相似三角形---射影定理的运用

相似三角形--- 射影定理的运用

相似三角形 - 射- 影定理的推广及应用

射影定理是平面几何中一个很重要的性质定理，尽管义务教材中没有列入，但在几何证明及计算中应用很广泛，若能很好地掌握并灵活地运用它，常可取到事半功倍的效果。一般地，若将定理中的直角三角形条件非直角化，亦可得到类似的结论（这里暂且称之为射影定理的推广），而此结论又可作为证明其它命题的预备定理及联想思路，熟练地掌握并巧妙地运用，定会在几何证明及计算“山穷水尽疑无路” 时，“柳暗花明又一村” 地迎刃而解。下面结合例子从它的变式推广上谈谈其应用。

一、射影定理

射影定理直角三角形斜边上的高是它分斜边所得两条线段的比例中项；且每条直角边都是它在斜边上的射影和斜边的比例中项。

如图（１）：Ｒt △ＡＢＣ中，若ＣＤ为高，２则有ＣD２＝ＢＤ?AD、ＢＣ２＝ＢＤ?ＡＢ或ＡＣ２＝ＡＤ?ＡＢ。（证明略）

二、变式推广

１．逆用如图（１）：若△ＡＢＣ中，ＣＤ为高，且有ＤＣ２＝ＢＤ?ＡＤ或ＡＣ２＝ＡＤ?ＡＢ或ＢＣ２＝ＢＤ?ＡＢ，则有∠ＤＣＢ＝∠Ａ或∠ＡＣＤ＝∠Ｂ，均可等到△ＡＢＣ为直角三角形。

（证明略）

２．一般化，若△ＡＢＣ不为直角三角形满足一定条件时，类似地仍有部分结论成立。射影定理变式（2））

如图（２）：△ＡＢＣ中，D 为ＡＢ上一点，若∠ＣＤＢ＝∠ＡＣＢ，或∠ＤＣＢ＝∠Ａ，则有△ＣＤＢ∽△ＡＣＢ，可，当点Ｄ后文简称：

中，Ｄ为ＡＢ上一点，且有ＢＣ２＝ＢＤ?ＡＢ，则有△

得ＢＣ２＝ＢＤ?AB；反之，若△ＡＢＣ

ＣＤＢ∽△ＡＣＢ，可得到∠ＣＤＢ＝∠ＡＣＢ，或∠

ＤＣＢ＝∠Ａ。

（证明略）

三、应用

例１如图（３），已知：等腰三角形ＡＢＣ

中，ＡＢ＝ＡＣ，高ＡＤ、ＢＥ交于点Ｈ，求

证：４ＤＨ?ＤＡ＝ＢＣ２

分析：易证∠ＢＡＤ＝∠ＣＡＤ=900- ∠C ＝

∠ HBD，联想到射影定理变式（2），可得ＢＤ

２＝ＤＨ?ＤＡ，又ＢＣ＝２ＢＤ，故有结论成

立。

（证明略）

例２如图（４）：已知⊙Ｏ中，Ｄ为弧ＡＣ中点，过点Ｄ的弦ＢＤ被弦ＡＣ分为４和１２两部分，求ＤＣ。

分析：易得到∠ＤＢＣ＝∠ＡＢＤ＝∠ Ｄ

ＣＥ，满足射影定理变式（2）的条件，故

有ＣＤ２＝ＤＥ?ＤＢ，易求得ＤＣ＝８

（解略）

例3 已知：如图（5），△ＡＢＣ中，

ＡＤ平分∠ＢＡＣ，ＡＤ的垂直平分线交Ａ

Ｂ于点Ｅ，交ＡＤ于点Ｈ，交ＡＣ于点Ｇ，交ＢＣ的延长线于点Ｆ，

求证：ＤＦ２＝ＣＦ?Ｂ

证明：连ＡＦ，∵Ｆ垂直平分ＡＤ，

∴ＦＡ＝ＦＤ，ＦＡＤ＝∠ＦＤＡ，

∵ＡＤ平分∠ＢＦ

Ｈ

∠

Ａ

Ｃ，∴∠ＣＡＤ＝∠ＢＡＤ，

∴∠ＦＡＤ－∠ＣＡＤ＝∠ＦＤＡ－∠Ｂ Ａ

Ｄ，

∵∠Ｂ＝∠ＦＤＡ－∠ＢＡＤ，

∴∠ＦＡＣ＝∠Ｂ，又∠ＡＦ C 公共，

∴△ＡＦＣ∽△ＢＦＡ，∴ ＡＦ＝ C

Ｆ

， ２

＝ ＢＦ ＡＦ

ＣＦ ?ＢＦ。 ∴ＡＦ 射影定理练习 【选择题】 已知直角三角形 VABC 中，斜边 AB=5cm,BC=2c ，mD 为 AC 上的一点， DE AB

交 AB 于 E ，且 AD=3.2cm ，则 DE= （ 1.24cm 1.3cm

如图 1-1 ， 中六条线段中，你认为只要知道（ 就可以求

其他线段的长

2

２

ＣＦ ?ＢＦ，∴ＤＦ ２＝

1、

A

、

D 、 2

、

、1.26cm 、

1.28cm

在 Rt VABC 中，CD 是斜别 AB 上的高，在

图

）线段的长，

C 、3

D 、

在 Rt VABC 中， BAC 90o

，AD BC 于点 D ，若

AC 3

，则BD AB 4 CD

【解答题】

7 、已知 CD 是 VABC 的高，

3、 A 、

B 、

43

C

、16

9

D 、

9 16

4、如图 1-2 ，在矩形 ABCD

中，AC,

ADE 1

3

CDE ，则

EDB

(

A 22.5o

B

、

30o

C 、

45o

D 、 【填空题】 5 、

VABC 中，

CD=

60o

A 90o

， AD BC 于点

AC=

D ， A D=6， BD=12，

AB 2 :AC 2

6、如图 2-1，在 Rt VABC 中， ACB 90 则 BC= ．

，CD AB ，AC=6，AD=3.6，

DE CA, DF CB ，如图3-1 ，求证：VCEF∽VCBA

8、已知CAB 90o，AD CB ，VACE ，VABF 是正三角形，求证：DE DF

9、如图3-2 ，矩形ABCD中，

AB=a，M

是BC 的中点，DE AM ，E 是垂

足，求证：DE 4a22ab b2

10、如图，在Rt△ABC中，CD是斜边AB 上的高，点M 在CD上，DH⊥BM且与AC的延长线交于点E．求证：（1）△AED∽△CBM；

（2）AE?CM=A?CCD．

11、已知：如图，等腰△ABC中，AB=AC，AD⊥BC 于D，过点B做射线BG，交AD、AC于E、F 两点，与过点C平行于AB的直线交于点G。

求证：（1）BE2=EF?EG

（2）若过点B的射线交AD\AC 的射线ＡＤ、ＡＣ的延长线分别于Ｅ、Ｆ两点，与过C 平行于Ａ