数值分析课后习题答案

第一章

题12 给定节点01x =-，11x =，23x =，34x =，试分别对下列函数导出拉格朗日插值余项：

（1） （1） 3

()432f x x x =-+ （2） （2） 4

3

()2f x x x =- 解 （1）(4)

()0f

x =，

由拉格朗日插值余项得(4)0123()

()()()()()()0

4!f f x p x x x x x x x x x ξ-=----=；

（2）(4)

()4!f x =

由拉格朗日插值余项得

01234!

()()()()()()

4!

f x p x x x x x x x x x -=

----(1)(1)(3)(4)x x x x =+---.

题15 证明：对于()f x 以0x ，1x 为节点的一次插值多项式()p x ，插值误差

012

10()()()max ()

8x x x x x f x p x f x ≤≤-''-≤.

证 由拉格朗日插值余项得

01()

()()()()2!f f x p x x x x x ξ''-=

--，其中01x x ξ≤≤，

01

0101max ()()()()()()()()

2!2!x x x f x f f x p x x x x x x x x x ξ≤≤''''-=--≤-- 01210()max ()

8x x x x x f x ≤≤-''≤.

题22 采用下列方法构造满足条件(0)(0)0p p '==，(1)(1)1p p '==的插值多项式

()p x ：

（1） （1） 用待定系数法；

（2） （2） 利用承袭性，先考察插值条件(0)(0)0p p '==，(1)1p =的插值多项式

()p x .

解 （1）有四个插值条件，故设230123()p x a a x a x a x =+++，2

123()23p x a a x a x '=++，

代入得方程组001231123010231

a a a a a a a a a =⎧

⎪+++=⎪⎨

=⎪

⎪++=⎩

解之，得01230

021

a a a a =⎧⎪=⎪⎨

=⎪⎪=-⎩

23()2p x x x ∴=-；

（2）先求满足插值条件(0)(0)0p p '==，(1)1p =的插值多项式()p x ，由0为二重零点，可设2

()p x ax =，代入(1)1p =，得1a =，2

()p x x ∴=；

再求满足插值条件(0)(0)0p p '==，(1)(1)1p p '==的插值多项式()p x ，可设

22()(1)p x x bx x =+-，2()22(1)p x x bx x bx '=+-+ ，代入(1)1p '=，得1b =-，2223()(1)2p x x x x x x ∴=--=-.

题33 设分段多项式

323

2

01()2112x x x S x x bx cx x ⎧+≤≤=⎨++-≤≤⎩是以0,1,2为节点的三次样条函数，试确定系数,b c 的值.

解 由(1)2S =得212b c ++-=，1b c ∴+=；

22

3201()6212x x x S x x bx c x ⎧+<<'=⎨++<<⎩，由(1)5S '=得625b c ++=，21b c ∴+=-；

联立两方程，得2,3b c =-=，

且此时

62

01()12212x x S x x b x +<<⎧''=⎨

+<<⎩，(1)8(1)S S -+''''==， ()S x 是以0,1,2为节点的三次样条函数.

题35 用最小二乘法解下列超定方程组：24113532627x y x y x y x y +=⎧⎪-=⎪⎨

+=⎪⎪+=⎩.

解 记残差的平方和为

2222(,)(2411)(353)(26)(27)f x y x y x y x y x y =+-+--++-++-

令00f x f y ∂⎧=⎪∂⎪⎨∂⎪=∂⎪⎩，得3661020692960x y x y --=⎧⎨

-+-=⎩，解之得83027311391x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪

⎩. 题37

2

y a bx =+

解 拟合曲线中的基函数为0()1x ϕ=，20()x x ϕ=，

其法方程组为0001010

001(,)(,)(,)(,)(,)(,)f a f b ϕϕϕϕϕϕϕϕϕϕ⎛⎫⎛⎫⎛⎫= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭， 其中00(,)5ϕϕ=，0110(,)(,)5327ϕϕϕϕ==，11(,)7277699ϕϕ=，0(,)271.4f ϕ=，

1(,)369321.5f ϕ=，解之得5320.97265472850.05

5696a b ⎧==⎪⎪⎨

⎪==⎪⎩，2

0.97260.05y x ∴=+.

第二章

题3 确定下列求积公式中的待定参数，使其代数精度尽量地高，并指明求积公式所具有的代数精度：

（2） 1

0120

113

()()()()

424f x dx A f A f A f ≈++⎰

（2）从结论“在机械求积公式中，代数精度最高的是插值型的求积公式”出发，

11

000013()()224()11133()()4244x x A l x dx dx --===--⎰⎰， 11

110013()()144()11133()()2424x x A l x dx dx --===---⎰⎰，

11220011()()242()31313()()

4442x x A l x dx dx --===

--⎰⎰，

10211123()()()()343234f x dx f f f ∴≈-+⎰，

当3

()f x x =时，有

左边＝1

1

30

01

()d d 4f x x x x ==

⎰⎰， 右边＝3332111232111231()()()()()()3

432343432344f f f -+=⋅-⋅+⋅=， 左边＝右边， 当4

()f x x =时，有

左边＝1

1

40

01()d d 5f x x x x ==

⎰⎰， 右边＝44421112321112337()()()()()()3

43234343234192f f f -+=⋅-⋅+⋅=， 左边≠右边，所以该求积公式的代数精度为3.

题8