初中八年级(初二)物理 摆球的质量单摆的周期公式
初中物理m为摆球的质量单摆的周期公式
二、单摆的回复力 M
1、受力分析:ຫໍສະໝຸດ ABO 单摆的平衡
位置
仔细观察下面表格：你能得到什么结论？
角度
1o 2o
sinθ
0.01754 0.03490
θ弧度值
0.01754 0.03491
θ弧度值与sinθ的差值 0.00000 0.00001
3o 0.05234
0.05236
对于单摆：
k=mg/l ，m为摆球的质量
单摆的周期公式： T 2 l
g
单摆周期公式
T 2 l
g
荷兰的物理学家、天文学家、 数学家惠更斯，研究单摆的现象， 发现：
单摆的振动周期跟摆长的平方
根成正比，跟重力加速度的平方根 成反比。
1629~1695
单摆周期公式的应用
1、计时器
1656年惠更斯首先将摆引入时钟成为摆钟。
0.00002
4o 0.06976
0.06981
0.00006
5o 0.08716
0.08727
0.00011
6o 0.10453
0.10472
0.00019
7o 0.12187 8o 0.13917 9o 0.15700 10o 0.17444
0.12217 0.13863 0.15636 0.17356
例题1
周期为2s的单摆叫做秒摆，秒摆的摆长是多少？
解：根据单摆的周期公式：T 2 l
g
l
g
4 2
T
2
≈0.993m
可得，
小结:在近似计算时，g≈π2
单摆周期公式的应用
2、测重力加速度 g 4 2 l T2
初三物理知识点单摆周期公式推导
三一文库（）/初中三年级〔初三物理知识点单摆周期公式推导〕公式推导M = - m * g * l * Sin x.其中m为质量，g是重力加速度，l是摆长，x是摆角。
我们希望得到摆角x的关于时间的函数，来描述单摆运动。
由力矩与角加速度的关系不难得到，M = J * β。
其中J = m * l^2是单摆的转动惯量，β = x''（摆角关于时间的2阶导数）是角加速度。
于是化简得到x'' * l = - g * Sin x.我们对上式适当地选择比例系数，就可以把常数l与g约去，再移项就得到化简了的运动方程x'' + Sin x = 0.第1页共5页因为单摆的运动方程（微分方程）是x'' + Sin x = 0 (1)而标准的简谐振动（如弹簧振子）则是x'' + x = 0 (2)相关解释我们知道（1）式是一个非线性微分方程，而（2）式是一个线性微分方程。
所以严格地说上面的（1）式描述的单摆的运动并不是简谐运动。
不过，在x比较小时，近似地有Sin x ≈ x。
（这里取的是弧度制。
即当x -> 0时有Sin x / x = o（1）。
）因而此时（1）式就变为（2）式，单摆的非线性的运动被线性地近似为简谐运动。
然后说一下为什么是10°。
由于Sin x ≈ x这个近似公式只在角度比较小的时候成立（这一个可以从正弦函数的在原点附近的图象近似看出），所以只有在小角度下（1）式化作（2）式才是合理的。
事实上5°≈0.087266弧度，Sin 5°≈0.087155，二者相差只有千分之一点几，是十分接近的。
在低精度的实验中，这种系统误差可以忽略不计（因为实验操作中的偶然误差就比它大）。
但如果换成25°，误差高达百分之三，就不宜再看成是简谐振动了。
由于正弦函数的性质，这个近似是角度越小，越精确，角度25。
单摆周期公式的探究,说课
单摆周期公式的探究
二、单摆周期公式
一、单摆周期的影响因素
三、单摆周期公式的应用
测重力加速度
--学生探究实验
2.猜想假设
学生会从不同的角度进行推测,汇集学生意见后， 教师引导学生将探究的可能影响因素共同确定为： ①摆球质量
②摆角
③摆长
④重力加速度
教学过程
3.设计实验
最终将实验方案确定为以下三种： (1)摆角和摆球质量一定，改变摆长 (2)摆角和摆长一定，改变摆球质量 (3)摆长和摆球质量一定，改变摆角
材
生
说 教法和学法
说 教 学 过 程
学 情 分 析
• 教学对象：高二学生 • 学生已有的知识：简谐运动的特点及描述方法 单摆的物理模型 单摆做简谐运动的条件 • 学生已有的能力：研究方法——控制变量法 用 Excel处理数据的能力
单摆周期公式的探究
说
说
教
学
材
生
说 教法和学法
说 教 学 过 程
教 法 和 学 法
通过播放视频
——引导学生得出探究实验的一般步骤
提出问题 猜想假设
设计实验
分析论证
进行试验
教学过程
新课教学
--学生探究实验
演示实验： 用两个摆长、摆球 质量均不一样的单摆， 让它们分别偏离一个不 同的小角度释放，观察 两个单摆振动的快慢。
1.提出问题
单摆的周期与哪些因素有关呢?
图3
教学过程
新课教学
（1）通过本节课，你学到了哪些知识? （2）你学习了哪些方法? （3）你有什么收获和体会? （4）你有什么疑问和想法?
布置作业
1.巩固练习作业： 课本P17 1、2、3
用单摆的周期公式测重力加速度考点
用单摆的周期公式测重力加速度考点（1）摆长的测量：让单摆自由下垂，用米尺量出摆线长L /（读到0.1mm ），用游标卡尺量出摆球直径（读到0. 1mm ）算出半径r ，则摆长L =L /+r（若摆长没有加小球的半径，则重力加速度的测量测量值变小）（2）开始摆动时需注意：摆角要小于10° （保证简谐运动，不形成圆锥摆，形成圆周摆后，测量值变大）（3）从摆球通过最低点时开始计时，测出单摆通过最低点n 次所用时间，算出周期1n t 2T -= （若摆动少计算一次，则周期变大，重力加速度的测量测量值变小）（4）改变摆长重做几次，计算每次实验得到的重力加速度，再求这些重力加速度的平均值。
（5）选取摆长约1米的不可伸长的细丝线；质量大体积小的小球。
（6）做T 2——L 图：①不加小球半径如图1；正常如图2；加了小球直径如图3（7）2121L L T T = 221121221)R R (M M g g T T == hR R h R R g g T T h h +=+==2)(验证机械能守恒定律1．原理：物体做自由落体运动，根据机械能守恒定律有：mgh=221mV 在实验误差范围内验证上式成立。
2．实验器材：打点计时器，纸带，重锤，毫米刻度尺，铁架台，烧瓶夹、低压交流电源(4_6V)3．实验条件：a ．打点计时器应该竖直固定在铁架台上b ．在手释放纸带的瞬间，打点计时器刚好打下一个点子，纸带上最初两点间的距离约为2毫米。
g L T θπcos 2=3．测量的量：a．从起始点到某一研究点之间的距离，就是重锤下落的高度h，则重力势能的减少量为mgh1；测多个点到起始点的高h1、h2、h3、h4（各点到起始点的距离要远一些好）b．不必测重锤的质量5．误差分析：由于重锤克服阻力作功，所以动能增加量略小于重力势能减少量6．易错点：a．选择纸带的条件：打点清淅；第1、2两点距离约为2毫米。
b．打点计时器应竖直固定，纸带应竖直。
单摆 课件
(4)改变摆长，重做几次实验。 (5)数据处理 ①平均值法：每改变一次摆长，将相应的 l 和 T，代入公式 g＝4Tπ22l中求出 g 值，最后求出 g 的平均值。 设计如下所示实验表格
②图象法
由单摆的周期公式 T＝2π gl 可得 l＝4gπ2T2，因此以摆长 l 为纵轴，以 T2 为横轴作出 l－T2 图象，是一条过原点的直线，如 图所示，求出斜率 k，即可求出 g 值。g＝4π2k，k＝Tl2＝ΔΔTl2。
②等效重力加速度：若单摆系统处在非平衡状态(如加速、 减速、完全失重状态)，则一般情况下，g 值等于摆球相对静止在 自己的平衡位置时，摆线所受的张力与摆球的质量的比值。
2．应用 摆钟是单摆做简谐运动的一个典型应用，其快慢是由摆钟的 周期决定的，分析时注意： (1)计时原理：摆钟的计时是以钟摆完成一定数量的全振动， 从而带动秒针、分针、时针转动实现的，因此钟摆振动的周期变 化就反映了摆钟的快慢，如钟摆振动周期变大，则摆钟将变慢， 摆钟时针转动一圈的时间变长。
(2)平衡位置 摆球经过平衡位置时，G2＝G，G1＝0，此时 F 应大于 G，F －G 的作用是提供向心力；因在平衡位置，回复力 F 回＝0，与 G1＝0 相符。 (3)单摆的简谐运动 在 θ 很小时，sinθ≈tanθ＝xl ， G1＝Gsinθ＝mlgx， G1 的方向与摆球位移方向相反，所以有回复力
例 1 关于单摆，下列说法中正确的是( ) A．单摆振动的回复力是重力的分力 mgsinα，其中α是摆线 与竖直方向之间的夹角 B．单摆的回复力是重力和摆线拉力的合力 C．单摆的摆球在平衡位置时(最低点)的加速度为零 D．单摆的振动周期在振幅很小的条件下跟振幅无关
解析：此题考查回复力来源问题以及单摆的加速度与回复力 的关系。单摆运动的轨迹是一段圆弧，在摆动的过程中，摆球受 重力 G 和摆线的拉力 FT 两个力的作用，这两个力的合力不但要 提供回复力，还要提供向心力。摆线的拉力 FT 总与运动方向垂 直，不能提供回复力。重力的方向竖直向下，不可能全部用于提 供回复力，所以，提供回复力的是重力沿圆弧方向的分力 mgsinα，A 正确；通常情况下单中所受阻力作用。 实验中为满足上述条件，我们尽量选择质量大，体积小的球 和尽量细的弹性小的线。
单摆周期公式及影响单摆周期的因素研究
单摆周期公式及影响单摆周期的因素研究摘要：结合理论知识，基础物理实验，构建线性数学模型。
对单摆运动进行分析。
其中，理论部分主要依据高等数学及数学物理方法的知识，对单摆运动周期公式进行论证；实验部分主要通过改变单摆摆线长度进行实验；观察、分析单摆运动规律。
从而验证单摆周期公式。
并对影响单摆周期的因素展开研究。
最后总结出影响单摆周期的因素。
关键词：数学模型 ； 单摆运动 ； 周期公式单摆运动问题是一个古老的问题，无论是中学物理还是大学物理，我们都在学习研究单摆。
作为一个重要的理想物理模型，单摆的运动周期规律和实验研究在生产生活中意义重大。
单摆问题是物理学中经典问题。
从阅读物理学史并可知道，早在 1583 年，十九岁的伽利略（1564—1642）在比萨教堂祈祷时注意到因被风吹而摆动的大灯，他利用自己的脉搏来测定大灯的摆动周期，发现了摆的等时性。
但现在这个故事的真实性受到怀疑 ,因为比萨大教堂所保留的许多相关历史文献都表明该吊灯是在伽利略二十三岁那年才首次安装的。
专家指出，伽利略是于1602 年注意到单摆运动的等时性，不过伽利略误认为在大摆动条件下等时性也成立，他说：“物体从直立圆环上任一点落到最低位置的时间相同。
”随后吉多彼得做实验发现这个结论与实验不符，伽利略解释说可能是由于摩擦力。
伽利略从实验中得出单摆周期与摆长的平方根成正比。
他还指出周期与摆球质量无关。
他说：“因此我取两个球，一个是铅的而另一个是软木的，前者比后者重 100 多倍，用两根等长细线把它们悬挂起来、把每一个球从铅直位置拉到旁边，我在同一时刻放开它们，它们就沿着以这些等长线为半径的圆周下落，穿过铅垂位置，并且沿同一路径返回。
”最早系统地研究单摆的是惠根斯（ChristiaanH uygens ）。
由于当时实验技术条件的落后，重力加速度在惠根斯之前是很难精确测出来的，所以惠更斯不可能从实验中总结出或猜出单摆周期公式的系数π2。
事实上，反过来重力加速度是 1659 年惠更斯根据单摆周期公式首次精确测出来的。
初中物理钟摆试题及答案
初中物理钟摆试题及答案一、选择题（每题2分，共10分）1. 钟摆的周期与下列哪个因素无关？A. 摆长B. 摆球的质量C. 摆球的形状D. 重力加速度答案：C2. 根据单摆的周期公式T=2π√(L/g)，下列哪项是正确的？A. 摆长L增加，周期T减少B. 重力加速度g增加，周期T增加C. 摆长L增加，周期T增加D. 重力加速度g增加，周期T减少答案：C3. 一个单摆的周期为2秒，当摆长增加到原来的2倍时，新的周期是多少？A. 1秒B. 2秒C. 4秒D. 8秒答案：C4. 单摆的周期与振幅的关系是？A. 周期与振幅成正比B. 周期与振幅成反比C. 周期与振幅无关D. 周期随振幅的增大而增大答案：C5. 以下哪个因素会影响单摆的周期？A. 摆球的质量B. 摆球的体积C. 摆长D. 摆球的颜色答案：C二、填空题（每题2分，共10分）1. 单摆的周期公式为______，其中L代表______，g代表______。
答案：T=2π√(L/g)；摆长；重力加速度2. 当单摆的摆长从1米增加到2米时，周期将______。
答案：加倍3. 单摆的周期与摆球的质量______。
答案：无关4. 在地球上，单摆的周期与当地的______有关。
答案：重力加速度5. 单摆的周期公式中的π是一个无理数，其近似值为______。
答案：3.14159三、计算题（每题10分，共20分）1. 一个单摆的摆长为0.5米，当地的重力加速度为9.8米/秒²，求该单摆的周期。
答案：T=2π√(0.5/9.8)≈1.01秒2. 已知单摆的周期为4秒，重力加速度为9.8米/秒²，求该单摆的摆长。
答案：L=√(T²g/4π²)=√(4²×9.8/4×3.14²)≈0.5米四、实验题（每题10分，共10分）1. 请设计一个实验来验证单摆的周期与摆长的关系，并写出实验步骤和预期结果。
单摆周期公式的推导
单摆周期公式的推导一．简谐运动物体的运动学特征作简谐运动的物体要受到回复力的作用，而且这个回复力F 与物体相对于平衡位置的位移x 成正比，方向与位移x 相反，用公式表示可以写成kx F −=，其中k 是比例系数。
对于质量为m 的小球，假设t 时刻（位移是x ）的加速度为a ，根据牛顿第二运动定律有：kx ma F −==，即xmka −=因此小球的加速度a 与它相对平衡位置的位移x 成正比，方向与位移x 相反。
因为x （或F ）是变量，所以a 也是变量，小球作变加速运动。
把加速度a 写成22dt x d ，并把常数m k写成2ω得到x dtxd 222ω−=。
对此微分方程式，利用高等数学方法，可求得其解为)sin(ϕω+=t A x 。
这说明小球的位移x 是按正弦曲线的规律随着时间作周期性变化的，其变化的角速度为Tm k πω2==，从而得到作简谐运动物体的周期为kmT π2=。
二．单摆周期公式的推导单摆是一种理想化的模型，实际的摆只要悬挂小球的摆线不会伸缩，悬线的长度又比球的直径大很多，都可以认为是一个单摆。
当摆球静止在O 点时，摆球受到的重力G 和摆线的拉力T 平衡，如图1所示，这个O 点就是单摆的平衡位置。
让摆球偏离平衡位置，此时，摆球受到的重力G 和摆线的拉力T 就不再平衡。
在这两个力的作用下，摆球将在平衡位置O 附近来回往复运动。
当摆球运动到任一点P时，重力G 沿着圆弧切线方向的分力θsin 1mg G =提供给摆球作为来回振动的回复力θsin 1mg G F ==，当偏角θ很小﹝如θ＜010﹞时，lx≈≈θθsin ，所以单摆受到的回复力x lmgF −=，式中的l 为摆长，x 是摆球偏离平衡位置的位移，负号表示回复力F 与位移x 的方向相反，由于m 、g 、L 都是确定的常数，所以lmg可以用常数k 来表示，于是上式可写成kx F −=。
因此，在偏角θ很小时，单摆受到的回复力与位移成正比，方向与位移方向相反，单摆作的是简谐运动。
单摆
②摆球的直径 d 远小于单摆的摆长Ｌ，即 d <<Ｌ
③摆球所受空气阻力远小于摆球重力及绳的拉力，可 忽略不计。 ④摆线的伸长量很小，可以忽略。
4、单摆是对现实摆的抽象，. 是一种理想化的物理模型
想一想：下列装置能否看作单摆？
细
筋橡
绳
皮
1
2
O 在细粗
铁
绳棍
链
O’
挂上 线 长
细
钢球
3
4
5
ᄼ
二．单摆的运动
0.10472
7°
0.12187
0.12217
8°
0.13917
0.13963
在摆角小于5度的条件下：Sinθ≈θ（弧度值）
结论：当最大摆角很小时(θ< 5° )，单摆在
竖直面内的摆动可看作是简谐运动。
F 回 m lgxkx(令 km lg)
讨论交流： 1.单摆也是理想化模型，其理想化条件是什么？ 2.有人说单摆的运动就是简谐运动，这句话对吗？为 什么？
结论：单摆振动周期和摆长有关。
实验现象：
摆长和质量相同，振幅不同 摆长和振幅相同，质量不同 振幅和质量相同，摆长不同
周期相同 周期相同 周期不同
实验结论：（在重力加速度g不变时）
单摆振动周期与小球质量、振幅无关， 与摆长有关；摆长越长，周期越长。
2.单摆周期公式：
摆角很小的情况下，单摆做简谐
运动的振动周期跟摆长的平方根成正
1.受力分析：
O'
径向：FyTmgcos（向心力）
切向：Fx mgsinθ（回复力）
T
平衡 位置
O
回复力：F回mgsθin mgsin
mg cos
关于单摆的周期
关于单摆的周期(1)非线性摆的振动周期一根不可伸长、不计质量的绳长为l，一端固定于O点，另一端系质量为m的小球，就可组成一个摆，如图9－27所示，竖直线OP为摆以O点为轴摆动的平衡位置．为了研究摆动的一般规律，把摆看作是个绕O点转动的刚体，摆对O轴的转动惯量I=ml2．当角位移为θ时，作用于小球的重力对O点的力矩M=－mglsinθ．(其中的负号表示力矩的方向与角位移θ的方向相反．)根据定轴转动的定律Iβ=M，有整理后可得这是一个非线性微分方程，与简谐运动的微分方程不同．因此，一般情况下的摆，角位移对时间的变化规律不是余弦式，所作的摆动，不是简谐运动，而是一种非线性振动．这种摆的周期表达式为可见，一般情况下的摆的周期随摆幅(由θ0表示)的变化而变化，不是等时摆．(2)单摆和它的周期当摆动过程中，摆线对平衡位置的角位移θ的绝对值都很小，以致θ=θ0cos(ωt＋a)，其中θ0为最大摆角，为角振幅，周期通常所说的单摆是指一般的非线性摆在摆角振幅很小时的情形．这是一种等时摆，周期与振幅的大小无关，是一种理想模型．在实际应用中，在摆角足够小的条件下，就可以使用单摆的周期公式进行计算．(3)怎样认识“摆角足够小”的条件由摆的周期T′的公式以及单摆的周期T的公式的比较中，可知误差θ0为最大摆角．为了有一个定量的概念，在θ0为不同角度时周期的误差如下表所示．从以上数字可以看到：当最大摆角在15°以内时，误差在0.5％以内；当最大摆角在5°以内时，误差在0.05％以内．实验中还会有测量误差，如摆长测量误差，计时误差，等等．由于中学物理实验对精度要求不很高，同时，系统误差的精度与测量误差的精度应该协调．因此可以认为，θ0＜15°时，可以满足中学物理实验对误差的要求．做演示实验时，为了增加可见度，单摆的摆角不必过于拘泥小于5°这个角度．。
单摆 课件
(1)将悬挂在同一高度的两个相同的摆球拉到不同高度同时释放使
其做简谐运动。
(2)将悬挂在同一高度的两个摆长相同、质量不同的摆球拉到同一
高度同时释放使其做简谐运动。
(3)将悬挂在同一高度的两个摆长不同、质量相同的摆球拉到同一
高度同时释放使其做简谐运动。
答案:(1)他想验证单摆的周期与振幅的关系,实验表明两摆球同步
全振动的图象,已知 sin 5°=0.087,sin 15°=0.26,这四种操作过程合乎实
验要求且误差最小的是
(填字母代号)。
答案:(1)AC (2)12.0 0.9930 (3)A
解析:(1)橡皮的作用是使摆线摆动过程中悬点位置不变,从而保障
摆长一定,同时又便于调节摆长,选项 AC 说法正确;(2)根据游标卡尺读
振动。
(2)他想验证单摆的周期与摆球质量的关系,实验表明两摆球的振
动也是同步的。
(3)他想验证单摆的周期与摆长的关系,实验表明两摆球的振动不
同步,而且摆长越长,振动就越慢。
2.什么是秒摆?秒摆的摆长约为多少?
答案:周期 T=2 s 的单摆称为秒摆。由单摆周期公式 T=2π
秒摆的摆长约为 1 m。
l
g
T
据此,只要测出摆长 l 和周期 T,就可计算出当地重力加速度 g 的数值。
(1)应选择细而不易伸缩的线。如用单根尼龙丝、丝线等。长度一
般不应短于 1 m,小球应选用密度较大的金属球,直径应较小,最好不超
过 2 cm。并且要在偏角小于 5°的情况下进行实验。
(2)单摆悬线的上端应夹紧在铁夹中,以免摆动时发生摆线下滑、摆
m/s2≈9.76 m/s2。
42 l
(2)从 g=
1.3探究单摆振动的周期
实验结论:
• 单摆的周期的平方与摆长成 正比
五．单摆的周期
单摆做简谐运动的振动周期跟 摆长的平方根成正比，跟重力加 速度的平方根成反比。
惠更斯（荷兰）
周期公式： T 2 l
g
国际单位：秒（s）
惠更斯于1656年发明了世 界上第一个用摆的等时性来 计时的时钟。
（1657年获得专利权）
案例：
探究单摆的周期
宁夏六盘山高级中学 韩兴乾
一．单摆
单摆是一个理想化的模型。
质量不计 摆线： 长度远大于小球直径
不可伸缩
摆球： 质点（体积小 质量大
阻力不计）
二．探究单摆的运动性质
O'
法向：Fy T mg cos（向心力）
l
切向：Fx mgsinθ（回复力）
回复力： F回 mgsinθ
改变地理位置，重力加速度变大，表变快. 应该调长摆长。
1、原理：
T 2 l
g
g 4 2l
T2
2、测算当地的重力加速度
• 数据代入法：把实验中测出 的L、T 数据代入公式，求出 重力加速度
• 1851年法国物理学家傅科为证明
地球自转所设计的一种摆，称为博 科摆。 • 傅科摆绳长67米，绳端摆锤重27 千克，这种摆自由摆动时间较长， 便于人们观察。
当ɵ很小时，sin ɵ= ɵ=x/l
T
Ox
mg sin
mg cosmg来自F回mg l
x
kx(令k
mg l
)
结论：当最大摆角很小（小于100） 时，单摆在竖直面内的摆动可看作是 简谐运动。
议一议： 单摆振动的周期与哪些因素有关呢？
单摆 知识讲解
物理总复习： 单摆编稿：李传安审稿：【考纲要求】1、了解单摆的结构，知道单摆是一种理想化的物理模型，学会用恰当的方法建立物理模型；2、知道单摆做简谐运动的条件，知道单摆的回复力，学会用近似处理方法来解决相关物理问题；3、理解单摆振动的规律及其周期公式，能利用单摆周期公式对有关物理情景进行分析；4、知道等时性的概念，能利用单摆规律分析时钟走时快慢的问题；5、知道用单摆测重力加速度的实验原理和实验步骤。
【考点梳理】 考点一、单摆定义：在一条不可伸长的轻绳下端栓一个可视为质点的 小球，上端固定，摆球做小角度摆动，这样的装置叫单摆。
要点诠释：（1）单摆是一个理想化的物理模型。
（2）单摆的振动可看作简谐运动的条件：最大摆角10θ<。
（3）回复力来源：重力沿切线方向分力，如图所示。
在10θ<时，sin xF mg mg kx lθ=-≈-=-回， 其中mgk l=考点二、单摆的周期实验证明单摆的周期与振幅A 无关，与质量m 无关，随摆长的增大而增大，随重力加速度g 的增大而减小。
荷兰物理学家惠更斯总结出单摆周期公式：2L T g π=几种常见的单摆模型：在有些振动系统中l 不一定是绳长，g 也不一定为9.8m/s 2，因此出现了等效摆长和等效重力加速度的问题。
1、等效摆长如图所示，三根等长的绳1l 、2l 、3l 共同系住一密度均匀的小球m ，球直径为d 。
2l 、3l 与天花板的夹角30α<。
（1）若摆球在纸面内做小角度的左右摆动，则摆动圆弧的圆心在1O 处，故等效摆长 12dl +，周期 1122d l T gπ+=；（2）若摆球做垂直纸面的小角度摆动，则摆动圆弧的圆心在O 处，故等效摆长为12sin 2dl l α++，周期 122sin 22d l l T gαπ++=。
2、等效重力加速度（1）公式中的g 由单摆所在的空间位置决定。
由2MGg R=知，g 随地球表面不同位置、不同高度而变化，在不同星球上也不相同，因此应求出单摆所在处的等效值g '代入公式，即g 不一定等于9.8 m/s 2。
高中物理单摆周期公式的理解和应用专题辅导
单摆周期公式的理解和应用河南 黄正平单摆是一种理想的物理模型，它由理想化的摆球和摆线组成．摆线由质量不计、不可伸缩的细线提供；摆球密度较大，而且球的半径比摆线的长度小得多，这样才可以将摆球看做质点，由摆线和摆球构成单摆．在满足偏角α<10°的条件下，单摆的周期g l 2T π=．从公式中可看出，单摆周期与振幅和摆球质量无关．从受力角度分析，单摆的回复力是重力沿圆弧切线方向并且指向平衡位置的分力，偏角越大，回复力越大，加速度（gsin α）越大，在相等时间内走过的弧长也越大，所以周期与振幅、质量无关，只与摆长l 和重力加速度g 有关．在有些振动系统中l 不一定是绳长，g 也不一定为9.8m/s 2，因此出现了等效摆长和等效重力加速度的问题．物理上有些问题与单摆类似，经过一些等效可以套用单摆的周期公式，这类问题称为“等效单摆”．等效单摆在生活中比较常见．除等效单摆外，单摆模型在其他问题中也有应用．一、等效单摆等效单摆分等效摆长单摆、等效重力加速度单摆，以及摆长、重力加速度双重等效单摆．等效单摆的周期公式为g L 2T ''π=． 1、等效摆长单摆．等效摆长不再是悬点到摆球球心的距离，但g ′=g ．摆长L ′是指摆动圆弧的圆心到摆球重心的距离，摆动圆弧的圆心即为等效单摆的悬点．例1 双线摆由两根长为L 的细线下端拴一质量为m 的小球构成，两线夹角为2α，如图1所示，今使摆球在垂直纸面的平面内做小幅度摆动，求其周期．解析：当双线摆在垂直纸面的平面内做小幅度摆动时可以等效为以AB 的中心为悬点，OO ′长为摆长的单摆，其等效摆长α='cos L L ，故此摆周期gcos L 2T απ=。
2、等效重力加速度单摆．该类单摆的等效重力加速度g ′≠g ，但摆长仍为悬点到球心的距离．等效重力加速度g ′与单摆所在的空间位置、单摆系统的运动状态和单摆所处的物理环境有关．（1）公式中的g ′由单摆所在的空间位置决定，由2R M G g '='知，g ′随地球表面不同位置、不同高度而变化，在不同星球上也不相同，因此应求出单摆所在处的等效值g ′代入公式，即g 不一定等于9.8m/s 2．（2）g ′由单摆系统的运动状态决定，等效重力加速度等于摆球处于平衡位置不振动时，等效摆长“绳子”上拉力对摆球产生的加速度．具体求法为等效重力加速度g ′等于摆球相对系统静止在平衡位置时摆线的张力（视重）T 与摆球质量m 的比值，即mT g ='．例2 如图2所示，将摆长为L 的单摆放在一升降机中，若升降机以加速度a 向上运动，求单摆的摆动周期．解析：单摆的平衡位置在竖直位置，若摆球相对升降机静止，则单摆受重力mg 和绳拉力F ，根据牛顿第二定律有F －mg=ma ．此时摆球的视重mg ′=F=m （g+a ），所以单摆的等效重力加速度g ′=a g mF +=，因而单摆的周期a g L 2g L 2T +π='π=．二、单摆模型在其他问题中的应用在处理物理问题时，通过构建物理模型，应用熟悉的模型所遵循的规律解答问题是一种常用的方法，单摆模型常用于解决其他力学问题．例3 如图3所示，A 、B 为固定在轻杆中点和一个端点的两个小球，杆可绕O 点无摩擦地转动，将轻杆从图中水平位置由静止释放，在轻杆下落到竖直位置的过程中（ ）．A 、两球各自的机械能均守恒B 、杆、球组成的系统机械能守恒C 、A 球机械能的增加量等于B 球机械能的减少量D 、A 球机械能的减少量等于B 球机械能的增加量解析：构建单摆物理模型，令OA 和OB 各构成一个单摆，如图4所示，则A 球的周期比B 球的周期小，A 球先摆到竖直位置，由此可推知，在本题中A 球通过杆对B 球做正功，A 球的机械能减少，B 球的机械能增加，杆、球系统的机械能守恒．故选项B 、D 正确．（责任编辑 任林茂）。
单摆的周期
尊敬的各位评委老师，大家好，我是来自广东省韩山师范学院的黄冬妮，今天我带来的参赛题目是单摆的周期，选自人教版高中物理选修3-4第十一章第四节。
接下来我将把说课和讲课结合起来从六个方面，来展示我的教学设计与技能。
首先教学内容分析：《单摆》是高中物理中理解难度和教学难度都比较大的一节课，从不同角度体现严谨深刻的科学方法和物理思想，它作为简谐运动的应用实例，对于研究简谐运动具有很强的代表性。
本节课主要学习的是单摆的固有周期，也就是固有频率，为后面学习共振奠定了基础，起到了加深、拓展、承前启后的作用。
新课程标准对本节课的要求是（1）通过实验，探究单摆周期与摆长的关系；（2）知道单摆周期与摆长、重力加速度的关系。
该部分内容在教材中是以实验探究的形式出现的，先定性研究得出单摆周期与摆长有关，并在此基础上定量探究周期与摆长的关系，最后给出的公式。
基于以上分析我确定本节课教学的重点是：通过实验，探究单摆周期与摆长之间的定性和定量关系。
学生情况分析学生的心理特点本节课授课的对象是高二的学生，他们对事物的认识已经上升到较为理性的阶段，不仅仅停留在表象上，关心的是现象背后的本质原因，他们喜欢探究，因果认识兴趣浓厚。
所以，在教学中要尽可能地满足学生的求知欲望。
学生的知识基础学生在学习本节课之前已经学习了单摆的概念，了解单摆做简谐运动的条件，这些都会为本节课的学习奠定一定的基础。
学生的认知困难学生初次接触单摆，对于摆长的概念理解得不够透彻，不善于用等效摆长的方法去解释单摆运动现象。
由于周期与摆长的二次方根成正比，这对于学生而言比较抽象，在猜测上存在一定的思维障碍。
因此我确定本节课的教学难点是：（1）运用等效摆长的方法解释单摆运动现象；（2）由实验数据分析得出T。
本节课所要达到的教学目标分为以上三个维度：知识与技能（1）知道单摆周期与摆长的关系；（2）学会运用结论解决单摆运动问题。
过程与方法（1）进一步掌握用控制变量法进行实验探究；（2）分析具体例子，渗透等效思想；（3）经历数据处理过程，培养发散思维；情感态度与价值观通过实验，培养学生的辩证唯物主义观点，进一步提高学生的科学素养。
物理单摆及其周期试题
物理单摆及其周期试题1.利用单摆测量某地的重力加速度，现测得摆球质量为m，摆长为L，通过传感器测出摆球运动时位移随时间变化的规律为。
①求该处的重力加速度g；②若减小振幅A，则周期（选填“增大”、“减小”或“不变”）。
【答案】①g=ω2L ②不变【解析】①根据简谐振动周期与圆频率的关系可知，该单摆的振动周期为：T＝（1分）单摆的周期公式为：T＝（2分）两式联立解得：g=ω2L（1分）②不变（2分）根据单摆的周期公式T=可知，周期与振幅A无关，所以减小振幅A，单摆的振动周期不变。
2.如图所示为同一地点的两单摆甲、乙的振动图象，下列说法中正确的是________．（填正确答案标号，选对1个得3分，选对2个得4分，选对3个得6分；每选错1个扣3分，最低得分为0分）。
A．甲、乙两单摆的摆长相等B．甲摆的振幅比乙摆大C．甲摆的机械能比乙摆大D．在t＝0.5s时有正向最大加速度的是乙摆E．由图象可以求出当地的重力加速度【答案】ABD【解析】由振动图像可知，两单摆的周期相同，根据可知甲、乙两单摆的摆长相等，选项A 正确；由图可知，甲的振幅10cm，乙的振幅7cm，甲摆的振幅比乙摆大，选项B正确；由于两球的质量不确定，所以两球的机械能无法比较，选项C 错误；在t＝0.5s时，乙摆有最大的负向位移，所以乙摆有正向最大加速度，甲摆的位移为零，所以加速度为零，选项D 正确；由图像能读出周期，根据因为不知道摆长，所以无法得到当地的重力加速度，选项 E错误。
3.做简谐振动的单摆摆长不变，若摆球质量增加为原来的4倍，摆球经过平衡位置时速度减小为原来的1/2，则单摆振动的（）A．频率、振幅都不变B．频率、振幅都改变C．频率不变、振幅改变D．频率改变、振幅不变【答案】C【解析】由单摆的周期公式，可知，单摆摆长不变，则周期不变，频率不变；振幅A是反映单摆运动过程中的能量大小的物理量，由可知，摆球经过平衡位置时的动能不变，因此振幅改变，所以C正确。
[单摆公式]单摆公式
![[单摆公式]单摆公式](https://img.taocdn.com/s3/m/5c28077c24c52cc58bd63186bceb19e8b8f6ec3a.png)
[单摆公式]单摆公式篇一: 单摆公式摆球在平衡位置时，把摆球的重力G分解为与BC平行的分力G1和与BC垂直的分力G 2‟等效重力加速度为g?G2m?gsin ?2?L‟g‟T ?2?Lgsin? 初速度。
逐渐接近固定在D点的小球n。
已知AB=0.8m 点评：本题为地震仪水平摆测周AB圆弧半径R=10m，AD=10m，ABCD在同一水平面上，则v为多大时，才能使m恰好碰到小球？解析：小球m运动由两个运周期公式求出。
本题也可以这样求解：在摆球处于平动合成，这两个分运动分别是：以衡位置时，过A点作一铅垂线，与CB的延长线交于单摆的周期公式? g 是惠更斯从实验T ? 2速度v沿AD方向的的匀速直线运D，如图2所示。
DA 即为等效摆长。
动和在圆弧面AB方向上的往复其长度为…… ? sin ? ? ，因而，摆球做微LL离，但在某些振动系统中，由于悬点的特殊性，摆长‟‟运动。
因为AB例、如图所示，固定在天花板又因为T ? 2 ? g 上等长的两根细线AO、BO长5 3 解以上方程得：v?5k?m/s 0.8m，与水平平面夹角都为53°，二、等效重力加速度问题下端拴着质量m=0.2kg的小球，那么使小球在垂直不同高度而变化，在不同星球上也不相同，因此求解O纸面的竖直平面内摆动起来。
求：时将单摆所环境的等效值g′代入公式，即g′不一单摆由一根不可伸长的细线和可视为质点的摆①如果摆角θ﹤10°，则小球2定等于9 . 8 m / s 。
球构成，它是一种抽象的理想化模型.单摆作为一种典的摆动周期。
②单摆系统的运动状态变化，g也不一定等于9 .8m/s2型的简谐运动，在生活技术有广泛的应用. ②如果小球在摆动中到达最低点速度v=0.5m/s，如单摆处在向上加速发射的航天飞机内，设加速度为1.利用单摆求重力加速度则此时两细线受到的拉力各为多少？a，此时摆球处于超重状态，沿圆弧切线方向的回复例、在“用单摆测定重力加速度g”的实验中，解析①此题首先设置了一个障碍，悬点未知，摆力变大，摆球质量不变，则重力加速度的等效值假如实验时用很长的细线悬挂在一天花板上，由于悬球的摆长是多少？此时双线摆的悬点为C点，所以等g′=g+a，再如，单摆若在轨道上运行的航天飞机内，点过高，无法测量摆长，则如何测出重力加速度g的效摆长应为l?CO?l?sin53??0.64m，所以单摆摆球完全失重，回复力为零，则等效值g′=0，所以值？周期为T ? 2 ? g ? 1 s ；②通过受力分析可知.6周期为无穷大，即不摆动。
单摆 知识讲解
物理总复习： 单 摆编稿：李传安 审稿：张金虎【考纲要求】1、了解单摆的结构，知道单摆是一种理想化的物理模型，学会用恰当的方法建立物理模型；2、知道单摆做简谐运动的条件，知道单摆的回复力，学会用近似处理方法来解决相关物理问题；3、理解单摆振动的规律及其周期公式，能利用单摆周期公式对有关物理情景进行分析；4、知道等时性的概念，能利用单摆规律分析时钟走时快慢的问题；5、知道用单摆测重力加速度的实验原理和实验步骤。
【考点梳理】 考点一、单摆定义：在一条不可伸长的轻绳下端栓一个可视为质点的 小球，上端固定，摆球做小角度摆动，这样的装置叫单摆。
要点诠释：（1）单摆是一个理想化的物理模型。
（2）单摆的振动可看作简谐运动的条件：最大摆角10θ<。
（3）回复力来源：重力沿切线方向分力，如图所示。
在10θ<时，sin xF mg mg kx lθ=-≈-=-回， 其中mgk l=考点二、单摆的周期实验证明单摆的周期与振幅A 无关，与质量m 无关，随摆长的增大而增大，随重力加速度g 的增大而减小。
荷兰物理学家惠更斯总结出单摆周期公式：2T =几种常见的单摆模型：在有些振动系统中l 不一定是绳长，g 也不一定为9.8m/s 2，因此出现了等效摆长和等效重力加速度的问题。
1、等效摆长如图所示，三根等长的绳1l 、2l 、3l 共同系住一密度均匀的小球m ，球直径为d 。
2l 、3l 与天花板的夹角30α<。
（1）若摆球在纸面内做小角度的左右摆动，则摆动圆弧的圆心在1O 处，故等效摆长 12dl +，周期12T =（2）若摆球做垂直纸面的小角度摆动，则摆动圆弧的圆心在O 处，故等效摆长为12sin 2dl l α++，周期22T =2、等效重力加速度（1）公式中的g 由单摆所在的空间位置决定。
由2MGg R=知，g 随地球表面不同位置、不同高度而变化，在不同星球上也不相同，因此应求出单摆所在处的等效值g '代入公式，即g 不一定等于9.8 m/s 2。
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0.00030 0.00045 0.00064 0.00088
xຫໍສະໝຸດ xx在偏角很小的情况下：
F mg x l
令k mg l
F kx
探究单摆做简谐运动周期
对比猜想:单摆周期T可能与什么因素有关呢? 探究过程Ⅰ：定性实验、控制变量法 实验（一）：探究单摆周期T与摆球质量m的关系
11.4 单摆
一、单摆
在竖直平面内摆动
细线的质量与小球相比可以忽略
小球的直径与线的长度相比可以忽 略 与小球受到的重力及绳的拉力相比，空气 等对它的阻力可以忽略
单摆是一个理想化的模型
以下摆是否是单摆？
细 绳
橡
粗
细
皮
绳
绳
筋
绕
细 绳
在
杆
上
①
②
③
④
⑤
思考： 单摆振动是不是简谐运动？
（1）振动图像 振动图像是不是正弦曲线？
对于单摆：
k=mg/l ，m为摆球的质量
单摆的周期公式： T 2 l
g
单摆周期公式
T 2 l
g
荷兰的物理学家、天文学家、 数学家惠更斯，研究单摆的现象， 发现：
单摆的振动周期跟摆长的平方
根成正比，跟重力加速度的平方根 成反比。
1629~1695
单摆周期公式的应用
1、计时器
1656年惠更斯首先将摆引入时钟成为摆钟。
（2）回复力 Ｆ＝－ＫX ?
二、单摆的回复力 M
1、受力分析:
A
B
O 单摆的平衡
位置
仔细观察下面表格：你能得到什么结论？
角度
1o 2o
sinθ
0.01754 0.03490
θ弧度值
0.01754 0.03491
θ弧度值与sinθ的差值 0.00000 0.00001
3o 0.05234
0.05236
0.00002
4o 0.06976
0.06981
0.00006
5o 0.08716
0.08727
0.00011
6o 0.10453
0.10472
0.00019
7o 0.12187 8o 0.13917 9o 0.15700 10o 0.17444
0.12217 0.13863 0.15636 0.17356
解：此单摆的周期： T 120s 重1s力加速度的影响因数 120 1、跟纬度有关
由单摆周期公式：T 2 l g赤<g极地 2g、跟高度有关
g
4 2l
T2
4
3.14 2 12
0.248h越9高.79（，mg越s 2 ）小
例题1
周期为2s的单摆叫做秒摆，秒摆的摆长是多少？
解：根据单摆的周期公式：T 2 l
g
l
g
4 2
T
2
≈0.993m
可得，
小结:在近似计算时，g≈π2
单摆周期公式的应用
2、测重力加速度 g 4 2 l T2
例题2
用摆长为24.8cm的单摆测定某地的重力加 速度，测得完成 120次全振动所用时间为 120s，求该地重力加速度。
结论： A、无关 B、有关 实验（二）：探究单摆周期T与振幅的关系
结论： A、无关 B、有关 单摆的等时性 实验（三）：探究单摆周期T与摆长l的关系
结论：A、无关 B、有关
探究单摆做简谐运动周期
探究过程Ⅱ：理论定量推导 简谐运动周期公式 T 2 m
k
对于弹簧振子：
k为弹簧的劲度系数， m为小球的质量