单摆周期公式的推导
初三物理知识点单摆周期公式推导
三一文库（）/初中三年级〔初三物理知识点单摆周期公式推导〕公式推导M = - m * g * l * Sin x.其中m为质量，g是重力加速度，l是摆长，x是摆角。
我们希望得到摆角x的关于时间的函数，来描述单摆运动。
由力矩与角加速度的关系不难得到，M = J * β。
其中J = m * l^2是单摆的转动惯量，β = x''（摆角关于时间的2阶导数）是角加速度。
于是化简得到x'' * l = - g * Sin x.我们对上式适当地选择比例系数，就可以把常数l与g约去，再移项就得到化简了的运动方程x'' + Sin x = 0.第1页共5页因为单摆的运动方程（微分方程）是x'' + Sin x = 0 (1)而标准的简谐振动（如弹簧振子）则是x'' + x = 0 (2)相关解释我们知道（1）式是一个非线性微分方程，而（2）式是一个线性微分方程。
所以严格地说上面的（1）式描述的单摆的运动并不是简谐运动。
不过，在x比较小时，近似地有Sin x ≈ x。
（这里取的是弧度制。
即当x -> 0时有Sin x / x = o（1）。
）因而此时（1）式就变为（2）式，单摆的非线性的运动被线性地近似为简谐运动。
然后说一下为什么是10°。
由于Sin x ≈ x这个近似公式只在角度比较小的时候成立（这一个可以从正弦函数的在原点附近的图象近似看出），所以只有在小角度下（1）式化作（2）式才是合理的。
事实上5°≈0.087266弧度，Sin 5°≈0.087155，二者相差只有千分之一点几，是十分接近的。
在低精度的实验中，这种系统误差可以忽略不计（因为实验操作中的偶然误差就比它大）。
但如果换成25°，误差高达百分之三，就不宜再看成是简谐振动了。
由于正弦函数的性质，这个近似是角度越小，越精确，角度25。
单摆知识点公式总结
单摆知识点公式总结一、单摆的基本知识点1. 单摆的定义单摆是由一个质点（称为挂点）和一根长度可忽略的细绳（或轻质横杆）组成的物体。
质点可以是实心球、铁球、小木块或其他形状的物体。
2. 单摆的运动规律单摆在无外力作用下，可以做匀速圆周运动。
当摆动幅度较小时，单摆的周期与摆长的平方根成正比。
3. 单摆的周期单摆的周期T与摆长L及重力加速度g有关，满足以下公式：T = 2π√(L/g)其中，T为周期，L为摆长，g为重力加速度（约等于9.8m/s^2），π为圆周率。
4. 单摆的频率单摆的频率f与周期T成反比关系，满足以下公式：f = 1/T5. 单摆的振幅单摆的振幅是指摆动过程中的最大角度。
当振幅较小时，单摆的周期与摆长的平方根成正比。
6. 单摆的能量转化单摆在振动过程中，动能和势能不断地进行转化。
当摆动到最高点或最低点时，动能为零，势能最大。
而在摆动过程中，动能最大时，势能为零。
单摆的总能量守恒。
7. 单摆的受力分析单摆在做简谐振动时，受到重力和张力的作用。
重力作用在摆绳上，向下，张力作用在质点上，与重力方向相反。
二、相关公式1. 单摆的周期公式T = 2π√(L/g)其中，T为周期，L为摆长，g为重力加速度。
2. 单摆的频率公式f = 1/T其中，f为频率，T为周期。
3. 单摆的摆长计算公式在实际应用中，有时需要根据给定的周期或频率来计算摆长。
可以通过以上公式，将周期T或频率f代入，求解摆长L的值。
4. 单摆的振幅与周期的关系当振幅较小时，单摆的周期与摆长的平方根成正比。
这一关系可以通过实验或推导得到。
5. 单摆的能量转化公式在单摆的摆动过程中，动能和势能不断地进行转化。
可以通过动能和势能的公式进行计算，以研究能量转化的规律。
6. 单摆的受力分析公式单摆在简谐振动时，受到重力和张力的作用。
可以通过受力分析和牛顿定律，得到单摆的运动规律和力学性质。
三、单摆的应用1. 单摆的实验通过搭建单摆实验装置，可以观察和研究单摆的运动规律和特性，了解单摆的周期、频率、摆长等参数。
单摆周期原理及公式推导
单摆周期原理及公式推导单摆周期是单摆摆动所花费的时间，也即是从一个极点回到同一极点所经过的时间。
单摆是由一个质点在一根不可拉伸且质量可忽略不计的细线上做简谐振动的物理系统。
细线的上端固定，质点在重力作用下做来回摆动。
单摆周期与摆长有关，摆长是指细线的长度，即质点悬挂点到质点的距离。
当摆长较短时，单摆摆动的周期较短；当摆长较长时，单摆摆动的周期较长。
设单摆的摆长为l，质点在位于原点的极点附近做振幅很小的简谐振动，角度用θ表示，角速度用ω表示。
根据单摆受力分析，可以得到如下力平衡方程：-mg*sinθ = mω^2 * l * sinθ其中，m为质点的质量，g为重力加速度。
由上式可得：g*sinθ = ω^2 * l*sinθ因为在小角度假设下，可以近似认为sinθ≈θ，所以将上式进一步简化为：gθ=ω^2*lθ将角速度ω表示为角频率ω=2πf，其中f为频率，周期T=1/f。
代入上式中，并进行代换得到：g/l=(2π/T)^2根据上式可以推导出单摆的周期公式：T=2π*√(l/g)单摆周期公式的推导过程是基于小角度假设的，即假设单摆的摆角θ很小，可以近似将sinθ与θ相等对待。
这一假设在通常情况下是成立的，因为单摆的摆动幅度较小。
但当单摆的摆动幅度较大时，需要考虑角度的正弦函数和线性近似之外的高阶项，此时推导出的周期公式将不再适用。
除此之外，单摆的周期还可以通过实验测量得到，通过测量摆动的时间和摆动的长度，可以计算出单摆的周期，从而验证周期公式的有效性。
综上所述，单摆的周期公式是通过假设质点做小角度假设，然后通过力平衡方程推导得到的。
该公式在小摆角条件下成立，可以用来计算单摆的周期。
单摆的周期公式推导
单摆的周期公式推导
角度小，看作简谐运动，简谐运动可用单位圆匀速圆周运动，上面点在直径上的投影就是
这是我自己的公式推导：
自己网上找了一下都是要用微积分推导的，自己算了半天终于搞定，没有用到一点超纲内容，分享下！
由简谐运动定义得F=-kx
由于计算周期，只需考虑最大位移处，即振幅，是标量（下同），得
F=kA
根据向心力公式F=mω^2r
由于此时半径为振幅，则F=mω^2A
代入定义式为kA=mω^2A
两边约去A，得k=mω^2
对此式变形ω^2=k/m
1/ω^2=m/k 1/ω=√(m/k)
通过对角速度公式ω=2π/T变形得
T=2π(1/ω)
代入前面计算的式子得T=2π√(m/k)
注意这个就是一般的简谐运动求周期公式，只是不教罢了，下面推出单摆公式老师上课说过，当摆角很小时可近似得出
sinθ=F/mg=x/l
变形得F=mgx/l
参照简谐运动定义式F=kx，一一对应
得k=mg/l
将k代入前面算出的一般简谐运动周期公式T=2π√(m/k)
得T=2π√(m/(mg/l))
L
约去m，化简得T=2π√(l/g)即T=
g
这就是单摆公式的推导。
单摆周期公式推导简析
单摆周期公式推导简析单摆的周期公式T=2π√Lg是通过一系列物理原理和数学推导得出的。
以下是一个简化的推导过程：假设与前提1.摆角很小：通常假设摆角θ很小（小于5∘），这样摆球的运动轨迹可以近似为圆弧，且摆球受到的重力沿圆弧切线方向的分量（即回复力）可以近似为mgsinθ。
由于θ很小，sinθ可以近似为θ（以弧度为单位）。
2.无摩擦和空气阻力：为了简化问题，通常假设摆球在运动过程中不受摩擦和空气阻力的影响。
推导步骤1.确定回复力：2.摆球在摆动过程中受到的回复力F为重力沿圆弧切线方向的分量，即3. F=−mgsinθ≈−mgθ4.其中负号表示回复力的方向与位移方向相反。
5.建立动力学方程：6.根据牛顿第二定律，摆球的加速度a与回复力F成正比，即7. ma=−mgθ8.化简得9. a=−gθ10.转化为角加速度：11.由于θ是摆角，它是时间的函数θ(t)。
角加速度α定义为角速度ω的变化率，即α=dωdt。
同时，角速度ω与线速度v和摆长L的关系为v=Lω。
因此，加速度a可以表示为12. a=dvdt=d(Lω)dt=Ldωdt=Lα13.将a=−gθ代入上式得14. Lα=−gθ15. 求解角加速度与摆角的关系：16. 由于 α=dωdt 和 ω=dθdt （在角速度较小的情况下近似成立），我们有17. d 2θdt 2=α=−g Lθ 18. 这是一个二阶常系数线性齐次微分方程，其解为19. θ(t)=Acos(√g L t +φ)20. 其中 A 和 φ 是由初始条件确定的常数。
21. 确定周期：22. 由于 θ(t) 是周期性函数，其周期为 T ，满足 θ(t +T)=θ(t)。
从解 θ(t)=Acos(√g L t +φ) 可以看出，周期 T 是23. T =2π√g L=2π√L g 以上就是单摆周期公式的推导过程。
注意，这个推导过程是基于一些简化和假设的，如摆角很小、无摩擦和空气阻力等。
单摆周期公式的数学推导
单摆周期公式的数学推导单摆(period of a simple pendulum)是一个简单的物理系统，可以用经典力学模型进行描述。
单摆由一个质点(即摆球)通过一根无质量、不可伸长的细线或杆(即摆线)悬挂在固定点上。
在摆线的引力作用下，摆球发生周期性的来回摆动，每次摆动称为一次周期。
这里，我们将通过数学推导来推导出单摆的周期公式。
假设单摆的绳长为L，摆球的质量为m，引力加速度为g。
我们需要找到一个恰当的物理量来描述摆球的位置，以及它如何随时间变化。
可以选择角度θ，它定义为摆球相对于平衡位置的偏移量。
首先，我们引入牛顿的第二定律，在这个系统中，只有重力作用在摆球上，因此摆球所受的合力等于质量乘以加速度。
我们可以将这个力分解为摆球沿着摆线方向的分量和垂直于摆线方向的分量。
因为摆线是无质量的，所以垂直于摆线方向的力不会对摆球产生影响。
因此，只需考虑沿着摆线方向的力。
由此可得：mg sin(θ) = m * a --方程(1)其中，a是摆球沿着摆线方向的加速度。
由于摆球的运动在平衡位置附近，角度θ可以被认为是很小的值，我们可以对方程(1)进行小角度近似(sinθ ≈ θ)。
这是因为正弦函数在θ趋近于0时，与θ的值非常接近。
mgθ = m a --方程(2)a = d²θ / dt² --方程(3)将方程(3)代入方程(2)中，我们得到：mgθ = mL d²θ / dt²简化上述方程，我们得到：d²θ / dt² + (g / L)θ = 0这是一个二阶常微分方程。
我们可以通过猜测解的形式，将其转化为一个常系数二阶齐次线性微分方程。
我们猜测解的形式为：θ(t) = A * cos(ωt + φ)其中，A为振幅，ω为角频率，φ为初始相位。
将猜测的解代入上述微分方程中，我们可以得到：-Aω² * cos(ωt + φ) + (g / L) * A * cos(ωt + φ) = 0化简后，可得：ω²=g/L回忆角频率与周期的关系：ω=2π/T将上述结果代入，我们得到：(2π/T)²=g/L从而，我们可以解出周期T的表达式：T = 2π * sqrt(L / g)这就是单摆的周期公式。
单摆周期公式的数学推导
单摆周期公式的数学推导
一、单摆周期公式：
单摆周期仅摆长L相关，与L的平方根成正比。
公式如下： g是重力加速度，一般取9.8m/ss
二、采用牛顿第二定律推导：
如下图，摆长为l,重物受力为：重力mg和绳子的张力T。
取如图所示的二维坐标系，张力T可以分解为垂直和水平方向的二个力。
L与垂线的夹角为θ。
根据牛顿第二运动定律，F=ma，可以列出重物在x和y二个方向上的运动方程：
这二个微分方程相当难解，所以只能采用一种“小角度近似”的方法进
行处理，
解的物理意义很明确，A是最大振幅，ω是角速度，φ是初相角（视初始条件而定）。
三、采用机械能守恒定律推导：
重物的机械能，可以分为动能和势能：ME=KE+u（ME为总机械能，KE为动能，u为势能）。
在重物摆动过程中，其机械能保持不变，为一恒定常数。
而动能KE=1/2 mvv（m为重物质量，v为速度，这里用二个v表示平方）；势能u=mgy（设下图中x坐标线为0势能，则任意点P处重物高度为y）。
推导过程和解微分方程是微积分学的知识，高中知识是无法推导的。
从上述二个推导过程看，均采用了小角度近似方法，似乎对结论有一定影响。
但最终的结果中，周期与角度θ是无关的，因而该公式即为理论推导结果。
单摆振动周期公式应用与拓展
单摆振动周期公式应用与拓展首先，我们来探讨一下单摆振动周期公式的基本原理。
单摆是一个能够满足简谐振动条件的物体，例如一根绳子上挂着的一个质点。
当质点被拉到一侧后，它会开始作周期性的来回摆动。
振动周期就是质点从一个极点到另一个极点所需要的时间。
根据实验结果和物理推导，可以得到单摆振动周期公式为：T=2π√(L/g)其中，T表示振动周期，L表示单摆的长度，g表示重力加速度。
从公式中可以看出，振动周期与单摆的长度和地球重力加速度有关，当长度增加或重力加速度减小时，振动周期增加，即摆动速度减慢。
单摆振动周期公式的应用非常广泛。
一个典型的应用是在建筑物的抗震设计中。
建筑物的抗震设计是非常重要的，可以保证建筑物在地震中的稳定性和安全性。
在抗震设计中，需要考虑建筑物的振动特性，以及地震力的作用。
单摆振动周期公式可以用于计算建筑物的自由振动周期，从而帮助工程师选择合适的结构参数，使得建筑物在地震中具有较好的抗震性能。
另一个应用是在钟表制作中。
钟表的摆钟是一种应用了单摆原理的装置，它的精确度和稳定性与单摆的振动周期有关。
根据单摆振动周期公式，可以通过调节摆钟的长度，使得摆钟的振动周期达到所需的精确值。
这样一来，摆钟就能够以非常准确的频率进行摆动，从而实现钟表的正常计时功能。
此外，单摆振动周期公式还可以应用到其他一些领域。
例如，在物理实验中，可以通过改变单摆的长度和重力加速度，来研究对振动周期的影响。
在工程计算中，可以根据单摆振动周期公式，计算一些动态系统的振动周期，例如桥梁的自由振动周期。
在天文学中，单摆振动周期公式可以用于计算天体的周期运动，例如行星的公转周期。
除了对单摆的普通振动，单摆振动周期公式还可以拓展到一些特殊情况下。
例如，当单摆受到阻尼力或驱动力的作用时，振动周期公式需要进行修正。
在阻尼振动中，振动周期随着阻尼系数的增加而减小。
在驱动振动中，振动周期与外力的频率相同或其整数倍相关。
在非线性振动中，单摆振动周期公式也需要进行修正。
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F = m a 2 + g 2 ，因此，
a F′ T
G
图6
g ′ = a 2 + g 2 ，单摆的周期T = 2
x = Asin(t + ) 。这说明小球的位移 x 是按正弦曲线的规律随着时间作周期性变化的，
其变化的角速度为 = k = 2 ，从而得到作简谐运 mT
动物体的周期为T = 2 m 。 k
l
A
二．单摆周期公式的推导 单摆是一种理想化的模型，实际的摆只要悬挂小
球的摆线不会伸缩，悬线的长度又比球的直径大很多，
m 动系统中，还应包括惯性力，惯性力的大小 F ′ = ma ，方向与系统的加速度的方向相反）
此时，单摆的周期公式就变成了T = 2 l 。 g'
例 2．在电场中带电摆球的摆动周期 如图 3 所示，长为 L 的绝缘细线下端系一带电量为 + q 、质量为 m 的小球，整个装置处
于场强为 E 方向竖直向下的匀强电场中，在摆角小于 50 时，求它的摆动周期。
始终沿着摆线方向的力，剩余的各力沿着摆线方向的合力 F = mg + ma ，
因此 g′ = F = g + a ，所以单摆的周期T = 2 m
L g′
=
2
L。 g+a
如图 6 所示，若单摆处于沿水平方向作匀加速直线运动的系统内， 单摆的摆 长为 L ，系统水平向右的加速度为 a ，摆球的质量为 m ，求这一单摆的 周期。
解析 小球在垂直于纸面内作简谐运动时，其等效摆长为
L sin ，所以此双线摆的周期T = 2 Lsin 。 g
L
图2
讨论 2：单摆周期公式中的 g 指的是重力加速度，而在很多特定条件下可以理解为 g′ —
—摆球在平衡位置保持相．对．静．止．时，摆球所受到的外力中除去所有的始终沿着摆线方向 的力，剩余的各力沿着摆线方向的合力 F 与摆球质量 m 的比值，即 g′ = F ，（在加速运
三．单摆周期公式在特定条件下的应用 讨论 1：单摆周期公式中的 l 指的是单摆的摆长，但在特定情况下 可以理解为是等效摆长。
例 1．如图 2 所示，为一双线摆，它是在水平天花板上用两根 等长的细线悬挂一个小球而构成的。已知摆长为 L ，摆线与天花板 之间的夹角为 。求小球在垂直于纸面方向作简谐运动时的周期。
时，重力 G 沿着圆弧切线方向的分力 G1 = mg sin 提供给摆球作为来回振动的回复力
F
=
G1
=
mg sin
，当偏角
很小﹝如
＜100 ﹞时， sin
≈
≈
x l
，所以单摆受到的回ห้องสมุดไป่ตู้
复力 F = − mg x ，式中的 l 为摆长，x 是摆球偏离平衡位置的位移，负号表示回复力 F 与 l
位移 x 的方向相反，由于 m、g、L 都是确定的常数，所以 mg 可以用常数 k 来表示，于 l
是上式可写成 F = −kx 。因此，在偏角 很小时，单摆受到的回复力与位移成正比，方
向与位移方向相反，单摆作的是简谐运动。把 k = mg 代入到简谐运动物体的周期公式， l
即可得到单摆的周期公式是T = 2 l 。 g
L。 a2 + g2
例 4．如图 7 所示为一单摆，摆绳长为 L ，摆球的质量为 m ，摆球带
T
+q, m
F′ G
有正电荷的电量为 q ，在单摆的悬点处放有一带电量为 Q 的正电荷，试求 图 7
这一单摆的周期。
1
解析 摆球受到摆绳的拉力T 、重力 G 和电场力 F ′ 。其中电场力 F ′ 始终沿着摆绳
T
T
B
G1 P
O
G2
都可以认为是一个单摆。
GG
当摆球静止在 O 点时，摆球受到的重力 G 和摆线
图1
的拉力T 平衡，如图 1 所示，这个 O 点就是单摆的平
衡位置。让摆球偏离平衡位置，此时，摆球受到的重力 G 和摆线的拉力T 就不再平衡。
在这两个力的作用下，摆球将在平衡位置 O 附近来回往复运动。当摆球运动到任一点 P
F = ma = −kx ，即 a = − k x m
因此小球的加速度 a 与它相对平衡位置的位移 x 成正比，方向与位移 x 相反。因为 x（或
F ）是变量，所以 a 也是变量，小球作变加速运动。把加速度 a 写成 d 2 x ，并把常数 k
dt 2
m
写成
2
得到
d2x dt 2
=
− 2 x
。对此微分方程式，利用高等数学方法，可求得其解为
单摆周期公式的推导
一． 简谐运动物体的运动学特征 作简谐运动的物体要受到回复力的作用，而且这个回复力 F 与物体相对于平衡位置
的位移 x 成正比，方向与位移 x 相反，用公式表示可以写成 F = −kx ，其中 k 是比例系数。 对于质量为 m 的小球，假设 t 时刻（位移是 x ）的加速度为 a ，根据牛顿第二运动定律 有：
F
E
qE
G
图3
F Eq
G
图4
若整个装置处于如图 4 所示的电场中，同样可以求得单摆的摆动周期为
T = 2
L
。
g 2 + ( Eq )2 m
例 3． 如图 5 所示，求在匀加速上升的升降机内单摆的周期。
aT F′ G
图5
解析 设升降机匀加速上升的加速度为 a ，单摆的摆长为 L ，摆球的质量为 m 。 当摆球在平衡位置保持相．对．静．止．时，摆球受到的力如图 5 所示即摆线的拉力T 和重力 G 以及惯性力 F ′ = ma ，方向与系统的加速度方向相反。摆球所受到的外力中除去所有的
解析 摆球所受到的力如图 3 所示即细线的拉力 F 、 重力 mg 和电场力 Eq 。当摆球在平衡位置保持相．对．
静．止．时， 摆球所受到的外力中除去所有的始终沿着
摆线方向的力，剩余的各力沿着摆线方向的合力
F = mg + Eq ，则 g′ = mg + Eq = g + Eq ，
m
m
摆动的周期是T = 2 L 。 g + Eq m
的方向，当摆球在平衡位置保持相．对．静．止．时，摆球受到的外力中除去所有的始终沿着摆
绳方向的力，剩余的各力沿着摆绳方向的合力 F = mg ， g′ = F = g 。 m
因此，单摆的周期是T = 2 l 。 g
例 5．如图 8 所示，单摆处在方向垂直纸面向里的磁场中，已知摆球的带电量