简谐运动中的振幅 周期 频率和相位
《大学物理》课程标准
《普通物理》课程标准1. 课程基本信息课程代码：课程归口：电子信息工程技术专业适用专业：电子信息工程技术学时数：64学分：4先修课程：高等数学2. 课程性质与地位大学物理是高等院校非物理类理工科各专业学生一门重要的通识性必修基础课。
物理学是研究物质的基本结构、基本运动形式、相互作用的自然科学。
它的基本理论渗透在自然科学的各个领域，应用于生产技术的许多部门，是其他自然科学和工程技术的基础。
课程所教授的基本概念、基本理论和基本方法是构成学生科学素养的重要组成部分，是一个科学工作者和工程技术人员所必备的。
该课程在培养学生的探索精神和创新意识等方面，具有其他课程不能替代的重要作用。
3.课程的内容与要求第一部分力学.第1章质点运动学1.1质点运动的描述1.2加速度为恒矢量时的质点运动1.3圆周运动1.4相对运动基本要求：1.深入地理解质点、位移、速度和加速度等重要概念，深入理解质点的运动。
2.分析加速度为恒矢量时的质点运动方程。
3.明确圆周运动中角位移、角速度、切向加速度、法向加速度的关系。
重点与难点:1.加速度为恒矢量时质点运动方程的描写。
2.质点圆周运动的分析。
第2章动力学基本定律2.1牛顿定律2.2物理量的单位和量纲2.3几种常见的力2.4惯性参考系力学相对性原理2.5质点和质点系的动量定理2.6动量守恒定律2.7动能定理2.8保守力与非保守力势能2.9功能原理机械能守恒定律2.10完全弹性碰撞完全非弹性碰撞2.11能量守恒定律基本要求：1.清晰的理解牛顿第一定律、牛顿第二定律和牛顿第三定律。
2.熟练掌握几种常见力。
3.掌握物理量的单位和量纲。
4.理解惯性参考系和力学相对性原理,能列举出牛顿定律应用的例子。
5.掌握质点和质点系的动量定理。
6.熟练掌握动量守恒定律和动能定理。
7.掌握功能原理和机械能守恒定律。
8.清晰分辩出完全弹性碰撞和完全非弹性碰撞重点与难点:1.牛顿三定律的应用。
2.参考系的选择。
简谐振动和振动的周期与频率
简谐振动和振动的周期与频率振动是物体在某个平衡位置附近做往复性运动的现象，而简谐振动是一种特殊的振动形式。
本文将介绍简谐振动的基本概念、特性以及与振动周期和频率的关系。
一、简谐振动的基本概念简谐振动是指当物体相对于某个平衡位置做往复振动时，其运动满足以下条件：1. 振动轨迹为线性回复运动，即在平衡位置两侧来回振动；2. 振动的加速度与位移成正比，且方向相反；3. 振动的周期保持不变。
二、简谐振动的特性简谐振动具有以下几个重要的特性：1. 平衡位置：简谐振动的平衡位置是物体振动过程中处于位移为零的位置，也是物体所能达到的最稳定位置。
2. 振幅：振幅是指物体在振动过程中最大位移的绝对值，记作A。
振幅决定了振动的大小。
3. 周期：简谐振动的周期是物体完成一次往复运动所需的时间，记作T。
周期与振动频率的倒数成反比关系。
4. 频率：简谐振动的频率是振动单位时间内所完成的往复振动次数，记作f。
频率与周期的倒数成正比关系。
三、振动周期与频率的计算1. 振动周期的计算公式为：T = 2π√(m/k)，其中T表示振动周期，m表示物体的质量，k表示弹簧的劲度系数。
振动周期与质量和弹簧的劲度系数的平方根成正比。
2. 振动频率的计算公式为：f = 1/T，其中f表示振动频率。
振动频率与振动周期的倒数成正比。
四、简谐振动周期与频率的影响因素1. 振动的质量：物体的质量越大，一次振动所需的时间增加，即振动周期增大。
2. 弹簧的劲度系数：劲度系数越大，相同质量的物体在振动过程中对应的位移越小，即振动周期减小。
3. 振幅：振幅的增大会导致振动过程中位移的增大，从而影响振动周期和频率。
4. 外力的影响：外力对振动的周期和频率也会产生影响，如在简谐振动中加入阻尼力或外力作用。
五、结论简谐振动是一种特殊的振动形式，其运动满足线性回复运动、加速度与位移成正比且方向相反、振动周期保持不变的条件。
简谐振动的周期与物体质量和弹簧的劲度系数成正比，而与振幅和外力有关。
简谐振动
1 1 2 2 2 2 m A sin (t 0 ) kA cos 2 (t 0 ) 2 2
简谐振动的能量
1 2 考虑到 k m ，系统总能量为 E kA ，表明 2 简谐振动的机械能守恒。
2
能量平均值
1 T1 1 2 2 2 2 EK m A sin (t 0 ) d t kA T 0 2 4
§15-1 简谐振动
简谐振动：物体运动时，离开平衡位置的位移(或 角位移)按余弦(或正弦)规律随时间变化。
1.简谐振动的特征及其表达式
O
X
F
X
O
F
O
X
简谐振动的特征及其表达式
位移 x 之解可写为： 或
x A cos(t 0 )
i(t 0 )
x Ae
简谐振动的运动学特征:物体的加速度与位移成正 比而方向相反，物体的位移按余弦规律变化。
1 T1 2 1 2 2 EP kA cos (t 0 ) d t kA T 0 2 4
EK EP E 2
上述结果对任一谐振系统均成立。
简谐振动的能量
谐振子的动能、势能和总能量随时间的变化曲线:
E
EP
1 2 E kA 2
O
Ek
t
x
O
x A cos t
t
简谐振动的振幅、周期、频率和相位
(3)相位和初相
相位 (t 0 ) ：决定简谐运动状态的物理量。
初相位 0 ：t=0 时的相位。 相位概念可用于比较两个谐振动之间在振动 步调上的差异。 设有两个同频率的谐振动，表达式分别为： x1 A1 cos(t 10 )
x2 A2 cos(t 20 )
简谐运动中的振幅周期频率和相位资料重点
o
t
- A2
o
A1
-A1
A2
x
A1
x1 反相
两质点同时到达各
A2 o
- A2
x2
自相反方向的极端位置，
T
同时越过原点但向相反
t
方向运动.
-A1
A2
o
A2
9 – 2 简谐运动中的振幅 周期 频率和相位
➢ 超前和落后：
第九章 振 动
若 = 2- 1>0, 则 x2比x1较早达到正最大, 称x2比x1超前
k g
mb
( mg kb 0)
自然长度
F
b
当 t 0 时, x0 b ，0 0
mg
则 A
x02
02 2
b
arctg
0 x0
x b cos
1 （单位时间内的振动次数）
T 2π
9 – 2 简谐运动中的振幅 周期 频率和相位
第九章 振 动
圆频率 2π 2π
T
角频率(angular frequency)
(2 秒内的振动次数)
x
A
o
xt 图
T
T
t
A
2
注意
弹簧振子周期 T 2π m
k
周期和频率仅与振动系统本身的物理性质有关
9 – 2 简谐运动中的振幅 周期 频率和相位
第九章 振 动
简谐振动为
x2
v2
02
A2
v v
o
vx
• 简谐振动的相轨迹是椭圆，其形状大小取决于 初始条件。
9 – 2 简谐运动中的振幅 周期 频率和相位
第九章 振 动
例题 : 垂直悬挂的弹簧下端系一质量为m的小球，
简谐运动的周期、频率、振幅、相位
π 甲和乙的相差为_____ 甲和乙的相差为_____
2
课 堂 练 习 2. 某 简 谐 运 动 的 位 移 与 时 间 关 系 为 ：
x=0.1sin （ 100πt ＋ π ） cm, 由此可知该振动 sin（
50 Ｈz，零时 刻 振 动 物 体 的 速 度 与 规 定 正 方相反 （ 填 向 _____
T＝1.0s f＝1 Hz 振子在5s 5s末的位移的大小 （2）振子在5s末的位移的大小 10cm 振子5s 5s内通过的路程 （3）振子5s内通过的路程 200cm
一定 注意： 内通过的路程一定是 注意： T内通过的路程一定是4A 内通过的路程一定 1/2T内通过的路程一定是 1/2T内通过的路程一定是2A 1/4T内通过的路程不一定是 1/4T内通过的路程不一定是A 内通过的路程不一定
同相：频率相同、初相相同(即相差为0 同相：频率相同、初相相同(即相差为0） 的两个振子振动步调完全相同 反相：频率相同、相差为π 反相：频率相同、相差为π的两个振子 振动步调完全相反
思考与讨论 1、一个物体运动时其相位变化多少就意味着完成 了一次全振动? 了一次全振动? 相位每增加2 相位每增加2π就意味着发生了一次全振动 2、甲和乙两个简谐运动的相差为 ，意味着什么? 意味着什么?
x = A sin (ωt + ϕ )
课 堂 练 习 1.右图中是甲乙两弹簧振子的振动图象， 1.右图中是甲乙两弹簧振子的振动图象，两振 右图中是甲乙两弹簧振子的振动图象 动振幅之比为_______，频率之比为_______， 动振幅之比为_______，频率之比为_______， _______ _______ 2∶1 1∶1
二、简谐运动的表达式 相位
x = A sin(ωt + ϕ )
描述简谐振动的物理量
3.简谐振动的表达式
位移x表示函数值，用时间t来表示自变量 简谐振动的方程可用正弦函数（或余弦函数）来表示！
• 振幅？
∵
∴
位移的值在-A和A之间，振子离开平衡位 置的最大值是A，即振幅。
• 圆频率 根据周期性有
可得
—圆频率
或
4.相位
式中，当
确定时，x的值也能确定。
振动运动状态由
决定。
—相位，单位弧度（rad） 当t=0时，上式为 —初相位，简称初相
小结
简谐振动 表达式
振幅A
周期T
频率f
f=1/T
相位ωt+φ
初相位φ
（2）从B点首次到达C点的时间是周期的一半，所以 周期 T=2t=1s， 频率 f=1/T=1 Hz, 圆频率 ω=2πf=2π rad/s。
（3）振子一个周期内通过的路程为： 4A=20 cm
4 s通过的路程为： S=4×20=80 cm
由于4s后振子回到B点，所以其ห้องสมุดไป่ตู้移大小为5cm。
注意：振幅与振动范围的区别； 周期、频率和圆频率之间的关系； 路程与位移的区别。
• 相位差可以判断两个同频率简谐振动步调上的差异
（1） （2 -1） 2k π (k 0， 1 )
两振动物体运动步调完全相同，称为“同相”
（2） 2 1 (2k 1) π (k 0， 1 )
两振动物体运动步调完全相反，称为“反相”
振 幅 圆频率 初相
相位
振幅：描述振动的强弱。 相位：确定运动状态。 圆频率：描述振动的快慢。 初相：确定初始时刻运动状态。
怎样才能减小实验误差？
通过累积法，用秒表测出振子完成n次全振动的时 间t，则周期T=t/n。
简谐运动的动力学条件和周期公式的推导
简谐运动的动力学条件和周期公式的推导简谐运动是指任一物体在弹性力作用下做往复运动的运动形式。
简谐运动的动力学条件可由牛顿第二定律推导得到，而周期公式可以通过运动方程和周期性的特点得到。
首先，考虑一个质点在弹性力作用下做简谐运动的情况。
设该质点的质量为m，位移为x(t)，加速度为a(t)，弹性力的大小为F，方向与位移方向相反。
根据牛顿第二定律，可以得到：F = ma将弹性力分解为恢复力和阻尼力两部分，得到：F = -kx - bv其中，k为弹簧的弹性系数，b为阻尼系数，v为该质点的速度。
将上述两个方程整理得到：ma = -kx - bv设该运动的角频率为ω，即ω^2=k/m，则上述方程可以改写为：m(d^2x/dt^2) = -kx - b(dx/dt)将上式变形可得：d^2x/dt^2 + b/m(dx/dt) + k/mx = 0上述方程即为简谐运动的特征方程，通过求解特征方程可以求得x(t)。
设x(t)的解为：x(t) = A cos(ωt + φ)其中，A为振幅，φ为初相位。
将x(t)代入到特征方程中，可以得到：-Aω^2 cos(ωt + φ) + b/m(-Aωsin(ωt + φ)) + (k/m)Acos(ωt + φ) = 0化简上式可以得到：A(ω^2 - (b/m)ω) cos(ωt + φ) + (b/m)Aω sin(ωt + φ) = 0上式左右两边都乘以1/A，可得：(ω^2 - (b/m)ω) cos(ωt + φ) + (b/m)ω sin(ωt + φ) = 0由于振幅A不为零，因此上式中的括号内的内容必须为零，即：ω^2-(b/m)ω=0解上式可以得到两个解ω1=0和ω2=b/m。
显然，ω1=0表示没有振动，因此我们只考虑ω2=b/m的情况。
将ω=b/m代入到x(t)中，可得到：x(t) = A cos((b/m)t + φ)其中，（b/m）t+φ被称为相位角。
初中物理教案：简谐运动的特征和应用
初中物理教案：简谐运动的特征和应用1.简谐运动的概念和特征简谐运动是指物体沿着某一直线或者某一平面作往复振动，其振动规律是正弦函数关系的运动。
简谐运动的特征有以下几点。
①振幅固定：简谐运动中物体振动的振幅是固定不变的，不受外力影响，只有小的摩擦力才能使振幅减小。
②周期一致：简谐运动的周期是一致的，指的是运动一次所需要的时间。
当物体还原到原位后，它所必须经过的时间就是一个周期。
③频率固定：简谐运动的频率也是固定的，频率指的是单位时间内运动周期数，单位是赫兹（Hz）。
④相位相同：相位指的是在相同时间内振动物体所处的位置。
尽管不同物体可能在不同位置开始振动，但是可以认为它们运动的频率和振动幅度是相同的，因而在相同的时间里，它们的相位也是相同的。
2.简谐运动的应用①钟摆：钟摆运动是一种简谐运动，因为它的振动规律是正弦函数。
钟摆一般用于计时、测定重力场等方面。
②弹簧振子：弹簧振子是一种弹性体质量振动的实验模型，也是物理教学中非常常见的实验装置。
它的振动部分由弹簧和质量两部分组成，可以轻松的改变振动频率和振幅。
③摆式固有频率传感器：摆式固有频率传感器通常用于测试物体的质量和弹性模量，它的振动系统是一种简谐振动。
它通过测量物体振动的固有频率来计算物体的质量和弹性模量。
④天线摆：天线摆是一种用于感应电流的实验装置，它由一个振动的电磁天线和一个感应电路组成。
当天线振动时，感应电路会将振动转化为电流，从而实现无线电信号的接收和发送。
3.总结简谐运动是物理学中研究的一种基本模型，具有很广泛的应用。
通过对简谐运动的学习和了解，能够更好地理解物体的振动规律和物理现象，同时也为我们认识和开发科技和工程领域做出了重要的贡献。
高中物理复习：简谐运动规律
做机械振动的物体的偏离平衡位置的位移x 随时间t 做正弦规律变化时，物体的运动就被称之为简谐运动，其基本规律是sin()x A t ωϕ=+，其中ω为简谐运动的圆频率，由振动系统本身决定，A 为振幅，φ为初相位，这两者由振动系统的初始状态决定。
一、求导角度理解已知位移随时间的变化规律，即可根据x v t ∆=∆和v a t∆=∆得出振动物体的速度、加速度随时间的变化规律，这需要用到求导的知识。
1、简谐运动的速度规律：由x v t∆=∆得m cos()cos()v x A t v t ωωϕωϕ'==+=+，其中m v A ω=。
2、简谐运动的加速度规律：由v a t ∆=∆得2m sin()sin()a v A t a t ωωϕωϕ'==-+=-+，其中2m a A ω=。
由上述分析可知，振动物体的位移x 和速度v 这两个物理量中，一个振动量按正弦规律变化，另一个振动量就按余弦规律变化，而且有2a x ω=-，即振动物体的加速度a 大小正比于物体偏离平衡位置的位移x ，方向与位移x 的方向相反。
二、从运动方程角度理解将2a x ω=-写成微分方程，即222d d x x t ω=-，由数学知识可知，这个方程的解为sin()x A t ωϕ=+，其中A 为振幅，φ为初相位，这两者由振动系统的初始状态决定。
三、从动力学角度理解由牛顿第二定律，有2F ma m x ω==-，令2k m ω=，可得F kx =-，即做简谐运动的物体的回复力F 大小正比于物体偏离平衡位置的位移x ，方向与位移x 的方向相反。
将2k m ω=变形，可得ω=，则振动系统的周期为2πT ω==，此即为做简谐运动的物体的周期公式，由这个公式可以看出，简谐运动的周期仅仅由振动系统本身决定——振动物体的质量m 和比例系数k 。
对于弹簧振子模型，可以这样理解T =相同的回复力引起的加速度越小，振子回到平衡位置的时间就会越长；从最大位移处回到平衡位置过程中，弹簧的劲度系数越小，则相同位移处的回复力越小，振子的加速度越小，振子回到平衡位置的时间就会越长。
Ch9_1 简谐运动 振幅 周期和频率 相位
动力学方程
微分方程 的解：
振动方程
A
均与水平弹簧振子结果相同
9-1 简谐运动 振幅 周期和频率 相位
一轻弹簧的一端固定， 例1: 一轻弹簧的一端固定，另一端连 接一定质量的物体. 接一定质量的物体.整个系统位于水平 面内，系统的角频率为6 面内 ， 系统的角频率为 6.0s-1. 今将物 04m 体沿平面向右拉长到 x0=0.04m 处释 试求： 简谐运动表达式； 放，试求：(1)简谐运动表达式；(2)物 体从初始位置运动到第一次经过 A/2 处时的速度. 处时的速度.
F = −k1x1 = −k2x2
k1 x k1 + k2 根据牛顿第二定律
联立解得 x2 =
-----振动为简谐振动 -----振动为简谐振动 其频率为
ω 1 k1k2 = ν= 2π 2π (k1 + k2 )m
9-1 简谐运动 振幅 周期和频率 相位
讨论 已知t = 0, x = 0, v 0 < 0 求 ϕ
— 线性回复力
动力学特征
振动的成因
回复力+惯性
7
9-1 简谐运动 振幅 周期和频率 相位
X
对于给定的弹簧振子 则 得
为常量，其比值亦为常量。令 即
8
9-1 简谐运动 振幅 周期和频率 相位
由 得
简谐振动微分方程
应用转动定律，同理也可求得单摆的角振动微分方程
动力学特征 运动学特征 具有加速度 与位移的大小 成正比,而方向相反特征的 成正比, 振动称为简谐运动 振动称为简谐运动
A
A A
消去 A 得
对给定振动系统，周期由系统本身性质决定， 对给定振动系统，周期由系统本身性质决定， 振幅和初相由初始条件决定. 振幅和初相由初始条件决定.
22简谐运动的描述(210) 2023学年高二上学期物理人教版(2019)选择性必修第一册
5、简谐运动的表达式（简谐运动的位移-时间关系
根据一个简谐运动的振幅A、周期T、初相位φ0， 可以知道做简谐运动的物体在任意时刻t的位移x是
x
A sin( 2
T
t
0 )
x Asin(t 0 )
振动图象：正弦曲线
① A叫简谐运动的振幅.表示简谐运动的强弱. ② 叫圆频率.表示简谐运动的快慢.
x Asin(t )
质点再需经多少时间第三次经过M点？
例题7： 写出振动方程.
s
s
y=10sin(2π t) cm
x 10sin(2t )cm
2
或x 10cos 2t(cm)
一、描述简谐运动的物理量——振幅、 周期、频率和相位 振幅：描述振动强弱； 周期和频率：描述振动快慢; 相位：描述振动步调. 二、简谐运动的表达式：
2、周期T和频率f
做一做：测量小球振动的周期
如图 2.2-3，弹簧上端固定，下 端悬挂钢球。把钢球从平衡位置 向下拉一段距离 A，放手让其运 动，A 就是振动的振幅。用停表 测出钢球完成 n 个全振动所用的 时间 t， t /n就是振动的周期。n 的值取大一些可以减小测量误差。 再把振幅减小为原来的一半，用 同样的方法测量振动的周期。
第二节、简谐运动的描述 一、描述简谐运动的物理量 x Asin(t )
1、振幅A： 因为∣sin（ωt＋φ）∣≤1，所以∣x∣≤A，这说 明A是物体离开平衡位置的最大距离。
①定义:振动物体离开平衡位置的最大距离.(标量） ②意义:描述振动的强弱.
第二节、简谐运动的描述 一、描述简谐运动的物理量 x Asin(t )
过程中，函数值循环变化一次。这一变化过程 所需要的时间便是简谐运动的周期T。
5-1简谐运动 简谐运动的振幅 周期 频率和相位讲解
四 相位和初相
相位 (t ) ： 决定简谐
初相位 ：
运动状态的物理量。
t =0 时的相位。 1）t ( x , v)存在一一 对应的关系;
例： t x 0, v A 设有两个同频率的谐 2 2 A 振动，表达式分别为： t x , v 3 A 2 3 2
4 t 3
3 A A x , v 2 2
第五章 机械振动 5-1 简谐运动 简谐运动
19
的振幅 周期 频率和相位
2）相位在 0 ~ 2 内变 x1 A1 cos t 1 化，质点无相同的运动 x A cos t 2 2 2 状态； 相位差为 2n 质 二者的相位差为： t 2 t 1 2 1 点运动状态全同.（周 (a) 当 2k 时，称两个振 期性） 动为同相； 3）相位概念可用于比 较两个谐振动之间在振 (b) 当 2k 1 时，称两个 振动为反相； 动步调上的差异。 (c) 当 0 时,称第二个振动超 设有两个同频率的谐 前第一个振动 ； 振动，表达式分别为： (d) 当 0 时,称第二个振动落 后第一个振动 ；
14
x A cos(t )
二 振幅 物体离开平衡位置的最大位移的绝对值。 三 周期、频率 周期： 物体作一次完全 运动所经历的时间。
A xmax
A
x x t 图
T 2
T
o
A
t
x A cos(t )
T 2
周期
A cos[( t T ) ]
2 T 2 T
a
A
x
v
v
x t 图
1、深刻理解简谐运动、振幅、周期和频率的概念
机械振动和机械波考点例析一、夯实基础知识1、深刻理解简谐运动、振幅、周期和频率的概念（1）简谐运动：物体在跟偏离平衡位置的位移大小成正比，并且总指向平衡位置的回复力的作用下的振动。
特征是：F=-kx,a=-kx/m（2）简谐运动的规律：○1在平衡位置： 速度最大、动能最大、动量最大；位移最小、回复力最小、加速度最小。
○2在离开平衡位置最远时： 速度最小、动能最小、动量最小；位移最大、回复力最大、加速度最大。
○3振动中的位移x 都是以平衡位置为起点的，方向从平衡位置指向末位置，大小为这两位置间的直线距离。
加速度与回复力、位移的变化一致,在两个“端点”最大，在平衡位置为零，方向总是指向平衡位置。
（3）振幅A ：振动物体离开平衡位置的最大距离称为振幅。
它是描述振动强弱的物理量。
它是标量。
（4）周期T 和频率f ：振动物体完成一次全振动所需的时间称为周期T,它是标量，单位是秒；单位时间内完成的全振动的次数称为振动频率，单位是赫兹（Hz ）。
周期和频率都是描述振动快慢的物理量，它们的关系是：T=1/f.2、深刻理解单摆的概念(1)单摆的概念：在细线的一端拴一个小球，另一端固定在悬点上，线的伸缩和质量可忽略，线长远大于球的直径，这样的装置叫单摆。
(2)单摆的特点：○1单摆是实际摆的理想化，是一个理想模型; ○2单摆的等时性，在振幅很小的情况下，单摆的振动周期与振幅、摆球的质量等无关; ○3单摆的回复力由重力沿圆弧方向的分力提供，当最大摆角α<100时，单摆的振动是简谐运动，其振动周期T=gL π2。
(3)单摆的应用：○1计时器；○2测定重力加速度g=224TL π.3、深刻理解受迫振动和共振(1)受迫振动：物体在周期性驱动力作用下的振动，其振动频率和固有频率无关，等于驱动力的频率；受迫振动是等幅振动，振动物体因克服摩擦或其它阻力做功而消耗振动能量刚好由周期性的驱动力做功给予补充，维持其做等幅振动。
(2)共振：○1共振现象：在受迫振动中，驱动力的频率和物体的固有频率相等时，振幅最大，这种现象称为共振。
简谐运动知识点总结公式
简谐运动知识点总结公式简谐运动有许多相应的重要知识点，包括运动的基本概念和公式、振动能量的变化、图示、力的解析和叠加、波的运动、受阻简谐振动等。
下面是这些知识点的总结：一、运动的基本概念和公式1. 简谐运动的特征简谐运动有几个基本特征，包括周期、频率、振幅和相位等。
其中，周期是指物体完成一次完整的往复振动所需要的时间；频率是指单位时间内完成振动的次数；振幅是指简谐振动最大偏离平衡位置的距离；相位是指在一定时间内，振动物体所处的位置。
这些特征可以用公式表示：T=1/f，f=1/T，A表示振幅，ω表示角频率，θ表示相位。
这些特征对于描述简谐振动的特性非常重要。
2. 运动的方程简谐运动的方程可以用不同的形式表示。
对于弹簧振子，其运动方程为x=Acos(ωt+φ)，其中x表示振动物体的位移，A表示振幅，ω表示角频率，t表示时间，φ表示初相位。
这个方程描述了振动物体的位置随时间的变化。
对于单摆，其运动方程为θ=Asin(ωt+φ)，其中θ表示单摆的偏角，A表示振幅，ω表示角频率，t表示时间，φ表示初相位。
这个方程描述了单摆的偏角随时间的变化。
这些方程对于分析简谐振动的运动规律非常重要。
二、振动能量的变化1. 动能和势能在简谐振动中，振动物体的能量包括动能和势能两部分。
动能是由于振动物体的运动而产生的能量，可以用公式K=(1/2)mv^2表示；势能是由于振动物体的位置而产生的能量，可以用公式U=(1/2)kx^2表示。
在振动过程中，动能和势能之间会相互转化，它们之和始终保持不变。
这些概念对于分析简谐振动的能量变化非常重要。
2. 振动能量的变化在简谐振动中，振动物体的能量会随着时间变化。
当振动物体在平衡位置附近往返运动时，动能和势能会交替增加和减小；当振动物体达到最大偏离位置时，动能最大而势能最小；当振动物体通过平衡位置时，动能最小而势能最大。
这些变化可以用图示表示，对于理解简谐振动的能量变化有很大帮助。
三、力的解析和叠加1. 恢复力简谐运动的物体受到恢复力的作用，恢复力的大小与物体偏离平衡位置的距离成正比，方向与偏离方向相反。
9-1简谐运动 振幅 周期和频率 相位
当 x0 0 、v0 0时的 取在第三象限的值；
当 x0 0 、v0 0时的 取在第四象限的值；
第九章 振 动
22
物理学
第五版
9-1 讨论
简谐运动 振幅 周期和频率 相位
已知: t 0, x 0, v0 0 求:
0 A cos π 2 v0 A sin 0
12
物理学
第五版
9-1
简谐运动 振幅 周期和频率 相位
A
v A sin(t ) π A cos(t ) 2 2 a A cos( t )
A cos( t π)
2
x A cos(t ) 2π T 取 0
20
物理学
第五版
9-1
简谐运动 振幅 周期和频率 相位
五、常数 A和 的确定 x A cos( t )
v A sin(t )
初始条件 t
2
0 x x0 v v0
v0
2 2
A x0
v0 tan x0
第九章
对给定的振动系统， 周期T或角频率由系统 本身性质决定，振幅A和 初相由初始条件决定.
第九章 振 动
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物理学
第五版
9-1
简谐运动 振幅 周期和频率 相位
振动的成因：
F kx
——回复力
回复力
+
惯性
振 动
7
第九章
物理学
第五版
9-1
简谐运动 振幅 周期和频率 相位
根据胡克定律和牛顿第二定律得
F kx ma k a x m k 2 2 a x 得 令 m
大学物理课后答案第十一章
第十一章 机械振动一、基本要求1．掌握简谐振动的基本特征，学会由牛顿定律建立一维简谐振动的微分方程，并判断其是否谐振动。
2. 掌握描述简谐运动的运动方程，理解振动位移，振)cos(0ϕω+=t A x 幅，初位相，位相，圆频率，频率，周期的物理意义。
能根据给出的初始条件求振幅和初位相。
3. 掌握旋转矢量法。
4. 理解同方向、同频率两个简谐振动的合成规律，以及合振动振幅极大和极小的条件。
二、基本内容1. 振动 物体在某一平衡位置附近的往复运动叫做机械振动。
如果物体振动的位置满足，则该物体的运动称为周期性运动。
否则称为非周)()(T t x t x +=期运动。
但是一切复杂的非周期性的运动，都可以分解成许多不同频率的简谐振动（周期性运动）的叠加。
振动不仅限于机械运动中的振动过程，分子热运动，电磁运动，晶体中原子的运动等虽属不同运动形式，各自遵循不同的运动规律，但是就其中的振动过程讲，都具有共同的物理特征。
一个物理量，例如电量、电流、电压等围绕平衡值随时间作周期性（或准周期性）的变化，也是一种振动。
2. 简谐振动 简谐振动是一种周期性的振动过程。
它可以是机械振动中的位移、速度、加速度，也可以是电流、电量、电压等其它物理量。
简谐振动是最简单，最基本的周期性运动，它是组成复杂运动的基本要素，所以简谐运动的研究是本章一个重点。
（1）简谐振动表达式反映了作简谐振动的物体位移随时间)cos(0ϕω+=t A x 的变化遵循余弦规律，这也是简谐振动的定义，即判断一个物体是否作简谐振动的运动学根据。
但是简谐振动表达式更多地用来揭示描述一个简谐运动必须涉及到的物理量、、（或称描述简谐运动的三个参量），显然三个参量A ω0ϕ确定后，任一时刻作简谐振动的物体的位移、速度、加速度都可以由对应地t 得到。
2cos()sin(00πϕωωϕωω++=+-=t A t A v )cos()cos(0202πϕωωϕωω±+=+-=t A t A a （2）简谐运动的动力学特征为：物体受到的力的大小总是与物体对其平衡位置的位移成正比、而方向相反，即，它是判定一个系统的运动过程kx F -=是否作简谐运动的动力学根据，只要受力分析满足动力学特征的，毫无疑问地系统的运动是简谐运动。
简谐运动的理想模型
简谐运动的理想模型简谐运动是物理学中的一个重要概念，它是指一个物体在恢复力作用下沿着某个轴线作往复运动的情况。
在简谐运动中，物体的加速度与位移成正比，且方向相反。
简谐运动的理想模型可以用于描述很多物理现象，如弹簧振子、摆锤等。
简谐运动的理想模型可以通过以下几个方面进行描述。
首先，简谐运动的一个重要特征是周期性。
无论是弹簧振子还是摆锤，它们在运动过程中都会重复地经历相同的运动过程。
这是因为简谐运动是受到恢复力作用的结果，而恢复力是与物体位移成正比的。
因此，物体会在恢复力的作用下往复运动，形成周期性的运动。
简谐运动的理想模型还可以描述振幅的变化。
振幅是指物体在运动过程中离开平衡位置的最大位移。
在简谐运动中，振幅是固定的，即物体在运动过程中的位移不会超过振幅的范围。
这是因为简谐运动是在恢复力的作用下进行的，而恢复力的大小与位移成正比。
当物体的位移超过振幅时，恢复力的大小会增加，从而将物体拉回到平衡位置。
简谐运动的理想模型还可以描述频率的变化。
频率是指单位时间内运动周期的个数。
在简谐运动中，频率与周期的倒数成正比，即频率越高，周期越短。
这是因为频率是由物体的运动速度决定的，而运动速度与恢复力的大小成正比。
当恢复力的大小增加时，物体的运动速度也会增加，从而导致频率的增加。
简谐运动的理想模型还可以描述相位的变化。
相位是指物体在运动过程中与某一参考点的时间关系。
在简谐运动中，物体的位移可以用正弦或余弦函数来表示，而相位则是这些函数的参数。
相位的变化可以描述物体在运动过程中的位置变化。
当相位为0时，物体位于平衡位置；当相位为π/2时，物体位于最大位移的正方向；当相位为π时，物体位于最大位移的负方向。
通过对相位的观察，可以了解物体在运动过程中的位置变化情况。
简谐运动的理想模型是一个重要的物理概念，它可以用于描述很多物理现象。
通过对简谐运动的周期性、振幅、频率和相位等方面的描述，我们可以更好地理解和分析物体的运动规律。
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13–2 简谐运动中的振幅 周期 频率和相位 第十三章 机械振动
x 简谐运动中， x和 v
间不存在一一对应的关系. A
x Acos(t ) o
v A sin(t ) A
v v
T 2
xt 图
v T t
三 相位 t
1） t ( x, v) 存在一一对应的关系;
2）相位在 0 ~ 2π 内变化，质点无相同的运动状态；
sin 0 取 π
2
x Acos(t π )
2
x
A
o
A
v
x
o
Tt
T 2
13–2 简谐运动中的振幅 周期 频率和相位 第十三章 机械振动
一 振幅
A xmax
二 周期、频率
x Acos(t )
x xt图
A
o
Tt
T
A
2
Acos[(t T ) ]
周期 T 2π
频率 1
T 2π
圆频率 2π 2π
T
弹簧振子周期注意T 2π m Nhomakorabeak
周期和频率仅与振动系 统本身的物理性质有关
x0 A cos v0 Asin
A
x02
v02
2
tan v0 x0
对给定振动系统，周期由系统本身性质决定， 振幅和初相由初始条件决定.
13–2 简谐运动中的振幅 周期 频率和相位 第十三章 机械振动
讨论 已知 t 0, x 0, v 0求
0 Acos
π
2
v0 A sin 0
相差 2nπ (n为整数 )质点运动状态全同.（周期性）
3）初相位 (t 0) 描述质点初始时刻的运动状态.
( 取 [ π π] 或 [0 2π] )
13–2 简谐运动中的振幅 周期 频率和相位
四 常数 A 和 的确定
x Acos(t ) v A sin(t )
第十三章 机械振动
初始条件 t 0 x x0 v v0