2α=3,cos α=.又因为0≤α<2π,所以α=或α=π.答案C2.设方程f(x,y)=0的解集非空,若命题“坐标满足方程f(x,y)=0的点都在曲线C上”是不正确的,则下面命题中正确的是()A.坐标满足f(x,y)=0的点都不在曲线C上B.曲线C上的点的坐标不满足f(x,y)=0C.坐标满足f(x,y)=0的点有些在曲线C上,有些不在曲线C上D.一定有不在曲线C上的点,其坐标满足f(x,y)=0解析“坐标满足方程f(x,y)=0的点都在曲线C上”不正确,就是说“坐标满足方程f(x,y)=0的点不都在曲线C上”是正确的.这意味着一定有这样的点(x0,y0),虽然满足方程f(x,y)=0,但(x0,y0)∉C.即一定有不在曲线C上的点,其坐标满足f(x,y)=0,故应选D.答案D3.已知两点M(-2,0),N(2,0),点P为坐标平面内的动点,满足||·||+=0,则动点P(x,y)的轨迹方程为()A.y2=-8xB.y2=8xC.y2=-4xD.y2=4x解析设P(x,y),x>0,y>0,M(-2,0),N(2,0),||=4,则=(x+2,y),=(x-2,y),又由||·||+=0,则4+4(x-2)=0,化简整理得y2=-8x.故选A.答案A4.方程|x|+|y|=1所表示的曲线C围成的图形的面积为.解析方程|x|+|y|=1所表示的曲线C围成的图形是正方形ABCD(如图),其边长为.故方程|x|+|y|=1所表示的曲线C围成的图形的面积为2.答案25.设A为圆(x-1)2+y2=1上的动点,P A是圆的切线,且|P A|=1,则动点P的轨迹方程是.解析圆(x-1)2+y2=1的圆心为B(1,0),半径r=1,则|PB|2=|P A|2+r2,所以|PB|2=2.故P的轨迹方程为:(x-1)2+y2=2.答案(x-1)2+y2=26.若曲线y2=xy+2x+k通过点(a,-a)(a∈R),则k的取值范围是.解析由曲线y2=xy+2x+k通过点(a,-a),所以(-a)2=a·(-a)+2·a+k,即k=2a2-2a=2.所以k≥-.答案7.过点P(2,4)作两条互相垂直的直线l1、l2,若l1交x轴于点A,l2交y轴于点B,求线段AB的中点M的轨迹方程.解法一:如图,设点M的坐标为(x,y),∵M为线段AB的中点,∴A点的坐标为(2x,0),B点的坐标为(0,2y).∵l1⊥l2,且l1,l2过点P(2,4),∴P A⊥PB,即k P A·k PB=-1,而k P A=(x≠1),k PB=,∴=-1(x≠1),整理得x+2y-5=0(x≠1).∵当x=1时,A,B的坐标分别为(2,0),(0,4),∴线段AB的中点坐标是(1,2),它满足方程x+2y-5=0.综上所述,点M的轨迹方程是x+2y-5=0.法二:设点M的坐标为(x,y),则A,B两点的坐标分别是(2x,0),(0,2y),连接PM(如图).∵l1⊥l2,∴2|PM|=|AB|.而|PM|=,|AB|=,∴2,化简得x+2y-5=0,即为所求的点M的轨迹方程.8.设定点M(-3,4),动点N在圆x2+y2=4上运动,以OM,ON为两边作平行四边形MONP,求点P 的轨迹方程.解如图所示,设P(x,y),N(x0,y0),则线段OP的中点坐标为,线段MN的中点坐标为.因为平行四边形的对角线互相平分,所以,从而有由N(x+3,y-4)在圆上,得(x+3)2+(y-4)2=4.因此所求点P的轨迹方程为(x+3)2+(y-4)2=4,但应除去两点:.2.2椭圆2.2.1椭圆及其标准方程课后篇巩固提升1.已知方程=1表示焦点在x轴上的椭圆,则实数k的取值范围是()A.(4,10)B.(7,10)C.(4,7)D.(4,+∞)解析依题意有k-4>10-k>0,解得7<k<10.答案B2.中心在原点,焦点在坐标轴上,且过两点(4,0),(0,2)的椭圆方程为()A.=1B.=1C.=1D.=1解析(方法一)验证排除,将点(4,0)代入验证可排除A,B,C,故选D.(方法二)设椭圆方程为mx2+ny2=1(m>0,n>0),则解得故选D.答案D3.已知椭圆+y2=1的一个焦点是(2,0),那么实数k=()A. B.C.3D.5解析因为椭圆+y2=1的一个焦点是(2,0),所以k>1,因为k-1=4,所以k=5.故选D.答案D4.化简方程=10为不含根式的形式是()A.=1B.=1C.=1D.=1解析由题意可知方程表示点(x,y)与两个定点(0,3)和(0,-3)之间的距离之和为10,又两定点之间的距离为6,且6<10,符合椭圆的定义,即2a=10,2c=6,从而可求得b2=16,相应椭圆方程为=1.答案C5.已知F1,F2分别为椭圆=1的左、右焦点,倾斜角为60°的直线l过点F1,且与椭圆交于A,B两点,则△AF2B的周长为()A.10B.12C.16D.20解析由椭圆=1可得a=5,△AF2B的周长=|AF2|+|BF2|+|AB|,|AB|=|AF1|+|BF1|,所以△AF2B周长=|AF1|+|AF2|+|BF1|+|BF2|,由椭圆的定义知,|AF1|+|AF2|=|BF1|+|BF2|=2a=10,所以△AF2B周长=4a=20.故选D.答案D6.设椭圆=1过点(-2,),那么焦距等于.解析因为椭圆=1过点(-2,),所以m2=16,则c2=16-4=12,故焦距2c=4.答案47.已知椭圆的焦点是F1(-1,0),F2(1,0),P是椭圆上的一点,若|F1F2|是|PF1|和|PF2|的等差中项,则该椭圆的标准方程是.解析由题意得2|F1F2|=|PF1|+|PF2|,所以4c=2a.因为c=1,所以a=2.所以b2=a2-c2=3.故椭圆的标准方程为=1.答案=18.若方程=1表示椭圆,则实数m的取值范围是.解析根据椭圆标准方程的形式,可知方程=1表示椭圆的条件是解得1<m<7且m≠4,所以实数m的取值范围是(1,4)∪(4,7).答案(1,4)∪(4,7)9.已知椭圆的中心在原点,且经过点P(3,0),a=3b,求椭圆的标准方程.解当焦点在x轴上时,设其标准方程为=1(a>b>0),由椭圆过点P(3,0),知=1.又a=3b,解得b2=1,a2=9,故椭圆的方程为+y2=1.当焦点在y轴上时,设其标准方程为=1(a>b>0).由椭圆过点P(3,0),知=1.又a=3b,联立解得a2=81,b2=9,故椭圆的方程为=1.故椭圆的标准方程为=1或+y2=1.10.求适合下列条件的椭圆的标准方程:(1)两个焦点分别为(0,-2),(0,2),经过点(4,3);(2)经过两点(2,-),.解(1)(方法一)因为椭圆的焦点在y轴上,所以可设它的标准方程为=1(a>b>0).由椭圆的定义知2a==12, 所以a=6.又c=2,所以b==4.所以椭圆的标准方程为=1.(方法二)因为椭圆的焦点在y轴上,所以可设其标准方程为=1(a>b>0).由题意得解得所以椭圆的标准方程为=1.(2)(方法一)若椭圆的焦点在x轴上,设椭圆的标准方程为=1(a>b>0).由已知条件得解得所以所求椭圆的标准方程为=1.同理可得,焦点在y轴上的椭圆不存在.综上,所求椭圆的标准方程为=1.(方法二)设椭圆的一般方程为Ax2+By2=1(A>0,B>0,A≠B).将两点(2,-),代入,得解得所以所求椭圆的标准方程为=1.11.(选做题)如图所示,△ABC的底边BC=12,其他两边AB和AC上中线的和为30,求此三角形重心G的轨迹方程,并求顶点A的轨迹方程.解以BC边所在直线为x轴,BC边中点为原点,建立如图所示的平面直角坐标系,则B(6,0),C(-6,0),CE,BD为AB,AC边上的中线,则|BD|+|CE|=30.由重心性质可知,|GB|+|GC|=(|BD|+|CE|)=20>12.∵B,C是两个定点,G点到B,C的距离和等于定值20,且20>12=|BC|,∴G点的轨迹是椭圆,B,C是椭圆焦点,∴2c=|BC|=12,c=6,2a=20,a=10,b2=a2-c2=102-62=64,故G点的轨迹方程为=1(x≠±10).设G(x',y'),A(x,y),则有=1.由重心坐标公式知故A点轨迹方程为=1,即=1(x≠±30).2.2.2椭圆的简单几何性质课后篇巩固提升基础巩固1.若椭圆=1(a>)的长轴长为6,则它的焦距为()A.4B.3C.2D.1解析椭圆=1(a>)的长轴长为6,则2a=6,即a=3,由于b2=5,则c2=a2-b2=4,即c=2,则它的焦距为2c=4,故选A.答案A2.已知椭圆的方程为2x2+3y2=m(m>0),则椭圆的离心率为()A. B. C. D.解析因为2x2+3y2=m(m>0),所以=1.所以c2=.故e2=,解得e=.答案B3.焦点在x轴上,长、短半轴之和为10,焦距为4,则椭圆的标准方程为()A.=1B.=1C.=1D.=1解析由题意得c=2,a+b=10,所以b2=(10-a)2=a2-c2=a2-20,解得a2=36,b2=16,故椭圆方程为=1.答案A4.已知椭圆+x2=1(a>1)的离心率e=,P为椭圆上的一个动点,若定点B(-1,0),则|PB|的最大值为() A. B.2 C. D.3解析由题意可得:e2=,据此可得:a2=5,椭圆方程为+x2=1,设椭圆上点的坐标为P(x0,y0),则=5(1-),故|PB|=,当x0=时,|PB|max=.答案C5.已知椭圆C:=1(a>b>0)的右顶点、上顶点分别为A、B,坐标原点到直线AB的距离为,且a2=2b2,则椭圆C的方程为()A.=1B.=1C.=1D.=1解析椭圆右顶点坐标为A(a,0),上顶点坐标为B(0,b),故直线AB的方程为y=-x+b,即bx+ay-ab=0,依题意原点到直线的距离为,且a2=2b2,由此解得a2=16,b2=8,故椭圆的方程为=1,故选D.答案D6.椭圆的一个焦点将长轴长分成3∶2两部分,则这个椭圆的离心率为.解析依题意有(a+c)∶(a-c)=3∶2,所以a=5c,故离心率为e=.答案7.以椭圆上一点和两个焦点为顶点的三角形的面积的最大值为2,则椭圆长轴长的最小值为.解析由题意知,当椭圆上的点为短轴端点时,三角形面积有最大值,即bc=2.∴a2=b2+c2≥2bc=4,∴a≥2,当且仅当b=c=时等号成立.∴2a≥4,即椭圆长轴长的最小值为4,故答案为4.答案48.椭圆=1(a>b>0)的四个顶点顺次连接构成一个菱形,该菱形的面积为2,又椭圆的离心率为,则椭圆的标准方程是.解析由题意,得2ab=2,即ab=①.又e2=,即2a2=5b2②.解①②得a2=5,b2=2,所以所求椭圆方程为=1.答案=19.若椭圆的长轴长是10,离心率是,求该椭圆的标准方程.解设椭圆的方程为=1(a>b>0)或=1(a>b>0).由已知得2a=10,e=,所以c=4.所以b2=a2-c2=25-16=9.故椭圆的标准方程为=1或=1.10.已知椭圆=1,在该椭圆上是否存在点M,使得点M到椭圆的右焦点F和到直线x=4的距离相等.若存在,求出点M的坐标;若不存在,请说明理由.解由已知得c2=4-3=1,所以c=1,故F(1,0).假设在椭圆上存在点M,使得点M到椭圆的右焦点F和到直线x=4的距离相等,设M(x,y)(-2≤x≤2),则=|x-4|,两边平方得y2=-6x+15.又由=1,得y2=3,代入y2=-6x+15,得x2-8x+16=0,解得x=4.因为-2≤x≤2,所以符合条件的点M不存在.能力提升1.若方程x2+ky2=2表示焦点在y轴上的椭圆,那么实数k的取值范围是()A.(0,1)B.(0,2)C.(0,+∞)D.(1,+∞)解析椭圆的标准方程为=1,∵焦点在y轴上,∴>2,解得k<1,又k>0,∴0<k<1.故选A.答案A2.如图,F1,F2分别是椭圆=1(a>b>0)的两个焦点,A和B是以O为圆心,以|OF1|为半径的圆与该左半椭圆的两个交点,且△F2AB是等边三角形,则椭圆的离心率为()A. B. C. D.-1解析连接AF1(图略),由圆的性质知,∠F1AF2=90°.因为△F2AB是等边三角形,所以∠AF2F1=30°.故AF1=c,AF2=c,因此e=-1.答案D3.若椭圆两焦点分别为F1(-4,0),F2(4,0),点P在椭圆上,且△PF1F2的最大面积是12,则椭圆的标准方程是()A.=1B.=1C.=1D.=1解析由题意得c=4.因为点P在椭圆上,且△PF1F2的最大面积为12,所以×2c×b=12,即bc=12, 于是b=3,a=5,故椭圆方程为=1.答案C4.某宇宙飞船的运行轨道是以地球中心为一个焦点的椭圆,近地点A距地面m km,远地点B距离地面n km,地球半径为k km,则飞船运行轨道的短轴长为()A.2B.C.mnD.2mn解析由题意可得a-c=m+k,a+c=n+k,故(a-c)(a+c)=(m+k)(n+k),即a2-c2=b2=(m+k)(n+k),所以b=.所以椭圆的短轴长为2.答案A5.已知点P(2,1)在椭圆=1(a>b>0)上,点M(a,b)为平面上一点,O为坐标原点,则当|OM|取最小值时,椭圆的离心率为()A. B. C. D.解析点P(2,1)在椭圆=1(a>b>0)上,可得=1,M(a,b)为平面上一点,O为坐标原点, 则|OM|==3,当且仅当a2=2b2时,等号成立,此时由解得a2=6,b2=3.所以e=.故选C.答案C6.已知椭圆的短半轴长为1,离心率0<e≤,则长轴长的取值范围为.解析因为b=1,所以c2=a2-1.又=1-,所以,即a2≤4.又a2-1>0,所以a2>1,故1<a≤2,长轴长2<2a≤4.答案(2,4]7.已知椭圆G的中心在坐标原点,长轴在x轴上,离心率为,且G上一点到G的两个焦点的距离之和为12,则椭圆G的标准方程为.解析设椭圆G的标准方程为=1(a>b>0),半焦距为c,则所以所以b2=a2-c2=36-27=9,故椭圆G的方程为=1.答案=18.已知F1(-c,0),F2(c,0)为椭圆=1(a>b>0)的两个焦点,P为椭圆上一点,且=c2,求椭圆离心率的取值范围.解设P(x0,y0),则=(-c-x0,-y0),=(c-x0,-y0),所以=(-c-x0)(c-x0)+(-y0)2=-c2+.因为P(x0,y0)在椭圆上,所以=1.所以=b2,所以-c2+b2=c2,解得.因为x0∈[-a,a],所以∈[0,a2],即0≤≤a2,所以2c2≤a2≤3c2.即,所以,即椭圆离心率的取值范围是.9.已知椭圆C:=1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1,F2,焦距为2,过点(1,0)作直线与椭圆相交于A,B两点,连接AF1,BF1,且△ABF1的周长为4.(1)求椭圆C的标准方程;(2)若|AB|=4|F2A|,求直线AB的方程.解(1)∵焦距为2,△ABF1的周长为4,∴c=1,4a=4,a2=b2+c2.解得c=1=b,a=.∴椭圆C的标准方程为+y2=1.(2)设直线AB的方程为x=my+1,点A的坐标为(x1,y1),点B的坐标为(x2,y2).联立得(m2+2)y2+2my-1=0,∴y1+y2=-,y1y2=-,∵|AB|=4|F2A|,∴|BF2|=3|F2A|,∴y2=-3y1.联立解得m=±1.∴直线AB的方程为x-y-1=0或x+y-1=0.10.(选做题)已知椭圆C:=1(a>b>0)的离心率为,P是C上一点,F1,F2是C的两个焦点,且|PF1|+|PF2|=4.(1)求椭圆C的方程;(2)设直线y=x+n交椭圆C于A,B两点,O为坐标原点,求△OAB面积的最大值.解(1)∵|PF1|+|PF2|=4,∴2a=4,即a=2.∵e=,∴c=,∴b2=a2-c2=2,即椭圆方程为=1.(2)设点A的坐标为(x1,y1),点B的坐标为(x2,y2),将y=x+n代入椭圆C的方程,整理得5x2+4nx+2n2-4=0,Δ=32n2-20(2n2-4)>0,∴n2<10,∴x1+x2=-,x1x2=,∴|AB|=,点O到直线AB的距离d=,∴S△OAB=×|AB|×d=×(10-n2+n2)=, ∴当且仅当10-n2=n2,即n2=5时取等号,∴△OAB面积的最大值为.2.3双曲线2.3.1双曲线及其标准方程课后篇巩固提升1.已知平面上定点F1,F2及动点M.命题甲:||MF1|-|MF2||=m(m为常数);命题乙:点M的轨迹是以F1,F2为焦点的双曲线,则甲是乙的()A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件解析根据双曲线的定义,乙⇒甲,但甲乙,只有当0<m<|F1F2|时,其轨迹才是双曲线.答案B2.曲线上的动点P到点F1(0,4),F2(0,-4)的距离之差为6,则曲线方程为()A.=1B.=1(y<0)C.=1或=1D.=1(y>0)解析∵曲线上的动点P到点F1(0,4),F2(0,-4)的距离之差为6,∴动点P的轨迹是以F1(0,4),F2(0,-4)为焦点,实轴长为6的双曲线的下支,∴曲线方程为=1(y<0),故选B.答案B3.已知双曲线=1(m>0)的左焦点为F1(-5,0),则m=()A.9B.3C.16D.4解析∵双曲线=1(m>0)的左焦点为F1(-5,0),∴25-m2=9.∵m>0,∴m=4,故选D.答案D4.如图,已知双曲线的方程为=1(a>0,b>0),点A,B均在双曲线的右支上,线段AB经过双曲线的右焦点F2,|AB|=m,F1为双曲线的左焦点,则△ABF1的周长为()A.2a+2mB.4a+2mC.a+mD.2a+4m解析由双曲线的定义,知|AF1|-|AF2|=2a,|BF1|-|BF2|=2a.又|AF2|+|BF2|=|AB|,所以△ABF1的周长为|AF1|+|BF1|+|AB|=4a+2|AB|=4a+2m.答案B5.已知双曲线的一个焦点F1(5,0),且过点(3,0),则该双曲线的标准方程为()A.=1B.=1C.=1D.=1解析因为双曲线的一个焦点F1(5,0),且过点(3,0),所以c=5,a=3;∴b2=c2-a2=16.∴该双曲线的标准方程是=1.故选A.答案A6.若曲线=1表示双曲线,则k的取值范围是.解析依题意应有k(k-1)<0,解得0<k<1.答案(0,1)7.已知双曲线=1(a>0)的一个焦点为F1(5,0),设另一个为F2,点P是双曲线上的一点,若|PF1|=9,则|PF2|=.(用数值表示)解析由题意知,双曲线=1(a>0)的一个焦点为F1(5,0),∴c=5,又由a2=c2-b2=25-9=16,所以a=4,因为点P为双曲线上一点,且|PF1|=9,根据双曲线的定义可知||PF2|-|PF1||=2a=8,所以|PF2|=17,或|PF2|=1,故答案为17或1.答案17或18.经过点P(-3,2)和Q(-6,-7),且焦点在坐标轴上的双曲线的标准方程为.解析设双曲线方程为Ax2-By2=1(AB>0),则解得A=-,B=-,故双曲线的标准方程为=1.答案=19.若k是实数,试讨论方程kx2+2y2-8=0表示何种曲线.解当k<0时,曲线方程化为=1,表示焦点在y轴的双曲线;当k=0时,曲线方程化为2y2-8=0,表示两条垂直于y轴的直线;当0<k<2时,曲线方程化为=1,表示焦点在x轴的椭圆;当k=2时,曲线方程化为x2+y2=4,表示一个圆;当k>2时,曲线方程化为=1,表示焦点在y轴的椭圆.10.(选做题)双曲线=1(a>0,b>0)满足如下条件:①ab=;②过右焦点F的直线l的斜率为,交y轴于点P,线段PF交双曲线于点Q,且|PQ|∶|QF|=2∶1,求双曲线的方程.解如图所示,设右焦点F(c,0),点Q(x,y),直线l:y=(x-c).令x=0,得P.由题意知=2,∴Q,且Q在双曲线上,∴=1.∵a2+b2=c2,∴=1,解得=3或=-(舍去).又由ab=,得∴所求双曲线方程为x2-=1.2.3.2双曲线的简单几何性质课后篇巩固提升基础巩固1.若实数k满足0<k<9,则曲线=1与曲线=1的()A.焦距相同B.实半轴长相等C.虚半轴长相等D.离心率相等解析由于0<k<9,则9-k>0,即曲线=1为焦点在x轴上的双曲线,焦点坐标为(±,0);25-k>0,即曲线=1为焦点在x轴上的双曲线,焦点坐标为(±,0),故两曲线的焦距相同,故答案为A.答案A2.已知双曲线C:=1(a>0,b>0)的一条渐近线方程为y=x,且与椭圆=1有公共焦点,则C的方程为()A.=1B.=1C.=1D.=1解析由椭圆=1的焦点为(±3,0),可得双曲线的c=3,即a2+b2=9,由双曲线的渐近线方程为y=±x,可得,解得a2=6,b2=3,则双曲线的方程为=1.故选D.答案D3.下列双曲线中,不是以2x±3y=0为渐近线的是()A.=1B.=1C.=1D.=1解析C项中的双曲线=1,焦点在x轴上,渐近线方程为y=±x,不是2x±3y=0.答案C4.已知双曲线=1(a>0,b>0)的一条渐近线平行于直线l:y=2x+10,双曲线的一个焦点在直线l上,则双曲线的方程为()A.=1B.=1C.=1D.=1解析由题意知,双曲线的渐近线为y=±x,则=2.因为双曲线的左焦点(-c,0)在直线l上,所以0=-2c+10,故c=5.又因为a2+b2=c2,所以a2=5,b2=20,故双曲线的方程为=1.答案A5.两正数a,b的等差中项为,等比中项为,且a>b,则双曲线=1的离心率e为()A. B. C. D.解析因为两正数a,b的等差中项为,等比中项为,所以解得因为a>b,所以所以e=.故选D.答案D6.双曲线=1的焦点到渐近线的距离为.解析双曲线=1的焦点坐标为(-4,0),(4,0),渐近线方程为y=±x,故焦点(4,0)到渐近线y=x的距离d==2.答案27.在平面直角坐标系xOy中,若双曲线=1的离心率为,则m的值为.解析由题意得m>0,所以a=,b=,c=.由e=,得=5,解得m=2.答案28.若一条双曲线与-y2=1有共同渐近线,且与椭圆=1有相同的焦点,则此双曲线的方程为.解析由椭圆方程为=1得a2=20,b2=2,所以c2=20-2=18,得c=3,即椭圆的半焦距为3,设与双曲线-y2=1有相同渐近线的双曲线方程为-y2=λ(λ≠0),所求双曲线的焦点在x轴上,则λ>0,双曲线方程化为=1,根据椭圆和双曲线共焦点,所以有8λ+λ=18,解得λ=2,故所求双曲线的方程为=1.答案=19.双曲线与椭圆有共同的焦点F1(0,-5),F2(0,5),点P(3,4)是双曲线的渐近线与椭圆的一个交点,试求双曲线方程与椭圆的方程.解由共同的焦点F1(0,-5),F2(0,5),可设椭圆方程为=1(a2>25),双曲线方程为=1(0<b2<25),点P(3,4)在椭圆上,所以=1,得a2=40,双曲线过点P(3,4)的渐近线为y=x,即4=×3,所以b2=16,故椭圆方程为=1,双曲线方程为=1.10.已知双曲线C的方程为=1(a>0,b>0),离心率e=,顶点到渐近线的距离为,求双曲线C的方程.解依题意,双曲线焦点在y轴上,一个顶点坐标为(0,a),渐近线方程为y=±x,即ax±by=0, 所以.又e=,所以b=1,即c2-a2=1,-a2=1,解得a2=4,故双曲线方程为-x2=1.能力提升1.双曲线C:=1(a>0,b>0)的离心率为2,焦点到渐近线的距离为,则C的焦距等于()A.2B.2C.4D.4解析双曲线的一条渐近线方程为=0,即bx-ay=0,焦点(c,0)到渐近线的距离为,所以b=.又=2,c2=a2+b2,所以c=2,故双曲线的焦距为2c=4.答案C2.已知双曲线=1(a>0,b>0)的一条渐近线平行于直线l:x+3y+2=0,双曲线的一个焦点在直线l上,则双曲线的方程为()A.=1B.=1C.=1D.=1解析因为双曲线的渐近线为y=±x,其中一条渐近线与直线l平行,则有-=-,所以a2=9b2,又因为双曲线的焦点在x轴上,而其中一个焦点在直线l上,则直线l与x轴焦点(-2,0)为双曲线焦点,即c=2,又因为c2=a2+b2,得20=10b2,则b2=2,a2=18,所以双曲线方程为=1,答案为B.答案B3.若在双曲线=1(a>0,b>0)的右支上到原点O和右焦点F的距离相等的点有两个,则双曲线的离心率的取值范围是()A.(,+∞)B.(1,)C.(2,+∞)D.(1,2)解析到原点O和右焦点F距离相等的点在线段OF的垂直平分线上,其方程为x=.依题意,在双曲线=1(a>0,b>0)的右支上到原点和右焦点距离相等的点有两个,所以直线x=与右支有两个交点,故应满足>a,即>2,得e>2,故选C.答案C4.已知双曲线=1的实轴长、虚轴长、焦距构成等差数列,则双曲线的渐近线方程为.解析依题意有2a,2b,2c成等差数列,所以4b=2a+2c.因为c2=a2+b2,所以(2b-a)2=a2+b2,解得a=b,于是双曲线渐近线方程为y=±x=±x.答案y=±x5.已知双曲线=1(a>0,b>0)的一条渐近线为2x+y=0,一个焦点为(,0),则双曲线的方程为.解析由题意得c==2,c2=a2+b2,解得a=1,b=2.则双曲线的方程为x2-=1.答案x2-=16.过双曲线=1(a>0,b>0)的左焦点且垂直于x轴的直线与双曲线相交于M,N两点,以MN为直径的圆恰好过双曲线的右顶点,则双曲线的离心率等于.解析令x=-c,得y2=,则|MN|=.由题意得a+c=,即a2+ac=c2-a2,∴-2=0,∴=2或=-1(舍去),即离心率为2.答案27.求适合下列条件的双曲线的标准方程:(1)焦点在y轴上,虚轴长为8,离心率为e=;(2)经过点C(-),且与双曲线=1有共同的渐近线.解(1)设所求双曲线的标准方程为=1(a>0,b>0),则2b=8,e=,从而b=4,代入c2=a2+b2,得a2=9,故方程为=1.(2)由题意可设所求双曲线方程为=λ(λ≠0),将点C(-)的坐标代入,得=λ,解得λ=,所以所求双曲线的标准方程为=1.8.已知双曲线与椭圆=1有相同焦点,且经过点(4,6).(1)求双曲线方程;(2)若双曲线的左右焦点分别是F1,F2,试问在双曲线上是否存在点P,使得|PF1|=5|PF2|.解(1)椭圆=1的焦点在x轴上,且c==4,即焦点为(±4,0),于是可设双曲线方程为=1(a>0,b>0),则有解得a2=4,b2=12,故双曲线方程为=1.(2)假设在双曲线上存在点P,使得|PF1|=5|PF2|,则点P只能在右支上.由于在双曲线=1中,由双曲线定义知,|PF1|-|PF2|=2a=4,于是得|PF1|=5,|PF2|=1.但当点P在双曲线右支上时,点P到左焦点F1的距离的最小值应为a+c=6,故不可能有|PF1|=5,即在双曲线上不存在点P,使得|PF1|=5|PF2|.2.4.2抛物线的简单几何性质课后篇巩固提升基础巩固1.抛物线y2=2px(p>0)上的点M(4,m)到焦点的距离为5,则m的值为()A.2B.3C.4D.4或-4解析抛物线y2=2px的准线方程为x=-,由抛物线的定义有4+=5,p=2(负值舍去),此时y2=4x,将点M(4,m)代入抛物线方程中,求出m=±4,故选D.答案D2.若抛物线y2=x上一点P到准线的距离等于它到顶点的距离,则点P的坐标为()A. B.C. D.解析由题意知,点P到焦点F的距离等于它到顶点O的距离,因此点P在线段OF的垂直平分线上,而F,所以点P的横坐标为,代入抛物线方程得y=±,故点P的坐标为.答案B3.已知点A(-2,3)在抛物线C:y2=2px的准线上,记C的焦点为F,则直线AF的斜率为()A.-B.-1C.-D.-解析因为抛物线C:y2=2px的准线为x=-,且点A(-2,3)在准线上,所以-=-2,解得p=4,所以y2=8x,所以焦点F的坐标为(2,0),这时直线AF的斜率k AF==-.答案C4.过抛物线x2=y的焦点F的直线交抛物线于不同的两点A,B,则的值为()A.2B.1C. D.4解析因为直线交抛物线于不同的两点A、B,所以直线的斜率存在,设过抛物线x2=y的焦点F的直线方程为y=kx+,由可得y2-y+=0,设A(x1,y1),B(x2,y2),则y1y2=,y1+y2=k2+,因为抛物线的准线方程为y=-,所以根据抛物线的定义可知|AF|=y1+,|BF|=y2+,所以=4,故选D.答案D5.抛物线y=-x2上的点到直线4x+3y-8=0距离的最小值是()A. B. C. D.3解析设(x0,y0)为抛物线y=-x2上任意一点,所以y0=-,于是d=,所以d min=.答案A6.已知点P在抛物线y2=4x上,当点P到点Q(2,-2)的距离与点P到此抛物线焦点的距离之和取得最小值时,点P的坐标为()A.,-1B.,1C.(1,2)D.(1,-2)解析由题意,根据抛物线的方程y2=4x,求得p=2,则焦点坐标为F(1,0),过点P作准线x=-1的垂线,垂足为M,则|PF|=|PM|,依题意可知当P,Q和M三点共线且点P在中间时距离和最小,如图所示,所以此时点P的纵坐标为-2,代入抛物线的方程求得x=1,即点P的坐标为(1,-2),故选D.答案D7.沿直线y=-2发出的光线经抛物线y2=ax反射后,反射光线的反向延长线与x轴相交于点A(2,0),则抛物线的准线方程为(提示:抛物线的光学性质:从焦点发出的光线经抛物线反射后与轴平行).解析由直线y=-2平行于抛物线的轴知A(2,0)为焦点,故准线方程为x=-2.答案x=-28.直角三角形的直角顶点在坐标原点,另外两个顶点在抛物线y2=2px(p>0)上,且一直角边的方程是y=2x,斜边长是5,求此抛物线的方程.解如图所示,设直角三角形为AOB,直角顶点为O,AO边的方程为y=2x,则OB边的方程为y=-x.由得点A的坐标为.由得点B的坐标为(8p,-4p).因为|AB|=5,所以=5,解得p=,故所求抛物线方程为y2=x.9.已知抛物线C:y2=2px(p>0)上一点P(1,m)到焦点F的距离为2.(1)求实数p的值;(2)若直线l过C的焦点,与抛物线交于A,B两点,且|AB|=8,求直线l的方程.解(1)抛物线焦点为F,0,准线方程为x=-,因为点P(1,m)到焦点F距离为2,所以1+=2,解得p=2.(2)抛物线C的焦点坐标为(1,0),当斜率不存在时,可得|AB|=4不满足题意,当斜率存在时,设直线l的方程为y=k(x-1).联立方程得k2x2-(2k2+4)x+k2=0,显然Δ>0,设A(x1,y1),B(x2,y2),则x1+x2=,所以|AB|=x1+x2+p=+2=8,解得k2=1,k=±1.所以直线l的方程为x-y-1=0或x+y-1=0.能力提升1.已知抛物线x2=16y上的点P到焦点F的距离为8,则△OPF(O为坐标原点)的面积为()A.16B.8C.4D.2解析设点P(x,y),因为点P到焦点F的距离为8,根据抛物线的定义,可得y+=8,即y+4=8⇒y=4,代入抛物线的方程,得x2=16×4=64,解得x=±8,即P(±8,4),所以△OPF的面积为S=|OP||x P|=×4×8=16,故选A.答案A2.直线y=kx-2交抛物线y2=8x于A,B两点,若AB中点的横坐标为2,则k等于()A.2或-2B.-1C.2D.3解析由得k2x2-4(k+2)x+4=0,由Δ>0得k>-1,则=4,即k=2.答案C3.已知抛物线y2=4x的焦点为F,过点F和抛物线上一点M(2,2)的直线l交抛物线于另一点N,则|NF|∶|FM|等于()A.1∶2B.1∶3C.1∶D.1∶解析抛物线的焦点为(1,0),因为直线l过点F和点M,所以直线l的斜率存在,直线l的方程为,即y=2(x-1).与抛物线方程联立,得2x2-5x+2=0,解得x=2(舍)或,即x N=,∴|NF|∶|FM|==1∶2,故选A.答案A4.已知点A(1,4)在抛物线y2=2px(p≠0)的准线l上,焦点为F,若点M在抛物线上,且满足|MA|=|MF|,则点M的坐标为()A.(-4,4)B.(-4,-4)C.(-1,2)D.(4,4)解析由已知得抛物线准线l的方程为x=1,于是抛物线方程为y2=-4x.因为点M(x0,y0)在抛物线上,且|MA|=|MF|,所以MA⊥l,因此y0=4,于是x0=-4,即点M的坐标为(-4,4).答案A5.已知抛物线y=ax2的准线与圆x2+y2-6y-7=0相切,则a的值为.解析抛物线y=ax2,即x2=y,准线方程为y=-,因为抛物线x2=y的准线与圆x2+(y-3)2=16相切,当a>0时,3+=4,解得a=,当a<0时,--3=4,解得a=-,故答案为或-.答案或-6.已知抛物线C的顶点在原点,焦点在x轴上,且抛物线上有一点P(4,m)到焦点的距离为6.(1)求抛物线C的方程;(2)若抛物线C与直线y=kx-2相交于不同的两点A,B,且AB中点横坐标为2,求k的值.解(1)由题意设抛物线方程为y2=2px(p>0),其准线方程为x=-.∵点P(4,m)到焦点的距离等于点P到准线的距离,∴4+=6,∴p=4,∴抛物线C的方程为y2=8x.。

高中数学人教A版选修2-1 第二章圆锥曲线与方程 2.4.1 Word版含答案

学业分层测评(建议用时：45分钟)[学业达标]一、选择题1．准线与x 轴垂直，且经过点(1，－2)的抛物线的标准方程是( )A ．y 2＝－2xB ．y 2＝2xC ．x 2＝2yD ．x 2＝－2y【解析】由题意可设抛物线的标准方程为y 2＝ax ，则(－2)2＝a ，解得a ＝2，因此抛物线的标准方程为y 2＝2x ，故选B.【答案】 B2．以双曲线x 216－y 29＝1的右顶点为焦点的抛物线的标准方程为( )A ．y 2＝16xB ．y 2＝－16xC ．y 2＝8xD ．y 2＝－8x【解析】因为双曲线x 216－y 29＝1的右顶点为(4，0)，即抛物线的焦点坐标为(4，0)，所以抛物线的标准方程为y 2＝16x .【答案】 A3．已知双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的一条渐近线的斜率为2，且右焦点与抛物线y 2＝43x 的焦点重合，则该双曲线的离心率等于( )A. 2B. 3C ．2D ．2 3【解析】抛物线的焦点为(3，0)，即c ＝ 3.双曲线的渐近线方程为y ＝b a x ，由ba ＝2，即b ＝2a ，所以b 2＝2a 2＝c 2－a 2，所以c 2＝3a 2，即e 2＝3，e ＝3，即离心率为 3.【答案】 B4．抛物线y 2＝12x 的准线与双曲线y 23－x29＝－1的两条渐近线所围成的三角形的面积为( )A ．3 3B ．2 3C ．2D. 3【解析】抛物线y 2＝12x 的准线为x ＝－3，双曲线的两条渐近线为y ＝±33x ，它们所围成的三角形为边长等于23的正三角形，所以面积为33，故选A.【答案】 A5．抛物线y 2＝8x 的焦点到准线的距离是( ) A ．1 B ．2 C ．4D ．8【解析】由y 2＝2px ＝8x 知p ＝4，又焦点到准线的距离就是p .故选C.【答案】 C 二、填空题6．抛物线y 2＝2x 上的两点A ，B 到焦点的距离之和是5，则线段AB 的中点到y 轴的距离是________．【解析】抛物线y 2＝2x 的焦点为F ⎝ ⎛⎭⎪⎫12，0，准线方程为x ＝－12，设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则|AF |＋|BF |＝x 1＋12＋x 2＋12＝5，解得x 1＋x 2＝4，故线段AB 的中点横坐标为2.故线段AB 的中点到y 轴的距离是2.【答案】 27．对标准形式的抛物线，给出下列条件：①焦点在y 轴上；②焦点在x 轴上；③抛物线上横坐标为1的点到焦点的距离等于6；④由原点向过焦点的某直线作垂线，垂足坐标为(2，1)．其中满足抛物线方程为y 2＝10x 的是________．(要求填写适合条件的序号)【解析】抛物线y 2＝10x 的焦点在x 轴上，②满足，①不满足；设M (1，y 0)是y 2＝10x 上的一点，则|MF |＝1＋p 2＝1＋52＝72≠6，所以③不满足；由于抛物线y 2＝10x 的焦点为⎝ ⎛⎭⎪⎫52，0，过该焦点的直线方程为y ＝k ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －52，若由原点向该直线作垂线，垂足为(2，1)时，则k ＝－2，此时存在，所以④满足．【答案】 ②④8．抛物线y ＝2x 2的准线方程为________．【解析】化方程为标准方程为x 2＝12y ，故p 2＝18，开口向上， ∴准线方程为y ＝－18. 【答案】 y ＝－18 三、解答题9．求焦点在x 轴上，且焦点在双曲线x 24－y 22＝1上的抛物线的标准方程．【解】由题意可设抛物线方程为y 2＝2mx (m ≠0)，则焦点为⎝ ⎛⎭⎪⎫m 2，0. ∵焦点在双曲线x 24－y 22＝1上， ∴m 24×4＝1，求得m ＝±4， ∴所求抛物线方程为y 2＝8x 或y 2＝－8x .10．已知平面上动点P 到定点F (1，0)的距离比点P 到y 轴的距离大1，求动点P 的轨迹方程. 【导学号：18490069】【解】法一设点P 的坐标为(x ，y )，则有（x －1）2＋y 2＝|x |＋1.两边平方并化简，得y 2＝2x ＋2|x |. ∴y 2＝⎩⎨⎧4x （x ≥0），0（x ＜0），即点P 的轨迹方程为y 2＝4x (x ≥0)或y ＝0(x ＜0)．法二由题意知，动点P 到定点F (1，0)的距离比到y 轴的距离大1，由于点F (1，0)到y 轴的距离为1，故当x ＜0时，直线y ＝0上的点符合条件；当x ≥0时，原命题等价于点P 到点F (1，0)与到直线x ＝－1的距离相等，故点P 的轨迹是以F 为焦点，x ＝－1为准线的抛物线，方程为y 2＝4x .故所求动点P 的轨迹方程为y 2＝4x (x ≥0)或y ＝0(x ＜0)．[能力提升]1．已知P 为抛物线y 2＝4x 上的一个动点，直线l 1：x ＝－1，l 2：x ＋y ＋3＝0，则P 到直线l 1，l 2的距离之和的最小值为( )A ．2 2B ．4 C. 2D.322＋1【解析】将P 点到直线l 1：x ＝－1的距离转化为点P 到焦点F (1，0)的距离，过点F 作直线l 2的垂线，交抛物线于点P ，此即为所求最小值点，∴P 到两直线的距离之和的最小值为|1＋0＋3|12＋12＝22，故选A.【答案】 A2．过抛物线y 2＝4x 的焦点F 的直线交抛物线于A ，B 两点，点O 为原点，若|AF |＝3，则△AOB 的面积为( )A.22B. 2C.322D ．2 2【解析】根据题意画出简图(图略)，设∠AFO ＝θ(0<θ<π)，|BF |＝m ，则点A 到准线l ：x ＝－1的距离为3，得3＝2＋3cos θ，得cos θ＝13，又m ＝2＋m cos(π－θ)，得m ＝21＋cos θ＝32，△AOB 的面积为S ＝12·|OF |·|AB |·sin θ＝12×1×⎝ ⎛⎭⎪⎫3＋32×223＝322，故选C.【答案】 C3．如图2-4-1是抛物线形拱桥，当水面在l 时，拱顶离水面2 m ，水面宽4 m ．水位下降1 m 后，水面宽________m.图2-4-1【解析】以拱顶为坐标原点，建立如图所示的平面直角坐标系．设抛物线的标准方程为x 2＝－2py (p >0)．则A (2，－2)，代入方程得p ＝1， ∴抛物线的方程为x 2＝－2y ，设B (x 0，－3)(x 0<0)代入方程得x 0＝－ 6. ∴此时的水面宽度为2 6 m. 【答案】 2 64．已知抛物线y 2＝2px (p >0)的准线过双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的左焦点F 1，点M ⎝ ⎛⎭⎪⎫23，－263是两条曲线的一个公共点. 【导学号：18490070】(1)求抛物线的方程； (2)求双曲线的方程．【解】 (1)把M ⎝ ⎛⎭⎪⎫23，－263代入方程y 2＝2px ，得p ＝2，因此抛物线的方程为y 2＝4x .(2)抛物线的准线方程为x ＝－1，所以F 1(－1，0)，设双曲线的右焦点为F ，则F (1，0)，于是2a ＝||MF 1|－|MF ||＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪73－53＝23，因此a ＝13.又因为c ＝1，所以b 2＝c 2－a 2＝89，于是，双曲线的方程为x 219－y 289＝1.。

高中数学人教A版选修2-1 第二章圆锥曲线与方程 2.2.1 Word版含答案

(0，2)．
由椭圆的定义知，
2a＝ 32＋（2＋2）2＋ 32＋（2－2）2＝8，
所以 a＝4，所以 b2＝a2－c2＝16－4＝12.又焦点在 y 轴上， y2 x2
所以椭圆的标准方程为＋＝1. 16 12
(2)由题意知，2a＝26，即 a＝13，又因为 c∶a＝5∶13，所以 c＝
5，
所以 b2＝a2－c2＝132－52＝144，
学业分层测评
(建议用时：45 分钟)
[学业达标]
一、选择题 x2 y2
1．(2016·潍坊高二检测)如果方程＋＝1 表示焦点在 x 轴上 a2 a＋6
的椭圆，则实数 a 的取值范围是( )
A．(3，＋∞)
B．(－∞，－2)
C．(3，＋∞)∪(－∞，－2)
D．(3，＋∞)∪(－6，－2)
【解析】由于椭圆的焦点在 x 轴上，
∴|QF1|＝4，F1(－1，0)，
∴动点 Q 的轨迹是以 F1 为圆心，4 为半径的圆， ∴动点 Q 的轨迹方程是(x＋1)2＋y2＝16.
【答案】 (x＋1)2＋y2＝16
三、解答题
x2 y2
9．设
F1， F2 分别是椭圆
C：＋＝ 1(a＞ b＞ 0)的左、右焦 a2 b2
36 20
P 是椭圆上的点，且|PF1|∶|PF2|＝2∶1，则△F1PF2 的面积等于( )
A．5
B．4
C．3
D．1
【解析】由椭圆方程，得 a＝3，b＝2，c＝ 5，∴|PF1|＋|PF2| ＝2a＝6，又|PF1|∶|PF2|＝2∶1，∴|PF1|＝4，|PF2|＝2，由 22＋42＝(2
3
＝1

2021-2022学年人教A版高中数学选修2-1：第二章章末复习课 Word版含答案

章末复习课[整合·网络构建][警示·易错提示]1．求曲线与方程的两个关注点(1)求曲线的方程与求轨迹是有区分的．若是求轨迹，则不仅要求出方程，而且还要说明和争辩所求轨迹是什么样的图形，在何处等，即图形的外形、位置、大小都要加以说明、争辩等．(2)由方程争辩曲线时，要留意精确确定范围，应充分挖掘题目中的隐含条件和限制条件，避开因考虑不全面而致误．2．处理与三种圆锥曲线的方程和性质有关的问题的留意点(1)求圆锥曲线的标准方程时，要先定位，再定量；当焦点位置不能确定时，需分类争辩或者用椭圆双曲线的一般方程形式解决．(2)在椭圆中，a，b，c的关系是c2＝a2－b2，而在双曲线中，a，b，c的关系是c2＝a2＋b2，两者极易混淆，要留意区分，以防出错．(3)在解与圆锥曲线上点有关的最值问题时，肯定不能忽视圆锥曲线的范围．3．直线与圆锥曲线的位置关系问题的关注点(1)在解析几何中，凡是直线与圆锥曲线相交问题先考虑相交的前提，否则易产生错解．(2)直线与双曲线抛物线相交时，有一个交点或两个交点之分；直线与双曲线抛物线有一个公共点时，有相交或相切之分；当直线与双曲线的渐近线平行时，直线与双曲线相交有一个公共点；当直线与抛物线的对称轴平行时，直线与抛物线相交，有一个公共点．专题一圆锥曲线定义的应用争辩有关点间的距离的最值问题时，常用定义把曲线上的点到焦点的距离转化为到另一焦点的距离或利用定义把曲线上的点到焦点的距离转化为其到相应准线的距离，再结合几何图形利用几何意义去解决有关的最值问题．[例1] 若点M(2，1)，点C 是椭圆x216＋y27＝1的右焦点，点A是椭圆的动点，则|AM|＋|AC|的最小值是________．解析：设点B为椭圆的左焦点，则B(－3，0)，点M(2，1)在椭圆内，那么|BM|＋|AM|＋|AC|≥|AB|＋|AC|＝2a，所以|AM|＋|AC|≥2a－|BM|，而a＝4，|BM|＝（2＋3）2＋1＝26，所以(|AM|＋|AC|)min＝8－26.答案：8－26归纳升华圆锥曲线定义的应用技巧1．在求点的轨迹问题时，若所求轨迹符合圆锥曲线的定义，则依据定义直接写出圆锥曲线的轨迹方程．2．在椭圆和双曲线中，常涉及曲线上的点与两焦点连接而成的“焦点三角形”问题，处理时常结合圆锥曲线的定义及解三角形的学问解决．3．在抛物线中，常利用定义解题，以达到“到焦点的距离”和“到准线的距离”相互转化的目的．[变式训练] 抛物线y2＝2px(p＞0)上有A(x1，y1)，B(x2，y2)，C(x3，y3)三点，F是它的焦点，若|AF|，|BF|，|CF|成等差数列，则( )A．x1，x2，x3成等差数列B．y1，y2，y3成等差数列C．x1，x3，x2成等差数列 D．y1，y3，y2成等差数列解析：如图，过A、B、C分别作准线的垂线，垂足分别为A′，B′，C′，由抛物线定义：|AF|＝|AA′|，|BF|＝|BB′|，|CF|＝|CC′|.由于2|BF|＝|AF|＋|CF|，所以2|BB ′|＝|AA ′|＋|CC ′|.又由于|AA ′|＝x 1＋p 2，|BB ′|＝x 2＋p 2，|CC ′|＝x 3＋p2，所以2⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2＋p 2＝x 1＋p 2＋x 3＋p2⇒2x 2＝x 1＋x 3.答案：A专题二有关圆锥曲线性质的问题有关圆锥曲线的焦点、离心率、渐近线等问题是考试中常见的问题，只要把握好基本公式和概念，充分理解题意，大都可以顺当求解．[例2] 双曲线x 2a 2－y 2b2＝1(a ＞0，b ＞0)的两条渐近线相互垂直，那么该双曲线的离心率是( )A ．2 B. 3 C. 2 D.32解析：双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1的两条渐近线方程为y ＝±b a x ，依题意b a ·⎝ ⎛⎭⎪⎫－b a ＝－1，故b 2a 2＝1，所以c 2－a 2a2＝1即e 2＝2，所以双曲线的离心率e ＝ 2.答案：C 归纳升华圆锥曲线性质的求解方法椭圆、双曲线、抛物线的几何性质，主要指图形的范围、对称性，以及顶点坐标、焦点坐标、中心坐标、离心率、准线、渐近线以及几何元素a ，b ，c ，e 之间的关系等．1．离心率．求离心率时肯定要尽量结合曲线对应图形，查找与a ，b ，c 有关的关系式．求椭圆和双曲线的离心率有两种方法：(1)代入法，就是代入公式e ＝c a求离心率；(2)列方程法，就是依据已知条件列出关于a ，b ，c 的关系式，然后把这个关系式整体转化为关于e 的方程，解方程即可求出e 值．2．范围与最值．解答范围问题时特殊留意题中隐含的不等关系，如曲线方程中x ，y 的范围．常用方法也有两个：(1)解不等式法，即依据题设条件列出关于待求量的不等式，解不等式即得其取值范围；(2)求函数值域法，即把待求量表示成某一变量的函数，函数的值域即为待求量的取值范围．[变式训练] 双曲线x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)的左、右焦点分别是F 1，F 2，过F 1作倾斜角为30°的直线，交双曲线右支于M 点，若MF 2垂直于x 轴，则双曲线的离心率为( )A. 6B. 3C. 2D.33解析：如图，在Rt △MF 1F 2中， ∠MF 1F 2＝30°.又|F 1F 2|＝2c ，所以|MF 1|＝2c cos 30°＝433c ，|MF 2|＝2c ·tan 30°＝233c .所以2a ＝|MF 1|－|MF 2|＝233c .所以e ＝ca＝ 3. 答案：B专题三求曲线的方程求曲线方程是解析几何的基本问题之一，其求解的基本方法有以下几种：(1)直接法：建立适当的坐标系，设动点为(x ，y )，依据几何条件直接寻求x 、y 之间的关系式． (2)代入法：利用所求曲线上的动点与某一已知曲线上的动点的关系，把所求动点转换为已知动点．具体地说，就是用所求动点的坐标x 、y 来表示已知动点的坐标并代入已知动点满足的曲线的方程，由此即可求得所求动点坐标x 、y 之间的关系式．(3)定义法：假如所给几何条件正好符合圆、椭圆、双曲线、抛物线等曲线的定义，则可直接利用这些已知曲线的方程写出动点的轨迹方程．(4)参数法：当很难找到形成曲线的动点P (x ，y )的坐标x ，y 所满足的关系式时，借助第三个变量t ，建立t 和x ，t 和y 的关系式x ＝φ(t )，y ＝Φ(t )，再通过一些条件消掉t ，就间接地找到了x 和y 所满足的方程，从而求出动点P (x ，y )所形成的曲线的一般方程．[例3] 如图，已知线段AB ＝4，动圆O 1与线段AB 切于点C ，且|AC |－|BC |＝22，过点A ，B 分别作圆O 1切线，两切线交于点P ，且P ，O 1均在AB 的同侧，求动点P 的轨迹方程．解：建立如图所示的平面直角坐标系，则A (－2，0)，B (2，0)，由切线长定理得|AC |－|BC |＝|AM |－|BN |＝(|AM |＋|PM |)－(|BN |＋|PN |)＝|PA |－|PB |＝22<4，所以点P 的轨迹是以点A ，B 为焦点的双曲线的右支(不包括顶点)．所以a ＝2，c ＝2，所以b 2＝2.所以动点P 的轨迹方程是x 2－y 2＝2(x >2)．归纳升华1．求轨迹方程时，正确应用曲线的定义能给解题带来便利．若需建立坐标系时，要使轨迹方程越简洁越好．2．当曲线的外形已知时，一般可用待定系数法解决．[变式训练] 如图，设P 是圆x 2＋y 2＝25上的动点，点D 是P 在x 轴上的投影，M 为PD 上一点，且|MD |＝45|PD |. 当P 在圆上运动时，求点M 的轨迹C 的方程．解：设M 的坐标为(x ，y )，P 的坐标为(x P ，y P )，由于点D 是P 在x 轴上的投影，M 为PD 上一点，且|MD |＝45|PD |，所以x P ＝x ，且y P ＝54y .由于P 在圆x 2＋y 2＝25上，所以x 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫54y 2＝25，整理得x 225＋y 216＝1，即C 的方程是x 225＋y 216＝1.专题四直线与圆锥曲线的位置关系直线与圆锥曲线的位置关系的争辩可以转化为相应方程组的解的争辩，即联立方程组⎩⎪⎨⎪⎧Ax ＋By ＋C ＝0，f （x ，y ）＝0，通过消去y (也可以消去x )得到x 的方程ax 2＋bx ＋c ＝0，再进行争辩．这时要留意考虑a ＝0和a ≠0两种状况，对双曲线和抛物线而言，一个公共点的状况除a ≠0，Δ＝0外，直线与双曲线的渐近线平行或直线与抛物线的对称轴平行或重合时，都只有一个交点(此时直线与双曲线、抛物线属相交状况)．[例4] 已知椭圆C 的两个焦点分别为F 1(－1，0)，F 2(1，0)，短轴的两个端点分别为B 1，B 2. (1)若△F 1B 1B 2为等边三角形，求椭圆C 的方程；(2)若椭圆C 的短轴长为2，过点F 2的直线l 与椭圆C 相交于P ，Q 两点，且F 1P →⊥F 1Q →，求直线l 的方程．解：(1)设椭圆C 的方程为x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)．依据题意知⎩⎪⎨⎪⎧a ＝2b ，a 2－b 2＝1，解得a 2＝43，b 2＝13，故椭圆C 的方程为x 243＋y 213＝1.(2)简洁求得椭圆C 的方程为x 22＋y 2＝1.当直线l 的斜率不存在时，其方程为x ＝1，不符合题意；当直线的斜率存在时，设直线l 的方程为y ＝k (x －1)．由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝k （x －1），x 22＋y 2＝1，得(2k 2＋1)x 2－4k 2x ＋2(k 2－1)＝0. 设P (x 1，y 1)，Q (x 2，y 2)，则x 1＋x 2＝4k 22k 2＋1，x 1x 2＝2（k 2－1）2k 2＋1， F 1P →＝(x 1＋1，y 1)，F 1Q →＝(x 2＋1，y 2)．由于F 1P →⊥F 1Q →，所以F 1P →·F 1Q →＝0，即(x 1＋1)(x 2＋1)＋y 1y 2＝x 1x 2＋(x 1＋x 2)＋1＋k 2(x 1－1)(x 2－1)＝(k 2＋1)x 1x 2－(k 2－1)(x 1＋x 2)＋k 2＋1＝7k 2－12k 2＋1＝0，解得k 2＝17，即k ＝±77.故直线l 的方程为x ＋7y －1＝0或x －7y －1＝0. 归纳升华1．在求解直线与圆锥曲线的位置关系的问题时，一般需将直线方程与圆锥曲线方程联立、消元，转化成一元二次方程，利用韦达定理和判别式求解，要留意一元二次方程系数及判别式．要刻画几何意义，便于用代数方法解决．2．解决圆锥曲线中的参数范围问题与求最值问题类似，一般有两种方法．(1)函数法：用其他变量表示该参数，建立函数关系，利用求函数值域的方法求解．(2)不等式法：依据题意建立含参数的不等关系式，通过解不等式求参数范围． [变式训练] 已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的离心率为63，短轴一个端点到右焦点的距离为 3.(1)求椭圆C 的方程；(2)设直线l 与椭圆C 交于A 、B 两点，坐标原点O 到直线l 的距离为32，求△AOB 面积的最大值．解：(1)设椭圆的半焦距为c ，依题意有⎩⎪⎨⎪⎧ca ＝63，a ＝3，所以c ＝2，b ＝1.所以所求椭圆方程为x 23＋y 2＝1. (2)设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)． ①当AB ⊥x 轴时，|AB |＝ 3.②当AB 与x 轴不垂直时，设直线AB 的方程为y ＝kx ＋m . 由已知|m |1＋k2＝32，得m 2＝34(k 2＋1)．把y ＝kx ＋m 代入椭圆方程，整理得(3k 2＋1)x 2＋6kmx ＋3m 2－3＝0，所以x 1＋x 2＝－6km 3k 2＋1，x 1x 2＝3（m 2－1）3k 2＋1. 所以|AB |2＝(1＋k 2)(x 2－x 1)2＝(1＋k 2)⎣⎢⎡⎦⎥⎤36k 2m 2（3k 2＋1）2－12（m 2－1）3k 2＋1＝12（k 2＋1）（3k 2＋1－m 2）（3k 2＋1）2＝3（k 2＋1）（9k 2＋1）（3k 2＋1）2＝ 3＋12k29k 4＋6k 2＋1＝3＋129k 2＋1k2＋6(k ≠0)≤3＋122×3＋6＝4. 当且仅当9k 2＝1k 2，即k ＝±33时等号成立．此时Δ＝12(3k 2＋1－m 2)＞0，当k ＝0或不存在时，|AB |＝3，综上所述，|AB |max ＝2. 所以当|AB |最大时，△AOB 面积取得最大值S ＝12×|AB |max ×32＝32. 专题五圆锥曲线的定值与定点问题 (函数思想方法)解析几何的定值问题的证明可运用函数的思想方法来解决．其证明过程可总结为“变量⇒函数⇒定值”，具体操作程序如下：变量——选择适当的量作为变量；函数——把要证明为定值的量表示成上述变量的函数；定值——把得到的函数解析式化简，消去变量，得到定值．[例5] 在平面直角坐标系xOy 中，已知双曲线C 1：2x 2－y 2＝1，椭圆C 2：4x 2＋y 2＝1，若M ，N 分别是C 1，C 2上的动点，且OM ⊥ON ，求证：O 到直线MN 的距离是定值．证明：当直线ON 垂直于x 轴时，|ON |＝1，|OM |＝22，则O 到直线MN 的距离为33. 当直线ON 不垂直于x 轴时，设直线ON 的方程为y ＝kx ⎝ ⎛⎭⎪⎫明显|k |＞22，则直线OM 的方程为y ＝－1kx .由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ，4x 2＋y 2＝1得⎩⎪⎨⎪⎧x 2＝14＋k2，y 2＝k 24＋k 2，所以|ON |2＝1＋k24＋k 2. 同理|OM |2＝1＋k22k 2－1.设O 到直线MN 的距离为d ，由于(|OM |2＋|ON |2)d 2＝|OM |2|ON |2，所以1d 2＝1|OM |2＋1|ON |2＝3k 2＋3k 2＋1＝3，即d ＝33. 综上，可证O 到直线MN 的距离是定值．归纳升华1．解答圆锥曲线中的定值(定点)问题时，首先要明确哪些量是固定的，哪些量是变动的，选择其中一个或几个起关键作用的量作为参数，以参数来表示需要争辩定值(定点)的量，看是否能消去参数得到定值(定点)即可．2．圆锥曲线中的最值问题主要有与圆锥曲线有关的线段长度、图形面积等．争辩的常见途径有两个：(1)利用平面几何中的最值结论；(2)把几何量用目标函数表示出来，再用函数或不等式学问求最值．建立“目标函数”，借助代数方法求最值，要特殊留意自变量的取值范围．[变式训练] 已知动点M 到定点F 1(－2，0)和F 2(2，0)的距离之和为4 2. (1)求动点M 轨迹C 的方程；(2)设N (0，2)，过点P (－1，－2)作直线l ，交椭圆C 异于N 的A ，B 两点，直线NA ，NB 的斜率分别为k 1，k 2，证明：k 1＋k 2为定值．(1)解：由椭圆定义，可知点M 的轨迹是以F 1，F 2为焦点，以42为长轴长的椭圆．由c ＝2，a ＝22，得b ＝2. 故曲线C 的方程为x 28＋y 24＝1.(2)证明：当直线l 的斜率存在时，设其方程为y ＋2＝k (x ＋1)，由⎩⎪⎨⎪⎧x 28＋y 24＝1，y ＋2＝k （x ＋1），得(1＋2k 2)x 2＋4k (k －2)x ＋2k 2－8k ＝0. 设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，x 1＋x 2＝－4k （k －2）1＋2k2， x 1x 2＝2k 2－8k 1＋2k 2.从而k 1＋k 2＝y 1－2x 1＋y 2－2x 2＝2kx 1x 2＋（k －4）（x 1＋x 2）x 1x 2＝2k －(k －4)4k （k －2）2k 2－8k＝4. 当直线l 的斜率不存在时，得A ⎝ ⎛⎭⎪⎫－1，142，B ⎝⎛⎭⎪⎫－1，－142，得k 1＋k 2＝4. 综上，恒有k 1＋k 2＝4.。

人教版A版高中数学选修2-1课后习题解答

高中数学选修2-1课后习题答案第一章常用逻辑用语1.1命题及其关系练习(P4)1、例：(1)若J+x-2=0,贝1J x=1;(2)若x=1,贝1+》一2=0.2、(1)真；(2)假；(3)真；(4)真.3、(1)若一个三角形是等腰三角形，则这个三角形两边上的中线相等.这是真命题.(2)若一个函数是偶函数，则这个函数的图象关于y轴对称.这是真命题.(3)若两个平面垂直于同一个平面，则这两个平面平行.这是假命题.练习(P6)1、逆命题：若一个整数能被5整除，则这个整数的末位数字是0.这是假命题.否命题：若一个整数的末位数字不是0,则这个整数不能被5整除.这是假命题.逆否命题：若一个整数不能被5整除，则这个整数的末位数字不是0.这是真命题.2、逆命题：若一个三角形有两个角相等，则这个三角形有两条边相等.这是真命题.否命题：若一个三角形有两条边不相等，这个三角形有两个角也不相等.这是真命题.逆否命题：若一个三角形有两个角不相等，则这个三角形有两条边也不相等.这是真命题.3、逆命题：图象关于原点对称的函数是奇函数.这是真命题.否命题：不是奇函数的函数的图象不关于原点对称.这是真命题.逆否命题：图象不关于原点对称的函数不是奇函数.这是真命题.练习(P8)证明：证明：命题的逆否命题是：若a—b=1,则a2~b2+2a—4b—3a2-b2+2a-4b-3=(a+b)(a-b)+2<(i-b\-2?当。

一力=1时原式—ci+b-Q.-2.b-?>-b1—所以，原命题的逆否命题是真命题，从而原命题也是真命题.习题1.1A组(P8)1、(1)是；(2)是；(3)不是；(4)不是.2、(1)逆命题：若两个整数。

与人的和a+b是偶数，则都是偶数.这是假命题.否命题：若两个整数。

，力不都是偶数，则a+b不是偶数.这是假命题.逆否命题：若两个整数。

与人的和a+b不是偶数，则。

，力不都是偶数.这是真命题.(2)逆命题：若方程x2+x-m=0有实数根，贝血＞0.这是假命题.否命题：若m＜Q,则方程x2+x-m=0没有实数根.这是假命题.逆否命题：若方程x2+x-m=0没有实数根，则m＜0.这是真命题.3、(1)命题可以改写成：若一个点在线段的垂直平分线上，则这个点到线段的两个端点的距离相等.逆命题：若一个点到线段的两个端点的距离相等，则这个点在线段的垂直平分线上.这是真命题.否命题：若一个点到不在线段的垂直平分线上，则这个点到线段的两个端点的距离不相等.这是真命题.逆否命题：若一个点到线段的两个端点的距离不相等，则这个点不在线段的垂直平分线上.这是真命题.(2)命题可以改写成：若一个四边形是矩形，则四边形的对角线相等.逆命题：若四边形的对角线相等，则这个四边形是矩形.这是假命题.否命题：若一个四边形不是矩形，则四边形的对角线不相等.这是假命题.逆否命题：若四边形的对角线不相等，则这个四边形不是矩形.这是真命题.4、证明：如果一个三角形的两边所对的角相等，根据等腰三角形的判定定理，这个三角形是等腰三角形，且这两条边是等腰三角形，也就是说这两条边相等.这就证明了原命题的逆否命题，表明原命题的逆否命题为真命题.所以，原命题也是真命题.习题1.1B组(P8)证明：要证的命题可以改写成“若p,则0”的形式：若圆的两条弦不是直径，则它们不能互相平分.此命题的逆否命题是：若圆的两条相交弦互相平分，则这两条相交弦是圆的两条直径.可以先证明此逆否命题：设A3,CD是。

高中数学人教A版选修2-1 第二章圆锥曲线与方程 2.2.2第2课时 Word版含答案

学业分层测评(建议用时：45分钟)[学业达标]一、选择题1．已知椭圆x 23＋y 24＝1上的焦点为F ，直线x ＋y －1＝0和x ＋y ＋1＝0与椭圆分别相交于点A ，B 和C ，D ，则|AF |＋|BF |＋|CF |＋|DF |＝( )A ．23B ．43C ．4D ．8【解析】由题可得a ＝2.如图，设F 1为椭圆的下焦点，两条平行直线分别经过椭圆的两个焦点，连接AF 1，BF 1，CF ，FD .由椭圆的对称性可知，四边形AFDF 1为平行四边形，∴|AF 1|＝|FD |，同理可得|BF 1|＝|CF |，∴|AF |＋|BF |＋|CF |＋|DF |＝|AF |＋|BF |＋|BF 1|＋|AF 1|＝4a ＝8，故选D.【答案】 D2．若直线y ＝x ＋2与椭圆x 2m ＋y 23＝1有两个公共点，则m 的取值范围是( )A ．(－∞，0)∪(1，＋∞)B ．(1，3)∪(3，＋∞)C ．(－∞，－3)∪(－3，0)D ．(1，3)【解析】由⎩⎨⎧y ＝x ＋2，x 2m ＋y 23＝1，消去y ，整理得(3＋m )x 2＋4mx ＋m ＝0. 若直线与椭圆有两个公共点，则⎩⎪⎨⎪⎧3＋m ≠0，Δ＝（4m ）2－4m （3＋m ）>0，解得⎩⎪⎨⎪⎧m ≠－3，m <0或m >1.由x 2m ＋y 23＝1表示椭圆，知m >0且m ≠3.综上可知，m >1且m ≠3，故选B.【答案】 B3．若点P (a ，1)在椭圆x 22＋y 23＝1的外部，则a 的取值范围为( )A.⎝⎛⎭⎪⎫－233，233 B.⎝ ⎛⎭⎪⎫233，＋∞∪⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，－233 C.⎝ ⎛⎭⎪⎫43，＋∞ D.⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，－43 【解析】因为点P 在椭圆x 22＋y 23＝1的外部，所以a 22＋123＞1，解得a ＞233或a ＜－233，故选B.【答案】 B4．椭圆mx 2＋ny 2＝1(m >0，n >0且m ≠n )与直线y ＝1－x 交于M ，N 两点，过原点与线段MN 中点所在直线的斜率为22，则mn 的值是( )A.22 B.233 C.922D.2327【解析】联立方程组可得⎩⎪⎨⎪⎧y ＝1－x ，mx 2＋ny 2＝1，得(m ＋n )x 2－2nx ＋n －1＝0，设M (x 1，y 1)，N (x 2，y 2)，MN 的中点P (x 0，y 0)，则x 0＝x 1＋x 22＝nm ＋n ，y 0＝1－x 0＝1－n m ＋n ＝mm ＋n .∴k OP ＝y 0x 0＝m n ＝22.故选A.【答案】 A5．已知椭圆C ：x 22＋y 2＝1的右焦点为F ，直线l ：x ＝2，点A ∈l ，线段AF 交椭圆C 于点B ，若F A →＝3FB→，则|AF →|＝( ) A. 2 B ．2 C. 3D ．3【解析】设点A (2，n )，B (x 0，y 0)．由椭圆C ：x 22＋y 2＝1知a 2＝2，b 2＝1， ∴c 2＝1，即c ＝1，∴右焦点F (1，0)．由F A →＝3FB →，得(1，n )＝3(x 0－1，y 0)． ∴1＝3(x 0－1)且n ＝3y 0. ∴x 0＝43，y 0＝13n .将x 0，y 0代入x 22＋y 2＝1，得 12×⎝ ⎛⎭⎪⎫432＋⎝ ⎛⎭⎪⎫13n 2＝1. 解得n 2＝1，∴|AF →|＝（2－1）2＋n 2＝1＋1＝ 2. 【答案】 A 二、填空题6．若直线x －y －m ＝0与椭圆x 29＋y 2＝1有且仅有一个公共点，则m ＝________. 【导学号：18490053】【解析】将直线方程代入椭圆方程，消去x ，得到10y 2＋2my ＋m 2－9＝0，令Δ＝0，解得m ＝±10. 【答案】 ±107．已知F 1为椭圆C ：x 22＋y 2＝1的左焦点，直线l ：y ＝x －1与椭圆C 交于A ，B 两点，那么|F 1A |＋|F 1B |的值为________．【解析】设点A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)(x 1＜x 2)，由⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋2y 2＝2，y ＝x －1，消去y ，得3x 2－4x ＝0.∴A (0，－1)，B ⎝ ⎛⎭⎪⎫43，13.∴|AB |＝423，∴|F 1A |＋|F 1B |＝4a －|AB |＝42－423＝823. 【答案】8238．过椭圆x 25＋y 24＝1的右焦点F 作一条斜率为2的直线与椭圆交于A ，B 两点，O 为坐标原点，则△OAB 的面积为________．【解析】由已知可得直线方程为y ＝2x －2，联立方程组⎩⎨⎧x 25＋y 24＝1，y ＝2x －2，解得A (0，－2)，B ⎝ ⎛⎭⎪⎫53，43，∴S △AOB ＝12·|OF |·|y A －y B |＝53. 【答案】 53 三、解答题9．已知椭圆4x 2＋y 2＝1及直线y ＝x ＋m .(1)当直线和椭圆有公共点时，求实数m 的取值范围； (2)求被椭圆截得的最长弦所在的直线方程．【解】 (1)由题意得⎩⎪⎨⎪⎧4x 2＋y 2＝1，y ＝x ＋m ，消去y ，整理得：5x 2＋2mx ＋m 2－1＝0.∵直线与椭圆有公共点，∴Δ＝4m 2－20(m 2－1)＝20－16m 2≥0， ∴－52≤m ≤52.(2)设直线与椭圆的交点为A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则由(1)得⎩⎨⎧x 1＋x 2＝－2m5，x 1x 2＝m 2－15.∴|AB |＝1＋k 2|x 1－x 2|＝1＋k 2·（x 1＋x 2）2－4x 1x 2 ＝1＋k 2·425m 2－4（m 2－1）5＝225－4m 2＋5. ∵－52≤m ≤52， ∴0≤m 2≤54，∴当m ＝0时，|AB |取得最大值，此时直线方程为y ＝x ，即x －y ＝0.10．已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的一个顶点为A (2，0)，离心率为22，直线y ＝k (x －1)与椭圆C 交于不同的两点M ，N .(1)求椭圆C 的方程；(2)当△AMN 的面积为103时，求k 的值．【解】 (1)由题意得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝2，c a ＝22，a 2＝b 2＋c 2，解得b ＝2，所以椭圆C 的方程为x 24＋y 22＝1.(2)由⎩⎨⎧y ＝k （x －1），x 24＋y 22＝1，得(1＋2k 2)x 2－4k 2x ＋2k 2－4＝0，设点M ，N 的坐标分别为(x 1，y 1)，(x 2，y 2)，则 y 1＝k (x 1－1)，y 2＝k (x 2－1)， x 1＋x 2＝4k 21＋2k 2，x 1x 2＝2k 2－41＋2k 2，所以|MN |＝（x 2－x 1）2＋（y 2－y 1）2 ＝（1＋k 2）[（x 1＋x 2）2－4x 1x 2] ＝2（1＋k 2）（4＋6k 2）1＋2k 2，又因为点A (2，0)到直线y ＝k (x －1)的距离 d ＝|k |1＋k2，所以△AMN 的面积为S ＝12|MN |·d ＝|k |4＋6k 21＋2k 2，由|k |4＋6k 21＋2k 2＝103，化简得7k 4－2k 2－5＝0，解得k ＝±1.[能力提升]1．设F 1，F 2为椭圆x 24＋y 2＝1的左、右焦点，过椭圆中心任作一直线与椭圆交于P ，Q 两点，当四边形PF 1QF 2的面积最大时，则PF 1→·PF 2→的值等于( )A ．0B ．2C ．4D ．－2【解析】由题意得c ＝a 2－b 2＝3，又S 四边形PF 1QF 2＝2S △PF 1F 2＝2×12×|F 1F 2|·h (h 为F 1F 2边上的高)，所以当h ＝b ＝1时，S 四边形PF 1QF 2取最大值，此时∠F 1PF 2＝120°.所以PF 1→·PF 2→＝|PF 1→|·|PF 2→|·cos 120°＝2×2×⎝⎛⎭⎪⎫－12＝－2.故选D. 【答案】 D2．过椭圆x 26＋y 25＝1内一点P (2，－1)的弦恰好被P 点平分，则这条弦所在的直线方程是( )A ．5x －3y ＋13＝0B ．5x ＋3y ＋13＝0C ．5x －3y －13＝0D ．5x ＋3y －13＝0【解析】设弦的两端点A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，联立方程组⎩⎪⎨⎪⎧5x 21＋6y 21＝30，5x 22＋6y 22＝30，两式作差可得：5(x 1＋x 2)(x 1－x 2)＝－6(y 1＋y 2)(y 1－y 2)， ①又弦的中点为(2，－1)，可得x 1＋x 2＝4，y 1＋y 2＝－2， ② 将②代入①式可得k ＝y 1－y 2x 1－x 2＝53，故直线的方程为y ＋1＝53(x －2)，化为一般式为5x －3y －13＝0，故选C. 【答案】 C3．斜率为1的直线l 与椭圆x 24＋y 2＝1相交于A ，B 两点，则|AB |的最大值为________. 【导学号：18490054】【解析】法一设直线l 的方程为y ＝x ＋t ，由⎩⎨⎧y ＝x ＋t ，x 24＋y 2＝1，消去y ，得 x 24＋(x ＋t )2＝1，整理得5x 2＋8tx ＋4(t 2－1)＝0. ∵Δ＝64t 2－80(t 2－1)>0， ∴－5<t < 5.设直线与椭圆交于A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)两点，则x 1＋x 2＝－8t5，x 1·x 2＝4（t 2－1）5. ∴|AB |＝2[（x 1＋x 2）2－4x 1x 2] ＝2⎣⎢⎡⎦⎥⎤6425t 2－4×4（t 2－1）5 ＝－32t 2＋16025. 当t ＝0时，|AB |为最大，即|AB |max ＝4105.法二根据椭圆的对称性，当直线斜率固定时，直线过原点时截椭圆所得弦长最长，将y ＝x 代入x 24＋y 2＝1得交点坐标为A ⎝ ⎛⎭⎪⎫255，255和B ⎝⎛⎭⎪⎫－255，－255，故|AB |＝4105. 【答案】 41054．(2013·天津高考)设椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的左焦点为F ，离心率为33，过点F 且与x 轴垂直的直线被椭圆截得的线段长为433.(1)求椭圆的方程；(2)设A ，B 分别为椭圆的左、右顶点，过点F 且斜率为k 的直线与椭圆交于C ，D 两点．若AC→·DB →＋AD →·CB →＝8，求k 的值．【解】 (1)设F (－c ，0)，由c a ＝33，知a ＝3c . 过点F 且与x 轴垂直的直线为x ＝－c ，代入椭圆方程有（－c ）2a 2＋y 2b 2＝1，解得y ＝±6b 3，于是26b 3＝433，解得b ＝2，又a 2－c 2＝b 2，从而a ＝3，c ＝1，所以椭圆的方程为x 23＋y 22＝1.(2)设点C (x 1，y 1)，D (x 2，y 2)，由F (－1，0)得直线CD 的方程为y ＝k (x ＋1)，由方程组⎩⎨⎧y ＝k （x ＋1），x 23＋y 22＝1，消去y ，整理得(2＋3k 2)x 2＋6k 2x ＋3k 2－6＝0.可得x 1＋x 2＝－6k 22＋3k 2，x 1x 2＝3k 2－62＋3k 2.因为A (－3，0)，B (3，0)，所以AC →·DB →＋AD →·CB →＝(x 1＋3，y 1)·(3－x 2，－y 2)＋(x 2＋3，y 2)·(3－x 1，－y 1) ＝6－2x 1x 2－2y 1y 2＝6－2x 1x 2－2k 2(x 1＋1)(x 2＋1) ＝6－(2＋2k 2)x 1x 2－2k 2(x 1＋x 2)－2k 2＝6＋2k 2＋122＋3k 2.由已知得6＋2k 2＋122＋3k 2＝8，解得k ＝±2.。

高中数学人教A版选修2-1 第二章圆锥曲线与方程 2.1.1、2.1.2 Word版含答案.doc

学业分层测评(建议用时：45分钟)[学业达标]一、选择题1．曲线x 2－xy －y 2－3x ＋4y －4＝0与x 轴的交点坐标是( ) A ．(4，0)和(－1，0) B ．(4，0)和(－2，0) C ．(4，0)和(1，0)D ．(4，0)和(2，0)【解析】在曲线x 2－xy －y 2－3x ＋4y －4＝0中，令y ＝0，则x 2－3x －4＝0，∴x ＝－1或x ＝4.∴交点坐标为(－1，0)和(4，0)．【答案】 A2．方程(x 2－4)(y 2－4)＝0表示的图形是( ) A ．两条直线 B ．四条直线 C ．两个点D ．四个点【解析】由(x 2－4)(y 2－4)＝0得(x ＋2)(x －2)(y ＋2)·(y －2)＝0，所以x ＋2＝0或x －2＝0或y ＋2＝0或y －2＝0，表示四条直线．【答案】 B3．在平面直角坐标系xOy 中，若定点A (1，2)与动点P (x ，y )满足OP→·OA →＝4，则点P 的轨迹方程是( ) A ．x ＋y ＝4 B ．2x ＋y ＝4 C ．x ＋2y ＝4D ．x ＋2y ＝1【解析】由OP →＝(x ，y )，OA →＝(1，2)得OP →·OA →＝(x ，y )·(1，2)＝x ＋2y ＝4，则x ＋2y ＝4即为所求的轨迹方程，故选C.【答案】 C4．方程(2x －y ＋2)·x 2＋y 2－1＝0表示的曲线是( ) A ．一个点与一条直线 B ．两个点C ．两条射线或一个圆D ．两个点或一条直线或一个圆【解析】原方程等价于x 2＋y 2－1＝0，即x 2＋y 2＝1，或⎩⎪⎨⎪⎧2x －y ＋2＝0，x 2＋y 2－1≥0，故选C. 【答案】 C5．已知方程y ＝a |x |和y ＝x ＋a (a ＞0)所确定的两条曲线有两个交点，则a 的取值范围是( )A ．a ＞1B ．0＜a ＜1C ．0＜a ＜1或a ＞1D ．a ∈∅【答案】 A 二、填空题6．“曲线C 上的点的坐标都是方程f (x ，y )＝0的解”是“方程f (x ，y )＝0是曲线C 的方程”的________条件．【解析】 “方程f (x ，y )＝0是曲线C 的方程 ”⇒“曲线C 上的点的坐标都是方程f (x ，y )＝0的解”，反之不成立．【答案】必要不充分 7．方程x －3·(x ＋y ＋1)＝0表示的几何图形是________________．【解析】由方程得⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ＋1＝0，x －3≥0，或x －3＝0，即x ＋y ＋1＝0(x ≥3)或x ＝3. 【答案】一条射线和一条直线8．(2016·广东省华南师大附中月考)已知定点F (1，0)，动点P 在y 轴上运动，点M 在x 轴上，且PM →·PF →＝0，延长MP 到点N ，使得|PM →|＝|PN→|，则点N 的轨迹方程是________. 【导学号：18490037】【解析】由于|PM→|＝|PN →|，则P 为MN 的中点．设N (x ，y )，则M (－x ，0)，P ⎝ ⎛⎭⎪⎫0，y 2，由PM →·PF →＝0，得⎝ ⎛⎭⎪⎫－x ，－y 2·⎝ ⎛⎭⎪⎫1，－y 2＝0，所以(－x )·1＋⎝ ⎛⎭⎪⎫－y 2·⎝ ⎛⎭⎪⎫－y 2＝0，则y 2＝4x ，即点N 的轨迹方程是y 2＝4x .【答案】 y 2＝4x 三、解答题9．如图2-1-1，圆O 1与圆O 2的半径都是1，|O 1O 2|＝4，过动点P 分别作圆O 1、圆O 2的切线PM ，PN (M ，N 分别为切点)，使得|PM |＝2|PN |，试建立适当的坐标系，并求动点P 的轨迹方程．图2-1-1【解】以O 1O 2的中点为原点，O 1O 2所在直线为x 轴，建立如图所示的平面直角坐标系，得O1(－2，0)，O2(2，0)．连结PO1，O1M，PO2，O2N.由已知|PM|＝2|PN|，得|PM|2＝2|PN|2，又在Rt△PO1M中，|PM|2＝|PO1|2－|MO1|2，在Rt△PO2N中，|PN|2＝|PO2|2－|NO2|2，即得|PO1|2－1＝2(|PO2|2－1)．设P(x，y)，则(x＋2)2＋y2－1＝2[(x－2)2＋y2－1]，化简得(x－6)2＋y2＝33.因此所求动点P的轨迹方程为(x－6)2＋y2＝33.10．△ABC的三边长分别为|AC|＝3，|BC|＝4，|AB|＝5，点P是△ABC 内切圆上一点，求|P A|2＋|PB|2＋|PC|2的最小值与最大值．【解】因为|AB|2＝|AC|2＋|BC|2，所以∠ACB＝90°.以C为原点O，CB，CA所在直线分别为x轴、y轴建立如图所示的平面直角坐标系，由于|AC|＝3，|BC|＝4，得C(0，0)，A(0，3)，B(4，0)．设△ABC内切圆的圆心为(r，r)，由△ABC 的面积＝12×3×4＝32r ＋2r ＋52r ，得r ＝1，于是内切圆的方程为(x －1)2＋(y －1)2＝1⇒x 2＋y 2＝2x ＋2y －1，由(x －1)2≤1⇒0≤x ≤2.设P (x ，y )，那么|P A |2＋|PB |2＋|PC |2＝x 2＋(y －3)2＋(x －4)2＋y 2＋x 2＋y 2＝3(x 2＋y 2)－8x －6y ＋25＝3(2x ＋2y －1)－8x －6y ＋25＝22－2x ，所以当x ＝0时，|P A |2＋|PB |2＋|PC |2取最大值为22，当x ＝2时取最小值为18.[能力提升]1．到点A (0，0)，B (－3，4)的距离之和为5的轨迹方程是( ) A ．y ＝－43x (－3≤x ≤0) B ．y ＝－43x (0≤x ≤4) C ．y ＝－43x (－3≤x ≤4) D ．y ＝－43x (0≤x ≤5)【解析】注意到|AB |＝5，则满足到点A (0，0)，B (－3，4)的距离之和为5的点必在线段AB 上，因此，方程为y ＝－43x (－3≤x ≤0)，故选A.【答案】 A2．(2016·河南省实验中学月考)已知动点P 到定点(1，0)和定直线x＝3的距离之和为4，则点P的轨迹方程为()A．y2＝4xB．y2＝－12(x－4)C．y2＝4x(x≥3)或y2＝－12(x－4)(x<3)D．y2＝4x(x≤3)或y2＝－12(x－4)(x>3)【解析】设P(x，y)，由题意得（x－1）2＋y2＋|x－3|＝4.若x≤3，则y2＝4x；若x>3，则y2＝－12(x－4)，故选D.【答案】 D3．已知两定点A(－2，0)，B(1，0)，如果动点P满足|P A|＝2|PB|，则点P的轨迹所包围的图形的面积等于________．【解析】设动点P(x，y)，依题意|P A|＝2|PB|，∴（x＋2）2＋y2＝2（x－1）2＋y2，化简得(x－2)2＋y2＝4，方程表示半径为2的圆，因此图形的面积S＝π·22＝4π.【答案】4π4．过点P(2，4)作两条互相垂直的直线l1、l2，若l1交x轴于A点，l2交y轴于B点，求线段AB的中点M的轨迹方程.【导学号：18490038】【解】法一设点M的坐标为(x，y)，∵M 为线段AB 的中点，∴A 点的坐标为(2x ，0)，B 点的坐标为(0，2y )． ∵l 1⊥l 2，且l 1，l 2过点P (2，4)， ∴P A ⊥PB ，即k P A ·k PB ＝－1，而k P A ＝4－02－2x ＝21－x (x ≠1)，k PB ＝4－2y 2－0＝2－y 1，∴21－x·2－y 1＝－1(x ≠1)，整理得x ＋2y －5＝0(x ≠1)．∵当x ＝1时，A ，B 的坐标分别为(2，0)，(0，4)， ∴线段AB 的中点坐标是(1，2)，它满足方程x ＋2y －5＝0. 综上所述，点M 的轨迹方程是x ＋2y －5＝0.法二设点M 的坐标为(x ，y )，则A ，B 两点的坐标分别是(2x ，0)，(0，2y )，连结PM .∵l 1⊥l 2，∴2|PM |＝|AB |.而|PM |＝（x －2）2＋（y －4）2， |AB |＝（2x ）2＋（2y ）2，∴2（x －2）2＋（y －4）2＝4x 2＋4y 2，化简得x ＋2y －5＝0，即为所求的点M 的轨迹方程.。

人教A版高中数学选择性必修第一册第二章_章末复习课2_课件

①若所求直线的斜率存在，
设切线斜率为k，则切线方程为y＋3＝k(x－4)，
因为圆心C(3,1)到切线的距离等于半径1，
|3k－1－3－4k|
所以
k2＋1 ＝1，解得
k＝－185，
所以切线方程为 y＋3＝－185(x－4)，即 15x＋8y－36＝0.
②若切线斜率不存在，圆心C(3,1)到直线x＝4的距离也为1，
于是所求圆的方程为(x－1)2＋(y＋4)2＝8.
类型二直线与圆、圆与圆的位置关系例2 已知点P(0,5)及圆C：x2＋y2＋4x－12y＋24＝0.若直线l过点P，且被圆C截得的线段长为 4 3 ，求l的方程.
解如图所示，|AB|＝ 4 3 ，设D是线段AB的中点，则CD⊥AB， ∴|AD|＝2 3，|AC|＝4.
所以圆 C 的标准方程为(x－1)2＋(y－ 2)2＝2.
(2)圆C在点B处的切线在x轴上的截距为_－__1_－___2_.
解析令x＝0得：B(0， 2＋1).
设圆 C 在点 B 处的切线方程为 y－( 2＋1)＝kx，
|k－ 2＋ 2＋1|
则圆心 C 到其距离为：d＝
k2＋1 ＝ 2，
解之得 k＝1.
3.直线与圆的位置关系设直线l与圆C的圆心之间的距离为 d，圆的半径为r，则d_>_r→相离； d_＝_r→相切；d_<_r→相交. 4.圆与圆的位置关系设C1与C2的圆心距为d，半径分别为r1与r2，则
位置关系外离
外切
相交
内切
内含
图示
d与r1，r2 的关系
d>r1＋r2
d＝r1＋r2
|r1－r2|<d<r1 ＋r2
在Rt△ACD中，可得|CD|＝2.

人教版高中数学选修2-1、2-2、2-3课后习题参考答案

新课程标准数学选修2—2 第一章课后习题解答第一章导数及其应用3．1 变化率与导数练习（ P6）在第 3 h 和 5 h 时，原油温度的瞬时变化率分别为和 3. 它说明在第 3 h 附近，原油温度大约以 1 ℃／h 的速度下降；在第 5 h 时，原油温度大约以 3 ℃／h 的速率上升.练习（ P8）函数在附近单调递增，在附近单调递增 . 并且，函数在附近比在附近增加得慢 . 说明：体会“以直代曲” 1的思想 .练习（ P9）函数的图象为根据图象，估算出， . 说明：如果没有信息技术，教师可以将此图直接提供给学生，然后让学生根据导数的几何意义估算两点处的导数 .习题 A 组（ P10）1、在处，虽然，然而 .所以，企业甲比企业乙治理的效率高 . 说明：平均变化率的应用，体会平均变化率的内涵 .2、，所以， . 这说明运动员在 s 附近以 m／s 的速度下降 .3、物体在第 5 s 的瞬时速度就是函数在时的导数 . ，所以， .因此，物体在第 5 s 时的瞬时速度为 10 m／s，它在第 5 s 的动能 J. 4、设车轮转动的角度为，时间为，则 .由题意可知，当时， . 所以，于是 . 车轮转动开始后第 s 时的瞬时角速度就是函数在时的导数 .，所以. 因此，车轮在开始转动后第 s 时的瞬时角速度为 .说明：第 2,3,4 题是对了解导数定义及熟悉其符号表示的巩固 .5、由图可知，函数在处切线的斜率大于零，所以函数在附近单调递增. 同理可得，函数在，，0，2附近分别单调递增，几乎没有变化，单调递减，单调递减 .说明：“以直代曲”思想的应用 .6、第一个函数的图象是一条直线，其斜率是一个小于零的常数，因此，其导数的图象如图（ 1）所示；第二个函数的导数恒大于零，并且随着的增加，的值也在增加；对于第三个函数，当小于零时，小于零，当大于零时，大于零，并且随着的增加，的值也在增加 . 以下给出了满足上述条件的导函数图象中的一种 . 说明：本题意在让学生将导数与曲线的切线斜率相联系 .习题 B 组（ P11）1、高度关于时间的导数刻画的是运动变化的快慢，即速度；速度关于时间的导数刻画的是速度变化的快慢，根据物理知识，这个量就是加速度 .2、说明：由给出的的信息获得的相关信息，并据此画出的图象的大致形状 . 这个过程基于对导数内涵的了解，以及数与形之间的相互转换 .3、由（ 1）的题意可知，函数的图象在点处的切线斜率为，所以此点附近曲线呈下降趋势 . 首先画出切线的图象，然后再画出此点附近函数的图象 . 同理可得（2）（3）某点处函数图象的大致形状 . 下面是一种参考答案 . 说明：这是一个综合性问题，包含了对导数内涵、导数几何意义的了解，以及对以直代曲思想的领悟 . 本题的答案不唯一 .1．2 导数的计算练习（ P18）1、，所以，，.2、（1）；（ 2）；（3）；（ 4）；（5）；（ 6）.习题 A 组（ P18）1、，所以， .2、.3、.4、（1）；（ 2）；（3）；（ 4）；（ 5）；（6）.5、. 由有，解得 .6、（1）；（2）.7、.8、（1）氨气的散发速度 .（2），它表示氨气在第 7 天左右时，以克／天的速率减少 .习题 B 组（ P19）1、（1）（ 2）当越来越小时，就越来越逼近函数 .（ 3）的导数为 .2、当时， . 所以函数图象与轴交于点 .，所以.所以，曲线在点处的切线的方程为 .2、. 所以，上午 6:00 时潮水的速度为 m／h；上午 9:00 时潮水的速度为 m ／ h；中午 12:00 时潮水的速度为 m／ h；下午 6:00 时潮水的速度为 m／h.1．3 导数在研究函数中的应用练习（ P26）1、（1）因为，所以 .当，即时，函数单调递增；当，即时，函数单调递减 .（2）因为，所以 . 当，即时，函数单调递增；当，即时，函数单调递减 .（3）因为，所以 . 当，即时，函数单调递增；当，即或时，函数单调递减 .（4）因为，所以 . 当，即或时，函数单调递增；当，即时，函数单调递减 .2、3、因为，所以 .（1）当时，注：图象形状不唯一，即时，函数单调递增；，即时，函数单调递减 .（ 2）当时，，即时，函数单调递增；，即时，函数单调递减 .4、证明：因为，所以 .当时，，因此函数在内是减函数 .练习（ P29）1、是函数的极值点，其中是函数的极大值点，是函数的极小值点 .2、（1）因为，所以 .令，得 .当时，，单调递增；当时，，单调递减 . 所以，当时，有极小值，并且极小值为 .（2）因为，所以 . 令，得 . 下面分两种情况讨论：①当，即或时；②当，即时 . 当变化时，，变化情况如下表：因此，当时，有极大值，并且极大值为 54；当时，有极小值，并且极小值为 .（3）因为，所以 .令，得 .下面分两种情况讨论：①当，即时；②当，即或时 .当变化时，，变化情况如下表：因此，当时，有极小值，并且极小值为；当时，有极大值，并且极大值为 22 （4）因为，所以 . 令，得 . 下面分两种情况讨论：①当，即时；②当，即或时 . 当变化时，，变化情况如下表：因此，当时，有极小值，并且极小值为；当时，有极大值，并且极大值为 2 练习（ P31）（ 1）在上，当时，有极小值，并且极小值为 . 又由于， .因此，函数在上的最大值是 20、最小值是 .（2）在上，当时，有极大值，并且极大值为；当时，有极小值，并且极小值为；又由于， .因此，函数在上的最大值是 54、最小值是 .（ 3）在上，当时，有极大值，并且极大值为 . 又由于， .因此，函数在上的最大值是 22、最小值是 . （ 4）在上，函数无极值 .因为， . 因此，函数在上的最大值是、最小值是 . 习题 A 组（ P31）1、（1）因为，所以 .因此，函数是单调递减函数 .（2）因为，，所以， . 因此，函数在上是单调递增函数 .（3）因为，所以 . 因此，函数是单调递减函数 .（4）因为，所以 . 因此，函数是单调递增函数 .2、（1）因为，所以 .当，即时，函数单调递增 .当，即时，函数单调递减 .（ 2）因为，所以 .当，即时，函数单调递增 .当，即时，函数单调递减 .（ 3）因为，所以 .因此，函数是单调递增函数 .（ 4）因为，所以 .当，即或时，函数单调递增 . 当，即时，函数单调递减 .3、（1）图略 . （2）加速度等于 0.4、（1）在处，导函数有极大值；（2）在和处，导函数有极小值；（3）在处，函数有极大值；（4）在处，函数有极小值 .5、（1）因为，所以 .令，得.当时，，单调递增；当时，，单调递减 .所以，时，有极小值，并且极小值为（2）因为，所以 .令，得 .下面分两种情况讨论：①当，即或时；②当，即时 . 当变化时，，变化情况如下表：因此，当时，有极大值，并且极大值为 16；当时，有极小值，并且极小值为 .（3）因为，所以 .令，得 .下面分两种情况讨论：①当，即或时；②当，即时 .当变化时，，变化情况如下表：为 .（4）因为，所以 .令，得 .下面分两种情况讨论：①当，即或时；②当，即时 .当变化时，，变化情况如下表：因此，当时，有极小值，并且极小值为；当时，有极大值，并且极大值为 128.6、（1）在上，当时，函数有极小值，并且极小值为 . 由于，，所以，函数在上的最大值和最小值分别为 9， .（2）在上，当时，函数有极大值，并且极大值为 16；当时，函数有极小值，并且极小值为 .由于，，所以，函数在上的最大值和最小值分别为 16，.（3）在上，函数在上无极值 . 由于，，所以，函数在上的最大值和最小值分别为， .（4）当时，有极大值，并且极大值为 128.. 由于，，所以，函数在上的最大值和最小值分别为 128，.习题 B 组（ P32）1、（1）证明：设， .因为，所以在内单调递减因此，，即， . 图略（ 2）证明：设， . 因为，所以，当时，，单调递增，；当时，，单调递减，；又 . 因此，，. 图略（ 3）证明：设， . 因为，所以，当时，，单调递增，；当时，，单调递减，；综上，， . 图略（ 4）证明：设， .因为，所以，当时，，单调递增，；当时，，单调递减，；当时，显然 . 因此， .由（ 3）可知，，.. 综上，，图略2、（ 1）函数的图象大致是个“双峰”图象，类似“”或“”的形状 . 若有极值，则在整个定义域上有且仅有一个极大值和一个极小值，从图象上能大致估计它的单调区间.（2）因为，所以 . 下面分类讨论：当时，分和两种情形：①当，且时，设方程的两根分别为，且，当，即或时，函数单调递增；当，即时，函数单调递减 .当，且时，此时，函数单调递增 .②当，且时，设方程的两根分别为，且，当，即时，函数单调递增；当，即或时，函数单调递减 .当，且时，此时，函数单调递减 1．4 生活中的优化问题举例习题 A 组（ P37）1、设两段铁丝的长度分别为，，则这两个正方形的边长分别为，，两个正方形的面积和为， .令，即， .当时，；当时， . 因此，是函数的极小值点，也是最小值点 . 所以，当两段铁丝的长度分别是时，两个正方形的面积和最小 .2、如图所示，由于在边长为的正方形铁片的四角截去四个边长为的小正方形，做成一个无盖方盒，所以无盖方盒的底面为正方形，且边长为，高为 . （1）无盖方盒的容积， .（2）因为，所以. 令，得（舍去），或. 当时，；当时， . 因此，是函数的极大值点，也是最大值点 . 所以，当时，无盖方盒的容积最大 . 3、如图，设圆柱的高为，底半径为，（第 2 题）则表面积由，得 .因此，，. 令，解得 .当时，；当时， .因此，是函数的极小值点，也是最小值点 . 此时， . 所以，当罐高与底面直径相等时，所用材料最省 .4、证明：由于，所以 . 令，得，可以得到，是函数的极小值点，也是最小值点 . 这个结果说明，用个数据的平均值表示这个物体的长度是合理的，这就是最小二乘法的基本原理 .5、设矩形的底宽为 m，则半圆的半径为 m，半圆的面积为，矩形第 3 题）的面积为，矩形的另一边长为 m因此铁丝的长为，令，得（负值舍去） .当时，；当时， . 因此，是函数的极小值点，也是最小值点 . 所以，当底宽为 m时，所用材料最省 .6、利润等于收入减去成本，而收入等于产量乘单价 .由此可得出利润与产量的函数关系式，再用导数求最大利润 . 收入，利润，.求导得令，即，.当时，；当时，；因此，是函数的极大值点，也是最大值点 . 所以，产量为 84 时，利润最大 ,习题 B 组（ P37）1、设每个房间每天的定价为元，那么宾馆利润， .令，解得 . 当时，；当时， . 因此，是函数的极大值点，也是最大值点 .所以，当每个房间每天的定价为 350 元时，宾馆利润最大 .2、设销售价为元／件时，利润，.令，解得 . 当时，；当时， . 当是函数的极大值点，也是最大值点 . 所以，销售价为元／件时，可获得最大利润 .1． 5 定积分的概念练习（ P42）说明：进一步熟悉求曲边梯形面积的方法和步骤，体会“以直代曲”和“逼近”的思想.练习（ P45）1、，. 于是取极值，得说明：进一步体会“以不变代变”和“逼近”的思想 .2、km. 说明：进一步体会“以不变代变”和“逼近”的思想，熟悉求变速直线运动物体路程的方法和步骤 .练习（ P48）. 说明：进一步熟悉定积分的定义和几何意义从几何上看，表示由曲线与直线，，所围成的曲边梯形的面积 . 习题 A 组（ P50）1、（1）；（2）；（3）.说明：体会通过分割、近似替换、求和得到定积分的近似值的方法 .2、距离的不足近似值为：（ m）；距离的过剩近似值为：（ m）.3、证明：令 . 用分点将区间等分成个小区间，在每个小区间上任取一点作和式，从而，说明：进一步熟悉定积分的概念 .4、根据定积分的几何意义，表示由直线，，以及曲线所围成的曲边梯形的面积，即四分之一单位圆的面积，因此 .5、（1）.由于在区间上，所以定积分表示由直线，，和曲线所围成的曲边梯形的面积的相反数 . （2）根据定积分的性质，得 .由于在区间上，在区间上，所以定积分等于位于轴上方的曲边梯形面积减去位于轴下方的曲边梯形面积 .（3）根据定积分的性质，得由于在区间上，在区间上，所以定积分等于位于轴上方的曲边梯形面积减去位于轴下方的曲边梯形面积 .说明：在（ 3）中，由于在区间上是非正的，在区间上是非负的，如果直接利用定义把区间分成等份来求这个定积分，那么和式中既有正项又有负项，而且无法抵挡一些项，求和会非常麻烦 . 利用性质 3 可以将定积分化为，这样，在区间和区间上的符号都是不变的，再利用定积分的定义，容易求出，，进而得到定积分的值 . 由此可见，利用定积分的性质可以化简运算 . 在（2）（3）中，被积函数在积分区间上的函数值有正有负，通过练习进一步体会定积分的几何意义 .习题 B 组（ P50）1、该物体在到（单位： s）之间走过的路程大约为 145 m. 说明：根据定积分的几何意义，通过估算曲边梯形内包含单位正方形的个数来估计物体走过的路程 .2、（1）.（2）过剩近似值：（m）；不足近似值：（m）（3）；（ m）.3、（1）分割在区间上等间隔地插入个分点，将它分成个小区间：记第个区间为（），其长度为把细棒在小段，，⋯⋯，上质量分别记作：则细棒的质量 .2）近似代替当很大，即很小时，在小区间上，可以认为线密度的值变化很小，近似地等于一个常数，不妨认为它近似地等于任意一点处的函数值 . 于是，细棒在小段上质量（） .（3）求和得细棒的质量 .（4）取极限细棒的质量，所以 ..1．6 微积分基本定理练习（ P55）（1） 50；（2）；（3）；（4）24；（ 5）；（ 6）；（ 7）0；（8）.说明：本题利用微积分基本定理和定积分的性质计算定积分 .习题 A 组（ P55）1、（1）；（ 2）；（3）；（4）；（ 5）；（ 6） .说明：本题利用微积分基本定理和定积分的性质计算定积分 .2、. 它表示位于轴上方的两个曲边梯形的面积与轴下方的曲边梯形的面积之差 . 或表述为：位于轴上方的两个曲边梯形的面积（取正值）与轴下方的曲边梯形的面积（取负值）的代数和 .习题 B 组（ P55）1、（1）原式＝；（ 2）原式＝；（ 3）原式＝ .2、（1）；（2）；（3）；（4）.3、（1）.（2）由题意得 . 这是一个超越方程，为了解这个方程，我们首先估计的取值范围 . 根据指数函数的性质，当时，，从而，因此，. 因此，，所以，.从而，在解方程时，可以忽略不计 . 因此， .，解之得（s）.说明： B 组中的习题涉及到被积函数是简单的复合函数的定积分，可视学生的具体情况选做，不要求掌握 .1．7 定积分的简单应用练习（ P58）（ 1）；（ 2）1. 说明：进一步熟悉应用定积分求平面图形的面积的方法与求解过程 .练习（ P59）1、（m）.2、（J）.习题 A 组（ P60）1、（1） 2；（2）.2、.3、令，即 . 解得. 即第 4s 时物体达到最大高度 . 最大高度为（ m）.4、设 s 后两物体相遇，则，解之得 . 即两物体 5s后相遇 . 此时，物体离出发地的距离为（ m） .5、由，得 . 解之得 . 所做的功为（ J）.6、（1）令，解之得 . 因此，火车经过 10s 后完全停止 . （2）（m）.习题 B 组（ P60） 1、（1）表示圆与轴所围成的上半圆的面积，因此（2）表示圆与直线所围成的图形（如图所示）的面积，因此，.2、证明：建立如图所示的平面直角坐标系，可设抛物线的方程为，则，所以 .从而抛物线的方程为 . 于是，抛物线拱的面积 .3、如图所示 .解方程组（第1（2）题）得曲线与曲线交点的横坐标， .于是，所求的面积为 .4、证明： .（第 2 题）第一章复习参考题 A 组（P65）1、（1） 3；（2）.2、（1）；（ 2）；（ 3）；（ 4） .3、.4、（1） . 因为红茶的温度在下降 .（2）表明在 3℃附近时，红茶温度约以 4℃／ min的速度下降 . 图略.5、因为，所以 . 当，即时，单调递增；当，即时，单调递减 .6、因为，所以 . 当，即时，有最小值 . 由，得 . 又因为，所以 .7、因为，所以. 当，即，或时，函数可能有极值 . 由题意当时，函数有极大值，所以 .因为直线过点，，所以直线的方程为，即当时，，即点的坐标是因此，的面积 . 令，即.当，或时，，不合题意舍去 . 由于所以，直线斜角的面积最小，最小面积为2. 9、 10、设底面一边的长为 m ，另一边的长为 m. 因为钢条长为所以，长方体容器的高为 .设容器的容积为，则令，即.所以，（舍去），或. 当时，；当时， .因此，是函数在的极大值点，也是最大值点 .所以，当长方体容器的高为 1 m 时，容器最大，最大容器为 m 3. 11、设旅游团人数为时，旅行社费用为 . 令，即， . 又，，.所以，是函数的最大值点 .所以，当旅游团人数为 150 时，可使旅行社收费最多 .12、设打印纸的长为 cm 时，可使其打印面积最大 . 因为打印纸的面积为，长为，所以宽为，打印面积令，即，（负值舍去），.是函数在内唯一极值点，且为极大值，从而是最大值点所以，打印纸的长、宽分别约为，时，可使其打印面积最大 13、设每年养头猪时，总利润为元 . 则 .令，即， .当时，；当时， .是函数在内唯一极值点，且为极大值点，从而是最大值点所以，每年养 300 头猪时，可使总利润最大，最大总利润为 25000 元. 14、（ 1）；（2）；（3）1；（ 4）原式＝；（ 5）原式＝ . 15、略 . 说明：利用函数图象的对称性、定积分的几何意义进行解释 16、.17、由，得 . 解之得 .所做的功为（J ）第一章复习参考题 B 组（P66）由于所以，函数有此当时，极大值 .时，，. 8、设当点的坐标为时，的面积最小当，即的倾1、（1）. 所以，细菌在与时的瞬时速度分别为 0 和.（2）当时，，所以细菌在增加；当时，，所以细菌在减少 .2、设扇形的半径为，中心角为弧度时，扇形的面积为 .因为，，所以.令，即，，此时为 2 弧度. 是函数在内唯一极值点，且是极大值点，从而是最大值点 . 所以，扇形的半径为、中心角为 2 弧度时，扇形的面积最大 .3、设圆锥的底面半径为，高为，体积为，那么 . 因此，，.令，解得 . 容易知道，是函数的极大值点，也是最大值点 .所以，当时，容积最大 . 把代入，得 .由，得 . 所以，圆心角为时，容积最大 .4、由于，所以 . 设船速为 km／h 时，总费用为，则令，即， . 容易知道，是函数的极小值点，也是最小值点 .当时，（元／时）所以，船速约为 24km／h 时，总费用最少，此时每小时费用约为 941元.5、设汽车以 km／h 行驶时，行车的总费用，令，解得（ km／ h）. 此时，（元）容易得到，是函数的极小值点，也是最小值点 . 因此，当时，行车总费用最少 .所以，最经济的车速约为 53km／ h；如果不考虑其他费用，这次行车的总费用约是 114 元 .6、原式＝ .7、解方程组得，直线与抛物线交点的横坐标为， .抛物线与轴所围图形的面积 .由题设得又因为，所以. 于是. 说明：本题也可以由面积相等直接得到，由此求出的值 . 但计算较为烦琐 .新课程标准数学选修2—2 第二章课后习题解答第二章推理与证明2．1 合情推理与演绎推理练习（ P77）1、由，猜想 .2、相邻两行数之间的关系是：每一行首尾的数都是 1，其他的数都等于上一行中与之相邻的两个数的和 .3、设和分别是四面体和的体积，则.练习（ P81）1、略.2、因为通项公式为的数列，若，其中是非零常数，则是等比数列；⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯大前提又因为，则，则；⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯小前提所以，通项公式为的数列是等比数列 . ⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯结论 3、由，得到的推理是错误的 . 因为这个推理的大前提是“在同一个三角形中，大边对大角”，小前提是“”，而与不在同一个三角形中 .习题 A 组（ P83）1、.2、.3、当时，；当时，；当时， .4、（，且） .5、（，且） .6、如图，作∥交于 .因为两组对边分别平行的四边形是平行四边形，又因为∥，∥ .所以四边形是平行四边形 . 因为平行四边形的对边相等 .又因为四边形是平行四边形 .所以.因为与同一条线段等长的两条线段的长度相等，又因为， ,第 6 题）所以因为等腰三角形的两底角是相等的 . 又因为△是等腰三角形 , 所以因为平行线的同位角相等又因为与是平行线和的同位角 , 所以因为等于同角的两个角是相等的，又因为， , 所以习题 B 组（ P84）1、由，，，，，猜想 .2、略 . 3 、略. 2．2 直接证明与间接证明练习（ P89）1、因为，所以，命题得证 .2、要证，只需证，即证，即证，只需要，即证，这是显然成立的 . 所以，命题得证 .3、因为，又因为从而，所以，命题成立 . 说明：进一步熟悉运用综合法、分析法证明数学命题的思考过程与特点练习（ P91）1、假设不是锐角，则 . 因此 .这与三角形的内角和等于 180°矛盾 . 所以，假设不成立 . 从而，一定是锐角 .2、假设，，成等差数列，则 .所以，化简得，从而，即，这是不可能的 . 所以，假设不成立 . 从而，，，不可能成等差数列 . 说明：进一步熟悉运用反证法证明数学命题的思考过程与特点 . 习题 A 组（ P91）1、由于，因此方程至少有一个跟 .假设方程不止一个根，则至少有两个根，不妨设是它的两个不同的根，则①②①－②得因为，所以，从而，这与已知条件矛盾，故假设不成立 .2、因为展开得，即 . ① 假设，则，即所以.因为，都是锐角，所以，从而，与已知矛盾 .因此.①式变形得，即 . 又因为，所以 .说明：本题也可以把综合法和分析法综合使用完成证明 .3、因为，所以，从而 .另一方面，要证，只要证即证，即证由可得，，于是命题得证 . 说明：本题可以单独使用综合法或分析法进行证明，但把综合法和分析法结合使用进行证明的思路更清晰 .4、因为的倒数成等差数列，所以 . 假设不成立，即，则是的最大内角，所以（在三角形中，大角对大边），从而 . 这与矛盾 .所以，假设不成立，因此， .习题 B 组（ P91） 1、要证，由于，所以只需要，即证 .因为，所以只需要，即证 . 由于为一个三角形的三条边，所以上式成立 .于是原命题成立 .2、由已知条件得①，②要证，只要证，只要证由①②，得，所以，，于是命题得证 .3、由得，即 . ⋯⋯①要证即证即证化简得，这就是①式 .所以，命题成立 . 说明：用综合法和分析法证明命题时，经常需要把两者结合起来使用 . 2．3 数学归纳法练习（ P95）1、先证明：首项是，公差是的等差数列的通项公式是 .（1）当时，左边＝，右边＝，因此，左边＝右边 . 所以，当时命题成立 .（ 2）假设当时，命题成立，即 .那么，. 所以，当时，命题也成立 .根据（ 1）和（ 2），可知命题对任何都成立 . 再证明：该数列的前项和的公式是 .（1）当时，左边＝，右边＝，因此，左边＝右边 . 所以，当时命题成立 .（ 2）假设当时，命题成立，即 . 那么，所以，当时，命题也成立 .根据（ 1）和（ 2），可知命题对任何都成立 .2、略.习题 A 组（ P96）1、（1）略.（2）证明：①当时，左边＝ 1，右边＝，因此，左边＝右边 . 所以，当时，等式成立 . ②假设当时等式成立，即 . 那么，.所以，当时，等式也成立 . 根据①和②，可知等式对任何都成立 .（3）略.2、，由此猜想： . 下面我们用数学归纳法证明这个猜想 .（1）当时，左边＝，右边＝，因此，左边＝右边 . 所以，当时，猜想成立 .（2）假设当时，猜想成立，即 . 那么，.所以，当时，猜想也成立 .根据（ 1）和（ 2），可知猜想对任何都成立 . 习题 B 组（ P96） 1、略2、证明：（ 1）当时，左边＝，右边＝，因此，左边＝右边 . 所以，当时，等式成立 .（2）假设当时，等式成立，即.那么，. 所以，当时，等式也成立 .根据（ 1）和（ 2），可知等式对任何都成立 . 第二章复习参考题 A 组（P98） 1、图略，共有（）个圆圈 .2、（）.3、因为，所以，，⋯⋯猜想.4、运算的结果总等于 1.5、如图，设是四面体内任意一点，连结，，，并延长交对面于，，，，则用“体积法”证明：6、要证只需证即证由，得 . ① 又因为，所以，变形即得①式 . 所以，命题得证 .7、证明：（ 1）当时，左边＝，右边＝，因此，左边＝右边 . 所以，当时，等式成立 .（2）假设当时，等式成立，第 5 题）即.那么，. 所以，当时，等式也成立 .根据（ 1）和（ 2），可知等式对任何都成立 . 第二章复习参考题 B 组（P47） 1、（1）25条线段， 16部分；（2）条线段；（ 3）最多将圆分割成部分 .下面用数学归纳法证明这个结论 .①当时，结论成立 .②假设当时，结论成立，即：条线段，两两相交，最多将圆分割成部分当时，其中的条线段两两相交，最多将圆分割成部分，第条线段与线段都相交，最多增加个部分，因此，条线段，两两相交，最多将圆分割成部分所以，当时，结论也成立 .根据①和②，可知结论对任何都成立 .2、要证因为只需证由已知条件，得，，代入上式的左端，得因此，新课程标准数学选修2—2 第三章课后习题解答第三章数系的扩充与复数的引入 3．1 数系的扩充和复数的概念练习（ P104）1、实部分别是，，，0，0，0；虚部分别是， 1， 0，，1，0.2、，，0，是实数；，，，，，是虚数；，，是纯虚数 .3、由，得 . 练习（ P105）2、略 . 3 、略. 习题 A 组（ P106） 1、（1）由，得 .（2）由，得2、（1）当，即或时，所给复数是实数 . （2）当，即或时，所给复数是虚数 .（3）当，即时，所给复数是纯虚数 .3、（1）存在，例如，，等等.（2）存在，例如，，等等.（ 3）存在，只能是 .4、（1）点在第一象限 . （ 2）点在第二象限 .（3）点位于原点或虚轴的下半轴上 . （ 4）点位于实轴下方5、（1）当，即或时，复数对应的点位于第四象限 .（2）当，或，即或或时，复数对应的点位于第一、三象限.（3）当，即时，复数对应的点位于直线上 .6、（1）；（2）.习题 B 组（ P55）1、复数对应的点位于如图所示的图形上 .2、由已知，设（） .则解得所以3、因为，所以，，，，这 4 个点都在以原点为圆心，半径为的圆上 . 3．2 复数代数形式的四则运算练习（ P109）1、（1）（2）（3）；（4）0. 2 、略练习1、（1）；（2）；（3）；2、（1）；（2）；（3）5.3、（1）；（2）（3）；（4）.习题 A 组（ P112）1、（1）；（2）；（3）；2、对应的复数为 . 对应的复数为 .3、. 向量对应的复数为 . 向量对应的复数为 . 于是向量对应的复数为，点对应的复数为 .4、（1）；（2）；（3）；（4） .5、（1）；（2）；（3）；（4）.6、由，得 . 于是，有，解得， . 习题 B 组（ P112） 1、（1）.（2）, 2 、略 .第三章复习参考题 A 组（P116）1、（1）；（2）；（3）；（4）.2、由已知，设（且）；则.由是纯虚数，得，解得 . 因此 .3、由已知，可得， .又因为，所以 .第三章复习参考题 B 组（P116） 1、设（），则.由，得，化简，得 .。

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