误差及数理统计基础共64页文档
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第二章 误差理论基础
1.非线性特性近似地视 为线性
例：激光扫描测径仪
激光光束被工件遮挡 相当于计算电路中的 计数脉冲
•设多面棱镜的转速 和角速度为n，ω， 透镜6的焦距为f •认为激光光速的扫描速度是匀速的
v 2f 4nf
•实际上，在时间t内，光束转过了2 ωt角
y f tg(2t ) f tg(4nt)
第二章 误差理论基础
例：加工一个直径为7.5mm的轴，共150只，原材料相同，同 一台机床，同一个工人 结果：直径在7.4mm到7.5mm之间变化 影响因素： 机床误差：主轴的径向偏摆、导轨的直线度和平行度误差 等 夹具误差：夹具是否有偏心 刀具误差：定尺寸刀具的尺寸误差、刀具在加工过程中的 磨损 机床-刀具-工件的变形，即刚度 温度变形：刀具、机床、工件的温度变形 材料内应力的不均匀 调整误差：特别是自动机床 测量误差 人员误差 其它
则实际速度：
dy v0 4nf sec2 (4nt) dt y 4nf [1 tg 2 (4nt)] 4nf [1 ( ) 2 ] f
V0∝y，则可得到： 离光轴垂直距离越大，扫描速度越高 被遮挡的时间越短 读到的脉冲数越少 测得值总小于被测直径的实际值
原理误差
测量杆1感受被测工件2的尺寸变化 位移s经过一级杠杆传动（正弦机构） 和两级圆柱齿轮传动，使指针l偏转 角度φ 指针末端位移L的理论值
L l l s s sin ， arcsin , a a
z1 z3 z2 z4
机械测微仪的刻度方程式 L和s是非线性的
1 绝对误差
测得值x与被测量真值x0（或相对真值）之差
误差及分析数据的统计处理PPT课件
但空白值不可太大。
• (3) 校准仪器
•
→仪器不准确引起的系统误差，通过校准仪器来减小其影响。例如砝码、
移液管和滴定管等，在精确的分析中，必须进行校准，并在计算结果时采用校
正值。
2021年7月17日
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第二章 误差及分析数据的统计处理
• (4)标准加入法（加入回收法）：测定某组分含量（x1），加入已知量的该组 分（x2），再次测定其组分含量为（x3），由回收试验所得数据可以计算出回 收率。
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第二章 误差及分析数据的统计处理
• ◎零的作用
•
在1.0008中，“0” 是有效数字；
•
在0.0382中，“0”定位作用，不是有效数字；
•
在0.0040中，前面3个“0”不是有效数字，后面一个“0”是有效数字。
•
在3600中，一般看成是4位有效数字。
•
倍数、分数关系：无限多位有效数字。
以下，试样质量必须在0.2 g以上。 • →滴定管读数常有±0.0l mL的误差，在一次滴定中，读数两次，可能造成
±0.02 mL的误差。为使测量时的相对误差小于0.1%，消耗滴定剂的体积必须 在20 mL以上，最好使体积在25 mL左右，一般在20至30mL之间。
2021年7月17日
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第二章 误差及分析数据的统计处理
• 4分析化学中数据记录及结果表示 • →记录测量结果时，只保留一位可疑数据 • →分析天平称量质量：0.000Xg • →滴定管体积: 0.0X mL • →容量瓶: 100.0mL, 250.0mL, 50.0mL • →吸量管, 移液管: 25.00mL，10.00mL，5.00mL，1.00mL • →pH: 0.0X 单位 • →吸光度: 0.00X
数理统计基础
的一个样本, 试求下列统计量的分布:
Y
X12
X
2 3
X2 2n1
X
2 2
X
2 4
X
2 2n
.
解 X1 , X 2 ,, X 2n 相互独立, 且均服从 N (0, 2 ) , 则
( X i )2 , i 1,2,,2n 相互独立,且均服从 2 (1) ,
由 2 分布的可加性,知
U ( X1 )2 ( X3 )2 ( X2n1 )2 ~ 2(n) ,
方差 S 2 , 有 E( X ) , D( X ) 2 ， E(S 2 ) 2 .
n 证 X1, X 2 ,, Xn 相互独立,且与总体 X 同分布,故有
E( X i ) E( X ) , D( X i ) D( X ) 2 , i 1,2,, n
所以
E( X )
E( 1 n
n i 1
(Xi
X
)2
1 n1
n
(
i 1
X
2 i
nX
2)
n
n
推导：
(Xi X )2
(
X
2 i
2Xi
X
X
2)
i 1
i 1
n
n
n
X
2 i
2X
Xi
X2
i 1
i 1
i 1
n
n
X
2 i
2X
nX
nX
2
X
2 i
nX
2
.
i1
i1
14
样本k阶原点矩 样本k阶中心矩
Ak
1 n
n i 1
X
k i
，
1. 代表性： X1,X2,…,Xn中每一个与所考察的总体 有相同的分布. 2. 独立性： X1,X2,…,Xn是相互独立的随机变量. 由简单随机抽样得到的样本称为简单随机样本，
Y
X12
X
2 3
X2 2n1
X
2 2
X
2 4
X
2 2n
.
解 X1 , X 2 ,, X 2n 相互独立, 且均服从 N (0, 2 ) , 则
( X i )2 , i 1,2,,2n 相互独立,且均服从 2 (1) ,
由 2 分布的可加性,知
U ( X1 )2 ( X3 )2 ( X2n1 )2 ~ 2(n) ,
方差 S 2 , 有 E( X ) , D( X ) 2 ， E(S 2 ) 2 .
n 证 X1, X 2 ,, Xn 相互独立,且与总体 X 同分布,故有
E( X i ) E( X ) , D( X i ) D( X ) 2 , i 1,2,, n
所以
E( X )
E( 1 n
n i 1
(Xi
X
)2
1 n1
n
(
i 1
X
2 i
nX
2)
n
n
推导：
(Xi X )2
(
X
2 i
2Xi
X
X
2)
i 1
i 1
n
n
n
X
2 i
2X
Xi
X2
i 1
i 1
i 1
n
n
X
2 i
2X
nX
nX
2
X
2 i
nX
2
.
i1
i1
14
样本k阶原点矩 样本k阶中心矩
Ak
1 n
n i 1
X
k i
，
1. 代表性： X1,X2,…,Xn中每一个与所考察的总体 有相同的分布. 2. 独立性： X1,X2,…,Xn是相互独立的随机变量. 由简单随机抽样得到的样本称为简单随机样本，
2 误差及数理统计基础
t值的计算用下式：
t x1 x2
1 1 s n1 n2
式中n1和n2分别为两样本的容量. t 的自由度为n1+n2-2. 如果tt（，f）， 则否定原假设，即两种方法所得结 果有显著性差异. t（，f）为显著性 水平是、自由度是f的查表值.
4
如用两种方法测定植物中硼，结果为： 分光光度法（ug/g）: 均值=28.0; 标准偏差=0.3 荧光光度法（ug/g）: 均值=26.25; 标准偏差=0.23
显著性差异的判断。
2
§1.6.1 显著性水平
显著性检验离不开预设的小概率，例如正态分布的测量值 落到区间 [ 2 ] 以外的概率小于0.05, 落到 区间
[ 3 ] 以外的概率小于0.01。
在概率论中，小概率的原则是：如果一个事件发生的概率 很小，那么在一次试验中，实际上可把它看成不可能发生 的事件。如果某个小概率事件竟然发生了，则认为这是一 反常现象。小概率越小就越显得异常，所以此小概率在显 著性检验中称为显著性水平。反映的是显著差异的程度， 通常在0.05以下便认为是显著。 Matlab函数：pdf，cdf
有两种情况: 一是我们希望知道是否方法A比方 法B更精密（单尾检验）；二是拟知道方法 A与 方法B的精密度上有否差别（双尾检验）. 在第 一种情况下是假定方法 A不会比方法 B精密；在 第二种情况下，比较的是两种方法的相对精密 度. 很清楚，假若我们希望测试一种新的方法是 否比已有的标准方法更精密，则用单尾检验； 假若我们希望比较两种标准偏差是否有显著性 差异，则用双尾检验. F检验的表达方式为：
3
4
50
60
48
57
若沿用上述算法去直接比较两种方法的均值是不适合的，因为 测试结果的差异有可能由于本试样不同所导致。
1 误差与数理统计
18
分析结果的表示：
μ=
+s
μ=
19
2. 显著性检验
2-1 显著性水平
在实际应用中仅估计总体的值还不够,常常需要说明两个样 本的均值差异是否显著到不能代表同一总体. 在实验结果的评估中, 显著性检验广为采用. 该类统计推断 都是先提出假设, 然后按照某种逻辑在一定概率上做出是 否有显著性差异的推断. 在概率论中，小概率的原则是，如果一个事件发生的概率 很小，那末在一次实验中，实际上可把它看成不可能发生 的事件。如果某个小概率事件竟然发生了，则认为这是一 反常现象。小概率越小就越显得异常，此小概率在显著性 检验中称为显著性水平α。α在0.05以下便认为是显著。
单尾检验：若Fn1-1,n2-1 F临界，则有显著性差异， 方法2比方法1具有更高的精密度。 双尾检验：若 Fn1-1,n2
-1
F
临界，两种方法的s1和s2
31
具有显著性差异。
例1-6 测定废水中的氧，n1 = n2 = 8，结果为
1 2 3 4
t值 置信概率P/ 95%
12.71 4.3 3.18 2.78
置信概率P/ 99%
63.66 9.92 5.84 4.60
5
10 18 20
2.57
2.32 2.10 2.09
4.03
3.17 2.88 2.85
30
50 100
2.04
2.01 1.98 z =1.96
2.75
2.68 2.63 z = 2.58
解： s2＝（9×0.32＋9×0.232）／18=0.0715, s ＝0.267
t =（28.0- 26.25）／[0.267 ×(0.1+0.1)1/2 ]＝14.7 自由度为18，α = 0.05，查表得的临界值为2.1。
第二章误差理论及数理统计
这 组 测 量 数 据 中 的 最 大 值 x m a x ＝ 2 8 . 4 3 , 最 小 值 x m i n ＝ 2 8 . 3 0 。
在数据处理中，只提出母体参数的无偏估值还是不够的，因为任何 一种估计，如果不附以某种偏差范围及在此区间内包含参数X真值的可靠 程度（或置信概率），是没有多大意义的。
设 有 一 组 服 从 正 态 分 布 的 数 据 X ， 子 样 容 量 为 n， 子 样 平 均 值 x为， 母 体 真 值 为 a， 标
例2.1 已知x ~ N(2,42)，求F（4）。
解：令
利用Excel计算
Z x 42 1 42
查表得： (1) 0.69146
2
图例说明
所以
F(4) (1) 0.69146。 2
（b）关于F(ak1 x ak2 )的计算：
2
f (Z)
落在此区间中的 概率为68.26%
-1 o
1
Z
标准正态分布示意图
n
n
x
x
n
2.1.2 随机误差的数理统计
（1）母体和子样
数理统计中将研究对象的全体称为母体，组成母体的每一个单元称 为子样。工程试验的重要任务就是从子样的试验中得到关于母体的结论。
（2）统计量与无偏估计
通过有限的子样观测值来计算母体最可信赖的平均值及方差，这种由 子样计算出来的特征量又称作统计量，而统计量是随机变量，当子样容量 足够大时（一般n＞30），完全可以用子样的参数估计出母体参数（称为 点估计），子样平均值可以代表母体平均值A，子样方差s可以代表母体方 差σ，这统称为母体参数的无偏估值。
2 n 2 k
（ 2 - 1 0 ）
F ( x ) 1 1 2 n 1 2 n 2 n
在数据处理中，只提出母体参数的无偏估值还是不够的，因为任何 一种估计，如果不附以某种偏差范围及在此区间内包含参数X真值的可靠 程度（或置信概率），是没有多大意义的。
设 有 一 组 服 从 正 态 分 布 的 数 据 X ， 子 样 容 量 为 n， 子 样 平 均 值 x为， 母 体 真 值 为 a， 标
例2.1 已知x ~ N(2,42)，求F（4）。
解：令
利用Excel计算
Z x 42 1 42
查表得： (1) 0.69146
2
图例说明
所以
F(4) (1) 0.69146。 2
（b）关于F(ak1 x ak2 )的计算：
2
f (Z)
落在此区间中的 概率为68.26%
-1 o
1
Z
标准正态分布示意图
n
n
x
x
n
2.1.2 随机误差的数理统计
（1）母体和子样
数理统计中将研究对象的全体称为母体，组成母体的每一个单元称 为子样。工程试验的重要任务就是从子样的试验中得到关于母体的结论。
（2）统计量与无偏估计
通过有限的子样观测值来计算母体最可信赖的平均值及方差，这种由 子样计算出来的特征量又称作统计量，而统计量是随机变量，当子样容量 足够大时（一般n＞30），完全可以用子样的参数估计出母体参数（称为 点估计），子样平均值可以代表母体平均值A，子样方差s可以代表母体方 差σ，这统称为母体参数的无偏估值。
2 n 2 k
（ 2 - 1 0 ）
F ( x ) 1 1 2 n 1 2 n 2 n
2章误差及数据
0.1 100% 20% 0.5000
3、有效数字位数的确定
（1）.数字前的0不计,数字后的计入
0.02450(4位)
（2）. 数字后的0含义不清楚时, 最好用指数形式表 示 :1000 (1.0×103 ，1.00×103, 1.000 ×103 )
（3）. 自然数可看成具有无限多位数(如倍数关系、 分数关系)；常数亦可看成具有无限多位数，
再检验6.82
Q =（ 6.82 – 6.32）/（6.82 - 6.02）= 0.63 0.63 > Q0.90,n=6（0.56）,舍弃6.82
2020年5月23日12 时35分
3.t 检验法（平均值和标准值比较）
用于检验分析方法是否可靠，是否有足
够的准确度，常用已知含量的标准试样
进行比较，将测定的平均值与标样的已
对照试验：用已知溶液代替未知溶液， 在相同条件下试验。
空白试验：用蒸馏水代替未知溶液，在相同 条件下试验。所得结果称为空白值。
是否存在系统误差，常常通过回收试验加以检查。
2020年5月23日12 时35分
在测定试样某组分含量（ χ1 ）的基础上，加 入已知量的该组分（ χ2 ），再次测定其组分含量 （χ3）。由回收试验所得数据计算出回收率。
2020年5月23日12 时35分
不可校正，无法避免，服从统计规律 克服：通过增加测定次数予以减小，
不存在系统误差的情况下，测定次数越多 其平均值越接近真值。一般平行测定4-6次
3、过失误差：违反操作规程或粗心大意造成。 如读错，记录错，计算错，溶液溅失， 沉淀穿滤，试剂加错等。 消除：测定结果弃取，重作
2020年5月23日12 时35分
2.有效数字的组成
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误差及数理统计基础
6、纪律是自由的第一条件。——黑格 尔 7、纪律是集体的面貌，集体的声音， 集体的 动作， 集体的 表情， 集体的 信念。 ——马 卡连柯
8、我们现在必须完全保持党的纪律， 否则一 切都会 陷入污 泥中。 ——马 克思 9、学校没有纪律便如磨坊没有水。— —夸美 纽斯
10、一个人应该：活泼而守纪律，天 真而ห้องสมุดไป่ตู้ 幼稚， 勇敢而 鲁莽， 倔强而 有原则 ，热情 而不冲 动，乐 观而不 盲目。 ——马 克思
谢谢！
36、自己的鞋子，自己知道紧在哪里。——西班牙
37、我们唯一不会改正的缺点是软弱。——拉罗什福科
xiexie! 38、我这个人走得很慢，但是我从不后退。——亚伯拉罕·林肯
39、勿问成功的秘诀为何，且尽全力做你应该做的事吧。——美华纳
40、学而不思则罔，思而不学则殆。——孔子
6、纪律是自由的第一条件。——黑格 尔 7、纪律是集体的面貌，集体的声音， 集体的 动作， 集体的 表情， 集体的 信念。 ——马 卡连柯
8、我们现在必须完全保持党的纪律， 否则一 切都会 陷入污 泥中。 ——马 克思 9、学校没有纪律便如磨坊没有水。— —夸美 纽斯
10、一个人应该：活泼而守纪律，天 真而ห้องสมุดไป่ตู้ 幼稚， 勇敢而 鲁莽， 倔强而 有原则 ，热情 而不冲 动，乐 观而不 盲目。 ——马 克思
谢谢！
36、自己的鞋子，自己知道紧在哪里。——西班牙
37、我们唯一不会改正的缺点是软弱。——拉罗什福科
xiexie! 38、我这个人走得很慢，但是我从不后退。——亚伯拉罕·林肯
39、勿问成功的秘诀为何，且尽全力做你应该做的事吧。——美华纳
40、学而不思则罔，思而不学则殆。——孔子