3第三章 方差分析

注：Excel 的数据分析工具需要安装才能用。在【工 具】菜单下选择【加载宏】子菜单，然后选中“分析 工具库”工具，然后确定即可，如下图所示。
如果“加载宏”对话框中没有“分析工具库”，则单 击“浏览”按钮，定位到“分析工具库”加载宏文件 “Analys32.xll”所在的驱动器和文件夹（通常位于 “Microsoft Office\Office\Library\Analysis”文件夹 中）；如果没有找到该文件，则应运行“安装”程序， 需要插入Office源数据光盘。 安装完成后，在Excel【工具】 菜单下就会新增【数据分析】 命令，如下图所示。
dfT n 1
dfA r 1
SSA对应的组间自由度
SSe对应的组内自由度
dfe n r
4）计算平均平方（均方） MS A SSA dfA 组间均方： 组内均方(误差均方)： MSe SSe dfe
5)F检验
组间均方 MSA FA 组内均方 MSe
(6) 列出方差分析表
例3.1 考察生产某化工产品时反应温度（℃）对收 率y(%)的影响。为此，比较两个反应温度A1=30 ℃ 和A2=40 ℃.这是一个单因素二水平的试验。试 验结果如表3.1所示。
表3.1某化工厂产品收率试验数据表 试验号 水平 A1（30℃） A2（40℃） 1 75 89 2 78 62 3 60 93 4 61 71 5 83 85 平均值 71.4 80.0
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第三章 方差分析(Analysis of
Variance，简称ANOVA)
什么是方差分析？
在试验数据的处理过程中，方差分析是一种非常实用、 有效的统计检验方法，能用于检验试验过程中，有关 因素对试验结果影响的显著性。 例如，对于某一化学反应，在反应时间、反应温度和 压强等条件相同时，想弄清楚不同的催化剂对产物得 率是否有显著影响，并从中挑选出最合适的催化剂， 这就是一个典型的方差分析问题。 所以方差分析实质上是研究自变量（因素）与因变量 （试验结果）相互关系。
表 表3.8 3.6 双因素无重复试验数据表
因素 A1 A2 ┇ Ai ┇ Ar
B1 x11 x21 ┇ xi1 ┇ xr1
B2 x12 x22 ┇ xi2 ┇ xr2
┅ ┅ ┅ ┇ ┅ ┇ ┅
Bj x1j x2j ┇ xij ┇ xrj
┅ ┅ ┅ ┇ ┅ ┇ ┅
Bs xs1 xs2 ┇ xsj ┇ xrs
③按下图的方式填写对话框。
④按要求填完单因素方差分析对话框之后，单击“确 定”按钮，即可得到方差分析的结果，如下图所示。
习题1的结果如下：
3.2 双因素试验方差分析
双因素试验的方差分析是讨论两个因素对试验结果影 响的显著性，所以又称为二元方差分析。 根据两因素每种组合水平上的试验次数，可以将双因 素试验方差分析分为无重复试验和重复试验的方差分 析。
第三章 方差分析
第三章 方差分析 (Analysis of Variance，
简称ANOVA)
3.1 单因素试验方差分析 3.2 双因素试验方差分析
3.1 单因素试验方差分析
在一项试验中，若只有一个因素的水平在改变，而其 它因素的水平固定不变，试验目的在于比较因素各水 平上指标之间的差别，这就叫单因素试验问题。 单因素试验方差分析又称为一元方差分析，是讨论一 种因素对试验结果有无显著影响。
方差分析基本步骤
1）计算平均值 同一水平的平均值，称为组内平总平均值：
1 x n i 1
r ni
Ti xij ni xi
j 1
ni
x
j 1
ij
1 r x ni xi n i 1
n ni
i 1 r
5）F检验
MSA 184.90 1.33 MSe 138.65 从F分布表中查得 F0.05 (dfA , dfe ) F0.05 (1,8) 5.32，因 FA 1.33 5.32 F0.05 (1,8 ) ，故可以认为在水平 α=0.05下，反应 FA
温度A对指标收率的影响不显著，或反应温度30 ℃和40 ℃对收率的影响没有显著差异，试验结果出现的波动主要 由试验误差造成的。 6）列方差分析表
3.1.1 方差分析的基本思想
例3.1 考察生产某化工产品时反应温度（℃）对收 率y(%)的影响。为此，比较两个反应温度A1=30 ℃ 和A2=40 ℃。这是一个单因素二水平的试验。 试验结果如表3.1所示。
表3.1某化工厂产品收率试验数据表 试验号 水平 A1（30℃） A2（40℃） 1 75 89 2 78 62 3 60 93 4 61 71 5 83 85 平均值 71.4 80.0
SSA ( xi x ) ni ( xi x)2
2 i 1 j 1 i 1
r
ni
r
组内离差平方和SSe——误差项离差平方和
SSe ( xij xi )
i 1 j 1
r
ni
2
3)计算自由度
SST对应的总自由度
关系 dfT dfA dfe
2 i 1
2
SSe SST SSA 1294 .10 184.9 1109 .20
3）计算自由度
dfT n 1 10 1 9 dfA r 1 2 1 1
dfe n r 10 2 8
4）计算均方
MS A SSA dfA 184.90 1 184.90 MSe SSe dfe 1109 .20 8 138.65
解：1）计算平均值
依题意，本例中为单因素试验的方差分析，单因素为 反应温度，有两个水平，即r=2，在每种水平下做了5 次试验，故ni=5(i=1,2),总试验次数n=10。有关平均值 的计算见表3.4.
表3.4 计算表
试验号 水平 A1（30℃） A2（40℃） 1 2 3 4 5 组内和Ti 组内平均值 x 总平均值 x i 357 400 71.4 80 75.7 75 78 60 61 83 89 62 93 71 85
2 S 方差分析，就是把数据的总偏差平方和 T 分解为反映 2 2 S S 必然性的各个因素的偏差平方和（ A 、 B 、 ……） 2 与反映偶然性的偏差平方和（Se），并计算它们的平均 偏差平方和，再将两者进行比较，借助F检验法，进行 假设检验，从而确定因素对试验结果的影响是否显著。
3.1.2 方差分析的基本步骤
FA为统计量，服从自由度为（dfA,dfe)的F分布，对于给 定的显著性水平α，从附录中查得临界值Fα(dfA,dfe),如 果FA> Fα(dfA,dfe),则认为因素A对试验结果有显著影响， 否则认为因素A对试验结果没有显著影响。 显著性程度实质上是指该因素确实是影响的这个结论 的可靠性程度，即有多少把握说这个因素却有影响。 设没有把握部分为α，则可靠性为1- α， α称为风险，又 称为显著性水平， α通常取0.01或0.05.
②在【工具】菜单下选择【数据分析】子菜单，然后 选中“方差分析：无重复双因素分析”工具，即可弹 出“方差分析：无重复双因素分析”对话框，如下图 所示。
③按下图的方式填写对话框。
④按要求填完双因素方差分析对话框之后，单击“确 定”按钮，即可得到方差分析的结果，如下图所示。
方差分析表 差异源 因素A 因素B 误差e 总计 SS 157.59 223.8466667 731.98 1113.416667 df 3 2 6 11 F临界值 MS F α =0.05 显著性 52.53 0.430586 4.757063 111.9233333 0.917429 5.143253 121.9966667
（6）列出方差分析表
Excel在无重复双因素方差分析中的应用
可利用Excel“分析工具库”中的“双因素方差分析”工 具来进行双因素试验的方差分析，下面举例说明。 对于例3.2中试验数据，试用Excel的“双因素方差分析” 工具来判断燃料和推进器对火箭射程是否有显著影响。 解：①在Excel中将待分析的数据列成表格，如下图所 示。
例3-1 方差分析表 差异源 离差平方和SS 自由度df 均方MS 组间（温度） 184.9 1 184.9 组内（误差） 1109.2 8 138.65 总计 1294.1 9 F值 1.33 显著性
习题：
1、为考察温度对某化工产品得率的影响，选取了五 种不同温度，在同一温度下各作三次试验，试验数据 如表下，试问温度对得率有无显著影响。
2）计算离差平方和
SST ( xij x)2 (75 75.7)2 (78 75.7)2 (85 75.7)2 1294 .10
i 1 j 1 2 5
SSA ni ( xi x)2 5[(71.4 75.7)2 80 75.7 ] 184.9
表中数据是参差不齐的，数据波动的可能原因来自两 个方面：一是由于因素的水平不同，二是来自偶然误 差。因素的水平的变化引起的试验数据波动称为条件 误差；由随机因素引起的试验数据波动称为随机误差 或试验误差。 方差分析就是把试验数据的总波动分解为两部分，一 部分反映由条件误差引起的波动，另一部分反映由试 验误差引起的波动。
3.2.1 双因素无重复试验方差分析 3.2.2 双因素重复试验方差分析
3.2.1 双因素无重复试验方差分析
例3.2 一种火箭使用了四种燃料，三种推进器做射程 试验。每种燃料和每种推进器各做一次试验，得火箭 射程如表3.7所示。试问不同燃料、不同的推进器分 别对射程有无显著影响？
表 3.7 火箭射程试验数据表 表3.8
表 3.6 试验结果表 产品得率/% 温度/℃ 60 90 92 88 65 97 93 92 70 96 96 93 75 84 83 88 80 84 86 82