轻松学数学I (28)
轻松学数学I (77)
天行有常，不为尧存，不为桀亡。《苟子》)
小东上午做了10道数学题，下午做的比上午多3道，小东一共做了多少道？
班同学做早操，全班排4行，每行人数相等，佳佳站在一行中前面数过去是第5个，从后面数过来是第1个，二（1）班一共有（）人。14、一只蛤蟆掉在井里，井深8米，它白天爬上3米，夜里滑下2米，爬到井口要用（）天。
课堂上练习口算，老师出了40道题，小明做错了5道，他做对了多少道题？
小学应用题练习作业
二苹果，第一天卖出去24箱，第二天卖出去18筐，水果店还有多少筐苹果？
妈妈买回8千克苹果，平均每千克有6个。送王奶奶28个，还剩多少个？
三年级买来科技书18本，故事书24本。把这些书平均分给三年级六个班，平均每个班分多少本？
教室里有25张课桌，如果平均分成5排，每一排有多少张课桌？
学校体育室有排球18个，足球的个数比排球多15个，学校体育室有排球、足球共多少个？
学校组织同学们进行放风筝比赛，让他们每6人一组，每组2只风筝，这时，天空中一共飘起了10只风筝，你知道这次参加比赛的一共有多少名同学？
小华做了4个信封，小亮比小华3倍多8个，小亮做了多少个？
水果店运进75箱苹果，第一天卖出去24箱，第二天卖出去18筐，水果店还有多少筐苹果？
轻松学数学I (37)
善不由外来兮，名不可以虚作。--屈原，战国诗人
妈妈买了6袋苹果，每袋8个。又买了27个梨。妈妈一共买了多少水果？
动物运动会上，小鹿、小兔、小猴和小猪四个动物比赛，小鹿比小兔快，小兔比小猴快，小猴不是最后，问：四个小动物的名次是怎样的？
小合唱队有32个女同学，男同学比女同学少14个，男同学有几个？
男生有35人，男生比女生多2人，女生有多少人？
食堂买来60棵白菜，吃了56棵。又买来30棵，现在有多少棵？
小学应用题练习作业
二年级应用题姓名：评分：
有25个苹果，梨比苹果少7个，有多少个梨？
仓库里有48吨货物，运走了8吨，还剩多少吨？
动汽车，要买5辆小汽车要多少元？
同学们分4组做风车，每组做9只。送给幼儿园18只，还有多少只？
一堆煤，每次运走4吨，运了8次还剩36吨，运完这堆煤，一共要多少次？
轻松学数学I (27)
学校买来一批新书，2年级借走了一半，1年级借走了剩下的一半，还剩下5本，问：学校一共买来了多少本新书?
奶奶养了24只鸡，养鸭的只数比鸡多16只。养鹅的只数比鸭少8只。奶奶养了几只鹅？
小王有18本书，拿走童话书的一半后还有15本，问：小王有几本童话书？
妈妈买一双皮鞋花52元，买一双布鞋花12元，付给售货员100元，应该找回多少元?
小黑猫钓了36条鱼，小白猫和1袋糖，一共用了多少钱？
买一条裤子要30元，一件上衣的价钱是裤子价钱的2倍，买3套这样的衣服一共需要多少元？
光阴给我们经验，读书给我们知识。——奥斯特洛夫斯基
小学应用题练习作业
二年级应用题姓名：评分：
学校买来一批新书，2年级借走了一半，1年级借走了剩下的一半，还剩下5本，问：学校一共买来了多少本新书?
商店原有25筐桔子，卖出18筐后，又运进40筐，这时商店有桔子多少筐?
一条马路两旁各种上9棵树，一共种树多少棵？（用乘法）
果园里有56棵桃树，比梨树少8棵，梨树有多少棵？
七年级轻轻松松学数学答案
七年级轻轻松松学数学答案一、填空。
1、五百零三万七千写作( )，省略“万”后面的尾数约是( )万。
2、1小时15分后=( )小时 5.05公顷=( )平方米3、在1.66，1.6，1.7%和3/4中，最大的数是( )，最小的数是( )。
4、在比例尺1：的地图上，量得a地至b地的距离就是3.5厘米，则a地至b地的实际距离就是( )。
5、甲乙两数的和是28，甲与乙的比是3：4，乙数是( )，甲乙两数的差是( )。
6、一个两位小数，若换成它的.小数点，获得的新数比原数多47.52。
这个两位小数就是( )。
7、a、b两个数是互质数，它们的最大公因数是( )，最小公倍数是( )。
8、小红把元取走银行，存期一年，年利率为2.68%，利息税就是5%，那么到期时可以得利息( )元。
9、在边长为a厘米的正方形上剪下一个最大的圆，这个圆与正方形的周长比是( )。
10、一种铁丝1/2米重1/3千克，这种铁丝1米重( )千克，1千克短( )米。
11、一个圆柱与一个圆锥体积相等，底面积也相等。
已知圆柱的高是12厘米，圆锥的高是( )。
12、未知一个比例中两个外项的积是最轻的合数，一个内项就是5/6，另一个内项就是( )。
13、一辆汽车从a城到b城，去时每小时行30千米，返回时每小时行25千米。
去时和返回时的速度比是( )，在相同的时间里，行的路程比是( )，往返ab两城所需要的时间比是( )。
二、推论。
1、小数都比整数小。
( )2、把一根短为1米的绳子分为5段，每段长1/5米。
( )3、甲数的1/4等于乙数的1/6，则甲乙两数之比为2：3。
( )4、任何一个质数加之1，必定就是合数。
( )5、半径为2厘米的加，圆的周长和面积相等。
( )三、挑选。
1、年第一季度与第二季度的天数相比是( )a、第一季度多一天b、天数成正比c、第二季度多1天2、一个三角形最小的锐角是50度，这个三角形一定是( )三角形。
a、钝角b、直角c、锐角3、一件商品先涨价5%，后又降价5%，则( )a、现价比原价高b、现价比原价低c、现价和原价一样4、把12.5%后的%去掉，这个数( )a、不断扩大至原来的倍b、增大原来的1/c、大小维持不变5、孙爷爷今年a岁，张伯伯今年(a-20)岁，过x年后，他们相差( )岁。
轻松学数学I (80)
猫妈妈钓了35条鱼给小猫吃，3只小猫都吃了8条，还剩多少条？
四年级有16人去郊游，五年级比四年级多去4人，六年级是四年级五年级的总和，五年级有多少人去郊游？六年级有多少人去郊游？一共有多少人？
一根铁丝用去一半后，再用去剩下的一半，这时剩下9米，原来这根铁丝多长？
同学们做红花208朵，黄花167朵。做绿花的朵数比红花和黄花的总数少59朵。做绿花多少朵？
一条大鲨鱼，尾长是身长的一半，头长是尾长的一半，已知头长3米，这条大鲨鱼全长多少米？
同学们做纸花。做红花258朵，做黄花175朵，做白花64朵。同学们一共做了多少朵花？
同学们做纸花。做红朵花？
李奶奶家养了9只鸭，鸡的只数是鸭的3倍，要使鸭的只数和鸡同样多，那么李奶奶家还要买几只鸭？
小学应用题练习作业
二年级应用题姓名：评分：
小红每天做8朵红花，做了3天。她要把红花奖给6个小朋友，平均每人多少朵？
停车场上有65辆小汽车，开走了31辆，还剩下多少辆？又开来6辆。现在停车场上有小汽车多少辆？
商店上周运进童车50辆，这周又运进48辆，卖出17辆．现在商店有多少辆童车?
军军有309张画，方方有196张画。小红比军军和方方的总张数少254张。小红有多少张？
轻轻松松学数学八年级上册答案
轻轻松松学数学八年级上册答案
一、第一章函数
1. 第一节函数的定义
(1) 答案：函数是把特定条件下某些值Num1映射到另一些与之有关联的值Num2的规律。
它由一组有序的称为函数点的点组成；每一点上都有一个输入量Num1和一个输出量Num2，它们组成Num1 –Num2坐标对。
2. 第二节函数的表示
(1) 答案：函数一般有两种表示方法，比较常见的是函数图形和函数公式。
函数图形又一般有平面函数图象和曲面函数图象两种，常见的函数形式有直线、二次曲线、抛物线等。
函数公式则用字母表示函数中的变量，结合数学基本运算就可以表达出函数的定义。
二、第二章统计
1. 第一节统计描述
(1) 答案：统计描述是一种描述研究对象基本特征数值汇总的方法，有助于深入了解数据的分布特征以及变量之间的关系。
它可以从两个层面上描述研究对象：一是主要变量的集中趋势的描述；二是变量间关系的描述。
2. 第二节统计计算
(1) 答案：统计计算是指以统计数据为基础，应用各种不同统计方法对数据进行分析，以达到求解出有关问题的目的。
统计计算的方法包括平均数法、比例和变异系数、回归分析以及t检验等。
冀教版数学七年级下册轻轻松松精讲精练电子版
冀教版数学七年级下册轻轻松松精讲精练电子版1、计算－(a－b)3(b－a)2的结果为( ) [单选题] *A. －(b－a)?B. －(b＋a)?C. (a－b)?D. (b－a)?(正确答案)2、8．如图，在数轴上表示的点可能是（）[单选题] *A．点PB．点Q(正确答案)C．点MD．点N3、10．如图，点O在直线AE上，OC平分∠AOE，∠DOB是直角．若∠1＝25°，那么∠AOB的度数是（）[单选题] *A．65°B．25°(正确答案)C．90°D．115°4、24．下列各数中，绝对值最大的数是（）[单选题] * A．0B．2C．﹣3(正确答案)D．15、第三象限的角的集合可以表示为（）[单选题] *A. {α|180°<α<270°}B. {α|180°+k·360°<α<270°+k·360°}(正确答案)C. {α|90°<α<180°}D. {α|90°+k·360°<α<180°+k·360°}6、y=kx+b（k是不为0的常数）是（）。
[单选题] *正比例函数一次函数(正确答案)反比例函数二次函数函数7、6．下列说法正确的是（）．[单选题] * A．不属于任何象限的点不在坐标轴上就在原点B．横坐标为负数的点在第二、三象限C．横坐标和纵坐标互换后就表示另一个点D．纵坐标为负数的点一定在x轴下方(正确答案)8、7．如图，数轴上点M表示的数可能是（）[单选题] *A．5B．﹣6C．﹣6(正确答案)D．69、14．平面上有三个点A，B，C，如果AB＝8，AC＝5，BC＝3，则（）[单选题] * A．点C在线段AB上(正确答案)B．点C在线段AB的延长线上C．点C在直线AB外D．不能确定10、28、若的三边之长都是整数，周长小于10，则这样的三角形共有（）[单选题] *A. 6个，B. 7个，C. 8个，D. 9个(正确答案)11、下列说法正确的是[单选题] *A.两个数的和必定大于每一个加数B.两个数的和必定不大于每一个加数C.两个有理数和的绝对值等于这两个有理数绝对值的和D.如果两个数的和是负数，那么这两个数中至少有一个是负数(正确答案)12、23．最接近﹣π的整数是（）[单选题] *A．3B．4C．﹣3(正确答案)D．﹣413、18．下列各对数中，互为相反数的是（）[单选题] *A．﹣（+1）和+（﹣1）B．﹣（﹣1）和+（﹣1）(正确答案)C．﹣（+1）和﹣1D．+（﹣1）和﹣114、4．(2020·天津，1,5分)设全集U={－3，－2，－1,0,1,2,3}，集合A={－1,0,1,2}，B={－3,0,2,3}，则A∩(?UB)=( ) [单选题] *A．{－3,3}B．{0,2}C．{－1,1}(正确答案)D．{－3，－2，－1,1,3}15、多项式x2+ax+b=(x+1)(x-3)，则a、b的值分别是（）[单选题] *A. a=2，b=3B. a=-2，b=-3(正确答案)C. a=-2，b=3D. a=2，b=-316、46．若a+b＝7，ab＝10，则a2+b2的值为（）[单选题] *A．17B．29(正确答案)C．25D．4917、47．已知（x﹣2021）2+（x﹣2023）2＝50，则（x﹣2022）2的值为（）[单选题]* A．24(正确答案)B．23C．22D．无法确定18、19．如果温度上升1℃记作℃，那么温度下降5℃，应记作（）[单选题] *A.+5℃B.-5℃(正确答案)C.+6℃D.-6℃19、14．数﹣在数轴上的位置可以是（）[单选题] *A．点A与点B之间(正确答案)B．点B与点O之间C．点O与点D之间D．点D与点E之间20、从3点到6点，时针旋转了多少度？[单选题] *60°-90°(正确答案)-60°90°21、椭圆的离心率一定（）[单选题] *A、等于1B、等于2(正确答案)C、大于1D、等于022、8．一实验室检测A、B、C、D四个元件的质量（单位：克），超过标准质量的克数记为正数，不足标准质量的克数记为负数，结果如图所示，其中最接近标准质量的元件是（）[单选题] *A.+2B.-3C.+9D.-8(正确答案)23、6、已知点A的坐标是，如果且，那么点A在（）[单选题] *x轴上y轴上x轴上，但不能包括原点(正确答案)y轴上，但不能包括原点24、2．(2020·新高考Ⅱ，1,5分)设集合A={2,3,5,7}，B={1,2,3,5,8}，则A∩B=( ) [单选题] *A．{1,8}B．{2,5}C．{2,3,5}(正确答案)D．{1,2,3,5,7,8}25、3.检验4个工作，其中超出标准质量的克数记作正数，不足标准质量的克数记作负数，则最接近标准质量的克数是（）[单选题] *A.4B.3C.-1(正确答案)D.-226、在0°~360°范围中，与645°终边相同的角是（）[单选题] *285°(正确答案)-75°295°75°27、4．﹣3的相反数是（）[单选题] *A.BC -3D 3(正确答案)28、9. 如图，在平面直角坐标系中，正方形ABCD的边长为2，点A坐标为（-2，1），沿某一方向平移后点A1的坐标为（4，2），则点C1的坐标为（）[单选题]*A、（2，3）B、（2，4）(正确答案)C、（3，4）D、（3，3）29、15．下列说法中，正确的是（）[单选题] *A．若AP＝PB，则点P是线段AB的中点B．射线比直线短C．连接两点的线段叫做两点间的距离D．过六边形的一个顶点作对角线，可以将这个六边形分成4个三角形(正确答案)30、16．我国古代著作《九章算术》在世界数学史上首次正式引入负数，若气温升高时，气温变化记作，那么气温下降时，气温变化记作（）[单选题] *A．-10℃(正确答案)B．-13℃C．+10℃D．+13℃。
小学五年级数学轻松课堂提高I (28)
小强从家回校上课，如果每分钟走50米，12分钟回到学校，如果每分钟多走10米，提前几分钟可以回到学校？
有辆汽车每秒行18米,车的长度是2米,隧道长324米,这辆汽车全部通过隧道要用多长时间？
棱长为5分米的正方体，可以截成多少块棱长为1厘米的小正方体木块？如果把这些小木块排成一排，长多少米？
小明从家到学校时，前一半路程步行，后一半路程乘车；他从学校到家时，前1/3时间乘车，后2/3时间步行。结果去学校的时间比回家的时间多20分钟，已知小明从家到学校的路程是多少千米？
一个长方体的表面积是1.6平方米，底面是一个周长为160厘米的正方形。这个长方体的体积是多少立方分米？
前五次考试的总分是428分，第六次至第九次的平均分，比前五次平均分多1。4分，现在要进行第十次考试，要使后五次的平均分高于所有十次至少要考几分？
学然后知不足。(礼记)学无止境。(荀子)
小学应用题练习作业
五年级应用题姓名：评分：
水果店运来3600千克桔子，比运来的苹果的2倍少300千克，运来苹果多少千克？
一列火车的车身长800米，行驶的速度是每小时60千米，铁路上有两座隧洞。火车从车头进入第一个隧洞到车尾离开第一个隧钟。两座隧洞之间相距多少米？
一台磨面机1小时可磨面粉5.6千克面粉,那么这台磨面机4.5小时可磨面粉多少千克
水果店运来15筐桔子和12筐苹果，一共重600千克，每筐桔子重20千克，每筐苹果重多少千克?
一辆汽车和一辆自行车从相距172.5千米的甲、乙两地同时出发，相向而行，3小时后两车相遇。已知汽车每小时比自行车多行31.5千米，求汽车、自行车的速度各是多少？
七年级上册轻轻松松学数学答案
七年级上册轻轻松松学数学答案习题2.21.解:(1)2x-10. 3x= (2-10. 3)x=-8. 3x.(2)3x-x-5x=(3-1-5)x=-3x.(3)-b+0. 6b-2. 6b=(-1+0.6-2. 6)b= -3b.2.求解：(1)2(4x-0. 5)=8x-1.(2)-3(1-1/6 x)=-3+1/2x.(3)-x+(2x-2)-(3x+5)=-x+2x-2-3x-5=-2x-7.3.解：(1)原式=5a+4c+7b+5c-3b-6a=-a+4b+9c.5.求解：(1)比a的5倍小4的数为5a+4，比a的2倍大3的数是2a-3. (5a+4)+(2a-3) =5a+4+2a-3=7a+1.(2)比x的7倍小3的数为7x+3，比x的6倍大5的数是6x-5.(7x+3)-(6x-5)=7x+3-6x+5=x+8.(2)πa+2a×3=πa+6a=(π+6)a(cm).8.解：3(a+y)+1.5(a-y)=3a+3y+1. 5a-1. 5y=4. 5a+1. 5y.9.求解：17a，20a，…，(3n+2)a.10.解：s=3+3(n-2)=3n-3.当n=5时，s=3×5-3=12;当n=7时，s=3×7-3=18;当n=11时，s=3×11-3=30.11.解：(1)10b+a;(2)10(10b+a);(3)10b+a+10(10b+a)=11(10b+a).这个和就是11的倍数，因为它所含11这个因数.第80页练习1.求解：设立沿滑行道走x周.由题意，得x=3 .2.求解：设立甲种铅笔买了x两支，则乙种铅笔买了(20-x)两支.由题意，得0. 3x+0. 6(20-x)=9.3.解：设上底为x cm，则下底为(x+2) c由题意，得1/2(x+2+x)×5=40.4.解：方法1：设小水杯的单价是x元，则大水杯的单价是(x+5)元.由题意，得10(x+5) =15x.方法2：设大水杯的单价是x元，则小水杯的单价是(x-5)元.由题意，得10x=15(x-5).第83页练习求解：(1)方程两边提5，得x=11.检验：将x=11代入方程x-5=6的左边，得11-5=6.方程的左右两边相等，所以x=11是方程的解.(2)方程两边除以0.3，得x=.检验：将x=代入方程0.3x= 45的左边，得0.3×=45.方程左右两边相等，所以x=是方程的解.(3)方程两边减至4，得5x= -4.两边除以5，得x=-4/5.检验：将x=-4/5代入方程5x+4=0的左边，得5×(-4/5)+4=0.方程左右两边相等，所以x=-4/5是方程的解.(4)方程两边减至2，得一1/4x=1.两边除以-1/4，得x=-4.检验：将x=-4代入方程2-1/4x-=3的左边，得2-1/4×(-4)=3.方程左右两边成正比，所以x=-4就是方程的求解。
轻松学数学I (71)
二年级应用题姓名：评分：
小ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ看一本书，每天看7页，6天后还剩21页，小明看完这本书一共需要多少天？
一只手有5个手指，那么两个人共有多少个手指？2.有4盆黄花、5盆红花，每盆都开6多花，一共开了几朵花？
3个组一共收集了94个易拉罐，其中第一组收集了34个易拉罐，第二组收集了29个易拉罐。那第三小组收集了多少个易拉罐?
吾生也有涯，而知也无涯——庄子
学校有兰花和菊花共16盆，兰花有6盆，菊花有几盆？
小明有186张画片，送给小方98张，送给小云35张。小明还剩多少张？
一桶水连桶重25千克，用去一半后，连桶重14千克，用去了多少千克水？满桶水重多少千克？
海印电器商场有彩电550台，又运来240台，卖了一些后还剩320台，卖了多少台？
小明拍皮球，第一次拍24下，第二次拍24下，第三次也拍了4个三次拍一共多少下？
饲养员养了10只公鸡，14只母鸡，每4只放入一个笼子，需要多少个笼子?
一只手有5个手指，那么两个人共有多少个手指？2.有4盆黄花、5盆红花，每盆都开6多花，一共开了几朵花？
有45人在做操，其中女生有3排，每排6人。男生有多少人？
小红看一本书，从第一页看起。第一天看了23页，第二天看了18页，问：第三天应从第几页看起？
轻松学数学I (86)
小红看故事书，第一天看了15页，第二天看的比第一天少6页，两天一共看了多少页？
同学们分4组做风车，每组做9只。送给幼儿园18只，7本,小胖买了4本，每本书7元，他们一共用去几元？
小红有28个气球，小芳有24个气球，送给幼儿园小朋友15个，还剩多少个？
小明今年8岁，爸爸的年龄是小明的4倍，爸爸比小明大多少岁？
大客车可以乘坐45人，小轿车可以乘坐5人，大客车比小轿车多乘坐多少人？
食堂买来60棵白菜，吃了56棵。又买来30棵，现在有多少棵？
多虚不如少实。--陈甫，宋朝哲学家
小学应用题练习作业
二年级应用题姓名：评分：
小东今年6岁，妈妈今年30岁。小东12岁时，妈妈多少岁？
海印电器商场有彩电550台，又运来240台，卖了一些后还剩320台，卖了多少台？
一条河堤长12米，每隔4米栽一棵树，从头到尾一共栽多少棵？
二⑴班有男生28人，有女生24人，二⑵班比二⑴班多3人，二⑵班有多少人？
轻松学数学I (26)
妈妈到商店买了20千克花生油，吃了一个月后，又买回10千克花生油，这时家里共有15千克花生油，求吃了多少千克花生油？
同学们做纸花。做红花107朵，做黄花35朵，做白花26朵。做红花的朵数比黄花和白花的总朵数多几朵？
面包：每个3元，饼干：每包4元，饮料：每瓶6元；小刚：买4个面包和1瓶饮料，应付多少元？：
原来有22人看戏，来了13人，又走了6人，现在看戏的有多少人？
小明种了5行萝卜，每行9个。送给邻居15个，还剩多少个？
少年宫新购小提琴52把，中提琴比小提琴少20把，两种琴一共有多少把?
姐姐给妹妹4张画片后还比妹妹多2张，问原来姐姐比妹妹多几张？
妈妈买红扣子28个，白扣子16个，黑扣子24个。（1）红扣子比白扣子多多少个？（2）黑扣子比白扣子少多少个？
男同学有23人，女同学有22人，一共租了9条船，平均每条船上坐多少人？
奶奶养了24只鸡，养鸭的只数比鸡多16只。养鹅的只数比鸭少8只。奶奶养了几只鹅？
小青两次画了28个，第一次画了9个，第二次画了多少个？
登山则情满于山，观海则意溢于海。——刘勰
轻松学数学I (25)
二年级应用题姓名：评分：
小东有248张画片，送给小方39张，送给小明73张。小东还剩多少张画片？
一个足球售价45元，一个排球售价9元，足球比排球贵多少元？
学校里有19名女老师，比男老师多9人，女老师和男老师一共有多少人？
张大娘家养了一些鸡和兔，共有8个头，22条腿，问张大娘养了几只鸡？几只兔？
从大到小排列，个位上是7的数有多少个？
小明买一支钢笔花了8元，买书包的钱是买钢笔的6倍，小明一共花了多少钱？我有50元，要买一件29元的衣服和一副18元的眼镜，还剩多少元？（两种方法）
从大到小排列，个位上是的数有多少个？
妈妈买回8千克苹果，平均每千克有6个。送王奶奶28个，还剩多少个？
商店有自行车60辆，卖了4天，每天卖8辆，还剩多少辆？
爸爸带了980元钱。买一辆自行车用去276元，买一台电风扇用去189元。爸爸还剩多少元？
水果店有水果46筐，上午卖出去28筐，下午又运进来21筐，水果店现在有水果多少筐？
有大小两个水桶，一共装水20千克，两个水桶都倒出同样多的水后，小水桶有水3千克，大水桶有9千克，原来大、小两个水桶各有多少千克？
穷则变，变则通，通则久。——易经
轻松学数学I (8)
二年级应用题姓名：评分：
同学们要做95个灯笼,已做好47个，还要做多少个？
超市里买4袋饼干要付8元，买8袋饼干要付多少元？
小红有28个气球，小芳有24个气球，送给幼儿园小朋友15个，还剩多少个？
一道除法算式，除数是9，王平同学把被除数的十位数字和个位数字看颠倒（diāndǎo）了，结果商得5，这道题正确的被除数是（）。20全校的女生比男生多53人，后来转学来了29名男生、26名女生，现在（）生人数多，多（）人。17、小明家养的母鸡只数是公鸡的5倍，母鸡比公鸡多20只。小明家养母鸡（）只，养公鸡（）只。
学校买回白色、彩色粉笔共18盒，其中彩色粉笔19盒，买回白粉笔多少盒？
一本故事书24页，小红每天看6页，几天看完？这本故事书小明8天看完，每天要看几页？
红领巾养鸡场有公鸡44只，母鸡比公鸡多16只。母鸡有多少只？
真者，精诚之至也，不精不，不能动人。——《庄子-渔夫》
男孩：5枝铅笔15元，女孩：我的笔每枝4元，谁便宜？每支便宜多少？
100以内的数中，个位数字是5的数出现几次？
36个同学做红花，他们每4人一组，每组做6朵，这些同学一共能做（）朵花。
汽车里有41人，中途有13人上车，9人下车，车上现在还有多少人？
小黑猫钓了36条鱼，小白猫比小黑猫多钓了4条，小黑猫钓了多少条鱼？
2023年新高考数学大一轮复习专题28 轻松搞定圆锥曲线离心率十九大模型(原卷版)
专题28 轻松搞定圆锥曲线离心率十九大模型【考点预测】 求离心率范围的方法 一、建立不等式法：1、利用曲线的范围建立不等关系．2、利用线段长度的大小建立不等关系．12,F F 为椭圆22221(0)x y a b a b +=>>的左、右焦点，P 为椭圆上的任意一点，[]1,PF a c a c ∈-+；12,F F 为双曲线22221(0,0)x y a b a b -=>>的左、右焦点，P 为双曲线上的任一点，1PF c a ≥-．3、利用角度长度的大小建立不等关系．12,F F 为椭圆22221x y a b +=的左、右焦点，P 为椭圆上的动点，若12F PF θ∠=，则椭圆离心率e 的取值范围为sin12e θ≤<．4、利用题目不等关系建立不等关系．5、利用判别式建立不等关系．6、利用与双曲线渐近线的斜率比较建立不等关系．7、利用基本不等式，建立不等关系． 二、函数法：1、根据题设条件，如曲线的定义、等量关系等条件建立离心率和其他一个变量的函数关系式；2、通过确定函数的定义域；3、利用函数求值域的方法求解离心率的范围． 三、坐标法：由条件求出坐标代入曲线方程建立等量关系． 【题型归纳目录】题型一：建立关于a 和c 的一次或二次方程与不等式 题型二：圆锥曲线第一定义 题型三：圆锥曲线第二定义题型四：圆锥曲线第三定义（斜率之积） 题型五：利用数形结合求解 题型六：利用正弦定理 题型七：利用余弦定理 题型八：内切圆问题 题型九：椭圆与双曲线共焦点题型十：利用最大顶角θ 题型十一：基本不等式 题型十二：已知12PF PF ⋅范围 题型十三：12=PF PF λ 题型十四：中点弦题型十五：已知焦点三角形两底角 题型十六：利用渐近线的斜率 题型十七：坐标法题型十八：利用焦半径的取值范围 题型十九：四心问题 【典例例题】题型一：建立关于a 和c 的一次或二次方程与不等式例1．（2022·全国·高三专题练习）如图所示，已知双曲线()2222:10,0x y C a b a b-=>>的右焦点为F ，双曲线C 的右支上一点A ，它关于原点O 的对称点为B ，满足120AFB ∠=︒，且2BF AF =，则双曲线C 的离心率是________．例2．（2022·四川·高三阶段练习（理））已知双曲线C ：22221x y a b-=（0a >，0b >）的左、右焦点分别是1F ，2F ，过右焦点2F 且不与x 轴垂直的直线交C 的右支于A ，B 两点，若1AF AB ⊥，且12AB AF =，则C 的离心率为（ ）AB ．1CD ．1例3．（2022·湖北·高三开学考试）已知双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b -=>>的左、右焦点分别为12,F F ，过1F 作直线l 与C 的左、右两支分别交于,M N 两点，且2MNF 是以2MNF ∠为顶角的等腰直角三角形，若C 的离心率为e ，则2e =（ ）A．533B ．5+C ．5+D ．5+例4．（2022·甘肃·瓜州一中高三期中（文））若m 是2和8的等比中项，则圆锥曲线221y x m+=的离心率是（ ）A B C D例5．（2022·江西·高三开学考试（文））设椭圆()2222:10x y C a b a b +=>>的左、右焦点分别为1F ，2F ，点M ，N 在C 上（M 位于第一象限），且点M ，N 关于原点O 对称，若12MN F F =，22NF =，则C 的离心率为（ ）A B ．12C D题型二：圆锥曲线第一定义例6．（2022·重庆八中高三开学考试（理））设椭圆E :2222x y a b+=1(a >b >0)的一个焦点为F (c ,0)(c >0),点A (﹣c ,c )为椭圆E 内一点,若椭圆E 上存在一点P ,使得|P A |+|PF |=9c ,则椭圆E 的离心率取值范围为（ ） A ．[12,1)B ．[13,12]C ．[12,23]D ．[15,14]例7．（2022·浙江·高三开学考试）已知12,F F 分别为椭圆2222:1(0)x yC a b a b+=>>的左､右焦点，过1F 的直线与C 交于,P Q 两点，若12125PF PF FQ ==，则C 的离心率是（ ）A B C D例8．（2022·江苏·南京市金陵中学河西分校高三阶段练习）设双曲线222:1y C x b-=的左､右焦点分别为F 1，F 2，P 是C 上一点，且12F P F P ⊥，若12PF F △的面积为4，则双曲线C 的离心率为（ ）A B ．2 C ．3 D例9．（2022·贵州贵阳·高三开学考试（理））已知双曲线222:1(0)5x y C a a -=>的左焦点为(,0)F c -， 点P 在双曲线C 的右支上， (0,4)A ．若 ||||PA PF +的最小值是 9 ， 则双曲线C 的离心率是_____．例10．（2022·全国·高三专题练习）已知1F ，2F 分别是双曲线2222:1(0,0)x yC a b ab-=>>的左、右焦点，以12F F 为直径的圆与双曲线C 有一个交点P ，设12PF F △的面积为S ，若()21212PF PF S +=，则双曲线C 的离心率为（ ）A．2 B C D ．题型三：圆锥曲线第二定义例11．（2022·全国·高三专题练习（文））古希腊数学家欧几里得在《几何原本》中描述了圆锥曲线的共性，并给出了圆锥曲线的统一定义，他指出，平面内到定点的距离与到定直线的距离的比是常数e 的点的轨迹叫做圆锥曲线；当01e <<时，轨迹为椭圆；当1e =时，轨迹为抛物线；当1e >时，轨迹为双曲线.则15=表示的圆锥曲线的离心率e 等于（ ） A ．15B ．45C ．54D ．5例12．（2022·北京石景山·高三专题练习）已知双曲线22221(,0)x y a b a b-=>的左、右焦点分别为12F F ，P 为左支上一点，P 到左准线的距离为d ，若d 、1||PF 、2||PF 成等比数列，则其离心率的取值范围是（ ）A．)+∞ B ．(1C ．[1)+∞D ．(1，1例13．（2022·全国·高三专题练习）已知双曲线()2222:10,0x y C a b a b-=>>的右焦点为F ，过F 的直线交C 于A 、B 两点，若4AF FB =，则C 的离心率为（ ） A ．58B ．65C ．75D ．95例14．（2022·四川遂宁·二模（理））已知双曲线22221x y a b -=（0,0a b >> ）的离心率为4，过右焦点F 作直线交该双曲线的右支于M,N 两点，弦MN 的垂直平分线交x 轴于点H ，若10MN =，则HF =（ ） A ．14 B ．16 C ．18 D ．20例15．（2022·全国·高三专题练习）已知双曲线C ：22x a －22y b＝1(a ＞0，b ＞0)的右焦点为F ，过F 且斜率为C 于A 、B 两点，若5AF FB =，则C 的离心率为( )A ．43B ．53C ．2D ．85题型四：圆锥曲线第三定义（斜率之积）例16．（2022·全国·高三专题练习）已知椭圆C ：22221x y a b +=（0a b >>），点A ，B 为长轴的两个端点，若在椭圆上存在点P ，使1,03AP BP k k ⎛⎫⋅∈- ⎪⎝⎭，则椭圆的离心率e 的取值范围是______．例17．（2022·全国·高三专题练习）已知点A 、B 为椭圆2222:1(0)x y E a b a b +=>>的长轴顶点，P 为椭圆上一点，若直线P A ，PB 的斜率之积的范围为32,43⎛⎫-- ⎪⎝⎭，则椭圆E 的离心率的取值范围是（ ）A ．12⎛ ⎝⎭B ．2⎝⎭C ．41⎛ ⎝⎭D ．11,43⎛⎫ ⎪⎝⎭例18．（2022·全国·高三专题练习（理））椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的左顶点为A ，点P ，Q 均在C 上，且关于y 轴对称．若直线,AP AQ 的斜率之积为14，则C 的离心率为（ ）A B C ．12D ．13例19．（2022·湖南郴州·高二期末）双曲线()2222:1,0x y C a b a b-=>的左右顶点为,A B ，过原点的直线l 与双曲线C 交于,M N 两点，若,AM AN 的斜率满足2AM AN k k ⋅=，则双曲线C 的离心率为_________．例20．（2022·云南·罗平县第一中学高二开学考试）已知双曲线()222210,0x y a b a b-=>>的两个顶点分别为A ，B ，点P 为双曲线上除A ，B 外任意一点，且点P 与点A ，B 连线的斜率为1k ，2k ，若128k k ⋅=，则双曲线的离心率为（ ）AB C ．2D ．3例21．（2022·全国·高二课时练习）已知A ，B ，P 是双曲线22221x y a b-=（0a >，0b >）上不同的三点，且点A ，B 连线经过坐标原点，若直线P A ，PB 的斜率乘积为43，则该双曲线的离心率为（ ）A B C D题型五：利用数形结合求解例22．（2022·广西·模拟预测（文））如图1所示，双曲线具有光学性质：从双曲线右焦点发出的光线经过双曲线镜面反射，其反射光线的反向延长线经过双曲线的左焦点.若双曲线2222:1(0,0)x y E a b a b-=>>的左､右焦点分别为12,F F ，从2F 发出的光线经过图2中的,A B 两点反射后，分别经过点C 和D ，且12tan 5CAB ∠=-，2||?BD AD BD =，则双曲线E 的离心率为（ ）A ．65B C D ．3例23．（2022·广西柳州·模拟预测（理））如图1所示，双曲线具有光学性质；从双曲线右焦点发出的光线经过双曲线镜面反射，其反射光线的反向延长线经过双曲线的左焦点．若双曲线E ：22221(0,0)x y a b a b-=>>的左、右焦点分别为1F ，2F ，从2F 发出的光线经过图2中的A ，B 两点反射后，分别经过点C 和D ，且3cos 5BAC ∠=-，AB BD ⊥，则E 的离心率为（ ）ABCD例24．（2022·四川·成都七中模拟预测（理））已知双曲线22221x y C a b-=：（0a >，0b >）的左，右焦点分别是1F ，2F ，点P 是双曲线C 右支上异于顶点的点，点H 在直线x a =上，且满足1212PF PF PH PF PF λ⎛⎫⎪=+ ⎪⎝⎭，R λ∈.若215430HP HF HF ++=，则双曲线C 的离心率为（ ）A ．3B ．4C ．5D ．6例25．（2022·全国·二模（理））已知双曲线()2222:10,0x y C a b a b-=>>与椭圆22143x y +=．过椭圆上一点31,2P ⎛⎫- ⎪⎝⎭作椭圆的切线l ，l 与x 轴交于M 点，l与双曲线C 的两条渐近线分别交于N 、Q ，且N 为MQ 的中点，则双曲线C 的离心率为（ ） ABC D例26．（2022·全国·模拟预测（文））已知双曲线()2222:10,0x y C a b a b-=>>的左、右焦点分别是1F ，2F ，过2F 的直线l 交双曲线C 于P ，Q 两点且使得()2201PF F Q λλ=<<．A 为左支上一点且满足120F A F P +=，1222133F F AFAQ =+，2AF P △的面积为2b ，则双曲线C 的离心率为（ ） ABC D例27．（2022·山东潍坊·三模）已知双曲线()2222:10,0x y C a b a b -=>>的左，右顶点分别是1A ，2A ，圆222x y a +=与C 的渐近线在第一象限的交点为M ，直线1A M 交C 的右支于点P ，若△2MPA 是等腰三角形，且2PA M ∠的内角平分线与y 轴平行，则C 的离心率为（ ）A ．2 BC D例28．（2022·浙江·赫威斯育才高中模拟预测）已知1F ，2F 分别是双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>的左、右焦点，过1F 的直线l 与双曲线C 左、右支分别交于A ，B 两点，若2||AB BF =，12BF F △2，双曲线C 的离心率为e ，则2e =（ ） AB ．2C ．2+D ．5+题型六：利用正弦定理例29．（2022·全国·高三专题练习）已知1F ，2F 分别为椭圆()2222:10x yE a b a b+=>>的两个焦点，P 是椭圆E 上的点，12PF PF ⊥，且2112sin 3sin PF F PF F ，则椭圆E 的离心率为（ ）A B CD例30．（2022·全国·高三专题练习）过椭圆()222210x y a b a b+=>>的左、右焦点1F ，2F 作倾斜角分别为6π和3π的两条直线1l ，2l ．若两条直线的交点P 恰好在椭圆上，则椭圆的离心率为（ ）A B 1C D例31．（2022·江苏·扬州中学高三开学考试）已知椭圆()222210,0x y a b a b+=>>的左、右焦点分别为()1,0F c -，()2,0F c ，若椭圆上存在点P （异于长轴的端点），使得1221sin sin c PF F a PF F ∠=∠，则该椭圆离心率e 的取值范围是______．例32．（2022·全国·高三专题练习）过椭圆()222210x y a b a b+=>>的左、右焦点1F ，2F 作倾斜角分别为6π和3π的两条直线1l ，2l ．若两条直线的交点P 恰好在椭圆上，则椭圆的离心率为（ ）A B 1C D题型七：利用余弦定理例33．（2022·全国·高三专题练习）椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的左、右焦点分别为1F ，2F ，过点1F 的直线l 交椭圆C 于A ，B 两点，若122||||F F AF =，112AF F B =，则椭圆C 的离心率为（ ）A ．57B 2C D ．13例34．（2022·河北廊坊·高三开学考试）已知椭圆()2222:10x y C a b a b +=>>的左、右焦点分别为1F ，2F ，P为C 上一点，且127cos 9F PF ∠=，若1F 关于12F PF ∠平分线的对称点Q 在C 上，则C 的离心率为________.例35．（2022·全国·高三专题练习）椭圆2222:1(0)x y C a b a b +=>>的左、右焦点分别为1F ，2F ，过点1F 的直线l 交椭圆C 于A ，B 两点，若122||||F F AF =，112AF F B =，则椭圆C 的离心率为（ ）A ．57B C D ．13例36．（2022·全国·高三专题练习）已知1F ，2F 分别是双曲线2222:1(0,0)x yC a b ab-=>>的左、右焦点，过1F的直线l 与双曲线C 左、右支分别交于A ，B 两点，若2||AB BF =，12BF F △2，双曲线C 的离心率为e ，则2e =（ ） AB ．2C ．2+D ．5+例37．（2022·河南·通许县第一高级中学模拟预测（文））已知双曲线()2222:10,0x y C a b a b-=>>的左、右焦点分别为12,F F ，过点1F 的直线l 与C 的左、右两支分别交于点,A B ，若2ABF 是边长为4的等边三角形，则C 的离心率为（ ）A ．3BCD ．2题型八：内切圆问题例38．（2022·河南·平顶山市第一高级中学模拟预测（理））已知双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b -=>>的左、右焦点分别为1F ，2F ，P 是双曲线上一点，且22()0OP OF F P +⋅=（O 为坐标原点），若12PF F △内切圆的半径为2a，则C 的离心率是（ ）A 1BCD 1例39．（2022·陕西·西北工业大学附属中学模拟预测（理））已知椭圆()222210x y a b a b+=>>的左、右焦点分别为1F 、2F ，经过1F 的直线交椭圆于A ，B ，2ABF 的内切圆的圆心为I ，若23450++=IB IA IF ，则该椭圆的离心率是（ ）A B ．23C D ．12例40．（2022·江苏苏州·模拟预测）已知12,F F 是椭圆221(1)1x y m m m +=>-的左､右焦点，点A 是椭圆上的一个动点，若12AF F △ ）A 1B ．12C D 1例41．（2022·湖北武汉·模拟预测）已知双曲线C ：()222104x y a a -=>的左，右焦点分别为1F ，2F ，点P 在双曲线右支上运动（不与顶点重合），设1PF 与双曲线的左支交于点Q ，2PQF 的内切圆与2QF 相切于点M .若4QM =，则双曲线C 的离心率为（ ）AB C ．2D例42．（2022·浙江·模拟预测）已知双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的左､右焦点分别为12,F F ，M 为右支上一点，2112120,MF F MF F ∠=︒的内切圆圆心为Q ，直线MQ 交x 轴于点N ，||2||MQ QN =，则双曲线的离心率为（ ） A．54B ．43C D例43．（2022·内蒙古·赤峰二中模拟预测（文））已知1F 、2F 分别为双曲线()222210,0x y a b a b-=>>的左、右焦点，12F F P 是y 轴正半轴上一点，线段1PF 交双曲线左支于点A ，若21AF PF ⊥，且2APF 的内切圆半径为1，则双曲线的离心率是（ ）A B C D例44．（2022·辽宁·鞍山一中模拟预测）已知点P 为双曲线()222210,0x y a b a b-=>>一点（点P 在第一象限），点12,F F 分别为双曲线的左，右焦点，12PF F △的内切圆的半径为1．圆心为点I ，若123,4F O F I I π∠== ）AB C D例45．（2022·江苏南通·模拟预测）在平面直角坐标系xoy 中，12,F F 分别是双曲线C ：22221(0,0)x y a b ab-=>>的左，右焦点，过1F 的直线l 与双曲线的左，右两支分别交于点,A B ，点T 在x 轴上，满足23BT AF =，且2BF 经过1BFT 的内切圆圆心，则双曲线C 的离心率为（ ）AB ．2C D题型九：椭圆与双曲线共焦点例46．（2022·甘肃省民乐县第一中学三模（理））设1F ，2F 为椭圆1C 与双曲线2C 的公共焦点，1F ，2F 分别为左､右焦点，1C 与2C 在第一象限的交点为M .若12MF F △是以线段1MF 为底边的等腰三角形，且双曲线2C 的离心率72,2e ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，则椭圆1C 离心率的取值范围是（ ）A ．45,99⎡⎤⎢⎥⎣⎦B ．70,16⎡⎤⎢⎥⎣⎦C ．27,516⎡⎤⎢⎥⎣⎦D ．2,17⎡⎤⎢⎥⎣⎦例47．（2022·重庆·模拟预测）如图，F 1，F 2是椭圆C 1与双曲线C 2的公共焦点，A ，B 分别是C 1与C 2在第二､四象限的公共点，若AF 1⊥BF 1，设C 1与C 2的离心率分别为e 1，e 2，则8e 1+e 2的最小值为（ ）A ．6+2B ．C D例48．（2022·湖南·长沙一中模拟预测）已知椭圆1C 与双曲线2C 的焦点相同，离心率分别为1e ，2e ，且满足21e =，1F ，2F 是它们的公共焦点，P 是椭圆和双曲线在第一象限的交点，若12120F PF ∠=︒，则双曲线2C 的离心率为（ ）AB C ．2 D例49．（2022·河南郑州·一模（文））已知12,F F 知是椭圆221:14x C y +=与双曲线2C 的公共焦点，A 是12,C C 在第二象限的公共点.若12AF AF ⊥，则双曲线2C 的离心率为（ ）A ．65B C D例50．（2022·河南郑州·一模（理））已知 12,F F 是椭圆与双曲线的公共焦点，P 是它们的一个公共点，且| PF 2 |>| PF 1 |，椭圆的离心率为1e ，双曲线的离心率为2e ，112||||PF F F =，则2133e e +的最小值为（ ） A ．4 B ．6C．D ．8例51．（2022·江西·模拟预测（理））已知12,F F 为椭圆和双曲线的公共焦点，P 是它们的公共点，且1212,,3F PF e e π∠=的值为（ ）A ．1B ．2C ．3D ．4例52．（2022·云南·一模（理））已知1F 、2F 是椭圆和双曲线的公共焦点，P 是它们的一个公共点，且123F PF π∠=，记椭圆和双曲线的离心率分别为1e ，2e ，则1212e e 的最大值为（ ） A ．32BCD ．1例53．（2022·甘肃白银·模拟预测（理））已知1F ，2F 是椭圆221:14x C y +=与双曲线2C 的公共焦点，A 是1C ，2C 在第二象限的公共点.若12AF AF ⊥，则2C 的离心率为 A ．45BCD例54．（2022·山东日照·二模）已知1F ，2F 是椭圆和双曲线的公共焦点，P 是它们的一个公共点，且123F PF π∠=，记椭圆和双曲线的离心率分别为1e ，2e ，则221213e e +的值为（ ） A ．1 B ．2512C ．4D ．16例55．（2022·陕西省榆林中学三模（理））椭圆与双曲线共焦点1F ，2F ，它们在第一象限的交点为P ，设122F PF θ∠=，椭圆与双曲线的离心率分别为1e ，2e ，则（ ）A ．222212cos sin 1e e θθ+= B ．222212sin cos 1e e θθ+= C ．2212221cos sin e e θθ+=D ．2212221sin cos e e θθ+=题型十：利用最大顶角θ例56．（2022·全国·高二课时练习）已知椭圆C ：22221(0)x y a b a b+=>>，点A ，B 是长轴的两个端点，若椭圆上存在点P ，使得120APB ∠=︒，则该椭圆的离心率的取值范围是（ ）A ．⎫⎪⎪⎣⎭B ．⎫⎪⎪⎣⎭C ．⎛ ⎝⎦D ．30,4⎛⎤ ⎥⎝⎦例57．（2022·全国·高二专题练习）设A ，B 是椭圆C ：2213x y m+=长轴的两个端点，若C 上存在点M 满足∠AMB =120°，则椭圆C 的离心率的取值范围是（ ）A ．B ．1)C ．D ．例58．（2022·全国·模拟预测）已知椭圆()2222:10x y C a b a b +=>>，点P 是C 上任意一点，若圆222:O x y b +=上存在点M 、N ，使得120MPN ∠=︒，则C 的离心率的取值范围是( )A ．⎛ ⎝⎦B ．⎫⎪⎪⎣⎭C ．10,2⎛⎤⎥⎝⎦D ．1,12⎡⎫⎪⎢⎣⎭例59．（2022·全国·高三专题练习）设1F 、2F 是椭圆()222210x y a b a b +=>>的左、右焦点，若椭圆外存在点P 使得120PF PF ⋅=，则椭圆的离心率的取值范围______．例60．（2022·北京丰台二中高三阶段练习）已知1F ，2F 分别是某椭圆的两个焦点，若该椭圆上存在点P 使得122F PF θ∠=（02πθ<<，θ是已知数），则该椭圆离心率的取值范围是________.例61．（2022·广东·广州市真光中学高三开学考试）已知椭圆22221(0)x y a b a b+=>>的左、右焦点分别为1F ，2F ，若椭圆上存在一点P 使得122π3F PF ∠=，则该椭圆离心率的取值范围是________．题型十一：基本不等式例62．（2022·全国·高三专题练习）设椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的右焦点为F ，椭圆C 上的两点A ，B关于原点对你，且满足0FA FB ⋅=，FB FA ≤，则椭圆C 的离心率的取值范围为（ ）A ．⎫⎪⎪⎣⎭B ．1⎤⎥⎣⎦C ．)1,1D ．⎣⎦例63．（2022·江苏南京·高三阶段练习）设1F 、2F 分别是椭圆E ：()222210x y a b a b+=>>的左、右焦点，M是椭圆E 准线上一点，12F MF ∠的最大值为60°，则椭圆E 的离心率为（ ）A 2B C 2D例64．（2022·山西运城·高三期末（理））已知点A 为椭圆()222210x y a b a b+=>>的左顶点，O 为坐标原点，过椭圆的右焦点F 作垂直于x 轴的直线l ，若直线l 上存在点P 满足30APO ∠=︒，则椭圆离心率的最大值______________.例65．（2022·四川成都·高三开学考试（文））已知双曲线()2222:10,0x y C a b a b-=>>，F 为右焦点，过点F作FA x ⊥轴交双曲线于第一象限内的点A ，点B 与点A 关于原点对称，连接AB ，BF ，当ABF ∠取得最大值时，双曲线的离心率为______．例66．（2022·全国·高三专题练习）在平面直角坐标系xOy 中，已知双曲线()222210,0x y a b a b-=>>的左、右顶点为A 、B ，若该双曲线上存在点P ，使得直线PA 、PB 的斜率之和为1，则该双曲线离心率的取值范围为__________．题型十二：已知12PF PF ⋅范围例67．（2022·四川省南充市白塔中学高三开学考试（理））已知1F 、2F 分别为椭圆()2222:10x y C a b a b +=>>的左、右焦点，A 为右顶点，B 为上顶点，若在线段AB 上（不含端点）存在不同的两点()1,2i P i =，使得2123i i c PF PF ⋅=-，则椭圆C 的离心率的取值范围为（ ）A ．⎛ ⎝⎭B ．⎫⎪⎪⎝⎭C ．⎛ ⎝⎭D ．⎝⎭例68．（2022·全国·高二专题练习）已知1()0F c -，，2(0)F c ，是椭圆C ：22221(0)x y a b a b+=>>的左右焦点，若椭圆上存在一点P 使得212PF PF c ⋅=，则椭圆C 的离心率的取值范围为（ ） A． B． C．1D．1)例69．（2022·全国·高三开学考试（理））设1F ，2F 分别是椭圆()2222:10x y E a b a b+=>>的左､右焦点，若椭圆E 上存在点P 满足2122a PF PF ⋅=，则椭圆E 离心率的取值范围（ ）A．12⎛ ⎝⎭B．12⎡⎢⎣⎦ C ．10,2⎛⎫⎪⎝⎭D ．10,2⎛⎤ ⎥⎝⎦例70．（2022·四川·高二期末（文））设1F ，2F 是椭圆C ：()222210x y a b a b +=>>的左、右焦点，若椭圆C 上存在一点P ，使得2122c PF PF ⋅=，则椭圆C 的离心率e 的取值范围为（ ）A．2⎣⎦B．⎣⎦ C．⎣⎦ D．⎣⎦例71．（2022·吉林·长春市第二实验中学高二阶段练习）已知()1,0F c -、()2,0F c 是椭圆()2222:10x y C a b a b+=>>的左、右焦点，若椭圆C 上存在一点P 使得2123PF PF c ⋅=，则椭圆C 的离心率e 的取值范围是______．题型十三：12=PF PF λ例72．（2022·江苏·海安县实验中学高二阶段练习）已知椭圆C ：()222210x y a b a b+=>>的左、右焦点分别为()1,0F c -，()2,0F c ，若椭圆C 上存在一点P ，使得2112sin sin PF F cPF F a∠=∠，则椭圆C 的离心率的取值范围为（ ） A．⎛ ⎝⎭B．()1C．)1,1D．⎫⎪⎪⎝⎭例73．（2022·浙江湖州·高二期中）已知椭圆()222210x y a b a b+=>>的左右焦点分别为F 1，F 2，离心率为e ，若椭圆上存在点P ，使得12PF e PF =，则该离心率e 的取值范围是（ ） A．)1,1 B．⎫⎪⎪⎣⎭C．(1⎤⎦D．⎛ ⎝⎦例74．（2022·全国·高二课时练习）已知椭圆()222210x y a b a b+=>>上存在点P ，使得213PF PF =，其中1F ，2F 分别为椭圆的左、右焦点，则该椭圆的离心率的取值范围是（ ）A ．10,4⎛⎤⎥⎝⎦B ．1,14⎛⎫ ⎪⎝⎭C ．1,12⎛⎫ ⎪⎝⎭D ．1,12⎡⎫⎪⎢⎣⎭题型十四：中点弦例75．（2022·全国·高三开学考试（理））已知双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b -=>>与斜率为1的直线交于A ，B 两点，若线段AB 的中点为(4,1)，则C 的离心率e =（ ） ABCD例76．（2022·福建·晋江市第一中学高三阶段练习）已知椭圆()222210x y a b a b+=>>，()0,2P ，()0,2Q -过点P 的直线1l 与椭圆交于A ，B ，过点Q 的直线2l 与椭圆交于C ，D ，且满足12l l ∕∕，设AB 和CD 的中点分别为M ，N ，若四边形PMQN为矩形，且面积为 ） A ．13B ．23CD例77．（2022·全国·高三开学考试（理））以原点为对称中心的椭圆12,C C 焦点分别在x 轴，y 轴，离心率分别为12,e e ，直线l 交12,C C 所得的弦中点分别为11(,)M x y ，22(,)N x y ，若121220x x y y =≠，221221e e -=，则直线l 的斜率为( ) A ．±1 B．C ．2± D．±例78．（2022·全国·高三专题练习）已知椭圆C ：()222210x y a b a b+=>>的左焦点为F ，过F 作一条倾斜角为60︒的直线与椭圆C 交于A ，B 两点，M 为线段AB 的中点，若3FM OF =（O 为坐标原点），则椭圆C 的离心率为（ ）A B C D ．2例79．（2022·全国·高三专题练习）已知椭圆22221x y a b +=(0a b >>)的右焦点为F F的直线l 交椭圆于A ，B 两点，若AB 的中点为()1,1，则直线l 的斜率为（ ） A ．14-B ．34-C ．12-D ．1例80．（2022·全国·高三专题练习）过双曲线C ：22221x y a b -=（0a >，0b >）的焦点且斜率不为0的直线交C 于A ，B 两点，D 为AB 中点，若12AB OD k k ⋅=，则C 的离心率为（ ）A B ．2 CD例81．（2022·全国·高三专题练习）已知双曲线C 的中心在坐标原点，其中一个焦点为()2,0F -，过F 的直线l 与双曲线C 交于A 、B 两点，且AB 的中点为()3,1N --，则C 的离心率为( )AB CD例82．（2022·广西·高三阶段练习（理））已知双曲线2222:1x y C a b -=的左、右焦点分别为()1,0F c -，()2,0F c ，过1F 的直线l 交双曲线C 的渐近线于A ，B 两点，若22F A F B =，1212285AF F BF F S S c +=△△（12AF F S表示12AF F △的面积），则双曲线C 的离心率的值为（ ）AB C D例83．（2022·全国·高三专题练习）设直线l 与双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>交于A ，B 两点，若M 是线段AB 的中点，直线l 与直线OM （O 是坐标原点）的斜率的乘积等于2，则双曲线C 的离心率为（ ）A ．2B ．3 CD题型十五：已知焦点三角形两底角例84．（2022·广西·江南中学高二阶段练习（文））已知1F ，2F 分别是椭圆D ：()222210x y a b a b +=>>的左右两个焦点，若在D 上存在点P 使1290F PF ∠=︒，且满足12212PF F PF F ∠=∠，则椭圆的离心率为（ ） AB1CD例85．（多选题）（2022·湖南·高二期末）已知双曲线()2222:10x y C b a a b-=>>的左、右焦点分别为12,F F ，双曲线上存在点P （点P 不与左、右顶点重合），使得21123PF F PF F ∠∠=，则双曲线C 的离心率的可能取值为 （ ） ABCD ．2例86．（2022·全国·高三专题练习（理））已知双曲线()222210,0x y a b a b-=>>的左､右焦点分别为12,F F ，M为双曲线右支上的一点，若M 在以12F F 为直径的圆上，且215,312MF F ππ⎡⎤∠∈⎢⎥⎣⎦，则该双曲线离心率的取值范围为（ ） A．(B．)+∞C．()1D．1⎤⎦例87．（2022·河南·商丘市第一高级中学高三开学考试（文））已知1F 、2F 分别为双曲线C ：()222210,0x y a b a b -=>>的左、右焦点，O 为原点，双曲线上的点P 满足OP b =，且1221sin 3sin PF F PF F ∠=∠，则该双曲线C 的离心率为（ ） AB2C ．2 D例88．（2022·全国·高三专题练习（理））已知椭圆2222x y a b+＝1(a ＞b ＞0)的左、右焦点分别为F 1，F 2，且|F 1F 2|＝2c ，若椭圆上存在点M 使得12MF F △中，1221sin sin MF F MF F a c∠∠=，则该椭圆离心率的取值范围为( )A ．(01) B．⎫⎪⎪⎝⎭C．⎛ ⎝⎭D ．1,1)题型十六：利用渐近线的斜率例89．（2022·青海·海东市第一中学模拟预测（理））已知点P 是双曲线22221x y a b -=（a >0，b >0）的渐近线上一点，F 是双曲线的右焦点，若|PF |的最小值为2a ，则该双曲线的离心率为（ ）AB CD例90．（2022·河南·开封市东信学校模拟预测（文））定义：双曲线22221x y a b-=为椭圆2222:1(0)x y C a b a b +=>>的“伴随曲线”.已知点2-⎭在椭圆C 上，且椭圆C 的伴随曲线的渐近线方程为12y x =±，则椭圆C 的离心率为（ ）A B 2C ．12D ．3例91．（2022·天津市新华中学模拟预测）已知双曲线22122:1(0,0)x y C a b a b-=>>，抛物线22:2(0)C y px p =>的准线经过1C 的焦点且与1C 交,A B 两点，8AB =，若抛物线2C 的焦点到1C 的渐近线的距离为2，则双曲线1C 的离心率是（ ）A BCD例92．（2022·江西·赣州市第三中学模拟预测（文））已知椭圆()222104x y b b +=>与双曲线()22210x y a a-=>有公共的焦点，F 为右焦点，O 为坐标原点，双曲线的一条渐近线交椭圆于P 点，且点P 在第一象限，若OP FP ⊥，则椭圆的离心率等于（ ）A ．12B C D例93．（2022·吉林长春·模拟预测（文））已知点1F 和2F 是双曲线C ：()222210,0x y a b a b-=>>的两个焦点，过点1F 作双曲线C 的渐近线的垂线，垂足为H ，且213F H F H =，则双曲线C 的离心率为（ ）AB C D例94．（2022·四川·宜宾市叙州区第二中学校三模（文））已知双曲线22122:1y x C a b-=及双曲线()22222:10,0x y C a b b a-=>>，且1C ()0y kx k =>与双曲线1C 、2C 都无交点，则k 的值是（ ）A ．2B ．12C D ．1例95．（2022·江西·二模（文））已知双曲线C ：()222210,0x y a b a b-=>>的左焦点为(),0F c -，点P 在圆F '：2220x y cx +-=上，若C 的一条渐近线恰为线段FP 的垂直平分线，则C 的离心率为（ ）A ．3B ．2C D例96．（2022·山西吕梁·模拟预测（文））已知双曲线2222:1(0,0)y x C a b a b-=>>的上顶点为P ，3OQ OP=（O 为坐标原点），若在双曲线的渐近线上存在点M ，使得90PMQ ∠=︒，则双曲线C 的离心率的取值范围为（ ）A ．⎛ ⎝⎦B ．⎛ ⎝⎦C ．⎫+∞⎪⎪⎣⎭D ．⎫+∞⎪⎣⎭例97．（2022·新疆·二模（理））如图．已知椭圆221:110x C y +=，双曲线()22222:10,0x y C a b a b-=>>，若以椭圆1C 的长轴为直径的圆与双曲线2C 的一条渐近线交于A ，B 两点，且椭圆1C 与该渐近线的两交点将线段AB 三等分，则双曲线2C 的离心率为（ ）A ．3BC ．2 D题型十七：坐标法例98．（2022·全国·高三专题练习）双曲线C ：()222210,0x y a b a b-=>>的左顶点为A ，右焦点为F ，动点B 在C 上.当BF AF ⊥时，AF BF =.求双曲线C 的离心率.例99．（2022·全国·高三专题练习）已知12,F F 是双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的左､右焦点，A 是其左顶点.若双曲线上存在点P 满足1232PA PF PF =+，则该双曲线的离心率为___________.例100．（2022·河南·宝丰县第一高级中学高三开学考试（理））已知双曲线()2222:10,0x y C a b a b-=>>的右焦点为F ，P 为C 右支上一点，P 与x 轴切于点F ，与y 轴交于A ，B 两点，若APB △为直角三角形，则C 的离心率为______.例101．（2022·山东青岛·高三开学考试）已知双曲线2222:1(0,0)x y E a b a b-=>>的左､右焦点分别为1212,,4F F F F =，若线段()4028x y x -+=-≤≤上存在点M ，使得线段2MF 与E 的一条渐近线的交点N 满足：2214F N F M =，则E 的离心率的取值范围是___________.例102．（2022·全国·高三专题练习）已知椭圆()2222:10x y C a b a b+=>>，直线3a x =与椭圆C 交于A ，B 两点，O 为原点，若三角形AOB 是等腰直角三角形，则椭圆C 的离心率为（ ） ABCD例103．（2022·河南洛阳·三模（文））已知椭圆()222210x y a b a b+=>>的左､右焦点分别为()1,0F c -，()2,0F c ，过2F 且垂直于x 轴的直线与椭圆在第一象限的交点为M ，12F MF ∠的平分线与y 轴交于点P ，若四边形12MF PF2，则椭圆的离心率e =___________.题型十八：利用焦半径的取值范围例104．（2022·全国·高三专题练习）已知双曲线2222:1(0,0)x y M a b a b-=>>的左､右焦点分别为1212,,2F F F F c =.若双曲线M 的右支上存在点P ，使12213sin sin a cPF F PF F =∠∠，则双曲线M 的离心率的取值范围为___________.例105．（2022·吉林长春·二模（文））已知双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的左、右焦点分别为1F ，2F ，点P 在双曲线的右支上，且124PF PF =，则双曲线离心率的取值范围是( ) A ．5,23⎛⎤⎥⎝⎦B ．51,3⎛⎤ ⎥⎝⎦C ．(]1,2D ．5,3⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭例106．（2022·江苏·金沙中学高二阶段练习）设双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>的焦距为2(0)c c >，左、右焦点分别是1F ，2F ，点P 在C 的右支上，且21c PF a PF =，则C 的离心率的取值范围是（ ）A ．(B ．)+∞C ．(1,1D ．)1⎡+∞⎣例107．（2022·全国·高三专题练习）在平面直角坐标系xOy 中，椭圆()222210x y a b a b+=>>上存在点P ，使得213PF PF =，其中1F 、2F 分别为椭圆的左、右焦点，则该椭圆的离心率取值范围是________．例108．（2022·河南·信阳高中高三期末（文））若椭圆()2222:10x y C a b a b+=>>上存在一点P ，使得128PF PF =，其中12,F F 分别C 是的左、右焦点，则C 的离心率的取值范围为______.例109．（2022·四川省泸县第二中学模拟预测（文））已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b +=>>的左右焦点为12,F F ，若椭圆C 上恰好有6个不同的点P ，使得12F F P 为等腰三角形，则椭圆C 的离心率的取值范围是（ ）A ．111,,1322⎛⎫⎛⎫⋃ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭B ．110,,132⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭C ．1,13⎛⎫ ⎪⎝⎭D ．1,12⎛⎫ ⎪⎝⎭题型十九：四心问题例110．（2022·全国·高三专题练习）已知椭圆()2222:10x y C a b a b +=>>）的左､右焦点分别为()1,0F c -和()212,0,,b F c M x c ⎛⎫⎪⎝⎭为C 上一点，且12MF F △的内心为()2,1I x ，则椭圆C 的离心率为（ ）A ．13B ．25C ．12D ．35例111．（2022·河北衡水·高三阶段练习（理））已知坐标平面xOy 中，点1F ，2F 分别为双曲线222:1x C y a-=（0a >）的左、右焦点，点M 在双曲线C 的左支上，2MF 与双曲线C 的一条渐近线交于点D ，且D 为2MF 的中点，点I 为2OMF △的外心，若O 、I 、D 三点共线，则双曲线C 的离心率为（ ）AB ．3CD ．5例112．（2022·江苏·高二单元测试）设(),0F c 为双曲线2222:1(0,0)x y E a b a b-=>>的右焦点，以F 为圆心，b 为半径的圆与双曲线在第一象限的交点为P ，线段FP 的中点为D ，∆POF 的外心为I ，且满足()0OD OI λλ=≠，则双曲线E 的离心率为（ ）AB C ．2 D例113．（2022·江西南昌·三模（理））已知双曲线C ：22221(0,0)x y a b a b-=>>的左、右焦点分别是1F ，2F ，P是双曲线右支上一点，且212PF F F ⊥，I 和G 分别是12PF F △的内心和重心，若IG 与x 轴平行，则双曲线的离心率为（ ） AB ．2C ．3D ．4例114．（2022·甘肃酒泉·模拟预测（理））已知双曲线222:1(0)2x y C a a -=>的左、右焦点分别为1F ，2F ，P为C 右支上一点，若12PF F △的重心为11,33G ⎛⎫⎪⎝⎭，则C 的离心率为（ ）AB ．2CD ．3例115．（2022·全国·高三专题练习（理））已知椭圆C ：22221(0)x y a b a b +=>>的左、右焦点分别是1F ，2F ，P 是椭圆上的动点，I 和G 分别是12PF F △的内心和重心，若IG 与x 轴平行，则椭圆的离心率为( )A ．12B C D例116．（2022·重庆·西南大学附中模拟预测）已知1F ，2F 分别为椭圆2222:1(0)x yC a b a b+=>>的左、右焦点，点P 在第一象限内，2PF a =，G 为12PF F △重心，且满足11112GF F P GF F F ⋅=⋅，线段2PF 交椭圆C 于点M ，若24F M MP =，则椭圆C 的离心率为（ ）。
轻松学数学I (48)
二年级应用题姓名：评分：
学校买了6本科技书和36本故事书，故事书的本数是科技书的几倍？
妈妈和女儿做红花，妈妈做了58朵，女儿做了50朵。妈妈给女儿几朵，两人的花就一样多？
王爷爷养了348只鸡。昨天卖了156只，今天卖了97只，还剩多少只鸡？
书店第一天卖出6箱书，第二天卖出18箱书，第二天卖的是第一天的几倍？两天共卖出几箱？
岸边有18名同学要坐船同时过河。有2只11人坐的船，3只6人坐的船，5只4人坐的船。问：怎样租船最好？（全坐満）
学校买回彩色粉笔18盒，买回白粉笔16盒，买回粉笔多少盒？
小王把一根木头平均分成4段，要锯几次？如果每锯一次要3分钟，问ห้องสมุดไป่ตู้共要多少分钟？
饲养员养了10只公鸡，14只母鸡，每4只放入一个笼子，需要多少个笼子?
二（1）班有56个同学去植树，他们每7人一组，每组种5棵，二（1）班同学这次一共能种（）棵树。
走不完的路，知不完的理。
36个同学做红花，他们每4人一组，每组做6朵，这些同学一共能做多少朵花？
小李有43张邮票，小生的邮票比小李多9张，小英的邮票比小生少14张。（1）小生有邮票多少张？（2）小英有邮票多少张？（3）他们三人一共有邮票多少张？
有两桶油，从第一桶倒10千克给第二桶，两桶油就同样多了，已知第一桶原有30千克，两桶油共重多少千克？
轻松学数学I (29)
植树节四、五年级同学种了108棵柳树，还种了3行杨树，每行7棵。（1）种的杨树比柳树少多少棵？（2）四、五年级共种树多少棵？
校园里有35棵树，平均分成5排，每一排有多少棵树？
会说话的东西。——高尔基：《买梨子多少个？
小黑猫钓了36条鱼，小白猫比小黑猫多钓了4条，小黑猫钓了多少条鱼？
动物园有20只黑熊，白熊比黑熊多8只，白熊有多少只？
书店第一天卖出6箱书，第二天卖出１8箱书，第二天卖的是第一天的几倍？两天共卖出几箱？
100以内的数中，个位数字是5的数出现几次？
小学应用题练习作业
二年级应用题姓名：评分：
粮店第一次运进面粉25袋，第二次运进35袋，卖出30袋，还剩多少袋？
同学们去植树，一年级栽了47棵，二年级栽了54棵，三年级栽的比一、二年级栽的总棵数少17棵。三年级栽了多少棵树？
动物园里有大猴9只，有小猴的数量比大猴的3倍还多58只，小猴多少只？
小军和小丽做灯笼，小军做了21个，小丽做了18个，送给老师50个，他们还要做多少个？
巧编顺口溜轻松学数学
2008年第4期(总第11O期)牡丹江教育学院学报J O U R N A L0F M U D A N J I A N G C O L L E G E oF E D U C A T l0NN o．4．2008Ser ial N o．110巧编顺口溜轻松学数学王晓东(濮阳职业技术学院，河南濮阳457000)[摘要]学习和掌握知识离不开记忆，学习数学同样离不开记忆．顺口溜记忆法是最容易记忆的方法，即把需要记忆的数学材料依据其主要特征编成一些顺口溜．以便于记忆．[关键词]顺口溜；记忆法[中图分类号]0174[文献标识码]A[文章编号]1009—2323(2008)04一0137一02记忆是。
人类的心灵之仓”．学习和掌握知识离不开记忆，学习数学同样离不开记忆．理解概念、推导公式、证明定理、解答习题等都依赖于对已学知识的记忆。
所以采用恰当的记忆方法是学好数学的重要途径．常用的记忆方法有理解记忆法、系统记忆法、形象记忆法、对比记忆法、联想记忆法、顺口溜记忆法等。
其中顺口溜记忆法是最容易记忆的方法，即把需要记忆的数学材料依据其主要特征编成一些顺口溜，以便于记忆。
笔者在多年的教学实践中，整理和搜集了以下几方面的顺口溜．供大家参考．一、函数1．函数的性质函数的性质有奇偶性、增减性、周期性、有界性等．其中奇偶性与增减性是函数性质中的最重要的性质，可归纳成下面的顺口溜：性质奇偶与增减。
现察图像最明显。
可解读为：函数的奇偶性——奇函数的图象关于原点对称．偶函数的图象关于y轴对称；函数的单调性——增函数的函数值随自变量的增大而增大。
减函数的函数值随自变量的增大而减小。
2．函数的定义域函数的定义域是函数中非常重要的内容。
它的求法可归纳成下面的顺口溜：函数定义域好求，分母不能等于O。
偶次方根须非负，零和负数无对数．正切函数角不直，余切函数角不平．其余函数实数集．多种情况求交集。
可解读为：第一。
分式函数的定义域——分母≠O}第二。
轻松学数学I (30)
二年级应用题姓名：评分：
果园里有4行苹果树，每行8棵，还有12棵梨树，一共有多少棵果树?
图书馆有故事书96本，第一周借出28本，第二周借出30本，现在还有多少本书？
课堂上练习口算，老师出了40道题，小明做错了5道，他做对了多少道题？
有45人去东湖游玩。其中15人去参观植物园，剩下的去划船，每条船坐6人，需要几条船？
小明今年7岁，爸爸比小明大28岁，爸爸今年多少岁？
四年级有16人去郊游，五年级比四年级多去4人，六年级是四年级五年级的总和，五年级有多少人去郊游？六年级有多少人去郊游？一共有多少人？
每条船上坐8人，4条船能坐多少人？
张大娘家养了一些鸡和兔，共有8个头，22条腿，问张大娘养了几只鸡？几只兔？
精诚、4、6、7、117、1120这十二个数编加、减、乘、除算式各一个，每个数只用一次。
小东有4元，小明的钱的小东的3倍。小明买6个本子刚好把钱用完，每个本子几元？
小花今年15岁，小花5年前的年龄与小明2年后的年龄一样，小明今年多少岁？
鱼缸里共有50条金鱼，其中红金鱼有15条，花金鱼20条，其余是黑金鱼。黑金鱼有多少条？
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同学们分4组做风车，每组做9只。送给幼儿园18只，还有多少只？
妈妈买了6袋苹果，每袋8个。又买了27个梨。妈妈一共买了多少水果？
二⑴班有男生28人，有女生24人，二⑵班比二⑴班多3人，二⑵班有多少人？
家有每天吃5棵白菜，一个星期要吃多少棵？
仓货物？
三个小组一共修理椅子52把，第一组修理了20把，第二组修理了18把。第三组修理了多少把？
鱼缸里共有50条金鱼，其中红金鱼有15条，花金鱼20条，其余是黑金鱼。黑金鱼有多少条？
诚实是人生的命脉，是一切价值的根基。
小学应用题练习作业
二年级应用题姓名：评分：
李芹有相等的故事书、笑话书、文学书，其中故事书7本，问：她共有多少本书？
我有50元，要买一件29元的衣服和一副18元的眼镜，还剩多少元？（两种方法）
食堂里原有大米42袋，用去27袋，又买来40袋，现在有多少袋大米?
小明和爸爸、妈妈一起去动物园玩，用20元买票够吗？