简谐振动及其周期推导与证明
简谐振动与周期性运动
简谐振动与周期性运动周期性运动是自然界中常见的一种现象，例如脉搏的跳动、钟摆的摆动、地球环绕太阳的运动等等。
而简谐振动是一种特殊的周期性运动，具有独特的特征和规律。
本文将重点讨论简谐振动与周期性运动的关系以及其应用。
一、简谐振动的定义与特征简谐振动是指一个物体在某一平衡位置附近以一定振幅在固定轨道上做往复运动的现象。
简谐振动具有以下几个特征：1. 回复性：物体在简谐振动中，无论是受到外力的扰动还是自身的位移，都会迅速回复到平衡位置。
2. 周期性：简谐振动具有周期性，即在相同的时间间隔内完成一次完整的振动。
3. 正弦规律：简谐振动的数学描述与正弦函数有关，其位移随时间的变化符合正弦规律。
二、简谐振动的数学描述简谐振动的数学描述采用简单的正弦函数形式，其中包括振幅、角频率、初相位等重要参数。
设一个简谐振动的位移为x，时间变量为t，则其数学描述为：x = A * sin(ωt + φ)其中，A代表振幅，表示振动的最大位移；ω代表角频率，表示单位时间内振动经过的角度变化；φ代表初相位，表示在t=0时刻的位移相位。
三、简谐振动与周期性运动的关系简谐振动是周期性运动的一种特例，它具有周期性运动的一般特征，同时又具备以下特点：1. 稳定性：简谐振动具有稳定的周期性，振动参数在不受外界干扰的情况下保持恒定。
2. 恒定频率：简谐振动的频率只与其系统的性质有关，与初始条件无关。
即使振幅改变，其频率不变。
3. 线性叠加性：若同时作用多个简谐振动，振动的结果仍为简谐振动，其位移等于各个简谐振动位移的矢量和。
四、简谐振动的应用简谐振动在科学研究和工程应用中有着广泛的应用，下面将介绍几个常见的应用场景：1. 机械振动：简谐振动在机械系统中具有重要作用，例如弹簧振子和摆锤等。
通过对简谐振动的研究，可以优化机械系统的设计和运行。
2. 光学振动：光学中的振动现象，如光的波动和干涉现象，也符合简谐振动的特征。
研究光学振动可以帮助我们理解光的本质以及其在信息传输和光学器件中的应用。
弹簧双振子简谐运动周期公式的推导方法
弹簧双振子简谐运动周期公式的推导方法弹簧双振子简谐运动是指两个振子之间存在弹性作用力，且其运动周期相同的振动运动。
其周期的计算方法如下：假设两个振子的质量分别为m1和m2，它们的自由长分别为l1和l2，弹性常数分别为k1和k2，则它们的角动量方程分别为：I1*θ1'' + (k1+k2)θ1 - k2θ2 = 0I2θ2'' - k2θ1 + (k1+k2)*θ2 = 0其中I1和I2分别表示振子1和振子2的转动惯量，θ1和θ2分别表示振子1和振子2的摆角。
将这两个方程化简后得到：(I1+I2)*θ1'' + (k1+k2)θ1 - k2θ2 = 0(I1+I2)θ2'' - k2θ1 + (k1+k2)*θ2 = 0将θ1''和θ2''带入上式，得到：(I1+I2)*((k1+k2)θ1 - k2θ2) + (k1+k2)θ1 - k2θ2 = 0(I1+I2)(k2θ1 - (k1+k2)θ2) - k2θ1 + (k1+k2)*θ2 = 0将两式合并得到：(I1+I2)((k1+k2)θ1 - k2θ2) + (k1+k2)θ1 - k2θ2 = (I1+I2)(k2*θ1 -(k1+k2)θ2) - k2θ1 + (k1+k2)*θ2移项后的结果是：(I1+I2)((k1+k2)θ1 - k2θ2) + (k1+k2)θ1 - k2θ2 = (I1+I2)(k2*θ1 - (k1+k2)θ2) - k2θ1 + (k1+k2)*θ2化简得到：(I1+I2)*(k1+k2-k2)θ1 = (I1+I2)(k2-k1-k2)*θ2即：(k1+k2-k2)*θ1 = (k2-k1-k2)*θ2化简得到：k1θ1 = k2θ2得到结论：弹簧双振子的运动周期T满足公式：T = 2πsqrt((I1+I2)/(k1m1+k2m2))其中sqrt表示平方根。
简谐振动的公式推导与实际应用
简谐振动的公式推导与实际应用简谐振动是物理学中一个重要的概念，它在自然界和工程领域中有着广泛的应用。
本文将从简谐振动的公式推导开始，探讨其在实际应用中的意义和作用。
简谐振动的公式推导可以从牛顿第二定律出发。
假设一个质点在一根弹簧上做振动，弹簧的劲度系数为k，质点的质量为m。
当质点偏离平衡位置x时，弹簧对质点的恢复力为-F，其中F与x成正比。
根据牛顿第二定律，我们可以得到以下方程：F = -kx根据胡克定律，弹簧的恢复力与质点的位移成正比，且方向相反。
因此，我们可以将上述方程写成如下形式：ma = -kx其中a是质点的加速度。
根据加速度的定义，我们可以将上述方程改写为：a = -(k/m)x这是一个二阶线性常微分方程，可以通过求解得到简谐振动的解析表达式。
假设解为x = A*cos(ωt + φ)，其中A是振幅，ω是角频率，t是时间，φ是初相位。
将该解代入上述方程，我们可以得到：-Aω^2*cos(ωt + φ) = -(k/m)*A*cos(ωt + φ)通过对比系数，我们可以得到ω^2 = k/m。
因此，简谐振动的角频率可以表示为：ω = √(k/m)这就是简谐振动的公式推导过程。
简谐振动的公式推导为我们提供了理论基础，使得我们能够更好地理解和分析振动现象。
简谐振动在物理学中有着广泛的应用，尤其在波动和声学领域中发挥着重要的作用。
首先，简谐振动可以用来描述机械波的传播。
当弹簧上的质点做简谐振动时，它会产生机械波。
机械波的传播速度与介质的性质有关，而简谐振动的角频率与弹簧的劲度系数和质点的质量有关。
因此，通过简谐振动的公式推导，我们可以计算出机械波的传播速度。
其次，简谐振动还可以用来描述声波的传播。
声波是一种机械波，它的传播速度与介质的性质有关。
通过简谐振动的公式推导，我们可以计算出声波的频率和波长。
这对于声学研究和工程设计都具有重要意义。
此外，简谐振动还在工程领域中有着广泛的应用。
例如，在建筑设计中，我们需要考虑建筑物的振动特性，以确保其在地震或风力作用下的稳定性。
简谐运动周期公式证明
简谐运动周期公式证明简谐运动是一种物理运动，它的特征是在外力作用下，物体作周期性振动或摆动，周期恒定，振幅大致相等。
简谐运动周期公式是描述简谐运动周期与其物理量之间关系的数学公式。
在本文中，我们将证明简谐运动周期公式，并探讨它的应用。
一、简谐运动周期公式的定义简谐运动周期公式是描述简谐运动周期与其物理量之间关系的数学公式。
它的一般形式为：T = 2π * √(m/k)其中，T代表简谐运动的周期，m代表物体的质量，k为物体所受的恢复力系数。
在用公式计算简谐运动周期时，需要满足以下条件：1.物体的运动是周期性的。
2.物体的振幅相等。
3.物体的周期恒定。
根据这些条件，我们可以将简谐运动看作是一种标准化的运动方式，因此在物理实验中广泛应用。
二、简谐运动周期公式的推导在证明简谐运动周期公式之前，我们需要了解几个基本概念：1.简谐振动：简谐振动是指物体在外力作用下的周期性振动，振动方式相对简单，满足周期恒定、振幅相等（或相似）两个条件。
2.牛顿第二定律：物体所受合外力等于物体的质量乘以加速度。
3.胡克定律：杆弹性系数（k）等于杆伸长量（x）除以物体质量（m）的比例。
基于以上定义，我们来推导简谐运动周期公式。
首先，假设一个自由振动的弹簧在缩短x的距离时发生相对伸长，伸长的距离为2x。
物体再以加速度a回转，其中a 是负的，它是基于斯托克斯第一法则（施力作用导致力反作用）得到的。
根据牛顿第二定律和胡克定律，可以得到以下式子：ma = -kx将其改写为a=-kx/m的形式，表示由于牛顿第二定律作用于简谐振动接下来，对上述公式进行求解，得到以下步骤：- 对a=-kx/m进行积分，得到v = -kx/m * t + C1。
其中，C1是一个常数。
- 对v = -kx/m * t + C1进行积分，得到x = -kx/m *t^2/2 + C1t + C2。
其中，C2是另外一个常数。
三、应用简谐运动周期公式简谐运动周期公式可以在许多领域应用。
简谐振动
一、简谐运动1.定义。
物体在跟偏离平衡位置的位移大小成正比，并且总指向平衡位置的回复力的作用下的振动，叫简谐运动。
表达式为：F= -kx⑴简谐运动的位移必须是指偏离平衡位置的位移。
也就是说，在研究简谐运动时所说的位移的起点都必须在平衡位置处。
⑵回复力是一种效果力。
是振动物体在沿振动方向上所受的合力。
⑶“平衡位置”不等于“平衡状态”。
平衡位置是指回复力为零的位置，物体在该位置所受的合外力不一定为零。
（如单摆摆到最低点时，沿振动方向的合力为零，但在指向悬点方向上的合力却不等于零，所以不处于平衡状态）⑷F= -kx是判断一个振动是不是简谐运动的充分必要条件。
凡是简谐运动沿振动方向的合力必须满足该条件；反之，只要沿振动方向的合力满足该条件，那么该振动一定是简谐运动。
2.熟练掌握做简谐运动的物体在某一时刻（或某一位置）的位移x、回复力F、加速度a、速度v这四个矢量的相互关系。
⑴由定义知：F∝x，方向相反。
⑵由牛顿第二定律知：F∝a，方向相同。
⑶由以上两条可知：a∝x，方向相反。
⑷v和x、F、a的关系最复杂：当v、a同向（既 v、F同向，也就是v、x反向）时v一定增大；当v、a反向（既 v、F反向，也就是v、x同向）时，v一定减小。
3.从总体上描述简谐运动的物理量。
振动的最大特点是往复性或者说是周期性。
因此振动物体在空间的运动有一定的运动范围，用振幅A来描述；在时间上用周期T来描述完成一次全振动所须的时间。
⑴振幅A是描述振动强弱的物理量。
（注意一定要将振幅跟位移相区别，在简谐运动的振动过程中，振幅是不变的而位移是时刻在改变的）⑵周期T是描述振动快慢的物理量。
（频率f=1/T也是描述振动快慢的物理量）周期由振动系统本身的因素决定，叫固有周期。
对任何简谐振动有共同的周期公式：（其中m是振动物体的质量，k是回复力系数，既振动是简谐运动的判定式F= -kx中的比例系数，对于弹簧振子k就是弹簧的劲度，对其它简谐运动它就不再是弹簧的劲度了）。
简谐运动周期公式的推导
简谐运动周期公式的推导【摘要】：本文通过简谐运动与圆周运动的联系，用圆周运动的周期公式推导出了简谐运动周期公式。
【关键辞】：简谐运动、周期、匀速圆周运动、周期公式【正文】：考虑弹簧振子在平衡位置附近的简谐运动，如图2所示。
它的运动及受力情况和图3所示的情况非常相似。
在图3中，O 点是弹性绳（在这里我们设弹性绳的弹力是符合胡克定律的）的原长位置，此点正好位于光滑水平面上。
把它在O 点的这一端系上一个小球，然后拉至A 位置由静止放手，小球就会在弹性绳的作用下在水平面上的A 、A ’间作简谐运动。
如果我们不是由静止释放小球，而是给小球一个垂直于绳的恰当的初速度，使得小球恰好能在水平面内以O 点为圆心，以OA 长度为半径做匀速圆周运动。
那么它在OA 方向的投影运动（即此方向的分运动）与图3中的简谐运动完全相同。
证明如下： 首先，两个运动的初初速度均为零（图4中在OA 方向上的分速度为零）。
其次，在对应位置上的受力情况相同。
由上面的两个条件可知这两个运动是完全相同的。
在图4中小球绕O 点转一圈，对应的投影运动（简谐运动）恰好完成一个周期，这两个时间是相等的。
因此我们可以通过求圆周运动周期的方法来求简谐运动的周期。
如图5作出图4的俯视图，并建以O 为坐标原点、OA 方向为x轴正方向建直角坐标图2图3图4系。
则由匀速圆周运动的周期公式可知：ωπ2=T (1)其中ω是匀速圆周运动的角速度。
小球圆周运动的向心力由弹性绳的弹力来提供，由牛顿第二定律可知：r m kr 2ω= (2)式中的r 是小球圆周运动的半径，也是弹性绳的形变量；k 是弹性绳的劲度系数。
由（1）（2）式可得：k mT π2=二零一一年三月九日下面是诗情画意的句子欣赏，不需要的朋友可以编辑删除！！谢谢1. 染火枫林，琼壶歌月，长歌倚楼。
岁岁年年，花前月下，一尊芳酒。
水落红莲，唯闻玉磬，但此情依旧。
2. 玉竹曾记凤凰游，人不见，水空流。
3. 他微笑着，在岁月的流失中毁掉自己。
简谐振动规律
简谐振动规律简谐振动是物理学中常见的一种振动现象，它包括弹簧振子、摆锤等。
简谐振动的规律可以用正弦函数描述。
在本文中，我们将探讨简谐振动的规律及其应用。
简谐振动的基本规律是物体在恢复力作用下沿着一条直线做一来回运动。
这种运动的特点是周期性、速度变化与位置变化成正弦关系。
简谐振动的规律可以由以下公式描述：x(t) = A * sin(ωt + φ)，其中x(t)是位移，A是振幅，ω是角频率，t是时间，φ是初相。
首先，我们来探讨简谐振动的周期和频率。
周期T是振动完成一个来回所需的时间，频率f则是单位时间内的振动次数。
周期和频率的关系是T = 1/f。
角频率是频率的2π倍，即ω = 2πf，单位是弧度/秒。
其次，简谐振动的速度和加速度也有规律可循。
速度v(t)等于位移对时间的导数，即v(t) = dx(t)/dt = Aωcos(ωt + φ)。
加速度a(t)等于速度对时间的导数，即a(t) = dv(t)/dt = -Aω^2sin(ωt + φ)。
可以看出，速度与位移之间的关系是相差90度，而加速度则是速度的负数乘以角频率的平方，也就是相差180度。
简谐振动在日常生活和科学研究中有着广泛的应用。
其中一个重要的应用是在钟摆上。
当一个物体用一根轻细的线或杆悬挂起来，放任它摆动，便会出现简谐振动。
钟摆的周期与摆长有关，即T = 2π√(L/g)，其中L是摆长，g是重力加速度。
这就是为什么钟摆在摆长相同的情况下只需要相同的时间来完成摆动。
除了钟摆，简谐振动还应用于弹簧振子。
当一个质点用弹簧连接到一个固定点上时，当质点从平衡位置偏离时，被弹簧施加的恢复力将使其发生简谐振动。
弹簧振子的周期与弹簧的劲度系数和质量有关，即T = 2π√(m/k)，其中m是质量，k是劲度系数。
这是为什么一个质点挂在弹簧上的运动会形成规律的来回摆动。
此外，简谐振动还可以用于建筑物的设计。
在地震工程中，建筑物的抗震性能是非常重要的。
通过在建筑物中安装阻尼器或减震器，可以有效减小地震对建筑物的影响。
简谐振动的规律和特点
简谐振动的规律和特点简谐振动是指物体在恢复力作用下，沿着一条直线或绕一条固定轴线作往复运动的现象。
简谐振动具有以下规律和特点：1. 定义和公式：简谐振动的定义是指物体的振动轨迹可以用正弦或余弦函数表示的振动。
它的数学描述是一个关于时间的周期函数，可以用如下公式表示：x(t) = A * cos(ωt + φ)其中，x(t)表示物体在时间t时刻的位移，A表示振幅，ω表示角频率，φ表示相位差。
2. 周期性：简谐振动具有周期性，即物体在一定时间间隔内，按照相同的轨迹往复振动。
周期是振动完成一个完整往复运动所需要的时间，用T 表示。
简谐振动的周期与角频率的关系是：T = 2π/ω。
3. 恒定的周期和频率：对于给定的简谐振动体系，周期和频率是恒定不变的。
无论振幅的大小如何变化，简谐振动的周期和频率保持不变。
4. 恢复力和弹性势能：简谐振动的存在是由于恢复力的作用。
恢复力是指当物体偏离平衡位置时，恢复物体回到平衡位置的力。
简谐振动的物体通常具有弹性，当物体受力偏离平衡位置时，会产生弹性势能，而恢复力正是由弹性势能转化而来。
5. 振幅和最大速度：振幅是指振动物体从平衡位置最远的距离，用A表示。
最大速度是指振动物体在振动过程中速度达到最大值的时刻，与振幅有关。
6. 相位差和初相位：相位差是指两个相同频率的简谐振动物体之间的时间差。
初相位是指在某一时刻的相位差。
相位差和初相位的变化会导致振动物体之间的相位关系发生变化。
7. 谐振：当外力与振动频率相同时，振动物体会发生共振现象，这种现象称为谐振。
谐振时，振动物体的振幅会显著增大，甚至可能导致破坏。
8. 能量转换：简谐振动过程中，动能和势能之间会不断转换。
当物体通过平衡位置时，动能最大，势能为零；而当物体达到最大位移时，势能最大，动能为零。
这种能量的转换是循环进行的。
9. 简谐振动的应用：简谐振动在物理学和工程领域有着广泛的应用。
例如，在钟摆、弹簧振子、电磁振荡电路等系统中都存在着简谐振动现象。
普通物理学 §10-1 简谐振动
是代数值，有正负。 注意: φ有二个解。
如φ=α是解
φ=π+α也是解.
2.简谐振动的振幅、周期、频率和相位
(1)振幅: 物体离开平衡位置的最大位移的绝对值。
2 A x0 ( v0 ) 2
由初始条件确定
(2)周期和频率 周期：物体作一次完整振动所经历的时间。
x A cos(t 0 ) A cos[ (T t ) 0 ]
1 E kA2 2 1 2 Ep k A cos2 t 2
o
T
4
T
2
3T
4
T
t
1 2 2 2 Ek m A sin t 2
1 E kA2 2
简谐运动能量守恒，振幅不变 简谐运动势能曲线
Ep
C
E
A
B
Ek
Ep
O
x
A
x
能量守恒
推导
简谐运动方程
1 2 1 2 E mv kx 常量 2 2
第一次回到平衡位置所需时间：
△t = （ π/3 + π/2） /ω = (5π/6) /π = 5/6 秒 =0.83s
B’ O 0.06
●
ω
φ B C
x (m
A(t=0)
例2一谐振动的振动曲线如图所示。 φ 求：ω 、 以及振动方程。 x x A
A 2
A
A x0 = 2 t = 0时 { ...φ = π 3 v0 ＞0 A x1 = 0 2π ..Φ 1= π . t =1时 { dx 2 v1 = x dt ＜ 0 π =π ..ω = 5 π . Φ1 =ω t 1+ φ =ω × 1
M P
A
简谐振动弹簧振子的周期和频率
简谐振动弹簧振子的周期和频率简谐振动弹簧振子是物理学中经典的振动系统，它具有较为简单的运动规律，周期和频率是描述其运动性质的两个重要参数。
一、简谐振动弹簧振子的周期简谐振动弹簧振子的周期是指它从一个振动极值到另一个振动极值所需的时间，通常用字母T表示。
在理想情况下，简谐振动弹簧振子的周期与振子的质量m以及弹簧的劲度系数k有关。
根据经典力学理论，简谐振动弹簧振子的周期可以通过以下公式计算得到：T = 2π√(m/k)其中，π为圆周率，√为开方运算。
根据该公式，我们可以看出，简谐振动弹簧振子的周期与振子的质量成正比，与弹簧的劲度系数的平方根成反比。
换言之，质量越大，周期越大；劲度系数越大，周期越小。
二、简谐振动弹簧振子的频率简谐振动弹簧振子的频率是指它单位时间内完成的振动次数，通常用字母f表示。
频率与周期有以下关系：f = 1/T也就是说，频率是周期的倒数。
在理想情况下，简谐振动弹簧振子的频率与振子的质量m以及弹簧的劲度系数k有关。
根据经典力学理论，简谐振动弹簧振子的频率可以通过以下公式计算得到：f = 1/2π√(k/m)其中，π为圆周率，√为开方运算。
根据该公式，我们可以看出，简谐振动弹簧振子的频率与振子的质量成反比，与弹簧的劲度系数的平方根成正比。
换言之，质量越大，频率越小；劲度系数越大，频率越大。
三、简谐振动弹簧振子的特点简谐振动弹簧振子具有以下特点：1. 平衡位置：在没有外力作用时，弹簧振子处于平衡位置，即不发生振动。
2. 反弹力：当弹簧振子离开平衡位置，沿着正方向运动时，弹簧对振子产生向负方向的反弹力，反之亦然。
这种力的方向与振子的偏离方向相反，且与偏离大小成正比。
3. 振动频率稳定：在理想情况下，简谐振动弹簧振子的频率不受振动的幅度和初相的影响，只与质量和劲度系数有关。
因此，频率是一个固有特征，也称为固有频率。
四、总结简谐振动弹簧振子的周期和频率是描述其运动规律的重要参数，通过质量和劲度系数可计算得到。
简谐振动实验解析物体的周期性运动
简谐振动实验解析物体的周期性运动在物理学中，简谐振动是一种周期性运动，它可以通过实验来解析物体的运动规律。
本文将通过对简谐振动实验的描述和分析，以及对振动周期、频率、振幅和角速度等概念的解释，来深入探讨物体的周期性运动。
简谐振动实验是通过将物体固定在弹簧上，并给予一定的初动条件，观察物体在弹簧的作用下的周期性振动。
首先，我们需要了解简谐振动的基本概念。
周期是指物体完成一次完整振动所需的时间，通常用符号T表示，单位是秒。
频率是指单位时间内振动的次数，用符号f表示，单位是赫兹。
振幅是指物体振动过程中离开平衡位置的最大位移，用符号A表示，单位是米。
角速度是指物体在单位时间内从一个位置到达下一个位置所转过的角度，用符号ω表示，单位是弧度/秒。
在简谐振动实验中，我们可以测量到物体振动的周期或频率，通过这些测量结果，我们可以计算出物体的振幅和角速度。
对于周期性运动的分析，我们可以通过实验数据来绘制振动曲线。
在图表中，横轴表示时间，纵轴表示物体的位移。
在简谐振动中，物体的振动曲线呈现正弦或余弦函数的形式，这是因为简谐振动是一种等速率回复的运动。
为了更好地理解振动的特性，我们还可以分析振动的振幅和角速度。
振幅决定了物体离开平衡位置的最大位移，而角速度则决定了物体在单位时间内的角度变化。
物体的振幅和角速度可以通过以下公式计算：振幅 A = 最大位移 - 平衡位置的位移角速度ω = 2π / 周期通过对这些计算结果的分析，我们可以更好地了解简谐振动的特性并进行深入的研究。
除了了解简谐振动的基本概念和分析方法，实验中还需要注意一些实验技巧和安全问题。
在进行实验时，要确保弹簧固定牢固，并保持振动系统干净和无杂质。
同时，由于振动过程中会产生能量损耗，所以在长时间实验过程中需要对能量损耗进行补充。
此外，还要注意实验中使用的仪器和设备的安全操作，避免发生意外。
综上所述，简谐振动实验是一种研究物体周期性运动规律的重要方法。
通过对实验数据的解析，我们可以了解物体的周期、频率、振幅和角速度等重要概念，进而更好地理解和分析物体的周期性运动。
如何求导简谐运动的周期公式
如何求导简谐运动的周期公式一个做匀速圆周运动的物体在一条直径上的投影所做的运动即为简谐运动,这句话如何理解,如何利用高中2年级上册和以前所学的内容求导简谐运动的周期公式.我才上高2,微积分和导数我们没学,希望各路高手们能用我可以理解的方法,简谐振动的频率与什么因素有关?答案圆周运动如果放在坐标系里，沿过圆心任意单一坐标轴方向实际上就是简谐振动，所以你可以根据圆周运动的特点结合三角函数工具求出任意时刻做简谐振动的振子的精确位置，我高中时候发现的呵呵，这个可以做考点的考题当时还没怎么发现。
有了这个比较相信你可以找出你的问题答案了吧如何用动力学方程确定简谐振动的频率？问题补充：可以用高中，不涉及微积分的方法么？答案简谐振动的力f=-kx,运动物体质量m,则圆频率w满足w^2=k/m.推导:f=-kx f=ma=m*d^2x/dt^2所以m*d^2x/dt^2 + kx =0x"+ w^2 x=0 其中w^2=k/m这个微分方程的解是x=A*sinwt从运动方程看,显然wt变化2pi,运动情况又周而复始,完全一致.所以周期就是2pi/w,频率就是周期的倒数w/2pi.（频率与圆频率差个系数2pi，物理意义没什么差别）我不会用高中方法确定简谐振动的频率,没有这种方法也说不定机械振动：1、定义：物体在平衡位置附近做往复运动，简称振动。
2、回复力：振动物体所受的使物体返回平衡位置的力。
注：（1）机械振动是一种周期性运动。
（2）平衡位置是指物体所受回复力为零的位置，不一定是运动路径的中心点。
例：（3）回复力可以由振动物体受到的某一个力来提供，也可以由振动物体受到的几个力的合力来提供。
（4）回复力是产生振动的条件，它总是指向平衡位置。
二、实例分析：弹簧振子1、弹簧振子：（理想模型）理想化：①弹簧质量不计①弹簧质量不计②物块与地面②小球与杆之间的摩擦不计的摩擦不计注：弹簧质量比振子质量小得多。
2、分析：（1）回复力由弹簧弹力提供令向右为正，则特征：回复力的大小跟位移大小成正比，并总指向平衡位置，具有此特征的振动叫简谐运动。
谈谈单摆实验高考点以及简谐振动周期公式推导
谈谈单摆实验高考点以及简谐振动周期公式推导谈谈单摆实验高考点以及简谐振动周期公式推导单摆实验在高考中经常出现，主要是利用单摆来测量当地重力加速度，其原理为：T=2π\sqrt{\frac{l}{g}}化解为：l=\frac{g}{4π^2}T^2或 T^2=\frac{4π^2}{g}l然后作出l-T^2或 T^2-l 的图像，通过图像斜率即可得到重力加速度。
非常简单！考点在哪里？主要有两点，就是周期T怎么测量？摆长l怎么测量？先说如何衡量周期。
只需要使用秒表以及如何使用。
我已经在下面的文章中介绍过了:考点在于我们测周期的时候，肯定要测多个周期，如n个周期，再用n个周期的总时间t除以n得到一个周期的时间，然后我们就要问，从哪个点作为周期的起点和终点呢？两种选择，一是最高点，二是平衡位置，如果要有第三个选择，那就是任意位置。
答案是什么？平衡位置。
原因是什么？我们可以这样认为。
一方面，最高点的位置很难判断，无法确定是否达到最高点，所以我们选择平衡位置来计数。
但是有小伙伴提出来了，平衡位置处小球速度比较快，一下就过去了，不好计数，而最高点处小球速度慢，好计数。
这是一个很好的问题。
但是做实验不是怎么方便就能怎么来的，我们仔细来分析一下，正因为在平衡位置处小球速度快，所以才要选择在平衡位置处计数，为什么呢？我们人眼是有观测误差的，不能保证每次都百分之百正确定位某一位置，比如，我们选择在最高点计数时，可能是定位在最高点的某个范围呢，如下：当然，在平衡位置计数时，也是定位在平衡位置的某个范围内，如下：但是，我们知道，平衡位置处小球运动速度快，所以同样因为位置定位误差所造成的时间误差比较小。
例：(2016年10月浙江物理选考第21题)在“探究单摆周期与摆长的关系”的实验中，测量单摆的周期时，图中________(填“甲”“乙”或“丙”)作为计时开始与终止的位置更好些。
接下来，我们再讲一讲摆长的问题，就是 l ，其实很简单，摆长不只是细线的长度，而是细线长度加上小球的半径，有小伙伴说，小球的半径是不是可以忽略，当然不可以了！但是有一点，我有必要跟小伙伴们说一下，我们测量细线长度用的是一般的刻度尺，读数为x.xxcm，即xx.xmm，而小球的半径（直径）是用游标卡尺测量的，如果用10分度的游标卡尺，其读数为xx.xmm，其精度与刻度尺相匹配，如果用20分度或50分度来测量的话，其精度将高于细线测量的精度，其实是没有必要的，当然也可以这样做。
单摆简谐振动周期公式的两种推导方法
．
ｌ一 矗
√ 作要求 ，但很多学生 对该结 论饶 有兴趣 ，但 作为 教师应该 知 ＝４
道该公式 的推导过程 ，只有这样 才能对 单摆做简谐运 动有更
‘，＋ １ ，２“２十 ｌ ｘ ３忌 “
清晰全 面的理解 ．笔者试着 利用 高等数 学数学方法从 机械能
＋
守恒和受力两个角度推导该公式 ．
２０１１年 ｌ０月
Ｖｏ１．２９ Ｎｏ．１９ 中学 物 理
单 摆 简 谐 振 动 周 期 公式 的两 种推 导 方 法
陈洪武
（宜阳县第一高级中学 河南 宜阳 ．４７１６００）
单摆做简谐振动的周期公式Ｔ＝２丌＾／÷ｇ ，笔者在从事 则 Ｔ ～ ＇ ｄｕ
物理教学时发现这个公式是直接给 出的，对该公式 的推导不
愚 “６＋…… ）ｄ“
１ 从机械能守恒的角度
如 图 １所示 ，当 口０＜ １０。时 ，单摆 做简谐
振 动．设其摆动时最大摆角是 。，摆球 的质量
是 ｍ，摆长为 ｚ，取摆球 在最低 点 为重力 势能
的零点 ，忽略空 气阻力等 因素的影 响，摆球 的
机械能守恒 ．设 经 过时 间 ｔ。从最 低 点 向上 摆
余弦 函数的周期为 ２ ，有上式知 ２７ｒ＝ ０ Ｔ；
令 七 譬一 ，
故有
Ｔ ＝ ，
则
．ｄＯ ＝下Ｖ／＇Ｉ－＿ｋ２ｕ２
则
ｄ“ ■ ‘ —
·‘ ｄＯ，
因∞。＝√手，即有丁＝２丌√吉．
以上是对单摆做简谐振动的周期 公式 的两种推导 ，通 过 推导可 以更加清楚单摆简谐振动的规律 ，希望能对教 育教学
过 的角度是 ０，则根据机械能守恒有
高考物理专题复习二 简谐运动的定义和证明
高考物理专题复习二简谐运动的定义和证明一、简谐运动的定义1．从动力学角度定义：如果质点所受的力与它偏离平衡位置位移的大小成正比，并且总是指向平衡位置，质点的运动就是简谐运动。
即回复力F= -kx，这是质点做简谐运动的充要条件。
2．从运动学角度定义：如果质点的位移与时间的关系遵从正弦函数的规律x=A sin(ωt+φ)，即它的振动图象（x-t图象）是一条正弦曲线，这样的振动叫做简谐运动，这也是质点做简谐运动的充要条件。
⑴简谐运动的位移x是指偏离平衡位置的位移。
⑵回复力F是一种效果力。
是质点在沿振动方向上所受的合力。
⑶k是回复力系数，有别于弹簧的劲度系数。
二、简谐运动的证明⑴证明过程，凡是题目没出现的物理量，必须说明所设物理量的符号及意义。
⑵根据F= -kx证明简谐运动，步骤是：①建立以平衡位置为原点的坐标系；②在坐标系上任取位移为x的一点（取在正方向即可，位移必须设为x，不能设为d、A等常量；③证明沿振动方向的合力（回复力）F= -kx。
⑶若要求质点振动过程的最大动能，最好选从最远点到平衡位置过程用动能定理，沿振动方向的合外力就是回复力，该过程回复力做的功等于动能变化。
（利用F-x图象或用xW⋅=）F练习题：1．单摆摆长为l，摆球质量为m。
将摆球向左拉动，使其离开平衡位置的距离为A，此时摆线与竖直方向所成角度很小。
无初速释放摆球。
取重力加速度为g。
⑴试证明释放后小球的运动是简谐运动，并求回复力系数k；⑵试求摆球振动过程的最大动能E k。
2．理论研究表明：质量均匀分布的球壳对其内部物体的引力之和为零。
设万有引力常量为G ，地球质量为M ，半径为R ，球心为O ，不考虑地球自转。
求： ⑴在地面以下距地心x 处（x ≤R ）的重力加速度大小g x ；⑵设想沿地球直径开通一条隧道，由隧道上端由静止释放一个质量为m 的小球a ．试证明小球将做简谐运动；b ．已知简谐运动的周期为km T π2=，其中m 为振子质量，k 为回复力系数。
简谐运动周期公式证明
为了使示意图更加简洁，全部假设k=1，这样的话以为F=-kx（并且在此强调回此处负号只表示方向，不表示数值，所以在证明中使用数值关系时全部忽略负号），所以回复力F数值上和在图中的线段长度等于位移X，所以在2个示意图中都是用一条线表示的。
[6]一般简谐运动周期公式证明因为简谐运动可以看做圆周运动的投影，所以其周期也可以用圆周运动的公式来推导。
见右图。
圆周运动的；很明显v无法测量到，所以根据得到。
其中向心力F便可以用三角函数转换回复力得到即（F=-kx中负号只表示方向，所以在这省略）。
所以得到；因为x与r之间的关系是：x=rcosα，所以上式继续化简得到：。
然后再将V带入之前的圆周运动T中，即可得到。
[4]单摆周期公式证明首先必须明确只有在偏角不太大的情况（一般认为小于5°）下，单摆的运动可以近似地视为简谐运动。
单摆周期公式证明见示意图，在偏角很小时，我们可以近似的看做图中红色箭头即位移x（回复力）垂直于平衡位置。
于是我们便可以得到sinα≈。
同时因为回复力为重力与速度平行方向上的分力即图中重力分力2，重力分力1即L的延长线。
于是我们可以得到△AOB与重力和它的分力所构成的三角形相似（注意相似时的三角形方向）即可得到：（注意：此处比例关系中的位移x虽然在k=1的假设下数值上等于回复力F，但是必须清楚在意义上G才是真正的回复力F，因为回复力F为重力与速度平行方2）[7]向上的分力即G2于是根据相似我们可以得到，于是化简得到，于是得到，然后将这个转换带入一般简谐运动周期公式便得到了单摆的周期公式。
[1]5运动方程推导编辑定义：一个做匀速圆周运动的物体在一条直径上的投影所做的运动即为简谐运动：R是匀速圆周运动的半径，也是简谐运动的振幅；ω是匀速圆周运动的角速度，也叫做简谐运动的圆频率，;φ是t=0时匀速圆周运动的物体偏离该直径的角度（逆时针为正方向），叫做简谐运动的初相位。
在t时刻，简谐运动的位移x=Rcos（ωt+φ），简谐运动的速度v=-ωRsin （ωt+φ），简谐运动的加速度a=-ω2Rcos（ωt+φ），这三个式子叫做简谐运动的方程。
简谐运动表达式的推导过程
简谐运动表达式的推导过程简谐运动是物体绕某一平衡位置作正弦或余弦函数规律的周期性振动。
这种振动可以描述为物体在相对于平衡位置的位移，速度和加速度之间的关系。
设物体的位移为x，时间为t。
根据简谐运动的定义，物体的位移可以表示为：x(t) = A*cos(ωt + φ)其中，A为振幅，即位移的最大值；ω为角速度，表示单位时间内物体运动的角度；φ为初相位，即t=0时刻的位移相位。
物体的速度v是位移x对时间t的导数：v(t) = dx/dt = -A*ω*sin(ωt + φ)物体的加速度a是速度v对时间t的导数：a(t) = dv/dt = -A*ω^2*cos(ωt + φ)通过上述推导，我们可以得到简谐运动的位移、速度和加速度的表达式。
这些表达式给出了物体在简谐运动下的行为规律。
简谐运动的基本特点之一是周期性。
一个完整的周期所需要的时间称为周期T，与角速度的关系为：T = 2π/ω另外，我们知道角频率ω和周期T之间的关系为：ω = 2π/T在简谐运动中，位移、速度和加速度之间存在特定的相位关系。
相位可以通过位移关于时间的函数来表示。
在一个完整的周期内，位移函数的周期与角速度相同，但相位可能不同。
因此，可以将位移函数表示为相位关系的函数。
在推导过程中，我们假设物体在t=0时刻位于平衡位置。
这就是为什么位移函数中包含一个相位偏移量φ。
通过调整φ的值，我们可以描述物体在简谐运动中的不同相位。
以上是简谐运动表达式的推导过程。
这些表达式可以帮助我们描述和理解物体在简谐运动中的行为规律，例如弹簧振子、摆锤等物理现象。
理解简谐运动的表达式对于研究和应用相关领域的问题具有重要意义，例如机械、电子、声学等学科。
简谐振动总结
★简谐运动简谐运动（Simple harmonic motion）（SHM）（直译简单和谐运动）是最基本也最简单的机械振动。
当某物体进行简谐运动时，物体所受的力跟位移成正比，并且总是指向平衡位置。
它是一种由自身系统性质决定的周期性运动。
（如单摆运动和弹簧振子运动）实际上简谐振动就是正弦振动。
故此在无线电学中简谐信号实际上就是正弦信号。
如果质点的位移与时间的关系遵从正弦函数的规律，即它的振动图像（x-t图像）是一条正弦曲线，这样的振动叫做简谐运动。
定义如果做机械振动的质点，其位移与时间的关系遵从正弦（或余弦）函数规律，这样的振动叫做简谐运动，又名简谐振动。
因此，简谐运动常用作为其运动学定义。
其中振幅A，角频率，周期T，和频率f的关系分别为：、。
科学结论振幅、周期和频率简谐运动的频率（或周期）跟振幅没有关系，而是由本身的性质（在单摆中由初始设定的绳长）决定，所以又叫固有频率。
一般简谐运动周期 , 其中m为振子质量，k为振动系统的回复力系数。
一般，若振子受重力与弹力二力等效k=k,但平衡位置为kx=mg时所在位置。
单摆运动周期其周期（π为圆周率）这个公式仅当偏角很小时才成立。
T与振幅（a<5°）都和摆球质量无关，仅限于绳长<<地球半径。
[2]扩展：由此可推出，据此可利用实验求某地的重力加速度。
周期公式证明为了使示意图更加简洁，全部假设k=1，这样的话以为F回=-kx（并且在此强调此处负号只表示方向，不表示数值，所以在证明中使用数值关系时全部忽略负号），所以回复力F数值上和在图中的线段长度等于位移x，所以在两个示意图中都是用一条线表示的。
一般简谐运动周期公式证明因为简谐运动可以看做圆周运动的投影，所以其周期也可以用圆周运动的公式来推导。
圆周运动的；很明显v无法测量到，所以根据得到。
其中向心力F便可以用三角函数转换回复力得到即（F=-kx中负号只表示方向，所以在这省略）。
所以得到；因为x与r之间的关系是：x=rcosα，所以上式继续化简得到：。
简谐振动及其周期推导与证明
简谐振动及其周期公式的推导与证明简谐振动：如果做机械振动的物体，其位移与时间的关系遵从正弦（或余弦）函数规律， 这样的振动叫做简谐振动。
位移：用x 表示，指振动物体相对于平衡位置的位置变化，由简谐振动定义可以得出x 的一 般式：)cos(ϕω+=t A x （下文会逐步解释各个物理符号的定义）；振幅：用A 表示，指物体相对平衡位置的最大位移；全振动：从任一时刻起，物体的运动状态（位置、速度、加速度），再次恢复到与该时刻完 全相同所经历的过程；频率：在单位时间内物体完成全振动的次数叫频率，用f 表示；周期：物体完成一次全振动所用的时间，用T 表示；角频率：用ω表示，频率的2π倍叫角频率，角频率也是描述物体振动快慢的物理量。
角频 率、周期、频率三者的关系为：ω=2π/T =2πf ；相位：ϕωφ+=t 表示相位，相位是以角度的形式出现便于讨论振动细节，相位的变化率就是角频率，即dtd φω=； 初相：位移一般式中ϕ表示初相，即t =0时的相位，描述简谐振动的初始状态；回复力：使物体返回平衡位置并总指向平衡位置的力。
（因此回复力同向心力是一种效果力）如果用F 表示物体受到的回复力，用x 表示小球对于平衡位置的位移，对x 求二阶导即得：)cos(2ϕωω+-=t A a又因为F=ma ，最后可以得出F 与x 关系式：kx x m F -=-=2ω由此可见，回复力大小与物体相对平衡位置的位移大小成正比。
式中的k 是振动系统的回复力系数（只是在弹簧振子系统中k 恰好为劲度系数），负号的意思是：回复力的方向总跟物体位移的方向相反。
简谐振动周期公式：km T π2=，该公式为简谐振动普适公式，式中k 是振动系统的回复力 系数，切记与弹簧劲度系数无关。
单摆周期公式：首先必须明确只有在偏角不太大的情况（一般认为小于10°）下，单摆的运 动可以近似地视为简谐振动。
我们设偏角为θ，单摆位移为x ，摆长为L ，当θ很小时，有关系式：Lx ≈≈≈θθθtan sin ， 而单摆运动的回复力为F=mgsin θ，那么单摆运动中回复力系数Lmg k =，代入简谐振动周期普适公式可得： gL T π2= 简谐振动周期公式推导与证明：（1）求导法：对x 求二阶导，得：)cos(2ϕωω+-=t A a ，由F=ma= -kx 得：mk =ω， km T πωπ22==。
弹簧振子的谐振简谐运动和周期性振动的原理
弹簧振子的谐振简谐运动和周期性振动的原理谐振是物体在外力作用下发生周期性振动的现象。
而弹簧振子是一种经典的谐振系统，在许多物理领域有广泛的应用。
本文将探讨弹簧振子的谐振简谐运动以及周期性振动的原理。
一、弹簧振子的谐振简谐运动弹簧振子由一个质量为m的物体和一个弹性劲度系数为k的弹簧组成，当物体在弹簧的拉伸或压缩作用下发生振动时，形成了弹簧振子的谐振简谐运动。
弹簧振子的谐振简谐运动满足以下条件：1. 力的方向与位移的方向相同，即弹簧和物体之间的力是恢复力，与物体的位移方向相反。
2. 力的大小与位移呈线性关系，即恢复力的大小正比于物体的位移。
根据胡克定律，弹簧恢复力的大小与物体的位移成正比，即F = -kx，其中F为恢复力，x为位移，k为弹簧的劲度系数。
根据牛顿第二定律，物体受到的合力与物体的加速度成正比，即F= ma，其中F为物体所受合外力，m为物体的质量，a为物体的加速度。
将上述两个方程联立可得：ma = -kx，整理得到物体的振动方程为m¨x = -kx，其中¨x表示物体位移的二阶导数。
解以上振动方程可得到物体的位移解为x(t) = A sin(ωt + φ)，其中A 为振幅，ω为角频率，t为时间，φ为初相位。
二、周期性振动的原理周期性振动是指物体在一定条件下，周期地重复发生相同的振动过程。
弹簧振子的谐振简谐运动就是一种周期性振动。
周期性振动的原理可用能量转化和损耗的角度来解释。
在弹簧振子的谐振简谐运动过程中，弹簧和物体之间的能量不断地由动能转化为势能，同时由势能转化为动能。
当物体经过平衡位置并完成一次往复振动后，其动能和势能的总能量恢复初始状态。
然而，在实际振动过程中，存在着摩擦阻力等非保守力的损耗，使得物体的振幅逐渐减小，最终停止振动。
这是因为非保守力将机械能耗散为热能和其他形式的能量，从而导致周期性振动的停止。
为了维持周期性振动的稳定，需要外力对系统进行周期性的驱动，这个外力称为驱动力。
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简谐振动及其周期公式的推导与证明
简谐振动：如果做机械振动的物体，其位移与时间的关系遵从正弦（或余弦）函数规律， 这样的振动叫做简谐振动。
位移：用x 表示，指振动物体相对于平衡位置的位置变化，由简谐振动定义可以得出x 的
一 般式：)cos(ϕω+=t A x （下文会逐步解释各个物理符号的定义）；
振幅：用A 表示，指物体相对平衡位置的最大位移；
全振动：从任一时刻起，物体的运动状态（位置、速度、加速度），再次恢复到与该时刻完 全相同所经历的过程；
频率：在单位时间内物体完成全振动的次数叫频率，用f 表示；
周期：物体完成一次全振动所用的时间，用T 表示；
角频率：用ω表示，频率的2π倍叫角频率，角频率也是描述物体振动快慢的物理量。
角频 率、周期、频率三者的关系为：ω=2π/T =2πf ；
相位：ϕωφ+=t 表示相位，相位是以角度的形式出现便于讨论振动细节，相位的变化率
就是角频率，即dt
d φω=； 初相：位移一般式中ϕ表示初相，即t =0时的相位，描述简谐振动的初始状态；
回复力：使物体返回平衡位置并总指向平衡位置的力。
（因此回复力同向心力是一种效果力）
如果用F 表示物体受到的回复力，用x 表示小球对于平衡位置的位移，对x 求二阶导即得：
)cos(2ϕωω+-=t A a
又因为F=ma ，最后可以得出F 与x 关系式：
kx x m F -=-=2ω
由此可见，回复力大小与物体相对平衡位置的位移大小成正比。
式中的k 是振动系统的回复力系数（只是在弹簧振子系统中k 恰好为劲度系数），负号的意思是：回复力的方向总跟物体位移的方向相反。
简谐振动周期公式：k
m T π
2=，该公式为简谐振动普适公式，式中k 是振动系统的回复力 系数，切记与弹簧劲度系数无关。
单摆周期公式：首先必须明确只有在偏角不太大的情况（一般认为小于10°）下，单摆的运 动可以近似地视为简谐振动。
我们设偏角为θ，单摆位移为x ，摆长为L ，当θ很小时，有关系式：
L
x ≈≈≈θθθtan sin ， 而单摆运动的回复力为
F=mgsin θ，
那么单摆运动中回复力系数L
mg k =，代入简谐振动周期普适公式可得： g
L T π2= 简谐振动周期公式推导与证明：
（1）求导法：
对x 求二阶导，得：)cos(2ϕωω+-=t A a ，
由F=ma= -kx 得：m
k =ω， k
m T πωπ
22==。
（2）等效替代I ：
做匀速圆周运动的物体在任意一直径上的垂直投影做简谐振动。
这是研究简谐振动的一个重要结论。
下面给出证明：
如图，设物体做匀速圆周运动，线速度为v ，半径为r ，角速度为ω，以圆心为坐标原点建立坐标系，设初始位置与圆心连线和x 轴夹角为ϕ，经过的时间为t ，则该物体在x 轴上投影相对于原点的位移x 满足
)cos(ϕω+=t r x ，
由此可见，该投影做的是一个简谐振动。
既然做匀速圆周运动的物体在任意一直径上的垂直投影做简谐振动，那么投影做简谐
振动的周期与物体做匀速圆周运动周期相等。
投影在x 轴方向上运动的加速度与物体向心加速度沿x 轴方向分量相等，
)cos(ϕω+=t a a x ， 如果我们把投影当成一个质量为m 的物体，那么该物体做简谐运动所需回复力为
)cos(2ϕωω+==t r m ma F x ，
注意到)cos(ϕω+t r 刚好是投影偏离原点的位移大小，该位移方向与F 方向相反，故
kx x m F --2==ω， 那么m k =ω，故k
m T πωπ22==
（3）等效替代II （只对弹簧振子有效）：
以弹簧振子为例，设振幅为A ，弹簧劲度系数为k ，振子质量为m ，振动周期为T ，假设从最大位移处开始运动的41周期内，存在这样的力f ，使得4
·T f 在数值上等于物体
最大动量。
而该4
1周期内，回复力F 产生的总冲量大小为 ωωωπkA
ydy kA tdt kA Fdt I T T F ====⎰⎰⎰cos cos 40402
由动量定理可知，等价力f 产生的冲量与该冲量大小相等，那么
πωkA T kA I f T F 244
===， 对于弹簧振子，由能量守恒可得：
2max 2max 2121mv E kA E kamx p ===，由此可见A m
k v =max ，故A km p =max 因而由A km p T f ==max 4· 可得：k
m kA A km f A km T ππ2244===
（4）能量守恒（只对弹簧振子有效）
以弹簧振子为例，振动没有能量损耗时，动能、势能相互转化，机械能守恒。
设振子质量为m ，最大速度为v ，振幅为A ，弹簧劲度系数为k ，角频率为ω，那么 最大动能2max 21mv E k =
，又)sin(ϕω+=t A x ，对其求一介导得)cos('ϕωω+=t A x ，由 此可见最大速度为v=ωA ，故，222max 2
121ωmA mv E k ==， 最大势能2max 21kA E p = max max k p E E =，故2ωm k =，即m k =
ω，那么k m T πωπ22==。