7--多项式函数
单项式和多项式的例子
单项式和多项式的例子在代数学中，单项式和多项式是一种常见的数学表达式形式。
它们在计算和解决各种数学问题时起到重要作用。
本文将通过一些具体的例子来介绍单项式和多项式的定义和应用。
一、单项式的例子单项式是代数学中最简单的表达式形式，它只包含一个项。
一个项由一个系数和一个或多个变量的乘积构成。
下面是一些单项式的例子：1. 3x：这是一个单项式，系数为3，变量为x。
它表示一个数乘以一个变量x的乘积。
2. -2xy：该单项式的系数为-2，变量为x和y的乘积。
它表示一个负数乘以两个变量x和y的乘积。
3. 7a^2b：这是一个单项式，系数为7，变量为a的平方和变量b的乘积。
它表示一个数乘以变量a的平方和变量b的乘积。
二、多项式的例子多项式是由多个单项式相加或相减而成的表达式。
每个单项式被称为多项式的一个项。
下面是一些多项式的例子：1. 4x^2 + 3x - 2：这是一个二次多项式，包含了三个项。
第一项是4x的平方，系数为4；第二项为3x，系数为3；第三项为常数项-2。
2. -5ab + 2a^2 - 7b^2：该多项式包含了三个项。
第一项为-5ab，系数为-5；第二项为2a的平方，系数为2；第三项为-7b的平方，系数为-7。
3. x^3 - 2x^2 + x - 1：这是一个三次多项式，其中包含了四个项。
第一项为x的立方，系数为1；第二项为-2x的平方，系数为-2；第三项为x，系数为1；第四项为常数项-1。
三、单项式和多项式的应用单项式和多项式在数学中有广泛的应用。
它们可以用来表示数学问题、解决方程、进行函数拟合等。
以下是一些应用案例：1. 面积计算：如果一个矩形的长为x，宽为y，那么它的面积可以表示为单项式xy。
2. 高度计算：如果一个物体从地面上升的高度为h，那么它的总高度可以表示为多项式h + c，其中c是物体的初始高度。
3. 函数拟合：通过拟合实验数据，可以使用多项式函数来近似表示数据的变化趋势。
例如，通过使用二次多项式来拟合抛物线形状的散点数据。
c++信奥赛入门级计算多项式的值
c++信奥赛入门级计算多项式的值C++信奥赛入门级计算多项式的值C++作为一种多范式编程语言，广泛应用于各种大型系统的开发中，其高效的性能和灵活的语法结构使其成为众多程序员的首选。
而在计算机科学中，多项式是一种基本且重要的数学概念，用于解决各种问题和应用中。
今天我们就来探讨一下如何使用C++来入门级地计算多项式的值。
1. 简介多项式是由常数和变量的乘积相加而成的表达式，通常用来描述抽象的数学模型或者解决实际的问题。
在C++中，我们可以用数组来表示多项式的系数，然后通过循环计算每一项的值，最终求得多项式的值。
2. 基本概念在C++中，我们可以定义一个数组来存储多项式的系数，如下所示：```int coeff[] = {2, -3, 1, 5}; // 表示多项式 2 - 3x + x^2 + 5x^3```我们可以编写一个函数来计算多项式的值，如下所示：```int calcPolynomial(int coeff[], int n, int x) {int result = 0;for(int i=0; i<n; i++) {result += coeff[i] * pow(x, i);}return result;}```在这个函数中，我们首先定义了一个变量result来存储多项式的值，然后通过循环依次计算每一项的值，并累加到result中，最后返回result即为整个多项式的值。
3. 深入探讨在实际的应用中，我们可能会遇到更加复杂的多项式，包括高次项、多项式求导、多项式积分等。
对于这些情况，我们可以进一步扩展我们的计算多项式的方法，使其更加灵活和高效。
3.1 高次项的处理当多项式存在较高次的项时，我们可以使用更加高效的方法来计算多项式的值，而不是简单地使用循环遍历所有的项。
其中一种方法是使用霍纳法则，将多项式的计算转化为更快的连续乘法和加法操作，以提高计算效率。
3.2 多项式求导除了计算多项式的值外，有时我们还需要对多项式进行求导操作。
高等代数(第1章)
称为系数在数域P中的一元多项式，简称为数域P上 符号x 可以是为未知数， 的一元多项式.
也可以是其它待定事物.
习惯上记为f (x)，g(x)……或f, g……上述形 n 式表达式可写为 i
2012-12-2
f (x)
a
i0
i
x
8
几个概念:
零多项式 ——系数全为0的多项式 多项式相等 —— f (x)=g(x)当且仅当同次项的系 数全相等 （系数为零的项除外） 多项式 f (x)的次数 ——f (x)的最高次项对应的幂 次，记作(f (x)) 或deg (f (x)) .
数域 一元多项式 整除的概念 最大公因式 因式分解定理 重因式 多项式函数 复系数与实系数多项式的因式分解 有理系数多项式
3
2012-12-2
§1
数域
要说的话：对所要讨论的问题，通常要明确所考 虑的数的范围，不同范围内同一问题的回答可能 是不同的。例如，x2+1=0在实数范围与复数范围 内解的情形不同。 常遇到的数的范围：有理数集 、实数集、复数集 共性（代数性质）：加、减、乘、除运算性质 有些数集也有与有理数集 、实数集、复数集相同 的代数性质 为在讨论中将其统一起来，引入一个一般的概 念——数域。
解之得
a
6 5
,b
13 5
,c
6 5
.
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15
例2 设 f (x), g(x)与h(x)为实数域上多项式.证明:如果 f 2(x)= x g2(x)+ x h2(x) 则 f (x)=g(x)=h(x)=0 证：反证. 若f (x)0，则f 2(x) 0.由 若g(x)0，由于
七年级数学公式大全表必背知识点
七年级数学公式大全表必背知识点一、代数1. 一元一次方程- 标准形式：ax + b = c- 解方程公式：x = (c - b) / a2. 一元一次不等式- 解不等式的方法：将不等式化为一元方程，然后解出值3. 一元二次方程- 标准形式：ax^2 + bx + c = 0- 解方程公式：x = (-b ± √(b^2 - 4ac)) / 2a4. 因式分解- 判断一个多项式是否能够因式分解的方法- 先将多项式分解为一次因式的乘积- 再判断每一个一次因式是否能够继续分解5. 公式：- (a + b)^2 = a^2 + 2ab + b^2- (a - b)^2 = a^2 - 2ab + b^2- a^2 - b^2 = (a - b)(a + b)二、几何1. 等腰三角形- 性质：两边相等，两底角相等- 面积公式：S = (底边长×高)/22. 直角三角形- 勾股定理：a^2 + b^2 = c^2- 三角函数公式：sinθ = 对边/斜边，cosθ = 邻边/斜边，tanθ = 对边/邻边3. 圆- 周长公式：C = πd，C = 2πr- 面积公式：S = πr^24. 平行四边形- 性质：对边相等，对角线互相平分- 面积公式：S = 底×高5. 三角形- 海伦公式：S = √[p(p-a)(p-b)(p-c)]，其中p = (a + b + c)/2三、概率1. 事件的概率- 基本概率公式：P(A) = n(A)/n(S)- 互斥事件概率：P(A ∪ B) = P(A) + P(B)2. 条件概率- 条件概率公式：P(B|A) = P(A∩B)/P(A)四、统计1. 平均数- 算术平均数：平均数 = 总和/个数2. 中位数- 将一组数据从小到大排列，中间位置的数字就是中位数3. 众数- 一组数据中出现次数最多的数字- 众数可能有一个，也可能有多个以上便是七年级数学中常见的公式和必备知识点，希望同学们能够根据这些知识进行复习和总结，做到熟练记忆和灵活运用。
非线性模型的线性化方法
（7-19）
6.2072 dLnyt dyt / yt ， 6.2072 dyt / yt
dLnLnxt
1 Lnxt
1 xt
dxt
Lnxt dxt / xt
弹性系数不是常量，是弹性函数 6.2072/ Lnxt。说明人均食品支出对人均收入的 弹性系数是随着城镇人均收入的增加而减小。当城镇人均收入为 1000 元水平
LnQt = Ln + LnLt + LnCt + ut
(7-6)
取 yt = LnQt, 0 = Ln, 1= , 2= , xt1 = LnLt, xt2 = LnCt，可写为，
yt= 0 +1 xt 1 + 2 xt 2 + ut
(7-7)
为线性模型。只要 ut 满足第 5 章给出的假定条件，用 OLS 法估计式（7-7），再 返回到原模型（7-5）。根据新古典增长理论， 若回归参数 1 + 2 = + = 1，则称该模型为规模报酬不变型。 若回归参数1 + 2 = + > 1，则称模型为规模报酬递增型。 若回归参数1 + 2 = + < 1，则称模型为规模报酬递减型。
log(y) c log(x) 这样写的好处是，模型可以直接预测到 y。
7.1.2 指数函数模型
指数函数定义如下： yt aebxt
b>0 和 b<0 两种情形的函数曲线分别见图 7-3 和 7-4。xt 和 yt 呈指数函数关系， 是非线性的。对上式等号两侧同取自然对数，得
Lnyt = Lna + bxt
第 7 章 可线性化的非线性模型
7.1.2 指数函数模型
由式 Lnyt = Lna + bxt，得
多项式函数的基本概念与性质分析
多项式函数的基本概念与性质分析引言：多项式函数是数学中非常重要的一类函数，广泛应用于各个领域。
在本文中，我们将深入研究多项式函数的基本概念与性质，并对其进行详细分析。
一、多项式函数的定义与表示：多项式函数是指由常数项、一次项、二次项等有限次幂次项组成的函数。
一般形式可以表示为f(x) = anxn + an-1xn-1 + ... + a1x + a0，其中an, an-1, ..., a1, a0为函数的系数，n为非负整数，x为自变量。
二、多项式函数的次数：多项式函数的次数指多项式最高次幂的指数。
对于f(x) = anxn + an-1xn-1 + ... + a1x + a0，如果an ≠ 0，则多项式的次数为n。
如果多项式中所有系数都为0，则多项式的次数为0，这样的多项式被称为零多项式。
三、多项式函数的性质：1. 加法性质：多项式函数具有加法封闭性，即两个多项式函数的和仍然是一个多项式函数。
例如，f(x) = 3x² + 2x + 1和g(x) = 4x³ - 2x² + 5x - 1的和为h(x) = 4x³ + x² + 7x。
2. 乘法性质：多项式函数具有乘法封闭性，即两个多项式函数的乘积仍然是一个多项式函数。
例如，f(x) = 3x² + 2x + 1和g(x) = 4x³ - 2x² + 5x - 1的乘积为h(x) = 12x⁵ - 2x⁴ +21x³ + 5x² - 4x - 1。
3. 零点性质：多项式函数的零点是使得函数值为0的自变量的值。
对于高次多项式函数，其零点可能有多个。
例如，f(x) = x³ - 4x² + 4x的零点为x = 0、x = 2和x = 2。
4. 交换律与结合律：多项式函数满足加法与乘法的交换律和结合律。
即两个多项式函数的加法和乘法操作满足交换律，以及多个多项式函数的加法和乘法操作满足结合律。
七年级上册多项式知识点
七年级上册多项式知识点多项式是初中数学中的一块重要内容，学好多项式对于学习高中数学和未来的学科选择有着非常重要的作用。
本文主要介绍七年级上册多项式知识点，包括多项式的定义、分类、加减乘除等基础操作，以及一些常见应用。
一、多项式的定义多项式是由若干个单项式相加或相减得到的式子，其中每个单项式都是由常数和变量的乘积组成。
例如，$2x^3+4x^2-3x+5$ 就是一个由四个单项式相加得到的多项式。
其中，2、4、-3和5都是常数，$x^3$、$x^2$、$x$都是变量的幂次，且幂次必须是非负整数。
二、多项式的分类根据多项式的项数、变量的个数以及各项中变量的幂次大小，可以将多项式分为不同的类型。
常见的多项式类型包括：1. 一元多项式：只含有一个变量的多项式。
例如，$2x^3+4x^2-3x+5$ 就是一元多项式。
2. 多元多项式：含有两个或两个以上变量的多项式。
例如，$x^2y^3+2xy-3y^2$ 就是多元多项式。
3. 齐次多项式：所有项中包含的变量的幂次相同的多项式。
例如，$x^4+3x^3y+2x^2y^2$ 就是齐次多项式。
4. 非齐次多项式：至少存在一项中包含的变量的幂次不同于其他项的多项式。
例如，$x^4+3x^3y-2xy^3+5$ 就是非齐次多项式。
三、多项式的基本运算1. 加法：将同类项相加，即将具有相同变量幂次的项合并。
例如，$2x^3+4x^2-3x+5$ 和 $3x^3+2x^2+6x-7$ 相加得到$5x^3+6x^2+3x-2$。
2. 减法：同理，将同类项相减即可。
例如，$2x^3+4x^2-3x+5$ 减去$3x^3+2x^2+6x-7$ 得到 $-x^3+2x^2-9x+12$。
3. 乘法：将每一个单项式乘以另一个多项式中的每一个单项式，然后将所得的结果相加，即可得到积。
例如，$(2x+3)(x-4)$ 等于$2x^2-5x-12$。
4. 除法：多项式除以另一个多项式，相当于将被除数每一项的系数与除数第一项的系数相除，然后用商乘以除数，再减去被除数。
多项式函数的性质与计算
多项式函数的性质与计算多项式函数是高中数学中的一个重要概念，它在数学和实际问题中都得到广泛应用。
本文将介绍多项式函数的性质以及如何进行计算。
一、多项式函数的定义与性质多项式函数是指由常数和变量的幂次和乘积所构成的函数。
通常用P(x)表示，其中P代表多项式函数，x代表自变量。
多项式函数的一般形式可以表示为：P(x) = anxn + an-1xn-1 + ... + a1x + a0其中an、an-1、...、a1、a0为常数，n为非负整数，称为多项式的次数。
多项式函数的次数越高，其图象通常会更为复杂。
多项式函数具有以下几个重要的性质：1. 多项式函数的次数决定了其图象的形状。
当n为奇数时，函数图象呈现出一个左右对称的形状；当n为偶数时，函数图象呈现出一个关于y轴对称的形状。
2. 多项式函数的最高次项系数an决定了函数图象的开口方向。
当an为正数时，函数图象开口向上；当an为负数时，函数图象开口向下。
3. 多项式函数的零点是指使函数取值为0的自变量取值。
多项式函数的零点个数不会超过其次数n。
二、多项式函数的计算计算多项式函数涉及到求函数值、求零点和求导等操作。
下面将分别介绍这些计算方法。
1. 求函数值：给定自变量x的值，可以通过将x代入多项式函数的表达式中，计算得到函数的值P(x)。
2. 求零点：求零点是指找到满足P(x) = 0的自变量取值。
对于次数较低的多项式函数，可以通过因式分解的方法求得零点。
对于次数较高的多项式函数，通常需要使用数值方法（如二分法、牛顿迭代法等）进行求解。
3. 求导：求导是指计算多项式函数的导函数。
对于n次多项式函数P(x)，其导函数P'(x)的次数为n-1，且系数与原多项式相应系数的乘积满足关系an' = nan，其中an'为导函数的最高次项系数，an为原多项式的最高次项系数。
求导的过程中，根据多项式函数的求导规则可得，各项的幂次减一，并与相应的系数相乘。
公式及其适用条件总结
公式及其适用条件总结在数学中，公式是一种用来描述数学关系的表达式。
它可以简化问题的解决过程，提供了计算和推导的标准方式。
不同的公式适用于不同的情况和问题，在此将总结一些常见的数学公式及其适用条件。
1. 一次方程公式：ax + b = 0。
适用于形如ax + b = 0的线性方程，其中a和b为已知常数，x为未知数。
2. 二次方程公式：ax² + bx + c = 0。
适用于形如ax² + bx + c = 0的二次方程，其中a、b和c为已知常数，x为未知数。
3.三角函数公式：- 正弦函数公式：sin(a ± b) = sin(a)cos(b) ± cos(a)sin(b)。
适用于求解三角函数的和差角。
- 余弦函数公式：cos(a ± b) = cos(a)cos(b) ∓ sin(a)sin(b)。
适用于求解三角函数的和差角。
- 正切函数公式：tan(a ± b) = (tan(a) ±tan(b))/(1∓tan(a)tan(b))。
适用于求解三角函数的和差角。
4. 平方差公式：(a ± b)² = a² ± 2ab + b²。
适用于求解两数之和（或差）的平方。
5.定积分公式：- 基本积分公式：∫xⁿ dx = (xⁿ⁺¹)/(n⁺¹) + C，其中C为常数。
适用于求解多项式函数的不定积分。
- 伽莫克斯公式：∫eˣ dx = eˣ + C，其中C为常数。
适用于求解指数函数的不定积分。
- 牛顿－莱布尼茨公式：∫(f(x) - g(x)) dx = ∫f(x) dx - ∫g(x) dx。
适用于求解函数变换导数与积分关系。
6. 连续复利计算公式：复利复位公式 A = P(1 + r/n)^(nt)，其中A为最终金额，P为本金，r为年利率，n为复利次数，t为年数。
大一高等数学7章知识点
大一高等数学7章知识点在大一的高等数学课程中，第7章是一个重要的章节，涵盖了一些关键的数学知识点。
本文将对这些知识点进行详细介绍，并提供一些例子来帮助理解。
1. 复数与复平面复数是由实部和虚部组成的数，可以用复平面来表示。
复数的运算包括加法、减法、乘法和除法。
其中，虚数单位i定义为i²= -1。
在复平面上，实轴表示实部，虚轴表示虚部。
2. 常见的复数形式复数可以表达为代数形式、三角形式和指数形式。
代数形式为a + bi，其中a为实部，b为虚部。
三角形式为模长和辐角的形式，a + bi = r(cosθ + isinθ)，其中r为模长，θ为辐角。
指数形式为a + bi = re^(iθ)。
3. 复数的共轭和模长复数的共轭是保持实部不变但虚部取负的复数，例如，复数z的共轭为z*。
复数的模长表示复数到原点的距离，可以用勾股定理求得：|z| = √(a² + b²)。
4. 复数的乘除运算复数的乘法等同于将模长相乘，辐角相加。
复数的除法可以通过乘以倒数的方式实现，即两个复数相乘再除以除数的模长的平方。
5. 复数的指数形式及欧拉公式欧拉公式表示了复数的指数形式和三角形式之间的关系：e^(iθ) = cosθ + isinθ。
这个公式是数学中的一个重要等式，可用于求解复数的乘方和开方等运算。
6. 多项式函数多项式函数由常数项、一次项、二次项等有限次幂和系数的乘积所组成。
多项式函数的次数由最高次幂的指数确定。
常见的多项式函数包括线性函数、二次函数和三次函数等。
7. 多项式函数的运算与性质多项式函数的加法和减法可以通过对应项的系数相加减来实现。
多项式函数的乘法可以使用分配律和乘法原则进行计算。
值得注意的是，多项式函数的乘法结果的次数等于两个乘数次数之和。
8. 多项式函数的零点和图像多项式函数的零点是函数取值为零的点，可以通过求解方程来找到。
多项式函数的图像通常呈现出曲线的形状，其特点可以通过系数和次数来确定。
多项式的基本定义及性质
多项式的基本定义及性质多项式是数学中重要的概念之一，它被广泛应用于各个领域，如代数学、数论、几何学等。
在高中数学中，学生就已经接触到了多项式的基本概念及其一些性质，本文将从基本定义和性质两个方面来介绍多项式。
一、基本定义多项式是指由若干形如cx^n（c为常数，n为自然数）的项组成的代数式。
例如：5x^3 - 7x^2 + 2x + 1其中每一项的系数和次数分别是：5和3；-7和2；2和1；1和0。
多项式中的项数是有限的，具体的项数是由多项式的系数和次数所决定。
如果对于一个多项式，它的所有系数都为0，则称该多项式为零多项式。
零多项式没有次数，也没有项数。
多项式中的常数项是指次数为0的项，它通常被记为P(0)，表示多项式在x等于0时的取值。
二、性质1. 加法性质多项式加法具有交换律和结合律，也就是说两个多项式相加的结果与它们的顺序无关，并且可以通过改变加括号的方式来改变计算顺序。
例如：(2x^2 + 3x + 1) + (x^2 + 2x - 7) = 3x^2 + 5x - 6(2x^2 + 3x + 1) + (x^2 + 2x - 7) = 2x^2 + (x^2 + 3x) + (2x - 7) + 12. 乘法性质多项式乘法具有交换律和结合律，但不满足除法交换律和结合律。
多项式的乘法也满足分配律，即a(b+c)=ab+ac。
例如：(2x^2 + 3x + 1)(x^2 + 2x - 7) = 2x^4 + 7x^3 - 11x^2 - 17x - 7(2x^2 + 3x + 1)(x + 2) = 2x^3 + 7x^2 + 8x + 23. 解方程多项式的解法通常使用代数方法，例如将多项式分解因式，找到根，并使用求根公式计算出最终的解。
此外，还可以使用逐次逼近法和二分法来逼近解的精确值。
例如：解方程x^2 + 3x - 4 = 0首先，将多项式分解为(x + 4)(x - 1)，然后得到两个根分别为-4和1。
PTA7-1一元多项式的乘法与加法运算（Java实现）
PTA7-1⼀元多项式的乘法与加法运算（Java实现）7-1 ⼀元多项式的乘法与加法运算 (20 分)设计函数分别求两个⼀元多项式的乘积与和。
输⼊格式:输⼊分2⾏，每⾏分别先给出多项式⾮零项的个数，再以指数递降⽅式输⼊⼀个多项式⾮零项系数和指数（绝对值均为不超过1000的整数）。
数字间以空格分隔。
输出格式:输出分2⾏，分别以指数递降⽅式输出乘积多项式以及和多项式⾮零项的系数和指数。
数字间以空格分隔，但结尾不能有多余空格。
零多项式应输出0 0。
输⼊样例:4 3 4 -5 26 1 -2 03 5 20 -74 3 1输出样例:15 24 -25 22 30 21 -10 20 -21 8 35 6 -33 5 14 4 -15 3 18 2 -6 15 20 -4 4 -5 2 9 1 -2 0程序import java.util.*;public class Main {static class Term implements Comparable<Term> {public int a; //系数public int b; //指数public Term(int a, int b) {this.a = a;this.b = b;}public Term() {}@Overridepublic int compareTo(Term newTerm) {return pare(this.b, newTerm.b);}}public static void main(String[] args) {Stack<Term> stack0 = new Stack<>(); //中转栈Stack<Term> stack = new Stack<>(); //式⼦1_乘法栈Stack<Term> stack1 = new Stack<>(); //式⼦2_加法栈Stack<Term> stack2 = new Stack<>(); //式⼦1_乘法栈Queue<Term> queue = new LinkedList<>(); //式⼦2_乘法队列Queue<Term> queue1 = new LinkedList<>(); //乘法结果Queue<Term> queue2 = new LinkedList<>(); //加法结果ArrayList<Term> mul = new ArrayList<>();ArrayList<Term> addTerm = new ArrayList<>();Scanner in = new Scanner(System.in);int n1 = in.nextInt();for (int i = 0; i < n1; i++) {Term term = new Term(in.nextInt(), in.nextInt());stack2.push(term);stack0.push(term);}while (stack0.empty() == false) {stack.push(stack0.pop());}int n2 = in.nextInt();for (int i = 0; i < n2; i++) {Term term = new Term(in.nextInt(), in.nextInt());queue.offer(term); //插⼊队列stack0.push(term);}while (stack0.empty() == false) {stack1.push(stack0.pop());}int flag = n2;/*** 乘法：将式⼦1的各项保存在栈stack2中，将式⼦2的各项保存在队列queue中，让stack中的各项与queue中的各项相乘，结果保存在queue1中，* 同时将queue1中的该项移到队尾，stack2中的该项出栈，知道stack2为空时，乘法运算完成。
第一章 多项式
f (x)cpr1 x pr2 x...... prs x
1
2
s
这种分解式称为标准分解式。
六、重因式
1．定义：设 p x 是不可约多项式，若 pk x| f x , 而
∤ pk1x f x 则称 p(x) 为 f x 的k重因式。P22 定义9
注：f x 有无重因式不因数域的改变而改变，但确 定谁是它的重因式要依数域而定。
7. 多项式次数的结论 设 f (x) 0 g(x) 0 当 f (x) g(x) 0 时，则有
1）( f (x) g(x)) max( f (x)), (g(x))
2）( f (x)g(x)) ( f (x)) (g(x))
P6 上面
三、多项式的整除 （一）三种除法
1.带余除法 设 f (x) g(x) Px g(x) 0 ，那么存在唯一的
（3） f (x) 和 g(x) 的最大公因式为零的充要条件是
f (x) g(x) 0
3. 最大公因式的推广 （1）对于任意多个多项式 f1(x), f2 (x), , f s (x)(s 2)
d(x) 满足条件 1）d (x) | fi (x), i 1, 2, , s
2）如果 (x) | fi (x), i 1, 2, , s ，那么 (x) | d (x)
（4）把多项式 f (x) 表示成x-c的方幂和。即
f (x) c0 c1(x x0 ) L cn (x x0 )n
3. 辗转相除法
P15 例题
用途：1)求最大公因式 d(x)
2)求最大公因式的组合 d(x) u(x) f (x) v(x)g(x)
（二）多项式的整除
1.定义：数域P上的多项式 g(x) 称为整除 f (x)
多项式的次数和项数举例说明
多项式的次数和项数举例说明多项式是一种基本的代数表达式，由常数项和各次幂的项的和构成。
多项式的次数指的是多项式中最高次幂的指数，而多项式的项数指的是多项式中所有非零项的个数。
1. 一次多项式：次数为1，只有一个非零项的多项式。
例如，2x+3。
2. 二次多项式：次数为2，有两个非零项的多项式。
例如，3x²+4x+5。
3. 三次多项式：次数为3，有三个非零项的多项式。
例如，4x³+5x²+6x+7。
4. 四次多项式：次数为4，有四个非零项的多项式。
例如，5x⁴+6x³+7x²+8x+9。
5. 五次多项式：次数为5，有五个非零项的多项式。
例如，6x⁵+7x⁴+8x³+9x²+10x+11。
6. 六次多项式：次数为6，有六个非零项的多项式。
例如，7x⁶+8x⁵+9x⁴+10x³+11x²+12x+13。
7. 七次多项式：次数为7，有七个非零项的多项式。
例如，8x⁷+9x⁶+10x⁵+11x⁴+12x³+13x²+14x+15。
8. 八次多项式：次数为8，有八个非零项的多项式。
例如，9x⁸+10x⁷+11x⁶+12x⁵+13x⁴+14x³+15x²+16x+17。
9. 九次多项式：次数为9，有九个非零项的多项式。
例如，10x⁹+11x⁸+12x⁷+13x⁶+14x⁵+15x⁴+16x³+17x²+18x+19。
10. 十次多项式：次数为10，有十个非零项的多项式。
例如，11x¹⁰+12x⁹+13x⁸+14x⁷+15x⁶+16x⁵+17x⁴+18x³+19x²+20x+21。
在以上的例子中，我们可以看到多项式的次数和项数随着次数的增加而增加。
多项式的次数决定了多项式的最高次幂，而多项式的项数则决定了多项式中各项的个数。
在实际应用中，多项式常常用于描述各种现象和问题，如物理学中的运动方程、经济学中的成本函数等。
多项式7
rk 1 k
(II ).若p为f的k重因式, 则p是f ''的k 2重 因式 p是f '''的k 3重 因式
p是f (k1)的单因式
p不是f (k)的因式
(2).f无重因式
(f ,f ' ) 1 即f与f '互素
例1： 判f x3 3x2 2x 1是否有重因式
(2).当x c是f (x)的k重因式时，
称c是f (x)的k重根.
(3).求根x c的重数的方法：
反复应用带余除法(或综合除法)，
若除以s次x c后，余数 0， 则x c是f(x)的s 1重根
n 次多项式f (x)根的总数？
f
cp1r1
p
rk k
(p i 都是首系数为1的不可约多项式)
(二).实数域R上多项式的因式分解
引理 : 设是实系数多项式f (x)的非实复根，
则共轭复数必是f (x)的根，且重数相同
证 ： 设f (x) anxn an-1xn-1 a1x a0
f ( ) an n a n-1 n-1 a1 a0 0
例2：当a、b满足何条件时，f x4 4ax b有重因式
解：f有重因式 (f , f ' ) 1
q2
4 3a
x2
4b 9a2
x
4b2 27a3
f ' 4x3 4a 4x3 4b x2
f
x4 x4
4ax ax
b
q1
1 4
x
3a
4b x2 4a r1 3ax b
凸轮曲线和7次多项式
凸轮曲线和7次多项式
首先，让我们来谈谈凸轮曲线。
凸轮曲线通常用于机械工程中，特别是在发动机和机械运动系统中。
凸轮是一种机械元件，它的轮
廓通常被设计成特定的曲线，以便在机械运动中传递特定的运动和
力学特性。
凸轮曲线可以是各种形状，包括正弦曲线、三角形曲线等。
这些曲线的设计需要考虑到机械系统的运动学和动力学特性，
以确保系统的正常运行和性能。
接下来，我们来谈谈7次多项式。
7次多项式是一个数学函数，其最高次幂为7。
它的一般形式可以写作f(x) = ax^7 + bx^6 +
cx^5 + dx^4 + ex^3 + fx^2 + gx + h，其中a、b、c、d、e、f、g、h为多项式的系数。
7次多项式在数学建模和函数逼近中有着广
泛的应用，它可以用来拟合一些复杂的数据和曲线，以便进行预测
和分析。
从工程和数学角度来看，凸轮曲线和7次多项式是两种不同的
概念，它们分别在机械工程和数学建模中有着重要的应用。
凸轮曲
线是一种特定形状的机械元件轮廓，用于传递特定的运动和力学特性；而7次多项式是一种数学函数，用于拟合复杂的数据和曲线。
这两种概念在不同领域中发挥着重要的作用，对于工程和数学领域的研究和应用都具有重要意义。
7多项式
7多项式多项式是竞赛数学的重要内容之一。
因为多项式可看成特殊的函数，因而可用函数的方法解决一些多项式问题。
多项式的根是方程的根，因而多项式与方程及复数有密切的关系。
对于整系数多项式，当自变量取整数时，多项式的值也为整数，从而多项式可与数论实行综合。
多项式理论本身有很多重要结论，由此出发我们能研究多项式的性质。
正因为多项式与众多学科密切相关，因而在竞赛数学中受到高度的重视。
1．基本原理多项式的结论常与多项式的系数所在的集合相关，为了叙述方便，我们约定：用[][][][]x C x R x Q x Z ,,,分别表示整系数、有理系数、实系数、复系数的所有一元多项式的集合，用()x f deg 表示多项式()x f 的次数。
在高等代数中，我们得到了多项式的很多重要结论，为了便于应用，现将部分结论列举如下：定理1（带余除法）设()()x g x f ,是多项式，()0≠x g ，则存有唯一多项式()x q 与()x r ，使得()()()()x r x g x q x f += ， 这里()0=x r 或()()x g x r deg deg <。
定理2（整系数环上的带余除法）设()()x g x f ,是整系数多项式，()0≠x g 且()x g 的首项系数为1，则存有唯一的整系数多项式()x g 和()x r ，使得()()()()x r x g x q x f += ， 这里()0=x r 或()()x g x r deg deg <。
定理3（余数定理）多项式()x f 除以()a x -所得的余数为()a f 。
推论1（因式定理）多项式()x f 有因式()a x -的充要条件是a 为()x f 的根。
推论2 ()()a f x f a x --| 。
推论3 若[]x Z x f ∈)(，则()()b f a f b a --|。
定理4 一元)0(>n n 次多项式恰有n 个根，重根按重数计算。
7、8、多项式
z=poly(x) z= 1.0000
8.0000
0.0000
0.0000 -9.9996
3. 求多项式的值
POLYVAL函数用来求代数多项式的值， 调用的命令格式为： Y=polyval(A,x)
6.多项式微分 matlab提供了polyder函数多项式的微分。 命令格式： polyder(p): 求p的微分 polyder(a,b): 求多项式a,b乘积的微分 [p,q]=polyder(a,b): 求多项式a,b商的微分 例：a=[1 2 3 4 5]; poly2str(a,'x') ans = x^4 + 2 x^3 + 3 x^2 + 4 x + 5 b=polyder(a) b=4 6 6 4 poly2str(b,'x') ans =4 x^3 + 6 x^2 + 6 x + 4
这是一个4次多项式，它的五个系数依次为：1,8,0,0,-10。下面先产生多项式系 数的向量A，然后求根：
A=[1 8 0 0 -10] A= 1 8 0 0 -10 x=roots(A)
x= -8.0194 -0.5075 + 0.9736i -0.5075 - 0.9736i 1.0344
2. 多项式的建立 若已知多项式的全部根，则可以用POLY 函数建立起该多项式；也可以用POLY函 数求矩阵的特征多项式。POLY函数是一 个MATLAB程序，调用它的命令格式是： A=poly(x)
若x为具有N个元素的向量，则poly(x)建立以x为其根的多项式，且将该多项式的 系数赋值给向量A。在此种情况下，POLY与ROOTS互为逆函数；若x为N×N的 矩阵x，则poly(x)返回一个向量赋值给A，该向量的元素为矩阵x的特征多项式之 系数：A(1),A(2),…,A(N),A(N+1)。
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§7 多项式函数
教学目的：用函数的观点考察多项式
教学重点：余数定理 重根
课时：2
教学方式：讲练结合
教学内容：
一、多项式函数
在§1—§6我们把数域P 上的一个文字的多项式理解为形式的表
达式n n n n x a x a x a a ++++--1110...。
通常把这种理解称为多项式的形式
观点；有时也把一元多项式理解为定义在数域P 上的一个多项式函数，
即),...,2,1(,,...:10n i P a P x x a x a a x f i n n =∈∈∀++→。
这种理解称为多
项式的函数观点。
对于数域P 上的一元多项式来说可以证明这两种观点
是统一的。
在证明过程中数域P 含有无穷多个元素这一性质是很起作用
的。
1、定义：
0111)( a x a x a x a x f n n n n ++++=-- 设
是][x P 中的多项式，α是P 中的数，在)1(中用α代替x 所得的数
！
0111 a a a a n n n n ++++--ααα
称为时的值，在α=x x f )(记为)(αf 。
这样，多项式)(x f 就定义了一个数
域P 上的函数，叫数域P 上的多项式函数。
2、性质：
)
()()(),()()()
()()(),()()(2211ααααααg f h x g x f x h g f h x g x f x h ==+=+=则若则若
二、余数定理： 用)(x f x 去除α-，所得的余式是一个常数，这个常数等于函数值
)(αf 。
证明：设
c x q x x f +-=)()()(α
则c q f +-=)()()(αααα，故c f =)(α。
如果)(x f 在α=x 时函数值0)(=αf ，那么α就称为)(x f 的一个根
或零点。
推论：)()(0)(x f x f αα-⇔=
《
称为重根。
时，称为单根，时，重根。
的是重因式，则的是重根：若αααα11)()()( >=-k k k x f k x f x k 由此可知
定理8：
个，重根按重数计算。
中的根不可能多于在数域次多项式中n P n n x P )0(][≥ 证明 对零次多项式定理显然成立。
设)(x f 是一个次数0>的多项式。
把)(x f 分解成不可约多项式的乘
积。
由上面的推论与根的重数的定义，显然)(x f 在数域P 中根的个数等
于分解式中一次因式的个数，这个数目当然不超过n 。
提示：n 次多项式不可能分解出n 个以上的一次因式。
定理9：如果多项式)(),(x g x f 的次数都不超过n ，而它们对1+n 个不同的数n ααα,...,,21有相同的值，即
1,,2,1),()(+==n i g f i i αα
那么)()(x g x f =。
证明：
1
,,2,1,0)()()())((,0)()()(),()(+==-=≤∂≠-=≠n i g f h n x h x g x f x h x g x f i i i ααα令若 '
与定理8矛盾。
由定理8和定理9，在数域P 上我们得到在数域P 上多项式相等的充分必要条件是多项式函数相等。
定理9告诉我们，给了数域P 里1+n 个互不相同的数121,...,,+n a a a 以及1+n 个不全为零的数121,...,,+n b b b 后，至多存在][x P 的次数不超过n 的多项式)(x f 使1,...,2,1,)(+==n i b a f i i 。
因为容易看出，以下公式给出的多项式)(x f 就具有上述性质：
∑+=++-++---------=1111111111))...()()...(())...()()...(()(n i n i i i i i i n i i i a a a a a a a a a x a x a x a x b x f 这个公式叫做拉格朗日插值公式。
例1 求次数小于3的多项式)(x f ，使 .3)2(,3)1(,1)1(==-=f f f
由拉格朗日插值公式得
1
)12)(12()1)(1(3)21)(11()2)(1(3)21)(11()2)(1()(2+-=+-+-+------+-+-+=x x x x x x x x x f
例2 已知多项式61510)(25-+-=x x x x f 有重根，试求它的所有根。
解 15205)(5+-='x x x f 。
由辗转相除法得 、
)213161)(6126()()
6126()()(222----+-=-+-+'=x x x x x g x x x x f x f 即12))(),((2+-='x x x f x f ，从而知1=x 为)(x f 的三重根。
又由综合除法得
)63()1()(23++-=x x x x f
解方程0)63(2=++x x ，得
21531i x +-=，2
1532i x --= 所以)(x f 的全部根为
2153i +-，2153i --，1，1，1。
例3 如果a 是)(x f '''的一个k 重根，证明：a 是 )()()]()([2
)(a f x f a f x f a x x g +-'-'-= 的一个3+k 重根。
证明
)(2
)()(2)]()([21)(x f a x x g x f a x x f a f x g '''-=''''-+'-'=' 易知，0)(,0)(='=a g a g ，又因为a x =是)(x f '''的k 重根，从而a x =是)(x g ''的1+k 重根，是)(x g '的2+k 重根，进而是)(x g 的3+k 重根。
作业：19，22。