简谐振动总结

★简谐运动

简谐运动（Simple harmonic motion）（SHM）（直译简单和谐运动）是最基本也最简单的机械振动。当某物体进行简谐运动时，物体所受的力跟位移成正比，并且总是指向平衡位置。它是一种由自身系统性质决定的周期性运动。（如单摆运动和弹簧振子运动）实际上简谐振动就是正弦振动。故此在无线电学中简谐信号实际上就是正弦信号。

如果质点的位移与时间的关系遵从正弦函数的规律，即它的振动图像（x-t图像）是一条正弦曲线，这样的振动叫做简谐运动。

定义

如果做机械振动的质点，其位移与时间的关系遵从正弦（或余弦）函数规律，这样的振动叫做简谐运动，又名简谐振动。因此，简谐运动常用

作为其运动学定义。其中振幅A，角频率，周期T，和频率f的关系分别为：、

。

科学结论

振幅、周期和频率

简谐运动的频率（或周期）跟振幅没有关系，而是由本身的性质（在单摆中由初始设定的绳长）决定，所以又叫固有频率。

一般简谐运动周期 , 其中m为振子质量，k为振动系统的回复力系数。

一般，若振子受重力与弹力二力等效k=k,但平衡位置为kx=mg时所在位置。

单摆运动周期

其周期

（π为圆周率）这个公式仅当偏角很小时才成立。T与振幅（a<5°）都和摆球质量无关，仅限于绳长<<地球半径。[2]

扩展：由此可推出，据此可利用实验求某地的重力加速度。

周期公式证明

为了使示意图更加简洁，全部假设k=1，这样的话以为F回=-kx（并且在此强调此处负号只表示方向，不表示数值，所以在证明中使用数值关系时全部忽略负号），所以回复力F数值上和在图中的线段长度等于位移x，所以在两个示意图中都是用一条线表示的。

一般简谐运动周期公式证明

因为简谐运动可以看做圆周运动的投影，所以其周期也可以用圆周运动的公式来推导。

圆周运动的；很明显v无法测量到，所以根据

得到。

其中向心力F便可以用三角函数转换回复力得到即

（F=-kx中负号只表示方向，所以在这省略）。

所以得到；

因为x与r之间的关系是：x=rcosα，所以上式继续化简得到：

。

然后再将v带入之前的圆周运动T中，即可得到

。

单摆周期公式证明

首先必须明确只有在偏角不太大的情况（高中课本认为小于5°均可）下，单摆的运动可以近似地视为简谐运动。见示意图，在偏角很小时，我们可以近似的看做图中红色箭头即位移x（回复力）垂直于平衡位置。于是我们便可

以得到sinα≈。同时因为回复力为重力与速度平行方向上的分力即图中重力分力2，重力分力1即L的延长线。于是我们可以得到△AOB与重力和它的分力所构成的三角形相似（注意相似时的三角形方向）即可得到：

单摆周期公式证明

注意：此处比例关系中的位移x虽然在k=1的假设下数值上等于回复力F，但是必须清楚在意义上G2才是真正的回复力F，因为回复力F为重力与速度平行方向上的分力即G2[5]。

于是根据相似我们可以得到

，于是化简得到，于是得到，然后将这个转换带入一般简谐运动周期公式便得

到了单摆的周期公式。

运动方程推导

定义：一个做匀速圆周运动的物体在一条直径上的投影所做的运动即为简谐运动：

若：

将R记为匀速圆周运动的半径，即：简谐运动的振幅；

将ω记为匀速圆周运动的角速度，即：简谐运动的圆频率，则：

；

将φ记为t=0 时匀速圆周运动的物体偏离该直径的角度（逆时针为正方向），即：简谐运动的初相位。

则，在t时刻：

简谐运动的位移x=Rcos（ωt+φ）；

简谐运动的速度v=-ωRsin（ωt+φ）；

简谐运动的加速度a=-ω2Rcos（ωt+φ），上述三式即为简谐运动的方程。

简单推导

根据简谐运动的定义，

简谐运动与圆周运动示意图

在右图的示意图中，我们可以清晰的看出上面各个概念在途中的表示。O点为圆心，也为简谐运动的平衡位置。

对位移的推导使用三角函数的有关知识（ωt+φ）即角度,运用三角函数便求出了O点与结束位置的距离，即位移。（此图中位移为负数，即设定左边方向为正方向）所以得出方程x=Rcos（ωt+φ）。

因为速度即为，运用微积分的知识对位移方程进行微分，便可得到导数 =-ωRsin（ωt+φ），即v=-ωRsin（ωt+φ）。

同理，加速度为，也可以写为（二次导数），于是我们再次对速度方程进行微分，得到二次导数

=-ω2Rcos（ωt+φ），即a=-ω2Rcos（ωt+φ）。

说明

1、这个运动是假设在没有能量损失引至阻力的情况而发生。

2、做简谐运动的物体的加速度跟物体偏离平衡位置的位移大小成正比，方向与位移的方向相反，总指向平衡位置。严格推导

右图是用微分方程法对简谐运动的物理过程的详细推导，其中的表达式都用严格的公式给出：

微分方法

十个“不一定”

简谐运动是最简单、最基本的机械振动，是物体在跟偏离平衡位置的位移大小成正比，并且总指向平衡位置的回复力作用下的振动。简谐运动也是高中物理部分的重点知识之一。弄清简谐运动的规律对进一步学习机械波、交流电、电磁波等具有非常重要的意义。笔者针对怎样理解简谐运动的特点和规律提出以下十个“不一定”。

一、物体运动的路线不一定都是直线

例如，单摆摆球做简谐运动时的运动路线是在摆球平衡位置两侧并通过平衡位置的一段圆弧，即摆球的运动路线为曲线。

二、物体运动的速度方向与位移方向不一定相同

简谐运动的位移指的是振动物体偏离平衡位置的位移，位移的起点总是在平衡位置，那么当物体远离平衡位置时位移方向与速度方向相同，靠近平衡位置时位移方向与速度方向相反。

三、振动物体所受的回复力方向与物体所受的合力方向不一定相同

例如，单摆在平衡位置附近（小角度围）的摆动既做圆周运动，又做简谐运动，摆球所受到的各个力的合力既要提供其做圆周运动的向心力，又要提供其做简谐运动的回复力，即单摆振动过程中摆球受到所有力的合力的一个分力提供向心力，另一个分力提供回复力。那么回复力方向就与摆球所受到的各力的合力方向不相同。

四、物体在平衡位置不一定处于平衡状态

例如，单摆摆球做简谐运动经过平衡位置时，由于摆球的平衡位置在圆弧上，摆球在圆弧上做圆周运动需要向心力，故摆球在平衡位置处悬绳的拉力大于摆球的重力，即摆球在平衡位置并非处于平衡状态。

五、物体在四分之一周期通过的路程不一定等于振幅