坐标系中的平行四边形精编版
学案：平面直角坐标系中平行四边形的存在性问题
平面直角坐标系中平行四边形的存在性问题一、平面内已知三个点（不共线），作第四个点构成平行四边形.1、已知平面内A 、B 、C 三点.（1） 求作D 点，使四边形ABCD 为平行四边形；（2） 求作D 点，使A 、B 、C 、D 为顶点的四边形是平行四边形.二、平面直角坐标系中已知三个顶点的坐标，求第四个顶点的坐标.2、如图，在平面直角坐标系中，若以A （2,3）、B （1,1）、C （4,1）、D 四点为顶点的四边形是平行四边形，求D 点的坐标.变式：若将C 点坐标改成（4,0），其余不变，求D 点的坐标.B C三、平面直角坐标系中已知平行四边形两个顶点的坐标，探求另两个点的坐标.例题1：已知，在平面直角坐标系中，A(2，4)、B(4，2)，试在直线y=2x 上找一点C ，在x 轴上找一点D ，使A 、B 、C 、D 为顶点的四边形是平行四边形.例题2：如图，抛物线322--=x x y 与x 轴交A(-1,0)，直线l ：y=-x-1与抛物线交于A 、C(2,-3) 两点，点G 是抛物线上的动点，在x 轴上是否存在点F ，使A 、C 、F 、G 这样求出．．所有满足条件的F 点坐标；如果不作业：1、已知抛物线c bx ax y ++=2)0(≠a 过点)0,3(-A ,)0,1(B ,)3,0(C 三点(1)求抛物线的解析式；(2)抛物线的顶点为P ， 若以A 、P 、C 、M 为顶点的四边形是平行四边形，求点M 的坐标.2、已知C 、D 在直线y=x+1的图像上，且D 点的横坐标比C 点的横坐标大2，点E 、F 在二次函数231y x x =-+的图像上，且CE 、DF 与y 轴平行，当以C 、E 、D 、F 为顶点的四边形是平行四边形，求点C 的坐标.xyO3、在平面直角坐标系中，已知抛物线c x x y ++=2-2过点A(-1，0)，直线343:+-=x y L 与x 轴交于点B ，与y 轴交于点C ，与抛物线的对称轴交于点M ，抛物线的顶点为D.（1） 求抛物线的解析式及顶点D 的坐标；（2） 若N 为直线L 上一动点，过点N 作x 轴的垂线与抛物线交于点E ，问：是否存在这样的点N ，使得以点D 、M 、N 、E 为顶点的四边形为平行四边形？若存在，求出点N 的横坐标；若不存在，请说明理由.4、如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线经过A (－4，0)、B (0，－4)、C (2，0)三点．y ＝－x 上的动点，判断有几个位置能使Q 的坐标．。
直角坐标系中平行四边形对角线法则
直角坐标系中平行四边形对角线法则1. 直角坐标系简介直角坐标系是一种用于描述平面上点的坐标的系统。
它由两个垂直的数轴组成，通常称为x轴和y轴。
在直角坐标系中，每个点都可以表示为一个有序对(x, y)，其中x表示横坐标，y表示纵坐标。
2. 平行四边形简介平行四边形是一种具有特殊性质的四边形。
它的对边是平行且相等长度的，对角线互相平分，并且对角线互相垂直。
3. 平行四边形对角线法则在直角坐标系中，平行四边形的两条对角线可以用以下法则来计算其长度和方向。
3.1 对角线长度设平行四边形的顶点分别为A(x1, y1)，B(x2, y2)，C(x3, y3)和D(x4, y4)。
则对角线AC和BD的长度分别为：AC = √((x3 - x1)^2 + (y3 - y1)^2)BD = √((x4 - x2)^2 + (y4 - y2)^2)3.2 对角线方向设平行四边形的顶点分别为A(x1, y1)，B(x2, y2)，C(x3, y3)和D(x4, y4)。
则对角线AC的方向向量为：AC = (x3 - x1, y3 - y1)对角线BD的方向向量为：BD = (x4 - x2, y4 - y2)注意：方向向量是一个有方向和大小的矢量，可以用来表示直线的倾斜程度和方向。
4. 证明平行四边形对角线法则下面我们来证明平行四边形对角线法则。
4.1 对角线长度证明首先，我们可以将平行四边形划分为两个相等的三角形ABC和ABD。
根据勾股定理，我们知道三角形ABC和ABD的斜边长度分别为AC和BD。
根据直角坐标系中两点之间距离公式可得：AC = √((x3 - x1)^2 + (y3 - y1)^2)BD = √((x4 - x2)^2 + (y4 - y2)^2)因此，平行四边形的两条对角线的长度可以通过计算这两个式子来得到。
4.2 对角线方向证明我们知道，直线上两点之间的连线可以表示该直线的一个方向。
因此，我们可以通过计算两个顶点的坐标差来得到对角线的方向向量。
坐标系中的平行四边形共15页
41、学问是异常珍贵的东西，从任何源泉吸 收都不可耻。——阿卜·日·法拉兹
42、只有在人群中间，才能认识自 己。——德国
43、重复别人所说的话，只需要教育； 而要挑战别人所说的话，则需要头脑。—— 玛丽·佩蒂博恩·普尔
44、卓越的人一大优点是：在不利与艰 难的遭遇里百折不饶。——贝多芬
45、自己的饭量自己知道。——苏联
坐标系中的平行四边形
56、极端的法规，就是极端的不公。 ——西 塞罗 57、法律一旦成为人们的需要，人们 就不再 配享受 自 了公共 的利益 ；一部 分靠有 害的强 制，一 部分靠 榜样的 效力。 ——格 老秀斯 59、假如没有法律他们会更快乐的话 ，那么 法律作 为一件 无用之 物自己 就会消 灭。— —洛克
第6章平行四边形 题型解读7 直角坐标系中的平行四边形-2020-2021学年北师大版八年级数学下册
《平行四边形》题型解读7 直角坐标系中的平行四边形【知识梳理】： 1.总体解题分析思路线：2.常见添辅助线方法：①过平行四边形顶点作坐标轴的垂线段，把点的坐标转化成线段长； ②连接对角线，利用中点坐标公式求解点的坐标；【典型例题】例1.已知如图，平行四边形ABCD 的边AB 在轴上，顶点D 在轴上，AD=4，AB=5，点A 的坐标为（-2，0），则 点B 的坐标为____________, 点C 的坐标为____________, 点D 的坐标为____________ 【解题过程】作CE ⊥x 轴，∵点A 的坐标为（-2，0），∴OA=2，∵四边形ABCD 是平行四边形，∴AD=BC=4,AB=CD=5,∴OB=3,∴BE=2,在Rt △OAD 中，由勾股定理可得OD=2√3,∵∠DAO=∠CBE,OA=BE=2,∠AOD=∠CEB=90º,∴△AOD ≌△BEC,∴CE=OB=2√3,∴B(3,0)、D(0,2√3)、C(5,2√3).例2.如图，在平面直角坐标系中，AB//OC ，A （0，12），B （a,12），C （b,0），且满足b =√a −21+√21−a +16. 动点P 从点A 出发，在线段AB 上以每秒2个单位长度的速度向点B 运动；动点Q 从点O 出发在线段OC 上以每秒1个单位长度的速度向点C 运动，点P 、Q 同时出发，当点P 运动到点B 时，点Q 随之停止运动.设运动时间为t （秒）. （1）求B ，C 两点的坐标；（2）当t 为何值时，四边形PQCB 是平行四边形？请求出此时P ，Q 两点的坐标； （3）当t 为何值时，△PQC 是以PQ 为腰的等腰三角形？并求出P 、Q 两点的坐标.【解题过程】（1）∵b =√a −21+√21−a +16，∴√a −21≥0，√21−a ≥0，∴a=21,∴b=16,∴B(21,12)、C(16,0)； （2）如图1，由题可知：AP=2t,PB=21-2t ，OQ=t,QC=16-t ，∵当四边形PQCB 是平行四边形时，∴PB=QC ，即21-2t=16-t ，解得t=5，此时AP=10,OQ=5，∵AB//OC ，∴点B 、P 的纵坐标相同，∴P(10,12)、Q(5,0)。
初中数学坐标系中的平行四边形公开课PPT课件
谢谢大家
思维碰撞
3. 已知在坐标平面内一点A（-2，4），O为坐标原点，双曲线
y=6/x上是否存在两点M,N（M位于N的左侧），使得以O,A,M,N
四点为顶点的四边形为平行四边形？若存y在，求出M,N的坐标；
若不存在，请说明理由。
A（-2,4）
O
x
课堂小结
这节课，我们解决了一类怎样的问题？
我们是如何解决的？
坐标系中的平行四边形
课前热身
P1
P2
O P （ 2 ， -1 ）
O P0，2），C（3，t），若存在一点P，使得以 A,B,C,P为顶点的四边形是平行四边形，你能求出点P的坐标吗？
C（3，t） B
A
举一反三
1. 已知点B（2，0）和直线y=-x+3，点C在y轴上，点P在直线 y=-x+3上，若以O,B,C,P为顶点的四边形是平行四边形，求出符 合条件的点的P坐标。
坐标系中的平行四边形
拓展：（2010天津改编）在平面直角坐标系中，矩形OABC 的顶点O在坐标原点，顶点A、B分别在x轴、y轴的正半轴 上，OA =3,OB=4，D为边OB的中点. （Ⅱ）若E、F为边OA上的两个动点，且EF=2，当四边形 CDEF的周长最小时，求点E、F的坐标.
分析：由于DC、EF的长为定值，如果四边形 CDEF的周长最小，即DE+FC有最小值．为此， 作点D关于x轴的对称点D'，在CB边上截取 CG=2，当点E在线段D′G上时，四边形CDEF的 周长最小．
变式三 在平面直角坐标系中，以（0，0），（2，2）， （6， 0）为顶点作平行四边形.求第四个顶点的坐标.
E (-4,2)
C
B (8,2) A D(4,-2)
o
2.（2010鄂州）如图，正方形OABC的边长为6， 点A、C分别在x轴、y轴的正半轴上，点D(2， 0)在OA上，P是OB上一动点，则PA＋PD的最小 值为______________.
拓展：（2010天津改编）在平面直角坐标系中，矩形OABC 的顶点O在坐标原点，顶点A、B分别在x轴、y轴的正半轴 上，OA =3,OB=4，D为边OB的中点. （Ⅰ）若E为边OA上的一个动点，当△CDE的周长最小时， 求点E的坐标；
分析：由于C、D是定点，则CD是定值，如果△CDE的周长最 小，即DE+CE有最小值．为此，作点D关于x轴的对称点D'， 当点E在线段CD′上时，△CDE的周长最小；
平行四边形的复习
坐标系中的平行四边形
问题是数学的心脏，方法是数学的 行为，思想是数学的灵魂。 ——美国数学家哈尔莫斯
比学、评学
问题1：填写图中特殊四边形顶点的坐标.
y y
B(0,a)
坐标系中的平行四边形
F1(1,0) F2(-3,0) F3(4+ ,0)7 F4(4- ,07)
(-1,0)
(2,-3)
LOGO
小结：
LOGO
一个规律: 坐标系中平行四边形
对角线两个顶点的横坐标之和相等; 对角线两个顶点的纵坐标之和相等.
两种思想：
1.分类讨论思想
2.方程思想
LOGO
LOGO
(1, 3 3)
(2,0)
解:⑴把A(2,0)代入 y ax2 2 3x ,
LOGO
得:a= 3
由题意:OA∥BC,而
OA=2,C(1, 3 3 )
∴B(3, 3 3)
∵ y 3x2 2 3x
x+1=2+0
∴顶点D(1, 3)
②当P→D： 0- 3 =0+y
(2) ∵A(2,0),D(1, 3)
y x2 2x 3 与x轴L交OGAO
、B两点（A点在B点左侧），直线与抛物
线交于A、C两点 ，其中C点的横坐标为2．
（1）求A、C两点的坐标；
（2）若点G抛物线上的动点，在x轴上是否存在点F，使A、 C、F、G这样的四个点为顶点的四边形是平行四边形？如果 存在，求出所有满足条件的F点坐标；如果不存在， 请说明理由．
）A
A、2
B、3 C、4
D、5
y
B1(a,2) B(0,1)
a+2=0+3 ∴a=1 1+b=2+0 ∴b=1 A1(3,b)
0
A(2,0)
x
LOGO
变式一：如图：求点D的坐标,使以A、B、C、
D为顶点的四边形为平行四边形。
(-2,5) D2
y
平面直角坐标系平行四边形对角线公式
平面直角坐标系平行四边形对角线公式摘要：一、引言二、平面直角坐标系的定义三、平行四边形的性质四、对角线公式推导五、公式应用及结论正文：一、引言在平面几何中，平面直角坐标系是一个基本的概念，它由横坐标和纵坐标组成。
平行四边形是平面几何中一种特殊的四边形，其对角线具有特殊的性质。
本文将介绍平面直角坐标系平行四边形对角线公式及其应用。
二、平面直角坐标系的定义平面直角坐标系是一个由横坐标和纵坐标组成的直角坐标系，通常以x 轴和y 轴表示。
坐标系的原点称为坐标原点，横坐标表示点在x 轴上的位置，纵坐标表示点在y 轴上的位置。
三、平行四边形的性质平行四边形是一个四边形，其中对边两两平行。
平行四边形的对角线具有以下性质：1.对角线互相平分；2.对角线交点将四边形分成两个全等三角形。
四、对角线公式推导假设平行四边形的四个顶点分别为A(x1, y1)、B(x2, y1)、C(x2, y2) 和D(x1, y2)，对角线AC 和BD 相交于点E。
根据向量运算，可以得到：AC = (x2 - x1, y2 - y1)BD = (x2 - x1, y2 - y1)由于AC = BD，所以有：x2 - x1 = x2 - x1y2 - y1 = y2 - y1五、公式应用及结论平面直角坐标系平行四边形对角线公式可以用于计算平行四边形的对角线长度、交点坐标等。
通过以上推导，我们可以发现，平行四边形的对角线具有互相平分和交点将四边形分成两个全等三角形的性质。
这些性质在解决一些平面几何问题时非常有用。
总之，平面直角坐标系平行四边形对角线公式是一个基本的几何公式，掌握它有助于解决平面几何问题。
坐标系中的平行四边形洋葱数学
坐标系中的平行四边形洋葱数学
平行四边形是一个具有两对平行边的四边形。
洋葱数学是一种几
何问题，涉及到平行四边形的特性和性质。
在一个坐标系中，我们可以使用数学表达式来描述平行四边形的
性质。
一个平行四边形的顶点可以由四个坐标 (x1, y1), (x2, y2), (x3, y3), (x4, y4) 表示。
其中，两对对边分别是平行的，即线段
(x1, y1)-(x2, y2) 平行于线段(x3, y3)-(x4, y4)，线段(x2, y2)-
(x3, y3) 平行于线段(x4, y4)-(x1, y1)。
平行四边形的性质可以通过其边长、角度和对角线之间的关系来
描述。
例如，平行四边形的对边长度相等，对角线互相平分，并且对
角线交点的中点是四边形中心。
通过使用数学定理和公式，我们可以解决关于平行四边形的各种
问题。
例如，我们可以计算平行四边形的面积、周长和对角线的长度。
另外，我们也可以利用平行四边形的特性来证明其他几何问题。
总之，平行四边形是几何学中的一个重要概念，它在坐标系中扮
演着重要角色。
通过理解和应用平行四边形的性质，我们可以解决各
种几何学问题，并推广到更复杂的几何形状中。
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A(a,b) D(e,b)
o
x
图3
（2）观在察图图2中1,2，,3给,你出能平发行现四平边行形四A边BC形D的的四顶个点顶A点，的B，D 的坐标， 横写坐出标图,2纵中坐的标顶之点间C的关坐系标吗是（？__c+_e_,_d）___
（3）的在坐图标对对3，中角角写，线线出给两两图出个个3平顶顶中行点点的四的的顶边横纵点形坐坐CA的标标B坐之之C标和和D的是相相顶（_等等_e点;_.-a_A+_c，_,d_B）_，D
y
B1(a,2) B(0,1)
a+2=0+3 ∴a=1 1+b=2+0 ∴b=1
A1(3,b)
0
A(2,0)
x
变式一：如图：求点D的坐标,使以A、B、C、 D为顶点的四边形为平行四边形。
(-2,5) D2
y
(3,7）
A
●
D1 (8,9)
● C（6,4）
●
B(1,2)
o
x
D3 (4,-1)
当图形的顶点位置不确定时， 要进行分类讨论。
C（ xC ，yC），D（ xD，yD）时，
则:四个顶点的 横坐标之间的等量关系为 XA+XC=XB+XD ；
纵坐标之间的等量关系为 yA+yC=yB+yD .
y
（xB,yB）
（xA,yA）
（xC,yC）
（xD,yD）
o
x
1、如图,在平行四边形ABB1A1中A、B的坐标分别 （2,0）,（0,1），则a+b的值为（ A ） A、2 B、3 C、4 D、5
变式二：如图：将△ABC绕AC的中点P旋转 180°，点B落到点 B’的位置，求点B’的坐标；
(8,9)
y
A(C’)
(B’)
(3,7）● ● P
Hale Waihona Puke ● C (A’)●
（6,4）
B (1,2)
o
x
（07中考绍兴24题）如图，在平面直角坐标系中，O为原
点，点A、C的坐标分别为（2，0）、（1，3 3）．将
△OAC绕AC的中点旋转180°，点O落到点B的位置．抛物
线 y ax2 2 3x 经过点A，点D是该抛物线的顶点．
(1) 求a的值，点B的坐标及顶点D的坐标； (2) 若点P是x轴上一点，以P、A、D为顶点作平行四边形， 该平行四边形的另一顶点F在y轴上．写出点P的坐标(直接 写出答案即可)．
设P(x,0),F(0,y) ①当P→A x+2=1+0
0+0=y- 3
∴ x=-1
x=1
∴ y=- 3 ∴p2(1,0)
③当P→F： x+0=2+1
y+0=0- 3
∴
x=3 y=-
3
∴p3(3,0)
y= 3
∴p1(-1,0)
∴存在点p1(-1,0), p2(1,0), p3(3,0)满足条件.
(07义乌）如图，抛物线
F1(1,0) F2(-3,0)
(-1,0)
F3(4+ 7,0) F4(4- 7 ,0)
(2,-3)
小结：
一个规律: 坐标系中平行四边形
对角线两个顶点的横坐标之和相等;
对角线两个顶点的纵坐标之和相等.
两种思想：
1.分类讨论思想 2.方程思想
探究二:
对角线两个顶点的横坐标之和相等;
对角线两个顶点的纵坐标之和相等.
y
(c,d)B
(Aa,b)
o 图4
C’ (e-a+c,d+m) mC (e-a+c,d)
D’ (e,b+m)
m
D (e,b)
x
归纳与发现
（3）通过对图1，2，3，4的观察，你会发现： 无论 平行四边形ABCD处于直角坐标系中哪个位置，当其 顶点坐标为A（xA，yA），B（ xB ，yB），
y x2 2x 3 与x轴交A、
B两点（A点在B点左侧），直线与抛物
线交于A、C两点 ，其中C点的横坐标为2．
（1）求A、C两点的坐标；
（2）若点G抛物线上的动点，在x轴上是否存在点F， 使A、C、F、G这样的四个点为顶点的四边形是平 行四边形？如果存在，求出所有满足条件的F点坐标； 如果不存在， 请说明理由．
(1, 3 3 )
(2,0)
解:⑴把A(2,0)代入 y ax2 2 3x ,
得:a= 3
由题意:OA∥BC,而
OA=2,C(1, 3 3 )
∴B(3, 3 3)
∵ y 3x2 2 3x
x+1=2+0
∴顶点D(1, 3)
②当P→D： 0- 3 =0+y
(2) ∵A(2,0),D(1, 3)
探究—— 坐标系中平行四边形顶点的问题
1.（1）在图1中，给出平行四边形ABCD的顶点A，B，D 的坐标， 写出图1中的顶点C的坐标是__（_5_,_2_）__
y
y
y
B(1,2) C（5,2） B(c,d) C（c+e,d）
B(c,d) C（e-a+c,d
o(A) D(4,0) x 图1
o(A) D(e,0)x 图2