〖汇总3套试卷〗太原市2020年考前冲刺必刷卷数学试题三
山西省太原市2020届高三下学期模拟考试(三)数学(理)试题 Word版含解析
2020年太原市高考数学三模试卷（理科）一、选择题（共12小题）.1.已知集合A ＝{x |x 2﹣3x +2≥0}，B ＝{x |x +1≥a }，若A ∪B ＝R ，则实数a 的取值范围是（ ） A. [2，+∞） B. （﹣∞，2] C. [1，+∞） D. （﹣∞，1]【★答案★】B 【解析】 【分析】先化简集合A ，B ，再由A ∪B ＝R 求解.【详解】∵集合A ＝{x |x 2﹣3x +2≥0}＝{x |x ≤1或x ≥2}，B ＝{x |x +1≥a }＝{x |x ≥a ﹣1}，又因为A ∪B ＝R ， ∴a ﹣1≤1， 解得a ≤2，∴实数a 的取值范围是（﹣∞，2]. 故选：B .【点睛】本题主要考查集合运算的应用以及一元二次不等式的解法，还考查了运算求解的能力，属于基础题.2.若复数z 满足(12)z i i =-⋅，则复平面内z 对应的点位于（ ） A. 第一象限 B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限【★答案★】D 【解析】 【分析】利用复数的运算法则、几何意义、共轭复数的定义即可得出． 【详解】解：(12)2z i i i =-⋅=+，z ＝2﹣i 在复平面内所对应的点（2，﹣1）位于第四象限．故选：D ．【点睛】本题考查了复数运算法则、几何意义、共轭复数的定义，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．3.已知1,0a b c >><，则（ ）A.c c a b< B. a b c c <C. c c a b <D. log ()log ()a b b c a c ->-【★答案★】C 【解析】 【分析】利用不等式的性质、函数的单调性和赋值法可得正确的选项. 【详解】解：①由于1a b >>，所以110a b <<，又0c <，故c c a b>，选项A 错误. ②当2,4,2c a b =-==时，a b c c >，故选项B 错误. ③由于1,0a b c >><，cy x =在()0,∞+上为减函数，故c c a b <，选项C 正确.④由于1,0a b c >><，所以0a c b c ->->， 故log ()log ()log ()a b b b c b c a c -<-<-，故D 错误. 故选：C.【点睛】本题考查指数式、对数式、分式的大小比较，一般地，我们可利用不等式的性质或指数函数、对数函数、幂函数的单调性来讨论，而说明一个不等式不成立时，可举例说明. 4.已知sin cos 2αα-=，α∈(0, π)，则tan α= A. -1 B. 22-C.22D. 1【★答案★】A 【解析】 【详解】2sin cos αα-=，()0,απ∈，12sin cos 2αα∴-=，即sin 21α=-，故34πα=1tan α∴=-故选A5.宋元时期数学名著《算学启蒙》中有关于“松竹并生"的问题，松长三尺，竹长一尺，松日自半，竹日自倍，松竹何日而长等，如图是源于其思想的一个程序框图，若输入的a ，b 分别为3，1，则输出的n 等于A. 5B. 4C. 3D. 2【★答案★】B 【解析】 【分析】由已知中的程序框图可知：该程序的功能是利用循环结构计算并输出变量S 的值，模拟程序的运行过程，分析循环中各变量值的变化情况，可得★答案★． 【详解】解：当n ＝1时，a ＝33922+=，b ＝2，满足进行循环的条件， 当n ＝2时，a 9927244=+=，b ＝4，满足进行循环的条件， 当n ＝3时，a 272781488=+=，b ＝8，满足进行循环的条件， 当n ＝4时，a 818124381616=+=，b ＝16，不满足进行循环的条件， 故输出的n 值为4， 故选：B ．【点睛】本题考查的知识点是程序框图，当循环的次数不多，或有规律时，常采用模拟循环的方法解答．6.已知等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，若138a a =-，且313S =，则2a =（ ） A. 3-B. 3C. 353-D. 3或353-【★答案★】D 【解析】 【分析】设公比为q ,利用基本量法求解即可.【详解】设公比为q ,易知1q ≠.由133813a a S =-⎧⎨=⎩得()2113181131a a q a q q ⎧=-⎪-⎨=⎪-⎩,解得113a q =⎧⎨=⎩或125373a q ⎧=⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩当113a q =⎧⎨=⎩时,213a a q ==；当125373a q ⎧=⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩时,21353a a q ==-,所以23a =或2353a =-, 故选：D .【点睛】本题主要考查了等比数列的基本量求解方法,属于中等题型. 7.平面向量a ，b 共线的充要条件是（ ） A. a b a b ⋅=B. a ，b 两向量中至少有一个为零向量C. ∃λ∈R ，b a λ=D. 存在不全为零实数λ1，λ2，120a b λλ+= 【★答案★】D 【解析】 【分析】根据共线向量基本定理，结合充分条件的定义进行求解即可.【详解】A ：a b a b ⋅=成立时，说明两个非零向量的夹角为零度，但是非零两个向量共线时，它们的夹角可以为平角，故本选项是错误的； B ：两个非零向量也可以共线，故本选项是错误的； C ：只有当a 不是零向量时才成立，故本选项是错误的；D ：当平面向量a ，b 共线时，存在一个λ，使得b a λ=(0)a ≠成立，因此存在不全为零的实数λ1，λ2，120a b λλ+=；当存在不全为零的实数λ1，λ2，120a b λλ+=成立时，若实数λ1，λ2不都为零时， 则有21a b λλ=-成立，显然a ，(0)b b ≠共线，若其中实数λ1，λ2有一个为零时，不妨设 10λ=，则有200b b λ=⇒=，所以平面向量a ，b 共线，所以本选项是正确的.故选：D【点睛】本题考查了平面向量共线定理的应用，属于基础题.8.根据党中央关于“精准”脱贫的要求，我市某农业经济部门派四位专家对三个县区进行调研，每个县区至少派一位专家，则甲，乙两位专家派遣至同一县区的概率为（ ） A.16B.14C.13D.12【★答案★】A 【解析】 【分析】每个县区至少派一位专家，基本事件总数36n =，甲，乙两位专家派遣至同一县区包含的基本事件个数6m =，由此能求出甲，乙两位专家派遣至同一县区的概率.【详解】派四位专家对三个县区进行调研，每个县区至少派一位专家基本事件总数：234336n C A == 甲，乙两位专家派遣至同一县区包含的基本事件个数：2122326m C C A ==∴甲，乙两位专家派遣至同一县区的概率为：61366m p n === 本题正确选项：A【点睛】本题考查概率的求法，考查古典概型等基础知识，考查运算求解能力，是基础题. 9.把函数f （x ）＝sin 2x 的图象向右平移12π个单位后，得到函数y ＝g （x ）的图象.则g （x ）的解析式是（ ） A. ()212g x sin x π⎛⎫=+⎪⎝⎭B. ()12212g x cos x π⎛⎫=-- ⎪⎝⎭ C. ()112262g x cos x π⎛⎫=--+ ⎪⎝⎭D. ()112262g x sin x π⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭ 【★答案★】C 【解析】 【分析】利用函数sin()y A wx ϕ=+的图象变换规律，即可求解，得到函数的解析式.【详解】由题意，把函数()211sin cos 222f x x x ==-的图象向右平移12π个单位后，得到函数()1111cos[2()]cos(2)2212226y g x x x ππ==--=--的图象.故选：C .【点睛】本题主要考查了利用三角函数的图象变换求解三角函数的解析式，其中解答中利用余弦的倍角公式，化简得到()f x 的解析式，再结合三角函数的图象变换求解是解答的关键，着重考查推理与运算能力.10.已知函数f （x ）是定义在R 上的偶函数，且在区间[0，+∞）上单调递增，若实数a 满足()()212log log 21f a f a f ⎛⎫+≤ ⎪⎝⎭，则a 的取值范围是（ ）A. 122⎡⎤⎢⎥⎣⎦，B. [1，2]C. 102⎛⎫ ⎪⎝⎭，D. （0，2]【★答案★】A 【解析】 【分析】由偶函数的性质将()()212log log 21f a f a f ⎛⎫+≤ ⎪⎝⎭化为：2(log )(1)f a f ≤ ，再由f （x ）的单调性列出不等式，根据对数函数的性质求出a 的取值范围. 【详解】解：因为函数f （x ）是定义在R 上的偶函数， 所以1222(log )(log )(log )f a f a f a =-=，则()()212log log 21f a f a f ⎛⎫+≤ ⎪⎝⎭为2(log )(1)f a f ≤，因为函数f （x ）在区间[0，+∞）上单调递增， 所以|log 2a |≤1，解得12≤a ≤2， 则a 的取值范围是[12，2]， 故选：A .【点睛】此题考查函数的奇偶性、单调性的应用，以及对数函数的性质，属于基础题.11.已知抛物线C ：x 2＝8y ，过点M （x 0，y 0）作直线MA 、MB 与抛物线C 分别切于点A 、B ，且以AB 为直径的圆过点M ，则y 0的值为（ ） A. ﹣1 B. ﹣2 C. ﹣4 D. 不能确定【★答案★】B 【解析】 【分析】设出,A B 的坐标，利用函数的导数，结合直线经过M ，转化求解0y 的值． 【详解】设()()1122,,,A x y B x y ，12x x ≠， 由28x y =，可得4xy '=，所以14MA x k =，24MB x k =， 因为过点00(,)M x y 作直线,MA MB 与抛物线C 分别切于点,A B ，且以AB 为直径的圆过点M ，所以12144MA MB x x k k ⋅=⋅=-，可得1216x x =-， 直线MA 的方程为：()()1111144xy y x x x x y y -=-=+， ①，同理直线MB 的方程为：()2224xy y x x -=-，()224x x y y =+②，①2x ⨯-②1x ⨯，可得1228x x y ==-，即02y =-. 故选：B ．【点睛】本题考查函数的导数的应用，曲线与方程相结合，考查计算能力． 12.点M 在曲线:3ln G y x =上，过M 作x 轴垂线l ，设l 与曲线1y x=交于点N ，3OM ONOP +=，且P 点的纵坐标始终为0，则称M 点为曲线G 上的“水平黄金点”，则曲线G上的“水平黄金点”的个数为（ ） A. 0B. 1C. 2D. 3【★答案★】C 【解析】 【分析】设(,3ln )M t t ,则1,N t t ⎛⎫ ⎪⎝⎭,则21,ln 33tOP t t ⎛⎫=+⎪⎝⎭,即可得1ln 03t t +=,设1()ln 3g t t t =+,利用导函数判断g t 的零点的个数,即为所求. 【详解】设(,3ln )M t t ,则1,N t t ⎛⎫⎪⎝⎭,所以21,ln 333OM ON t OP t t +⎛⎫==+ ⎪⎝⎭, 依题意可得1ln 03t t+=, 设1()ln 3g t t t =+,则221131()33t g t t t t-'=-=, 当103t <<时,()0g t '<,则()g t 单调递减；当13t >时,()0g t '>,则()g t 单调递增,所以min1()1ln 303g t g ⎛⎫==-< ⎪⎝⎭,且221120,(1)033e g g e ⎛⎫=-+>=> ⎪⎝⎭,1()ln 03g t t t∴=+=有两个不同的解,所以曲线G 上的“水平黄金点”的个数为2. 故选:C【点睛】本题考查利用导函数处理零点问题,考查向量的坐标运算,考查零点存在性定理的应用. 二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.13.已知函数()()122log 01()11x x f x x x ⎧≤⎪=⎨⎪-⎩＜，＞，则18f f ⎛⎫⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭_____. 【★答案★】8. 【解析】 【分析】 依题意得f （18）＝3，从而f （f （18））＝f （3），由此能求出结果. 【详解】解：∵函数()()122log 01()11x x f x x x ⎧≤⎪=⎨⎪-⎩＜，＞，则1211()log 388f ==； ∴18f f ⎛⎫⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭f （3）＝32﹣1＝8. 故★答案★为：8.【点睛】此题考查的是分段函数求值问题，属于基础题. 14.ABC ∆的内角,,A B C 的对边分别为,,a b c .若ABC ∆的面积为()22234a b c --，则A =____________.【★答案★】23π（或120︒） 【解析】 【分析】由已知结合余弦定理及三角形的面积公式进行化简即可求解． 【详解】解：由余弦定理可得a 2﹣b 2﹣c 2＝﹣2bc cos A ， △ABC 的面积为()22234a b c --＝﹣3cos 2bc A ， 又因为S △ABC ＝1sin 2bc A ＝﹣3cos 2bc A ， 所以tan A ＝﹣3， 由A ∈（0，π）可得A ＝23π． 故★答案★为：23π. 【点睛】本题主要考查了余弦定理及三角形的面积公式的简单应用，属于基础试题．15.设F 1，F 2分别是双曲线()2222100x y a b a b-=＞，＞的左、右焦点，若双曲线上存在点P ，使∠F 1PF 2＝60°，且|PF 1|＝2|PF 2|，则双曲线的离心率为_____. 【★答案★】3. 【解析】 【分析】根据双曲线的定义，结合余弦定理、双曲线离心率公式进行求解即可.【详解】设|PF 2|=m ，则|PF 1|=2m ，显然点 P 在双曲线的右支上， 因此有122PF PF a -=，因此122,4,2m a PF a PF a =∴==， 而122F F c =，∠F 1PF 2＝60°，所以由余弦定理可知；222121212122cos F F PF PF PF PF F PF =+-⋅⋅∠，即222141642422c a a a a =+-⋅⋅⋅，化简得：33cc a e a=⇒== 故★答案★为：3【点睛】本题考查了双曲线定义的应用，考查了求双曲线的离心率，考查了余弦定理的应用，考查了数学运算能力.16.正方体ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1中，E 是棱DD 1的中点，F 是侧面CDD 1C 1上的动点，且B 1F ∥平面A 1BE ，记B 1与F 的轨迹构成的平面为α.①∃F ，使得B 1F ⊥CD 1②直线B 1F 与直线BC 所成角的正切值的取值范围是[24，12] ③α与平面CDD 1C 1所成锐二面角的正切值为22④正方体ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1的各个侧面中，与α所成的锐二面角相等的侧面共四个. 其中正确命题的序号是_____.（写出所有正确的命题序号） 【★答案★】①②③④ 【解析】 【分析】分别取CC 1和C 1D 1的中点为M ，N ，连接MN 、MB 1、NB 1，然后利用面面平行的判定定理证明平面MNB 1∥平面A 1BE ，从而确定平面MNB 1就是平面α. 当F 为线段MN 的中点时，可证明①；②利用平移的思想，将直线B 1F 与直线BC 所成角转化为B 1F 与B 1C 1所成的角，由于B 1C 1⊥平面MNC 1，所以tan∠FB 1C 1即为所求，进而求解即可；③平面MNB 1与平面CDD 1C 1所成的锐二面角即为所求，也就是求出tan∠B 1QC 1即可； ④由正方体的对称性和二面角的含义即可判断. 【详解】解：如图所示，设正方体的棱长为2，分别取CC 1和C 1D 1的中点为M ，N ，连接MN 、MB 1、NB 1，则MN ∥A 1B ，MB 1∥EA 1， ∵MN 、MB 1⊂平面MNB 1，A 1B 、EA 1⊂平面A 1BE ，且MN ∩MB 1＝M ，A 1B ∩EA 1＝A 1， ∴平面MNB 1∥平面A 1BE ，∴当F 在MN 上运动时，始终有B 1F ∥平面A 1BE ，即平面MNB 1就是平面α.对于①，当F 为线段MN 的中点时，∵MB 1＝NB 1，∴B 1F ⊥MN ，∵MN ∥CD 1，∴B 1F ⊥CD 1，即①正确； 对于②，∵BC ∥B 1C 1，∴直线B 1F 与直线B 1C 1所成的角即为所求， ∵B 1C 1⊥平面MNC 1，C 1F ⊂平面MNC 1，∴B 1C 1⊥C 1F ， ∴直线B 1F 与直线B 1C 1所成的角为∠FB 1C 1，且tan∠FB 1C 1111FC B C =， 而FC 1的取值范围为212⎡⎤⎢⎥⎣⎦，，B 1C 1＝2，所以tan∠FB 1C 1∈[24，12]，即②正确；对于③，平面MNB 1与平面CDD 1C 1所成的锐二面角即为所求， 取MN 的中点Q ，因为B 1C 1⊥平面MNC 1，所以∠B 1QC 1就是所求角，而tan∠B 1QC 111122222B C QC ===，即③正确； 对于④，由对称性可知，与α所成的锐二面角相等的面有平面BCC 1B 1，平面ADD 1A 1，平面A 1B 1C 1D 1，平面ABCD ，即④正确. 故★答案★为：①②③④.【点睛】此题考查空间立体几何的综合，涉及空间线面的位置关系、异面直线的夹角和面面角等问题，考查学生的空间想象能力和逻辑推理能力，属于难题.三、解答题：共70分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17-21题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22、23题为选考题，考生根据要求作答. （一）必考题：共60分.17.已知{a n }是公差为1的等差数列，数列{b n }满足121111,,2n n n n b b a b b nb ++==+=. （1）求数列{b n }的通项公式； （2）设12n n nc b =，求数列{c n }的前n 项和S n . 【★答案★】（1）1n b n =（2）12(2)2nn S n ⎛⎫=-+⋅ ⎪⎝⎭【解析】 【分析】（1）先由题设条件求得a 1，再求a n ，进而论证数列{nb n }是常数列，最后求得b n ； （2）先由（1）求得c n ，再由错位相减法求S n . 【详解】（1）由已知得：12211,1a b b b a +=∴= 又∵{a n }是公差为1的等差数列，n a n ∴=∴a n ＝n .11n n n n a b b nb +++=1(1)n n n b nb +∴+=，∴数列{nb n }是常数列，111,n n nb b b n∴==∴=（2）由（1）得：1122nn n n c n b ⎛⎫==⋅ ⎪⎝⎭2311111232222nn S n ⎛⎫⎛⎫⎛⎫∴=⨯+⨯+⨯++⋅ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭①又23411111112322222n n S n +⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=⨯+⨯+⨯++⋅ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭②由①-②可得：231111111222222nn n S n +⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=++++-⋅ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭11112211212nn n +⎡⎤⎛⎫-⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎛⎫⎣⎦=-⋅ ⎪⎝⎭- 111(2)2n n +⎛⎫=-+⋅ ⎪⎝⎭12(2)2nnS n⎛⎫∴=-+⋅ ⎪⎝⎭【点睛】本题主要考查了求等差数列的通项公式以及利用错位相减法求数列的和，属于中档题.18.垃圾分类是对垃圾进行有效处置的一种科学管理方法，为了了解居民对垃圾分类的知晓率和参与率，引导居民积极行动，科学地进行垃圾分类，某小区随机抽取年龄在区间[25，85]上的50人进行调研，统计出年龄频数分布及了解垃圾分类的人数如表：（1）填写下面2x2列联表，并判断能否在犯错误的概率不超过0.01的前提下认为以65岁为分界点居民对了解垃圾分类的有关知识有差异；（2）若对年龄在[45，55），[25，35）的被调研人中各随机选取2人进行深入调研，记选中的4人中不了解垃圾分类的人数为X，求随机变量X的分布列和数学期望.参考公式和数据K2()()()()()2n ad bca b c d a c b d-=++++，其中n＝a+b+c+d.【★答案★】（1）填表见解析；不能（2）分布列见解析；期望为45【解析】【分析】（1）根据题意填写列联表，计算观测值，对照临界值得出结论；（2）由题意知随机变量X的可能取值，计算对应的概率值，写出分布列，求出数学期望值. 【详解】解：（1）根据题意填写2x2列联表，计算K2()25029711340103218⨯⨯-⨯=≈⨯⨯⨯6.272＜6.635，所以不能在犯错误的概率不超过0.01的前提下，认为以65岁为分界点居民对了解垃圾分类的有关知识有差异；（2）由题意知，随机变量X的可能取值为0，1，2，3；计算P（X＝0）22842210584225C CC C⋅==⋅，P（X＝1）211128482422105104225 C C C C CC C⋅+⋅⋅==⋅，P（X＝2）11122824242210535225 C C C C CC C⋅⋅+⋅==⋅，P（X＝3）2124221052225C CC C⋅==⋅；所以随机变量X的分布列为：所以X的数学期望为E（X）＝084225⨯+1104225⨯+235225⨯+3242255⨯=.【点睛】此题考了独立性检验的应用，考查了随机变量的分布列和数学期望，属于中档题.19.如图，在三棱柱ABC﹣A1B1C1中，已知四边形AA1C1C为矩形，AA1＝6，AB＝AC＝4，∠BAC＝∠BAA1＝60°，∠A1AC的角平分线AD交CC1于D.（1）求证：平面BAD ⊥平面AA 1C 1C ； （2）求二面角A ﹣B 1C 1﹣A 1的余弦值. 【★答案★】（1）证明见解析；（2）31717【解析】 【分析】（1）过点D 作DE ∥AC 交AA 1于E ，连接CE ，BE ，设AD ∩CE ＝O ，连接BO ，推导出DE ⊥AE ，四边形AEDC 为正方形，CE ⊥AD ，推导出△BAC ≌△BAE ，从而BC ＝BE ，CE ⊥BO ，从而CE ⊥平面BAD ，由此能证明平面BAD ⊥平面AA 1C 1C.（2）推导出BO ⊥AD ，BO ⊥CE ，从而BO ⊥平面AA 1C 1C ，建立空间直角坐标系O ﹣xyz ，利用向量法能求出二面角A ﹣B 1C 1﹣A 1的余弦值.【详解】解：（1）如图，过点D 作DE ∥AC 交AA 1于E ，连接CE ，BE ， 设AD ∩CE ＝O ，连接BO ，∵AC ⊥AA 1，∴DE ⊥AE ，又AD 为∠A 1AC 的角平分线，∴四边形AEDC 为正方形，∴CE ⊥AD ， 又∵AC ＝AE ，∠BAC ＝∠BAE ，BA ＝BA ，∴BAC ≌BAE ，∴BC ＝BE ， 又∵O 为CE 的中点，∴CE ⊥BO ，又∵AD ，BO ⊆平面BAD ，AD ∩BO ＝O ，∴CE ⊥平面BAD. 又∵CE ⊆平面AA 1C 1C ，∴平面BAD ⊥平面AA 1C 1C.（2）在ABC 中，∵AB ＝AC ＝4，∠BAC ＝60°，∴BC ＝4， 在Rt BOC 中，∵1222CO CE ==，∴22BO =， 又AB ＝4，1222AO AD ==，∵BO 2+AO 2＝AB 2，∴BO ⊥AD ， 又BO ⊥CE ，AD ∩CE ＝O ，AD ，CE ⊆平面AA 1C 1C ，∴BO ⊥平面AA 1C 1C ， 故建立如图空间直角坐标系O ﹣xyz ，则A （2，﹣2，0），A 1（2，4，0），C 1（﹣2，4，0），()10622B ，，， ∴()112222C B =，，，()1460AC =-，，，()11400C A =，，，设平面AB 1C 1的一个法向量为()111m x y z =，，，则111m C B m AC ⎧⊥⎪⎨⊥⎪⎩，∴1111146022220x y x y z -+=⎧⎪⎨++=⎪⎩，令x 1＝6，得()6452m =-，，， 设平面A 1B 1C 1的一个法向量为()222n x y z =，，，则1111n C B n C A ⎧⊥⎪⎨⊥⎪⎩，∴22224022220x x y z =⎧⎪⎨++=⎪⎩，令22y =，得()021n =-，，， ∴92317171023m n cos m n m n ⋅===⋅⋅＜，＞，故二面角A ﹣B 1C 1﹣A 1的余弦值为31717.【点睛】本题考查面面垂直的证明和求二面角，求空间角通常用向量法求解，考查运算能力，属于中档题.20.已知椭圆C ：221x y a b+=（a ＞b ＞0）的焦距为2，且过点312⎛⎫ ⎪⎝⎭，.（1）求椭圆C 的方程；（2）已知△BMN 是椭圆C 的内接三角形，若坐标原点O 为△BMN 的重心，求点O 到直线MN 距离的最小值.【★答案★】（1）22143x y +=（2）32【解析】 【分析】（1）由题意焦距的值可得c 的值，再由椭圆过点312⎛⎫ ⎪⎝⎭，，及a ，b ，c 之间的关系求出a ，b 的值，进而求出椭圆的方程；（2）分B 的纵坐标为0和不为0两种情况讨论，设B 的坐标，由O 是三角形的重心可得MN 的中点的坐标，设M ，N 的坐标，代入椭圆方程两式相减可得直线MN 的斜率，求出直线MN 的方程，求出O 到直线MN 的距离的表达式，再由B 的纵坐标的范围求出d 的取值范围，进而求出d 的最小值.【详解】解：（1）由题意可得：椭圆的焦距为2，则1c =，又椭圆过点312⎛⎫ ⎪⎝⎭， 222221914ab c a b⎧+=⎪⎨⎪=-⎩，解得：a 2＝4，b 2＝3， 所以椭圆的方程为：2243x y +=1；（2）设B ()m n ，，记线段MN 中点D ，因为O 为BMN 的重心，所以BO =2OD ，则点D 的坐标为：22，n m ⎛⎫-- ⎪⎝⎭， 若n ＝0，则|m |＝2，此时直线MN 与x 轴垂直， 故原点O 到直线MN 的距离为2m ，即为1，若n ≠0，此时直线MN 的斜率存在，设M （x 1，y 1），N （x 2，y 2），则x 1+x 2＝﹣m ，y 1+y 2＝﹣n ，又221143x y +=1，222243x y +=1，两式相减()()()()1212121243x x x x y y y y +-+-+=0，可得：k MN 1212y y x x -==-34m n-，故直线MN 的方程为：y 34m n =-（x 2m +）2n-，即6mx +8ny +3m 2+4n 2＝0，则点O 到直线MN 的距离d 2222343664m n m n+=+，将2243m n +=1，代入得d 239n =+，因为0＜n 2≤3，所以d min 32=，又32＜1， 故原点O 到直线MN 的距离的最小值为32.【点睛】本题考查求椭圆的方程，点到直线的距离，考查椭圆中的最值问题，注意直线的斜率的讨论，属于难题.21.已知函数2()ln ()f x x x ax a R =-∈. （1）讨论函数的极值点个数；（2）若()()g x f x x =-有两个极值点12,x x ，试判断12x x +与12x x ⋅的大小关系并证明. 【★答案★】（1）★答案★不唯一，具体见解析（2）1212x x x x +<，详见解析 【解析】 【分析】（1）由已知令')0f x =（，得1ln 2x a x +=，记1ln ()xQ x x+=，则函数()f x 的极值点个数转化为函数()Q x 与y ＝2a 的交点个数，再利用导数得到()Q x 在(0,1)上是增函数，在1+，上是减函数，且max ()=(1)1Q x Q =，对a 分情况讨论，即可得到函数()f x 的极值点个数情况； （2）由已知令'()0g x =，可得ln 2x a x =，记ln ()x h x x=，利用导数得到()h x 的单调性，可得max 1()h x e =，当x e >时，()0f x >，所以当102a e <<即102a e<<时()g x 有2个极值点12,x x ，从而得到1212ln()2x x a x x =+，所以1212ln()ln()x x x x +<，即1212x x x x +<．【详解】解：（1）'1()ln 2ln 21(0)f x x x ax x ax x x=+⋅-=-+>，令')0f x =（，得1ln 2x a x +=，记1ln ()x Q x x +=，则'2ln ()x Q x x -=， 令()0Q x '>，得01x <<；令()0Q x '<，得1x >，∴()Q x 在(0,1)上是增函数，在1+，上是减函数，且max ()=(1)1Q x Q =，∴当21a >即12a >时，'()0f x =无解，∴()f x 无极值点， 当21a =即12a =时，'()0f x =有一解，1ln 2x a x +≥，即ln 210x ax -+≤，'()0f x ≤恒成立，()f x ∴无极值点，当021a <<，即102a <<时，'()0f x =有两解，()f x ∴有2个极值点， 当20a ≤即0a ≤时，'()0f x =有一解，()f x 有一个极值点.综上所述：当12a ≥，()f x 无极值点；102a <<时，()f x 有2个极值点；当0a ≤，()f x 有1个极值点；（2）2()ln g x x x ax x =--，()ln 2(0)g x x ax x '=->, 令'()0g x =，则ln 20x ax -=，ln 2x a x∴=, 记ln ()x h x x =，则'21ln ()x h x x-=, 由'()0h x >得0x e <<，由'()0h x <，得x e >，()h x ∴在(0,)e 上是增函数，在(,)e +∞上是减函数,max 1()()h x h e e==，当x e >时，()0f x >,∴当102a e <<即102a e<<时,()g x 有2个极值点12,x x , 由1122ln 2ln 2x ax x ax =⎧⎨=⎩,得121212ln()ln ln 2()x x x x a x x =+=+,1212ln()2x x a x x ∴=+,不妨设12x x <则121x e x <<<，122x x x e ∴+>>,又()h x 在(,)e +∞上是减函数,1221212212ln()ln ln()2x x x x x a x x x x x +∴<==++,1212ln()ln()x x x x ∴+<, 1212x x x x ∴+<.【点睛】本题主要考查了利用导数研究函数的单调性，极值，最值，考查学生转化问题和分析问题的能力，是一道难题．（二）选考题：共10分.请考生在第22、23题中任选一题作答.如果多做，则按所做的第一题计分.作答时请用2B 铅笔在答题卡上将所选题号后的方框涂黑. [选修4-4：坐标系与参数方程] 22.已知曲线C的极坐标方程是6cos 0ρθ-=，以极点为原点，极轴为x 轴的正半轴，建立平面直角坐标系，直线l 过点()0,2M ，倾斜角为3π4． （1）求曲线C 的直角坐标方程与直线l 的参数方程；（2）设直线l 与曲线C 交于A ，B 两点，求11MA MB+的值． 【★答案★】（1）22(3)9x y -+=，22222x t y t⎧=-⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩(t 为参数)；（2）524.【解析】 【分析】（1）将曲线C 的极坐标方程两边同乘ρ，根据公式即可化简为直角坐标方程；根据已知信息，直接写出直线的参数方程，整理化简即可；（2）联立曲线C 的直角坐标方程和直线l 的参数方程，得到关于t 的一元二次方程，根据直线参数方程中参数的几何意义，求得结果.【详解】（1）因为6cos ρθ=，所以26cos ρρθ=，所以226x y x +=，即曲线C 的直角坐标方程为：22(3)9x y -+=，直线l 的参数方程3πcos 43π2sin 4x t y t ⎧=⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩(t 为参数)， 即22222x t y t ⎧=-⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩(t 为参数).（2）设点A ，B 对应的参数分别为1t ，2t ，将直线l 的参数方程代入曲线C 的直角坐标方程， 得2222(3)(2)922t t --++=， 整理，得24052t t +=+， 所以121252·4t t t t ⎧+=-⎪⎨=⎪⎩， 因为1212210,0,0,0t t t t t t <>∴<⋅<+ 所以12MA MB t t +=+12()t t =-+=52， MA MB ⋅12t t ==4， 所以11MA MB +=MA MB MA MB +⋅524=. 【点睛】本题考查将极坐标方程转化为直角坐标方程，以及直线参数方程的求解，涉及利用直线参数方程中参数的几何意义求解问题，属综合基础题.[选修4-5：不等式选讲]23.已知函数()|1||2|f x x x a =++-．（1）若1a =，解不等式()4f x <；（2）对任意的实数m ，若总存在实数x ，使得224()m m f x -+=，求实数a 的取值范围． 【★答案★】（1）35(,)22-（2）[2,1]-【解析】【分析】（1）分类讨论求解绝对值不等式，即可求得结果；（2）求得()f x 的值域以及224y m m =-+的值域，根据二次函数的值域是()f x 值域的子集，求参数的范围即可.【详解】（1）当1a =时，()4|1||2|4f x x x <⇒++-<，化为123x x <-⎧⎨>-⎩或1234x -≤≤⎧⎨<⎩或2214x x >⎧⎨-<⎩解得312x -<<-或12x -≤≤或522x <<， 3522x ∴-<<. 即不等式()4f x <的解集为35(,)22-. （2）根据题意，得224m m -+的取值范围是()f x 值域的子集.2224(1)33m m m -+=-+≥ 又由于()1221f x x x a a =++-≥+，()f x ∴的值域为[|21|,)a ++∞故|21|3a +≤，21a ∴-≤≤.即实数a 的取值范围为[2,1]-.【点睛】本题考查分类讨论求解绝对值不等式，以及由绝对值三角不等式求解绝对值函数的最小值，属综合性基础题.感谢您的下载!快乐分享，知识无限！。
太原市2020年高三三模试题数学文科答案
太原市2020年高三年级模拟试题（三）数学试题（文）参考答案及评分标准一、选择题（每小题5分，共60分）二、填空题（每小题5分，共20分）13. 8 14. 18 15. 112n -⎛⎫- ⎪⎝⎭16. 13(,)2-∞-, 132- 三、解答题（共70分） 17. （本小题满分12分）（1）甲小区分数集中于60~90之间，乙小区分数集中于80~100之间，所以乙小区的平均分高. ………………3分 （2）记分数为87的家庭为A 、B ，其他不低于80的家庭为C,D,E,F, 则从甲小区不低于80分的家庭中随机抽取两户的基本事件有：（A,B ），（A,C ），（A,D ），（A,E ），（A,F ），（B,C ），（B,D ），（B,E ），（B,F ），（C,D ），（C,E ），（C,F ），（D,E ），（D,F ），（E,F ）共15个.“分数为87的家庭至少有一户被抽中的”所组成的基本事件有：（A,B ），（A,C ），（A,D ），（A,E ），（A,F ），（B,C ），（B,D ），（B,E ），（B,F ）共9个， 故所求概率. ………………8分（3）因此可以在犯错误的概率不超过0.025的前提下认为得分是否优秀与小区宣传培训方式有关 .………………12分2240(3101710)20201327K ⨯⨯-⨯=⨯⨯⨯ 5.584 5.204≈>.18．(本小题满分12分)解：（1）因为a ＝b cos C ＋c sin B ，由a sin A ＝b sin B ＝csin C，得sin A ＝sin B cos C ＋sin C sin B ． ····································· 2分 又因为sin A ＝sin(B ＋C )＝sin B cos C ＋cos B sin C ， 所以sin B cos C ＋cos B sin C ＝sin B cos C ＋sin C sin B ，即cos B sin C ＝sin C sin B ．·········································································· 4分 因为0＜C ＜π，所以sin C ≠0，所以sin B ＝cos B ．又0＜B ＜π，所以B ＝π4． ...................................................................................6分（2）因为AD 是∠BAC 的平分线，设∠BAD ＝θ，所以A ＝2θ， 所以cos2θ＝cos A ＝－725，即2cos 2θ－1＝－725，所以cos 2θ＝925，因为0＜A ＜π，所以0＜θ＜π2，所以cos θ＝35，sin θ＝ 1－cos 2θ＝45．在△ABD 中，sin ∠ADB ＝sin(B ＋θ)＝sin(π4＋θ)＝sin π4cos θ＋cos π4sin θ＝22×(35＋45)＝7210． ············································· 7分 由AD sin B ＝AB sin ∠ADB ，得AB ＝AD ·sin ∠ADB sin B ＝177×7 210× 2＝175． ······················· 8分 在△ABC 中，sin A ＝ 1－cos 2A ＝2425，所以sin C ＝sin(A ＋B )＝sin A cos B ＋cos A sin B ＝22×(2425－725)＝17250． ·············· 10分由b sin B ＝c sin C ，所以b ＝c ·sin B sin C ＝175×2217250＝5． ············································· 12分 19(本小题满分12分)解（1）如图，连结1AC 交1AC 于点E ，连结DE ，....................................................1分 因为四边形11AAC C 是矩形, 所以 点E 是1AC 的中点，........................................... 2分 因为D 是11B C 的中点，所以 DE ∥1AB ，...............................................................3分因为1AB ⊄平面1ACD ，DE ⊂平面1ACD ，所以 1AB ∥平面1ACD ., ...................................................4分 （2）因为棱柱111ABC A B C -是直三棱柱，所以 111AA AC ⊥，因为1111111A B AC A A A B ⊥=，，所以 111AC B C =，.................................................................................................. 5分 因为1AB 和BC，所以11cos AB C ∠=，........... 6分 因为1111112A A A B A A A B ==⊥，，所以1AB .......................................7分 在11AB C ∆中，222111111111=2cos AC B C AB B C AB AB C +-⋅⋅∠可得11B C ，................................................................................................ 8分 因为111111=2A B AC A B ⊥，，所以11=3AC ， 因为11111111111,,C A A B C A A A A A A B A ⊥⊥⋂=，所以111C A A B⊥平面，同理111A B AC ⊥平面，.............................................................................................. 10分所以 11111=A B DCA D A AB D AA CV V V --+，113112223132232=⨯⨯⨯⨯+⨯⨯⨯⨯2= ， 所以 几何体11A B DCA 的体积为2. .................................................................12分 20．(本小题满分12分)解（1）因为椭圆C 的焦距为2，所以221a b -=， ..................................................1分因为椭圆C 过点 (1，32)，所以221914a b+=． ..................................................2分 解得24a =，23b =，.............................................................4分故椭圆C 的方程为x 24＋y 23＝1． ........................................................................5分（2）设B (m ，n )，记线段MN 中点为D ．因为O 为△BMN 的重心，所以→BO ＝2→OD ，则点D 的坐标为(－m 2，－n 2)． ········ 6分EB 1C 1A 1DCBA若n ＝0，则|m |＝2，此时直线MN 与x 轴垂直， 故原点O 到直线MN 的距离为|m2|，即为1．若n ≠0，此时直线MN 的斜率存在．设M (x 1，y 1)，N (x 2，y 2)，则x 1＋x 2＝－m ，y 1＋y 2＝－n ．又x 124＋y 123＝1，x 224＋y 223＝1，两式相减得(x 1＋x 2)(x 1－x 2)4＋(y 1＋y 2)(y 1－y 2)3＝0， 可得k MN ＝y 1－y 2x 1－x 2＝－3m4n ． ......................................8分故直线MN 的方程为y ＝－3m 4n (x ＋m 2)－n2，即6mx ＋8ny ＋3m 2＋4n 2＝0，则点O 到直线MN 的距离为d ＝|3m 2＋4n 2|36m 2＋64n 2．将m 24＋n 23＝1，代入得d ＝3n 2＋9． ..................................10分 因为0＜n 2≤3，所以d min ＝32． 又32＜1，故原点O 到直线MN 距离的最小值为32． ...................................12分 21．(本小题满分12分)解：（1）()f x 定义域为(0,)+∞， 当1k =-时，1()ln ,()1f x x x f x x'=-=-， ………………1分 令()0f x '=，得1x =，当()0,01;()0,1f x x f x x ''><<<>， ………………3分 所以()f x 在(0,1)上单调递增，在(1,)+∞上单调递减，所以()f x 有极大值点1x =，无极小值点． ………………6分（2）当0k =时，()ln b bf x a x a x x+-=+-． 若()0,(,)b f x a a b R x +-∈恒成立，则ln 0(,)bx a a b R x+-∈恒成立，所以ln ba x x +恒成立， ………………7分令ln b y x x =+，则2x by x-'=，由题意0b >，函数在(0,)b 上单调递减，在(,)b +∞上单调递增， ………………9分 所以ln 1a b +，所以1ln a b - ………………10分 所以1a e b -，111a e b --+， ………………11分故当且仅当1a e b -=时，11a e b --+的最大值为1． ………………12分 22．（本小题满分10分）选修4-4：坐标系与参数方程 解（1）因为6cos ρθ=，所以26cos ρρθ=，所以226x y x +=，即曲线C 的直角坐标方程为22(3)9x y -+=， …………2分直线l 的参数方程3πcos ,43π2sin4x t y t ⎧⎪==⎨+⎪⎪⎪⎩(t 为参数)，即,2x y ==+⎧⎪⎪⎨⎪⎪⎩(t 为参数)， ………………………………5分（2）设点A ，B 对应的参数分别为1t ，2t ，将直线l 的参数方程代入曲线C的直角坐标方程得22329⎛⎫⎛⎫-++= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，整理，得240t +=+，所以1212·4t t t t ⎧+=-=⎪⎨⎪⎩ ……………………7分1212120,0,0,0t t t t t t <><⋅∴+<，所以12MA MB t t +=+12()t t =-+=, MA MB ⋅||21t t ==4,所以11MA MB +=M M M A MB A B +⋅4=. ………………………10分 23．（本小题满分10分）选修4-5：不等式选讲解（1）当1=a 时，4|2||1|4)(<-++⇒<x x x f ，化为⎩⎨⎧->-<321x x 或⎩⎨⎧<≤≤-4321x 或⎩⎨⎧<->4122x x , ……………………………3分解得123-<<-x 或21≤≤-x 或252<<x ， 2523<<-∴x .即不等式()4f x <的解集为)25,23(-. ……………………5分（2）根据题意，得224m m -+的取值范围是()f x 值域的子集.33)1(4222≥+-=+-m m m ，又由于|12||2||1|)(+≥-++=a a x x x f ，)(x f ∴的值域为)|,12[|+∞+a ，……………………………………8分故3|12|≤+a ，12≤≤-∴a .即实数a 的取值范围为]1,2[-. ……………10分注：以上各题其他正确解法相应得分。
山西省太原市2020届高三年级数学理科模拟试题(三) (含答案)
第 I 卷（选择题 共60分）
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60 分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符
合题目要求的．
1.己知集合A = { xlx2 - 3x + 2 注0},B = { xix + 1 注α｝，若A UB=R ，则实数α的取值范围是
A.[2, +oo)
B. ( -oo,2]
A. 0
B. 1
C.2
D. 3
，
高三数学（理） 第3页（共8页）
。
高三数学（理） 第4页（共8页）
太原市2020年高三年级模拟试题（三）
数 山｛子 试卷（理科）
三、解答题：共70，分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17：时21题为必考题，每个
试题考生都必须作答．第22、23题为选考题，考生根据要求作答．
高三数学（理） 第1页（共8页）
4.已知 sinα － cosα ＝ 〉豆，αε （0， τ ），则 tana =
A.-1
B －－一－ 2
c.
一v'－2
2
D.1
5.宋元时期数学名著《算学启蒙》中有关于 “ 松竹并生 ” 的问题，松
长三尺，竹长 一尺，松日自半，竹日自倍，松竹何日而长等．如
图是源于其思想的一个程序框图
答．第22题、第23题为选考题，考生根据要求作答．
二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．
’ log1x(O < x 运 11 I I
111二 13.已知函数J(x）＝� 2 , x2 - 1(x > 11
则11 \ \ IS －
．
＿付 14.�ABC的内角 A,B,C的对边分别为α，b 'c. 若A腻的面积为
2020年太原市高三三模考试数学(理)参考答案
太原市2020年高三年级模拟试题（三）数学试题（理）参考答案及评分标准13. 8 14．23π15． 16． ①②③④三、解答题（共70分） 17．（本小题满分12分）解（1）由已知得，1221a b b b +=，所以11a =． ………………1分 又因为{}n a 是公差为1的等差数列，所以n a n =． ………………3分 所以1(1)n n n b nb ++=，所以数列{}n nb 是常数数列， 所以11n nb b ==，所以1n b n=． ………………6分 （2）由已知得,2n nnc =， ………………7分 所以231232222n n nS =++++ , 23412312222n n n -=+++++234111*********n n n n +=+++++- = 11(1)22112n --12n n +- 1212n n ++=-, ...11分222n n n S +∴=-. ………………12分18.（本小题满分12分） 解：（1）2×2列联表：………………4分2250(297113) 6.272 6.63540103218K ⨯⨯-⨯=≈<⨯⨯⨯. ………………5分所以不能在犯错误的概率不超过0.01的前提下认为以65岁为分界点居民对了解垃圾分类的有关知识有差异. ………………6分 （2）X 的所有可能取值为0，1，2，3，则X 的分布列为………………10分 所以X 的数学期望是 ………………12分19.（本小题满分12分）证明（1）如图，过点D 作//DE AC 交1AA 于E ，连接,CE BE ， 设ADCE O =，连接BO ，1AC AA ⊥，DE AE ∴⊥，又AD 为1A AC ∠的角平分线，∴四边形AEDC 为正方形，CE AD ∴⊥，..............2分 又AC AE =，BAC BAE ∠=∠，BA BA =， BAC BAE ∴∆≅∆，BC BE ∴=，又O 为CE 的中点，CE BO ∴⊥. ................................................4分 又,AD BO ⊂平面BAD ，AD BO O =，CE ∴⊥平面BAD ，.................................5分又CE ⊂平面11AAC C ，∴平面⊥BAD 平面11AAC C ，.................................................6分（2）在ABC ∆中，4AB AC ==，60BAC ∠=︒，4BC ∴=，在Rt BOC ∆中，12CO CE ==，BO ∴=又4AB =，12AO AD ==222BO AO AB +=，BO AD ∴⊥，又BO CE ⊥，ADCE O =，,AD CE ⊂平面11AAC C ，BO ∴⊥平面11AAC C ，..........7分建立如图空间直角坐标系O xyz -，则(2,2,0)A -，1(2,4,0)A ，1(2,4,0)C -，1B ，11C B ∴=，1(4,6,0)AC =-，11(4,0,0)C A =，设平面11AB C 的一个法向量为111(,,)m x y z =，则111m C B m AC ⎧⊥⎪⎨⊥⎪⎩，11111460220x y x y -+=⎧⎪∴⎨++=⎪⎩，令1=6x，得(6,4,m =-, .................................................9分设平面111A B C 的一个法向量为222(,,)n x y z =，则1111n C B n C A ⎧⊥⎪⎨⊥⎪⎩，222240220x x y =⎧⎪∴⎨++=⎪⎩，令2y (0,21)n =-,，.........................................11分9cos ,17102m n m n m n⋅∴<>===⋅，由可知二面角111A B C A --是锐角，故二面角111A B C A --的余弦值为17. ...........12分 20．(本小题满分12分)解（1）因为椭圆C 的焦距为2，所以221a b -=， ..................................................1分因为椭圆C 过点 (1，32)，所以221914a b+=． ..................................................2分 解得24a =，23b =，.............................................................4分故椭圆C 的方程为x 24＋y 23＝1． ........................................................................5分（2）设B (m ，n )，记线段MN 中点为D ．因为O 为△BMN 的重心，所以→BO ＝2→OD ，则点D 的坐标为(－m 2，－n 2)． ········ 6分若n ＝0，则|m |＝2，此时直线MN 与x 轴垂直， 故原点O 到直线MN 的距离为|m2|，即为1．若n ≠0，此时直线MN 的斜率存在．设M (x 1，y 1)，N (x 2，y 2)，则x 1＋x 2＝－m ，y 1＋y 2＝－n ．又x 124＋y 123＝1，x 224＋y 223＝1，两式相减得(x 1＋x 2)(x 1－x 2)4＋(y 1＋y 2)(y 1－y 2)3＝0， 可得k MN ＝y 1－y 2x 1－x 2＝－3m4n ． ····································································· 8分故直线MN 的方程为y ＝－3m 4n (x ＋m 2)－n2，即6mx ＋8ny ＋3m 2＋4n 2＝0，则点O 到直线MN 的距离为d ＝|3m 2＋4n 2|36m 2＋64n 2．将m 24＋n 23＝1，代入得d ＝3n 2＋9． ························································ 10分 因为0＜n 2≤3，所以d min ＝32． 又32＜1，故原点O 到直线MN 距离的最小值为32． ································· 12分21.（本小题满分12分） 解：（1）)0(12ln 21ln )('>+-=-⋅+=x ax x ax x x x x f ，…………………………1分 令,0)'=x f （得1ln 2x a x +=，记1ln (),xQ x x +=则2ln )('xx x Q -=， 令0)('>x Q ，得10<<x ；令0)('<x Q ，得1>x ，)(x Q ∴在)1,0(上是增函数，在),1(+∞上是减函数，且()=(1)1Q x Q =最大， ∴当,12>a 即21>a 时，0)('=x f 无解，)(x f ∴无极值点， 当,12=a 即21=a 时， '()0f x ≤恒成立，)(x f ∴无极值点， 当120<<a ，即210<<a 时，0)('=x f 有两解，)(x f ∴有2个极值点 当02≤a 即0≤a 时，0)('=x f 有一解，)(x f 有一个极值点. 综上所述：当12a ≥,()f x 无极值点；210<<a 时，()f x 有2个极值点； 当0a ≤，()f x 有1个极值点. …………………………6分（2）x ax x x x g --=2ln )(，)0(2ln )('>-=x ax x x g ，令0)('=x g ，则02ln =-ax x ，xxa ln 2=∴， 记x x x h ln )(=，则2ln 1)('x xx h -=， 由,0)('>x h 得e x <<0，由0)('<x h ，得e x >， )(x h ∴在),0(e 上是增函数，在),(+∞e 上是减函数，,1)()(max e e h x h ==当e x >时，0)(>x f ，∴当e a 120<<即ea 210<<时，)(x g 有2个极值点21,x x . ……………7分 由⎩⎨⎧==22112ln 2ln ax x ax x ，得121212ln()ln ln 2()x x x x a x x =+=+ ，1212ln()2x x a x x ∴=+ ， …………………8分 不妨设,21x x <则211x e x <<<，e x x x >>+∴221 ， …………………9分又)(x h 在),(+∞e 上是减函数，1221212212ln()ln ln()2x x x x x a x x x x x +∴<==++ ， ……………………11分1212ln()ln()x x x x ∴+< ，2121x x x x <+∴ . …………………12分22．（本小题满分10分）选修4-4：坐标系与参数方程 解（1）因为6cos ρθ=，所以26cos ρρθ=，所以226x y x +=，即曲线C 的直角坐标方程为22(3)9x y -+=， …………2分直线l 的参数方程3πcos ,43π2sin 4x t y t ⎧⎪==⎨+⎪⎪⎪⎩(t 为参数)，即,222x y =-=+⎧⎪⎪⎨⎪⎪⎩(t 为参数)， ………………………………5分（2）设点A ，B 对应的参数分别为1t ，2t ，将直线l 的参数方程代入曲线C的直角坐标方程得2232922t ⎛⎫⎛⎫--++= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，整理，得240t +=+，所以1212·4t t t t ⎧+=-=⎪⎨⎪⎩ ……………………7分1212120,0,0,0t t t t t t <><⋅∴+<，所以12MA MB t t +=+12()t t =-+=, MA MB ⋅||21t t ==4,所以11MA MB +=M M M A MB A B +⋅4=. ………………………10分 23．（本小题满分10分）选修4-5：不等式选讲解：（1）当1=a 时，4|2||1|4)(<-++⇒<x x x f ，化为⎩⎨⎧->-<321x x 或⎩⎨⎧<≤≤-4321x 或⎩⎨⎧<->4122x x , ………………………………3分解得123-<<-x 或21≤≤-x 或252<<x ， 2523<<-∴x .即不等式()4f x <的解集为)25,23(-. ……………………5分（2）根据题意，得224m m -+的取值范围是()f x 值域的子集.33)1(4222≥+-=+-m m m ，又由于|12||2||1|)(+≥-++=a a x x x f ，)(x f ∴的值域为)|,12[|+∞+a ，……………………………………8分故3|12|≤+a ，12≤≤-∴a .即实数a 的取值范围为]1,2[-. ……………10分注：以上各题其他正确解法相应得分。
〖汇总3套试卷〗太原市2020年中考综合测试数学试题
中考数学模拟试卷一、选择题（本题包括10个小题，每小题只有一个选项符合题意）1．如图，已知AB 、CD 、EF 都与BD 垂直，垂足分别是B 、D 、F ，且AB ＝1，CD ＝3，那么EF 的长是( )A ．13B ．23C ．34D ．45 【答案】C 【解析】易证△DEF ∽△DAB ，△BEF ∽△BCD ，根据相似三角形的性质可得EF AB = DF DB ,EF CD =BF BD ，从而可得EF AB +EF CD =DF DB +BF BD=1．然后把AB=1，CD=3代入即可求出EF 的值． 【详解】∵AB 、CD 、EF 都与BD 垂直，∴AB ∥CD ∥EF ，∴△DEF ∽△DAB,△BEF ∽△BCD ，∴EF AB = DF DB ,EF CD =BF BD， ∴EF AB +EF CD =DF DB +BF BD =BD BD =1. ∵AB=1，CD=3，∴1EF +3EF =1， ∴EF=34. 故选C.【点睛】本题考查了相似三角形的判定及性质定理，熟练掌握性质定理是解题的关键.2．如图，四边形ABCD 内接于⊙O ，AB 为⊙O 的直径，点C 为弧BD 的中点，若∠DAB=50°，则∠ABC 的大小是（ ）A ．55°B ．60°C ．65°D ．70°【答案】C【解析】连接OC ，因为点C 为弧BD 的中点，所以∠BOC=∠DAB=50°，因为OC=OB ，所以∠ABC=∠OCB=65°，故选C ．3．如图，点A 为∠α边上任意一点，作AC ⊥BC 于点C ，CD ⊥AB 于点D ，下列用线段比表示cosα的值，错误的是（ ）A ．CD ACB ．BC AB C ．BD BC D ．AD AC【答案】D【解析】根据锐角三角函数的定义，余弦是邻边比斜边，可得答案．【详解】cosα=BD BC CD BC AB AC ==. 故选D.【点睛】熟悉掌握锐角三角函数的定义是关键.4．不等式组302x x +>⎧⎨-≥-⎩ 的整数解有（ ） A ．0个B ．5个C ．6个D ．无数个【答案】B【解析】先解每一个不等式，求出不等式组的解集，再求整数解即可．【详解】解不等式x+3＞0，得x ＞﹣3，解不等式﹣x≥﹣2，得x≤2，∴不等式组的解集为﹣3＜x≤2，∴整数解有：﹣2，﹣1，0，1，2共5个，故选B ．【点睛】本题主要考查了不等式组的解法，并会根据未知数的范围确定它所满足的特殊条件的值．一般方法是先解不等式组，再根据解集求出特殊值．5．如图，已知D 是ABC 中的边BC 上的一点，BAD C ∠=∠，ABC ∠的平分线交边AC 于E ，交AD 于F ，那么下列结论中错误的是（ ）A．△BAC∽△BDA B．△BFA∽△BECC．△BDF∽△BEC D．△BDF∽△BAE【答案】C【解析】根据相似三角形的判定，采用排除法，逐项分析判断．【详解】∵∠BAD=∠C，∠B=∠B，∴△BAC∽△BDA．故A正确．∵BE平分∠ABC，∴∠ABE=∠CBE，∴△BFA∽△BEC．故B正确．∴∠BFA=∠BEC，∴∠BFD=∠BEA，∴△BDF∽△BAE．故D正确．而不能证明△BDF∽△BEC，故C错误．故选C．【点睛】本题考查相似三角形的判定．识别两三角形相似，除了要掌握定义外，还要注意正确找出两三角形的对应边和对应角．6．如图，图1是由5个完全相同的正方体堆成的几何体，现将标有E的正方体平移至如图2所示的位置，下列说法中正确的是( )A．左、右两个几何体的主视图相同B．左、右两个几何体的左视图相同C．左、右两个几何体的俯视图不相同D．左、右两个几何体的三视图不相同【答案】B【解析】直接利用已知几何体分别得出三视图进而分析得出答案．【详解】A、左、右两个几何体的主视图为：，故此选项错误；B 、左、右两个几何体的左视图为：，故此选项正确；C 、左、右两个几何体的俯视图为：，故此选项错误；D 、由以上可得，此选项错误；故选B ．【点睛】此题主要考查了简单几何体的三视图，正确把握观察的角度是解题关键．7．《语文课程标准》规定：7﹣9年级学生，要求学会制订自己的阅读计划，广泛阅读各种类型的读物，课外阅读总量不少于260万字，每学年阅读两三部名著．那么260万用科学记数法可表示为（ ） A ．26×105B ．2.6×102C ．2.6×106D ．260×104【答案】C【解析】科学记数法的表示形式为n a 10⨯的形式，其中1a 10≤<，n 为整数.确定n 的值时，要看把原数变成a 时，小数点移动了多少位，n 的绝对值与小数点移动的位数相同.当原数绝对值1>时，n 是正数；当原数的绝对值1<时，n 是负数．【详解】260万=2600000=62.610⨯．故选C ．【点睛】此题考查科学记数法的表示方法.科学记数法的表示形式为n a 10⨯的形式，其中1a 10≤<，n 为整数，表示时关键要正确确定a 的值以及n 的值．8．下列调查中，最适合采用全面调查（普查）的是（ ）A ．对我市中学生每周课外阅读时间情况的调查B ．对我市市民知晓“礼让行人”交通新规情况的调查C．对我市中学生观看电影《厉害了，我的国》情况的调查D．对我国首艘国产航母002型各零部件质量情况的调查【答案】D【解析】由普查得到的调查结果比较准确，但所费人力、物力和时间较多，而抽样调查得到的调查结果比较近似．由此，对各选项进行辨析即可.【详解】A、对我市中学生每周课外阅读时间情况的调查，人数众多，意义不大，应采用抽样调查，故此选项错误；B、对我市市民知晓“礼让行人”交通新规情况的调查，人数众多，意义不大，应采用抽样调查，故此选项错误；C、对我市中学生观看电影《厉害了，我的国》情况的调查，人数众多，意义不大，应采用抽样调查，故此选项错误；D、对我国首艘国产航母002型各零部件质量情况的调查，意义重大，应采用普查，故此选项正确；故选D．【点睛】本题考查了抽样调查和全面调查的区别，选择普查还是抽样调查要根据所要考查的对象的特征灵活选用，一般来说，对于具有破坏性的调查、无法进行普查、普查的意义或价值不大，应选择抽样调查，对于精确度要求高的调查，事关重大的调查往往选用普查．9．若直线y=kx+b图象如图所示，则直线y=−bx+k的图象大致是( )A．B．C．D．【答案】A【解析】根据一次函数y=kx+b的图象可知k＞1，b＜1，再根据k，b的取值范围确定一次函数y=−bx+k 图象在坐标平面内的位置关系，即可判断．【详解】解：∵一次函数y=kx+b的图象可知k＞1，b＜1，∴-b＞1，∴一次函数y=−bx+k的图象过一、二、三象限，与y轴的正半轴相交，故选：A．【点睛】本题考查了一次函数的图象与系数的关系．函数值y随x的增大而减小⇔k＜1；函数值y随x的增大而增大⇔k＞1；一次函数y=kx+b图象与y轴的正半轴相交⇔b＞1，一次函数y=kx+b图象与y轴的负半轴相交⇔b ＜1，一次函数y=kx+b图象过原点⇔b=1．10．若数a使关于x的不等式组() 3x a2x11x2x2⎧-≥--⎪⎨--≥⎪⎩有解且所有解都是2x+6＞0的解，且使关于y的分式方程y51y--+3=ay1-有整数解，则满足条件的所有整数a的个数是（）A．5 B．4 C．3 D．2【答案】D【解析】由不等式组有解且满足已知不等式，以及分式方程有整数解，确定出满足题意整数a的值即可．【详解】不等式组整理得：13x ax≥-⎧⎨≤⎩，由不等式组有解且都是2x+6＞0，即x＞-3的解，得到-3＜a-1≤3，即-2＜a≤4，即a=-1，0，1，2，3，4，分式方程去分母得：5-y+3y-3=a，即y=22a-，由分式方程有整数解，得到a=0，2，共2个，故选：D．【点睛】本题考查了分式方程的解，解一元一次不等式，以及解一元一次不等式组，熟练掌握运算法则是解本题的关键．二、填空题（本题包括8个小题）11．如图，在正方形ABCD中，边长为2的等边三角形AEF的顶点E、F分别在BC和CD上，下列结论：①CE=CF；②∠AEB=75°；③BE+DF=EF；④S正方形ABCD=23+．其中正确的序号是（把你认为正确的都填上）．【答案】①②④【解析】分析：∵四边形ABCD是正方形，∴AB=AD。
山西省太原市2020届高三下学期模拟测试 (三)数学(文)试题 (PDF版含答案)
因为 D 是 B1C1 的中点，所以 DE ∥ AB1 ， ...............................................................3 分
有关 .
………………12 分
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5
18．(本小题满分 12 分)
解：（1）因为 a＝bcosC＋csinB， 由sianA＝sibnB＝sincC，得 sinA＝sinBcosC＋sinCsinB．·····································2 分 又因为 sinA＝sin(B＋C)＝sinBcosC＋cosBsinC，
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6
因为 AB1 平面 A1CD ， DE 平面 A1CD ，
所以 AB1 ∥平面 A1CD ., ...................................................4 分
C1
D
A1
E
B1
（2）因为棱柱 ABC A1B1C1 是直三棱柱，所以 AA1 A1C1 ，
由sAinDB＝sin∠ABADB，得 AB＝AD·ssinin∠BADB＝177×7102× 2＝157． ·······················8 分 在△ABC 中，sinA＝ 1－cos2A＝2254， 所以 sinC＝sin(A＋B)＝sinAcosB＋cosAsinB＝ 22×(2254－275)＝1750 2． ··············10 分
1
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2020年山西省太原市高考数学三模试卷(理科) (含答案解析)
2020年山西省太原市高考数学三模试卷(理科)一、选择题（本大题共12小题，共60.0分）1.已知集合A={x∈R|x2−3x−4≤0}，B={x∈R|x≤a}，若A∪B=B，则实数a的取值范围为()A. (4,+∞)B. [4,+∞)C. (−∞,4)D. (−∞,4]2.已知复数z的共轭复数z=1+2i，则z在复平面内对应的点位于第三象限．()A. 正确B. 错误3.若6<a<10，a2≤b≤2a，c=a+b，则c的取值范围是()A. 9≤c≤18B. 15<c<30C. 9≤c≤30D. 9<c<304.已知α∈(π4,3π4)，sin2α=−2425，则tanα等于()A. 43B. −34或−43C. −43D. 34或−435.宋元时期数学名著《算学启蒙》中有关于“松竹并生”的问题：松长五尺，竹长两尺，松日自半，竹日自倍，松竹何日而长等．图是源于其思想的一个程序框图，若输入的a，b分别为4，2，则输出的n等于()A. 2B. 3C. 4D. 56.等比数列{a n}的前n项和为S n，已知S3=a2+10a1，a5=9，则a1=()A. 13B. −13C. 19D. −197.设向量a⃗=(1,x)，b⃗ =(x,4)，则“x=2”是“a⃗//b⃗ ”的()A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件8.根据党中央关于“精准脱贫”的要求，我市某农业经济部门派3位专家对2个县区进行调研，每个县区至少派1位专家，则甲，乙两位专家派遣至同一县区的概率为()A. 16B. 14C. 13D. 129.将函数的图像向右平移12个单位长度后得到g(x)的图像，则()A. g(x)=sin(πx−12) B. g(x)=cosπxC. g(x)=sin(πx+12) D. g(x)=−cosπx10.若函数f(x)是定义在R上的奇函数，f(14)=1，当x<0时，f(x)=log2(−x)+m，则实数m=()A. −1B. 0C. 1D. 211.过抛物线y2=4x的焦点F的直线交抛物线于A，B两点，点O是坐标原点，若|AF|=5，则△ABO的面积为()A. 5B. 52C. 32D. 17812.点M在曲线G：y=3ln x上，过M作x轴垂线l，设l与曲线y=1x 交于点N，若OP⃗⃗⃗⃗⃗ =OM⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +ON⃗⃗⃗⃗⃗⃗3，且P点的纵坐标始终为0，则称M点为曲线G上的“水平黄金点”，则曲线G上的“水平黄金点”的个数为()A. 0B. 1C. 2D. 3二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）13.已知函数f(x)={2x(x<−1),3x−2(x≥−1),则f(f(−2))=_______．14.已知△ABC的内角A、B、C的对边分别为a、b、c其面积为S，且(b+c)2−a2=4√3S，则角A=______．15.设F1、F2分别是双曲线x2a2−y2b2=1的左、右焦点．若双曲线上存在点A，使∠F1AF2=90°，且|AF1|=2|AF2|，则双曲线的离心率为______．16.正方体ABCD−A1B1C1D1中，E是棱DD1的中点，F是侧面CDD1C1上的动点，且B1F//平面A1BE，记B1与F的轨迹构成的平面为α．①∃F，使得B1F⊥CD1②直线B1F与直线BC所成角的正切值的取值范围是[√24,1 2 ]③α与平面CDD1C1所成锐二面角的正切值为2√2④正方体ABCD−A1B1C1D1的各个侧面中，与α所成的锐二面角相等的侧面共四个．其中正确命题的序号是_______.(写出所有正确的命题序号)三、解答题（本大题共7小题，共82.0分）17.已知数列{a n}的前n项和S n=2n−1，数列{b n}满足b1=1，(1+log2a n)b n+1=n(b n+2)．(1)求数列{a n}，{b n}的通项公式；(2)求数列{a n b n}的前n项和T n．18.大型综艺节目《最强大脑》中，有一个游戏叫做盲拧魔方，就是玩家先观察魔方状态并进行记忆，记住后蒙住眼睛快速还原魔方，盲拧在外人看来很神奇，其实原理是十分简单的，要学会盲拧也是很容易的．根据调查显示，是否喜欢盲拧魔方与性别有关．为了验证这个结论，某兴趣小组随机抽取了50名魔方爱好者进行调查，得到的情况如表所示：表(1)并邀请这30名男生参加盲拧三阶魔方比赛，其完成情况如表所示：成功完成时间(分钟)[0,10)[10,20)[20,30)[30,40]人数101055表(2)(Ⅰ)将表(1)补充完整，并判断能否在犯错误的概率不超过0.025的前提下认为是否喜欢盲拧与性别有关？(Ⅱ)现从表(2)中成功完成时间在[0,10)内的10名男生中任意抽取3人对他们的盲拧情况进行视频记录，记成功完成时间在[0,10)内的甲、乙、丙3人中被抽到的人数为X，求X的分布列及数学期望E(X)．，其中n=a+b+c+d．附参考公式及数据：K2=n(ad−bc)2(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)P(K2≥k0)0.100.050.0250.0100.0050.001 k0 2.706 3.841 5.024 6.6357.87910.82819.如图，在三棱柱ABC−A1B1C1中，侧面AA1B1B是边长为1的菱形，∠A1B1B=60°，E为A1C1的中点，AC1=B1C1=1，A1C1=BC1，A1B∩AB1=O．(1)证明：平面AB1C1⊥平面AA1B1B；(2)求二面角A−OE−C的余弦值．20.如图，已知椭圆C：x2a2+y2b2=1(a>b>0)离心率为12，焦距为2．(Ⅰ)求椭圆C的方程；(Ⅱ)直线l与椭圆切于点P，OQ⊥l，垂足为Q，其中O为坐标原点．求△OPQ面积的最大值．21.已知函数f(x)=14x2−4x+ln(x+14)，判断函数f(x)的单调性并求其极值．22.已知过点P(x0,0)的直线l的倾斜角为π，以平面直角坐标系的原点为极点，x轴的非负半轴为极6轴建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为ρ=2cos θ．(1)求曲线C的直角坐标方程并写出直线l的一个参数方程；(2)若直线l和曲线C交于A、B两点，且|PA|⋅|PB|=2，求实数x0的值．23.已知函数f(x)=|x+1|+|2x−1|(1)解不等式f(x)≤x+2;(2)若函数g(x)=|x+2019|+|x+2021−a|，若对于任意的x1∈R，都存在互x2∈R，使得f(x1)=g(x2)成立，求实数a的取值范围．-------- 答案与解析 --------1.答案：B解析：解：集合A={x∈R|x2−3x−4≤0}={x∈R|−1≤x≤4}=[−1,4]；B={x∈R|x≤a}，若A∪B=B，则A⊆B；∴实数a的取值范围是[4,+∞)．故选：B．解不等式求得集合A，根据A∪B=B知A⊆B，从而求得a的取值范围．本题考查了集合的化简与运算问题，是基础题．2.答案：B解析：本题主要考查复数的代数表示以及几何意义，属于基础题．求出复数z的对应点的坐标，即可得到选项．解：因为复数z=1+2i，所以z=1−2i对应的点的坐标为(1,−2)，z在复平面内对应的点位于第四象限，故错误．故选B．3.答案：D解析：a2≤b≤2a，则a2+a≤b+a=c≤2a+a，即3a2≤c≤3a，又6<a<10，则{c>9c<30，故选D．4.答案：C解析：本题考查二倍角公式，同角三角函数的基本关系，属于基础题.由条件得sinαcosα=−1225，利用sin 2α+cos 2α=1，即可得结果．解：因为sin2α=−2425，所以sinαcosα=−1225， 即sinαcosαsin 2α+cos 2α=−1225，所以有tanαtan 2α+1=−1225， 解得tanα=−34或−43． 又α∈(π4,3π4)，所以|tanα|>1，故tanα=−43． 故选C ．5.答案：B解析：解：模拟程序的运行，可得 a =4，b =2，n =1， a =6，b =4，不满足循环的条件a ≤b ，执行循环体，n =2，a =9，b =8 不满足循环的条件a ≤b ，执行循环体，n =3，a =13.5，b =16 满足循环的条件a ≤b ，退出循环，输出n 的值为3． 故选：B ．模拟程序的运行过程，分析循环中各变量值的变化情况，可得答案．本题考查的知识点是程序框图，当循环的次数不多，或有规律时，常采用模拟循环的方法解答，属于基础题．6.答案：C解析：本题考查等比数列的前n 项和的概念，熟练掌握等比数列的通项公式是解题的关键． 设等比数列{a n }的公比为q ，利用已知和等比数列的通项公式即可得到。
【6月15日太原三模理数】2020年6月山西省太原市高三年级模拟试题(三)理科数学试卷含答案
第 5 页 共 5 页 22．（本小题满分10分）选修4-4：坐标系与参数方程解（1）因为6cos ρθ=，所以26cos ρρθ=，所以226x y x +=，即曲线C 的直角坐标方程为22(3)9x y -+=， …………2分 直线l 的参数方程3πcos ,43π2sin 4x t y t ⎧⎪==⎨+⎪⎪⎪⎩(t 为参数)，即,222x y =-=+⎧⎪⎪⎨⎪⎪⎩(t 为参数)，………………………………5分（2）设点A ，B 对应的参数分别为1t ，2t ，将直线l 的参数方程代入曲线C的直角坐标方程得2232922t ⎛⎫⎛⎫--++= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，整理，得240t +=+，所以1212·4t t t t ⎧+=-=⎪⎨⎪⎩ ……………………7分 1212120,0,0,0t t t t t t <><⋅∴+<，所以12MA MB t t +=+12()t t =-+=, MA MB⋅||21t t ==4, 所以11MA MB +=M M M A MB A B +⋅4=. ………………………10分 23．（本小题满分10分）选修4-5：不等式选讲解：（1）当1=a 时，4|2||1|4)(<-++⇒<x x x f ，化为⎩⎨⎧->-<321x x 或⎩⎨⎧<≤≤-4321x 或⎩⎨⎧<->4122x x , ………………………………3分 解得123-<<-x 或21≤≤-x 或252<<x ， 2523<<-∴x .即不等式()4f x <的解集为)25,23(-. ……………………5分 （2）根据题意，得224m m -+的取值范围是()f x 值域的子集. 33)1(4222≥+-=+-m m m ，又由于|12||2||1|)(+≥-++=a a x x x f ，)(x f ∴的值域为)|,12[|+∞+a ，……………………………………8分故3|12|≤+a ，12≤≤-∴a .即实数a 的取值范围为]1,2[-. ……………10分 注：以上各题其他正确解法相应得分。
2020年山西省太原市高考数学三模试卷(理科)
2020年山西省太原市高考数学三模试卷（理科）一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．（5分）已知集合2{|320}A x x x =-+…，{|1}B x x a =+…，若A B R =U ，则实数a 的取值范围是( ) A ．[2，)+∞B ．(-∞，2]C ．[1，)+∞D ．(-∞，1]2．（5分）若复数z 满足(12)z i i =-g ，则复平面内z 对应的点位于( ) A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限3．（5分）已知1a b >>，0c <，则( ) A ．c ca b< B ．a b c c <C ．c c a b <D ．log ()log ()a b b c a c ->-4．（5分）已知sin cos αα-(0,)απ∈，则tan α的值是( )A ．1-B ．CD ．15．（5分）宋元时期数学名著《算学启蒙》中有关于“松竹并生“的问题，松长三尺，竹长一尺，松日自半，竹日自倍，松竹何日而长等，如图是源于其思想的一个程序框图，若输入的a ，b 分别为3，1，则输出的n 等于( )A ．5B ．4C ．3D ．26．（5分）已知等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，若138a a =-，且313S =，则2(a = ) A ．3-B ．3C ．353-D ．3或353-7．（5分）平面向量a r，b r 共线的充要条件是( )A ．||||a b a b =r rr r gB ．a r，b r 两向量中至少有一个为零向量C ．R λ∃∈，b a λ=r rD ．存在不全为零的实数1λ，2λ，120a b λλ+=r r r8．（5分）根据党中央关于“精准”脱贫的要求，我市某农业经济部门派四位专家对三个县区进行调研，每个县区至少派一位专家，则甲，乙两位专家派遣至同一县区的概率为() A ．16B ．14 C ．13D ．129．（5分）把函数2()sin f x x =的图象向右平移12π个单位后，得到函数()y g x =的图象．则()g x 的解析式是( ) A ．2()sin ()12g x x π=+B ．1()cos(2)212g x x π=--C ．11()cos(2)262g x x π=--+D ．11()sin(2)262g x x π=-+10．（5分）已知函数()f x 是定义在R 上的偶函数，且在区间[0，)+∞上单调递增，若实数a 满足212(log )(log )2f a f a f +„（1），则a 的取值范围是( )A ．1[,2]2B ．[1，2]C ．1(0,)2D ．(0，2]11．（5分）已知抛物线2:8C x y =，过点0(M x ，0)y 作直线MA 、MB 与抛物线C 分别切于点A 、B ，且以AB 为直径的圆过点M ，则0y 的值为( ) A ．1-B ．2-C ．4-D ．不能确定12．（5分）点M 在曲线:3G y lnx =上，过M 作x 轴垂线l ，设l 与曲线1y x=交于点N ，若3OM ONOP +=u u u u r u u u r u u u r ，且P 点的纵坐标始终为0，则称M 点为曲线G 上的“水平黄金点”则曲线G 上的“水平黄金点”的个数为( ) A ．0B ．1C ．2D ．3二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.13．（5分）已知函数122log (01),()1(1),x x f x x x <⎧⎪=⎨⎪->⎩„则1(())8f f = ．14．（5分）ABC ∆的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ．若ABC ∆则A = ．15．（5分）设1F ，2F 分别是双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的左、右焦点，若双曲线上存在点P ，使1260F PF ∠=︒，且12||2||PF PF =，则双曲线的离心率为 ．16．（5分）正方体1111ABCD A B C D -中，E 是棱1DD 的中点，F 是侧面11CDD C 上的动点，且1//B F 平面1A BE ，记1B 与F 的轨迹构成的平面为α． ①F ∃，使得11B F CD ⊥②直线1B F 与直线BC所成角的正切值的取值范围是，1]2③α与平面11CDD C所成锐二面角的正切值为④正方体1111ABCD A B C D -的各个侧面中，与α所成的锐二面角相等的侧面共四个． 其中正确命题的序号是 ．（写出所有正确的命题序号）三、解答题：共70分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17-21题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22、23题为选考题，考生根据要求作答.（一）必考题：共60分.17．（12分）已知{}n a 是公差为1的等差数列，数列{}n b 满足11b =，212b =，11n n n n a b b nb +++=． （1）求数列{}n b 的通项公式； （2）设12n nnc b =，求数列{}n c 的前n 项和n S ． 18．（12分）垃圾分类是对垃圾进行有效处置的一种科学管理方法，为了了解居民对垃圾分类的知晓率和参与率，引导居民积极行动，科学地进行垃圾分类，某小区随机抽取年龄在区间[25，85]上的50人进行调研，统计出年龄频数分布及了解垃圾分类的人数如表：（1）填写下面22x 列联表，并判断能否在犯错误的概率不超过0.01的前提下认为以65岁为分界点居民对了解垃圾分类的有关知识有差异；（2）若对年龄在[45，55)，[25，35)的被调研人中各随机选取2人进行深入调研，记选中的4人中不了解垃圾分类的人数为X ，求随机变量X 的分布列和数学期望． 参考公式和数据22()()()()()n adbc K a b c d a c b d -=++++，其中n a b c d =+++．19．（12分）如图，在三棱柱111ABC A B C -中，已知四边形11AA C C 为矩形，16AA =，4AB AC ==，160BAC BAA ∠=∠=︒，1A AC ∠的角平分线AD 交1CC 于D ．（Ⅰ）求证：平面BAD ⊥平面11AA C C ； （Ⅱ）求二面角111A B C A --的余弦值．。
2020年山西省太原市高考数学(理科)三模试卷 (解析版)
2020年太原市高考数学三模试卷（理科）一、选择题（共12小题）.1．已知集合A＝{x|x2﹣3x+2≥0}，B＝{x|x+1≥a}，若A∪B＝R，则实数a的取值范围是（）A．[2，+∞）B．（﹣∞，2]C．[1，+∞）D．（﹣∞，1]2．若复数z满足z＝（1﹣2i）•i，则复平面内z对应的点位于（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限3．已知a＞b＞1，c＜0，则（）A．ca＜cbB．c a＜c bC．a c＜b c D．log a（b﹣c）＞log b（a﹣c）4．已知sinα﹣cosα=√2，α∈（0，π），则tanα的值是（）A．﹣1B．−√22C．√22D．15．宋元时期数学名著《算学启蒙》中有关于“松竹并生“的问题，松长三尺，竹长一尺，松日自半，竹日自倍，松竹何日而长等，如图是源于其思想的一个程序框图，若输入的a，b分别为3，1，则输出的n等于（）A．5B．4C．3D．26．已知等比数列{a n}的前n项和为S n，若a1＝a3﹣8，且S3＝13，则a2＝（）A．﹣3B．3C．−353D．3或−3537．平面向量a→，b→共线的充要条件是（）A．a→⋅b→=|a→||b→|B．a→，b→两向量中至少有一个为零向量C．∃λ∈R，b→=λa→D．存在不全为零的实数λ1，λ2，λ1a→+λ2b→=0→8．根据党中央关于“精准”脱贫的要求，我市某农业经济部门派四位专家对三个县区进行调研，每个县区至少派一位专家，则甲，乙两位专家派遣至同一县区的概率为（）A．16B．14C．13D．129．把函数f（x）＝sin2x的图象向右平移π12个单位后，得到函数y＝g（x）的图象．则g（x）的解析式是（）A．g(x)=sin2(x+π12 )B．g(x)=−12cos(2x−π12)C．g(x)=−12cos(2x−π6)+12D．g(x)=12sin(2x−π6)+1210．已知函数f（x）是定义在R上的偶函数，且在区间[0，+∞）上单调递增，若实数a满足f（log2a）+f（log12a）≤2f（1），则a的取值范围是（）A．[12，2]B．[1，2]C．(0，12)D．（0，2]11．已知抛物线C：x2＝8y，过点M（x0，y0）作直线MA、MB与抛物线C分别切于点A、B，且以AB为直径的圆过点M，则y0的值为（）A．﹣1B．﹣2C．﹣4D．不能确定12．点M在曲线G：y＝3lnx上，过M作x轴垂线l，设l与曲线y=1x交于点N，若OP→=OM→+ON→3，且P点的纵坐标始终为0，则称M点为曲线G上的“水平黄金点”则曲线G上的“水平黄金点”的个数为（）A．0B．1C．2D．3二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.13．已知函数f （x ）={log 12x(0＜x ≤1)，x 2−1(x ＞1)，则f(f(18))= ． 14．△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ．若△ABC 的面积为√3(a 2−b 2−c 2)4，则A ＝ ． 15．设F 1，F 2分别是双曲线x 2a 2−y 2b 2=1(a ＞0，b ＞0)的左、右焦点，若双曲线上存在点P ，使∠F 1PF 2＝60°，且|PF 1|＝2|PF 2|，则双曲线的离心率为 ．16．正方体ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1中，E 是棱DD 1的中点，F 是侧面CDD 1C 1上的动点，且B 1F ∥平面A 1BE ，记B 1与F 的轨迹构成的平面为α． ①∃F ，使得B 1F ⊥CD 1②直线B 1F 与直线BC 所成角的正切值的取值范围是[√24，12]③α与平面CDD 1C 1所成锐二面角的正切值为2√2④正方体ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1的各个侧面中，与α所成的锐二面角相等的侧面共四个． 其中正确命题的序号是 ．（写出所有正确的命题序号）三、解答题：共70分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17-21题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22、23题为选考题，考生根据要求作答.（一）必考题：共60分.17．已知{a n }是公差为1的等差数列，数列{b n }满足b 1＝1，b 2=12，a n b n +1+b n +1＝nb n ． （1）求数列{b n }的通项公式； （2）设c n =1nn，求数列{c n }的前n 项和S n ． 18．垃圾分类是对垃圾进行有效处置的一种科学管理方法，为了了解居民对垃圾分类的知晓率和参与率，引导居民积极行动，科学地进行垃圾分类，某小区随机抽取年龄在区间[25，85]上的50人进行调研，统计出年龄频数分布及了解垃圾分类的人数如表：年龄 [25，35） [35，45） [45，55） [55，65） [65，75） [75，85）频数 5 10 10 15 5 5 了解4581221（1）填写下面2x 2列联表，并判断能否在犯错误的概率不超过0.01的前提下认为以65岁为分界点居民对了解垃圾分类的有关知识有差异；年龄低于65岁的人数 年龄不低于65岁的人数合计了解 a ＝ c ＝ 不了解 b ＝ d ＝ 合计（2）若对年龄在[45，55），[25，35）的被调研人中各随机选取2人进行深入调研，记选中的4人中不了解垃圾分类的人数为X ，求随机变量X 的分布列和数学期望． 参考公式和数据K 2=n(ad−bc)2(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)，其中n ＝a +b +c +d ．P （K 2≥k 0）0.10 0.10 0.05 0.025 0.010 0.005 0.001 k 02.0722.7063.8415.0246.6357.87910.82819．如图，在三棱柱ABC ﹣A 1B 1C 1中，已知四边形AA 1C 1C 为矩形，AA 1＝6，AB ＝AC ＝4，∠BAC ＝∠BAA 1＝60°，∠A 1AC 的角平分线AD 交CC 1于D ． （Ⅰ）求证：平面BAD ⊥平面AA 1C 1C ； （Ⅱ）求二面角A ﹣B 1C 1﹣A 1的余弦值．20．已知椭圆C ：x 2a+y 2b=1（a ＞b ＞0）的焦距为2，且过点(1，32)．（1）求椭圆C 的方程；（2）已知△BMN 是椭圆C 的内接三角形，若坐标原点O 为△BMN 的重心，求点O 到直线MN 距离的最小值．21．已知函数f （x ）＝xlnx ﹣ax 2（a ∈R ）． （1）讨论函数的极值点个数；（2）若g （x ）＝f （x ）﹣x 有两个极值点x 1，x 2，试判断x 1+x 2与x 1•x 2的大小关系并证明．（二）选考题：共10分．请考生在第22、23题中任选一题作答．如果多做，则按所做的第一题计分.作答时请用2B铅笔在答题卡上将所选题号后的方框涂黑.[选修4-4：坐标系与参数方程]22．已知曲线C的极坐标方程是ρ﹣6cosθ＝0，以极点为原点，极轴为x轴的正半轴，建立平面直角坐标系，直线l过点M（0，2），倾斜角为34π．（1）求曲线C的直角坐标方程与直线l的参数方程；（2）设直线l与曲线C交于A，B两点，求1|MA|+1|MB|的值．[选修4-5：不等式选讲]23．已知函数f（x）＝|x+1|+|x﹣2a|．（1）若a＝1，解不等式f（x）＜4；（2）对任意的实数m，若总存在实数x，使得m2﹣2m+4＝f（x），求实数a的取值范围．参考答案一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知集合A＝{x|x2﹣3x+2≥0}，B＝{x|x+1≥a}，若A∪B＝R，则实数a的取值范围是（）A．[2，+∞）B．（﹣∞，2]C．[1，+∞）D．（﹣∞，1]【分析】求出集合A，B，由A∪B＝R，能求出实数a的取值范围．解：∵集合A＝{x|x2﹣3x+2≥0}＝{x|x≤1或x≥2}，B＝{x|x+1≥a}＝{x|x≥a﹣1}，A∪B＝R，∴a﹣1≤1，解得a≤2，∴实数a的取值范围是（﹣∞，2]．故选：B．2．若复数z满足z＝（1﹣2i）•i，则复平面内z对应的点位于（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限【分析】利用复数的运算法则、几何意义、共轭复数的定义即可得出．解：z＝（1﹣2i）•i＝2+i，z=2﹣i在复平面内所对应的点（2，﹣1）位于第四象限．故选：D．3．已知a＞b＞1，c＜0，则（）A．ca＜cbB．c a＜c bC．a c＜b c D．log a（b﹣c）＞log b（a﹣c）【分析】直接利用不等式的应用和赋值法的应用求出结果．解：①由于a＞b＞1，所以0＜1a＜1b，c＜0，故ca＞cb，选项A错误．②当c＝﹣2，a＝3，b＝2时，c a＞c b，故选项B错误．③由于a＞b＞1，c＜0，故a c＜b c，选项C正确．④由于a＞b＞1，c＜0，所以a﹣c＞b﹣c，故log a（b﹣c）＜log b（a﹣c），故错误．故选：C．4．已知sinα﹣cosα=√2，α∈（0，π），则tanα的值是（）A．﹣1B．−√22C．√22D．1【分析】由条件可得1﹣2sinαcosα＝2，求得sin2α＝﹣1，可得2α的值，从而求得tanα的值．解：∵已知sinα−cosα=√2，α∈(0，π)，∴1﹣2sinαcosα＝2，即sin2α＝﹣1，故2α=3π2，∴α=3π4，tanα＝﹣1．故选：A．5．宋元时期数学名著《算学启蒙》中有关于“松竹并生“的问题，松长三尺，竹长一尺，松日自半，竹日自倍，松竹何日而长等，如图是源于其思想的一个程序框图，若输入的a，b分别为3，1，则输出的n等于（）A．5B．4C．3D．2【分析】由已知中的程序语句可知：该程序的功能是利用循环结构计算a，b的值并输出变量n的值，模拟程序的运行过程，分析循环中各变量值的变化情况，可得答案．解：模拟程序的运行，可得a＝3，b＝1n＝1a=92，b＝2不满足条件a ≤b ，执行循环体，n ＝2，a =274，b ＝4 不满足条件a ≤b ，执行循环体，n ＝3，a =818，b ＝8 不满足条件a ≤b ，执行循环体，n ＝4，a =24316，b ＝16 此时，满足条件a ≤b ，退出循环，输出n 的值为4． 故选：B ．6．已知等比数列{a n }的前n 项和为S n ，若a 1＝a 3﹣8，且S 3＝13，则a 2＝（ ） A ．﹣3B ．3C ．−353D ．3或−353【分析】由已知结合等比数列的通项公式及求和公式可求首项及公比，然后再结合等比数列的通项公式即可求解． 解：设公比为q ，易知q ≠1． 由{a 1=a 3−8S 3=13得{a 1=a 1q 2−8a 1(1−q 3)1−q =13， 解得{a 1=1q =3或{a 1=253q =−75， 当{a 1=1q =3时，a 2＝a 1q ＝3； 当{a 1=253q =−75时，a 2=a 1q =−353 所以a 2＝3或a 2=−353， 故选：D ．7．平面向量a →，b →共线的充要条件是（ ）A ．a →⋅b →=|a →||b →|B ．a →，b →两向量中至少有一个为零向量C ．∃λ∈R ，b →=λa →D ．存在不全为零的实数λ1，λ2，λ1a →+λ2b →=0→【分析】写出共线向量基本定理，找四个选项中的等价命题得结论． 解：由共线向量基本定理可知，若平面向量a →，b →共线，则存在不为零的实数λ，使b→=λa→（a→≠0→），即λa→−b→=0→，其等价命题为存在不全为零的实数λ1，λ2，λ1a→+λ2b→=0→．故选：D．8．根据党中央关于“精准”脱贫的要求，我市某农业经济部门派四位专家对三个县区进行调研，每个县区至少派一位专家，则甲，乙两位专家派遣至同一县区的概率为（）A．16B．14C．13D．12【分析】每个县区至少派一位专家，基本事件总数n=C42A33=36，甲，乙两位专家派遣至同一县区包含的基本事件个数m=C22C31A22=6，由此能求出甲，乙两位专家派遣至同一县区的概率．解：我市某农业经济部门派四位专家对三个县区进行调研，每个县区至少派一位专家，基本事件总数n=C42A33=36，甲，乙两位专家派遣至同一县区包含的基本事件个数m=C22C31A22=6，∴甲，乙两位专家派遣至同一县区的概率为p=mn=636=16．故选：A．9．把函数f（x）＝sin2x的图象向右平移π12个单位后，得到函数y＝g（x）的图象．则g（x）的解析式是（）A．g(x)=sin2(x+π12 )B．g(x)=−12cos(2x−π12)C．g(x)=−12cos(2x−π6)+12D．g(x)=12sin(2x−π6)+12【分析】由题意利用函数y＝A sin（ωx+φ）的图象变换规律，得出结论．解：把函数f（x）＝sin2x=12−12cos2x的图象向右平移π12个单位后，得到函数y＝g（x）=12−12cos（2x−π6）的图象，故选：C．10．已知函数f （x ）是定义在R 上的偶函数，且在区间[0，+∞）上单调递增，若实数a 满足f （log 2a ）+f （log 12a ）≤2f （1），则a 的取值范围是（ ）A ．[12，2]B ．[1，2]C ．(0，12)D ．（0，2]【分析】由偶函数的性质将f （log 2a ）+f （log 12a ）≤2f （1）化为：f （log 2a ）≤f （1），再由f （x ）的单调性列出不等式，根据对数函数的性质求出a 的取值范围． 解：因为函数f （x ）是定义在R 上的偶函数， 所以f （log 12a ）＝f （﹣log 2a ）＝f （log 2a ），则f （log 2a ）+f （log 12a ）≤2f （1）为：f （log 2a ）≤f （1），因为函数f （x ）在区间[0，+∞）上单调递增， 所以|log 2a |≤1，解得12≤a ≤2，则a 的取值范围是[12，2]，故选：A ．11．已知抛物线C ：x 2＝8y ，过点M （x 0，y 0）作直线MA 、MB 与抛物线C 分别切于点A 、B ，且以AB 为直径的圆过点M ，则y 0的值为（ ） A ．﹣1B ．﹣2C ．﹣4D ．不能确定【分析】设出AB 的坐标，利用函数的导数，结合直线经过M ，转化求解y 0的值．解：设A （x 1，y 1），B （x 2，y 2），x 1≠x 2，由x 2＝8y ，可得y ′=x 4，所以k MA =x14，k MB =x 24， 因为过点M （x 0，y 0）作直线MA 、MB 与抛物线C 分别切于点A 、B ，且以AB 为直径的圆过点M ，所以，k MA •k MB =x24•x 14=−1，可得x 1x 2＝﹣16，直线MA 的方程为：y ﹣y 1=x14（x ﹣x 1），x 1x ＝4（y +y 1）…①，同理直线MB 的方程为：y ﹣y 2=x24（x ﹣x 2），x 2x ＝4（y +y 2）…②， ①×x 2﹣②×x 1，可得y =x 1x28=−2，即y 0＝﹣2， 故选：B ．12．点M 在曲线G ：y ＝3lnx 上，过M 作x 轴垂线l ，设l 与曲线y =1x 交于点N ，若OP →=OM →+ON →3，且P 点的纵坐标始终为0，则称M 点为曲线G 上的“水平黄金点”则曲线G 上的“水平黄金点”的个数为（ ） A ．0B ．1C ．2D ．3【分析】设M （x 1，3lnx 1），可得直线l 的方程，联立曲线y =1x，可得N 的坐标，再由向量的加法运算可得P 的坐标，再由P 的纵坐标始终为0，考虑方程的解的个数，设出函数，求得导数和单调性、极值和最值，判断最值的符号，即可得到所求个数．解：设M （x 1，3lnx 1），则直线l ：x ＝x 1，由{x =x 1y =1x 可得y =1x 1，即N （x 1，1x 1）， OP →=OM →+ON →3=13（2x 1，3lnx 1+1x 1）＝（2x 13，lnx 1+13x 1）， 又P 的纵坐标始终为0，即lnx 1+13x 1=0，可令f （x ）＝lnx +13x （x ＞0），导数为f ′（x ）=1x −13x 2=3x−13x 2，由f ′（x ）＝0，可得x =13，则当0＜x ＜13时，f ′（x ）＜0，f （x ）递减；x ＞13时，f ′（x ）＞0，f （x ）递增． 可得f （x ）在x =13处取得极小值，且为最小值f （13）＝ln 13+1＝1﹣ln 3， 由1﹣ln 3＜0，则f （x ）在（0，+∞）有两个零点，即方程lnx 1+13x 1=0有两个不等实根，所以曲线G 上的“水平黄金点”的个数为2， 故选：C ．二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.13．已知函数f （x ）={log 12x(0＜x ≤1)，x 2−1(x ＞1)，则f(f(18))= 8 ． 【分析】依题意得f （18）＝3，从而f （f （18））＝f （3），由此能求出结果．解：∵函数f （x ）={log 12x(0＜x ≤1)，x 2−1(x ＞1)， 则f （18）＝log1218=3；∴f(f(18))=f （3）＝32﹣1＝8．故答案为：8．14．△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ．若△ABC 的面积为√3(a 2−b 2−c 2)4，则A ＝2π3．【分析】由已知结合余弦定理及三角形的面积公式进行化简即可求解． 解：由余弦定理可得a 2﹣b 2﹣c 2＝﹣2bc cos A ， △ABC 的面积为√3(a 2−b 2−c 2)4=−√32bccosA ， 又因为S △ABC =12bcsinA =−√32bccosA ，所以tan A =−√3， 由A ∈（0，π）可得A =2π3． 故答案为：2π315．设F 1，F 2分别是双曲线x 2a −y 2b =1(a ＞0，b ＞0)的左、右焦点，若双曲线上存在点P ，使∠F 1PF 2＝60°，且|PF 1|＝2|PF 2|，则双曲线的离心率为 √3 ．【分析】根据点P 为双曲线上一点，∠F 1PF 2＝60°，且|PF 1|＝2|PF 2|，推出P 的位置，然后求解双曲线的离心率． 解：F 1，F 2分别是双曲线x 2a 2−y 2b 2=1(a ＞0，b ＞0)的左、右焦点，若双曲线上存在点P ，使∠F 1PF 2＝60°，且|PF 1|＝2|PF 2|， 可知：PF 2⊥F 1F 2，|PF 2|=b 2a ，tan ∠F 1PF 2=2cb 2a=√3，即2ac =√3（c 2﹣a 2），可得√3e 2﹣2e −√3=0，e ＞1， ∴e =√3． 故答案为：√3．16．正方体ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1中，E 是棱DD 1的中点，F 是侧面CDD 1C 1上的动点，且B 1F ∥平面A 1BE ，记B 1与F 的轨迹构成的平面为α． ①∃F ，使得B 1F ⊥CD 1②直线B 1F 与直线BC 所成角的正切值的取值范围是[√24，12]③α与平面CDD 1C 1所成锐二面角的正切值为2√2④正方体ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1的各个侧面中，与α所成的锐二面角相等的侧面共四个． 其中正确命题的序号是 ①②③④ ．（写出所有正确的命题序号）【分析】分别取CC 1和C 1D 1的中点为M ，N ，连接MN 、MB 1、NB 1，然后利用面面平行的判定定理证明平面MNB 1∥平面A 1BE ，从而确定平面MNB 1就是平面α． 当F 为线段MN 的中点时，可证明①；②利用平移的思想，将直线B 1F 与直线BC 所成角转化为B 1F 与B 1C 1所成的角，由于B 1C 1⊥平面MNC 1，所以tan ∠FB 1C 1即为所求，进而求解即可；③平面MNB 1与平面CDD 1C 1所成的锐二面角即为所求，也就是求出tan ∠B 1QC 1即可； ④由正方体的对称性和二面角的含义即可判断． 解：如图所示，设正方体的棱长为2，分别取CC 1和C 1D 1的中点为M ，N ，连接MN 、MB 1、NB 1，则MN ∥A 1B ，MB 1∥EA 1，∵MN 、MB 1⊂平面MNB 1，A 1B 、EA 1⊂平面A 1BE ，且MN ∩MB 1＝M ，A 1B ∩EA 1＝A 1， ∴平面MNB 1∥平面A 1BE ，∴当F 在MN 上运动时，始终有B 1F ∥平面A 1BE ，即平面MNB 1就是平面α． 对于①，当F 为线段MN 的中点时，∵MB 1＝NB 1，∴B 1F ⊥MN ，∵MN ∥CD 1，∴B 1F ⊥CD 1，即①正确；对于②，∵BC ∥B 1C 1，∴直线B 1F 与直线B 1C 1所成的角即为所求， ∵B 1C 1⊥平面MNC 1，C 1F ⊂平面MNC 1，∴B 1C 1⊥C 1F ，∴直线B 1F 与直线B 1C 1所成的角为∠FB 1C 1，且tan ∠FB 1C 1=FC1B 1C 1，而FC 1的取值范围为[√22，1]，B 1C 1＝2，所以tan ∠FB 1C 1∈[√24，12]，即②正确；对于③，平面MNB 1与平面CDD 1C 1所成的锐二面角即为所求，取MN 的中点Q ，因为B 1C 1⊥平面MNC 1，所以∠B 1QC 1就是所求角，而tan ∠B 1QC 1=B 1C 1QC 1=22=2√2，即③正确；对于④，由对称性可知，与α所成的锐二面角相等的面有平面BCC 1B 1，平面ADD 1A 1，平面A 1B 1C 1D 1，平面ABCD ，即④正确． 故答案为：①②③④．三、解答题：共70分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17-21题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22、23题为选考题，考生根据要求作答.（一）必考题：共60分.17．已知{a n }是公差为1的等差数列，数列{b n }满足b 1＝1，b 2=12，a n b n +1+b n +1＝nb n ． （1）求数列{b n }的通项公式； （2）设c n =12nb n，求数列{c n }的前n 项和S n ． 【分析】（1）先由题设条件求得a 1，再求a n ，进而论证数列{nb n }是常数列，最后求得b n ；（2）先由（1）求得c n ，再由错位相减法求S n ．解：（1）由已知得：a 1b 2+b 2＝b 1，∴a 1＝1．又∵{a n }是公差为1的等差数列，∴a n ＝n ．∵a n b n +1+b n +1＝nb n ，∴（n +1）b n +1＝nb n ，所以数列{nb n }是常数列，∴nb n ＝b 1＝1，∴b n =1n； （2）由（1）得：c n =12nb n =n •（12）n ， ∴S n ＝1×12+2×（12）2+3×（12）3+…+n •（12）n ①，又12S n ＝1×（12）2+2×（12）3+3×（12）4+…+n •（12）n +1②，由①﹣②可得：12S n =12+（12）2+（12）3+…+（12）n ﹣n •（12）n +1 =12[1−(12)n ]1−12−n •（12）n +1＝1﹣（n +2）•（12）n +1， ∴S n ＝2﹣（n +2）•（12）n ．18．垃圾分类是对垃圾进行有效处置的一种科学管理方法，为了了解居民对垃圾分类的知晓率和参与率，引导居民积极行动，科学地进行垃圾分类，某小区随机抽取年龄在区间[25，85]上的50人进行调研，统计出年龄频数分布及了解垃圾分类的人数如表：年龄 [25，35） [35，45） [45，55） [55，65） [65，75） [75，85）频数 5 10 10 15 5 5 了解4581221（1）填写下面2x 2列联表，并判断能否在犯错误的概率不超过0.01的前提下认为以65岁为分界点居民对了解垃圾分类的有关知识有差异；年龄低于65岁的人数 年龄不低于65岁的人数合计了解 a ＝ c ＝ 不了解 b ＝ d ＝ 合计（2）若对年龄在[45，55），[25，35）的被调研人中各随机选取2人进行深入调研，记选中的4人中不了解垃圾分类的人数为X ，求随机变量X 的分布列和数学期望．参考公式和数据K 2=n(ad−bc)2(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)，其中n ＝a +b +c +d ． P （K 2≥k 0）0.10 0.10 0.05 0.025 0.010 0.005 0.001 k 02.0722.7063.8415.0246.6357.87910.828【分析】（1）根据题意填写列联表，计算观测值，对照临界值得出结论；（2）由题意知随机变量X 的可能取值，计算对应的概率值，写出分布列，求出数学期望值．解：（1）根据题意填写2x 2列联表，年龄低于65岁的人数 年龄不低于65岁的人数合计了解 a ＝29 c ＝3 32 不了解 b ＝11 d ＝7 18 合计401050计算K 2=50×(29×7−11×3)240×10×32×18≈6.272＜6.635，所以不能在犯错误的概率不超过0.01的前提下，认为以65岁为分界点居民对了解垃圾分类的有关知识有差异；（2）由题意知，随机变量X的可能取值为0，1，2，3；计算P（X＝0）=C82⋅C42C102⋅C52=84225，P（X＝1）=C82⋅C41+C81⋅C21⋅C42C102⋅C52=104225，P（X＝2）=C81⋅C21⋅C41+C22⋅C42C102⋅C52=35225，P（X＝3）=C22⋅C41C102⋅C52=2225；所以随机变量X的分布列为：X0123P84225104225352252225所以X的数学期望为E（X）＝0×84225+1×104225+2×35225+3×2225=45．19．如图，在三棱柱ABC﹣A1B1C1中，已知四边形AA1C1C为矩形，AA1＝6，AB＝AC＝4，∠BAC＝∠BAA1＝60°，∠A1AC的角平分线AD交CC1于D．（Ⅰ）求证：平面BAD⊥平面AA1C1C；（Ⅱ）求二面角A﹣B1C1﹣A1的余弦值．【分析】（Ⅰ）过点D作DE∥AC交AA1于E，连接CE，BE，设AD∩CE＝O，连接BO，推导出DE⊥AE，四边形AEDC为正方形，CE⊥AD，推导出△BAC≌△BAE，从而BC＝BE，CE⊥BO，从而CE⊥平面BAD，由此能证明平面BAD⊥平面AA1C1C．（Ⅱ）推导出BO⊥AD，BO⊥CE，从而BO⊥平面AA1C1C，建立空间直角坐标系O﹣xyz，利用向量法能求出二面角A﹣B1C1﹣A1的余弦值．解：（Ⅰ）如图，过点D作DE∥AC交AA1于E，连接CE，BE，设AD∩CE＝O，连接BO，∵AC⊥AA1，∴DE⊥AE，又AD为∠A1AC的角平分线，∴四边形AEDC为正方形，∴CE⊥AD，又∵AC＝AE，∠BAC＝∠BAE，BA＝BA，∴△BAC≌△BAE，∴BC＝BE，又∵O 为CE 的中点，∴CE ⊥BO ，又∵AD ，BO ⊂平面BAD ，AD ∩BO ＝O ，∴CE ⊥平面BAD ． 又∵CE ⊂平面AA 1C 1C ，∴平面BAD ⊥平面AA 1C 1C ．（Ⅱ）在△ABC 中，∵AB ＝AC ＝4，∠BAC ＝60°，∴BC ＝4， 在Rt △BOC 中，∵CO =12CE =2√2，∴BO =2√2，又AB ＝4，AO =12AD =2√2，∵BO 2+AO 2＝AB 2，∴BO ⊥AD ，又BO ⊥CE ，AD ∩CE ＝O ，AD ，CE ⊂平面AA 1C 1C ，∴BO ⊥平面AA 1C 1C ， 故建立如图空间直角坐标系O ﹣xyz ，则A （2，﹣2，0），A 1（2，4，0），C 1（﹣2，4，0），B 1(0，6，2√2)， ∴C 1B 1→=(2，2，2√2)，AC 1→=(−4，6，0)，C 1A 1→=(4，0，0)， 设平面AB 1C 1的一个法向量为m →=(x 1，y 1，z 1)， 则{m →⊥C 1B 1→m →⊥AC 1→，∴{−4x 1+6y 1=02x 1+2y 1+2√2z 1=0， 令x 1＝6，得m →=(6，4，−5√2)，设平面A 1B 1C 1的一个法向量为n →=(x 2，y 2，z 2)，则{n →⊥C 1B 1→n →⊥C 1A 1→，∴{4x 2=02x 2+2y 2+2√2z 2=0，令y 2=√2，得n →=(0，√2，−1)， ∴cos ＜m →，n →＞=m →⋅n →|m →|⋅|n →|=9√2102⋅3=3√1717，故二面角A ﹣B 1C 1﹣A 1的余弦值为3√1717．20．已知椭圆C ：x 2a+y 2b=1（a ＞b ＞0）的焦距为2，且过点(1，32)．（1）求椭圆C 的方程；（2）已知△BMN 是椭圆C 的内接三角形，若坐标原点O 为△BMN 的重心，求点O 到直线MN 距离的最小值．【分析】（1）由题意焦距的值可得c 的值，再由过点的坐标，及a ，b ，c 之间的关系求出a ，b 的值，进而求出椭圆的方程；（2）分B 的纵坐标为0和不为0两种情况讨论，设B 的坐标，由O 是三角形的重心可得MN 的中点的坐标，设M ，N 的坐标，代入椭圆方程两式相减可得直线MN 的斜率，求出直线MN 的方程，求出O 到直线MN 的距离的表达式，再由B 的纵坐标的范围求出d 的取值范围，进而求出d 的最小值．解：（1）由题意可得：{c =11a 2+94b2=1c 2=a 2−b 2，解得：a 2＝4，b 2＝3，所以椭圆的方程为：x 24+y 23=1；（2）设B （m ，n ），记线段MN 中点D ，因为O 为△BMN 的重心，所以BO →=2OD →，则点D 的坐标为：（−m 2，−n2）， 若n ＝0，则|m |＝2，此时直线MN 与x 轴垂直， 故原点O 到直线MN 的距离为|m|2，即为1，若n ≠0，此时直线MN 的斜率存在，设M （x 1，y 1），N （x 2，y 2），则x 1+x 2＝﹣m ，y 1+y 2＝﹣n ， 又x 124+y 123=1，x 224+y 223=1，两式相减(x 1+x 2)(x 1−x 2)4+(y 1+y 2)(y 1−y 2)3=0，可得：k MN =y 1−y 2x 1−x 2═−3m4n ，故直线MN 的方程为：y =−3m4n（x +m 2）−n 2，即6mx +8ny +3m 2+4n 2＝0， 则点O 到直线MN 的距离d =|3m 2+4n 2|√36m +64n ，将m 24+n 23=1，代入得d =√n +9，因为0＜n 2≤3，所以d min =√32，又√32＜1，故原点O 到直线MN 的距离的最小值为√32．21．已知函数f（x）＝xlnx﹣ax2（a∈一、选择题）．（1）讨论函数的极值点个数；（2）若g（x）＝f（x）﹣x有两个极值点x1，x2，试判断x1+x2与x1•x2的大小关系并证明．【分析】（1）先求出f'（x）＝lnx+x⋅1x−2ax＝lnx﹣2ax+1（x＞0），令f'（x）＝0，得2a=1+lnxx，记Q（x）=1+lnxx，则函数f（x）的极值点个数转化为函数Q（x）与y＝2a的交点个数，再利用导数得到Q（x）在（0，1）上是增函数，在（1，+∞）上是减函数，且Q（x）max＝Q（1）＝1，对a分情况讨论，即可得到函数f（x）的极值点个数情况；（2）g（x）＝xlnx﹣ax2﹣x，g'（x）＝lnx﹣2ax（x＞0），令g'（x）＝0，则lnx﹣2ax＝0，所以2a=lnxx，记h（x）=lnxx，利用导数得到h（x）在（0，e）上是增函数，在（e，+∞）上是减函数，h（x）max＝h（e）=1e，当x＞e时，f（x）＞0，所以当0＜2a＜1e即1＜a＜12e时g（x）有2个极值点x1，x2，从而得到2a=ln(x1x2)x1+x2，所以ln（x1+x2）＜ln（x1x2），即x1+x2＜x1x2．解：（1）f'（x）＝lnx+x⋅1x−2ax＝lnx﹣2ax+1（x＞0），令f'（x）＝0，得2a=1+lnxx，记Q（x）=1+lnxx，则Q'（x）=−lnxx2，令Q'（x）＞0，得0＜x＜1；令Q'（x）＜0，得x＞1，∴Q（x）在（0，1）上是增函数，在（1，+∞）上是减函数，且Q（x）max＝Q（1）＝1，∴当2a＞1，即a＞12时，f'（x）＝0 无解，∴f（x）无极值点，当2a＝1，即a=12时，f'（x）＝0有一解，2a≥1+lnxx，即lnx﹣2ax+1≤0，f'（x）≤0 恒成立，∴f （x ）无极值点，当0＜2a ＜1，即0＜a ＜12时，f '（x ）＝0有两解，∴f （x ）有2个极值点， 当2a ≤0，即a ≤0时，f '（x ）＝0有一解，∴f （x ）有一个极值点，综上所述：当a ≥12时，f （x ）无极值点；0＜a ＜12时，f （x ）有2个极值点；当a ≤0时，f （x ）有1个极点；（2）g （x ）＝xlnx ﹣ax 2﹣x ，g '（x ）＝lnx ﹣2ax （x ＞0）， 令g '（x ）＝0，则lnx ﹣2ax ＝0，∴2a =lnxx， 记h （x ）=lnxx ，则h '（x ）=1−lnx x 2， 由h '（x ）＞0得0＜x ＜e ，由h '（x ）＜0，得x ＞e ，∴h （x ）在（0，e ）上是增函数，在（e ，+∞）上是减函数，h （x ）max ＝h （e ）=1e， 当x ＞e 时，f （x ）＞0， ∴当0＜2a ＜1e即1＜a ＜12e时g （x ） 有2个极值点x 1，x 2， 由{lnx 1=2ax 1lnx 2=2ax 2得，ln （x 1x 2）＝lnx 1+lnx 2＝2a （x 1+x 2）， ∴2a =ln(x 1x 2)x 1+x 2，不妨设x 1＜x 2，则1＜x 1＜e ＜x 2，∴x 1+x 2＞x 2＞e ， 又h （x ）在（e ，+∞） 上是减函数， ∴ln(x 1+x 2)x 1+x 2＜lnx 2x 2=2a =ln(x 1x 2)x 1+x 2， ∴ln （x 1+x 2）＜ln （x 1x 2）， ∴x 1+x 2＜x 1x 2．（二）选考题：共10分．请考生在第22、23题中任选一题作答．如果多做，则按所做的第一题计分.作答时请用2B 铅笔在答题卡上将所选题号后的方框涂黑.[选修4-4：坐标系与参数方程]22．已知曲线C 的极坐标方程是ρ﹣6cos θ＝0，以极点为原点，极轴为x 轴的正半轴，建立平面直角坐标系，直线l 过点M （0，2），倾斜角为34π．（1）求曲线C 的直角坐标方程与直线l 的参数方程； （2）设直线l 与曲线C 交于A ，B 两点，求1|MA|+1|MB|的值．【分析】（1）直接利用转换关系，把参数方程极坐标方程和直角坐标方程之间进行转换．（2）利用一元二次方程根和系数关系式的应用求出结果．解：（1）曲线C的极坐标方程是ρ﹣6cosθ＝0，转换为直角坐标方程为（x﹣3）2+y2＝9．直线l过点M（0，2），倾斜角为34π．整理得参数方程为{x=−√22ty=2+√22t（t为参数）．（2）将直线l的参数方程代入曲线C的直角坐标方程得(−√22t−3)2+(2+√22t)2=9，整理得t2+5√2t+4=0，所以：t1+t2=−5√2，t1t2＝4，所以求1|MA|+1|MB|=|t1+t2||t1t2|=5√24．[选修4-5：不等式选讲]23．已知函数f（x）＝|x+1|+|x﹣2a|．（1）若a＝1，解不等式f（x）＜4；（2）对任意的实数m，若总存在实数x，使得m2﹣2m+4＝f（x），求实数a的取值范围．【分析】（1）将a＝1代入f（x）中，再利用零点分段法解不等式f（x）＜4即可；（2）根据条件可知，m2﹣2m+4的取值范围是f（x）值域的子集，然后求出f（x）的值域和m2﹣2m+4的取值范围，再求出a的范围．解：（1）当a＝1时，f（x）＝|x+1|+|x﹣2|={2x−1，x＞23，−1≤x≤2−2x+1，x＜−1．∵f（x）＜4，∴{x＞22x−1＜4或{−1≤x≤23＜4或{x＜−1−2x+1＜4，∴2＜x＜52或﹣1≤x≤2或−32＜x＜−1，∴−32＜x＜52，∴不等式的解集为{x|−32＜x＜52}．（2）∵对任意的实数m，若总存在实数x，使得m2﹣2m+4＝f（x），∴m2﹣2m+4的取值范围是f（x）值域的子集．∵f（x）＝|x+1|+|x﹣2a|≥|2a+1|，∴f（x）的值域为[|2a+1|，+∞），又m2﹣2m+4＝（m﹣1）2+3≥3，∴|2a+1|≤3，∴﹣2≤a≤1，∴实数a的取值范围为[﹣2，1]．。
山西省太原市2019-2020学年中考三诊数学试题含解析
山西省太原市2019-2020学年中考三诊数学试题一、选择题（本大题共12个小题，每小题4分，共48分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）1．如图，已知E ，F 分别为正方形ABCD 的边AB ，BC 的中点，AF 与DE 交于点M ，O 为BD 的中点，则下列结论：①∠AME=90°；②∠BAF=∠EDB ；③∠BMO=90°；④MD=2AM=4EM ；⑤23AM MF =．其中正确结论的是（ ）A ．①③④B ．②④⑤C ．①③⑤D ．①③④⑤2．如图，AB 是⊙O 的直径，弦CD ⊥AB 于E ，∠CDB=30°，⊙O 的半径为3，则弦CD 的长为（ ）A ．32cmB ．3cmC ．23cmD ．9cm3．如图，平行四边形 ABCD 中， E 为 BC 边上一点，以 AE 为边作正方形AEFG ，若 40BAE ∠=︒，15CEF ∠=︒，则 D ∠的度数是A ．65︒B ．55︒C ．70︒D ．75︒4．下列方程中是一元二次方程的是( )A ．20ax bx c ++=B ．2211x x +=C ．(1)(2)1x x -+=D ．223250x xy y --=5．由一些大小相同的小正方体搭成的几何体的俯视图如图所示，其中正方形中的数字表示该位置上的小正方体的个数，那么该几何体的主视图是（ ）A ．B ．C ．D ．6．在△ABC中，点D、E分别在AB、AC上，如果AD＝2，BD＝3，那么由下列条件能够判定DE∥BC 的是( )A ．DEBC＝23B．DEBC＝25C．AEAC＝23D．AEAC＝257．把直线l：y=kx+b绕着原点旋转180°，再向左平移1个单位长度后，经过点A（-2,0）和点B（0,4），则直线l的表达式是（）A．y=2x+2 B．y=2x-2 C．y=-2x+2 D．y=-2x-28．下列对一元二次方程x2+x﹣3=0根的情况的判断，正确的是（）A．有两个不相等实数根B．有两个相等实数根C．有且只有一个实数根D．没有实数根9．甲、乙两人分别以4m/s和5m/s的速度，同时从100m直线型跑道的起点向同一方向起跑，设乙的奔跑时间为t（s），甲乙两人的距离为S（m），则S关于t的函数图象为（）A．B．C．D．10．设x1，x2是方程x2-2x-1=0的两个实数根，则2112x xx x+的值是( )A．-6 B．-5 C．-6或-5 D．6或511．实数a，b在数轴上的对应点的位置如图所示，则正确的结论是（）A．a＞﹣2 B．a＜﹣3 C．a＞﹣b D．a＜﹣b12．人的头发直径约为0.00007m，这个数据用科学记数法表示（）A．0.7×10﹣4B．7×10﹣5C．0.7×104D．7×105二、填空题：（本大题共6个小题，每小题4分，共24分．）13．如图，在Rt AOB∆中，42OA OB==Oe的半径为2，点P是AB边上的动点，过点P作Oe的一条切线PQ(点Q为切点)，则线段PQ长的最小值为______．14．如图，把一块含有45°角的直角三角板的两个顶点放在直尺的对边上.如果∠1=20°，那么∠2的度数是_____.15．如图，矩形ABCD中，AB＝2，点E在AD边上，以E为圆心，EA长为半径的⊙E与BC相切，交CD于点F，连接EF．若扇形EAF的面积为，则BC的长是_____．16．如图，⊙O的半径为5cm，圆心O到AB的距离为3cm，则弦AB长为_____ cm．17．如图，已知圆锥的底面⊙O的直径BC=6，高OA=4，则该圆锥的侧面展开图的面积为．18．如图，把一个直角三角尺ACB绕着30°角的顶点B顺时针旋转，使得点A与CB的延长线上的点E 重合连接CD，则∠BDC的度数为_____度．三、解答题：（本大题共9个小题，共78分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．19．（6分）某景区商店销售一种纪念品，每件的进货价为40元．经市场调研，当该纪念品每件的销售价为50元时，每天可销售200件；当每件的销售价每增加1元，每天的销售数量将减少10件．当每件的销售价为52元时，该纪念品每天的销售数量为件；当每件的销售价x为多少时，销售该纪念品每天获得的利润y最大？并求出最大利润．20．（6分）如图，AB为⊙O的直径，点D、E位于AB两侧的半圆上，射线DC切⊙O于点D，已知点E是半圆弧AB上的动点，点F是射线DC上的动点，连接DE、AE，DE与AB交于点P，再连接FP、FB，且∠AED＝45°．求证：CD∥AB；填空：①当∠DAE＝时，四边形ADFP是菱形；②当∠DAE＝时，四边形BFDP是正方形．21．（6分）如图矩形ABCD中AB=6，AD=4，点P为AB上一点，把矩形ABCD沿过P点的直线l折叠，使D点落在BC边上的D′处，直线l与CD边交于Q点．（1）在图（1）中利用无刻度的直尺和圆规作出直线l．（保留作图痕迹，不写作法和理由）（2）若PD′⊥PD，①求线段AP的长度；②求sin∠QD′D．22．（8分）先化简，再求值：（x﹣3）÷（21x﹣1），其中x=﹣1．23．（8分）如图，已知在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC＞BC，CD是Rt△ABC的高，E是AC的中点，ED的延长线与CB的延长线相交于点F．（1）求证：DF是BF和CF的比例中项；（2）在AB上取一点G，如果AE•AC=AG•AD，求证：EG•CF=ED•DF．24．（10分）先化简，再求值：3a（a1+1a+1）﹣1（a+1）1，其中a=1．25．（10分）车辆经过润扬大桥收费站时，4个收费通道A．B、C、D中，可随机选择其中的一个通过．一辆车经过此收费站时，选择A通道通过的概率是；求两辆车经过此收费站时，选择不同通道通过的概率．26．（12分）（1）|﹣•tan30°+（2018﹣π）0-（15）-1 （2）先化简，再求值：（2x x x +﹣1）÷22121x x x -++，其中x 的值从不等式组23241x x -≤⎧⎨-⎩＜的整数解中选取．27．（12分）计算：（π﹣3.14）0﹣1|﹣2sin45°+（﹣1）1．参考答案一、选择题（本大题共12个小题，每小题4分，共48分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）1．D【解析】【分析】根据正方形的性质可得AB=BC=AD ，∠ABC=∠BAD=90°，再根据中点定义求出AE=BF ，然后利用“边角边”证明△ABF 和△DAE 全等，根据全等三角形对应角相等可得∠BAF=∠ADE ，然后求出∠ADE+∠DAF=∠BAD=90°，从而求出∠AMD=90°，再根据邻补角的定义可得∠AME=90°，从而判断①正确；根据中线的定义判断出∠ADE≠∠EDB ，然后求出∠BAF≠∠EDB ，判断出②错误；根据直角三角形的性质判断出△AED 、△MAD 、△MEA 三个三角形相似，利用相似三角形对应边成比例可得2AM MD AD EM AM AE===，然后求出MD=2AM=4EM ，判断出④正确，设正方形ABCD 的边长为2a ，利用勾股定理列式求出AF ，再根据相似三角形对应边成比例求出AM ，然后求出MF ，消掉a 即可得到AM=23MF ，判断出⑤正确；过点M 作MN ⊥AB 于N ，求出MN 、NB ，然后利用勾股定理列式求出BM ，过点M 作GH ∥AB ，过点O 作OK ⊥GH 于K ，然后求出OK 、MK ，再利用勾股定理列式求出MO ，根据正方形的性质求出BO ，然后利用勾股定理逆定理判断出∠BMO=90°，从而判断出③正确．【详解】在正方形ABCD 中，AB=BC=AD ，∠ABC=∠BAD=90°，∵E 、F 分别为边AB ，BC 的中点，∴AE=BF=12BC ， 在△ABF 和△DAE 中，AE BF ABC BAD AB AD ⎧⎪∠∠⎨⎪⎩＝＝＝ ，∴△ABF ≌△DAE （SAS ），∴∠BAF=∠ADE ，∵∠BAF+∠DAF=∠BAD=90°，∴∠ADE+∠DAF=∠BAD=90°，∴∠AMD=180°-（∠ADE+∠DAF ）=180°-90°=90°，∴∠AME=180°-∠AMD=180°-90°=90°，故①正确；∵DE 是△ABD 的中线，∴∠ADE≠∠EDB ，∴∠BAF≠∠EDB ，故②错误；∵∠BAD=90°，AM ⊥DE ，∴△AED ∽△MAD ∽△MEA ， ∴2AM MD AD EM AM AE=== ∴AM=2EM ，MD=2AM ，∴MD=2AM=4EM ，故④正确；设正方形ABCD 的边长为2a ，则BF=a ，在Rt △ABF 中，==∵∠BAF=∠MAE ，∠ABC=∠AME=90°，∴△AME ∽△ABF ，∴AM AE AB AF= ，即2AM a =解得AM=5∴=55-，∴AM=23MF ，故⑤正确； 如图，过点M 作MN ⊥AB 于N ，则MN AN AM BF AB AF== 即25525MN AN a a a== 解得MN=a 52，AN=45a ， ∴NB=AB-AN=2a-45a =65a ， 根据勾股定理，22226221055NB MN a a ⎛⎫⎛⎫+=+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ 过点M 作GH ∥AB ，过点O 作OK ⊥GH 于K ，则OK=a-a 52=a 53，MK=65a -a=15a ， 在Rt △MKO 中，2222131055MK OK a a ⎛⎫⎛⎫+=+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭根据正方形的性质，BO=2a×22a =， ∵BM 2+MO 2=222210102a ⎫⎫+=⎪⎪⎝⎭⎝⎭)22222BO a a ==∴BM 2+MO 2=BO 2，∴△BMO 是直角三角形，∠BMO=90°，故③正确；综上所述，正确的结论有①③④⑤共4个．故选：D【点睛】本题考查了正方形的性质，全等三角形的判定与性质，相似三角形的判定与性质，勾股定理的应用，勾股定理逆定理的应用，综合性较强，难度较大，仔细分析图形并作出辅助线构造出直角三角形与相似三角形是解题的关键．2．B【解析】【详解】解：∵∠CDB=30°，∴∠COB=60°，又∵CD⊥AB于点E，∴sin60︒==，解得CE=32cm，CD=3cm．故选B．考点：1．垂径定理；2．圆周角定理；3．特殊角的三角函数值．3．A【解析】分析：首先求出∠AEB，再利用三角形内角和定理求出∠B，最后利用平行四边形的性质得∠D=∠B即可解决问题．详解：∵四边形ABCD是正方形，∴∠AEF=90°，∵∠CEF=15°，∴∠AEB=180°-90°-15°=75°，∵∠B=180°-∠BAE-∠AEB=180°-40°-75°=65°，∵四边形ABCD是平行四边形，∴∠D=∠B=65°故选A．点睛：本题考查正方形的性质、平行四边形的性质、三角形内角和定理等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，学会用转化的思想思考问题，属于中考常考题型．4．C【解析】【分析】找到只含有一个未知数，未知数的最高次数是2，二次项系数不为0的整式方程的选项即可．【详解】解：A 、当a=0时，20ax bx c ++=不是一元二次方程，故本选项错误；B 、2211x x +=是分式方程，故本选项错误； C 、(1)(2)1x x -+=化简得：230x x +-=是一元二次方程，故本选项正确；D 、223250x xy y --=是二元二次方程，故本选项错误；故选：C ．【点睛】本题主要考查一元二次方程，熟练掌握一元二次方程的定义是解题的关键．5．A【解析】【分析】由三视图的俯视图,从左到右依次找到最高层数,再由主视图和俯视图之间的关系可知,最高层高度即为主视图高度.【详解】解：几何体从左到右的最高层数依次为1,2,3,所以主视图从左到右的层数应该为1,2,3,故选A.【点睛】本题考查了三视图的简单性质,属于简单题,熟悉三视图的概念,主视图和俯视图之间的关系是解题关键. 6．D【解析】【分析】根据平行线分线段成比例定理的逆定理,当AD AE DB EC =或AD AE AB AC=时,DE BD P ,然后可对各选项进行判断.【详解】 解：当AD AE DB EC =或AD AE AB AC=时, DE BD P , 即23AE EC =或25AE AC =. 所以D 选项是正确的.【点睛】本题考查了平行线分线段成比例定理:三条平行线截两条直线,所得的对应线段成比例.也考查了平行线分线段成比例定理的逆定理.7．B【解析】【分析】先利用待定系数法求出直线AB的解析式，再求出将直线AB向右平移1个单位长度后得到的解析式，然后将所得解析式绕着原点旋转180°即可得到直线l．【详解】解：设直线AB的解析式为y＝mx＋n．∵A（−2，0），B（0，1），∴，解得，∴直线AB的解析式为y＝2x＋1．将直线AB向右平移1个单位长度后得到的解析式为y＝2（x−1）＋1，即y＝2x＋2，再将y＝2x＋2绕着原点旋转180°后得到的解析式为−y＝−2x＋2，即y＝2x−2，所以直线l的表达式是y＝2x−2．故选：B．【点睛】本题考查了一次函数图象平移问题，掌握解析式“左加右减”的规律以及关于原点对称的规律是解题的关键．8．A【解析】【分析】根据方程的系数结合根的判别式，即可得出△=13＞0，进而即可得出方程x2+x﹣3=0有两个不相等的实数根．【详解】∵a=1，b=1，c=﹣3，∴△=b2﹣4ac=12﹣4×（1）×（﹣3）=13＞0，∴方程x2+x﹣3=0有两个不相等的实数根，故选A．【点睛】本题考查了根的判别式，一元二次方程根的情况与判别式△的关系：（1）△＞0⇔方程有两个不相等的实数根；（2）△=0⇔方程有两个相等的实数根；（3）△＜0⇔方程没有实数根．9．B【解析】【分析】匀速直线运动的路程s与运动时间t成正比，s-t图象是一条倾斜的直线解答．【详解】∵甲、乙两人分别以4m/s 和5m/s 的速度，∴两人的相对速度为1m/s ，设乙的奔跑时间为t （s ），所需时间为20s ，两人距离20s×1m/s=20m ， 故选B ．【点睛】此题考查函数图象问题，关键是根据匀速直线运动的路程s 与运动时间t 成正比解答．10．A【解析】试题解析：∵x 1，x 2是方程x 2-2x-1=0的两个实数根，∴x 1+x 2=2，x 1∙x 2=-1 ∴2112x x x x +=2221212121212()24261x x x x x x x x x x ++-+===--. 故选A.11．D【解析】试题分析：A ．如图所示：﹣3＜a ＜﹣2，故此选项错误；B ．如图所示：﹣3＜a ＜﹣2，故此选项错误；C ．如图所示：1＜b ＜2，则﹣2＜﹣b ＜﹣1，又﹣3＜a ＜﹣2，故a ＜﹣b ，故此选项错误；D ．由选项C 可得，此选项正确．故选D ．考点：实数与数轴12．B【解析】【分析】绝对值小于1的正数也可以利用科学记数法表示，一般形式为a×10﹣n ，与较大数的科学记数法不同的是其所使用的是负指数幂，指数由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定．【详解】解：0.00007m ，这个数据用科学记数法表示7×10﹣1． 故选：B ．【点睛】本题考查用科学记数法表示较小的数，一般形式为a×10﹣n ，其中1≤|a|＜10，n 为由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定．二、填空题：（本大题共6个小题，每小题4分，共24分．）13．23 【解析】 【分析】连接OQ ，根据勾股定理知222PQ OP OQ =-，可得当OP AB ⊥时，即线段PQ 最短，然后由勾股定理即可求得答案．【详解】连接OQ ．∵PQ 是O e 的切线，∴OQ PQ ⊥；∴222PQ OP OQ =-，∴当PO AB ⊥时，线段OP 最短，∴PQ 的长最短，∵在Rt AOB ∆中，42OA OB ==，∴28AB OA ==， ∴4OA OB OP AB⋅==， ∴2223PQ OP OQ =-=.故答案为：3【点睛】本题考查了切线的性质、等腰直角三角形的性质以及勾股定理．此题难度适中，注意掌握辅助线的作法，得到PO AB ⊥时，线段PQ 最短是关键．14．25°．【解析】∵直尺的对边平行，∠1=20°，∴∠3=∠1=20°，∴∠2=45°-∠3=45°-20°=25°．15．1【解析】分析：设∠AEF=n°，由题意，解得n=120，推出∠AEF=120°，在Rt△EFD中，求出DE即可解决问题．详解：设∠AEF=n°，由题意，解得n=120，∴∠AEF=120°，∴∠FED=60°，∵四边形ABCD是矩形，∴BC=AD，∠D=90°，∴∠EFD=10°，∴DE=EF=1，∴BC=AD=2+1=1，故答案为1．点睛：本题考查切线的性质、矩形的性质、扇形的面积公式、直角三角形10度角性质等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．16．1cm【解析】【分析】首先根据题意画出图形，然后连接OA，根据垂径定理得到OC平分AB，即AC=BC，而在Rt△OAC中，根据勾股数得到AC=4，这样即可得到AB的长．【详解】解：如图，连接OA，则OA=5，OC=3，OC⊥AB，∴AC=BC ，∴在Rt △OAC 中，AC=22OA OC -=4，∴AB=2AC=1．故答案为1．【点睛】本题考查垂径定理；勾股定理．17．15π．【解析】试题分析：∵OB=12BC=3，OA=4，由勾股定理，AB=5，侧面展开图的面积为：12×6π×5=15π．故答案为15π．考点：圆锥的计算．18．1【解析】【分析】根据△EBD 由△ABC 旋转而成，得到△ABC ≌△EBD ，则BC ＝BD ，∠EBD ＝∠ABC ＝30°，则有∠BDC ＝∠BCD ，∠DBC ＝180﹣30°＝10°，化简计算即可得出15BDC ∠=︒.【详解】解：∵△EBD 由△ABC 旋转而成，∴△ABC ≌△EBD ，∴BC ＝BD ，∠EBD ＝∠ABC ＝30°，∴∠BDC ＝∠BCD ，∠DBC ＝180﹣30°＝10°，∴()1180150152BDC BCD ∠=∠=︒-︒=︒； 故答案为：1．【点睛】此题考查旋转的性质，即图形旋转后与原图形全等．三、解答题：（本大题共9个小题，共78分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．19．（1）180；（2）每件销售价为55元时，获得最大利润；最大利润为2250元．【解析】分析：（1）根据“当每件的销售价每增加1元，每天的销售数量将减少10件”，即可解答；（2）根据等量关系“利润=（售价﹣进价）×销量”列出函数关系式，根据二次函数的性质，即可解答． 详解：（1）由题意得：200﹣10×（52﹣50）=200﹣20=180（件），故答案为180；（2）由题意得：y=（x﹣40）[200﹣10（x﹣50）]=﹣10x2+1100x﹣28000=﹣10（x﹣55）2+2250∴每件销售价为55元时，获得最大利润；最大利润为2250元．点睛：此题主要考查了二次函数的应用，根据已知得出二次函数的最值是中考中考查重点，同学们应重点掌握．20．（1）详见解析；（2）①67.5°；②90°．【解析】【分析】（1）要证明CD∥AB，只要证明∠ODF＝∠AOD即可，根据题目中的条件可以证明∠ODF＝∠AOD，从而可以解答本题；（2）①根据四边形ADFP是菱形和菱形的性质，可以求得∠DAE的度数；②根据四边形BFDP是正方形，可以求得∠DAE的度数．【详解】（1）证明：连接OD，如图所示，∵射线DC切⊙O于点D，∴OD⊥CD，即∠ODF＝90°，∵∠AED＝45°，∴∠AOD＝2∠AED＝90°，∴∠ODF＝∠AOD，∴CD∥AB；（2）①连接AF与DP交于点G，如图所示，∵四边形ADFP是菱形，∠AED＝45°，OA＝OD，∴AF⊥DP，∠AOD＝90°，∠DAG＝∠PAG，∴∠AGE＝90°，∠DAO＝45°，∴∠EAG＝45°，∠DAG＝∠PEG＝22.5°，∴∠EAD＝∠DAG+∠EAG＝22.5°+45°＝67.5°，故答案为：67.5°；②∵四边形BFDP是正方形，∴BF＝FD＝DP＝PB，∠DPB＝∠PBF＝∠BFD＝∠FDP＝90°，∴此时点P与点O重合，∴此时DE是直径，∴∠EAD＝90°，故答案为：90°．【点睛】本题考查菱形的判定与性质、切线的性质、正方形的判定，解答本题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件，利用菱形的性质和正方形的性质解答．1021．（1）见解析；（2）【解析】【分析】（1）根据题意作出图形即可；（2）由（1）知，PD=PD′，根据余角的性质得到∠ADP=∠BPD′，根据全等三角形的性质得到AD=PB=4，得到AP=2；根据勾股定理得到PD=22=25，根据三角函数的定义即可得到结论．AD AP【详解】（1）连接PD，以P为圆心，PD为半径画弧交BC于D′，过P作DD′的垂线交CD于Q，则直线PQ即为所求；（2）由（1）知，PD=PD′，∵PD′⊥PD，∴∠DPD′=90°，∵∠A=90°，∴∠ADP+∠APD=∠APD+∠BPD′=90°，∴∠ADP=∠BPD′，在△ADP与△BPD′中，90{A BADP BPD PD PD'∠=∠=∠=='∠，∴△ADP≌△BPD′，∴AD=PB=4，AP= BD′∵PB=AB﹣AP=6﹣AP=4，∴AP=2；∴PD=22AD AP+=25，BD′=2∴CD′=BC- BD′=4-2=2∵PD=PD′，PD⊥PD′，∵DD′=2PD=210，∵PQ垂直平分DD′，连接Q D′则DQ= D′Q∴∠QD′D=∠QDD′∴sin∠QD′D=sin∠QDD′=10210CDDD==''．【点睛】本题考查了作图-轴对称变换，矩形的性质，折叠的性质，全等三角形的判定和性质，等腰直角三角形的性质，正确的作出图形是解题的关键．22．﹣x+1，2．【解析】【分析】先将括号内的分式通分，再将乘方转化为乘法，约分，最后代入数值求解即可.【详解】原式=（x﹣2）÷（﹣）=（x﹣2）÷=（x﹣2）•=﹣x+1，当x=﹣1时，原式=1+1=2．【点睛】本题考查了整式的混合运算-化简求值，解题的关键是熟练的掌握整式的混合运算法则.23．证明见解析【解析】试题分析：（1）根据已知求得∠BDF=∠BCD，再根据∠BFD=∠DFC，证明△BFD∽△DFC，从而得BF：DF=DF：FC，进行变形即得；（2）由已知证明△AEG∽△ADC，得到∠AEG=∠ADC=90°，从而得EG∥BC，继而得EG BF ED DF=，由（1）可得BF DFDF CF=，从而得EG DFED CF=，问题得证.试题解析：（1）∵∠ACB=90°，∴∠BCD+∠ACD=90°，∵CD是Rt△ABC的高，∴∠ADC=∠BDC=90°，∴∠A+∠ACD=90°，∴∠A=∠BCD，∵E是AC的中点，∴DE=AE=CE，∴∠A=∠EDA，∠ACD=∠EDC，∵∠EDC+∠BDF=180°-∠BDC=90°，∴∠BDF=∠BCD，又∵∠BFD=∠DFC，∴△BFD∽△DFC，∴BF：DF=DF：FC，∴DF2=BF·CF；（2）∵AE·AC=ED·DF，∴AE AG AD AC=，又∵∠A=∠A，∴△AEG∽△ADC，∴∠AEG=∠ADC=90°，∴EG∥BC，∴EG BF ED DF=，由（1）知△DFD∽△DFC，∴BF DF DF CF=，∴EG DF ED CF=，∴EG·CF=ED·DF.24．2【解析】试题分析：首先根据单项式乘以多项式的法则以及完全平方公式将括号去掉，然后再进行合并同类项，最后将ａ的值代入化简后的式子得出答案.试题解析：解：原式=3a3+6a1+3a﹣1a1﹣4a﹣1=3a3+4a1﹣a﹣1，当a=1时，原式=14+16﹣1﹣1=2．25．（1）14；（2）34．【解析】试题分析：（1）根据概率公式即可得到结论；（2）画出树状图即可得到结论．试题解析：（1）选择A通道通过的概率=14，故答案为14；（2）设两辆车为甲，乙，如图，两辆车经过此收费站时，会有16种可能的结果，其中选择不同通道通过的有12种结果，∴选择不同通道通过的概率=1216=34．26．（13-1（1）-1【解析】【分析】（1）先根据根据绝对值的意义、立方根的意义、特殊角的三角函数值、零指数幂、负整数指数幂的意义化简，然后按照实数的运算法则计算即可；（1）把括号里通分，把22121xx x-++的分子、分母分解因式约分，然后把除法转化为乘法计算；然后求出不等式组的整数解，选一个使分式有意义的值代入计算即可. 【详解】（1）原式=1+3×3+1﹣5+1﹣51；（1）原式=()()()()()2211111x x x x x x x x x x ⎡⎤+-+-÷⎢⎥+++⎢⎥⎣⎦=()2111x x x x x --÷++ =111x x x x -++-n =﹣1x x -， 解不等式组23241x x -≤⎧⎨-<⎩得：-1≤x 52< 则不等式组的整数解为﹣1、0、1、1，∵x （x+1）≠0且x ﹣1≠0，∴x≠0且x≠±1，∴x=1，则原式=﹣221-=﹣1． 【点睛】本题考查了实数的运算，分式的化简求值，不等式组的解法.熟练掌握各知识点是解答本题的关键，本题的易错点是容易忽视分式有意义的条件.27．1-【解析】【分析】直接利用绝对值的性质以及特殊角的三角函数值、负整数指数幂的性质化简，进而求出答案．【详解】原式()11212=+-⨯+- 1=-．【点睛】考核知识点：三角函数混合运算.正确计算是关键.。
2020年山西省太原市高考数学三模试卷(理科)(有答案解析)
2020年山西省太原市高考数学三模试卷（理科）一、选择题（本大题共12小题，共60.0分）1.已知集合，，若，则实数a的取值范围是A. B. C. D.2.若复数z满足，则复平面内对应的点位于A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限3.已知，，则A. B.C. D.4.已知，，则的值是A. B. C. D. 15.宋元时期数学名著算学启蒙中有关于“松竹并生“的问题，松长三尺，竹长一尺，松日自半，竹日自倍，松竹何日而长等，如图是源于其思想的一个程序框图，若输人的a，b分别为3，1，则输出的n等于A. 5B. 4C. 3D. 26.已知等比数列的前n项和为，若，且，则A. B. 3 C. D. 3或7.平面向量，共线的充要条件是A.B. ，两向量中至少有一个为零向量C. ，D. 存在不全为零的实数，，8.根据党中央关于“精准”脱贫的要求，我市某农业经济部门派四位专家对三个县区进行调研，每个县区至少派一位专家，则甲，乙两位专家派遣至同一县区的概率为A. B. C. D.9.把函数的图象向右平移个单位后，得到函数的图象．则的解析式是A. B.C. D.10.已知函数是定义在R上的偶函数，且在区间上单调递增，若实数a满足，则a的取值范围是A. B. C. D.11.已知抛物线C：，过点作直线MA、MB与抛物线C分别切于点A、B，且以AB为直径的圆过点M，则的值为A. B. C. D. 不能确定12.点M在曲线G：上，过M作x轴垂线l，设l与曲线交于点N，若，且P点的纵坐标始终为0，则称M点为曲线G上的“水平黄金点”则曲线G上的“水平黄金点”的个数为A. 0B. 1C. 2D. 3二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）13.已知函数则______．14.的内角A，B，C的对边分别为a，b，若的面积为，则______．15.设，分别是双曲线的左、右焦点，若双曲线上存在点P，使，且，则双曲线的离心率为______．16.正方体中，E是棱的中点，F是侧面上的动点，且平面，记与F的轨迹构成的平面为．，使得直线与直线BC所成角的正切值的取值范围是与平面所成锐二面角的正切值为正方体的各个侧面中，与所成的锐二面角相等的侧面共四个．其中正确命题的序号是______写出所有正确的命题序号三、解答题（本大题共7小题，共82.0分）17.已知是公差为1的等差数列，数列满足，，．求数列的通项公式；设，求数列的前n项和．18.垃圾分类是对垃圾进行有效处置的一种科学管理方法，为了了解居民对垃圾分类的知晓率和参与率，引导居民积极行动，科学地进行垃圾分类，某小区随机抽取年龄在区间上的50人进行调研，统计出年龄频数分布及了解垃圾分类的人数如表：年龄频数510101555了解4581221填写下面2x2列联表，并判断能否在犯错误的概率不超过的前提下认为以65岁为分界点居民对了解垃圾分类的有关知识有差异；年龄低于65岁的人数年龄不低于65岁的人数合计了解不了解合计若对年龄在，的被调研人中各随机选取2人进行深入调研，记选中的4人中不了解垃圾分类的人数为X，求随机变量X的分布列和数学期望．参考公式和数据，其中．19.如图，在三棱柱中，已知四边形为矩形，，，，的角平分线AD交于D．Ⅰ求证：平面平面；Ⅱ求二面角的余弦值．20.已知椭圆C：的焦距为2，且过点．求椭圆C的方程；已知是椭圆C的内接三角形，若坐标原点O为的重心，求点O到直线MN 距离的最小值．21.已知函数．讨论函数的极值点个数；若有两个极值点，，试判断与的大小关系并证明．22.已知曲线C的极坐标方程是，以极点为原点，极轴为x轴的正半轴，建立平面直角坐标系，直线l过点，倾斜角为．求曲线C的直角坐标方程与直线l的参数方程；设直线l与曲线C交于A，B两点，求的值．23.已知函数．若，解不等式；对任意的实数m，若总存在实数x，使得，求实数a的取值范围．-------- 答案与解析 --------1.答案：B解析：解：集合或，，，，解得，实数a的取值范围是．故选：B．求出集合A，B，由，能求出实数a的取值范围．本题考查实数的取值范围的求法，考查并集定义等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．2.答案：D解析：解：，在复平面内所对应的点位于第四象限．故选：D．利用复数的运算法则、几何意义、共轭复数的定义即可得出．本题考查了复数运算法则、几何意义、共轭复数的定义，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．3.答案：C解析：解：由于，所以，，故，选项A错误．当，，时，，故选项B错误．由于，，故，选项C正确．由于，，所以，故，故错误．故选：C．直接利用不等式的应用和赋值法的应用求出结果．本题考查的知识要点：不等式的基本性质的应用，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于基础性题．4.答案：A解析：【分析】本题主要考查同角三角函数的基本关系的应用，求得，是解题的关键，属于基础题．由条件可得，求得，可得的值，从而求得的值．【解答】解：已知，，即，故，，．故选A．5.答案：B解析：解：模拟程序的运行，可得，，不满足条件，执行循环体，，，不满足条件，执行循环体，，，不满足条件，执行循环体，，，此时，满足条件，退出循环，输出n的值为4．故选：B．由已知中的程序语句可知：该程序的功能是利用循环结构计算a，b的值并输出变量n的值，模拟程序的运行过程，分析循环中各变量值的变化情况，可得答案．本题考查了程序框图的应用问题，解题时应模拟程序框图的运行过程，以便得出正确的结论，是基础题．6.答案：D解析：解：设公比为q，易知．由得，解得或，当时，；当时，，所以或，故选：D．由已知结合等比数列的通项公式及求和公式可求首项及公比，然后再结合等比数列的通项公式即可求解．本题主要考查了等比数列的通项公式及求和公式的简单应用，考查了基本运算的能力．7.答案：D解析：解：由共线向量基本定理可知，若平面向量，共线，则存在不为零的实数，使，即，其等价命题为存在不全为零的实数，，．故选：D．写出共线向量基本定理，找四个选项中的等价命题得结论．本题考查共线向量基本定理的应用，熟练掌握共线向量基本定理及其等价条件是关键，是基础题．8.答案：A解析：解：我市某农业经济部门派四位专家对三个县区进行调研，每个县区至少派一位专家，基本事件总数，甲，乙两位专家派遣至同一县区包含的基本事件个数，甲，乙两位专家派遣至同一县区的概率为．故选：A．每个县区至少派一位专家，基本事件总数，甲，乙两位专家派遣至同一县区包含的基本事件个数，由此能求出甲，乙两位专家派遣至同一县区的概率．本题考查概率的求法，考查古典概型等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．9.答案：C解析：解：把函数的图象向右平移个单位后，得到函数的图象，故选：C．由题意利用函数的图象变换规律，得出结论．本题主要考查函数的图象变换规律，属于基础题．10.答案：A解析：【分析】本题考查函数的奇偶性、单调性的应用，以及对数函数的性质，属于基础题．由偶函数的性质将化为：，再由的单调性列出不等式，根据对数函数的性质求出a的取值范围．【解答】解：因为函数是定义在R上的偶函数，所以，则为：，因为函数在区间上单调递增，所以，解得，则a的取值范围是，故选：A．11.答案：B解析：解：设，，，由，可得，所以，，因为过点作直线MA、MB与抛物线C分别切于点A、B，且以AB为直径的圆过点M，所以，，可得，直线MA的方程为：，，同理直线MB的方程为：，，，可得，即，故选：B．设出AB的坐标，利用函数的导数，结合直线经过M，转化求解的值．本题考查函数的导数的应用，曲线与方程相结合，考查计算能力．12.答案：C解析：【分析】本题考查导数的运用：求单调性和极值、最值，考查新定义“水平黄金点”的理解和应用，考查函数方程的转化思想，以及化简运算能力和推理能力，属于中档题．设，可得直线l的方程，联立曲线，可得N的坐标，再由向量的加法运算可得P的坐标，再由P的纵坐标始终为0，考虑方程的解的个数，设出函数，求得导数和单调性、极值和最值，判断最值的符号，即可得到所求个数．【解答】解：设，则直线l：，由，可得，即，，又P的纵坐标始终为0，即，可令，导数为，由，可得，则当时，，递减；当时，，递增．可得在处取得极小值，且为最小值，由，则在有两个零点，即方程有两个不等实根，所以曲线G上的“水平黄金点”的个数为2，故选：C．13.答案：8解析：解：函数则；．故答案为：8．依题意得，从而，由此能求出结果．本题考查函数值的求法，考查函数性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．14.答案：解析：解：由余弦定理可得，的面积为，又因为，所以，由可得．故答案为：由已知结合余弦定理及三角形的面积公式进行化简即可求解．本题主要考查了余弦定理及三角形的面积公式的简单应用，属于基础试题．15.答案：解析：解：，分别是双曲线的左、右焦点，若双曲线上存在点P，使，且，可知：，，，即，可得，，．故答案为：．根据点P为双曲线上一点，，且，推出P的位置，然后求解双曲线的离心率．本题考查双曲线的定义与性质，解题的关键是确定，是中档题．16.答案：解析：【分析】本题考查空间立体几何的综合，涉及空间线面的位置关系、异面直线的夹角和面面角等问题，考查学生的空间立体感和逻辑推理能力，属于难题．分别取和的中点M，N，连接MN、、，然后利用面面平行的判定定理证明平面平面，从而确定平面就是平面．当F为线段MN的中点时，可证明；利用平移的思想，将直线与直线BC所成角转化为与所成的角，由于平面，所以即为所求，进而求解即可；平面与平面所成的锐二面角即为所求，也就是求出即可；由正方体的对称性和二面角的含义即可判断．【解答】解：如图所示，设正方体的棱长为2，分别取和的中点M，N，连接MN、、，则，，、平面，B、平面，且，，平面平面，当F在MN上运动时，始终有平面，即平面就是平面．对于，当F为线段MN的中点时，，，，，即正确；对于，，直线与直线所成的角即为所求，平面，平面，，直线与直线所成的角为，且，而的取值范围为，，所以，即正确；对于，平面与平面所成的锐二面角即为所求，取MN的中点Q，因为平面，所以就是所求角，而，即正确；对于，由对称性可知，与所成的锐二面角相等的面有平面，平面，平面，平面ABCD，即正确．故答案为：．17.答案：解：由已知得：，又是公差为1的等差数列，，，所以数列是常数列，，；由得：，，又，由可得：，．解析：先由题设条件求得，再求，进而论证数列是常数列，最后求得；先由求得，再由错位相减法求．本题主要考查等差数列基本量的计算、数列通项公式的求法及错位相减法在数列求和中的应用，属于中档题．18.年龄低于65岁的人数年龄不低于65岁的人数合计了解32不了解18合计401050计算，所以不能在犯错误的概率不超过的前提下，认为以65岁为分界点居民对了解垃圾分类的有关知识有差异；由题意知，随机变量X的可能取值为0，1，2，3；计算，，，；所以随机变量X的分布列为：X0123P所以X的数学期望为．解析：根据题意填写列联表，计算观测值，对照临界值得出结论；由题意知随机变量X的可能取值，计算对应的概率值，写出分布列，求出数学期望值．本题考查了独立性检验的应用问题，也考查了离散型随机变量的分布列和数学期望问题，是中档题．19.答案：解：Ⅰ如图，过点D作交于E，连接CE，BE，设，连接BO，，，又AD为的角平分线，四边形AEDC为正方形，，又，，，≌，，又为CE的中点，，又，平面BAD，，平面BAD．又平面，平面平面C.Ⅱ在中，，，，在中，，，又，，，，又，，AD，平面，平面，故建立如图空间直角坐标系，则，4，，4，，，，，，设平面的一个法向量为，则，，令，得，设平面的一个法向量为，则，，令，得，，故二面角的余弦值为．解析：Ⅰ过点D作交于E，连接CE，BE，设，连接BO，推导出，四边形AEDC为正方形，，推导出≌，从而，，从而平面BAD，由此能证明平面平面C.Ⅱ推导出，，从而平面，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出二面角的余弦值．本题考查面面垂直的证明，考查二面角的余弦值的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算南求解能力，是中档题．20.答案：解：由题意可得：，解得：，，所以椭圆的方程为：；设，记线段MN中点D，因为O为的重心，所以，则点D的坐标为：，若，则，此时直线MN与x轴垂直，故原点O到直线MN的距离为，即为1，若，此时直线MN的斜率存在，设，，则，，又，，两式相减，可得：，故直线MN的方程为：，即，则点O到直线MN的距离，将，代入得，因为，所以，又，故原点O到直线MN的距离的最小值为．解析：由题意焦距的值可得c的值，再由过点的坐标，及a，b，c之间的关系求出a，b的值，进而求出椭圆的方程；分B的纵坐标为0和不为0两种情况讨论，设B的坐标，由O是三角形的重心可得MN的中点的坐标，设M，N的坐标，代入椭圆方程两式相减可得直线MN的斜率，求出直线MN的方程，求出O到直线MN的距离的表达式，再由B的纵坐标的范围求出d的取值范围，进而求出d的最小值．本题考查求椭圆的方程及直线与椭圆的综合，及三角形重心的应用，属于中档题．21.答案：解：，令，得，记，则，令，得；令，得，在上是增函数，在上是减函数，且，当，即时，无解，无极值点，当，即时，有一解，，即，恒成立，无极值点，当，即时，有两解，有2个极值点，当，即时，有一解，有一个极值点，综上所述：当时，无极值点；时，有2个极值点；当时，有1个极点；，，令，则，，记，则，由得，由，得，在上是增函数，在上是减函数，，当时，，当即时有2个极值点，，由得，，，不妨设，则，，又在上是减函数，，，．解析：先求出，令，得，记，则函数的极值点个数转化为函数与的交点个数，再利用导数得到在上是增函数，在上是减函数，且，对a分情况讨论，即可得到函数的极值点个数情况；，，令，则，所以，记，利用导数得到在上是增函数，在上是减函数，，当时，，所以当即时有2个极值点，，从而得到，所以，即．本题主要考查了利用导数研究函数的极值，是难题．22.答案：解：曲线C的极坐标方程是，转换为直角坐标方程为．直线l过点，倾斜角为整理得参数方程为为参数．将直线l的参数方程代入曲线C的直角坐标方程得，整理得，所以：，，所以求．解析：直接利用转换关系，把参数方程极坐标方程和直角坐标方程之间进行转换．利用一元二次方程根和系数关系式的应用求出结果．本题考查的知识要点：参数方程极坐标方程和直角坐标方程之间的转换，一元二次方程根和系数关系式的应用，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于基础题型．23.答案：解：当时，．，或或，或或，，不等式的解集为对任意的实数m，若总存在实数x，使得，的取值范围是值域的子集．，的值域为，又，，，实数a的取值范围为．解析：将代入中，再利用零点分段法解不等式即可；根据条件可知，的取值范围是值域的子集，然后求出的值域和的取值范围，再求出a的范围．本题考查了绝对值不等式的解法和函数恒成立问题，考查了分类讨论思想和转化思想，属中档题．。
【冲刺必刷】山西省太原市2020届高三年级数学理科模拟试题(三)
太原市2020年高三年级模拟试题(三)数学试卷(理科) 第Ⅰ卷(选择题共60分)一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．已知集合2{|320},{|1},A x x a x B x x =-+=+≥…若R,A B =U 则实数a 的取值范围是 [).2,A +∞ (].,2B -∞ [).1,C +∞ (].,1D -∞2．若复数z 满足()12,z i i =-⋅则复平面内z 对应的点位于 A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限D ．第四象限3．已知1,0,a b c >><则..a b c cA B c c a b <<.c c C a b <()().log log a b D b c a c ->-4．已知()sin cos 0,,tan αααπα-=∈=则A．-1 B.2-C. D．15．宋元时期数学名著《算学启蒙》中有关于“松竹并生”的问题，松长三尺，竹长一尺，松日自半，竹日自倍,松竹何日而长等.如图是源于其思想的一个程序框图，若输入的a，b分别为3，1，则输出的n等于A．5B．4C．3D．26．已知等比数列{an }的前n项和为133,8,13,nS a a S-==且若则2a=A．3-B．3C．353-D．3533-或7．平面向量a ，b 共线的充要条件是.||||A ⋅=b a a b //b|B ．a ，b 两向量中至少有一个为零向量R .,C λλ∃∈=b aD ．存在不全为零的实数1212,,0λλλλ+=a b8．根据党中央关于“精准”脱贫的要求，我市某农业经济部门派四位专家对三个县区进行调研，每个县区至少派一位专家，则甲，乙两位专家派遣至同一县区的概率为A ．16B ．14 C ．13D ．129．把函数()2sin f x x =的图象向右平移12π个单位后，得到函数()y g x =的图象．则()g x 的解 析式是()()21.sin .cos 212212A g x x B g x x ππ⎛⎫⎛⎫=+=-- ⎪⎪⎝⎭⎝⎭()()1111cos 2.sin 2262262.x x D C g g x x ππ⎛⎫⎛⎫=--+=-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ 10．已知函数()f x 是定义在R 上的偶函数，且在区间[)0,+∞单调递增，若实数a 满足()()212log log 21,f a f a f ⎛⎫+ ⎪⎝⎭…则a 的取值范围是A.1,12⎡⎤⎢⎥⎣⎦ [].1,2B (]1.,2.0,22C D ⎡⎤⎢⎥⎣⎦11．已知抛物线C ：28,x y =过点()00,M x y 作直线MA 、MB 与抛物线C 分别切于点A 、B ，且以AB 为直径的圆过点M ，则0y 的值为 A ．-1 B ．-2 C ．-4 D ．不能确定12．点M 在曲线G:3ln y x =上，过M 作x 轴垂线，设与曲线1y x=交于点N ， ,3OM ON OP +=u u u u r u u u r u u u r 若且P 点的纵坐标为0，则称M 点为曲线G 上的“水平黄金点”，则曲线G 上的“水平黄金点”的个数为 A ．0 B ．1 C ．2 D ．3太原市2020年高三年级模拟试题(三)数学试卷(理科) 第Ⅱ卷(非选择题共90分)本卷包括必考题和选考题两部分，第13题~第21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22题、第23题为选考题，考生根据要求作答. 二填空题：本大题共4小题，每小题5分,共20分.13．已知函数()f x =122log (01)1(1)x x x x ≤⎧⎪⎨⎪->⎩，，则1=8f f ⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭▲ 14.ABC ∆的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ．若ABC ∆/的面积为)2224a b c --,则A= ▲15．设12,F F 分别是双曲线()222210,0x y a b a b -=>>的左、右焦点，若双曲线上存在点P ，使1260,F F P ︒=∠且12||2||,PF PF =则双曲线的离心率为 ▲16．正方体1111ABCD A B C D -中，E 是棱1DD 的中点，F 是侧面11CDD C 上的动点，且B 1F ∥平面A 1BE ，记点B 1与点F 的运动轨迹构成的平面为α. ①∃F ，使得11;B F CD ⊥②直线B 1F 与直线BC所成角的正切值的取值范围是12⎤⎥⎣⎦;③α与平面CDD 1C 1所成锐二面角的正切值为④正方体1111ABCD A B C D -的各个侧面中，与α所成的锐二面角相等的侧面共四个.其中正确命题的序号是 ▲ .(写出所有正确命题的序号)三、解答题：共70分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17-21题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22、23题为选考题，考生根据要求作答. (一)必考题：共60分. 17．(本小题满分12分)已知{}n a 是公差为1的等差数列，数列{}n b 满足12111,,.2n n n b a b nb b +===(1)求数列{}n b 的通项公式；(2)设12n nnc b =，求数列{}n c 的前n 项和n S . 18．(本小题满分12分)垃圾分类是对垃圾进行有效处置的一种科学管理方法，为了了解居民对垃圾分类的知晓率和参与率，引导居民积极行动，科学地进行垃圾分类，某小区随机抽取年龄在区间[25，85]上的50人进行调研，统计出年龄频数分布及了解垃圾分类的人数如下表：(1) 填写下面2x2列联表，并判断能否在犯错误的概率不超过0.01的前提下认为以65岁为分界点居民对了解垃圾分类的有关知识有差异；(2)若对年龄在[45,55)，[25,35)的被调研人中各随机选取2人进行深入调研，记选中的4人中不了解垃圾分类的人数为X ，求随机变量X 的分布列和数学期望 参考公式和数据()()()()()22,.K n ad bc n a b c d a b c d a c b d -==+++++++其中19．(本小题满分12分)如图，在三棱柱111ABC A B C -中，已知四边形11AAC C 为矩形，AA 1=6,AB=AC=4，1160,C BA BAA A A C ︒=∠=∠∠的角平分线AD 交CC 1于D.(1)求证：平面BAD ⊥平面11AAC C ; (2)求二面角111A B C A --的余弦值. 20．(本小题满分12分)已知椭圆C ：221x y a b +=()0a b >>的焦距为2，且过点31,2⎛⎫⎪⎝⎭. (1)求椭圆C 的方程；(2)已知△BMN 是椭圆C 的内接三角形，若坐标原点O 为BMN ∆的重心，求点O 到直线MN 距离的最小值.21．(本小题满分12分)已知函数()()2.R ln f x x x ax a =-∈ (1)讨论函数极值点的个数；()()(2)x f x x g =-两个极值点12,x x ，试判断1212,x x x x +与的大小关系，并说明理由.(二)选考题：共10分．请考生在第22、23题中任选一题作答．如果多做，则按所做的第一题计分.作答时请用2B 铅笔在答题卡上将所选题号后的方框涂黑. 22．(本小题满分10分)【选修4-4：坐标系与参数方程】已知曲线C 的极坐标方程是6cos 0,ρθ-=以极点为坐标原点，极轴为x 轴的正半轴建立平面直角坐标系，直线过点()0,2,M 倾斜角为34π. (1)求曲线C 的直角坐标方程与直线的参数方程；(2)设直线与曲线C 交于A ，B 两点，求11|||||MA MB +的值。
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中考数学模拟试卷一、选择题（本题包括10个小题，每小题只有一个选项符合题意）1．下列计算正确的是A．a2·a2＝2a4B．(－a2)3＝－a6C．3a2－6a2＝3a2D．(a－2)2＝a2－4【答案】B【解析】根据同底数幂乘法、幂的乘方、合并同类项法则、完全平方公式逐项进行计算即可得.【详解】A. a2·a2＝a4，故A选项错误；B. (－a2)3＝－a6，正确；C. 3a2－6a2＝-3a2，故C选项错误；D. (a－2)2＝a2－4a+4，故D选项错误，故选B.【点睛】本题考查了同底数幂的乘法、幂的乘方、合并同类项、完全平方公式，熟练掌握各运算的运算法则是解题的关键.2．已知△ABC，D是AC上一点，尺规在AB上确定一点E，使△ADE∽△ABC，则符合要求的作图痕迹是（）A．B．C．D．【答案】A【解析】以DA为边、点D为顶点在△ABC内部作一个角等于∠B，角的另一边与AB的交点即为所求作的点．【详解】如图，点E即为所求作的点．故选：A．【点睛】本题主要考查作图-相似变换，根据相似三角形的判定明确过点D作一角等于∠B或∠C，并熟练掌握做一个角等于已知角的作法式解题的关键．3．△ABC在正方形网格中的位置如图所示，则cosB的值为( )A．5B．25C．12D．2【答案】A【解析】解：在直角△ABD中，BD=2，AD=4，则AB=22222425BD AD+=+=，则cosB=525BDAB==．故选A．4．把多项式x2+ax+b分解因式，得(x+1)(x-3)，则a、b的值分别是（）A．a=2，b=3 B．a=-2，b=-3C．a=-2，b=3 D．a=2，b=-3【答案】B【解析】分析：根据整式的乘法，先还原多项式，然后对应求出a、b即可.详解：（x+1）（x-3）=x2-3x+x-3=x2-2x-3所以a=2，b=-3，故选B．点睛：此题主要考查了整式的乘法和因式分解的关系，利用它们之间的互逆运算的关系是解题关键. 5．如图，AB∥CD，点E在线段BC上，若∠1＝40°，∠2＝30°，则∠3的度数是()A．70°B．60°C．55°D．50°【答案】A【解析】试题分析：∵AB∥CD，∠1=40°，∠1=30°，∴∠C=40°．∵∠3是△CDE的外角，∴∠3=∠C+∠2=40°+30°=70°．故选A．考点：平行线的性质．6．下列交通标志是中心对称图形的为（ ） A ．B ．C ．D ．【答案】C【解析】根据中心对称图形的定义即可解答．【详解】解：A 、属于轴对称图形，不是中心对称的图形，不合题意； B 、是中心对称的图形，但不是交通标志，不符合题意； C 、属于轴对称图形，属于中心对称的图形，符合题意； D 、不是中心对称的图形，不合题意． 故选C ． 【点睛】本题考查中心对称图形的定义：绕对称中心旋转180度后所得的图形与原图形完全重合． 7．下列说法正确的是（ ）A ．“明天降雨的概率是60%”表示明天有60%的时间都在降雨B ．“抛一枚硬币正面朝上的概率为50%”表示每抛2次就有一次正面朝上C ．“彩票中奖的概率为1%”表示买100张彩票肯定会中奖D ．“抛一枚正方体骰子，朝上的点数为2的概率为16”表示随着抛掷次数的增加，“抛出朝上的点数为2”这一事件发生的概率稳定在16附近 【答案】D【解析】根据概率是指某件事发生的可能性为多少，随着试验次数的增加，稳定在某一个固定数附近，可得答案．【详解】解：A. “明天降雨的概率是60%”表示明天下雨的可能性较大，故A 不符合题意； B. “抛一枚硬币正面朝上的概率为12”表示每次抛正面朝上的概率都是12，故B 不符合题意； C. “彩票中奖的概率为1%”表示买100张彩票有可能中奖．故C 不符合题意； D. “抛一枚正方体骰子,朝上的点数为2的概率为16”表示随着抛掷次数的增加,“抛出朝上的点数为2”这一事件发生的概率稳定在16附近，故D 符合题意； 故选D 【点睛】本题考查了概率的意义，正确理解概率的含义是解决本题的关键．8．如图，已知D 是ABC 中的边BC 上的一点，BAD C ∠=∠，ABC ∠的平分线交边AC 于E ，交AD 于F ，那么下列结论中错误的是（ ）A．△BAC∽△BDA B．△BFA∽△BECC．△BDF∽△BEC D．△BDF∽△BAE【答案】C【解析】根据相似三角形的判定，采用排除法，逐项分析判断．【详解】∵∠BAD=∠C，∠B=∠B，∴△BAC∽△BDA．故A正确．∵BE平分∠ABC，∴∠ABE=∠CBE，∴△BFA∽△BEC．故B正确．∴∠BFA=∠BEC，∴∠BFD=∠BEA，∴△BDF∽△BAE．故D正确．而不能证明△BDF∽△BEC，故C错误．故选C．【点睛】本题考查相似三角形的判定．识别两三角形相似，除了要掌握定义外，还要注意正确找出两三角形的对应边和对应角．9．若关于x的一元二次方程x2﹣2x+m=0有两个不相等的实数根，则m的取值范围是（）A．m＜﹣1 B．m＜1 C．m＞﹣1 D．m＞1【答案】B【解析】根据方程有两个不相等的实数根结合根的判别式即可得出△=4-4m＞0，解之即可得出结论．【详解】∵关于x的一元二次方程x2-2x+m=0有两个不相等的实数根，∴△=（-2）2-4m=4-4m＞0，解得：m＜1．故选B．【点睛】本题考查了根的判别式，熟练掌握“当△＞0时，方程有两个不相等的两个实数根”是解题的关键．10．把一副三角板如图（1）放置，其中∠ACB＝∠DEC＝90°，∠A＝41°，∠D＝30°，斜边AB＝4，CD＝1．把三角板DCE绕着点C顺时针旋转11°得到△D1CE1（如图2），此时AB与CD1交于点O，则线段AD1的长度为（）A ．13B ．5C ．22D ．4【答案】A【解析】试题分析：由题意易知：∠CAB=41°，∠ACD=30°． 若旋转角度为11°，则∠ACO=30°+11°=41°． ∴∠AOC=180°-∠ACO-∠CAO=90°． 在等腰Rt △ABC 中，AB=4，则AO=OC=2． 在Rt △AOD 1中，OD 1=CD 1-OC=3， 由勾股定理得：AD 1=13． 故选A.考点: 1.旋转；2.勾股定理. 二、填空题（本题包括8个小题） 11．分解因式：3ax 2﹣3ay 2＝_____． 【答案】3a （x ＋y ）（x －y ）【解析】解：3ax 2-3ay 2=3a （x 2-y 2）=3a （x+y ）（x-y ）． 【点睛】本题考查提公因式法与公式法的综合运用． 12．分解因式：a 3－a= 【答案】(1)(1)a a a -+【解析】a 3－a=a(a 2-1)=(1)(1)a a a -+13．如图，将两张长为8，宽为2的矩形纸条交叉，使重叠部分是一个菱形，容易知道当两张纸条垂直时，菱形的周长有最小值8，那么菱形周长的最大值是_________．【答案】1【解析】画出图形，设菱形的边长为x ，根据勾股定理求出周长即可．【详解】当两张纸条如图所示放置时，菱形周长最大，设这时菱形的边长为xcm，在Rt△ABC中，由勾股定理：x2=（8-x）2+22，解得：x=17 4,∴4x=1，即菱形的最大周长为1cm．故答案是：1．【点睛】解答关键是怎样放置纸条使得到的菱形的周长最大，然后根据图形列方程．14．如图，是用火柴棒拼成的图形，则第n个图形需_____根火柴棒．【答案】2n+1．【解析】解：根据图形可得出：当三角形的个数为1时，火柴棒的根数为3；当三角形的个数为2时，火柴棒的根数为5；当三角形的个数为3时，火柴棒的根数为7；当三角形的个数为4时，火柴棒的根数为9；……由此可以看出：当三角形的个数为n时，火柴棒的根数为3+2（n﹣1）=2n+1．故答案为：2n+1．15．同一个圆的内接正方形和正三角形的边心距的比为_____．2【解析】先画出同一个圆的内接正方形和内接正三角形，设⊙O的半径为R，求出正方形的边心距和正三角形的边心距，再求出比值即可．【详解】设⊙O的半径为r，⊙O的内接正方形ABCD，如图，过O 作OQ ⊥BC 于Q ，连接OB 、OC ，即OQ 为正方形ABCD 的边心距， ∵四边形BACD 是正方形，⊙O 是正方形ABCD 的外接圆， ∴O 为正方形ABCD 的中心， ∴∠BOC=90°， ∵OQ ⊥BC ，OB=CO ，∴QC=BQ ，∠COQ=∠BOQ=45°， ∴OQ=OC×cos45°=2R ； 设⊙O 的内接正△EFG ，如图，过O 作OH ⊥FG 于H ，连接OG ，即OH 为正△EFG 的边心距， ∵正△EFG 是⊙O 的外接圆，∴∠OGF=12∠EGF=30°， ∴OH=OG×sin30°=12R ，∴OQ ：OH=（22R ）：（12R ）2：1，2：1． 【点睛】本题考查了正多边形与圆、解直角三角形，等边三角形的性质、正方形的性质等知识点，能综合运用知识点进行推理和计算是解此题的关键．16．我国古代数学著作《九章算术》卷七有下列问题：“今有共买物，人出八，盈三；人出七，不足四．问人数、物价几何？”意思是：现在有几个人共同出钱去买件物品，如果每人出8钱，则剩余3钱；如果每人出7钱，则差4钱．问有多少人，物品的价格是多少？设有x 人，则可列方程为__________． 【答案】8374x x -=+【解析】根据每人出8钱，则剩余3钱；如果每人出7钱，则差4钱，可以列出相应的方程，本题得以解决【详解】解：由题意可设有x 人, 列出方程：8374x x +﹣＝， 故答案为8374x x +﹣＝． 【点睛】本题考查由实际问题抽象出一元一次方程，解答本题的关键是明确题意，列出相应的方程． 17．如图，已知AB ∥CD ，若14AB CD =，则OAOC=_____．【答案】14【解析】利用相似三角形的性质即可解决问题； 【详解】∵AB ∥CD ，∴△AOB ∽△COD ，∴14OA AB OC CD ==， 故答案为14．【点睛】本题考查平行线的性质，相似三角形的判定和性质等知识，熟练掌握相似三角形的判定与性质是解题的关键．18．已知点P （2，3）在一次函数y ＝2x －m 的图象上，则m ＝_______． 【答案】1【解析】根据待定系数法求得一次函数的解析式，解答即可． 【详解】解：∵一次函数y=2x-m 的图象经过点P （2，3）， ∴3=4-m ， 解得m=1， 故答案为：1. 【点睛】此题主要考查了一次函数图象上点的坐标特征，关键是根据待定系数法求得一次函数的解析式． 三、解答题（本题包括8个小题）19．水龙头关闭不紧会造成滴水，小明用可以显示水量的容器做图①所示的试验，并根据试验数据绘制出图②所示的容器内盛水量W （L ）与滴水时间t （h ）的函数关系图象，请结合图象解答下列问题：容器内原有水多少？求W 与t 之间的函数关系式，并计算在这种滴水状态下一天的滴水量是多少升？图 ① 图②【答案】（1）0.3 L ；（2）在这种滴水状态下一天的滴水量为9.6 L. 【解析】（1）根据点()0,0.3的实际意义可得；（2）设W 与t 之间的函数关系式为W kt b =+，待定系数法求解可得，计算出24t =时W 的值，再减去容器内原有的水量即可.【详解】（1）由图象可知，容器内原有水0.3 L.（2）由图象可知W 与t 之间的函数图象经过点（0，0.3）， 故设函数关系式为W ＝kt ＋0.3. 又因为函数图象经过点（1.5，0.9），代入函数关系式，得1.5k ＋0.3＝0.9，解得k ＝0.4. 故W 与t 之间的函数关系式为W ＝0.4t ＋0.3.当t ＝24时，W ＝0.4×24＋0.3＝9.9（L ），9.9－0.3＝9.6（L ）， 即在这种滴水状态下一天的滴水量为9.6 L. 【点睛】本题考查了一次函数的应用，关键是利用待定系数法正确求出一次函数的解析式.20．解不等式组：331213(1)8x x x x-⎧+>+⎪⎨⎪--≤-⎩．【答案】﹣2≤x ＜1．【解析】分别求出一元一次不等式的解，然后求交集即可解答.【详解】331213(1)8x x x x -⎧+>+⎪⎨⎪--≤-⎩①②， 由①得：x ＜1， 由②得：x≥﹣2，∴不等式组的解集是﹣2≤x ＜1． 【点睛】本题考查了解一元一次不等式组，熟练掌握是解题的关键.21．从广州去某市，可乘坐普通列车或高铁，已知高铁的行驶路程是400千米，普通列车的行驶路程是高铁的行驶路程的1．3倍．求普通列车的行驶路程；若高铁的平均速度（千米/时）是普通列车平均速度（千米/时）的2．5倍，且乘坐高铁所需时间比乘坐普通列车所需时间缩短3小时，求高铁的平均速度．【答案】（1）520千米；（2）300千米/时．【解析】试题分析：（1）根据普通列车的行驶路程=高铁的行驶路程×1．3得出答案；（2）首先设普通列车的平均速度为x千米/时，则高铁平均速度为2．5x千米/时，根据题意列出分式方程求出未知数x的值．试题解析：（1）依题意可得，普通列车的行驶路程为400×1．3=520（千米）（2）设普通列车的平均速度为x千米/时，则高铁平均速度为2．5x千米/时依题意有：5204002.5x x=3 解得：x=120经检验：x=120分式方程的解且符合题意高铁平均速度：2．5×120=300千米/时答：高铁平均速度为2．5×120=300千米/时．考点：分式方程的应用．22．某学校八、九两个年级各有学生180人，为了解这两个年级学生的体质健康情况，进行了抽样调查，具体过程如下：收集数据从八、九两个年级各随机抽取20名学生进行体质健康测试，测试成绩（百分制）如下：整理、描述数据将成绩按如下分段整理、描述这两组样本数据：（说明：成绩80分及以上为体质健康优秀，70～79分为体质健康良好，60～69分为体质健康合格，60分以下为体质健康不合格）分析数据两组样本数据的平均数、中位数、众数、方差如表所示：（1）表格中a 的值为______；请你估计该校九年级体质健康优秀的学生人数为多少？根据以上信息，你认为哪个年级学生的体质健康情况更好一些？请说明理由．（请从两个不同的角度说明推断的合理性）【答案】 (1)81;(2) 108人；(3)见解析.【解析】（1）根据众数的概念解答；（2）求出九年级学生体质健康的优秀率，计算即可；（3）分别从不同的角度进行评价．【详解】解：（1）由测试成绩可知，81分出现的次数最多，∴a=81，故答案为：81；（2）九年级学生体质健康的优秀率为：10+2100%=60%20⨯， 九年级体质健康优秀的学生人数为：180×60%=108（人），答：估计该校九年级体质健康优秀的学生人数为108人；（3）①因为八年级学生的平均成绩高于九年级的平均成绩，且八年级学生成绩的方差小于九年级的方差，所以八年级学生的体质健康情况更好一些．②因为九年级学生的优秀率（60%）高于八年级的优秀率（40%），且九年级学生成绩的众数或中位数高于八年级的众数或中位数，所以九年级学生的体质健康情况更好一些．【点睛】本题考查的是用样本估计总体、方差、平均数、众数和中位数的概念和性质，正确求出样本的众数、理解方差和平均数、众数、中位线的性质是解题的关键．23．一辆汽车，新车购买价30万元，第一年使用后折旧20%，以后该车的年折旧率有所变化，但它在第二、三年的年折旧率相同.已知在第三年年末，这辆车折旧后价值为17.34万元，求这辆车第二、三年的年折旧率.【答案】这辆车第二、三年的年折旧率为15%.【解析】设这辆车第二、三年的年折旧率为x ，则第二年这就后的价格为30（1-20%）（1-x ）元，第三年折旧后的而价格为30（1-20%）（1-x ）2元，与第三年折旧后的价格为17.34万元建立方程求出其解即可．【详解】设这辆车第二、三年的年折旧率为x ，依题意，得()()230120%117.34x --=整理得()210.7225x -=，解得1 1.85x =，20.15x =.因为折旧率不可能大于1，所以1 1.85x=不合题意，舍去.所以0.1515%x==答：这辆车第二、三年的年折旧率为15%.【点睛】本题是一道折旧率问题，考查了列一元二次方程解实际问题的运用，解答本题时设出折旧率，表示出第三年的折旧后价格并运用价格为11.56万元建立方程是关键．24．如图所示，在正方形ABCD中，E，F分别是边AD，CD上的点，AE＝ED，DF=14DC，连结EF并延长交BC的延长线于点G，连结BE．求证：△ABE∽△DEF．若正方形的边长为4，求BG的长．【答案】（1）见解析；（2）BG=BC+CG=1．【解析】（1）利用正方形的性质，可得∠A=∠D，根据已知可得AE：AB=DF：DE，根据有两边对应成比例且夹角相等三角形相似，可得△ABE∽△DEF；（2）根据相似三角形的预备定理得到△EDF∽△GCF，再根据相似的性质即可求得CG的长，那么BG的长也就不难得到.【详解】（1）证明：∵ABCD为正方形，∴AD=AB=DC=BC，∠A=∠D=90 °.∵AE=ED，∴AE：AB=1：2.∵DF=14DC，∴DF：DE=1：2，∴AE：AB=DF：DE，∴△ABE∽△DEF；（2）解：∵ABCD为正方形，∴ED∥BG，∴△EDF∽△GCF，∴ED：CG=DF：CF.又∵DF=14DC，正方形的边长为4，∴ED=2，CG=6，∴BG=BC+CG=1. 【点睛】本题考查了正方形的性质，相似三角形的判定与性质，熟练掌握相似三角形的判定与性质是解答本题的关键.25．如图，在平面直角坐标系xOy中，△ABC的三个顶点坐标分别为A（1，1），B（4，0），C（4，4）．按下列要求作图：①将△ABC向左平移4个单位，得到△A1B1C1；②将△A1B1C1绕点B1逆时针旋转90°，得到△A1B1C1．求点C1在旋转过程中所经过的路径长．【答案】（1）①见解析；②见解析；（1）1π．【解析】（1）①利用点平移的坐标规律，分别画出点A、B、C的对应点A1、B1、C1的坐标，然后描点可得△A1B1C1；②利用网格特点和旋转的性质，分别画出点A1、B1、C1的对应点A1、B1、C1即可；（1）根据弧长公式计算．【详解】（1）①如图，△A1B1C1为所作；②如图，△A1B1C1为所作；（1）点C1在旋转过程中所经过的路径长＝9042 180ππ⨯=【点睛】本题考查了作图﹣旋转变换：根据旋转的性质可知，对应角都相等，对应线段也相等，由此可以通过作相等的角，在角的边上截取相等的线段的方法，找到对应点，顺次连接得出旋转后的图形．也考查了平移的性质．26．如图，已知⊙O经过△ABC的顶点A、B，交边BC于点D，点A恰为BD的中点，且BD＝8，AC＝9，sinC＝13，求⊙O的半径．【答案】⊙O的半径为256．【解析】如图，连接OA．交BC于H．首先证明OA⊥BC，在Rt△ACH中，求出AH，设⊙O的半径为r，在Rt△BOH中，根据BH2+OH2＝OB2，构建方程即可解决问题。