简谐运动周期公式的推导
单摆周期公式的推导
F = m a 2 + g 2 ，因此，
a F′ T
G
图6
g ′ = a 2 + g 2 ，单摆的周期T = 2
x = Asin(t + ) 。这说明小球的位移 x 是按正弦曲线的规律随着时间作周期性变化的，
其变化的角速度为 = k = 2 ，从而得到作简谐运 mT
动物体的周期为T = 2 m 。 k
l
A
二．单摆周期公式的推导 单摆是一种理想化的模型，实际的摆只要悬挂小
球的摆线不会伸缩，悬线的长度又比球的直径大很多，
m 动系统中，还应包括惯性力，惯性力的大小 F ′ = ma ，方向与系统的加速度的方向相反）
此时，单摆的周期公式就变成了T = 2 l 。 g'
例 2．在电场中带电摆球的摆动周期 如图 3 所示，长为 L 的绝缘细线下端系一带电量为 + q 、质量为 m 的小球，整个装置处
于场强为 E 方向竖直向下的匀强电场中，在摆角小于 50 时，求它的摆动周期。
始终沿着摆线方向的力，剩余的各力沿着摆线方向的合力 F = mg + ma ，
因此 g′ = F = g + a ，所以单摆的周期T = 2 m
L g′
=
2
L。 g+a
如图 6 所示，若单摆处于沿水平方向作匀加速直线运动的系统内， 单摆的摆 长为 L ，系统水平向右的加速度为 a ，摆球的质量为 m ，求这一单摆的 周期。
解析 小球在垂直于纸面内作简谐运动时，其等效摆长为
单摆周期公式的推导
单摆周期公式的推导一．简谐运动物体的运动学特征作简谐运动的物体要受到回复力的作用，而且这个回复力F 与物体相对于平衡位置的位移x 成正比，方向与位移x 相反，用公式表示可以写成kx F −=，其中k 是比例系数。
对于质量为m 的小球，假设t 时刻（位移是x ）的加速度为a ，根据牛顿第二运动定律有：kx ma F −==，即xmka −=因此小球的加速度a 与它相对平衡位置的位移x 成正比，方向与位移x 相反。
因为x （或F ）是变量，所以a 也是变量，小球作变加速运动。
把加速度a 写成22dt x d ，并把常数m k写成2ω得到x dtxd 222ω−=。
对此微分方程式，利用高等数学方法，可求得其解为)sin(ϕω+=t A x 。
这说明小球的位移x 是按正弦曲线的规律随着时间作周期性变化的，其变化的角速度为Tm k πω2==，从而得到作简谐运动物体的周期为kmT π2=。
二．单摆周期公式的推导单摆是一种理想化的模型，实际的摆只要悬挂小球的摆线不会伸缩，悬线的长度又比球的直径大很多，都可以认为是一个单摆。
当摆球静止在O 点时，摆球受到的重力G 和摆线的拉力T 平衡，如图1所示，这个O 点就是单摆的平衡位置。
让摆球偏离平衡位置，此时，摆球受到的重力G 和摆线的拉力T 就不再平衡。
在这两个力的作用下，摆球将在平衡位置O 附近来回往复运动。
当摆球运动到任一点P时，重力G 沿着圆弧切线方向的分力θsin 1mg G =提供给摆球作为来回振动的回复力θsin 1mg G F ==，当偏角θ很小﹝如θ＜010﹞时，lx≈≈θθsin ，所以单摆受到的回复力x lmgF −=，式中的l 为摆长，x 是摆球偏离平衡位置的位移，负号表示回复力F 与位移x 的方向相反，由于m 、g 、L 都是确定的常数，所以lmg可以用常数k 来表示，于是上式可写成kx F −=。
因此，在偏角θ很小时，单摆受到的回复力与位移成正比，方向与位移方向相反，单摆作的是简谐运动。
简谐运动的公式
简谐运动的公式
简谐运动是一种按固定时间周期运行的运动，也是物理
学中经常用到的一种运动形式。
它是由三个物理量共同组成，分别是位置（位置为物体相对于起始点）、速度和加速度，它们之间会有一定的关系。
简谐运动的公式也比较容易推导，可以用x、v、a三个
物理量来表示，其中x表示位置，v表示速度，a表示加速度。
它们之间的关系可以用如下方程式表示：
$$ x(t) = x_0 + v_0 t + \frac{1}{2}a_0 t^2 $$
公式中的参数表示什么？x_0表示的是物体的初始位置，
v_0表示的是物体初始的速度，a_0表示的是物体的初始加速度，t表示的是在运动中衡量出来的时间。
用简谐运动的公式可以很容易推导出物体在一个定义域
内的运动规律，并且可以用它模拟各种变化的运动轨迹，例如物体从速度为v_0加速度为a_0的开始状态，可以模拟出物体在各种不同时间段后的位置，总结起来也比较简单：
在简谐运动中，物体的位置x随时间的变化满足一定的
公式：
x(t) = x_0 + v_0 t + \frac{1}{2}a_0 t^2
其中x_0、v_0、a_0都是物体在起始状态的物理量，t表示物体在定义域内所衡量出来的时间，通过该公式可以可以很容易推导出物体在定义域内的运动。
弹簧双振子简谐运动周期公式的推导方法
弹簧双振子简谐运动周期公式的推导方法弹簧双振子简谐运动是指两个振子之间存在弹性作用力，且其运动周期相同的振动运动。
其周期的计算方法如下：假设两个振子的质量分别为m1和m2，它们的自由长分别为l1和l2，弹性常数分别为k1和k2，则它们的角动量方程分别为：I1*θ1'' + (k1+k2)θ1 - k2θ2 = 0I2θ2'' - k2θ1 + (k1+k2)*θ2 = 0其中I1和I2分别表示振子1和振子2的转动惯量，θ1和θ2分别表示振子1和振子2的摆角。
将这两个方程化简后得到：(I1+I2)*θ1'' + (k1+k2)θ1 - k2θ2 = 0(I1+I2)θ2'' - k2θ1 + (k1+k2)*θ2 = 0将θ1''和θ2''带入上式，得到：(I1+I2)*((k1+k2)θ1 - k2θ2) + (k1+k2)θ1 - k2θ2 = 0(I1+I2)(k2θ1 - (k1+k2)θ2) - k2θ1 + (k1+k2)*θ2 = 0将两式合并得到：(I1+I2)((k1+k2)θ1 - k2θ2) + (k1+k2)θ1 - k2θ2 = (I1+I2)(k2*θ1 -(k1+k2)θ2) - k2θ1 + (k1+k2)*θ2移项后的结果是：(I1+I2)((k1+k2)θ1 - k2θ2) + (k1+k2)θ1 - k2θ2 = (I1+I2)(k2*θ1 - (k1+k2)θ2) - k2θ1 + (k1+k2)*θ2化简得到：(I1+I2)*(k1+k2-k2)θ1 = (I1+I2)(k2-k1-k2)*θ2即：(k1+k2-k2)*θ1 = (k2-k1-k2)*θ2化简得到：k1θ1 = k2θ2得到结论：弹簧双振子的运动周期T满足公式：T = 2πsqrt((I1+I2)/(k1m1+k2m2))其中sqrt表示平方根。
单摆的周期公式推导
单摆的周期公式推导
角度小，看作简谐运动，简谐运动可用单位圆匀速圆周运动，上面点在直径上的投影就是
这是我自己的公式推导：
自己网上找了一下都是要用微积分推导的，自己算了半天终于搞定，没有用到一点超纲内容，分享下！
由简谐运动定义得F=-kx
由于计算周期，只需考虑最大位移处，即振幅，是标量（下同），得
F=kA
根据向心力公式F=mω^2r
由于此时半径为振幅，则F=mω^2A
代入定义式为kA=mω^2A
两边约去A，得k=mω^2
对此式变形ω^2=k/m
1/ω^2=m/k 1/ω=√(m/k)
通过对角速度公式ω=2π/T变形得
T=2π(1/ω)
代入前面计算的式子得T=2π√(m/k)
注意这个就是一般的简谐运动求周期公式，只是不教罢了，下面推出单摆公式老师上课说过，当摆角很小时可近似得出
sinθ=F/mg=x/l
变形得F=mgx/l
参照简谐运动定义式F=kx，一一对应
得k=mg/l
将k代入前面算出的一般简谐运动周期公式T=2π√(m/k)
得T=2π√(m/(mg/l))
L
约去m，化简得T=2π√(l/g)即T=
g
这就是单摆公式的推导。
简谐振动的能量变化
简谐振动的能量变化简谐振动是物理学中一个重要的概念，几乎存在于各个领域的物理现象中。
它描述了一个物体在一个恒定的振幅范围内进行周期性的振动运动。
在简谐振动中，物体的能量会不断变化。
本文将探讨简谐振动的能量变化规律及其背后的原理。
一、简谐振动的特点简谐振动的特点是具有周期性和恒定振幅。
在一个周期内，物体会从原点出发，向正方向振动到最大偏离量，然后返回原点，并向负方向振动到最大偏离量，最后再次返回原点。
这个周期性的运动形式被称为正弦曲线。
二、简谐振动的能量转换简谐振动的能量转换是一个循环过程，由动能和势能交替转化。
当物体偏离平衡位置时，存在势能。
随着物体向最大偏离量移动，势能达到最大值。
当物体通过平衡位置时，速度最大，动能也最大。
当物体移动回原点时，势能再次为零，并在反向运动时达到最大值，动能减小为零。
因此，简谐振动的能量变化由势能和动能的周期性转换组成。
三、简谐振动的能量守恒在简谐振动中，动能和势能的和始终保持不变。
即使在振动过程中，能量的总和也保持不变。
这是因为质点在简谐振动的过程中没有受到摩擦或其他能量损耗的作用。
四、简谐振动的公式推导我们可以通过公式推导简谐振动的能量变化规律。
假设简谐振动的位置函数为x(t)，其中t表示时间。
那么动能可表示为：K = 0.5 * m * v^2 = 0.5 * m * (dx/dt)^2，其中m为质量，v为速度，x为位移。
而势能可表示为：U = 0.5 * k * x^2，其中k为劲度系数。
根据能量守恒定律，总能量E为常数，即K + U = E。
将上述动能和势能的表达式代入，得到：0.5 * m * (dx/dt)^2 + 0.5 * k * x^2 = E。
这是简谐振动的能量守恒方程，描述了简谐振动过程中能量的变化规律。
五、简谐振动的应用简谐振动广泛应用于各个领域。
在物理学中，它被用于描述原子和分子的振动，以及声波和光波的传播。
在工程学中，它被用于设计和优化机械结构的振动模式。
巧用简谐运动周期的推导,激发学生的思维
关于 简 谐运动 ， 的定义 从 旧人教版 到新 的人 教版 教材 ， 书 它也 发生 了一 定的变 化 。 旧人 教版 教材 ： 在跟 偏离 平衡 位 置的 位移 物体 大小 成正 比 ， 向总 是 指 向平 衡位 置 的 回复 力作 用 下 的振 动 叫 简 方 谐运动 。 新人 教版 教 材 ： 果质 点的 位移 与时 间 的关系 遵 从正 弦 函 如 数的 规律 ， 即它 的振 动 图 （＿ 图象 ） 一条 正 弦 曲线 ， 样 的振 动 ｘｔ 是 这 叫做 简谐 运动 （ｍｐｅｈ ｒ ｎｃｍｏｉ ）这 两 种 定 义 都运 用 到 ｓ ｌ ａｍｏ ｉ ｉ ｔｎ 。 ｏ 推导 过程 中去 ， 此 我 们用 以下 几 种方 法来 说 明 ： 对 严 格 的 数 学 推 导 严格 的数 学 推 导 对 数 学 的要 求 特 别 高 ， 一般 适 合 教 师 自 己 掌握 ， 导 方 法 是 严 格 的 高 等 数 学 的 方 法 。 旧 人 教 版 教 材 我 推 由 们 知 道 做 简 谐 运 动 的 物 理 的 受 力特 点 ： ：一 Ｆ
所得： √取可： ＝√ 以到 ＝ｍ终得 ＝ 丌 Ｖ 一 ｋ ∞２詈 Ｖ
经过 教 学 中的 实 践 证 明 ， 种方 法 不 但 可 以使 学 生 更 好 的 这 理 解 和 掌 握 简谐 运 动 的 周 期 公 式 ， 且 可 以激 发学 生 的 学 习 兴 而 趣 ， 学 生 知 道 数 学 应 用 的重 要 性 ， 让 学 生 的 思 维 能 力 得 到 使 还 定 的发 展 和 提 高 。 四、 利用动量 的变 化率对简谐运 动的周期 进行 推导 学 生 在 掌 握 了力 在 时空 上 的 积 累 效 应 后 ， 们 就 可 以把 学 我 生领人一个更高层 次的思维空 间中 ：
简谐振动和周期的关系
简谐振动和周期的关系简谐振动是一种重要的物理现象，在许多领域中都有广泛的应用。
而周期则是描述简谐振动的一个重要参数，它与振动的特性密切相关。
本文将探讨简谐振动与周期之间的关系，并介绍一些与之相关的概念和公式。
简谐振动是指在一个恢复力作用下，物体在平衡位置附近做往复振动的过程。
通常，简谐振动可以用一个周期函数来描述，其中最常见的就是正弦函数。
一般地，简谐振动的周期可以用时间的反比来表达，即振动的频率。
频率是描述每秒内振动的周期个数，单位为赫兹（Hz）。
频率与周期之间的关系可以用下式表示：频率 = 1 / 周期 (公式1)接下来，我们来详细讨论频率和周期在简谐振动中的应用以及其之间的具体关系。
首先，周期在简谐振动中起着非常重要的作用。
周期是一个简谐振动经过一个完整循环所用的时间。
在一个完整循环中，物体从一个极端位置出发，经过平衡位置，达到另一个极端位置，再回到平衡位置。
周期的长度取决于振动的特性，如摆长、弹簧的劲度系数等，而与振动物体的质量无关。
周期的单位通常为秒（s）。
其次，频率是描述简谐振动快慢程度的参数。
频率越高，振动的周期越短，振动的速度越快。
相反，频率越低，振动的周期越长，振动的速度越慢。
频率的单位为赫兹，常用的单位有赫兹、千赫兹和兆赫兹。
在实际应用中，频率通常用于描述声音的高低音调、电磁波的频率范围等。
通过公式1，我们可以将频率和周期进行相互转换。
假设一个振动的周期为T，频率为f，根据公式1，我们可以得到：T = 1 / f (公式2)这意味着，周期的倒数等于频率，频率的倒数等于周期。
因此，在解决简谐振动相关问题时，我们可以根据实际情况使用频率或周期来描述振动，它们之间可以互相转换，非常方便。
最后，周期与简谐振动的特性密切相关。
在简谐振动中，周期是一个振动完成一次循环所花的时间，与振动物体的特性直接相关。
一些影响周期的因素包括振子的质量、劲度系数、振子的摆长等。
通过调节这些因素，我们可以改变简谐振动的周期，从而达到调节频率的目的。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
简谐运动周期公式的推导
【摘要】：本文通过简谐运动与圆周运动的联系，用圆周运动的周期公式推导出了简谐运动周期公式。
【关键辞】：简谐运动、周期、匀速圆周运动、周期公式
【正文】：
考虑弹簧振子在平衡位置附近的简谐运动，如图2所示。
它的运动及受力情况和图3所示的情况非常相似。
在图3中，O 点是弹性绳（在这里我们设弹性绳的弹力是符合胡克定律的）的原长位置，此点正好位于光滑水平面上。
把它在O 点的这一端系上一个小球，然后拉至A 位置由静止放手，小球就会在弹性绳的作用下在水平面上的A 、A ’间作简谐运动。
如果我们不是由静止释放小球，而是给小球一个垂直于绳的恰当的初速度，使得小球恰好能在水平面内以O 点为圆心，以OA 长度为半径做匀速圆周运动。
那么它在OA 方向的投影运动（即此方向的分运动）与图3中的简谐运动完全相同。
证明如下： 首先，两个运动的初初速度均为零（图4中在OA 方向上的分速度为零）。
其次，在对应位置上的受力情况相同。
由上面的两个条件可知这两个运动是完全相同的。
在图4中小球绕O 点转一圈，对应的投影运动（简谐运动）恰好完成一个周期，这两个时间是相等的。
因此我们可以通过求圆周运动周期的方法来求简谐运动的周期。
如图5作出图4的俯视图，并建以O 为坐标原点、OA 方向为x
轴正方向建直角坐标图2
图3
图4
系。
则由匀速圆周运动的周期公式可知：
ωπ
2=T (1)
其中ω是匀速圆周运动的角速度。
小球圆周运动的向心力由弹性绳的弹力来提供，由牛顿第二定律可知：
r m kr 2ω= (2)
式中的r 是小球圆周运动的半径，也是弹性绳的形变量；k 是弹性绳的劲度系数。
由（1）（2）式可得：
k
m T π
2= 二零一一年三月九日
图5。