大学物理：第11章-相对论1-洛伦兹时空变换和速度合成
相对论基础洛伦兹变换与时空间隔的计算
相对论基础洛伦兹变换与时空间隔的计算相对论是爱因斯坦于1905年提出的一种描述物理现象的理论，对于高速运动的物体以及引力场的作用提供了更精确的解释。
洛伦兹变换是相对论的基础，它描述了不同惯性参考系之间的变换关系。
本文将介绍洛伦兹变换的基本原理，并详细解释如何计算时空间隔。
一、洛伦兹变换的基本原理洛伦兹变换是为了保证物理定律在不同惯性参考系下成立而引入的。
在经典力学中，时间和空间被认为是绝对的，不随参考系的变化而变化。
然而，当物体的速度接近光速时，经典力学的观念不再适用。
洛伦兹变换的基本公式如下：x' = γ(x - vt)t' = γ(t - vx/c²)其中，x'和t'是观察者在运动参考系中测量的物体的位置和时间，x和t是物体在静止参考系中的位置和时间，v是观察者与物体之间的相对速度，c是光速，γ是洛伦兹因子，定义为：γ = 1 / √(1 - v²/c²)这个公式描述了物体在不同参考系中位置和时间的变换关系。
二、时空间隔的概念与计算方法相对论中引入了时空间隔的概念，用来度量事件在时空中的距离。
时空间隔的平方定义为：s² = c²t² - x² - y² - z²其中，s是时空间隔，t是时间间隔，x、y、z是空间间隔。
根据洛伦兹变换的公式，我们可以推导出不同惯性参考系下时空间隔的不变性。
假设有两个事件，在静止参考系中的时空间隔为 s_0²，而在运动参考系中的时空间隔为 s²。
根据洛伦兹变换公式，可以得到以下关系：s_0² = (ct_0)² - x_0² - y_0² - z_0²s² = (ct)² - x² - y² - z²其中，s_0²和 s²是不变的。
【大学物理】第一讲 狭义相对论基本原理 洛伦仑兹变换
v
G M1 G
ll t1 c v c v
c(1
2l v2
c2)
M2
M1
s G v T
G M2
c
- v
c2 v2
M2
-
v
c
G
c2 v2
（从 s'系看）
GM 2 GM 1 l
G
M2
G
t2 c
2l 1 v2
c2
t1
2l c(1 v2
c2) ,
2l
t2 c
1 v2
c2
两束光到达望远镜的时间差为
cv
1
vc c2
c
光速不变
光速在任何惯性 系中均为同一常量， 利用它可将时间测量 与距离测量联系起来.
§1.2 洛伦兹变换
寻找新的时空变换式来代替经典力学伽利略变换。
必需满足条件： （1）物理学定律都应该保持数学表达式不变。 （2）真空中光速在一切惯性系中保持不变。 （3）在低速运动条件下可转化为伽利略变换。
设 t t 0 时，o, o
重合 ; 同一事件 P 的
时空坐标如图所示。
s y s' y' v
t
t1
t2
2l
v2
c
1
c2
2l
v2
c
1
c2
1
2
=
2l c
1
v2 c2v2源自1 2c2v << c
t l v2 c c2
两束光汇合时的光程差为 ct l v2
c2
整个仪器旋转90度，那么两束光在前后两次测量
中光程差的该变量为
N 2 2l v2
(完整版)洛伦兹变换的详细推导
第三节 洛伦兹变换式教学内容：1. 洛伦兹变换式的推导；2. 狭义相对论的时空观：同时性的相对性、长度的收缩和时间的延缓； 重点难点：狭义相对论时空观的主要结论。
基本要求：1. 了解洛伦兹坐标变换和速度变换的推导；2. 了解狭义相对论中同时性的相对性以及长度收缩和时间延缓概念；3. 理解牛顿力学中的时空观和狭义相对论中的时空观以及两者的差异。
三、洛伦兹坐标变换的推导()()⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎪⎨⎧--='='='--='22211c v c vx t t z z y y c v vt x x 或 ()()⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎪⎨⎧-'+'='='=-'+'=22211c v c x v t t z z y y c v t v x x据狭义相对论的两个基本假设来推导洛仑兹变换式。
1. 时空坐标间的变换关系作为一条公设，我们认为时间和空间都是均匀的，因此时空坐标间的变换必须是线性的。
对于任意事件P 在S 系和S '系中的时空坐标(x ，y ，z ，t )、(x '，y '，z '，t ')，因S ' 相对于S 以平行于 x 轴的速度v 作匀速运动，显然有y '=y , z '=z 。
在S 系中观察S 系的原点，x =0；在S '系中观察该点，x '=-v t '，即x '+v t '=0。
因此x =x '+v t '。
在任意的一个空间点上，可以设：x =k （x '+v t '），k 是—比例常数。
同样地可得到：x '=k '（x -v t ）= k '（x +(-v )t ）根据相对性原理，惯性系S 系和S '系等价，上面两个等式的形式就应该相同（除正、负号），所以k =k '。
大学物理下相对论-洛伦兹变换
100%
长度收缩
在相对论中，当物体以接近光速 运动时，其长度相对于静止观察 者会缩短，这种现象被称为长度 收缩。
80%
相对论的多普勒效应
当光源或观察者以接近光速运动 时，光波的频率或波长会发生改 变，这种现象被称为相对论的多 普勒效应。
相对论的速度合成法则
相对论的速度合成法则
当两个物体以接近光速相对运动时，它们的相对速度不能简单地通过矢量相加得到，而是需要使用洛伦兹变换进 行计算。
速度合成法则的应用
在高速运动和强引力场中，相对论的速度合成法则对于精确描述物体的运动状态非常重要。
相对论的质量-能量关系（E=mc^2）
质量-能量等效原理
在相对论中，物体的质量与能量是等效的，即存在一个固定的转换关系 E=mc^2。
质能方程的应用
质能方程在核能、粒子物理和宇宙学等领域有广泛的应用，如核反应释放能量、黑洞的形成和演化等 。
洛伦兹变换公式描述了不同参 考系之间的长度和时间的关系 ，是相对论中的基本公式之一 。
通过洛伦兹变换公式，可以推 导出相对论中的其他重要结论 ，如时间膨胀和长度收缩。
04
洛伦兹变换的应用
时间和空间的测量
80%
时间膨胀
在相对论中，当物体以接近光速 运动时，其内部的时间相对于静 止观察者会变慢，这种现象被称 为时间膨胀。
洛伦兹变换的性质
线性性质
洛伦兹变换是线性变换，即变换前后线性组合的结 果与单个变换的结果相同。
逆变换
如果知道从一个参考系到另一个参考系的洛伦兹变 换，则可以推导出从另一个参考系回到原参考系的 逆变换。
相对性
对于任意两个惯性参考系之间的变换，其逆变换与 原变换是等价的。
03
洛伦兹变换
11 – 2
洛伦兹变换
第十一章 狭义相对论
相对论速度正变换式
说明
当 S 系观察者测得光 信号速度为c时，S测得
ux v u x v 1 2 ux c 2 uy v u y 1 2 v c 1 2 ux c 2 uz v u 1 2 z v c 1 2 ux c
S S
11 – 2
洛伦兹变换
第十一章 狭义相对论
例1 在惯性系 S 中，有两个事件同时发生在 x 轴 上相距 1000m 的两点，而在另一惯性系 S（沿 x 轴方 向相对于 S 系运动）中测得这两个系事件发生的地点 相距 2000m。求在 系中测得这两个事件的时间间隔 . 解： 已知 t 0 x 1000 m 正 变 换
v
( x, y, z, t ) y y ' P ( x' , y ' , z ' , t ' ) S S
z
o
z'
o'
x' x
v c
1 1
2Hale Waihona Puke 11 – 2洛伦兹变换
第十一章 狭义相对论
正 变 换
x' ( x vt ) y' y z' z v t ' (t 2 x) c
二
洛伦兹变换
第十一章 狭义相对论
洛伦兹速度变换
洛伦兹坐标正变换式
x x vt y y z z v t t 2 c
dx dx vdt dy dy dz dz
v dt dt 2 dx x c dx v ux v d x d t u x dt 1 v dx 1 v u 2 x 2 c c dt
经典时空观 狭义相对论的基本原理和洛伦兹变换 狭义相对论的基本原理和洛伦兹变换 相对论1
波动学知识点归纳 一.波动的基本概念 1.机械波:机械振动在弹性媒质中的传播. 横波：振动方向与波的传播方向垂直的波 纵波：振动方向与波的传播方向平行的波 2.波速、波长、周期、频率、波数之间的关系:u=λT= λν , k =2πλ=ωu二、波的描述 波阵面（波面）--在波传播的介质中，相位相同 的点所连成的面。
波前波线--波传播的方向线 均匀、各向同性媒质中波线 与波阵面垂直（1）平面波波函数：x y (x, t ) = A cos[ω (t m ) + ϕ 0 ] uy = A cos[ ω t − 2πλx + ϕ0 ]y = A cos[ωt − kx + ϕ0 ]明确波函数的物理意义（2）平面波波动的微分方程一维波动方程。
∂ y 1 ∂ y = 2 2 2 µ ∂t ∂x2 2三维波动方程1 ∂ 2ξ ∂ 2ξ ∂ 2ξ ∂ 2ξ + 2+ 2 = 2 2 2 ∂y ∂z µ ∂t ∂x三. 波的能量⎛ x⎞ dW = ρ A ω sin ω ⎜ t − ⎟dV ⎝ u⎠2 2 2波动可以传递能量,孤立振动系统并不能传递能量.1.能量密度:单位体 积媒质的波动能量 一周期内的平均值 称平均能量密度x w = ρω A sin ω (t − ) u2 2 21 w = ρω 2 A 2 22.平均能流密度(波强) :单位时间通 过垂直于传播方向单位面积的平均能 流1 I = ρω 2 A2u 2各向同性均匀介质中,平面波的强度不 变,球面波的强度与半径的平方成反比四、波的叠加原理： 几列波相遇之后， 仍然保持它们各自原有的特征不变继续前 进，好象没有遇到过其他波一样. 在相遇区域内，任一点的振动，为各列波单独存在时在该点 所引起的振动位移的矢量和. 五、波的干涉 相干条件 频率相同 振动方向相同 相位差恒定满足相干条件的两列波相遇叠加时，产生波的干涉现象.λ y = y1 + y2 = A cos(ωt + ϕ ) 2πr2 y2 = A2 cos(ωt + ϕ2 − ) λy1 = A1 cos(ωt + ϕ1 −2πr1)A = A + A2 + 2 A1 A2 cos ∆ϕ2 1 2tan ϕ =λ λ 2πr1 2πr2 ) + A2 cos(ϕ2 − ) A1 cos(ϕ1 − λ λA1 sin(ϕ1 −2πr1) + A2 sin(ϕ2 −2πr2)∆ϕ = (ϕ 2 − ϕ1 ) −2πλ(r2 − r1 )∆ϕ =±2k π k = 0 ,1, 2 ,L干涉加强± ( 2 k + 1 ) π k = 0 ,1 , 2 ,L 干涉减弱两个波源的相位相同时，干涉加强和减弱的条件也 可用波程差表示：∆ϕ =2πλδδ = r2 − r1干涉加强δ =±kλk = 0 ,1 , 2 ,L± ( k + 1 2 )λk = 0 ,1 , 2 ,L 干涉减弱六、驻波： 波形成条件： 振幅相同的相干波，在同一直线上沿相反方 向传播，叠加后就形成驻波 驻波的表达式： y ( x , t ) = 2 A cos 2πxx=k驻波振幅λ2λcos ω t, k = 0,±1,±2,...λ4波腹的位置x = ( 2k + 1), k = 0, ±1, ±2, ... 波节的位置驻波相位相邻两波节间的质点的振动同相， 波节两侧质点的振动反相；驻波的产生：入射波＋反射波 固定端反射，界面处为波节L两列波自由端反射界面处为波腹λ x 驻波的表达式： y ( x , t ) = 2 A cos 2π cos ω t λ两列波λ x y 2 ( x, t ) = A cos( ω t + 2π )y1 ( x , t ) = A cos( ω t − 2πx)y1 ( x , t ) = A c o s (ω t + ϕ 1 − 2 πxλ x y 2 ( x , t ) = A cos[ω t + ϕ 2 + 2π ]x)y ( x , t ) = 2 A cos[ 2πλ+ϕ 2 − ϕ12λ]cos(ω t +ϕ 2 + ϕ12)s V u u u νλνS −=′=′s s V u u νν+='νλνSD V u V u u m ±=′′=′νννuu D ±=′*αB相对不同的参照系，长度和时间的测量结果都一样吗？§6.1 经典时空观一、牛顿相对性原理相对不同的参考系，基本力学定律的形式是完全一样的吗？力学概念，以及力学规律对一定的参考系才有意义的.因此，在任何惯性系中观察，同一力学现象将按同样的形式发生和演变。
洛伦兹变换推导过程详细
洛伦兹变换推导过程详细全文共四篇示例，供您参考第一篇示例：洛伦兹变换（Lorentz transformation）是狭义相对论中的重要概念，描述了不同惯性参考系之间的时空坐标变换关系。
由荷兰物理学家亨德里克·安杰洛·洛伦兹（Hendrik Antoon Lorentz）首先提出，并由爱因斯坦在他的狭义相对论中进一步发展。
洛伦兹变换不仅在相对论中有着广泛的应用，而且也成为了后来爱因斯坦提出的广义相对论中的基础之一。
在这篇文章中，我们将详细推导洛伦兹变换的过程，并探讨其物理意义。
我们从狭义相对论的两个基本假设开始。
第一个假设是等效原理，即在加速度为零的惯性参考系中的物理定律是相同的。
第二个假设是光速不变原理，即光在真空中的传播速度对于所有惯性观察者都是相同的，不受光源或观察者的运动状态的影响。
根据这两个假设，我们可以推导出洛伦兹变换。
假设有两个惯性参考系S和S'，S'相对于S以速度v沿x轴方向匀速运动。
在S参考系中，事件的时空坐标为(x, y, z, t)，而在S'参考系中为(x', y', z', t')。
我们希望通过洛伦兹变换找到这两个参考系之间的坐标变换关系。
首先考虑S'参考系中的时间坐标t'和空间坐标x'之间的变换。
由光速不变原理可知，在S'参考系中静止的光源发出的光信号在空间中传播的速度是恒定不变的，即光速c。
假设光源在S参考系中坐标为(x, t)，在S'参考系中坐标为(x', t')，那么光信号在S参考系中的传播距离为c(t-t')，在S'参考系中的传播距离为c(t'-t)。
根据光速不变原理，这两个传播距离应该相等，即：c(t-t') = c(t'-t)整理得到：t' = γ(t - vx/c^2)其中γ为洛伦兹因子，定义为1/√(1-v^2/c^2)，即：γ = 1/√(1-v^2/c^2)这个式子描述了S'参考系中事件的时间与S参考系中事件的时间之间的关系。
洛伦兹变换与相对论的联系
洛伦兹变换与相对论的联系洛伦兹变换是狭义相对论中的一组数学公式，用于描述在光速不变的前提下，不同参考系之间的时空坐标变换关系。
它是相对论的基础之一，为我们理解相对论的重要性提供了关键工具。
本文将探讨洛伦兹变换与相对论的联系，并分析其在物理学领域中的应用。
一、洛伦兹变换的由来洛伦兹变换最早是由荷兰物理学家洛伦兹（Hendrik Antoon Lorentz）于1904年提出的。
当时，洛伦兹希望解决光的传播中的一些奇怪现象，例如以太风的存在与实验观测结果的矛盾等。
为了解释这些现象，洛伦兹提出了一种新的数学变换方式，用于将不同参考系下的时空坐标相互转换。
二、洛伦兹变换的基本原理洛伦兹变换的基本原理是光速不变原理，即光在真空中的传播速度是恒定不变的。
根据这一原理，洛伦兹变换描述了时间和空间之间的相互关系，包括时间的相对性、长度的收缩和同时性的相对性等。
洛伦兹变换的数学表达为：$x' = \gamma(x - vt)$$y' = y$$z' = z$$t' = \gamma(t - \frac{v}{c^2}x)$其中，x、y、z、t为某一参考系下的时空坐标，x'、y'、z'、t'为另一参考系下的时空坐标，v为两个参考系之间的相对速度，c为光速，γ为洛伦兹因子，其表达式为：$\gamma = \frac{1}{\sqrt{1-\frac{v^2}{c^2}}}$三、相对论与洛伦兹变换的关系狭义相对论是爱因斯坦于1905年提出的一种新的物理理论，它建立在洛伦兹变换的基础上。
相对论通过假设光速不变和任意参考系的等价性，推导出了一系列与经典力学不同的结论，如时间的相对性、质量能量关系等。
而洛伦兹变换则提供了相对论中时空坐标转换的具体数学表达式，为相对论的应用提供了基础。
根据洛伦兹变换的数学表达式，我们可以推导出相对论中的一些重要结论。
例如，当两个参考系之间的相对速度非常小相对于光速时，洛伦兹因子可以近似为1，此时洛伦兹变换中的时间和空间坐标变换趋近于经典力学中的加减法。
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力学定律：F ma 推论：a在所有惯性系中保持不变 数学上：伽利略变换
1 伽利略变换：
正变换
x' x ut y' y z' z t' t
逆变换
x x'ut' y y' z z'
t t'
y S y' S'
1905年，爱因斯坦发表了具有划时代意义的论文 《论动体的电动力学》，提出了爱因斯坦相对性原理 和光速不变原理，作为狭义相对论的两条基本假设。
1、伽利略变换的困难
1).电磁场方程组不服从伽利略变换 伽利略变换需要修正？
电磁学基本规律不遵从相对性原理？ 修正电磁学
2). 伽利略修正导致一些实验无法观测的新现象 伽利略变换不适于光或电磁波的运动（高速运动）。
az az
在两个惯性系中
a a
2、伽利略变换与绝对时空概念
t t' 得： t t'
即：在S系和S’系中的观察者对任意两事件之间的时 间间隔进行测量，测量结果与参照系无关。
在牛顿力学中，时间是绝对的。
同一根棒在不同参考系中的长度：
L x2 x1
L' x'2 x'1
由伽利略变换得: x2 x1 x于力学定理
速度与参考系有关，相对的
狭义相对 光速， 是绝对的 论力学 时间测量 长度测量 与参考系有关，相对的 质量测量
惯性系等价适用于一切物理定理
2、洛伦兹变换：
相对论的基本原理出发，推导洛仑兹变换 为简明扼要，只考虑沿x方向有相对运动
(1) 时空均匀性，线性变换，一次方程
C
c2 u2
C
C
C+u
C-u
C 在绝对参考系中
c2 u2
在地球参考系（地球 对于绝对参考系以速 度u运动）
迈克耳逊-莫莱实验：测光速，找绝对参考系 装置，光源，一块半反射镜片，两块全反射镜片
t1
c
l
u
c
l
u
2l /c 1u2 / c2
ct2
2
l2
ut2
2
2
2
来回需时t2
2l / c 1u2 / c2
x (x ut) 线性系数 与 x, t 无关
(2) 爱因斯坦相对性原理，S 和 S‘ 系相对速度相反，
数学形式相同，x (x ut)
(3) 光速不变原理， t = t’ = 0 ，O(O’)发光 t (t')达 x (x')
满足 x = ct, x' = ct'
(4) 可得 ct' = (ct – ut) = (c – u)t
L L'
在牛顿力学中，长度是绝对的。
3、牛顿相对性原理
S系： m F a
S’系： m F a
在牛顿力学中
a
a
质量与运动无关 m m'
力与参照系无关 F F'
若S中 F ma 则S’中 F ma
牛顿力学规律在伽利略变换下形式不变 适用于，宏观低速物体
总结
牛顿相对性原理
质量与运动无关 在牛顿力学前提（或假设）
RELATIVITY
第11章 狭义相对论基础
(SPECIAL RELATIVITY)
在已经基本建成的科学大厦中，后辈 的物理学家只要做一些零碎的修补工作就 行了。
但是，在物理学晴朗天空的远处，还 有两朵令人不安的乌云……
英国物理学家 ·开尔文 (1900年)
牛顿力学：宏观、低速。
相对论：新的时空观，物质 = 能量 颠覆经典时空观，颠覆牛顿定律。
力与参照系无关 力学规律与参照系无关
在牛顿力学中，时间是绝对的。 在牛顿力学中，长度是绝对的。 在牛顿力学中，速度是相对的。
二、爱因斯坦相对性原理和光速不变原理： 1. 时代背景： 迈克斯韦方程组预言电磁波，导出真空电磁波速 c 1/ 00 2.99108 m/s ，光（电磁波）速不变
若 S 系的真空光速为 c，S' 系相对于 S 系以速度 u 运动，则 S‘ 系中观测到的真空光速为 c + u 或 c – u 。
光程差 c(t2 – t1)
地球自转速度18m/s，仪器理应观测到却没有观测到 时间差引起的光程差，以太（绝对参考系）不存在
爱因斯坦：“我们发现不了以太是因为以太根本就 不存在。”只能得出 “没有绝对参考系 (以太)” 的结论。
这意味着经典物理学出了问题，意味着绝对时间、 绝对空间、伽利略变换等等都有问题。
相对论：低、高速均适用
狭义：只涉及惯性系。 广义：涉及非惯性系。
量子力学：宏、微观均适用。
狭义相对论
数学工具：洛仑兹时空变换，速度合成 表象：时间延缓和长度收缩 底线：同时的相对性和因果律 本质：视角变换，不同角度看问题 相对论动力学：动量质量和能量
一、相对论的基本原理和洛仑兹变换
牛顿力学的假设和伽利略变换
麦克斯韦 正确 伽利略 错误
改变伽利略以适应麦克斯韦 （洛仑兹变换）
2、爱因斯坦的狭义相对论的前提
1).一切物理规律在任何惯性系中形式相同
—— 惯性系等价原理
牛顿：只有力学规律不变
2).光在真空中的速度与发射体的运动状态无关
—— 光速不变原理
牛顿：质量不变，受力不变
牛顿力学
时间测量 长度测量 质量测量
u
•p
o ut o'
x x'
z z'
速度变换与加速度变换
vx vx u 正 vy v y
vz vz
ax
ax
du dt
ay a y
az az
u
是恒量
ax a x ay a y az az
vx vx u
逆 v y vy
vz vz
ax
ax
du dt
a y ay
az az
两个都是 a x ax 惯性系 a y ay
1
ct = (ct' + ut') = (c + u)t'
1u2 /c2
代回（1）（2）式，即得 x x', x' x 的变换 两式联立，消掉 x 或 x' ，得 t, t' 间的变换
洛仑兹变换的结果：
S S’ 坐标系等价，唯相对速度u相反 u是S’（自坐标，运动的火车）对S （它坐标，地面）的速度
但是，从麦克斯韦方程中得到的光速与参考系无关
牛顿的绝对时空观遇到了问题：
那么，我们该怎么办？ 既要满足牛顿伽利略，又要满足麦克斯韦 权宜之计：绝对参考系！
我们都相对于此特殊参考系运动而不自知 在介质的海洋中随波逐流，误以为光速不变
此特殊介质就是以太！ 寻找以太的实验：迈克尔逊-莫雷实验
设地球在绝对参考系中（以太中）的速率为u，地球 上沿不同方向传播的光相对于地球上的观察者速度 应该有所差别，精密光学实验可以测量这种差别。