线面垂直、面面垂直知识点总结、经典例题及解析、高考题练习及答案(第4次补课)

直线、平面垂直的判定与性质

二、平面与平面垂直的判定与性质

1、定义：一般地，两个平面相交，如果它们所成的二面角是直二面角，就说这两个平面垂直

【知识梳理】 一、直线与平面垂直的判定与性质 1、直线与平面垂直 (1)定义：如果直线|与平面a 内的任意一条直线都垂直，我们就说直线 叫做

平面a 的垂线，平面 a 叫做直线I 的垂面。如图，直线与平面垂直时

I 与平面a 互相垂直，记作|丄a 直线| ，它

们唯一公共点 (2)判定定理：一条直线与一个平面内的两条相交直线都垂直，则该直线与此平面垂直。 P 叫做垂足。 结论：如果两条平行直线中的一条垂直于一个平面，那么另一条也垂直于这个平面，记作 a//b (3)性质定理：垂直于同一个平面的两条直线平行。即 a ,b a / /b 由定义知：直线垂直于平面内的任意直线。 2、直线与平面所成的角 平面的一条斜线和它在平面上的射影所成的锐角或者直角叫做这条直线和这个平面所成的

角。 一条直线垂直于 平面，该直线与平面所成的角是直角；一条直线和平面平行，或在平面内，则此直线与平面所成的角是 00的角。 3、

二面角的平面角 从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角, 这条直线叫做二面角的棱， 这两个半平面叫做二面角 的面。如果记棱为I ，那么两个面分别为 的二面角记作 I •在二面角的棱上任取一点，以该点为垂足, 在两个半平面内分别作垂直于棱的射线， 则两射线所构成的角叫做叫做二面角的平面角。 其作用是衡量二面角的大 小；范围：00 1800

.

2、判定：一个平面过另一个平面的垂线， 则这两个平面垂直。简述为 线面垂直,

则面面垂直 I

”，记作

|

3、性质：两个平面垂直，则一个平面内垂直于交线的直线与另一个平面垂直，记作

I I

m

m m I

【经典例题】

【例1】(2012浙江文) 设I 是直线,a,是两个不同的平面

A .若 I // a,I //

B 则 a//

3

C .若a 丄3I 丄a 则I 丄3

B .若I // a,I 丄3则a 丄3 D .若a 丄3 , I // a,则I 丄

【解

析】利用排除法可得选项

B 是正确的，••• l // a,l 丄B 则a 丄B 如选项A: l // a,l // 3时,a 丄B 或a// B 选项C:

若

a 丄B |丄a,l // 3或l ；选项D ：若若a 丄3 , l 丄a,l / 3或I 丄3 • 【例2】（2012四川文）下列命题正确的是

（

）

A •若两条直线和同一个平面所成的角相等 ，则这两条直线平行

B •若一个平面内有三个点到另一个平面的距离相等 ，则这两个平面平行

C .若一条直线平行于两个相交平面，则这条直线与这两个平面的交线平行

D .若两个平面都垂直于第三个平面，则这两个平面平行

【答案】C

【解析】若两条直线和同一平面所成角相等

，这两条直线可能平行，也可能为异面直线，也可能相交，所以A 错;一个平

面不在同一条直线的三点到另一个平面的距离相等 ，则这两个平面平行，故B 错;若两个平面垂直同一个平面两平面 可以平行，也可以垂直；故D 错;故选项C 正确•

【例3】（2012山东）已知直线m 、n 及平面a,其中m // n ,那么在平面 a 内到两条直线 m 、n 距离相等的点的集 合可能是：①一条直线；②一个平面；③一个点；④空集•其中正确的是 （ ）

A .①②③

B .①④

C .①②④

D .②④

【答案】C

【解析】如图1,当直线m 或直线n 在平面a 内时有可能没有符合题意的点；如图 2，直线m 、n 到已知平面a 的 距离相等且

所在平面与已知平面

a 垂直，则已知平面 a 为符合题意的点；如图 3，直线m 、n 所在平面与已知平面

a 平行，则符合题意的点为一条直线，从而选

C.

【例5】（2012大纲理）三棱柱ABC A 1B 1C 1中，底面边长和侧棱长都相等，BAA

图I 图2 图3

【例4】（2012四川理）如图，在正方体ABCD A^B 1C 1D 1中，M 、N 分别是CD 、CC ,的

中点，则异面直线 A 1M 与DN 所成的角的大小是 _______________ . 【答案】90o

【解析】方法一：连接D 1M,易得DN 丄A 1D 1 ,DN 丄D 1M,

所以，DN 丄平面A 1MD 1,

又A 1M 平面A 1MD 1,所以，DN 丄A 1D 1,故夹角为90o

方法二：以D 为原点，分别以DA, DC, DD 1为x, y, z 轴,建立空间直角坐标系 D — xyz.设正方体边长为 2,则

D （0,0,0）,N （0,2,1）,M （0,1,0）A 1（2,0,2）

故,DN (0,2,1) ,MA 1 (2，1,2)

所以,cos< DNJMA 1

DN ?MA |DN ||MA 1 |

=0,故DN 丄D 1M,所以夹角为 90o

CAA 1 60，则异面直线AB 1

与BC1所成角的余弦值为 ______________ .

【答案】亠

6

6

uuLT uuu unr ujun LOT unr uuu

【解析】设该三棱柱的边长为1,依题意有AB 1 AB AA ，BG AC AA 1 AB ,

uuur 2 uuu uur 2

uuu 2 uuu uuir UJU 2 则 | AR |2 (AB AA ,)2

AB 2AB AA AA 1

【例6】(2011福建)如图，正方体 ABCD — A I B I C I D I 中，AB = 2,点E 为AD 的中点，点F 在CD 上，若EF //平

面ABQ ,则线段EF 的长度等于 ___________

2 2cos60

uujj ,

|BC 1 | , uuj ujir -(AC AR

AB)2

UUIT 2 UJIT 2 JUJ 2 AB AC AA uiur uujj uuu UULT

U UL T unr uuj 而AB 1 BC 1 (AB AA) (AC

AA - AB)

uuu UULT uuu uuur uuu UUU UULT

UJir UUL

T AB AC AB AA 1 AB AB AA - AC

AA

- 1 1

1 1

-1 -1 -1 2 2

2

2

UUJ UUL

cos

UUJT uiur

AB 1, BC-i

AB 1 UULT' BC ,

uUJJ 1 ----- 6

IAB 1IIBC 1 | .2 3

6