初中八年级(初二)物理 摆球的质量单摆的周期公式
初中物理m为摆球的质量单摆的周期公式
二、单摆的回复力 M
1、受力分析:ຫໍສະໝຸດ ABO 单摆的平衡
位置
仔细观察下面表格：你能得到什么结论？
角度
1o 2o
sinθ
0.01754 0.03490
θ弧度值
0.01754 0.03491
θ弧度值与sinθ的差值 0.00000 0.00001
3o 0.05234
0.05236
对于单摆：
k=mg/l ，m为摆球的质量
单摆的周期公式： T 2 l
g
单摆周期公式
T 2 l
g
荷兰的物理学家、天文学家、 数学家惠更斯，研究单摆的现象， 发现：
单摆的振动周期跟摆长的平方
根成正比，跟重力加速度的平方根 成反比。
1629~1695
单摆周期公式的应用
1、计时器
1656年惠更斯首先将摆引入时钟成为摆钟。
0.00002
4o 0.06976
0.06981
0.00006
5o 0.08716
0.08727
0.00011
6o 0.10453
0.10472
0.00019
7o 0.12187 8o 0.13917 9o 0.15700 10o 0.17444
0.12217 0.13863 0.15636 0.17356
例题1
周期为2s的单摆叫做秒摆，秒摆的摆长是多少？
解：根据单摆的周期公式：T 2 l
g
l
g
4 2
T
2
≈0.993m
可得，
小结:在近似计算时，g≈π2
单摆周期公式的应用
2、测重力加速度 g 4 2 l T2
初三物理知识点单摆周期公式推导
三一文库（）/初中三年级〔初三物理知识点单摆周期公式推导〕公式推导M = - m * g * l * Sin x.其中m为质量，g是重力加速度，l是摆长，x是摆角。
我们希望得到摆角x的关于时间的函数，来描述单摆运动。
由力矩与角加速度的关系不难得到，M = J * β。
其中J = m * l^2是单摆的转动惯量，β = x''（摆角关于时间的2阶导数）是角加速度。
于是化简得到x'' * l = - g * Sin x.我们对上式适当地选择比例系数，就可以把常数l与g约去，再移项就得到化简了的运动方程x'' + Sin x = 0.第1页共5页因为单摆的运动方程（微分方程）是x'' + Sin x = 0 (1)而标准的简谐振动（如弹簧振子）则是x'' + x = 0 (2)相关解释我们知道（1）式是一个非线性微分方程，而（2）式是一个线性微分方程。
所以严格地说上面的（1）式描述的单摆的运动并不是简谐运动。
不过，在x比较小时，近似地有Sin x ≈ x。
（这里取的是弧度制。
即当x -> 0时有Sin x / x = o（1）。
）因而此时（1）式就变为（2）式，单摆的非线性的运动被线性地近似为简谐运动。
然后说一下为什么是10°。
由于Sin x ≈ x这个近似公式只在角度比较小的时候成立（这一个可以从正弦函数的在原点附近的图象近似看出），所以只有在小角度下（1）式化作（2）式才是合理的。
事实上5°≈0.087266弧度，Sin 5°≈0.087155，二者相差只有千分之一点几，是十分接近的。
在低精度的实验中，这种系统误差可以忽略不计（因为实验操作中的偶然误差就比它大）。
但如果换成25°，误差高达百分之三，就不宜再看成是简谐振动了。
由于正弦函数的性质，这个近似是角度越小，越精确，角度25。
单摆周期公式的探究,说课
单摆周期公式的探究
二、单摆周期公式
一、单摆周期的影响因素
三、单摆周期公式的应用
测重力加速度
--学生探究实验
2.猜想假设
学生会从不同的角度进行推测,汇集学生意见后， 教师引导学生将探究的可能影响因素共同确定为： ①摆球质量
②摆角
③摆长
④重力加速度
教学过程
3.设计实验
最终将实验方案确定为以下三种： (1)摆角和摆球质量一定，改变摆长 (2)摆角和摆长一定，改变摆球质量 (3)摆长和摆球质量一定，改变摆角
材
生
说 教法和学法
说 教 学 过 程
学 情 分 析
• 教学对象：高二学生 • 学生已有的知识：简谐运动的特点及描述方法 单摆的物理模型 单摆做简谐运动的条件 • 学生已有的能力：研究方法——控制变量法 用 Excel处理数据的能力
单摆周期公式的探究
说
说
教
学
材
生
说 教法和学法
说 教 学 过 程
教 法 和 学 法
通过播放视频
——引导学生得出探究实验的一般步骤
提出问题 猜想假设
设计实验
分析论证
进行试验
教学过程
新课教学
--学生探究实验
演示实验： 用两个摆长、摆球 质量均不一样的单摆， 让它们分别偏离一个不 同的小角度释放，观察 两个单摆振动的快慢。
1.提出问题
单摆的周期与哪些因素有关呢?
图3
教学过程
新课教学
（1）通过本节课，你学到了哪些知识? （2）你学习了哪些方法? （3）你有什么收获和体会? （4）你有什么疑问和想法?
布置作业
1.巩固练习作业： 课本P17 1、2、3
用单摆的周期公式测重力加速度考点
用单摆的周期公式测重力加速度考点（1）摆长的测量：让单摆自由下垂，用米尺量出摆线长L /（读到0.1mm ），用游标卡尺量出摆球直径（读到0. 1mm ）算出半径r ，则摆长L =L /+r（若摆长没有加小球的半径，则重力加速度的测量测量值变小）（2）开始摆动时需注意：摆角要小于10° （保证简谐运动，不形成圆锥摆，形成圆周摆后，测量值变大）（3）从摆球通过最低点时开始计时，测出单摆通过最低点n 次所用时间，算出周期1n t 2T -= （若摆动少计算一次，则周期变大，重力加速度的测量测量值变小）（4）改变摆长重做几次，计算每次实验得到的重力加速度，再求这些重力加速度的平均值。
（5）选取摆长约1米的不可伸长的细丝线；质量大体积小的小球。
（6）做T 2——L 图：①不加小球半径如图1；正常如图2；加了小球直径如图3（7）2121L L T T = 221121221)R R (M M g g T T == hR R h R R g g T T h h +=+==2)(验证机械能守恒定律1．原理：物体做自由落体运动，根据机械能守恒定律有：mgh=221mV 在实验误差范围内验证上式成立。
2．实验器材：打点计时器，纸带，重锤，毫米刻度尺，铁架台，烧瓶夹、低压交流电源(4_6V)3．实验条件：a ．打点计时器应该竖直固定在铁架台上b ．在手释放纸带的瞬间，打点计时器刚好打下一个点子，纸带上最初两点间的距离约为2毫米。
g L T θπcos 2=3．测量的量：a．从起始点到某一研究点之间的距离，就是重锤下落的高度h，则重力势能的减少量为mgh1；测多个点到起始点的高h1、h2、h3、h4（各点到起始点的距离要远一些好）b．不必测重锤的质量5．误差分析：由于重锤克服阻力作功，所以动能增加量略小于重力势能减少量6．易错点：a．选择纸带的条件：打点清淅；第1、2两点距离约为2毫米。
b．打点计时器应竖直固定，纸带应竖直。
单摆 课件
(4)改变摆长，重做几次实验。 (5)数据处理 ①平均值法：每改变一次摆长，将相应的 l 和 T，代入公式 g＝4Tπ22l中求出 g 值，最后求出 g 的平均值。 设计如下所示实验表格
②图象法
由单摆的周期公式 T＝2π gl 可得 l＝4gπ2T2，因此以摆长 l 为纵轴，以 T2 为横轴作出 l－T2 图象，是一条过原点的直线，如 图所示，求出斜率 k，即可求出 g 值。g＝4π2k，k＝Tl2＝ΔΔTl2。
②等效重力加速度：若单摆系统处在非平衡状态(如加速、 减速、完全失重状态)，则一般情况下，g 值等于摆球相对静止在 自己的平衡位置时，摆线所受的张力与摆球的质量的比值。
2．应用 摆钟是单摆做简谐运动的一个典型应用，其快慢是由摆钟的 周期决定的，分析时注意： (1)计时原理：摆钟的计时是以钟摆完成一定数量的全振动， 从而带动秒针、分针、时针转动实现的，因此钟摆振动的周期变 化就反映了摆钟的快慢，如钟摆振动周期变大，则摆钟将变慢， 摆钟时针转动一圈的时间变长。
(2)平衡位置 摆球经过平衡位置时，G2＝G，G1＝0，此时 F 应大于 G，F －G 的作用是提供向心力；因在平衡位置，回复力 F 回＝0，与 G1＝0 相符。 (3)单摆的简谐运动 在 θ 很小时，sinθ≈tanθ＝xl ， G1＝Gsinθ＝mlgx， G1 的方向与摆球位移方向相反，所以有回复力
例 1 关于单摆，下列说法中正确的是( ) A．单摆振动的回复力是重力的分力 mgsinα，其中α是摆线 与竖直方向之间的夹角 B．单摆的回复力是重力和摆线拉力的合力 C．单摆的摆球在平衡位置时(最低点)的加速度为零 D．单摆的振动周期在振幅很小的条件下跟振幅无关
解析：此题考查回复力来源问题以及单摆的加速度与回复力 的关系。单摆运动的轨迹是一段圆弧，在摆动的过程中，摆球受 重力 G 和摆线的拉力 FT 两个力的作用，这两个力的合力不但要 提供回复力，还要提供向心力。摆线的拉力 FT 总与运动方向垂 直，不能提供回复力。重力的方向竖直向下，不可能全部用于提 供回复力，所以，提供回复力的是重力沿圆弧方向的分力 mgsinα，A 正确；通常情况下单中所受阻力作用。 实验中为满足上述条件，我们尽量选择质量大，体积小的球 和尽量细的弹性小的线。
单摆周期公式及影响单摆周期的因素研究
单摆周期公式及影响单摆周期的因素研究摘要：结合理论知识，基础物理实验，构建线性数学模型。
对单摆运动进行分析。
其中，理论部分主要依据高等数学及数学物理方法的知识，对单摆运动周期公式进行论证；实验部分主要通过改变单摆摆线长度进行实验；观察、分析单摆运动规律。
从而验证单摆周期公式。
并对影响单摆周期的因素展开研究。
最后总结出影响单摆周期的因素。
关键词：数学模型 ； 单摆运动 ； 周期公式单摆运动问题是一个古老的问题，无论是中学物理还是大学物理，我们都在学习研究单摆。
作为一个重要的理想物理模型，单摆的运动周期规律和实验研究在生产生活中意义重大。
单摆问题是物理学中经典问题。
从阅读物理学史并可知道，早在 1583 年，十九岁的伽利略（1564—1642）在比萨教堂祈祷时注意到因被风吹而摆动的大灯，他利用自己的脉搏来测定大灯的摆动周期，发现了摆的等时性。
但现在这个故事的真实性受到怀疑 ,因为比萨大教堂所保留的许多相关历史文献都表明该吊灯是在伽利略二十三岁那年才首次安装的。
专家指出，伽利略是于1602 年注意到单摆运动的等时性，不过伽利略误认为在大摆动条件下等时性也成立，他说：“物体从直立圆环上任一点落到最低位置的时间相同。
”随后吉多彼得做实验发现这个结论与实验不符，伽利略解释说可能是由于摩擦力。
伽利略从实验中得出单摆周期与摆长的平方根成正比。
他还指出周期与摆球质量无关。
他说：“因此我取两个球，一个是铅的而另一个是软木的，前者比后者重 100 多倍，用两根等长细线把它们悬挂起来、把每一个球从铅直位置拉到旁边，我在同一时刻放开它们，它们就沿着以这些等长线为半径的圆周下落，穿过铅垂位置，并且沿同一路径返回。
”最早系统地研究单摆的是惠根斯（ChristiaanH uygens ）。
由于当时实验技术条件的落后，重力加速度在惠根斯之前是很难精确测出来的，所以惠更斯不可能从实验中总结出或猜出单摆周期公式的系数π2。
事实上，反过来重力加速度是 1659 年惠更斯根据单摆周期公式首次精确测出来的。
初中物理钟摆试题及答案
初中物理钟摆试题及答案一、选择题（每题2分，共10分）1. 钟摆的周期与下列哪个因素无关？A. 摆长B. 摆球的质量C. 摆球的形状D. 重力加速度答案：C2. 根据单摆的周期公式T=2π√(L/g)，下列哪项是正确的？A. 摆长L增加，周期T减少B. 重力加速度g增加，周期T增加C. 摆长L增加，周期T增加D. 重力加速度g增加，周期T减少答案：C3. 一个单摆的周期为2秒，当摆长增加到原来的2倍时，新的周期是多少？A. 1秒B. 2秒C. 4秒D. 8秒答案：C4. 单摆的周期与振幅的关系是？A. 周期与振幅成正比B. 周期与振幅成反比C. 周期与振幅无关D. 周期随振幅的增大而增大答案：C5. 以下哪个因素会影响单摆的周期？A. 摆球的质量B. 摆球的体积C. 摆长D. 摆球的颜色答案：C二、填空题（每题2分，共10分）1. 单摆的周期公式为______，其中L代表______，g代表______。
答案：T=2π√(L/g)；摆长；重力加速度2. 当单摆的摆长从1米增加到2米时，周期将______。
答案：加倍3. 单摆的周期与摆球的质量______。
答案：无关4. 在地球上，单摆的周期与当地的______有关。
答案：重力加速度5. 单摆的周期公式中的π是一个无理数，其近似值为______。
答案：3.14159三、计算题（每题10分，共20分）1. 一个单摆的摆长为0.5米，当地的重力加速度为9.8米/秒²，求该单摆的周期。
答案：T=2π√(0.5/9.8)≈1.01秒2. 已知单摆的周期为4秒，重力加速度为9.8米/秒²，求该单摆的摆长。
答案：L=√(T²g/4π²)=√(4²×9.8/4×3.14²)≈0.5米四、实验题（每题10分，共10分）1. 请设计一个实验来验证单摆的周期与摆长的关系，并写出实验步骤和预期结果。
单摆周期公式的推导
单摆周期公式的推导一．简谐运动物体的运动学特征作简谐运动的物体要受到回复力的作用，而且这个回复力F 与物体相对于平衡位置的位移x 成正比，方向与位移x 相反，用公式表示可以写成kx F −=，其中k 是比例系数。
对于质量为m 的小球，假设t 时刻（位移是x ）的加速度为a ，根据牛顿第二运动定律有：kx ma F −==，即xmka −=因此小球的加速度a 与它相对平衡位置的位移x 成正比，方向与位移x 相反。
因为x （或F ）是变量，所以a 也是变量，小球作变加速运动。
把加速度a 写成22dt x d ，并把常数m k写成2ω得到x dtxd 222ω−=。
对此微分方程式，利用高等数学方法，可求得其解为)sin(ϕω+=t A x 。
这说明小球的位移x 是按正弦曲线的规律随着时间作周期性变化的，其变化的角速度为Tm k πω2==，从而得到作简谐运动物体的周期为kmT π2=。
二．单摆周期公式的推导单摆是一种理想化的模型，实际的摆只要悬挂小球的摆线不会伸缩，悬线的长度又比球的直径大很多，都可以认为是一个单摆。
当摆球静止在O 点时，摆球受到的重力G 和摆线的拉力T 平衡，如图1所示，这个O 点就是单摆的平衡位置。
让摆球偏离平衡位置，此时，摆球受到的重力G 和摆线的拉力T 就不再平衡。
在这两个力的作用下，摆球将在平衡位置O 附近来回往复运动。
当摆球运动到任一点P时，重力G 沿着圆弧切线方向的分力θsin 1mg G =提供给摆球作为来回振动的回复力θsin 1mg G F ==，当偏角θ很小﹝如θ＜010﹞时，lx≈≈θθsin ，所以单摆受到的回复力x lmgF −=，式中的l 为摆长，x 是摆球偏离平衡位置的位移，负号表示回复力F 与位移x 的方向相反，由于m 、g 、L 都是确定的常数，所以lmg可以用常数k 来表示，于是上式可写成kx F −=。
因此，在偏角θ很小时，单摆受到的回复力与位移成正比，方向与位移方向相反，单摆作的是简谐运动。
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0.00030 0.00045 0.00064 0.00088
xຫໍສະໝຸດ xx在偏角很小的情况下：
F mg x l
令k mg l
F kx
探究单摆做简谐运动周期
对比猜想:单摆周期T可能与什么因素有关呢? 探究过程Ⅰ：定性实验、控制变量法 实验（一）：探究单摆周期T与摆球质量m的关系
11.4 单摆
一、单摆
在竖直平面内摆动
细线的质量与小球相比可以忽略
小球的直径与线的长度相比可以忽 略 与小球受到的重力及绳的拉力相比，空气 等对它的阻力可以忽略
单摆是一个理想化的模型
以下摆是否是单摆？
细 绳
橡
粗
细
皮
绳
绳
筋
绕
细 绳
在
杆
上
①
②
③
④
⑤
思考： 单摆振动是不是简谐运动？
（1）振动图像 振动图像是不是正弦曲线？
对于单摆：
k=mg/l ，m为摆球的质量
单摆的周期公式： T 2 l
g
单摆周期公式
T 2 l
g
荷兰的物理学家、天文学家、 数学家惠更斯，研究单摆的现象， 发现：
单摆的振动周期跟摆长的平方
根成正比，跟重力加速度的平方根 成反比。
1629~1695
单摆周期公式的应用
1、计时器
1656年惠更斯首先将摆引入时钟成为摆钟。
（2）回复力 Ｆ＝－ＫX ?
二、单摆的回复力 M
1、受力分析:
A
B
O 单摆的平衡
位置
仔细观察下面表格：你能得到什么结论？
角度
1o 2o
sinθ
0.01754 0.03490
θ弧度值
0.01754 0.03491
θ弧度值与sinθ的差值 0.00000 0.00001
3o 0.05234
0.05236
0.00002
4o 0.06976
0.06981
0.00006
5o 0.08716
0.08727
0.00011
6o 0.10453
0.10472
0.00019
7o 0.12187 8o 0.13917 9o 0.15700 10o 0.17444
0.12217 0.13863 0.15636 0.17356
解：此单摆的周期： T 120s 重1s力加速度的影响因数 120 1、跟纬度有关
由单摆周期公式：T 2 l g赤<g极地 2g、跟高度有关
g
4 2l
T2
4
3.14 2 12
0.248h越9高.79（，mg越s 2 ）小
例题1
周期为2s的单摆叫做秒摆，秒摆的摆长是多少？
解：根据单摆的周期公式：T 2 l
g
l
g
4 2
T
2
≈0.993m
可得，
小结:在近似计算时，g≈π2
单摆周期公式的应用
2、测重力加速度 g 4 2 l T2
例题2
用摆长为24.8cm的单摆测定某地的重力加 速度，测得完成 120次全振动所用时间为 120s，求该地重力加速度。
结论： A、无关 B、有关 实验（二）：探究单摆周期T与振幅的关系
结论： A、无关 B、有关 单摆的等时性 实验（三）：探究单摆周期T与摆长l的关系
结论：A、无关 B、有关
探究单摆做简谐运动周期
探究过程Ⅱ：理论定量推导 简谐运动周期公式 T 2 m
k
对于弹簧振子：
k为弹簧的劲度系数， m为小球的质量