平面几何习题大全

几何证明-1
命题在圆内接四边形ABCD中，O为圆心，己知∠AＯB+∠ＣＯＤ=１８0.求证：由Ｏ向四边形ABCD所作的垂线段之和等于四边形ABＣD的周长的一半。ﻫ证明(一）连OA,ＯB,ＯC，ＯD，过圆心O点分别作AＢ,ＢＣ,ＣD，ＤA的垂线，垂足依次为Ｐ，Q,R,Ｓ。
易证ΔＡPO≌ΔORＤ,所以ＤR＝OP,ＡP=ＯR,
故OP+OR=ＤR+AP＝(ＣD＋AB）/2。
同理可得:ＯQ+OS=(DA+BC)／２。
因此有OP+OQ＋OR+OS=(ＡB＋BC+ＣＤ＋DA)/2。
证明(二）连OＡ,OＢ,OC,ＯD，因为∠AOB+∠ＣOＤ=180°,OA=OＤ，所以易证
RtΔAPO≌RtΔOＲＤ,故得DR＝OP，ＡP=ＯR，
即OP+OＲ＝ＤR＋AP=(CD+AＢ)/2。
平面几何习题大全
———————————————————————————————— 作者:
———————————————————————————————— 日期:
平面几何习题大全
下面的平面几何习题均是我两年来收集的,属竞赛范围。共分为五种类型,1，几何计算;2,几何证明；３，共点线与共线点;4,几何不等式；5，经典几何。
Sb=(ＢD＊ＢＦ*sinＢ)／2=x*(1-z）*S,
Sc=(ＣＤ*CＥ＊sinC)/2=ｙ*(１－ｘ）*S。
所以有
S1=S－Sa－Sb-Ｓc＝S＊［1-ｚ*（1-ｙ)－x＊(１－ｚ)－y*(1－x）］
=S＊[1－(ｘ＋ｙ+ｚ)+yz+zx+ｘy］,
据此命题[S≥4S１]转化为证明
４*[１-（x+y+z)+yz+ｚx＋xy]≤1
F=[ｒ2*r３*sinA＋r3＊r1*ｓｉｎB＋r1*r2*siｎC］／2
=[ａ*r2＊r3+b*r3*ｒ1＋ｃ*r１*ｒ２]/(４R)。
故命题转化为求证
ａ＊r2*r3+b＊r３＊r1+c*r1*r2≤RΔ（1)
据恒等式:aｂｃ=4RΔ，则上式为
根据塞瓦定理得:
ｘyｚ=（１-ｘ)*(1-y）*(1-ｚ)
上述恒等式展开等价于
1+yｚ+zｘ+xy=2xyz+x+y+z
将其代入得:8ｘyz≤１．
由算术－－几何平均不等式得:
２√[x(1-x)]≤1z)]≤1,
上述三式相乘得:
8√[xｙz(1-x)*(１-y)*(1-z)]≤１，<＝＝>８xyz≤1 .
证明设P点关于正△ＡＢＣ的重心坐标为P(ｘ，ｙ,z),ａ为正△ＡBＣ的边长,则正△ＡBＣ的面积为S＝(a^2√3)/4。ﻫ由三角形重心坐标定义易求得: ﻫＡD=za/(y+z),ＣＤ=ya/(y＋z)，CE＝xa/(z＋x),ＡＥ=za/(z+ｘ),ＡＦ＝ya/（x+ｙ）,BF=xa／(x+y)．ﻫ故得:
PＫ=(xa√3)/[２(ｘ+y+z)], ﻫＰN=(ya√3)/［２（x+y＋ｚ)]，ﻫPM=(ｚa√３)/[2(x+y+z）]. ﻫ故得：
S２＝(PN*PM＋PM*ＰＫ+PＫ*PN)*sin120/2=3S(ｙｚ+ｚx+ｘy)/［４(x+y＋z)^2]。ﻫ所以待证不等式S２≥Ｓ1等价于: ﻫ(３/4)*(yｚ+ｚx+ｘｙ）/(x+ｙ+ｚ)＾２≥2xｙz/（y+z）（z+x)(x+y); ﻫ＜==＝=>３(y＋z)(z＋x)(x＋y)(yz+zx＋ｘy)≥8xyz（x+y+z)^2；ﻫ上式展开等价于ﻫ3x＾3(ｙ＾２+z＾2)+3y^3(z^2＋x^2）＋3z^3(ｘ^２＋y^2)-2xｙz(ｘ^2+ｙ^2+z^2)－4xyｚ(ｙz+ｚx+xｙ)≥0;
几何不等式-3
命题设P是三角形AＢＣ内一点,点P在三边ＢC,CA,AＢ上的射影分别为Ｄ,E,F。则三角形DＥF叫做点Ｐ的垂足三角形。试证点P的垂足三角形DＥＦ的面积不超过三角形ABC面积的四分之一。
证明 设P点垂足ΔDＥF面积为F,ΔＡBＣ面积为Δ,
令PD=r1,ＰＥ=r2,PＣ=r３,BC＝a,ＣＡ＝b,AB=c,R表示三角形ABC的外接圆半径。则有
上式化简等价于ﻫｘ^2(ｘ＋2ｙ+2z)(ｙ-z)^2＋ｙ^2(y＋2ｚ+2x）(ｚ-ｘ）^2＋z^2(z+2x＋２y）(ｘ－y)＾2≥0.
因为P点在正△ABC内,故x＞0,y>0,z>０,所以上式显然成立。命题得证。
几何不等式-２
命题设P是三角形ABC内一点,直线AP，ＢP，CP与三边的交点分别为D,E,F。则三角形ＤEＦ叫做点P的塞瓦三角形。试证点P的塞瓦三角形DEF的面积不超过三角形AＢC面积的四分之一。
证明设三角形ABＣ的面积为S，塞瓦三角形DEF的面积为Ｓ１，三角形AEF的面积为Sa，三角形BFD的面积为Ｓb,三角形CＤE的面积为Ｓc。令BD=xBＣ,CE=yCA,ＡF=zAB,则CD=(1-x)ＢC，ＡE=(1-ｙ）CＡ,BF＝(1－ｚ)AB。那么
Ｓa=(AE＊ＡF＊sinA)/２=z＊(１-y)＊Ｓ，
几何计算-1
命题设点D是Rｔ△ABC斜边AＢ上的一点,ＤE⊥BＣ于点E,ＤＦ⊥AC于点F。若AF=15，BE＝10,则四边形DECF的面积是多少？
解：设ＤF＝CＥ=x，DE=CF=ｙ.∵Rt△BED∽Rt△DFA,∴BE/ＤＥ=ＤF/AF
＜==＞10/y＝x/１５<＝=> xy=１5０．ﻩ
所以，矩形DＥＣF的面积150．
同理可得:ＯQ+OＳ=(DA+BC)／2。
因此有OP＋ＯQ+OＲ+OS=(AB+ＢＣ＋CD+DA)/2。
几何不等式-1
命题设P是正△ＡBC内任意一点，△DＥF是P点关于正△ＡBC的内接三角形[AP,BP,CP延长分别交BＣ，CA,AB于Ｄ,E，F],记面积为Ｓ1;△KNM是P点关于正△ABC的垂足三角形[过P点分别作BC,CA，AＢ垂线交于K,Ｎ,Ｍ]，记面积为Ｓ2。求证:S2≥Ｓ１。
△AＥF的面积X=ＡE*AF*sin60°/2=Sｙｚ/(z＋ｘ)（x+y)；
△BFD的面积Ｙ＝ＢF*BD*sin6０°/2=Szx／(ｘ＋y)(y+z）；
△CＤE的面积Ｚ＝CD＊CE＊ｓiｎ60°/2=Sｘｙ/(ｙ+z)（ｚ+x).
从而有S１=S-X-Y-Z=2xyｚS/（y+z)(z+ｘ)（x＋y)。ﻫ因为P点是△ＫNM的费马点，从而易求得: