最 优 控 制 教 案2.2 泛函与变分的基本概念

2.2 泛函与变分的基本概念
2.2.1 泛函
函数：对应于定义域中的每一个x 值， y 都有一值与之对应，则称y 是x 的函数，记作 y =f (x)。

x — 自变量。

函数是变量与变量之间的关系。

泛函：如果对于变量x ，存在一类函数{y (x )}，对于每一个函数y (x )，某变量J 都有一确定值与之对应，则称变量J 是函数y (x )的泛函，记作 J=J[y (x )]。

y — 宗量。

泛函是函数与变量之间的关系，可理解为“函数的函数”。

例，连接平面上A,B 两点的弧长是一泛函。

① 泛函宗量的增量
泛函J 的宗量y 的增量，指两函数间的差0()()y y x y x δ=−，其中y(x)是y 0(x)领域内与y 0(x)属同一函数类的任意函数。

② 泛函的连续性
函数连续：若对于x 的微小变化，有函数f (x)的微小变化与之对应，则说f (x)是连续。

泛函连续：若对于y(x)的微小变化，泛函J 的变化也很微小，则说泛函J 是连续。

曲线y(x)与曲线 y 0(x)
21222
[()]x x dl dx dy J y x l =+===∫y 1012()()()y x y x x x x ε−≤≤≤具有零阶相近度 012012()()()()()()y x y x x x x y x y x x x x εε−≤≤≤−≤≤≤ 具有一阶相近度 例，1110001()(),;()cos ,cos sin12J x t dt x t t J tdt x t t J tdt =======∫∫∫当当
③ 线性泛函
2.2.2 泛函的变分
函数微分 ←→ 泛函变分
函数y =f (x)， 增量表示为：()()()(,)y f x x f x y
x x r x x Δ=+Δ−=Δ+Δ
当0x Δ→时，第二项可以忽略。

第一项叫做函数增量的线性主部，即函数的微分，记作：
()()dy y
x dx f x dx ′==
参照函数微分的定义，泛函变分定义如下：
若泛函宗量的增量 0()()y y x y x δ=−
连续泛函[()]J y x 的增量可表示为
[()][()][(),][(),]J J y x y J y x L y x y r y x y δδδΔ=+−=+
第一项为泛函增量的线性主部,称为泛函的变分，记作 [(),]J L y x y δδ=
定理2.1 泛函J[y(x)] 的变分 0[()]J J y x y εδεδε=∂=+∂
1212()()()()(),J x x J x J x J x J x R ααα+=+=∈泛函J 连续 第一项为x Δ的线性函数 第二项为x Δ的高阶无穷小 第一项为y δ的线性泛函 第二项为y δ的高阶无穷小
例，120()J x t dt =∫求泛函的变分 解: 泛函的增量为 {}11220012011200[()()]()[2()()[()]2()()[()]J x t x t dt x t dt x t x t x t dt x t x t dt x t dt δδδδδΔ=+−=+=+∫∫∫∫∫ 泛函的变分 1
02()()J x t x t dt δδ=∫
例2.821[,(),()]x x J F x y x y x dx =∫ 求泛函的变分
212100[][,,]()x x x x J J y y F x y y y y dx F F y y dx y y εεδεδε
εδεδε
δδ==∂=+∂∂=++∂∂∂=+∂∂∫∫
2.2.3 泛函的极值
如果泛函J[y(x)] 在点y=y 0(x)的邻域内，其增量
00[()][()]0
[()][()]0J J y x J y x J J y x J y x Δ=−≥Δ=−≤或
则称泛函J[y(x)] 在点y=y 0(x)处有极小或极大值。

定理2.2
若可微泛函J[y(x)] 在点y 0(x)达到极值，则泛函J[y(x)] 在y 0(x)处的变分为0，0J δ= 证明：对于任意给定的y δ，0()[()]J y x y ϕεεδ=+是ε的函数，由假设,
()0ϕε= 函数极数，[()]0J y x y J εδδ∂+==
例2.7120()J x t dt =∫求泛函的变分
0120012
0010
[]()()2J J x x x x dt x x dt x xdt εεεδεδεεδεεδεδ===∂=+∂∂=+∂∂=+∂=∫∫∫ 设 2,0.1x t x t δ==， 变分的值为11230020.10.20.05J t tdt t dt δ=⋅==∫∫ 作业，120[()()]J y x xy x dx =+∫泛函
1、求J δ的表达式
2、求2(),0.1y x x y x δ==当时的数值。