2017中考射影定理和运用
射影定理立体几何
射影定理立体几何射影定理是立体几何中的一个重要定理，它描述了一个几何体在一个投影面上的投影和几何体的相似性之间的关系。
在本文中，我们将介绍射影定理的基本概念和应用，并探讨它在实际生活中的一些应用场景。
射影定理是从几何学的角度来研究物体的投影和相似性的定理。
在立体几何中，我们经常会遇到一个物体在一个投影面上的投影，例如一个建筑物在地面上的投影、一个人在墙上的投影等等。
射影定理告诉我们，在一定条件下，投影和几何体是相似的。
具体来说，射影定理指出，当一个几何体在一个平行于其一侧的投影面上投影时，投影和几何体是相似的。
换句话说，投影和几何体之间存在着一种比例关系，它们的相似比等于几何体和投影面之间的距离比。
例如，我们可以考虑一个长方体在一个平行于其中一个侧面的投影面上的投影。
根据射影定理，投影的形状和长方体的形状是相似的。
如果我们将这个投影和长方体分别用比例相等的边长表示，那么它们之间的比例关系就成立。
射影定理在实际生活中有着广泛的应用。
首先，它在建筑设计中起着重要的作用。
建筑师在设计建筑物时往往会通过投影来预测建筑物在不同时间和天气条件下的外观。
射影定理可以帮助建筑师准确地计算出建筑物在投影面上的投影，从而更好地评估建筑物的外观效果。
射影定理在地图制作和导航系统中也有着重要的应用。
地图制作师常常需要将三维的地理信息转化为二维的地图，这就涉及到将地球表面上的物体在地图上的投影。
通过射影定理，地图制作师可以准确地将地球表面上的物体的形状和位置转化为地图上的投影，从而制作出准确的地图。
射影定理还在计算机图形学中被广泛应用。
计算机图形学中的三维模型往往需要在二维屏幕上进行显示，这就需要将三维模型投影到屏幕上。
通过射影定理，计算机图形学可以准确地计算出三维模型在屏幕上的投影，从而实现逼真的三维图形显示。
射影定理的应用还远不止于此。
它在摄影术、天文学、物理学等领域都有着重要的应用。
在摄影术中，摄影师常常需要根据不同的角度和距离来拍摄物体的照片，这就涉及到将三维物体的形状和纹理投影到二维照片上。
射影定理在解三角形中的应用
射影定理在解三角形中的应用# 射影定理在解三角形中的应用
大家好，今天咱们来聊聊一个数学小技巧——射影定理。
这可是解决几何问题的小能手哦！想象一下，你拿着一根尺子，在纸上画个三角形，然后对着尺子说：“给我画一个和这个三角形相似的形状。
”尺子就会神奇地帮你画出一个一模一样的图形。
这可不是魔法，而是射影定理在起作用呢！
咱们得知道什么是射影定理。
简单来说，就是如果你有一个三角形和一个平行四边形，那么这两个图形的对应角相等，对应边的比也相等。
这个定理可是数学界的宝藏，它让我们可以用简单的方法解决复杂的几何问题。
接下来，咱们用射影定理来解决一个实际的问题吧。
假设你在一个公园里散步，看到一棵树长得很像三角形。
这时候，你就可以用射影定理来帮忙了。
你拿出尺子，对着树的影子说：“给我画一个和这个三角形相似的图形。
”尺子就会神奇地帮你画出一个一模一样的树影。
这个技巧不仅好玩，还能帮我们解决很多实际问题。
比如，有时候我们会在地图上看到一个奇怪的形状，那就是因为地形的影响，导致实际的地形和地图上的三角形不匹配。
这时候，我们就可以用射影定理来帮助我们找到正确的位置。
不过，射影定理虽然好用，但也有它的局限性。
比如，当两个三角形的对应边不相等或者对应角不相等的时候，射影定理就不管用了。
这时候，我们就需要用到其他更复杂的几何知识来解决问题了。
射影定理是数学中的一个有趣而又实用的工具。
只要我们掌握了它的基本原理，就能轻松应对各种几何问题。
希望这篇文章能让你对射影定理有更深的了解，也能帮助你在生活和学习中更好地应用这个神奇的定理。
初中射影定理证明过程
初中射影定理证明过程初中阶段学习数学时，射影定理是一项非常重要的内容。
它可以帮助我们更好地理解几何形状的性质以及如何进行计算。
下面我将向您介绍初中射影定理的证明过程。
首先，让我们来了解一下射影几何的基本概念。
在射影几何中，一个点表示为(x:y:z)，其中x、y、z是实数，而不是仅仅是正数或者整数。
这是由于在射影几何中，我们考虑的是空间中的直线和平面，它们可能穿过无限远处的点，因此需要使用坐标系的扩展版本。
接下来，让我们来看一下射影定理的具体内容。
给定一个三角形ABC和一个内部点P，通过P作BC边的平行线与AB和AC交于点D和E。
那么有以下两个结论：1.PD/DB = PE/EC2.AD/DB + AE/EC = AP/PC现在我们来证明这两个结论。
首先证明第一个结论，即PD/DB = PE/EC。
我们可以利用相似三角形来得到这个结果。
观察图形可知，三角形BPD和CPE是相似的，因为它们各有一个角相等且另外两个角均为直角。
因此，我们可以得出以下比例：PD/DB = PE/EC这就证明了第一个结论。
接下来证明第二个结论，即AD/DB + AE/EC = AP/PC。
我们可以利用之前证明的结果以及三角形相似性来推导出这个结论。
观察图形可知，三角形APD、BPB'和CP'C是相似的。
因此，我们可以得出以下比例：AD/DB = AP/PB' PD/DB = PB'/PC AE/EC = AP/PC'将这些比例代入式子中，可以得到：AD/DB + AE/EC = AP/PC证明到此结束。
综上所述，通过相似性和比例关系，我们可以证明射影定理中的两个结论。
这个定理在初中数学中占有重要地位，它不仅能够帮助我们更好地理解几何形状的性质，还可以应用于实际问题中进行计算。
数学射影定理公式
数学射影定理公式数学射影定理是解析几何中的基本定理之一，它描述了一个点在一个几何体上的射影位置。
射影是一种将一个高维空间中的对象映射到一个低维空间中的技术，它在计算机图形学、计算机视觉和几何学中有广泛的应用。
射影定理的公式可以简单表示为：P' = P / Pz，其中P'表示点的射影位置，P表示点的三维坐标，Pz表示点在Z轴上的坐标。
这个公式可以用来计算点在三维空间中的射影位置，即将点投影到二维平面上。
在几何学中，射影定理主要用于计算点在投影平面上的坐标。
例如，我们可以使用射影定理来计算三维物体在投影平面上的阴影位置，从而实现逼真的渲染效果。
此外，在计算机视觉中，射影定理也可以用于计算相机在三维空间中的位置和姿态。
射影定理还有一些重要的性质。
首先，如果一个点在投影平面上的射影位置为P'，那么该点的任意倍数在投影平面上的射影位置也为P'。
其次，如果两个点在三维空间中的连线与投影平面平行，那么它们在投影平面上的连线也与投影平面平行。
射影定理的应用不仅限于几何学和计算机图形学领域，它还可以用于计算机视觉中的物体识别和姿态估计。
例如，当我们在图像中检测到一个物体时，我们可以使用射影定理来计算该物体在三维空间中的位置和姿态，进而实现对物体的准确定位和识别。
射影定理的公式简洁明了，但在应用中需要注意一些细节。
首先，由于射影定理涉及到除法运算，因此需要确保点的Z坐标不为零，否则会导致除零错误。
其次，射影定理只能用于计算点在投影平面上的射影位置，而不能用于计算点在其他平面上的射影位置。
数学射影定理公式是解析几何中的重要工具，它可以用于计算点在三维空间中的射影位置。
射影定理在计算机图形学、计算机视觉和几何学等领域有着广泛的应用，对于实现逼真的渲染效果和准确定位物体位置具有重要意义。
在应用射影定理时，需要注意除零错误和射影平面的选择，以确保计算结果的准确性和可靠性。
通过深入理解和灵活应用射影定理，我们可以在相关领域取得更好的研究和应用成果。
射影定理
射影定理所谓射影，就是正投影。
直角二角形射影定理(又叫欧几里德(Euclid)定理)：直角三角形中，斜边上的高是两直角边在斜边上射影的比例中项。
每一条直角边是这条直角边在斜边上的射影和斜边的比例中项。
公式：如图，Rt△ ABC中, / ABC=90 , BD是斜边AC上的高，则有射影定理如下：(1) (BD)2=AD- DC, (2) (AB)2=AD- AC , (3) (BC)2=CD- CA一、(主要是从三角形的相似比推算来的)在厶BAD与△ BCD中, vZ ABD y CBD=90，且/ CBD# C=90°,•••/ ABD Z C,又vZ BDA Z BDC=90•••△ BAD^ CBD••• AD/BD=BD/CD即BC2=AD- DC其余同理可得可证有射影定理如下：AB2=AD- AC BC2=CD- CA两式相加得：AB2+BC2= (AD- AC) + (CD- AC) = (AD+CD》AC=AC。
二、用勾股证射影v AC2=ABZ-BD2=AC2-CD2,••• 2AC2=ABZ+AC2-BD2-CD2=BC2-BD2-CD2=(BC+BD)(BC-BD)-CD=(BC+BD)CD-C2=( BC+BD-CD)CD=2BDCD.故AC2=BDX CD.运用此结论可得:AB2=BC2+AC2=BD2+BDX CD=B K (BD+CD) =BD< BC,AC2 =CD2+AD2=CQ+BDX CD=CD(BD+CD)=CECB.综上所述得到射影定理。
同样也可以利用三角形面积知识进行证明。
精选资料，欢迎下载三、用三角函数证明由等积法可知：ABX BC=B K AC 在Rt△ ABD和Rt △ ABC中，tan / BAD=BD/AD=BC/AB 故ABX BC=B K AC两边各除以tan / BAD得：AB A2=A[^ AC 同理可得BC2=CD・ CA在Rt△ ABD和Rt △ BCD中tan / BAD=BD/AD co丄BCD=CD/BD又■/ tan / BAD=cotZ BCD故BD/AD=CD/BD得BDA2=AD( CD精选资料，欢迎下载Welcome !!!精选资料，欢迎下载。
射影定理课件
射影定理的几何意义
射影定理的几何意义在于，它描述了直角三角形中斜边上的高与 其他边和角之间的关系。具体来说，它表明斜边上的高可以将直 角三角形分为两个相似的三角形。
在直角三角形ABC中，如果CD是斜边AB上的高，那么三角形 ACD与三角形CBD相似，它们的对应角相等，对应边成比例。
射影定理的应用场景
02
射影定理的证明
证明方法一：利用相似三角形
总结词
通过相似三角形的性质，利用相似比推导出射影定理。
详细描述
首先，选取两个相似三角形，并确定它们的对应边和对应角。然后，根据相似 三角形的性质，利用相似比来表示对应边和对应角之间的关系。最后，通过这 些关系推导出射影定理。
证明方法二：利用向量关系
总结词
射影定理在几何学中有着广泛的应用，特别是在解决与直角 三角形相关的问题时。例如，在解决与面积、周长、角度等 相关的几何问题时，可以利用射影定理来简化计算过程。
此外，射影定理还可以用于证明一些几何定理，如勾股定理 、毕达哥拉斯定理等。通过应用射影定理，可以推导出这些 定理的证明过程，从而加深对几何学的理解。
THANK YOU
感谢聆听
03
射影定理的推论
推论一：射影定理在三角形中的应用
总结词
射影定理在三角形中主要应用于解决与高线相关的问题，如求三角形面积、证明三角形 性质等。
详细描述
在三角形中，射影定理可以用来计算三角形面积，特别是当已知三角形两边及其夹角时 。此外，通过射影定理还可以证明一些重要的三角形性质，如塞瓦定理和梅纳劳斯定理
射影定理在相似形中的应 用
通过射影定理，我们可以研究相似形之间的 关系，进一步探索相似形中的性质和定理。
扩展三：射影定理与投影几何的关系
射影定理在解三角形中的应用
射影定理在解三角形中的应用嘿，你知道吗？在数学的世界里，有一个神奇的定理叫做“射影定理”。
这个定理就像一把神奇的钥匙，能打开解决各种问题的大门。
今天，我就来给大家讲讲这个有趣的定理，以及它如何在解三角形中大显身手。
想象一下，你面前有一张神秘的地图，上面画着一个三角形。
这个三角形就像是一个小迷宫，让你头疼不已。
但是，有了射影定理，你就不再是一个人在战斗了！这个定理就像是你的超级英雄，帮你一一击破难题。
我们要知道，射影定理其实是一个几何定理，它告诉我们，在一个平面上，两条直线被第三条直线所截，那么这条直线和这两条直线的交点所形成的角，就是这两个被截直线的夹角。
这个定理听起来是不是有点绕口？没关系，我来给你举个例子。
比如说，你面前有两条平行线AB和CD，它们被一条直线EF所截。
根据射影定理，我们可以知道，这条直线EF和AB、CD的交点形成的角，就是AB和CD的夹角。
这个角度是多少呢？嘿嘿，这就要看你手中的尺子和圆规了。
再比如说，你有一张三角形的纸片，上面画着三条互相垂直的线段。
这时候，你就可以用射影定理来解决问题了。
你只需要找到这三条线段的交点，然后测量它们之间的夹角，就能找到三角形的内心了。
这个内心的位置可是相当重要的哦！现在，你是不是已经迫不及待想要试试射影定理了呢？别急，我还要给你一些实用的小技巧。
你要记住，当你用尺子和圆规测量夹角时，一定要保证尺子和圆规的刻度是对准的。
你要注意观察，尽量让线段和圆规的刻度重合。
别忘了用三角板来辅助你测量角度哦！好了，以上就是射影定理在解三角形中的应用。
希望我的分享能让你对这个问题有更深入的理解。
如果你还有其他的问题或者想法，欢迎随时和我交流哦！让我们一起在数学的世界里探索更多的奥秘吧！。
射影定理的推导及在解三角形中的应用
36 福建中学数学 2019年第11期在对几何图形的分析中，任何一个几何图形都是由一个或若干个基本模型（或基本图形）组合而成．借助知识经验和思想方法，在直观视觉和分析比较的基础上，提炼出常见的基本数学模型，利用图形分离，缩短数学思维量，是提高数学解题能力的重要法宝．因此，教师在平时的教学过程中，都会有意识从一些典型例题的几何图形中提炼出数学模型，使学生能够快速辨认出属于哪种几何模型，从而迅速找到解题策略，提高解题效率．但笔者觉得不应过分强化其功能性，因为不仅模型有其局限性，无法放之“题海”皆可“套”；更重要的是，一旦没有模型可以套用学生会陷入束手无策的泥沼．因此通过知识源，从知识转化角度，引导学生思考、分析，不断调整解题策略和受阻思维，直到找到解决此类问题的通法，才是培养学生解题能力之王道[4]．4.2 感悟数学思想方法，提升数学能力就数学而言，本质是以数学知识和数学问题为载体，向学生渗透数学思想，让学生在潜移默化中学习数学思想方法，获得深层次的提升，因此数学思想方法的重要性是要大于数学知识本身的．就本题而言，主要是涉及了数形结合思想、转化与化归思想．数形结合思想就是根据数（量）与形（图）的对应关系，把数（量）与图（形）结合起来研究，使复杂问题简单化，抽象问题具体化．转化与化归思想就是用相等的线段（角），转移已知条件（结论），组建新的解题环境，达到解决问题的目的．初中阶段还有两种很重要的数学思想方法是方程与函数思想、分类讨论思想．方程与函数思想是根据条件，结合图形，建立方程（组）或函数，使问题得以解决；分类讨论是“化整为零、各个击破，再化零为整”的解题策略．因此，教师在平时的解题教学中，应该选择经典的例题，加强数学思想的渗透．4.3 注意一题多解和多解归一一题多解是从不同角度，运用不同的思维方式来解决同一道题的思考方法．经常进行一题多解的训练，可以锻炼我们的思维，使头脑更灵活．但是由于惰性和思维惯性，学生往往在历经千辛万苦解答完一题之后，是没有意识去寻求新的解法的．因此教师在解题教学中，一定要带领学生去充分挖掘题目中条件隐藏的信息，分析条件特征和图形特征，寻求突破口．多问问还有没有其他解法？课堂上尽可能多展示学生的不同的成型（或不成型）的思路方法，最终比较解法的优劣，寻求最佳解法．多解归一是对同一类型或者能够采用统一的解题方法的题型归纳总结出相应一体化的解题方案，达到以不变应万变的解题高度．因此教师在一题多解之后，也要注意引导学生进行多解归一．本题中证明EG DG=中的3种方法，本质都是全等的应用，这可以加深学生对数学的理解，促进对通性通法的认识，提高解题技巧与能力[5]．正如南京刘密贵所言：经一题，品一题，题题皆宝藏；遇一题，化一题，题题是故人．笔者想呼吁：题海无涯，回头是岸！参考文献[1]刘华为．基于知识转化，探求以题会类[J]．中学数学教学参考（中旬），2018（3）：39-42[2]刘华为．中考压轴题：怎样解，为何这样解[M]．西安：陕西师范大学出版总社，2014[3]石树伟．从“冰冷的美丽”到“火热的思考”[J]．中学数学教学参考（中旬），2017（3）：56-58[4]郑锦枝．探究一道中考题解法的心路历程[J]．福建中学数学，2018（10）：35-37[5]张宇清．一道中考压轴题的解法探究与教学思考[J]．中学数学教学参考（中旬），2018（11）：28-30射影定理的推导及在解三角形中的应用谢盛富福建省龙岩市高级中学（364000）射影定理是平面几何中的一个重要定理，广泛地、灵活地出现在几何证明与解三角形中，解题时常达到事半功倍之效．中学阶段，射影定理有两个，分别是：（1）直角三角形中的射影定理：如图1，在ABC∆中，C为直角，CD AB⊥，则2AC AD AB=⋅，2CD= AD DB⋅，2BC BD AB=⋅；（2）任意三角形的射影定理（亦称第一余弦定理）：cos cosa b C c B+，cos cosb a Cc A+，c= cos cosa Bb A+．2019年第11期 福建中学数学 37 其中，前者可通过直角三角形相似推得；本文指的射影定理是后者，它出现在教材《必修5》[1]“§1.2应用举例”配套的练习中（第3题），我们先来探究它的推导．图1 图21 定理的推导途径1 利用三角函数的定义如图2，在ABC ∆中，过点C 作CD AB ⊥，D 为垂足，由三角函数的定义，易得cos AD b A =，BD = cos a B ，所以cos cos c BD AD a B b A =+=+，即c = cos cos a B b A +．另外两个类似推导，从略（下同）． 途径2 利用正弦定理 在ABC ∆中， sin sin()sin cos cos sin C A B A B A B =+=+．由正弦定理可得cos cos c a B b A +． 途径3 利用余弦定理的推论 在ABC ∆中，cos cos a B b A +22222222222a c b b c a c a b c ac bc c+−+−=+==，即cos cos c a B b A +．途径4 利用平面向量的数量积在ABC ∆中，AB CB CA =−，两边同时点乘AB 得()AB AB AB CB CA ⋅=−，即2cos cos(π)c ca B cb A =−−．整理得cos cos ca Bb A +．点评 对AB CB CA =−两边平方可推导余弦定理，对AB CB CA =− 两边同时点乘垂直于AB的单位向量i 可推导正弦定理，因此途径4的证法集正弦定理和余弦定理的向量法证明，可谓巧妙之极！2 直接应用定理在高考试题、模拟试题和平时的练习中，常常发现题中已知条件有形如cos cos a B b A +等“显性”的形式，这时可直接应用射影定理求解，而且是速解，给学生带来愉悦的成就感，增强他们的学习信心．例1 （龙岩市2019届高三上期末考·文17）在ABC ∆中，内角A B C ，，的对边分别为a b c ，，，且cos cos b A a B ac +=．（Ⅰ）求a 的值；（Ⅱ）略． 解 由射影定理cos cos c a B b A +及已知cos b A cos a B ac +=，得ac c =，即1a =．例2 （龙岩市2020届高二上期末考·文18）在ABC ∆中，内角A B C ，，的对边分别为a b c ，，，且2cos cos c b aB A−=． （Ⅰ）求A ；（Ⅱ）略． 解 由2cos cos c b a B A −=， 得2cos cos cos c A a B b A =+，由射影定理得1cos 2A =，又(0π)A ∈，，所以π3A =．评述 这两道试题的第（Ⅰ）问都直接应用射影定理而跳过了正弦定理和三角公式，解题简练快速．下面罗列3道近几年高考课标卷中带“显性”射影定理的真题：真题1 （2017年高考新课标Ⅱ卷·文16）ABC ∆的内角A B C ，，的对边分别为a b c ，，，若2cos b B a =⋅ cos cos C c A +，则B =_________．真题2 （2016年高考新课标Ⅰ卷·理17）ABC ∆的内角A B C ，，的对边分别为a b c ，，，已知2cos (C a ⋅ cos cos )B b A c +=．（Ⅰ）求C ；（Ⅱ）略．真题3 （2013年高考新课标Ⅱ卷·理17）ABC ∆的内角A B C ，，的对边分别为a b c ，，，已知cos a b C = sin c B +．（Ⅰ）求B ；（Ⅱ）略．此外，2017年山东卷·理9、2016年四川卷·理17文18、2014年广东卷·理12、2013年辽宁卷·理6文6、2013年陕西卷·理7文9等均有类似考查，可见，射影定理深受命题专家的青睐，考查方式可以是选择题或填空题，也可以是解答题．3 真题隐藏定理其实，在高考中还有一类试题可以利用射影定理求解，只是隐藏较深，或者不易察觉，或根本不会从射影定理的角度去思考．以近3年高考试题（2016年～2018年）为例，选择3道试题为例阐述．例3 （2016年高考新课标Ⅱ卷·理13，文15）ABC ∆的内角A B C ，，的对边分别为a b c ，，，若cos A =38 福建中学数学 2019年第11期45，5cos 13C =，1a =，则b =_________．解 由4cos 5A =，5cos 13C =，可得3sin 5A =，12sin 13C =．由正弦定理得sin 20sin 13a C c A =．由射影定理有21cos cos 13b a Cc A =+=．例4 （2018年高考浙江卷·13）在ABC ∆中，角A B C ，，的对边分别为a b c ，，，若a =，2b =，60A = ，则sin B =________，c =________．解由正弦定理得sin sin 7b AB a ==，所以cos B =． 由射影定理有cos cos 3c a B b A =+=．例5 （2018年高考北京卷·理15）在ABC ∆中，7a =，8b =，1cos 7B =−．（Ⅰ）求A ∠；（Ⅱ）求AC 边上的高．解 （Ⅰ）π3A ∠=（过程略）．（Ⅱ）由（Ⅰ）得1cos 2A =． 由射影定理有cos cos 3AB c a B b A ==+=．由三角函数的定义， 得AC边上的高为sin AB A =． 此外，2017年天津卷·理15、2016年新课标Ⅰ卷·文4等也隐藏着射影定理，换言之，也可以利用射影定理求解．波利亚指出“学习最好的途径是自己去发现”，因此，在教学中，教师应善于引导学生回归课本，夯实基础，引领学生去探索、发现和推理，主动获取“新”的知识与方法，并内化获得学习技巧，开阔思路，拓展思维，激发学习的主动性、积极性和兴趣，增强信心与动力，培养发散思维能力和学习能力，不断提升数学思维，提高数学素养，受益终身．参考文献[1]人民教育出版社课程教材研究所，中学数学课程教材研究开发中心．普通高中课程标准实验教科书·数学必修2A 版[M]．北京：人民教育出版社，2007对一道含参函数零点试题多种解法的思考谭 亮 湖南省衡南县第五中学（421101）含参不等式恒成立（或者存在性）问题和含参函数零点问题都是高考的热点也是难点．它们的实质是：在变化的函数中寻找其不变的特性．解题时，参数的处理思路通常有3种：不分离、部分分离、完全分离．本文基于上述3种处理思路给出了一道含参函数零点试题的4种解法，并尝试做一些分析比较，进而以这些分析与比较为引领求解两个同类试题，希望对读者明晰含参函数零点问题的解题思路有所帮助． 1 典例剖析例1 （2018年湖南省衡阳市高三第一次联考题）已知函数2()ln f x a x x a =+∈R ，，()f x 在x ∈2[1e ]，上有且只有一个零点，则实数a 的取值范围是（ ）． A ．4e ()2−∞−， B ．4e (]{2e}2−∞−− ，C ．4e (){2e}2−∞−− ，D ．4e ()2−∞−，解法1 （不分离参数） 22()2a a x f x x x x +′=+=， 故当0a ≥时，()0f x ′≥， 函数()f x 在2[1e ]x ∈，单调递增， 由于(1)0f >，不存在零点； 当0a <1≤时，()0f x ′≥， 函数()f x 在2[1e ]x ∈，单调递增， 同理也不存在零点；②当21e <≤时，[1x ∈时， ()0f x ′≤，函数()f x 此时单调递减，。
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相似三角形----射影定理的推广及应用
射影定理是平面几何中一个很重要的性质定理，尽管义务教材中没有列入，但在几何证明及计算中
应用很广泛，若能很好地掌握并灵活地运用它，常可取到事半功倍的效果。一般地，若将定理中的直角三
角形条件非直角化，亦可得到类似的结论，而此结论又可作为证明其它命题的预备定理及联想思路，熟练 地掌握并巧
妙地运用，定会在几何证明及计算“山穷水尽疑无路”时， “柳暗花明又一村”地迎刃而解。
一、射影定理
射影定理直角三角形斜边上的高是它分斜边所得两条线段的比例中项;
上的射影和斜边的比例中项。
如图（1） : R t △ABC中，若CD为高, 则有C D =BD? AD
BC 2 = BD ?AB
或
AC 2 = AD ?AB
。
、变式推广
1 •逆用 如图（1）:若AABC中，CD为高，且有DC 2 = BD?
AD或AC 2 =AD ?AB或BC 2=BD ?AB，则有ZDCB = ZA或/ACD = /B，均可等到AAB
C
为直角三角形。
2 •—般化，若AABC不为直角三角形，当点D
满足一定条件时，类似地仍有部分结论成立。 （后 文简
称：射影定理变式（2））
如图（2） : △ABC 中， D 为 AB上 一点，若 ZCDB = ZACB，或/
DCB
= ZA，则有△CDBs^ACB，可得BC 2 = BD? AB 反之，若AA
BC中，D为 AB上 一点，且有BC =BD ?AB，则有△CDBs^ACB,
可得到ZCDB = ZACB，或
ZDCB = ZAo
三、应用
例1 如图（3）,已知：等腰三角形ABC中， AB = AC,高AD、 BE交于点
H,
求证：4DH ?
DA=BC
2
分析： 易证ZBAD = ZCAD =900- / C-Z HBD联想到射影定理变式（2）,可得
BD
2
=
DH ?DA，又BC-2BD
，故有结论成立。
（证明略）
且每条直角边都是它在斜边
EC 2 ）
可编辑
例2 如图（4）:已知OO中，D为弧AC中点，过点D的弦ED被弦AC分为4和12两部分, 求DC。
分析：易得到ZDBC = ZABD = ZDCE，满足射影定理变式（ 2 ）的条件,
故有
CD
2
= DE ?DB，易求得DC=8
（解略
）
例3 已知：如图（5）, △ABC中，AD平分ZBAC,AD的垂直平分线交
AB于点E,交AD于点H,交AC于点G,交BC的延长线于点F,
求证
：
DF
2
= CF ?BF
。
证明：连AF, TFH垂直平分
AD,
•••FA=FD, ZFAD = ZFDA,
VAD 平分 /BAC,「./CAD = /BAD, .•ZFAD-
ZCAD = ZFDA-ZBAD, •/ZB = ZFDA-
ZBAD,
•••/FAC = /B，又 ZAF
C 公共，
• ••△AFC~BFA」丄 C
F BF AF
2 2
• AF =CF ?BF,「.DF =CF ?BF
。
射影定理练习
【选择题】
1、 已知直角三角形|_ABC中，斜边AB=5cm,BC=2cmD为AC上的一点，DE _ AB交AB于E,且AD=3.2cm, 则
DE=（
A、1.24cm B 、1.26cm C 、1.28cm D 、1.3cm
2、 如图1-
1，在RtLABC中，CD是斜别AB上的高，在图中六条线段中，你认为只要知道（ ）线段
的长，就可以求其他线段的长
A 1 B 2 C 3 D 、4
可编辑
AC 3 3、在 Rt| ABC 中，.BAC -90： , AD BC 于点 D,若 则 BD -
(
CD
AB 4
A
3 r 4 c 16 9
A B 、 C、
D
4 3 9 16
【填空题】
5、LABC 中，.A =90：, AD _ BC 于点 D, AD=6 BD=12 则 CD _________ , AC= _________
2 2
___ , AB : AC = ___________
6、如图 2-1，在 RtLABC 中，NACB =90,, CD 丄 AB , AC=6 AD=3.6，贝U BC= __________
A
2-1
【解答题】
8、已知 CAB=90[ AD_CB，L ACE ,
L ABF
角形，求证：
DE _ DF
10、如图，在 Rt△ ABC中，CD是斜边 AB上的高，点 M 在CD
上, DHL BM且与AC的延长线交于点 E.求证：
(AED^A
CBM
( 2 ) AE ?
7、已知CD是L ABC的高,
DE _CA,DF _CB
，如图 3-1，求证:
LCEFS_ CBA
CM=AC
可编辑
CD 11、已知：如图，等腰△ ABC中，
AB=AC ADL BC于D,过点B做射线 BG
交AD AC于 点C平行于AB的直线交于
点 G
求证： （1）B吕EF?EG
（2）若过点B的射线交
AD\AC的射线AD、AC的延长线分别于
E、F两点，与过 E的直线交于点G,
则
（）的结论是否成立，若成立，请说明理
由。
F两点，与过
C平行于
A