泛函分析第3章连续线性算子与连续线性泛函

第3章 连续线性算子与连续线性泛函本章将介绍赋范线性空间上，特别是Banach 空间上的有界线性算子与有界线性泛函的基本理论，涉及到泛函分析的三大基本定理，即共鸣定理，逆算子定理及Hahn-Banach 定理。

他们是泛函分析早期最光辉的成果，有广泛的实际背景，尤其在各种物理系统研究中应用十分广泛。

3.1 连续线性算子与有界线性算子在线性代数中，我们曾遇到过把一个n 维向量空间n E 映射到另一个m 维向量空间m E 的运算，就是借助于m 行n 列的矩阵111212122212n n m m mn a a a a a a A a a a ⎛⎫ ⎪ ⎪= ⎪⎪⎝⎭对n E 中的向量起作用来达到的。

同样，在数学分析中，我们也遇到过一个函数变成另一个函数或者一个数的运算，即微分和积分的运算等。

把上述的所有运算抽象化后，我们就得到一般赋范线性空间中的算子概念。

撇开各类算子的具体属性，我们可以将它们分成两类：一类是线性算子；一类是非线性算子。

本章介绍有界线性算子的基本知识，非线性算子的有关知识留在第5章介绍。

[定义3.1] 由赋范线性空间X 中的某子集D 到赋范线性空间Y 中的映射T 称为算子，D 称为算子T 的定义域，记为()D T ，为称像集(){},y y Tx x D T =∈为算子的值域，记作()T D 或TD 。

若算子T 满足： （1）()()(),T x y Tx Ty x y D T +=+∀∈ （2）()()(),T x TxF x D T ααα=∀∈∈称T 为线性算子。

对线性算子，我们自然要求()T D 是X 的子空间。

特别地，如果T 是由X 到实数（复数）域F 的映射时，那么称算子T 为泛函。

例3.1 设X 是赋范线性空间，α是一给定的数，映射:T x x α→是X 上的线性算子，称为相似算子；当1α=时，称T 为单位算子或者恒等算子，记作I 。

例3.2 [],x C a b ∀∈，定义()()t aTx t x d ττ=⎰由积分的线性知，T 是[],C a b 到[],C a b 空间中的线性算子。

若令()()[](),ba f x x d x C ab ττ=∀∈⎰则f 是[],C a b 上的线性泛函。

[定义3.2] 设,X Y 是两个赋范线性空间，:T X X →是线性算子，称T 在x 点连续的，是指若{},n n x X x x ∈→，则()n Tx Tx n →→∞；若T 在X 上每一点都连续，则称T 在X 上连续；称T 是有界的，是指T 将X 中的有界集映成Y 中有界集。

[定理3.1] 设,X Y 是赋范线性空间，T 是X 的子空间D 到Y 中的线性算子，若T 在某一点()0x D T ∈ 连续，则T 在()D T 上连续。

证明：对()x D T ∀∈，设{}()n x D T ⊂，且()n x x n →→∞，于是()00n x x x x n -+→→∞，由假设T 在0x 点连续，所以当n →∞时，有()000n n T x x x Tx Tx Tx Tx -+=-+→因此，n Tx Tx →，即T 在x 点连续。

由x 的任意性可知，T 在()D T 上连续。

定理3.1说明线性算子若在一点连续，可推出其在定义的空间上连续。

特别地，线性算子的连续性可由零元的连续性来刻画，即线性算子T 连续等价于若n x θ→（X 中零元），则n Tx θ→（Y 中零元）。

例3.3 若T 是n 维赋范线性空间X 到赋范线性空间Y 中的线性算子，则T 在X 上连续。

证明：在X 中取一组基{}12,,,n e e e ，设()()11,2,3,nm m j j j x x e Xm ==∈=∑且()m x m θ→→∞，即()0m x m →→∞，则()()()12210nm j j x m =⎡⎤→→∞⎢⎥⎣⎦∑从而()()()01,2,3,m j x j n m →=→∞。

于是()()()111max 0nnm m m jj jjj nj j Tx xTe x Tem ≤≤===≤→→∞∑∑因此，()m Tx m θ→→∞，即T 在x θ=处连续，进而T 在X 上每点连续。

[定理3.2] 设,X Y 是赋范线性空间，T 是X 的子空间D 到Y 中的线性映射，则T 有界的充分必要条件是：存在常数0M >，使不等式成立，即()()Tx M xx D T ≤∈证明：必要性。

因T 有界，所以T 将D 中的闭单位球(){}11B x x θ=≤映成Y 中的有界集，即像集()1TB θ是Y 中的有界集。

记(){}1sup :M Tx x B θ=∈，此时，对每个()()1,,xx D T x B xθθ∈≠∈，由M 的定义有x T M x ⎛⎫≤ ⎪ ⎪⎝⎭……………………（3.1） 即Tx M x ≤，而当x θ=时，不等式（3.1）变成等式。

故()x D T ∀∈有Tx M x ≤充分性。

设A 是()D T 的任一有界集，则存在常数1M 使()1x M x A ≤∀∈。

由()()Tx M x x D T ≤∈知()1Ty M y MM y A ≤≤∈ 故TA 有界。

证毕。

[定理3.3] 设,X Y 是两个赋范线性空间，T 是从X 的子空间D 到Y 中的线性映射，则T 是连续的充要条件是T 是有界的。

证明：充分性。

设T 有界，则存在常数0M >，使对一切(),x D T Tx M x ∈≤，从而对(){}(),n n x x n x D T ∂→→∞⊂有()()0n n n Tx Tx T x x M x x n -=-≤-→→∞即()n Tx Tx n →→∞。

所以，T 是连续的。

必要性。

若T 连续但T 是无界的，那么对每个n N ∈，必存在()n x D T ∈，使n n Tx n x >，令n n n x y n x =，那么()10n y n n=→→∞，即n y θ→，由T 的连续性，()n Ty n θ→→∞，但是另一方面，1n nn nnn x Tx Ty n x n x =>=，引出矛盾，故T 有界。

定理3.3说明，对于线性算子，连续性与有界性是两个等价概念，今后用(),L X Y 表示X 到Y 的有界线性算子组成的集合。

例3.1 ，例3.2的线性算子均易证明是有界线性算子，但无界线性算子是存在的。

例3.4 考察定义在区间[]0,1上的连续可微函数全体，记作[]10,1C ，其中范数定义为()01max t x x t ≤≤=，不难证明，微分算子ddt是把[]10,1C 映入[]0,1C 中的线性算子。

取函数列{}sin n t π，显然，sin 1n t π=，但()sin cos dn t n n t n n dtππππ==→∞→∞ 因此，微分算子是无界的。

[定义3.3] 设,X Y 是赋范线性空间，T 是从X 到Y 的有界线性算子，对一切x X ∈，满足Tx M x ≤的正数M 的下确界，称为算子T 的范数，记作T 。

由定义可知，对一切x X ∈，都有Tx T x ≤。

[定理3.4] 设,X Y 是赋范线性空间，T 是从X 到Y 的有界线性算子，则有11sup sup sup x Xx Xx Xx x x TxT Tx Tx x θ∈∈∈=≤≠===证明：由Tx T x ≤，易得1sup x Xx T Tx ∈==……………………………………（3.2）根据T 的定义，对于任给的0ε>，存在非零0x X ∈，使()00Tx T x ε≥-令0x x x '=，则有()0Tx T ε'≥-，因此 ()11sup sup x Xx Xx x T Tx Tx ε∈∈=≤-≤≤令0ε→得 11sup sup x Xx Xx x T Tx Tx ∈∈=≤≤≤……………………（3.3）由式（3.2）和式（3.3），便得11sup sup x Xx Xx x T Tx Tx ∈∈=≤==而supx Xx Tx T xθ∈≠=，由定义易知。

例3.5 在[]1,L a b 上定义算子T 如下()()()[]()1,,xaTf x f t dt f L a b =∀∈⎰（1）把T 视为[]1,L a b 到[],C a b 的算子，求T ； （2）把T 视为[]1,L a b 到[]1,L a b 的算子，求T 。

解：算子T 的线性是显然的，下面分别求T 。

（1）设T ：[][]1,,L a b C a b →，任取[]1,f L a b ∈，由于[],Tf C a b ∈，从而()()()max maxxaa x ba xb Tf Tf x f t dt ≤≤≤≤==⎰()()max xbaaa x bf t dt f t dt f ≤≤≤≤=⎰⎰故T 是有界的，并且1T ≤。

另一方面，取()[]01,,f t t a b b a=∈-，并且 ()0011b baaf f t dt dt b a===-⎰⎰于是0111sup max 1xb aa a x bf T Tf Tf dt dt b a b a≤≤==≥===--⎰⎰故1T =。

（2）设T ：[][]11,,L a b L a b →，任取[]1,f L a b ∈，由于[]1,Tf L a b ∈，从而()()()bxbxaaaaTf f t dt dx f t dt dx =≤⎰⎰⎰⎰()()()bbaaf t dt dx b a f ≤=-⎰⎰因此，T 是有界的，并且T b a ≤-；另一方面，对任何使得1a b n+<的自然数n ，作函数()1,,10,,n n x a a n f x x a b n ⎧⎡⎤∈+⎪⎢⎥⎪⎣⎦=⎨⎛⎤⎪∈+ ⎥⎪⎝⎦⎩显然[],n f L a b ∈,且()1b n n af f t dt ==⎰，而()bxn n aaTf f t dt dx =⎰⎰()11110a b a x nnaa aa nnn x a dx ndt dt dx ++++=-++⎰⎰⎰⎰11122b a b a n n n=+--=-- 所以，又有sup n T Tf b a ≥=-因此，T b a =-。

此例告诉我们，虽然形式上是一样的算子，但由于视作不同空间的映射，他们的算子范数未必相同。

一般说来，求一个具体算子的范数并不容易，因此，在很多场合，只能对算子的范数作出估计。

例3.6 设(),K s t 在[][],,a b a b ⨯上连续，定义算子T ：[][],,C a b C a b →为()()(),ba Tx s K s t x t dt =⎰则[][](),,,T L C a b C a b ∈，且(){}max,:baT K s t dt a s b ≤≤≤⎰证明：由于()()()max,ba a sb Tx s K s t x t dt ≤≤=⎰()()max ,max b aa s ba s bK s t dt x t ≤≤≤≤≤⎰(){}max,:baK s t dt a s bx =≤≤⎰故结论成立。