名师献计：学好初中数学的“三十六计”
“三十六计”在数学课堂教学中的妙用
“三十六计”在数学课堂教学中的妙用摘要：有人曾说，一堂成功的数学课就是一场漂亮的战斗。
既然是战斗就必须讲究其战略战术，想让学生真正成为课堂教学中的主人，让他们在自由、平等、轻松、开放的境遇中充分发展，就要讲究“用兵之道”。
他山之石，可以攻玉，借用一下我国古代兵法精华之作“三十六计”，用作数学课堂教学中的“求胜”策略，将让你体会到出奇制胜的效果。
关键词：三十六计数学妙用一、以逸待劳，“涌”现精彩“凡是学生自己可以做的事，就让他们自己去做，教师只要在旁指导，培养学生从小自立的精神。
”在课堂教学上，作为教师不能越俎代庖，要学会“偷懒”。
“以逸待劳”，以静制动，调动学生自主学习的积极性，让学生多做脑力和体力的“劳动”，用“劳动”来创设美好的意境，而我们教师只要“以逸”坐收“渔翁之利”。
“教育”总是与“苦和累”连在一起，但“懒老师”未必就是坏老师。
在学生减负的同时，教师也应适时地给自己减减压，图个清静；要给学生时间上和空间上的自由，给学生心灵上的自由，给学生敢说敢做的自由，给学生一个能自由伸展的舞台。
二、假痴不癫，借“考”制胜“假痴不癫”是“三十六计”之中的第二十七计，它的本义是指：表面装作糊里糊涂，实际上却是非常的清楚，假装不行动，却在暗地里策划，等待时机。
应用于数学课堂教学之中，教师可在表达、演示时有意地出现一些错误和漏洞，在回答问题时故意装作不知，“能而示之不能”，让学生自己去发现问题、提出问题、解决问题，从中培养学生大胆质疑、自主探究的能力。
在教学中，教师也可适当地在提问中主观杜撰，来一个“无中生有”；也可以在辨析中故作正经，来一点幽默；还可以出示错误，从中引发深思。
教师的“韬光养晦”，常常可以带来空前活跃的课堂气氛，在愉快中完成教学中的任务。
三、隔岸观火，以彼“促”己“隔岸观火”即“坐山观虎斗”。
本义是指：当敌方内部矛盾激化，相互倾轧，势不两立，搞分裂时，我方切不可操之过急，免得反而促成敌方暂时联起手来对付。
巧用“三十六计”兵法渗透数学课堂
巧用“三十六计”兵法渗透数学课堂课堂教学过程中的评价语言不仅是一种智慧、一项技能，更是一门艺术，要想把数学课上得生动有趣，让课堂成为一潭活水，就要讲究“用兵之道”，采取多种谋略。
《三十六计》是一部“谋略”大全，在教学评价中适当应用其中的一些计策，能使教学如鱼得水，收到事半功倍的效果。
下面结合实例探讨数学课堂中如何用好“三十六计”来提高课堂评价的有效性。
一、围魏救赵――课堂评价语言，具有时机性“围魏救赵”是《三十六计》中第二计，该计应用在数学课堂教学上，就是针对学生的回答“机不逢时”时，反守为攻，不露声色地进入到教学的下一环节。
例如，我校一位教师上公开课《时、分的认识》，预备让学生通过数数得出结论“一小时=60分钟”。
同学们正要开始数数，其中有一个学生说：“不要数了，我知道一共有60个小格，因为一小时=60分钟。
”这位学生三言两句就概括了这节课的学习内容。
但这位老师不慌不忙地夸奖了他几句，然后对全班学生说：“那么现在让我们来验证一下这位同学是否回答正确了。
”接着这位老师就开始了新授课。
在教学《面积的初步认识》时，孩子想出了各种各样的办法比较图形面积的大小，汇报了一种又一种，虽然有的方法原理都是一样的，但是这些鲜活的东西毕竟是他们小脑袋瓜经过认真思索、操作得出的，别说学生个个激情高涨，跃跃欲试，我也被感染着，可一看时间不允许了，怎么既不打击孩子的激情，又让我的下一环节得以实施呢，三十六计“走为上”不能拖了，“你们的办法真多，但是无论用什么办法，最后的结果都是……？”“2号图形的面积大！”“对，这个太简单了，看来还要考考你们……”这样孩子们中了“调虎离山”计，我通过“围魏救赵”顺势进入了下面的教学。
二、笑里藏刀――课堂评价语言，具有教育性教育家斯维特若夫讲过：“教育家最主要的，也是第一位的助手是幽默。
”有时候我们如果采用幽默的语言缓解课堂气氛，则能春风化雨，达到教育学生的目的。
在一堂“小数除法”课上，我请一个同学到黑板上板演竖式计算。
数学三十六计
[转载]学数学36计(2010-07-30 11:22:39)转载原文标签：转载原文地址：学数学36计作者：李广学第1计：挖掘潜能。
不管你现在情况怎样，你都要相信自己还有巨大的潜能。
从现在到高考进步50名的大有人在，进步80名的也有可能。
.第2计：坚定意志。
高考其实是看谁坚持到最后，谁就笑到最后。
考生应全力以赴知难而进，战胜惰性提升意志.第3计：调好心态。
心态决定成败，高考不仅是知识和智力的竞争，更是心理的竞争。
考生应努力改变最近的不良心态。
第4计：把握自我。
复习时紧跟老师踏踏实实地复习没有错，但也要有自我意识：“我”如何适应老师的要求，如何根据自己的特点搞好最后阶段的复习，如何在“合奏”的前提下灵活处理“独奏”。
第5计：战胜自我。
面对迎考复习的艰辛，面对解题的繁难，面对竞争的压力，面对多变的情绪，只有“战胜自我”，才能海阔天空。
第6计：每日做题。
每日做些题目，让自己保持对问题的敏感，形成模式识别能力。
当然，做题的数量不能多，难度不宜大。
第7计：一次成功。
面对一道题（最好选择陌生的中档题）用心去做，看看能否一下子就理出思绪，一做就成功。
一份试卷，若不能一次成功地解决几道题，就往往会因考试时间不够而造成“隐性失分”。
第8计：讲求规范。
建议考生找几道有评分标准的考题，认真做完，再对照评分标准，看看答题是否严密、规范、恰到好处。
第9计：回到基础。
一般说来，考前不宜攻难题，既没有这么多的时间，也没必要。
要回到基础，把基础打扎实，在考试时才能做到“基础分一分不丢”。
第10计：限时训练。
可以找一组题（比如10道选择题），争取限定一个时间完成；也可以找1道大题，限时完成。
这主要是创设一种考试情境，检验自己在紧张状态下的思维水平。
第11计：激活思维。
可以找一些题，只想思路：第一步做什么，第二步做什么……（不必具体详解）再对照解答，检验自己的思路。
这样做，有利于在短时间里获得更多的解题方向。
第12计：勤于总结。
应当把每一次练习当成巩固知识、训练技能的一次机会。
提高成绩三十六计
提高成绩三十六计
1、复习卷要整理
2、听音乐提效率
3、写作文重积累
4、计算题重细节
5、应用题不畏惧
6、背课文重方法
7、背古诗趣味化
8、背单词找捷径
9、计算题重细节
10、默词语靠自己
11、生活事编故事
12、英语歌要常听
13、默词语可录音
14、背单词有规律
15、买菜时学数学
16、生活中练口语
17、记单词找乐趣
18、学英语重方法
19、读课文重策略
20、记词语识别字
21、做试卷先浏览
22、背古诗解其义
23、背书时无干扰
24、早晨时多学习
25、有心人材料多
26、学习时要专心
27、多观察写作好
28、作业时定目标
29、多查阅不靠人
30、作业前要复习
31、错题集要准备
32、上课前先预习
33、惜时间会管理
34、勤摘录有积累
35、记忆法放电影
36、学字词看广告。
学好初中数学的“三十六计”
学好初中数学的“三十六计”第1计：挖掘潜能。
不管你现在情况怎样，你都要相信自己还有巨大的潜能。
从现在到高考进步50名的大有人在，进步80名的也有可能。
.第2计：坚定意志。
高考其实是看谁坚持到最后，谁就笑到最后。
考生应全力以赴知难而进，战胜惰性提升意志.第3计：调好心态。
心态决定成败，高考不仅是知识和智力的竞争，更是心理的竞争。
考生应努力改变最近的不良心态。
第4计：把握自我。
复习时紧跟老师踏踏实实地复习没有错，但也要有自我意识：“我”如何适应老师的要求，如何根据自己的特点搞好最后阶段的复习，如何在“合奏”的前提下灵活处理“独奏”。
第5计：战胜自我。
面对迎考复习的艰辛，面对解题的繁难，面对竞争的压力，面对多变的情绪，只有“战胜自我”，才能海阔天空。
第6计：每日做题。
每日做些题目，让自己保持对问题的敏感，形成模式识别能力。
当然，做题的数量不能多，难度不宜大。
第7计：一次成功。
面对一道题（最好选择陌生的中档题）用心去做，看看能否一下子就理出思绪，一做就成功。
一份试卷，若不能一次成功地解决几道题，就往往会因考试时间不够而造成“隐性失分”。
第8计：讲求规范。
建议考生找几道有评分标准的考题，认真做完，再对照评分标准，看看答题是否严密、规范、恰到好处。
第9计：回到基础。
一般说来，考前不宜攻难题，既没有这么多的时间，也没必要。
要回到基础，把基础打扎实，在考试时才能做到“基础分一分不丢”。
第10计：限时训练。
可以找一组题（比如10道选择题），争取限定一个时间完成；也可以找1道大题，限时完成。
这主要是创设一种考试情境，检验自己在紧张状态下的思维水平。
第11计：激活思维。
可以找一些题，只想思路：第一步做什么，第二步做什么……（不必具体详解）再对照解答，检验自己的思路。
这样做，有利于在短时间里获得更多的解题方向。
第12计：勤于总结。
应当把每一次练习当成巩固知识、训练技能的一次机会。
题是做不完的，关键在于打好基础，勤于总结，寻找规律，一通百通。
中考数学36计
1.真题（1）当地三年内的真题（2）方法：①先粗，复习1.实数及其运算2.整式与因式分解3.分式与一元二次方程4.方程（组）5.一元一次不等式组6.一次函数7.反比例函数8.二次函数9.图形的初步认识10.三角形11.四边形12.视图与投影13.圆14.图形的变换15.相似16.解直角三角形17.数据的收集和整理18.概率以表格的形式进行粗略的统计，从分值和出现的顺序，难易程度上寻找规律②再细，每年掌握不到位的内容，细化研究③击破，有针对得找题目进行强化训练2.因式分解（1）因式分解用于求解整式，分式，学习一元二次方程解法，解决二次函数图像交点问题（2）步骤，一提（提公因式），二套（套公式，平方差，完全平方）（3）利用因式分解，可以简化运算，减少失误，达到运算快而准的效果3.分式1.易错点：①运算顺序，②分数线的括号作用③与解方程混淆④约分⑤误用运算⑥考虑不周*⑦分母不为零2，要验证（含“0”的“陷阱”：①不等式整数解②字母零次幂底数不为零③字母表示次根式被开放数④等比例条件⑤一次方程的一次项系数⑥二次方程二次项系数⑦字母表示一次函数系数⑧反比例函数系数⑨二次函数系数4.找等量关系列方程1.解应用问题五字决，审，设，*列，解，答2.方法，选择一个量，用两种方式表达，并用等号连接，即可得到方程3.一个问题用多种不同的方程列法，解决问题要注意选择4.一般直接设未知数，其次，找明显关系5.解一元二次方程1.解法，配方，公式，因式分解，以达到降次的目的，要根据不同的方程选择合适的方法2.方法，①要根据方程的结构和特点选择方法②把二次项系数化为一且其一次项系数为偶数时，使用配方法简单③方程能化为（X-M）(X-N)=0的形式，选择因式分解法④配方法一般用于推导公式，不用于解方程⑤基本方法：换元，配方，待定系数6.化动为静解含参不等式1.利用数轴画图像7.三个二次解题1.解法：利用二次函数，一元二次方程，一元二次不等式进行相互转化，以解决题目2.方法：二次函数与X 轴相交为一元二次方程，一元二次方程的根为与其对应的二次函数图像与X轴的交点横坐标，二次函数的片段（X轴上（下）方）为一元二次不等式①一元二次方程与二次函数图像的关系：b²-4ac＞0:有两个不同交点b²-4ac=0:只有一个交点b²-4ac＜0:无交点8.反比例函数解决1.方法：掌握反比例函数定义，图像，性质，表达式的确定，有关几何图形面积问题9.一次函数和二元一次方程1.二元一次方程与一次函数是数与形的关系，是同一个问题的不同标的方式，将其相互结合，转化，有利于更好的解决问题10.解二次函数综合体1.解法：二次函数综合题是由一些常见，基本的题目组合成的，对于复杂的问题要把复杂的问题分解成简单问题，化难为易，化繁为简的思想，科学地通过解决简单的问题，从而解决复杂问题，11.概率问题1.考点：用模拟试验的方法求随机事件的概率2．解法：认真审题，理清随机事件，利用举例法或树状图找准，找全事件的结果。
数学教学中的三十六计
数学教学中的三十六计高博提起数学教学，总是会让人联想起一条条的定律、公理；一道道的计算题、应用题，简单枯燥的感觉油然而生。
其实，在数学中蕴含着许许多多的乐趣，只要教师善于发现和引导，那么，数学教学将让你和学生们一起获益。
这里，我们不妨利用兵法中的三十六计来谈谈今天的数学教学：第一计：暗渡陈仓对于数学教学中的重点和难点，教师不妨先以思考题的形式让学生课前进行预习和研究，在预习和研究过程中，无论学生是否能够将重难点解决，都会在一定程度上加深了他对这部分知识的印象。
比如：第九册的《简易方程》一节，学生们对于解简易方程以前有所接触，只是没有明确概念而已，那么难点应该是对方程，方程的解，解方程这几个概念的明确。
针对这一点，我事先给学生留了这样的连线思考题：方程一个值方程的解一个过程解方程一个等式这样，学生在课前对这三个概念的区别就有了初步的印象，在课堂上对于相关的知识就能有针对性的提出问题，明确了听课重点，使知识学习得到深化。
这样明修栈道、暗渡陈仓，既锻炼和培养了学生的自学能力，又提高了课堂效率。
第二计：无中生有在我们现在使用的九义小学数学教材中，有一些课时的知识容量比较少，学生通过自学完全可以掌握，这时，教师就要善于“无中生有”，从中发现和提炼研究的课题，使数学课变为研究课，体现数学的研究性。
例如，我在教学“乘法交换律和结合律”的时候，抓住“加法交换律和结合律”这一已学知识，让学生联系它去证明乘法是否也有交换律和结合律，并自己总结、归纳公式；在学习“三角形内角和180度”时，我则是重点让学生去寻取各种各样的途径来证明三角和的内角和是180度。
这样，在学习知识的同时，培养学生的研究意识，使他们体会数学知识的整体性和关联性。
第三计：打草惊蛇教师往往容易有这样一个错误的想法，对于自己要讲的内容讳莫如深，深怕学生知道。
我倒认为，如果学生不知道才真是件糟糕的事情。
每每在有新行动之前，我都要提前和学生们渗透一下：“老师明天可能要讲什么课了，课上我要重点考察什么”“下节课堂上我有可能要测试大家的口算了”“明天我有可能要在三角形分类部分出一个思考题”等等。
七年级上册数学亲子36计,培养好孩子
亲子36计，培养好孩子没有教不好的孩子，只有不会教的父母。
不同的教育方法可以塑造不同的品性，培养不同的特质。
下面给广大家长推荐36个计策，帮父母培养乐观、自信、积极向上、勇于担当的好孩子。
1.样板计：树立学习榜样。
北京大学临床心理中心办公室主任、亲子问题专家林红强调，孩子是父母的镜子，在孩子面前，再细微的言行举止也要留意，树立好榜样。
2.鼓励计：鼓励他挑战困难。
孩子很容易因为一些挫折放弃努力，此时，家长的鼓励是他们前进的勇气和动力，能帮孩子找到问题、改正缺点，不断进步。
3.倾听计：掌握孩子的感受。
再小的孩子也会有自己的想法，父母一定要抽出时间，耐心听他说话，了解他的想法和感受，以便及时对孩子的身心变化、问题等做出处理。
4.赏善计：奖励比惩罚有效。
赏识教育专家周弘认为，教育孩子，奖励比惩罚有效得多。
用奖励正确来代替惩罚错误，既能避免伤害孩子，又可以督促他发扬优点。
5.扮弱计：偶尔向孩子“求助”。
缺乏责任心，常常是因为父母照顾太周到。
偶尔向孩子“求助”，你会发现他变成了懂事的“小大人”。
6.补强计：好习惯多夸奖。
美国加州大学哲学家詹姆斯·多伯林提出“补强法则”，也就是说，当一个人的正面行为受到认可时，就能逐渐摆脱自卑，不断激发自信心。
7.冷淡计：任性时别理睬他。
任性几乎是独生子女的通病。
此时，家长务必要狠下心“隔离”他，让他因为得不到关注，自动收敛坏脾气。
8.放手计：让孩子自己尝试。
包办父母只能养出飞不出笼子的金丝雀。
制造一些让孩子尝试、摸索的机会，他们才能独立应对生活。
9.纵容计：别扼杀淘气天性。
“淘气包”、“捣蛋鬼”往往脑子灵光、求知欲强。
在允许的范围内适当纵容这些行为，是挖掘孩子潜能和创造力的好时机。
10.处罚计：让孩子懂得承担错误。
做错事了可以安慰，但一定不能姑息，适度的惩罚才能让他明白“赏罚分明”这一生存法则。
11.制冷计：自满时泼点冷水。
一旦发现孩子有骄傲自满、目中无人的苗头，父母应该适时给他泼冷水，让孩子正确、客观地认识自己。
数学破题36计(10-18计)
第10计聋子开门慧眼识钟●计名释义一群人到庙里上香，其中有一个聋子，还有一个小孩.上香完毕，发现小孩不见了.半天找不到影子后，大家来“问”这聋子.聋子把手一指，发现小孩藏在大钟底下，而且还在用手拍钟.大家奇怪，连我们都没有听见小孩拍钟的声音，聋子怎么听着了呢？其实，大伙把事情想错了，聋子哪里听到了钟声，只是凭着他的亮眼，发现大钟底下是好藏小孩的地方. 聋子的直觉感往往超过常人.数学家黎曼是个聋子，据说，他所以能创立他的黎曼几何，主要受益于他的超人的直觉看图.为了增强直觉思维，建议大家在解数学题时，不妨装装聋子，此时，难题的入口处，可能闪出耀眼的灯光.●典例示范x2008(x∈R), 则【例1】若(1-2x)2008 = a0+a1x+a2x2+…+a2008(a0+a1)+(a0+a2)+(a0+a3)+…+(a0+a2008)= (用数字作答)【思考】显然a0=1, 且当x=1时，a0+a1+…+a2008=1, ∴原式=2008a0+a1+a2+…+a2008 =2007+(a0+a1+…a2008)=2007+1=2008.【点评】本例的易错点是：必须将2008a0拆成2007a0+a0,否则若得出2008+1=2009就错了.【例2】对于定义在R上的函数f (x)，有下述命题：①若f (x)是奇函数，则f (x-1)的图象关于点A（1，0）对称；②若对x∈R, 有f (x+1)= f (x-1), 则f (x)的图象关于直线x=1对称；③若函数f (x-1)的图象关于直线x=1对称，则f(x)是偶函数；④函数f(1+x)与f(1-x)的图象关于直线x=1对称.其中正确命题的序号为 .【思考】奇函数的图象关于原点对称，原点右移一单位得（1，0），故f(x-1)的图象关于点A（1，0）对称，①正确；f (x)= f［(x+1)-1］= f (x+2)，只能说明f (x)为周期函数，②不对；f (x-1)右移一单位得f (x)直线x=1左移一单位得y轴，故f (x)的图象关于y轴对称，即为偶函数，③正确；④显然不对，应改为关于y轴对称.例如设f (x)=x, 则f (1+x)=1+x, f (1-x)=1-x,两图象关于y轴对称.【点评】本例的陷沟是：容易将f (1+x)与f (1-x)误认为f (1+x)=f (1-x)，这是容易鱼目混珠的地方, 而后者才是R上的函数f (x)的图象关于直线x=1对称的充要条件.【例3】 关于函数f (x )=2x -2-x (x ∈R ).有下列三个结论：①f (x )的值域为R ; ②f (x )是R 上的增函数；③对任意x ∈R , 都有f (x )+f (-x )=0成立，其中正确命题的序号是 (注：把你认为正确命题的序号都填上).【解答】 由y ⇒-=x x 212(2x )2-y ·2x -1=0. 关于2x 的方程中，恒有Δ=y 2+4>0. ∴y ∈R ①真.∵y 1=2x , y 2=x 21-都是R 上的增函数，∴y =y 1+y 2=2x -2x -也是R 上的增函数，②真. ∵f (-x )=2x --2x = -(2x -2x -)=-f (x ),∴当x ∈R 时，恒有f (x )+f (-x )=0（即f (x )为R 上的奇函数) ③真.【点评】 高考试题中的小题，已出现了多项选择的苗头，其基本形式如本例所示，多选题中的正确答案可能都是，也可能不都是，还有可能都不是（这种形式多反映在选择题中，其正确答案为零个）.由于许多考生的思维定势是以为多选题只有“不都是”一种情况，往往难以相信“都是”或“都不是”.这也是这种题型的陷阱所在.正确的对策：不受选项多少的干扰，只要你能证明某项必真则选，否则即不选.本例是“全选”（即“都是”）的题型.●对应训练1.设F 是椭圆16722=+y x 的右焦点，且椭圆上至少有21个不同的点P i (i =1,2,3,…),使|FP 1|，|FP 2|, |FP 3| ,…,组成公差为d 的等差数列，则d 的取值范围是 .●参考答案1.椭圆中：a =7, b =6, c =1. ∴e =71,设P i 的横坐标为x i , 则|FP i |=71(7-x i ), 其中右准线x =7. ∵|FP n |=|FP 1|+(n -1)d . ∴d =.)1(71||||11--=--n x x n FP FP n n ∵|x 1-x n |≤27, ∴|d |≤12-n . 已知n ≥21, ∴|d |≤101, 但d ≠0. ∴d ∈［-101，0)∪(0，101］.点评：本题有两处陷沟，一是d ≠0, 二是可以d <0, 解题时考生切勿疏忽.第11计 耗子开门 就地打洞●计名释义《说唐》中有这样一个故事.唐太宗征北，困在木阳城，绝粮.军师献计，沿着鼠洞挖去，可能找到粮食.结果，真的在地下深处发现了粮仓.太宗嘉奖耗子的牙啃立功，并题诗曰：鼠郎个小本能高，日夜磨牙得宝刀，唯恐孤王难遇见，宫门凿出九条槽.庞大的数学宝库也是众多的“数学耗子”啃穿的.你可知道，前1万个质数就是这些耗子们一个个啃出来的，七位数字对数表也是这样啃出来的.数学解题，当你无计可施，或者一口难吞时，那就决定“啃”吧.●典例示范【例1】 已知f (x )=321x -，判定其单调区间.【分析】 用求导法研究单调性当然可行，但未必简便，直接从单调定义出发，循序渐进，也可将“单调区间”啃出来.【解答】 设x 1<x 2，f (x 1)-f (x 2)= 321x - - 321x -.【插语】 x 1，x 2都在根号底下，想法把它们啃出来.有办法，将“分子有理化”.【续解】 32312121x x --- [KF （S]3[]1-2x 1[KF)]-[KF(S]3[]1-2x 2[KF)] =3223213213223213213231)21()21)(21()21())21()21)(21()21()(2121(x x x x x x x x x x -+--+--+--+---- 易知322321321)21()21)(21()21(x x x x -+--+-=△>0.故有原式=∆-)(221x x <0. 故f (x )= 321x -的增区间为（-∞,+∞).【点评】 耗子开门是一个“以小克大，以弱克强”的策略. 函数的单调法即不等式的比较法.方法基础，可靠，只要有“啃”的精神，则可以透过形式上的繁杂看到思维上的清晰和简捷.【例2】 （04·天津卷）从4名男生和2名女生中任选3人参加演讲比赛.设随机变量ξ表示所选3人中女生的人数.（Ⅰ）求ξ的分布列； （Ⅱ）求ξ的数学期望；（Ⅲ）求“所选3人中女生人数ξ≤1”的概率.【思考】 本题设问简单，方向明确，无须反推倒算，只要像耗子开门，牙啃立功就是了.【解答】 （Ⅰ）6人中任选3人，其中女生可以是0个，1个或2个，P （ξ=0）=51C C 3634=; P (ξ=1)=53C C C 361224=；P (ξ=2)=51C C C 362214=∙，故ξ的分布列是：（Ⅱ）ξ的数学期望是：E ξ=0×51+1×53+2×51=1. (Ⅲ)由（Ⅰ），所选3人中女生人数ξ≤1的概率是：P （ξ≤1）=P (ξ=0)+P (=1)=54. 【例3】 （04·上海，20文）如图，直线y =21x 与抛物线y =81x 2 - 4交于A 、B 两点， 线段AB 的垂直平分线与直线y = -5交于点Q .(1)求点Q 的坐标；（2）当P 为抛物线上位于AB 下方（含点A 、B ）的动点时，求△OPQ 的面积的最大值.【思考】 同例1一样，本题设问明确， 例3题图思路并不复杂，只须按所设条件逐一完成就是，只是要严防计算失误.【解答】 （1）由.032421,48122=--⇒⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=-=x x x y x y 设AB 中点为M （x 0，y 0），则x 0 =2221=+x x ，y 0=21x 0=1. 故有M （2，1），又AB ⊥MQ ，∴MQ 的方程是：y -1=-2(x -2)，令y =-5，得x =5，点Q 的坐标为(5, -5 ).(2)由（1）知|OQ |=52为定值.设P (x ，81x 2-2)为抛物线上B A 上一点，由（1）知x 2-4x -32≤0，得x ∈［-4,8］，又直线OQ 的方程为： x+y =0，点P 到直线OQ 的距离：d =28|48)4(|2|281|22-+=-+x x x ，显然d ≠0，(否则△POQ 不存在)，即x ≠43-4，为使△POQ 面积最大只须d 最大，当x =8时，d max =62. ∴(S △POQ )max =21·|OQ |·d max =21·52·62=30.【例4】 O 为锐角△ABC 的外心，若S △BOC ，S △COA ，S △AOB 成等差数列，求tan A ·tan C 的值.【解答】 如图，有：S △BOC +S △AOB =2S △COA .不妨设△ABC 外接圆半径为1，令∠BOC =α=2A ,∠AOC =β=2B ，∠AOB =r=2C ， 则有：21sin α+21sin γ=sin β， 即sin2A +sin2C =2sin2B .2sin(A+C )cos (A-C )= 4sin B cos B . 例4题解图∵sin(A+C )=sin B ≠0, cos B = -cos(A+C ).∴cos (A-C )+2cos (A+C )=0, cos A cos C +sin A sin C +2(cos A +cos C – sin A sin C )=0.3cos A cos C =sin A sin C ，故tan A tan C =3.【点评】 本例中的“门”不少，其中“同圆半径相等”是“门”，由此将面积关系转换成有关角的关系；以下通过圆心角与圆周角的转换，和差化积与倍角公式，诱导公式、和角公式、同角三角函数关系等依次转换，这便是一连串的“门”，逐一啃来，从而最终达到解题目的.●对应训练1.在棱长为4的正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1中，O 是正方形A 1B 1C 1D 1的中心，点P 在棱CC 1上，且CC 1= 4CP .(Ⅰ)求直线AP 与平面BCC 1B 1所成的角的大小（结果用反三角函数值表示）；（Ⅱ）设O 点在平面D 1AP 上的射影是H ，求证：D 1H ⊥AP ；（Ⅲ）求点P 到平面ABD 1的距离. 第1题图2.证明不等式：n n2131211<++++ (n ∈N +). 3.设x ∈⎥⎦⎤⎢⎣⎡ππ3,4••，f (x )=⎪⎭⎫ ⎝⎛π-+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--4sin 2323cos sin 41222x x x ，求f (x )的最大值与最小值. 4.若x ，y ，z ∈R +，且x+y+z =1，求函数u =⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎭⎫⎝⎛-111111z y x 的最小值.●参考答案1.建立如图的空间直角坐标系，有： A (4,0,0)，P (0,4,1)，B (4,4,0)，B 1(4,4,4)，D 1(0,0,4). (Ⅰ)连BP ，∵AB ⊥平面BCC 1B 1.∴AB ⊥BP ，∠APB 是直线AP 与平面BB 1C 1C 的夹角，∵||BP =.17142=+ ∴tan ∠APB 17174||=BP AB . ∴AP 与平面BB 1C 1C 所成角为arctan17174. (Ⅱ)连D 1B 1，则O ∈DB 1. ∵11B D =（4,4,0)，AP =（-4,4,1）, ∴11B D ·=-16+16+0=0. 即AP ⊥11B D ，也就是A 1⊥D 1. 第1题解图已知OH ⊥面AD 1P ，∴AP ⊥D 1O (三垂线定理)（Ⅲ）在DD 1上取|DQ |=1，有Q (0,0,1)，作QR ⊥AD 1于R ，∵RQ ∥AB ，∴PQ ∥面ABD 1，∵AB ⊥面AA 1D 1D ，∴AB ⊥QR ，则QR ⊥面ABD 1，QR 之长是Q 到平面ABD 1的距离，∵S △AD 1Q =21|1AC |·|QR |=21]|AD |·|Q D 1|. 即：42·|QR |= 4×3，∴|QR |=223.已证PQ ∥ABD 1，∴点P 到平面ABP 1的距离为223. 点评：虽是“综合法”证题，但也并非“巷子里赶猪，直来直去”，特别（Ⅱ）,(Ⅲ)两问，本解都用到了若干转换手法.2.只须证,2132122121n n<+++ 右式=nn n n +-+++++<+++++11321211211221111 =)1()23()12(21--++-+-+n n =n n <-21. ∴,2132122121n n <+++ 成立，从而1+.213121n n<+++ 3.先将f (x )化为同一个角的单一三角函数，得f (x )= -21sin ⎪⎭⎫ ⎝⎛π-62x +83. 当x ∈⎥⎦⎤⎢⎣⎡ππ3,4••时,2x -⎥⎦⎤⎢⎣⎡ππ∈π2,36••，故f (x )为⎥⎦⎤⎢⎣⎡ππ3,4••，上的减函数,当x =3π时, ［f (x )］min =843-， 当x =4π时, ［f (x )］max =-83. 4.注意到x yz x z y x x x 2111≥+=-=-，同理：zxy y 211≥-，z xy z 211≥-， ∴u ≥xyzxyz 8=8. 第12计 小刀开门 切口启封●计名释义西餐宴上，摆着漂亮的什锦比萨. 众人虽然都在称好，但没有一人动手. 原来这东西罩在一个透明的“玻璃盒”里，不知从哪儿打开，大家只好故作谦让，互相叫“请”.一小孩不顾礼节，拿着餐刀往“盒”上直戳，七戳，八戳，戳到了“玻璃盒”的花纹处，此时盒子竟像莲花一样自动地启开了. 大家惊喜，夸这孩子有见识. 其实，这孩子的成功在他的“敢于一试”，在试试中碰到了盒子的入口.数学解题何尝没遇上这种情境？我们有时苦心焦虑地寻找破题的入口，其实，自己此时正站在入题的大门口前，只是不敢动手一试.●典例示范【例1】 已知5sin β=sin(2α+β)，求证：.23tan )tan(=+αβα 【分析】 题型是条件等式的证明，内容是三角函数的变换.条件和结论都是三角等式，正宗解法（大刀开门），首先考虑的是三角函数及和角变换.能否找到另外的切入口呢？比如说“抛开函数看常数”，我们找到了23这个数，试一试，就打23的主意！ 【解答】 化条件为,15sin )sin(=+ββα考察结论的右式23与15的数量关系知=-+151523，那么由合分比定理能使问题获得解决，即.231515sin )2sin(sin )2sin(=-+=-+++ββαββα 而左端分子、分母分别进行和差化积即为,tan )tan(αβα+于是等式成立. 【点评】 这才是真正的“小刀开门”，首先考虑了常数，而常数在函数面前自然是“小玩意”；首先考虑比例变换，比例变换在三角变换的面前也是“小玩意”！数学解题时，在“入口对号”的情况下，小刀比大刀更管用.【例2】 设m 为正整数, 方程mx 2+2(2m -1)x +4m -7=0(x 为未知量)至少有一个整数根, 求m 的值.【分析】 若根据求根公式得到x =mm m 13)21(+±-, 讨论至少有一个整数根相当复杂.如果把常量m (m 是一个待求的常量)与变量x 相互转化,则解决此问题就简单了.【解答】 原方程可化为(x 2+4x +4)m =2x +7,即m =2)2(72++x x , 【插语】 m 是本题的破题小刀，因为所给方程中m 的最高次数是1，使得问题简化了.【续解】 由于x 为整数且m 为正整数, 则x ≠-2且2)2(72++x x ≥1, 得-3≤x ≤1,于是x =-3, -1, 0, 1, 代入原方程求出符合条件的m 值为1或5,即m =1或m =5时,原方程至少有一个整数根.【点评】 有些数学问题中的常量具有特殊性,常常暗示着某种巧妙的解题思路,如能充分挖掘,巧妙转化,便可以将问题轻松解决.【例3】 设函数f (x )=x 2+x +a (a ∈R *)满足f (n )<0, 试判断f (n +1)的符号.【分析】 这道题看似代数题，但如果打开几何的大门，就可以找到条件与结论的联系，思路才会应运而生.【解答】 因为f (n )<0，所以函数f (x )=x 2+x+a 的图像与与x 轴有2个相异交点，如图所示，设横坐标为x 1、x 2且x 1<x 2，方程x 2+x+a =0有2个不等的实根x 1、x 2，则⎪⎩⎪⎨⎧>=-=+<<.0,1,212121a x x x x x n x所以-1<x 1<n <x 2<0, 从而n +1>0, 例3题图于是 f (n +1)=(n +1)2 +(n +1)+a >0(a >0).【点评】 利用数形结合,数形结合是构建解题思路的重要立足点，灵活运用常使解题化难为易，化繁为简.【例4】 过抛物线y 2=2px 的顶点O 作2条互相垂直的弦OA 、OB ，求证：直线AB 过定点.【解答】 因为OA ⊥OB ，所以OA 与OB 的斜率成负倒数关系.设OA 的斜率为k ，将OA 的方程：y=kx 代入抛物线y 2=2px 中，求得A 点坐标为⎪⎭⎫⎝⎛k p •k p 2,22,将OB 方程代入抛物线方程求B 点坐标时，只有斜率发生变化.因此，以k 1-置换A 点坐标中的k , 即得B 点坐标为(2pk 2, -2pk ).因而l AB ：y =),2(12)2(1222p x kk pk pk x k k --+--- 故直线AB 过定点(2p , 0).容易验证，斜率k =±1时，结论也成立.【点评】 找寻对等关系,挖掘命题中元素之间的对等关系，常能找到简洁的解题思路.【例5】 已知x 、y 、z ∈R , x+y+z =1，求证:x 2+y 2+z 2≥.31 【解答】 运用均值代换法.令x =31γβα+=+=+31,31,•z •y , 则α+β+γ=0, 所以 x 2+y 2+z 2=31)(3231222≥++++++γβαγβα (当且仅当α=β=γ=0，即x=y=z =31时“=”成立). 【点评】 运用等价代换,运用等价代换作切入点探究解题思路，是中学数学的重要技能.●对应训练1.已知M 是椭圆1121622=+y x 上的动点，椭圆内有一定点A (-2,3), F 是椭圆的右焦点，试求|MA |+2|MF |的最小值，并求这时点M 的坐标.2.已知函数f (x )=12+x -ax , 其中a >0. 求a 的取值范围，使函数f (x )在区间［0,+∞)上是单调函数.3.如图所示，已知梯形ABCD 中|AB |=2|CD |,点E 分有向线段AC所成的比为λ，双曲线过C,D,E 三点，且以A ，B 为焦点.当4332≤≤λ时，求双曲线离心率e 的取值范围. 第3题图 4.已知a 、b >0,并且a+b =1,求证：.42511≥⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛+b b a a 5．如图所示，三棱柱ABC —A 1B 1C 1中，侧面ABB 1A 1的面积为S ，侧棱CC 1到此面的距离为a ，求这个三棱柱的体积.第5题图●参考答案1．解析 挖掘隐含条件的数量关系即可 为简洁解题铺平道路.注意到椭圆的离心率,21 与结论中线段|MF |的系数之间的数量关系， 作MB 垂直于右准线l ，垂足为B ， 如图所示.则,21||||==e MB MF即|MB |=2|MF |, 所以|MA |+2|MF |=|MA |+|MB |. 第1题解图 易知点M 在线段AB 上时，|MA |+2|MF |取最小值8，这时点M 的坐标 为（23,3•）.2.解析 探究a 的值，应倒过来思考.设x 1<x 2, 且x 1、x 2∈［0,+∞), f (x 1) - f (x 2)= (x 1-x 2)·.11222121⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-++++a x x x x因为.1,1222121x x •x x >+>+ 所以.011212221>+>+++x x x x得111222121<++++x x x x . 注意到x 1-x 2<0, 所以只要a ≥1，就有f (x 1)-f (x 2)>0. 即a ≥1时，函数f (x )在区间［0,+∞)上是单调减函数.显然0<a <1时，f (x )在区间［0,+∞)上不是单调函点评 运用逆向思维,当直接由条件探究结果难以凑效时，那就反过来，由果索因，这是建立解题思路的一个重要策略.3.解析 很多学生对本题无从下手，然而注意题中图案给予的启示，解题思路的就赫然可见了. 事实上，由图形的对称性，可设直线AB 为x 轴，AB 得中垂线为y 轴，建立平面直角坐标系xOy . 注意到|AB |=2|CD |，设OC =,2||c AB =依题意记A (-c,0)，C ),2(•h c, E (x 0, y 0). 由定比分点坐标公式得⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+=+-=.1,)1(2)2(00λλλλh y c x设双曲线方程为,12222=-by a x 将点C ，E 坐标代入方程，得,142222=-b h a c ① ,1)1()1(4)2(22222222=+-+-bh a c λλλλ ②将①代入②且用e 代入a c ，得e 2=.132121λ-+-=-+ 又由题设,4332≤≤λ可知e 2∈［7, 10］， 所以离心率e 的范围是.107≤≤e 点评 挖掘题图信息,从题中图案的启示切入，往往易得解题灵感. 4.解析 容易估计a=b =21时等号成立. 由此可以获得巧妙的证法. 构造,0415414141411534>≥++++=+a•a a a a a a a 同理,0415414141411534>≥++++=+b •b b b b b b b 两式相乘,)(412511538ab •b b a a ≥⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛+注意到ab ≤,4122=⎪⎭⎫⎝⎛+b a 所以ab 1≥4, 故(a +a 1)(b +b 1)≥425(当且仅当a=b =21时取“=”号).从等号成立的条件切入是独具匠心的思考方法.点评 启用特例联想,从数学命题成立的特殊情形入手，常可找到巧妙的解题思路.5.解析 将这个三棱柱补成如图所示的平行六面体，可知这个平行六面体的体积等于a S.很明显三棱柱ABC —A 1B 1C 1与三棱柱ACD —A 1C 1D 1体积相等.所以三棱柱ABC —A 1B 1C 1的体积等于.2aS用这种方法求解一些几何问题，效果十分明显.点评 看清分分合合,通过分割或整合，将数学问题化为熟悉的结论或易于解决的形式，也是建立解题思路的重要途径.第13计 钥匙开门 各归各用●计名释义开门的钥匙应有“个性”，如果你的钥匙有“通性”，则将把所有的邻居吓跑. 所有的知识具有个性，一切犯有“相混症”的人，都因没有把握知识的个性.数学知识的根基是数学定义，它的个性在于，只有它揭示了概念的本质，介定了概念的范畴，在看似模糊的边缘，它能判定是与非.定义本身蕴含着方法，由“线面垂直的定义直接导出线面垂直的判定定理，由椭圆的定义可直接导出椭圆方程.这里，判定定理也好，方程也好，只不过是其对应的定义在定义之外开设的一个“代办处”，当你的问题本身离定义很近时，何必要跑到遥远的地方去找“代办处”呢？由此，引出了“回归定义”的解题之说.●典例示范【例1】 F 1、F 2是椭圆的两个焦点，|F 1F 2|=2c , 椭圆上的点P （x, y )到F 1（-c , 0), F 2 (c , 0)的距离之和为2a . 求证：|PF 1|=•x a c a ,+|PF 2|=.x ac a - 【分析】 一定要搬动椭圆方程吗？这里的已知条件只有c 无b ，而椭圆方程12222=+by a x 却有b 无c ，搬动椭圆方程肯定是舍近求远.【解答】 对|PF 1| 和 |PF 2|用距离公式，结合椭圆的定义得关于|PF 1|= r 1, |PF 2|= r 2的方程组⎪⎩⎪⎨⎧+-=++==+③)(②)(①22222222121•y c x r •y •c x r •a •r r ②-③消y 2, x 2和c 2得 r 21cx r 422=-r ④①，④联立，解得⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-=+=xa c a r x a c a r 21 故|PF 1|=,x a c a + |PF 2|=.x a c a -【点评】 快捷，清晰，是因为此题的已知条件靠定义近，而离方程远.【例2】 设数列{a n }的前n 项和S n =1+a n lg b , 求使1lim =∞→nn S 成立的b 的取值范围.【思考】 应首先分清{a n }是什么数列，再根据数列的性质与极限的定义解题. 【解答】 a 1=1+a 1lg b , 若lg b =0, 即b =1时， a 1=S 1=1与1lim =∞→nn S 矛盾.∴b ≠1,于是a 1=,lg 11b- 而a n =(1+a n lg b )-(1+a n -1lg b ).∴a n (1-lg b )=-a n -1lg b ,1-n n a a =1lg lg -b b 为常数，{a n }是首项为,lg 11b-公比q =1lg lg -b b 的无穷递缩等比数列(已知1lim =∞→nn S 存在)，∴q =1lg lg -b b∈(-1,0)∪(0,1).由1lg lg -b b >-1, 即1lg lg 2-b b>0, 得lg b <21或lg b >1,又1lg lg -b b<0⇒0<lg b <1,于是0<lg b <,21 ∴b ∈(1,10) ①由0<1lg lg -b b<1⇒⎩⎨⎧-><1lg 1lg 0lg b b b 或,0lg <⇒b ∴b ∈(0, 1)] ②综合①、②，取并集，所求b 的取值范围为b ∈(0，1)∪(1,10).【例3】 某商场为了促销，当顾客购买商品的金额达到一定数量之后可通过抽奖的方法获奖，箱中有4只红球和3只白球，当抽到红球时奖励20元的商品，当抽到白球时奖励10元的商品(当顾客通过抽奖的方法确定了获奖商品后，即将小球全部放回箱中).(1)当顾客购买金额超过500元而少于1000元时，可抽取3个小球，求其中至少有一个红球的概率； (2)当顾客购买金额超过1000元时，可抽取4个小球，设他所获奖商品的金额为ξ(ξ=50,60 ,70,80)元，求ξ的概率分布和期望.【思考】 解本题不能不清楚与概率统计有关的概念与定义，否则即使知道有 关计算公式也无法准确解题，例如：(1)随机事件A 发生的概率0≤P (A )≤1, 其计算方法为P (A )=nm, 其中m ，n 分别表示 事件A 发生的次数和基本事件总数；(2)不可能同时发生的事件称为互斥事件，由于A 与A 必有一个发生，故A 与A 既是互斥事件，又是对立事件，对立事件满足P (A )+P （A ）=1；(3)离散型随机变量的期望，E ξ=x 1 p 1+x 2 p 2+…+x n p n +…, 这个概念的实质是加权平均数，期望反映了离散型随机变量的平均水平;(4)离散型随机变量的方差D ξ=(x 1-E ξ)2p 1+(x 2-E ξ)2p 2+…+(x n - E ξ)2p n +…，方差反映了离散型随机变量发生的稳定性.【解答】 (1)基本事件总数n =C 37=35, 设事件A ={任取3球，至少有一个红球}，则事件 A ={任取3球，全是白球}.∵A 与A 为对立事件，而Card A =1(任取3球全是白球仅一种可能). ∴P (A )=351,于是P (A )=1-P (A )=.3534 即该顾客任取3球，至少有一个红球的概率为.3534(2)ξ=50表示所取4球为3白1红(∵3×10+1×20=50), ∴P (ξ=50)=;354C C C 471433=∙ξ=60表示所取4球为2白2红(∵2×10+2×20=60), ∴P (ξ=60)= ;3518C C C 472423=∙ ξ=70表示所取4球为3红1白(∵3×20+1×10=70), ∴P (ξ=70)= ;3512C C C 471334= ξ=80表示所取4球全为红球, ∴P (ξ=80)= .351C C 4744= 于是ξ的分布列为：∴D ξ=50×35+60×35+70×35+80×35=7(元).即该顾客获奖的期望是7440≈63(元).●对应训练1 M 为双曲线12222=-by a x 上任意一点， F 1为左焦点， 求证:以MF 1为直径的圆与圆x 2+y 2= a 2相切.2 求证:以椭圆上任意一点的一条焦半径为直径作圆，这个圆必和以椭圆长轴为直径的圆相 切.3 在离散型随机变量中，证明其期望与方差分别具有性质: (1)E (a ξ+b )=aE ξ+b ; (2)D ξ=E ξ2- E 2ξ.4 M 为抛物线y 2=2px 上任意一点，F 为焦点，证明以MF 为直径的圆必与y 轴相切.●参考答案1 如图所示，MF 1的中点为P , 设|PF 1|= r, 连接PO 、MF 2, ∵|PO |=21|MF 2|(中位线性质） ∴|PF 1| - |PO |=21(|MF 1| - |MF 2|)=21·2a = a , 即|PO |= r-a , 故以MF 1为直径的圆与圆x 2+y 2=a 2内切.2 如图所示，设M 为椭圆上任一点，MF 1为焦半径，MF 1的中点为P , 设|PF 1|= r, 连OP 、MF 2. 则|OP |=21|MF 2|=21(2a -|MF 1|)= a-r∴以MF 1为直径的圆与以椭圆长轴为直径的圆内切.第1题解图 第2题解图 3．（1）∵E ξ=x 1 p 1+x 2 p 2+…+x n p n ,∴E (a ξ+b )= (ax 1+b )p 1+(ax 2+b )p 2+…+(ax n +b )p n = a (x 1 p 1+x 2 p 2+…+x n p n )+b (p 1+p 2+…+p n ) = aE ξ+b (∵p 1+p 2+…+p n =1).（2）D ξ=(x 1 - E ξ)2·p 1+(x 2 - E ξ)2p 2+…+(x n - E ξ)2p n +…=（x 21p 1+x 22p 2+…+x 2n p n +…）-2E ξ(x 1 p 1+x 2 p 2+…+x n p n +…)+E 2ξ(p 1+p 2+…+p n +…)=E ξ2-2E ξ·E ξ+E 2ξ·1=E ξ 2- E 2ξ.4 如图所示，抛物线焦点F ⎪⎭⎫ ⎝⎛0,2•p ，准线l :x =2p-,作MH ⊥l 于H ，FM 中点 为P ，设圆P 的半径|PF |= r ，作PQ ⊥y 轴于Q ，则PQ 为梯形MNOF 的中位线. ∴|PQ |=,||21||21|)||(|21r MF MH MN OF ===+ ∴以MF 为直径的圆与y 轴相切. 第4题解图第14计 鲜花开门 情有独钟●计名释义冬天的梅花，非常耀眼.其实，梅花开的并不艳丽，只是因为你喜欢她，所以才心明眼亮.如果到了百花盛开的春天，你能身在花丛眼不花，还能看到淡淡素素的梅花吗？数学解题也经常遇到这种情景，有时已知条件非常之多，提供的信息诱惑也非常之泛.此时，你能“情有独钟”地筛选出你需要的她吗？ ●典例示范【例1】 P 点在平面内作匀速直线运动， 速度向量v =(4,-3).(P 点沿v 方向运动，每秒移动的距离是|v |）.开始时P （-10，10）， 求5秒后P 点的位置.【分析】 本质是对P 点运动的速度向量 v =（4，3）的理解：因为P 点按匀速直线运动，每秒位移是5.从速度分解观点看， 例1题图 每秒P 向右移4，向下移3.【解答】 5秒P 向右移20，下移15，设P 点5秒后到P ′（x, y ). x =-10+20=10, y =10-15=-5. 所以P ′（10，-5）.【点评】 这样解题很轻松，善于抓住数学本质的理性思维习惯是在学习数学的过程中累积形成的，而不是在“题海战术”式的“强化训练”、“大练兵”中形成的.【插语】 如果不按上述方式，而是从寻找P P '=5v =(20,-15), 再求P O '=P O '+,P P ' 当然也能求出结果，但是并不省时间.众所周知，高考中的时间就是分数. 【例2】 （04·全国Ⅰ卷）函数y =1-x +1(x ≥1)的反函数是 ( )A ．y =x 2-2x +2 (x <1) B.y =x 2-2x +2(x ≥1) C ．y =x 2-2x (x <1) D.y =x 2-2x (x ≥1)【解答】 本题的鲜花是利用互反函数的性质.原函数x ≥1时，y ≥1.∴反函数的定义域为x ≥1，排除 A 、C .∵点（5，3）在f (x )的图象上，∴点（3，5）必在f -1(x )的图象上，而点（3，5）适合 B ，不适合 D ,∴选 B .【点评】 与反函数有关的选择题，要注意利用其“定义域与值域互易，对应法则互逆，图象关于直线y=x 对称”等特点，前呼后拥.【例3】 下列各式中，最小值为2的是 ( ) A ．4522++x x B.ba b a +++2C.b a a b +D.sin 1sin +x【思考】 利用均值不等式“取等”的条件这朵鲜花去开门.用均值不等式求最值必须满足两个条件： （1）参与运算的量必须是正数；（2）只有当有关量可以“取等”时才有最值. ∵,2141,24,41445222222≤+≥++++=++x •x •x x x x 而故,41422+≠+x x 故否定A ；当a,b 异号时，,0,0<<b a •a b 否定C ；当sin x <0时，亦有sin 1<0,否定D ； ∴选 B .【点评】 可用直接法证明22min=⎪⎪⎭⎫⎝⎛+++b a b a ，∵b •a ,存在且在分母中出现，∴ab >0.又a+b +2=(a +1)+(b +1)≥2)(b a +，∴b a b a +++2≥2. 当且仅当a=b =1时22min=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+++b a b a 【例4】 已知四边形ABCD为矩形且AB ≠BC , PA ⊥平面ABCD , 连接 AC,BD,PB,PC ,PD , 则以下各组向量中,数量 积不为零的是 ( )A ． B. C.AB PD 与 D.CD PA与 例4题图 【思考】 利用图形的特点这朵花来打开解题之门.互相垂直的两向量,其数量积为零.;,B •PB DA AB •D A •ABCD PA 排除平面图中⊥⇒⎭⎬⎫⊥⊥同理,排除•AB PD ,⊥ C. ∵PA ⊥平面ABCD , ∴CD PA ⊥，排除D ，选 A.【点评】 可用反证法证明BD PC 与不垂直, 假定BD PC ⊥.∵PA ⊥平面ABCD , ∴AC BD ⊥, 四边形ABCD 是正方形, 这与题设AB ≠BC 矛盾. ●对应训练1.若f (x )sin x 是周期为π的偶函数，则f (x )可以是①sin x , ②cos x ， ③cot x ， ④tan 2x中的( ) A.①② B.①④ C.③④ D. ① 2.下列五个命题：①|a |=a 2; ②a bab a =∙2; ③(a ·b )2=a 2·b 2; ④(a - b )2=a 2-2ab +b 2; ⑤若a ·b =0,则a =0或b =0. 其中正确命题的序号是 （ ）A.①②③B.①④C.①③④D.②⑤ 3.已知等比数列{a n }的公比为q ,下列命题正确的是 （ ） A. 若q >1, 则{a n }为递增数列 B. 若0<q <1, 则{a n }为递减数列C. 若q <1, 则{a n }为无穷递减等比数列D. 以上都不对 ●参考答案1. D 【思考】 利用选项的结构特点. 选项中有三项含①，故先检验①. 设F (x )= f (x )sin x ， 如果f (x )=sin x ，则F (x )=sin 2x =21(1-cos2x ). ∵ cos2x (从而F (x ))是周期为π的偶函数， ∴f (x ) 可以是①，否定C(无须检验③)，如果f (x )= cos x ，则F (x )=sin x cos x =21sin2x 是周期为π的奇函数，与要求不符，否定 A ；如果f (x )=tan 2x =xx sin cos 1-，则F (x ) =1-cos x 是周期为2π的偶函数，也与要求不符, 否定B.于是f (x )仅可以是①, 选 D ． 【点评】 排除法解选择题也要讲求效率，设法使工作量减到最少.2. B 利用向量运算的性质. ∵a 与b 共线，其夹角为0.∴a 2=a ·a =|a ||a |cos0=|a |2. ①正确排除D ；设a , b 夹角为θ. 则θθcos ||||||cos ||||22a b a b a a b a ==∙而向量运算中不含除法运算，a b ，②不能成立，排除A ；若a ⊥b ，且a ≠ b ，则(a ·b )2=0而a 2·b 2≠0, ∴③不能成立，排除 C. 3. D 选用特殊值取. q =2>1时，a 1=-1<0, 则{a n }为递减数列，排除A ；当0<q =21<1时，若a 1=-1<0，则{a n }为递增数列，排除B ；取q =-2<1, a 1=1，则{a n }为摆动等比数列，排除 C.第15计 驿站开门 望蜀得陇●计名释义一商人要去蜀国做生意，因栈道难行，结果到了陇西. 正当他发愁之时，来了一位远客，把他的货全部买走了. 商人大喜，对伙计们说，这客人说的蜀国话，赶快回关中运货去，我们还是按原计划去南蜀.等第二批货运到陇西时，又遇上这位客人. 一交谈，他没有把货运往南蜀，而是运往西域去了. 伙计们问商人：我们还是按原计划去南蜀吗？商人笑着说，“我们在这儿望望南蜀就行了.”接着在驿站里把生意做得火红.数学解题有时也遇上这种情景，原来计划的解题方案，在进行中遇到了一匹黑马，中途变阵之后，成果意外. 这时你不要埋怨原来的计划是错的：不“望蜀”，怎能“得陇”？●典例示范 【例1】图中，BC 1和DB 1分别是棱长为1的正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1的一条面对角线和体对角线. 例题图试求它们的距离.【解答】 连A 1C 1、C 1B 和BA 1. 得边长为2的正三角形A 1C 1B .易知，体对角线DB 1过△A 1C 1B 的中心G . 易得GB =GC 1. 再作BC 1的中点H . 猜想 GH 是DB 1和BC 1的公垂线， 为此只须证明HG ⊥DB 1. 易知GB 1=33，HB 1=22 GH =31·2·6623= 例题解图 因为 ,223366222⎪⎪⎭⎫⎝⎛=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛ 所以GH ⊥GB 1 即GH ⊥DB 1 . 【说明】 此处证GH ⊥DB 1就是我们的“望蜀”，其实DB 1⊥面A 1BC 1，而GH 是面A 1BC 1中的线段，当然GH ⊥DB 1，由此我们“得陇”.【续解】 故HG 是BG 与DB 1的公垂线.且长度66为它们的距离. 【点评】 这两条对角线异面.在不知（或不易作出）它们的公垂线时，属于难题.解题的方法是按“定义”，用垂直相交法作辅助线（面）.●对应训练1.已知关于x 的一元二次方程a x 2+b x +c =0,其中a ，b ，c 是非零平面向量，且a 与b 不共线，则该方（ ） A 可能有无数多个实数解 B 至多有两个实数解 C 至少有一个实数解 D 至多有一个实数解2.空间 （填：“存在”或“不存在”）这样的四个点A 、B 、C 、D ，使得AB=CD =8cm ，AC=BD =10cm ，AD=BC =13cm . ●参考答案1. D 由于a 与b 不共线，所以可设c =m a +n b (其中m ，n ∈R )，代入方程a x 2+b x +c =0得a x 2+b x +(m a +n b )=0，即（x 2+m ) a +(x+n ) b =0,又a 与b 不共线，故有⎩⎨⎧=+=+,0,02n x m x 即⎩⎨⎧-=-=,,2n x m x 显然，当m >0时，原方程无实数解；当n 2=-m ≥0时，⎩⎨⎧=+=+0,02n x m x 有一个实数解.故应选 D .【说明】 此题容易简单想象成一元二次方程根的存在性问题，用判别式来判定，导致出现思维定势的错误. 对于向量的相关知识的考查在近年来的高考试题中常出现，并且有关向量的题目也在不断地创新，不再是书本知识的简单重复.基于此而创作了此题.2．要去寻找这样的点是很难叙述的.但我们可以虚拟一些特殊的图形去模拟运动，判断结果.细看题目有四个点，显然可以从四边形旋转所构成的三棱锥模型结构看一下这些长度关系是否合理，来得出需要的结论. 在空间中，分别以8、10、13为边长，作如图所示平面四边形，它由△ABC 和△BCD组成，公共边为BC =13cm ，AC=BD =10cm ，AB=CD =8cm ，固定△ABC 所在的平面，令△BCD 绕着边BC 旋转.显然当D 位于 第2题解图△ABC 所在的平面时，AD 最大.由BC =13cm ，AC =10cm ，AB =8cm ，可得cos ∠BAC =-321,即可知∠BAC 是钝角，故对于平行四边形（即D 在平面ABC 内时）ABDC ，对角线AD 的长小于对角线BC 的长，即AD <BC =13cm .显然，当点D 不在面ABC 内时都有AD <BC =13cm .因此按题目要求分布的四个点是不可能的，故知题目要求的四个点不存在.【点评】 这是一个探索型开放题，其存在与否取决于分析的过程，该题题型无论从结论上还是从方法的探究上都具有一定的开放性，因此我们开始做它时，选定一个方向直奔过去，到那儿时才发现此路不通.第16计 摆渡开门 萍水相逢●计名释义有道数学题，求证π>25. 很多学生不知所措时，却有一学生说此题非常简单，不过需找个第三者. 现在他已经指定了一个第三者，就是整数3.因为π>3，又3>25，所以π>25. 这里的第三者，如同一个渡船，它能把“无关”的两岸经过自己连接起来.这就是数学上的“过渡法”，。
教学经验交流---三十六计
指有意制造假象，掩盖自已的真实意 图，转移对方视线，扰乱对方判断，最后 实现自己的目标。 案例一：不要讲话 案例二：信心培养
信而安之，阴以图之。备而后动，勿
使有变。刚中柔外也。取得对方信任而使
其丧失警惕，做好方案后再行动。这就是
刚中柔外的道理。
案例一：亲师、信师、从师
案例二：嘻笑声中的教育
类以诱之，击蒙也。以自己的粗浅的
意见引出别人高明的见解。 “砖”是指价
值低的东西，而“玉”则代表了价高质优。
案例一：问题导向学习
案例二：十二条恶习
不敌其力，而消其势，兑下乾上之象。 两军对垒，不直接抗击他的锋芒，而是消 弱他的气势，从根本上消弱他的战斗力， 要解决问题一定要从根本做起才有显著效 果的。
案例一：“察本”，“溯源”
频更其阵，抽其劲旅，移动自己的主力部队，就
是等于你在调动敌人，借以削弱...。
案例一：马丁
案例二：换位思考
为了顾全大局，急流勇退，或者为了
长远利益，暂时地退避，以退为进。此计
非常人所能也。
案例一：柳传志
有效学习三十六计
有效学习三十六计前言：同学们，从今天开始，奥数网将持续推出“有效学习三十六计”，希望能够在同学们的学习上提供一些方法，达到有效学习的目的。
有效学习三十六计之一（复习卷，要整理）孔子有云：温故而知新。
今天要说的有效学习三十六计，第一计就是针对复习问题而展开。
很多的同学可能对复习的重要性不是很重视，可能会认为自己已经学过了，也会了，便不是很在意了。
这样的思想万万要不得。
具体的方法操作正如第一计：复习卷，要整理。
学会整理每个学期练习卷中做错的题目，这些题目我们要重点复习，我们可以做一本错题集，把这些曾经做错过的题目反复练习，以后就不会再做错了！尤其老师在对试卷，做讲解的时候，要把老师讲解的方式方法记下来，掌握要点，知道自己错在哪里，为什么错了，下次如何避免这样的错误。
针对错题的类型集中攻关，稳固掌握知识点，达到一点就通。
下次再遇到这样的题型，便手到拈来。
有效学习三十六计之二（听音乐提效率）好的学习方法，可以使学习效率大大提高。
所以我们对于学习方法要给予充分的重视和把握。
今天我们就来谈谈听音乐对学习效率提高的帮助。
调查显示，适当的听听音乐对于人的神经放松舒缓起到很大的作用。
同学们在学习的时候不妨将这一方法运用起来。
在学习的间隙，可以抽一些时间放一些古典乐曲，使一直处于思考的左脑得到一定程度的休息。
然后再将投入学习中去，相信充上电的左脑一定会勤恳工作。
在选择音乐的要注意尽量选择一些舒缓优美的旋律，忌讳选一些喧杂的流行歌曲，因为如果选择过吵的音乐来听，反而不能让大脑得到休息，不利于学习。
听音乐的时间也不宜过长，以十五到二十分钟为宜。
如果长时间听音乐，大脑彻底放松，再想进入刚刚酝酿好的学习状态中去，则要相当的苦难了。
有效学习三十六计之三（写作文重积累）写作文可能是，孩子和家长比较头疼的事情，今天就来说说写作文的事情。
也即有效学习的方法之一。
小学生要想写好作文，平时的积累是相当重要的。
所谓巧妇难为无米之炊，作文水平的提高，并不是上好几节作文辅导课就可以做到的,主要是靠平时的积累。
数学破题36计
第1计芝麻开门点到成功 ●计名释义七品芝麻官，说的是这个官很小，就是芝麻那么小的一点.《阿里巴巴》用“芝麻开门”，讲的是“以小见大”.就是那点芝麻，竟把那个庞然大门给“点”开了.数学中，以点成线、以点带面、两线交点、三线共点、还有顶点、焦点、极限点等等，这些足以说明“点”的重要性.因此，以点破题，点到成功就成了自然之中、情理之中的事了.●典例示范［例题］(2006年鄂卷第15题)将杨辉三角中的每一个数rn C 都换成分数rnC n )1(1+，就得到一个如下图所示的分数三角形，称来莱布尼茨三角形.从莱布尼茨三角形可以看出rn x n r n nC C n C n 11)1(1)1(1-=+++，其中=x . 令221)1(1160130112131nn n C n nC a +++++++=- ， 则=∞→n n a lim .［分析］一看此题，图文并举，篇幅很大，还有省略号省去的有无穷之多，真乃是个庞然大物.从何处破门呢？我们仍然在“点”上打主意.莱布三角形，它虽然没有底边，但有个顶点，我们就打这个顶点11的主意. ［解l ］将等式rn x n r n nC C n C n 11)1(1)1(1-=+++与右边的顶点三角形对应(图右)，自然有21)1(1=+rnC n 21)1(1=+x n C n 1111=-r n nC 对此，心算可以得到：n =1，r =0，x =1对一般情况讲，就是x =r +1这就是本题第1空的答案.［插语］本题是填空题，只要结果，不讲道理.因此没有必要就一般情况进行解析，而是以点带面，点到成功.要点明的是，这个顶点也可以不选大三角形的顶点.因为三角形中任一个数，都等于对应的“脚下”两数之和，所以选择任何一个“一头两脚”式的小三角形，都能解出x =r +1. 第2道填空，仍考虑以点带面，先抓无穷数列的首项31. ［解ll ］在三角形中先找到了数列首项31，并将和数列++++=60130112131n a 中的各项依次“以点连线”(图右实线)，实线所串各数之和就是a n .这个a n ，就等于首项31左上角的那个21.因为21在向下一分为二进行依次列项时，我们总是“取右舍左”，而舍去的各项(虚线所串)所成数列的极限是0.因此得到=∞→n n a lim 21这就是本题第2空的答案. ［点评］解题的关键是“以点破门”，这里的点是一个具体的数31，采用的方法是以点串线——三角形中的实线，实线上端折线所对的那个数21就是问题的答案.事实上，三角形中的任何一个数(点)都有这个性质.例如从201这个数开始，向左下连线(无穷射线)，所连各数之和(的极限)就是201这个数的左上角的那个数121.用等式表示就是1211401601201=⋯+++［链接］本题型为填空题，若改编成解答题，那就不是只有4分的小题，而是一个10分以上的大题.有关解答附录如下. ［法1］由rn r n r n nC C n C n 111)1(1)1(1-+=+++知，可用合项的办法，将n a 的和式逐步合项. 221)1(1130112131nn n C n nC a ++++++=- 11221242322)1(1)1(1)1(11514131nn n n C n C n C n nC C C C +-⎦⎤⎢⎣⎡++++++++=- 11121242322)1(111514131n n n C n nC nC C C C +-⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+++++=-- 11222)1(13131n C n C C +-⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+=111)1(121nC n C +-=n n )1(121+-=→21［法2］第二问实质上是求莱布尼茨三角形中从第三行起每一行的倒数的和，即231241302)1(11514131---++++++=n nn n n C n nC C C C a 根据第一问所推出的结论只需在原式基础上增加一项1)1(1-+n nC n ，则由每一行中的任一数都等于其“脚下”两数的和，结合给出的数表可逐次向上求和为21，故1)1(121---=n nn C n a ，从而21)1(121lim lim 1=⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡+-=-∞→∞→n n n n n C n a ［法3］(2)将1+=r x 代入条件式，并变形得rnr n r n C n nC C n )1(11)1(111+-=+-+ 取,1=r 令 ,,,3,2n n =得1211223121)12(131C C C -=+=1312234131)13(1121C C C -=+=，1413245141)14(1301C C C -=+=……… 1111211)1(11-----=n n n nC C n nC 1112)1(11)1(1nn n C n nC C n +-=+- 以上诸式两边分别相加，得)1(121+-=n n a n 21［说明］以上三法，都是对解答题而言.如果用在以上填空题中，则是杀鸡动用了牛刀.为此我们认识到“芝麻开门，点到成功”在使用对象上的真正意义. ●对应训练 1．如图把椭圆1162522=+y x 的长轴AB 分成8份，过每个分点作x 轴的垂线交椭圆的上半部分于P 1，P 2，…，P 7七个点，F 是椭圆的一个焦点，则|P 1F |+|P 2F |+……+|P 7F |=_______. 2．如图所示，直三棱柱ABC —A 1B 1C 1中，P ，Q 分别是侧棱AA 1，CC 1上的点，且A 1P =CQ ，则四棱锥B 1—A 1PQC 1的体积与多面体ABC —PB 1Q 的体积比值为. ●参考解答1．找“点”——椭圆的另一个焦点F 2.连接P 1F 2、P 2F 2、…、P 7F 2，由椭圆的定义FP 5+P 5F 2=2a =10 如此类推FP 1+P 1F 2=FP 2+P 2F 2=…=FP 7+P 7F 2=7×10=70 由椭圆的对称性可知，本题的答案是70的一半即35. 2．找“点”——动点P 、Q 的极限点.如图所示，令A 1P =CQ =0.即动点P 与A 1重合，动点Q 与C 重合. 则多面体蜕变为四棱锥C —AA 1B 1B ，四棱锥蜕化为三棱锥C —A 1B 1C 1.→显然311 1 1 —=C B A C V V 棱柱.∴1 1 1 —C B A C V ∶B B AA C V 1 1 —=21于是奇兵天降——答案为21.［点评］“点到成功”的点，都是非一般的特殊点，它能以点带面，揭示整体，制约全局.这些特殊点，在没被认识之前，往往是人们的盲点，只是在经过点示之后成为亮点的.这个“点”字，既是名词，又是动词，是“点亮”和“亮点”的合一. 第2计西瓜开门滚到成功 ●计名释义比起“芝麻”来，“西瓜”则不是一个“点”，而一个球.因为它能够“滚”，所以靠“滚到成功”.球能不断地变换碰撞面，在滚动中能选出有效的“触面”.数学命题是二维的.一是知识内容，二是思想方法.基本的数学思想并不多，只有五种：①函数方程思想，②数形结合思想，③划分讨论思想，④等价交换思想，⑤特殊一般思想.数学破题，不妨将这五种思想“滚动”一遍，总有一种思想方法能与题目对上号. ●典例示范［题1］(2006年赣卷第5题)对于R 上可导的任意函数f (x )，若满足(x －1)f '(x )≥0，则必有 A.f (0)＋f (2)<2f (1)B.f (0)＋f (2)≤2f (1) C.f (0)＋f (2)≥2f (1)D.f (0)＋f (2)>2f (1)［分析］ 用五种数学思想进行“滚动”，最容易找到感觉应是③：分类讨论思想. 这点在已条件(x -1)f ＇(x )≥0中暗示得极为显目.其一，对f ＇(x )有大于、等于和小于0三种情况； 其二，对x -1，也有大于、等于、小于0三种情况. 因此，本题破门，首先想到的是划分讨论.［解一］(i)若f ＇(x )≡0时，则f (x )为常数：此时选项B 、C 符合条件.(ii)若f ＇(x )不恒为0时.则f ＇(x )≥0时有x ≥1，f (x )在[)∞,1上为增函数；f ＇(x )≤0时x ≤1.即f (x )在(]1,-∞上为减函数.此时，选项C 、D 符合条件.综合(i)，(ii)，本题的正确答案为C.［插语］考场上多见的错误是选D.忽略了f ＇(x )≡0的可能.以为(x-1)f ＇(x )≥0中等号成立的条件只是x -1=0，其实x-1=0与f ＇(x )=0的意义是不同的：前者只涉x 的一个值，即x =1，而后是对x 的所有可取值，有f ＇(x )≡0. ［再析］本题f (x )是种抽象函数，或者说是满足本题条件的一类函数的集合.而选择支中，又是一些具体的函数值f (0)，f (1)，f (2). 因此容易使人联想到数学⑤：一般特殊思想. ［解二］(i)若f ＇(x )=0，可设f (x )=１. 选项Ｂ、Ｃ符合条件. (ii)f ＇(x )≠0.可设f (x )=(x-1)2又 f ＇(x )=2(x-1).满足 (x-1)f ＇(x )=2(x-1)2≥0，而对f (x )=(x-1)2.有f (0)=f (2)=1，f (1)=0 选项C ，D 符合条件.综合(i)，(ii)答案为C.［插语］在这类f (x )的函数中，我们找到了简单的特殊函数(x -1)2.如果在同类中找到了(x -1)4，(x-1)34，自然要麻烦些.由此看到，特殊化就是简单化.［再析］本题以函数(及导数)为载体.数学思想①——“函数方程(不等式)思想”.贯穿始终，如由f '(x )=0找最值点x =0，由f '(x )>0(<0)找单调区间，最后的问题是函数比大小的问题.由于函数与图象相联，因此数形结合思想也容易想到.［解三］(i)若f (0)=f (1)=f (2)，即选B ，C ，则常数f (x )=1符合条件.(右图水平直线) (ii)若f (0)=f (2)<f (1)对应选项A.(右图上拱曲线)，但不满足条件(x -1)f '(x )≥0 若f (0)=f (2)>f (1)对应选项C ，D(右图下拱曲线).则满足条件(x -1)f '(x )≥0.［探索］本题涉及的抽象函数f (x )，没有给出解析式，只给出了它的一个性质：(x -1)f '(x )≥0，并由此可以判定f (0)+f (2)≥f (1).自然，有这种性质的具体函数是很多的，我们希望再找到一些这样的函数.［变题］以下函数f (x )，具有性质(x -1)f '(x )≥0从而有f (0)+f (2)≥2f (1)的函数是 A.f (x )=(x-1)3B.f (x )=(x-1)21C.f (x )=(x-1)35D.f (x )=(x-1)20052006［解析］对A ，f (0)=-1，f (2)=1，f (1)=0，不符合要求；对B ，f (0)无意义；对C ，f (0)=-1，f (2)=1，f (1)=0，不符合要求； 答案只能是D.对D ，f (0)=1，f (1)=0，f (2)=1. 且f '(x )=20052006(x-1)20051使得(x-1)f ＇(x )=(x-1)20052006(x-1)20051≥0.［说明］以x=1为对称轴、开口向上的函数都属这类抽象函数.如f '(x )=(x-1)122-m n ，其中m ，n 都是正整数，且n ≥m .［点评］解决抽象函数的办法，切忌“一般解决”，只须按给定的具体性质“就事论事”，抽象函数具体化，这是“一般特殊思想”在解题中具体应用. ［题2］已知实数x ，y 满足等式369422=+y x ，试求分式5-x y 的最值。
考研数学娜姐36计
考研数学娜姐36计摘要：一、引言1.介绍考研数学的重要性2.介绍娜姐36 计的背景和特点二、考研数学复习策略1.理解基本概念和原理2.巩固基础知识3.做题巩固提高4.总结归纳，形成自己的解题技巧三、娜姐36 计的具体内容1.第一计：兴趣是最好的老师2.第二计：制定合理的复习计划3.第三计：重视基础知识的学习4.第四计：勤于练习，熟能生巧5.第五计：及时总结和归纳6.第六计：培养解题思路和技巧7.第七计：分析错题，查漏补缺8.第八计：调整心态，保持良好的学习状态9.第九计：合理安排休息和娱乐10.第十计：把握考试技巧和策略四、结合娜姐36 计进行考研数学复习的实践与效果1.学生案例分享2.复习成果展示五、结论1.总结娜姐36 计在考研数学复习中的重要性2.鼓励学生积极运用娜姐36 计，提高考研数学成绩正文：【引言】在我国，考研数学是众多研究生入学考试科目中的重要组成部分。
数学成绩的高低直接影响着考生的整体表现。
为了帮助广大学子更好地应对考研数学，提高数学成绩，娜姐36 计应运而生。
本文将为您详细解读娜姐36 计，助您在考研数学中取得优异成绩。
【考研数学复习策略】想要在考研数学中取得好成绩，首先要有正确的复习策略。
这里为大家提供四点建议：1.理解基本概念和原理：这是提高数学成绩的基础，只有理解了基本概念和原理，才能在实际解题中灵活运用。
2.巩固基础知识：基础知识是解题的基石，要不断巩固，确保在解题过程中不会因为基础知识的欠缺而导致困扰。
3.做题巩固提高：通过大量做题，可以检验自己的学习成果，提高解题速度和准确度，培养解题思路。
4.总结归纳，形成自己的解题技巧：每做一道题，都要学会总结，形成自己的解题技巧，以便在考试中迅速找到解题思路。
【娜姐36 计的具体内容】娜姐36 计是针对考研数学复习的一系列策略，具体包括：1.第一计：兴趣是最好的老师。
培养对数学的兴趣，让学习变得轻松愉快。
2.第二计：制定合理的复习计划。
班主任36计策2014
班主任36计策2013-11-17 16:37阅读(47)评论第01计瞒天过海差生大多缺乏自信，给他们说将来无疑是对牛弹琴，他们会不无无奈地说：老师，我不行。
这个时候，不用花什么力气去树立什么劳什子信心，直接答应他（她）：好吧，我们就不那样了，我们这样……然后，一件一件地给他们一些可以实现的小目标，指导他们一件一件地完成。
最后，学生会惊奇地发现：老师，我居然能这样了！呵呵，当然！第02计围魏救赵当一个差生差的学科多的时候，要他们一下全部学好等于是让他们不学，不如先干脆让他们放弃一些学科，他们相对容易完成的学科上先下功夫，做出成绩，进而进军其它学科。
第03计"借刀杀人当学生不知道应该如何展开学习的时候，不可让其迟疑，有放弃的机会，给他找个榜样，让他跟着做，别人做什么，他就做什么，先养成学习习惯再说。
第04计以逸待劳当学生展开学习后，不可急功近利，天天询问，时时查看，只远远观察，发现进步，及时鼓励，提出困难，帮助解决！偶尔靠近，以劝劳逸结合为主。
第05计趁火打劫差生学习常有反复，一遇突发事件，便要强调学习至少是一种解脱，让其将精力更集中在学习上。
第06计声东击西差生转变中常遇其它教师或者家长不经意的打击，必以己之鼓励，使其更爱本科之学习。
第07计无中生有说一些身边的例子，最好是上届上几届差生转化的事例，真人妙作，故事可量身定做。
第08计暗渡陈仓表面同意其学习没意思的说法，有意无意大讲特讲读书的好处，潜移默化。
第09计隔岸观火当学生因精力不在学习上，惹事生非的时候，不要急于去帮他摆平，让他先好好体会一下他自己惹的麻烦！第10计笑里藏刀不学习的学生重要的是先要稳定他的情绪，和他建立友善的师生关系，先亲师信师，才能从而师之。
第11计李代桃僵对学生的一些行为，明知不是为了学习，故意表扬，赶鸭子上架，弄假成真。
第12计顺手牵羊在安排一些学习活动的时候，千万不要漏了他们，跟着道士跑一年，不会念咒也能画符。
使初中数学学习更有效的策略
使初中数学学习更有效的策略数学是一门抽象思维较强的学科，许多初中生在学习数学时会感到困难和压力。
通过一些有效的学习策略，学生可以更好地掌握数学知识，提高学习成绩。
以下是一些使初中数学学习更为有效的策略。
一、培养兴趣学生应该培养对数学学习的兴趣。
兴趣是最好的老师，只有对数学感兴趣，学生才能主动去学习数学知识。
教师和家长应该尽可能地多为学生创造一些有趣的数学学习氛围，引导学生自觉地参与到数学学习中。
培养数学兴趣需要一个过程，学生们可以通过参与一些数学竞赛、解决一些有趣的数学问题等方式来培养兴趣，从而提高数学学习的积极性。
二、掌握基础知识三、自主学习自主学习是一种积极的学习态度。
学生应该养成独立思考的好习惯，自主学习数学知识。
在课堂之外，学生可以通过阅读相关的数学书籍、网站、参与讨论等方式来进行自主学习。
复习和总结也是一种非常好的自主学习方式。
在自主学习过程中，学生可以根据自己的学习情况和水平，进行有针对性的学习，提高学习效率。
四、多做练习多做练习是提高数学学习效率的关键。
通过不断地练习，学生可以更好地掌握数学知识，提高解题能力。
在做练习的过程中，学生可以针对自己不擅长的知识点进行重点练习，提高自己的数学能力。
学生还可以选择一些有趣的数学习题，多做一些开发思维的题目，提高自己的数学思维能力。
五、注重方法和技巧在学习数学时，方法和技巧也是非常重要的。
学生应该在学习的同时注重方法和技巧的学习。
在解题过程中，可以尝试不同的解题方法，探索问题的解决方案；在学习的过程中，也可以积累一些解题技巧，提高解题的效率。
学生还应该学会进行思维导图、概念地图等方式来整理数学知识，以便更好地掌握和记忆知识点。
六、寻求帮助在学习数学过程中，学生往往会遇到不懂的问题。
这时，学生可以选择向老师、同学、家长等寻求帮助。
也可以通过一些数学论坛、社交平台等途径来寻求解决问题的方法。
通过向他人求助，可以更好地理清思路，解决问题，提高学习效率。
初三一年如何提高数学成绩36计上
不知不觉我们已经成为准9年的学生，倒计时渐渐以使我们感到紧迫。
现在离中考还有300多天，怎样调整好自己的学习状态和心态作最后的冲刺？这是同学们和家长关心的问题。
本文从预习、上课、考试、总结、复习几个方面总结出36条计策，全面解读初三一年如何提高数学成绩。
胜战计（预习篇）第1计：不懂做标记：看不懂的问题作出记号,听课时才更清晰重点.第2计：说给家长听：预习时可能感到认识模糊,可以与父母或同学进行交流,即增加探求新课的兴趣,还可以弄懂数学知识的实际用法,对知识有个准确的概念.第3计：例题做一遍：请记住，例题很重要，一定要重视，要养成规范化解题的步骤，现在的考试，是按照答题步骤给分的，现在的同学在步骤上做的不到位，不是粗心马虎，而是你自己不了解什么是规范化步骤，没有总结好例题的步骤，没有思考上一步到下一步的知识点，怎么得到的下一步，以后凡是做题都要检查上一步是否能推出下一步，如果推不出一定是错误的。
第4计：白纸检验：预习后用一张白纸勾画知识点，在这页纸上将这节知识点的所有点列出来，自己画一棵知识点树，每个枝节都是这些知识点的细节，每个细节上列出解题方法，解题方法按照这样的样子列出来：考察知识点角度：步骤安排：第一步：...第二步：...第三步：...第四步:...该解题方法的陷阱是：该类题目考核的意图是：一开始不能适应，习惯养成的本身就需要一定的时间，只要坚持21次，就会有一定的雏形，从“刻意不自然”到“刻意自然”再到“不刻意自然”你就将掌握一个好的方法，提升自己注意力，掌握知识点背后的东西，掌握解题的规范化步骤。
第5计：系统回忆法：中学数学课程具有很强的系统性，每章学完以后，如果可以找个时间，安静地进行一下系统回忆，就可以发现自己对相关知识的掌握程度，同时也有助于将整个章节形成完整认识。
通常在回忆过程中，印象不清楚的部分需要仔细复习。
第6计：利用最佳时间去记定义概念公式：心理学研究证明，早晨起床后半小时及晚上睡觉前半小时由于不受前摄抑制、后摄抑制的影响，记忆效果最好。
【初中数学】中考冲刺月,三十六计“稳”为上
【初中数学】中考冲刺月，三十六计“稳”为上“离中考只剩一个月，成绩不是特别好，现在还有办法吗？当务之急是提分，还是补充营养？”眼下，初三学生正在做最后冲刺，争取多“拔”几分。
看到“凡妈”的求助信息，家长会上热心爸妈七嘴八舌出主意，初三家长更是感同身受，交流各种“拔分”方法。
得到的结论是：最后30天，保健品未必给力，题海也不灵了，督促孩子调整作息时间、保持状态稳定最重要。
冲刺30天，妈妈排出作息表杭州第十中学初三家长“欣妈”，为给女儿助考，从今年3月开始，每天中午送菜到学校，给女儿加强营养。
“关键时刻千万不能生病，我想，药补不如食补，家里的饭菜肯定比学校食堂的对她胃口。
现在小丫头已经吃得面色红润，而且肥了一圈。
呵呵，我算是没有白送。
”欣妈告诉记者。
在欣妈的眼里，女儿是个小马虎，学习很粗心，还不太自觉。
“以前总认为学习是她自己的事，初三上学期成绩掉下去了，和老师沟通后，我才开始注重细节管理，针对她的弱项监督，安排该怎么学。
现在老师说她进步了很多，学习状态比以前积极了。
我有点后悔细节管太迟了，以前我是管大方向的，现在才知道细节更重要，以前她班主任说要参与到孩子学习当中去，我到现在才真正领会。
”最后一个月，欣妈给女儿排了张作息表：早上6：30，起床听英语磁带；早上7：00，吃早饭，然后去学校；下午5：30，放学回家，晚饭后看钱江晚报，了解时事；晚上10：00，做好学校的作业，并主要复习英语或者科学；晚上10：30，默写英语单词、睡觉。
牛爸严令：晚上挤半小时跳绳小牛是杭州启正中学初三学生，刚刚放弃了保送，最后一个月想冲一冲自己心仪的高中。
儿子的勇气，爸爸很支持。
为确保儿子复习效率，牛爸还制定了几项临时规定。
例如早上6点40分起来，听半小时英语磁带。
“都说早上是记忆力黄金期，但小牛7：20就要到校，还要洗漱吃早饭，来不及背单词，不如听磁带，可以和洗漱吃早饭同时进行。
单词可以在学校早自修背。
”牛爸说。
另一条特别规定，18点10分要回到家。
数学 初一暑假 “计算36计”
36 VPS数学初一暑假计算36计初一计算能力的重要性上一期课堂中看到的还是稚气未脱的你们，而今天，在咱们的暑假课堂上，仿佛大家突然长大了，的确，都是准初一的宝贝啦。
我们也需要把自己的重心转到初中来了。
进入初中学习肯定是最重要的内容了，数学更是三大主科之一，在初中的三年中，数学各方面能力中到底哪个能力最重要呢，根据以往的经验来看，初中的理科学习有一个非常重要的能力就是计算。
计算缘何成为初中理科学习最重要的能力呢？接下来我们就一起来看一下，为什么初中的计算如此重要！！！1.计算相关题目在中考中的比重。
首先是计算相关题目在中考中所占的比重非常大。
单纯的计算题目在各地中考中就能占总分的20%；中考中的涉及到有计算的题目约60%左右。
只有考查定义的题目．作图题．几何压轴题中不需要计算，其他题目都需要计算，而且最后几道题目往往是复杂的计算，所以通过中考来看计算，计算在分值上体现很重要。
2.计算能力的影响。
计算能力是学习理科科目的基础，除数学外，物理．化学这两门学科中也有非常复杂的计算考查，计算能力有欠缺，肯定会影响理化的学习！3.计算速度的影响。
如果计算太慢，会影响整体的答题速度，以前在初三的时候经常有孩子问我，老师做不完题目，我该怎么办，这种情况大多数是因为计算能力不过关，从而每道题都要耽误时间，进而耽误自己的答题速度，导致做不完，而如果数学没做完，其他科目在做题的时候心理上就会受到很大的影响，因而使得成绩不理想！数学初一暑假计算36计如何搞定初一计算刚进入初中知识的学习，随着有理数一些概念（负数．绝对值．乘方）的引入，很多同学在计算这块出现了问题，这个问题也一直困扰着很多学生和家长。
当卷子发下来你是不是发现很多题目自己都是会做的，结果却算错了，那到底是什么原因呢？很多同学会说：“没看清”，“粗心了”，“哎~，符号搞错了”…难道真能用“马虎”就能把这个问题说清楚了吗？答案是否定的，我们要知道什么才是导致“马虎”的真正原因：练得少，不按步骤做题。
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第15计：适度动机。动机过强和动机过弱，都不利于考试；适度动机，效率最高。期望值过高，容易导致考生紧张、忧郁、恐惧等情绪，进而造成考试的失败。
第16计：适度运动。希望同学们能根据自己的情况，适度运动运动，可以缓解紧张的神经，提高学习效率，保证考试时有一个健康的身体和清醒的头脑。
第17计：适度交流。同龄人一起迎考，大家的情况都差不多，适度交流、沟通感情十分重要。同学之情对增强信心、减缓压力有很大的帮助。当然，考前时间宝贵，切不可“长谈”。除了和同学交流外，还可与家长、亲友交流。
第28计：总览全卷，区别难易。打开试卷，看看哪些是基础题，哪些是中档题，哪些是难题或压轴题，按先易后难的原则，确定解题顺序，逐题解答。力争做到“巧做低档题，全部做对；稳做中档题，一分不浪费；尽力冲击高档题，做错也无悔。”
第29计：认真审题，灵活答题。审题要做到：一不漏掉题，二不看错题，三要审准题，四要看全题目的条件和结论。
第3计：调好心态。心态决定成败，高考不仅是知识和智力的竞争，更是心理的竞争。考生应努力改变最近的不良心态。
第4计：把握自我。复习时紧跟老师踏踏实实地复习没有错，但也要有自我意识：“我”如何适应老师的要求，如何根据自己的特点搞好最后阶段的复习，如何在“合奏”的前提下灵活处理“独奏”。
第18计：充分准备。认真做好考前的复习和准备工作，注重知识的掌握和技能的训练，做到胸有成竹，心中不慌。
第19计：处变不惊。训练自己在面对变化的问题或困难时，能冷静地分析、判断，采取科学的应对措施。试题的难易，要有“人难我难，我不怕难；人易我易，我不大意”的心态。
第20计：防止过劳。考试临近，切忌搞疲劳战术，过度疲劳容易引起心理上的不适，不利于考试时发挥出应有的水平。
名师献计：学好初中数学的“三十六计”来源：网络 文章作者：匿名 2009-10-22 10:28:39
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第1计：挖掘潜能。不管你现在情况怎样，你都要相信自己还有巨大的潜能。从现在到高考进步50名的大有人在，进步80名的也有可能。.
第2计：坚定意志。高考其实是看谁坚持到最后，谁就笑到最后。考生应全力以赴知难而进，战胜惰性提升意志.
第11计：激活思维。可以找一些题，只想思路：第一步做什么，第二步做什么……（不必具体详解）再对照解答，检验自己的思路。这样做，有利于在短时间里获得更多的解题方向。
第12计：勤于总结。应当把每一次练习当成巩固知识、训练技能的一次机会。题是做不完的，关键在于打好基础，勤于总结，寻找规律，一通百通。◆预防考试焦虑
第26计：科学补氧。通过口服补氧类保健品或到氧吧补氧，使脑细胞和机体得到充足的氧供应。当然，这要在医生的指导下进行。
第27计：填写信息，稳定情绪。试卷一发下来，立即忙于答题是不科学的，应先填写信息，如在答题卡上涂清“试卷类型”，写清姓名和准考证号码等，这样做是考试的要求，更是一剂稳定情绪的“良药”。
第8计：讲求规范。建议考生找几道有评分标准的考题，认真做完，再对照评分标准，看看答题是否严密、规范、恰到好处。
第9计：回到基础。一般说来，考前不宜攻难题，既没有这么多的时间，也没必要。要回到基础，把基础打扎实，在考试时才能做到“基础分一分不丢”。
第10计：限时训练。可以找一组题（比如10道选择题），争取限定一个时间完成；也可以找1道大题，限时完成。这主要是创设一种考试情境，检验自己在紧张状态下的思维水平。
第33计：抓住“题眼”，构建“桥梁”。一般难题都有个关键点（称之为“题眼”），抓住了“题眼”，问题就易于解决。此外，还要利用相关的知识、规律、信息进行多方联系，构建“桥梁”，找出问题的内在联系，从而构思解题方案，准确、快捷地解决问题。
第34计：遇到易题，格外小心。易题，容易使人轻视，不注意题目的细微变化，不费思索顺手写来，可能铸成大错。所以有“容易题，容易错”的说法。要知道，题目对你容易，对别人也容易。
第23计：转移焦点。考前焦点都集中在高考上，可以适当转移到与高考无关的事情上。如，欣赏音乐、散步、与人交谈，也可以做深呼吸或大声唱歌、朗诵等。
第24计：系统脱敏。运用这种心理训练，直到在最令自己紧张的情景中也能镇定自若。
第25计：做操练习。做广播操或其他简易运动，让肌肉放松，可以缓解身心疲劳，抑制紧张焦虑程度。
第13计：适度平静。平时个性张扬的学生，在张扬的前提下，可稍微平静一些；平时内向的学生，在平静中可略张扬一些。一定压力下的平静是高考超水平发挥的必要条件。
第14计：适度自信。大考临近，我常对考生说：“这里必须拒绝一切犹豫，这里任何怯弱都无济于事。”自信，是成功的起点；失去信心，必然导致失败。
第35计：思路暂塞，学会变通。考试来自，熟知的知识、方法突然想不起来，这时要学会变通。一是换个角度或思路，从与题目有关的项目开始回想；二是利用本卷中其他题目中的信息；三是暂时放弃，换另一道题做，等情绪稳定、再回过头来做，可能有意外的收获。
第36计：注意检查，减少失误。争取有一定的时间检查答卷，主要是检查题目是否遗漏，是否弄错了题意，是否抄错了什么，尽量减少失误。对一些“疑似”答案，尤其要注意检查——检查思路，检查步骤，检查结果，检查试题要求等.
第21计：矫正担忧。考生把担忧逐一列出，会发现这些担忧往往具有夸大、缩小和不现实等错误，如认为自己不行、过分夸大缺点、看不到优点等。要学会正确辨析，对担忧做出合理、积极的分析，以良好的心态参加考试。
第22计：自我暗示。利用暗示语句的强化作用，进行心理调节。暗示语要具体、简短和肯定。比如“我早就准备好了，就等这一天了！”这样可以让大脑形成一个兴奋中心，抑制紧张情绪。
第30计：过程清晰，稳中求快。一要书写清晰，速度略快；二要一次成功；三要提高答题速度；四要科学使用草稿纸；五要力求准确，防止欲速不达。
第31计：心理状态，注意调节。考试中，要克服满不在乎的自负心理，要抛弃“在此一举”的负重心理，要克服畏首畏尾的胆怯心理。
第32计：尽量多做，每分必争。高考评分，理科是按步骤、按知识点给分；文科是按要点给分。考生在答题时，要会多少答多少，哪怕是一条辅助线，一个符号，一小段文字，都可写上，没有把握的也要敢于写，千万不要将不能完全做出或答案算不出的题放弃不做。
第5计：战胜自我。面对迎考复习的艰辛，面对解题的繁难，面对竞争的压力，面对多变的情绪，只有“战胜自我”，才能海阔天空。
第6计：每日做题。每日做些题目，让自己保持对问题的敏感，形成模式识别能力。当然，做题的数量不能多，难度不宜大。
第7计：一次成功。面对一道题（最好选择陌生的中档题）用心去做，看看能否一下子就理出思绪，一做就成功。一份试卷，若不能一次成功地解决几道题，就往往会因考试时间不够而造成“隐性失分”。