单摆周期公式的推导

解析 摆球受到摆线的拉力T 和重力 G 以及惯性力 F ′ = ma ，惯性 力的方向与系统的加速度方向相反。摆球所受到的外力中除去所有的始 终沿着摆线方向的力，剩余的各力沿着摆线方向的合力
F = m a 2 + g 2 ，因此，
a F′ T
G
图6
g ′ = a 2 + g 2 ，单摆的周期T = 2
x = Asin(t + ) 。这说明小球的位移 x 是按正弦曲线的规律随着时间作周期性变化的，
其变化的角速度为 = k = 2 ，从而得到作简谐运 mT
动物体的周期为T = 2 m 。 k
l
A
二．单摆周期公式的推导 单摆是一种理想化的模型，实际的摆只要悬挂小
球的摆线不会伸缩，悬线的长度又比球的直径大很多，
m 动系统中，还应包括惯性力，惯性力的大小 F ′ = ma ，方向与系统的加速度的方向相反）
此时，单摆的周期公式就变成了T = 2 l 。 g'
例 2．在电场中带电摆球的摆动周期 如图 3 所示，长为 L 的绝缘细线下端系一带电量为 + q 、质量为 m 的小球，整个装置处
于场强为 E 方向竖直向下的匀强电场中，在摆角小于 50 时，求它的摆动周期。
始终沿着摆线方向的力，剩余的各力沿着摆线方向的合力 F = mg + ma ，
因此 g′ = F = g + a ，所以单摆的周期T = 2 m
L g′
=
2
L。 g+a
如图 6 所示，若单摆处于沿水平方向作匀加速直线运动的系统内， 单摆的摆 长为 L ，系统水平向右的加速度为 a ，摆球的质量为 m ，求这一单摆的 周期。
解析 小球在垂直于纸面内作简谐运动时，其等效摆长为
L sin ，所以此双线摆的周期T = 2 Lsin 。 g


L
图2
讨论 2：单摆周期公式中的 g 指的是重力加速度，而在很多特定条件下可以理解为 g′ —
—摆球在平衡位置保持相．对．静．止．时，摆球所受到的外力中除去所有的始终沿着摆线方向 的力，剩余的各力沿着摆线方向的合力 F 与摆球质量 m 的比值，即 g′ = F ，（在加速运
三．单摆周期公式在特定条件下的应用 讨论 1：单摆周期公式中的 l 指的是单摆的摆长，但在特定情况下 可以理解为是等效摆长。
例 1．如图 2 所示，为一双线摆，它是在水平天花板上用两根 等长的细线悬挂一个小球而构成的。已知摆长为 L ，摆线与天花板 之间的夹角为 。求小球在垂直于纸面方向作简谐运动时的周期。
时，重力 G 沿着圆弧切线方向的分力 G1 = mg sin 提供给摆球作为来回振动的回复力
F
=
G1
=
mg sin
，当偏角
很小﹝如
＜100 ﹞时， sin
≈
≈
x l
，所以单摆受到的回ห้องสมุดไป่ตู้
复力 F = − mg x ，式中的 l 为摆长，x 是摆球偏离平衡位置的位移，负号表示回复力 F 与 l
位移 x 的方向相反，由于 m、g、L 都是确定的常数，所以 mg 可以用常数 k 来表示，于 l
是上式可写成 F = −kx 。因此，在偏角 很小时，单摆受到的回复力与位移成正比，方
向与位移方向相反，单摆作的是简谐运动。把 k = mg 代入到简谐运动物体的周期公式， l
即可得到单摆的周期公式是T = 2 l 。 g
L。 a2 + g2
例 4．如图 7 所示为一单摆，摆绳长为 L ，摆球的质量为 m ，摆球带
T
+q, m
F′ G
有正电荷的电量为 q ，在单摆的悬点处放有一带电量为 Q 的正电荷，试求 图 7
这一单摆的周期。
1
解析 摆球受到摆绳的拉力T 、重力 G 和电场力 F ′ 。其中电场力 F ′ 始终沿着摆绳
T
T
B
G1 P
O
G2
都可以认为是一个单摆。
GG
当摆球静止在 O 点时，摆球受到的重力 G 和摆线
图1
的拉力T 平衡，如图 1 所示，这个 O 点就是单摆的平
衡位置。让摆球偏离平衡位置，此时，摆球受到的重力 G 和摆线的拉力T 就不再平衡。
在这两个力的作用下，摆球将在平衡位置 O 附近来回往复运动。当摆球运动到任一点 P
F = ma = −kx ，即 a = − k x m
因此小球的加速度 a 与它相对平衡位置的位移 x 成正比，方向与位移 x 相反。因为 x（或
F ）是变量，所以 a 也是变量，小球作变加速运动。把加速度 a 写成 d 2 x ，并把常数 k
dt 2
m
写成
2
得到
d2x dt 2
=
− 2 x
。对此微分方程式，利用高等数学方法，可求得其解为
单摆周期公式的推导
一． 简谐运动物体的运动学特征 作简谐运动的物体要受到回复力的作用，而且这个回复力 F 与物体相对于平衡位置
的位移 x 成正比，方向与位移 x 相反，用公式表示可以写成 F = −kx ，其中 k 是比例系数。 对于质量为 m 的小球，假设 t 时刻（位移是 x ）的加速度为 a ，根据牛顿第二运动定律 有：
F
E
qE
G
图3
F Eq
G
图4
若整个装置处于如图 4 所示的电场中，同样可以求得单摆的摆动周期为
T = 2
L
。
g 2 + ( Eq )2 m
例 3． 如图 5 所示，求在匀加速上升的升降机内单摆的周期。
aT F′ G
图5
解析 设升降机匀加速上升的加速度为 a ，单摆的摆长为 L ，摆球的质量为 m 。 当摆球在平衡位置保持相．对．静．止．时，摆球受到的力如图 5 所示即摆线的拉力T 和重力 G 以及惯性力 F ′ = ma ，方向与系统的加速度方向相反。摆球所受到的外力中除去所有的
解析 摆球所受到的力如图 3 所示即细线的拉力 F 、 重力 mg 和电场力 Eq 。当摆球在平衡位置保持相．对．
静．止．时， 摆球所受到的外力中除去所有的始终沿着
摆线方向的力，剩余的各力沿着摆线方向的合力
F = mg + Eq ，则 g′ = mg + Eq = g + Eq ，
m
m
摆动的周期是T = 2 L 。 g + Eq m
的方向，当摆球在平衡位置保持相．对．静．止．时，摆球受到的外力中除去所有的始终沿着摆
绳方向的力，剩余的各力沿着摆绳方向的合力 F = mg ， g′ = F = g 。 m
因此，单摆的周期是T = 2 l 。 g
例 5．如图 8 所示，单摆处在方向垂直纸面向里的磁场中，已知摆球的带电量