简谐运动位移公式推导

简谐运动位移公式推导

问题：质量为m 的系于一端固定的轻弹簧（弹簧质量可不计）的自由端。如图（a ）所示，

将物体略向右移，在弹簧力作用下，若接触面光滑，m 物体将作往复运动，试求位移x 与时间t 的函数关系式。

图（a ）

分析：m 物体在弹力F 的作用下运动，显然位移X 与弹力F 有关，进而由弹簧联想起胡克定律，但结果只有位移与时间，故要把弹力F 替换成关于X 与t 的量，再求解该微分方程。

推导：取物体平衡位置O 为坐标原点,物体运动轨迹为X 轴，向右为正。设弹力为F,

由胡克定律 F =−kX ,K 为劲度系数，负号表示力与位移方向相反。

根据牛顿第二定律，m 物体加速度a=dv dt =d2X dt 2=F m =-k m

x (1)

可令k m

=ω2 (2)

代入（a ）,得

d2X dt 2=−ω2X 或d2X dt 2

+ω2X=0 (3)

显然，想求出位移X 与时间t 的函数关系式，须解出此微分方程

求解：对于d2X

dt 2+ω2X=0，即X ’’+ ω2X=0

(4)

(4)式属可将阶的二阶微分方程，

若设X ’=u ，消去t,就要把把X ”转化为关于X 与t 的函数，那么

X ’’=dX"dt = du dx dx dt =u du dx

,

u du dx +ω2X=0, u du dx

=−ω2X

下面分离变量再求解微分方程，然后两边积分，得

∫udu =−ω2∫Xdx

得

12u 2=− 12ω2 x 2+C ，即u 2=− ω2 x 2+C1 (5)

u=x ’,x ’=√C1− ω2 x 2 =dx dt (6)

再次分离变量，√C1− ω2 x 2=dt

(7)

两边积分，右边=t ，但左边较为复杂， 经过仔细思考，笔者给出一种求解方法：

运用三角代换，令X=√C1ωcos z

(7)式左边化为d cos z ωsin z =−sin zdz ωsin z =-dz ω

,

两边积分，得 -–z ω=t+C2 由此可得， X=√C1ωcos(ωt+ωC2),

即X=A cos(ωt+ψ) (8)

其中A, Ψ皆为常数

此方程即为简谐运动方程

若Ψ=0,X-t为余弦曲线，如图（b）所示

图（b）

验证：通过高频照相机拍摄后发现m的轨迹为周期摆动的简谐曲线，与X=A cos(ωt+ψ)图像基本吻合，故可判断X=A cos(ωt+ψ)即为所求,如图（c）所示。

图（c）