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2015年湖南省高考数学试卷(理科)及答案

2015年湖南省高考数学试卷(理科)及答案

2015年湖南省高考数学试卷(理科)一、选择题,共10小题,每小题5分,共50分1.(5分)已知=1+i(i为虚数单位),则复数z=()A.1+i B.1﹣i C.﹣1+i D.﹣1﹣i2.(5分)设A、B是两个集合,则“A∩B=A”是“A⊆B”的()A.充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件3.(5分)执行如图所示的程序框图,如果输入n=3,则输出的S=()A.B.C.D.4.(5分)若变量x、y满足约束条件,则z=3x﹣y的最小值为()A.﹣7 B.﹣1 C.1 D.25.(5分)设函数f(x)=ln(1+x)﹣ln(1﹣x),则f(x)是()A.奇函数,且在(0,1)上是增函数B.奇函数,且在(0,1)上是减函数C.偶函数,且在(0,1)上是增函数D.偶函数,且在(0,1)上是减函数6.(5分)已知(﹣)5的展开式中含x的项的系数为30,则a=()A.B.﹣C.6 D.﹣67.(5分)在如图所示的正方形中随机投掷10000个点,则落入阴影部分(曲线C为正态分布N(0,1)的密度曲线)的点的个数的估计值为()附“若X﹣N=(μ,a2),则P(μ﹣σ<X≤μ+σ)=0.6826.p(μ﹣2σ<X≤μ+2σ)=0.9544.A.2386 B.2718 C.3413 D.47728.(5分)已知A,B,C在圆x2+y2=1上运动,且AB⊥BC,若点P的坐标为(2,0),则||的最大值为()A.6 B.7 C.8 D.99.(5分)将函数f(x)=sin2x的图象向右平移φ(0<φ<)个单位后得到函数g(x)的图象.若对满足|f(x1)﹣g(x2)|=2的x1、x2,有|x1﹣x2|min=,则φ=()A. B.C.D.10.(5分)某工件的三视图如图所示.现将该工件通过切削,加工成一个体积尽可能大的长方体新工件,并使新工件的一个面落在原工件的一个面内,则原工件材料的利用率为(材料利用率=)()A. B. C.D.二、填空题,共5小题,每小题5分,共25分11.(5分)(x﹣1)dx=.12.(5分)在一次马拉松比赛中,35名运动员的成绩(单位:分钟)的茎叶图如图所示.若将运动员成绩由好到差编号为1﹣35号,再用系统抽样方法从中抽取7人,则其中成绩在区间[139,151]上的运动员人数是.13.(5分)设F是双曲线C:﹣=1的一个焦点.若C上存在点P,使线段PF的中点恰为其虚轴的一个端点,则C的离心率为.14.(5分)设S n为等比数列{a n}的前n项和,若a1=1,且3S1,2S2,S3成等差数列,则a n=.15.(5分)已知函数f(x)=若存在实数b,使函数g(x)=f(x)﹣b有两个零点,则a的取值范围是.三、简答题,共1小题,共75分,16、17、18为选修题,任选两小题作答,如果全做,则按前两题计分选修4-1:几何证明选讲16.(6分)如图,在⊙O中,相交于点E的两弦AB,CD的中点分别是M,N,直线MO与直线CD相交于点F,证明:(1)∠MEN+∠NOM=180°(2)FE•FN=FM•FO.选修4-4:坐标系与方程17.(6分)已知直线l:(t为参数).以坐标原点为极点,x轴的正半轴为极轴建立极坐标系,曲线C的坐标方程为ρ=2cosθ.(1)将曲线C的极坐标方程化为直坐标方程;(2)设点M的直角坐标为(5,),直线l与曲线C的交点为A,B,求|MA|•|MB|的值.选修4-5:不等式选讲18.设a>0,b>0,且a+b=+.证明:(ⅰ)a+b≥2;(ⅱ)a2+a<2与b2+b<2不可能同时成立.19.设△ABC的内角A、B、C的对边分别为a、b、c,a=btanA,且B为钝角.(Ⅰ)证明:B﹣A=;(Ⅱ)求sinA+sinC的取值范围.20.某商场举行有奖促销活动,顾客购买一定金额商品后即可抽奖,每次抽奖都从装有4个红球、6个白球的甲箱和装有5个红球、5个白球的乙箱中,各随机摸出1个球,在摸出的2个球中,若都是红球,则获一等奖,若只有1个红球,则获二等奖;若没有红球,则不获奖.(1)求顾客抽奖1次能获奖的概率;(2)若某顾客有3次抽奖机会,记该顾客在3次抽奖中获一等奖的次数为X,求X的分布列和数学期望.21.如图,已知四棱台ABCD﹣A1B1C1D1的上、下底面分别是边长为3和6的正方形,AA1=6,且AA1⊥底面ABCD,点P、Q分别在棱DD1、BC上.(1)若P是DD1的中点,证明:AB1⊥PQ;(2)若PQ∥平面ABB1A1,二面角P﹣QD﹣A的余弦值为,求四面体ADPQ的体积.22.(13分)已知抛物线C1:x2=4y的焦点F也是椭圆C2:+=1(a>b>0)的一个焦点.C1与C2的公共弦长为2.(Ⅰ)求C2的方程;(Ⅱ)过点F的直线l与C1相交于A、B两点,与C2相交于C、D两点,且与同向.(ⅰ)若|AC|=|BD|,求直线l的斜率;(ⅱ)设C1在点A处的切线与x轴的交点为M,证明:直线l绕点F旋转时,△MFD总是钝角三角形.23.(13分)已知a>0,函数f(x)=e ax sinx(x∈[0,+∞]).记x n为f(x)的从小到大的第n(n∈N*)个极值点.证明:(Ⅰ)数列{f(x n)}是等比数列;(Ⅱ)若a≥,则对一切n∈N*,x n<|f(x n)|恒成立.2015年湖南省高考数学试卷(理科)参考答案与试题解析一、选择题,共10小题,每小题5分,共50分1.(5分)(2015•湖南)已知=1+i(i为虚数单位),则复数z=()A.1+i B.1﹣i C.﹣1+i D.﹣1﹣i【分析】由条件利用两个复数代数形式的乘除法法则,求得z的值.【解答】解:∵已知=1+i(i为虚数单位),∴z===﹣1﹣i,故选:D.2.(5分)(2015•湖南)设A、B是两个集合,则“A∩B=A”是“A⊆B”的()A.充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件【分析】直接利用两个集合的交集,判断两个集合的关系,判断充要条件即可.【解答】解:A、B是两个集合,则“A∩B=A”可得“A⊆B”,“A⊆B”,可得“A∩B=A”.所以A、B是两个集合,则“A∩B=A”是“A⊆B”的充要条件.故选:C.3.(5分)(2015•湖南)执行如图所示的程序框图,如果输入n=3,则输出的S=()A.B.C.D.【分析】列出循环过程中S与i的数值,满足判断框的条件即可结束循环.【解答】解:判断前i=1,n=3,s=0,第1次循环,S=,i=2,第2次循环,S=,i=3,第3次循环,S=,i=4,此时,i>n,满足判断框的条件,结束循环,输出结果:S===故选:B4.(5分)(2015•湖南)若变量x、y满足约束条件,则z=3x﹣y的最小值为()A.﹣7 B.﹣1 C.1 D.2【分析】由约束条件作出可行域,由图得到最优解,求出最优解的坐标,数形结合得答案.【解答】解:由约束条件作出可行域如图,由图可知,最优解为A,联立,解得C(0,﹣1).由解得A(﹣2,1),由,解得B(1,1)∴z=3x﹣y的最小值为3×(﹣2)﹣1=﹣7.故选:A.5.(5分)(2015•湖南)设函数f(x)=ln(1+x)﹣ln(1﹣x),则f(x)是()A.奇函数,且在(0,1)上是增函数B.奇函数,且在(0,1)上是减函数C.偶函数,且在(0,1)上是增函数D.偶函数,且在(0,1)上是减函数【分析】求出好的定义域,判断函数的奇偶性,以及函数的单调性推出结果即可.【解答】解:函数f(x)=ln(1+x)﹣ln(1﹣x),函数的定义域为(﹣1,1),函数f(﹣x)=ln(1﹣x)﹣ln(1+x)=﹣[ln(1+x)﹣ln(1﹣x)]=﹣f(x),所以函数是奇函数.排除C,D,正确结果在A,B,只需判断特殊值的大小,即可推出选项,x=0时,f(0)=0;x=时,f()=ln(1+)﹣ln(1﹣)=ln3>1,显然f(0)<f(),函数是增函数,所以B错误,A正确.故选:A.6.(5分)(2015•湖南)已知(﹣)5的展开式中含x的项的系数为30,则a=()A.B.﹣C.6 D.﹣6【分析】根据所给的二项式,利用二项展开式的通项公式写出第r+1项,整理成最简形式,令x的指数为求得r,再代入系数求出结果.【解答】解:根据所给的二项式写出展开式的通项,T r+1==;展开式中含x的项的系数为30,∴,∴r=1,并且,解得a=﹣6.故选:D.7.(5分)(2015•湖南)在如图所示的正方形中随机投掷10000个点,则落入阴影部分(曲线C为正态分布N(0,1)的密度曲线)的点的个数的估计值为()附“若X﹣N=(μ,a2),则P(μ﹣σ<X≤μ+σ)=0.6826.p(μ﹣2σ<X≤μ+2σ)=0.9544.A.2386 B.2718 C.3413 D.4772【分析】求出P(0<X≤1)=×0.6826=0.3413,即可得出结论.【解答】解:由题意P(0<X≤1)=×0.6826=0.3413,∴落入阴影部分点的个数的估计值为10000×0.3413=3413,故选:C.8.(5分)(2015•湖南)已知A,B,C在圆x2+y2=1上运动,且AB⊥BC,若点P 的坐标为(2,0),则||的最大值为()A.6 B.7 C.8 D.9【分析】由题意,AC为直径,所以||=|2+|.B为(﹣1,0)时,|2+|≤7,即可得出结论.【解答】解:由题意,AC为直径,所以||=|2+|所以B为(﹣1,0)时,|2+|≤7.所以||的最大值为7.故选:B.9.(5分)(2015•湖南)将函数f(x)=sin2x的图象向右平移φ(0<φ<)个单位后得到函数g(x)的图象.若对满足|f(x1)﹣g(x2)|=2的x1、x2,有|x1﹣x2|min=,则φ=()A. B.C.D.【分析】利用三角函数的最值,求出自变量x1,x2的值,然后判断选项即可.【解答】解:因为将函数f(x)=sin2x的周期为π,函数的图象向右平移φ(0<φ<)个单位后得到函数g(x)的图象.若对满足|f(x1)﹣g(x2)|=2的可知,两个函数的最大值与最小值的差为2,有|x1﹣x2|min=,不妨x1=,x2=,即g(x)在x2=,取得最小值,sin(2×﹣2φ)=﹣1,此时φ=,不合题意,x1=,x2=,即g(x)在x2=,取得最大值,sin(2×﹣2φ)=1,此时φ=,满足题意.故选:D.10.(5分)(2015•湖南)某工件的三视图如图所示.现将该工件通过切削,加工成一个体积尽可能大的长方体新工件,并使新工件的一个面落在原工件的一个面内,则原工件材料的利用率为(材料利用率=)()A. B. C.D.【分析】根据三视图可判断其为圆锥,底面半径为1,高为2,求解体积.利用几何体的性质得出此长方体底面边长为n的正方形,高为x,利用轴截面的图形可判断得出n=(1﹣),0<x<2,求解体积式子,利用导数求解即可,最后利用几何概率求解即.【解答】解:根据三视图可判断其为圆锥,∵底面半径为1,高为2,∴V=×2=∵加工成一个体积尽可能大的长方体新工件,∴此长方体底面边长为n的正方形,高为x,∴根据轴截面图得出:=,解得;n=(1﹣),0<x<2,∴长方体的体积Ω=2(1﹣)2x,Ω′=x2﹣4x+2,∵,Ω′=x2﹣4x+2=0,x=,x=2,∴可判断(0,)单调递增,(,2)单调递减,Ω最大值=2(1﹣)2×=,∴原工件材料的利用率为=×=,故选:A二、填空题,共5小题,每小题5分,共25分11.(5分)(2015•湖南)(x﹣1)dx=0.【分析】求出被积函数的原函数,代入上限和下限求值.【解答】解:(x﹣1)dx=(﹣x)|=0;故答案为:0.12.(5分)(2015•湖南)在一次马拉松比赛中,35名运动员的成绩(单位:分钟)的茎叶图如图所示.若将运动员成绩由好到差编号为1﹣35号,再用系统抽样方法从中抽取7人,则其中成绩在区间[139,151]上的运动员人数是4.【分析】根据茎叶图中的数据,结合系统抽样方法的特征,即可求出正确的结论.【解答】解:根据茎叶图中的数据,得;成绩在区间[139,151]上的运动员人数是20,用系统抽样方法从35人中抽取7人,成绩在区间[139,151]上的运动员应抽取7×=4(人).故答案为:4.13.(5分)(2015•湖南)设F是双曲线C:﹣=1的一个焦点.若C上存在点P,使线段PF的中点恰为其虚轴的一个端点,则C的离心率为.【分析】设F(c,0),P(m,n),(m<0),设PF的中点为M(0,b),即有m=﹣c,n=2b,将中点M的坐标代入双曲线方程,结合离心率公式,计算即可得到.【解答】解:设F(c,0),P(m,n),(m<0),设PF的中点为M(0,b),即有m=﹣c,n=2b,将点(﹣c,2b)代入双曲线方程可得,﹣=1,可得e2==5,解得e=.故答案为:.14.(5分)(2015•湖南)设S n为等比数列{a n}的前n项和,若a1=1,且3S1,2S2,S3成等差数列,则a n=3n﹣1.【分析】利用已知条件列出方程求出公比,然后求解等比数列的通项公式.【解答】解:设等比数列的公比为q,S n为等比数列{a n}的前n项和,若a1=1,且3S1,2S2,S3成等差数列,可得4S2=S3+3S1,a1=1,即4(1+q)=1+q+q2+3,q=3.∴a n=3n﹣1.故答案为:3n﹣1.15.(5分)(2015•湖南)已知函数f(x)=若存在实数b,使函数g(x)=f(x)﹣b有两个零点,则a的取值范围是{a|a<0或a>1} .【分析】由g(x)=f(x)﹣b有两个零点可得f(x)=b有两个零点,即y=f(x)与y=b的图象有两个交点,则函数在定义域内不能是单调函数,结合函数图象可求a的范围【解答】解:∵g(x)=f(x)﹣b有两个零点,∴f(x)=b有两个零点,即y=f(x)与y=b的图象有两个交点,由x3=x2可得,x=0或x=1①当a>1时,函数f(x)的图象如图所示,此时存在b,满足题意,故a>1满足题意②当a=1时,由于函数f(x)在定义域R上单调递增,故不符合题意③当0<a<1时,函数f(x)单调递增,故不符合题意④a=0时,f(x)单调递增,故不符合题意⑤当a<0时,函数y=f(x)的图象如图所示,此时存在b使得,y=f(x)与y=b 有两个交点综上可得,a<0或a>1故答案为:{a|a<0或a>1}三、简答题,共1小题,共75分,16、17、18为选修题,任选两小题作答,如果全做,则按前两题计分选修4-1:几何证明选讲16.(6分)(2015•湖南)如图,在⊙O中,相交于点E的两弦AB,CD的中点分别是M,N,直线MO与直线CD相交于点F,证明:(1)∠MEN+∠NOM=180°(2)FE•FN=FM•FO.【分析】(1)证明O,M,E,N四点共圆,即可证明∠MEN+∠NOM=180°(2)证明△FEM∽△FON,即可证明FE•FN=FM•FO.【解答】证明:(1)∵N为CD的中点,∴ON⊥CD,∵M为AB的中点,∴OM⊥AB,在四边形OMEN中,∴∠OME+∠ONE=90°+90°=180°,∴O,M,E,N四点共圆,∴∠MEN+∠NOM=180°(2)在△FEM与△FON中,∠F=∠F,∠FME=∠FNO=90°,∴△FEM∽△FON,∴=∴FE•FN=FM•FO.选修4-4:坐标系与方程17.(6分)(2015•湖南)已知直线l:(t为参数).以坐标原点为极点,x轴的正半轴为极轴建立极坐标系,曲线C的坐标方程为ρ=2cosθ.(1)将曲线C的极坐标方程化为直坐标方程;(2)设点M的直角坐标为(5,),直线l与曲线C的交点为A,B,求|MA|•|MB|的值.【分析】(1)曲线的极坐标方程即ρ2=2ρcosθ,根据极坐标和直角坐标的互化公式得x2+y2=2x,即得它的直角坐标方程;(2)直线l的方程化为普通方程,利用切割线定理可得结论.【解答】解:(1)∵ρ=2cosθ,∴ρ2=2ρcosθ,∴x2+y2=2x,故它的直角坐标方程为(x﹣1)2+y2=1;(2)直线l:(t为参数),普通方程为,(5,)在直线l上,过点M作圆的切线,切点为T,则|MT|2=(5﹣1)2+3﹣1=18,由切割线定理,可得|MT|2=|MA|•|MB|=18.选修4-5:不等式选讲18.(2015•湖南)设a>0,b>0,且a+b=+.证明:(ⅰ)a+b≥2;(ⅱ)a2+a<2与b2+b<2不可能同时成立.【分析】(ⅰ)由a>0,b>0,结合条件可得ab=1,再由基本不等式,即可得证;(ⅱ)运用反证法证明.假设a2+a<2与b2+b<2可能同时成立.结合条件a>0,b>0,以及二次不等式的解法,可得0<a<1,且0<b<1,这与ab=1矛盾,即可得证.【解答】证明:(ⅰ)由a>0,b>0,则a+b=+=,由于a+b>0,则ab=1,即有a+b≥2=2,当且仅当a=b取得等号.则a+b≥2;(ⅱ)假设a2+a<2与b2+b<2可能同时成立.由a2+a<2及a>0,可得0<a<1,由b2+b<2及b>0,可得0<b<1,这与ab=1矛盾.a2+a<2与b2+b<2不可能同时成立.19.(2015•湖南)设△ABC的内角A、B、C的对边分别为a、b、c,a=btanA,且B为钝角.(Ⅰ)证明:B﹣A=;(Ⅱ)求sinA+sinC的取值范围.【分析】(Ⅰ)由题意和正弦定理可得sinB=cosA,由角的范围和诱导公式可得;(Ⅱ)由题意可得A∈(0,),可得0<sinA<,化简可得sinA+sinC=﹣2(sinA﹣)2+,由二次函数区间的最值可得.【解答】解:(Ⅰ)由a=btanA和正弦定理可得==,∴sinB=cosA,即sinB=sin(+A)又B为钝角,∴+A∈(,π),∴B=+A,∴B﹣A=;(Ⅱ)由(Ⅰ)知C=π﹣(A+B)=π﹣(A++A)=﹣2A>0,∴A∈(0,),∴sinA+sinC=sinA+sin(﹣2A)=sinA+cos2A=sinA+1﹣2sin2A=﹣2(sinA﹣)2+,∵A∈(0,),∴0<sinA<,∴由二次函数可知<﹣2(sinA﹣)2+≤∴sinA+sinC的取值范围为(,]20.(2015•湖南)某商场举行有奖促销活动,顾客购买一定金额商品后即可抽奖,每次抽奖都从装有4个红球、6个白球的甲箱和装有5个红球、5个白球的乙箱中,各随机摸出1个球,在摸出的2个球中,若都是红球,则获一等奖,若只有1个红球,则获二等奖;若没有红球,则不获奖.(1)求顾客抽奖1次能获奖的概率;(2)若某顾客有3次抽奖机会,记该顾客在3次抽奖中获一等奖的次数为X,求X的分布列和数学期望.【分析】(1)记事件A1={从甲箱中摸出一个球是红球},事件A2={从乙箱中摸出一个球是红球},事件B1={顾客抽奖1次获一等奖},事件A2={顾客抽奖1次获二等奖},事件C={顾客抽奖1次能获奖},利用A1,A2相互独立,,互斥,B1,B2互斥,然后求出所求概率即可.(2)顾客抽奖1次可视为3次独立重复试验,判断X~B.求出概率,得到X的分布列,然后求解期望.【解答】解:(1)记事件A1={从甲箱中摸出一个球是红球},事件A2={从乙箱中摸出一个球是红球},事件B1={顾客抽奖1次获一等奖},事件B2={顾客抽奖1次获二等奖},事件C={顾客抽奖1次能获奖},由题意A1,A2相互独立,,互斥,B1,B2互斥,且B1=A1A2,B2=+,C=B1+B2,因为P(A1)=,P(A2)=,所以,P(B1)=P(A1)P(A2)==,P(B2)=P()+P()=+==,故所求概率为:P(C)=P(B1+B2)=P(B1)+P(B2)=.(2)顾客抽奖1次可视为3次独立重复试验,由(1)可知,顾客抽奖1次获一等奖的概率为:所以.X~B.于是,P(X=0)==,P(X=1)==,P(X=2)==,P(X=3)==.故X的分布列为:X0123PE(X)=3×=.21.(2015•湖南)如图,已知四棱台ABCD﹣A1B1C1D1的上、下底面分别是边长为3和6的正方形,AA1=6,且AA1⊥底面ABCD,点P、Q分别在棱DD1、BC上.(1)若P是DD1的中点,证明:AB1⊥PQ;(2)若PQ∥平面ABB1A1,二面角P﹣QD﹣A的余弦值为,求四面体ADPQ的体积.【分析】(1)首先以A为原点,AB,AD,AA1所在直线分别为x,y,z轴,建立空间直角坐标系,求出一些点的坐标,Q在棱BC上,从而可设Q(6,y1,0),只需求即可;(2)设P(0,y2,z2),根据P在棱DD1上,从而由即可得到z2=12﹣2y2,从而表示点P坐标为P(0,y2,12﹣2y2).由PQ∥平面ABB1A1便知道与平面ABB1A1的法向量垂直,从而得出y1=y2,从而Q点坐标变成Q(6,y2,0),设平面PQD的法向量为,根据即可表示,平面AQD的一个法向量为,从而由即可求出y2,从而得出P点坐标,从而求出三棱锥P﹣AQD的高,而四面体ADPQ 的体积等于三棱锥P﹣AQD的体积,从而求出四面体的体积.【解答】解:根据已知条件知AB,AD,AA1三直线两两垂直,所以分别以这三直线为x,y,z轴,建立如图所示空间直角坐标系,则:A(0,0,0),B(6,0,0),D(0,6,0),A1(0,0,6),B1(3,0,6),D1(0,3,6);Q在棱BC上,设Q(6,y1,0),0≤y1≤6;∴(1)证明:若P是DD1的中点,则P;∴,;∴;∴;∴AB1⊥PQ;(2)设P(0,y2,z2),y2,z2∈[0,6],P在棱DD1上;∴,0≤λ≤1;∴(0,y2﹣6,z2)=λ(0,﹣3,6);∴;∴z2=12﹣2y2;∴P(0,y2,12﹣2y2);∴;平面ABB1A1的一个法向量为;∵PQ∥平面ABB1A1;∴=6(y1﹣y2)=0;∴y1=y2;∴Q(6,y2,0);设平面PQD的法向量为,则:;∴,取z=1,则;又平面AQD的一个法向量为;又二面角P﹣QD﹣A的余弦值为;∴;解得y2=4,或y2=8(舍去);∴P(0,4,4);∴三棱锥P﹣ADQ的高为4,且;∴V四面体ADPQ =V三棱锥P﹣ADQ=.22.(13分)(2015•湖南)已知抛物线C1:x2=4y的焦点F也是椭圆C2:+=1(a>b>0)的一个焦点.C1与C2的公共弦长为2.(Ⅰ)求C2的方程;(Ⅱ)过点F的直线l与C1相交于A、B两点,与C2相交于C、D两点,且与同向.(ⅰ)若|AC|=|BD|,求直线l的斜率;(ⅱ)设C1在点A处的切线与x轴的交点为M,证明:直线l绕点F旋转时,△MFD总是钝角三角形.【分析】(Ⅰ)根据两个曲线的焦点相同,得到a2﹣b2=1,再根据C1与C2的公共弦长为2,得到=1,解得即可求出;(Ⅱ)设出点的坐标,(ⅰ)根据向量的关系,得到(x1+x2)2﹣4x1x2=(x3+x4)2﹣4x3x4,设直线l的方程,分别与C1,C2构成方程组,利用韦达定理,分别代入得到关于k的方程,解得即可;(ⅱ)根据导数的几何意义得到C1在点A处的切线方程,求出点M的坐标,利用向量的乘积∠AFM是锐角,问题得以证明.【解答】解:(Ⅰ)抛物线C1:x2=4y的焦点F的坐标为(0,1),因为F也是椭圆C2的一个焦点,∴a2﹣b2=1,①,又C1与C2的公共弦长为2,C1与C2的都关于y轴对称,且C1的方程为x2=4y,由此易知C1与C2的公共点的坐标为(±,),所以=1,②,联立①②得a2=9,b2=8,故C2的方程为+=1.(Ⅱ)设A(x1,y1),B(x2,y2),C(x3,y3),D(x4,y4),(ⅰ)因为与同向,且|AC|=|BD|,所以=,从而x3﹣x1=x4﹣x2,即x1﹣x2=x3﹣x4,于是(x1+x2)2﹣4x1x2=(x3+x4)2﹣4x3x4,③设直线的斜率为k,则l的方程为y=kx+1,由,得x2﹣4kx﹣4=0,而x1,x2是这个方程的两根,所以x1+x2=4k,x1x2=﹣4,④由,得(9+8k2)x2+16kx﹣64=0,而x3,x4是这个方程的两根,所以x3+x4=,x3x4=﹣,⑤将④⑤代入③,得16(k2+1)=+,即16(k2+1)=,所以(9+8k2)2=16×9,解得k=±.(ⅱ)由x2=4y得y′=x,所以C1在点A处的切线方程为y﹣y1=x1(x﹣x1),即y=x1x﹣x12,令y=0,得x=x1,M(x1,0),所以=(x1,﹣1),而=(x1,y1﹣1),于是•=x12﹣y1+1=x12+1>0,因此∠AFM是锐角,从而∠MFD=180°﹣∠AFM是钝角,故直线l绕点F旋转时,△MFD总是钝角三角形.23.(13分)(2015•湖南)已知a>0,函数f(x)=e ax sinx(x∈[0,+∞]).记x n为f(x)的从小到大的第n(n∈N*)个极值点.证明:(Ⅰ)数列{f(x n)}是等比数列;(Ⅱ)若a≥,则对一切n∈N*,x n<|f(x n)|恒成立.【分析】(Ⅰ)求出导数,运用两角和的正弦公式化简,求出导数为0的根,讨论根附近的导数的符号相反,即可得到极值点,求得极值,运用等比数列的定义即可得证;(Ⅱ)由sinφ=,可得对一切n∈N*,x n<|f(x n)|恒成立.即为nπ﹣φ<e a(nπ﹣φ)恒成立⇔<,①设g(t)=(t>0),求出导数,求得最小值,由恒成立思想即可得证.【解答】证明:(Ⅰ)f′(x)=e ax(asinx+cosx)=•e ax sin(x+φ),tanφ=,0<φ<,令f′(x)=0,由x≥0,x+φ=mπ,即x=mπ﹣φ,m∈N*,对k∈N,若(2k+1)π<x+φ<(2k+2)π,即(2k+1)π﹣φ<x<(2k+2)π﹣φ,则f′(x)<0,因此在((m﹣1)π﹣φ,mπ﹣φ)和(mπ﹣φ,(m+1)π﹣φ)上f′(x)符号总相反.于是当x=nπ﹣φ,n∈N*,f(x)取得极值,所以x n=nπ﹣φ,n∈N*,此时f(x n)=e a(nπ﹣φ)sin(nπ﹣φ)=(﹣1)n+1e a(nπ﹣φ)sinφ,易知f(x n)≠0,而==﹣e aπ是常数,故数列{f(x n)}是首项为f(x1)=e a(π﹣φ)sinφ,公比为﹣e aπ的等比数列;(Ⅱ)由sinφ=,可得对一切n∈N*,x n<|f(x n)|恒成立.即为nπ﹣φ<e a(nπ﹣φ)恒成立⇔<,①设g(t)=(t>0),g′(t)=,当0<t<1时,g′(t)<0,g(t)递减,当t>1时,g′(t)>0,g(t)递增.t=1时,g(t)取得最小值,且为e.因此要使①恒成立,只需<g(1)=e,只需a>,当a=,tanφ==,且0<φ<,可得<φ<,于是π﹣φ<<,且当n≥2时,nπ﹣φ≥2π﹣φ>>,因此对n∈N*,ax n=≠1,即有g(ax n)>g(1)=e=,故①亦恒成立.综上可得,若a≥,则对一切n∈N*,x n<|f(x n)|恒成立.。

2015年高考湖南理科数学试题及答案(详解纯word版)

2015年高考湖南理科数学试题及答案(详解纯word版)

2015年普通高等学校招生全国统一考试(湖南卷)数 学(理科)本试题卷包括选择题、填空题和解答题三部分,时量120分钟,满分150分一、选择题:本大题共10小题,每小题5分,共50分. 在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1. 已知i zi +=-1)1(2(i 是虚数单位),则复数z=A. i +1B. i -1C. i +-1D. i --12. 设A 、B 是两个集合,则“A B A = ”是“B A ⊆”的A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件 3. 执行如图所示的程序框图,如果输入的3=n ,则输出的S =A.76 B. 73C. 98D. 944. 若变量x, y 满足约束条件⎪⎩⎪⎨⎧≤≤--≥+1121y y x y x ,则yx z -=3的最小值为A. 7-B. 1-C. 1D. 2 5. 设函数)1ln()1ln()(x x x f --+=,则)(x f 是A. 奇函数,且在)1,0(是增函数B. 奇函数,且在)1,0(是减函数C. 偶函数,且在)1,0(是增函数D. 偶函数,且在)1,0(是减函数 6. 已知5)(xa x -的展开式中含23x 的项的系数为30,则=aA. 3B. 3-C. 6D. 6- 7. 在如图2所示的正方形中随机投掷10000个点,则落入阴影部分(曲线C 为正态分布)1,0(N 的密度曲线)的点的个数的估计值为A. 2386B. 2718C. 3413D. 4772附:若),(~2σμN X ,则6826.0)(=+≤<-σμσμX P , 9544.0)22(=+≤<-σμσμX P.8. 已知点A, B, C 在圆122=+y x 上运动,且BC AB ⊥ . 若点P 的坐标为)0,2(, 则||PC PB PA ++的最大值为A. 6B. 7C. 8D. 9 9. 将函数x x f 2sin )(=的图象向右平移ϕ)20(πϕ<<个单位后得到函数)(x g 的图象,若对满足2|)()(|21=-x g x f 的1x ,2x ,有3||min 21π=-x x ,则=ϕA. 125πB. 3πC.4π D. 6π 10. 某工件的三视图如图所示,现将该工件通过切削,加工成体积尽可能大的长方体新工件,并使新工件的一个面落在原工件的一个面内,则原工件材料的利用率为(材料的利用率原工件的体积新工件的体积=) A. π98 B. π916C.π2124)-( D.π21212)-(二、填空题:本大题共5小题,每小题5分,共25分. 11.⎰=-20)1(dx x __________.12. 在一次马拉松比赛中,35名运动员的成绩(单位:分钟)茎叶图如图所示若将运动员按成绩由好到差编为1-35号,再用系统抽样的方法从中抽取7人,则其中成绩在区间]151,139[上的运动员的人数是_________.13. 设F 是双曲线C 1:2222=-by a x 的一个焦点,若C 上存在点P ,使线段PF 的中点恰为其虚轴的一个端点,则C 的离心率为________.14.设n S 为等比数列}{n a 的前n 项和,若11=a ,且321,2,3S S S 成等差数列,则=n a ___________.15. 已知函数⎪⎩⎪⎨⎧>≤=.,,,)(23a x x a x x x f 若存在实数b ,使函数b x f x g -=)()(有两个零点,则a 的取值范围是___________.俯视图侧视图正视图三、解答题:本大题共6小题,共75分. 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 16. (本小题满分12分)本小题有Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ三个选做题,请考生任选两题作答,并将解答过程写在答题纸中相应题号的答题区域内,如果全做,则按所做的前两题计分. Ⅰ.(本小题满分6分)选修4-1 几何证明选讲如图,在⊙O 中,相交于点E 的两弦AB ,CD 的中点分别是M ,N ,直线MO 与直线CD 相交于点F ,证明:(i ) 180=∠+∠NOM MEN ; (ii )FO FM FN FE ⋅=⋅. Ⅱ.(本小题满分6分)选修4-4 坐标系与参数方程已知直线l ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+=+=.213,235:t y t x (t 为参数),以坐标原点为极点,x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系,曲线C 的极坐标方程为θρcos 2=.(i )将曲线C 的极坐标方程化为直角坐标方程;(ii )设点M 的直角坐标为)3,5(,直线l 与曲线C 的交点为A ,B ,求||||MB MA ⋅的值. Ⅲ.(本小题满分6分)选修4-5 不等式选讲 设0,0>>b a ,且ba b a 11+=+,证明: (i ) 2≥+b a ;(ii )22<+a a 与22<+b b 不可能同时成立.F17. (本小题满分12分)设ABC ∆的内角C B A ,,的对边分别为c b a ,,,A b a tan =,且B 为钝角. (Ⅰ) 证明:2π=-A B ;(Ⅱ) 求C A sin sin +的取值范围.18. (本小题满分12分)某商场举行有奖促销活动,顾客购买一定金额的商品后即可抽奖. 每次抽奖都是从装有4个红球、6个白球的甲箱和装有5个红球、5个白球的乙箱中,各随机摸出1个球. 在摸出的2球中,若都是红球,则获一等奖;若只有1个红球,则获二等奖;若没有红球,则不获奖. (Ⅰ) 求顾客抽奖1次能获奖的概率; (Ⅱ) 若某顾客有3次抽奖的机会,记该顾客在3次抽奖中获一等奖的次数为X ,求X 的分布列和数学期望.19. (本小题满分13分)如图,在四棱台1111D C B A ABCD -的上、下底面分别是边长为3和6的正方形,61=AA ,且⊥1AA 底面ABCD ,点P ,Q 分别在棱1DD ,BC 上. (Ⅰ) 若点P 是1DD 的中点,证明:PQ AB ⊥1; (Ⅱ) 若//PQ 平面11A ABB ,二面角A QD P --的余弦值为73,求四面体ADPQ 的体积.BDQ20. (本小题满分13分)已知抛物线1C y x 4:2=的焦点F 也是椭圆2C )0(1:2222>>=+b a bx a y 的一个焦点,1C 与2C 的公共弦长为62. (Ⅰ) 求2C 的方程;(Ⅱ) 过点F 的直线l 与1C 相交于A ,B 两点,与2C 相交于C ,D 两点,且与同向.(i ) 若||||BD AC =,求直线l 的斜率;(ii )设1C 在点A 处的切线与x 轴的交点为M ,证明:直线l 绕点F 旋转时,MFD ∆总是钝角三角形.21. (本小题满分13分)已知0>a ,函数)),0[(sin )(∞+∈=x x e x f ax ,记n x 为)(x f 的从小到大的第n *)(N n ∈个极值点. 证明: (Ⅰ) 数列)}({n x f 是等比数列; (Ⅱ) 若112-≥e a ,则对一切*N n ∈,|)(|n n x f x <恒成立.2015年高考湖南卷理科数学参考答案一、选择题D C B A A D C B D A 二、填空题 11. 0 12. 4 13.5 14. 13-n 15. ),1()0,(∞+-∞三、解答题 16. Ⅰ. 证明:(i )如图,因为M ,N 分别是两弦AB ,CD 的中点,所以AB OM ⊥, CD ON ⊥,即90=∠=∠ONE OME ,因此 180=∠+∠ONE OME ,又四边形的内角和等于 360,故 180=∠+∠NOM MEN .(ii ) 由(i )知, O ,M ,E ,N 四点共圆,故由割线定理即得FO FM FN FE ⋅=⋅.Ⅱ.解: (i )θρcos 2=等价于 θρρcos 22=,将222y x +=ρ,x =θρcos 代入上式即得曲线C 的直角坐标方程是0222=-+x y x .(ii ) 将⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+=+=.213,235t y t x 代入0222=-+x y x 得018352=++t t .设这个方程的 两个实根分别为21,t t ,则由参数t 的几何意义知||||MB MA ⋅=.18||21=t tⅢ.证明: 由abb a b a b a +=+=+11,0,0>>b a 得 1=ab (i )由基本不等式及1=ab ,有22=≥+ab b a ,即2≥+b a .(ii ) 设22<+a a 与22<+b b 可同时成立,则由22<+a a 及0>a 可得10<<a ,同理 10<<b ,从而10<<ab 这与1=ab 相矛盾,故22<+a a 与22<+b b 不可能同时成立.17. 解:(Ⅰ)由A b a ta n =及正弦定理,得BAb a A A sin sin cos sin ==,所以A B cos sin =,即)2sin(sin A B +=π. 又B 为钝角,),2(2πππ∈+A ,故A B +=2π,即2π=-A B .(Ⅱ) 由(Ⅰ)知 022)(>-=+-=A B A C ππ, 所以)4,0(π∈A . 于是)22sin(sin sin sin A A C A -+=+πA A 2cos sin +=.89)41(s i n2s i n 21s i n 22+--=-+=A A AF因为40π<<A ,所以 22sin 0<<A ,因此8989)41(sin 2222≤+--<A .由此可得C A sin sin +的取值范围是]89,22(.18. 解:(Ⅰ)记事件1A ={从甲箱中摸出的一个球是红球},2A ={从乙箱中摸出的一个球是红球},1B ={顾客抽奖一次获一等奖},2B ={顾客抽奖一次获二等奖},C ={顾客抽奖一次能获奖}.由题意1A 与2A 相互独立,21A A 与21A A 互斥,1B 与2B 互斥,且 211A A B =,2B =21A A +21A A ,21B B C +=. 又因为52104)(1==A P ,21105)(2==A P ,所以 512152)()()()(21211=⨯===A P A P A A P B P , )()()()(212121212A A P A A P A A A A P B P +=+=2121)521()211(52)()()()(2121=⨯-+-⨯=+=A P A P A P A P , 故所求概率为1072151)()()()(2121=+=+=+=B P B P B B P C P .(Ⅱ) 顾客抽奖3次可视为3次独立重复实验,由(Ⅰ)知,顾客抽奖1次获一等奖的概率为51,所以)51,3(~B X ,于是 )3,2,1,0()54()51()(33===-K C K X P KK KX 的数学期望为553)(=⨯=X E . 19. 解法一: (Ⅰ)如图,取1AA 的中点R ,连结PR BR ,, 因为1AA ,1DD是梯形D D AA 11的两腰,点P 是1DD 的中点,所以AD PR //,于是由BC AD //知,BC PR //,所以C B R P ,,,四点共面. 由题设知 AB BC ⊥,1AA BC ⊥,A AA AB =1 ,所以⊥BC 平面11A ABB , ⊂1AB 平面11A ABB ,因此 1AB BC ⊥.因为11111tan 63tan AB A AA B A AB AR ABR ∠====∠,所以11AB A ABR ∠=∠,因此901111=∠+∠=∠+∠BAB AB A BABABR , 于是 1ABBR ⊥, 又已证得1AB BC ⊥,所以⊥1AB 平面BRPC ,显然有⊂PQ 平面BRPC , 故 PQ AB ⊥1.DB(Ⅱ) 如下图,过点P 作1//AA PM 交AD 于点M ,则//PM 平面11A ABB , 因为⊥1AA 底面ABCD ,所以⊥PM 底面ABCD ,过点M 作QD MN ⊥于点N ,连结PN ,则QD PN ⊥,PNM ∠是二面角A QD P --的平面角. 所以 73cos =∠PNM ,即 73=PN MN ,从而340=MN PM . 连结MQ ,由//PQ 平面11A ABB 及//PM 平面11A ABB 知,平面//PQM 平面11A ABB ,所以AB MQ //,又ABCD 是正方形,所以ABQM 是矩形,故MQ=AB=6. 设MD =t ,则.366222ttMD MQ MD MQ MN +=+⋅=过点1D 作A A E D 11//交AD 于点E ,则E D AA 11是矩形,所以 611==AA E D ,311==D A AE ,因此 3=-=AE AD DE . 于是21==DEED MD PM , 所以t MD PM 22==,从而t t t MN PM 63623402+⨯==,解得2=t ,所以4=PM . 故四面体ADPQ 的体积 24466213131=⨯⨯⨯⨯=⋅=∆PM S V ADQ .解法二:由题设知AB AD AA ,,1G 两两垂直,以A 为坐标原点,AB ,AD ,1AA 所在直线分别为x 轴,y 轴,z 轴,建立空间直角坐标系,如图,则相关各点的坐标为)0,0,0(A ,)6,0,3(1B ,)0,6,0(D ,)6,3,0(1D , )0,,6(m Q ,其中m BQ =,60≤≤m .(Ⅰ) 若点P 是1DD 的中点,则)3,29,0(P ,)3,29,6(--=m PQ ,又)6,0,3(1=AB ,于是018181=-=⋅, 所以AB ⊥1,即PQ AB ⊥1.(Ⅱ) 由题设知,)0,6,6(-=m , )6,3,0(1-=DD 是平面PQD 内两个不共线的向量,设),,(1z y x n =是平面PQD 的一个法向量,则 ⎪⎩⎪⎨⎧=⋅=⋅0,0111DD n 即⎩⎨⎧=+-=-+063,0)6(6z y y m x 取6=y ,得)3,6,6(1m n -=. 又平面AQD 的一个法向量是BD)1,0,0(2=n ,所以45)6(336)6(3||||,cos 2222212121+-=++-=⋅>=<m m n n n n ,而二面角A QD P --的余弦值为73,所以7345)6(32=+-m ,解得m=4或m=8(舍去),此时)0,4,6(Q . 再设)10(1≤<=λλDD ,而)6,3,0(1-=DD ,由此得到)6,36,0(λλ-P ,)6,23,6(λλ--=. 因为//PQ 平面11A ABB ,且平面11A ABB 的一个法向量是)0,1,0(3=n ,所以 0233=-=⋅λn ,32=λ,从而)4,4,0(P .于是,将四面体ADPQ 视为ADQ ∆为底面的三棱锥ADQ P -,其高4=h ,故四面体ADPQ 的体积 24466213131=⨯⨯⨯⨯=⋅=∆PM S V ADQ .20. 解:(Ⅰ) 由1C y x 4:2=知其焦点F 的坐标为(0,1),因为F 也是椭圆2C 的一个焦点,所以 122=-b a (1)又1C 与2C 的公共弦长为62,1C 与2C 都关于y 轴对称,且1C 的方程为y x 42=,由此易知1C 与2C 的公共点坐标为)23,6(±,所以164922=+ba (2) 联立(1)(2)得8,922==b a ,故2C 的方程为18922=+x y . (Ⅱ) 如图,设),(11y x A ,),(22y x B ,),(33y x C ,),(44y x D .(i )因AC 与同向,且 ||||BD AC =,所以 =,从而 2413x x x x -=-,即4321x x x x -=-,于是43243212214)(4)(x x x x x x x x -+=-+. (3) 设直线l 的斜率为k ,则l 的方程为1+=kx y .由⎩⎨⎧=+=yx kx y 4,12 得0442=--kx x ,而21,x x 是这个方程的两根,所以 4,42121-==+x x k x x (4)由⎪⎩⎪⎨⎧=++=189,122x y kx y 得06416)89(22=-++kx x k ,而43,x x 是这个方程的两根,所以2212438964,8916kx x k k x x +-=+-=+ (5)将(4)(5)代入(3)得 22222289644)89(16)1(16k k k k +⨯++=+,即22222)89()1(916)1(16k k k ++⨯=+, 所以 916)89(22⨯=+k ,解得 46±=k ,即直线l 的斜率为46±. (ii )由 y x 42=得 2'xy =,所以1C 在点A 处的切线方程为)(2111x x x y y -=-,即42211x x x y -=,令0=y 得21x x =,即)0,2(1x M ,所以)1,2(1-=x ,而)14,(211-=x x ,于是014)14(2212121>+=--=⋅x x x ,因此AFM ∠总是锐角,从而AFM MFD ∠-=∠ 180是钝角. 故直线l 绕点F 旋转时,MFD ∆总是钝角三角形.21. 解:(Ⅰ) )cos sin (cos sin )('x x a e x e x ae x f ax ax ax +=+=)sin(12ϕ+⋅+=x e a ax ,其中a 1tan =ϕ,20πϕ<<. 令 0)('=x f ,由0≥x 得 πϕm x =+,即*,N m m x ∈-=ϕπ.对N k ∈,若πϕπ)12(2+<+<k x k ,即ϕπϕπ-+<<-)12(2k x k ,则0)('>x f ;若πϕπ)22()12(+<+<+k x k ,即ϕπϕπ-+<<-+)22()12(k x k ,则0)('<x f . 因此,在区间),)1((ϕππ--m m 与),(πϕπm m -上,)('x f 的符号总相反,于是,当*,N m m x ∈-=ϕπ时,)(x f 取得极值,所以*,N n n x n ∈-=ϕπ. 此时,)(1)()1()sin()(ϕπϕπϕπ-+--=-=n a n n a n e n e x f ,易知0)(≠n x f ,且πϕπϕπa n a n n a n n n e ee xf x f -=--=-+-+++)(1])1[(21)1()1()()(是常数,故数列)}({n x f 是首项为ϕϕπsin )()(1-=a e x f ,公比为πa e -的等比数列.(Ⅱ) 由(Ⅰ)知,11sin 2+=a ϕ,于是对一切*N n ∈,|)(|n n x f x <恒成立,即)(211ϕπϕπ-+<-n a e a n 恒成立,等价于)(1)(2ϕπϕπ-<+-n a e a a n a (*)恒成立(因为a>0). 设)0()(>=t t e t g t ,则0)1()('2=-=t t e t g t 得1=t ,当10<<t 时,0)('<t g ,所以)(t g 在)1,0(上单调递减;当1>t 时,0)('>t g ,所以)(t g 在),1(∞+上单调递增.从而当1=t 时,函数)(t g 取得最小值e g =)1(. 因此,要使(*)式恒成立,只需e g a a =<+)1(12,即只需112->e a . 而当112-=e a 时,由311t a n 2>-==e a ϕ且由20πϕ<<知,23πϕπ<<. 于是1322-<<-e πϕπ,第11页 共11页且当2≥n 时,12322->>-≥-e n πϕπϕπ,因此,对一切*N n ∈,112≠--=e n ax n ϕπ,所以a a e g ax g n 1)1()(2+==>,故(*)式也恒成立. 综上所述,若112-≥e a ,则对一切*N n ∈,|)(|n n x f x <恒成立.。

2015年湖南省高考数学试卷(理科)(含解析版)

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2015年湖南省高考数学试卷(理科)一、选择题,共10小题,每小题5分,共50分1.(5分)已知=1+i(i为虚数单位),则复数z=()A.1+i B.1﹣i C.﹣1+i D.﹣1﹣i2.(5分)设A、B是两个集合,则“A∩B=A”是“A⊆B”的()A .充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件3.(5分)执行如图所示的程序框图,如果输入n=3,则输出的S=()A.B.C.D.4.(5分)若变量x、y满足约束条件,则z=3x﹣y的最小值为()A.﹣7B.﹣1C.1D.25.(5分)设函数f(x)=ln(1+x)﹣ln(1﹣x),则f(x)是()A.奇函数,且在(0,1)上是增函数B.奇函数,且在(0,1)上是减函数C.偶函数,且在(0,1)上是增函数第 1 页共 32 页 1D.偶函数,且在(0,1)上是减函数6.(5分)已知(﹣)5的展开式中含x的项的系数为30,则a=()A.B.﹣C.6D.﹣67.(5分)在如图所示的正方形中随机投掷10000个点,则落入阴影部分(曲线C为正态分布N(0,1)的密度曲线)的点的个数的估计值为()附“若X﹣N=(μ,a2),则P(μ﹣σ<X≤μ+σ)=0.6826.p(μ﹣2σ<X≤μ+2σ)=0.9544.A.2386B.2718C.3413D.47728.(5分)已知A,B,C在圆x2+y2=1上运动,且AB⊥BC,若点P的坐标为(2,0),则||的最大值为()A.6B.7C.8D.99.(5分)将函数f(x)=sin2x的图象向右平移φ(0<φ<)个单位后得到函数g(x)的图象.若对满足|f(x1)﹣g(x2)|=2的x 1、x 2,有|x 1﹣x 2|min=,则φ=()A.B.C.D.10.(5分)某工件的三视图如图所示.现将该工件通过切削,加工成一个体积尽可能大的长方体新工件,并使新工件的一个面落在原工件的一个面内,则原工件材料的利用率为(材料利用率=)()2第 2 页共 32 页A.B.C.D.二、填空题,共5小题,每小题5分,共25分11.(5分)(x﹣1)dx=.12.(5分)在一次马拉松比赛中,35名运动员的成绩(单位:分钟)的茎叶图如图所示.若将运动员成绩由好到差编号为1﹣35号,再用系统抽样方法从中抽取7人,则其中成绩在区间[139,151]上的运动员人数是.13.(5分)设F是双曲线C:﹣=1的一个焦点.若C上存在点P,使线段PF的中点恰为其虚轴的一个端点,则C的离心率为.14.(5分)设S n为等比数列{a n}的前n项和,若a1=1,且3S1,2S2,S3成等差数列,则a n=.15.(5分)已知函数f(x)=若存在实数b,使函数g(x)=f(x)﹣b有两个零点,则a的取值范围是.第 3 页共 32 页 3三、简答题,共1小题,共75分,16、17、18为选修题,任选两小题作答,如果全做,则按前两题计分选修4-1:几何证明选讲16.(6分)如图,在⊙O中,相交于点E的两弦AB,CD的中点分别是M,N,直线MO 与直线CD相交于点F,证明:(1)∠MEN+∠NOM=180°(2)FE•FN=FM•FO.选修4-4:坐标系与方程17.(6分)已知直线l:(t为参数).以坐标原点为极点,x轴的正半轴为极轴建立极坐标系,曲线C的坐标方程为ρ=2cosθ.(1)将曲线C的极坐标方程化为直坐标方程;(2)设点M的直角坐标为(5,),直线l与曲线C的交点为A,B,求|MA|•|MB|的值.4第 4 页共 32 页选修4-5:不等式选讲18.设a>0,b>0,且a+b=+.证明:(ⅰ)a+b≥2;(ⅱ)a2+a<2与b2+b<2不可能同时成立.七、标题19.设△ABC的内角A、B、C的对边分别为a、b、c,a=btanA,且B为钝角.(Ⅰ)证明:B﹣A=;(Ⅱ)求sinA+sinC的取值范围.第 5 页共 32 页 520.某商场举行有奖促销活动,顾客购买一定金额的商品后即可抽奖,每次抽奖都是从装有4个红球、6个白球的甲箱和装有5个红球、5个白球的乙箱中,各随机摸出一个球,在摸出的2个球中,若都是红球,则获得一等奖;若只有1个红球,则获得二等奖;若没有红球,则不获奖.(1)求顾客抽奖1次能获奖的概率;(2)若某顾客有3次抽奖机会,记该顾客在3次抽奖中获一等奖的次数为ξ,求ξ的分布列和数学期望21.如图,已知四棱台ABCD﹣A1B1C1D1的上、下底面分别是边长为3和6的正方形,AA1=6,且AA1⊥底面ABCD,点P、Q分别在棱DD1、BC上.(1)若P是DD1的中点,证明:AB1⊥PQ;(2)若PQ∥平面ABB1A1,二面角P﹣QD﹣A的余弦值为,求四面体ADPQ 的体积.6第 6 页共 32 页22.(13分)已知抛物线C1:x2=4y的焦点F也是椭圆C2:+=1(a>b>0)的一个焦点.C1与C2的公共弦长为2.(Ⅰ)求C2的方程;(Ⅱ)过点F的直线l与C1相交于A、B两点,与C2相交于C、D两点,且与同向.(1)若|AC|=|BD|,求直线l的斜率;(2)设C1在点A处的切线与x轴的交点为M,证明:直线l绕点F旋转时,△MFD总是钝角三角形.23.(13分)已知a>0,函数f(x)=e ax sinx(x∈[0,+∞]).记x n为f(x)的从小到大的第n(n∈N*)个极值点.证明:(Ⅰ)数列{f(x n)}是等比数列;(Ⅱ)若a≥,则对一切n∈N*,x n<|f(x n)|恒成立.第 7 页共 32 页72015年湖南省高考数学试卷(理科)参考答案与试题解析一、选择题,共10小题,每小题5分,共50分1.(5分)已知=1+i(i为虚数单位),则复数z=()A.1+i B .1﹣i C.﹣1+i D .﹣1﹣i【考点】A5:复数的运算.【专题】5N:数系的扩充和复数.【分析】由条件利用两个复数代数形式的乘除法法则,求得z的值.【解答】解:∵已知=1+i(i为虚数单位),∴z===﹣1﹣i,故选:D.【点评】本题主要考查两个复数代数形式的乘除法法则的应用,属于基础题.2.(5分)设A、B是两个集合,则“A∩B=A”是“A⊆B”的()A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件【考点】29:充分条件、必要条件、充要条件.【专题】5J:集合;5L:简易逻辑.【分析】直接利用两个集合的交集,判断两个集合的关系,判断充要条件即可.【解答】解:A、B是两个集合,则“A∩B=A”可得“A⊆B”,“A⊆B”,可得“A∩B=A”.所以A、B是两个集合,则“A∩B=A”是“A⊆B”的充要条件.故选:C.【点评】本题考查充要条件的判断与应用,集合的交集的求法,基本知识的应用.8第 8 页共 32 页3.(5分)执行如图所示的程序框图,如果输入n=3,则输出的S=()A.B.C.D.【考点】EF:程序框图.【分析】列出循环过程中S与i的数值,满足判断框的条件即可结束循环.【解答】解:判断前i=1,n=3,s=0,第1次循环,S=,i=2,第2次循环,S=,i=3,第3次循环,S=,i=4,此时,i>n,满足判断框的条件,结束循环,输出结果:S===故选:B.【点评】本题考查循环框图的应用,注意判断框的条件的应用,考查计算能力第 9 页共 32 页94.(5分)若变量x、y满足约束条件,则z=3x﹣y的最小值为()A.﹣7B.﹣1C.1D.2【考点】7C:简单线性规划.【专题】59:不等式的解法及应用.【分析】由约束条件作出可行域,由图得到最优解,求出最优解的坐标,数形结合得答案.【解答】解:由约束条件作出可行域如图,由图可知,最优解为A,联立,解得C(0,﹣1).由解得A(﹣2,1),由,解得B(1,1)∴z=3x﹣y的最小值为3×(﹣2)﹣1=﹣7.故选:A.【点评】本题考查了简单的线性规划,考查了数形结合的解题思想方法,是中档题.易错点是图形中的B点.5.(5分)设函数f(x)=ln(1+x)﹣ln(1﹣x),则f(x)是()A.奇函数,且在(0,1)上是增函数10第 10 页共 32 页B.奇函数,且在(0,1)上是减函数C.偶函数,且在(0,1)上是增函数D.偶函数,且在(0,1)上是减函数【考点】3K:函数奇偶性的性质与判断;3N:奇偶性与单调性的综合.【专题】53:导数的综合应用.【分析】求出好的定义域,判断函数的奇偶性,以及函数的单调性推出结果即可.【解答】解:函数f(x)=ln(1+x)﹣ln(1﹣x),函数的定义域为(﹣1,1),函数f(﹣x)=ln(1﹣x)﹣ln(1+x)=﹣[ln(1+x)﹣ln(1﹣x)]=﹣f(x),所以函数是奇函数.排除C,D,正确结果在A,B,只需判断特殊值的大小,即可推出选项,x=0时,f(0)=0;x=时,f()=ln(1+)﹣ln(1﹣)=ln3>1,显然f(0)<f(),函数是增函数,所以B错误,A正确.故选:A.【点评】本题考查函数的奇偶性以及函数的单调性的判断与应用,考查计算能力.6.(5分)已知(﹣)5的展开式中含x的项的系数为30,则a=()A.B.﹣C.6D.﹣6【考点】DA:二项式定理.【专题】5P:二项式定理.【分析】根据所给的二项式,利用二项展开式的通项公式写出第r+1项,整理成最简形式,令x的指数为求得r,再代入系数求出结果.【解答】解:根据所给的二项式写出展开式的通项,T r+1==;第 11 页共 32 页11展开式中含x的项的系数为30,∴,∴r=1,并且,解得a=﹣6.故选:D.【点评】本题考查二项式定理的应用,本题解题的关键是正确写出二项展开式的通项,在这种题目中通项是解决二项展开式的特定项问题的工具.7.(5分)在如图所示的正方形中随机投掷10000个点,则落入阴影部分(曲线C为正态分布N(0,1)的密度曲线)的点的个数的估计值为()附“若X﹣N=(μ,a2),则P(μ﹣σ<X≤μ+σ)=0.6826.p(μ﹣2σ<X≤μ+2σ)=0.9544.A.2386B.2718C.3413D.4772【考点】CP:正态分布曲线的特点及曲线所表示的意义.【专题】11:计算题;5I:概率与统计.【分析】求出P(0<X≤1)=×0.6826=0.3413,即可得出结论.【解答】解:由题意P(0<X≤1)=×0.6826=0.3413,∴落入阴影部分点的个数的估计值为10000×0.3413=3413,故选:C.【点评】本题考查正态分布曲线的特点及曲线所表示的意义,考查正态分布中两个量μ和σ的应用,考查曲线的对称性,属于基础题.12第 12 页共 32 页8.(5分)已知A,B,C在圆x2+y2=1上运动,且AB⊥BC,若点P的坐标为(2,0),则||的最大值为()A.6B.7C.8D.9【考点】9D:两向量的和或差的模的最值;9O:平面向量数量积的性质及其运算.【专题】11:计算题;5B:直线与圆.【分析】由题意,AC为直径,所以||=|2+|.B为(﹣1,0)时,|2+|≤7,即可得出结论.【解答】解:由题意,AC 为直径,所以||=|2+|所以B为(﹣1,0)时,|2+|≤7.所以||的最大值为7.另解:设B(cosα,sinα),|2+|=|2(﹣2,0)+(cosα﹣2,sinα)|=|(cosα﹣6,sinα)|==,当cosα=﹣1时,B为(﹣1,0),取得最大值7.故选:B.【点评】本题考查向量知识的运用,考查学生分析解决问题的能力,比较基础.9.(5分)将函数f(x)=sin2x 的图象向右平移φ(0<φ<)个单位后得到函数g(x)的图象.若对满足|f(x1)﹣g(x2)|=2的x1、x2,有|x1﹣x2|min=,则φ=()A.B.C.D.【考点】HJ:函数y=Asin(ωx+φ)的图象变换.第 13 页共 32 页13【专题】57:三角函数的图像与性质.【分析】利用三角函数的最值,求出自变量x1,x2的值,然后判断选项即可.【解答】解:因为将函数f(x )=sin2x的周期为π,函数的图象向右平移φ(0<φ<)个单位后得到函数g(x)的图象.若对满足|f(x1)﹣g(x2)|=2的可知,两个函数的最大值与最小值的差为2,有|x1﹣x2|min =,不妨x1=,x2=,即g(x)在x 2=,取得最小值,sin(2×﹣2φ)=﹣1,此时φ=,不合题意,x1=,x2=,即g(x )在x2=,取得最大值,sin(2×﹣2φ)=1,此时φ=,满足题意.另解:f(x)=sin2x ,g(x)=sin(2x﹣2φ),设2x1=2kπ+,k∈Z,2x2﹣2φ=﹣+2mπ,m∈Z,x1﹣x2=﹣φ+(k﹣m)π,由|x1﹣x2|min=,可得﹣φ=,解得φ=,故选:D.【点评】本题考查三角函数的图象平移,函数的最值以及函数的周期的应用,考查分析问题解决问题的能力,是好题,题目新颖.有一定难度,选择题,可以回代验证的方法快速解答.10.(5分)某工件的三视图如图所示.现将该工件通过切削,加工成一个体积尽可能大的长方体新工件,并使新工件的一个面落在原工件的一个面内,则原工件材料的利用率为(材料利用率=)()14第 14 页共 32 页A .B.C.D.【考点】L!:由三视图求面积、体积.【专题】2:创新题型;5F:空间位置关系与距离;5I:概率与统计.【分析】根据三视图可判断其为圆锥,底面半径为1,高为2,求解体积.利用几何体的性质得出此长方体底面边长为n的正方形,高为x,利用轴截面的图形可判断得出n=(1﹣),0<x<2,求解体积式子,利用导数求解即可,最后利用几何概率求解即.【解答】解:根据三视图可判断其为圆锥,∵底面半径为1,高为2,∴V=×2=第 15 页共 32 页15∵加工成一个体积尽可能大的长方体新工件,∴此长方体底面边长为n的正方形,高为x,∴根据轴截面图得出:=,解得;n=(1﹣),0<x<2,∴长方体的体积Ω=2(1﹣)2x,Ω′=x2﹣4x+2,∵,Ω′=x2﹣4x+2=0,x=,x=2,∴可判断(0,)单调递增,(,2)单调递减,Ω最大值=2(1﹣)2×=,∴原工件材料的利用率为=×=,故选:A.【点评】本题很是新颖,知识点融合的很好,把立体几何,导数,概率都相应的考查了,综合性强,属于难题.二、填空题,共5小题,每小题5分,共25分11.(5分)(x﹣1)dx=0.【考点】67:定积分、微积分基本定理.【专题】52:导数的概念及应用.【分析】求出被积函数的原函数,代入上限和下限求值.【解答】解:(x﹣1)dx=(﹣x)|=0;故答案为:0.【点评】本题考查了定积分的计算;关键是求出被积函数的原函数.12.(5分)在一次马拉松比赛中,35名运动员的成绩(单位:分钟)的茎叶图16第 16 页共 32 页如图所示.若将运动员成绩由好到差编号为1﹣35号,再用系统抽样方法从中抽取7人,则其中成绩在区间[139,151]上的运动员人数是4.【考点】BA:茎叶图.【专题】5I:概率与统计.【分析】根据茎叶图中的数据,结合系统抽样方法的特征,即可求出正确的结论.【解答】解:根据茎叶图中的数据,得;成绩在区间[139,151]上的运动员人数是20,用系统抽样方法从35人中抽取7人,成绩在区间[139,151]上的运动员应抽取7×=4(人).故答案为:4.【点评】本题考查了茎叶图的应用问题,也考查了系统抽样方法的应用问题,是基础题目.13.(5分)设F是双曲线C:﹣=1的一个焦点.若C上存在点P,使线段PF的中点恰为其虚轴的一个端点,则C的离心率为.【考点】KC:双曲线的性质.【专题】5D:圆锥曲线的定义、性质与方程.【分析】设F(c,0),P(m,n),(m<0),设PF的中点为M(0,b),即有m=﹣c,n=2b,将中点M的坐标代入双曲线方程,结合离心率公式,计算即可得到.【解答】解:设F(c,0),P(m,n),(m<0),第 17 页共 32 页17设PF的中点为M(0,b),即有m=﹣c,n=2b,将点(﹣c,2b)代入双曲线方程可得,﹣=1,可得e2==5,解得e=.故答案为:.【点评】本题考查双曲线的方程和性质,主要考查双曲线的离心率的求法,同时考查中点坐标公式的运用,属于中档题.14.(5分)设S n为等比数列{a n}的前n项和,若a1=1,且3S1,2S2,S3成等差数列,则a n=3n﹣1.【考点】8M:等差数列与等比数列的综合.【专题】54:等差数列与等比数列.【分析】利用已知条件列出方程求出公比,然后求解等比数列的通项公式.【解答】解:设等比数列的公比为q,S n为等比数列{a n}的前n项和,若a1=1,且3S1,2S2,S3成等差数列,可得4S2=S3+3S1,a1=1,即4(1+q)=1+q+q2+3,q=3.∴a n=3n﹣1.故答案为:3n﹣1.【点评】本题考查等差数列以及等比数列的应用,基本知识的考查.15.(5分)已知函数f(x)=若存在实数b,使函数g(x)=f(x)﹣b有两个零点,则a的取值范围是{a|a<0或a>1} .18第 18 页共 32 页【考点】51:函数的零点.【专题】11:计算题;2:创新题型;51:函数的性质及应用.【分析】由g(x)=f(x)﹣b有两个零点可得f(x)=b有两个零点,即y=f(x)与y=b的图象有两个交点,则函数在定义域内不能是单调函数,结合函数图象可求a的范围【解答】解:∵g(x)=f(x)﹣b有两个零点,∴f(x)=b有两个零点,即y=f(x)与y=b的图象有两个交点,由x3=x2可得,x=0或x=1①当a>1时,函数f(x)的图象如图所示,此时存在b,满足题意,故a>1满足题意②当a=1时,由于函数f(x)在定义域R上单调递增,故不符合题意③当0<a<1时,函数f(x)单调递增,故不符合题意第 19 页共 32 页19④a=0时,f(x)单调递增,故不符合题意⑤当a<0时,函数y=f(x)的图象如图所示,此时存在b使得,y=f(x)与y=b有两个交点综上可得,a<0或a>1故答案为:{a|a<0或a>1}【点评】本题考察了函数的零点问题,渗透了转化思想,数形结合、分类讨论的数学思想.三、简答题,共1小题,共75分,16、17、18为选修题,任选两小题作答,如果全做,则按前两题计分选修4-1:几何证明选讲16.(6分)如图,在⊙O中,相交于点E的两弦AB,CD的中点分别是M,N,直线MO与直线CD相交于点F,证明:(1)∠MEN+∠NOM=180°(2)FE•FN=FM•FO.20第 20 页共 32 页【考点】N4:相似三角形的判定.【专题】17:选作题;5M:推理和证明.【分析】(1)证明O,M,E,N四点共圆,即可证明∠MEN+∠NOM=180°(2)证明△FEM∽△FON,即可证明FE•FN=FM•FO.【解答】证明:(1)∵N为CD的中点,∴ON⊥CD,∵M为AB的中点,∴OM⊥AB,在四边形OMEN中,∴∠OME+∠ONE=90°+90°=180°,∴O,M,E,N四点共圆,∴∠MEN+∠NOM=180°(2)在△FEM与△FON中,∠F=∠F,∠FME=∠FNO=90°,∴△FEM∽△FON,∴=∴FE•FN=FM•FO.【点评】本题考查垂径定理,考查三角形相似的判定与应用,考查学生分析解决问题的能力,比较基础.选修4-4:坐标系与方程17.(6分)已知直线l:(t为参数).以坐标原点为极点,x轴的正半轴为极轴建立极坐标系,曲线C的坐标方程为ρ=2cosθ.(1)将曲线C的极坐标方程化为直坐标方程;(2)设点M的直角坐标为(5,),直线l与曲线C的交点为A,B,求|MA|•|MB|的值.【考点】Q4:简单曲线的极坐标方程;QH:参数方程化成普通方程.【专题】17:选作题;5S:坐标系和参数方程.第 21 页共 32 页21【分析】(1)曲线的极坐标方程即ρ2=2ρcosθ,根据极坐标和直角坐标的互化公式得x2+y2=2x,即得它的直角坐标方程;(2)直线l的方程化为普通方程,利用切割线定理可得结论.【解答】解:(1)∵ρ=2cosθ,∴ρ2=2ρcosθ,∴x2+y2=2x,故它的直角坐标方程为(x﹣1)2+y2=1;(2)直线l:(t为参数),普通方程为,(5,)在直线l上,过点M作圆的切线,切点为T,则|MT|2=(5﹣1)2+3﹣1=18,由切割线定理,可得|MT|2=|MA|•|MB|=18.【点评】本题主要考查把极坐标方程化为直角坐标方程的方法,属于基础题.选修4-5:不等式选讲18.设a>0,b>0,且a+b=+.证明:(ⅰ)a+b≥2;(ⅱ)a2+a<2与b2+b<2不可能同时成立.【考点】R6:不等式的证明.【专题】59:不等式的解法及应用.【分析】(ⅰ)由a >0,b>0,结合条件可得ab=1,再由基本不等式,即可得证;(ⅱ)运用反证法证明.假设a2+a<2与b2+b<2可能同时成立.结合条件a>0,b>0,以及二次不等式的解法,可得0<a<1,且0<b<1,这与ab=1矛盾,即可得证.【解答】证明:(ⅰ)由a>0,b>0,则a+b=+=,由于a+b>0,则ab=1,即有a+b≥2=2,22第 22 页共 32 页当且仅当a=b取得等号.则a+b≥2;(ⅱ)假设a2+a <2与b2+b<2可能同时成立.由a2+a <2及a >0,可得0<a<1,由b 2+b<2及b>0,可得0<b<1,这与ab=1矛盾.a2+a<2与b2+b<2不可能同时成立.【点评】本题考查不等式的证明,主要考查基本不等式的运用和反证法证明不等式的方法,属于中档题.七、标题19.设△ABC的内角A 、B、C 的对边分别为a、b、c,a=btanA,且B为钝角.(Ⅰ)证明:B﹣A=;(Ⅱ)求sinA+sinC的取值范围.【考点】HP:正弦定理.【专题】58:解三角形.【分析】(Ⅰ)由题意和正弦定理可得sinB=cosA,由角的范围和诱导公式可得;(Ⅱ)由题意可得A∈(0,),可得0<sinA<,化简可得sinA+sinC=﹣2(sinA﹣)2+,由二次函数区间的最值可得.【解答】解:(Ⅰ)由a=btanA和正弦定理可得==,∴sinB=cosA,即sinB=sin(+A)又B为钝角,∴+A∈(,π),∴B=+A,∴B﹣A=;(Ⅱ)由(Ⅰ)知C=π﹣(A+B)=π﹣(A++A)=﹣2A>0,∴A∈(0,),∴sinA+sinC=sinA+sin(﹣2A)第 23 页共 32 页23=sinA+cos2A=sinA+1﹣2sin2A=﹣2(sinA ﹣)2+,∵A∈(0,),∴0<sinA<,∴由二次函数可知<﹣2(sinA﹣)2+≤∴sinA+sinC的取值范围为(,]【点评】本题考查正弦定理和三角函数公式的应用,涉及二次函数区间的最值,属基础题.20.某商场举行有奖促销活动,顾客购买一定金额的商品后即可抽奖,每次抽奖都是从装有4个红球、6个白球的甲箱和装有5个红球、5个白球的乙箱中,各随机摸出一个球,在摸出的2个球中,若都是红球,则获得一等奖;若只有1个红球,则获得二等奖;若没有红球,则不获奖.(1)求顾客抽奖1次能获奖的概率;(2)若某顾客有3次抽奖机会,记该顾客在3次抽奖中获一等奖的次数为ξ,求ξ的分布列和数学期望【考点】CG:离散型随机变量及其分布列;CH:离散型随机变量的期望与方差.【专题】5I:概率与统计.【分析】(1)记事件A1={从甲箱中摸出一个球是红球},事件A2={从乙箱中摸出一个球是红球},事件B1={顾客抽奖1次获一等奖},事件A2={顾客抽奖1次获二等奖},事件C={顾客抽奖1次能获奖},利用A1,A2相互独立,,互斥,B1,B2互斥,然后求出所求概率即可.(2)顾客抽奖1次可视为3次独立重复试验,判断X~B.求出概率,得到X的分布列,然后求解期望.【解答】解:(1)记事件A1={从甲箱中摸出一个球是红球},事件A2={从乙箱24第 24 页共 32 页中摸出一个球是红球},事件B1={顾客抽奖1次获一等奖},事件B2={顾客抽奖1次获二等奖},事件C={顾客抽奖1次能获奖},由题意A1,A2相互独立,,互斥,B1,B2互斥,且B 1=A1A2,B2=+,C=B1+B 2,因为P(A1)=,P(A2)=,所以,P(B1)=P(A1)P(A2)==,P(B2)=P()+P ()=+==,故所求概率为:P (C )=P(B1+B2)=P(B1)+P (B 2)=.(2)顾客抽奖1次可视为3次独立重复试验,由(1)可知,顾客抽奖1次获一等奖的概率为:所以.X~B.于是,P(X=0)==,P(X=1)==,P(X=2)==,P(X=3)==.故X的分布列为:X0123PE(X)=3×=.【点评】期望是概率论和数理统计的重要概念之一,是反映随机变量取值分布的特征数,学习期望将为今后学习概率统计知识做铺垫,它在市场预测,经济统计,风险与决策等领域有着广泛的应用,为今后学习数学及相关学科产生深远的影响.21.如图,已知四棱台ABCD﹣A1B1C1D1的上、下底面分别是边长为3和6的正方形,AA1=6,且AA1⊥底面ABCD,点P、Q分别在棱DD1、BC上.(1)若P是DD1的中点,证明:AB1⊥PQ;(2)若PQ∥平面ABB1A1,二面角P﹣QD﹣A的余弦值为,求四面体ADPQ 的体积.第 25 页共 32 页25【考点】LW:直线与平面垂直;MJ:二面角的平面角及求法.【专题】5F:空间位置关系与距离;5G:空间角;5H:空间向量及应用.【分析】(1)首先以A为原点,AB,AD,AA1所在直线分别为x,y,z轴,建立空间直角坐标系,求出一些点的坐标,Q 在棱BC上,从而可设Q(6,y1,0),只需求即可;(2)设P(0,y2,z2),根据P在棱DD1上,从而由即可得到z2=12﹣2y2,从而表示点P坐标为P(0,y2,12﹣2y2).由PQ∥平面ABB1A1便知道与平面ABB1A1的法向量垂直,从而得出y1=y2,从而Q 点坐标变成Q (6,y2,0),设平面PQD的法向量为,根据即可表示,平面AQD的一个法向量为,从而由即可求出y2,从而得出P点坐标,从而求出三棱锥P﹣AQD 的高,而四面体ADPQ的体积等于三棱锥P﹣AQD的体积,从而求出四面体的体积.【解答】解:根据已知条件知AB,AD,AA1三直线两两垂直,所以分别以这三直线为x,y,z轴,建立如图所示空间直角坐标系,则:A(0,0,0),B(6,0,0),D(0,6,0),A1(0,0,6),B1(3,0,6),D1(0,3,6);Q在棱BC上,设Q(6,y1,0),0≤y1≤6;26第 26 页共 32 页∴(1)证明:若P是DD1的中点,则P;∴,;∴;∴;∴AB1⊥PQ;(2)设P(0,y2,z2),y2,z2∈[0,6],P在棱DD1上;∴,0≤λ≤1;∴(0,y2﹣6,z2)=λ(0,﹣3,6);∴;∴z2=12﹣2y2;∴P(0,y2,12﹣2y2);∴;平面ABB1A1的一个法向量为;∵PQ∥平面ABB1A1;∴=6(y1﹣y2)=0;∴y 1=y2;∴Q(6,y2,0);设平面PQD的法向量为,则:;∴,取z=1,则;又平面AQD的一个法向量为;第 27 页共 32 页27又二面角P﹣QD﹣A的余弦值为;∴;解得y2=4,或y2=8(舍去);∴P(0,4,4);∴三棱锥P﹣ADQ的高为4,且;∴V四面体ADPQ =V三棱锥P﹣ADQ=.【点评】考查建立空间直角坐标系,利用空间向量解决异面直线垂直及线面角问题的方法,共线向量基本定理,直线和平面平行时,直线和平面法向量的关系,平面法向量的概念,以及两平面法向量的夹角和平面二面角大小的关系,三棱锥的体积公式.22.(13分)已知抛物线C1:x2=4y的焦点F也是椭圆C2:+=1(a>b>0)的一个焦点.C1与C2的公共弦长为2.(Ⅰ)求C2的方程;(Ⅱ)过点F 的直线l与C1相交于A、B两点,与C2相交于C、D两点,且与同向.(1)若|AC|=|BD|,求直线l的斜率;(2)设C1在点A处的切线与x轴的交点为M,证明:直线l绕点F旋转时,第 28 页共 32 页28△MFD总是钝角三角形.【考点】K3:椭圆的标准方程;KH:直线与圆锥曲线的综合.【专题】2:创新题型;5E:圆锥曲线中的最值与范围问题.【分析】(Ⅰ)根据两个曲线的焦点相同,得到a2﹣b2=1,再根据C1与C2的公共弦长为2,得到=1,解得即可求出;(Ⅱ)设出点的坐标,(1)根据向量的关系,得到(x1+x2)2﹣4x1x2=(x3+x4)2﹣4x3x4,设直线l的方程,分别与C1,C2构成方程组,利用韦达定理,分别代入得到关于k的方程,解得即可;(2)根据导数的几何意义得到C1在点A 处的切线方程,求出点M的坐标,利用向量的乘积∠AFM是锐角,问题得以证明.【解答】解:(Ⅰ)抛物线C1:x2=4y的焦点F的坐标为(0,1),因为F也是椭圆C 2的一个焦点,∴a 2﹣b2=1,①,又C1与C2的公共弦长为2,C 1与C2的都关于y轴对称,且C1的方程为x2=4y,由此易知C1与C2的公共点的坐标为(±,),所以=1,②,联立①②得a2=9,b2=8,故C 2的方程为+=1.(Ⅱ)设A(x1,y 1),B(x2,y2),C(x3,y3),D(x4,y4),(1)因为与同向,且|AC|=|BD|,所以=,从而x3﹣x1=x4﹣x2,即x1﹣x2=x3﹣x4,于是(x1+x2)2﹣4x1x2=(x3+x4)2﹣4x3x4,③设直线的斜率为k,则l的方程为y=kx+1,第 29 页共 32 页29由,得x2﹣4kx﹣4=0,而x1,x2是这个方程的两根,所以x1+x2=4k,x1x2=﹣4,④由,得(9+8k2)x2+16kx﹣64=0,而x3,x4是这个方程的两根,所以x3+x4=,x3x4=﹣,⑤将④⑤代入③,得16(k2+1)=+,即16(k2+1)=,所以(9+8k2)2=16×9,解得k=±.(2)由x2=4y得y′=x,所以C1在点A处的切线方程为y﹣y 1=x1(x﹣x1),即y=x1x﹣x12,令y=0,得x=x1,M(x1,0),所以=(x1,﹣1),而=(x1,y1﹣1),于是•=x12﹣y1+1=x12+1>0,因此∠AFM是锐角,从而∠MFD=180°﹣∠AFM是钝角,故直线l绕点F旋转时,△MFD总是钝角三角形.【点评】本题考查了圆锥曲线的和直线的位置与关系,关键是联立方程,构造方程,利用韦达定理,以及向量的关系,得到关于k的方程,计算量大,属于难题.30第 30 页共 32 页23.(13分)已知a>0,函数f(x)=e ax sinx(x∈[0,+∞]).记x n为f(x)的从小到大的第n(n∈N*)个极值点.证明:(Ⅰ)数列{f(x n)}是等比数列;(Ⅱ)若a≥,则对一切n∈N*,x n <|f(x n)|恒成立.【考点】6D:利用导数研究函数的极值;6E:利用导数研究函数的最值.【专题】2:创新题型;53:导数的综合应用;54:等差数列与等比数列;59:不等式的解法及应用.【分析】(Ⅰ)求出导数,运用两角和的正弦公式化简,求出导数为0的根,讨论根附近的导数的符号相反,即可得到极值点,求得极值,运用等比数列的定义即可得证;(Ⅱ)由sinφ=,可得对一切n∈N *,x n<|f(x n)|恒成立.即为nπ﹣φ<e a(nπ﹣φ)恒成立⇔<,①设g(t)=(t>0),求出导数,求得最小值,由恒成立思想即可得证.【解答】证明:(Ⅰ)f′(x)=e ax(asinx+cosx)=•e ax sin(x+φ),tanφ=,0<φ<,令f′(x)=0,由x≥0,x+φ=mπ,即x=mπ﹣φ,m∈N*,对k∈N,若(2k+1)π<x+φ<(2k+2)π,即(2k+1)π﹣φ<x<(2k+2)π﹣φ,则f′(x)<0,因此在((m﹣1)π﹣φ,mπ﹣φ)和(mπ﹣φ,(m+1)π﹣φ)上f′(x )符号总相反.于是当x=nπ﹣φ,n∈N*,f(x)取得极值,所以x n=nπ﹣φ,n∈N*,此时f(x n)=e a(nπ﹣φ)sin(nπ﹣φ)=(﹣1)n+1e a(nπ﹣φ)sinφ,易知f(x n)≠0,而==﹣e aπ是常数,第 31 页共 32 页31故数列{f(x n)}是首项为f(x1)=e a(π﹣φ)sinφ,公比为﹣e aπ的等比数列;(Ⅱ)由sinφ=,可得对一切n∈N*,x n<|f(x n)|恒成立.即为nπ﹣φ<e a(nπ﹣φ)恒成立⇔<,①设g(t)=(t>0),g′(t)=,当0<t<1时,g′(t)<0,g (t)递减,当t >1时,g′(t)>0,g(t )递增.t=1时,g(t)取得最小值,且为e.因此要使①恒成立,只需<g(1)=e,只需a>,当a=,tanφ==,且0<φ<,可得<φ<,于是π﹣φ<<,且当n≥2时,nπ﹣φ≥2π﹣φ>>,因此对n∈N*,ax n=≠1,即有g(ax n)>g(1)=e=,故①亦恒成立.综上可得,若a≥,则对一切n∈N*,x n<|f(x n)|恒成立.【点评】本题考查导数的运用:求极值和单调区间,主要考查三角函数的导数和求值,同时考查等比数列的定义和通项公式的运用,考查不等式恒成立问题的证明,属于难题.32第 32 页共 32 页。

2015年湖南省高考数学试卷(理科)

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2015 年湖南省高考数学试卷(理科)一、选择题,共10 小题,每题 5 分,共 50 分1.(5 分)已知=1+i(i 为虚数单位),则复数 z=()A.1+i B.1﹣i C.﹣ 1+i D.﹣ 1﹣ i2.(5 分)设 A、B 是两个会合,则“A∩B=A”是“A?B”的()A.充足不用要条件B.必需不充足条件C.充要条件D.既不充足也不用要条件3.(5 分)履行如下图的程序框图,假如输入n=3,则输出的 S=()A.B.C.D.4.( 5 分)若变量 x、y 知足拘束条件,则z=3x﹣y的最小值为()A.﹣ 7 B.﹣1 C.1D.25.(5 分)设函数 f( x)=ln(1+x)﹣ ln(1﹣x),则 f(x)是()A.奇函数,且在( 0, 1)上是增函数B.奇函数,且在( 0,1)上是减函数C.偶函数,且在( 0,1)上是增函数D.偶函数,且在( 0, 1)上是减函数.(分)已知(5的睁开式中含 x的项的系数为 30,则 a=()6 5﹣)A.B.﹣C. 6D.﹣ 67.(5 分)在如下图的正方形中随机扔掷10000 个点,则落入暗影部分(曲线C 为正态散布 N(0,1)的密度曲线)的点的个数的预计值为()2附“若 X﹣ N=(μ, a ),则P(μ﹣σ<X≤μ+σ) =0.6826.p(μ﹣2σ<X≤μ+2σ)=0.9544.A.2386B.2718C.3413D.4772.(分)已知A,B,C 在圆 x 2+y2=1上运动,且⊥ ,若点P的坐标为(,8 5AB BC2 0),则 || 的最大值为()A.6 B.7 C.8 D.99.(5 分)将函数 f(x)=sin2x 的图象向右平移φ(0<φ<)个单位后获得函数 g(x)的图象.若对知足 | f( x1)﹣ g(x2) | =2 的 x1、x2,有 | x1﹣x2| min =,则φ=()A.B.C.D.10.( 5 分)某工件的三视图如下图.现将该工件经过切削,加工成一个体积尽可能大的长方体新工件,并使新工件的一个面落在原工件的一个面内,则原工件资料的利用率为(资料利用率=)()A.B.C.D.二、填空题,共 5 小题,每题 5 分,共 25 分11.( 5分)( x﹣ 1) dx=.12.( 5分)在一次马拉松竞赛中,35 名运动员的成绩(单位:分钟)的茎叶图如下图.若将运动员成绩由好到差编号为 1﹣35 号,再用系统抽样方法从中抽取 7 人,则此中成绩在区间[139,151] 上的运动员人数是.13.( 5分)设 F 是双曲线 C:﹣=1 的一个焦点.若 C 上存在点 P,使线段PF的中点恰为其虚轴的一个端点,则 C 的离心率为.14.( 5 分)设 S n 为等比数列 { a n} 的前 n 项和,若 a1,且1, 2S2, S3成等差=13S数列,则 a n=.15.( 5分)已知函数 f(x)=若存在实数 b,使函数 g(x)=f(x)﹣b 有两个零点,则 a 的取值范围是.三、简答题,共 1 小题,共 75 分,16、17、18 为选修题,任选两小题作答,如果全做,则按前两题计分选修4-1:几何证明选讲16.( 6 分)如图,在⊙ O 中,订交于点 E 的两弦 AB, CD的中点分别是 M,N,直线 MO 与直线 CD 订交于点 F,证明:(1)∠ MEN+∠ NOM=180°(2) FE?FN=FM?FO.选修 4-4:坐标系与方程17.( 6 分)已知直线 l:(t为参数).以坐标原点为极点,x轴的正半轴为极轴成立极坐标系,曲线 C 的坐标方程为ρ=2cos.θ(1)将曲线 C 的极坐标方程化为直坐标方程;(2)设点 M 的直角坐标为(5,),直线 l 与曲线 C 的交点为 A,B,求 | MA| ?| MB|的值.选修 4-5:不等式选讲18.设 a> 0,b> 0,且 a+b= + .证明:(ⅰ) a+b≥ 2;(ⅱ) a2+a<2 与 b2+b<2 不行能同时成立.七、标题19.设△ ABC的内角 A、B、C 的对边分别为 a、 b、 c,a=btanA,且 B 为钝角.(Ⅰ)证明: B﹣A= ;(Ⅱ)求 sinA+sinC的取值范围.20.某商场举行有奖促销活动,顾客购置必定金额商品后即可抽奖,每次抽奖都从装有 4 个红球、 6 个白球的甲箱和装有 5 个红球、 5 个白球的乙箱中,各随机摸出 1 个球,在摸出的 2 个球中,若都是红球,则获一等奖,若只有 1 个红球,则获二等奖;若没有红球,则不获奖.(1)求顾客抽奖 1 次能获奖的概率;(2)若某顾客有 3 次抽奖时机,记该顾客在 3 次抽奖中获一等奖的次数为 X,求 X 的散布列和数学希望.21.如图,已知四棱台 ABCD﹣A1B1C1D1的上、下底面分别是边长为3和6的正方形, AA1,且1⊥底面ABCD,点P、Q分别在棱DD1、BC上.=6AA( 1)若 P 是 DD1的中点,证明: AB1⊥ PQ;( 2)若 PQ∥平面 ABB1A1,二面角 P﹣QD﹣A 的余弦值为,求四周体ADPQ的体积..(13分)已知抛物线C1:x2=4y的焦点F也是椭圆2:+ =1( a> b> 0)22C的一个焦点. C1与 C2的公共弦长为 2.(Ⅰ)求 C2的方程;(Ⅱ)过点 F 的直线 l 与 C1订交于 A、B 两点,与 C2订交于 C、 D 两点,且与同向.(1)若 | AC| =| BD| ,求直线 l 的斜率;(2)设 C1在点 A 处的切线与 x 轴的交点为 M,证明:直线 l 绕点 F 旋转时,△MFD 老是钝角三角形.23.( 13 分)已知 a>0,函数 f( x) =e ax sinx(x∈[ 0,+∞] ).记 x n为 f(x)的从小到大的第 n( n∈N*)个极值点.证明:(Ⅰ)数列 { f(x n) } 是等比数列;(Ⅱ)若 a≥,则对全部n∈ N*,x n<| f(x n)|恒成立.2015 年湖南省高考数学试卷(理科)参照答案与试题分析一、选择题,共10 小题,每题 5 分,共 50 分1.(5 分)已知=1+i(i 为虚数单位),则复数 z=()A.1+i B.1﹣i C.﹣ 1+i D.﹣ 1﹣ i【剖析】由条件利用两个复数代数形式的乘除法法例,求得z 的值.【解答】解:∵已知=1+i(i 为虚数单位),∴z===﹣1﹣i,应选: D.【评论】此题主要观察两个复数代数形式的乘除法法例的应用,属于基础题.2.(5 分)设 A、B 是两个会合,则“A∩B=A”是“A?B”的()A.充足不用要条件B.必需不充足条件C.充要条件D.既不充足也不用要条件【剖析】直接利用两个会合的交集,判断两个会合的关系,判断充要条件即可.【解答】解: A、B 是两个会合,则“A∩B=A”可得“A?B”,“A?B”,可得“A∩ B=A”.所以 A、B 是两个会合,则“A∩B=A”是“A?B”的充要条件.应选: C.【评论】此题观察充要条件的判断与应用,会合的交集的求法,基本知识的应用.3.(5 分)履行如下图的程序框图,假如输入n=3,则输出的 S=()A.B.C.D.【剖析】列出循环过程中 S 与 i 的数值,知足判断框的条件即可结束循环.【解答】解:判断前 i=1,n=3, s=0,第 1 次循环, S=,i=2,第 2 次循环, S=,i=3,第 3 次循环, S=,i=4,此时, i>n,知足判断框的条件,结束循环,输出结果:S===应选: B.【评论】此题观察循环框图的应用,注意判断框的条件的应用,观察计算能力4.( 5 分)若变量 x、y 知足拘束条件,则z=3x﹣y的最小值为()A.﹣ 7 B.﹣1 C.1D.2【剖析】由拘束条件作出可行域,由图获得最优解,求出最优解的坐标,数形结合得答案.【解答】解:由拘束条件作出可行域如图,由图可知,最优解为A,联立,解得 C(0,﹣1).由解得A(﹣2,1),由,解得 B(1,1)∴z=3x﹣y 的最小值为 3×(﹣ 2)﹣ 1=﹣7.应选: A.【评论】此题观察了简单的线性规划,观察了数形联合的解题思想方法,是中档题.易错点是图形中的 B 点.5.(5 分)设函数 f( x)=ln(1+x)﹣ ln(1﹣x),则 f(x)是()A.奇函数,且在( 0, 1)上是增函数B.奇函数,且在( 0,1)上是减函数C.偶函数,且在( 0,1)上是增函数 D.偶函数,且在( 0, 1)上是减函数【剖析】求出好的定义域,判断函数的奇偶性,以及函数的单一性推出结果即可.【解答】解:函数 f (x) =ln( 1+x)﹣ ln(1﹣x),函数的定义域为(﹣ 1, 1),函数 f (﹣ x)=ln(1﹣x)﹣ ln( 1+x)=﹣[ ln (1+x)﹣ ln( 1﹣ x)] =﹣f (x),所以函数是奇函数.清除C,D,正确结果在A,B,只要判断特别值的大小,即可推出选项,x=0 时,f(0)=0;x= 时,f()=ln(1+ )﹣ ln(1﹣) =ln3>1,明显 f(0)< f(),函数是增函数,所以 B 错误, A 正确.应选: A.【评论】此题观察函数的奇偶性以及函数的单一性的判断与应用,观察计算能力..(分)已知(﹣5的睁开式中含 x的项的系数为 30,则 a=()6 5)A.B.﹣C. 6D.﹣ 6【剖析】依据所给的二项式,利用二项睁开式的通项公式写出第 r+1 项,整理成最简形式,令 x 的指数为求得 r,再代入系数求出结果.【解答】解:依据所给的二项式写出睁开式的通项,T r+1==;睁开式中含 x的项的系数为30,∴,∴ r=1,而且,解得a=﹣6.应选: D.【评论】此题观察二项式定理的应用,此题解题的重点是正确写出二项睁开式的通项,在这类题目中通项是解决二项睁开式的特定项问题的工具.7.(5 分)在如下图的正方形中随机扔掷10000 个点,则落入暗影部分(曲线C 为正态散布 N(0,1)的密度曲线)的点的个数的预计值为()附“若 X﹣ N=(μ, a2),则P(μ﹣σ<X≤μ+σ) =0.6826.p(μ﹣2σ<X≤μ+2σ)=0.9544.A.2386B.2718C.3413D.4772【剖析】求出 P(0<X≤1)=×0.6826=0.3413,即可得出结论.【解答】解:由题意 P(0<X≤1)=×0.6826=0.3413,∴落入暗影部分点的个数的预计值为 10000×0.3413=3413,应选: C.【评论】此题观察正态散布曲线的特色及曲线所表示的意义,观察正态散布中两个量μ和σ的应用,观察曲线的对称性,属于基础题.8.( 5 分)已知 A,B,C 在圆 x2+y2=1 上运动,且 AB⊥ BC,若点 P 的坐标为( 2,0),则 || 的最大值为()A.6B.7C.8D.9【剖析】由题意, AC为直径,所以 || =| 2 +| .B 为(﹣ 1,0)时,| 2 + | ≤7,即可得出结论.【解答】解:由题意, AC为直径,所以 || =| 2 + |所以 B 为(﹣ 1,0)时, | 2 + | ≤7.所以 || 的最大值为 7.另解:设 B(cosα, sin α),| 2+| =| 2 (﹣ 2 , 0 ) + ( cosα﹣ 2 , sin α) | =| ( cosα﹣ 6 , sin α) | ==,当 cosα=﹣1 时, B 为(﹣ 1,0),获得最大值7.应选: B.【评论】此题观察向量知识的运用,观察学生剖析解决问题的能力,比较基础.9.(5 分)将函数 f(x)=sin2x 的图象向右平移φ(0<φ<)个单位后获得函数 g(x)的图象.若对知足 | f( x1)﹣ g(x2) | =2 的 x1、x2,有 | x1﹣x2| min =,则φ=()A.B.C.D.【剖析】利用三角函数的最值,求出自变量x1,x2的值,而后判断选项即可.【解答】解:因为将函数f(x)=sin2x 的周期为π,函数的图象向右平移φ(0<φ<)个单位后获得函数g(x)的图象.若对知足 | f(x1)﹣ g( x2)| =2 的可知,两个函数的最大值与最小值的差为2,有 | x1﹣x2| min =,不如 x1=,x2=,即g(x)在x2=,获得最小值,sin(2×﹣2φ)=﹣ 1,此时φ=,不合题意,x1=,x2=,即g(x)在x2=,获得最大值,sin(2×﹣2φ)=1,此时φ= ,知足题意.另解: f (x) =sin2x,g(x)=sin( 2x﹣2φ),设 2x1=2kπ+,k∈Z,2x2﹣2φ=﹣+2mπ,m∈ Z,x1﹣ x2=﹣φ+(k﹣m)π,由 | x1﹣ x2| min =,可得﹣φ= ,解得φ= ,应选: D.【评论】此题观察三角函数的图象平移,函数的最值以及函数的周期的应用,观察剖析问题解决问题的能力,是好题,题目新奇.有必定难度,选择题,能够回代考证的方法迅速解答.10.( 5 分)某工件的三视图如下图.现将该工件经过切削,加工成一个体积尽可能大的长方体新工件,并使新工件的一个面落在原工件的一个面内,则原工件资料的利用率为(资料利用率=)()A.B.C.D.【剖析】依据三视图可判断其为圆锥,底面半径为1,高为 2,求解体积.利用几何体的性质得出此长方体底面边长为n 的正方形,高为x,利用轴截面的图形可判断得出n=(1﹣),0<x<2,求解体积式子,利用导数求解即可,最后利用几何概率求解即.【解答】解:依据三视图可判断其为圆锥,∵底面半径为 1,高为 2,∴V=×2=∵加工成一个体积尽可能大的长方体新工件,∴此长方体底面边长为n 的正方形,高为x,∴依据轴截面图得出:=,解得; n=(1﹣),0<x<2,∴长方体的体积Ω=2(1﹣)2x,Ω′=x2﹣4x+2,∵,Ω′=x2﹣4x+2=0,x=,x=2,∴可判断( 0,)单一递加,(,2)单一递减,Ω最大值 =2(1﹣)2×=,∴原工件资料的利用率为=×=,应选: A.【评论】此题非常新奇,知识点交融的很好,把立体几何,导数,概率都相应的观察了,综合性强,属于难题.二、填空题,共 5 小题,每题 5 分,共 25 分11.( 5 分)(x﹣1)dx=0.【剖析】求出被积函数的原函数,代入上限和下限求值.【解答】解:(x﹣1)dx=(﹣x)|=0;故答案为: 0.【评论】此题观察了定积分的计算;重点是求出被积函数的原函数.12.( 5 分)在一次马拉松竞赛中, 35 名运动员的成绩(单位:分钟)的茎叶图如下图.若将运动员成绩由好到差编号为1﹣35 号,再用系统抽样方法从中抽取7 人,则此中成绩在区间[139,151]上的运动员人数是4.【剖析】依据茎叶图中的数据,联合系统抽样方法的特色,即可求出正确的结论.【解答】解:依据茎叶图中的数据,得;成绩在区间 [ 139,151] 上的运动员人数是20,用系统抽样方法从35 人中抽取 7 人,成绩在区间 [ 139,151] 上的运动员应抽取7×=4(人).故答案为: 4.【评论】此题观察了茎叶图的应用问题,也观察了系统抽样方法的应用问题,是基础题目.13.( 5 分)设 F 是双曲线 C:﹣=1 的一个焦点.若 C 上存在点 P,使线段PF的中点恰为其虚轴的一个端点,则 C 的离心率为.【剖析】设 F(c,0), P(m,n),( m<0),设 PF 的中点为 M(0,b),即有m=﹣c,n=2b,将中点 M 的坐标代入双曲线方程,联合离心率公式,计算即可获得.【解答】解:设 F( c, 0),P(m, n),(m<0),设 PF的中点为 M( 0, b),即有 m=﹣c,n=2b,将点(﹣ c,2b)代入双曲线方程可得,﹣=1,可得 e2==5,解得 e=.故答案为:.【评论】此题观察双曲线的方程和性质,主要观察双曲线的离心率的求法,同时观察中点坐标公式的运用,属于中档题.14.( 5 分)设 S n为等比数列 { a n} 的前 n 项和,若 a1=1,且 3S1, 2S2, S3成等差数列,则 a n= 3n﹣1.【剖析】利用已知条件列出方程求出公比,而后求解等比数列的通项公式.【解答】解:设等比数列的公比为q,S n为等比数列 { a n} 的前 n 项和,若 a1=1,且 3S1,2S2,S3成等差数列,可得 4S2 =S3+3S1,a1=1,即 4(1+q)=1+q+q2+3,q=3.∴a n=3n﹣1.故答案为: 3n﹣1.【评论】此题观察等差数列以及等比数列的应用,基本知识的观察.15.( 5 分)已知函数 f(x)=若存在实数b,使函数g(x)=f(x)﹣b 有两个零点,则 a 的取值范围是{ a| a<0 或 a>1}.【剖析】由 g(x)=f(x)﹣ b 有两个零点可得 f(x)=b 有两个零点,即 y=f( x)与 y=b 的图象有两个交点,则函数在定义域内不可以是单一函数,联合函数图象可求 a 的范围【解答】解:∵ g(x)=f( x)﹣ b 有两个零点,∴ f(x)=b 有两个零点,即 y=f(x)与 y=b 的图象有两个交点,由 x3=x2可得, x=0 或 x=1①当 a>1 时,函数 f(x)的图象如下图,此时存在 b,知足题意,故 a>1 知足题意②当 a=1 时,因为函数f(x)在定义域 R 上单一递加,故不切合题意③当 0<a<1 时,函数 f(x)单一递加,故不切合题意④ a=0 时, f(x)单一递加,故不切合题意⑤当 a<0 时,函数 y=f( x)的图象如下图,此时存在 b 使得, y=f(x)与 y=b 有两个交点综上可得, a< 0 或 a>1故答案为: { a| a< 0 或 a>1}【评论】此题观察了函数的零点问题,浸透了转变思想,数形联合、分类议论的数学思想.三、简答题,共 1 小题,共 75 分,16、17、18 为选修题,任选两小题作答,假如全做,则按前两题计分选修 4-1:几何证明选讲16.( 6 分)如图,在⊙ O 中,订交于点 E 的两弦 AB, CD的中点分别是M,N,直线 MO 与直线 CD 订交于点 F,证明:(1)∠ MEN+∠ NOM=180°(2) FE?FN=FM?FO.【剖析】(1)证明 O,M , E, N 四点共圆,即可证明∠ MEN+∠ NOM=180°(2)证明△ FEM∽△ FON,即可证明 FE?FN=FM?FO.【解答】证明:(1)∵ N 为 CD 的中点,∴ ON⊥ CD,∵M 为 AB 的中点,∴OM⊥AB,在四边形 OMEN 中,∴∠ OME+∠ONE=90°+90°=180°,∴O, M ,E,N 四点共圆,∴∠ MEN+∠NOM=180°( 2)在△ FEM 与△ FON中,∠ F=∠ F,∠FME=∠FNO=90°,∴△ FEM∽△ FON,∴=∴FE?FN=FM?FO.【评论】此题观察垂径定理,观察三角形相像的判断与应用,观察学生剖析解决问题的能力,比较基础.选修 4-4:坐标系与方程17.( 6 分)已知直线 l:(t为参数).以坐标原点为极点,x轴的正半轴为极轴成立极坐标系,曲线 C 的坐标方程为ρ=2cos.θ(1)将曲线 C 的极坐标方程化为直坐标方程;(2)设点 M 的直角坐标为(5,),直线 l 与曲线 C 的交点为 A,B,求 | MA| ?| MB|的值.2【剖析】(1)曲线的极坐标方程即ρ=2ρ cos,θ依据极坐标和直角坐标的互化公式得 x2+y2,即得它的直角坐标方程;=2x( 2)直线 l 的方程化为一般方程,利用切割线定理可得结论.2ρ,θ∴2+y2,故它的直角坐标方程【解答】解:(1)∵ρ=2cos,θ∴ρ=2cos=2xx为( x﹣ 1)2+y2;=1( 2)直线 l:(t为参数),一般方程为,(5,)在直线 l 上,过点 M 作圆的切线,切点为 T,则 | MT| 2=( 5﹣ 1)2+3﹣ 1=18,由切割线定理,可得 | MT| 2=| MA| ?| MB| =18.【评论】此题主要观察把极坐标方程化为直角坐标方程的方法,属于基础题.选修 4-5:不等式选讲18.设 a> 0,b> 0,且 a+b= + .证明:(ⅰ) a+b≥ 2;(ⅱ) a2+a<2 与 b2+b<2 不行能同时成立.【剖析】(ⅰ)由 a> 0,b>0,联合条件可得 ab=1,再由基本不等式,即可得证;(ⅱ)运用反证法证明.假定 a2+a<2 与 b2+b< 2 可能同时成立.联合条件 a> 0,b>0,以及二次不等式的解法,可得0<a<1,且 0< b< 1,这与 ab=1 矛盾,即可得证.【解答】证明:(ⅰ)由 a>0,b>0,则 a+b= + =,因为 a+b> 0,则 ab=1,即有 a+b≥ 2=2,当且仅当 a=b 获得等号.则 a+b≥2;(ⅱ)假定 a2+a<2 与 b2+b<2 可能同时成立.由 a2+a< 2 及 a>0,可得 0<a<1,由 b2+b< 2 及 b>0,可得 0<b<1,这与 ab=1 矛盾.a2+a<2 与 b2+b<2 不行能同时成立.【评论】此题观察不等式的证明,主要观察基本不等式的运用和反证法证明不等式的方法,属于中档题.七、标题19.设△ ABC的内角 A、B、C 的对边分别为 a、 b、 c,a=btanA,且 B 为钝角.(Ⅰ)证明: B﹣A= ;(Ⅱ)求 sinA+sinC的取值范围.【剖析】(Ⅰ)由题意和正弦定理可得sinB=cosA,由角的范围和引诱公式可得;(Ⅱ)由题意可得A∈( 0,),可得0<sinA<,化简可得sinA+sinC=﹣2( sinA﹣)2+,由二次函数区间的最值可得.【解答】解:(Ⅰ)由 a=btanA 和正弦定理可得= =,∴sinB=cosA,即 sinB=sin( +A)又 B 为钝角,∴+A∈(,π),∴B= +A,∴ B﹣ A= ;(Ⅱ)由(Ⅰ)知C=π﹣( A+B)=π﹣( A+ +A)=﹣2A>0,∴ A∈( 0,),∴ sinA+sinC=sinA+sin(﹣2A)=sinA+cos2A=sinA+1﹣ 2sin2A=﹣2(sinA﹣)2+,∵A∈( 0,),∴ 0<sinA<,∴由二次函数可知<﹣2(sinA﹣)2+≤∴ sinA+sinC的取值范围为(,]【评论】此题观察正弦定理和三角函数公式的应用,波及二次函数区间的最值,属基础题.20.某商场举行有奖促销活动,顾客购置必定金额商品后即可抽奖,每次抽奖都从装有 4 个红球、 6 个白球的甲箱和装有 5 个红球、 5 个白球的乙箱中,各随机摸出 1 个球,在摸出的 2 个球中,若都是红球,则获一等奖,若只有 1 个红球,则获二等奖;若没有红球,则不获奖.(1)求顾客抽奖 1 次能获奖的概率;(2)若某顾客有 3 次抽奖时机,记该顾客在 3 次抽奖中获一等奖的次数为 X,求 X 的散布列和数学希望.【剖析】(1)记事件 A1={ 从甲箱中摸出一个球是红球 } ,事件 A2 ={ 从乙箱中摸出一个球是红球 } ,事件 B1={ 顾客抽奖 1 次获一等奖 } ,事件 A2={ 顾客抽奖 1 次获二等奖 } ,事件 C={ 顾客抽奖 1 次能获奖 } ,利用 A1,A2互相独立,,互斥, B1, B2互斥,而后求出所求概率即可.( 2)顾客抽奖 1 次可视为 3 次独立重复试验,判断X~B.求出概率,获得 X 的散布列,而后求解希望.【解答】解:( 1)记事件 A1={ 从甲箱中摸出一个球是红球} ,事件 A2={ 从乙箱中摸出一个球是红球 } ,事件 B1={ 顾客抽奖 1 次获一等奖 } ,事件 B2={ 顾客抽奖 1次获二等奖 } ,事件 C={ 顾客抽奖 1 次能获奖 } ,由题意 A1,A2互相独立,,互斥, B1, B2互斥,且 B1 1 2,B2=+,1+B2,因为 P(A1)=A A C=B=,(2)=,所以, P(B1) =P(A1)P(A2)== ,P(B2)P A=P()+P()=+== ,故所求概率为: P(C)=P(B1+B2)=P(B1) +P(B2) =.( 2)顾客抽奖 1 次可视为 3 次独立重复试验,由( 1)可知,顾客抽奖 1 次获一等奖的概率为:所以.X~ B.于是,P(X=0)==,P(X=1)==,P(X=2)==,P(X=3)==.故 X 的散布列为:X0123PE(X)=3×=.【评论】希望是概率论和数理统计的重要观点之一,是反应随机变量取值散布的特色数,学习希望将为此后学习概率统计知识做铺垫,它在市场展望,经济统计,风险与决议等领域有着宽泛的应用,为此后学习数学及有关学科产生深远的影响.21.如图,已知四棱台 ABCD﹣A1B1C1D1的上、下底面分别是边长为3和6的正方形, AA1=6,且 AA1⊥底面 ABCD,点 P、 Q 分别在棱 DD1、 BC上.( 1)若 P 是 DD1的中点,证明: AB1⊥ PQ;( 2)若 PQ∥平面 ABB1A1,二面角 P﹣QD﹣A 的余弦值为,求四周体ADPQ的体积.【剖析】(1)第一以 A 为原点, AB,AD,AA1所在直线分别为 x, y, z 轴,成立空间直角坐标系,求出一些点的坐标, Q 在棱 BC 上,进而可设 Q(6,y1, 0),只要求即可;( 2)设 P(0,y2, z2),依据 P 在棱 DD1上,进而由即可获得z2=12﹣2y2,进而表示点 P 坐标为 P( 0,y2,12﹣2y2).由 PQ∥平面 ABB1A1便知道与平面 ABB1A1的法向量垂直,进而得出 y1=y2,进而 Q 点坐标变为 Q(6,y2,0),设平面 PQD的法向量为,依据即可表示,平面 AQD 的一个法向量为,进而由即可求出y2,进而得出 P 点坐标,进而求出三棱锥 P﹣ AQD的高,而四周体 ADPQ的体积等于三棱锥P﹣AQD 的体积,进而求出四周体的体积.【解答】解:依据已知条件知AB, AD, AA1三直线两两垂直,所以分别以这三直线为 x,y,z 轴,成立如下图空间直角坐标系,则:A(0,0,0),B(6,0,0),D(0,6,0),A1(0,0,6),B1(3,0,6),D1(0,3,6);Q 在棱 BC上,设 Q( 6, y1,0), 0≤ y1≤6;∴( 1)证明:若 P 是 DD1的中点,则 P;∴,;∴;∴;∴AB1⊥PQ;( 2)设 P(0,y2, z2),y2, z2∈[ 0, 6] ,P 在棱 DD1上;∴,0≤λ≤ 1;∴( 0,y2﹣6,z2)=λ(0,﹣ 3,6);∴;∴z2=12﹣2y2;∴P( 0, y2,12﹣ 2y2);∴;平面 ABB1A1的一个法向量为;∵PQ∥平面 ABB1A1;∴=6(y1﹣y2) =0;∴y1=y2;∴Q(6, y2,0);设平面 PQD的法向量为,则:;∴,取 z=1,则;又平面 AQD的一个法向量为;又二面角 P﹣QD﹣A 的余弦值为;∴;解得 y2=4,或 y2=8(舍去);∴P(0,4,4);∴三棱锥 P﹣ADQ 的高为 4,且;∴ V 四周体ADPQ=V 三棱锥P﹣ADQ=.【评论】观察成立空间直角坐标系,利用空间向量解决异面直线垂直及线面角问题的方法,共线向量基本定理,直线和平面平行时,直线和平面法向量的关系,平面法向量的观点,以及两平面法向量的夹角和平面二面角大小的关系,三棱锥的体积公式.22.(13 分)已知抛物线 C1:x2=4y 的焦点 F 也是椭圆 C2: +=1( a> b> 0)的一个焦点. C1与 C2的公共弦长为 2.(Ⅰ)求 C2的方程;(Ⅱ)过点 F 的直线 l 与 C1订交于 A、B 两点,与 C2订交于 C、 D 两点,且与同向.(1)若 | AC| =| BD| ,求直线 l 的斜率;(2)设 C1在点 A 处的切线与 x 轴的交点为 M,证明:直线 l 绕点 F 旋转时,△MFD 老是钝角三角形.【剖析】(Ⅰ)依据两个曲线的焦点同样,获得a2﹣b2=1,再依据 C1与 C2的公共弦长为 2,获得=1,解得即可求出;(Ⅱ)设出点的坐标,(1)依据向量的关系,获得(x1 +x2)2﹣ 4x1x2=( x3+x4)2﹣4x3x4,设直线 l 的方程,分别与 C1,C2组成方程组,利用韦达定理,分别代入获得对于 k 的方程,解得即可;( 2)依据导数的几何意义获得 C1在点 A 处的切线方程,求出点 M 的坐标,利用向量的乘积∠ AFM 是锐角,问题得以证明.【解答】解:(Ⅰ)抛物线 C1:x2=4y 的焦点 F 的坐标为( 0,1),因为 F 也是椭圆 C2的一个焦点,∴ a2﹣b2=1,①,又 C1与 C2的公共弦长为 2 ,C1与 C2的都对于 y 轴对称,且 C1的方程为 x2=4y,由此易知 C1与 C2的公共点的坐标为(±,),所以=1,②,联立①②得 a2=9,b2=8,故 C2的方程为+=1.(Ⅱ)设 A(x1,y1),B(x2, y2), C( x3,y3),D(x4,y4),( 1)因为与同向,且| AC| =| BD|,所以=,进而 x3﹣ x1=x4﹣ x2,即 x1﹣x2=x3﹣x4,于是(x1+x2)2﹣4x1x2=(x3+x4)2﹣ 4x3x4,③设直线的斜率为 k,则 l 的方程为 y=kx+1,由,得 x2﹣ 4kx﹣4=0,而 x1,x2是这个方程的两根,所以 x1+x2=4k,x1x2=﹣4,④由,得( 9+8k2)x2+16kx﹣64=0,而 x3,x4是这个方程的两根,所以 x3+x4=,x3x4=﹣,⑤将④⑤代入③,得16( k2+1)=+,即 16( k2 +1)=,所以( 9+8k2)2=16×9,解得 k=±.(2)由 x2=4y 得 y′=x,所以 C1在点 A 处的切线方程为y﹣y1=x1( x﹣x1),即 y= x1x﹣ x12,令y=0,得 x= x1,M(x1,0),所以=(x1,﹣ 1),而 =(x1,y1﹣ 1),于是? = x12﹣y1+1=x12 +1>0,所以∠ AFM 是锐角,进而∠ MFD=180°﹣∠ AFM 是钝角,故直线 l 绕点 F 旋转时,△ MFD 老是钝角三角形.【评论】此题观察了圆锥曲线的和直线的地点与关系,重点是联立方程,结构方程,利用韦达定理,以及向量的关系,获得对于 k 的方程,计算量大,属于难题.23.( 13 分)已知 a>0,函数 f( x) =e ax sinx(x∈[ 0,+∞] ).记 x n为 f(x)的从小到大的第 n( n∈N*)个极值点.证明:(Ⅰ)数列 { f(x n) } 是等比数列;(Ⅱ)若 a≥,则对全部n∈ N*,x n<| f(x n)|恒成立.【剖析】(Ⅰ)求出导数,运用两角和的正弦公式化简,求出导数为0 的根,讨论根邻近的导数的符号相反,即可获得极值点,求得极值,运用等比数列的定义即可得证;(Ⅱ)由 sin φ=,可得对全部n∈N*,x n<| f( x n)| 恒成立.即为nπ﹣φ<e a nπ φ恒成立 ?<,①设 g(t )=( t> 0),求出(﹣)导数,求得最小值,由恒成立思想即可得证.【解答】证明:(Ⅰ) f (′ x) =e ax(asinx+cosx)=?e ax sin(x+φ),tan φ=,0<φ<,令 f ′(x) =0,由 x≥0,x+φ=mπ,即 x=mπ﹣φ,m∈N*,对 k∈N,若(2k+1)π<x+φ<(2k+2)π,即( 2k+1)π﹣φ< x<(2k+2)π﹣φ,则 f ′(x)< 0,所以在(( m﹣ 1)π﹣φ,mπ﹣φ)和( mπ﹣φ,( m+1)π﹣φ)上 f ′(x)符号总相反.于是当 x=nπ﹣φ, n∈ N*,f (x)获得极值,所以 x n=nπ﹣φ,n∈N*,此时 f (x n)=e a(nπ﹣φ)sin(nπ﹣φ)=(﹣ 1)n+1e a(nπ﹣φ)sin φ,易知 f (x n)≠ 0,而==﹣e aπ是常数,故数列 { f( x n)} 是首项为 f(x1)=e a(π﹣φ) sin φ,公比为﹣ e aπ的等比数列;(Ⅱ)由 sin φ=,可得对全部n∈N*,x n<| f(x n)|恒成立.即为 nπ﹣φ<(﹣)<,①e a nπ φ恒成立 ?设 g(t ) =(t>0),g′(t)=,当 0<t< 1 时, g′(t )< 0, g(t )递减,当 t> 1 时, g′( t)> 0, g( t)递加.t=1 时, g(t)获得最小值,且为e.所以要使①恒成立,只要<g(1)=e,只要 a>,当a=,tanφ==,且0<φ<,可得<φ<,于是π﹣φ<<,且当n≥ 2时,nπ﹣φ≥2π﹣φ>>,所以对 n∈ N*,ax n=≠ ,即有(n)>g(1)=e=,1g ax故①亦恒成立.综上可得,若 a≥,则对全部n∈N*,x n<| f(x n)|恒成立.【评论】此题观察导数的运用:求极值和单一区间,主要观察三角函数的导数和求值,同时观察等比数列的定义和通项公式的运用,观察不等式恒成立问题的证明,属于难题.。

2015年湖南省高考理科数学试题

2015年湖南省高考理科数学试题

2015年普通高等学校夏季招生全国统一考试数学理工农医类(湖南卷)一、选择题:本大题共10小题,每小题5分,共50分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是复合题目要求的.1.已知2(1)1i i z-=+(i 为虚数单位),则复数z =( ) A .1i + B .1i - C .1i -+ D .1i -- 2.设A ,B 是两个集合,则“A B A = ”是“A B ⊆”的( )A .充分不必要条件B .必要不充分条件C .充要条件D .既不充分也不必要条件3.执行如图1所示的程序框图,如果输入3n =,则输出的S =( )A .76B .73C .98D .944.若变量x ,y 满足约束条件⎪⎩⎪⎨⎧≤≤--≥+1121y y x y x ,则y x z -=3的最小值为( )A .7-B .1-C .1D .25. 设函数)1ln()1ln()(x x x f --+=,则)(x f 是( ) A . 奇函数,且在)1,0(是增函数 B . 奇函数,且在)1,0(是减函数C . 偶函数,且在)1,0(是增函数D . 偶函数,且在)1,0(是减函数 6.已知5)(xa x -的展开式中含23x 的项的系数为30,则=a ( )A .3B .3-C .6D .6-7. 在如图2所示的正方形中随机投掷10000个点,则落入阴影部分(曲线C 为正态分布)1,0(N 的密度曲线)的点的个数的估计值为( ) A .2386 B .2718 C .3413 D .4772附:若),(~2σμN X ,则6826.0)(=+≤<-σμσμX P , 9544.0)22(=+≤<-σμσμX P .8. 已知点A ,B ,C 在圆122=+y x 上运动,且BC AB ⊥ . 若点P 的坐标为)0,2(, 则||PC PB PA ++的最大值为( )A .6B .7C .8D .99. 将函数x x f 2sin )(=的图象向右平移ϕ)20(πϕ<<个单位后得到函数)(x g的图象,若对满足2|)()(|21=-x g x f 的1x ,2x ,有3||min 21π=-x x ,则=ϕ( )A .125πB .3πC .4π D .6π10. 某工件的三视图如图所示,现将该工件通过切削,加工成体积尽可能大的长方体新工件,并使新工件的一个面落在原工件的一个面内,则原工件材料的利用率为(材料的利用率原工件的体积新工件的体积=)( )A .π98B .π916C .π2124)-(D .π21212)-(二、填空题:本大题共5小题,每小题5分,共25分. 11.⎰=-2)1(dx x __________.12.在一次马拉松比赛中,35名运动员的成绩(单位:分钟)茎叶图如图所示.若将运动员按成绩由好到差编为1-35号,再用系统抽样的方法从中抽取7人,则其中成绩在区间]151,139[上的运动员的人数是_________.13.设F 是双曲线C 1:2222=-by a x 的一个焦点,若C 上存在点P ,使线段PF 的中点恰为其虚轴的一个端点,则C 的离心率为________. 14.设n S 为等比数列}{n a 的前n 项和,若11=a ,且321,2,3S S S 成等差数列,则=n a ___________.15.已知函数32,,(),x x a f x x x a⎧≤⎪=⎨>⎪⎩ ,若存在实数b ,使函数b x f x g -=)()(有两个零点,则a 的取值范围是___________.三、解答题:本大题共6小题,共75分. 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 16. (本小题满分12分)本小题有Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ三个选做题,请考生任选两题....作答,并将解答过程写在答题卡中相应题号的答题区域内,如果全做,则按所做的前两题计分. Ⅰ.(本小题满分6分)选修4-1 几何证明选讲 如图,在⊙O 中,相交于点E 的两弦AB ,CD 的中点分别是M ,N ,直线MO 与直线CD 相交于点F .证明:(i )180=∠+∠NOM MEN ; (ii )FO FM FN FE ⋅=⋅.Ⅱ.(本小题满分6分)选修4-4 坐标系与参数方程俯视图侧视图正视图222121E FMNOABDC已知直线l ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+=+=.213,235:t y t x (t 为参数),以坐标原点为极点,x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系,曲线C 的极坐标方程为θρcos 2=.(i )将曲线C 的极坐标方程化为直角坐标方程;(ii )设点M 的直角坐标为)3,5(,直线l 与曲线C 的交点为A ,B ,求||||MB MA ⋅的值.Ⅲ.(本小题满分6分)选修4-5 不等式选讲 设0,0>>b a ,且ba b a 11+=+,证明: (i )2≥+b a ;(ii )22<+a a 与22<+b b 不可能同时成立. 17.(本小题满分12分)设ABC ∆的内角C B A ,,的对边分别为c b a ,,,A b a tan =,且B 为钝角. (Ⅰ)证明:2π=-A B ;(Ⅱ) 求C A sin sin +的取值范围.18.(本小题满分12分)某商场举行有奖促销活动,顾客购买一定金额的商品后即可抽奖.每次抽奖都是从装有4个红球、6个白球的甲箱和装有5个红球、5个白球的乙箱中,各随机摸出1个球.在摸出的2球中,若都是红球,则获一等奖;若只有1个红球,则获二等奖;若没有红球,则不获奖. (Ⅰ)求顾客抽奖1次能获奖的概率;(Ⅱ)若某顾客有3次抽奖的机会,记该顾客在3次抽奖中获一等奖的次数为X ,求X 的分布列和数学期望.19. (本小题满分13分) 如图,在四棱台1111D C B A ABCD -的上、下底面分别是边长为3和6的正方形,61=AA ,且⊥1AA 底面ABCD ,点P ,Q 分别在棱1DD ,BC 上. (Ⅰ) 若点P 是1DD 的中点,证明:PQ AB ⊥1;(Ⅱ) 若//PQ 平面11A ABB ,二面角A QD P --的余弦值为73,求四面体ADPQ 的体积.20. (本小题满分13分)已知抛物线1C y x 4:2=的焦点F 也是椭圆2C )0(1:2222>>=+b a bx a y 的一个焦点,1C 与2C 的ABCDA 1B 1C 1D 1Q P公共弦长为62. (Ⅰ) 求2C 的方程;(Ⅱ) 过点F 的直线l 与1C 相交于A ,B 两点,与2C 相交于C ,D 两点,且AC 与BD 同向. (i ) 若||||BD AC =,求直线l 的斜率;(ii )设1C 在点A 处的切线与x 轴的交点为M ,证明:直线l 绕点F 旋转时,MFD ∆总是钝角三角形.21. (本小题满分13分)已知0>a ,函数)),0[(sin )(∞+∈=x x e x f ax ,记n x 为)(x f 的从小到大的第n *)(N n ∈个极值点. 证明:(Ⅰ) 数列)}({n x f 是等比数列; (Ⅱ) 若112-≥e a ,则对一切*N n ∈,|)(|n n x f x <恒成立.。

2015年湖南省高考数学试卷(理科)

2015年湖南省高考数学试卷(理科)

高考注意事项1.进入考场时携带的物品。

考生进入考场,只准携带准考证、二代居民身份证以及2B铅笔、0.5毫米黑色墨水签字笔、直尺、圆规、三角板、无封套橡皮、小刀、空白垫纸板、透明笔袋等文具。

严禁携带手机、无线发射和接收设备、电子存储记忆录放设备、手表、涂改液、修正带、助听器、文具盒和其他非考试用品。

考场内不得自行传递文具等物品。

由于标准化考点使用金属探测仪等辅助考务设备,所以提醒考生应考时尽量不要佩戴金属饰品,以免影响入场时间。

2.准确填写、填涂和核对个人信息。

考生在领到答题卡和试卷后,在规定时间内、规定位置处填写姓名、准考证号。

填写错误责任自负;漏填、错填或字迹不清的答题卡为无效卡;故意错填涉嫌违规的,查实后按照有关规定严肃处理。

监考员贴好条形码后,考生必须核对所贴条形码与自己的姓名、准考证号是否一致,如发现不一致,立即报告监考员要求更正。

3.考场面向考生正前方的墙壁上方悬挂时钟,为考生提供时间参考。

考场时钟的时间指示不作为考试时间信号,考试时间一律以考点统一发出的铃声信号为准。

2015年湖南省高考数学试卷(理科)一、选择题,共10小题,每小题5分,共50分1.(5分)已知=1+i(i为虚数单位),则复数z=()A.1+i B.1﹣i C.﹣1+i D.﹣1﹣i2.(5分)设A、B是两个集合,则“A∩B=A”是“A⊆B”的()A.充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件3.(5分)执行如图所示的程序框图,如果输入n=3,则输出的S=()A.B.C.D.4.(5分)若变量x、y满足约束条件,则z=3x﹣y的最小值为()A.﹣7 B.﹣1 C.1 D.25.(5分)设函数f(x)=ln(1+x)﹣ln(1﹣x),则f(x)是()A.奇函数,且在(0,1)上是增函数B.奇函数,且在(0,1)上是减函数C.偶函数,且在(0,1)上是增函数D.偶函数,且在(0,1)上是减函数6.(5分)已知(﹣)5的展开式中含x的项的系数为30,则a=()A.B.﹣C.6 D.﹣67.(5分)在如图所示的正方形中随机投掷10000个点,则落入阴影部分(曲线C 为正态分布N(0,1)的密度曲线)的点的个数的估计值为()附“若X﹣N=(μ,a2),则P(μ﹣σ<X≤μ+σ)=0.6826.p(μ﹣2σ<X≤μ+2σ)=0.9544.A.2386 B.2718 C.3413 D.47728.(5分)已知A,B,C在圆x2+y2=1上运动,且AB⊥BC,若点P的坐标为(2,0),则||的最大值为()A.6 B.7 C.8 D.99.(5分)将函数f(x)=sin2x的图象向右平移φ(0<φ<)个单位后得到函数g(x)的图象.若对满足|f(x1)﹣g(x2)|=2的x1、x2,有|x1﹣x2|min=,则φ=()A. B.C.D.10.(5分)某工件的三视图如图所示.现将该工件通过切削,加工成一个体积尽可能大的长方体新工件,并使新工件的一个面落在原工件的一个面内,则原工件材料的利用率为(材料利用率=)()A. B. C.D.二、填空题,共5小题,每小题5分,共25分11.(5分)(x﹣1)dx=.12.(5分)在一次马拉松比赛中,35名运动员的成绩(单位:分钟)的茎叶图如图所示.若将运动员成绩由好到差编号为1﹣35号,再用系统抽样方法从中抽取7人,则其中成绩在区间[139,151]上的运动员人数是.13.(5分)设F是双曲线C:﹣=1的一个焦点.若C上存在点P,使线段PF的中点恰为其虚轴的一个端点,则C的离心率为.14.(5分)设S n为等比数列{a n}的前n项和,若a1=1,且3S1,2S2,S3成等差数列,则a n=.15.(5分)已知函数f(x)=若存在实数b,使函数g(x)=f(x)﹣b 有两个零点,则a的取值范围是.三、简答题,共1小题,共75分,16、17、18为选修题,任选两小题作答,如果全做,则按前两题计分选修4-1:几何证明选讲16.(6分)如图,在⊙O中,相交于点E的两弦AB,CD的中点分别是M,N,直线MO 与直线CD相交于点F,证明:(1)∠MEN+∠NOM=180°(2)FE•FN=FM•FO.选修4-4:坐标系与方程17.(6分)已知直线l:(t为参数).以坐标原点为极点,x轴的正半轴为极轴建立极坐标系,曲线C的坐标方程为ρ=2cosθ.(1)将曲线C的极坐标方程化为直坐标方程;(2)设点M的直角坐标为(5,),直线l与曲线C的交点为A,B,求|MA|•|MB|的值.选修4-5:不等式选讲18.设a>0,b>0,且a+b=+.证明:(ⅰ)a+b≥2;(ⅱ)a2+a<2与b2+b<2不可能同时成立.七、标题19.设△ABC的内角A、B、C的对边分别为a、b、c,a=btanA,且B为钝角.(Ⅰ)证明:B﹣A=;(Ⅱ)求sinA+sinC的取值范围.20.某商场举行有奖促销活动,顾客购买一定金额商品后即可抽奖,每次抽奖都从装有4个红球、6个白球的甲箱和装有5个红球、5个白球的乙箱中,各随机摸出1个球,在摸出的2个球中,若都是红球,则获一等奖,若只有1个红球,则获二等奖;若没有红球,则不获奖.(1)求顾客抽奖1次能获奖的概率;(2)若某顾客有3次抽奖机会,记该顾客在3次抽奖中获一等奖的次数为X,求X 的分布列和数学期望.21.如图,已知四棱台ABCD﹣A1B1C1D1的上、下底面分别是边长为3和6的正方形,AA1=6,且AA1⊥底面ABCD,点P、Q分别在棱DD1、BC上.(1)若P是DD1的中点,证明:AB1⊥PQ;(2)若PQ∥平面ABB1A1,二面角P﹣QD﹣A的余弦值为,求四面体ADPQ的体积.22.(13分)已知抛物线C1:x2=4y的焦点F也是椭圆C2:+=1(a>b>0)的一个焦点.C1与C2的公共弦长为2.(Ⅰ)求C2的方程;(Ⅱ)过点F的直线l与C1相交于A、B两点,与C2相交于C、D两点,且与同向.(1)若|AC|=|BD|,求直线l的斜率;(2)设C1在点A处的切线与x轴的交点为M,证明:直线l绕点F旋转时,△MFD 总是钝角三角形.23.(13分)已知a>0,函数f(x)=e ax sinx(x∈[0,+∞]).记x n为f(x)的从小到大的第n(n∈N*)个极值点.证明:(Ⅰ)数列{f(x n)}是等比数列;(Ⅱ)若a≥,则对一切n∈N*,x n<|f(x n)|恒成立.2015年湖南省高考数学试卷(理科)参考答案与试题解析一、选择题,共10小题,每小题5分,共50分1.(5分)已知=1+i(i为虚数单位),则复数z=()A.1+i B.1﹣i C.﹣1+i D.﹣1﹣i【分析】由条件利用两个复数代数形式的乘除法法则,求得z的值.【解答】解:∵已知=1+i(i为虚数单位),∴z===﹣1﹣i,故选:D.【点评】本题主要考查两个复数代数形式的乘除法法则的应用,属于基础题.2.(5分)设A、B是两个集合,则“A∩B=A”是“A⊆B”的()A.充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件【分析】直接利用两个集合的交集,判断两个集合的关系,判断充要条件即可.【解答】解:A、B是两个集合,则“A∩B=A”可得“A⊆B”,“A⊆B”,可得“A∩B=A”.所以A、B是两个集合,则“A∩B=A”是“A⊆B”的充要条件.故选:C.【点评】本题考查充要条件的判断与应用,集合的交集的求法,基本知识的应用.3.(5分)执行如图所示的程序框图,如果输入n=3,则输出的S=()A.B.C.D.【分析】列出循环过程中S与i的数值,满足判断框的条件即可结束循环.【解答】解:判断前i=1,n=3,s=0,第1次循环,S=,i=2,第2次循环,S=,i=3,第3次循环,S=,i=4,此时,i>n,满足判断框的条件,结束循环,输出结果:S===故选:B.【点评】本题考查循环框图的应用,注意判断框的条件的应用,考查计算能力4.(5分)若变量x、y满足约束条件,则z=3x﹣y的最小值为()A.﹣7 B.﹣1 C.1 D.2【分析】由约束条件作出可行域,由图得到最优解,求出最优解的坐标,数形结合得答案.【解答】解:由约束条件作出可行域如图,由图可知,最优解为A,联立,解得C(0,﹣1).由解得A(﹣2,1),由,解得B(1,1)∴z=3x﹣y的最小值为3×(﹣2)﹣1=﹣7.故选:A.【点评】本题考查了简单的线性规划,考查了数形结合的解题思想方法,是中档题.易错点是图形中的B点.5.(5分)设函数f(x)=ln(1+x)﹣ln(1﹣x),则f(x)是()A.奇函数,且在(0,1)上是增函数B.奇函数,且在(0,1)上是减函数C.偶函数,且在(0,1)上是增函数D.偶函数,且在(0,1)上是减函数【分析】求出好的定义域,判断函数的奇偶性,以及函数的单调性推出结果即可.【解答】解:函数f(x)=ln(1+x)﹣ln(1﹣x),函数的定义域为(﹣1,1),函数f(﹣x)=ln(1﹣x)﹣ln(1+x)=﹣[ln(1+x)﹣ln(1﹣x)]=﹣f(x),所以函数是奇函数.排除C,D,正确结果在A,B,只需判断特殊值的大小,即可推出选项,x=0时,f(0)=0;x=时,f()=ln(1+)﹣ln(1﹣)=ln3>1,显然f(0)<f(),函数是增函数,所以B错误,A正确.故选:A.【点评】本题考查函数的奇偶性以及函数的单调性的判断与应用,考查计算能力.6.(5分)已知(﹣)5的展开式中含x的项的系数为30,则a=()A.B.﹣C.6 D.﹣6【分析】根据所给的二项式,利用二项展开式的通项公式写出第r+1项,整理成最简形式,令x的指数为求得r,再代入系数求出结果.【解答】解:根据所给的二项式写出展开式的通项,T r+1==;展开式中含x的项的系数为30,∴,∴r=1,并且,解得a=﹣6.故选:D.【点评】本题考查二项式定理的应用,本题解题的关键是正确写出二项展开式的通项,在这种题目中通项是解决二项展开式的特定项问题的工具.7.(5分)在如图所示的正方形中随机投掷10000个点,则落入阴影部分(曲线C 为正态分布N(0,1)的密度曲线)的点的个数的估计值为()附“若X﹣N=(μ,a2),则P(μ﹣σ<X≤μ+σ)=0.6826.p(μ﹣2σ<X≤μ+2σ)=0.9544.A.2386 B.2718 C.3413 D.4772【分析】求出P(0<X≤1)=×0.6826=0.3413,即可得出结论.【解答】解:由题意P(0<X≤1)=×0.6826=0.3413,∴落入阴影部分点的个数的估计值为10000×0.3413=3413,故选:C.【点评】本题考查正态分布曲线的特点及曲线所表示的意义,考查正态分布中两个量μ和σ的应用,考查曲线的对称性,属于基础题.8.(5分)已知A,B,C在圆x2+y2=1上运动,且AB⊥BC,若点P的坐标为(2,0),则||的最大值为()A.6 B.7 C.8 D.9【分析】由题意,AC为直径,所以||=|2+|.B为(﹣1,0)时,|2+|≤7,即可得出结论.【解答】解:由题意,AC为直径,所以||=|2+|所以B为(﹣1,0)时,|2+|≤7.所以||的最大值为7.另解:设B(cosα,sinα),|2+|=|2(﹣2,0)+(cosα﹣2,sinα)|=|(cosα﹣6,sinα)|==,当cosα=﹣1时,B为(﹣1,0),取得最大值7.故选:B.【点评】本题考查向量知识的运用,考查学生分析解决问题的能力,比较基础.9.(5分)将函数f(x)=sin2x的图象向右平移φ(0<φ<)个单位后得到函数g(x)的图象.若对满足|f(x1)﹣g(x2)|=2的x1、x2,有|x1﹣x2|min=,则φ=()A. B.C.D.【分析】利用三角函数的最值,求出自变量x1,x2的值,然后判断选项即可.【解答】解:因为将函数f(x)=sin2x的周期为π,函数的图象向右平移φ(0<φ<)个单位后得到函数g(x)的图象.若对满足|f(x1)﹣g(x2)|=2的可知,两个函数的最大值与最小值的差为2,有|x1﹣x2|min=,不妨x1=,x2=,即g(x)在x2=,取得最小值,sin(2×﹣2φ)=﹣1,此时φ=,不合题意,x1=,x2=,即g(x)在x2=,取得最大值,sin(2×﹣2φ)=1,此时φ=,满足题意.另解:f(x)=sin2x,g(x)=sin(2x﹣2φ),设2x1=2kπ+,k∈Z,2x2﹣2φ=﹣+2mπ,m ∈Z,x1﹣x2=﹣φ+(k﹣m)π,由|x1﹣x2|min=,可得﹣φ=,解得φ=,故选:D.【点评】本题考查三角函数的图象平移,函数的最值以及函数的周期的应用,考查分析问题解决问题的能力,是好题,题目新颖.有一定难度,选择题,可以回代验证的方法快速解答.10.(5分)某工件的三视图如图所示.现将该工件通过切削,加工成一个体积尽可能大的长方体新工件,并使新工件的一个面落在原工件的一个面内,则原工件材料的利用率为(材料利用率=)()A. B. C.D.【分析】根据三视图可判断其为圆锥,底面半径为1,高为2,求解体积.利用几何体的性质得出此长方体底面边长为n的正方形,高为x,利用轴截面的图形可判断得出n=(1﹣),0<x<2,求解体积式子,利用导数求解即可,最后利用几何概率求解即.【解答】解:根据三视图可判断其为圆锥,∵底面半径为1,高为2,∴V=×2=∵加工成一个体积尽可能大的长方体新工件,∴此长方体底面边长为n的正方形,高为x,∴根据轴截面图得出:=,解得;n=(1﹣),0<x<2,∴长方体的体积Ω=2(1﹣)2x,Ω′=x2﹣4x+2,∵,Ω′=x2﹣4x+2=0,x=,x=2,∴可判断(0,)单调递增,(,2)单调递减,Ω最大值=2(1﹣)2×=,∴原工件材料的利用率为=×=,故选:A.【点评】本题很是新颖,知识点融合的很好,把立体几何,导数,概率都相应的考查了,综合性强,属于难题.二、填空题,共5小题,每小题5分,共25分11.(5分)(x﹣1)dx=0.【分析】求出被积函数的原函数,代入上限和下限求值.【解答】解:(x﹣1)dx=(﹣x)|=0;故答案为:0.【点评】本题考查了定积分的计算;关键是求出被积函数的原函数.12.(5分)在一次马拉松比赛中,35名运动员的成绩(单位:分钟)的茎叶图如图所示.若将运动员成绩由好到差编号为1﹣35号,再用系统抽样方法从中抽取7人,则其中成绩在区间[139,151]上的运动员人数是4.【分析】根据茎叶图中的数据,结合系统抽样方法的特征,即可求出正确的结论.【解答】解:根据茎叶图中的数据,得;成绩在区间[139,151]上的运动员人数是20,用系统抽样方法从35人中抽取7人,成绩在区间[139,151]上的运动员应抽取7×=4(人).故答案为:4.【点评】本题考查了茎叶图的应用问题,也考查了系统抽样方法的应用问题,是基础题目.13.(5分)设F是双曲线C:﹣=1的一个焦点.若C上存在点P,使线段PF的中点恰为其虚轴的一个端点,则C的离心率为.【分析】设F(c,0),P(m,n),(m<0),设PF的中点为M(0,b),即有m=﹣c,n=2b,将中点M的坐标代入双曲线方程,结合离心率公式,计算即可得到.【解答】解:设F(c,0),P(m,n),(m<0),设PF的中点为M(0,b),即有m=﹣c,n=2b,将点(﹣c,2b)代入双曲线方程可得,﹣=1,可得e2==5,解得e=.故答案为:.【点评】本题考查双曲线的方程和性质,主要考查双曲线的离心率的求法,同时考查中点坐标公式的运用,属于中档题.14.(5分)设S n为等比数列{a n}的前n项和,若a1=1,且3S1,2S2,S3成等差数列,则a n=3n﹣1.【分析】利用已知条件列出方程求出公比,然后求解等比数列的通项公式.【解答】解:设等比数列的公比为q,S n为等比数列{a n}的前n项和,若a1=1,且3S1,2S2,S3成等差数列,可得4S2=S3+3S1,a1=1,即4(1+q)=1+q+q2+3,q=3.∴a n=3n﹣1.故答案为:3n﹣1.【点评】本题考查等差数列以及等比数列的应用,基本知识的考查.15.(5分)已知函数f(x)=若存在实数b,使函数g(x)=f(x)﹣b有两个零点,则a的取值范围是{a|a<0或a>1} .【分析】由g(x)=f(x)﹣b有两个零点可得f(x)=b有两个零点,即y=f(x)与y=b的图象有两个交点,则函数在定义域内不能是单调函数,结合函数图象可求a的范围【解答】解:∵g(x)=f(x)﹣b有两个零点,∴f(x)=b有两个零点,即y=f(x)与y=b的图象有两个交点,由x3=x2可得,x=0或x=1①当a>1时,函数f(x)的图象如图所示,此时存在b,满足题意,故a>1满足题意②当a=1时,由于函数f(x)在定义域R上单调递增,故不符合题意③当0<a<1时,函数f(x)单调递增,故不符合题意④a=0时,f(x)单调递增,故不符合题意⑤当a<0时,函数y=f(x)的图象如图所示,此时存在b使得,y=f(x)与y=b有两个交点综上可得,a<0或a>1故答案为:{a|a<0或a>1}【点评】本题考察了函数的零点问题,渗透了转化思想,数形结合、分类讨论的数学思想.三、简答题,共1小题,共75分,16、17、18为选修题,任选两小题作答,如果全做,则按前两题计分选修4-1:几何证明选讲16.(6分)如图,在⊙O中,相交于点E的两弦AB,CD的中点分别是M,N,直线MO 与直线CD相交于点F,证明:(1)∠MEN+∠NOM=180°(2)FE•FN=FM•FO.【分析】(1)证明O,M,E,N四点共圆,即可证明∠MEN+∠NOM=180°(2)证明△FEM∽△FON,即可证明FE•FN=FM•FO.【解答】证明:(1)∵N为CD的中点,∴ON⊥CD,∵M为AB的中点,∴OM⊥AB,在四边形OMEN中,∴∠OME+∠ONE=90°+90°=180°,∴O,M,E,N四点共圆,∴∠MEN+∠NOM=180°(2)在△FEM与△FON中,∠F=∠F,∠FME=∠FNO=90°,∴△FEM∽△FON,∴=∴FE•FN=FM•FO.【点评】本题考查垂径定理,考查三角形相似的判定与应用,考查学生分析解决问题的能力,比较基础.选修4-4:坐标系与方程17.(6分)已知直线l:(t为参数).以坐标原点为极点,x轴的正半轴为极轴建立极坐标系,曲线C的坐标方程为ρ=2cosθ.(1)将曲线C的极坐标方程化为直坐标方程;(2)设点M的直角坐标为(5,),直线l与曲线C的交点为A,B,求|MA|•|MB|的值.【分析】(1)曲线的极坐标方程即ρ2=2ρcosθ,根据极坐标和直角坐标的互化公式得x2+y2=2x,即得它的直角坐标方程;(2)直线l的方程化为普通方程,利用切割线定理可得结论.【解答】解:(1)∵ρ=2cosθ,∴ρ2=2ρcosθ,∴x2+y2=2x,故它的直角坐标方程为(x ﹣1)2+y2=1;(2)直线l:(t为参数),普通方程为,(5,)在直线l上,过点M作圆的切线,切点为T,则|MT|2=(5﹣1)2+3﹣1=18,由切割线定理,可得|MT|2=|MA|•|MB|=18.【点评】本题主要考查把极坐标方程化为直角坐标方程的方法,属于基础题.选修4-5:不等式选讲18.设a>0,b>0,且a+b=+.证明:(ⅰ)a+b≥2;(ⅱ)a2+a<2与b2+b<2不可能同时成立.【分析】(ⅰ)由a>0,b>0,结合条件可得ab=1,再由基本不等式,即可得证;(ⅱ)运用反证法证明.假设a2+a<2与b2+b<2可能同时成立.结合条件a>0,b>0,以及二次不等式的解法,可得0<a<1,且0<b<1,这与ab=1矛盾,即可得证.【解答】证明:(ⅰ)由a>0,b>0,则a+b=+=,由于a+b>0,则ab=1,即有a+b≥2=2,当且仅当a=b取得等号.则a+b≥2;(ⅱ)假设a2+a<2与b2+b<2可能同时成立.由a2+a<2及a>0,可得0<a<1,由b2+b<2及b>0,可得0<b<1,这与ab=1矛盾.a2+a<2与b2+b<2不可能同时成立.【点评】本题考查不等式的证明,主要考查基本不等式的运用和反证法证明不等式的方法,属于中档题.七、标题19.设△ABC的内角A、B、C的对边分别为a、b、c,a=btanA,且B为钝角.(Ⅰ)证明:B﹣A=;(Ⅱ)求sinA+sinC的取值范围.【分析】(Ⅰ)由题意和正弦定理可得sinB=cosA,由角的范围和诱导公式可得;(Ⅱ)由题意可得A∈(0,),可得0<sinA<,化简可得sinA+sinC=﹣2(sinA ﹣)2+,由二次函数区间的最值可得.【解答】解:(Ⅰ)由a=btanA和正弦定理可得==,∴sinB=cosA,即sinB=sin(+A)又B为钝角,∴+A∈(,π),∴B=+A,∴B﹣A=;(Ⅱ)由(Ⅰ)知C=π﹣(A+B)=π﹣(A++A)=﹣2A>0,∴A∈(0,),∴sinA+sinC=sinA+sin(﹣2A)=sinA+cos2A=sinA+1﹣2sin2A=﹣2(sinA﹣)2+,∵A∈(0,),∴0<sinA<,∴由二次函数可知<﹣2(sinA﹣)2+≤∴sinA+sinC的取值范围为(,]【点评】本题考查正弦定理和三角函数公式的应用,涉及二次函数区间的最值,属基础题.20.某商场举行有奖促销活动,顾客购买一定金额商品后即可抽奖,每次抽奖都从装有4个红球、6个白球的甲箱和装有5个红球、5个白球的乙箱中,各随机摸出1个球,在摸出的2个球中,若都是红球,则获一等奖,若只有1个红球,则获二等奖;若没有红球,则不获奖.(1)求顾客抽奖1次能获奖的概率;(2)若某顾客有3次抽奖机会,记该顾客在3次抽奖中获一等奖的次数为X,求X 的分布列和数学期望.【分析】(1)记事件A1={从甲箱中摸出一个球是红球},事件A2={从乙箱中摸出一个球是红球},事件B1={顾客抽奖1次获一等奖},事件A2={顾客抽奖1次获二等奖},事件C={顾客抽奖1次能获奖},利用A1,A2相互独立,,互斥,B1,B2互斥,然后求出所求概率即可.(2)顾客抽奖1次可视为3次独立重复试验,判断X~B.求出概率,得到X的分布列,然后求解期望.【解答】解:(1)记事件A1={从甲箱中摸出一个球是红球},事件A2={从乙箱中摸出一个球是红球},事件B1={顾客抽奖1次获一等奖},事件B2={顾客抽奖1次获二等奖},事件C={顾客抽奖1次能获奖},由题意A1,A2相互独立,,互斥,B1,B2互斥,且B1=A1A2,B2=+,C=B1+B2,因为P(A1)=,P(A2)=,所以,P(B1)=P(A1)P(A2)==,P(B2)=P()+P()=+==,故所求概率为:P(C)=P(B1+B2)=P(B1)+P(B2)=.(2)顾客抽奖1次可视为3次独立重复试验,由(1)可知,顾客抽奖1次获一等奖的概率为:所以.X~B.于是,P(X=0)==,P (X=1)==,P(X=2)==,P(X=3)==.故X的分布列为:X0123PE(X)=3×=.【点评】期望是概率论和数理统计的重要概念之一,是反映随机变量取值分布的特征数,学习期望将为今后学习概率统计知识做铺垫,它在市场预测,经济统计,风险与决策等领域有着广泛的应用,为今后学习数学及相关学科产生深远的影响.21.如图,已知四棱台ABCD﹣A1B1C1D1的上、下底面分别是边长为3和6的正方形,AA1=6,且AA1⊥底面ABCD,点P、Q分别在棱DD1、BC上.(1)若P是DD1的中点,证明:AB1⊥PQ;(2)若PQ∥平面ABB1A1,二面角P﹣QD﹣A的余弦值为,求四面体ADPQ的体积.【分析】(1)首先以A为原点,AB,AD,AA1所在直线分别为x,y,z轴,建立空间直角坐标系,求出一些点的坐标,Q在棱BC上,从而可设Q(6,y1,0),只需求即可;(2)设P(0,y2,z2),根据P在棱DD1上,从而由即可得到z2=12﹣2y2,从而表示点P坐标为P(0,y2,12﹣2y2).由PQ∥平面ABB1A1便知道与平面ABB1A1的法向量垂直,从而得出y1=y2,从而Q点坐标变成Q(6,y2,0),设平面PQD的法向量为,根据即可表示,平面AQD的一个法向量为,从而由即可求出y2,从而得出P点坐标,从而求出三棱锥P﹣AQD的高,而四面体ADPQ的体积等于三棱锥P﹣AQD的体积,从而求出四面体的体积.【解答】解:根据已知条件知AB,AD,AA1三直线两两垂直,所以分别以这三直线为x,y,z轴,建立如图所示空间直角坐标系,则:A(0,0,0),B(6,0,0),D(0,6,0),A1(0,0,6),B1(3,0,6),D1(0,3,6);Q在棱BC上,设Q(6,y1,0),0≤y1≤6;∴(1)证明:若P是DD1的中点,则P;∴,;∴;∴;∴AB1⊥PQ;(2)设P(0,y2,z2),y2,z2∈[0,6],P在棱DD1上;∴,0≤λ≤1;∴(0,y2﹣6,z2)=λ(0,﹣3,6);∴;∴z2=12﹣2y2;∴P(0,y2,12﹣2y2);∴;平面ABB1A1的一个法向量为;∵PQ∥平面ABB1A1;∴=6(y1﹣y2)=0;∴y1=y2;∴Q(6,y2,0);设平面PQD的法向量为,则:;∴,取z=1,则;又平面AQD的一个法向量为;又二面角P﹣QD﹣A的余弦值为;∴;解得y2=4,或y2=8(舍去);∴P(0,4,4);∴三棱锥P﹣ADQ的高为4,且;∴V四面体ADPQ =V三棱锥P﹣ADQ=.【点评】考查建立空间直角坐标系,利用空间向量解决异面直线垂直及线面角问题的方法,共线向量基本定理,直线和平面平行时,直线和平面法向量的关系,平面法向量的概念,以及两平面法向量的夹角和平面二面角大小的关系,三棱锥的体积公式.22.(13分)已知抛物线C1:x2=4y的焦点F也是椭圆C2:+=1(a>b>0)的一个焦点.C1与C2的公共弦长为2.(Ⅰ)求C2的方程;(Ⅱ)过点F的直线l与C1相交于A、B两点,与C2相交于C、D两点,且与同向.(1)若|AC|=|BD|,求直线l的斜率;(2)设C1在点A处的切线与x轴的交点为M,证明:直线l绕点F旋转时,△MFD 总是钝角三角形.【分析】(Ⅰ)根据两个曲线的焦点相同,得到a2﹣b2=1,再根据C1与C2的公共弦长为2,得到=1,解得即可求出;(Ⅱ)设出点的坐标,(1)根据向量的关系,得到(x1+x2)2﹣4x1x2=(x3+x4)2﹣4x3x4,设直线l的方程,分别与C1,C2构成方程组,利用韦达定理,分别代入得到关于k 的方程,解得即可;(2)根据导数的几何意义得到C1在点A处的切线方程,求出点M的坐标,利用向量的乘积∠AFM是锐角,问题得以证明.【解答】解:(Ⅰ)抛物线C1:x2=4y的焦点F的坐标为(0,1),因为F也是椭圆C2的一个焦点,∴a2﹣b2=1,①,又C1与C2的公共弦长为2,C1与C2的都关于y轴对称,且C1的方程为x2=4y,由此易知C1与C2的公共点的坐标为(±,),所以=1,②,联立①②得a2=9,b2=8,故C2的方程为+=1.(Ⅱ)设A(x1,y1),B(x2,y2),C(x3,y3),D(x4,y4),(1)因为与同向,且|AC|=|BD|,所以=,从而x3﹣x1=x4﹣x2,即x1﹣x2=x3﹣x4,于是(x1+x2)2﹣4x1x2=(x3+x4)2﹣4x3x4,③设直线的斜率为k,则l的方程为y=kx+1,由,得x2﹣4kx﹣4=0,而x1,x2是这个方程的两根,所以x1+x2=4k,x1x2=﹣4,④由,得(9+8k2)x2+16kx﹣64=0,而x3,x4是这个方程的两根,所以x3+x4=,x3x4=﹣,⑤将④⑤代入③,得16(k2+1)=+,即16(k2+1)=,所以(9+8k2)2=16×9,解得k=±.(2)由x2=4y得y′=x,所以C1在点A处的切线方程为y﹣y1=x1(x﹣x1),即y=x1x﹣x12,令y=0,得x=x1,M(x1,0),所以=(x1,﹣1),而=(x1,y1﹣1),于是•=x12﹣y1+1=x12+1>0,因此∠AFM是锐角,从而∠MFD=180°﹣∠AFM是钝角,故直线l绕点F旋转时,△MFD总是钝角三角形.【点评】本题考查了圆锥曲线的和直线的位置与关系,关键是联立方程,构造方程,利用韦达定理,以及向量的关系,得到关于k的方程,计算量大,属于难题.23.(13分)已知a>0,函数f(x)=e ax sinx(x∈[0,+∞]).记x n为f(x)的从小到大的第n(n∈N*)个极值点.证明:(Ⅰ)数列{f(x n)}是等比数列;(Ⅱ)若a≥,则对一切n∈N*,x n<|f(x n)|恒成立.【分析】(Ⅰ)求出导数,运用两角和的正弦公式化简,求出导数为0的根,讨论根附近的导数的符号相反,即可得到极值点,求得极值,运用等比数列的定义即可得证;(Ⅱ)由sinφ=,可得对一切n∈N*,x n<|f(x n)|恒成立.即为nπ﹣φ<e a(nπ﹣φ)恒成立⇔<,①设g(t)=(t>0),求出导数,求得最小值,由恒成立思想即可得证.【解答】证明:(Ⅰ)f′(x)=e ax(asinx+cosx)=•e ax sin(x+φ),tanφ=,0<φ<,令f′(x)=0,由x≥0,x+φ=mπ,即x=mπ﹣φ,m∈N*,对k∈N,若(2k+1)π<x+φ<(2k+2)π,即(2k+1)π﹣φ<x<(2k+2)π﹣φ,则f′(x)<0,因此在((m﹣1)π﹣φ,mπ﹣φ)和(mπ﹣φ,(m+1)π﹣φ)上f′(x)符号总相反.于是当x=nπ﹣φ,n∈N*,f(x)取得极值,所以x n=nπ﹣φ,n∈N*,此时f(x n)=e a(nπ﹣φ)sin(nπ﹣φ)=(﹣1)n+1e a(nπ﹣φ)sinφ,易知f(x n)≠0,而==﹣e aπ是常数,故数列{f(x n)}是首项为f(x1)=e a(π﹣φ)sinφ,公比为﹣e aπ的等比数列;(Ⅱ)由sinφ=,可得对一切n∈N*,x n<|f(x n)|恒成立.即为nπ﹣φ<e a(nπ﹣φ)恒成立⇔<,①设g(t)=(t>0),g′(t)=,当0<t<1时,g′(t)<0,g(t)递减,当t>1时,g′(t)>0,g(t)递增.t=1时,g(t)取得最小值,且为e.因此要使①恒成立,只需<g(1)=e,只需a>,当a=,tanφ==,且0<φ<,可得<φ<,于是π﹣φ<<,且当n≥2时,nπ﹣φ≥2π﹣φ>>,因此对n∈N*,ax n=≠1,即有g(ax n)>g(1)=e=,故①亦恒成立.综上可得,若a≥,则对一切n∈N*,x n<|f(x n)|恒成立.【点评】本题考查导数的运用:求极值和单调区间,主要考查三角函数的导数和求值,同时考查等比数列的定义和通项公式的运用,考查不等式恒成立问题的证明,属于难题.。

2015年湖南省高考数学试卷(理科)及答案

2015年湖南省高考数学试卷(理科)及答案

2015年湖南省高考数学试卷(理科)一、选择题,共10小题,每小题5分,共50分1.(5分)已知=1+i(i为虚数单位),则复数z=()A.1+i B.1﹣i C.﹣1+i D.﹣1﹣i2.(5分)设A、B是两个集合,则“A∩B=A”是“A⊆B”的()A.充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件3.(5分)执行如图所示的程序框图,如果输入n=3,则输出的S=()A.B.C.D.4.(5分)若变量x、y满足约束条件,则z=3x﹣y的最小值为()A.﹣7 B.﹣1 C.1 D.25.(5分)设函数f(x)=ln(1+x)﹣ln(1﹣x),则f(x)是()A.奇函数,且在(0,1)上是增函数B.奇函数,且在(0,1)上是减函数C.偶函数,且在(0,1)上是增函数D.偶函数,且在(0,1)上是减函数6.(5分)已知(﹣)5的展开式中含x的项的系数为30,则a=()A.B.﹣C.6 D.﹣67.(5分)在如图所示的正方形中随机投掷10000个点,则落入阴影部分(曲线C为正态分布N(0,1)的密度曲线)的点的个数的估计值为()附“若X﹣N=(μ,a2),则P(μ﹣σ<X≤μ+σ)=0.6826.p(μ﹣2σ<X≤μ+2σ)=0.9544.A.2386 B.2718 C.3413 D.47728.(5分)已知A,B,C在圆x2+y2=1上运动,且AB⊥BC,若点P的坐标为(2,0),则||的最大值为()A.6 B.7 C.8 D.99.(5分)将函数f(x)=sin2x的图象向右平移φ(0<φ<)个单位后得到函数g(x)的图象.若对满足|f(x1)﹣g(x2)|=2的x1、x2,有|x1﹣x2|min=,则φ=()A. B.C.D.10.(5分)某工件的三视图如图所示.现将该工件通过切削,加工成一个体积尽可能大的长方体新工件,并使新工件的一个面落在原工件的一个面内,则原工件材料的利用率为(材料利用率=)()A. B. C.D.二、填空题,共5小题,每小题5分,共25分11.(5分)(x﹣1)dx=.12.(5分)在一次马拉松比赛中,35名运动员的成绩(单位:分钟)的茎叶图如图所示.若将运动员成绩由好到差编号为1﹣35号,再用系统抽样方法从中抽取7人,则其中成绩在区间[139,151]上的运动员人数是.13.(5分)设F是双曲线C:﹣=1的一个焦点.若C上存在点P,使线段PF的中点恰为其虚轴的一个端点,则C的离心率为.14.(5分)设S n为等比数列{a n}的前n项和,若a1=1,且3S1,2S2,S3成等差数列,则a n=.15.(5分)已知函数f(x)=若存在实数b,使函数g(x)=f(x)﹣b有两个零点,则a的取值范围是.三、简答题,共1小题,共75分,16、17、18为选修题,任选两小题作答,如果全做,则按前两题计分选修4-1:几何证明选讲16.(6分)如图,在⊙O中,相交于点E的两弦AB,CD的中点分别是M,N,直线MO与直线CD相交于点F,证明:(1)∠MEN+∠NOM=180°(2)FE•FN=FM•FO.选修4-4:坐标系与方程17.(6分)已知直线l:(t为参数).以坐标原点为极点,x轴的正半轴为极轴建立极坐标系,曲线C的坐标方程为ρ=2cosθ.(1)将曲线C的极坐标方程化为直坐标方程;(2)设点M的直角坐标为(5,),直线l与曲线C的交点为A,B,求|MA|•|MB|的值.选修4-5:不等式选讲18.设a>0,b>0,且a+b=+.证明:(ⅰ)a+b≥2;(ⅱ)a2+a<2与b2+b<2不可能同时成立.19.设△ABC的内角A、B、C的对边分别为a、b、c,a=btanA,且B为钝角.(Ⅰ)证明:B﹣A=;(Ⅱ)求sinA+sinC的取值范围.20.某商场举行有奖促销活动,顾客购买一定金额商品后即可抽奖,每次抽奖都从装有4个红球、6个白球的甲箱和装有5个红球、5个白球的乙箱中,各随机摸出1个球,在摸出的2个球中,若都是红球,则获一等奖,若只有1个红球,则获二等奖;若没有红球,则不获奖.(1)求顾客抽奖1次能获奖的概率;(2)若某顾客有3次抽奖机会,记该顾客在3次抽奖中获一等奖的次数为X,求X的分布列和数学期望.21.如图,已知四棱台ABCD﹣A1B1C1D1的上、下底面分别是边长为3和6的正方形,AA1=6,且AA1⊥底面ABCD,点P、Q分别在棱DD1、BC上.(1)若P是DD1的中点,证明:AB1⊥PQ;(2)若PQ∥平面ABB1A1,二面角P﹣QD﹣A的余弦值为,求四面体ADPQ的体积.22.(13分)已知抛物线C1:x2=4y的焦点F也是椭圆C2:+=1(a>b>0)的一个焦点.C1与C2的公共弦长为2.(Ⅰ)求C2的方程;(Ⅱ)过点F的直线l与C1相交于A、B两点,与C2相交于C、D两点,且与同向.(ⅰ)若|AC|=|BD|,求直线l的斜率;(ⅱ)设C1在点A处的切线与x轴的交点为M,证明:直线l绕点F旋转时,△MFD总是钝角三角形.23.(13分)已知a>0,函数f(x)=e ax sinx(x∈[0,+∞]).记x n为f(x)的从小到大的第n(n∈N*)个极值点.证明:(Ⅰ)数列{f(x n)}是等比数列;(Ⅱ)若a≥,则对一切n∈N*,x n<|f(x n)|恒成立.2015年湖南省高考数学试卷(理科)参考答案与试题解析一、选择题,共10小题,每小题5分,共50分1.(5分)(2015•湖南)已知=1+i(i为虚数单位),则复数z=()A.1+i B.1﹣i C.﹣1+i D.﹣1﹣i【分析】由条件利用两个复数代数形式的乘除法法则,求得z的值.【解答】解:∵已知=1+i(i为虚数单位),∴z===﹣1﹣i,故选:D.2.(5分)(2015•湖南)设A、B是两个集合,则“A∩B=A”是“A⊆B”的()A.充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件【分析】直接利用两个集合的交集,判断两个集合的关系,判断充要条件即可.【解答】解:A、B是两个集合,则“A∩B=A”可得“A⊆B”,“A⊆B”,可得“A∩B=A”.所以A、B是两个集合,则“A∩B=A”是“A⊆B”的充要条件.故选:C.3.(5分)(2015•湖南)执行如图所示的程序框图,如果输入n=3,则输出的S=()A.B.C.D.【分析】列出循环过程中S与i的数值,满足判断框的条件即可结束循环.【解答】解:判断前i=1,n=3,s=0,第1次循环,S=,i=2,第2次循环,S=,i=3,第3次循环,S=,i=4,此时,i>n,满足判断框的条件,结束循环,输出结果:S===故选:B4.(5分)(2015•湖南)若变量x、y满足约束条件,则z=3x﹣y的最小值为()A.﹣7 B.﹣1 C.1 D.2【分析】由约束条件作出可行域,由图得到最优解,求出最优解的坐标,数形结合得答案.【解答】解:由约束条件作出可行域如图,由图可知,最优解为A,联立,解得C(0,﹣1).由解得A(﹣2,1),由,解得B(1,1)∴z=3x﹣y的最小值为3×(﹣2)﹣1=﹣7.故选:A.5.(5分)(2015•湖南)设函数f(x)=ln(1+x)﹣ln(1﹣x),则f(x)是()A.奇函数,且在(0,1)上是增函数B.奇函数,且在(0,1)上是减函数C.偶函数,且在(0,1)上是增函数D.偶函数,且在(0,1)上是减函数【分析】求出好的定义域,判断函数的奇偶性,以及函数的单调性推出结果即可.【解答】解:函数f(x)=ln(1+x)﹣ln(1﹣x),函数的定义域为(﹣1,1),函数f(﹣x)=ln(1﹣x)﹣ln(1+x)=﹣[ln(1+x)﹣ln(1﹣x)]=﹣f(x),所以函数是奇函数.排除C,D,正确结果在A,B,只需判断特殊值的大小,即可推出选项,x=0时,f(0)=0;x=时,f()=ln(1+)﹣ln(1﹣)=ln3>1,显然f(0)<f(),函数是增函数,所以B错误,A正确.故选:A.6.(5分)(2015•湖南)已知(﹣)5的展开式中含x的项的系数为30,则a=()A.B.﹣C.6 D.﹣6【分析】根据所给的二项式,利用二项展开式的通项公式写出第r+1项,整理成最简形式,令x的指数为求得r,再代入系数求出结果.【解答】解:根据所给的二项式写出展开式的通项,T r+1==;展开式中含x的项的系数为30,∴,∴r=1,并且,解得a=﹣6.故选:D.7.(5分)(2015•湖南)在如图所示的正方形中随机投掷10000个点,则落入阴影部分(曲线C为正态分布N(0,1)的密度曲线)的点的个数的估计值为()附“若X﹣N=(μ,a2),则P(μ﹣σ<X≤μ+σ)=0.6826.p(μ﹣2σ<X≤μ+2σ)=0.9544.A.2386 B.2718 C.3413 D.4772【分析】求出P(0<X≤1)=×0.6826=0.3413,即可得出结论.【解答】解:由题意P(0<X≤1)=×0.6826=0.3413,∴落入阴影部分点的个数的估计值为10000×0.3413=3413,故选:C.8.(5分)(2015•湖南)已知A,B,C在圆x2+y2=1上运动,且AB⊥BC,若点P 的坐标为(2,0),则||的最大值为()A.6 B.7 C.8 D.9【分析】由题意,AC为直径,所以||=|2+|.B为(﹣1,0)时,|2+|≤7,即可得出结论.【解答】解:由题意,AC为直径,所以||=|2+|所以B为(﹣1,0)时,|2+|≤7.所以||的最大值为7.故选:B.9.(5分)(2015•湖南)将函数f(x)=sin2x的图象向右平移φ(0<φ<)个单位后得到函数g(x)的图象.若对满足|f(x1)﹣g(x2)|=2的x1、x2,有|x1﹣x2|min=,则φ=()A. B.C.D.【分析】利用三角函数的最值,求出自变量x1,x2的值,然后判断选项即可.【解答】解:因为将函数f(x)=sin2x的周期为π,函数的图象向右平移φ(0<φ<)个单位后得到函数g(x)的图象.若对满足|f(x1)﹣g(x2)|=2的可知,两个函数的最大值与最小值的差为2,有|x1﹣x2|min=,不妨x1=,x2=,即g(x)在x2=,取得最小值,sin(2×﹣2φ)=﹣1,此时φ=,不合题意,x1=,x2=,即g(x)在x2=,取得最大值,sin(2×﹣2φ)=1,此时φ=,满足题意.故选:D.10.(5分)(2015•湖南)某工件的三视图如图所示.现将该工件通过切削,加工成一个体积尽可能大的长方体新工件,并使新工件的一个面落在原工件的一个面内,则原工件材料的利用率为(材料利用率=)()A. B. C.D.【分析】根据三视图可判断其为圆锥,底面半径为1,高为2,求解体积.利用几何体的性质得出此长方体底面边长为n的正方形,高为x,利用轴截面的图形可判断得出n=(1﹣),0<x<2,求解体积式子,利用导数求解即可,最后利用几何概率求解即.【解答】解:根据三视图可判断其为圆锥,∵底面半径为1,高为2,∴V=×2=∵加工成一个体积尽可能大的长方体新工件,∴此长方体底面边长为n的正方形,高为x,∴根据轴截面图得出:=,解得;n=(1﹣),0<x<2,∴长方体的体积Ω=2(1﹣)2x,Ω′=x2﹣4x+2,∵,Ω′=x2﹣4x+2=0,x=,x=2,∴可判断(0,)单调递增,(,2)单调递减,Ω最大值=2(1﹣)2×=,∴原工件材料的利用率为=×=,故选:A二、填空题,共5小题,每小题5分,共25分11.(5分)(2015•湖南)(x﹣1)dx=0.【分析】求出被积函数的原函数,代入上限和下限求值.【解答】解:(x﹣1)dx=(﹣x)|=0;故答案为:0.12.(5分)(2015•湖南)在一次马拉松比赛中,35名运动员的成绩(单位:分钟)的茎叶图如图所示.若将运动员成绩由好到差编号为1﹣35号,再用系统抽样方法从中抽取7人,则其中成绩在区间[139,151]上的运动员人数是4.【分析】根据茎叶图中的数据,结合系统抽样方法的特征,即可求出正确的结论.【解答】解:根据茎叶图中的数据,得;成绩在区间[139,151]上的运动员人数是20,用系统抽样方法从35人中抽取7人,成绩在区间[139,151]上的运动员应抽取7×=4(人).故答案为:4.13.(5分)(2015•湖南)设F是双曲线C:﹣=1的一个焦点.若C上存在点P,使线段PF的中点恰为其虚轴的一个端点,则C的离心率为.【分析】设F(c,0),P(m,n),(m<0),设PF的中点为M(0,b),即有m=﹣c,n=2b,将中点M的坐标代入双曲线方程,结合离心率公式,计算即可得到.【解答】解:设F(c,0),P(m,n),(m<0),设PF的中点为M(0,b),即有m=﹣c,n=2b,将点(﹣c,2b)代入双曲线方程可得,﹣=1,可得e2==5,解得e=.故答案为:.14.(5分)(2015•湖南)设S n为等比数列{a n}的前n项和,若a1=1,且3S1,2S2,S3成等差数列,则a n=3n﹣1.【分析】利用已知条件列出方程求出公比,然后求解等比数列的通项公式.【解答】解:设等比数列的公比为q,S n为等比数列{a n}的前n项和,若a1=1,且3S1,2S2,S3成等差数列,可得4S2=S3+3S1,a1=1,即4(1+q)=1+q+q2+3,q=3.∴a n=3n﹣1.故答案为:3n﹣1.15.(5分)(2015•湖南)已知函数f(x)=若存在实数b,使函数g(x)=f(x)﹣b有两个零点,则a的取值范围是{a|a<0或a>1} .【分析】由g(x)=f(x)﹣b有两个零点可得f(x)=b有两个零点,即y=f(x)与y=b的图象有两个交点,则函数在定义域内不能是单调函数,结合函数图象可求a的范围【解答】解:∵g(x)=f(x)﹣b有两个零点,∴f(x)=b有两个零点,即y=f(x)与y=b的图象有两个交点,由x3=x2可得,x=0或x=1①当a>1时,函数f(x)的图象如图所示,此时存在b,满足题意,故a>1满足题意②当a=1时,由于函数f(x)在定义域R上单调递增,故不符合题意③当0<a<1时,函数f(x)单调递增,故不符合题意④a=0时,f(x)单调递增,故不符合题意⑤当a<0时,函数y=f(x)的图象如图所示,此时存在b使得,y=f(x)与y=b 有两个交点综上可得,a<0或a>1故答案为:{a|a<0或a>1}三、简答题,共1小题,共75分,16、17、18为选修题,任选两小题作答,如果全做,则按前两题计分选修4-1:几何证明选讲16.(6分)(2015•湖南)如图,在⊙O中,相交于点E的两弦AB,CD的中点分别是M,N,直线MO与直线CD相交于点F,证明:(1)∠MEN+∠NOM=180°(2)FE•FN=FM•FO.【分析】(1)证明O,M,E,N四点共圆,即可证明∠MEN+∠NOM=180°(2)证明△FEM∽△FON,即可证明FE•FN=FM•FO.【解答】证明:(1)∵N为CD的中点,∴ON⊥CD,∵M为AB的中点,∴OM⊥AB,在四边形OMEN中,∴∠OME+∠ONE=90°+90°=180°,∴O,M,E,N四点共圆,∴∠MEN+∠NOM=180°(2)在△FEM与△FON中,∠F=∠F,∠FME=∠FNO=90°,∴△FEM∽△FON,∴=∴FE•FN=FM•FO.选修4-4:坐标系与方程17.(6分)(2015•湖南)已知直线l:(t为参数).以坐标原点为极点,x轴的正半轴为极轴建立极坐标系,曲线C的坐标方程为ρ=2cosθ.(1)将曲线C的极坐标方程化为直坐标方程;(2)设点M的直角坐标为(5,),直线l与曲线C的交点为A,B,求|MA|•|MB|的值.【分析】(1)曲线的极坐标方程即ρ2=2ρcosθ,根据极坐标和直角坐标的互化公式得x2+y2=2x,即得它的直角坐标方程;(2)直线l的方程化为普通方程,利用切割线定理可得结论.【解答】解:(1)∵ρ=2cosθ,∴ρ2=2ρcosθ,∴x2+y2=2x,故它的直角坐标方程为(x﹣1)2+y2=1;(2)直线l:(t为参数),普通方程为,(5,)在直线l上,过点M作圆的切线,切点为T,则|MT|2=(5﹣1)2+3﹣1=18,由切割线定理,可得|MT|2=|MA|•|MB|=18.选修4-5:不等式选讲18.(2015•湖南)设a>0,b>0,且a+b=+.证明:(ⅰ)a+b≥2;(ⅱ)a2+a<2与b2+b<2不可能同时成立.【分析】(ⅰ)由a>0,b>0,结合条件可得ab=1,再由基本不等式,即可得证;(ⅱ)运用反证法证明.假设a2+a<2与b2+b<2可能同时成立.结合条件a>0,b>0,以及二次不等式的解法,可得0<a<1,且0<b<1,这与ab=1矛盾,即可得证.【解答】证明:(ⅰ)由a>0,b>0,则a+b=+=,由于a+b>0,则ab=1,即有a+b≥2=2,当且仅当a=b取得等号.则a+b≥2;(ⅱ)假设a2+a<2与b2+b<2可能同时成立.由a2+a<2及a>0,可得0<a<1,由b2+b<2及b>0,可得0<b<1,这与ab=1矛盾.a2+a<2与b2+b<2不可能同时成立.19.(2015•湖南)设△ABC的内角A、B、C的对边分别为a、b、c,a=btanA,且B为钝角.(Ⅰ)证明:B﹣A=;(Ⅱ)求sinA+sinC的取值范围.【分析】(Ⅰ)由题意和正弦定理可得sinB=cosA,由角的范围和诱导公式可得;(Ⅱ)由题意可得A∈(0,),可得0<sinA<,化简可得sinA+sinC=﹣2(sinA﹣)2+,由二次函数区间的最值可得.【解答】解:(Ⅰ)由a=btanA和正弦定理可得==,∴sinB=cosA,即sinB=sin(+A)又B为钝角,∴+A∈(,π),∴B=+A,∴B﹣A=;(Ⅱ)由(Ⅰ)知C=π﹣(A+B)=π﹣(A++A)=﹣2A>0,∴A∈(0,),∴sinA+sinC=sinA+sin(﹣2A)=sinA+cos2A=sinA+1﹣2sin2A=﹣2(sinA﹣)2+,∵A∈(0,),∴0<sinA<,∴由二次函数可知<﹣2(sinA﹣)2+≤∴sinA+sinC的取值范围为(,]20.(2015•湖南)某商场举行有奖促销活动,顾客购买一定金额商品后即可抽奖,每次抽奖都从装有4个红球、6个白球的甲箱和装有5个红球、5个白球的乙箱中,各随机摸出1个球,在摸出的2个球中,若都是红球,则获一等奖,若只有1个红球,则获二等奖;若没有红球,则不获奖.(1)求顾客抽奖1次能获奖的概率;(2)若某顾客有3次抽奖机会,记该顾客在3次抽奖中获一等奖的次数为X,求X的分布列和数学期望.【分析】(1)记事件A1={从甲箱中摸出一个球是红球},事件A2={从乙箱中摸出一个球是红球},事件B1={顾客抽奖1次获一等奖},事件A2={顾客抽奖1次获二等奖},事件C={顾客抽奖1次能获奖},利用A1,A2相互独立,,互斥,B1,B2互斥,然后求出所求概率即可.(2)顾客抽奖1次可视为3次独立重复试验,判断X~B.求出概率,得到X的分布列,然后求解期望.【解答】解:(1)记事件A1={从甲箱中摸出一个球是红球},事件A2={从乙箱中摸出一个球是红球},事件B1={顾客抽奖1次获一等奖},事件B2={顾客抽奖1次获二等奖},事件C={顾客抽奖1次能获奖},由题意A1,A2相互独立,,互斥,B1,B2互斥,且B1=A1A2,B2=+,C=B1+B2,因为P(A1)=,P(A2)=,所以,P(B1)=P(A1)P(A2)==,P(B2)=P()+P()=+==,故所求概率为:P(C)=P(B1+B2)=P(B1)+P(B2)=.(2)顾客抽奖1次可视为3次独立重复试验,由(1)可知,顾客抽奖1次获一等奖的概率为:所以.X~B.于是,P(X=0)==,P(X=1)==,P(X=2)==,P(X=3)==.故X的分布列为:X0123PE(X)=3×=.21.(2015•湖南)如图,已知四棱台ABCD﹣A1B1C1D1的上、下底面分别是边长为3和6的正方形,AA1=6,且AA1⊥底面ABCD,点P、Q分别在棱DD1、BC上.(1)若P是DD1的中点,证明:AB1⊥PQ;(2)若PQ∥平面ABB1A1,二面角P﹣QD﹣A的余弦值为,求四面体ADPQ的体积.【分析】(1)首先以A为原点,AB,AD,AA1所在直线分别为x,y,z轴,建立空间直角坐标系,求出一些点的坐标,Q在棱BC上,从而可设Q(6,y1,0),只需求即可;(2)设P(0,y2,z2),根据P在棱DD1上,从而由即可得到z2=12﹣2y2,从而表示点P坐标为P(0,y2,12﹣2y2).由PQ∥平面ABB1A1便知道与平面ABB1A1的法向量垂直,从而得出y1=y2,从而Q点坐标变成Q(6,y2,0),设平面PQD的法向量为,根据即可表示,平面AQD的一个法向量为,从而由即可求出y2,从而得出P点坐标,从而求出三棱锥P﹣AQD的高,而四面体ADPQ 的体积等于三棱锥P﹣AQD的体积,从而求出四面体的体积.【解答】解:根据已知条件知AB,AD,AA1三直线两两垂直,所以分别以这三直线为x,y,z轴,建立如图所示空间直角坐标系,则:A(0,0,0),B(6,0,0),D(0,6,0),A1(0,0,6),B1(3,0,6),D1(0,3,6);Q在棱BC上,设Q(6,y1,0),0≤y1≤6;∴(1)证明:若P是DD1的中点,则P;∴,;∴;∴;∴AB1⊥PQ;(2)设P(0,y2,z2),y2,z2∈[0,6],P在棱DD1上;∴,0≤λ≤1;∴(0,y2﹣6,z2)=λ(0,﹣3,6);∴;∴z2=12﹣2y2;∴P(0,y2,12﹣2y2);∴;平面ABB1A1的一个法向量为;∵PQ∥平面ABB1A1;∴=6(y1﹣y2)=0;∴y1=y2;∴Q(6,y2,0);设平面PQD的法向量为,则:;∴,取z=1,则;又平面AQD的一个法向量为;又二面角P﹣QD﹣A的余弦值为;∴;解得y2=4,或y2=8(舍去);∴P(0,4,4);∴三棱锥P﹣ADQ的高为4,且;∴V四面体ADPQ =V三棱锥P﹣ADQ=.22.(13分)(2015•湖南)已知抛物线C1:x2=4y的焦点F也是椭圆C2:+=1(a>b>0)的一个焦点.C1与C2的公共弦长为2.(Ⅰ)求C2的方程;(Ⅱ)过点F的直线l与C1相交于A、B两点,与C2相交于C、D两点,且与同向.(ⅰ)若|AC|=|BD|,求直线l的斜率;(ⅱ)设C1在点A处的切线与x轴的交点为M,证明:直线l绕点F旋转时,△MFD总是钝角三角形.【分析】(Ⅰ)根据两个曲线的焦点相同,得到a2﹣b2=1,再根据C1与C2的公共弦长为2,得到=1,解得即可求出;(Ⅱ)设出点的坐标,(ⅰ)根据向量的关系,得到(x1+x2)2﹣4x1x2=(x3+x4)2﹣4x3x4,设直线l的方程,分别与C1,C2构成方程组,利用韦达定理,分别代入得到关于k的方程,解得即可;(ⅱ)根据导数的几何意义得到C1在点A处的切线方程,求出点M的坐标,利用向量的乘积∠AFM是锐角,问题得以证明.【解答】解:(Ⅰ)抛物线C1:x2=4y的焦点F的坐标为(0,1),因为F也是椭圆C2的一个焦点,∴a2﹣b2=1,①,又C1与C2的公共弦长为2,C1与C2的都关于y轴对称,且C1的方程为x2=4y,由此易知C1与C2的公共点的坐标为(±,),所以=1,②,联立①②得a2=9,b2=8,故C2的方程为+=1.(Ⅱ)设A(x1,y1),B(x2,y2),C(x3,y3),D(x4,y4),(ⅰ)因为与同向,且|AC|=|BD|,所以=,从而x3﹣x1=x4﹣x2,即x1﹣x2=x3﹣x4,于是(x1+x2)2﹣4x1x2=(x3+x4)2﹣4x3x4,③设直线的斜率为k,则l的方程为y=kx+1,由,得x2﹣4kx﹣4=0,而x1,x2是这个方程的两根,所以x1+x2=4k,x1x2=﹣4,④由,得(9+8k2)x2+16kx﹣64=0,而x3,x4是这个方程的两根,所以x3+x4=,x3x4=﹣,⑤将④⑤代入③,得16(k2+1)=+,即16(k2+1)=,所以(9+8k2)2=16×9,解得k=±.(ⅱ)由x2=4y得y′=x,所以C1在点A处的切线方程为y﹣y1=x1(x﹣x1),即y=x1x﹣x12,令y=0,得x=x1,M(x1,0),所以=(x1,﹣1),而=(x1,y1﹣1),于是•=x12﹣y1+1=x12+1>0,因此∠AFM是锐角,从而∠MFD=180°﹣∠AFM是钝角,故直线l绕点F旋转时,△MFD总是钝角三角形.23.(13分)(2015•湖南)已知a>0,函数f(x)=e ax sinx(x∈[0,+∞]).记x n为f(x)的从小到大的第n(n∈N*)个极值点.证明:(Ⅰ)数列{f(x n)}是等比数列;(Ⅱ)若a≥,则对一切n∈N*,x n<|f(x n)|恒成立.【分析】(Ⅰ)求出导数,运用两角和的正弦公式化简,求出导数为0的根,讨论根附近的导数的符号相反,即可得到极值点,求得极值,运用等比数列的定义即可得证;(Ⅱ)由sinφ=,可得对一切n∈N*,x n<|f(x n)|恒成立.即为nπ﹣φ<e a(nπ﹣φ)恒成立⇔<,①设g(t)=(t>0),求出导数,求得最小值,由恒成立思想即可得证.【解答】证明:(Ⅰ)f′(x)=e ax(asinx+cosx)=•e ax sin(x+φ),tanφ=,0<φ<,令f′(x)=0,由x≥0,x+φ=mπ,即x=mπ﹣φ,m∈N*,对k∈N,若(2k+1)π<x+φ<(2k+2)π,即(2k+1)π﹣φ<x<(2k+2)π﹣φ,则f′(x)<0,因此在((m﹣1)π﹣φ,mπ﹣φ)和(mπ﹣φ,(m+1)π﹣φ)上f′(x)符号总相反.于是当x=nπ﹣φ,n∈N*,f(x)取得极值,所以x n=nπ﹣φ,n∈N*,此时f(x n)=e a(nπ﹣φ)sin(nπ﹣φ)=(﹣1)n+1e a(nπ﹣φ)sinφ,易知f(x n)≠0,而==﹣e aπ是常数,故数列{f(x n)}是首项为f(x1)=e a(π﹣φ)sinφ,公比为﹣e aπ的等比数列;(Ⅱ)由sinφ=,可得对一切n∈N*,x n<|f(x n)|恒成立.即为nπ﹣φ<e a(nπ﹣φ)恒成立⇔<,①设g(t)=(t>0),g′(t)=,当0<t<1时,g′(t)<0,g(t)递减,当t>1时,g′(t)>0,g(t)递增.t=1时,g(t)取得最小值,且为e.因此要使①恒成立,只需<g(1)=e,只需a>,当a=,tanφ==,且0<φ<,可得<φ<,于是π﹣φ<<,且当n≥2时,nπ﹣φ≥2π﹣φ>>,因此对n∈N*,ax n=≠1,即有g(ax n)>g(1)=e=,故①亦恒成立.综上可得,若a≥,则对一切n∈N*,x n<|f(x n)|恒成立.。

2015年湖南省高考数学试卷(理科)

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2015年湖南省高考数学试卷(理科)一、选择题,共10小题,每小题5分,共50分1.(5分)(2015•湖南)已知=1+i(i为虚数单位),则复数z=()A.1+i B.1﹣i C.﹣1+i D.﹣1﹣i2.(5分)(2015•湖南)设A、B是两个集合,则“A∩B=A”是“A⊆B”的()A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件 D.既不充分也不必要条件3.(5分)(2015•湖南)执行如图所示的程序框图,如果输入n=3,则输出的S=()A.B.C.D.4.(5分)(2015•湖南)若变量x、y满足约束条件,则z=3x﹣y的最小值为()A.﹣7 B.﹣1 C.1 D.25.(5分)(2015•湖南)设函数f(x)=ln(1+x)﹣ln(1﹣x),则f(x)是()A.奇函数,且在(0,1)上是增函数B.奇函数,且在(0,1)上是减函数C.偶函数,且在(0,1)上是增函数D.偶函数,且在(0,1)上是减函数6.(5分)(2015•湖南)已知(﹣)5的展开式中含x的项的系数为30,则a=()A. B.﹣C.6 D.﹣67.(5分)(2015•湖南)在如图所示的正方形中随机投掷10000个点,则落入阴影部分(曲线C 为正态分布N(0,1)的密度曲线)的点的个数的估计值为()附“若X﹣N=(μ,a2),则P(μ﹣σ<X≤μ+σ)=0。

6826.p(μ﹣2σ<X≤μ+2σ)=0.9544.A.2386 B.2718 C.3413 D.47728.(5分)(2015•湖南)已知A,B,C在圆x2+y2=1上运动,且AB⊥BC,若点P的坐标为(2,0),则||的最大值为()A.6 B.7 C.8 D.99.(5分)(2015•湖南)将函数f(x)=sin2x的图象向右平移φ(0<φ<)个单位后得到函数g(x)的图象.若对满足|f(x1)﹣g(x2)|=2的x1、x2,有|x1﹣x2|min=,则φ=()A.B.C.D.10.(5分)(2015•湖南)某工件的三视图如图所示.现将该工件通过切削,加工成一个体积尽可能大的长方体新工件,并使新工件的一个面落在原工件的一个面内,则原工件材料的利用率为(材料利用率=)()A.B.C.D.二、填空题,共5小题,每小题5分,共25分11.(5分)(2015•湖南)(x﹣1)dx=.12.(5分)(2015•湖南)在一次马拉松比赛中,35名运动员的成绩(单位:分钟)的茎叶图如图所示.若将运动员成绩由好到差编号为1﹣35号,再用系统抽样方法从中抽取7人,则其中成绩在区间[139,151]上的运动员人数是.13.(5分)(2015•湖南)设F是双曲线C:﹣=1的一个焦点.若C上存在点P,使线段PF的中点恰为其虚轴的一个端点,则C的离心率为.14.(5分)(2015•湖南)设S n为等比数列{a n}的前n项和,若a1=1,且3S1,2S2,S3成等差数列,则a n=.15.(5分)(2015•湖南)已知函数f(x)=若存在实数b,使函数g(x)=f(x)﹣b有两个零点,则a的取值范围是.三、简答题,共1小题,共75分,16、17、18为选修题,任选两小题作答,如果全做,则按前两题计分选修4—1:几何证明选讲16.(6分)(2015•湖南)如图,在⊙O中,相交于点E的两弦AB,CD的中点分别是M,N,直线MO与直线CD相交于点F,证明:(1)∠MEN+∠NOM=180°(2)FE•FN=FM•FO.选修4-4:坐标系与方程17.(6分)(2015•湖南)已知直线l:(t为参数).以坐标原点为极点,x轴的正半轴为极轴建立极坐标系,曲线C的坐标方程为ρ=2cosθ.(1)将曲线C的极坐标方程化为直坐标方程;(2)设点M的直角坐标为(5,),直线l与曲线C的交点为A,B,求|MA|•|MB|的值.选修4-5:不等式选讲18.(2015•湖南)设a>0,b>0,且a+b=+.证明:(ⅰ)a+b≥2;(ⅱ)a2+a<2与b2+b<2不可能同时成立.19.(2015•湖南)设△ABC的内角A、B、C的对边分别为a、b、c,a=btanA,且B为钝角.(Ⅰ)证明:B﹣A=;(Ⅱ)求sinA+sinC的取值范围.20.(2015•湖南)某商场举行有奖促销活动,顾客购买一定金额商品后即可抽奖,每次抽奖都从装有4个红球、6个白球的甲箱和装有5个红球、5个白球的乙箱中,各随机摸出1个球,在摸出的2个球中,若都是红球,则获一等奖,若只有1个红球,则获二等奖;若没有红球,则不获奖.(1)求顾客抽奖1次能获奖的概率;(2)若某顾客有3次抽奖机会,记该顾客在3次抽奖中获一等奖的次数为X,求X的分布列和数学期望.21.(2015•湖南)如图,已知四棱台ABCD﹣A1B1C1D1的上、下底面分别是边长为3和6的正方形,AA1=6,且AA1⊥底面ABCD,点P、Q分别在棱DD1、BC上.(1)若P是DD1的中点,证明:AB1⊥PQ;(2)若PQ∥平面ABB1A1,二面角P﹣QD﹣A的余弦值为,求四面体ADPQ的体积.22.(13分)(2015•湖南)已知抛物线C1:x2=4y的焦点F也是椭圆C2:+=1(a>b>0)的一个焦点.C1与C2的公共弦长为2.(Ⅰ)求C2的方程;(Ⅱ)过点F的直线l与C1相交于A、B两点,与C2相交于C、D两点,且与同向.(ⅰ)若|AC|=|BD|,求直线l的斜率;(ⅱ)设C1在点A处的切线与x轴的交点为M,证明:直线l绕点F旋转时,△MFD总是钝角三角形.23.(13分)(2015•湖南)已知a>0,函数f(x)=e ax sinx(x∈[0,+∞]).记x n为f(x)的从小到大的第n(n∈N*)个极值点.证明:(Ⅰ)数列{f(x n)}是等比数列;(Ⅱ)若a≥,则对一切n∈N*,x n<|f(x n)|恒成立.2015年湖南省高考数学试卷(理科)参考答案与试题解析一、选择题,共10小题,每小题5分,共50分1.(5分)(2015•湖南)已知=1+i(i为虚数单位),则复数z=()A.1+i B.1﹣i C.﹣1+i D.﹣1﹣i【考点】复数代数形式的乘除运算.【专题】数系的扩充和复数.【分析】由条件利用两个复数代数形式的乘除法法则,求得z的值.【解答】解:∵已知=1+i(i为虚数单位),∴z===﹣1﹣i,故选:D.【点评】本题主要考查两个复数代数形式的乘除法法则的应用,属于基础题.2.(5分)(2015•湖南)设A、B是两个集合,则“A∩B=A”是“A⊆B”的()A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件 D.既不充分也不必要条件【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断.【专题】集合;简易逻辑.【分析】直接利用两个集合的交集,判断两个集合的关系,判断充要条件即可.【解答】解:A、B是两个集合,则“A∩B=A”可得“A⊆B”,“A⊆B”,可得“A∩B=A”.所以A、B是两个集合,则“A∩B=A”是“A⊆B”的充要条件.故选:C.【点评】本题考查充要条件的判断与应用,集合的交集的求法,基本知识的应用.3.(5分)(2015•湖南)执行如图所示的程序框图,如果输入n=3,则输出的S=()A.B.C.D.【考点】程序框图.【分析】列出循环过程中S与i的数值,满足判断框的条件即可结束循环.【解答】解:判断前i=1,n=3,s=0,第1次循环,S=,i=2,第2次循环,S=,i=3,第3次循环,S=,i=4,此时,i>n,满足判断框的条件,结束循环,输出结果:S===故选:B【点评】本题考查循环框图的应用,注意判断框的条件的应用,考查计算能力4.(5分)(2015•湖南)若变量x、y满足约束条件,则z=3x﹣y的最小值为()A.﹣7 B.﹣1 C.1 D.2【考点】简单线性规划.【专题】不等式的解法及应用.【分析】由约束条件作出可行域,由图得到最优解,求出最优解的坐标,数形结合得答案.【解答】解:由约束条件作出可行域如图,由图可知,最优解为A,联立,解得C(0,﹣1).由解得A(﹣2,1),由,解得B(1,1)∴z=3x﹣y的最小值为3×(﹣2)﹣1=﹣7.故选:A.【点评】本题考查了简单的线性规划,考查了数形结合的解题思想方法,是中档题.易错点是图形中的B点.5.(5分)(2015•湖南)设函数f(x)=ln(1+x)﹣ln(1﹣x),则f(x)是()A.奇函数,且在(0,1)上是增函数B.奇函数,且在(0,1)上是减函数C.偶函数,且在(0,1)上是增函数D.偶函数,且在(0,1)上是减函数【考点】利用导数研究函数的单调性.【专题】导数的综合应用.【分析】求出好的定义域,判断函数的奇偶性,以及函数的单调性推出结果即可.【解答】解:函数f(x)=ln(1+x)﹣ln(1﹣x),函数的定义域为(﹣1,1),函数f(﹣x)=ln(1﹣x)﹣ln(1+x)=﹣[ln(1+x)﹣ln(1﹣x)]=﹣f(x),所以函数是奇函数.排除C,D,正确结果在A,B,只需判断特殊值的大小,即可推出选项,x=0时,f(0)=0; x=时,f()=ln(1+)﹣ln(1﹣)=ln3>1,显然f(0)<f(),函数是增函数,所以B错误,A正确.故选:A.【点评】本题考查函数的奇偶性以及函数的单调性的判断与应用,考查计算能力.6.(5分)(2015•湖南)已知(﹣)5的展开式中含x的项的系数为30,则a=()A. B.﹣C.6 D.﹣6【考点】二项式定理的应用.【专题】二项式定理.【分析】根据所给的二项式,利用二项展开式的通项公式写出第r+1项,整理成最简形式,令x的指数为求得r,再代入系数求出结果.【解答】解:根据所给的二项式写出展开式的通项,T r+1==;展开式中含x的项的系数为30,∴,∴r=1,并且,解得a=﹣6.故选:D.【点评】本题考查二项式定理的应用,本题解题的关键是正确写出二项展开式的通项,在这种题目中通项是解决二项展开式的特定项问题的工具.7.(5分)(2015•湖南)在如图所示的正方形中随机投掷10000个点,则落入阴影部分(曲线C 为正态分布N(0,1)的密度曲线)的点的个数的估计值为()附“若X﹣N=(μ,a2),则P(μ﹣σ<X≤μ+σ)=0.6826.p(μ﹣2σ<X≤μ+2σ)=0。

2015年湖南省高考数学试卷(理科)

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2015年湖南省高考数学试卷(理科)一、选择题,共10小题,每小题5分,共50分1.(5分)(2015•湖南)已知=1+i(i为虚数单位),则复数z=()3.(5分)(2015•湖南)执行如图所示的程序框图,如果输入n=3,则输出的S=()B4.(5分)(2015•湖南)若变量x、y满足约束条件,则z=3x﹣y的最小值为()6.(5分)(2015•湖南)已知(﹣)5的展开式中含x的项的系数为30,则a=()B7.(5分)(2015•湖南)在如图所示的正方形中随机投掷10000个点,则落入阴影部分(曲线C为正态分布N(0,1)的密度曲线)的点的个数的估计值为()附“若X﹣N=(μ,a2),则P(μ﹣σ<X≤μ+σ)=0.6826.p(μ﹣2σ<X≤μ+2σ)=0.9544.8.(5分)(2015•湖南)已知A,B,C在圆x2+y2=1上运动,且AB⊥BC,若点P的坐标为(2,0),则||的最大值为()9.(5分)(2015•湖南)将函数f(x)=sin2x的图象向右平移φ(0<φ<)个单位后得到函数g(x)的图象.若对满足|f(x1)﹣g(x2)|=2的x1、x2,有|x1﹣x2|min=,则φ=B10.(5分)(2015•湖南)某工件的三视图如图所示.现将该工件通过切削,加工成一个体积尽可能大的长方体新工件,并使新工件的一个面落在原工件的一个面内,则原工件材料的利用率为(材料利用率=)()B二、填空题,共5小题,每小题5分,共25分11.(5分)(2015•湖南)(x﹣1)dx=.12.(5分)(2015•湖南)在一次马拉松比赛中,35名运动员的成绩(单位:分钟)的茎叶图如图所示.若将运动员成绩由好到差编号为1﹣35号,再用系统抽样方法从中抽取7人,则其中成绩在区间[139,151]上的运动员人数是.13.(5分)(2015•湖南)设F是双曲线C:﹣=1的一个焦点.若C上存在点P,使线段PF的中点恰为其虚轴的一个端点,则C的离心率为.14.(5分)(2015•湖南)设S n为等比数列{a n}的前n项和,若a1=1,且3S1,2S2,S3成等差数列,则a n=.15.(5分)(2015•湖南)已知函数f(x)=若存在实数b,使函数g(x)=f(x)﹣b有两个零点,则a的取值范围是.三、简答题,共1小题,共75分,16、17、18为选修题,任选两小题作答,如果全做,则按前两题计分选修4-1:几何证明选讲16.(6分)(2015•湖南)如图,在⊙O中,相较于点E的两弦AB,CD的中点分别是M,N,直线MO与直线CD相较于点F,证明:(1)∠MEN+∠NOM=180°(2)FE•FN=FM•FO.选修4-4:坐标系与方程17.(6分)(2015•湖南)已知直线l:(t为参数).以坐标原点为极点,x轴的正半轴为极轴建立极坐标系,曲线C的坐标方程为ρ=2cosθ.(1)将曲线C的极坐标方程化为直坐标方程;(2)设点M的直角坐标为(5,),直线l与曲线C的交点为A,B,求|MA|•|MB|的值.选修4-5:不等式选讲18.(2015•湖南)设a>0,b>0,且a+b=+.证明:(ⅰ)a+b≥2;(ⅱ)a2+a<2与b2+b<2不可能同时成立.19.(2015•湖南)设△ABC的内角A、B、C的对边分别为a、b、c,a=btanA,且B为钝角.(Ⅰ)证明:B﹣A=;(Ⅱ)求sinA+sinC的取值范围.20.(2015•湖南)某商场举行有奖促销活动,顾客购买一定金额商品后即可抽奖,每次抽奖都从装有4个红球、6个白球的甲箱和装有5个红球、5个白球的乙箱中,各随机摸出1个球,在摸出的2个球中,若都是红球,则获一等奖,若只有1个红球,则获二等奖;若没有红球,则不获奖.(1)求顾客抽奖1次能获奖的概率;(2)若某顾客有3次抽奖机会,记该顾客在3次抽奖中获一等奖的次数为X,求X的分布列和数学期望.21.(2015•湖南)如图,已知四棱台ABCD﹣A1B1C1D1的上、下底面分别是边长为3和6的正方形,AA1=6,且AA1⊥底面ABCD,点P、Q分别在棱DD1、BC上.(1)若P是DD1的中点,证明:AB1⊥PQ;(2)若PQ∥平面ABB1A1,二面角P﹣QD﹣A的余弦值为,求四面体ADPQ的体积.22.(13分)(2015•湖南)已知抛物线C1:x2=4y的焦点F也是椭圆C2:+=1(a>b>0)的一个焦点.C1与C2的公共弦长为2.(Ⅰ)求C2的方程;(Ⅱ)过点F的直线l与C1相交于A、B两点,与C2相交于C、D两点,且与同向.(ⅰ)若|AC|=|BD|,求直线l的斜率;(ⅱ)设C1在点A处的切线与x轴的交点为M,证明:直线l绕点F旋转时,△MFD总是钝角三角形.23.(13分)(2015•湖南)已知a>0,函数f(x)=e ax sinx(x∈[0,+∞]).记x n为f(x)的从小到大的第n(n∈N*)个极值点.证明:(Ⅰ)数列{f(x n)}是等比数列;(Ⅱ)若a≥,则对一切n∈N*,x n<|f(x n)|恒成立.。

2015年湖南省高考数学试卷(理科)附详细解析

2015年湖南省高考数学试卷(理科)附详细解析

2015年湖南省高考数学试卷(理科)一、选择题,共10小题,每小题5分,共50分1.(5分)(2015•湖南)已知=1+i(i为虚数单位),则复数z=()3.(5分)(2015•湖南)执行如图所示的程序框图,如果输入n=3,则输出的S=()B4.(5分)(2015•湖南)若变量x、y满足约束条件,则z=3x﹣y的最小值为()6.(5分)(2015•湖南)已知(﹣)5的展开式中含x的项的系数为30,则a=()B7.(5分)(2015•湖南)在如图所示的正方形中随机投掷10000个点,则落入阴影部分(曲线C为正态分布N(0,1)的密度曲线)的点的个数的估计值为()附“若X﹣N=(μ,a2),则P(μ﹣ς<X≤μ+ς)=0.6826.p(μ﹣2ς<X≤μ+2ς)=0.9544.8.(5分)(2015•湖南)已知A,B,C在圆x2+y2=1上运动,且AB⊥BC,若点P的坐标为(2,0),则||的最大值为()9.(5分)(2015•湖南)将函数f(x)=sin2x的图象向右平移φ(0<φ<)个单位后得到函数g(x)的图象.若对满足|f(x1)﹣g(x2)|=2的x1、x2,有|x1﹣x2|min=,则φ=B10.(5分)(2015•湖南)某工件的三视图如图所示.现将该工件通过切削,加工成一个体积尽可能大的长方体新工件,并使新工件的一个面落在原工件的一个面内,则原工件材料的利用率为(材料利用率=)()B二、填空题,共5小题,每小题5分,共25分11.(5分)(2015•湖南)(x﹣1)dx=.12.(5分)(2015•湖南)在一次马拉松比赛中,35名运动员的成绩(单位:分钟)的茎叶图如图所示.若将运动员成绩由好到差编号为1﹣35号,再用系统抽样方法从中抽取7人,则其中成绩在区间[139,151]上的运动员人数是.13.(5分)(2015•湖南)设F是双曲线C:﹣=1的一个焦点.若C上存在点P,使线段PF的中点恰为其虚轴的一个端点,则C的离心率为.14.(5分)(2015•湖南)设S n为等比数列{a n}的前n项和,若a1=1,且3S1,2S2,S3成等差数列,则a n=.15.(5分)(2015•湖南)已知函数f(x)=若存在实数b,使函数g(x)=f(x)﹣b有两个零点,则a的取值范围是.三、简答题,共1小题,共75分,16、17、18为选修题,任选两小题作答,如果全做,则按前两题计分选修4-1:几何证明选讲16.(6分)(2015•湖南)如图,在⊙O中,相较于点E的两弦AB,CD的中点分别是M,N,直线MO与直线CD相较于点F,证明:(1)∠MEN+∠NOM=180°(2)FE•FN=FM•FO.选修4-4:坐标系与方程17.(6分)(2015•湖南)已知直线l:(t为参数).以坐标原点为极点,x轴的正半轴为极轴建立极坐标系,曲线C的坐标方程为ρ=2cosθ.(1)将曲线C的极坐标方程化为直坐标方程;(2)设点M的直角坐标为(5,),直线l与曲线C的交点为A,B,求|MA|•|MB|的值.选修4-5:不等式选讲18.(2015•湖南)设a>0,b>0,且a+b=+.证明:(ⅰ)a+b≥2;(ⅱ)a2+a<2与b2+b<2不可能同时成立.19.(2015•湖南)设△ABC的内角A、B、C的对边分别为a、b、c,a=btanA,且B为钝角.(Ⅰ)证明:B﹣A=;(Ⅱ)求sinA+sinC的取值范围.20.(2015•湖南)某商场举行有奖促销活动,顾客购买一定金额商品后即可抽奖,每次抽奖都从装有4个红球、6个白球的甲箱和装有5个红球、5个白球的乙箱中,各随机摸出1个球,在摸出的2个球中,若都是红球,则获一等奖,若只有1个红球,则获二等奖;若没有红球,则不获奖.(1)求顾客抽奖1次能获奖的概率;(2)若某顾客有3次抽奖机会,记该顾客在3次抽奖中获一等奖的次数为X,求X的分布列和数学期望.21.(2015•湖南)如图,已知四棱台ABCD﹣A1B1C1D1的上、下底面分别是边长为3和6的正方形,AA1=6,且AA1⊥底面ABCD,点P、Q分别在棱DD1、BC上.(1)若P是DD1的中点,证明:AB1⊥PQ;(2)若PQ∥平面ABB1A1,二面角P﹣QD﹣A的余弦值为,求四面体ADPQ的体积.22.(13分)(2015•湖南)已知抛物线C1:x2=4y的焦点F也是椭圆C2:+=1(a>b>0)的一个焦点.C1与C2的公共弦长为2.(Ⅰ)求C2的方程;(Ⅱ)过点F的直线l与C1相交于A、B两点,与C2相交于C、D两点,且与同向.(ⅰ)若|AC|=|BD|,求直线l的斜率;(ⅱ)设C1在点A处的切线与x轴的交点为M,证明:直线l绕点F旋转时,△MFD总是钝角三角形.23.(13分)(2015•湖南)已知a>0,函数f(x)=e ax sinx(x∈[0,+∞]).记x n为f(x)的从小到大的第n(n∈N*)个极值点.证明:(Ⅰ)数列{f(x n)}是等比数列;(Ⅱ)若a≥,则对一切n∈N*,x n<|f(x n)|恒成立.2015年湖南省高考数学试卷(理科)参考答案与试题解析一、选择题,共10小题,每小题5分,共50分1.(5分)(2015•湖南)已知=1+i(i为虚数单位),则复数z=()已知=3.(5分)(2015•湖南)执行如图所示的程序框图,如果输入n=3,则输出的S=()BS=S=S==4.(5分)(2015•湖南)若变量x、y满足约束条件,则z=3x﹣y的最小值为()作出可行域如图,,解得.由解得,由时,))﹣﹣)6.(5分)(2015•湖南)已知(﹣)5的展开式中含x的项的系数为30,则a=()B的指数为=的项的系数为∴,并且7.(5分)(2015•湖南)在如图所示的正方形中随机投掷10000个点,则落入阴影部分(曲线C为正态分布N(0,1)的密度曲线)的点的个数的估计值为()附“若X﹣N=(μ,a2),则P(μ﹣ς<X≤μ+ς)=0.6826.p(μ﹣2ς<X≤μ+2ς)=0.9544.××8.(5分)(2015•湖南)已知A,B,C在圆x2+y2=1上运动,且AB⊥BC,若点P的坐标为(2,0),则||的最大值为()||=|2|=|4+|||+|=|4+|||9.(5分)(2015•湖南)将函数f(x)=sin2x的图象向右平移φ(0<φ<)个单位后得到函数g(x)的图象.若对满足|f(x1)﹣g(x2)|=2的x1、x2,有|x1﹣x2|min=,则φ=B<,==×﹣,不合题意,,,即=×﹣=10.(5分)(2015•湖南)某工件的三视图如图所示.现将该工件通过切削,加工成一个体积尽可能大的长方体新工件,并使新工件的一个面落在原工件的一个面内,则原工件材料的利用率为(材料利用率=)()B()V==n=﹣==)单调递增,,×,=×=二、填空题,共5小题,每小题5分,共25分11.(5分)(2015•湖南)(x﹣1)dx=0.((|=012.(5分)(2015•湖南)在一次马拉松比赛中,35名运动员的成绩(单位:分钟)的茎叶图如图所示.若将运动员成绩由好到差编号为1﹣35号,再用系统抽样方法从中抽取7人,则其中成绩在区间[139,151]上的运动员人数是4.×=413.(5分)(2015•湖南)设F是双曲线C:﹣=1的一个焦点.若C上存在点P,使线段PF的中点恰为其虚轴的一个端点,则C的离心率为.﹣=.故答案为:14.(5分)(2015•湖南)设S n为等比数列{a n}的前n项和,若a1=1,且3S1,2S2,S3成等差数列,则a n=3n﹣1.15.(5分)(2015•湖南)已知函数f(x)=若存在实数b,使函数g(x)=f(x)﹣b有两个零点,则a的取值范围是{a|a<0或a>1}.三、简答题,共1小题,共75分,16、17、18为选修题,任选两小题作答,如果全做,则按前两题计分选修4-1:几何证明选讲16.(6分)(2015•湖南)如图,在⊙O中,相较于点E的两弦AB,CD的中点分别是M,N,直线MO与直线CD相较于点F,证明:(1)∠MEN+∠NOM=180°(2)FE•FN=FM•FO.∴=选修4-4:坐标系与方程17.(6分)(2015•湖南)已知直线l:(t为参数).以坐标原点为极点,x轴的正半轴为极轴建立极坐标系,曲线C的坐标方程为ρ=2cosθ.(1)将曲线C的极坐标方程化为直坐标方程;(2)设点M的直角坐标为(5,),直线l与曲线C的交点为A,B,求|MA|•|MB|的值.:)在直选修4-5:不等式选讲18.(2015•湖南)设a>0,b>0,且a+b=+.证明:(ⅰ)a+b≥2;(ⅱ)a2+a<2与b2+b<2不可能同时成立.+=,19.(2015•湖南)设△ABC的内角A、B、C的对边分别为a、b、c,a=btanA,且B为钝角.(Ⅰ)证明:B﹣A=;(Ⅱ)求sinA+sinC的取值范围.),化简可得),由二次函数区间的最值可得.==,+A为钝角,∴,+A A=A+=)﹣),)由二次函数可知)≤的取值范围为(,20.(2015•湖南)某商场举行有奖促销活动,顾客购买一定金额商品后即可抽奖,每次抽奖都从装有4个红球、6个白球的甲箱和装有5个红球、5个白球的乙箱中,各随机摸出1个球,在摸出的2个球中,若都是红球,则获一等奖,若只有1个红球,则获二等奖;若没有红球,则不获奖.(1)求顾客抽奖1次能获奖的概率;(2)若某顾客有3次抽奖机会,记该顾客在3次抽奖中获一等奖的次数为X,求X的分布列和数学期望.,B,+=,((+=.的概率为:所以.= ==.×.21.(2015•湖南)如图,已知四棱台ABCD﹣A1B1C1D1的上、下底面分别是边长为3和6的正方形,AA1=6,且AA1⊥底面ABCD,点P、Q分别在棱DD1、BC上.(1)若P是DD1的中点,证明:AB1⊥PQ;(2)若PQ∥平面ABB1A1,二面角P﹣QD﹣A的余弦值为,求四面体ADPQ的体积.只需求从而由便知道与平面法向量为,根据即可表示,从而由∴∴∴;∴,∴∴的一个法向量为;∴,则:∴,则的一个法向量为的余弦值为∴=22.(13分)(2015•湖南)已知抛物线C1:x2=4y的焦点F也是椭圆C2:+=1(a>b>0)的一个焦点.C1与C2的公共弦长为2.(Ⅰ)求C2的方程;(Ⅱ)过点F的直线l与C1相交于A、B两点,与C2相交于C、D两点,且与同向.(ⅰ)若|AC|=|BD|,求直线l的斜率;(ⅱ)设C1在点A处的切线与x轴的交点为M,证明:直线l绕点F旋转时,△MFD总是钝角三角形.2=1,±,)=1的方程为=1)因为与=,+,±= x xxx=x=•=x23.(13分)(2015•湖南)已知a>0,函数f(x)=e ax sinx(x∈[0,+∞]).记x n为f(x)的从小到大的第n(n∈N*)个极值点.证明:(Ⅰ)数列{f(x n)}是等比数列;(Ⅱ)若a≥,则对一切n∈N*,x n<|f(x n)|恒成立.<⇔,①=(=,<,而⇔,①(>=,<,<>≠=e=≥参与本试卷答题和审题的老师有:caoqz;qiss;吕静;刘长柏;sdpyqzh;changq;742048;双曲线;lincy;wkl197822;whgcn(排名不分先后)菁优网2015年7月10日。

2015年湖南省高考数学试卷(理科)

2015年湖南省高考数学试卷(理科)

2015年湖南省高考数学试卷(理科)一、选择题,共10小题,每小题5分,共50分1.(5分)已知=1+i(i为虚数单位),则复数z=()A.1+i B.1﹣i C.﹣1+i D.﹣1﹣i2.(5分)设A、B是两个集合,则“A∩B=A”是“A⊆B”的()A.充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件3.(5分)执行如图所示的程序框图,如果输入n=3,则输出的S=()A.B.C.D.4.(5分)若变量x、y满足约束条件,则z=3x﹣y的最小值为()A.﹣7 B.﹣1 C.1 D.25.(5分)设函数f(x)=ln(1+x)﹣ln(1﹣x),则f(x)是()A.奇函数,且在(0,1)上是增函数B.奇函数,且在(0,1)上是减函数C.偶函数,且在(0,1)上是增函数D.偶函数,且在(0,1)上是减函数6.(5分)已知(﹣)5的展开式中含x的项的系数为30,则a=()A.B.﹣C.6 D.﹣67.(5分)在如图所示的正方形中随机投掷10000个点,则落入阴影部分(曲线C为正态分布N(0,1)的密度曲线)的点的个数的估计值为()附“若X﹣N=(μ,a2),则P(μ﹣σ<X≤μ+σ)=0.6826.p(μ﹣2σ<X≤μ+2σ)=0.9544.A.2386 B.2718 C.3413 D.47728.(5分)已知A,B,C在圆x2+y2=1上运动,且AB⊥BC,若点P的坐标为(2,0),则||的最大值为()A.6 B.7 C.8 D.99.(5分)将函数f(x)=sin2x的图象向右平移φ(0<φ<)个单位后得到函数g(x)的图象.若对满足|f(x1)﹣g(x2)|=2的x1、x2,有|x1﹣x2|min=,则φ=()A. B.C.D.10.(5分)某工件的三视图如图所示.现将该工件通过切削,加工成一个体积尽可能大的长方体新工件,并使新工件的一个面落在原工件的一个面内,则原工件材料的利用率为(材料利用率=)()A. B. C.D.二、填空题,共5小题,每小题5分,共25分11.(5分)(x﹣1)dx=.12.(5分)在一次马拉松比赛中,35名运动员的成绩(单位:分钟)的茎叶图如图所示.若将运动员成绩由好到差编号为1﹣35号,再用系统抽样方法从中抽取7人,则其中成绩在区间[139,151]上的运动员人数是.13.(5分)设F是双曲线C:﹣=1的一个焦点.若C上存在点P,使线段PF的中点恰为其虚轴的一个端点,则C的离心率为.14.(5分)设S n为等比数列{a n}的前n项和,若a1=1,且3S1,2S2,S3成等差数列,则a n=.15.(5分)已知函数f(x)=若存在实数b,使函数g(x)=f(x)﹣b有两个零点,则a的取值范围是.三、简答题,共1小题,共75分,16、17、18为选修题,任选两小题作答,如果全做,则按前两题计分选修4-1:几何证明选讲16.(6分)如图,在⊙O中,相交于点E的两弦AB,CD的中点分别是M,N,直线MO与直线CD相交于点F,证明:(1)∠MEN+∠NOM=180°(2)FE•FN=FM•FO.选修4-4:坐标系与方程17.(6分)已知直线l:(t为参数).以坐标原点为极点,x轴的正半轴为极轴建立极坐标系,曲线C的坐标方程为ρ=2cosθ.(1)将曲线C的极坐标方程化为直坐标方程;(2)设点M的直角坐标为(5,),直线l与曲线C的交点为A,B,求|MA|•|MB|的值.选修4-5:不等式选讲18.设a>0,b>0,且a+b=+.证明:(ⅰ)a+b≥2;(ⅱ)a2+a<2与b2+b<2不可能同时成立.19.设△ABC的内角A、B、C的对边分别为a、b、c,a=btanA,且B为钝角.(Ⅰ)证明:B﹣A=;(Ⅱ)求sinA+sinC的取值范围.20.某商场举行有奖促销活动,顾客购买一定金额商品后即可抽奖,每次抽奖都从装有4个红球、6个白球的甲箱和装有5个红球、5个白球的乙箱中,各随机摸出1个球,在摸出的2个球中,若都是红球,则获一等奖,若只有1个红球,则获二等奖;若没有红球,则不获奖.(1)求顾客抽奖1次能获奖的概率;(2)若某顾客有3次抽奖机会,记该顾客在3次抽奖中获一等奖的次数为X,求X的分布列和数学期望.21.如图,已知四棱台ABCD﹣A1B1C1D1的上、下底面分别是边长为3和6的正方形,AA1=6,且AA1⊥底面ABCD,点P、Q分别在棱DD1、BC上.(1)若P是DD1的中点,证明:AB1⊥PQ;(2)若PQ∥平面ABB1A1,二面角P﹣QD﹣A的余弦值为,求四面体ADPQ的体积.22.(13分)已知抛物线C1:x2=4y的焦点F也是椭圆C2:+=1(a>b>0)的一个焦点.C1与C2的公共弦长为2.(Ⅰ)求C2的方程;(Ⅱ)过点F的直线l与C1相交于A、B两点,与C2相交于C、D两点,且与同向.(ⅰ)若|AC|=|BD|,求直线l的斜率;(ⅱ)设C1在点A处的切线与x轴的交点为M,证明:直线l绕点F旋转时,△MFD总是钝角三角形.23.(13分)已知a>0,函数f(x)=e ax sinx(x∈[0,+∞]).记x n为f(x)的从小到大的第n(n∈N*)个极值点.证明:(Ⅰ)数列{f(x n)}是等比数列;(Ⅱ)若a≥,则对一切n∈N*,x n<|f(x n)|恒成立.2015年湖南省高考数学试卷(理科)参考答案与试题解析一、选择题,共10小题,每小题5分,共50分1.(5分)(2015•湖南)已知=1+i(i为虚数单位),则复数z=()A.1+i B.1﹣i C.﹣1+i D.﹣1﹣i【分析】由条件利用两个复数代数形式的乘除法法则,求得z的值.【解答】解:∵已知=1+i(i为虚数单位),∴z===﹣1﹣i,故选:D.【点评】本题主要考查两个复数代数形式的乘除法法则的应用,属于基础题.2.(5分)(2015•湖南)设A、B是两个集合,则“A∩B=A”是“A⊆B”的()A.充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件【分析】直接利用两个集合的交集,判断两个集合的关系,判断充要条件即可.【解答】解:A、B是两个集合,则“A∩B=A”可得“A⊆B”,“A⊆B”,可得“A∩B=A”.所以A、B是两个集合,则“A∩B=A”是“A⊆B”的充要条件.故选:C.【点评】本题考查充要条件的判断与应用,集合的交集的求法,基本知识的应用.3.(5分)(2015•湖南)执行如图所示的程序框图,如果输入n=3,则输出的S=()A.B.C.D.【分析】列出循环过程中S与i的数值,满足判断框的条件即可结束循环.【解答】解:判断前i=1,n=3,s=0,第1次循环,S=,i=2,第2次循环,S=,i=3,第3次循环,S=,i=4,此时,i>n,满足判断框的条件,结束循环,输出结果:S===故选:B【点评】本题考查循环框图的应用,注意判断框的条件的应用,考查计算能力4.(5分)(2015•湖南)若变量x、y满足约束条件,则z=3x﹣y的最小值为()A.﹣7 B.﹣1 C.1 D.2【分析】由约束条件作出可行域,由图得到最优解,求出最优解的坐标,数形结合得答案.【解答】解:由约束条件作出可行域如图,由图可知,最优解为A,联立,解得C(0,﹣1).由解得A(﹣2,1),由,解得B(1,1)∴z=3x﹣y的最小值为3×(﹣2)﹣1=﹣7.故选:A.【点评】本题考查了简单的线性规划,考查了数形结合的解题思想方法,是中档题.易错点是图形中的B点.5.(5分)(2015•湖南)设函数f(x)=ln(1+x)﹣ln(1﹣x),则f(x)是()A.奇函数,且在(0,1)上是增函数B.奇函数,且在(0,1)上是减函数C.偶函数,且在(0,1)上是增函数D.偶函数,且在(0,1)上是减函数【分析】求出好的定义域,判断函数的奇偶性,以及函数的单调性推出结果即可.【解答】解:函数f(x)=ln(1+x)﹣ln(1﹣x),函数的定义域为(﹣1,1),函数f(﹣x)=ln(1﹣x)﹣ln(1+x)=﹣[ln(1+x)﹣ln(1﹣x)]=﹣f(x),所以函数是奇函数.排除C,D,正确结果在A,B,只需判断特殊值的大小,即可推出选项,x=0时,f(0)=0;x=时,f()=ln(1+)﹣ln(1﹣)=ln3>1,显然f(0)<f(),函数是增函数,所以B错误,A正确.故选:A.【点评】本题考查函数的奇偶性以及函数的单调性的判断与应用,考查计算能力.6.(5分)(2015•湖南)已知(﹣)5的展开式中含x的项的系数为30,则a=()A.B.﹣C.6 D.﹣6【分析】根据所给的二项式,利用二项展开式的通项公式写出第r+1项,整理成最简形式,令x的指数为求得r,再代入系数求出结果.【解答】解:根据所给的二项式写出展开式的通项,T r+1==;展开式中含x的项的系数为30,∴,∴r=1,并且,解得a=﹣6.故选:D.【点评】本题考查二项式定理的应用,本题解题的关键是正确写出二项展开式的通项,在这种题目中通项是解决二项展开式的特定项问题的工具.7.(5分)(2015•湖南)在如图所示的正方形中随机投掷10000个点,则落入阴影部分(曲线C为正态分布N(0,1)的密度曲线)的点的个数的估计值为()附“若X﹣N=(μ,a2),则P(μ﹣σ<X≤μ+σ)=0.6826.p(μ﹣2σ<X≤μ+2σ)=0.9544.A.2386 B.2718 C.3413 D.4772【分析】求出P(0<X≤1)=×0.6826=0.3413,即可得出结论.【解答】解:由题意P(0<X≤1)=×0.6826=0.3413,∴落入阴影部分点的个数的估计值为10000×0.3413=3413,故选:C.【点评】本题考查正态分布曲线的特点及曲线所表示的意义,考查正态分布中两个量μ和σ的应用,考查曲线的对称性,属于基础题.8.(5分)(2015•湖南)已知A,B,C在圆x2+y2=1上运动,且AB⊥BC,若点P 的坐标为(2,0),则||的最大值为()A.6 B.7 C.8 D.9【分析】由题意,AC为直径,所以||=|2+|.B为(﹣1,0)时,|2+|≤7,即可得出结论.【解答】解:由题意,AC为直径,所以||=|2+|所以B为(﹣1,0)时,|2+|≤7.所以||的最大值为7.故选:B.【点评】本题考查向量知识的运用,考查学生分析解决问题的能力,比较基础.9.(5分)(2015•湖南)将函数f(x)=sin2x的图象向右平移φ(0<φ<)个单位后得到函数g(x)的图象.若对满足|f(x1)﹣g(x2)|=2的x1、x2,有|x1﹣x2|min=,则φ=()A. B.C.D.【分析】利用三角函数的最值,求出自变量x1,x2的值,然后判断选项即可.【解答】解:因为将函数f(x)=sin2x的周期为π,函数的图象向右平移φ(0<φ<)个单位后得到函数g(x)的图象.若对满足|f(x1)﹣g(x2)|=2的可知,两个函数的最大值与最小值的差为2,有|x1﹣x2|min=,不妨x1=,x2=,即g(x)在x2=,取得最小值,sin(2×﹣2φ)=﹣1,此时φ=,不合题意,x1=,x2=,即g(x)在x2=,取得最大值,sin(2×﹣2φ)=1,此时φ=,满足题意.故选:D.【点评】本题考查三角函数的图象平移,函数的最值以及函数的周期的应用,考查分析问题解决问题的能力,是好题,题目新颖.有一定难度,选择题,可以回代验证的方法快速解答.10.(5分)(2015•湖南)某工件的三视图如图所示.现将该工件通过切削,加工成一个体积尽可能大的长方体新工件,并使新工件的一个面落在原工件的一个面内,则原工件材料的利用率为(材料利用率=)()A. B. C.D.【分析】根据三视图可判断其为圆锥,底面半径为1,高为2,求解体积.利用几何体的性质得出此长方体底面边长为n的正方形,高为x,利用轴截面的图形可判断得出n=(1﹣),0<x<2,求解体积式子,利用导数求解即可,最后利用几何概率求解即.【解答】解:根据三视图可判断其为圆锥,∵底面半径为1,高为2,∴V=×2=∵加工成一个体积尽可能大的长方体新工件,∴此长方体底面边长为n的正方形,高为x,∴根据轴截面图得出:=,解得;n=(1﹣),0<x<2,∴长方体的体积Ω=2(1﹣)2x,Ω′=x2﹣4x+2,∵,Ω′=x2﹣4x+2=0,x=,x=2,∴可判断(0,)单调递增,(,2)单调递减,Ω最大值=2(1﹣)2×=,∴原工件材料的利用率为=×=,故选:A【点评】本题很是新颖,知识点融合的很好,把立体几何,导数,概率都相应的考查了,综合性强,属于难题.二、填空题,共5小题,每小题5分,共25分11.(5分)(2015•湖南)(x﹣1)dx=0.【分析】求出被积函数的原函数,代入上限和下限求值.【解答】解:(x﹣1)dx=(﹣x)|=0;故答案为:0.【点评】本题考查了定积分的计算;关键是求出被积函数的原函数.12.(5分)(2015•湖南)在一次马拉松比赛中,35名运动员的成绩(单位:分钟)的茎叶图如图所示.若将运动员成绩由好到差编号为1﹣35号,再用系统抽样方法从中抽取7人,则其中成绩在区间[139,151]上的运动员人数是4.【分析】根据茎叶图中的数据,结合系统抽样方法的特征,即可求出正确的结论.【解答】解:根据茎叶图中的数据,得;成绩在区间[139,151]上的运动员人数是20,用系统抽样方法从35人中抽取7人,成绩在区间[139,151]上的运动员应抽取7×=4(人).故答案为:4.【点评】本题考查了茎叶图的应用问题,也考查了系统抽样方法的应用问题,是基础题目.13.(5分)(2015•湖南)设F是双曲线C:﹣=1的一个焦点.若C上存在点P,使线段PF的中点恰为其虚轴的一个端点,则C的离心率为.【分析】设F(c,0),P(m,n),(m<0),设PF的中点为M(0,b),即有m=﹣c,n=2b,将中点M的坐标代入双曲线方程,结合离心率公式,计算即可得到.【解答】解:设F(c,0),P(m,n),(m<0),设PF的中点为M(0,b),即有m=﹣c,n=2b,将点(﹣c,2b)代入双曲线方程可得,﹣=1,可得e2==5,解得e=.故答案为:.【点评】本题考查双曲线的方程和性质,主要考查双曲线的离心率的求法,同时考查中点坐标公式的运用,属于中档题.14.(5分)(2015•湖南)设S n为等比数列{a n}的前n项和,若a1=1,且3S1,2S2,S3成等差数列,则a n=3n﹣1.【分析】利用已知条件列出方程求出公比,然后求解等比数列的通项公式.【解答】解:设等比数列的公比为q,S n为等比数列{a n}的前n项和,若a1=1,且3S1,2S2,S3成等差数列,可得4S2=S3+3S1,a1=1,即4(1+q)=1+q+q2+3,q=3.∴a n=3n﹣1.故答案为:3n﹣1.【点评】本题考查等差数列以及等比数列的应用,基本知识的考查.15.(5分)(2015•湖南)已知函数f(x)=若存在实数b,使函数g(x)=f(x)﹣b有两个零点,则a的取值范围是{a|a<0或a>1} .【分析】由g(x)=f(x)﹣b有两个零点可得f(x)=b有两个零点,即y=f(x)与y=b的图象有两个交点,则函数在定义域内不能是单调函数,结合函数图象可求a的范围【解答】解:∵g(x)=f(x)﹣b有两个零点,∴f(x)=b有两个零点,即y=f(x)与y=b的图象有两个交点,由x3=x2可得,x=0或x=1①当a>1时,函数f(x)的图象如图所示,此时存在b,满足题意,故a>1满足题意②当a=1时,由于函数f(x)在定义域R上单调递增,故不符合题意③当0<a<1时,函数f(x)单调递增,故不符合题意④a=0时,f(x)单调递增,故不符合题意⑤当a<0时,函数y=f(x)的图象如图所示,此时存在b使得,y=f(x)与y=b 有两个交点综上可得,a<0或a>1故答案为:{a|a<0或a>1}【点评】本题考察了函数的零点问题,渗透了转化思想,数形结合、分类讨论的数学思想.三、简答题,共1小题,共75分,16、17、18为选修题,任选两小题作答,如果全做,则按前两题计分选修4-1:几何证明选讲16.(6分)(2015•湖南)如图,在⊙O中,相交于点E的两弦AB,CD的中点分别是M,N,直线MO与直线CD相交于点F,证明:(1)∠MEN+∠NOM=180°(2)FE•FN=FM•FO.【分析】(1)证明O,M,E,N四点共圆,即可证明∠MEN+∠NOM=180°(2)证明△FEM∽△FON,即可证明FE•FN=FM•FO.【解答】证明:(1)∵N为CD的中点,∴ON⊥CD,∵M为AB的中点,∴OM⊥AB,在四边形OMEN中,∴∠OME+∠ONE=90°+90°=180°,∴O,M,E,N四点共圆,∴∠MEN+∠NOM=180°(2)在△FEM与△FON中,∠F=∠F,∠FME=∠FNO=90°,∴△FEM∽△FON,∴=∴FE•FN=FM•FO.【点评】本题考查垂径定理,考查三角形相似的判定与应用,考查学生分析解决问题的能力,比较基础.选修4-4:坐标系与方程17.(6分)(2015•湖南)已知直线l:(t为参数).以坐标原点为极点,x轴的正半轴为极轴建立极坐标系,曲线C的坐标方程为ρ=2cosθ.(1)将曲线C的极坐标方程化为直坐标方程;(2)设点M的直角坐标为(5,),直线l与曲线C的交点为A,B,求|MA|•|MB|的值.【分析】(1)曲线的极坐标方程即ρ2=2ρcosθ,根据极坐标和直角坐标的互化公式得x2+y2=2x,即得它的直角坐标方程;(2)直线l的方程化为普通方程,利用切割线定理可得结论.【解答】解:(1)∵ρ=2cosθ,∴ρ2=2ρcosθ,∴x2+y2=2x,故它的直角坐标方程为(x﹣1)2+y2=1;(2)直线l:(t为参数),普通方程为,(5,)在直线l上,过点M作圆的切线,切点为T,则|MT|2=(5﹣1)2+3﹣1=18,由切割线定理,可得|MT|2=|MA|•|MB|=18.【点评】本题主要考查把极坐标方程化为直角坐标方程的方法,属于基础题.选修4-5:不等式选讲18.(2015•湖南)设a>0,b>0,且a+b=+.证明:(ⅰ)a+b≥2;(ⅱ)a2+a<2与b2+b<2不可能同时成立.【分析】(ⅰ)由a>0,b>0,结合条件可得ab=1,再由基本不等式,即可得证;(ⅱ)运用反证法证明.假设a2+a<2与b2+b<2可能同时成立.结合条件a>0,b>0,以及二次不等式的解法,可得0<a<1,且0<b<1,这与ab=1矛盾,即可得证.【解答】证明:(ⅰ)由a>0,b>0,则a+b=+=,由于a+b>0,则ab=1,即有a+b≥2=2,当且仅当a=b取得等号.则a+b≥2;(ⅱ)假设a2+a<2与b2+b<2可能同时成立.由a2+a<2及a>0,可得0<a<1,由b2+b<2及b>0,可得0<b<1,这与ab=1矛盾.a2+a<2与b2+b<2不可能同时成立.【点评】本题考查不等式的证明,主要考查基本不等式的运用和反证法证明不等式的方法,属于中档题.19.(2015•湖南)设△ABC的内角A、B、C的对边分别为a、b、c,a=btanA,且B为钝角.(Ⅰ)证明:B﹣A=;(Ⅱ)求sinA+sinC的取值范围.【分析】(Ⅰ)由题意和正弦定理可得sinB=cosA,由角的范围和诱导公式可得;(Ⅱ)由题意可得A∈(0,),可得0<sinA<,化简可得sinA+sinC=﹣2(sinA﹣)2+,由二次函数区间的最值可得.【解答】解:(Ⅰ)由a=btanA和正弦定理可得==,∴sinB=cosA,即sinB=sin(+A)又B为钝角,∴+A∈(,π),∴B=+A,∴B﹣A=;(Ⅱ)由(Ⅰ)知C=π﹣(A+B)=π﹣(A++A)=﹣2A>0,∴A∈(0,),∴sinA+sinC=sinA+sin(﹣2A)=sinA+cos2A=sinA+1﹣2sin2A=﹣2(sinA﹣)2+,∵A∈(0,),∴0<sinA<,∴由二次函数可知<﹣2(sinA﹣)2+≤∴sinA+sinC的取值范围为(,]【点评】本题考查正弦定理和三角函数公式的应用,涉及二次函数区间的最值,属基础题.20.(2015•湖南)某商场举行有奖促销活动,顾客购买一定金额商品后即可抽奖,每次抽奖都从装有4个红球、6个白球的甲箱和装有5个红球、5个白球的乙箱中,各随机摸出1个球,在摸出的2个球中,若都是红球,则获一等奖,若只有1个红球,则获二等奖;若没有红球,则不获奖.(1)求顾客抽奖1次能获奖的概率;(2)若某顾客有3次抽奖机会,记该顾客在3次抽奖中获一等奖的次数为X,求X的分布列和数学期望.【分析】(1)记事件A1={从甲箱中摸出一个球是红球},事件A2={从乙箱中摸出一个球是红球},事件B1={顾客抽奖1次获一等奖},事件A2={顾客抽奖1次获二等奖},事件C={顾客抽奖1次能获奖},利用A 1,A2相互独立,,互斥,B1,B2互斥,然后求出所求概率即可.(2)顾客抽奖1次可视为3次独立重复试验,判断X~B.求出概率,得到X的分布列,然后求解期望.【解答】解:(1)记事件A1={从甲箱中摸出一个球是红球},事件A2={从乙箱中摸出一个球是红球},事件B1={顾客抽奖1次获一等奖},事件B2={顾客抽奖1次获二等奖},事件C={顾客抽奖1次能获奖},由题意A 1,A2相互独立,,互斥,B 1,B2互斥,且B1=A1A2,B2=+,C=B1+B2,因为P(A1)=,P(A2)=,所以,P(B1)=P(A1)P(A2)==,P(B2)=P()+P()=+==,故所求概率为:P(C)=P(B1+B2)=P(B1)+P(B2)=.(2)顾客抽奖1次可视为3次独立重复试验,由(1)可知,顾客抽奖1次获一等奖的概率为:所以.X~B.于是,P(X=0)==,P(X=1)==,P(X=2)==,P(X=3)==.故X的分布列为:X0123PE(X)=3×=.【点评】期望是概率论和数理统计的重要概念之一,是反映随机变量取值分布的特征数,学习期望将为今后学习概率统计知识做铺垫,它在市场预测,经济统计,风险与决策等领域有着广泛的应用,为今后学习数学及相关学科产生深远的影响.21.(2015•湖南)如图,已知四棱台ABCD﹣A1B1C1D1的上、下底面分别是边长为3和6的正方形,AA1=6,且AA1⊥底面ABCD,点P、Q分别在棱DD1、BC上.(1)若P是DD1的中点,证明:AB1⊥PQ;(2)若PQ∥平面ABB1A1,二面角P﹣QD﹣A的余弦值为,求四面体ADPQ的体积.【分析】(1)首先以A为原点,AB,AD,AA1所在直线分别为x,y,z轴,建立空间直角坐标系,求出一些点的坐标,Q在棱BC上,从而可设Q(6,y1,0),只需求即可;(2)设P(0,y2,z2),根据P在棱DD1上,从而由即可得到z2=12﹣2y2,从而表示点P坐标为P(0,y2,12﹣2y2).由PQ∥平面ABB1A1便知道与平面ABB1A1的法向量垂直,从而得出y1=y2,从而Q点坐标变成Q(6,y2,0),设平面PQD的法向量为,根据即可表示,平面AQD的一个法向量为,从而由即可求出y2,从而得出P点坐标,从而求出三棱锥P﹣AQD的高,而四面体ADPQ 的体积等于三棱锥P﹣AQD的体积,从而求出四面体的体积.【解答】解:根据已知条件知AB,AD,AA1三直线两两垂直,所以分别以这三直线为x,y,z轴,建立如图所示空间直角坐标系,则:A(0,0,0),B(6,0,0),D(0,6,0),A1(0,0,6),B1(3,0,6),D1(0,3,6);Q在棱BC上,设Q(6,y1,0),0≤y1≤6;∴(1)证明:若P是DD1的中点,则P;∴,;∴;∴;∴AB1⊥PQ;(2)设P(0,y2,z2),y2,z2∈[0,6],P在棱DD1上;∴,0≤λ≤1;∴(0,y2﹣6,z2)=λ(0,﹣3,6);∴;∴z2=12﹣2y2;∴P(0,y2,12﹣2y2);∴;平面ABB1A1的一个法向量为;∵PQ∥平面ABB1A1;∴=6(y1﹣y2)=0;∴y1=y2;∴Q(6,y2,0);设平面PQD的法向量为,则:;∴,取z=1,则;又平面AQD的一个法向量为;又二面角P﹣QD﹣A的余弦值为;∴;解得y2=4,或y2=8(舍去);∴P(0,4,4);∴三棱锥P﹣ADQ的高为4,且;∴V四面体ADPQ =V三棱锥P﹣ADQ=.【点评】考查建立空间直角坐标系,利用空间向量解决异面直线垂直及线面角问题的方法,共线向量基本定理,直线和平面平行时,直线和平面法向量的关系,平面法向量的概念,以及两平面法向量的夹角和平面二面角大小的关系,三棱锥的体积公式.22.(13分)(2015•湖南)已知抛物线C1:x2=4y的焦点F也是椭圆C2:+=1(a>b>0)的一个焦点.C1与C2的公共弦长为2.(Ⅰ)求C2的方程;(Ⅱ)过点F的直线l与C1相交于A、B两点,与C2相交于C、D两点,且与同向.(ⅰ)若|AC|=|BD|,求直线l的斜率;(ⅱ)设C1在点A处的切线与x轴的交点为M,证明:直线l绕点F旋转时,△MFD总是钝角三角形.【分析】(Ⅰ)根据两个曲线的焦点相同,得到a2﹣b2=1,再根据C1与C2的公共弦长为2,得到=1,解得即可求出;(Ⅱ)设出点的坐标,(ⅰ)根据向量的关系,得到(x1+x2)2﹣4x1x2=(x3+x4)2﹣4x3x4,设直线l的方程,分别与C1,C2构成方程组,利用韦达定理,分别代入得到关于k的方程,解得即可;(ⅱ)根据导数的几何意义得到C1在点A处的切线方程,求出点M的坐标,利用向量的乘积∠AFM是锐角,问题得以证明.【解答】解:(Ⅰ)抛物线C1:x2=4y的焦点F的坐标为(0,1),因为F也是椭圆C2的一个焦点,∴a2﹣b2=1,①,又C1与C2的公共弦长为2,C1与C2的都关于y轴对称,且C1的方程为x2=4y,由此易知C1与C2的公共点的坐标为(±,),所以=1,②,联立①②得a2=9,b2=8,故C2的方程为+=1.(Ⅱ)设A(x1,y1),B(x2,y2),C(x3,y3),D(x4,y4),(ⅰ)因为与同向,且|AC|=|BD|,所以=,从而x3﹣x1=x4﹣x2,即x1﹣x2=x3﹣x4,于是(x1+x2)2﹣4x1x2=(x3+x4)2﹣4x3x4,③设直线的斜率为k,则l的方程为y=kx+1,由,得x2﹣4kx﹣4=0,而x1,x2是这个方程的两根,所以x1+x2=4k,x1x2=﹣4,④由,得(9+8k2)x2+16kx﹣64=0,而x3,x4是这个方程的两根,所以x3+x4=,x3x4=﹣,⑤将④⑤代入③,得16(k2+1)=+,即16(k2+1)=,所以(9+8k2)2=16×9,解得k=±.(ⅱ)由x2=4y得y′=x,所以C1在点A处的切线方程为y﹣y1=x1(x﹣x1),即y=x1x﹣x12,令y=0,得x=x1,M(x1,0),所以=(x1,﹣1),而=(x1,y1﹣1),于是•=x12﹣y1+1=x12+1>0,因此∠AFM是锐角,从而∠MFD=180°﹣∠AFM是钝角,故直线l绕点F旋转时,△MFD总是钝角三角形.【点评】本题考查了圆锥曲线的和直线的位置与关系,关键是联立方程,构造方程,利用韦达定理,以及向量的关系,得到关于k的方程,计算量大,属于难题.23.(13分)(2015•湖南)已知a>0,函数f(x)=e ax sinx(x∈[0,+∞]).记x n为f(x)的从小到大的第n(n∈N*)个极值点.证明:(Ⅰ)数列{f(x n)}是等比数列;(Ⅱ)若a≥,则对一切n∈N*,x n<|f(x n)|恒成立.【分析】(Ⅰ)求出导数,运用两角和的正弦公式化简,求出导数为0的根,讨论根附近的导数的符号相反,即可得到极值点,求得极值,运用等比数列的定义即可得证;(Ⅱ)由sinφ=,可得对一切n∈N*,x n<|f(x n)|恒成立.即为nπ﹣φ<e a(nπ﹣φ)恒成立⇔<,①设g(t)=(t>0),求出导数,求得最小值,由恒成立思想即可得证.【解答】证明:(Ⅰ)f′(x)=e ax(asinx+cosx)=•e ax sin(x+φ),tanφ=,0<φ<,令f′(x)=0,由x≥0,x+φ=mπ,即x=mπ﹣φ,m∈N*,对k∈N,若(2k+1)π<x+φ<(2k+2)π,即(2k+1)π﹣φ<x<(2k+2)π﹣φ,则f′(x)<0,因此在((m﹣1)π﹣φ,mπ﹣φ)和(mπ﹣φ,(m+1)π﹣φ)上f′(x)符号总相反.于是当x=nπ﹣φ,n∈N*,f(x)取得极值,所以x n=nπ﹣φ,n∈N*,此时f(x n)=e a(nπ﹣φ)sin(nπ﹣φ)=(﹣1)n+1e a(nπ﹣φ)sinφ,易知f(x n)≠0,而==﹣e aπ是常数,故数列{f(x n)}是首项为f(x1)=e a(π﹣φ)sinφ,公比为﹣e aπ的等比数列;(Ⅱ)由sinφ=,可得对一切n∈N*,x n<|f(x n)|恒成立.即为nπ﹣φ<e a(nπ﹣φ)恒成立⇔<,①设g(t)=(t>0),g′(t)=,当0<t<1时,g′(t)<0,g(t)递减,当t>1时,g′(t)>0,g(t)递增.t=1时,g(t)取得最小值,且为e.因此要使①恒成立,只需<g(1)=e,只需a>,当a=,tanφ==,且0<φ<,可得<φ<,于是π﹣φ<<,且当n≥2时,nπ﹣φ≥2π﹣φ>>,因此对n∈N*,ax n=≠1,即有g(ax n)>g(1)=e=,故①亦恒成立.综上可得,若a≥,则对一切n∈N*,x n<|f(x n)|恒成立.【点评】本题考查导数的运用:求极值和单调区间,主要考查三角函数的导数和求值,同时考查等比数列的定义和通项公式的运用,考查不等式恒成立问题的证明,属于难题.参与本试卷答题和审题的老师有:caoqz;qiss;吕静;刘长柏;sdpyqzh;changq;742048;双曲线;lincy;wkl197822;whgcn(排名不分先后)菁优网2017年3月17日。

【高考试题】2015年湖南省高考数学试卷(理科)

【高考试题】2015年湖南省高考数学试卷(理科)

【高考试题】2015年湖南省高考数学试卷(理科)一、选择题,共10小题,每小题5分,共50分1.(5分)已知=1+i(i为虚数单位),则复数z=()A.1+i B.1﹣i C.﹣1+i D.﹣1﹣i2.(5分)设A、B是两个集合,则“A∩B=A”是“A⊆B”的()A.充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件3.(5分)执行如图所示的程序框图,如果输入n=3,则输出的S=()A.B.C.D.4.(5分)若变量x、y满足约束条件,则z=3x﹣y的最小值为()A.﹣7 B.﹣1 C.1 D.25.(5分)设函数f(x)=ln(1+x)﹣ln(1﹣x),则f(x)是()A.奇函数,且在(0,1)上是增函数B.奇函数,且在(0,1)上是减函数C.偶函数,且在(0,1)上是增函数D.偶函数,且在(0,1)上是减函数6.(5分)已知(﹣)5的展开式中含x的项的系数为30,则a=()A.B.﹣C.6 D.﹣67.(5分)在如图所示的正方形中随机投掷10000个点,则落入阴影部分(曲线C为正态分布N(0,1)的密度曲线)的点的个数的估计值为()附“若X﹣N=(μ,a2),则P(μ﹣σ<X≤μ+σ)=0.6826.p(μ﹣2σ<X≤μ+2σ)=0.9544.A.2386 B.2718 C.3413 D.47728.(5分)已知A,B,C在圆x2+y2=1上运动,且AB⊥BC,若点P的坐标为(2,0),则||的最大值为()A.6 B.7 C.8 D.99.(5分)将函数f(x)=sin2x的图象向右平移φ(0<φ<)个单位后得到函数g(x)的图象.若对满足|f(x1)﹣g(x2)|=2的x1、x2,有|x1﹣x2|min=,则φ=()A. B.C.D.10.(5分)某工件的三视图如图所示.现将该工件通过切削,加工成一个体积尽可能大的长方体新工件,并使新工件的一个面落在原工件的一个面内,则原工件材料的利用率为(材料利用率=)()A. B. C.D.二、填空题,共5小题,每小题5分,共25分11.(5分)(x﹣1)dx=.12.(5分)在一次马拉松比赛中,35名运动员的成绩(单位:分钟)的茎叶图如图所示.若将运动员成绩由好到差编号为1﹣35号,再用系统抽样方法从中抽取7人,则其中成绩在区间[139,151]上的运动员人数是.13.(5分)设F是双曲线C:﹣=1的一个焦点.若C上存在点P,使线段PF的中点恰为其虚轴的一个端点,则C的离心率为.14.(5分)设S n为等比数列{a n}的前n项和,若a1=1,且3S1,2S2,S3成等差数列,则a n=.15.(5分)已知函数f(x)=若存在实数b,使函数g(x)=f(x)﹣b有两个零点,则a的取值范围是.三、简答题,共1小题,共75分,16、17、18为选修题,任选两小题作答,如果全做,则按前两题计分选修4-1:几何证明选讲16.(6分)如图,在⊙O中,相交于点E的两弦AB,CD的中点分别是M,N,直线MO与直线CD相交于点F,证明:(1)∠MEN+∠NOM=180°(2)FE•FN=FM•FO.选修4-4:坐标系与方程17.(6分)已知直线l:(t为参数).以坐标原点为极点,x轴的正半轴为极轴建立极坐标系,曲线C的坐标方程为ρ=2cosθ.(1)将曲线C的极坐标方程化为直坐标方程;(2)设点M的直角坐标为(5,),直线l与曲线C的交点为A,B,求|MA|•|MB|的值.选修4-5:不等式选讲18.设a>0,b>0,且a+b=+.证明:(ⅰ)a+b≥2;(ⅱ)a2+a<2与b2+b<2不可能同时成立.七、标题19.设△ABC的内角A、B、C的对边分别为a、b、c,a=btanA,且B为钝角.(Ⅰ)证明:B﹣A=;(Ⅱ)求sinA+sinC的取值范围.20.某商场举行有奖促销活动,顾客购买一定金额商品后即可抽奖,每次抽奖都从装有4个红球、6个白球的甲箱和装有5个红球、5个白球的乙箱中,各随机摸出1个球,在摸出的2个球中,若都是红球,则获一等奖,若只有1个红球,则获二等奖;若没有红球,则不获奖.(1)求顾客抽奖1次能获奖的概率;(2)若某顾客有3次抽奖机会,记该顾客在3次抽奖中获一等奖的次数为X,求X的分布列和数学期望.21.如图,已知四棱台ABCD﹣A1B1C1D1的上、下底面分别是边长为3和6的正方形,AA1=6,且AA1⊥底面ABCD,点P、Q分别在棱DD1、BC上.(1)若P是DD1的中点,证明:AB1⊥PQ;(2)若PQ∥平面ABB1A1,二面角P﹣QD﹣A的余弦值为,求四面体ADPQ的体积.22.(13分)已知抛物线C1:x2=4y的焦点F也是椭圆C2:+=1(a>b>0)的一个焦点.C1与C2的公共弦长为2.(Ⅰ)求C2的方程;(Ⅱ)过点F的直线l与C1相交于A、B两点,与C2相交于C、D两点,且与同向.(1)若|AC|=|BD|,求直线l的斜率;(2)设C1在点A处的切线与x轴的交点为M,证明:直线l绕点F旋转时,△MFD总是钝角三角形.23.(13分)已知a>0,函数f(x)=e ax sinx(x∈[0,+∞]).记x n为f(x)的从小到大的第n(n∈N*)个极值点.证明:(Ⅰ)数列{f(x n)}是等比数列;(Ⅱ)若a≥,则对一切n∈N*,x n<|f(x n)|恒成立.。

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2015年湖南省高考数学试卷(理科)一、选择题,共10小题,每小题5分,共50分1.(5分)已知=1+i(i为虚数单位),则复数z=()A.1+i B.1﹣i C.﹣1+i D.﹣1﹣i2.(5分)设A、B是两个集合,则“A∩B=A”是“A⊆B”的()A.充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件3.(5分)执行如图所示的程序框图,如果输入n=3,则输出的S=()A.B.C.D.4.(5分)若变量x、y满足约束条件,则z=3x﹣y的最小值为()A.﹣7 B.﹣1 C.1 D.25.(5分)设函数f(x)=ln(1+x)﹣ln(1﹣x),则f(x)是()A.奇函数,且在(0,1)上是增函数B.奇函数,且在(0,1)上是减函数C.偶函数,且在(0,1)上是增函数D.偶函数,且在(0,1)上是减函数6.(5分)已知(﹣)5的展开式中含x的项的系数为30,则a=()A.B.﹣C.6 D.﹣67.(5分)在如图所示的正方形中随机投掷10000个点,则落入阴影部分(曲线C为正态分布N(0,1)的密度曲线)的点的个数的估计值为()附“若X﹣N=(μ,a2),则P(μ﹣σ<X≤μ+σ)=0.6826.p(μ﹣2σ<X≤μ+2σ)=0.9544.A.2386 B.2718 C.3413 D.47728.(5分)已知A,B,C在圆x2+y2=1上运动,且AB⊥BC,若点P的坐标为(2,0),则||的最大值为()A.6 B.7 C.8 D.99.(5分)将函数f(x)=sin2x的图象向右平移φ(0<φ<)个单位后得到函数g(x)的图象.若对满足|f(x1)﹣g(x2)|=2的x1、x2,有|x1﹣x2|min=,则φ=()A. B.C.D.10.(5分)某工件的三视图如图所示.现将该工件通过切削,加工成一个体积尽可能大的长方体新工件,并使新工件的一个面落在原工件的一个面内,则原工件材料的利用率为(材料利用率=)()A. B. C.D.二、填空题,共5小题,每小题5分,共25分11.(5分)(x﹣1)dx=.12.(5分)在一次马拉松比赛中,35名运动员的成绩(单位:分钟)的茎叶图如图所示.若将运动员成绩由好到差编号为1﹣35号,再用系统抽样方法从中抽取7人,则其中成绩在区间[139,151]上的运动员人数是.13.(5分)设F是双曲线C:﹣=1的一个焦点.若C上存在点P,使线段PF的中点恰为其虚轴的一个端点,则C的离心率为.14.(5分)设S n为等比数列{a n}的前n项和,若a1=1,且3S1,2S2,S3成等差数列,则a n=.15.(5分)已知函数f(x)=若存在实数b,使函数g(x)=f(x)﹣b有两个零点,则a的取值范围是.三、简答题,共1小题,共75分,16、17、18为选修题,任选两小题作答,如果全做,则按前两题计分选修4-1:几何证明选讲16.(6分)如图,在⊙O中,相交于点E的两弦AB,CD的中点分别是M,N,直线MO与直线CD相交于点F,证明:(1)∠MEN+∠NOM=180°(2)FE•FN=FM•FO.选修4-4:坐标系与方程17.(6分)已知直线l:(t为参数).以坐标原点为极点,x轴的正半轴为极轴建立极坐标系,曲线C的坐标方程为ρ=2cosθ.(1)将曲线C的极坐标方程化为直坐标方程;(2)设点M的直角坐标为(5,),直线l与曲线C的交点为A,B,求|MA|•|MB|的值.选修4-5:不等式选讲18.设a>0,b>0,且a+b=+.证明:(ⅰ)a+b≥2;(ⅱ)a2+a<2与b2+b<2不可能同时成立.七、标题19.设△ABC的内角A、B、C的对边分别为a、b、c,a=btanA,且B为钝角.(Ⅰ)证明:B﹣A=;(Ⅱ)求sinA+sinC的取值范围.20.某商场举行有奖促销活动,顾客购买一定金额商品后即可抽奖,每次抽奖都从装有4个红球、6个白球的甲箱和装有5个红球、5个白球的乙箱中,各随机摸出1个球,在摸出的2个球中,若都是红球,则获一等奖,若只有1个红球,则获二等奖;若没有红球,则不获奖.(1)求顾客抽奖1次能获奖的概率;(2)若某顾客有3次抽奖机会,记该顾客在3次抽奖中获一等奖的次数为X,求X的分布列和数学期望.21.如图,已知四棱台ABCD﹣A1B1C1D1的上、下底面分别是边长为3和6的正方形,AA1=6,且AA1⊥底面ABCD,点P、Q分别在棱DD1、BC上.(1)若P是DD1的中点,证明:AB1⊥PQ;(2)若PQ∥平面ABB1A1,二面角P﹣QD﹣A的余弦值为,求四面体ADPQ的体积.22.(13分)已知抛物线C1:x2=4y的焦点F也是椭圆C2:+=1(a>b>0)的一个焦点.C1与C2的公共弦长为2.(Ⅰ)求C2的方程;(Ⅱ)过点F的直线l与C1相交于A、B两点,与C2相交于C、D两点,且与同向.(1)若|AC|=|BD|,求直线l的斜率;(2)设C1在点A处的切线与x轴的交点为M,证明:直线l绕点F旋转时,△MFD总是钝角三角形.23.(13分)已知a>0,函数f(x)=e ax sinx(x∈[0,+∞]).记x n为f(x)的从小到大的第n(n∈N*)个极值点.证明:(Ⅰ)数列{f(x n)}是等比数列;(Ⅱ)若a≥,则对一切n∈N*,x n<|f(x n)|恒成立.2015年湖南省高考数学试卷(理科)参考答案与试题解析一、选择题,共10小题,每小题5分,共50分1.(5分)已知=1+i(i为虚数单位),则复数z=()A.1+i B.1﹣i C.﹣1+i D.﹣1﹣i【分析】由条件利用两个复数代数形式的乘除法法则,求得z的值.【解答】解:∵已知=1+i(i为虚数单位),∴z===﹣1﹣i,故选:D.【点评】本题主要考查两个复数代数形式的乘除法法则的应用,属于基础题.2.(5分)设A、B是两个集合,则“A∩B=A”是“A⊆B”的()A.充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件【分析】直接利用两个集合的交集,判断两个集合的关系,判断充要条件即可.【解答】解:A、B是两个集合,则“A∩B=A”可得“A⊆B”,“A⊆B”,可得“A∩B=A”.所以A、B是两个集合,则“A∩B=A”是“A⊆B”的充要条件.故选:C.【点评】本题考查充要条件的判断与应用,集合的交集的求法,基本知识的应用.3.(5分)执行如图所示的程序框图,如果输入n=3,则输出的S=()A.B.C.D.【分析】列出循环过程中S与i的数值,满足判断框的条件即可结束循环.【解答】解:判断前i=1,n=3,s=0,第1次循环,S=,i=2,第2次循环,S=,i=3,第3次循环,S=,i=4,此时,i>n,满足判断框的条件,结束循环,输出结果:S===故选:B.【点评】本题考查循环框图的应用,注意判断框的条件的应用,考查计算能力4.(5分)若变量x、y满足约束条件,则z=3x﹣y的最小值为()A.﹣7 B.﹣1 C.1 D.2【分析】由约束条件作出可行域,由图得到最优解,求出最优解的坐标,数形结合得答案.【解答】解:由约束条件作出可行域如图,由图可知,最优解为A,联立,解得C(0,﹣1).由解得A(﹣2,1),由,解得B(1,1)∴z=3x﹣y的最小值为3×(﹣2)﹣1=﹣7.故选:A.【点评】本题考查了简单的线性规划,考查了数形结合的解题思想方法,是中档题.易错点是图形中的B点.5.(5分)设函数f(x)=ln(1+x)﹣ln(1﹣x),则f(x)是()A.奇函数,且在(0,1)上是增函数B.奇函数,且在(0,1)上是减函数C.偶函数,且在(0,1)上是增函数D.偶函数,且在(0,1)上是减函数【分析】求出好的定义域,判断函数的奇偶性,以及函数的单调性推出结果即可.【解答】解:函数f(x)=ln(1+x)﹣ln(1﹣x),函数的定义域为(﹣1,1),函数f(﹣x)=ln(1﹣x)﹣ln(1+x)=﹣[ln(1+x)﹣ln(1﹣x)]=﹣f(x),所以函数是奇函数.排除C,D,正确结果在A,B,只需判断特殊值的大小,即可推出选项,x=0时,f(0)=0;x=时,f()=ln(1+)﹣ln(1﹣)=ln3>1,显然f(0)<f(),函数是增函数,所以B错误,A正确.故选:A.【点评】本题考查函数的奇偶性以及函数的单调性的判断与应用,考查计算能力.6.(5分)已知(﹣)5的展开式中含x的项的系数为30,则a=()A.B.﹣C.6 D.﹣6【分析】根据所给的二项式,利用二项展开式的通项公式写出第r+1项,整理成最简形式,令x的指数为求得r,再代入系数求出结果.【解答】解:根据所给的二项式写出展开式的通项,T r+1==;展开式中含x的项的系数为30,∴,∴r=1,并且,解得a=﹣6.故选:D.【点评】本题考查二项式定理的应用,本题解题的关键是正确写出二项展开式的通项,在这种题目中通项是解决二项展开式的特定项问题的工具.7.(5分)在如图所示的正方形中随机投掷10000个点,则落入阴影部分(曲线C为正态分布N(0,1)的密度曲线)的点的个数的估计值为()附“若X﹣N=(μ,a2),则P(μ﹣σ<X≤μ+σ)=0.6826.p(μ﹣2σ<X≤μ+2σ)=0.9544.A.2386 B.2718 C.3413 D.4772【分析】求出P(0<X≤1)=×0.6826=0.3413,即可得出结论.【解答】解:由题意P(0<X≤1)=×0.6826=0.3413,∴落入阴影部分点的个数的估计值为10000×0.3413=3413,故选:C.【点评】本题考查正态分布曲线的特点及曲线所表示的意义,考查正态分布中两个量μ和σ的应用,考查曲线的对称性,属于基础题.8.(5分)已知A,B,C在圆x2+y2=1上运动,且AB⊥BC,若点P的坐标为(2,0),则||的最大值为()A.6 B.7 C.8 D.9【分析】由题意,AC为直径,所以||=|2+|.B为(﹣1,0)时,|2+|≤7,即可得出结论.【解答】解:由题意,AC为直径,所以||=|2+|所以B为(﹣1,0)时,|2+|≤7.所以||的最大值为7.另解:设B(cosα,sinα),|2+|=|2(﹣2,0)+(cosα﹣2,sinα)|=|(cosα﹣6,sinα)|==,当cosα=﹣1时,B为(﹣1,0),取得最大值7.故选:B.【点评】本题考查向量知识的运用,考查学生分析解决问题的能力,比较基础.9.(5分)将函数f(x)=sin2x的图象向右平移φ(0<φ<)个单位后得到函数g(x)的图象.若对满足|f(x1)﹣g(x2)|=2的x1、x2,有|x1﹣x2|min=,则φ=()A. B.C.D.【分析】利用三角函数的最值,求出自变量x1,x2的值,然后判断选项即可.【解答】解:因为将函数f(x)=sin2x的周期为π,函数的图象向右平移φ(0<φ<)个单位后得到函数g(x)的图象.若对满足|f(x1)﹣g(x2)|=2的可知,两个函数的最大值与最小值的差为2,有|x1﹣x2|min=,不妨x1=,x2=,即g(x)在x2=,取得最小值,sin(2×﹣2φ)=﹣1,此时φ=,不合题意,x1=,x2=,即g(x)在x2=,取得最大值,sin(2×﹣2φ)=1,此时φ=,满足题意.另解:f(x)=sin2x,g(x)=sin(2x﹣2φ),设2x1=2kπ+,k∈Z,2x2﹣2φ=﹣+2mπ,m∈Z,x1﹣x2=﹣φ+(k﹣m)π,由|x1﹣x2|min=,可得﹣φ=,解得φ=,故选:D.【点评】本题考查三角函数的图象平移,函数的最值以及函数的周期的应用,考查分析问题解决问题的能力,是好题,题目新颖.有一定难度,选择题,可以回代验证的方法快速解答.10.(5分)某工件的三视图如图所示.现将该工件通过切削,加工成一个体积尽可能大的长方体新工件,并使新工件的一个面落在原工件的一个面内,则原工件材料的利用率为(材料利用率=)()A. B. C.D.【分析】根据三视图可判断其为圆锥,底面半径为1,高为2,求解体积.利用几何体的性质得出此长方体底面边长为n的正方形,高为x,利用轴截面的图形可判断得出n=(1﹣),0<x<2,求解体积式子,利用导数求解即可,最后利用几何概率求解即.【解答】解:根据三视图可判断其为圆锥,∵底面半径为1,高为2,∴V=×2=∵加工成一个体积尽可能大的长方体新工件,∴此长方体底面边长为n的正方形,高为x,∴根据轴截面图得出:=,解得;n=(1﹣),0<x<2,∴长方体的体积Ω=2(1﹣)2x,Ω′=x2﹣4x+2,∵,Ω′=x2﹣4x+2=0,x=,x=2,∴可判断(0,)单调递增,(,2)单调递减,Ω最大值=2(1﹣)2×=,∴原工件材料的利用率为=×=,故选:A.【点评】本题很是新颖,知识点融合的很好,把立体几何,导数,概率都相应的考查了,综合性强,属于难题.二、填空题,共5小题,每小题5分,共25分11.(5分)(x﹣1)dx=0.【分析】求出被积函数的原函数,代入上限和下限求值.【解答】解:(x﹣1)dx=(﹣x)|=0;故答案为:0.【点评】本题考查了定积分的计算;关键是求出被积函数的原函数.12.(5分)在一次马拉松比赛中,35名运动员的成绩(单位:分钟)的茎叶图如图所示.若将运动员成绩由好到差编号为1﹣35号,再用系统抽样方法从中抽取7人,则其中成绩在区间[139,151]上的运动员人数是4.【分析】根据茎叶图中的数据,结合系统抽样方法的特征,即可求出正确的结论.【解答】解:根据茎叶图中的数据,得;成绩在区间[139,151]上的运动员人数是20,用系统抽样方法从35人中抽取7人,成绩在区间[139,151]上的运动员应抽取7×=4(人).故答案为:4.【点评】本题考查了茎叶图的应用问题,也考查了系统抽样方法的应用问题,是基础题目.13.(5分)设F是双曲线C:﹣=1的一个焦点.若C上存在点P,使线段PF的中点恰为其虚轴的一个端点,则C的离心率为.【分析】设F(c,0),P(m,n),(m<0),设PF的中点为M(0,b),即有m=﹣c,n=2b,将中点M的坐标代入双曲线方程,结合离心率公式,计算即可得到.【解答】解:设F(c,0),P(m,n),(m<0),设PF的中点为M(0,b),即有m=﹣c,n=2b,将点(﹣c,2b)代入双曲线方程可得,﹣=1,可得e2==5,解得e=.故答案为:.【点评】本题考查双曲线的方程和性质,主要考查双曲线的离心率的求法,同时考查中点坐标公式的运用,属于中档题.14.(5分)设S n为等比数列{a n}的前n项和,若a1=1,且3S1,2S2,S3成等差数列,则a n=3n﹣1.【分析】利用已知条件列出方程求出公比,然后求解等比数列的通项公式.【解答】解:设等比数列的公比为q,S n为等比数列{a n}的前n项和,若a1=1,且3S1,2S2,S3成等差数列,可得4S2=S3+3S1,a1=1,即4(1+q)=1+q+q2+3,q=3.∴a n=3n﹣1.故答案为:3n﹣1.【点评】本题考查等差数列以及等比数列的应用,基本知识的考查.15.(5分)已知函数f(x)=若存在实数b,使函数g(x)=f(x)﹣b有两个零点,则a的取值范围是{a|a<0或a>1} .【分析】由g(x)=f(x)﹣b有两个零点可得f(x)=b有两个零点,即y=f(x)与y=b的图象有两个交点,则函数在定义域内不能是单调函数,结合函数图象可求a的范围【解答】解:∵g(x)=f(x)﹣b有两个零点,∴f(x)=b有两个零点,即y=f(x)与y=b的图象有两个交点,由x3=x2可得,x=0或x=1①当a>1时,函数f(x)的图象如图所示,此时存在b,满足题意,故a>1满足题意②当a=1时,由于函数f(x)在定义域R上单调递增,故不符合题意③当0<a<1时,函数f(x)单调递增,故不符合题意④a=0时,f(x)单调递增,故不符合题意⑤当a<0时,函数y=f(x)的图象如图所示,此时存在b使得,y=f(x)与y=b 有两个交点综上可得,a<0或a>1故答案为:{a|a<0或a>1}【点评】本题考察了函数的零点问题,渗透了转化思想,数形结合、分类讨论的数学思想.三、简答题,共1小题,共75分,16、17、18为选修题,任选两小题作答,如果全做,则按前两题计分选修4-1:几何证明选讲16.(6分)如图,在⊙O中,相交于点E的两弦AB,CD的中点分别是M,N,直线MO与直线CD相交于点F,证明:(1)∠MEN+∠NOM=180°(2)FE•FN=FM•FO.【分析】(1)证明O,M,E,N四点共圆,即可证明∠MEN+∠NOM=180°(2)证明△FEM∽△FON,即可证明FE•FN=FM•FO.【解答】证明:(1)∵N为CD的中点,∴ON⊥CD,∵M为AB的中点,∴OM⊥AB,在四边形OMEN中,∴∠OME+∠ONE=90°+90°=180°,∴O,M,E,N四点共圆,∴∠MEN+∠NOM=180°(2)在△FEM与△FON中,∠F=∠F,∠FME=∠FNO=90°,∴△FEM∽△FON,∴=∴FE•FN=FM•FO.【点评】本题考查垂径定理,考查三角形相似的判定与应用,考查学生分析解决问题的能力,比较基础.选修4-4:坐标系与方程17.(6分)已知直线l:(t为参数).以坐标原点为极点,x轴的正半轴为极轴建立极坐标系,曲线C的坐标方程为ρ=2cosθ.(1)将曲线C的极坐标方程化为直坐标方程;(2)设点M的直角坐标为(5,),直线l与曲线C的交点为A,B,求|MA|•|MB|的值.【分析】(1)曲线的极坐标方程即ρ2=2ρcosθ,根据极坐标和直角坐标的互化公式得x2+y2=2x,即得它的直角坐标方程;(2)直线l的方程化为普通方程,利用切割线定理可得结论.【解答】解:(1)∵ρ=2cosθ,∴ρ2=2ρcosθ,∴x2+y2=2x,故它的直角坐标方程为(x﹣1)2+y2=1;(2)直线l:(t为参数),普通方程为,(5,)在直线l上,过点M作圆的切线,切点为T,则|MT|2=(5﹣1)2+3﹣1=18,由切割线定理,可得|MT|2=|MA|•|MB|=18.【点评】本题主要考查把极坐标方程化为直角坐标方程的方法,属于基础题.选修4-5:不等式选讲18.设a>0,b>0,且a+b=+.证明:(ⅰ)a+b≥2;(ⅱ)a2+a<2与b2+b<2不可能同时成立.【分析】(ⅰ)由a>0,b>0,结合条件可得ab=1,再由基本不等式,即可得证;(ⅱ)运用反证法证明.假设a2+a<2与b2+b<2可能同时成立.结合条件a>0,b>0,以及二次不等式的解法,可得0<a<1,且0<b<1,这与ab=1矛盾,即可得证.【解答】证明:(ⅰ)由a>0,b>0,则a+b=+=,由于a+b>0,则ab=1,即有a+b≥2=2,当且仅当a=b取得等号.则a+b≥2;(ⅱ)假设a2+a<2与b2+b<2可能同时成立.由a2+a<2及a>0,可得0<a<1,由b2+b<2及b>0,可得0<b<1,这与ab=1矛盾.a2+a<2与b2+b<2不可能同时成立.【点评】本题考查不等式的证明,主要考查基本不等式的运用和反证法证明不等式的方法,属于中档题.七、标题19.设△ABC的内角A、B、C的对边分别为a、b、c,a=btanA,且B为钝角.(Ⅰ)证明:B﹣A=;(Ⅱ)求sinA+sinC的取值范围.【分析】(Ⅰ)由题意和正弦定理可得sinB=cosA,由角的范围和诱导公式可得;(Ⅱ)由题意可得A∈(0,),可得0<sinA<,化简可得sinA+sinC=﹣2(sinA﹣)2+,由二次函数区间的最值可得.【解答】解:(Ⅰ)由a=btanA和正弦定理可得==,∴sinB=cosA,即sinB=sin(+A)又B为钝角,∴+A∈(,π),∴B=+A,∴B﹣A=;(Ⅱ)由(Ⅰ)知C=π﹣(A+B)=π﹣(A++A)=﹣2A>0,∴A∈(0,),∴sinA+sinC=sinA+sin(﹣2A)=sinA+cos2A=sinA+1﹣2sin2A=﹣2(sinA﹣)2+,∵A∈(0,),∴0<sinA<,∴由二次函数可知<﹣2(sinA﹣)2+≤∴sinA+sinC的取值范围为(,]【点评】本题考查正弦定理和三角函数公式的应用,涉及二次函数区间的最值,属基础题.20.某商场举行有奖促销活动,顾客购买一定金额商品后即可抽奖,每次抽奖都从装有4个红球、6个白球的甲箱和装有5个红球、5个白球的乙箱中,各随机摸出1个球,在摸出的2个球中,若都是红球,则获一等奖,若只有1个红球,则获二等奖;若没有红球,则不获奖.(1)求顾客抽奖1次能获奖的概率;(2)若某顾客有3次抽奖机会,记该顾客在3次抽奖中获一等奖的次数为X,求X的分布列和数学期望.【分析】(1)记事件A1={从甲箱中摸出一个球是红球},事件A2={从乙箱中摸出一个球是红球},事件B1={顾客抽奖1次获一等奖},事件A2={顾客抽奖1次获二等奖},事件C={顾客抽奖1次能获奖},利用A 1,A2相互独立,,互斥,B1,B2互斥,然后求出所求概率即可.(2)顾客抽奖1次可视为3次独立重复试验,判断X~B.求出概率,得到X的分布列,然后求解期望.【解答】解:(1)记事件A1={从甲箱中摸出一个球是红球},事件A2={从乙箱中摸出一个球是红球},事件B1={顾客抽奖1次获一等奖},事件B2={顾客抽奖1次获二等奖},事件C={顾客抽奖1次能获奖},由题意A 1,A2相互独立,,互斥,B 1,B2互斥,且B1=A1A2,B2=+,C=B1+B2,因为P(A1)=,P(A2)=,所以,P(B1)=P(A1)P(A2)==,P(B2)=P()+P()=+==,故所求概率为:P(C)=P(B1+B2)=P(B1)+P(B2)=.(2)顾客抽奖1次可视为3次独立重复试验,由(1)可知,顾客抽奖1次获一等奖的概率为:所以.X~B.于是,P(X=0)==,P(X=1)==,P(X=2)==,P(X=3)==.故X的分布列为:X0123PE(X)=3×=.【点评】期望是概率论和数理统计的重要概念之一,是反映随机变量取值分布的特征数,学习期望将为今后学习概率统计知识做铺垫,它在市场预测,经济统计,风险与决策等领域有着广泛的应用,为今后学习数学及相关学科产生深远的影响.21.如图,已知四棱台ABCD﹣A1B1C1D1的上、下底面分别是边长为3和6的正方形,AA1=6,且AA1⊥底面ABCD,点P、Q分别在棱DD1、BC上.(1)若P是DD1的中点,证明:AB1⊥PQ;(2)若PQ∥平面ABB1A1,二面角P﹣QD﹣A的余弦值为,求四面体ADPQ的体积.【分析】(1)首先以A为原点,AB,AD,AA1所在直线分别为x,y,z轴,建立空间直角坐标系,求出一些点的坐标,Q在棱BC上,从而可设Q(6,y1,0),只需求即可;(2)设P(0,y2,z2),根据P在棱DD1上,从而由即可得到z2=12﹣2y2,从而表示点P坐标为P(0,y2,12﹣2y2).由PQ∥平面ABB1A1便知道与平面ABB1A1的法向量垂直,从而得出y1=y2,从而Q点坐标变成Q(6,y2,0),设平面PQD的法向量为,根据即可表示,平面AQD的一个法向量为,从而由即可求出y2,从而得出P点坐标,从而求出三棱锥P﹣AQD的高,而四面体ADPQ 的体积等于三棱锥P﹣AQD的体积,从而求出四面体的体积.【解答】解:根据已知条件知AB,AD,AA1三直线两两垂直,所以分别以这三直线为x,y,z轴,建立如图所示空间直角坐标系,则:A(0,0,0),B(6,0,0),D(0,6,0),A1(0,0,6),B1(3,0,6),D1(0,3,6);Q在棱BC上,设Q(6,y1,0),0≤y1≤6;∴(1)证明:若P是DD1的中点,则P;∴,;∴;∴;∴AB1⊥PQ;(2)设P(0,y2,z2),y2,z2∈[0,6],P在棱DD1上;∴,0≤λ≤1;∴(0,y2﹣6,z2)=λ(0,﹣3,6);∴;∴z2=12﹣2y2;∴P(0,y2,12﹣2y2);∴;平面ABB1A1的一个法向量为;∵PQ∥平面ABB1A1;∴=6(y1﹣y2)=0;∴y1=y2;∴Q(6,y2,0);设平面PQD的法向量为,则:;∴,取z=1,则;又平面AQD的一个法向量为;又二面角P﹣QD﹣A的余弦值为;∴;解得y2=4,或y2=8(舍去);∴P(0,4,4);∴三棱锥P﹣ADQ的高为4,且;∴V四面体ADPQ =V三棱锥P﹣ADQ=.【点评】考查建立空间直角坐标系,利用空间向量解决异面直线垂直及线面角问题的方法,共线向量基本定理,直线和平面平行时,直线和平面法向量的关系,平面法向量的概念,以及两平面法向量的夹角和平面二面角大小的关系,三棱锥的体积公式.22.(13分)已知抛物线C1:x2=4y的焦点F也是椭圆C2:+=1(a>b>0)的一个焦点.C1与C2的公共弦长为2.(Ⅰ)求C2的方程;(Ⅱ)过点F的直线l与C1相交于A、B两点,与C2相交于C、D两点,且与同向.(1)若|AC|=|BD|,求直线l的斜率;(2)设C1在点A处的切线与x轴的交点为M,证明:直线l绕点F旋转时,△MFD总是钝角三角形.【分析】(Ⅰ)根据两个曲线的焦点相同,得到a2﹣b2=1,再根据C1与C2的公共弦长为2,得到=1,解得即可求出;(Ⅱ)设出点的坐标,(1)根据向量的关系,得到(x1+x2)2﹣4x1x2=(x3+x4)2﹣4x3x4,设直线l的方程,分别与C1,C2构成方程组,利用韦达定理,分别代入得到关于k的方程,解得即可;(2)根据导数的几何意义得到C1在点A处的切线方程,求出点M的坐标,利用向量的乘积∠AFM是锐角,问题得以证明.【解答】解:(Ⅰ)抛物线C1:x2=4y的焦点F的坐标为(0,1),因为F也是椭圆C2的一个焦点,∴a2﹣b2=1,①,又C1与C2的公共弦长为2,C1与C2的都关于y轴对称,且C1的方程为x2=4y,由此易知C1与C2的公共点的坐标为(±,),所以=1,②,联立①②得a2=9,b2=8,故C2的方程为+=1.(Ⅱ)设A(x1,y1),B(x2,y2),C(x3,y3),D(x4,y4),(1)因为与同向,且|AC|=|BD|,所以=,从而x3﹣x1=x4﹣x2,即x1﹣x2=x3﹣x4,于是(x1+x2)2﹣4x1x2=(x3+x4)2﹣4x3x4,③设直线的斜率为k,则l的方程为y=kx+1,由,得x2﹣4kx﹣4=0,而x1,x2是这个方程的两根,所以x1+x2=4k,x1x2=﹣4,④由,得(9+8k2)x2+16kx﹣64=0,而x3,x4是这个方程的两根,所以x3+x4=,x3x4=﹣,⑤将④⑤代入③,得16(k2+1)=+,即16(k2+1)=,所以(9+8k2)2=16×9,解得k=±.(2)由x2=4y得y′=x,所以C1在点A处的切线方程为y﹣y1=x1(x﹣x1),即y=x1x﹣x12,令y=0,得x=x1,M(x1,0),所以=(x1,﹣1),而=(x1,y1﹣1),于是•=x12﹣y1+1=x12+1>0,因此∠AFM是锐角,从而∠MFD=180°﹣∠AFM是钝角,故直线l绕点F旋转时,△MFD总是钝角三角形.【点评】本题考查了圆锥曲线的和直线的位置与关系,关键是联立方程,构造方程,利用韦达定理,以及向量的关系,得到关于k的方程,计算量大,属于难题.23.(13分)已知a>0,函数f(x)=e ax sinx(x∈[0,+∞]).记x n为f(x)的从小到大的第n(n∈N*)个极值点.证明:(Ⅰ)数列{f(x n)}是等比数列;(Ⅱ)若a≥,则对一切n∈N*,x n<|f(x n)|恒成立.【分析】(Ⅰ)求出导数,运用两角和的正弦公式化简,求出导数为0的根,讨论根附近的导数的符号相反,即可得到极值点,求得极值,运用等比数列的定义即可得证;(Ⅱ)由sinφ=,可得对一切n∈N*,x n<|f(x n)|恒成立.即为nπ﹣φ<e a(nπ﹣φ)恒成立⇔<,①设g(t)=(t>0),求出导数,求得最小值,由恒成立思想即可得证.【解答】证明:(Ⅰ)f′(x)=e ax(asinx+cosx)=•e ax sin(x+φ),tanφ=,0<φ<,令f′(x)=0,由x≥0,x+φ=mπ,即x=mπ﹣φ,m∈N*,对k∈N,若(2k+1)π<x+φ<(2k+2)π,即(2k+1)π﹣φ<x<(2k+2)π﹣φ,则f′(x)<0,因此在((m﹣1)π﹣φ,mπ﹣φ)和(mπ﹣φ,(m+1)π﹣φ)上f′(x)符号总相反.于是当x=nπ﹣φ,n∈N*,f(x)取得极值,所以x n=nπ﹣φ,n∈N*,此时f(x n)=e a(nπ﹣φ)sin(nπ﹣φ)=(﹣1)n+1e a(nπ﹣φ)sinφ,易知f(x n)≠0,而==﹣e aπ是常数,故数列{f(x n)}是首项为f(x1)=e a(π﹣φ)sinφ,公比为﹣e aπ的等比数列;(Ⅱ)由sinφ=,可得对一切n∈N*,x n<|f(x n)|恒成立.即为nπ﹣φ<e a(nπ﹣φ)恒成立⇔<,①设g(t)=(t>0),g′(t)=,当0<t<1时,g′(t)<0,g(t)递减,当t>1时,g′(t)>0,g(t)递增.t=1时,g(t)取得最小值,且为e.因此要使①恒成立,只需<g(1)=e,只需a>,当a=,tanφ==,且0<φ<,可得<φ<,于是π﹣φ<<,且当n≥2时,nπ﹣φ≥2π﹣φ>>,因此对n∈N*,ax n=≠1,即有g(ax n)>g(1)=e=,故①亦恒成立.综上可得,若a≥,则对一切n∈N*,x n<|f(x n)|恒成立.【点评】本题考查导数的运用:求极值和单调区间,主要考查三角函数的导数和求值,同时考查等比数列的定义和通项公式的运用,考查不等式恒成立问题的证明,属于难题.。

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