射影定理

射影定理

射影定理，又称“欧几里德定理”，由古希腊著名数学家、《几何原本》作者欧几里得提出。内容是：指在直角三角形中，斜边上的高是两条直角边在斜边射影的比例中项，每一条直角边又是这条直角边在斜边上的射影和斜边的比例中项。

概述图中，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，CD是斜边AB上的高，则有射影定理如下：

CD²=AD·DB，AC²=AD·AB，BC²=BD·AB，AC·BC=AB·CD。

目录

1定理介绍

▪定理解释

▪定理提出者简介

2直角三角形射影定理

▪证法一

▪证法二

3任意三角形射影定理

▪内容

▪定理证明

4欧几里得面积射影定理

▪定理内容

▪证明思路

1定理介绍

定理解释

所谓射影，就是正投影。直角三角形或任意三角形中的射影定理（又叫欧几里德(Euclid)定理）：[1]

直角三角形中，斜边上的高的平方是两直角边在斜边上射影的比例中项。每一条直角边的平方是这条直角边在斜边上的射影和斜边的比例中项。[1]

定理提出者简介

欧几里得（希腊文：Ευκλειδης，公元前325年—公元前265年），古希腊数学家，被称为“几何之父”。他活跃于托勒密一世（公元前323年－公元前283年）时期的亚历山大里亚。

他最著名的著作《几何原本》是欧洲数学的基础，总结了平面几何五大公设，被广泛的认为是历史上最成功的教科书。欧几里得也写了一些关于透视、圆锥曲线、球面几何学及数论的作品。[2]

2直角三角形射影定理编辑

证法一

可以只用勾股定理来证明。

①CD^2=AD×BD;②AC^2=AD×AB;③BC^2=BD×AB;④AC×BC=AB×CD

证明：①∵CD^2+AD^2=AC^2,CD^2+BD^2=BC^2

∴2CD^2+AD^2+BD^2=AC^2+BC^2

∴2CD^2=AB^2-AD^2-BD^2 ∴2C D^2=(AD+BD)^2-AD^2-BD^2

∴2CD^2=AD^2+2AD×BD+BD^-AD^2-BD^2 ∴2CD^2=2AD×BD ∴CD^2=AD×BD

②∵CD^2=AD×BD(已证) ∴CD^2+AD^2=AD×BD+AD^2 ∴AC^2=AD×(BD+AD)

∴AC^2=AD×AB

③∵BC^2=DC^2+BD^2 且DC^2+BD^2=AD×BD+BD^2=(AD+BD)×BD=AB×BD

∴BC^2=AB×BD

④∵S△ACB=1/2AC×BC=1/2AB×CD ∴1/2AC×BC=1/2AB×CD

∴AC×BC=AB×CD

证法二

用三角函数证明

直角三角形中的射影定理

由等积法可知：AB×BC=BD×AC

在Rt△ABD和Rt△ABC中，tan∠BAD=BD/AD=BC/AB

故AB×BC=BD×AC两边各除以tan∠BAD

得：AB2=AD×AC 同理可得BC²=CD·CA

在Rt△ABD和Rt△BCD中

tan∠BAD=BD/AD，cot∠BCD=CD/BD

又∵tan∠BAD=cot∠BCD

故BD/AD=CD/BD

得BD2=AD×CD

3任意三角形射影定理

内容

任意三角形射影定理又称“第一余弦定理”：

△ABC的三角是A、B、C，它们所对的边分别是a、b、c，则有

a=b·cosC+c·cosB，

b=c·cosA+a·cosC，

c=a·cosB+b·cosA。

注：以“a=b·cosC+c·cosB”为例，b、c在a上的射影分别为b·cosC、c·cosB，故名射影定理。

定理证明

证明1：设点A在直线BC上的射影为点D

则AB、AC在直线BC上的射影分别为BD、CD

且BD=c·cosB，CD=b·cosC

∴a=BD+CD=b·cosC+c·cosB

同理可证其余

证明2：使用正弦定理证明

证法①b=asinB/sinA，，

c=asinC/sinA=asin(A+B)/sinA=a(sinAcosB+cosAsinB)/sinA

=acosB+(asinB/sinA)cosA=a·cosB+b·cosA.

同理可证其余。

证法②∵在△ABC中

∴sinA=sin(180°-A)

sinA=sin(B+C)；

根据正弦定理，可得

。

同理可证其余。

4欧几里得面积射影定理

定理内容

欧几里得提出的面积射影定理规定“平面图形射影面积等于被射影图形的面积乘以该图形所在平面与射影面所夹角的余弦。(即COSθ=S射影/S原）。”

(平面多边形及其射影的面积分别是和,它们所在平面所成的二面角为)

证明思路

因为射影就是将原图形的长度（三角形中称高）缩放，所以宽度是不变的，又因为平面多边形的面积比=边长的乘积比。所以就是图形的长度（三角形中称高）的比。

那么这个比值应该是平面所成角的余弦值。在两平面中作一直角三角形，并使斜边和一直角边垂直于棱（即原多边形图的平面和射影平面的交线），则三角

形的斜边和另一直角边就是其多边形的长度比，即为平面多边形的面积比。将此比值放到该平面中的三角形中去运算即可得证。