整式的除法(基础)知识讲解
整式的除法笔记
整式的除法笔记
1.定义：
整式除法是将一个整式（被除数）除以另一个整式（除数）的过程，其结果是一个整式或商式。
2.基本法则：
当两个整式相除时，我们可以将其视为分数的形式，即被除数/除数。
例如，对于整式A和B，A ÷ B 可以表示为A/B。
3.多项式除以单项式：
当我们有一个多项式除以一个单项式时，可以将其视为多项式的每一项分别除以该单项式。
例如，对于多项式3x^2 + 4x + 5 和单项式x，结果为3x + 4 + 5/x。
4.除法与乘法的关系：
整式除法与整式乘法是互为逆运算。
这意味着，如果我们有一个整式A除以另一个整式B得到商C，那么A可以表示为B与C的乘积。
5.余数与除式：
当整式除法不能整除时，会有一个余数。
例如，对于多项式5x^2 + 3x + 2 和单项式x+1，商为5x - 2，余数为4。
6.长除法：
当被除数和除数都是多项式时，我们通常使用长除法来找到商和余数。
这种方法类似于我们在小学时学习的长除法，但应用于整式。
7.注意事项：
o确保在除法过程中，除数的每一项都不能为0。
o当整式除法得到的结果是一个多项式时，注意结果的每一项的系数和指数。
o注意余数的存在，它可以帮助我们验证除法的正确性。
8.应用：
整式除法在代数、方程求解、多项式函数等领域都有广泛的应用。
它帮助我们简化复杂的表达式，找到多项式的根，以及解决各种与多项式相关的问题。
解读整式的除法
解读整式的除法一、同底数幂的除法同底数幂相除，底数不变，指数相减。
公式表示为：m n m n a a a -÷=（0a ≠，m 、n 都是正整数，并且m n ＞）诠释：（1）注意条件：①因为0a =，在m n a a ÷中有0n a =，由于0不能作除数，所以规定0a ≠；②因为m n ＜时，在m n m n a a a -÷=中，有0m n -＜，这样就出现了负指数，这部分内容以后才会学习，所以现在规定m n ＞；③当m n =时，m n m n a a a -÷=01a ==，所以规定01a =（0a ≠）（2）底数a 可以是一个单独的字母、一个数，也可以是一个单项式、多项式等；（3）此运算性质的条件是同底数幂相除，结论是“底数不变，指数相减”，而不是“指数相除”，例如63632a a a a ÷÷==是错误的；（4）应用运算性质时，不要忽略指数是“1”的情况。
二、单项式除以单项式单项式除以单项式，把系数和同底数幂分别相除作为商的因式，对于只在被除式中含有的字母，则连同它的指数一起作为商的一个因式事实上，单项式除以单项式可以概括为三步：第一步，系数相除；第二步，及哪个同底数的幂相除；第三部，照抄只在被除式中的幂。
例1、计算：4322263a b x a b ÷解析：单项式4326a b x 除以单项式223a b ，系数相除，得632÷=；同底数幂相除，分别得422a a a ÷=，32b b b ÷=，照抄被除式中的2x ，所以最后的结果是222a bx诠释：（1）系数相除，结果作为商的系数。
如果系数相除除不尽，则商的系数要用分数来表示。
运算时单项式的系数包含它前面的符号，同时防止出现系数相减的错误。
（2）只在被除式中含有的字母，则连同它的指数一起作为商的一个因式，不要遗漏；（3）指数相同的同底数幂相除，商为1，而不是0三、多项式除以单项式多项式除以单项式，先将多项式的每一项分别除以这个单项式，再把所得的商相加。
整式的除法知识点讲解
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４
七年级下册整式除法知识点
七年级下册整式除法知识点整式除法是七年级下册数学中重要的知识点之一，它在数学中具有极其重要的位置。
整式除法是指将一个整式（多项式）除以另一个整式的运算，下面就来详细了解一下整式除法的知识点。
1. 什么是整式？整式是一类特殊的多项式，多项式是由常数和变量的积以及常数相加减的代数式组成的。
一个多项式中，如果每一项的次数都是一样的，那么这个多项式就是整式。
例如，2x^3-5x^2+3x-7就是一个整式，而3x+2xy-4不是整式。
整式有常数项、一次项、二次项等。
2. 整式的除法整式的除法就是将一个多项式除以另外一个多项式的运算。
除数和被除数一般都是整式，这是整式除法的基础。
整式除法的答案也是一个整式，即商式。
3. 整式的性质（1）整式除法满足唯一性，即对于任意的多项式f和g，存在唯一的商式q和余式r，使得f=gq+r，并且r的次数小于g的次数。
（2）整式除法满足可减性，即如果f=q1g+r1，g=q2h+r2，则f=(q1q2)h+(q2r1+r2)。
在整式的计算过程中，可用可减性使整个过程更加简单。
（3）整式的系数也可以是复数，例如，x^2+(2+3i)x-1除以x+1就是(x+1)+(2+2i)。
4. 整式的除法步骤（1）先将除数与被除数按照次数从高到低排列，确保计算的准确性。
（2）将被除数的最高次项除以除数的最高次项，得到商。
（3）将商乘以除数，然后减去被除数，得到余数。
（4）将余数再次除以除数，得到新的商。
（5）重复上述步骤，直到余数的次数小于等于除数的次数。
（6）最后的商即为整式的商式，而最后的余数即为整式的余式。
5. 一个简单的例子例如，将多项式f(x)=x^3+2x^2+3x+1除以g(x)=x+1。
（1）首先将f(x)和g(x)按照次数排列，得到f(x)=x^3+2x^2+3x+1，g(x)=x+1。
（2）将f(x)的最高次项x^3除以g(x)的最高次项x，得到商x^2。
（3）将x^2乘以g(x)得到x^3+x^2，然后减去f(x)得到x^2+x+1。
第六节：整式的除法及余数定理
整式的除法及余数定理【教学目标】1.综合除法：多项式除法时，我们有带余除法：)()()()(x r x q x g x f +⋅= 其中)(x f 表示被除式，)(x g 表示除式，)(x q 表示商式，)(x r 表示余式，且余式)(x r 的次数小于除式)(x g 的次数．2．余数定理和因式定理：余数定理：多项式)(x f 除以)(a x -所得的余数等于)(a f 因数定理：若多项式)(x f 能被a x -整除，亦即)(x f 有一个因式a x -，则0)(=a f ；反之，如果,0)(=a f 那么a x -必为多项式)(x f 的一个因式．【经典例题】例1．求6532234++--x x x x 除以)1(+x 所得的商式和余数．例2．求多项式)(x f 除以,1-x 2-x 所得的余数分别为3和5，求)(x f 除以)2)(1(--x x 所得的余式．例3．证明：当b a ,是不相等的常数进，若关于x 的整式)(x f 被a x -和b x -整除，则)(x f 也被))((b x a x --整除．例4．试确定a 和b 的值，使b x ax x x x f +++-=532)(234被)2)(1(-+x x 整除．例5. 已知关于x 的整式)(x f 除以3+x 时余数为-5；所得的商再除以12-x 时余数为4，求)(x f 除以12-x 时的余数、除以3522-+x x 时的余式．整式的除法及余数定理练习一、选择题1．化简3422222++⋅⋅-n nn ，得（ ） A 、8121-+n B 、87 C 、12+-n D 、47 2．如果822+++bx ax x 有两个因式1+x 和2+x ，则b a +=（ ）A 、7B 、8C 、15D 、213．如果b a ,是整式，且12--x x 是123++bx ax 的因式，那么b 的值是（ ）A 、-2B 、-1C 、0D 、2 二、填空题：1．已知k 是整数，并且k x x x +-+3323有一个因式是1+x ，则=k ；另一个二次因式，它是 ．2．已知62-+x x 是12234-+++-+b a bx ax x x 的因式，则=a ，=b ．3．多项式6522++-++y x by axy x 的一个因式是2-+y x ，则b a +的值是 ．三、解答题1．计算6533+-x x 除以)2(-x 所得的商式及余数．2．用综合除法计算)23()2527(23-=-+-x x px x3．设1183)(234+-++=kx x x x x f 被3+x 整除，求k 的值．4．设2)(24+--=bx ax x x f 被())2(1++x x 整除，求b a ,的值．5．若b ax x x x f ++-=2332)(除以1+x 所得的余数为7，除以1-x 所得的余数为5，试求b a ,的值．6．多项式)(x f 除以)2(),1(--x x 和)3(-x 所得的余数分别为1，2，3求)(x f 除以)3)(2)(1(---x x x 所得的余式．7．已知多项式128)(23--+=x bx ax x f 被2-x 和3-x 整除，试求b a ,的值，并求)(x f 除以)3)(2(--x x 后所得的商式．8．若r px x 455+-被2)2(-x 整除，求q 与r 的值．9．若164-x 除以14-x 得256，求x 的值．10．若0132=--x x ，求200257623+-++x x x 的值．11．当m p ,为何值时，多项式23-+px x 能被12-+mx x 整除？整式的除法及余数定理作业1．设n mx x x f ++=2)(（n m ,都是整数）既是多项式25624++x x 的因式，又是多项式5284324+++x x x 的因式，求)(x f2．求一个关于x 的二次三项式)(x f ，它被1-x 除余2，被)2(-x 除余8，并且它被1+x 整除．3．用综合除法求商式和余式)4()181496(345+÷+-++x x x x x4．当2=x 或3=x 时，多项式6632)(234++++=bx x ax x x f 的值都为0，试求多项式)(x f 除以652+-x x 的商式和余式．。
整式的除法法则
整式的除法法则整式的除法法则是指在代数学中，对两个整式进行除法运算的规则。
整式的除法法则是代数学中的基本概念，它是解决代数问题的重要工具。
本文将介绍整式的除法法则的基本概念、步骤和相关例题。
一、整式的基本概念在代数学中，整式是由数字、变量和它们的乘积与幂的和构成的式子。
例如，3x^2+2xy-5是一个整式。
整式的除法是指对两个整式进行除法运算，得到商式和余式的过程。
在整式的除法中，被除式和除数都是整式，它们的系数可以是实数，也可以是复数。
二、整式的除法法则整式的除法包括长除法和短除法两种方法。
下面分别介绍这两种方法的具体步骤。
1. 长除法长除法是一种逐步相除的方法，适用于任意整式的除法运算。
其具体步骤如下：（1）将被除式和除数按照同类项排列。
（2）将被除式的最高次项与除数的最高次项相除，得到商式的最高次项。
（3）用商式的最高次项乘以除数，得到一个中间结果。
（4）将中间结果减去被除式，得到一个新的多项式。
（5）重复步骤（2）~（4），直到无法再相除为止，得到最终的商式和余式。
2. 短除法短除法是一种简化的除法方法，适用于除数为一次式的情况。
其具体步骤如下：（1）将被除式和除数按照同类项排列。
（2）用被除式的首项除以除数的首项，得到商式的首项。
（3）用商式的首项乘以除数，得到一个中间结果。
（4）将中间结果减去被除式，得到一个新的多项式。
（5）重复步骤（2）~（4），直到无法再相除为止，得到最终的商式和余式。
三、相关例题下面通过一些例题来演示整式的除法法则的具体应用。
例题1：计算多项式(3x^3-5x^2+2x-1)÷(x-2)。
解：按照长除法的步骤进行计算，首先将被除式和除数按照同类项排列：3x^3-5x^2+2x-1÷ x-2然后将被除式的最高次项与除数的最高次项相除，得到商式的最高次项3x^2。
用3x^2乘以除数x-2，得到一个中间结果3x^3-6x^2。
将中间结果减去被除式，得到一个新的多项式x^2+2x-1。
初中数学 如何计算整式的除法
初中数学如何计算整式的除法整式的除法是初中数学中的重要内容，它涉及到多项式的运算和化简。
在学习整式的除法时，我们需要掌握一些基本的步骤和方法。
本文将详细介绍如何计算整式的除法，并给出一些例题进行说明。
一、整式的定义首先，我们回顾一下整式的定义。
整式是由若干个单项式相加（减）而成的代数式。
例如，3x^2-2x+1就是一个整式。
其中，3x^2、-2x和1都是单项式，它们相加得到整式3x^2-2x+1。
二、整式的除法步骤整式的除法可以分为以下几个步骤：1. 确定被除式和除式：被除式是我们要进行除法运算的整式，除式是我们用来除以被除式的整式。
2. 规范被除式和除式的次序：将被除式和除式按照降幂的次序排列，确保最高次项在前。
3. 比较最高次项：将被除式和除式的最高次项进行比较。
a) 如果被除式的最高次项的次数小于除式的最高次项的次数，那么商式为0，余式为被除式。
b) 如果被除式的最高次项的次数大于或等于除式的最高次项的次数，那么继续进行下一步骤。
4. 计算商式的最高次项：将被除式的最高次项除以除式的最高次项，得到商式的最高次项。
5. 用商式的最高次项乘以除式，并减去得到的结果。
6. 将减去的结果与被除式的下一项相减，并得到新的被除式。
7. 重复步骤4-6，直到被除式的次数小于除式的次数。
8. 最后得到的商式即为整式的商式，被除式除以除式得到的余式即为整式的余式。
三、整式的除法例题现在，我们通过一些具体的例题来演示整式的除法计算。
例题1：计算(3x^3-5x^2+2x-1) ÷ (x-2)解：首先，我们将被除式和除式按照降幂的次序排列：被除式：3x^3-5x^2+2x-1除式：x-2比较最高次项：被除式的最高次项是3x^3，除式的最高次项是x。
被除式的最高次项的次数大于除式的最高次项的次数，我们可以继续进行计算。
计算商式的最高次项：将被除式的最高次项3x^3除以除式的最高次项x，得到3x^2。
用商式的最高次项乘以除式，并减去得到的结果：(3x^2)(x-2) = 3x^3-6x^2将减去的结果与被除式的下一项相减，并得到新的被除式：(3x^3-5x^2+2x-1) - (3x^3-6x^2) = x^2+2x-1现在，我们将新的被除式x^2+2x-1 作为被除式，继续进行下一步骤。
整式的除法(一)
02
CHAPTER
整式除法的基本操作
约分
01
02
03
约分定义
约分是整式除法中的一种 简化运算的方法，通过约 简多项式的分母，将多项 式化为最简形式。
约分步骤
首先识别多项式中的最大 公因式，然后将其约去， 使分母变为最小公倍式。
多定理的证明需要 用到整式除法。例如，证明多项 式函数的根的性质、证明不等式
等。
在物理问题中的应用
求解物理方程
在物理中，许多方程可以通过整式除法化简为一元一次方程 或一元二次方程，方便求解。例如，弹性力学中的应力-应变 关系、电路分析中的欧姆定律等。
计算物理量
在物理中，许多物理量的计算需要用到整式除法。例如，计 算速度、加速度、角速度等物理量时，需要用到整式除法来 计算单位换算和公式变换。
注意事项
约分时要注意保持等式的 等价性，即约分前后多项 式的值不变。
通分
通分定义
通分是将两个或多个分数 的分母统一，以便进行加 减运算的方法。
通分步骤
首先找到各个分数的最小 公倍数，然后将各个分数 化为具有相同分母的形式。
注意事项
通分时要注意保持等式的 等价性，即通分前后各分 数值不变。
乘法与除法的关系
公式法
总结词
公式法是利用整式除法的公式进行计 算的方法，适用于一些特定类型的多 项式除法，可以简化计算过程。
详细描述
公式法是通过使用特定的公式来计算整 式除法。例如，在计算$frac{x^3 - 1}{x - 1}$时，可以利用公式法，得到 $frac{(x - 1)(x^2 + x + 1)}{x - 1}$， 进一步化简得到$x^2 + x + 1$。
《整式的除法》课件
总结词
在整式除法中，利用代数公式可以简化 运算过程，提高计算的准确性。
VS
详细描述
在整式除法中，一些常用的代数公式如平 方差公式、完全平方公式等可以帮助我们 快速解决一些复杂的运算问题。例如，在 计算 (a+b)^2/(a-b) 时，可以利用平方 差公式进行化简，从而得到 (a+b)/(a-b) 的形式。
详细描述
设计一系列简单的整式除法题目，包 括单项式除以单项式、多项式除以单 项式等，旨在帮助学生熟悉整式除法 的基本概念和运算规则。
进阶练习题
总结词
提高运算能力和技巧
详细描述
设计一些稍具难度的整式除法题目，包括需要运用交换律、结合律、分配律等运算规则 的题目，旨在提高学生的运算能力和技巧。
综合练习题
04
整式除法的实际应用
在数学问题中的应用
代数方程求解
整式除法在代数方程求解中有着 广泛的应用，如一元二次方程、 一元高次方程等。通过整式除法 ，可以将方程化简，便于求解。
函数图像绘制
在数学函数图像绘制中，整式除法 可以用于计算函数值，从而绘制出 精确的函数图像。
数学分析
在数学分析中，整式除法可以用于 极限、导数和积分的计算，是数学 分析中重要的运算技巧之一。
整式除法运算
在数学中，整式除法运算是一种基本 的代数运算，用于简化代数表达式和 解决代数问题。
整式除法的运算顺序
01
02
03
04
先进行括号内的运算；
然后进行乘除运算，最后进行 加减运算；
同级运算按照从左到右的顺序 进行；
先进行乘方运算，再进行乘除 运算，最后进行加减运算。
整式除法的应用场景
01
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整式的除法(基础)知识讲解
整式的除法（基础）【学习目标】1. 会用同底数幂的除法性质进行计算．2. 会进行单项式除以单项式的计算．3. 会进行多项式除以单项式的计算． 【要点梳理】要点一、同底数幂的除法法则同底数幂相除，底数不变，指数相减，即mnm na a a-÷=（a ≠0，m n 、都是正整数，并且m n >）要点诠释：（1）同底数幂乘法与同底数幂的除法是互逆运算.（2）被除式、除式的底数相同，被除式的指数大于除式指数，0不能作除式. （3）当三个或三个以上同底数幂相除时，也具有这一性质. （4）底数可以是一个数，也可以是单项式或多项式. 要点二、零指数幂任何不等于0的数的0次幂都等于1.即01a =（a ≠0）要点诠释：底数a 不能为0，00无意义.任何一个常数都可以看作与字母0次方的积.因此常数项也叫0次单项式. 要点三、单项式除以单项式法则单项式相除，把系数与同底数幂分别相除作为商的因式，对于只有被除式里含有的字母，则连同它的指数作为商的一个因式.要点诠释：（1）法则包括三个方面：①系数相除；②同底数幂相除；③只在被除式里出现的字母，连同它的指数作为商的一个因式.（2）单项式除法的实质即有理数的除法（系数部分）和同底数幂的除法的组合，单项式除以单项式的结果仍为单项式.要点四、多项式除以单项式法则多项式除以单项式：先把多项式的每一项除以这个单项式，再把所得的商相加.即()am bm cm m am m bm m cm m a b c ++÷=÷+÷+÷=++要点诠释：（1）由法则可知，多项式除以单项式转化为单项式除以单项式来解决，其实质是将它分解成多个单项式除以单项式.（2）利用法则计算时，多项式的各项要包括它前面的符号，要注意符号的变化. 【典型例题】类型一、同底数幂的除法1、计算：（1）83x x ÷；（2）3()a a -÷；（3）52(2)(2)xy xy ÷；（4）531133⎛⎫⎛⎫-÷- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭．【思路点拨】利用同底数幂相除的法则计算．(2)、(4)两小题要注意符号． 【答案与解析】 解：（1）83835x x xx -÷==．（2）3312()a a aa --÷=-=-．（3）5252333(2)(2)(2)(2)8xy xy xy xy x y -÷===．（4）535321111133339-⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫-÷-=-=-= ⎪ ⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭． 【总结升华】（1）运用法则进行计算的关键是看底数是否相同．（2）运算中单项式的系数包括它前面的符号．类型二、单项式除以单项式2、计算：（1）342222(4)(2)x y x y ÷； （2）2137323m n m m n xy z x y x y z +⎛⎫÷÷- ⎪⎝⎭；（3）22[()()]()()x y x y x y x y +-÷+÷-； （4）2[12()()][4()()]a b b c a b b c ++÷++．【思路点拨】：（1）先乘方，再进行除法计算．（2）、（3）三个单项式连除按顺序计算．（3）、（4）中多项式因式当做一个整体参与计算． 【答案与解析】解：（1）342222684424(4)(2)1644x y x y x y x y x y ÷=÷=． （2）2137323m n m m n xy z x y x y z +⎛⎫÷÷- ⎪⎝⎭21373211()()()3m m m n n x x x y y y z z +⎡⎤⎛⎫=÷÷-÷÷÷÷÷ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦21432n xy z -=-．（3）22[()()]()()x y x y x y x y +-÷+÷-222()()()()x y x y x y x y =+-÷+÷- 2()()x y x y x y =-÷-=-．（4）2[12()()][4()()]a b b c a b b c ++÷++2(124)[()()][()()]a b a b b c b c =÷+÷++÷+3()33a b a b =+=+．【总结升华】（1）单项式的除法的顺序为：①系数相除；②相同字母相除；③被除式中单独有的字母，连同它的指数作为商的一个因式．（2）注意书写规范：系数不能用带分数表示，必须写成假分数． 举一反三： 【变式】计算：（1）3153a b ab ÷； （2）532253x y z x y -÷；（3）2221126a b c ab ⎛⎫⎛⎫-÷- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭； （4）63(1010)(210)⨯÷⨯． 【答案】解：（1）33202153(153)()()55a b ab a a b b a b a ÷=÷÷÷==． （2）532252323553(53)()()3x y z x y x x y y z x yz -÷=-÷÷÷=-． （3）22222201111()()332626a b c ab a a b b c ab c ac ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫-÷-=-÷-÷÷== ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦． （4）63633(1010)(210)(102)(1010)510⨯÷⨯=÷÷=⨯．3、夏天是多雷雨的季节，大家都知道，雷雨时往往是先看到闪电，后听到雷声，这是因为光的传播速度比声音的传播速度快的缘故．已知光在空气中的传播速度约为8310⨯米/秒，而声音在空气中的传播速度约为23.410⨯米/秒．（1）光的速度大约是声音速度的多少倍？（结果保留两个有效数字）（2）如果你看到闪电8秒后，才听到了雷声，那么你能算出闪电离你大约有多远吗？（注：光传播到地球的时间忽略不计）【答案与解析】解：（1）82826(310)(3.410)(3 3.4)(1010)0.88210⨯÷⨯=÷⨯÷⨯≈58.810⨯≈．（2）233.4108 2.72102720⨯⨯=⨯=（米）．【总结升华】在科学记数法表示的数10n a ⨯中，a 相当于单项式的系数，10n相当于单项式中的幂．类型三、多项式除以单项式4、计算：（1）324(67)x y x y xy -÷； （2）42(342)(2)x x x x -+-÷-； （3）22222(1284)(4)x y xy y y -+÷-； （4）232432110.3(0.5)36a b a b a b a b ⎛⎫--÷- ⎪⎝⎭． 【答案与解析】解：（1）32432423(67)(6)(7)67x y x y xy x y xy x y xy x y x -÷=÷+-÷=-． （2）42(342)(2)x x x x -+-÷-42[(3)(2)][4(2)][(2)(2)]x x x x x x =-÷-+÷-+-÷-33212x x =-+． （3）22222(1284)(4)x y xy y y -+÷-222222212(4)(8)(4)4(4)x y y xy y y y =÷-+-÷-+÷-2321x x =-+-（4）232432110.3(0.5)36a b a b a b a b ⎛⎫--÷- ⎪⎝⎭22322432110.3(0.5)(0.5)(0.5)36a b a b a b a b a b a b ⎛⎫⎛⎫=÷-+-÷-+-÷- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭22321533ab a b =-++．【总结升华】（1）多项式除以单项式是转化为单项式除以单项式来解决的．（2）利用法则计算时，不能漏项．特别是多项式中与除式相同的项，相除结果为1．（3）运算时要注意符号的变化． 举一反三：【高清课堂399108 整式的除法 例5】【变式】计算：（1）23233421(3)2(3)92xy x x xy y x y ⎡⎤--÷⎢⎥⎣⎦； （2）2[(2)(2)4()]6x y x y x y x +-+-÷． 【答案】解： （1）原式223239421922792x yx x x y y x y ⎛⎫=-÷ ⎪⎝⎭52510428(927)93x y x y x y x xy =-÷=-． （2）原式2222[44(2)]6x y x xy y x =-+-+÷2222(4484)6x y x xy y x =-+-+÷ 2(58)6x xy x =-÷5463x y =-．。
八年级数学整式的整除知识点
八年级数学整式的整除知识点数学整式的整除是中学数学中比较重要的基础知识，也是后续学习更加复杂的代数知识的前置技能。
八年级数学整式的整除包括了很多知识点，下面我们逐一讲解。
一、定理1：同类项的整除同类项指的是字母与字母、数字与数字之间能够对应的项。
例如3x^2与4x^2就是同类项，但是3x^2与4y^2就不是同类项。
同类项的整除原则是：当两个同类项的系数相等时，它们相除的结果为它们的代数式系数的商。
举例来说，现在我们要化简式子4x^3+8x^2+12x，可以先将公因数4x提取出来，也就是将每一项除以4x，得4x^3/4x + 8x^2/4x + 12x/4x = x^2+2x+3。
这里我们可以使用同类项的整除原则，将每一项除以4，进而发现x^2+2x+3已经是最简形式了。
二、定理2：余式定理余式定理是整式的一个重要性质，它可以用来确定整式除以另一个整式的余数。
余式定理的表述是：如果一个整式f(x)除以另一个一次式x-a(a为常数)的余数为f(a)。
例如，我们要求(x^3-2x^2+3x-4)÷(x-2)的余数，根据余式定理，我们只需要将2带入到f(x)中，求得的结果就是所求余数。
带入2后，得到f(2) = 8-8+6-4=2，因此所求余数为2。
三、定理3：因式定理因式定理是整式的一个重要性质，它可以把一些较为复杂的积式化简为一个二次式或者三次式的乘积。
因式定理的表述是：在整式的乘法中，若一个整式F(x)含有一个因式x-a，则F(a)为F(x)÷(x-a)的余数。
例如，我们要将整式3x^2+7x+2分解成(x+2)(3x+1)的形式，可以使用因式定理。
先找到其中一个因式，显然x=-2是3x^2+7x+2的一个根，此时F(x)除以(x+2)的余数为0，因此F(-2)=0。
接着我们可以使用余式定理求出F(x)÷(x+2)的商3x+1，进而得到原式为(3x+1)(x+2)。
四、定理4：多项式的公因式提取公因式提取也是整式的一个基本操作。
整式的除法教材分析
整式的除法教材分析整式的除法包括同底数幂的除法、单项式除以单项式、多项式队以单项式三部分，本单元知识是学习因式分解、分式、根式、函数等知识的基础，也是初中数学的重点之一。
一、教材分析（一）同底数幂的除法是整式除法的基础，它是根据除法与乘法的逆运算，归纳总结出来的，与前三个幂的运算性质所不同的是，这里a不能为零，否则为零，除法就失去了意义和负整数指数幂的意义，这是在m＞n的基础上使性质得到继续和深化。
（二）两个单项式相除，同样也是根据乘、除的互逆关系总结的，它是幂的运算性质的继续，也是学好多项式除以单项式的关键，两个单项式相除，分三个步骤：即系数相除，同底数的幂相除和只在被除式里含有的字母的处理，显然这里只研究的情况。
在具体运算时要系数相除与同底数幂相除的区别和混合运算的运算顺序。
（三）多项式除以单项式的法则是通过计算（am＋bm＋c）÷m导出的，指导方法是“转化”为单项式的除法，这里只讲整除情况，所以商也一定是一个多项式，要注意运算中商的各项符号。
二、教学思路除法是乘法的逆运算，在学习整式乘法的基础上，教师适当点拨，让学生自己通过观察、思考、尝试计算，去发现规律，概括总结法则，尝试运用，使学生主动地去探求问题的本质，即培养了学生的自学能力，也养成了学生良好的思维习惯。
7．8 同底数幂的除法（第一课时）一、素质教育目标（一）知识教学点1．理解和掌握同底数幂的除法的运算法则。
2．运用同底数幂的除法的运算法则，熟练、准确进行计算。
（二）能力训练点1．通过总结法则，培养学生的抽象概括能力。
2．训练学生的综合解题能力和计算能力。
（三）德育渗透点渗透逆向与对应的数学思想。
二、教学重点、难点、关键（一）重点准确、熟练地运用法则进行计算。
（二）难点根据乘、除互逆的运算关系得出法则（三）关键法则的正确运用及要求。
五、教学步骤（一）创设情境，复习导入前面我们学习了同底数幂的乘法，请同学们回答如下问题，看哪位同学回答得快而且准确1．途述同底数幂的乘法性质。
初中数学整式的除法法则
整式的除法法则整式的除法包括同底数幂的除法、单项式除以单项式、多项式队以单项式三部分，本单元知识是学习因式分解、分式、根式、函数等知识的基础，也是初中数学的重点之一．知识点1：同底数幂的除法法则：同底数幂相除，底数不变，指数相减．一般地设是正整数，，，注意：①运用法则的前提是底数相同；②底数可以是数、字母、也可以是单项式或多项式．误区点击：分析：错误原因是没有正确理解同底数幂的除法法则，应注意同底数幂相除，底数不变，指数相减，而不是相除．正确答案为说明：同底数幂的除法是整式除法的基础，它是根据除法与乘法的逆运算，归纳总结出来的，与前三个幂的运算性质所不同的是，这里a不能为零，否则为零，除法就失去了意义．知识点2：单项式除以单项式法则：两个单项式相除，把系数，同底数幂分别相除，对于只在被除式中出现的字母，则连同它的指数作为商的一个因式．单项式除以单项式分三步：①系数相除，特别注意系数包括前面的符号；②同底数幂相除③被除式中单独出现的字母连同它的指数作为商的一个因式．误区点击：分析：错误原因是没有掌握运算顺序，有括号先算括号里的，有乘方先算乘方，同级运算一定要先左后右．正确答案为说明：两个单项式相除，同样也是根据乘、除的互逆关系总结的，它是幂的运算性质的继续，也是学好多项式除以单项式的关键．在具体运算时要注意系数相除与同底数幂相除的区别和混合运算的运算顺序．知识点3：多项式除以单项式法则：多项式除以单项式就是把多项式的每一个项分别除以这个单项式，再把所得的商相加．即：多项式除以单项式，要把握两个要点：①用多项式的每一个项分别去除以这个单项式，也就是单项式相除；②单项式相除的商相加，作为结果的商．其实质就是把多项式除以单项式转化为单项式相除．注意：①多项式除以单项式所得的商的项数与这个多项式的项数相同；②多项式的每一个项除以单项式时，商中的符号由多项式中的每项的符号与单项式的符号共同确定．说明：多项式除以单项式的法则是通过计算（am＋bm＋c）÷m导出的，将多项式除以单项式“转化”为单项式的除法，这里只讲整除情况，所以商也一定是一个多项式，要注意运算中商的各项符号．。
数学知识点整式的乘法和除法
数学知识点整式的乘法和除法整式是数学中的一个概念，是指由常数和变量及它们的乘积通过加法和减法运算而得到的代数表达式。
整式的乘法和除法是数学中的重要内容，本文将详细介绍整式的乘法和除法。
一、整式的乘法：整式的乘法是指将两个整式相乘并化简的过程。
下面以一个具体的例子来说明整式的乘法运算。
例子：将整式(2x + 3)(4x + 5)用乘法方式展开并化简。
解答：首先，我们可以利用分配律将两个整式相乘：(2x + 3)(4x + 5) = 2x * 4x + 2x * 5 + 3 * 4x + 3 * 5接下来，根据乘法的法则，我们可以将每一项相乘并合并同类项：= 8x^2 + 10x + 12x + 15最后，将结果进行合并化简，得到最简整式：= 8x^2 + 22x + 15这样，我们就完成了整式的乘法运算。
二、整式的除法：整式的除法是指将一个整式除以另一个整式，并求得商式和余式的过程。
下面以一个具体的例子来说明整式的除法运算。
例子：计算整式5x^3 + 4x^2 - 3x + 7除以整式x + 2的商式和余式。
解答：首先，我们需要按照除法的步骤进行演算。
Step 1: 将被除式和除式按照降幂排列。
被除式：5x^3 + 4x^2 - 3x + 7除式：x + 2Step 2: 将除式的首项与被除式的首项进行除法运算，并将结果作为商式的首项。
首项相除：(5x^3) / x = 5x^2Step 3: 将商式的首项乘以除式，并将结果与被除式相减，得到一个新的多项式。
计算：(5x^2)(x + 2) = 5x^3 + 10x^2被除式减去：(5x^3 + 4x^2 - 3x + 7) - (5x^3 + 10x^2) = -6x^2 - 3x + 7 Step 4: 重复以上步骤，直到被除式的次数小于除式的次数为止。
继续进行除法运算：次项相除：(-6x^2) / x = -6x计算：(-6x)(x + 2) = -6x^2 - 12x被除式减去：(-6x^2 - 3x + 7) - (-6x^2 - 12x) = 9x + 7再次进行除法运算：次项相除：(9x) / x = 9计算：(9)(x + 2) = 9x + 18被除式减去：(9x + 7) - (9x + 18) = -11由于被除式的次数小于除式的次数，停止除法运算。
(用二)整式除法与因式分解
整式的除法及因式分解一．回顾知识点1、主要知识回顾：幂的运算性质：a m ·a n ＝a m ＋n （m 、n 为正整数）同底数幂相乘，底数不变，指数相加．()nm a ＝ a mn （m 、n 为正整数）幂的乘方，底数不变，指数相乘．()n n n b a ab = （n 为正整数）积的乘方等于各因式乘方的积．n m a a ÷＝ a m －n （a ≠0，m 、n 都是正整数，且m ＞n ）同底数幂相除，底数不变，指数相减． ★ 零指数幂的概念：a 0＝1 （a ≠0）任何一个不等于零的数的零指数幂都等于l ．★ 负指数幂的概念：a －p ＝p a 1（a ≠0，p 是正整数）任何一个不等于零的数的－p （是正整数）指数幂，等于这个数的p 指数幂的倒数．也可表示为：pp n m m n ⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎭⎫ ⎝⎛-（m ≠0，n ≠0，p 为正整数） 单项式的除法法则：单项式相除，把系数、同底数幂分别相除，作为商的因式：对于只在被除式里含有的字母，则连同它的指数作为商的一个因式．多项式除以单项式的法则：多项式除以单项式，先把这个多项式的每一项除以这个单项式，再把所得的商相加．2、乘法公式：①平方差公式：（a ＋b ）（a －b ）＝a 2－b 2文字语言叙述：两个数的和与这两个数的差相乘，等于这两个数的平方差．②完全平方公式：（a ＋b ）2＝a 2＋2ab ＋b 2（a －b ）2＝a 2－2ab ＋b 2文字语言叙述：两个数的和（或差）的平方等于这两个数的平方和加上（或减去）这两个数的积的2倍．3、因式分解：因式分解的定义．把一个多项式化成几个整式的乘积的形式，这种变形叫做把这个多项式因式分解．掌握其定义应注意以下几点：（1）分解对象是多项式，分解结果必须是积的形式，且积的因式必须是整式，这三个要素缺一不可；（2）因式分解必须是恒等变形；（3）因式分解必须分解到每个因式都不能分解为止．弄清因式分解与整式乘法的内在的关系．因式分解与整式乘法是互逆变形，因式分解是把和差化为积的形式，而整式乘法是把积化为和差的形式．二、熟练掌握因式分解的常用方法．1、提公因式法（1）掌握提公因式法的概念；（2）提公因式法的关键是找出公因式，公因式的构成一般情况下有三部分：①系数一各项系数的最大公约数；②字母——各项含有的相同字母；③指数——相同字母的最低次数；（3）提公因式法的步骤：第一步是找出公因式；第二步是提取公因式并确定另一因式．需注意的是，提取完公因式后，另一个因式的项数与原多项式的项数一致，这一点可用来检验是否漏项．（4）注意点：①提取公因式后各因式应该是最简形式，即分解到“底”；②如果多项式的第一项的系数是负的，一般要提出“－”号，使括号内的第一项的系数是正的．2、公式法运用公式法分解因式的实质是把整式中的乘法公式反过来使用；常用的公式：①平方差公式： a 2－b 2＝ （a ＋b ）（a －b ）②完全平方公式：a 2＋2ab ＋b 2＝（a ＋b ）2a 2－2ab ＋b 2＝（a －b ）2三、例题解析例1 计算：(1)28x 4y 2÷7x 3y ； (2)-5a 5b 3c ÷15a 4b ．注：单项式除以单项式，既要对系数进行运算，又要对相同字母进行指数运算，同时对只在一个单项式里含有的幂要加以注意.例2 计算(1)(12a 3-6a 2+3a)÷3a ； (2)(21x 4y 3-35x 3y 2+7x 2y 2)÷(-7x 2y )； (3)[(x+y )2-y(2x+y)-8x]÷2x注：这里重要的是能理解运算法则及其探索过程，能够运用自己的语言叙述如何进行运算，不必要求背诵法则．用字母概括法则是使算法一般化，可深化和发展对数的认识．例3、把下列各式分解因式：（1）25－16x 2; （2）9a 2－41b 2. 例4、把下列完全平方式分解因式：（1）2616x x +- （2）（m +n ）2－6（m +n ）+9. 解：222222616233316(3)5x x x x x +-=+⨯⨯+--=+-(35)(35)(8)(2)x x x x =+++-=+-说明：这种设法配成有完全平方式的方法叫做配方法，配方后将二次三项式化为两个平方式，然后用平方差公式分解． 例5、把下列各式分解因式：（1）3ax 2+6axy +3ay 2; （2）－x 2－4y 2+4xy .补充例题例题1.若6422=-a ，则a= ；若8)3(327-=⨯n ，则n= . 例题2.若125512=+x ，求x x +-2009)2(的值。
八年级l上册数学整式除法知识点
八年级l上册数学整式除法知识点数学是一门对很多人来说很具有挑战性的科目，尤其是整式除法这一知识点，更是让学生感到头疼。
然而同学们不必担心，我们来一起学习一下八年级上册数学整式除法的知识点。
一、整式的定义整式是由单项式按加减法原则加减而成的算式，其中每个单项式的系数和各项的指数组合在一起称为这个单项式的系数。
比如，3x²-5x+1就是一个整式。
二、整式除法的基本概念整式除法是在两个整式相除时的运算规则，如果被除式能够被除式整除，那么整除法结果是一个整式。
在整式除法中，被除式叫做被除数，除式叫做除数，商叫做商数，余数则是除法中剩下的部分。
三、整式除法的步骤整式除法的主要步骤如下：1.将被除数按指数从大到小依次排列。
2.将除数按指数从大到小依次排列。
3.将除数的第一项除以被除数的第一项，求出商数，并将其写在上面。
4.将商数乘以除数，得到乘积。
5.将乘积从被除数中减去，得到余数。
6.将余数与被除数进行比较，如果余数小于除数，则除法结束。
7.将商数和余数写在一起，成为最终结果。
四、整式除法的注意点在进行整式除法时需要注意以下几点：1.被除数和除数的项数应该相等，如果不等，需要在没有的项中加上零项。
2.不能将两个单项式相除。
3.当余数的项数少于除数的项数时，整式就不能再继续除下去，此时应该写出最终结果。
4.求商的时候，只需比较被除数与除数各对应项的指数是否相同，然后用被除数的系数除以除数的系数。
五、实例分析举个例子，我们假设我们需要把12x³+23x²+14x+9除以3x²+5x+3。
按照之前讲述的步骤，我们先把被除数和除数按照指数从大到小排列：12x³+23x²+14x+9÷ 3x²+5x+3将第一项除以第一项，得到4x。
然后将4x乘以整个除数，得到12x³+20x²+12x。
将这个结果减去被除数，得到3x²+2x+9，这就是我们的余数。
整式的除法概念及法则
整式的除法概念及法则一、整式的定义整式是代数式的一种形式，它由若干个代数式按照加法和减法运算符连接而成，且每个代数式都是整数或有理数的乘积。
整式通常用字母表示未知数，也可以用具体数字表示。
二、整式的除法概念整式的除法即将一个整式除以另一个整式的运算。
整式的除法可以简化代数式的表达，使得计算更加简便。
1. 一般的除法过程整式的除法过程与算术中的除法类似，主要包括以下步骤： - 将除式与被除式按照一定规则对齐。
- 依次将被除式里的每一项与除式的首项进行除法运算。
- 求商的步骤需要使用乘法和减法运算。
- 直至被除式的所有项都进行了除法运算，最后的余数项可以保留或继续进行进一步的合并化简。
2. 整式的除法的结果若整式A除以整式B的结果为整式C，则满足等式：A = B * C。
其中，整式C称为A除以B的商，若除法运算有余数，则余数也是整式。
三、整式除法的基本法则整式的除法具有一些基本的法则，我们可以根据这些法则进行整式的除法运算。
1. 除法的可逆性对于任意非零的整式A、B和C来说，若A除以B的商为C，则A除以C的商等于B，即：A / B = C，则 A / C = B。
2. 除法的唯一性对于任意非零的整式A、B、C和D来说，若A除以B的商为C，同时A除以B的商为D，则C和D相等，即：如果 A / B = C 且 A / B = D ，那么 C = D。
3. 除法的分配性对于任意非零的整式A、B、C和D来说，若A除以B的商为C，则A加上C乘以B的结果等于A乘以D的商，即： A / B = C 那么 A + C * B = A / D4. 除法的消去性对于任意非零的整式A、B、C和D来说，若A除以B的商为C，则A乘以D除以B乘以D的商等于C，即：如果 A / B = C ，那么 A * D / B * D = C。
四、整式除法的具体步骤整式除法的具体步骤如下： 1. 根据除法的定义，对于被除式和除式进行合理的排列，确保每一项按照幂次降序排列。
初中数学知识点精讲精析 整式的除法
1·9整式的除法1.单项式除以单项式法则单项式相除，把系数、同底数幂分别相除后，作为商的因式；对于只在被除式里含有的字母，则连同它的指数一起作为商的一个因式.步骤单项式除以单项式是按系数、同底数幂、被除式中单独有的字母三个步骤进行的，即根据有理数的运算法则将系数分别相除；对于被除式和除式中都有的字母，则按照同底数幂相除的法则分别相除；对于被除式单独有的字母，则连同它的指数作为商的一个因式.2．多项式除以单项式 m cm bm am ÷++)(根据除法是乘法逆运算可知，上式就是求一个多项式，使之与m 的乘积是cm bm am ++ cm bm am m c b a ++=⋅++)(c b a m cm bm am ++=÷++∴)(又知c b a m cm m bm m am ++=÷+÷+÷c b a m cm m bm m am m cm bm am ++=÷+÷+÷=÷++∴)(多项式除以单项式，其方法类似于乘法的分配律.多项式除以单项式的法则：先把这个多项式的每一项除以这个单项式，再把所得的商相加.3．小结：(l)当除式的系数为负数时，商式的各项符号与被除多项式各项的符号相反，要特别注意；(2)多项式除以单项式是利用相应法则，转化为单项式除以单项式而求得结果的．1. 计算：(1)28x 4y 2÷7x 3y ； (2)-5a 5b 3c ÷15a 4b 3；(3)-a 2x 4y 3÷(-65axy 2)； (4)(6x 2y 3)÷(3xy 2)2 【解析】(1)28x 4y 2÷7x 3y＝(28÷7)x 4-3·y 2-1＝4xy ；(2)-5a 5b 3c ÷15a 4b 3＝［(-5)÷15］a 5-4b 3-3c ＝-31ac ； (3)-a 2x 4y 3÷(-65axy 2) ＝［(-1)÷(-65)］a 2-1x 4-1y 3-2＝56ax 3y ； (4)(6x 2y 3)÷(3xy 2)2＝36x 4y 6÷9x 2y 4＝4x 2y2 2．计算：(1)a a a a 7)71428(23÷+-(2))6()2436(22334y x y x y x -÷-【解析】(1) a a a a 7)71428(23÷+-=a a a a a a 777)14(72823÷+÷-+÷ =1242+-a a(2))6()2436(22334y x y x y x -÷- y xy y x y x y x y x y x y x y x 2146)6()3()6()24()6(3622222223234-+-=-÷+-÷-+-÷=3．化简 x x x y y y x 2]8)4()2[(2÷-+-+分析：当被除式较复杂时，应先化简，注意复习完全平方公式【解析】 x x x y y y x 2]8)4()2[(2÷-+-+=x x xy y y xy x 2)8444(222÷---++=422)84(2-=÷-x x x x4. 若3n +m 能被10整除，你能说明，3n +4+m 也能被10整除．【解析】若将3n +4+m 变形成3n +m 与10的整数倍的和的形式，此题就可迎刃而解．逆用幂的运算法则，有3n +4+m =34×3n +m =81×3n +m=80×3n +(3n +m )，结论已明5．已知：2.54×210×0.1÷(5×106)=m ×10n (1≤m ＜10)．求m 、n 的值．【解析】逆用幂的运算法则，把等式的左边也转化成科学记数法的形式，便可求出m 、n 的值． 原式=2.54×(22)5×10-1÷(5×106)=2.54×44×4×10-1÷5×10-6=(2.5×4)4×4×10-1÷5×10-6=8×10-4=m ×10n．由科学记数法定义得m =8，n =-4．6． 计算：【解析】（）·÷133256245()()()x y x y x y -（）÷233332[()()()]()x x x x -++-（）÷31214161122332()()m n m n mn mn -+-（）原式·÷1932101245=()()()x y x y x y =()()9131445x y x y ÷=--9134145x y =999x y （）原式÷233332=-++-[()()()]()x x x x =-+-+()()x x x x 229693÷=-()()2632x x x ÷=-23632x x x x ÷÷()()()=-232x7. 【解析】（）原式÷÷÷31211214112161122332=---+-()()()()()()m n mn m n mn mn mn =---+-63222mn m n ()()=-+-63222mn m n 计算÷()()23455431a a a a n n n n +++----原式÷÷÷=-----+-+-+-()()()()()()253545514131a a a a a a n n n n n n =-----253545654a a a ()()=-++253545654a a a。
《整式的除法》课件
《整式的除法》课件
目 录
• 整式除法的定义与法则 • 整式除法的运算性质 • 整式除法的应用 • 整式除法与因式分解的联系 • 整式除法常见错误及防范措施
01
整式除法的定义与法则
整式除法的定义
整式除法是数学中基本的四则运算之一，是整式的除法运算 。
整式除法涉及到多项式除以单项式的运算，其运算法则是根 据多项式与单项式的除法法则进行计算。
详细描述
例如，将(ab)c÷(cd)算成(ab)^c/(cd)，而正确的计算结果应为(ab)^c/(cd)。这 种错误需要学生在进行乘方运算时特别注意符号的使用方法和解析
以 ax^2+bx+c=0 为例，利用整式的除法可得到两个一元一 次方程 ax+b=0 和 x^2+c=0，再分别求解即可。
应用解析
解题思路
整式的除法是数学中重要的基本技能之一，通过将复杂的多项式进行因式分 解，把高次方程转化为一元一次方程，从而降低解题难度，快速得到答案。
注意事项
在利用整式除法解题时，需要注意因式分解要彻底，直到不能继续分解为止 ，同时需关注符号和顺序等问题，避免出现错误。
在进行整式除法的计算时，可以将多项式转化为分数的形式，然后利用分数的除 法法则进行计算，这样就可以将复杂的计算简化。
02
整式除法的运算性质
乘除混合运算的性质
乘除混合运算的顺序是先乘后除，与加减法混合运算的顺序 相同。
乘除混合运算的结果可以用乘法分配律进行简化，例如$2 \times (a + b) = 2a + 2b$。
因式分解在整式除法中的应用
01
在进行整式除法计算时，可以先将多项式进行因式分解，将除 法转化为乘法
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整式的除法（基础）
【学习目标】
1. 会用同底数幂的除法性质进行计算．
2. 会进行单项式除以单项式的计算．
3. 会进行多项式除以单项式的计算．
【要点梳理】
要点一、同底数幂的除法法则
同底数幂相除，底数不变，指数相减，即m n m n a a a -÷=（a ≠0，m n 、都是正整数，并且m n >）
要点诠释：（1）同底数幂乘法与同底数幂的除法是互逆运算.
（2）被除式、除式的底数相同，被除式的指数大于除式指数，0不能作除式.
（3）当三个或三个以上同底数幂相除时，也具有这一性质.
（4）底数可以是一个数，也可以是单项式或多项式.
要点二、零指数幂
任何不等于0的数的0次幂都等于1.即01a =（a ≠0）
要点诠释：底数a 不能为0，00无意义.任何一个常数都可以看作与字母0次方的积.因此常数项也叫0次单项式.
要点三、单项式除以单项式法则
单项式相除，把系数与同底数幂分别相除作为商的因式，对于只有被除式里含有的字母，则连同它的指数作为商的一个因式.
要点诠释：（1）法则包括三个方面：①系数相除；②同底数幂相除；③只在被除式里出
现的字母，连同它的指数作为商的一个因式.
（2）单项式除法的实质即有理数的除法（系数部分）和同底数幂的除法的组
合，单项式除以单项式的结果仍为单项式.
要点四、多项式除以单项式法则
多项式除以单项式：先把多项式的每一项除以这个单项式，再把所得的商相加.即()am bm cm m am m bm m cm m a b c ++÷=÷+÷+÷=++
要点诠释：（1）由法则可知，多项式除以单项式转化为单项式除以单项式来解决，其实
质是将它分解成多个单项式除以单项式.
（2）利用法则计算时，多项式的各项要包括它前面的符号，要注意符号的变
化.
【典型例题】
类型一、同底数幂的除法
1、计算： （1）83x x ÷；（2）3()a a -÷；（3）52(2)(2)xy xy ÷；（4）53
1133⎛⎫⎛⎫-÷- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
． 【思路点拨】利用同底数幂相除的法则计算．(2)、(4)两小题要注意符号．
【答案与解析】
解：（1）83835x x x
x -÷==． （2）3312()a a a
a --÷=-=-． （3）5252333(2)(2)(2)
(2)8xy xy xy xy x y -÷===． （4）535321111133339-⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫-÷-=-=-= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭． 【总结升华】（1）运用法则进行计算的关键是看底数是否相同．（2）运算中单项式的系数包括它前面的符号．
类型二、单项式除以单项式
2、计算：
（1）342222(4)(2)x y x y ÷；
（2）2137323m n m m n x y z x y x y z +⎛⎫÷÷- ⎪⎝⎭
； （3）22[()()]()()x y x y x y x y +-÷+÷-；
（4）2[12()()][4()()]a b b c a b b c ++÷++．
【思路点拨】：（1）先乘方，再进行除法计算．（2）、（3）三个单项式连除按顺序计算．（3）、
（4）中多项式因式当做一个整体参与计算．
【答案与解析】
解：（1）342222684424(4)(2)1644x y x y x y x y x y ÷=÷=．
（2）2137323m n m m n x y z x y x y z +⎛⎫÷÷- ⎪⎝⎭
21432
n xy z -=-． （3）22
[()()]()()x y x y x y x y +-÷+÷- 2()()x y x y x y =-÷-=-．
（4）2
[12()()][4()()]a b b c a b b c ++÷++ 3()33a b a b =+=+．
【总结升华】（1）单项式的除法的顺序为：①系数相除；②相同字母相除；③被除式中单独有的字母，连同它的指数作为商的一个因式．（2）注意书写规范：系数不能用带分数表示，
必须写成假分数．
举一反三：
【变式】计算：
（1）3153a b ab ÷； （2）5322
53x y z x y -÷； （3）2221126a b c ab ⎛⎫⎛⎫-
÷- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
； （4）63(1010)(210)⨯÷⨯． 【答案】 解：（1）33202153(153)()()55a b ab a a b b a b a ÷=÷÷÷==．
（2）532252323553(53)()()3x y z x y x x y y z x yz -÷=-÷÷÷=-
． （3）22222201111()()332626a b c ab a a b b c ab c ac ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫-÷-=-÷-÷÷== ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦
． （4）63633(1010)(210)(102)(1010)510⨯÷⨯=÷÷=⨯．
3、夏天是多雷雨的季节，大家都知道，雷雨时往往是先看到闪电，后听到雷声，这是
因为光的传播速度比声音的传播速度快的缘故．已知光在空气中的传播速度约为8310⨯米/秒，而声音在空气中的传播速度约为23.410⨯米/秒．
（1）光的速度大约是声音速度的多少倍？（结果保留两个有效数字）
（2）如果你看到闪电8秒后，才听到了雷声，那么你能算出闪电离你大约有多远吗？
（注：光传播到地球的时间忽略不计）
【答案与解析】
解：（1）82826
(310)(3.410)(3 3.4)(1010)0.88210⨯÷⨯=÷⨯÷⨯≈58.810⨯≈． （2）233.4108 2.72102720⨯⨯=⨯=（米）．
【总结升华】在科学记数法表示的数10n a ⨯中，a 相当于单项式的系数，10n
相当于单项式中的幂．
类型三、多项式除以单项式
4、计算：
（1）324(67)x y x y xy -÷；
（2）42(342)(2)x x x x -+-÷-；
（3）22222(1284)(4)x y xy y y -+÷-；
（4）232432110.3(0.5)36a b a b a b a b ⎛⎫-
-÷- ⎪⎝⎭
． 【答案与解析】 解：（1）32432423
(67)(6)(7)67x y x y xy x y xy x y xy x y x -÷=÷+-÷=-．
（2）42(342)(2)x x x x -+-÷- 33212
x x =-+． （3）22222(1284)(4)x y xy y y -+÷-
（4）232432110.3(0.5)36a b a b a b a b ⎛
⎫--÷- ⎪⎝⎭ 22321533
ab a b =-++． 【总结升华】（1）多项式除以单项式是转化为单项式除以单项式来解决的．（2）利用法则计算时，不能漏项．特别是多项式中与除式相同的项，相除结果为1．（3）运算时要注意符号的变化．
举一反三：
【变式】计算：
（1）23233
421(3)2(3)92xy x x xy y x y ⎡
⎤--÷⎢⎥⎣⎦； （2）2[(2)(2)4()]6x y x y x y x +-+-÷．
【答案】
解： （1）原式2232
39421922792x y x x x y y x y ⎛
⎫=-÷ ⎪⎝⎭ 52510428(927)93x y x y x y x xy =-÷=-．
（2）原式2222
[44(2)]6x y x xy y x =-+-+÷ 5463
x y =-．。