二进制表示与运算
二进制的与运算和异或运算
二进制的与运算和异或运算在计算机科学中，二进制是一种非常重要的数制系统，它由0和1两个数字组成。
在二进制数中，我们常常需要进行与运算和异或运算来处理数据。
本文将详细介绍二进制的与运算和异或运算以及它们的应用。
一、二进制的与运算（AND）在二进制的与运算中，当两个相应的二进制位都为1时，结果为1；否则，结果为0。
与运算可以用逻辑运算符“&”表示。
例如，对于二进制数1010和1100进行与运算，计算过程如下：1010&1100----1000从计算结果可以看出，与运算的规则是只有两个相应的二进制位都为1时，结果才为1。
二、二进制的异或运算（XOR）在二进制的异或运算中，当两个相应的二进制位不相同时，结果为1；否则，结果为0。
异或运算可以用逻辑运算符“^”表示。
例如，对于二进制数1010和1100进行异或运算，计算过程如下：1010^1100----0110从计算结果可以看出，异或运算的规则是两个相应的二进制位不相同时，结果才为1。
三、与运算和异或运算的应用1. 数据加密与运算和异或运算在数据加密中起到了重要的作用。
通过与运算和异或运算，我们可以对二进制数据进行加密和解密。
在加密过程中，我们可以利用与运算和异或运算改变二进制数据的位值，从而实现加密的目的。
在解密过程中，再次进行与运算和异或运算，就可以还原数据的原始状态。
2. 错误检测与运算和异或运算也常常用于数据的错误检测。
通过与运算和异或运算，我们可以检测出数据传输过程中是否发生了错误。
在数据传输过程中，发送方会对数据进行与运算和异或运算，计算出校验码，并将校验码附加在数据的末尾。
接收方在接收到数据后，再次进行与运算和异或运算，计算出校验码，并将其与接收到的校验码进行比较。
如果两者相等，说明数据传输过程中没有出现错误；如果不相等，则说明数据传输过程中发生了错误。
3. 逻辑运算与运算和异或运算也可以应用在逻辑运算中，进行逻辑判断。
在计算机程序中，我们经常需要对数据进行逻辑运算，通过与运算和异或运算来判断数据的状态。
二进制的表示和计算
二进制的表示和计算在计算机科学中，二进制是一种基础的数字表示和计算方式。
二进制是一种以2为基数的数制，它使用了0和1两个数字来表示所有的数值和字符。
本文将介绍二进制的表示方法和基本的计算规则。
一、二进制的表示方法二进制中的每一位称为一个比特（bit），它可以表示两个状态，即0和1。
最低有效位（LSB）表示数值中最右边的位，最高有效位（MSB）表示数值中最左边的位。
例如，十进制数值10可以用二进制表示为1010。
其中最低有效位为0，它表示2^0；次低有效位为1，它表示2^1；次高有效位为0，它表示2^2；最高有效位为1，它表示2^3。
通过将这四个位数相加，可以得到十进制数值10。
二、二进制的计算规则二进制的计算和十进制类似，但只使用了两个数字0和1。
下面是二进制计算中最常用的几种规则：1. 二进制加法二进制加法遵循以下规则：- 0 + 0 = 0- 0 + 1 = 1- 1 + 0 = 1- 1 + 1 = 0（进位1）例如，将二进制数值1101和101进行相加：1101+ 101------10010最高位的进位被舍弃，得到的结果是10010。
2. 二进制减法二进制减法可以通过加法的方式进行转换。
例如，要计算1101-101，可以先确定101的二进制补码（取反加一）为011，然后将1101和011进行相加：1101+ 011---------10000最高位的进位被舍弃，得到的结果是10000，即16的二进制表示。
3. 二进制乘法二进制乘法遵循以下规则：- 0 * 0 = 0- 0 * 1 = 0- 1 * 0 = 0- 1 * 1 = 1例如，将二进制数值1011和10进行相乘：1011x 10---------1011000000--------10110得到的结果是10110。
4. 二进制除法二进制除法和十进制类似，但只使用了两个数字0和1。
使用除法规则可以将一个二进制数值分割为商和余数。
二进制算法公式和示例
二进制算法公式和示例1. 什么是二进制算法二进制算法是一种计算机处理数据的基础算法，它使用的是二进制数系统，即只包含0和1的数制系统。
在计算机中，所有的数据都以二进制的形式表示，包括整数、浮点数、字符等。
二进制算法可以应用于各种计算机操作，如数值运算、逻辑运算、位运算等。
2. 二进制算法的基本运算2.1. 二进制加法二进制加法是将两个二进制数相加的运算。
其基本规则如下：•0 + 0 = 0•0 + 1 = 1• 1 + 0 = 1• 1 + 1 = 0 （并产生进位）例如，我们将二进制数1101和0110相加：1101+ 0110-------10011上述运算可以看出，第一位相加得到1，没有产生进位；第二位相加得到0，产生了进位；第三位和第四位都相加得到1，没有产生进位。
最后得到的结果是10011。
2.2. 二进制减法二进制减法是将一个二进制数减去另一个二进制数的运算。
其基本规则如下：•0 - 0 = 0•0 - 1 = 1 （向高位借位）• 1 - 0 = 1• 1 - 1 = 0例如，我们将二进制数1101减去0110：1101- 0110-------0111上述运算可以看出，第一位减去第一位得到0；第二位减去第二位得到1，向高位借位；第三位减去第三位得到1；第四位减去第四位得到0。
最后得到的结果是0111。
2.3. 二进制乘法二进制乘法是将两个二进制数相乘的运算。
其基本规则和十进制乘法类似，只是运算时只有0和1两个数字。
例如，我们将二进制数1101和0110相乘：1101x 0110-------11010+110100-------1011010上述运算可以看出，第一步是将第一个二进制数的每一位与第二个二进制数的每一位相乘得到部分积，然后将部分积进行求和得到最终的乘积结果。
2.4. 二进制除法二进制除法是将一个二进制数除以另一个二进制数的运算。
其基本规则和十进制除法类似，只是运算时只有0和1两个数字。
二进制表示与运算
二进制数与八进制的转换
八进制数 0 1 2 3 4 5 6 7 二进制数 000 001 010 011 100 101 110 111
• 转换的方法是：由小数点开始向左把二 进制整数按每三位一划分，同理，由小 数点开始向右把二进制小数按每三位一 划分，不足三位的用0补齐，然后写出其 相应的八进制数。
18
数制转换小结
1.非十进制数转换成十进制数 方法：把非十进数按位权展开并求和。
2.十进制数转换为非十进制数
（1）十进制整数转换为非十进制整数
方法：除以基数，直至商 为０，取其余数，倒排。
19
（2）十进制小数转换为非十进制小数
方法：乘以基数，直至小数部 分为0，取其整数，顺排。 3.非十进制之8间互4 相2转换1
➢类似地，对于二进制数10011.101也可以 这样表示为： 10011.101 = 2101 * 0.10011101
23
数的定点与浮点表示
➢一般地，任意一个二进制数N可表示为： N=2j * S
➢其中j是二进制整数位数；S是二进制小数 ，j称为数N的阶码，S为数N的尾数。尾 数S表示数N的全部有效数字，阶码j指明 了小数点的位置。
在逻辑代数中，逻辑函数的变量只能 取两个值（二值变量），即0和1，中间值 没有意义，这里的0和1只表示两个对立的 逻辑状态，如电位的低高（0表示低电位， 1表示高电位）、开关的开合等。
32
逻辑代数的基本运算
三种基本运算
-----与、或、非
1 “与”逻辑
AB
E
Y
ABY
断断 灭 断通 灭 通断 灭 通通 亮
23 22 21 20
1111
（1）二进制数与八进制数间互换 一位八进制数相当于三位二进制数
《二进制数的运算》课件
仔细核对运算步骤：在进行二进制数运算时，需要仔细核对运算步骤，确保每一步的运算都正确无误，避免因为运算步骤错误而导致结果不正确。
添加标题
避免溢出错误：在进行二进制数运算时，需要注意溢出问题，确保运算结果不会超出二进制数的表示范围，避免因为溢出错误而导致结果不正确。
添加标题
避免进位错误：在进行二进制数运算时，需要注意进位问题，确保每一位的运算结果都正确无误，避免因为进位错误而导致结果不正确。
二进制数的加法规则：0+0=0，0+1=1，1+1=0，进位为1
二进制数的减法规则：0-0=0，0-1=1（借位），1-1=0
二进制数的乘法规则：0*0=0，0*1=0，1*1=1
二进制数的除法规则：除法相当于连续减法，如10除以2等于5，等于5次2减去1的结果
二进制数运算在计算机科学中的重要性 * 计算机内部数据表示的基础 * 计算机程序运行的基本原理
二进制数的基数为2
二进制数的表示形式为0和1
二进制数的运算速度比十进制数更快
二进制数的运算规则为“逢二进一”
二进制数的基数是2
二进制数可以表示计算机中的所有信息
二进制数的运算规则是逢二进一
二进制数只有0和1两个数字
二进制数的运算规则
二进制数的加法规则
0+0=0, 1+0=1, 1+1=10
二进制数的进位规则
总结与回顾
二进制数的定义：二进制数是一种以0和1为基本符号的数制系统
二进制数的特点：二进制数的运算规则简单，易于实现，适合计算机内部运算
二进制数的应用：在计算机科学中，二进制数被广泛应用于计算机内部的数据表示和运算
二进制数与十进制数的转换：了解二进制数与十进制数的转换方法，方便我们在不同数制之间进行转换
二进制规则运算
一、二进制规则运算二进制规则运算是在二进制数系统中进行的基本数学运算，包括加法、减法、乘法和除法。
1.二进制加法：二进制加法与十进制加法类似，只是在进位的时候是在2的基础上进位，逢2进1。
例：对于二进制数1101和1011相加，从右往左逐位相加，遇到进位则向高位进位，逢2进1。
结果是二进制数11000。
2.二进制减法：二进制减法也类似于十进制减法，只是在不够减的时候要向高位借位。
例如，对于二进制数1101减去1011，从右往左逐位相减，不够减时向高位借位。
结果是二进制数10。
3.二进制乘法：二进制乘法使用了乘法的基本规则，将每一位相乘得到部分积，然后将所有部分积相加得到最终结果。
例如，二进制数1101乘以1011，先将1101和1011中的每一位相乘，然后将得到的部分积相加得到结果。
4.二进制除法：二进制除法也使用了除法的基本规则，将被除数不断减去除数，直到余数小于除数为止。
商是被除数减去除数的次数，余数是最后剩下的部分。
二、二进制和十进制换算二进制转换为十进制和十进制转换为二进制的方法：1.二进制转十进制：从二进制数的最右边开始，每一位都表示一个2的幂。
对于每一位，如果该位是1，则将对应的2的幂相加；如果是0，则不加。
举例：二进制数1011转换为十进制，计算方法是：1*2^3+0*2^2+1*2^1+1*2^0=8+0+2+1=11。
2.十进制转二进制：用除以2的方法，将十进制数不断除以2，每次取余数作为二进制数的一位。
将每一次的余数按逆序排列，就是该十进制数的二进制表示。
举例：十进制数13转换为二进制，计算方法是：13÷2=6余1，6÷2=3余0，3÷2=1余1，1÷2=0余1。
逆序排列得到二进制数1101。
二进制的与运算
二进制的与运算二进制的与运算是计算机中常用的一种运算方式，它是指将两个二进制数的每一位进行比较，只有当两个数的对应位都为1时，结果才为1，否则为0。
在计算机中，与运算常用于数据的筛选、掩码操作等方面。
在二进制的与运算中，每一位的比较都是独立的，因此可以通过位运算符“&”来实现。
例如，对于二进制数1010和1100进行与运算，可以按照以下步骤进行：1. 将两个数的每一位进行比较，只有当两个数的对应位都为1时，结果才为1，否则为0。
2. 1010 & 1100 = 10003. 因此，1010和1100的与运算结果为1000。
在计算机中，与运算常用于数据的筛选。
例如，在一个存储了多个数据的数组中，如果我们只想要其中某些数据，就可以使用与运算来进行筛选。
例如，如果我们想要获取数组中所有下标为偶数的数据，可以使用如下代码：for (int i = 0; i < array.length; i++) {if (i & 1 == 0) {// 获取下标为偶数的数据}}在上述代码中，使用了与运算符“&”来判断下标是否为偶数。
如果下标为偶数，则与运算的结果为0，否则为1，从而实现了数据的筛选。
除了数据的筛选外，与运算还常用于掩码操作。
掩码操作是指将一个二进制数的某些位设置为1或0，从而实现对数据的控制。
例如，在网络通信中，IP地址常用掩码来进行子网划分。
掩码是一个32位的二进制数，其中前面的若干位为1，后面的若干位为0。
通过与运算，可以将IP地址与掩码进行比较，从而判断该地址是否属于某个子网。
二进制的与运算是计算机中常用的一种运算方式，它可以用于数据的筛选、掩码操作等方面。
在实际应用中，我们可以通过位运算符“&”来实现与运算，从而实现对数据的控制和处理。
第四讲 二进制运算及数的表示
要存储符号、指数与尾数三部分。浮点数分为单精度与双精度两种，
单精度浮点数用32位（4字节）存储，双精度浮点数用64位存储。 在计算机中二进制可进行算术运算与逻辑运算，算术运算规则简单， 实现较容易。逻辑运算包括“与”、“或”、“非”与“异或”运算。
计算机基础科学系
Thank you!
Department of Computer Science and Technology
计算机基础科学系
3 .计算机中数的概念
在计算机中表示数需要考虑的三个问题 数的长度
长度固定
符号
最高位（最左端）为数的符号位 符号位: 0表示“＋”，１表示“－”
小数点
位置隐含 位置可固定（定点数），也可浮动（浮点数）
计算机基础科学系
4.1 定点数的表示
定点整数
定点小数
小数点的位置约定在数符位和数值部分的最高位之间，用以表示小于１的纯小数。
2.4 二进制异或运算
⑷“异或”运算（XOR） “异或”运算用符号“ ”来表示。其运算规则如 下：0 0 = 0 0 1 = 1 1 0 = 1 1 1 = 0 即当两个参与运算的数取值相异时，运算结果为 1，否则为0。 例二十：分别求10111001 11110011与 100010101 101111100的结果。
2.计算机中是用有限的连续字节保存浮点数的。保存 这些浮点数当然必须有特定的格式，Java 平台上的浮点 数类型 float 和 double 采纳了 IEEE 754 标准中所定义的 单精度 32 位浮点数和双精度 64 位浮点数的格式。
计算机基础科学系
小 结
计算机中的数是利用二进制数来表示，存储数的方法有定点法与浮点 法。定点法通常用来表示整数。浮点法用来表示小数，存储浮点数需
二进制逻辑运算法则
二进制逻辑运算法则一、与运算（AND）与运算也被称为逻辑与运算，表示同时满足两个条件。
在二进制中，与运算是对两个二进制位进行比对，只有两个二进制位同时为1时，结果才为1，否则为0。
例如：1AND1=11AND0=00AND1=00AND0=0与运算在计算机领域中有广泛的应用，用于测试一些位是否为1，或者清零特定位。
同时，与运算还可以用于屏蔽一些位，使其不参与运算。
二、或运算（OR）或运算也被称为逻辑或运算，表示至少满足一个条件。
在二进制中，或运算是对两个二进制位进行比对，只要两个二进制位中有一个位为1时，结果就为1，否则为0。
例如：1OR1=11OR0=10OR1=10OR0=0或运算在计算机领域中也有广泛的应用。
它可以用于将特定位置1，或者将一些位保留为1三、非运算（NOT）非运算也被称为逻辑非运算，用于将二进制位取反，即将1变为0，将0变为1例如：NOT1=0NOT0=1非运算在计算机领域中常用于反转特定位，或者判断一些条件不成立。
四、异或运算（XOR）异或运算也被称为逻辑异或运算，表示只满足一个条件。
在二进制中，异或运算是对两个二进制位进行比对，只有两个二进制位不同时，结果才为1，否则为0。
例如：1XOR1=01XOR0=10XOR1=10XOR0=0异或运算在计算机领域中有许多应用。
它可以用于交换两个变量的值，或者判断一些条件是否成立。
以上是二进制逻辑运算的四种基本法则。
在计算机中，这些逻辑运算被广泛应用于数字电路、编程语言等方面。
逻辑运算可以用于设计数字电路，实现计算机的存储、运算、判决等功能。
在编程语言中，逻辑运算可以用于控制程序流程，判断条件是否成立从而执行不同的代码块。
总结来说，二进制逻辑运算法则是计算机中非常重要的概念，它描述了对二进制位进行操作的规则。
四种基本运算法则包括与运算、或运算、非运算和异或运算。
这些逻辑运算在计算机领域中有广泛的应用，可以用于设计数字电路、编写程序等。
计算机中的数据表示与运算
计算机中的数据表示与运算数据表示是计算机科学中的一个基本概念，它涉及到如何将不同类型的数据转化为计算机能够理解和处理的形式。
而数据运算则是对这些表示的数据进行各种数学或者逻辑操作的过程。
在计算机领域中，数据表示和数据运算是非常重要且密切相关的概念，对于提高计算机的性能和功能都具有重要的影响。
本文将讨论计算机中的数据表示与运算的相关内容，并简要介绍一些常见的数据表示方式和运算方法。
一、数据表示1. 二进制表示在计算机中，数据以二进制方式进行表示。
二进制是一种使用0和1来表示数字的数制，它是计算机中最基本的数据表示方式。
在二进制表示中，每一位都表示一个2的幂次方，从右往左依次是2^0、2^1、2^2、2^3，以此类推。
通过组合不同的位数，可以表示不同的数字、字符和符号。
2. 十进制表示尽管计算机使用二进制表示数据，但是在人类的日常生活中我们通常使用十进制来表示数字。
十进制是一种使用0到9的数码来表示数字的方式，它是最常用的数字表示方法。
在计算机中，需要将十进制表示的数字转换为二进制表示的数字进行处理。
3. 其他进制表示除了二进制和十进制，计算机中还使用其他进制来表示数据，例如八进制和十六进制。
八进制使用0到7的数码来表示数字，而十六进制使用0到9的数码和A到F的字母来表示数字。
这些进制表示方式在计算机编程和底层数据处理中比较常见。
二、数据运算1. 整数运算在计算机中，对于整数的运算可以使用常见的加、减、乘、除等运算符进行操作。
计算机可以快速进行整数运算，同时也支持不同进制的整数运算。
整数运算是计算机中的基本运算之一。
2. 浮点数运算除了整数运算，计算机还支持浮点数运算。
浮点数是一种用于表示有小数部分的数字的数据类型。
在计算机内部，浮点数的表示方式是通过科学计数法来实现的。
浮点数运算包括加、减、乘、除等运算，但是由于浮点数的精度限制，会存在一定的舍入误差。
3. 逻辑运算逻辑运算是计算机中的另一种重要运算方式。
37的二进制计算过程
37的二进制计算过程37的二进制表示为100101。
二进制是一种计数系统，只有两个数码，分别是0和1。
在二进制中，每一位表示的是2的幂次方。
最右边的位是2^0，依次向左，每一位的幂次方增加1。
例如，二进制数100101中的最右边的位是2^0，接着是2^2、2^4、2^5，依次类推。
一、二进制加法二进制加法与十进制加法类似，只是进位的规则不同。
在二进制加法中，当两个位上的数字相加等于2时，需要向左进位。
例如，1+1=10。
以37的二进制表示100101为例，我们来进行二进制加法运算。
我们将100101与自身相加：100101+100101--------1001010进位：0+0=0，1+1=10，0+0=0，1+1=10，0+0=0，1+1=10，0+0=0得到结果1001010，即42的二进制表示。
二、二进制减法二进制减法与十进制减法类似，只是借位的规则不同。
在二进制减法中，当被减数小于减数时，需要向左借位。
例如，1-0=1，0-1需要向左借一位。
以37的二进制表示100101为例，我们来进行二进制减法运算。
我们将100101减去10011：100101- 10011--------10110借位：0-1需要向左借一位，1-0=1，0-0=0，1-1=0，0-0=0，1-1=0得到结果10110，即22的二进制表示。
三、二进制乘法二进制乘法与十进制乘法类似，只是进位的规则不同。
在二进制乘法中，每一位与另一个数的每一位相乘，然后将结果相加。
以37的二进制表示100101为例，我们来进行二进制乘法运算。
我们将100101乘以10：100101x 10--------1001010乘法过程：0乘以10等于0，1乘以10等于10，0乘以10等于0，1乘以10等于10，0乘以10等于0，1乘以10等于10得到结果1001010，即74的二进制表示。
四、二进制除法二进制除法与十进制除法类似，只是进位的规则不同。
二进制 与计算
二进制与计算二进制与计算二进制是计算机内部存储和处理数据的基本方式，它使用0和1两个数码来表示所有数据。
计算机将二进制位序列解释为各种数字、符号和命令。
了解二进制可以帮助我们更好地理解计算机的基本工作原理。
一、二进制数的表示二进制数是使用0和1两个数码来表示的，每一位的值是2的幂（从右向左，从0开始）。
例如，二进制数1101表示的是“1*2^3 +1*2^2 + 0*2^1 + 1*2^0”，即13。
二进制中小数点的位置称为“位权”。
二、二进制与十进制之间的转换将一个十进制数转换为二进制数，可以使用“除2取余法”。
例如，将十进制数53转换为二进制数，需要对53一直除以2，直到商为0，然后将每次得到的余数按照从下到上的顺序排列。
即：53 ÷ 2 = 26...1；26 ÷ 2 = 13...0；13 ÷ 2 = 6...1； 6 ÷ 2 = 3...0；3 ÷ 2 = 1...1；1 ÷ 2 = 0...1；二进制数为110101。
将一个二进制数转换为十进制数，需要将每一位的“位权”与其对应的“数码”相乘，然后将所有结果相加。
例如，将二进制数101101转换为十进制数，因为101101的第0、2、3、5位上是1，所以101101表示的十进制数为1*2^0 + 1*2^2 + 1*2^3 + 1*2^5，即45。
三、二进制的算术运算在二进制下进行加法运算，需要注意进位。
例如，1+1=10，即1个1和1个0。
在二进制下进行减法运算，需要借位。
例如，1-1=0，但是10-1=1（借位后变成10-01），而且1-10需要先将1变成1个1和1个0，然后再借位。
在二进制下进行乘法运算，和十进制一样，可以使用竖式。
例如，将二进制数1011和101相乘，可以按照下面的方法计算：1 0 1 1（被乘数）× 1 0 1（乘数）———————————1 0 1 1（第一行）0 0 0 0（第二行，向左移动1位）1 0 1 1（第三行，向左移动2位）———————————1 1 0 1 1（结果）四、二进制与逻辑运算在计算机领域，还经常使用与、或、非、异或等逻辑运算来处理数据。
二进制数的运算法则
二进制数的运算法则二进制数是一种基本的数字编码方式，它由数字 0 1成，是计算机最基本的运算方式。
即使是最基础的电路设计也必须在硬件层次上考虑二进制数。
本文将介绍二进制数运算的相关概念，以及数据和运算的基本法则。
一、二进制数的组成二进制数是由数字 0 1成的，它们被称为二进制位。
它们具有特殊的语义，0示关闭，1示开启，这种语义有助于电路设计者学习二进制的概念。
二进制数的位数可以通过补0的方式扩展，比如十进制的 1以被表示为 0000 0001，将其长度统一化，可以便于之后的运算。
二、二进制数的表示在计算机中，数字是以二进制表示的。
比如，十进制的 7以用二进制表示为 0000 0111，十进制的 10以用二进制表示为 0000 1010。
三、数据的移位数据的移位是一种常见的操作，以提高运算的效率，它指的是将一串数据的某一位移动到另一位，通常是将高位的数据移动到低位或低位的数据移动到高位的过程。
四、运算操作1. 位运算二进制的位运算是指对二进制数进行比特计算的运算。
主要有与（&）、或（|）、异或（^）、左移（、右移（>>）五种。
（1）与（&）: 两个二进制数的比特位同时为 1，结果才为 1，其余情况结果均为 0。
（2）或（|）: 两个二进制数中任一比特位为 1，结果均为 1，只有两个比特位同时为 0，结果才为 0。
（3）异或（^）: 两个二进制数的比特位不同时，结果为 1，否则为 0。
（4）左移（:一个数据的比特位都向低位移动指定的位数，移动的比特位会被置 0。
（5）右移（>>）:一个数据的比特位都向高位移动指定的位数，移动的比特位会被置 0。
2.减乘除加减乘除是计算机中基本运算，而二进制也是实现这些运算的基础。
因为二进制数的运算也是由位运算构成的，如下图所示。
经过加减乘除运算，最终得到的结果就是代表相应的二进制数字。
五、运算结果的进制转换在计算机中，二进制和十进制都存在，它们有各自的优点，但有时候我们需要将二进制转换为十进制来使用。
二进制的与或非运算
二进制的与或非运算二进制是一种计算机中常用的数制，其运算方式包括与、或、非等操作。
本文将详细介绍二进制的与、或、非运算及其应用。
一、与运算（AND）与运算即将两个二进制数的对应位进行逻辑与操作。
对于两个二进制数a和b，如果a和b的对应位都为1，则结果为1；否则，结果为0。
例如，对于二进制数1010和1101进行与运算，运算过程如下：1010& 1101= 1000与运算常用于位掩码操作、权限控制等方面。
例如，可以通过与运算来判断一个文件是否具有某个特定权限。
二、或运算（OR）或运算即将两个二进制数的对应位进行逻辑或操作。
对于两个二进制数a和b，如果a和b的对应位中至少有一个为1，则结果为1；否则，结果为0。
例如，对于二进制数1010和1101进行或运算，运算过程如下：1010| 1101= 1111或运算常用于数据合并、权限集合等方面。
例如，可以通过或运算来将多个权限合并为一个权限集合。
三、非运算（NOT）非运算即将一个二进制数的每一位进行逻辑非操作。
对于一个二进制数a，如果a的某一位为1，则结果的对应位为0；如果a的某一位为0，则结果的对应位为1。
例如，对于二进制数1010进行非运算，运算过程如下：~1010= 0101非运算常用于逻辑取反、取补操作等方面。
例如，在某些情况下，可以通过非运算来判断一个条件是否不成立。
二进制的与、或、非运算在计算机领域中应用广泛。
除了前面提到的位掩码、权限控制、数据合并等应用之外，它们还可以用于逻辑运算、编码解码、电路设计等方面。
在逻辑运算中，与运算常用于判断多个条件是否同时成立。
例如，在编写程序时，可以通过与运算来判断一个人的年龄是否在18到30岁之间。
在编码解码方面，与运算可以用于检验数据的正确性。
例如，在计算机网络通信中，可以通过与运算来检验数据包的校验和是否正确。
在电路设计中，与、或、非运算是基本的逻辑门电路。
它们通过不同的组合方式可以构建出复杂的逻辑电路，实现各种功能。
二进制运算及数的表示
定点整数
4.1 定点数的表示
定点小数
小数点的位置约定在数符位和数值部分的最高位之间，用以表示小于１的纯小数。
4.2 浮点数的表示
所谓浮点表示法就是把一个数的有效数字和数 的范围在计算机的存储单元中分别予以表示，这种 把数的范围和精度分别表示，而数的小数点位置随 比例因子的不同而在一定范围内自由浮动的表示法。
M（23bit）
双 精 度 ：S（1bit） E(11bit)
M(52bit)
4.2 浮点数的表示
一个规格化的浮点数的真值必须表示为：ｘ＝S2e×(1.Ｍ) 例如不是一个规范的浮点数。为了规范化，我们须把它表 示成+1.0001110101×2+6，这样的一个数就是一个规范化数。
数的指数表示形式:
即当两个参与运算的数取值相异时，运算结果为1，否则为0。
0×0=0 0×1=0
1×0=0
逻辑运算包括“与”、“或”、“非”与“异或”运算。
即当两个参与运算的数取值相异时，运算结果为1，否则为0。
“异或”运算用符号“ ”来表示。
0∨0 = 0 0∨1 = 1 1∨0 = 1 1∨1 = 1。
例二十：分别求10111001 11110011与100010101 101111100的结果。
Ｎ数的＝指Ｍ数表×示Ｒ形式C :
阶码C(Characteristic)
尾数M(Mantissa)
进制数的基R
4.2 浮点数的表示
32位浮点数和64位浮点数的标准格式： 在两种浮点数中，Ｓ：浮点数的符号位，0 表示正数，1表示负数。Ｍ：尾数，用小数表示， E为阶码为整数，小数点放在尾数域的最前面。
单 精 度 ：S（1bit） E(8bit)
二进制的基本运算规则
二进制的基本运算规则二进制是一种由0和1两个数字组成的数字系统，它是计算机科学中最基本的表示方法之一、在二进制数字系统中，有一些基本的运算规则，这些规则用于执行二进制数字的加法、减法、乘法和除法运算。
下面是二进制运算的基本规则：一、二进制加法二进制加法与十进制加法类似，只是它的进位方式是在2的基础上进行。
在二进制加法中，有以下几种情况：1.0+0=0：两个二进制数字都是0时，它们的和为0。
2.1+0=1：一个二进制数字为1，另一个为0时，它们的和为13.0+1=1：一个二进制数字为0，另一个为1时，它们的和为14.1+1=10：两个二进制数字都是1时，它们的和为10，其中0作为当前位的结果，1作为进位到下一位的结果。
二、二进制减法二进制减法与十进制减法类似，只是在借位时要根据进位规则进行。
在二进制减法中，有以下几种情况：1.0-0=0：被减数和减数都是0时，差为0。
2.1-0=1：被减数为1，减数为0时，差为13.1-1=0：被减数和减数都是1时，差为0。
4.当需要借位时，要按照进位规则进行借位操作。
例如，1-0=1，但是需要借位，所以结果为假设结果为10，最后借位后得到1三、二进制乘法二进制乘法是使用笔算的方式进行，与十进制乘法类似。
在二进制乘法中，有以下几种情况：1.0×0=0：乘数和被乘数都是0时，积为0。
2.1×0=0：乘数为1，被乘数为0时，积为0。
3.0×1=0：乘数为0，被乘数为1时，积为0。
4.1×1=1：乘数和被乘数都是1时，积为1四、二进制除法二进制除法是使用长除法的方式进行，与十进制除法类似。
在二进制除法中，有以下几种情况：1.0÷0=错误：被除数和除数都是0时，无法计算除法。
2.0÷1=0：被除数为0，除数为1时，商为0。
3.1÷1=1：被除数和除数都是1时，商为14.当被除数小于除数时，无法进行除法计算，结果为0。
二进制与运算
二进制与运算二进制，又称为二进制数系统，是一种采用二进制位（“1”和“0”）作为最小存储单位的计算机文字系统。
它最早是于17世纪由英国数学家古斯塔夫雷诺兹提出的，从此，二进制编码开始影响计算机使用，并成为了世界上最广泛使用的数字系统，在许多计算机中，二进制编码也是唯一可用的编码格式。
一般来说，二进制编码由一个具有8位二进制数字组成，每个数字都由一个0或1来表示，这种表示方式也可以用十六进制来表示，十六进制由4位二进制数字组成，每个数字有0-7和a-f共16个数字来表达。
另外，计算机硬件设备中的每一个电路也都是使用二进制原理来处理数据的，这些电路元件可以通过使用“开”和“关”的状态来对二进制数进行加减乘除等运算，这本质上就是二进制的加法运算。
二进制的加法运算是最基本的数学运算，也是计算机最初应用的方法。
它由两个基本操作：加法和负号运算组成，并且以0和1作为基本符号。
二进制加法运算的基本原则是：当两个位上的数字是1+1时，结果是0，而其他的组合都是1，叫做“异或”。
二进制的负号运算是在二进制加法运算的基础上，通过异或运算和移位操作来实现的，即“模2”运算，即取余数来处理负号问题。
二进制加减乘除是把二进制的数字按十进制数字的运算方法进行计算，只不过二进制的数字用0和1表示而已，即1 + 0 = 1，0 + 1 = 1，而0 + 0 = 0，1 - 0 = 1，0 - 1 = -1，即可。
当数字越大时，二进制的乘法运算就更为复杂，只要分解成若干相乘的简单表达式，再综合到一起运算，也就可以完成复杂的乘法运算了。
二进制除法运算也是按照现代计算机原理的基本规则来计算的，即把被除数与除数依次进行乘除，而不断改变除数的大小，以达到让余数尽量地接近被除数的目的，这就是计算机中的除法运算。
二进制编码通常是用来表示字符、文本和数字，另外，它还可以用来进行一些复杂的逻辑推理，如布尔逻辑，比特逻辑等，这些逻辑操作也是计算机基础中最基本的操作之一。
与或非三种运算公式
与或非三种运算公式
摘要：
1.概述与或非运算公式
2.与运算公式
3.或运算公式
4.非运算公式
5.总结
正文：
【1.概述与或非运算公式】
在数字电路和计算机科学中，与或非（AND-OR-NOT）运算公式是一种基本的逻辑运算方法。
与或非运算包括三种运算公式：与运算、或运算和非运算。
下面我们将详细介绍这三种运算公式及其应用。
【2.与运算公式】
与运算公式表示为"&"，它用于计算两个二进制数的交集。
只有当两个二进制数的对应位都为1 时，结果才为1，否则为0。
例如，对于二进制数A （1010）和B（1100），A&B 的结果为（1000）。
【3.或运算公式】
或运算公式表示为"|"，它用于计算两个二进制数的并集。
只要两个二进制数的对应位中有一个为1，结果就为1。
例如，对于二进制数A（1010）和B（1100），A|B 的结果为（1110）。
【4.非运算公式】
非运算公式表示为"~"，它用于计算一个二进制数的反相。
对一个二进制数进行非运算后，结果将保留原数的所有位，但将0 变为1，1 变为0。
例如，对于二进制数A（1010），~A 的结果为（0101）。
【5.总结】
与或非运算公式在数字电路和计算机科学中具有重要意义。
二进制数无符号扩展和有符号扩展
二进制数无符号扩展和有符号扩展摘要：一、前言二、二进制数的表示与运算1.二进制数的表示2.二进制数的运算三、无符号扩展1.无符号扩展的概念2.无符号扩展的实现四、有符号扩展1.有符号扩展的概念2.有符号扩展的实现五、无符号扩展与有符号扩展的比较六、总结正文：一、前言在计算机科学中，二进制数是一种基本的表示方式，广泛应用于各种计算与存储。
然而，在某些情况下，我们需要对二进制数进行扩展，以满足特定的需求。
本篇文章将介绍二进制数的无符号扩展和有符号扩展。
二、二进制数的表示与运算1.二进制数的表示二进制数是一种基于2 的数制系统，每一位的权值是2 的相应次方。
例如，一个8 位的二进制数可以表示0 到255 之间的整数，其中第0 位表示0，第7 位表示128。
2.二进制数的运算在二进制数中，加法和乘法运算相对简单，只需按位进行。
然而，减法和除法运算较为复杂，需要借助于借位和补码等技巧。
三、无符号扩展1.无符号扩展的概念无符号扩展是一种将二进制数向左或向右扩展的方法，不考虑符号位。
例如，将一个8 位的二进制数扩展到16 位，可以将原始的二进制数左移4 位。
2.无符号扩展的实现无符号扩展的实现较为简单，只需将二进制数按位进行左移或右移操作。
需要注意的是，当二进制数向左移动时，高位可能出现空缺，需要用0 填充。
四、有符号扩展1.有符号扩展的概念有符号扩展是一种考虑符号位的扩展方法。
在有符号扩展中，符号位用来表示正负，0 表示正，1 表示负。
当对一个有符号的二进制数进行扩展时，需要考虑符号位的值。
2.有符号扩展的实现有符号扩展的实现相对复杂，需要根据符号位和扩展位数来确定每一位的值。
例如，将一个8 位的二进制数扩展到16 位，需要先判断符号位，然后根据符号位和扩展位数的奇偶性来确定每一位的值。
五、无符号扩展与有符号扩展的比较无符号扩展和有符号扩展在实现上有所不同，无符号扩展较为简单，而有符号扩展需要考虑符号位的值。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
8
十进制小数转换为二进制数
• 转换规则：乘2取进位 (x)10 =(. k1 k2 …kn-1kn)2=(k1×2-1+k2×2-2+…+kn-1×2n-1+kn × 2-n)10 k1=x乘2取进位，k2=(2×x-k1)乘2取进位，……直至余数为0 例： (0.125)10=(0.001)2 0.125×2＝0.25 0.25×2＝0.5 0.5×2＝1 练习： (0.625)10= (0.101)2 进位为0 进位为0 进位为1，余数为0，计算结束
在作乘法或除法时，把数的符号位按位相加后 就得到结果的符号位，其规则为：
正数乘正数，符号按位相加得：0+0=0
正数乘负数，符号按位相加得：0+1=1 负数乘负数，符号按位相加得：1+1=0
31
逻辑代数
在数字电路中，我们要研究的是电路 的输入输出之间的逻辑关系，所以数字电 路又称逻辑电路，相应的研究工具是逻辑 代数（布尔代数）。 在逻辑代数中，逻辑函数的变量只能 取两个值（二值变量），即0和1，中间值 没有意义，这里的0和1只表示两个对立的 逻辑状态，如电位的低高（0表示低电位， 1表示高电位）、开关的开合等。
12
八进制与二进制数的转换
1 2 3 八进制数 0 二进制数 000 001 010 011 4 5 6 100 101 110 7 111
• 转换的方法是：这是上述转换的逆过程 。将八进制数的每一位用相应的三位二 进制数写出即可。 【例】 (325.46)8＝( )2 解 3 2 5 . 4 6 011 010 101 . 100 110
32
逻辑代数的基本运算
三种基本运算
1 “与”逻辑
A B Y
-----与、或、非
A B Y 灭 灭 灭 亮
断 断 通
通
断 通 断
通
23
数的定点与浮点表示
一般地，任意一个二进制数N可表示为： N=2j * S 其中j是二进制整数位数；S是二进制小数 ，j称为数N的阶码，S为数N的尾数。尾 数S表示数N的全部有效数字，阶码j指明 了小数点的位置。
24
数的定点与浮点表示
一般地，任意一个二进制数N可表示为： N=2j * S 对任何一个数，若阶码j是固定不变的，则 把这种表示法称为定点表示，这样的数称 为定点数。反之，如果j可以取不同值，则 把这种表示称为数的浮点表示，这样的数 称为浮点数。
数字的个数等于基数 最大的数字比基数小1 每个数字都要乘以基数的幂次，而该幂次是由每个 数所在的位置决定的
3
为什么数字计算机上要采用二进制
计算机是电子设备，它容易实现的稳定状 态有两种，如电路的通或断、电位的高或 低。两种稳定状态工作可靠，抗干扰能力 强，分别对应着数值１和０，这就是计算 机中使用二进制数的理由。
15
二进制数与十六进制数的转换
将十六进制数的每一位用相应的四位二进 制数写出。
【例】 (23.F)16＝( )2 解 2 3 . F 0010 0011 . 1111 所以 (23.F)16＝(100011.1111)2
16
非十进制到十进制数的转换
非十进制数转换成十进制数
其方法以上已经介绍过了，即把非十进数按位权 展开并求和。
14
二进制数与十六进制数的转换
转换的方法是：由小数点开始向左把二进 制整数按每四位一划分，同理，由小数点 开始向右把二进制小数按每四位一划分， 不足四位用0补齐，然后写出其相应的十 六进制数。
【例】 解 (11110111101.01)2＝( )16 0111 1011 1101 . 0100 7 Ｂ D . 4 所以 (11110111101.01)2＝(7BD.4)16
＝16+0+4+0+1+0.5+0+0.125 ＝(21.625)10
5
二进制
• 二进制：逢二进位的数制系统 • 基数：0 例：( 110)2 1 1×22＋1×21＋0×20＝(6)10
• 奇偶数的判断以尾数为准 • 易于运算
• 用于表达二进制数所需的物理状态最少
例：0～999范围内的数，十进制表示需3×10＝30个稳定状态； 二进制表示需10×2＝20个稳定状态（210＝1024）
表1.1 二、八进制数字对照表
二进制数 八进制数
表1.2 二、十六进制数字对照表
二进制数 十六进制数 二进制数 十六进制数
000 001 010
0 1 2
0000
0
1000
8
0001
0010 0011 0100 0101
1
2 3 4 5
1001
1010 1011 1100 1101
9
A B C D
011 100
１和０的不同编码组合可以表示一个数、 一个字符或一条操作指令。
4
二进制
二进制数
１）用０和１两个数符表示两个不同的数。
２）逢二进一，即高一位数是低一位数的２倍 因此，二进制数10101.101的十进制值可用以下 方法求出： (10101.101)2
＝1× 24+0× 23+1× 22+0× 21+1× 20+1× 2-1+0× 2-2+1× 2-3
二进制表示与运算
二进制表示与运算
• 二进制与十进制、八进制和十六进制的转换 • 数的表示（定点小数、定点整数、浮点数） • 机器码（原码、反码、补码） • 定点数的运算
2
十进制
由0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9等十个不同 的符号来表示数值的一种表示方法，采用逢10 进1的计算方式。例如 253.48=2*102+5*101+3*100+4*10-1+8*10-2 显然，任一数字的位置是由10的次幂而决定的 ，这个10就是十进制的基数。十进制的特征：
0 11 1 11011
• 设阶码共m位，尾数共n-1位，则浮点数的表示范围为： 2
-(2m-1)
×2
-1
(2m-1)×[1-2-(n-1)] <=|x|<=2
30
符号的表示方法
在计算机中，二进制数码1和0是用电子元件的 两种不同状态来表示的，对于一个数的符号， 也用电子元件的两种不同状态来表示。一般约 定正数的符号用0表示，负数和符号用1表示。
28
-(n-1)
数的机内表示— 定点整数
• 无符号整数：
数值位
• 字长为n时，无符号整数的表达范围为 0～2n-1
• 有符号整数： 数符
数值
• 字长为n时，有符号整数的表达范围为 |x|<=2n－1-1
29
数的机内表示— 浮点数
• 浮点数：
阶符 阶码 数符 尾数
• 将数x表示为 s×2j的形式，其中s为x的小数形式（尾数） -110.11= -0.11011×211
25
数的定点与浮点表示
一般地，任意一个二进制数N可表示为： N=2j * S 如果对任何数j=0，则该定点数只能表示小 数。这种表示法是一种常用的方法，以后 我们讨论问题时，除非特别说明，否则都 采用这种表示方法。
26
数的定点与浮点表示
如果计算机中的数采用定点表示，则计算 机中数的小数点是固定的，这种计算机叫 定点计算机；如果计算机中的数采用浮点 表示，这时机器中数的小数是可以变化的 ，这种计算机叫浮点计算机。
10
二进制数与八进制的转换
• 一位八进制数相当于三位二进制数，即 有如下的对应关系：
1 2 3 八进制数 0 二进制数 000 001 010 011 4 5 6 100 101 110 7 111
• 转换的方法是：由小数点开始向左把二 进制整数按每三位一划分，同理，由小 数点开始向右把二进制小数按每三位一 划分，不足三位的用0补齐，然后写出其 相应的八进制数。
21
练习
十进制转换为十六进制：85.58 十六进制转换为十进制：7C.C7 八进制转换为十六进制：56.65 十六进制转换为八进制：5B.B5
22
数的定点与浮点表示
一个十进制数123.456可以表示为 123.456 = 0.123456 * 103 数0.000456可以表示为： 0.000456 = 0.456 * 10-3 类似地，对于二进制数10011.101也可以 这样表示为： 10011.101 = 2101 * 0.10011101
13
二进制数与十六进制数的转换
一位十六进制数相当于四位二进制数，即 有如下对应关系：
十六进制 二进制数 十六进制 二进制数 0 8 1 9 2 A 3 B 4 C 5 D 6 E 7 F 0000 0001 0010 0011 0100 0101 0110 0111 1000 1001 1010 1011 1100 1101 1110 1111
11
二进制数与八进制的转换
1 2 3 八进制数 0 二进制数 000 001 010 011 4 5 6 100 101 110 7 111
பைடு நூலகம்
• 转换的方法是：由小数点开始向左把二 进制整数按每三位一划分，同理，由小 数点开始向右把二进制小数按每三位一 划分，不足三位的用0补齐，然后写出其 相应的八进制数。 【例】 (10001101.1101)2＝( )8
(23.25)10= (10111.01)2
9
八进制与十六进制
在计算机中应用二进制有一系列的优点， 但写起来位数太多，读起来也比较麻烦， 为了读写方便，往往采用八进制和十六进 制作为二进制的过渡方式。
八进制：用0，1，2，3，4，5，6，7 八个数 符。采用“逢八进一”的计数方法。 十六进制：用0，1，2，3，4，5，6，7，8，9 ，A，B，C，D，E，F十六个数符。采用“逢 十六进一”的计数方法。