高二数学必修五第一章数列练习题(有答案和解释)
(典型题)高中数学必修五第一章《数列》检测卷(有答案解析)
一、选择题1．已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，11a =，23a =，且()11222n n nn S S S n +-+=+≥，若()()72n n S a n λλλ-++≥-对任意*n ∈N 都成立，则实数λ的最小值为（ ） A ．52-B ．116C ．332D ．12．记无穷数列{}n a 的前n 项12,,,n a a a …的最大项为n A ，第n 项之后的各项12,n n a a ++，···的最小项为n B ，令n n n b A B =-，若数列{}n a 的通项公式为2276n a n n =-+，则数列{}n b 的前10项和为（ ）A ．169-B ．134-C ．103-D ．78-3．已知数列{}n a 满足11a =，24a =，310a =，1{}n n a a +-是等比数列，则数列{}n a 的前8项和8S =（ ） A ．376B ．382C ．749D ．7664．已知数列{}n a 的前n 项和是n S ，且21n n S a =-，若()0,2021n a ∈，则称项n a 为“和谐项”，则数列{}n a 的所有“和谐项”的和为（ ） A ．1022B ．1023C ．2046D ．20475．在“全面脱贫”行动中，贫困户小王2020年1月初向银行借了扶贫免息贷款10000元，用于自己开发的农产品、土特产品加工厂的原材料进货，因产品质优价廉，上市后供不应求，据测算：每月获得的利润是该月初投入资金的20%，每月底街缴房租800元和水电费400元，余款作为资金全部用于再进货，如此继续，预计2020年小王的农产品加工厂的年利润为（ ）（取111275=．．，121.29=）A ．25000元B ．26000元C ．32000元D ．36000元6．已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，对任意的*n N ∈有2233n n S a =-，且112k S <<，则k 的值为（ ） A ．2或4B ．2C ．3或4D ．67．已知数列{}n a 的通项公式350n a n =-，则前n 项和n S 的最小值为( ) A ．－784B ．－368C ．－389D ．－3928．已知数列{}n a 满足()1341n n a a n ++=≥，且19a =，其前n 项之和为n S ，则满足不等式16125n S n --<的最小整数n 是（ ） A ．5B ．6C ．7D ．89．设n S 是数列{}n a 的前n 项和，且()*2n n S a n n N =+∈，则{}na 的通项公式为na=（ ）A ．23n -B ．23n -C ．12n -D ．12n -10．等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，1000S >，1010S <，则满足10n n a a +<的n =（ ） A ．50B ．51C ．100D ．10111．公元前四世纪，毕达哥拉斯学派对数和形的关系进行了研究.他们借助几何图形（或格点）来表示数，称为形数.形数是联系算术和几何的纽带.如图所示，数列1，6，15，28，45，…，从第二项起每一项都可以用六边形表示出来，故称它们为六边形数，那么该数列的第11项对应的六边形数为（ ）A ．153B ．190C ．231D ．27612．记等差数列{}n a 的前n 项和为n S .若64a =，19114S =，则15S =（ ） A ．45B ．75C ．90D ．95二、填空题13．在数列{}n a 中，11a =，0n a ≠，曲线3y x =在点()3,n n a a 处的切线经过点()1,0n a +，下列四个结论：①223a =；②313a =；③416527i i a ==∑；④数列{}n a 是等比数列；其中所有正确结论的编号是______.14．在各项均为正数的等比数列{}n a 中，公比()0,1q ∈，若355a a +=，264a a =，2log n n b a =，数列{}n b 的前n 项和为n S ，则数列n S n ⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项的和n T 为______.15．已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，若121(2)n n S S n -=+≥且23S =，则55S a =_________． 16．无穷数列{}n a 满足：只要()*,p q a a p q N=∈，必有11p q aa ++=，则称{}n a 为“和谐递进数列”．已知{}n a 为“和谐递进数列”，且前四项成等比数列，151a a ==，22a =，则2021S =_________．17．若a 、b 、c 成等比数列，a 、x 、b 成等差数列，b 、y 、c 成等差数列（x 、y 均不为0），则a cx y+=______. 18．数列{}n a 满足：112a =，212n n a a a n a ++⋯+=⋅，则数列{}n a 的通项公式n a =___________.19．等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，且4873a a a +-=_________． 20．等比数列{}n a 前n 项和为n S ，若634S S =，则96S S =______. 三、解答题21．已知数列{}n a 满足1*111,33().n n n a a a n ++==+∈N（1）求证：数列{}3nn a 是等差数列. （2）求数列{}n a 的通项公式.（3）设数列{}n a 的前n 项和为,n S 求证：37.324n n S n >- 22．已知等差数列{}n a ，且55a =，515S =，首项为1的数列{}n b 满足112n n n n b a b a ++= （1）求数列{}n a 的通项公式及前n 项和n S ； （2）求数列{}n b 前n 项和n T .23．已知正项数列{}n a 的前n 项和为n S .若214,n n n a S S a +==+ （1）求证：数列是等差数列；（2）设n b =，求数列{}n b 的前n 项和n T . 24．已知{}n a 是等差数列，{}n b 是递增的等比数列且前n 和为n S ，112822,10a b a a ==+=，___________.在①2345,,4b b b 成 等差数列，②12n n S λ+=+(λ为常数)这两个条件中任选其中一个，补充在上面的横线上，并完成下面问题的解答(如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分). （1）求数列{}n a 和{}n b 的通项公式； （2）求数列{}n n a b +的前n 项和n T .25．已知等差数列{}n a 中，n S 为数列{}n a 的前n 项和，519a =，321S =． （1）求数列{}n a 的通项公式n a ； （2）令1n n b S n=+，求数列{}n b 的前n 项和n T ． 26．已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，且233n n S a =-. （1）求数列{}n a 的通项公式； （2）设3log n n b a =，11n n n c b b +=，求数列{}n c 的前n 项和n T .【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题 1．C 解析：C 【分析】由n S 与n a 的关系得21nn a =-，则272n maxn λ-⎛⎫≥⎪⎝⎭，设272n nn c -=，利用数列的单调性即可求解． 【详解】解：数列{}n a 的前n 项和为n S ，11a =，23a =，且()11222n n nn S S S n +-+=+≥， 所以112nn n n n S S S S +--=+-，故()122nn n a a n +-=≥，因为1212a a -=，所以()121nn n a a n +-=≥，所以112n n n a a ---=，2122n n n a a ----=，⋯，1212a a -=， 则1211222n n a a --=++⋯+，故11211222121n n n n a --=++⋯+==--， 所以()123122122222221n n n nS n n n +-=+++⋯+-=-=---，所以21nn n S a n -=--，因为()()72n n S a n λλλ-++≥-对任意*n N ∈都成立， 所以272nmaxn λ-⎛⎫≥ ⎪⎝⎭． 设272n nn c -=，则111252792222n n n n n n n nc c +++----=-=， 当4n ≤时，1n n c c +>，当5n ≥时，1n n c c +<， 因此1234567c c c c c c c <<⋯<><> 即5332c λ≥=，故λ的最小值为332． 故选：C 【点睛】本题解答的关键利用11,1,2n nn S n a S S n -=⎧=⎨-≥⎩求出数列n a 的递推公式，再利用累加法求出na 的通项；2．A解析：A 【分析】先利用单调性依次写出前几项，再根据规律求和即可. 【详解】数列{}n a 的通项公式为2276n a n n =-+，故从2a 起单调递增，且1231,0,3a a a ===， 所以11112101b A B a a =-=-=-=，22213b A B a a =-=-，33334b A B a a =-=-，44445b A B a a =-=-，…，1010101011b A B a a =-=-，又2112117116171a =⨯-⨯+=，所以数列{}n b 的前10项和为()()()()12101334451011...1...b b b a a a a a a a a +++=+-+-+-++-111111171169a a =+-=+-=-.故选：A. 【点睛】 关键点点睛：本题的解题关键在于发现数列从2a 起单调递增，才能依次确定{}n b 的项，找到规律，突破难点.3．C解析：C 【分析】利用累加法求出通项n a ，然后利用等比数列的求和公式和分组求和法，求解8S 即可 【详解】由已知得，213a a -=，326a a -=，而{}1n n a a +-是等比数列，故2q，∴11221()()()n n n n a a a a a a ----+-+-=23632n -+++⨯1133232312n n ---⨯==⨯--，1n a a ∴-=1323n -⨯-，化简得1322n n a -=⨯-，878128123(122)2831612S a a a -=++=⨯+++-⨯=⨯--83219749=⨯-=故选：C 【点睛】关键点睛：解题关键在于利用累加法求出通项.4．D解析：D【分析】由1(2)n n n a S S n -=-≥求出{}n a 的递推关系，再求出1a 后确定数列是等比数列，求出通项公式，根据新定义确定“和谐项”的项数及项，然后由等比数列前n 项和公式求解． 【详解】当2n ≥时，11121(221)2n n n n n n n a S S a a a a ---=--==---，∴12n n a a -=， 又11121a S a ==-，11a =，∴{}n a 是等比数列，公比为2，首项为1， 所以12n na ，由122021n n a -=<得110n -≤，即11n ≤，∴所求和为1112204712S -==-．故选：D ． 【点睛】关键点点睛：本题考查数列新定义，考查等比数列的通项公式与前n 项和公式，解题思路是由1(2)n n n a S S n -=-≥得出递推关系后确定数列是等比数列，从而求得通项公式．解题关键是利用新定义确定数列中“和谐项”的项数及项．5．C解析：C 【分析】设1月月底小王手中有现款为1(120%)10000120010800a =+⨯-=元，n 月月底小王手中有现款为n a ，1n +月月底小王手中有现款为1n a +，由题意可知16000 1.2(6000)n n a a +-=-，所以数列{6000}n a -是首项为4800，公比为1.2的等比数列，求出12a 即得解. 【详解】设1月月底小王手中有现款为1(120%)1000080040010800a =+⨯--=元，n 月月底小王手中有现款为n a ，1n +月月底小王手中有现款为1n a +，则1 1.21200n n a a +=-，即16000 1.2(6000)n n a a +-=-， 所以数列{6000}n a -是首项为4800，公比为1.2的等比数列，∴11126000480012a -=⨯，即1112480012600042000a =⨯+=，年利润为420001000032000-=元， 故选：C 【点睛】关键点睛：解答本题的关键是根据递推关系1 1.21200n n a a +=-构造数列{6000}n a -，求出新数列的通项关系.6．A解析：A 【分析】利用递推关系式求出{}n a 的通项公式，再求出{}n a 的前n 项和为n S ，即可求出k 的值. 【详解】对任意的*n N ∈有2233n n S a =-， 可得：1112233a S a ==- ，解得：1=2a -， 当2n ≥时：2233n n S a =-，112233n n S a --=- 两式相减得112233n n n n n S S a a a ---=-=，即12n n a a -=-， 所以{}n a 是首项为2-，公比为2-的等比数列，所以()2nn a =-，()()()212212123nn nS ⎡⎤-⨯--⎣⎦⎡⎤==---⎣⎦--， 所以211(2)123kk S ⎡⎤<=---<⎣⎦， 所以5(219)2k <-<， 当2k =和4k =时不等式成立，所以k 的值为2或4， 故选：A. 【点睛】本题主要考查了由递推公式求通项公式，考查了等比数列前n 项和公式，属于中档题.7．D解析：D 【解析】令3500n -≥，求得16n >，即数列从第17项开始为正数，前16项为负数，故数列的前16项的和最小，1612,47a a =-=-，()16472163922S --⨯∴==-，故选D.【方法点睛】求等差数列前n 项和的最大值的方法通常有两种：①将前n 项和表示成关于n 的二次函数，n S 2An Bn =+，当2B n A =-时有最大值（若2B n A=-不是整数，n 等于离它较近的一个或两个整数时n S 最大）；②可根据0n a ≥且10n a +≤确定n S 最大时的n 值.8．C解析：C 【分析】首先分析题目已知3a n+1+a n =4（n ∈N*）且a 1=9，其前n 项和为S n ，求满足不等式|S n ﹣n ﹣6|＜1125的最小整数n ．故可以考虑把等式3a n+1+a n =4变形得到111-13n n a a +-=-，然后根据数列b n =a n ﹣1为等比数列，求出S n 代入绝对值不等式求解即可得到答案．【详解】对3a n+1+a n =4 变形得：3（a n+1﹣1）=﹣（a n ﹣1）即：111-13n n a a +-=- 故可以分析得到数列b n =a n ﹣1为首项为8公比为13-的等比数列．所以b n =a n ﹣1=8×11-3n -⎛⎫ ⎪⎝⎭a n =8×11-3n -⎛⎫ ⎪⎝⎭+1所以181********n nn S n n ⎡⎤⎛⎫--⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎛⎫⎣⎦=+=-⨯-+ ⎪⎛⎫⎝⎭-- ⎪⎝⎭|S n ﹣n ﹣6|=n11-6-3125⎛⎫⨯< ⎪⎝⎭解得最小的正整数n=7 故选C ． 【点睛】此题主要考查不等式的求解问题，其中涉及到可化为等比数列的数列的求和问题，属于不等式与数列的综合性问题，判断出数列a n ﹣1为等比数列是题目的关键，有一定的技巧性属于中档题目．9．C解析：C 【分析】由()*2n n S a n n N =+∈结合11,1,2n nn S n a S S n -=⎧=⎨-≥⎩即可求出1a 和121n n a a -=-，通过构造法即可求出通项公式. 【详解】当1n =时，11121a S a ==+，解得1 1a =-；当2n ≥时，122(1)n n n a a n a n -=+---．∴121n n a a -=-，∴()1121n n a a --=-．∵112a -=-，∴12nn a -=-， ∴12nn a =-．故选:C ． 【点睛】本题考查了数列通项公式的求解，考查了,n n a S 的递推关系求通项公式，考查了等比数列的通项公式，考查了构造法求数列的通项公式，属于中档题.10．A解析：A 【分析】由题意和等差数列求和公式与性质可得50510a a +>；510a <，进而可得500a >，据此分析可得答案． 【详解】根据题意，等差数列{}n a 中，1000S >，1010S <， 则有110010*********()10050()50()02a a S a a a a +⨯==+=+>，则有50510a a +>；又由110110151()10110102a a S a +⨯==<，则有510a <；则有500a >，若10n n a a +<，必有50n =； 故选：A ． 【点睛】本题考查等差数列的前n 项和公式的应用，涉及等差数列的性质，属于基础题．11．C解析：C 【分析】根据题中所给图与对应的六边形数，记第n 个六边形数为n a ，找出规律，相邻两项差构成等差数列，累加求得22n a n n =-，将11n =代入求得结果.【详解】记第n 个六边形数为n a ，由题意知：11a =，215141a a -==+⨯，32142a a -=+⨯，43143a a -=+⨯，，114(1)n n a a n --=+-，累加得21(1)[543]59[14(1)]212n n n a a n n n -+--=++++-==--，即22n a n n =-，所以21121111231a =⨯-=，故选：C. 【点睛】该题考查的是有关数列的问题，涉及到的知识点有利用累加法求数列的通项公式，属于中档题目.12．B解析：B 【分析】结合题意根据等差数列的通项公式和前n 项和公式列方程115419199114a d a d +=⎧⎨+⨯=⎩，解得11232d a ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，再利用前n 项和公式即可求得答案. 【详解】解：根据题意64a =，19114S =，结合等差数列的通项公式和前n 项和公式得：115419199114a d a d +=⎧⎨+⨯=⎩，即：115496a d a d +=⎧⎨+=⎩，解得11232d a ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩， 所以()1511515131451051515157752222S a d -+=+=⨯+⨯⨯==. 故选：B. 【点睛】本题考查利用等差数列的通项公式和前n 项和公式求等差数列的基本量，考查数学运算能力，是基础题.二、填空题13．①③④【分析】先利用导数求得曲线在点处的切线方程由此求得与的递推关系式进而证得数列是等比数列由此判断出四个结论中正确的结论编号【详解】∵∴曲线在点处的切线方程为则∵∴则是首项为1公比为的等比数列从而解析：①③④ 【分析】先利用导数求得曲线3y x =在点()3,n n a a 处的切线方程，由此求得1n a +与n a 的递推关系式，进而证得数列{}n a 是等比数列，由此判断出四个结论中正确的结论编号. 【详解】∵2'3y x =，∴曲线3y x =在点()3,n n a a 处的切线方程为()323n n n y a a x a -=-，则()3213n n n n a a a a +-=-.∵0n a ≠，∴123n n a a +=， 则{}n a 是首项为1，公比为23的等比数列，从而223a =，349a =，4412165322713i i a =⎛⎫- ⎪⎝⎭==-∑. 故所有正确结论的编号是①③④. 故答案为：①③④ 【点睛】本小题主要考查曲线的切线方程的求法，考查根据递推关系式证明等比数列，考查等比数列通项公式和前n 项和公式，属于基础题.14．【分析】首先利用方程组求出数列的通项公式进一步求出数列的通项公式进一步利用分类讨论思想的应用求出数列的和【详解】解：各项均为正数的等比数列中若所以由于公比解得所以解得所以由于所以则当时当时所以故答案解析：()()2217941714494n n n n T n n n ⎧-≤⎪⎪=⎨-+⎪>⎪⎩【分析】首先利用方程组求出数列{}n a 的通项公式，进一步求出数列{}n b 的通项公式，进一步利用分类讨论思想的应用求出数列的和. 【详解】解：各项均为正数的等比数列{}n a 中，若355a a +=，264a a =， 所以35352654a a a a a a +=⎧⎨==⎩，由于公比()0,1q ∈， 解得3541a a =⎧⎨=⎩，所以253a a q =，解得12q =. 所以55512n n n a a q--⎛⎫=⋅= ⎪⎝⎭.由于5221log log 52n n n b a n -⎛⎫===- ⎪⎝⎭.所以()()45922n n n n n S +--==，则()9292n n n n S n c nn--===， 当9n ≤时，()212171744n n n n n n T c c c --=+++==. 当9n >时，()()212910*********24n n n n n T c c c c c c c c c c -+=+++---=++-+++=. 所以()()2217941714494n n n n T n n n ⎧-≤⎪⎪=⎨-+⎪>⎪⎩. 故答案为：()()2217941714494n n n n T n n n ⎧-≤⎪⎪=⎨-+⎪>⎪⎩【点睛】本题考查等比数列的通项公式，等差数列的前n 项和公式，考查分类讨论思想和数学运算能力，是中档题.15．【分析】先计算出数列的前两项分别为和由题意可知可得再结合得数列是首项为公比为的等比数列然后利用等比数列的相关公式计算【详解】由①得则所以得：②②-①得：即又成立所以数列是首项为公比为的等比数列则故故解析：3116.【分析】先计算出数列{}n a 的前两项分别为1和2，由题意可知()1121212n n nn S S S S n +-=+⎧⎨=+≥⎩可得()122n na n a +=≥，再结合212aa =得数列{}n a 是首项为1，公比为2的等比数列，然后利用等比数列的相关公式计算55S a . 【详解】由121(2)n n S S n -=+≥ ①得12121213S S a =+=+=，则11a =，所以2212a S a =-=，得：121n n S S +=+②，②-①得：()122n n a a n +=≥，即()122n na n a +=≥ 又212a a =成立，所以数列{}n a 是首项为1，公比为2的等比数列， 则4451216a a q =⋅==，()()55151********a q S q-⨯-===--，故553116Sa =. 故答案为：3116【点睛】本题考查利用递推关系式求解数列的通项公式，考查等比数列的通项公式、求和公式的应用，较简单.16．7576【分析】根据新定义得数列是周期数列从而易求得【详解】∵成等比数列∴又为和谐递进数列∴…∴数列是周期数列周期为4∴故答案为：7576【点睛】本题考查数列新定义解题关键是由数列新定义性质得出数列解析：7576 【分析】根据新定义得数列是周期数列，从而易求得2021S ． 【详解】∵1234,,,a a a a 成等比数列，121,2a a ==，∴344,8a a ==，又15a a =，{}n a 为“和谐递进数列”，∴26a a =，37a a =，48a a =，59a a =，…， ∴数列{}n a 是周期数列，周期为4． ∴2021505(1248)17576S =⨯++++=． 故答案为：7576． 【点睛】本题考查数列新定义，解题关键是由数列新定义性质得出数列为周期数列，从而易得结论．17．【分析】由题意可得出代入计算可得出的值【详解】由题意可得出故答案为：【点睛】本题考查利用等差中项和等比中项求值考查计算能力属于中等题 解析：2【分析】由题意可得出2b ac =，2a bx +=，2b c y +=，代入计算可得出a c x y +的值.【详解】由题意可得出2b ac =，2a bx +=，2b c y +=，()()()()()222222224222a b c c a b ab ac bc a c a cab ac bc x y a b b c a b b c ab ac b bc ab ac bc +++++++∴+=+====+++++++++.故答案为：2. 【点睛】本题考查利用等差中项和等比中项求值，考查计算能力，属于中等题.18．【分析】当时作差即可得到再利用累乘法求出数列的通项公式即可；【详解】解：因为①；当时②；①减②得即所以所以所以所以……所以所以又所以当时也成立所以故答案为：【点睛】对于递推公式为一般利用累乘法求出数解析：21n n+ 【分析】当2n ≥时，()212111n n a a a n a --++⋯+=-⋅，作差即可得到111n n a n a n --=+，再利用累乘法求出数列的通项公式即可； 【详解】解：因为212n n a a a n a ++⋯+=⋅①；当2n ≥时，()212111n n a a a n a --++⋯+=-⋅②；①减②得()2211n n n a n a n a -=⋅-⋅-，即()()22111n n n a n a -⋅-⋅-=，所以()()()21111n n n n a n a --+=⋅-⋅，所以()()111n n n a n a -⋅-⋅+=，所以111n n a n an --=+ 所以2113a a =，3224a a =，4335a a =，……，111n n a n a n --=+，所以324211312313451n n a a a a n a a a a n --⋅⋅⋅⨯⨯⨯=⨯+，所以()121n a a n n =+，又112a =，所以()11n a n n =+，当1n =时()11n a n n =+也成立，所以()11n a n n =+故答案为：()11n n +【点睛】 对于递推公式为()1nn a f n a -=，一般利用累乘法求出数列的通项公式，对于递推公式为()1n n a a f n --=，一般利用累加法求出数列的通项公式；19．【分析】首先设出等差数列的首项和公差根据其通项公式得到再根据其求和公式得到从而得到结果【详解】设等差数列的首项为公差为则有因为所以故答案为：【点睛】思路点睛：该题考查的是有关等差数列的问题解题思路如 解析：13313S 【分析】首先设出等差数列的首项和公差，根据其通项公式，得到487733a a a a +-=，再根据其求和公式，得到13713S a =，从而得到结果. 【详解】设等差数列的首项为1a ，公差为d ，则有48711117333(7)(6)318=3a a a a d a d a d a d a +-=+++-+=+， 因为11313713()132a a S a +==，所以487133313a a a S +-=， 故答案为：13313S . 【点睛】思路点睛：该题考查的是有关等差数列的问题，解题思路如下： （1）首先设出等差数列的首项和公差；（2）利用等差数列的通项公式，得到项之间的关系，整理得出487733a a a a +-=； （3）利用等差数列的求和公式，求得13713S a =； （4）比较式子，求得结果.20．【分析】根据等比数列的性质得到成等比从而列出关系式又接着用表示代入到关系式中可求出的值【详解】因为等比数列的前n 项和为则成等比且所以又因为即所以整理得故答案为：【点睛】本题考查学生灵活运用等比数列的 解析：134【分析】根据等比数列的性质得到232,,n n n n n S S S S S --成等比，从而列出关系式，又634S S =，接着用6S 表示3S ，代入到关系式中，可求出96S S 的值. 【详解】因为等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，则232,,n n n n n S S S S S --成等比，且0n S ≠，所以6396363--=-S S S S S S S ，又因为634S S =，即3614=S S ，所以6696666141144--=-S S S S S S S ，整理得96134=S S .故答案为：134. 【点睛】本题考查学生灵活运用等比数列的性质化简求值，是一道基础题。
高二数学必修五第一章数列练习题(有答案和解释)
高二数学必修五第一章数列练习题（有答案和解释）课时作业（一）一、选择题 1．下列解析式中不是数列1，－1，1，－1，1，…的通项公式的是( ) 【解析】A中当n＝1时，a1＝－1，n＝2时，a2＝1，显然不是数列1，－1，1，－1，1，…的通项公式．【答案】 A 2．已知数列{an}的通项公式是an＝n2＋2，则其第3、4项分别是( ) A．11，3 B．11，15 C．11，18 D．13，18 【解析】a3＝32＋2＝11，a4＝42＋2＝18. 【答案】 C 3．已知数列1，3，5，7，…，2n－1，…则35是它的( ) A．第22项B．第23项 C．第24项 D．第28项【解析】令2n－1＝35，解得n＝23. 【答案】 B 4．下列四个数中，是数列{n(n＋1)}中的一项的是( ) A．380 B．39 C．32 D．23 【解析】分别令n(n＋1)＝380，39，32，23解出n∈N＋即可，验证知n＝19时，19×20＝380. 【答案】 A 5．(2013•德州高二检测)数列－13×5，25×7，－37×9，49×11，…的通项公式an为( ) A．(－1)n＋11（2n＋1）（2n＋3） B．(－1)n＋1n（2n＋1）（2n＋3） C．(－1)n1（2n ＋1）（2n＋3） D．(－1)nn（2n＋1）（2n＋3）【解析】观察式子的分子为1，2，3，4，…，n，…，分母为3×5，5×7，7×9，…，(2n＋1)(2n＋3)，…，而且正负间隔，故通项公式an＝(－1)nn（2n ＋1）（2n＋3）. 【答案】 D 二、填空题 6．数列35，12，511，37，717，…的一个通项公式是________．【解析】数列35，12，511，37，717，…即数列35，48，511，614，717，…，故an＝n＋23n＋2. 【答案】an＝n＋23n＋2 7．已知数列{an}的通项公式an ＝－n2＋7n＋9，则其第3、4项分别是________、________．【解析】a3＝－32＋7×3＋9＝21，a4＝－42＋7×4＋9＝21. 【答案】21 21 8．已知曲线y＝x2＋1，点(n，an)(n∈N＋)位于该曲线上，则a10＝________．【解析】∵点(n，an)位于曲线y＝x2＋1上，∴an＝n2＋1，故a10＝102＋1＝101. 【答案】101 三、解答题 9．根据数列的前几项，写出下列各数列的一个通项公式． (1)－1，7，－13，19，… (2)0.8，0.88，0.888，… (3)12，14，－58，1316，－2932，6164，… 【解】(1)符号可通过(－1)n表示，后面的数的绝对值总比前面的数的绝对值大6，故通项公式为an＝(－1)n•(6n－5)． (2)将数列变形为89(1－0.1)，89(1－0.01)，89(1－0.001)，…，∴an＝89(1－110n)． (3)各项的分母分别为21，22，23，24，…，易看出第2，3，4项的分子分别比分母少3.因此把第1项变为－2－32. 原数列可化为－21－321，22－322，－23－323，24－324，…，∴an＝(－1)n•2n－32n. 10．已知数列{an}中，a1＝2，a17＝66，通项公式是项数n的一次函数． (1)求数列{an}的通项公式； (2)88是否是数列{an}中的项？【解】(1)设an＝an＋b.∴a1＝a＋b＝2，① a17＝17a＋b＝66.② ②－①，得16a＝64，∴a＝4，b＝－2. ∴an ＝4n－2(n∈N＋)． (2)令4n－2＝88⇒4n＝90,n＝452∉N＋，∴88不是数列{an}中的项．11．如图1－1－3所示，有n(n≥2)行n＋1列的士兵方阵：(1)写出一个数列，用它表示当n分别为2，3，4，5，6，…时方阵中的士兵人数．图1－1－3 (2)说出(1)中数列的第5，6项，用a5，a6表示； (3)若把(1)中的数列记为{an}，求该数列的通项公式an； (4)求a10，并说明a10所表示的实际意义．【解】(1)当n＝2时，表示士兵的人数为2行3列，人数为6；当n＝3时，表示3行4列，人数为12，依此类推，故所求数列为6，12，20，30，42，…. (2)方阵的行数比数列的序号大1，因此第5项表示的是6行7列，第6项表示7行8列，故a5＝42，a6＝56. (3)根据对数列的前几项的观察、归纳，猜想数列的通项公式．前4项分别为：6＝2×3，12＝3×4，20＝4×5，30＝5×6 因此an＝(n＋1)(n＋2)． (4)由(3)知a10＝11×12＝132，a10表示11行12列的士兵方阵中士兵的人数．。
(好题)高中数学必修五第一章《数列》测试卷(答案解析)(1)
一、选择题1．已知数列{}n a 中，11n n a a n +-=+，11a =，设数列1n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和为n S ，则满足143n S n n ⎛⎫≥- ⎪⎝⎭)的n 的最大值为（ ）A ．3B ．4C ．5D ．62．设首项为1的数列{}n a 的前n 项和为n S ，且113,2,23,21,n n n a n k k N a a n k k N *-*-⎧+=∈=⎨+=+∈⎩，若4042m S >，则正整数m 的最小值为（ ）A ．14B ．15C ．16D ．173．已知数列{}n a 中，12a =，()*,N n m n m a a a n m +=⋅∈，若1234480k k k k a a a a +++++++=，则k =（ ）A ．3B ．4C ．5D ．64．“杨辉三角”是中国古代重要的数学成就，它比西方的“帕斯卡三角形”早了300多年.如图是由“杨辉三角”拓展而成的三角形数阵，记n a 为图中虚线上的数1,3,6,10，构成的数列{}n a 的第n 项，则100a 的值为（ ）A ．5049B ．5050C ．5051D ．51015．对于数列{}n a ，定义11222n nn a a a Y n-++⋅⋅⋅+=为数列{}n a 的“美值”，现在已知某数列{}n a 的“美值”12n n Y +=，记数列{}n a tn -的前n 项和为n S ，若6n S S ≤对任意的*n N ∈恒成立，则实数t 的取值范围是（ ）A ．712,35⎡⎤⎢⎥⎣⎦B ．712,35⎛⎫⎪⎝⎭ C ．167,73⎡⎤⎢⎥⎣⎦ D ．167,73⎛⎫⎪⎝⎭ 6．某食品加工厂2019年获利20万元，经调整食品结构，开发新产品．计划从2020年开始每年比上一年获利增加20%，则从（ ）年开始这家加工厂年获利超过60万元．（已知lg 20.3010=，lg30.4771=） A ．2024年 B ．2025年C ．2026年D ．2027年7．已知数列1a ，21a a ，…1nn a a -，…是首项为1，公比为2的等比数列，则2log n a =（ ）A ． (1)n n +B ．(1)4n n - C ．(1)2n n + D ．(1)2n n - 8．数列{}n a 的通项公式是*1()(1)n a n n n =∈+N ，若前n 项的和为1011，则项数为（ ）． A ．12B ．11C ．10D ．99．设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若10a >，81335a a =，则n S 中最大的是( ). A ．10SB ．11SC ．20SD ．21S10．已知1，1x ，2x ，7成等差数列，1，1y ，2y ，8成等比数列，点()11,M x y ，()22,N x y ，则直线MN 的方程是（ ）A ．10x y -+=B ．10x y --=C ．70x y --=D ．70x y +-=11．已知等比数列{}n a 中，若1324,,2a a a 成等差数列，则公比q =（ ） A ．1B ．1-或2C ．3D ．1-12．在1和19之间插入个n 数，使这2n +个数成等差数列，若这n 个数中第一个为a ，第n 个为b ，当116a b+取最小值时，n 的值是（ ） A ．4B ．5C ．6D ．7二、填空题13．设S n 是数列{}n a 的前n 项和，且*1111,20,3n n n a a S S n N ++=+=∈，则1223910S S S S S S ++⋅⋅⋅⋅⋅+=___________.14．已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，若121(2)n n S S n -=+≥且23S =，则55S a =_________． 15．已知{}n a 为等差数列，其公差为2-，且7a 是3a 与9a 的等比中项，n S 为{}n a 的前n 项和，则10S 的值为__________．16．等比数列{a n }的公比为q ，其前n 项的积为T n ，并且满足条件a 1>1，a 49a 50－1>0，(a 49－1)(a 50－1)<0.给出下列结论：①0<q<1；②a 1a 99－1<0；③T 49的值是T n 中最大的；④使T n >1成立的最大自然数n 等于98.其中所有正确结论的序号是____________．17．已知数列{}n a 的首项1a a =，其前n 项和为n S ，且满足()2*12,n n S S n n n N -+=≥∈，若对任意*n N ∈，1n n a a +<恒成立，则a 的取值范围是___________.18．已知数列{}n a 的前n 项和()2*32n n n S n +=∈N ，则数列11n n a a +⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前10项和为______．19．已知正项等比数列{}n a ，12q =，若存在两项m a 、n a12a =，则9m n-的最小值为___________. 20．在数列{}n a 中，11a =()*1n =∈N ；等比数列{}n b 的前n 项和为2n n S m =-．当n *∈N 时，使得n n b a λ≥恒成立的实数λ的最小值是_________．三、解答题21．已知正项数列{}n a 的前n 项和为n S ，141n n n S a a +=⋅+，11a =． （Ⅰ）求n a 和n S ；（Ⅱ）若2n an b =，数列{}n b 的前n 项和为n T ．记23411223341n n n n b b b bA TT T T T T T T ++=+++⋅⋅⋅+，1231111n n B S S S S =+++⋅⋅⋅+，求证：52n n A B +<，*n ∈N ． 22．已知{}n a 为等差数列，数列{}n b 的前n 和为1128,22,10n S a b a a ==+=，___________.在①112n n S b =-，②2n a n b λ=这两个条件中任选其中一个，补充在上面的横线上，并完成下面问题的解答(如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分).（1）求数列{}n a 和{}n b 的通项公式； （2）求数列{}n n a b +的前n 项和n T .23．已知()23f x x x =-，数列{}n a 前n 项和为n S ，且()n S f n =.（1）求数列{}n a 的通项公式n a ； （2）若数列{}n b 满足43nn na b =⨯，数列{}n b 的前n 项和为n T ，且对于任意*n ∈N ，总存在[]2,4x ∈，使得()n T mf x >成立，求实数m 的取值范围.24．已知{}n a 是公差不为0的等差数列，若1313,,a a a 是等比数列{}n b 的连续三项． （1）求数列{}n b 的公比； （2）若11a =，数列11n n a a +⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 和为n S 且99200n S >，求n 的最小值． 25．已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，且233n n S a =-.（1）求数列{}n a 的通项公式； （2）设3log n n b a =，11n n n c b b +=，求数列{}n c 的前n 项和n T . 26．已知数列{}n a 的前n 项和()2*N n S nn =∈，{}n b 是递增等比数列，且11b a =，35b a =.（1）求数列{}n a 和{}n b 的通项公式；（2）若()*N n n n c a b n =⋅∈，求数列{}n c 的前n 项和n T .【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题 1．C 解析：C 【分析】利用累加法可求得数列{}n a 的通项公式，利用裂项求和法可求得n S ，然后解不等式143n S n n ⎛⎫≥- ⎪⎝⎭即可得解.【详解】因为2132123n n a a a a a a n --=⎧⎪-=⎪⎨⋅⋅⎪⎪-=⎩，所以123n a n a =+-++，()11232n n n a n +∴=++++=, ()1211211n a n n n n ⎛⎫∴==- ⎪++⎝⎭，所以1111122122311n nS n n n ⎛⎫=⨯-+-++-=⎪++⎝⎭， 由21413n n S n n n ⎛⎫=≥- ⎪+⎝⎭，化简得2311200n n --≤，解得453n -≤≤， *n ∈N ，所以，满足143n S n n ⎛⎫≥- ⎪⎝⎭的n 的最大值为5.故选：C. 【点睛】方法点睛：数列求和的常用方法：（1）对于等差等比数列，利用公式法直接求和；（2）对于{}n n a b 型数列，其中{}n a 是等差数列，{}n b 是等比数列，利用错位相减法求和；（3）对于{}n n a b +型数列，利用分组求和法；（4）对于11n n a a +⎧⎫⎨⎬⎩⎭型数列，其中{}n a 是公差为()0d d ≠的等差数列，利用裂项相消法求和.2．C解析：C 【分析】根据已知递推关系求出数列{}n a 的奇数项加9成等比数列，偶数项加6成等比数列，然后求出2n S 后，检验141615,,S S S 可得． 【详解】当n 为奇数时，122232(3)329n n n n a a a a ---=+=++=+，所以292(9)n n a a -+=+，又1910a +=，所以1359,9,9,a a a +++成等比数列，公比为2，1219102n n a --+=⨯，即1211029n n a --=⨯-，当n 为偶数时，122323326n n n n a a a a ---=+=++=+，所以262(6)n n a a -+=+，又2134a a =+=，所以2469,9,9,a a a +++成等比数列，公比为2，126102n n a -+=⨯，即121026n n a -=⨯-，所以210(12)10(12)9620220151212n n n n S n n n --=-+-=⨯----，714202201572435S =⨯--⨯=，816202201584980S =⨯--⨯=， 7151415243510293706S S a =+=+⨯-=，所以满足4042m S >的正整数m 的最小值为16． 故选：C ． 【点睛】关键点点睛：本题考查由数列的递推关系求数列的和．解题关键是分类讨论，确定数列的奇数项与偶数项分别满足的性质，然后结合起来求得数列的偶数项的和2n S ，再检验n 取具体数值的结论．3．B解析：B 【分析】由已知，取1m =，则112n n n a a a a +=⋅=，得出数列{}n a 是以2为首项，2为公差的等比数列，根据等比数列的通项公式建立方程得可求得解． 【详解】因为数列{}n a 中，12a =，()*,N n m n m a a a n m +=⋅∈，所以取1m =，则112n n n a a a a +=⋅=，所以数列{}n a 是以2为首项，2为公差的等比数列，所以2nn a =，又1234480k k k k a a a a +++++++=，即12344220282k k k k +++++++=，即040238k ⨯=，解得4k =， 故选：B ． 【点睛】关键点点睛：解决本题的问题的关键在于令1m =，得出数列{}n a 是以2为首项，2为公差的等比数列，利用等比数列的通项公式建立方程得解．4．B解析：B 【分析】观察数列的前4项，可得(1)2n n n a +=，将100n =代入即可得解. 【详解】由题意得11a =，2312a ==+，36123a ==++，4101234a ==+++⋅⋅⋅ 观察规律可得(1)1232n n n a n +=+++⋅⋅⋅+=， 所以10010010150502a ⨯==. 故选：B. 【点睛】关键点点睛：本题考查了观察法求数列的通项公式，关键是将各项拆成正整数的和的形式发现规律.5．C解析：C 【分析】由1112222n n n n a a a Y n -+++⋅⋅⋅+==，可得1112222n n n n a a a -+=⋅+⨯++⋅⋅进而求得22n a n =+，所以()22n a tn t n -=-+可得{}n a tn -是等差数列，由6n S S ≤可得660a t -≥，770a t -≤，即可求解【详解】由1112222n n n n a a a Y n-+++⋅⋅⋅+==可得1112222n n n n a a a -+=⋅+⨯++⋅⋅，当2n ≥时()21212221n n n a a a n --+⋅=⋅-+⋅+，又因为1112222n n n a a n a -+=++⋅⋅⋅+，两式相减可得：()()11122221n n n n n n n n a -+=--=+，所以22n a n =+， 所以()22n a tn t n -=-+， 可得数列{}n a tn -是等差数列， 由6n S S ≤对任意的*n N ∈恒成立， 可得：660a t -≥，770a t -≤， 即()2620t -⨯+≥且()2720t -⨯+≤， 解得：16773t ≤≤，所以实数t 的取值范围是167,73⎡⎤⎢⎥⎣⎦， 故选：C 【点睛】关键点点睛：本题解题的关键点是由已知条件得出1112222n n n n a a a -+=⋅+⨯++⋅⋅再写一式可求得n a ，等差数列前n 项和最大等价于0n a ≥，10n a +≤，6．C解析：C 【分析】本题根据题意各年获利构成一个等比数列，然后得到通项公式，根据题意可得出关于n 的不等式，解出n 的值，注意其中对数式的计算． 【详解】由题意，设从2019年开始，第n 年的获利为()n a n *∈N万元，则数列{}n a 为等比数列，其中2019年的获利为首项，即120a =.2020年的获利为()2620120%205a =⋅+=⋅万元，2021年的获利为()223620120%205a ⎛⎫=⋅+=⋅ ⎪⎝⎭万元，∴数列{}n a 的通项公式为()16205n n n N a *-⎛⎫⋅⎪⎝⎭∈= ，由题意可得1620605n n a -⎛⎫=⋅> ⎪⎝⎭，即1635n -⎛⎫> ⎪⎝⎭，()65lg3lg3lg3lg30.47711log 3610lg 6lg52lg 2lg3120.30100.47711lg lg 23lg 52n ∴->=====-+-⨯+-⨯-6.03166=>，8n ∴≥，∴从2026年开始这家加工厂年获利超过60万元． 故选：C ．【点评】本题主要考查等比数列在实际生活中的应用，考查了等比数列的通项公式，不等式的计算，对数运算．属于中档题．7．D解析：D 【分析】根据题意，求得1nn a a -，再利用累乘法即可求得n a ，再结合对数运算，即可求得结果.【详解】由题设有111122(2)n n nn a n a ---=⨯=≥， 而(1)1213221121122(2)n n n n n n a aa a a n a a a -+++--=⨯⨯⨯⨯=⨯=≥，当1n =时，11a =也满足该式，故(1)22(1)n n n a n -=≥，所以2(1)log 2n n n a -=， 故选：D. 【点睛】本题考查利用累乘法求数列的通项公式，涉及对数运算，属综合基础题.8．C解析：C 【解析】分析：由已知，111(1)1n a n n n n ==-++，利用裂项相消法求和后，令其等于1011，得到n 所满足的等量关系式，求得结果.详解：111(1)1n a n n n n ==-++ ()n *∈N ，数列{}n a 的前n 项和11111(1)()()2231n S n n =-+-+⋯+-+ 1111n n n =-=++，当1011n S =时，解得10n =，故选C. 点睛：该题考查的是有关数列的问题，在解题的过程中，需要对数列的通项公式进行分析，选择相应的求和方法--------错位相减法，之后根据题的条件，建立关于n 的等量关系式，从而求得结果.9．C解析：C 【解析】分析：利用等差数列的通项公式，化简求得20210a a +=，进而得到20210,0a a ><，即可作出判定．详解：在等差数列{}n a 中，18130,35a a a >=，则113(7)5(12)a d a d +=+，整理得12390a d +=，即()()1119200a d a d +++=， 所以20210a a +=，又由10a >，所以20210,0a a ><，所以前n 项和n S 中最大是20S ，故选C ．点睛：本题考查了等差数列的通项公式，及等差数列的前n 项和n S 的性质，其中解答中根据等差数列的通项公式，化简求得20210a a +=，进而得到20210,0a a ><是解答的关键，着重考查了学生分析问题和解答问题的能力．10．B解析：B 【分析】本题先根据题意求出1x 、2x 、1y 、2y ，再写出点M 、N 的坐标并求MN k ，最后求直线MN 的方程即可. 【详解】解：∵1，1x ，2x ，7成等差数列，∴12121721x x x x +=+⎧⎨=+⎩，解得1235x x =⎧⎨=⎩，∵1，1y ，2y ，8成等比数列，∴12212181y y y y ⋅=⨯⎧⎨=⨯⎩，解得1224y y =⎧⎨=⎩∴点()3,2M ，()5,4N ，42153MN k -==- ∴直线MN 的方程：41(5)y x -=⨯-，即10x y --=.故选：B. 【点睛】本题考查等差中项，等比中项，根据两点求直线的一般式方程，是基础题.11．B解析：B 【分析】用等比数列的通项公式和等差中项公式求解. 【详解】因为1324,,2a a a 成等差数列，所以312242a a a =+，即2111242a q a a q =+，化简得220q q --=，解得1q =-或2q .故选B. 【点睛】本题考查等比数列与等差数列的综合运用.12．B解析：B 【分析】设等差数列公差为d ,可得20a b +=,再利用基本不等式求最值,从而求出答案. 【详解】设等差数列公差为d ,则119a d b d =+=-，,从而20a b +=, 此时0d >,故0,0a b >>,所以11616()()1161725b a a b a b a b ++=+++≥+=, 即116255204a b +=,当且仅当16b aa b =,即4b a =时取“=”, 又1,19a d b d =+=-,解得3d =,所以191(1)3n =++⨯,所以5n =, 故选:B . 【点睛】本题主要考查数列和不等式的综合运用,需要学生对所学知识融会贯通,灵活运用.二、填空题13．【分析】由代入化简求得再结合求和方法计算可得结果【详解】因为所以所以所以又所以数列是以为首项为公差的等差数列所以所以所以所以故答案为：【点晴】由代入化简求得数列是等差数列是解题的关键解析：17【分析】由11n n n a S S ++=-代入化简求得n S ，再结合求和方法计算可得结果. 【详解】因为1120n n n a S S +++= 所以1120n n n n S S S S ++-+= 所以112n n n n S S S S ++-=所以1112n nS S +-= 又11113S a == 所以数列1n S ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是以3为首项，2为公差的等差数列，所以()131221nn n S =+-⨯=+ 所以121n S n =+ 所以111111212322123n n S S n n n n +⎛⎫=⋅=- ⎪++++⎝⎭所以12239101111111111123557192123217S S S S S S ⎛⎫⎛⎫++⋅⋅⋅⋅⋅⋅+=-+-+⋅⋅⋅+-=-=⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ 故答案为：17【点晴】由11n n n a S S ++=-代入化简求得数列1n S ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是等差数列是解题的关键.14．【分析】先计算出数列的前两项分别为和由题意可知可得再结合得数列是首项为公比为的等比数列然后利用等比数列的相关公式计算【详解】由①得则所以得：②②-①得：即又成立所以数列是首项为公比为的等比数列则故故解析：3116.【分析】先计算出数列{}n a 的前两项分别为1和2，由题意可知()1121212n n nn S S S S n +-=+⎧⎨=+≥⎩可得()122n na n a +=≥，再结合212aa =得数列{}n a 是首项为1，公比为2的等比数列，然后利用等比数列的相关公式计算55S a . 【详解】由121(2)n n S S n -=+≥ ①得12121213S S a =+=+=，则11a =，所以2212a S a =-=，得：121n n S S +=+②，②-①得：()122n n a a n +=≥，即()122n na n a +=≥ 又212a a =成立，所以数列{}n a 是首项为1，公比为2的等比数列， 则4451216a a q =⋅==，()()55151********a q S q-⨯-===--，故553116Sa =. 故答案为：3116【点睛】本题考查利用递推关系式求解数列的通项公式，考查等比数列的通项公式、求和公式的应用，较简单.15．110【分析】根据题意求出首项再代入求和即可得【详解】是与的等比中项解得故答案为：110【点睛】本题主要考查等差数列等比数列的通项公式及等差数列求和是基础题解析：110 【分析】根据题意，求出首项120a =，再代入求和即可得． 【详解】31124a a d a =+=-，711612a a d a =+=-，911816a a d a =+=-，7a 是3a 与9a 的等比中项，()()2111(12)416a a a ∴-=--，解得120a =，()101102010921102S ∴=⨯+⨯⨯⨯-=．故答案为：110． 【点睛】本题主要考查等差数列、等比数列的通项公式及等差数列求和，是基础题．16．①②③④【解析】由条件a1>1a49a50－1>0(a49－1)(a50－1)<0可知a49>1a50<1所以0<q<1①对；∵a1a99＝<1②对；因为a49>1a50<1所以T49的值是Tn 中最解析：①②③④ 【解析】由条件a 1>1，a 49a 50－1>0，(a 49－1)(a 50－1)<0可知a 49>1，a 50<1，所以0<q <1，①对；∵a 1a 99＝250a <1，②对；因为a 49>1，a 50<1，所以T 49的值是T n 中最大的，③对；∵T n ＝a 1a 2a 3…a n ，又∵a 1a 98＝a 49a 50>1，a 1a 99＝250a <1，所以使T n >1成立的最大自然数n 等于98.故填①②③④.17．【分析】由化简可得从而可得由知则从而解得【详解】解：即即故由知；若对任意恒成立只需使即解得故故答案为：【点睛】本题考查了数列的性质的判断与应用同时考查了整体思想的应用及转化思想应用解析：24,33⎛⎫⎪⎝⎭【分析】由21n n S S n -+=化简可得1121n n S S n +--=+，从而可得22n n a a +-=，由1a a =知242a a =-，32a a =+，442a a =-，则1234a a a a <<<从而解得．【详解】解：21n n S S n -+=，21(1)n n S S n ++=+， 1121n n S S n +-∴-=+，即121n n a a n ++=+， 即2123n n a a n +++=+， 故22n n a a +-=， 由1a a =知2124a a +=， 214242a a a ∴=-=-， 32a a =+， 462a a =-；若对任意n ∈+N ，1n n a a +<恒成立， 只需使1234a a a a <<<， 即42262a a a a <-<+<-， 解得2433a <<，故24,33a ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭故答案为：24,33⎛⎫⎪⎝⎭． 【点睛】本题考查了数列的性质的判断与应用，同时考查了整体思想的应用及转化思想应用．18．【分析】根据可求得的通项公式经检验满足上式所以可得代入所求利用裂项相消法求和即可得答案【详解】因为所以所以又满足上式所以所以所以数列的前10项和为故答案为：【点睛】解题的关键是根据求得的通项公式易错 解析：532【分析】根据1(2)n n n a S S n -=-≥可求得n a 的通项公式，经检验，112a S ==满足上式，所以可得n a ，代入所求，利用裂项相消法求和，即可得答案. 【详解】因为()2*32n n n S n +=∈N ，所以2213(1)1352(2)22n n n n n S n --+--+==≥，所以221335231,(2)22n n n n n n n a S S n n -+-+=---≥==，又1131122a S ⨯+===满足上式， 所以()*31,n a n n N =-∈，所以111111(31)(32)3313+2n n a a n n n n +⎛⎫== ⎪-+-⎝⎭-， 所以数列11n n a a +⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前10项和为11111111115325582932323232⎛⎫⎛⎫-+-+⋅⋅⋅+-=⨯-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， 故答案为：532【点睛】解题的关键是根据1(2)n n n a S S n -=-≥，求得n a 的通项公式，易错点为，若11a S =满足上式，则写成一个通项公式的形式，若11a S =不满足上式，则需写成分段函数形式，考查计算化简的能力，属中档题.19．【分析】由等比数列的通项公式结合可得出利用基本不等式可求得的最小值【详解】由于则即则由已知可得因此当且仅当时等号成立所以的最小值为故答案为：【点睛】易错点睛：利用基本不等式求最值时要注意其必须满足的 解析：2【分析】12a =可得出4m n =-，利用基本不等式可求得9m n-的最小值. 【详解】12a =，则214m n a a a =，即221121111124m n m n a a q a q a +---⎛⎫⋅=⋅= ⎪⎝⎭，则22m n +-=， 4m n ∴=-，由已知可得m 、n *∈N ，因此，()9994442m n n n n n -=--=+-≥=， 当且仅当3n =时，等号成立，所以，9m n-的最小值为2. 故答案为：2.易错点睛：利用基本不等式求最值时，要注意其必须满足的三个条件：（1）“一正二定三相等”“一正”就是各项必须为正数；（2）“二定”就是要求和的最小值，必须把构成和的二项之积转化成定值；要求积的最大值，则必须把构成积的因式的和转化成定值；（3）“三相等”是利用基本不等式求最值时，必须验证等号成立的条件，若不能取等号则这个定值就不是所求的最值，这也是最容易发生错误的地方.20．【分析】分别求出的通项再构建新数列求出最大项后可得实数的最小值【详解】因为故是以1为首项以1为公差的等差数列所以当时是等比数列也适合故即又恒成立等价于恒成立令则当时当时故【点睛】方法点睛：含参数的数解析：9 4【分析】分别求出{}n a、{}n b的通项，再构建新数列212n nnc-=，求出{}n c最大项后可得实数λ的最小值.【详解】()*1n=∈N，故是以1为首项，以1为公差的等差数列，()11n n=+-⨯=，2*()na n n N∴=∈．当2n≥时，111(2)(2)2n n nn n nb S S m m---=-=---=，{}nb是等比数列，112b S m∴==-也适合12nnb-=，故21m-=即1m=，1*2()nnb n N-∴=∈．又n nb aλ≥恒成立等价于212nnλ-≥恒成立，2max max1()()2nnna nbλ-∴≥=，令212n nnc-=，则()2221121142222n n n n nnn n nc c--------=-=，当23n≤≤时，1-->n nc c，当4n≥时，10n nc c--<，故max39()4nc c==，94λ∴≥．【点睛】方法点睛：含参数的数列不等式的恒成立，可利用参变分离将参数的取值范围问题转化新数列的最值问题，后者可利用数列的单调性来处理.三、解答题21．（Ⅰ）21na n=-，*n∈Z，2nS n=；（Ⅱ）证明见解析.（Ⅰ）根据11,1,2n nn S n a S S n -=⎧=⎨-≥⎩，可得{}n a 的奇数项是以1为首项，4为公差的等差数列，偶数项是以3为首项，4为公差的等差数列，根据等差数列的通项公式及前n 项和公式计算可得；（Ⅱ）由（Ⅰ）可得212n n b -=，即可求出{}n b 的前n 项和为n T ，则11131124141n n n n n b T T +++⎛⎫=- ⎪--⎝⎭，再利用裂项相消法求和得出12n A <，再利用放缩法21111n n n <--得到122n B n<-<，即可得证； 【详解】解：（Ⅰ）∵141n n n S a a +=⋅+，11a =， ∴11241S a a =⋅+，∴23a =， 当2n ≥时，有1141n n n S a a --=+，∴11144n n n n n n S S a a a a ++--=-，∴()114n n n n a a a a +-=-， ∵0n a ≠，∴114n n a a +--=∴数列{}n a 的奇数项是以1为首项，4为公差的等差数列，2114(1)2(21)1n a n n -=+-=--，偶数项是以3为首项，4为公差的等差数列，234(1)221n a n n =+-=⋅-，∴21n a n =-，*n ∈Z ， ∴()21212n n n S n +-==．（Ⅱ）因为2n an b =，所以212n n b -=，()1352122222413n nn T -=+++⋅⋅⋅+=-， ()()()()2111111294311222241414141414133n n n n n n n n n n n b T T ++++++⎛⎫===- ⎪----⎝⎭--，1n =时，125A =，11B =，1152A B +<． 2n ≥时，2231311311311241412414124141n n n A +-⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+-+⋅⋅⋅+- ⎪ ⎪ ⎪------⎝⎭⎝⎭⎝⎭113111311234122412n n ++⎛⎫=+=-⋅< ⎪--⎝⎭．22111111111112222231n B n n n n ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=++⋅⋅⋅+<+-+-+⋅⋅⋅+-=-< ⎪ ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭⎝⎭． ∴52n n A B +<∴52n n A B +<，n *∈N ．【点睛】数列求和的方法技巧(1)倒序相加：用于等差数列、与二项式系数、对称性相关联的数列的求和． (2)错位相减：用于等差数列与等比数列的积数列的求和． (3)分组求和：用于若干个等差或等比数列的和或差数列的求和． 22．条件选择见解析；（1）n a n =，2nn b =；（2）212222n n n n T +=-++.【分析】选①（1）由等差数列的基本量法求出公差d 后可得通项公式n a ，再利用1(2)n n n b S S n -=-≥确定数列{}n b 是等比数列，从而得出通项公式n b ；（2）用分组（并项）求和法求和．选②（1）由等差数列的基本量法求出公差d 后可得通项公式，由112a b λ=求得λ，从而得通项公式n b ，并并确定其是等比数列； （2）用分组（并项）求和法求和． 【详解】 解：选①解：（1）设等差数列{}n a 的公差为d ，1281122,10,2810,1,1a a a a d a d =+=∴+=∴==， 1(1)1n a n n ∴=+-⨯=，由112n n S b =-，得()21n n S b =-， 当2n ≥时，()()112121n n n n n b S S b b --=-=---，即12n n b b -=，所以{}n b 是一个以2为首项，2为公比的等比数列.1222n n n b -∴=⨯=.（2）由（1）知2nn n a b n +=+，()()()1212222n n T n ∴=++++++，()12(12)222n n T n =+++++++， ()21212(1)2221222nn n n n n n T +-+∴=+=-++-.选②解：（1）设等差数列{}n a 的公差为d ，1281122,10,2810,1,1a a a a d a d =+=∴+=∴==， 1(1)1n a n n ∴=+-⨯=. 112,1,2n a n b a b λ===，令1n =，得112a b λ=，即22,1λλ=∴=，22n a n n b ∴==.（2）解法同选①的第（2）问解法相同. 【点睛】方法点睛：本题考查求等差数列和等比数列的通项公式，考查分组（并项）求和法． 数列求和的常用方法：设数列{}n a 是等差数列，{}n b 是等比数列，（1）公式法：等差数列或等比数列的求和直接应用公式求和； （2）错位相减法：数列{}n n a b 的前n 项和应用错位相减法； （3）裂项相消法；数列1{}n n ka a +（k 为常数，0n a ≠）的前n 项和用裂项相消法； （4）分组（并项）求和法：数列{}n n pa qb +用分组求和法，如果数列中的项出现正负相间等特征时可能用并项求和法；（5）倒序相加法：满足m n m a a A -+=（A 为常数）的数列，需用倒序相加法求和． 23．（1）24n a n =-；（2）11,,1224⎛⎫⎛⎫+∞⋃-∞- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭.【分析】（1）易知23n S n n =-，再利用通项与前n 项和关系11,1,2n n n S n a S S n -=⎧=⎨-≥⎩求解.（2）易得2424323n n n n n b --==⨯⨯，1160b =-<，20b =，3n ≥时，0n b >，则n T 的最小值为16-，再根据对于任意*n ∈N ，总存在[]2,4x ∈，使得()n T mf x >成立，由()min 16mf x ⎡⎤->⎣⎦求解. 【详解】（1）因为()23f x x x =-，()n S f n =，所以23n S n n =-，当2n ≥时，()()21131n S n n -=---，124n n n a S S n -=-=-，当1n =时，112a S ==-，也满足24n a n =-， 故24n a n =-.（2）因为24n a n =-，43nn na b =⨯， 所以2424323n n nn n b --==⨯⨯，1160b =-<，20b =， 当3n ≥时，0n b >，故12T T =为n T 的最小值，n T 的最小值为16-， 因为对于任意*n ∈N ，总存在[]2,4x ∈，使得()n T mf x >成立， 所以()min 16mf x ⎡⎤->⎣⎦， 因为[]2,4x ∈，()2239324f x x x x ⎛⎫=-=-- ⎪⎝⎭， 所以()[]2,4f x ∈-，当0m >时，()min16mf x ⎡⎤->⎣⎦，即126m ->-，解得112m >； 当0m <时，()min16mf x ⎡⎤->⎣⎦，即146m ->，解得124m <-， 0m =时，106->，显然不成立. 故实数m 的取值范围为11,,1224⎛⎫⎛⎫+∞⋃-∞- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭.【点睛】结论点睛：不等式的恒成立与有解问题，可按如下规则转化：一般地，已知函数()[],,y f x x a b =∈，()[],,y g x x c d =∈ （1）若[]1,x a b ∀∈，[]2,x c d ∀∈，总有()()12f x g x <成立，故()()2max min f x g x <； （2）若[]1,x a b ∀∈，[]2,x c d ∃∈，有()()12f x g x <成立，故()()2max max f x g x <； （3）若[]1,x a b ∃∈，[]2,x c d ∃∈，有()()12f x g x <成立，故()()2min min f x g x <； （4）若若[]1,x a b ∀∈，[]2,x c d ∃∈，有()()12f x g x =，则()f x 的值域是()g x 值域的子集 ．24．（1）5；（2）50. 【分析】（1）利用基本量代换，求出12d a =，直接求出公比； （2）裂项相消法求出n S ，解不等式即可.【详解】（1）设等差数列{}n a 的公差为d ，由1313,,a a a 是等比数列{}n b 的连续三项，得23113a a a =⋅，即()()2111212a d a a d +=⋅+，化简得2148d a d =．10,2d d a ≠∴=．设数列{}n b 的公比的公比为q ，则3111111245a a d a a q a a a ++====． （2）若11a =，则1111112,21,(21)(21)22121n n n d a n a a n n n n +⎛⎫==-==- ⎪-+-+⎝⎭， 111112133557(21)(21)n S n n ⎫⎛=++++⎪ ⨯⨯⨯-⨯+⎝⎭111111111111233557212122121nn n n n ⎛⎫⎛⎫=-+-+-++-=-= ⎪ ⎪-+++⎝⎭⎝⎭． 由99200n S >，得9999,212002n n n >∴>+，故n 的最小值为50．【点睛】(1)等差（比）数列问题解决的基本方法：基本量代换；(2)数列求和的方法：公式法、裂项相消法、错位相减法、倒序相加法．25．（1）3nn a =；（2）1n n T n =+. 【分析】（1）令1n =计算1a ，当2n ≥时，利用1222n n n a S S -=-可得{}n a 是等比数列，即可求解；（2）由{}n a 的通项公式可得{}n b 的通项，进而可得{}n c 的通项，利用裂项求和即可求解. 【详解】（1)当1n =时，1112233a S a ==-，13a ∴= 当2n ≥时，()()112223333n n n n n a S S a a --=-=---即13nn a a -=()2n ≥， ∴数列{}n a 为以3为首项，3为公比的等比数列.1333n n n a -∴=⨯=（2）.由3log n n b a =，得3log 3nn b n ==则()1111111n n n c b b n n n n +===-++， 11111111223111n n T n n n n =-+-++-=-=+++.【点睛】方法点睛：数列求和的方法（1）倒序相加法：如果一个数列{}n a 的前n 项中首末两端等距离的两项的和相等或等于同一个常数，那么求这个数列的前n 项和即可以用倒序相加法；（2）错位相减法：如果一个数列的各项是由一个等差数列和一个等比数列的对应项之积构成的，那么这个数列的前n 项和即可以用错位相减法来求；（3）裂项相消法：把数列的通项拆成两项之差，在求和时，中间的一些项可相互抵消，从而求得其和；（4）分组转化法：一个数列的通项公式是由若干个等差数列或等比数列或可求和的数列组成，则求和时可用分组转换法分别求和再相加减；（5）并项求和法：一个数列的前n 项和可以两两结合求解，则称之为并项求和，形如()()1n n a f n =-类型，可采用两项合并求解.26．（1）()*21n a n n N=-∈，()1*3n n b n N -=∈；（2）()*(1)31n n T n n N =-⨯+∈. 【分析】（1）首先根据n S 与n a 的关系求数列{}n a 的通项公式，再根据条件求等比数列{}n b 的基本量，求数列{}n b 的通项公式；（2）()1*(21)3n n n n c a b n n N -=⋅=-⋅∈，利用错位相减法求和.【详解】（1）当1n =时，111a S ==；当1n >时，221(1)21n n n a S S n n n -=-=--=-； 当n=1时符合上式，∴()*21n a n n N =-∈；∴111b a ==，359==b a ，∴数列{}n b 的公比3q =，∴()1*3n n b n N -=∈； （2）由（1）可得()1*(21)3n n n n c a b n n N -=⋅=-⋅∈， ∴2211231113353(23)3(21)3n n n n n T c c c c c n n ---=+++++=⨯+⨯+⨯+⋅⋅⋅+-⨯+-⨯，① 2313133353(23)3(21)3n n n T n n -=⨯+⨯+⨯+⋅⋅⋅+-⨯+-⨯，②①-②，整理得()*(1)31n n T n n N=-⨯+∈.【点睛】本题考查已知数列n S 与n a 的关系式，求通项公式，和错位相减法求和，一般数列求和包含1.公式法，利用等差和等比数列的前n 项和公式求解；2.错位相减法求和，适用于等差数列乘以等比数列的数列求和；3.裂项相消法求和，适用于能变形为()()1n a f n f n =+-， 4.分组转化法求和，适用于n n n c a b =+；5.倒序相加法求和.。
(典型题)高中数学必修五第一章《数列》检测题(包含答案解析)
一、选择题1．已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，11a =，23a =，且()11222n n nn S S S n +-+=+≥，若()()72n n S a n λλλ-++≥-对任意*n ∈N 都成立，则实数λ的最小值为（ ） A ．52-B ．116C ．332D ．12．若等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，首项10a >，202020210a a +>，202020210a a ⋅<，则满足0n S >成立的最大正整数n 是（ ） A ．4039B ．4040C ．4041D ．40423．在数列{}n a 中，11a =-，33a =，212n n n a a a ++=-（*n N ∈），则10a =（ ） A ．10B ．17C ．21D ．354．两个公比均不为1的等比数列{}{},n n a b ，其前．n 项的乘积．．．．分别为,n n A B ，若552a b =，则99A B =( ) A ．512B ．32C ．8D ．25．已知数列{}n a 的前n 项和n S 满足21n n S a =-.若对任意正整数n 都有10n n S S λ+-<恒成立，则实数λ的取值范围为（ ） A ．(),1-∞B ．12⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭，C ．13⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭，D ．14⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭，6．《张丘建算经》是我国北魏时期大数学家丘建所著，约成书于公元466485~年间，其记臷着这么一道题：某女子善于织布，一天比一天织得快，而且每天增加的数量相同. 已知第一天织布5尺，30天其织布390尺，则该女子织布每天增加的尺数（不作近似计算）为（ ） A ．1629B ．1627C ．1113D ．13297．已知等差数列{}n a 的首项为1a ，公差为d ，其前n 项和为n S ，若直线112y a x m =+与圆()2221x y -+=的两个交点关于直线0x y d +-=对称，则数列1n S ⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前10项和为（ ） A ．1011B ．910C ．89D ．28．记n S 为等比数列{}n a 的前n 项和，若数列{}12n S a -也为等比数列，则43a a =（ ）．A ．2B ．1C ．32D ．129．对于数列{}n a ，定义11233n nn a a a T n-+++=为{}n a 的“最优值”，现已知数列{}n a 的“最优值”3n n T =，记数列{}n a 的前n 项和为n S ，则20202020S=（ ） A ．2019B ．2020C ．2021D ．202210．已知数列{}n a 的通项公式为211n aa n n n=-+，5a 是数列{}n a 的最小项，则实数a 的取值范围是（ ） A ．[40,25]--B ．[40,0]-C ．[25,0]-D ．[25,0]-11．已知数列{}n a 满足123n n a a +-=，11a =，3n n b a =+，则10b =（ ） A ．92B ．103C ．2048D ．102412．已知{}n a 为等比数列，13527a a a =，246278a a a =，以n T 表示{}n a 的前n 项积，则使得n T 达到最大值的n 是（ ） A ．4B ．5C ．6D ．7二、填空题13．已知数列{}n a 的首项1a m =，其前n 项和为n S ，且满足2123n n S S n n ++=+，若数列{}n a 是递增数列，则实数m 的取值范围是_______． 14．设数列{}n a 是等比数列，公比2q，n S 为{}n a 的前n 项和，记219n nn n S S T a +-=（*n N ∈），则数列{}n T 最大项的值为__________． 15．已知数列{}n a 满足对*,m n N ∀∈，都有m n m n a a a ++=成立，72a π=，函数()f x =2sin 24cos 2xx +，记()n n y f a =，则数列{}n y 的前13项和为______． 16．无穷数列{}n a 满足：只要()*,p q a a p q N=∈，必有11p q aa ++=，则称{}n a 为“和谐递进数列”．已知{}n a 为“和谐递进数列”，且前四项成等比数列，151a a ==，22a =，则2021S =_________．17．在等比数列{}n a 中，2514,2==a a ，则公比q =__________． 18．下图中的一系列正方形图案称为谢尔宾斯基地毯.在图中4个大正方形中，着色的正方形的个数依次构成一个数列{}n a 的前4项，则数列{}n a 的一个通项公式为______.19．已知数列{}n a ，{}n b 的前n 项和分别为n S ，n T ，21nn n b a -=+，且1222n n n S T n ++=+-，则2n T =____．20．已知数列{}n a 的通项公式为()12n n a n =+⋅，若不等式()2235n n n a λ--<-对任意*n N ∈恒成立，则整数λ的最大值为_____.三、解答题21．已知等差数列{}n a 满足()()()()*122312(1)n n a a a a a a n n n N +++++⋅⋅⋅++=+∈． （1）求数列{}n a 的通项公式；（2）求数列2n n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和n S ．22．已知{}n a 是等差数列，{}n b 是递增的等比数列且前n 和为n S ，112822,10a b a a ==+=，___________.在①2345,,4b b b 成 等差数列，②12n n S λ+=+(λ为常数)这两个条件中任选其中一个，补充在上面的横线上，并完成下面问题的解答(如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分). （1）求数列{}n a 和{}n b 的通项公式； （2）求数列{}n n a b +的前n 项和n T . 23．已知数列{}n a 满足112a =，1223241n n n a a n ++-=-，n *∈N . （1）设121n n b a n =+-，求证：数列{}n b 是等比数列； （2）设数列1n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和为n S ，求证：3n S <，n *∈N .24．已知正项数列{}n a 、{}n b ，记数列{}n a 的前n 项和为n S ，若1143a b +=，21n n S a +=，2211(1)0n n n n nb b b n b ----+=（1）求数列{}n a 、{}n b 的通项公式； （2）求数列{}2n n a b 的前n 项和n T ． 25．已知数列{}n a ，11a =，121n n a a +=+.（1）求证数列{}1n a +是等比数列； （2）令()2log 1n n b a =+，求数列21n n b b +⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和n T . 26．已知数列{}n a 满足：12a =，()*112n n n a a n N n ++⎛⎫=∈ ⎪⎝⎭. （1）求数列{}n a 的通项公式； （2）求数列{}n a 的前n 项和n T ；（3）设2nn n b a =，数列{}n b 的前n 项和为n S ，求2n n S S -的最小值.【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题 1．C 解析：C 【分析】由n S 与n a 的关系得21nn a =-，则272n maxn λ-⎛⎫≥⎪⎝⎭，设272nn n c -=，利用数列的单调性即可求解． 【详解】解：数列{}n a 的前n 项和为n S ，11a =，23a =，且()11222n n nn S S S n +-+=+≥， 所以112nn n n n S S S S +--=+-，故()122nn n a a n +-=≥，因为1212a a -=，所以()121nn n a a n +-=≥，所以112n n n a a ---=，2122n n n a a ----=，⋯，1212a a -=， 则1211222n n a a --=++⋯+，故11211222121n n n n a --=++⋯+==--， 所以()123122122222221n n n nS n n n +-=+++⋯+-=-=---，所以21nn n S a n -=--，因为()()72n n S a n λλλ-++≥-对任意*n N ∈都成立，所以272nmaxn λ-⎛⎫≥ ⎪⎝⎭． 设272n n n c -=，则111252792222n n n nn n n nc c +++----=-=， 当4n ≤时，1n n c c +>，当5n ≥时，1n n c c +<， 因此1234567c c c c c c c <<⋯<><> 即5332c λ≥=，故λ的最小值为332． 故选：C 【点睛】本题解答的关键利用11,1,2n nn S n a S S n -=⎧=⎨-≥⎩求出数列n a 的递推公式，再利用累加法求出na 的通项；2．B解析：B 【分析】由等差数列的10a >，及202020210a a ⋅<得数列是递减的数列，因此可确定202020210,0a a ><，然后利用等差数列的性质求前n 项和，确定和n S 的正负．【详解】∵202020210a a ⋅<，∴2020a 和2021a 异号，又数列{}n a 是等差数列，首项10a >，∴{}n a 是递减的数列，202020210,0a a ><， 由202020210a a +>，所以140404040202020214040()2020()02a a S a a +==+>，14041404120214041()404102a a S a +==<，∴满足0n S >的最大自然数n 为4040． 故选：B ． 【点睛】关键点睛：本题求满足0n S >的最大正整数n 的值，关键就是求出100n n S S +><，，时成立的n 的值，解题时应充分利用等差数列下标和的性质求解,属于中档题.3．B解析：B 【分析】根据等式关系得到数列{}n a 为等差数列，求出公差得到其通项公式，最后代值求解即可. 【详解】212n n n a a a ++=-（*n N ∈），212n n n a a a ++∴+=，即数列{}n a 是等差数列， 11a =-，33a =，312a a d ∴=+即312d =-+，则公差2d =，则()11223n a n n =-+-⨯=-（*n N ∈）， 所以10210317a =⨯-=. 故选：B . 【点睛】关键点点睛：本题的解题关键是由题中所给关系得出其为等差数列，进而求出通项公式进行计算.4．A解析：A 【分析】直接利用等比数列的性质化简99A B ,再代入552a b =即得解. 【详解】由题得99912919285599129192855()()()2512()()()A a a a a a a a a aB b b b b b b b b b ⋅⋅⋅=====⋅⋅⋅. 故答案为A. 【点睛】(1)本题主要考查等比数列的性质，意在考查学生对该知识的掌握水平和分析推理能力.(2) 等比数列{}n a 中，如果m n p q +=+,则m n p q a a a a =,特殊地，2m p q =+时，则2·m p q a a a =，m a 是p q a a 、的等比中项. 5．C解析：C 【分析】先利用1,1,2n nn S n a S S n =⎧=⎨-≥⎩求出数列{}n a 的通项公式，于是可求出n S ，再利用参变量分离法得到1n n S S λ+<，利用数列的单调性求出数列1n n S S +⎧⎫⎨⎬⎩⎭的最小项的值，可得出实数λ的取值范围． 【详解】当1n =时，1121S a =-，即1121a a =-，得11a =；当2n ≥时，由21n n S a =-，得1121n n S a --=-，两式相减得122n n n a a a -=-，得12n n a a -=，12nn a a -∴=，所以，数列{}n a 为等比数列，且首项为1，公比为2，11122n n n a --∴=⨯=. 12122121n n n n S a -∴=-=⨯-=-，由10n n S S λ+-<，得()()11111112121112221212221n nn n n n n S S λ+++++---<===----，所以，数列1n n S S +⎧⎫⎨⎬⎩⎭单调递增，其最小项为122211213S S -==-，所以，13λ<， 因此，实数λ的取值范围是1,3⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭，故选C ．【点睛】本题考查利用数列前n 项和求数列的通项，其关系式为1,1,2n nn S n a S S n =⎧=⎨-≥⎩，其次考查了数列不等式与参数的取值范围问题，一般利用参变量分离法转化为数列的最值问题来求解，考查化归与转化问题，属于中等题．6．A解析：A 【解析】由题设可知这是一个等差数列问题，且已知13030,390a S ==，求公差d ．由等差数列的知识可得30293053902d ⨯⨯+=，解之得1629d =，应选答案A ． 7．A解析：A 【分析】由题意可知，直线112y a x m =+与直线0x y d +-=垂直，且直线0x y d +-=过圆心，可求得1a 和d 的值，然后利用等差数列的求和公式求得n S ，利用裂项法可求得数列1n S ⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前10项和. 【详解】 由于直线112y a x m =+与圆()2221x y -+=的两个交点关于直线0x y d +-=对称， 则直线112y a x m =+与直线0x y d +-=垂直，直线0x y d +-=的斜率为1-，则1112a =，可得12a =，且直线0x y d +-=过圆()2221x y -+=的圆心()2,0，则20d -=，可得2d =，()()112212n a a n d n n ∴=+-=+-=，则()()()122122n n n a a n n S n n ++===+，()111111n S n n n n ∴==-++， 因此，数列1n S ⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前10项和为1111111110112233410111111⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫-+-+-++-=-= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭.故选：A. 【点睛】本题考查裂项求和，同时也考查了直线与圆的综合问题，以及等差数列求和公式的应用，考查计算能力，属于中等题.8．D解析：D 【分析】分公比是否为1进行讨论，再利用等比数列的前n 项和公式及定义求解即可. 【详解】解：设等比数列{}n a 的公比为q ，当1q =时，()1111222n S a na a n a -=-=-， 则{}12n S a -不为等比数列，舍去， 当1q ≠时，()1111111222111n n n a q a aS a a q a qq q--=-=+----， 为了符合题意，需11201a a q -=-，得12q =，故4312a q a ==. 故选D ． 【点睛】本题考查等比数列的前n 项和公式，定义，考查逻辑推理能力以及运算求解能力，属于中档题.9．D解析：D 【分析】 根据11233n nn a a a T n-+++=，且3nn T =，得到112333n n n a a a n -+++=⋅，然后利用数列通项与前n 项和的关系求得21n a n =+，再利用等差数列求和公式求解. 【详解】∵11233n nn a a a T n-+++=，且3nn T =，∴112333n n n a a a n -+++=⋅，当2n ≥时，有()211213313n n n a a a n ---+++⋅=-⋅，两式相减可得：()()1113313213n n n n n a n n n ---⋅=⋅--⋅=+⋅.∴21n a n =+（2n ≥）. 当1n =时，13a =适合上式. ∴21n a n =+.则数列{}n a 是以3为首项，以2为公差的等差数列. ∴()202032202012020S 202220202+⨯+⨯==⨯.∴202020222020S =. 故选：D . 【点睛】本题主要考查数列通项与前n 项和的关系以及等差数列的定义和求和公式的应用，属于中档题.10．D解析：D 【分析】由题设得到5n a a ≥恒成立，参变分离后可得实数a 的取值范围. 【详解】由题设有5n a a ≥恒成立， 故21125555a an n n -+≥-+恒成立即()()()5565a n n n n---≥， 当6n ≥时，有()56a n n ≤-恒成立，故0a ≤， 当14n ≤≤时，有()56a n n ≥-恒成立，故25a ≥-， 当5n =时，a R ∈， 故250a -≤≤. 故选：D. 【点睛】本题考查数列的函数性质：最值问题，此类问题可利用函数的单调性来研究，也可以利用恒成立来研究，本题属于较难题.11．C解析：C 【分析】根据题意得到12n n b b +=，计算得到答案. 【详解】123n n a a +-=，()1323n n a a +∴+=+，即12n n b b +=， 14b =，910422048b ∴=⨯=.故选：C . 【点睛】本题考查了根据数列的递推式求通项公式，确定12n n b b +=是解题的关键.12．A解析：A 【分析】先求出首项和公比，得出{}n a 是一个减数列，前4项都大于1，从第五项开始小于1，从而得出结论． 【详解】{}n a 为等比数列，3135327a a a a ==，32464278a a a a ==， 33a ∴=，432a =，4312a q a ∴==，112a =，543·14a a q ==<． 故{}n a 是一个减数列，前4项都大于1，从第五项开始小于1， 以n T 表示{}n a 的前n 项积，则使得n T 达到最大值的n 是4， 故选：A ． 【点评】本题主要考查等比数列的性质，属于基础题．二、填空题13．【分析】利用退一作差法求得再求得根据列不等式解不等式求得的取值范围【详解】由可得：两式相减得：两式相减可得：数列是以为公差的等差数列数列是以为公差的等差数列将代入及可得：将代入可得要使得恒成立只需要解析：15,44⎛⎫⎪⎝⎭【分析】利用退一作差法求得114(3)n n a a n +--=≥，再求得234,,a a a ，根据1234a a a a <<<列不等式，解不等式求得m 的取值范围. 【详解】由2123n n S S n n ++=+可得：212(1)3(1)(2)n n S S n n n -+=-+-≥两式相减得：141(2)n n a a n n ++=+≥143(3)n n a a n n -∴+=-≥两式相减可得：114(3)n n a a n +--=≥∴数列2a ，4a ，6a ，...是以4为公差的等差数列，数列3a ，5a ，7a ，...是以4为公差的等差数列，将1n =代入2123n n S S n n ++=+及1a m =可得：252a m =-将2n =代入141(2)n n a a n n ++=+≥可得342a m =+42492a a m =+=-要使得*n N ∀∈，1n n a a +<恒成立 只需要1234a a a a <<<即可524292m m m m ∴<-<+<-解得1544m <<则m 的取值范围是15,44⎛⎫⎪⎝⎭. 故答案为：15,44⎛⎫ ⎪⎝⎭【点睛】本小题主要考查已知n S 求n a ，考查数列的单调性，属于中档题.14．【解析】数列是等比数列公比为的前项和当且仅当时取等号又或时取最大值数列最大项的值为故答案为 解析：3【解析】数列{}n a 是等比数列，公比q 2=，n S 为{}n a 的前n 项和，219()n n n n S S T n N a *+-=∈ ，2111(12)(12)9812129222n nn nn na a T a --⋅---∴==--⋅822n n +≥=， 当且仅当822nn =时取等号， 又,1n N n *∈=或2 时，n T 取最大值19243T =--= ．∴ 数列{}n T 最大项的值为3 ．故答案为3 ．15．【分析】由题意可得为常数可得数列为等差数列求得的图象关于点对称运用等差数列中下标公式和等差中项的性质计算可得所求和【详解】解：对都有成立可令即有为常数可得数列为等差数列函数由可得的图象关于点对称可得 解析：26【分析】由题意可得11n n a a a +-=，为常数，可得数列{}n a 为等差数列，求得()f x 的图象关于点,22π⎛⎫⎪⎝⎭对称，运用等差数列中下标公式和等差中项的性质，计算可得所求和． 【详解】 解：对*,m n ∀∈N ，都有m n m n a a a ++=成立，可令1m =即有11n n a a a +-=，为常数， 可得数列{}n a 为等差数列， 函数2()sin 24cos 2xf x x =+sin 22(1cos )x x =++， 由()()()sin 221cos f x fx x x π+-=++()()()sin 221cos 4x x ππ+-++-=，可得()f x 的图象关于点,22π⎛⎫⎪⎝⎭对称，113212a a a a +=+=6872a a a π=+==，∴()()()()113212f a f a f a f a +=+=()()()6874,2f a f a f a =+==，∴可得数列{}n y 的前13项和为46226⨯+=．故答案为26． 【点睛】本题考查等差数列的性质，以及函数的对称性及运用，化简运算能力，属于中档题．16．7576【分析】根据新定义得数列是周期数列从而易求得【详解】∵成等比数列∴又为和谐递进数列∴…∴数列是周期数列周期为4∴故答案为：7576【点睛】本题考查数列新定义解题关键是由数列新定义性质得出数列解析：7576 【分析】根据新定义得数列是周期数列，从而易求得2021S ． 【详解】∵1234,,,a a a a 成等比数列，121,2a a ==，∴344,8a a ==，又15a a =，{}n a 为“和谐递进数列”，∴26a a =，37a a =，48a a =，59a a =，…， ∴数列{}n a 是周期数列，周期为4． ∴2021505(1248)17576S =⨯++++=． 故答案为：7576．【点睛】本题考查数列新定义，解题关键是由数列新定义性质得出数列为周期数列，从而易得结论．17．【分析】本题先用表示再建立方程组解题即可【详解】解：∵是等比数列∴∵∴解得：故答案为：【点睛】本题考查等比数列的基本量法是基础题 解析：12【分析】本题先用1a ，q 表示2a ，5a ，再建立方程组21451412a a q a a q ==⎧⎪⎨==⎪⎩解题即可. 【详解】解：∵ {}n a 是等比数列，∴ 21a a q =，451a a q∵24a =，512a =，∴ 21451412a a q a a q ==⎧⎪⎨==⎪⎩，解得：1812a q =⎧⎪⎨=⎪⎩， 故答案为：12. 【点睛】本题考查等比数列的基本量法，是基础题.18．【分析】根据图象的规律得到前后两项的递推关系然后利用迭代法求通项并利用等比数列求和【详解】由图分析可知依次类推数列是首项为1公比为8的等比数列所以故答案为：【点睛】关键点点睛：本题的关键是迭代法求通解析：817n n a -= 【分析】根据图象的规律，得到前后两项的递推关系，然后利用迭代法求通项，并利用等比数列求和. 【详解】由图分析可知11a =，218181a a =⨯+=+，23281881a a =⨯+=++， 依次类推，1288...1n n n a --=+++，数列{}18n -是首项为1，公比为8的等比数列，所以1881187n n n a --==-， 故答案为：817n n a -=【点睛】关键点点睛：本题的关键是迭代法求通项，重点是得到前后两项的递推关系.19．【解析】所以 解析：22(1)4n n n +++-【解析】1112222n n n n n T S b a b a b a n +-=-+-++-=+-所以222(1)4n n n n n n T T S S T n n +=-++=++-20．4【分析】根据题意等价变形得对任意恒成立再求数列的最大值即可得答案【详解】解：∵∴不等式等价于记∴时即时数列单调递减又∵∴∴即∴整数的最大值为4故答案为：4【点睛】本题考查根据数列不等式恒成立求参数解析：4 【分析】根据题意等价变形得2352nn λ-->对任意*n N ∈恒成立，再求数列232nn n b -=的最大值即可得答案. 【详解】解：∵()102nn a n =+⋅>，∴不等式()2235n n n a λ--<-等价于2352nn λ-->， 记232n nn b -=，112121223462n n n n n b n n b n ++--==--， ∴3n ≥时，11n nb b +<，即3n ≥时数列单调递减， 又∵ 1211,24b b =-=， ∴ ()3max 38n b b ==， ∴358λ->，即337588λ<-=，∴整数λ的最大值为4. 故答案为：4. 【点睛】本题考查根据数列不等式恒成立求参数，考查化归转化思想，是中档题.三、解答题21．（1）21n a n =-；（2）2332n nn S +=-.【分析】（1）利用已知条件列出关于首项与公差的方程组，解方程组即得数列{}n a 的通项公式；（2）先由（1）得到n n n a 2n 122-=，再利用错位相减法求和即可. 【详解】（1）设等差数列{}n a 的公差为d ，由已知得()()121223412a a a a a a +=⎧⎨+++=⎩，即122348a a a a +=⎧⎨+=⎩，所以()()()1111428a a d a d a d ⎧++=⎪⎨+++=⎪⎩，解得112a d =⎧⎨=⎩， 所以21n a n =-． （2）由（1）得n n n a 2n 122-=， 所以1212321223212n n n n n S ---=++⋯++，① 231123212222213n n n n n S +--=++⋯⋯++，② -①②得：21111112132322222222n n n n n n S ++-+⎛⎫=+⨯+⋯+-=- ⎪⎝⎭，所以2332n nn S +=-． 【点睛】易错点睛：用错位相减法求和应注意的问题（1）要善于识别题目类型，特别是等比数列公比为负数的情形；（2）在写出“n S ”与“n qS ”的表达式时应特别注意将两式“错项对齐”以便下一步准确写出“n n S qS -”的表达式；（3）在应用错位相减法求和时，若等比数列的公比为参数，应分公比等于1和不等于1两种情况求解.22．条件选择见解析；（1）n a n =，2n n b =；（2）212222n n n n T +=-++.【分析】选①，（1）列出关于首项与公差、首项与公比的方程组，求出首项与公差、首项与公比，从而求出数列{}n a 和{}n b 的通项公式；（2）由（1）知2nn n a b n +=+，利用分组求和法，结合等差数列与等比数列的求和公式求解即可.选②，（1）列出关于首项与公差的方程组可求出数列{}n a 的通项公式，利用1n n n b S S -=-可求{}n b 的通项公式；（2）由（1）知2n n n a b n +=+，利用分组求和法，结合等差数列与等比数列的求和公式求解即可. 【详解】 选①解：（1）设等差数列{}n a 的公差为d ，1281122,10,2810,1,1a a a a d a d =+=∴+=∴==， 1(1)1n a n n ∴=+-⨯=.由题意知132452,24b b b b ⎛⎫=⋅=+⎪⎝⎭，得324522b b b =+， 设等比数列{}n b 的公比为2222,522q b q b b q ⋅=+，即22520q q -+=，解得2q，或12q =，由数列{}n b 为递增等比数列可知12q =不合题意， 所以{}n b 是一个以2为首项，2为公比的等比数列.1222n n n b -∴=⨯=（2）由（1）知2nn n a b n +=+，()()()()1231222322n n T n ∴=++++++⋯++，()123(123)2222n n T n ∴=+++⋯+++++⋯+， ()212(1)212nn n n T -+∴=+-212222n n n n T +∴=-++.选②解：（1）设等差数列{}n a 的公差为d ，1281122,10,2810,1,1a a a a d a d =+=∴+=∴==， 1(1)1n a n n ∴=+-⨯=.令1n =，则111112,42,2S b S λλλ+=+∴==+=∴=-，122n n S +∴=-当2n ≥时，()()1122222n n n n n n b S S +-=-=---=当1n =时，12b =也满足上式.2n n b =（2）由（1）知2nn n a b n +=+，()()()()1231222322n n T n ∴=++++++⋯++， ()123(123)2222n n T n ∴=+++⋯+++++⋯+， ()212(1)212nn n n T -+∴=+-212222n n n n T +∴=-++.【点睛】方法点睛：利用“分组求和法”求数列前n 项和常见类型有两种：一是通项为两个公比不相等的等比数列的和或差，可以分别用等比数列求和后再相加减；二是通项为一个等差数列和一个等比数列的和或差，可以分别用等差数列求和、等比数列求和后再相加减. 23．（1）证明见解析；（2）证明见解析. 【分析】（1）直接利用定义证明12n n b b +=即得证；（2）分析得到211321n n a -≤⋅-，再利用等比数列求和得证. 【详解】 解：（1）121n n b a n =+-，1223241n n n a a n ++-=-， 则1122123142222222141214121n n n n n n n n b a a a a b n n n n n ++++=+=++=+=+=+-+--， 又11312b a =+=， 所以数列{}n b 是等比数列； （2）由（1）得，1232322n n n b --=⋅=⋅，N n *∈， 213221n n a n -∴=⋅--，N n *∈， 211n -≥，23210n n a -∴≥⋅->，211321n n a -∴≤⋅-， 当2n ≥时，21231111111111222+23312222211112251132112n n n n n S ----⎛⎫- ⎪⎝⎭<++++=+<+=-<-++++⋅-，又11123S a ==<， 综上，3n S <，n *∈N . 【点睛】方法点睛：证明数列不等式常用的方法有：（1）比较法；（2）综合法；（3）分析法；（4）数学归纳法；（5）放缩法；（6）反证法.要根据已知条件灵活选择方法求解. 24．（1）13n n a =，12n n b +=；（2）151144323n n n n T -+=--⋅⋅ 【分析】（1）由1n =求得1a ，再風1b ，然后由11n n n a S S ++=-得到数列{}n a 的递推关系，知其为等比数列，从而得通项公式，由n b 的递推关系得1(1)n n nb n b -=+，用累乘的方法求得n b ；（2）用错位相减法求和n T ． 【详解】（1）由题意知：1111221S a a a +=+=,113a =，∴11413b a =-=， ∵1121,21n n n n S a S a +++=+= ∴111333n n n n a a q a +=⇒=⇒= 又∵()[]11(1)0,0n n n n n b b nb n b b --+⋅-+=> ∴121121131(1)122n n n n n n n b b b n n n nb n b b b b b n n ----++=+⇒⋅=⋅⋅⇒=-（1b 也适合）， （2）∵123n n n n a b += ∴2323413333n n n T +=++++ 231123133333n n n n T ++=++++ ∴12311111221111219313333333313n n n n n n n T -++⎛⎫- ⎪++⎝⎭=++++-=+-- 11211113633n n n -++⎛⎫=+-- ⎪⎝⎭ ∴151144323n n nn T -+=--⋅⋅． 【点睛】本题考查求等比数列的通项公式，累乘法求通项公式，错位相减法求和．数列求和的常用方法：设数列{}n a 是等差数列，{}n b 是等比数列，（1）公式法：等差数列或等比数列的求和直接应用公式求和； （2）错位相减法：数列{}n n a b 的前n 项和应用错位相减法； （3）裂项相消法；数列1{}n n ka a +（k 为常数，0n a ≠）的前n 项和用裂项相消法； （4）分组（并项）求和法：数列{}n n pa qb +用分组求和法，如果数列中的项出现正负相间等特征时可能用并项求和法；（5）倒序相加法：满足m n m a a A -+=（A 为常数）的数列，需用倒序相加法求和．25．（1）证明见解析；（2）()()235412n n nT n n +=++【分析】（1）利用等比数列的定义变形为()1121n n a a ++=+，证明数列{}1n a +是等比数列；（2）首先求数列{}n b 的通项公式，再利用裂项相消法求和. 【详解】 （1）121n n a a +=+，()1121n n a a +∴+=+，即1121n n a a ++=+，且112a +=， 所以数列{}1n a +是公比为2的等比数列；（2）由（1）可知11222n nn a -+=⋅=， 所以2log 2nn b n ==，()211111222n n b b n n n n +⎛⎫==- ⎪++⎝⎭， 则11111111111...232435112n T n n n n ⎛⎫=-+-+-++-+- ⎪-++⎝⎭111112212n n ⎛⎫=+-- ⎪++⎝⎭()()235412n n n n +=++ 【点睛】关键点点睛：本题第二问考查裂项相消法求和，这样的形式不是连续相消，如果前面剩下两个正数项，那么最后一定剩下两个负数项.26．（1）2nn a n =⋅；（2）()1122n n T n +=-⋅+；（3）12.【分析】（1）利用累乘法可求得数列{}n a 的通项公式； （2）利用错位相减法可求得数列{}n a 的前n 项和n T ；（3）令2n n n c S S =-，分析数列{}n c 的单调性，由此可求得2n n S S -的最小值. 【详解】（1）数列{}n a 满足：12a =，()*112n n n a a n N n ++⎛⎫=∈ ⎪⎝⎭， 则2140a a =>，323202a a =⨯>，，以此类推，对任意的n *∈N ，0n a >，由已知条件可得()121n n n a a n++=， 3211212223222121n n n n a a a na a n a a a n -⨯⨯=⋅⋅⋅⋅=⨯⨯⨯⨯=⋅-； （2）1231222322n n T n =⨯+⨯+⨯++⨯，()23121222122n n n T n n +=⨯+⨯++-⨯+⨯，上式-下式得()()2311121222222212212n n n n n n T n n n +++--=++++-⋅=-⋅=-⋅--，因此，()1122n n T n +=-⋅+；（3）21n n n b a n ==，则111123n S n=++++， 令2n n n c S S =-，则()()()()122122221n n n n n n n n n n c c S S S S S S S S +++++-=---=---()()11111102221121222122n n n n n n n =+-=-=>+++++++，则1n n c c +>， 则数列{}n c 为单调递增数列，所以，数列{}n c 的最小值为12112c S S =-=. 【点睛】方法点睛：数列求和的常用方法：（1）对于等差等比数列，利用公式法直接求和；（2）对于{}n n a b 型数列，其中{}n a 是等差数列，{}n b 是等比数列，利用错位相减法求和；（3）对于{}n n a b +型数列，利用分组求和法；（4）对于11n n a a +⎧⎫⎨⎬⎩⎭型数列，其中{}n a 是公差为()0d d ≠的等差数列，利用裂项相消法求和.。
(常考题)北师大版高中数学必修五第一章《数列》测试(有答案解析)
一、选择题1．记无穷数列{}n a 的前n 项12,,,n a a a …的最大项为n A ，第n 项之后的各项12,n n a a ++，···的最小项为n B ，令n n n b A B =-，若数列{}n a 的通项公式为2276n a n n =-+，则数列{}n b 的前10项和为（ ）A ．169-B ．134-C ．103-D ．78-2．我国古代数学名著《孙子算经》载有一道数学问题：“今有物不知其数，三三数之剩二，五五数之剩二，七七数之剩二，问物几何?”根据这一数学思想，所有被3除余2的整数从小到大组成数列{}n a ，所有被5除余2的正整数从小到大组成数列{}n b ，把数{}n a 与{}n b 的公共项从小到大得到数列{}n c ，则下列说法正确的是（ ） A ．122a b c +=B ．824b a c -=C ．228b c =D ．629a b c =3．已知数列{}n a 中，12a =，()*,N n m n m a a a n m +=⋅∈，若1234480k k k k a a a a +++++++=，则k =（ ）A ．3B ．4C ．5D ．64．在正项等比数列{}n a 中，若3788a a a =，2105a a +=，则公比q =（ ） A ．122B ．122或1212⎛⎫ ⎪⎝⎭C ．142D ．142或1412⎛⎫ ⎪⎝⎭5．在等比数列{n a }中，13a =，424a =，则345a a a ++的值为（ ） A ．33B ．72C ．84D ．1896．记n S 为等比数列{}n a 的前n 项和.若2342S S S =+，12a =，则2a =（ ） A ．2B ．-4C ．2或-4D ．47．已知递增的等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，175a a ⋅=，266a a +=，对于n *∈N ，不等式1231111+++⋅⋅⋅+<nM S S S S 恒成立，则整数M 的最小值是（ ） A ．1B ．2C ．3D ．48．已知数列{}n a 的前n 项的和为n S ，且()23n n S a n n N *=-∈，则（ ） A ．{}n a 为等比数列 B ．{}n a 为摆动数列 C ．1329n n a +=⨯-D ．6236n n S n =⨯--9．已知{}n a 是公比为整数的等比数列，设212n nn na ab a -+=，n ∈+N ，且113072b =，记数列{}n b 的前n 项和为n S ，若2020n S ≥，则n 的最小值为（ ） A ．11B ．10C ．9D ．810．在等比数列{}n a 中，48,a a 是关于x 的方程21040x x ++=的两个实根，则2610a a a =（ ） A ．8B ．8-C ．4D ．88-或11．若a ，b 是函数()()20,0f x x px q p q =-+>>的两个不同的零点，a ，b ，2-这三个数适当排序后可成等比数列，点(),2a b 在直线2100x y +-=上，则p q +的值等于（ ） A ．6B ．7C ．8D ．912．已知定义域为R 的函数f (x )满足f (x )=3f (x +2)，且1224,[0,1)()3,[1,2]x x f x x x x -⎧⎪∈=⎨⎪-+∈⎩，设f (x )在[2n -2,2n )上的最大值为*()n a n N ∈，且数列{a n }的前n 项和为S n ，若S n <k 对任意的正整数n均成立，则实数k 的取值范围为（ ） A ．27,8⎛⎫+∞⎪⎝⎭B ．27,8⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭C ．27,4⎛⎫+∞⎪⎝⎭D ．27,4⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭二、填空题13．数列{}n a 中，1111,,21n n n a a a a --==+则n a =_____________.14．设数列{}n a 满足12a =，26a =，且2122n n n a a a ++-+=，则n a =______. 15．在平面直角坐标系xOy 中，直线l 经过坐标原点，()3,1n =是l 的一个法向量.已知数列{}n a 满足：对任意的正整数n ，点()n 1n a ,a +均在l 上，若2a 6=，则3a 的值为______．16．等比数列{a n }的公比为q ，其前n 项的积为T n ，并且满足条件a 1>1，a 49a 50－1>0，(a 49－1)(a 50－1)<0.给出下列结论：①0<q<1；②a 1a 99－1<0；③T 49的值是T n 中最大的；④使T n >1成立的最大自然数n 等于98.其中所有正确结论的序号是____________． 17．等比数列{}n a 的各项均为正数，且2414a a =，则2122232425log log log log log a a a a a ++++=___________.18．已知公差不为0的等差数列的首项12a =，前n 项和为n S ，且________（①1a ，2a ，4a 成等比数列；②(3)2n n n S +=；③926a =任选一个条件填入上空）.设3n n a b =，n n n a c b =，数列{}n c 的前n 项和为n T ，试判断n T 与13的大小. 19．若数列{}n a 满足12a =，141n n a a +=+，则使得22020n a ≥成立的最小正整数n 的值是______.20．若数列}{n a2*3()n n n N =+∈，则n a =_______．三、解答题21．已知数列{}n a 的前n 项和为n S 满足2n S n n =+，数列{}n b 是公比为正数的等比数列，满足14b =，351024b b =. （1）求数列{}n a 、{}n b 的通项公式； （2）若11n n n c a a +=，求数列{}n c 的前n 项和n T . 22．已知公差不为零的等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，525S =，1a ，2a ，5a 成等比数列.（1）求数列{}n a 的通项公式；（2）若等差数列{}2log n b 的首项为1，公差为1，求数列{}n n a b 的前n 项和n T .23．已知数列{}n a 的前n 项和2n S n =．等比数列{}n b 的前n 项和为n T ，公比1q ≠且653222b b b b -=-，430T =．（1）求数列{}n a ，{}n b 的通项公式；（2）记1122n n n Q a b a b a b =++⋯+，是否存在正整数,(1)m k m k <<，使得m Q 是13Q 与k Q 的等差中项？若存在，求出所有m ，k 的值；若不存在，请说明理由.24．已知数列{}n a 的前n 项和为21n S n n =++．（1）求这个数列的通项公式； （2）设()11n n n b n a a *+=∈N ，证明：对n *∀∈N ，数列{}n b 的前n 项和524n T <． 25．已知数列n A ：1a ，2a ，…，()2n a n ≥满足：①11a =；②()121,2,,1k ka k n a +==-.记()12n n S A a a a =+++.（1）直接写出()3S A 的所有可能值； （2）证明：()0n S A >的充要条件是0n a >； （3）若()0n S A >，求()n S A 的所有可能值的和.26．在①222n n S n a =+，②3516a a +=且3542S S +=，③2142n n S n S n +=+且756S =这三个条件中任选一个，补充在下面的问题中，并加以解答．问题：设数列{}n a 为等差数列，其前n 项和为n S ，_________．数列{}n b 为等比数列，11b a =，23b a =．求数列1n n b S ⎧⎫+⎨⎬⎩⎭的前n 项和n T ．【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题 1．A 解析：A 【分析】先利用单调性依次写出前几项，再根据规律求和即可. 【详解】数列{}n a 的通项公式为2276n a n n =-+，故从2a 起单调递增，且1231,0,3a a a ===， 所以11112101b A B a a =-=-=-=，22213b A B a a =-=-，33334b A B a a =-=-，44445b A B a a =-=-，…，1010101011b A B a a =-=-，又2112117116171a =⨯-⨯+=，所以数列{}n b 的前10项和为()()()()12101334451011...1...b b b a a a a a a a a +++=+-+-+-++-111111171169a a =+-=+-=-.故选：A. 【点睛】 关键点点睛：本题的解题关键在于发现数列从2a 起单调递增，才能依次确定{}n b 的项，找到规律，突破难点.2．C解析：C 【分析】根据题意数列{}n a 、{}n b 都是等差数列，从而得到数列{}n c 是等差数列，依次对选项进行判断可得答案. 【详解】根据题意数列{}n a 是首项为2，公差为3的等差数列， 23(1)31n a n n =+-=-， 数列{}n b 是首项为2，公差为5的等差数列，25(1)53n b n n =+-=-，数列{}n a 与{}n b 的公共项从小到大得到数列{}n c ，故数列{}n c 是首项为2，公差为15的等差数列，215(1)1513n c n n =+-=-，对于A ， 12222539,1521317a b c +=+⨯-==⨯-=， 122a b c +≠，错误；对于B ， 82458332132,1541347b a c -=⨯--⨯+==⨯-=，824b a c -≠，错误； 对于C ， 2285223107,15813107b c =⨯-==⨯-=，228b c =，正确；对于D ， ()()629361523119,15913122a b c =⨯-⨯⨯-==⨯-=，629a b c ≠，错误. 故选：C. 【点睛】本题考查了等差数列的定义、通项公式，解题的关键是利用数列{}n a 、{}n b 都是等差数列得到数列{}n c 的通项公式，考查了理解能力和计算能力.3．B解析：B 【分析】由已知，取1m =，则112n n n a a a a +=⋅=，得出数列{}n a 是以2为首项，2为公差的等比数列，根据等比数列的通项公式建立方程得可求得解． 【详解】因为数列{}n a 中，12a =，()*,N n m n m a a a n m +=⋅∈，所以取1m =，则112n n n a a a a +=⋅=，所以数列{}n a 是以2为首项，2为公差的等比数列，所以2nn a =，又1234480k k k k a a a a +++++++=，即12344220282k k k k +++++++=，即040238k ⨯=，解得4k =， 故选：B ． 【点睛】关键点点睛：解决本题的问题的关键在于令1m =，得出数列{}n a 是以2为首项，2为公差的等比数列，利用等比数列的通项公式建立方程得解．4．D解析：D 【分析】由等比数列的性质可得出关于2a 、10a 的方程组，进而可求得等比数列{}n a 的公比. 【详解】由3788a a a =得()326753111168a q a q a q a q a ⋅⋅===，即62a =．22106()4a a a ∴==，又2105a a +=，解得21014a a =⎧⎨=⎩或21041a a =⎧⎨=⎩，0q >，11181084242a q a ⎛⎫∴=== ⎪⎝⎭或1111884104211242a q a -⎛⎫⎛⎫⎛⎫==== ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭．故选：D.【点睛】关键点点睛：本题的解题关键就是利用等比数列下标和的性质建立有关2a 、10a 的方程组，通过求出2a 、10a 的值，结合等比数列的基本量来进行求解.5．C解析：C 【分析】根据341a a q =，可求出q ，再根据等比数列通项公式求出35,a a 即可.【详解】因为341a a q =，即3243q =，所以2q，所以22313212a a q ==⨯=，44513248a a q ==⨯=，所以34512244884a a a ++=++=. 故选：C 【点睛】本题主要考查等比数列的通项公式的应用，属于基础题.6．B解析：B 【分析】利用等比数列的前n 项和公式求出公比，由此能求出结果． 【详解】∵n S 为等比数列{}n a 的前n 项和，2342S S S =+，12a =，∴()()()34212122211q q q qq--+=+--，解得2q =-，∴214a a q ==-，故选B ． 【点睛】本题主要考查等比数列的性质以及其的前n 项和等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．7．C解析：C 【分析】先求出等差数列的1a 和d ，由等差数列前n 项和公式得n S ，把1nS 拆成两项的差，用裂项相消法求得和12111nS S S +++，在n 变化时，求得M 的范围，得出结论． 【详解】∵{}n a 是等差数列，∴17266a a a a +=+=，由171765a a a a +=⎧⎨=⎩解得1715a a =⎧⎨=⎩或1751a a =⎧⎨=⎩，又{}n a 是递增数列，∴1715a a =⎧⎨=⎩，715127163a a d --===-， 1(1)(1)(2)233n n n n n n n S na d n --+=+=+=， 121113331324(2)n S S S n n +++=+++⨯⨯+3111111112324112n n n n ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+-++-+- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥-++⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦31119311122124212n n n n ⎛⎫⎛⎫=+--=-+ ⎪ ⎪++++⎝⎭⎝⎭94<， 由不等式1231111+++⋅⋅⋅+<n M S S S S 恒成立，得94M ≥，∴最小的整数3M =． 故选：C ． 【点睛】本题考查不等式恒成立问题，考查等差数列的性质，等差数列的通项公式和前n 项和公式，裂项相消法求和，本题属于中档题．8．D解析：D 【分析】利用已知条件求出数列{}n a 的通项公式，再求出{}n a 的前n 项的和为n S ，即可判断四个选项的正误. 【详解】因为23n n S a n =-①，当1n =时，1123a a =-，解得：13a =， 当2n ≥时，()11231n n S a n --=--②，①-②得：1223n n n a a a -=--，即123n n a a -=+，所以()1323n n a a -+=+，所以{}3n a +是以6为首项，2为首项的等比数列，所以1362n n a -+=⨯，所以1623n n a -=⨯-，所以{}n a 不是等比数列，{}n a 为递增数列，故A B 、不正确，()11263623612n n n S n n ⨯-=⨯-=⨯---，故选项C 不正确，选项D 正确.故选：D 【点睛】本题主要考查了利用数列的递推公式求通项公式，考查了构造法，考查了分组求和，属于中档题.9．B解析：B 【分析】设{}n a 是公比为q ，根据已知条件有1n n n b qq -=+求得2q，数列{}n b 的前n 项和为3(21)n n S =-即2020n S ≥可求n 的最小值【详解】令{}n a 是公比为q ，由212n nn na ab a -+=，n ∈+N ∴1n n n b qq -=+，又113072b =即10113072q q +=，又q Z ∈，知：2q∵{}n b 的前n 项和为n S ，则3(21)nn S =-∴2020n S ≥时，3(21)2020n -≥，n ∈+N 解得10n ≥ 故选：B 【点睛】本题考查了数列，由数列的递推关系及已知条件求公比，进而根据新数列的前n 项和及不等式条件求n 的最小值10．B解析：B 【分析】结合根与系数关系，根据等比中项满足的性质，计算6a ，代入，计算式子，即可． 【详解】48,a a 是关于x 的方程21040x x ++=的两实根，所以24821064a a a a a ===，由48480,100a a a a >+=-<得480,0a a <<，所以2640a a q =<，即62a =-，所以26108a a a =-.故选B【点睛】本道题考查了等比中项的性质，关键利用好该性质，计算结果，即可，难度中等．11．D解析：D 【分析】由零点定义得,a b p ab q +==得0,0a b >>，因此2-只能是等比数列的中间项，从而得4ab =，由点(),2a b 在直线2100x y +-=上，得5a b +=，这样可得,p q 值．从而得出结论．【详解】∵a ，b 是函数()()20,0f x x px q p q =-+>>的两个不同的零点，∴,a b p ab q +==，∴0,0a b >>，而a ，b ，2-这三个数适当排序后可成等比数列，只能是2-是,a b 的等比中项，即4ab =，点(),2a b 在直线2100x y +-=上，则22100a b +-=，得5a b +=， 由45ab a b =⎧⎨+=⎩，∴5,4p q ==，9p q +=．故选：D ． 【点睛】本题考查函数零点的概念，考查等比数列的定义，考查韦达定理，关键是由题意分析出0,0a b >>．12．B解析：B 【分析】运用二次函数的最值和指数函数的单调性求得[0,2]x ∈的()f x 的最大值，由递推式可得数列{}n a 为首项为94，公比为13的等比数列，由等比数列的求和公式和不等式恒成立思想可得k 的最小值 【详解】解：当[0,2]x ∈时，且1224,[0,1)()3,[1,2]x x f x x x x -⎧⎪∈=⎨⎪-+∈⎩，可得01x ≤<时，()f x 的最大值为(0)2f =，12x <≤时，()f x 的最大值为39()24f =，即当[0,2]x ∈时，()f x 的最大值为94， 当24x ≤<时，1()(2)3f x f x =-的最大值为912，当46x ≤<时，1()(2)3f x f x =-的最大值为936，……可得数列{}n a 为首项为94，公比为13的等比数列，所以91(1)2712743(1)183813n n nS -==-<-， 由S n <k 对任意的正整数n 均成立，可得278k ≥， 所以实数k 的取值范围为27,8⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭，故选：B 【点睛】此题考查分段函数的最值求法和等比数列的求和公式，以及不等式恒成立问题的解法，考查转化思想和运算能力，属于中档题二、填空题13．【分析】对两边取到数可得从而可得数列是等差数列求出数列的通项公式即可求出【详解】因为所以即又所以数列是以为首项2为公差的等差数列所以所以故答案为：【点睛】本题主要考查取到数构造新数列同时考查等差数列解析：121n - 【分析】 对1121n n n a a a --=+两边取到数可得1112n n a a --=，从而可得数列1{}n a 是等差数列，求出数列1{}na 的通项公式，即可求出n a . 【详解】 因为1121n n n a a a --=+，所以11121112n n n n a a a a ---+==+，即1112n n a a --=，又111a ，所以数列1{}na 是以1为首项，2为公差的等差数列， 所以11(1)221n n n a =+-⨯=-，所以121n a n =-. 故答案为：121n - 【点睛】本题主要考查取到数构造新数列，同时考查等差数列的概念及通项公式，属于中档题.14．【分析】构造求出由题意可得利用等差数列的通项公式可得利用累加法即可求得【详解】构造则由题意可得故数列是以4为首项2为公差的等差数列故所以以上n-1个式子相加可得解得故答案为：【点睛】本题考查等差数列解析：()()*1n n n N+∈【分析】构造1n n n b a a +=-，求出1b ，由题意可得()()21112n n n n n n a a a a b b ++++---=-=，利用等差数列的通项公式可得n b ，利用累加法即可求得n a . 【详解】构造1n n n b a a +=-，则1214b a a =-=，由题意可得()()21112n n n n n n a a a a b b ++++---=-=， 故数列{}n b 是以4为首项2为公差的等差数列， 故()*142(1)22n n n b a a n n n N +=-=+-=+∈，所以21324314,6,8,2n n a a a a a a a a n --=-=-=-=，以上n -1个式子相加可得1(1)(42)2n n n a a -+-=，解得()*(1)n a n n n N =+∈，故答案为：()()*1n n n N +∈【点睛】本题考查等差数列，累加法求数列通项公式，属于基础题.15．-2【分析】由直线的法向量可得直线的斜率和直线方程求得则数列为公比q 为的等比数列运用等比数列的通项公式可得所求值【详解】直线经过坐标原点是的一个法向量可得直线的斜率为即有直线的方程为点均在上可得即有解析：-2 【分析】由直线的法向量可得直线的斜率和直线方程，求得n 1n 1a a 3+=-，则数列{}n a 为公比q 为13-的等比数列，运用等比数列的通项公式可得所求值． 【详解】直线经过坐标原点，()n 3,1=是l 的一个法向量， 可得直线l 的斜率为3-， 即有直线l 的方程为y 3x =-，点()n 1n a ,a +均在l 上，可得n n 1a 3a +=-， 即有n 1n 1a a 3+=-，则数列{}n a 为公比q 为13-的等比数列， 可得321a a q 623⎛⎫==⨯-=- ⎪⎝⎭．故答案为2-． 【点睛】本题主要考查等比数列的定义和通项公式的运用，考查直线方程的求法，考查运算能力，属于基础题．16．①②③④【解析】由条件a1>1a49a50－1>0(a49－1)(a50－1)<0可知a49>1a50<1所以0<q<1①对；∵a1a99＝<1②对；因为a49>1a50<1所以T49的值是Tn 中最解析：①②③④ 【解析】由条件a 1>1，a 49a 50－1>0，(a 49－1)(a 50－1)<0可知a 49>1，a 50<1，所以0<q <1，①对；∵a 1a 99＝250a <1，②对；因为a 49>1，a 50<1，所以T 49的值是T n 中最大的，③对；∵T n ＝a 1a 2a 3…a n ，又∵a 1a 98＝a 49a 50>1，a 1a 99＝250a <1，所以使T n >1成立的最大自然数n 等于98.故填①②③④.17．【分析】由题意利用等比数列的性质求得的值再利用对数的运算性质求得结果【详解】解：等比数列{an}的各项均为正数且∴则故答案为：【点睛】本题考查等比中项的性质考查运算求解能力求解时注意对数运算法则的运用 解析：5-【分析】由题意利用等比数列的性质求得3a 的值，再利用对数的运算性质，求得结果. 【详解】解：等比数列{a n }的各项均为正数， 且224314a a a ==，∴312a =， 则2122232425log log log log log a a a a a ++++523231og 5log 5(1)5a a ===⋅-=-，故答案为：5-. 【点睛】本题考查等比中项的性质，考查运算求解能力，求解时注意对数运算法则的运用.18．选①：；选②：当时；当时；当时；选③：【分析】任选一个条件求出数列公差及通项利用错位相减法求和再比较大小可得解【详解】若选①设公差为因为成等比数列所以解得或0（不合舍去）所以所以利用错位相减可得；若解析：选①：13n T <；选②：当1n =时，12193T =<；当2n =时，21133T ==；当3n ≥时，3311813n T T ≥=>；选③：13n T <.【分析】任选一个条件，求出数列{}n a 公差及n b ，n c 通项，利用错位相减法求和，再比较大小可得解. 【详解】若选①，设公差为d ，因为1a ，2a ，4a 成等比数列，所以2(2)2(23)d d +=+，解得2d =或0（不合，舍去），所以2n a n =，9n n b =所以29n n nc =，利用错位相减可得1991213232993n n n n T +=-⨯-<； 若选②，因为(3)2n n n S +=，所以公差1d =，所以1n a n =+，13n n b +=所以113n n n c ++=，利用错位相减可得11515()()24312n n T n +=--⨯+当1n =时，12193T =<； 当2n =时，21133T ==；当3n ≥时，3311813n T T ≥=>； 若选③，因为926a =，所以公差3d =，所以31n a n =-，所以31313n n n c --=， 利用错位相减可得1652346911676676273n n n T -=-⨯<. 【定睛】本题考查等差数列通项及错位相减法求和，属于基础题.19．【分析】根据递推关系式可证得数列为等比数列根据等比数列通项公式求得代入不等式结合可求得结果【详解】数列是以为首项为公比的等比数列由得：即且满足题意的最小正整数故答案为：【点睛】本题考查根据数列递推关 解析：11【分析】根据递推关系式可证得数列}1，代入不等式，结合n *∈N 可求得结果. 【详解】()21411n n a a +=+=，1=，)121=，∴数列}111=为首项，2为公比的等比数列， )1112n -+=⨯，)1121n -=⨯-，由22020n a ≥2020≥，即)1220211837n -≥=⨯≈，92512=，1021024=且n *∈N ，∴满足题意的最小正整数11n =.故答案为：11. 【点睛】本题考查根据数列递推关系式求解数列通项公式并解不等式的问题，关键是能够通过构造的方式，通过递推关系式得到等比数列的形式，进而利用等比数列通项公式来进行求解.20．【分析】有已知条件可得出时与题中的递推关系式相减即可得出且当时也成立【详解】数列是正项数列且所以即时两式相减得所以（）当时适合上式所以【点睛】本题考差有递推关系式求数列的通项公式属于一般题 解析：()241n +【分析】有已知条件可得出116a =，2n ≥时()()2*131()n n n N =-+-∈，与题中的递推关系式相减即可得出()241n a n =+，且当1n =时也成立．【详解】数列}{n a2*3()n n n N =+∈4=，即116a =2n ≥()()2*131()n n n N =-+-∈22n =+， 所以()241n a n =+（2n ≥ ）当1n =时，116a =适合上式，所以()241n a n =+ 【点睛】本题考差有递推关系式求数列的通项公式，属于一般题．三、解答题21．（1）2n a n =，12n n b +=；（2）()41n nT n =+.【分析】（1）由11,1,2n nn S n a S S n -=⎧=⎨-≥⎩可求得数列{}n a 的通项公式，由已知条件计算出等比数列{}n b 的公比，进而可求得等比数列{}n b 的通项公式；（2）计算得出11141n c n n ⎛⎫=- ⎪+⎝⎭，利用裂项求和法可求得n T . 【详解】（1）当1n =时，112a S ==；当2n ≥时，()()()221112n n n a S S n n n n n -⎡⎤=-=+--+-=⎣⎦.12a =满足2n a n =，所以，对任意的n *∈N ，2n a n =.设等比数列{}n b 的公比为q ，则0q >，262635141024b b b q q ∴==⨯=，解得2q，1111422n n n n b b q --+∴==⨯=；（2）()()111111112214141n n n c a a n n n n n n +⎛⎫===⋅=- ⎪⨯+++⎝⎭， ()121111111111422314141n n n T c c c n n n n ⎛⎫⎛⎫∴=+++=-+-+-=-= ⎪ ⎪+++⎝⎭⎝⎭. 【点睛】方法点睛：数列求和的常用方法：（1）对于等差等比数列，利用公式法直接求和；（2）对于{}n n a b 型数列，其中{}n a 是等差数列，{}n b 是等比数列，利用错位相减法求和；（3）对于{}n n a b +型数列，利用分组求和法；（4）对于11n n a a +⎧⎫⎨⎬⎩⎭型数列，其中{}n a 是公差为()0d d ≠的等差数列，利用裂项相消法求和.22．（1）21n a n =-；（2）()12326n n T n +=-⨯+.【分析】（1）由等差数列的前n 项和公式，等比数列的性质列出关于1a 和d 的方程组，解方程组后可得通项公式n a ；（2）由等差数列通项公式求得2log n b 后得n b ，然后由错位相减法求得和n T ． 【详解】（1）设{}n a 公差为d ，则()()11211154525122124n a d a a n d a d a a d ⨯⎧+==⎧⎪⇒⇒=-⎨⎨=⎩⎪+=+⎩. （2）由题意2log 11(1)n b n n =+⨯-=，2n n b ∴=()2323252212n n T n =+⨯+⨯++-⨯，（1）()2341223252212n n T n +=+⨯+⨯++-⨯，（2）（1）－（2）得：2312222222(21)2n n n T n +-=+⨯+⨯++⨯--⨯118(12)2(21)212n n n -+-=+--⨯-，()12326n n T n +=-⨯+.【点睛】本题考查求等差数列的通项公式，错位相减法求和．数列求和的常用方法： 设数列{}n a 是等差数列，{}n b 是等比数列，（1）公式法：等差数列或等比数列的求和直接应用公式求和； （2）错位相减法：数列{}n n a b 的前n 项和应用错位相减法； （3）裂项相消法；数列1{}n n ka a +（k 为常数，0n a ≠）的前n 项和用裂项相消法； （4）分组（并项）求和法：数列{}n n pa qb +用分组求和法，如果数列中的项出现正负相间等特征时可能用并项求和法；（5）倒序相加法：满足m n m a a A -+=（A 为常数）的数列，需用倒序相加法求和．23．（1）21n a n =-，2nn b =；（2）不存在，理由见解析.【分析】 （1）利用11,1,2n nn S n a S S n -=⎧=⎨-≥⎩求得数列{}n a 的通项公式.利用已知条件求得1,b q ，由此求得数列{}n b 的通项公式.（2）利用错位相减求和法求得n Q ，利用123m k Q Q Q =+列方程，化简后判断不存在符合题意的,m k . 【详解】（1）当1n =时，111a S ==，当2n ≥时，221(1)21n n n a S S n n n -=-=--=-，当1n =时，等式也成立，所以，数列{}n a 的通项公式为21n a n =-． 在等比数列{}n b 中，653222b b b b -=-，即()32(2)10b q q --=，又20b ≠且1q ≠，2q ∴=，()414123012b T -∴==-，12b ∴=，112n n n b b q -∴==．（2）23123252(21)2nn Q n =⨯+⨯+⨯+⋯+-⋅ ①，①×2得：23412123252(23)2(21)2n n n Q n n +=⨯+⨯+⨯+⋯+-⋅+-⋅ ②，-②①得：2312222222(21)2n n n Q n +=--⨯-⨯-⋯-⨯+-⋅1(23)26n n +=-⋅+，13326Q =⨯=，1(23)26k k Q k +=-⋅+，1(23)26m m Q m +=-⋅+，若123m k Q Q Q =+，即112(23)2126(23)26m k m k ++-⋅+=+-⋅+，112(23)2(23)2m k m k ++∴-⋅=-⋅，46223k m m k +-∴=- ③， 又1m k <<，22k m -∴≥，464622323m k k k --<=--， ∴③式不成立，故不存在这样的正整数m ，k 使m Q 是13Q 与k Q 的等差中项．【点睛】如果已知条件是有关n S 与n 的关系式，可利用11,1,2n nn S n a S S n -=⎧=⎨-≥⎩求得数列的通项公式.如果一个数列是由等差数列乘以等比数列构成，则利用错位相减求和法进行求和. 24．（1）*3,(1)2,(2,)n n a n n n N =⎧=⎨≥∈⎩；（2）证明见解析． 【分析】 （1）利用*1,(1),(2,)n n nn S n a S S n n N -=⎧=⎨-≥∈⎩求解即可；（2）利用n a 求n b ，当1n =时，1151224b =≤显然成立，当2n ≥时，利用列项相消法求和判断即可. 【详解】 解：（1）当1n =时，111113a S ==++=； 当2n ≥时，1n n n a S S -=-22(1)[(1)(1)1]n n n n =++--+-+2n =，所以*3,(1)2,(2,)n n a n n n N =⎧=⎨≥∈⎩； （2）由（1）易知*1,(1)121(2,),4(1)n n b n n N n n ⎧⎪=⎪=⎨≥∈⎪+⎪⎩当1n =时，1151224b =≤显然成立． 当2n ≥时，1111()4(1)41n b n n n n ==-++， 123n n T b b b b =+++11111111[()()()]12423341n n =+-+-++-+ 1111()12421n =+-+ 515244(1)24n =-<+； 故结论成立． 【点睛】关键点睛：本题考查数列求通项公式，利用数列求和证明不等式.利用列项相消法求和是解决本题的关键.25．（1）所有可能值是7-，5-，3-，1-，1，3，5，7；（2）证明见解析；（3）222n -.【分析】（1）根据递推关系式以及求和式子即可得出结果.（2）充分性：求出数列的通项公式，再利用等比数列的前n 和公式可证；必要性：利用反证法即可证明.（3）列出n A 中的项，得出数列的规律：每一个数列前1n -项与之对应项是相反数的数列，即可求解. 【详解】解：（1）()3S A 的所有可能值是7-，5-，3-，1-，1，3，5，7. （2）充分性：若0n a >，即12n n a .所以满足12n na ，且前n 项和最小的数列是1-，2-，4-，…，22n --，12n -.所以()211212422n n n a a a --++⋅⋅⋅+≥-+++⋅⋅⋅++211222112n n ---⋅=-+=-.所以()0n S A >.必要性：若()0n S A >，即120n a a a ++⋅⋅⋅+>.假设0n a <，即12n n a -=-.所以()()21121242210n n n n S A a a a --=++⋅⋅⋅+≤+++⋅⋅⋅+-=-<，与已知()0n S A >矛盾.所以()0n S A >.综上所述，()0n S A >的充要条件是0n a >. （3）由（2）知，()0n S A >可得0n a >.所以12n na .因为数列n A ：1a ，2a ，…，()2n a n ≥中1a 有1-，1两种，2a 有2-，2两种，3a 有4-，4两种，…，1n a -有22n --，22n -两种，n a 有12n -一种，所以数列n A ：1a ，2a ，…，()2n a n ≥有12n -个，且在这12n -个数列中，每一个数列都可以找到前1n -项与之对应项是相反数的数列. 所以这样的两数列的前n 项和是122n -⨯. 所以这12n -个数列的前n 项和是1122122222n n n ---⨯⨯⨯=. 所以()n S A 的所有可能值的和是222n -. 【点睛】关键点点睛：本题考查了等比数列的通项公式、求和公式，解题的关键是根据递推关系式得出数列n A 的通项公式，注意讨论，此题也考查了数列不等式、反证法在数列中的应用. 26．见解析 【分析】根据选择的条件求出{}n a 的通项，再利用分组求和可得n T . 【详解】若选①，由222n n S n a =+可得1122a a =+，故12a =，又22422S a ⨯=+，故()222224a a =+⨯+，故24a =， 故等差数列的公差422d =-=，故()2212n a n n =+-=， 所以()()2212n n n S n n +==+， 所以12b =，26b =，所以等比数列{}n b 的公比为3q =，故123n n b -=⨯故()111111=232311n n n n b S n n n n --++⨯=-+⨯++， 故11111111131=231223341131n nn T n n n -⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫-+-+-++-+⨯=- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪+-+⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭. 若选②，由题设可得11126163351042a d a d a d +=⎧⎨+++=⎩，解得122a d =⎧⎨=⎩，同①可得131nn T n =-+. 若选③，由题设可得1213S S =即212a a =，故1d a =，故1n a na =，而74567S a ==，故48a =，故12a =，故2n a n =， 同①可得131nn T n =-+. 【点睛】方法点睛：等差数列或等比数列的处理有两类基本方法：（1）利用基本量即把数学问题转化为关于基本量的方程或方程组，再运用基本量解决与数列相关的问题；（2）利用数列的性质求解即通过观察下标的特征和数列和式的特征选择合适的数列性质处理数学问题．另外求和注意根据通项的特征选择合适的求和方法.。
【高二】高二数学必修五第一章数列10份训练题(北师大含答案)
【高二】高二数学必修五第一章数列10份训练题（北师大含答案)来第一章顺序§1数列1.1序列的概念双基达标限时20分钟1.将前五个正整数排列成：① 1,2,3,4,5; ②5,4,3,2,1；③2,3,5,4,1；④1,4,5,3,2. 然后它可以被称为一个数字序列a．①b．①②c．①②③d．①②③④根据序列的定义和性质，D答案d2.序列23、45、67、89……的第10项，。
是（）a.1617b.1819c.2021d.2223数列的通项公式为a= 2n2n 2n+1，a10＝2×一百零二×10＋1＝2022。
因此，C答案c3.如图所示，在以下四幅图中，彩色三角形的个数依次构成一个序列的前四项，该序列的通项公式为（）a．an＝3n－1b．an＝3nc、 an＝3n－2nd.an＝3n－1＋2n－3解析这4个着色三角形的个数依次为1,3,9,27，都是3的指数幂，猜想数列的通项公式是an=3N－1吗答案a4.级数1,2,4,8,16,32的通项公式。
是吗___解析由a1＝20，a2＝21，a3＝22，a4＝23，…易得an＝2n－1.答案an=2N-15．600是数列1×2,2×3,3×4,4×5，…的第________项．分析an=n（n+1）=600=24×25，n＝24。
答案246.观察以下系列的特征，使用适当的数字，并为每个系列编写一个通用术语公式：(1)34，23，712，( )，512，13，…(2)53，( )，1715，2624，3735，…(3)2,1，( )，12，…(4)32，94，( )，6516，…解(1)根据观察：分母的最小公倍数为12，把各项都改写成以12为分母的分数，则所以612被填入括号中，分子正好是10减去序列号故括号内填12，通项公式为an＝10－n12.(2)53＝4＋14－1，1715＝16＋116－1，2624＝25＋125－1，3735＝36＋136－1.只要按照上述形式重写原始编号，就可以找到每个项目与序列号之间的对应关系：分子是序列号平方加1之和的算术平方根，分母是序列号平方加1和1之差故括号内填108，通项公式为an＝n＋12＋1n＋12－1.（3）因为2=21，1=22，12=24，序列的缺失部分是23，序列的通式是an=2n(4)先将原数列变形为112，214，( )，4116，…，所以应填318，数列的通项公式为an＝n＋12n.全面改善（限于25分钟）7．下列说法正确的是( )．a、序列可以被视为一个函数，其域是正整数n的集合+b．数列可以看做是一个定义域为正整数集n＋(或它的有限子集{1,2,3，…，n})的函数，当自变量从小到大依次取值时对应的一列函数值c、序列可以被视为一个函数，其域被定义为正整数集合n+（或其有限子集）d．数列可以看做是一个定义域为正整数集n＋(或它的有限子集)的函数值解析B中的{1,2,3，…，n}不能省略。
(典型题)高中数学必修五第一章《数列》测试(含答案解析)(1)
一、选择题1．在数列{}n a 中，11a =-，33a =，212n n n a a a ++=-（*n N ∈），则10a =（ ） A ．10B ．17C ．21D ．352．已知数列{}n a 中，12a =，()*,N n m n m a a a n m +=⋅∈，若1234480k k k k a a a a +++++++=，则k =（ ）A ．3B ．4C ．5D ．63．已知等差数列{}n a 满足3434a a =，则该数列中一定为零的项为（ ）A ．6aB ．7aC ．8aD ．9a4．已知数列{}n a 的前n 项的和为n S ，且()23n n S a n n N *=-∈，则（ ） A ．{}n a 为等比数列 B ．{}n a 为摆动数列 C ．1329n n a +=⨯-D ．6236n n S n =⨯--5．我国古代数学名著《算法统宗》中有如下问题：“远望巍巍塔七层，红光点点倍加增，共灯三百八十一，请问尖头几盏灯？”意思是：一座7层塔共挂了381盏灯，且相邻两层中的下一层灯数是上一层灯数的2倍，则塔的底层共有灯（ ） A ．64盏B ．128盏C ．192盏D ．256盏6．已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，满足28a =-，390n S -=，228n S =，则n =（ ） A ．10B ．11C ．12D ．137．设{}n a 为等差数列，122a =，n S 为其前n 项和，若1013S S =，则公差d =( ) A ．-2B ．-1C ．1D ．28．等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，已知32110S a a =+，534a =，则1a =（ ） A ．2B ．3C ．4D ．59．正整数数列{}n a 满足：1,2(*)22,21n n n k a ka k N k a k +=⎧=∈⎨+=-⎩，则（ ）A ．数列{}n a 中不可能同时有1和2019两项B ．n a 的最小值必定为1C ．当n a 是奇数时，2n n a a +≥D ．n a 的最小值可能为210．已知数列{}n a 为等差数列，10a <且1231990a a a a +++⋅⋅⋅+=，设()*12n n n n b a a a n N ++=∈，当{}n b 的前n 项和n S 最小时，n 的值有（ ）A ．5个B ．4个C ．3个D ．2个11．已知定义域为R 的函数f (x )满足f (x )=3f (x +2)，且1224,[0,1)()3,[1,2]x x f x x x x -⎧⎪∈=⎨⎪-+∈⎩，设f (x )在[2n -2,2n )上的最大值为*()n a n N ∈，且数列{a n }的前n 项和为S n ，若S n <k 对任意的正整数n均成立，则实数k 的取值范围为（ ） A ．27,8⎛⎫+∞⎪⎝⎭B ．27,8⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭C ．27,4⎛⎫+∞⎪⎝⎭D ．27,4⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭12．记等差数列{}n a 的前n 项和为n S .若64a =，19114S =，则15S =（ ） A ．45B ．75C ．90D ．95二、填空题13．设S n 是数列{}n a 的前n 项和，且*1111,20,3n n n a a S S n N ++=+=∈，则1223910S S S S S S ++⋅⋅⋅⋅⋅+=___________.14．在各项均为正数的等比数列{}n a 中，公比()0,1q ∈，若355a a +=，264a a =，2log n n b a =，数列{}n b 的前n 项和为n S ，则数列n S n ⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项的和n T 为______.15．已知数列{}n a 满足对*,m n N ∀∈，都有m n m n a a a ++=成立，72a π=，函数()f x =2sin 24cos 2xx +，记()n n y f a =，则数列{}n y 的前13项和为______． 16．等比数列{a n }的公比为q ，其前n 项的积为T n ，并且满足条件a 1>1，a 49a 50－1>0，(a 49－1)(a 50－1)<0.给出下列结论：①0<q<1；②a 1a 99－1<0；③T 49的值是T n 中最大的；④使T n >1成立的最大自然数n 等于98.其中所有正确结论的序号是____________．17．已知公差不为0的等差数列的首项12a =，前n 项和为n S ，且________（①1a ，2a ，4a 成等比数列；②(3)2n n n S +=；③926a =任选一个条件填入上空）.设3n n a b =，n n n a c b =，数列{}n c 的前n 项和为n T ，试判断n T 与13的大小. 18．111112123123100++++=+++++++________.19．已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，且11a =，()112n n a S n -=+≥，则4a =______. 20．已知下列结论：①若数列{}n a 的前n 项和21n S n =+，则数列{}n a 一定为等差数列.②若数列{}n a 的前n 项和21nn S =-，则数列{}n a 一定为等比数列.③非零实数,,a b c 不全相等，若,,a b c 成等差数列，则111,,a b c可能构成等差数列.④非零实数,,a b c 不全相等，若,,a b c 成等比数列，则111,,a b c一定构成等比数列. 则其中正确的结论是_______.三、解答题21．已知正项数列{}n a 的前n 项和为n S ，141n n n S a a +=⋅+，11a =． （Ⅰ）求n a 和n S ；（Ⅱ）若2n an b =，数列{}n b 的前n 项和为n T ．记23411223341n n n n b b b bA TT T T T T T T ++=+++⋅⋅⋅+，1231111n n B S S S S =+++⋅⋅⋅+，求证：52n n A B +<，*n ∈N ． 22．已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，且233n n S a =-. （1）求数列{}n a 的通项公式; （2）设3log n n b a =，nn nb c a =，求数列{}n c 的前n 项和n T . 23．已知数列{}n a 的首项为4． （1）若数列{}2nn a -是等差数列，且公差为2，求{}na 的通项公式．（2）在①3248a a -=且20a >，②364a =且40a >，③20212201716a a a =这三个条件中任选一个，补充在下面的问题中并解答． 问题，若{}n a 是等比数列，__________，求数列(){}31nn a -的前n 项和nS．24．已知数列{}n a 的前n 项和为21n S n n =++．（1）求这个数列的通项公式； （2）设()11n n n b n a a *+=∈N ，证明：对n *∀∈N ，数列{}n b 的前n 项和524n T <． 25．在①222n n S n a =+，②3516a a +=且3542S S +=，③2142n n S n S n +=+且756S =这三个条件中任选一个，补充在下面的问题中，并加以解答．问题：设数列{}n a 为等差数列，其前n 项和为n S ，_________．数列{}n b 为等比数列，11b a =，23b a =．求数列1n n b S ⎧⎫+⎨⎬⎩⎭的前n 项和n T ． 26．已知有序数列{}n a 的各项均不相等，将{}n a 的项从大到小重新排序后相应的项数构成新数列{}n p ，称{}n p 为{}n a 的“序数列”.例如：数列1a ，2a ，3a 满足132a a a >>，则其“序数列”{}n p 为1，3，2.（1）若数列{}n a 的通项公式为()()21,2,3,4nn a n =-=，写出{}n a 的“序数列”；（2）若项数不少于5项的有穷数列{}n b ，{}n c 的通项公式分别为35nn b n ⎛⎫=⋅ ⎪⎝⎭，2n c n tn =-+，且{}n b “序数列”与{}n c 的“序数列”相同，求实数t 的取值范围；（3）已知有序数列{}n a 的“序数列”为{}n p .求证：“{}n p 为等差数列”的充要条件是“{}n a 为单调数列”.【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题 1．B 解析：B 【分析】根据等式关系得到数列{}n a 为等差数列，求出公差得到其通项公式，最后代值求解即可. 【详解】212n n n a a a ++=-（*n N ∈），212n n n a a a ++∴+=，即数列{}n a 是等差数列， 11a =-，33a =，312a a d ∴=+即312d =-+，则公差2d =，则()11223n a n n =-+-⨯=-（*n N ∈）， 所以10210317a =⨯-=. 故选：B . 【点睛】关键点点睛：本题的解题关键是由题中所给关系得出其为等差数列，进而求出通项公式进行计算.2．B解析：B 【分析】由已知，取1m =，则112n n n a a a a +=⋅=，得出数列{}n a 是以2为首项，2为公差的等比数列，根据等比数列的通项公式建立方程得可求得解． 【详解】因为数列{}n a 中，12a =，()*,N n m n m a a a n m +=⋅∈，所以取1m =，则112n n n a a a a +=⋅=，所以数列{}n a 是以2为首项，2为公差的等比数列，所以2nn a =，又1234480k k k k a a a a +++++++=，即12344220282k k k k +++++++=，即040238k ⨯=，解得4k =， 故选：B ． 【点睛】关键点点睛：解决本题的问题的关键在于令1m =，得出数列{}n a 是以2为首项，2为公差的等比数列，利用等比数列的通项公式建立方程得解．3．B解析：B 【分析】由条件可得34a d =-,进而得n a (7)n d =-,从而得解. 【详解】33a 44a =,33a ∴()33444a d a d =+=+, 34d a ∴=-n a ∴3(3)a n d =+-⋅4(3)d n d =-+- (7)n d =- 70a ∴=,故选：B 【点睛】本题主要考查了等差数列的通项公式，等差数列的性质，属于基础题.4．D解析：D 【分析】利用已知条件求出数列{}n a 的通项公式，再求出{}n a 的前n 项的和为n S ，即可判断四个选项的正误. 【详解】因为23n n S a n =-①，当1n =时，1123a a =-，解得：13a =， 当2n ≥时，()11231n n S a n --=--②，①-②得：1223n n n a a a -=--，即123n n a a -=+，所以()1323n n a a -+=+，所以{}3n a +是以6为首项，2为首项的等比数列，所以1362n n a -+=⨯，所以1623n n a -=⨯-，所以{}n a 不是等比数列，{}n a 为递增数列，故A B 、不正确，()11263623612n n n S n n ⨯-=⨯-=⨯---，故选项C 不正确，选项D 正确.故选：D 【点睛】本题主要考查了利用数列的递推公式求通项公式，考查了构造法，考查了分组求和，属于中档题.5．C解析：C 【分析】设塔的顶层共有1a 盏灯，第n 层的灯有n a 盏，则数列{}n a 是公比为2的等比数列，利用等比数列的前n 项和公式可求得1a 的值，进而可求得塔的底层的灯的盏数7a . 【详解】设塔的顶层共有1a 盏灯，第n 层的灯有n a 盏，则数列{}n a 是公比为2的等比数列， 由题意可知，一座7层塔所挂的灯的盏数为()71711212738112a S a -===-，解得13a =.因此，塔的底层的灯的盏数为6732192a =⨯=. 故选：C. 【点睛】本题考查等比数列及其前n 项和基本量的计算，考查推理能力与计算能力，属于中等题.6．C解析：C 【分析】根据数列是等差数列，结合等差数列的性质得313n n n S S a ---=，从而求得146n a -=，然后由121()()22n n n n a a n a a S -++==求解. 【详解】由题意得322890138n n S S --=-=， 所以13138n a -=. 所以146n a -=.所以121()()1922822n n n n a a n a a S n -++====， 解得12n =.故选：C 【点睛】本题主要考查等差数列的前n 项和公式和等差数列的性质的应用，属于中档题.7．A解析：A 【分析】由题意结合等差数列的性质和前n 项和的定义求解公差即可. 【详解】由题意可得：12111213131030a a a a S S =++=-=， 则120a =，等差数列的公差121022212111a a d --===--. 本题选择A 选项. 【点睛】本题主要考查数列的前n 项和与通项公式的关系，等差数列公差的计算等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.8．A解析：A 【解析】设等差数列{a n }的公差为d ,∵S 3=a 2+10a 1,a 5=34， ∴3a 1+3d =11a 1+d ,a 1+4d =34， 则a 1=2. 本题选择A 选项.9．A解析：A 【分析】根据题意知，数列{}n a 中的任意一项都是正整数，利用列举法直接写出数列中的项，进而可得结论. 【详解】对于选项A ，假设：12019a =，则后面依次为：2022，1011，1014，507，510，255，258，129，132，66，33，36，18，9，12，6，3，6，3…循环； 假设：11a =，则后面依次为：4,2,1,4,2,1,4,2,1,4,2……循环， 综上，数列{}n a 中不可能同时有1和2019两项，故选项A 正确； 由选项A 知，选项B 、D 都不对；对于选项C ，令11a =，则24a =，32a =，所以13a a <，故选项C 不正确. 故选：A. 【点睛】本题考查数列中的项数的求法，考查数列的递推公式求通项公式，属于基础题.10．B解析：B 【分析】根据等差数列的性质可知1000a ，从而判断数列{}n a 是单调递增数列，即可判断当{}n b 的前n 项和n S 最小时，n 可取的值. 【详解】数列{}n a 为等差数列，119921981002a a a a a ，1231990a a a a +++⋅⋅⋅+=，则1001990a ，即1000a ，10a <，可以判断数列{}n a 是单调递增数列，991010,0a a ， 12n n n n b a a a ++=，12323412nn n n S a a a a a a a a a ，当{}n b 的前n 项和n S 最小时，n 可取的值为97，98，99，100共4个. 故选：B. 【点睛】本题主要考查等差数列的性质，属于中档题.11．B解析：B 【分析】运用二次函数的最值和指数函数的单调性求得[0,2]x ∈的()f x 的最大值，由递推式可得数列{}n a 为首项为94，公比为13的等比数列，由等比数列的求和公式和不等式恒成立思想可得k 的最小值 【详解】解：当[0,2]x ∈时，且1224,[0,1)()3,[1,2]x x f x x x x -⎧⎪∈=⎨⎪-+∈⎩， 可得01x ≤<时，()f x 的最大值为(0)2f =，12x <≤时，()f x 的最大值为39()24f =，即当[0,2]x ∈时，()f x 的最大值为94， 当24x ≤<时，1()(2)3f x f x =-的最大值为912，当46x ≤<时，1()(2)3f x f x =-的最大值为936，……可得数列{}n a 为首项为94，公比为13的等比数列， 所以91(1)2712743(1)183813n n nS -==-<-， 由S n <k 对任意的正整数n 均成立，可得278k ≥， 所以实数k 的取值范围为27,8⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭，故选：B 【点睛】此题考查分段函数的最值求法和等比数列的求和公式，以及不等式恒成立问题的解法，考查转化思想和运算能力，属于中档题12．B解析：B 【分析】结合题意根据等差数列的通项公式和前n 项和公式列方程115419199114a d a d +=⎧⎨+⨯=⎩，解得11232d a ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，再利用前n 项和公式即可求得答案. 【详解】解：根据题意64a =，19114S =，结合等差数列的通项公式和前n 项和公式得：115419199114a d a d +=⎧⎨+⨯=⎩，即：115496a d a d +=⎧⎨+=⎩，解得11232d a ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩， 所以()1511515131451051515157752222S a d -+=+=⨯+⨯⨯==. 故选：B. 【点睛】本题考查利用等差数列的通项公式和前n 项和公式求等差数列的基本量，考查数学运算能力，是基础题.二、填空题13．【分析】由代入化简求得再结合求和方法计算可得结果【详解】因为所以所以所以又所以数列是以为首项为公差的等差数列所以所以所以所以故答案为：【点晴】由代入化简求得数列是等差数列是解题的关键解析：17【分析】由11n n n a S S ++=-代入化简求得n S ，再结合求和方法计算可得结果. 【详解】因为1120n n n a S S +++= 所以1120n n n n S S S S ++-+= 所以112n n n n S S S S ++-=所以1112n nS S +-= 又11113S a == 所以数列1n S ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是以3为首项，2为公差的等差数列， 所以()131221nn n S =+-⨯=+ 所以121n S n =+ 所以111111212322123n n S S n n n n +⎛⎫=⋅=- ⎪++++⎝⎭所以12239101111111111123557192123217S S S S S S ⎛⎫⎛⎫++⋅⋅⋅⋅⋅⋅+=-+-+⋅⋅⋅+-=-=⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ 故答案为：17【点晴】由11n n n a S S ++=-代入化简求得数列1n S ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是等差数列是解题的关键. 14．【分析】首先利用方程组求出数列的通项公式进一步求出数列的通项公式进一步利用分类讨论思想的应用求出数列的和【详解】解：各项均为正数的等比数列中若所以由于公比解得所以解得所以由于所以则当时当时所以故答案解析：()()2217941714494n n n n T n n n ⎧-≤⎪⎪=⎨-+⎪>⎪⎩【分析】首先利用方程组求出数列{}n a 的通项公式，进一步求出数列{}n b 的通项公式，进一步利用分类讨论思想的应用求出数列的和. 【详解】解：各项均为正数的等比数列{}n a 中，若355a a +=，264a a =，所以35352654a a a a a a +=⎧⎨==⎩，由于公比()0,1q ∈，解得3541a a =⎧⎨=⎩，所以253a a q =，解得12q =. 所以55512n n n a a q--⎛⎫=⋅= ⎪⎝⎭.由于5221log log 52n n n b a n -⎛⎫===- ⎪⎝⎭.所以()()45922n n n n n S +--==， 则()9292n n n n S n c nn--===， 当9n ≤时，()212171744n n n n n n T c c c --=+++==. 当9n >时，()()212910*********24n n n n n T c c c c c c c c c c -+=+++---=++-+++=. 所以()()2217941714494n n n n T n n n ⎧-≤⎪⎪=⎨-+⎪>⎪⎩. 故答案为：()()2217941714494n n n n T n n n ⎧-≤⎪⎪=⎨-+⎪>⎪⎩【点睛】本题考查等比数列的通项公式，等差数列的前n 项和公式，考查分类讨论思想和数学运算能力，是中档题.15．【分析】由题意可得为常数可得数列为等差数列求得的图象关于点对称运用等差数列中下标公式和等差中项的性质计算可得所求和【详解】解：对都有成立可令即有为常数可得数列为等差数列函数由可得的图象关于点对称可得 解析：26【分析】由题意可得11n n a a a +-=，为常数，可得数列{}n a 为等差数列，求得()f x 的图象关于点,22π⎛⎫⎪⎝⎭对称，运用等差数列中下标公式和等差中项的性质，计算可得所求和． 【详解】 解：对*,m n ∀∈N ，都有m n m n a a a ++=成立，可令1m =即有11n n a a a +-=，为常数， 可得数列{}n a 为等差数列， 函数2()sin 24cos 2xf x x =+sin 22(1cos )x x =++， 由()()()sin 221cos f x fx x x π+-=++()()()sin 221cos 4x x ππ+-++-=，可得()f x 的图象关于点,22π⎛⎫⎪⎝⎭对称，113212a a a a +=+=6872a a a π=+==，∴()()()()113212f a f a f a f a +=+=()()()6874,2f a f a f a =+==，∴可得数列{}n y 的前13项和为46226⨯+=．故答案为26． 【点睛】本题考查等差数列的性质，以及函数的对称性及运用，化简运算能力，属于中档题．16．①②③④【解析】由条件a1>1a49a50－1>0(a49－1)(a50－1)<0可知a49>1a50<1所以0<q<1①对；∵a1a99＝<1②对；因为a49>1a50<1所以T49的值是Tn 中最解析：①②③④ 【解析】由条件a 1>1，a 49a 50－1>0，(a 49－1)(a 50－1)<0可知a 49>1，a 50<1，所以0<q <1，①对；∵a 1a 99＝250a <1，②对；因为a 49>1，a 50<1，所以T 49的值是T n 中最大的，③对；∵T n ＝a 1a 2a 3…a n ，又∵a 1a 98＝a 49a 50>1，a 1a 99＝250a <1，所以使T n >1成立的最大自然数n 等于98.故填①②③④.17．选①：；选②：当时；当时；当时；选③：【分析】任选一个条件求出数列公差及通项利用错位相减法求和再比较大小可得解【详解】若选①设公差为因为成等比数列所以解得或0（不合舍去）所以所以利用错位相减可得；若解析：选①：13n T <；选②：当1n =时，12193T =<；当2n =时，21133T ==；当3n ≥时，3311813n T T ≥=>；选③：13n T <.【分析】任选一个条件，求出数列{}n a 公差及n b ，n c 通项，利用错位相减法求和，再比较大小可得解. 【详解】若选①，设公差为d ，因为1a ，2a ，4a 成等比数列，所以2(2)2(23)d d +=+，解得2d =或0（不合，舍去），所以2n a n =，9n n b =所以29n n nc =，利用错位相减可得1991213232993n n n n T +=-⨯-<； 若选②，因为(3)2n n n S +=，所以公差1d =，所以1n a n =+，13n n b +=所以113n n n c ++=，利用错位相减可得11515()()24312n n T n +=--⨯+当1n =时，12193T =<； 当2n =时，21133T ==；当3n ≥时，3311813n T T ≥=>； 若选③，因为926a =，所以公差3d =，所以31n a n =-，所以31313n n n c --=， 利用错位相减可得1652346911676676273n n n T -=-⨯<. 【定睛】本题考查等差数列通项及错位相减法求和，属于基础题.18．【分析】将分母利用等差数列求和公式化简然后利用裂项相消法求解即可【详解】故答案为：【点睛】本题主要考查等差数列的求和公式及裂项相消法求和属于中档题解析：200101【分析】将分母利用等差数列求和公式化简，然后利用裂项相消法求解即可. 【详解】111112123123100+++++++++++11112(12)3(13)100(1100)222=++++++⨯+2222122334100101=++++⨯⨯⨯⨯11111112(1)22334100101=⨯-+-+-++- 12(1)101=⨯- 200101= 故答案为：200101【点睛】本题主要考查等差数列的求和公式及裂项相消法求和，属于中档题.19．8【分析】根据可得两式相减可得利用递推关系即可求解【详解】①②②①得当时故答案为：8【点睛】本题主要考查了数列的项与前n 项和的关系考查了利用递推关系求数列的项属于中档题解析：8 【分析】根据()112n n a S n -=+≥可得11n n a S +=+，两式相减可得12n n a a +=(2)n ≥，利用递推关系即可求解. 【详解】()112n n a S n -=+≥①，11n n a S +∴=+②，②-①得，12n n a a +=(2)n ≥， 当2n =时，211112a S a =+=+=，3224a a ∴==， 4328a a ∴==，故答案为：8 【点睛】本题主要考查了数列的项n a 与前n 项和n S 的关系，考查了利用递推关系求数列的项，属于中档题.20．②④【分析】①先求出再当时求出判断当时有判断①错误；②先求出再当时求出判断数列是以1为首项以2为公比的等比数列判断②正确；③先建立方程组再整理得与非零实数不全相等矛盾判断③错误；④先得方程整理得判断解析：②④ 【分析】①先求出12a =，再当2n ≥时求出21n a n =-，判断当1n =时有11n a a =≠，判断①错误；②先求出11a =，再当2n ≥时求出12n na ，判断数列{}n a 是以1为首项以2为公比的等比数列，判断②正确；③先建立方程组2112a c b a c ac a c b +⎧=+=⎪⎨⎪+=⎩，再整理得a b c ==与非零实数,,a b c 不全相等矛盾，判断③错误；④先得方程2b ac =，整理得2111()b a c =⨯，判断④正确. 【详解】①：数列{}n a 的前n 项和21n S n =+， 当1n =时，211112a S ==+=，当2n ≥时，221(1)(1)121n n n a S S n n n -⎡⎤=-=+--+=-⎣⎦，当1n =时，11n a a =≠，故①错误；②：数列{}n a 的前n 项和21nn S =-， 当1n =时，111211a S ==-=，当2n ≥时，111(21)(21)2n n n n n n a S S ---=-=---=，当1n =时，11n a a ==，且12nn a a -= 所以数列{}n a 是以1为首项，以2为公比的等比数列， 故②正确；③：若111,,a b c是等差数列，则211a c b a c ac+=+=， 因为,,a b c 成等差数列，则2a c b +=，则2112a cb ac ac a c b +⎧=+=⎪⎨⎪+=⎩，整理得a b c ==，与非零实数,,a b c 不全相等矛盾， 故③错误；④：因为非零实数,,a b c 不全相等，且,,a b c 成等比数列， 所以2b ac =，则21111b ac a c==⨯，则111,,a b c一定构成等比数列. 故④正确. 故答案为：②④. 【点睛】本题考查等差数列和等比数列的判断，是基础题.三、解答题21．（Ⅰ）21n a n =-，*n ∈Z ，2n S n =；（Ⅱ）证明见解析.【分析】 （Ⅰ）根据11,1,2n nn S n a S S n -=⎧=⎨-≥⎩，可得{}n a 的奇数项是以1为首项，4为公差的等差数列，偶数项是以3为首项，4为公差的等差数列，根据等差数列的通项公式及前n 项和公式计算可得；（Ⅱ）由（Ⅰ）可得212n n b -=，即可求出{}n b 的前n 项和为n T ，则11131124141n n n n n b T T +++⎛⎫=- ⎪--⎝⎭，再利用裂项相消法求和得出12n A <，再利用放缩法21111n n n <--得到122n B n<-<，即可得证； 【详解】解：（Ⅰ）∵141n n n S a a +=⋅+，11a =， ∴11241S a a =⋅+，∴23a =， 当2n ≥时，有1141n n n S a a --=+，∴11144n n n n n n S S a a a a ++--=-，∴()114n n n n a a a a +-=-， ∵0n a ≠，∴114n n a a +--=∴数列{}n a 的奇数项是以1为首项，4为公差的等差数列，2114(1)2(21)1n a n n -=+-=--，偶数项是以3为首项，4为公差的等差数列，234(1)221n a n n =+-=⋅-，∴21n a n =-，*n ∈Z ， ∴()21212n n n S n +-==．（Ⅱ）因为2n an b =，所以212n n b -=，()1352122222413n nn T -=+++⋅⋅⋅+=-，()()()()2111111294311222241414141414133n n n n n n n n n n n b T T ++++++⎛⎫===- ⎪----⎝⎭--，1n =时，125A =，11B =，1152A B +<． 2n ≥时，2231311311311241412414124141n n n A +-⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+-+⋅⋅⋅+- ⎪ ⎪ ⎪------⎝⎭⎝⎭⎝⎭113111311234122412n n ++⎛⎫=+=-⋅< ⎪--⎝⎭． 22111111111112222231n B n n n n ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=++⋅⋅⋅+<+-+-+⋅⋅⋅+-=-< ⎪ ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭⎝⎭． ∴52n n A B +<∴52n n A B +<，n *∈N ．【点睛】数列求和的方法技巧(1)倒序相加：用于等差数列、与二项式系数、对称性相关联的数列的求和． (2)错位相减：用于等差数列与等比数列的积数列的求和． (3)分组求和：用于若干个等差或等比数列的和或差数列的求和．22．（1）3nn a =；（2）3314243nn n T ⎛⎫⎛⎫=-+ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭.【分析】(1)利用1n n n a S S -=-求通项公式； (2)先求出n b n =，得到3n n nn b nc a ==，用错位相减法求和. 【详解】解：（1）当1n =时，1112233a S a ==-，13a ∴=当2n ≥时，()()112223333n n n n n a S S a a --=-=---， 故13n n a a -=，因为110a =≠，故0n a ≠给13nn a a -=，∴数列{}n a 为以3为首项，3为公比的等比数列. 1333n n n a -∴=⨯=.（2）由（1）知3nn a =，所以3log n n n b a ==，故3n n nn b n c a ==. 即123231233333n n n nT c c c c =++++=++++① 所以231112133333n n n n nT +-=++++② ①-②得2311111121111113311333333323313n n n n n n n n n n T +++⎛⎫- ⎪⎛⎫⎝⎭=++++-=-=-- ⎪⎝⎭-所以3314243nn n T ⎛⎫⎛⎫=-+ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭【点睛】数列求和常用方法：(1)公式法； (2)倒序相加法；(3)裂项相消法； (2)错位相减法． 23．（1）22nn a n =+；（2）()132483n n n S +-+=【分析】 （1）求出{}2nn a -首项，即可求出{}2n na-通项公式，得出{}n a 的通项公式；（2）设出公比，建立关系求出公比，再利用错位相减法即可求出n S . 【详解】解：（1）因为14a =，所以122a -=， 因为数列{}2nn a -是等差数列，且公差为2，所以()22212nn a n n -=+-=，则22n n a n =+.（2）选①：设公比为q ，由3248a a -=，得24448qq -=，解得4q =或3-，因为20a >，所以4q =. 故4nn a =.()22454314n n S n =⨯+⨯++-⨯， ()23142454314n n S n +=⨯+⨯++-⨯，两式相减得()()231383444314n n nS n +-=++++--，即()2114438313414n n n S n ++--=+⨯+--()12348n n +=--，故()132483n nn S +-+=. 选②：设公比为q ，由364a =，得2464q=，解得4q =±，因为20a >，所以4q =. 故4nn a =.()22454314n n S n =⨯+⨯++-⨯， ()23142454314n n S n +=⨯+⨯++-⨯，两式相减得()()231383444314n n nS n +-=++++--，即()2114438313414n n n S n ++--=+⨯+--()12348n n +=--，故()132483n nn S +-+=. 选③：设公比为q ，由20212201716a a a =，得20211201820181664a a a a ==，则364q =，所以4q =.故4nn a =.()22454314n n S n =⨯+⨯++-⨯， ()23142454314n n S n +=⨯+⨯++-⨯，两式相减得()()231383444314n n nS n +-=++++--，即()2114438313414n n n S n ++--=+⨯+--()12348n n +=--，故()132483n nn S +-+=. 【点睛】方法点睛：数列求和的常用方法：（1）对于等差等比数列，利用公式法可直接求解；（2）对于{}n n a b 结构，其中{}n a 是等差数列，{}n b 是等比数列，用错位相减法求和； （3）对于{}+n n a b 结构，利用分组求和法；（4）对于11n n a a +⎧⎫⎨⎬⎩⎭结构，其中{}n a 是等差数列，公差为d ，则111111n n n n a a d a a ++⎛⎫=- ⎪⎝⎭，利用裂项相消法求和.24．（1）*3,(1)2,(2,)n n a n n n N =⎧=⎨≥∈⎩；（2）证明见解析． 【分析】（1）利用*1,(1),(2,)n n n n S n a S S n n N -=⎧=⎨-≥∈⎩求解即可；（2）利用n a 求n b ，当1n =时，1151224b =≤显然成立，当2n ≥时，利用列项相消法求和判断即可. 【详解】 解：（1）当1n =时，111113a S ==++=； 当2n ≥时，1n n n a S S -=-22(1)[(1)(1)1]n n n n =++--+-+2n =，所以*3,(1)2,(2,)n n a n n n N =⎧=⎨≥∈⎩； （2）由（1）易知*1,(1)121(2,),4(1)n n b n n N n n ⎧⎪=⎪=⎨≥∈⎪+⎪⎩ 当1n =时，1151224b =≤显然成立． 当2n ≥时，1111()4(1)41n b n n n n ==-++， 123n n T b b b b =+++11111111[()()()]12423341n n =+-+-++-+ 1111()12421n =+-+ 515244(1)24n =-<+； 故结论成立． 【点睛】关键点睛：本题考查数列求通项公式，利用数列求和证明不等式.利用列项相消法求和是解决本题的关键. 25．见解析 【分析】根据选择的条件求出{}n a 的通项，再利用分组求和可得n T .【详解】若选①，由222n n S n a =+可得1122a a =+，故12a =，又22422S a ⨯=+，故()222224a a =+⨯+，故24a =，故等差数列的公差422d =-=，故()2212n a n n =+-=，所以()()2212n n n S n n +==+， 所以12b =，26b =，所以等比数列{}n b 的公比为3q =，故123n n b -=⨯ 故()111111=232311n n n n b S n n n n --++⨯=-+⨯++， 故11111111131=231223341131n n n T n n n -⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫-+-+-++-+⨯=- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪+-+⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭. 若选②，由题设可得11126163351042a d a d a d +=⎧⎨+++=⎩，解得122a d =⎧⎨=⎩， 同①可得131n n T n =-+. 若选③，由题设可得1213S S =即212a a =，故1d a =，故1n a na =， 而74567S a ==，故48a =，故12a =，故2n a n =，同①可得131n n T n =-+. 【点睛】方法点睛：等差数列或等比数列的处理有两类基本方法：（1）利用基本量即把数学问题转化为关于基本量的方程或方程组，再运用基本量解决与数列相关的问题；（2）利用数列的性质求解即通过观察下标的特征和数列和式的特征选择合适的数列性质处理数学问题．另外求和注意根据通项的特征选择合适的求和方法.26．（1）4，2，1，3；（2）()4,5；（3）证明见解析.【分析】(1)由条件可得12342,4,8,16a a a a =-==-= ，4213a a a a >>>，得出答案.(2)通过作差法比较相邻两项的大小关系，即1323·()55n n n n b b +--=，得到当2n 时，1n n b b +<．所以需要比较第一项的大小，得出所在的位置，计算可以得出2314b b b b >>>的大小关系．则数列{}n c 大小关系为231451n n c c c c c c c ->>>>>⋯>>．分别算出11c t =-，224c t =-，339c t =-．由列231c c c >>列不等式并求解得t 的取值范围． （3）由题意，分别证明充分性和必要性．其中，充分性证明即若有穷数列{}n a 的序数列{}n P 为等差数列，则有穷数列{}n a 为单调数列，分别讨论{}n P 为递增数列时，数列{}n a 的特点是项由大到小依次排列，得到有穷数列{}n a 为单调递减数列；同理{}n P 为递减数列，有穷数列{}n a 为单调递增数列．必要性证明同样需将有穷数列{}n a 分为递增和递减来讨论，最后得出其序数列{}n P 为等差数列；【详解】（1）由()()21,2,3,4n n a n =-=，可得12342,4,8,16a a a a =-==-=4213a a a a >>>，{}n a 的“序数列”为：4，2，1，3 （2）由题意得，因为*3·()()5n n b n n N =∈，所以1323·()55n n n n b b +--= 当2n 时，10n n b b 即1n n b b +<135b =，21825b =，381125b =，4324625b = 231451n n b b b b b b b ->>>>>⋯>>又因为2*()n c n tn n N =-+∈，且{}n b 的序数列与{}n c 的序数列相同所以231451n n c c c c c c c ->>>>>⋯>>又因为11c t =-，224c t =-，339c t =-所以24391t t t ->->-所以45t <<即(4,5)t ∈（3）充分条件：因为有穷数列{}n a 的序数列{}n P 为等差数列所以①{}n P 为1，2，3，⋯，2n -，1n -，n所以有穷数列{}n a 为递减数列，②{}n P 为n ，1n -，2n -，⋯，3，2，1所以有穷数列{}n a 为递增数列，所以由①②，有穷数列{}n a 为单调数列必要条件：因为有穷数列{}n a 为单调数列所以①有穷数列{}n a 为递减数列则{}n P 为1，2，3，⋯，2n -，1n -，n 的等差数列②有穷数列{}n a 为递增数列则{}n P 为n ，1n -，2n -，⋯，3，2，1的等差数列所以由①②，序数列{}n P 为等差数列综上，有穷数列{}n a 的序数列{}n P 为等差数列的充要条件是有穷数列{}n a 为单调数列【点睛】 关键点点睛：解答本题的关键是1323·()55n n n n b b +--=得出其单调性，即231451n n b b b b b b b ->>>>>⋯>>，从而得到231451n n c c c c c c c ->>>>>⋯>>.。
(必考题)高中数学必修五第一章《数列》检测(包含答案解析)
一、选择题1．某大楼共有12层，有11人在第一层上了电梯，他们分别要去第2至12层，每层1人，因特殊原因，电梯只能停在某一层，其余10人都要步行到所要去的楼层，假设初始的“不满意度”为0，每位乘客每向下步行一层的“不满意度”增量为1，每向上步行1层的“不满意度”增量为2，要使得10人“不满意度”之和最小，电梯应该停在第几层（ ） A ．7B ．8C ．9D ．102．我国古代数学名著《孙子算经》载有一道数学问题：“今有物不知其数，三三数之剩二，五五数之剩二，七七数之剩二，问物几何?”根据这一数学思想，所有被3除余2的整数从小到大组成数列{}n a ，所有被5除余2的正整数从小到大组成数列{}n b ，把数{}n a 与{}n b 的公共项从小到大得到数列{}n c ，则下列说法正确的是（ ） A ．122a b c +=B ．824b a c -=C ．228b c =D ．629a b c =3．若等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，首项10a >，202020210a a +>，202020210a a ⋅<，则满足0n S >成立的最大正整数n 是（ ） A ．4039B ．4040C ．4041D ．40424．记n S 为数列{}n a 的前n 项和．若点(),n n a S ，在直线60x y +-=上，则4S =（ ） A ．92B ．254C ．458D ．4095．已知数列{}n a 中，13n n a S +=，则下列关于{}n a 的说法正确的是（ ） A ．一定为等差数列 B ．一定为等比数列C ．可能为等差数列，但不会为等比数列D ．可能为等比数列，但不会为等差数列6．已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，55a =，836S =，则数列11{}n n a a +的前n 项和为（ ） A ．11n + B ．1n n + C ．1n n- D ．11n n -+ 7．已知等差数列{}n a 的首项为1a ，公差为d ，其前n 项和为n S ，若直线112y a x m =+与圆()2221x y -+=的两个交点关于直线0x y d +-=对称，则数列1n S ⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前10项和为（ ）A ．1011B ．910C ．89 D ．28．若数列{}n a 满足*111(n nd n N a a +-=∈，d 为常数)，则称数列{}n a 为调和数列，已知数列21n x ⎧⎫⎨⎬⎩⎭为调和数列，且222212320184036x x x x +++⋯+=，则92010x x +的最大值为（ ） AB ．2C．D ．49．数列{}n a 满足122,1a a ==，并且()111212n n n n a a a -+=-≥，则1011a a +=（ ） A ．192B ．212C ．2155D ．236610．已知函数()()31f x x x =-+，数列{}n a 中各项互不相等，记()()()12n n S f a f a f a =+++，给出两个命题：①若等差数列{}n a 满足55S =，则33a =；②若正项等比数列{}n a 满足33S =，则21a <；其中（ ）A ．①是假命题，②是真命题B ．①是真命题，②是假命题C ．①②都是假命题D ．①②都是真命题11．等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，1000S >，1010S <，则满足10n n a a +<的n =（ ） A ．50B ．51C ．100D ．10112．已知定义域为R 的函数f (x )满足f (x )=3f (x +2)，且1224,[0,1)()3,[1,2]x x f x x x x -⎧⎪∈=⎨⎪-+∈⎩，设f (x )在[2n -2,2n )上的最大值为*()n a n N ∈，且数列{a n }的前n 项和为S n ，若S n <k 对任意的正整数n均成立，则实数k 的取值范围为（ ） A ．27,8⎛⎫+∞⎪⎝⎭B ．27,8⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭C ．27,4⎛⎫+∞⎪⎝⎭D ．27,4⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭二、填空题13．数列{}n a 中，1111,,21n n n a a a a --==+则n a =_____________.14．在数列{}n a 中，11a =，0n a ≠，曲线3y x =在点()3,n n a a 处的切线经过点()1,0n a +，下列四个结论：①223a =；②313a =；③416527i i a ==∑；④数列{}n a 是等比数列；其中所有正确结论的编号是______.15．在平面直角坐标系xOy 中，直线l 经过坐标原点，()3,1n =是l 的一个法向量.已知数列{}n a 满足：对任意的正整数n ，点()n 1n a ,a +均在l 上，若2a 6=，则3a 的值为______．16．数列{}n a 中，若31()n na a n *+=∈N ，13a =，则{}n a 的通项公式为________. 17．在数列{}n a 中，11a =()*1n =∈N ；等比数列{}n b 的前n 项和为2n n S m =-．当n *∈N 时，使得n n b a λ≥恒成立的实数λ的最小值是_________．18．已知下列结论：①若数列{}n a 的前n 项和21n S n =+，则数列{}n a 一定为等差数列.②若数列{}n a 的前n 项和21nn S =-，则数列{}n a 一定为等比数列.③非零实数,,a b c 不全相等，若,,a b c 成等差数列，则111,,a b c 可能构成等差数列. ④非零实数,,a b c 不全相等，若,,a b c 成等比数列，则111,,a b c一定构成等比数列. 则其中正确的结论是_______.19．记n S 为等差数列{}n a 的前n 项和，若22a =-，714S =，则10a =__________. 20．若等差数列{}n a 中，10a <，n S 为前n 项和，713S S =，则当n S 最小时n =________．三、解答题21．已知各项为正数的等比数列{}n a ，前n 项和为n S ，若2125,2,log a log a 成等差数列，37S =，数列{}n b 满足，11b =，数列11n n n b b a ++⎧⎫-⎨⎬⎩⎭的前n 项和为232n n+ （1）求{}n a 的公比q 的值； （2）求{}n b 的通项公式.22．已知正项等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，12a =，2232S a a =+. （1）求数列{}n a 的通项公式； （2）设21n nn b a -=，求数列{}n b 的前n 项和. 23．已知数列{}n a 的前n 项和是2n S n =.（1）求数列{}n a 的通项公式； （2）记12n n n b a a +=，设{}n b 的前n 项和是n T ，求使得20202021n T >的最小正整数n ． 24．在数列{}n a 中，已知12a =，且12(1)(1)n n na n a n n +=+-+，*n ∈N . （1）设1nn a b n=-，求数列{}n b 的通项公式； （2）求数列{}n a 的前n 项和n T .25．已知等差数列{}n a 和等比数列{}n b 的首项均为1，{}n b 的前n 项和为n S ，且22a S =，43a S =.（1）求数列{}n a ，{}n b 的通项公式；（2）设n n n c a b =⋅，*n N ∈，求数列{}n c 的前n 项和n T . 26．已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，且n nS a 和2n a 的等差中项为1． （Ⅰ）求数列{}n a 的通项公式；（Ⅱ）设41log n n b a +=，求数列11n n b b +⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和n T ．【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题 1．C 解析：C 【分析】根据题意，假设电梯所停的楼层，表达出“不满意度”之和，利用等差数列的求和公式即可求得结论． 【详解】解：设电梯所停的楼层是(212)n n ，则12(2)2[12(12)]S n n =++⋯+-+++⋯+- (2)(1)(12)(13)222n n n n ----=+⨯ 22235335353()157()157232624n n n =-+=--+ 开口向上，对称轴为5396x =≈， 故S 在9n =时取最小值239539314402min S ⨯-⨯+==．故选：C ． 【点睛】本题考查数列知识，考查函数思想的运用，考查计算能力，求得“不满意度”之和是关键．2．C解析：C 【分析】根据题意数列{}n a 、{}n b 都是等差数列，从而得到数列{}n c 是等差数列，依次对选项进行判断可得答案.【详解】根据题意数列{}n a 是首项为2，公差为3的等差数列， 23(1)31n a n n =+-=-， 数列{}n b 是首项为2，公差为5的等差数列，25(1)53n b n n =+-=-，数列{}n a 与{}n b 的公共项从小到大得到数列{}n c ，故数列{}n c 是首项为2，公差为15的等差数列，215(1)1513n c n n =+-=-，对于A ， 12222539,1521317a b c +=+⨯-==⨯-=， 122a b c +≠，错误； 对于B ， 82458332132,1541347b a c -=⨯--⨯+==⨯-=，824b a c -≠，错误； 对于C ， 2285223107,15813107b c =⨯-==⨯-=，228b c =，正确；对于D ， ()()629361523119,15913122a b c =⨯-⨯⨯-==⨯-=，629a b c ≠，错误. 故选：C. 【点睛】本题考查了等差数列的定义、通项公式，解题的关键是利用数列{}n a 、{}n b 都是等差数列得到数列{}n c 的通项公式，考查了理解能力和计算能力.3．B解析：B 【分析】由等差数列的10a >，及202020210a a ⋅<得数列是递减的数列，因此可确定202020210,0a a ><，然后利用等差数列的性质求前n 项和，确定和n S 的正负．【详解】∵202020210a a ⋅<，∴2020a 和2021a 异号，又数列{}n a 是等差数列，首项10a >，∴{}n a 是递减的数列，202020210,0a a ><， 由202020210a a +>，所以140404040202020214040()2020()02a a S a a +==+>，14041404120214041()404102a a S a +==<，∴满足0n S >的最大自然数n 为4040． 故选：B ． 【点睛】关键点睛：本题求满足0n S >的最大正整数n 的值，关键就是求出100n n S S +><，，时成立的n 的值，解题时应充分利用等差数列下标和的性质求解,属于中档题.4．C解析：C 【分析】由题可得，S 60n n a +-=，根据11,1,2n nn S n a S S n -=⎧=⎨-≥⎩，可求得{}n a 为等比数列，进而可求得本题答案. 【详解】因为点(),n n a S 在直线60x y +-=上，所以S 60n n a +-=. 当1n =时，1160a S +-=，得13a =；当2n ≥时，S 60n n a +-=①，1160n n a S --+-=②，①-②得，112n n a a -=， 所以数列{}n a 为等比数列，且公比12q =，首项13a =， 则()4414131124511812a q S q⎡⎤⎛⎫⨯-⎢⎥ ⎪-⎝⎭⎢⎥⎣⎦===--. 故选：C 【点睛】本题主要考查根据,n n a S 的关系式求通项公式n a 的方法.5．C解析：C 【分析】根据13n n a S +=得14n n S S +=，分类讨论当10S =和10S ≠两种情况分析得数列{}n a 可能为等差数列，但不会为等比数列. 【详解】解：13n n a S +=，13n n n S S S +∴=-， 14n n S S +∴=，若10S =，则数列{}n a 为等差数列；若10S ≠，则数列{}n S 为首项为1S ，公比为4的等比数列，114n n S S -∴=⋅，此时21134n n n n a S S S -==-⋅﹣（2n ≥），即数列从第二项起，后面的项组成等比数列.综上，数列{}n a 可能为等差数列，但不会为等比数列. 故选：C. 【点睛】本题考查等差数列、等比数列的判断，考查学生分析解决问题的能力，正确分类讨论是关键.6．B解析：B 【解析】设等差数列{}n a 的首项为1a ，公差为d . ∵55a =，836S =∴114582836a d a d +=⎧⎨+=⎩∴111a d =⎧⎨=⎩∴n a n =，则11111(1)1+==-++n n a a n n n n ∴数列11n n a a +⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和为1111111111122334111nn n n n -+-+-+⋅⋅⋅+-=-=+++ 故选B.点睛：裂项相消法是最难把握的求和方法之一，其原因是有时很难找到裂项的方向，突破这一难点的方法是根据式子的结构特点，常见的裂项技巧：(1)()1111n n k k n n k ⎛⎫=- ⎪++⎝⎭；（2）1k=； （3）()()1111212122121n n n n ⎛⎫=- ⎪-+-+⎝⎭；（4）()()11122n n n =++()()()11112n n n n ⎡⎤-⎢⎥+++⎢⎥⎣⎦；此外，需注意裂项之后相消的过程中容易出现丢项或多项的问题，导致计算结果错误.7．A解析：A 【分析】由题意可知，直线112y a x m =+与直线0x y d +-=垂直，且直线0x y d +-=过圆心，可求得1a 和d 的值，然后利用等差数列的求和公式求得n S ，利用裂项法可求得数列1n S ⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前10项和. 【详解】 由于直线112y a x m =+与圆()2221x y -+=的两个交点关于直线0x y d +-=对称， 则直线112y a x m =+与直线0x y d +-=垂直，直线0x y d +-=的斜率为1-，则1112a =，可得12a =， 且直线0x y d +-=过圆()2221x y -+=的圆心()2,0，则20d -=，可得2d =，()()112212n a a n d n n ∴=+-=+-=，则()()()122122n n n a a n n S n n ++===+，()111111n S n n n n ∴==-++， 因此，数列1n S ⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前10项和为1111111110112233410111111⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫-+-+-++-=-= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭.故选：A. 【点睛】本题考查裂项求和，同时也考查了直线与圆的综合问题，以及等差数列求和公式的应用，考查计算能力，属于中等题.8．C解析：C 【分析】 先由题设21n x ⎧⎫⎨⎬⎩⎭为调和数列{}2n x ⇒是等差数列，进而利用等差数列的前n 项和公式及性质求得2292010x x +的值，再利用基本不等式求得92010x x +的最大值即可.【详解】解：由题设知：2212211111n n n n x x d x x ++-=-=*(n N ∈，d 为常数)， {}2n x ∴是等差数列， 2222221201812320182018()40362x x x x x x++++⋯+==， 222212018920104x x x x ∴+==+，2292010920102x x x x +(当且仅当92010x x =时取“等号“)， 2229201092010()2()8x x x x ∴++=，9201022x x ∴+(当且仅当92010x x =“等号“)，92010x x ∴+的最大值为故选：C. 【点睛】本题主要考查等差数列的定义、性质、前n 项和公式及基本不等式在处理最值中的应用，属于中档题.9．C解析：C 【解析】 依题意有11111121,2n n n n n n n n a a a a a a a a -++--=-=-，由此计算得323a =，424a =，……101110112221,,101155a a a a ==+=. 10．A解析：A 【分析】先确定函数()f x 对称性与单调性，再结合等差数列的等距性确定3a ；结合基本不等式将等比数列性质转化到等差数列性质上，解不等式即得结果. 【详解】因为()()()3311(1)1f x x x x x =-+=-+-+，而3y x x =+关于原点对称且在R 上单调递增，所以()f x 关于(1,1)对称且在R 上单调递增， 先证明下面结论：若()g x 为奇函数且在R 上单调递增，{}n a 为等差数列，123g()()()()0n a g a g a g a ++++=，则1230n a a a a ++++=.证明：若1230n a a a a ++++>，则当n 为偶数时，1211220n n n n a a a a a a -++=+==+>111()()()()+()0n n n n a a g a g a g a g a g a >-∴>-=-∴>同理21+122()()0,,()+()0n n n g a g a g a g a -+>>，即123g()()()()0n a g a g a g a ++++>与题意矛盾，当n 为奇数时，1211220n n n a a a a a -++=+==>类似可得12112()()0,()(),,()0n n n g a g a g a g a g a -++>+>，即123g()()()()0n a g a g a g a ++++>，与题意矛盾同理可证1230n a a a a ++++<也不成立，因此1230n a a a a ++++=再引申结论：若()f x 为关于(,)a b 函数且在R 上单调递增，{}n a 为等差数列，123()()()()n f a f a f a f a nb ++++=，则123n a a a a na ++++=证明过程只需令()()g x f x a b =+-，再利用上面结论即得.①若等差数列{}n a 满足55S =，即 12345()()()()()5f a f a f a f a f a ++++=，则123453555a a a a a a ++++=∴=， 31a ∴=，故①是假命题，②若正项等比数列{}n a 满足33S =， 即123()()()3f a f a f a ++= 因为数列{}n a 中各项互不相等，所以公比不为1，不妨设公比大于1，即123123()()()a a a f a f a f a <<∴<<，因为1322a a a +>=∴2()1f a <，()3222111a a a -+<∴<故②是真命题 故选：A 【点睛】本题考查函数()f x 对称性与单调性、等差数列性质、基本不等式应用，考查综合分析判断能力，属中档题.11．A解析：A 【分析】由题意和等差数列求和公式与性质可得50510a a +>；510a <，进而可得500a >，据此分析可得答案． 【详解】根据题意，等差数列{}n a 中，1000S >，1010S <， 则有110010*********()10050()50()02a a S a a a a +⨯==+=+>，则有50510a a +>；又由110110151()10110102a a S a +⨯==<，则有510a <；则有500a >，若10n n a a +<，必有50n =； 故选：A ． 【点睛】本题考查等差数列的前n 项和公式的应用，涉及等差数列的性质，属于基础题．12．B解析：B 【分析】运用二次函数的最值和指数函数的单调性求得[0,2]x ∈的()f x 的最大值，由递推式可得数列{}n a 为首项为94，公比为13的等比数列，由等比数列的求和公式和不等式恒成立思想可得k 的最小值【详解】解：当[0,2]x ∈时，且1224,[0,1)()3,[1,2]x x f x x x x -⎧⎪∈=⎨⎪-+∈⎩， 可得01x ≤<时，()f x 的最大值为(0)2f =，12x <≤时，()f x 的最大值为39()24f =，即当[0,2]x ∈时，()f x 的最大值为94， 当24x ≤<时，1()(2)3f x f x =-的最大值为912，当46x ≤<时，1()(2)3f x f x =-的最大值为936， ……可得数列{}n a 为首项为94，公比为13的等比数列， 所以91(1)2712743(1)183813n n nS -==-<-， 由S n <k 对任意的正整数n 均成立，可得278k ≥， 所以实数k 的取值范围为27,8⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭，故选：B 【点睛】此题考查分段函数的最值求法和等比数列的求和公式，以及不等式恒成立问题的解法，考查转化思想和运算能力，属于中档题二、填空题13．【分析】对两边取到数可得从而可得数列是等差数列求出数列的通项公式即可求出【详解】因为所以即又所以数列是以为首项2为公差的等差数列所以所以故答案为：【点睛】本题主要考查取到数构造新数列同时考查等差数列解析：121n - 【分析】 对1121n n n a a a --=+两边取到数可得1112n n a a --=，从而可得数列1{}n a 是等差数列，求出数列1{}na 的通项公式，即可求出n a . 【详解】 因为1121n n n a a a --=+，所以11121112n n n n a a a a ---+==+，即1112n n a a --=，又111a ，所以数列1{}na 是以1为首项，2为公差的等差数列， 所以11(1)221n n n a =+-⨯=-，所以121n a n =-. 故答案为：121n - 【点睛】本题主要考查取到数构造新数列，同时考查等差数列的概念及通项公式，属于中档题.14．①③④【分析】先利用导数求得曲线在点处的切线方程由此求得与的递推关系式进而证得数列是等比数列由此判断出四个结论中正确的结论编号【详解】∵∴曲线在点处的切线方程为则∵∴则是首项为1公比为的等比数列从而解析：①③④ 【分析】先利用导数求得曲线3y x =在点()3,n n a a 处的切线方程，由此求得1n a +与n a 的递推关系式，进而证得数列{}n a 是等比数列，由此判断出四个结论中正确的结论编号. 【详解】∵2'3y x =，∴曲线3y x =在点()3,n n a a 处的切线方程为()323n n n y a a x a -=-，则()3213n n n n a a a a +-=-.∵0n a ≠，∴123n n a a +=， 则{}n a 是首项为1，公比为23的等比数列， 从而223a =，349a =，4412165322713i i a =⎛⎫- ⎪⎝⎭==-∑. 故所有正确结论的编号是①③④. 故答案为：①③④ 【点睛】本小题主要考查曲线的切线方程的求法，考查根据递推关系式证明等比数列，考查等比数列通项公式和前n 项和公式，属于基础题.15．-2【分析】由直线的法向量可得直线的斜率和直线方程求得则数列为公比q为的等比数列运用等比数列的通项公式可得所求值【详解】直线经过坐标原点是的一个法向量可得直线的斜率为即有直线的方程为点均在上可得即有解析：-2 【分析】由直线的法向量可得直线的斜率和直线方程，求得n 1n 1a a 3+=-，则数列{}n a 为公比q 为13-的等比数列，运用等比数列的通项公式可得所求值． 【详解】直线经过坐标原点，()n 3,1=是l 的一个法向量， 可得直线l 的斜率为3-， 即有直线l 的方程为y 3x =-，点()n 1n a ,a +均在l 上，可得n n 1a 3a +=-， 即有n 1n 1a a 3+=-，则数列{}n a 为公比q 为13-的等比数列， 可得321a a q 623⎛⎫==⨯-=- ⎪⎝⎭． 故答案为2-． 【点睛】本题主要考查等比数列的定义和通项公式的运用，考查直线方程的求法，考查运算能力，属于基础题．16．【分析】两边取对数化简整理得得到数列是以为首项公比为3的等比数列结合等比数列的通项公式即可求解【详解】由两边取对数可得即又由则所以数列是以为首项公比为3等比数列则所以故答案为：【点睛】本题主要考查了 解析：133()n n a n -*=∈N【分析】两边取对数，化简整理得313log 3log n na a +=，得到数列3{log }n a 是以1为首项，公比为3的等比数列，结合等比数列的通项公式，即可求解. 【详解】由31()n na a n *+=∈N ，两边取对数，可得313log 3log n n a a +=，即313log 3log n na a +=， 又由13a =，则31log 1a =，所以数列3{log }n a 是以31log 1a =为首项，公比为3等比数列，则113log 133n n n a --=⋅=，所以133()n n a n -*=∈N .故答案为：133()n n a n -*=∈N 【点睛】本题主要考查了对数的运算性质，以及等比数列的通项公式的求解，其中解答中合理利用对数的运算性质，结合等比数列的通项公式求解是解答的关键，着重考查推理与运算能力.17．【分析】分别求出的通项再构建新数列求出最大项后可得实数的最小值【详解】因为故是以1为首项以1为公差的等差数列所以当时是等比数列也适合故即又恒成立等价于恒成立令则当时当时故【点睛】方法点睛：含参数的数解析：94【分析】分别求出{}n a 、{}n b 的通项，再构建新数列212n n n c -=，求出{}n c 最大项后可得实数λ的最小值. 【详解】()*1n =∈N，故是以1为首项，以1为公差的等差数列，()11n n =+-⨯=，2*()n a n n N ∴=∈．当2n ≥时，111(2)(2)2nn n n n n b S S m m ---=-=---=，{}n b 是等比数列，112b S m ∴==-也适合12n n b -=，故21m -=即1m =，1*2()n n b n N -∴=∈．又n n b a λ≥恒成立等价于212n n λ-≥恒成立，2max max 1()()2n n n a n b λ-∴≥=，令212n n n c -=，则()2221121142222n n n n n n n n n c c --------=-=， 当23n ≤≤时，10-->n n c c ，当4n ≥时，10n n c c --<， 故max 39()4n c c ==，94λ∴≥． 【点睛】方法点睛：含参数的数列不等式的恒成立，可利用参变分离将参数的取值范围问题转化新数列的最值问题，后者可利用数列的单调性来处理.18．②④【分析】①先求出再当时求出判断当时有判断①错误；②先求出再当时求出判断数列是以1为首项以2为公比的等比数列判断②正确；③先建立方程组再整理得与非零实数不全相等矛盾判断③错误；④先得方程整理得判断解析：②④ 【分析】①先求出12a =，再当2n ≥时求出21n a n =-，判断当1n =时有11n a a =≠，判断①错误；②先求出11a =，再当2n ≥时求出12n na ，判断数列{}n a 是以1为首项以2为公比的等比数列，判断②正确；③先建立方程组2112a c b a c ac a c b +⎧=+=⎪⎨⎪+=⎩，再整理得a b c ==与非零实数,,a b c 不全相等矛盾，判断③错误；④先得方程2b ac =，整理得2111()b a c =⨯，判断④正确. 【详解】①：数列{}n a 的前n 项和21n S n =+， 当1n =时，211112a S ==+=，当2n ≥时，221(1)(1)121n n n a S S n n n -⎡⎤=-=+--+=-⎣⎦，当1n =时，11n a a =≠，故①错误；②：数列{}n a 的前n 项和21nn S =-， 当1n =时，111211a S ==-=，当2n ≥时，111(21)(21)2n n n n n n a S S ---=-=---=，当1n =时，11n a a ==，且12nn a a -= 所以数列{}n a 是以1为首项，以2为公比的等比数列， 故②正确；③：若111,,a b c是等差数列，则211a c b a c ac+=+=， 因为,,a b c 成等差数列，则2a c b +=，则2112a cb ac ac a c b +⎧=+=⎪⎨⎪+=⎩，整理得a b c ==，与非零实数,,a b c 不全相等矛盾， 故③错误；④：因为非零实数,,a b c 不全相等，且,,a b c 成等比数列， 所以2b ac =，则21111b ac a c==⨯， 则111,,a b c一定构成等比数列. 故④正确. 故答案为：②④. 【点睛】本题考查等差数列和等比数列的判断，是基础题.19．14【分析】本题先求再求即可解题【详解】解：因为数列是等差数列所以解得所以故答案为：14【点睛】本题考查等差数列的基本量法是基础题解析：14 【分析】本题先求1a 、d ，再求10a 即可解题. 【详解】解：因为数列{}n a 是等差数列，22a =-，714S =所以217127(71)7142a a d S a d =+=-⎧⎪⎨⨯-=+=⎪⎩，解得142a d =-⎧⎨=⎩， 所以101914a a d =+= 故答案为：14 【点睛】本题考查等差数列的基本量法，是基础题.20．10【分析】根据条件确定中项的符号变化规律即可确定最小时对应项数【详解】单调递增因此即最小故答案为：10【点睛】本题考查等差数列性质等差数列前项和性质考查基本分析求解能力属中档题解析：10 【分析】根据条件确定{}n a 中项的符号变化规律，即可确定n S 最小时对应项数. 【详解】7138910111213101103()0S S a a a a a a a a =∴+++++=∴+= 17130,a S S <=∴{}n a 单调递增，因此10110,0a a <>即10n =，n S 最小 故答案为：10 【点睛】本题考查等差数列性质、等差数列前n 项和性质，考查基本分析求解能力，属中档题.三、解答题21．（1）2q ；（2）()121n n b n =-⋅+.【分析】（1）对正项的等比数列{}n a ，利用基本量代换，列方程组，解出公比q ； （2）设11n nn n b b d a ++-=，由题意分析、计算得 1n d n =+，从而得到()112n n n b b n +-=+⋅，用累加法和错位相减法求出 n b .【详解】（1）∵2125log ,2,log a a 成等差数列，∴ ()225215log log log 4a a a a +==，即132516a a a ==，又0,n a >34a ∴=，又37,S =21211147a q a a q a q ⎧=∴⎨++=⎩ 解得2q或23q =-(舍).()2记11n n n n b b d a ++-=，当2n ≥时，()()221313122n n n n n d n -+-+=-=+又12d =也符合上式，1n d n ∴=+.而31322n n n a a --=⋅=，()112n n n b b n +∴-=+⋅，()()()21121321122322,)2(n n n n b b b b b b b b n n --∴=+-+-+⋯+-=+⋅+⋅+⋯+⋅≥， ()231222232122n n n b n n -∴=+⋅+⋅+⋅⋅⋅+-⋅+⋅两式相减得()2112222121n n n n b n n --=+++⋯+-⋅=-⋅-，()2)2(11,n n b n n ∴=-⋅+≥.而11b =也符合上式， 故()121nn b n =-⋅+.【点睛】(1) 等差（比）数列问题解决的基本方法：基本量代换； (2)数列求和常用方法：①公式法；②倒序相加法；③裂项相消法；④错位相减法．22．（1）2nn a =；（2）()13232nn T n ⎛⎫=-+⨯ ⎪⎝⎭. 【分析】(1)求等比数列的通项公式用公式法，基本量代换；(2) ()121221n nn n n b a ⎛⎫=- ⎝=⎪⎭-，用错位相减法求和.【详解】解：（1）设{}n a 的公比为q ，0q >2232S a a =+∴()12122a a a q a q +=+ ∴2q∴1222n nn a -=⋅=.（2）()1212nn b n ⎛⎫=- ⎪⎝⎭设{}n b 的前n 项和为n T∴()()23111111135232122222n nn T n n -⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=⨯+⨯+⨯++-⨯+-⨯ ⎪ ⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭①()()2311111113232122222nn n T n n +⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=⨯+⨯++-⨯+-⨯ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭②①-②()23111111122221222222nn n T n +⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+⨯+⨯++⨯--⨯ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭()111112211121122212n n n T n -+⎡⎤⎛⎫-⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎛⎫⎣⎦=+--⨯ ⎪⎝⎭-()1111112212222nn n T n +⎛⎫⎛⎫=+-⋅--⨯ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭所以()11342122nnn T n ⎛⎫⎛⎫=-⋅--⨯ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭所以()13232nn T n ⎛⎫=-+⨯ ⎪⎝⎭.【点睛】(1) 等差（比）数列问题解决的基本方法：基本量代换；(2)数列求和的方法：公式法、裂项相消法、错位相减法、倒序相加法． 23．（1）21n a n =-；（2）1011. 【分析】（1）利用1n n n a S S -=-可得答案； （2）求出112121n b n n =--+利用裂项相消可得答案. 【详解】 （1）111a S ==，当2n ≥时，()221121n n n a S S n n n -=-=--=-，1a 符合上式，所以21n a n =-． （2）()()21121212121n b n n n n ==--+-+， ∴11111111335212121n T n n n =-+-++-=--++， 令120201212021n ->+，解得1010n >， 所以最小正整数n 为1011. 【点睛】数列求和的方法技巧：（ 1）倒序相加：用于等差数列、与二项式系数、对称性相关联的数列的求和． （ 2）错位相减：用于等差数列与等比数列的积数列的求和． （ 3）分组求和：用于若干个等差或等比数列的和或差数列的求和．（ 4）裂项相消法：用于通项能变成两个式子相减，求和时能前后相消的数列求和. 24．（1）12n n b -=；（2）22(1)22nn n n T n ++=-⋅+. 【分析】（1）由定义证明数列{}n b 是等比数列，得出数列{}n b 的通项公式；（2）由{}n b 的通项公式求出n a ，再由错位相减法以及分组求出法得出数列{}n a 的前n 项和n T . 【详解】解：（1）因为12(1)(1)n n na n a n n +=+-+，所以1211n n a an n+=⋅-+ 所以11211n n a a n n +⎛⎫-=- ⎪+⎝⎭，又1111a -=所以{}n b 是首项为1，公比为2的等比数列，所以12n nb -=.（2）由（1）知，()()111212n n n n n a b n n n --=+⋅=+=⋅+⋅所以()21(1)11223222n n n n T n -+=⨯+⨯+⨯++⋅+设211122322n n S n -=⨯+⨯+⨯++⋅① 232S 1222322n n n =⨯+⨯+⨯++⋅②①-②得211212222?212nn nn n S n n ---=++++-⋅=--所以(1)21n n S n =-⋅+所以22(1)22nn n n T n ++=-⋅+. 【点睛】关键点睛：在第二问中，对于求{}n a 的前n 项和，关键是利用错位相减法结合分组求和得出n T .25．（1）()1121n a a n d n =+-=-，1112nn n b b q ；（2）()3232n n T n =+-⋅.【分析】（1）设等差数列{}n a 的公差为d ，等比数列{}n b 的公比为q ，由22a S =，43a S =,求得2,2d q ==，然后利用等差数列和等比数列通项公式求解.（2）由（1）得到()1212n n c n -=-⋅，然后错位相减法求解.【详解】（1）设等差数列{}n a 的公差为d ，等比数列{}n b 的公比为q ， 因为22a S =，43a S =,所以11d q +=+，2131d q q +=++，解得2,2d q ==所以()1121n a a n d n =+-=-，1112nn n b b q ；（2）由（1）知：()1212n n c n -=-⋅，所以()0121123252...212n n T n -=⋅+⋅+⋅++-⋅， 则()1232123252...212nn T n =⋅+⋅+⋅++-⋅， 两式相减得：()23122...2212n nn T n -=++++--⋅，()()1412121212n n n --=+--⋅-，()3322n n =-+-⋅，所以()3232nn T n =+-⋅.【点睛】方法点睛：求数列的前n 项和的方法 (1)公式法：①等差数列的前n 项和公式，()()11122n n n a a n n S na d +-==+②等比数列的前n 项和公式()11,11,11nn na q S a q q q=⎧⎪=-⎨≠⎪-⎩；(2)分组转化法：把数列的每一项分成两项或几项，使其转化为几个等差、等比数列，再求解．(3)裂项相消法：把数列的通项拆成两项之差求和，正负相消剩下首尾若干项．(4)倒序相加法：把数列分别正着写和倒着写再相加，即等差数列求和公式的推导过程的推广．(5)错位相减法：如果一个数列的各项是由一个等差数列和一个等比数列对应项之积构成的，则这个数列的前n 项和用错位相减法求解.(6)并项求和法：一个数列的前n 项和中，可两两结合求解，则称之为并项求和．形如a n ＝(－1)n f (n )类型，可采用两项合并求解．26．（Ⅰ）2n n a =；（Ⅱ）22n n T n =+． 【分析】（Ⅰ）利用等差中项的定义得出n S 与n a 的关系，然后由1(2)n n n a S S n -=-≥得出数列{}n a 的递推关系，求出1a 其为等比数列，从而得通项公式；（Ⅱ）用裂项相消法求和n T ．【详解】解：（Ⅰ）因为n nS a 和2n a 的等差中项为1， 所以22n n nS a a +=，即22n n S a =-， 当2n 时，1122n n S a --=-．两式相减得1122n n n n S S a a ---=-，整理得12n n a a -=．在22n n S a =-中，令1n =得12a =，所以，数列{}n a 是以2为首项，2为公比的等比数列，因此1222n n n a -=⨯=．（Ⅱ）411log 2n n n b a ++==． 则114114(1)(2)12+⎛⎫==- ⎪++++⎝⎭n n b b n n n n ． 所以11111111244233412222n n T n n n n ⎛⎫⎛⎫=⨯-+-++-=⨯-=⎪ ⎪++++⎝⎭⎝⎭． 【点睛】方法点睛：本题考查求等比数列的通项公式，裂项相消法求和．数列求和的常用方法： 设数列{}n a 是等差数列，{}n b 是等比数列，（1）公式法：等差数列或等比数列的求和直接应用公式求和；（2）错位相减法：数列{}n n a b 的前n 项和应用错位相减法；（3）裂项相消法；数列1{}n n ka a +（k 为常数，0n a ≠）的前n 项和用裂项相消法； （4）分组（并项）求和法：数列{}n n pa qb +用分组求和法，如果数列中的项出现正负相间等特征时可能用并项求和法；（5）倒序相加法：满足m n m a a A -+=（A 为常数）的数列，需用倒序相加法求和．。
(压轴题)高中数学必修五第一章《数列》测试题(包含答案解析)(4)
一、选择题1．设等差数列{}n a 前n 项和为n S ，等差数列{}n b 前n 项和为n T ，若11n n S n T n -=+．则55a b =（ ） A ．23B ．45C ．32D ．542．已知数列{}n a 中，12a =，()*,N n m n m a a a n m +=⋅∈，若1234480k k k k a a a a +++++++=，则k =（ ）A ．3B ．4C ．5D ．63．记n S 为数列{}n a 的前n 项和．若点(),n n a S ，在直线60x y +-=上，则4S =（ ） A ．92B ．254C ．458D ．4094．已知等差数列{}n a 的前n 和为n S ，若1239a a a ++=，636S =，则12(a = ) A ．23B ．24C ．25D ．265．已知数列1a ，21a a ，…1nn a a -，…是首项为1，公比为2的等比数列，则2log n a =（ ）A ． (1)n n +B ．(1)4n n - C ．(1)2n n + D ．(1)2n n - 6．在ABC ∆中，内角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，已知222,,a b c 成等差数列，则cos B 的最小值为（ ）A ．12B．2C ．34D．27．数列{}n a 的前n 项和为()21n S n n =-（*n ∈N ），若173a a ka +=，则实数k 等于（ ）A ．2B ．3C ．269 D ．2598．数列{}n a 满足122,1a a ==，并且()111212n n n n a a a -+=-≥，则1011a a +=（ ） A ．192B ．212C ．2155D ．23669．记n S 为等比数列{}n a 的前n 项和，若数列{}12n S a -也为等比数列，则43a a =（ ）．A ．2B ．1C ．32D ．1210．已知数列{}n a 为等差数列，10a <且1231990a a a a +++⋅⋅⋅+=，设()*12n n n n b a a a n N ++=∈，当{}n b 的前n 项和n S 最小时，n 的值有（ ）A ．5个B ．4个C ．3个D ．2个11．已知数列{}n a 的通项公式为211n aa n n n=-+，5a 是数列{}n a 的最小项，则实数a 的取值范围是（ ） A ．[40,25]--B ．[40,0]-C ．[25,0]-D ．[25,0]-12．已知数列{}n a 中，11a =，又()1,1n a a +=，()21,1n b a =+，若//a b ，则4a =（ ） A ．7B ．9C ．15D ．17二、填空题13．设数列{}2()n n n a +是等比数列，且116a =，2154a =，则数列{3}n n a 的前15项和为__________． 14．已知111,2n n a a a +==，若(1)n n n b a n =+-⋅，则数列{}n b 的前10项的和10S =______．15．已知等比数列{}n a 中，21a =，58a =-，则{}n a 的前6项和为__________． 16．已知公差不为0的等差数列的首项12a =，前n 项和为n S ，且________（①1a ，2a ，4a 成等比数列；②(3)2n n n S +=；③926a =任选一个条件填入上空）.设3nn a b =，n n n a c b =，数列{}n c 的前n 项和为n T ，试判断n T 与13的大小. 17．若数列{}n a 满足12a =，141n n a a +=+，则使得22020n a ≥成立的最小正整数n 的值是______.18．已知等比数列{a n }的前n 项和为S n ，且133,12n n a S a λ++==，则实数λ的值为_____ 19．若数列{}n a 满足：15n n a a n ++=，11a =，则2020a =________________. 20．已知数列{}n a 中，11a =，()11*22,2n n n a a n N n a --=≥+∈，若1211145ma a a +++=，则m =________． 三、解答题21．已知等差数列{}n a 满足，*n ∀∈N ，1n n a a +>，12a =且1a ，2a ，4a 成等比数列．（1）求{}n a 的通项公式；（2）若2nn n b a =，求数列{}n b 的前n 项和n S ．22．已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，且233n n S a =-. （1）求数列{}n a 的通项公式; （2）设3log n n b a =，nn nb c a =，求数列{}n c 的前n 项和n T . 23．已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，且233n n S a =-. （1）求数列{}n a 的通项公式； （2）设3log n n b a =，11n n n c b b +=，求数列{}n c 的前n 项和n T . 24．已知数列{}n a 是等差数列，n S 是数列{}n a 的前n 项和，35a =，749=S . （1）求数列{}n a 的通项公式及前n 项和n S ；（2）若数列{}n b满足2n b =，求数列{}n b 的前n 项和n T .25．已知{}n a 是由正整数组成的无穷数列，该数列前n 项的最大值记为n A ，最小值记为n B ，令nn nA bB =． （1）若2(1,2,3,)n a n n ==，写出1b ，2b ，3b 的值．（2）证明：1(1,2,3,)n n b b n +≥=．（3）若{}n b 是等比数列，证明：存在正整数0n ，当0n n 时，n a ，1n a +，2n a +是等比数列．26．在①121n n S S +=+，②214a =，③112n n S a +=-这三个条件中选择两个，补充在下面问题中，给出解答．已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，满足____，____；又知正项等差数列{}n b 满足13b =，且1b ，32b -，7b 成等比数列．（1）求{}n a 和{}n b 的通项公式； （2）设nn nb c a =，求数列{}n c 的前项和n T ．【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题1．B 解析：B 【分析】本题首先可令9n =，得出9945S T =，然后通过等差数列的性质得出959S a =以及959T b =，代入9945S T =中，即可得出结果. 【详解】因为11n n S n T n -=+，所以99914915S T -==+， 因为n S 是等差数列{}n a 前n 项和，n T 是等差数列{}n b 前n 项和， 所以()1995992a a S a +==，()1995992b b T b +==，则95959459S a T b ==，5545a b =， 故选：B. 【点睛】关键点点睛：本题考查等差数列的相关性质的应用，主要考查等差数列前n 项和公式以及等差中项的应用，若等差数列{}n a 前n 项和为n S ，则()12n n n a a S +=，当2m n k +=时，2m n k a a a +=，考查化归与转化思想，是中档题.2．B解析：B 【分析】由已知，取1m =，则112n n n a a a a +=⋅=，得出数列{}n a 是以2为首项，2为公差的等比数列，根据等比数列的通项公式建立方程得可求得解． 【详解】因为数列{}n a 中，12a =，()*,N n m n m a a a n m +=⋅∈，所以取1m =，则112n n n a a a a +=⋅=，所以数列{}n a 是以2为首项，2为公差的等比数列，所以2nn a =，又1234480k k k k a a a a +++++++=，即12344220282k k k k +++++++=，即040238k ⨯=，解得4k =， 故选：B ． 【点睛】关键点点睛：解决本题的问题的关键在于令1m =，得出数列{}n a 是以2为首项，2为公差的等比数列，利用等比数列的通项公式建立方程得解．3．C解析：C 【分析】由题可得，S 60n na +-=，根据11,1,2n n n S n a S S n -=⎧=⎨-≥⎩，可求得{}n a 为等比数列，进而可求得本题答案. 【详解】因为点(),n n a S 在直线60x y +-=上，所以S 60n n a +-=. 当1n =时，1160a S +-=，得13a =；当2n ≥时，S 60n n a +-=①，1160n n a S --+-=②，①-②得，112n n a a -=， 所以数列{}n a 为等比数列，且公比12q =，首项13a =， 则()4414131124511812a q S q⎡⎤⎛⎫⨯-⎢⎥⎪-⎝⎭⎢⎥⎣⎦===--. 故选：C 【点睛】本题主要考查根据,n n a S 的关系式求通项公式n a 的方法.4．A解析：A 【解析】等差数列{}n a 的前n 和为n S ，1239a a a ++=，636S =，11339656362a d a d +=⎧⎪∴⎨⨯+=⎪⎩，解得1a 1,d 2，12111223a =+⨯=，故选A.5．D解析：D 【分析】根据题意，求得1nn a a -，再利用累乘法即可求得n a ，再结合对数运算，即可求得结果.【详解】由题设有111122(2)n n nn a n a ---=⨯=≥，而(1)1213221121122(2)n n n n n n aaa a a n a a a -+++--=⨯⨯⨯⨯=⨯=≥，当1n =时，11a =也满足该式，故(1)22(1)n n n a n -=≥，所以2(1)log 2n n n a -=， 故选：D. 【点睛】本题考查利用累乘法求数列的通项公式，涉及对数运算，属综合基础题.6．A解析：A 【解析】分析：用余弦定理推论得222cos 2a c b B ac +-=．由222,,a b c 成等差数列，可得2222a c b += ，所以22222cos 24a c b a c B ac ac+-+==，利用重要不等式可得2221cos 442a c ac B ac ac +=≥=．详解：因为222,,a b c 成等差数列，所以2222a cb += ． 由余弦定理推论得2222221cos 2442a cb ac ac B ac ac ac +-+==≥=当且仅当a c =时，上式取等号． 故选A ．点睛：本题考查等差中项、余弦定理的推论、重要不等式等知识，考查学生的运算能力及转化能力．利用重要不等式、基本不等式求最值时，一定要判断能否取相等，不能相等时，应转化为函数求最值．7．C解析：C 【分析】由已知结合递推公式可求n a ，然后结合等差数列的通项公式即可求解. 【详解】因为()21n S n n =-， 所以111a S ==，当2n ≥时，()()()12112343n n n a S S n n n n n -=-=----=-，111a S ==适合上式，故43n a n =-，因为173a a ka +=， ∴1259k +=， 解可得269k = 故选：C. 【点睛】本题主要考查了由数列前n 项和求数列的通项公式，考查来了运算能力，属于中档题.8．C解析：C 【解析】 依题意有11111121,2n n n n n n n n a a a a a a a a -++--=-=-，由此计算得323a =，424a =，……101110112221,,101155a a a a ==+=. 9．D解析：D 【分析】分公比是否为1进行讨论，再利用等比数列的前n 项和公式及定义求解即可. 【详解】解：设等比数列{}n a 的公比为q ，当1q =时，()1111222n S a na a n a -=-=-， 则{}12n S a -不为等比数列，舍去， 当1q ≠时，()1111111222111n n n a q a aS a a q a qq q--=-=+----， 为了符合题意，需11201a a q -=-，得12q =，故4312a q a ==. 故选D ． 【点睛】本题考查等比数列的前n 项和公式，定义，考查逻辑推理能力以及运算求解能力，属于中档题.10．B解析：B 【分析】根据等差数列的性质可知1000a ，从而判断数列{}n a 是单调递增数列，即可判断当{}n b 的前n 项和n S 最小时，n 可取的值. 【详解】数列{}n a 为等差数列，119921981002a a a a a ，1231990a a a a +++⋅⋅⋅+=，则1001990a ，即1000a ，10a <，可以判断数列{}n a 是单调递增数列，991010,0a a ， 12n n n n b a a a ++=，12323412nn n n S a a a a a a a a a ，当{}n b 的前n 项和n S 最小时，n 可取的值为97，98，99，100共4个. 故选：B. 【点睛】本题主要考查等差数列的性质，属于中档题.11．D解析：D 【分析】由题设得到5n a a ≥恒成立，参变分离后可得实数a 的取值范围. 【详解】由题设有5n a a ≥恒成立， 故21125555a an n n -+≥-+恒成立即()()()5565a n n n n---≥， 当6n ≥时，有()56a n n ≤-恒成立，故0a ≤， 当14n ≤≤时，有()56a n n ≥-恒成立，故25a ≥-， 当5n =时，a R ∈， 故250a -≤≤. 故选：D. 【点睛】本题考查数列的函数性质：最值问题，此类问题可利用函数的单调性来研究，也可以利用恒成立来研究，本题属于较难题.12．C解析：C 【分析】利用向量平行的坐标运算公式得出121n n a a +=+，可得出1121n n a a ++=+，所以数列{}1n a +是以2为首项，公比为2的等比数列，然后求解4a . 【详解】因为//a b ，所以121n n a a +=+，则()112221n n n a a a ++=+=+，即1121n n a a ++=+， 又11a =，所以112a +=，所以数列{}1n a +是以2为首项，公比为2的等比数列， 所以441216a +==，得415a =. 故选：C. 【点睛】本题考查向量的平行，考查数列的通项公式求解及应用，难度一般. 一般地，若{}n a 满足()10,1,0n n a pa q p p q +=+≠≠≠，则只需构造()1n n a x p a x ++=+，其中1q x p =-，然后转化为等比数列求通项.二、填空题13．【解析】等比数列首项为第二项为故是首项为公比为的等比数列所以所以其前项和为时为【点睛】本小题主要考查等比数列通项公式的求法考查利用裂项求和法求数列的前项和题目给定一个数列为等比数列并且给出和也就是要 解析：1516【解析】等比数列首项为1123a =,第二项为2169a =,故是首项为13,公比为13的等比数列.所以()21111333n n n n n a -+=⋅=,所以211131n n a n n n n ==-++,其前n 项和为111n -+,15n =时,为11511616-=. 【点睛】本小题主要考查等比数列通项公式的求法,考查利用裂项求和法求数列的前n 项和.题目给定一个数列()2n n n a +为等比数列,并且给出1a 和2a ,也就是要用这两项求得给定数列的第一和第二项,根据前两项求得等比数列的通项公式,由此得到211131n n a n n n n ==-++,利用裂项求和法求得数列的前n 项和. 14．1028【分析】由题可知为等比数列求出的通项公式即可写出的通项公式利用分组求和法即可求出前10项和【详解】是首项为1公比为2的等比数列则故答案为：1028【点睛】本题考查等比数列的判断以及通项公式的解析：1028 【分析】由题可知{}n a 为等比数列，求出{}n a 的通项公式，即可写出{}n b 的通项公式，利用分组求和法即可求出前10项和.【详解】111,2n n a a a +==，{}n a ∴是首项为1，公比为2的等比数列，11122n n n a --∴=⨯=，121nn nb n ， 则910124212310S1011251102812.故答案为：1028.【点睛】本题考查等比数列的判断以及通项公式的求法，考查分组求和法求数列的前n 项和，属于基础题.15．【解析】因为已知等比数列中所以则故答案为【方法点睛】本题主要考查等比数列的通项公式属于中档题等比数列基本量的运算是等比数列的一类基本题型数列中的五个基本量一般可以知二求三通过列方程组所求问题可以迎刃 解析：212【解析】因为已知等比数列{}n a 中，所以21a =，58a =-，3528,2a q q a ==-=-，则()()()66121611211212,21122a q a a S q q⎡⎤----⎣⎦==-===---，故答案为212. 【方法点睛】本题主要考查等比数列的通项公式，属于中档题. 等比数列基本量的运算是等比数列的一类基本题型，数列中的五个基本量1,,,,,n n a q n a S ，一般可以“知二求三”，通过列方程组所求问题可以迎刃而解，解决此类问题的关键是熟练掌握等比数列的有关性质和公式，并灵活应用，在运算过程中，还应善于运用整体代换思想简化运算过程.16．选①：；选②：当时；当时；当时；选③：【分析】任选一个条件求出数列公差及通项利用错位相减法求和再比较大小可得解【详解】若选①设公差为因为成等比数列所以解得或0（不合舍去）所以所以利用错位相减可得；若解析：选①：13n T <；选②：当1n =时，12193T =<；当2n =时，21133T ==；当3n ≥时，3311813n T T ≥=>；选③：13n T <.【分析】任选一个条件，求出数列{}n a 公差及n b ，n c 通项，利用错位相减法求和，再比较大小可得解. 【详解】若选①，设公差为d ，因为1a ，2a ，4a 成等比数列，所以2(2)2(23)d d +=+，解得2d =或0（不合，舍去），所以2n a n =，9n n b =所以29n n nc =，利用错位相减可得1991213232993n n n n T +=-⨯-<； 若选②，因为(3)2n n n S +=，所以公差1d =，所以1n a n =+，13n n b +=所以113n n n c ++=，利用错位相减可得11515()()24312n n T n +=--⨯+当1n =时，12193T =<； 当2n =时，21133T ==；当3n ≥时，3311813n T T ≥=>； 若选③，因为926a =，所以公差3d =，所以31n a n =-，所以31313n n n c --=， 利用错位相减可得1652346911676676273n n n T -=-⨯<. 【定睛】本题考查等差数列通项及错位相减法求和，属于基础题.17．【分析】根据递推关系式可证得数列为等比数列根据等比数列通项公式求得代入不等式结合可求得结果【详解】数列是以为首项为公比的等比数列由得：即且满足题意的最小正整数故答案为：【点睛】本题考查根据数列递推关 解析：11【分析】根据递推关系式可证得数列}1，代入不等式，结合n *∈N 可求得结果. 【详解】()21411n n a a +=+=，1=，)121=，∴数列}111=为首项，2为公比的等比数列， )1112n -+=⨯，)1121n -=⨯-，由22020n a ≥2020≥，即)1220211837n -≥=⨯≈，92512=，1021024=且n *∈N ，∴满足题意的最小正整数11n =.故答案为：11. 【点睛】本题考查根据数列递推关系式求解数列通项公式并解不等式的问题，关键是能够通过构造的方式，通过递推关系式得到等比数列的形式，进而利用等比数列通项公式来进行求解.18．【分析】首先利用与的关系式得到求得公比首项和第二项再通过赋值求的值【详解】当时两式相减得即并且数列是等比数列所以当时解得故答案为：【点睛】关键点点睛：本题的关键是利用数列和的关系式求数列的通项解析：34-【分析】首先利用1n a +与n S 的关系式，得到14n n a a +=，求得公比，首项和第二项，再通过赋值2n =求λ的值. 【详解】当2n ≥时，1133n nnn a S a S λλ+-+=⎧⎨+=⎩，两式相减得()1133n n n n n a a S S a +--=-=，即14n n a a +=，并且数列{}n a 是等比数列， 所以4q =，312a =，2133,4a a ∴==， 当2n =时，()321233a S a a λ+==+， 解得34λ=-. 故答案为：34- 【点睛】关键点点睛：本题的关键是利用数列n a 和n S 的关系式，求数列的通项.19．【分析】根据写出相减以后可得可以判断出数列是等差数列然后判断出首项和公差即可得【详解】两式相减得故是首项为公差为的等差数列的第项故故答案为：【点睛】要注意等差数列的概念中的从第项起与同一个常数的重要解析：5049. 【分析】根据15n n a a n ++=写出155n n a a n -+=-，相减以后可得115n n a a +--=，可以判断出数列{}2n a 是等差数列，然后判断出首项和公差，即可得2020a . 【详解】11555n n n n a a n a a n +-+=⇒+=-.两式相减，得115n n a a +--=.12254a a a +=⇒=.故2020a 是首项为4，公差为5的等差数列的第1010项， 故()202041010155049a =+-⨯=. 故答案为：5049. 【点睛】要注意等差数列的概念中的“从第2项起”与“同一个常数”的重要性，巧妙运用等差数列的性质，可化繁为简；如果1n n a a +-是常数，则{}n a 是等差数列，如果11n n a a +--是常数，则数列中的奇数项或者偶数项为等差数列，所以需要注意等差数列定义的推广应用.20．12【分析】先取倒数得成等差数列再根据等差数列求和公式列式求得结果【详解】所以为以为首项为公差的等差数列故答案为：12【点睛】本题考查等差数列定义以及求和公式考查基本分析求解能力属基础题解析：12 【分析】 先取倒数得1n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭成等差数列，再根据等差数列求和公式列式求得结果. 【详解】()111*121111112,+222n n n n n n n N a a n n a a a a a ----=∴=∴∈≥-=+ 所以1n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭为以111a 为首项，12为公差的等差数列，1211111(1)4522m m m m a a a ∴+++=+-⋅= 2312150012m m m m ∴+-⨯=>∴=故答案为：12 【点睛】本题考查等差数列定义以及求和公式，考查基本分析求解能力，属基础题.三、解答题21．（1）2n a n =，n ∈+N ；（2）()2214n n S n +=-+.【分析】（1）根据题意可知2214a a a =，而12a =即可解出d ，从而得到{}n a 的通项公式； （2）由（1）知，2n a n =，所以22nn b n =⋅，根据错位相减法即可求出数列{}n b 的前n项和n S ．【详解】（1）因为1a ，2a ，4a 成等比数列，所以2214a a a =，()()21113a d a a d +=+．又因为12a =，解得2d =或0d =（舍），所以2n a n =，n ∈+N ．（2）由（1）知，2n a n =，所以22nn b n =⋅． 因为2222422nn S n =⨯+⨯+⋅⋅⋅+⨯，2312222422n n S n +=⨯+⨯+⋅⋅⋅+⨯21222222222n n n n S S n +-=⨯+⨯+⋅⋅⋅+⨯-⨯化简得()2214n n S n +-=--，即()2214n n S n +=-+．【点睛】本题主要考查等差数列通项公式的求法，以及错位相减法的应用，意在考查学生的数学运算能力，属于中档题．常见的数列求和方法：公式法，倒序相加求和法，分组求和法，裂项相消法，错位相减法，并项求和法等．22．（1）3nn a =；（2）3314243nn n T ⎛⎫⎛⎫=-+ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭.【分析】(1)利用1n n n a S S -=-求通项公式； (2)先求出n b n =，得到3n n n n b nc a ==，用错位相减法求和. 【详解】解：（1）当1n =时，1112233a S a ==-，13a ∴=当2n ≥时，()()112223333n n n n n a S S a a --=-=---， 故13n n a a -=，因为110a =≠，故0n a ≠给13nn a a -=，∴数列{}n a 为以3为首项，3为公比的等比数列. 1333n n n a -∴=⨯=.（2）由（1）知3nn a =，所以3log n n n b a ==，故3n n nn b n c a ==. 即123231233333n n n n T c c c c =++++=++++① 所以231112133333n n n n nT +-=++++②①-②得2311111121111113311333333323313n n n n n n n n n n T +++⎛⎫- ⎪⎛⎫⎝⎭=++++-=-=-- ⎪⎝⎭-所以3314243nn n T ⎛⎫⎛⎫=-+ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭【点睛】数列求和常用方法：(1)公式法； (2)倒序相加法；(3)裂项相消法； (2)错位相减法．23．（1）3nn a =；（2）1n n T n =+. 【分析】（1）令1n =计算1a ，当2n ≥时，利用1222n n n a S S -=-可得{}n a 是等比数列，即可求解；（2）由{}n a 的通项公式可得{}n b 的通项，进而可得{}n c 的通项，利用裂项求和即可求解. 【详解】（1)当1n =时，1112233a S a ==-，13a ∴= 当2n ≥时，()()112223333n n n n n a S S a a --=-=--- 即13nn a a -=()2n ≥， ∴数列{}n a 为以3为首项，3为公比的等比数列.1333n n n a -∴=⨯=（2）.由3log n n b a =，得3log 3nn b n ==则()1111111n n n c b b n n n n +===-++， 11111111223111n n T n n n n =-+-++-=-=+++. 【点睛】方法点睛：数列求和的方法（1）倒序相加法：如果一个数列{}n a 的前n 项中首末两端等距离的两项的和相等或等于同一个常数，那么求这个数列的前n 项和即可以用倒序相加法；（2）错位相减法：如果一个数列的各项是由一个等差数列和一个等比数列的对应项之积构成的，那么这个数列的前n 项和即可以用错位相减法来求；（3）裂项相消法：把数列的通项拆成两项之差，在求和时，中间的一些项可相互抵消，从而求得其和；（4）分组转化法：一个数列的通项公式是由若干个等差数列或等比数列或可求和的数列组成，则求和时可用分组转换法分别求和再相加减；（5）并项求和法：一个数列的前n 项和可以两两结合求解，则称之为并项求和，形如()()1nn a f n =-类型，可采用两项合并求解.24．（1）21n a n =-，2n s n =；（2）21n nT n =+. 【分析】（1）根据条件列出式子求出数列{}n a 的首项和公差，即可求出通项公式和前n 项和； （2）可得112+1n b n n ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，利用裂项相消法即可求出. 【详解】（1）设等差数列{}n a 的公差为d ，则3171+25767+492a a d S a d ==⎧⎪⎨⨯==⎪⎩，解得1a 1,d 2， ()1+1221n a n n ∴=-⨯=-，()21+212n n n S n -==； （2）()2112+1+1n b n n n n ⎛⎫===- ⎪⎝⎭，1111122122311n n T n n n ⎛⎫∴=-+-++-=⎪++⎝⎭. 【点睛】方法点睛：数列求和的常用方法：（1）对于等差等比数列，利用公式法可直接求解；（2）对于{}n n a b 结构，其中{}n a 是等差数列，{}n b 是等比数列，用错位相减法求和； （3）对于{}+n n a b 结构，利用分组求和法； （4）对于11n n a a +⎧⎫⎨⎬⎩⎭结构，其中{}n a 是等差数列，公差为d ，则111111n n n n a a d a a ++⎛⎫=- ⎪⎝⎭，利用裂项相消法求和. 25．（1）11b =，22b =，33b =；（2）证明见解析；（3）证明见解析 【分析】（1）由{}n a 是单调递增数列可得1nn a b a =即可求出； （2）设1n a k +=，讨论n k B ≤，n n B k A <<和n k A ≥可证明；（3）设{}n b 的公比为q ，且1q ≥，显然1q =时满足；1q >时，由{}n A 是递增数列，{}n B 是递减数列，且{}n B 不能无限减少可得.【详解】 （1）2n a n =，可得{}n a 是单调递增数列，1,n n n a B A a ∴==，1111a b a ∴==，2212ab a ==，3313a b a ==， （2）设1n a k +=，nn nA bB =， 若n k B ≤，则+1nn n n nk A A b b B =≥=， 若n n B k A <<，则+1nn nn A b b B ==， 若n k A ≥，则+1n n n nn A kb b B B =≥=， 综上，1(1,2,3,)n n b b n +≥=；（3）设等比数列{}n b 的公比为q ，1111a b a ==，则1n n nn A b q B -==， 由（2）可得1n n b b +≥，则1q ≥， 当1q =时，1nnA B =，即n n A B =，此时{}n a 为常数列，则存在01n =，当0n n ≥时，n a ，1n a +，2n a +是等比数列；当1q >时，{}n A 是递增数列，{}n B 是递减数列，{}n a 是由正整数组成的无穷数列，则数列{}n a 必存在最小值，即存在正整数0n ，0n a 是数列{}n a 的最小值，则当0n n ≥时，0n n B a =，此时01n n nn n n A a b q B a -===，即01n n n a a q -=，故当0n n ≥时，n a ，1n a +，2n a +是等比数列；综上，存在正整数0n ，当0n n ≥时，n a ，1n a +，2n a +是等比数列．【点睛】本题考查数列单调性的有关判断，解题的关键是正确理解数列的变化情况，清楚{}n b 的变化特点.26．条件性选择见解析，（1）12nn a ⎛⎫= ⎪⎝⎭，41n b n =-；（2）()110245n n T n +=+-【分析】（1）选择①②，可以判断{}n a 为112a =，公比为12的等比数列，即可求出通项公式；选择②③，由112n n S a +=-可判断{}n a 为112a =，公比为12的等比数列，即可求出通项公式；选择①③根据条件可得()11n n S a n ->=，根据条件不能求出1a 的值，故不能选①③；根据{}n b 的条件建立关系即可求出公差，得出通项公式； （2）利用错位相减法可求解. 【详解】 （1）选择①②：由121n n S S +=+⇒当2n ≥时，有121n n S S -=+，两式相减得：12n n a a +=，即112n n a a +=，2n ≥． 又当1n =时，有()2112212S S a a =+=+，又∵214a =，∴112a =，2112a a =也适合，所以数列{}n a 是首项、公比均为12的等比数列，所以12nn a ⎛⎫= ⎪⎝⎭；选择：②③：由112n n S a +=-⇒当2n ≥时，112n n S a -=-，两式相减得：122n n n a a a +=-+，即112n n a a +=，2n ≥． 又当1n =时，有12112S a a =-=，又∵214a =，∴112a =，2112a a =也适合，所以数列{}n a 是首项、公比均为12的等比数列，所以12nn a ⎛⎫= ⎪⎝⎭；选择①③：由121n n S S +=+，112n n S a +=-，则112122n n n S S a ++=+=- 即111n n S a ++=-，所以()11n n S a n =->，， 两式相减可得：()1121n n a a n +>=， 当1n =时，由121n n S S +=+，得2121S S =+，即()121221a a S a +=+，即1221a a += 由112n n S a +=-，得1212S a =-，即1212a a =-，与上式相同，不能求出1a 的值.故不能选择①③所以数列{}n a 是首项、公比均为12的等比数列，所以12nn a ⎛⎫= ⎪⎝⎭； 设正项等差数列{}n b 的公差为d ，∵13b =，且1b ，32b -，7b 成等比数列， ∴()23172b b b -=，即()()2322336d d +-=+，解得：4d =或12d =-（舍）， ∴()34141n b n n =+-=-，故12nn a ⎛⎫= ⎪⎝⎭，41n b n =-． （2）()412nn c n -⨯=所以()1233272112412nn T n =⨯+⨯+⨯+⋅⋅⋅+-⨯，则()()23123272452412nn n T n n +=⨯+⨯+⋅⋅⋅+-⨯+-⨯，两式相减得()()22164222412nn n T n +-=+++⋅⋅⋅+--⨯()()114126441212n n n -+-=+⨯--⨯-()110254n n +=-+-．∴()110245n n T n +=+-【点睛】关键点睛：本题考查利用{}n a 与n S 的关系证明等比数列，等差数列基本量的计算，等比数列前n 项和问题，解答本题的关键是错位相减法求和中的计算，即由()1233272112412n n T n =⨯+⨯+⨯+⋅⋅⋅+-⨯，和()()23123272452412n n n T n n +=⨯+⨯+⋅⋅⋅+-⨯+-⨯相减得到()()22164222412n n n T n +-=+++⋅⋅⋅+--⨯，属于中档题.。
(好题)高中数学必修五第一章《数列》检测卷(答案解析)
一、选择题1．已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，且0n a >，n *∈N ，若数列{}n a 和{}n S 都是等差数列，则下列说法不正确的是（ ） A ．{}n n a S +是等差数列 B ．{}n n a S ⋅是等差数列 C ．{}2na 是等比数列D ．{}2nS 是等比数列2．设首项为1的数列{}n a 的前n 项和为n S ，且113,2,23,21,n n n a n k k N a a n k k N*-*-⎧+=∈=⎨+=+∈⎩，若4042m S >，则正整数m 的最小值为（ ）A ．14B ．15C ．16D ．173．在正项等比数列{}n a 中，若3788a a a =，2105a a +=，则公比q =（ ） A ．122B ．122或1212⎛⎫ ⎪⎝⎭C ．142D ．142或1412⎛⎫ ⎪⎝⎭4．两个公比均不为1的等比数列{}{},n n a b ，其前．n 项的乘积．．．．分别为,n n A B ，若552a b =，则99A B =( ) A ．512B ．32C ．8D ．25．已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，对任意的*n N ∈有2233n n S a =-，且112k S <<，则k 的值为（ ） A ．2或4B ．2C ．3或4D ．66．已知数列{}n a 中，13n n a S +=，则下列关于{}n a 的说法正确的是（ ） A ．一定为等差数列 B ．一定为等比数列C ．可能为等差数列，但不会为等比数列D ．可能为等比数列，但不会为等差数列7．已知数列{}n a 满足()1341n n a a n ++=≥，且19a =，其前n 项之和为n S ，则满足不等式16125n S n --<的最小整数n 是（ ） A ．5B ．6C ．7D ．88．已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，55a =，836S =，则数列11{}n n a a +的前n 项和为（ ）A ．11n + B ．1n n + C ．1n n- D ．11n n -+ 9．在我国古代著名的数学专著《九章算术》里有一段叙述：今有良马与驽马发长安至齐，齐去长安一千一百二十五里，良马初日行一百零三里，日增十三里；驽马初日行九十七里，日减半里；良马先至齐，复还迎驽马，二马相逢．问相逢时驽马行几里？（ ） A ．540B ．785C ．855D ．95010．设n S 是数列{}n a 的前n 项和，且()*2n n S a n n N =+∈，则{}na 的通项公式为na=（ ） A ．23n -B ．23n -C ．12n -D ．12n -11．已知1，1x ，2x ，7成等差数列，1，1y ，2y ，8成等比数列，点()11,M x y ，()22,N x y ，则直线MN 的方程是（ ）A ．10x y -+=B ．10x y --=C ．70x y --=D ．70x y +-=12．在等比数列{}n a 中，若1234531a a a a a ++++=，2345662a a a a a ++++=，则通项n a 等于（ ） A ．12n -B ．2nC ．12n +D ．22n -二、填空题13．在数列{}n a 中，11a =，0n a ≠，曲线3y x =在点()3,n n a a 处的切线经过点()1,0n a +，下列四个结论：①223a =；②313a =；③416527i i a ==∑；④数列{}n a 是等比数列；其中所有正确结论的编号是______.14．在各项均为正数的等比数列{}n a 中，公比()0,1q ∈.若355a a +=，264a a =，2log n n b a =，数列{}n b 的前n 项和为n S ，则当1212nS S S n+++取最大值时n 的值为______.15．设数列{}n a 的前n 项和为n S ，若1sin 12n n a n π+⎛⎫=+⎪⎝⎭，则2018S =______. 16．已知等差数列{}n a 中，268,0a a ==，等比数列{}n b 中， 122123,b a b a a a ==++，那么数列{}n b 的前4项和4S =________17．在平面直角坐标系xOy 中，直线l 经过坐标原点，()3,1n =是l 的一个法向量.已知数列{}n a 满足：对任意的正整数n ，点()n 1n a ,a +均在l 上，若2a 6=，则3a 的值为______．18．在数列{a n }中，已知a 1＝1，1(1)sin2n n n a a π++-=，记S n 为数列{a n }的前n 项和，则S 2019＝______19．已知正项等比数列{}n a ，12q =，若存在两项m a 、n a12a =，则9m n-的最小值为___________. 20．已知数列{}n a ，{}n b 的前n 项和分别为n S ，n T ，21nn n b a -=+，且1222n n n S T n ++=+-，则2n T =____． 三、解答题21．已知等差数列{}n a 的公差1d =，且()1212,,,,n k k k n a a a k k k <<<<成等比数列，公比为q .（1）若11k =，22k =，34k =，求n a 和n k ，并求{}n n a k 的前n 项和n T ； （2）当1a 为何值时，数列{}n k 为等比数列.22．已知数列{}n a 满足：*111,21,n n a a a n n N +=-=-∈（1）证明{}n a n +是等比数列，并求出数列{}n a 的通项公式； （2）设21,n n n n b S a n+=+为数列{}n b 的前n 项和，求n S 23．设数列{}n a 满足123(21)2n a a n a n +++-=.（1）求{}n a 的通项公式； （2）记数列n a n ⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和为n T ，证明：3n T <. 24．已知正项数列{}n a 的前n 项和为n S .若214,n n n a S S a +==+ （1）求证：数列是等差数列；（2）设n b =，求数列{}n b 的前n 项和n T . 25．设数列{}n a 的前n 项和为n S ，已知14a =，124n n S a n +=+-，*n N ∈． (1)求数列{}n a 的通项公式； (2)设()()122121n n n n a b +-=++，数列{}n b 的前n 项和为n T ，求满足1340nT >的正整数n 的最小值．26．已知数列{}n a 是等差数列，n S 是数列{}n a 的前n 项和，35a =，749=S . （1）求数列{}n a 的通项公式及前n 项和n S ；（2）若数列{}n b满足2n b =，求数列{}n b 的前n 项和n T .【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题 1．D 解析：D 【分析】由题意，判断出数列{}n a 是公差为0的等差数列，然后分别利用等差数列的定义与等比数列的定义判断每个选项即可. 【详解】因为数列{}n a 和{}n S 都是等差数列，1n n n a S S -=-，所以可判断n a 为定值，所以数列{}n a 是公差为0的等差数列，即10n n a a --=.对A ，()()1111----++-=-+-=n n n n n n n n n a S a S S S a a a ，所以数列{}n n a S +是等差数列；对B ，1121----=⋅⋅⋅⋅-=n n n n n n n n n a S a S a S a S a ，所以数列{}n n a S ⋅是等差数列；对C ，222211-==n n n n a a a a ，所以数列{}2n a 是等比数列；对D ，设n a a =，则222,==n n S na S n a ，则221222222(1)(1)-==--n n n a n n a n S S ，所以数列{}2n S 不是等比数列. 故选：D 【点睛】解答本题的关键在于判断出数列{}n a 是公差为0的等差数列，然后结合等差数列的定义，等比数列的定义列式判断是否为等差或者等比数列.2．C解析：C 【分析】根据已知递推关系求出数列{}n a 的奇数项加9成等比数列，偶数项加6成等比数列，然后求出2n S 后，检验141615,,S S S 可得． 【详解】当n 为奇数时，122232(3)329n n n n a a a a ---=+=++=+，所以292(9)n n a a -+=+，又1910a +=，所以1359,9,9,a a a +++成等比数列，公比为2，1219102n n a --+=⨯，即1211029n n a --=⨯-，当n 为偶数时，122323326n n n n a a a a ---=+=++=+，所以262(6)n n a a -+=+，又2134a a =+=，所以2469,9,9,a a a +++成等比数列，公比为2，126102n n a -+=⨯，即121026n n a -=⨯-，所以210(12)10(12)9620220151212n n n n S n n n --=-+-=⨯----，714202201572435S =⨯--⨯=，816202201584980S =⨯--⨯=， 7151415243510293706S S a =+=+⨯-=，所以满足4042m S >的正整数m 的最小值为16． 故选：C ． 【点睛】关键点点睛：本题考查由数列的递推关系求数列的和．解题关键是分类讨论，确定数列的奇数项与偶数项分别满足的性质，然后结合起来求得数列的偶数项的和2n S ，再检验n 取具体数值的结论．3．D解析：D 【分析】由等比数列的性质可得出关于2a 、10a 的方程组，进而可求得等比数列{}n a 的公比. 【详解】由3788a a a =得()326753111168a q a q a q a q a ⋅⋅===，即62a =．22106()4a a a ∴==，又2105a a +=，解得21014a a =⎧⎨=⎩或21041a a =⎧⎨=⎩，0q >，11181084242a q a ⎛⎫∴=== ⎪⎝⎭或1111884104211242a q a -⎛⎫⎛⎫⎛⎫==== ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭．故选：D. 【点睛】关键点点睛：本题的解题关键就是利用等比数列下标和的性质建立有关2a 、10a 的方程组，通过求出2a 、10a 的值，结合等比数列的基本量来进行求解.4．A解析：A 【分析】直接利用等比数列的性质化简99A B ,再代入552a b =即得解. 【详解】由题得99912919285599129192855()()()2512()()()A a a a a a a a a aB b b b b b b b b b ⋅⋅⋅=====⋅⋅⋅.故答案为A. 【点睛】(1)本题主要考查等比数列的性质，意在考查学生对该知识的掌握水平和分析推理能力.(2) 等比数列{}n a 中，如果m n p q +=+,则m n p q a a a a =,特殊地，2m p q =+时，则2·m p q a a a =，m a 是p q a a 、的等比中项. 5．A解析：A 【分析】利用递推关系式求出{}n a 的通项公式，再求出{}n a 的前n 项和为n S ，即可求出k 的值. 【详解】对任意的*n N ∈有2233n n S a =-， 可得：1112233a S a ==- ，解得：1=2a -， 当2n ≥时：2233n n S a =-，112233n n S a --=- 两式相减得112233n n n n n S S a a a ---=-=，即12n n a a -=-， 所以{}n a 是首项为2-，公比为2-的等比数列，所以()2nn a =-，()()()212212123nn nS ⎡⎤-⨯--⎣⎦⎡⎤==---⎣⎦--， 所以211(2)123kk S ⎡⎤<=---<⎣⎦， 所以5(219)2k <-<， 当2k =和4k =时不等式成立，所以k 的值为2或4， 故选：A. 【点睛】本题主要考查了由递推公式求通项公式，考查了等比数列前n 项和公式，属于中档题.6．C解析：C 【分析】根据13n n a S +=得14n n S S +=，分类讨论当10S =和10S ≠两种情况分析得数列{}n a 可能为等差数列，但不会为等比数列. 【详解】解：13n n a S +=，13n n n S S S +∴=-， 14n n S S +∴=，若10S =，则数列{}n a 为等差数列；若10S ≠，则数列{}n S 为首项为1S ，公比为4的等比数列，114n n S S -∴=⋅，此时21134n n n n a S S S -==-⋅﹣（2n ≥），即数列从第二项起，后面的项组成等比数列.综上，数列{}n a 可能为等差数列，但不会为等比数列. 故选：C. 【点睛】本题考查等差数列、等比数列的判断，考查学生分析解决问题的能力，正确分类讨论是关键.7．C解析：C 【分析】首先分析题目已知3a n+1+a n =4（n ∈N*）且a 1=9，其前n 项和为S n ，求满足不等式|S n ﹣n ﹣6|＜1125的最小整数n ．故可以考虑把等式3a n+1+a n =4变形得到111-13n n a a +-=-，然后根据数列b n =a n ﹣1为等比数列，求出S n 代入绝对值不等式求解即可得到答案． 【详解】对3a n+1+a n =4 变形得：3（a n+1﹣1）=﹣（a n ﹣1）即：111-13n n a a +-=- 故可以分析得到数列b n =a n ﹣1为首项为8公比为13-的等比数列．所以b n =a n ﹣1=8×11-3n -⎛⎫ ⎪⎝⎭a n =8×11-3n -⎛⎫ ⎪⎝⎭+1所以181********n nn S n n ⎡⎤⎛⎫--⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎛⎫⎣⎦=+=-⨯-+ ⎪⎛⎫⎝⎭-- ⎪⎝⎭|S n ﹣n ﹣6|=n11-6-3125⎛⎫⨯< ⎪⎝⎭解得最小的正整数n=7 故选C ． 【点睛】此题主要考查不等式的求解问题，其中涉及到可化为等比数列的数列的求和问题，属于不等式与数列的综合性问题，判断出数列a n ﹣1为等比数列是题目的关键，有一定的技巧性属于中档题目．8．B解析：B 【解析】设等差数列{}n a 的首项为1a ，公差为d . ∵55a =，836S = ∴114582836a d a d +=⎧⎨+=⎩∴111a d =⎧⎨=⎩∴n a n =，则11111(1)1+==-++n n a a n n n n ∴数列11n n a a +⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和为1111111111122334111nn n n n -+-+-+⋅⋅⋅+-=-=+++ 故选B.点睛：裂项相消法是最难把握的求和方法之一，其原因是有时很难找到裂项的方向，突破这一难点的方法是根据式子的结构特点，常见的裂项技巧：(1)()1111n n k k n n k ⎛⎫=- ⎪++⎝⎭；（2）1k=； （3）()()1111212122121n n n n ⎛⎫=- ⎪-+-+⎝⎭；（4）()()11122n n n =++ ()()()11112n n n n ⎡⎤-⎢⎥+++⎢⎥⎣⎦；此外，需注意裂项之后相消的过程中容易出现丢项或多项的问题，导致计算结果错误.9．C解析：C 【分析】由已知条件转化为两个等差数列的前n 项和为定值问题，进而计算可得结果． 【详解】由题可知，良马每日行程构成一个首项为103，公差13的等差数列{}n a ， 驽马每日行程构成一个首项为97，公差为﹣0.5的等差数列{}n b ， 则a n ＝103+13（n ﹣1）＝13n +90，b n ＝97﹣0.5（n ﹣1）＝97.5﹣0.5n ， 则数列{a n }与数列{b n }的前n 项和为1125×2＝2250，又∵数列{a n }的前n 项和为2n ×（103+13n +90）＝2n×（193+13n ）， 数列{b n }的前n 项和为2n ×（97+97.5﹣0.5n ）＝2n ×（194.5﹣2n）， ∴2n ×（193+13n ）+2n ×（194.5﹣2n）＝2250，整理得：25n 2+775n ﹣9000＝0，即n 2+31n ﹣360＝0，解得：n ＝9或n ＝﹣40（舍），即九日相逢，相逢时驽马行了92×（194.5﹣92）=855. 故选：C 【点睛】本题以数学文化为背景，考查等差数列及等差数列的前n 项和，考查转化思想，考查分析问题、解决问题的能力，属于中档题．10．C解析：C 【分析】由()*2n nS a n n N =+∈结合11,1,2n nn S n a S S n -=⎧=⎨-≥⎩即可求出1a 和121n n a a -=-，通过构造法即可求出通项公式. 【详解】当1n =时，11121a S a ==+，解得1 1a =-；当2n ≥时，122(1)n n n a a n a n -=+---．∴121n n a a -=-，∴()1121n n a a --=-．∵112a -=-，∴12nn a -=-， ∴12nn a =-．故选:C ． 【点睛】本题考查了数列通项公式的求解，考查了,n n a S 的递推关系求通项公式，考查了等比数列的通项公式，考查了构造法求数列的通项公式，属于中档题.11．B解析：B 【分析】本题先根据题意求出1x 、2x 、1y 、2y ，再写出点M 、N 的坐标并求MN k ，最后求直线MN 的方程即可. 【详解】解：∵1，1x ，2x ，7成等差数列，∴12121721x x x x +=+⎧⎨=+⎩，解得1235x x =⎧⎨=⎩，∵1，1y ，2y ，8成等比数列，∴12212181y y y y ⋅=⨯⎧⎨=⨯⎩，解得1224y y =⎧⎨=⎩∴点()3,2M ，()5,4N ，42153MN k -==- ∴直线MN 的方程：41(5)y x -=⨯-，即10x y --=.故选：B. 【点睛】本题考查等差中项，等比中项，根据两点求直线的一般式方程，是基础题.12．A解析：A 【详解】设等比数列{a n }的公比为q ，∵a 1+a 2+a 3+a 4+a 5=31,a 2+a 3+a 4+a 5+a 6=62， ∴q=2，∴a1(1+q+q 2+q 3+q 4)=31， 则a 1=1， 故an=2n−1. 故选A.二、填空题13．①③④【分析】先利用导数求得曲线在点处的切线方程由此求得与的递推关系式进而证得数列是等比数列由此判断出四个结论中正确的结论编号【详解】∵∴曲线在点处的切线方程为则∵∴则是首项为1公比为的等比数列从而解析：①③④ 【分析】先利用导数求得曲线3y x =在点()3,n n a a 处的切线方程，由此求得1n a +与n a 的递推关系式，进而证得数列{}n a 是等比数列，由此判断出四个结论中正确的结论编号. 【详解】∵2'3y x =，∴曲线3y x =在点()3,n n a a 处的切线方程为()323n n n y a a x a -=-，则()3213n n n n a a a a +-=-.∵0n a ≠，∴123n n a a +=， 则{}n a 是首项为1，公比为23的等比数列，从而223a =，349a =，4412165322713i i a =⎛⎫- ⎪⎝⎭==-∑. 故所有正确结论的编号是①③④. 故答案为：①③④ 【点睛】本小题主要考查曲线的切线方程的求法，考查根据递推关系式证明等比数列，考查等比数列通项公式和前n 项和公式，属于基础题.14．8或9【分析】根据等差等比数列的通项公式先求出数列和的通项公式再结合等差数列的求和公式求得进而得到再结合数列取值即可求解【详解】各项均为正数的等比数列中若所以解得所以解得或因为所以所以又由所以则当时解析：8或9 【分析】根据等差、等比数列的通项公式，先求出数列{}n a 和{}n b 的通项公式，再结合等差数列的求和公式，求得()92n n n S -=，进而得到92n nc -=，再结合数列{}n c 取值，即可求解.【详解】各项均为正数的等比数列{}n a 中，若355a a +=，264a a =，所以35352656a a a a a a +=⎧⎨==⎩，解得3541a a =⎧⎨=⎩，所以253a a q =，解得12q =或12q =-，因为()0,1q ∈，所以12q =， 所以55512n n n a a q --⎛⎫=⋅= ⎪⎝⎭.又由5221log log 52n n n b a n -⎛⎫===- ⎪⎝⎭.所以()()45922n n n n n S +--==，则92n n S nc n -==， 当9,n n N +<∈时，902n nc -=>；当9n =时，0n c =；当10,n n N +>∈时，0n c <，故当8n =或9n =时，1212nS S S n+++取最大值. 故答案为：8或9. 【点睛】本题主要考查了等差、等比数列的通项公式，以及等差数列的前n 项和公式的应用，其中解答中熟记等差、等比数列的通项公式，以及等差数列的求和公式，准确计算是解答解答的关键，着重考查推理与运算能力.15．【分析】分别计算出进而得出再由可得出的值【详解】由题意可得故答案为：【点睛】本题考查数列求和找出数列的规律是解答的关键考查计算能力属于中等题 解析：1008【分析】分别计算出43k a -、42k a -、41k a -、()4k a k N*∈，进而得出43424146k k k k a a a a ---+++=，再由201845042=⨯+可得出2018S 的值.【详解】由题意可得()434243sin 112k k a k π--⎛⎫=-+=⎪⎝⎭，()424142sin 1342k k a k k π--⎛⎫=-+=- ⎪⎝⎭，()()4141sin 211k a k k π-=-+=，4414sin 1412k k a k k π+⎛⎫=+=+ ⎪⎝⎭，()()43424141341416k k k k a a a a k k ---∴+++=+-+++=， 201845042=⨯+，201820172018450534505265046504S a a a a ⨯-⨯-∴=⨯++=⨯++()30241345051008=++-⨯=.故答案为：1008. 【点睛】本题考查数列求和，找出数列的规律是解答的关键，考查计算能力，属于中等题.16．320【分析】先求出等差数列的通项公式即可求出即可得通项再利用等比数列前项和公式求【详解】设等差数列的公差为则解得所以所以数列的公比为所以故答案为：320【点睛】本题主要考查了等比数列求和涉及等差数解析：320 【分析】先求出等差数列{}n a 的通项公式，即可求出1b ，2b ，即可得{}n b 通项，再利用等比数列前n 项和公式求4S【详解】设等差数列{}n a 的公差为d ，则2161850a a d a a d =+=⎧⎨=+=⎩，解得1102a d =⎧⎨=-⎩ ， 1(1)10(1)(2)212n a a n d n n =+-=+-⨯-=-+ ，所以128b a ==，2123108624b a a a =+=++=+，所以数列{}n b 的公比q 为213b b = ， 所以448(13)32013S ⨯-==-.故答案为：320 【点睛】本题主要考查了等比数列求和，涉及等差数列通项公式，等比数列通项公式，属于基础题.17．-2【分析】由直线的法向量可得直线的斜率和直线方程求得则数列为公比q 为的等比数列运用等比数列的通项公式可得所求值【详解】直线经过坐标原点是的一个法向量可得直线的斜率为即有直线的方程为点均在上可得即有解析：-2 【分析】由直线的法向量可得直线的斜率和直线方程，求得n 1n 1a a 3+=-，则数列{}n a 为公比q 为13-的等比数列，运用等比数列的通项公式可得所求值． 【详解】直线经过坐标原点，()n 3,1=是l 的一个法向量， 可得直线l 的斜率为3-， 即有直线l 的方程为y 3x =-，点()n 1n a ,a +均在l 上，可得n n 1a 3a +=-， 即有n 1n 1a a 3+=-，则数列{}n a 为公比q 为13-的等比数列， 可得321a a q 623⎛⎫==⨯-=- ⎪⎝⎭． 故答案为2-． 【点睛】本题主要考查等比数列的定义和通项公式的运用，考查直线方程的求法，考查运算能力，属于基础题．18．1010【分析】推导出从而得到数列是一个以4为周期的数列由此能求出的值【详解】数列中；可以判断所以数列是一个以4为周期的数列故答案为：1010【点睛】本题考查数列的求和考查数列的周期性三角函数性质等解析：1010 【分析】推导出1(1)sin2n n n a a π++=+，从而得到4n n a a +=，数列{}n a 是一个以4为周期的数列，由此能求出2019S 的值． 【详解】数列{}n a 中，11a =，1(1)sin2n n n a a π++-=， 1(1)sin2n n n a a π++∴=+， 21sin 1a a π∴=+=，323sin1102a a π=+=-=， 43sin 20a a π=+=，545sin0112a a π=+=+=， 511a a ∴==；可以判断4n n a a +=，所以数列{}n a 是一个以4为周期的数列.201945043=⨯+，20191234122504()504(1100)1101010S a a a a a a a ∴=⨯++++++=⨯++++++=，故答案为：1010． 【点睛】本题考查数列的求和，考查数列的周期性、三角函数性质等基础知识，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.19．【分析】由等比数列的通项公式结合可得出利用基本不等式可求得的最小值【详解】由于则即则由已知可得因此当且仅当时等号成立所以的最小值为故答案为：【点睛】易错点睛：利用基本不等式求最值时要注意其必须满足的 解析：2【分析】12a =可得出4m n =-，利用基本不等式可求得9m n-的最小值. 【详解】12a =，则214m n a a a =，即221121111124m n m n a a q a q a +---⎛⎫⋅=⋅= ⎪⎝⎭，则22m n +-=， 4m n ∴=-，由已知可得m 、n *∈N ，因此，()9994442m n n n n n -=--=+-≥=， 当且仅当3n =时，等号成立，所以，9m n-的最小值为2. 故答案为：2. 【点睛】易错点睛：利用基本不等式求最值时，要注意其必须满足的三个条件： （1）“一正二定三相等”“一正”就是各项必须为正数；（2）“二定”就是要求和的最小值，必须把构成和的二项之积转化成定值；要求积的最大值，则必须把构成积的因式的和转化成定值；（3）“三相等”是利用基本不等式求最值时，必须验证等号成立的条件，若不能取等号则这个定值就不是所求的最值，这也是最容易发生错误的地方.20．【解析】所以 解析：22(1)4n n n +++-【解析】1112222n n n n n T S b a b a b a n +-=-+-++-=+-所以222(1)4n n n n n n T T S S T n n +=-++=++-三、解答题21．（1）n a n =，12n n k -=，()112n n T n =+-⋅；（2）11a =.【分析】（1）依题意可得124,,a a a 成等比数列，根据等比中项的性质，求出1a ，即可求出{}n a 的通项公式，又因为{}n k a 成等比数列，得到{}n k 的通项，再利用错位相减法求和即可；（2）由题意，可知{}n k 与{}n k a 都是等比数列，即可得到2132k k k a a a =⋅，2213k k k =，从而得到方程，求出1a ，即可得解； 【详解】解：（1）依据题意124,,a a a 成等比数列，有()()21113a d a a d +=+， 即()()211113a a a +=+，解得11a =，所以()111n a n n =+-⨯=，又因为{}n k a 成等比数列，且11k =，22k =，34k =，所以12n n k -=，所以12n n n a k n -=⋅，因为112233n n n T a k a k a k a k =++++， 所以121122322n n T n -=+⨯+⨯++⋅①()12312122232122n n n T n n -=⨯+⨯+⨯++-⋅+⋅②-①②，得()()()12111222212212112n n n n n n T n n n ---=++++-⋅=+--⋅=---⋅()112n n T n =+-⋅.（2）由题意，可知{}n k 与{}n k a 都是等比数列， 所以2132k k k a a a =⋅，2213k k k =，由2132k k k a a a =⋅，得()()()2121113111a k d a k d a k d +-=+-⋅+-⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦⎣⎦，又1d =，所以得()()()2121113111a k a k a k +-=+-⋅+-⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦⎣⎦，解得11a =.当11a =时，n a n =，所以n k n a k =，又因为1111n n n k k a a q k q --==，所以11n n k k q -=，所以1111nn n n k k q q k k q +-==，即数列{}n k 为等比数列. 【点睛】数列求和的方法技巧(1)倒序相加：用于等差数列、与二项式系数、对称性相关联的数列的求和． (2)错位相减：用于等差数列与等比数列的积数列的求和． (3)分组求和：用于若干个等差或等比数列的和或差数列的求和．22．（1）证明见解析，2nn a n =-；（2）()12552n S n ⎛⎫=-+⋅+⎪⎝⎭. 【分析】（1）根据条件可得112112n n n n a n a n n a n a n++++-++==++，从而可证，所以数列{}n a n +是首项为2，公比为2的等比数列，得出答案. （2）由题意可得21212n n n n n b a n ++==+，由错位相减法可得答案. 【详解】（1）数列{}n a 满足111,21n n a a a n +==+-112112n n n n a n a n n a n a n++++-++∴==++即公比12,12q a =+=∴数列{}n a n +是首项为2，公比为2的等比数列；2n n a n ∴+=（2）由题意，21212n n n n n b a n ++==+所以123123357212222n n nn S b b b b +=+++⋅⋅⋅+=+++⋅⋅⋅+.........① 234113572121 (222222)n n n n n S +--=+++++………② 由①－②，得123234113572135721212222222222n n n n n n n S ++-+⎡⎤⎡⎤=+++⋅⋅⋅+-+++⋅⋅⋅++⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦234131111212?··222222n n n ++⎛⎫=+++++- ⎪⎝⎭ ()1111122121512251222212nn n n n ++⎡⎤⎛⎫-⎢⎥ ⎪⎝⎭+⎢⎥⎛⎫⎣⎦=+⨯-=-+⋅ ⎪⎝⎭- 从而()12552n S n ⎛⎫=-+⋅+ ⎪⎝⎭【点睛】关键点睛：本题考查由递推公式求数列的通项公式和利用错位相减法求和，解答本题的关键是根据21212n n n n n b a n ++==+得出求和的方法，利用错位相减法求和时计算要仔细，考查运算能力，属于中档题. 23．（1）()2121n a n n =≥-；（2）证明见解析. 【分析】（1）当1n =时，可求1a ，当2n ≥时，可得1213(23)2(1)n a a n a n -+++-=-与已知条件两式相减可得()212n n a -=，检验1a 满足221n a n =-，即可得{}n a 的通项公式； （2）由（1）知()2121n a n n =≥-，所以22111(21)(22)(1)1n a n n n n n n n n n=<==-----，计算其前n 项和即可证明. 【详解】（1）当1n =时，12a = 当2n ≥时，1213(23)(21)2n n a a n a n a n -+++-+-=①1213(23)2(1)n a a n a n -+++-=-②①-②得：()212n n a -=. ∴()2221n a n n =≥-.当1n =时，12a =，上式也成立. ∴()2121n a n n =≥- （2）由（1）知()221n a n n n=-. 当1n =时，2na n=， 当2n ≥时，22111(21)(22)(1)1n a n n n n n n n n n =<==----- ∴11111212231n T n n ⎛⎫⎛⎫⎛⎫≤+-+-++- ⎪ ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭⎝⎭133n =-< 【点睛】 方法点睛：数列求和的方法（1）倒序相加法：如果一个数列{}n a 的前n 项中首末两端等距离的两项的和相等或等于同一个常数，那么求这个数列的前n 项和即可以用倒序相加法（2）错位相减法：如果一个数列的各项是由一个等差数列和一个等比数列的对应项之积构成的，那么这个数列的前n 项和即可以用错位相减法来求；（3）裂项相消法：把数列的通项拆成两项之差，在求和时，中间的一些项可相互抵消，从而求得其和；（4）分组转化法：一个数列的通项公式是由若干个等差数列或等比数列或可求和的数列组成，则求和时可用分组转换法分别求和再相加减；（5）并项求和法：一个数列的前n 项和可以两两结合求解，则称之为并项求和，形如()()1nn a f n =-类型，可采用两项合并求解.24．（1）证明见解析；（2）21n nT n =+. 【分析】(1)利用+1+1n n n a S S =-，消去n S ，因式分解后得到数列为等差数列，求通项公式； (2)先根据n b =求出2(1)n bn n =+，再拆项为2112()(1)1nb n n n n ==-++，然后求和．【详解】解：（1）由题意得，1n n n S S a+-=1nn a a +-=∴1=2=1=，∴数列是首项为1，公差为1的等差数列.（2）由（1n =，∴2n a n =，依题意，()211211n b n n n n ⎛⎫===- ⎪++⎝⎭， ∴11111212231n T n n ⎛⎫=-+-++- ⎪+⎝⎭122111n n n ⎛⎫=-=⎪++⎝⎭. 【点睛】(1)证明等差（比）数列的方法：定义法和等差（比）中项法； (2)数列求和的方法：公式法、裂项相消法、错位相减法、倒序相加法． 25．(1)22nn a =+；(2)6． 【分析】(1)利用1n n n a S S -=-求通项公式； (2)把n b 拆项为1112121n n n b +=-++，然后求和． 【详解】(1)因为124n n S a n +=+-，则()1262n n S a n n -=+-≥，当2n ≥时，112n n n n n a S S a a -+=-=-+，即122n n a a +=-，即()1222n n a a +-=-． ∵122a -=，取1n =，则()21112422a S a a -====-，对()1222n n a a +-=-也成立．所以{}2n a -是首项和公比都为2的等比数列，从而22nn a -=，所以22nn a =+．(2)由题设，()()()()()11112121211212121212121n n n n n n n n n n b +++++-+===-++++++， 则2231111111111212121212121321n n n n T ++⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+-++-=- ⎪ ⎪ ⎪+++++++⎝⎭⎝⎭⎝⎭． 由1111332140n +->+，得11113121340120n +<-=+，即121120n ++>，即12119n +>，则6n ≥.所以正整数n 的最小值为6．【点睛】数列求和常用方法：(1)公式法； (2)倒序相加法；(3)裂项相消法； (2)错位相减法．26．（1）21n a n =-，2n s n =；（2）21n nT n =+.【分析】（1）根据条件列出式子求出数列{}n a 的首项和公差，即可求出通项公式和前n 项和； （2）可得112+1n b n n ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，利用裂项相消法即可求出. 【详解】（1）设等差数列{}n a 的公差为d ，则3171+25767+492a a d S a d ==⎧⎪⎨⨯==⎪⎩，解得1a 1,d 2， ()1+1221n a n n ∴=-⨯=-，()21+212n n n S n -==； （2）()2112+1+1n b n n n n ⎛⎫===- ⎪⎝⎭，1111122122311n n T n n n ⎛⎫∴=-+-++-=⎪++⎝⎭. 【点睛】方法点睛：数列求和的常用方法：（1）对于等差等比数列，利用公式法可直接求解；（2）对于{}n n a b 结构，其中{}n a 是等差数列，{}n b 是等比数列，用错位相减法求和； （3）对于{}+n n a b 结构，利用分组求和法； （4）对于11n n a a +⎧⎫⎨⎬⎩⎭结构，其中{}n a 是等差数列，公差为d ，则111111n n n n a a d a a ++⎛⎫=- ⎪⎝⎭，利用裂项相消法求和.。
(好题)高中数学必修五第一章《数列》测试题(有答案解析)(4)
一、选择题1．某大楼共有12层，有11人在第一层上了电梯，他们分别要去第2至12层，每层1人，因特殊原因，电梯只能停在某一层，其余10人都要步行到所要去的楼层，假设初始的“不满意度”为0，每位乘客每向下步行一层的“不满意度”增量为1，每向上步行1层的“不满意度”增量为2，要使得10人“不满意度”之和最小，电梯应该停在第几层（ ） A ．7B ．8C ．9D ．102．已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，且0n a >，n *∈N ，若数列{}n a 和{}n S 都是等差数列，则下列说法不正确的是（ ） A ．{}n n a S +是等差数列 B ．{}n n a S ⋅是等差数列 C ．{}2na 是等比数列D ．{}2nS 是等比数列3．已知数列{}n a 的前n 项和是n S ，且21n n S a =-，若()0,2021n a ∈，则称项n a 为“和谐项”，则数列{}n a 的所有“和谐项”的和为（ ） A ．1022B ．1023C ．2046D ．20474．“杨辉三角”是中国古代重要的数学成就，它比西方的“帕斯卡三角形”早了300多年.如图是由“杨辉三角”拓展而成的三角形数阵，记n a 为图中虚线上的数1,3,6,10，构成的数列{}n a 的第n 项，则100a 的值为（ ）A ．5049B ．5050C ．5051D ．51015．已知等差数列{}n a 的前n 和为n S ，若1239a a a ++=，636S =，则12(a = ) A ．23B ．24C ．25D ．266．已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，且21n n S a =-，则66S a =（ ） A ．6332B ．3116C ．12364 D ．1271287．数列{}n a 的通项公式是*1()(1)n a n n n =∈+N ，若前n 项的和为1011，则项数为（ ）． A ．12B ．11C ．10D ．98．已知数列{}n a 的前n 项的和为n S ，且()23n n S a n n N *=-∈，则（ ） A ．{}n a 为等比数列B ．{}n a 为摆动数列C ．1329n n a +=⨯-D ．6236n n S n =⨯--9．已知1，1x ，2x ，7成等差数列，1，1y ，2y ，8成等比数列，点()11,M x y ，()22,N x y ，则直线MN 的方程是（ ）A ．10x y -+=B ．10x y --=C ．70x y --=D ．70x y +-=10．已知函数()()31f x x x =-+，数列{}n a 中各项互不相等，记()()()12n n S f a f a f a =+++，给出两个命题：①若等差数列{}n a 满足55S =，则33a =；②若正项等比数列{}n a 满足33S =，则21a <；其中（ ）A ．①是假命题，②是真命题B ．①是真命题，②是假命题C ．①②都是假命题D ．①②都是真命题11．如果数列{}n a 的前n 项和21()n n S a n N +=-∈，则5a =( ) A ．8B ．16C ．32D ．6412．已知数列{}n a 满足123n n a a +-=，11a =，3n n b a =+，则10b =（ ） A ．92B ．103C ．2048D ．1024二、填空题13．数列{}n a 中，1111,,21n n n a a a a --==+则n a =_____________.14．已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，若121(2)n n S S n -=+≥且23S =，则55S a =_________． 15．等比数列{a n }的公比为q ，其前n 项的积为T n ，并且满足条件a 1>1，a 49a 50－1>0，(a 49－1)(a 50－1)<0.给出下列结论：①0<q<1；②a 1a 99－1<0；③T 49的值是T n 中最大的；④使T n >1成立的最大自然数n 等于98.其中所有正确结论的序号是____________．16．在数列{}n a 中， 11a =，212(2)n n n a a n ---=≥，则n a =_____.17．已知等比数列{a n }的前n 项和为S n ，且133,12n n a S a λ++==，则实数λ的值为_____ 18．在流行病学中，基本传染数0R 是指在没有外力介入，同时所有人都没有免疫力的情况下，一个感染者平均传染的人数．0R 一般由疾病的感染周期､感染者与其他人的接触频率､每次接触过程中传染的概率决定．假设某种传染病的基本传染数03R =（注：对于01R >的传染病，要隔离感染者，以控制传染源，切断传播途径），那么由1个初始感染者经过六轮传染被感染（不含初始感染者）的总人数为______（注：初始感染者传染0R 个人为第一轮传染，这0R 个人每人再传染0R 个人为第二轮传染……）19．已知数列{}n a 的通项公式为3217n n a n -=-，前n 项和为n S ，则n S 取得最小值时n 的值为_________.20．等比数列{}n a 前n 项和为n S ，若634S S =，则96S S =______. 三、解答题21．已知各项为正数的等比数列{}n a ，前n 项和为n S ，若2125,2,log a log a 成等差数列，37S =，数列{}n b 满足，11b =，数列11n n n b b a ++⎧⎫-⎨⎬⎩⎭的前n 项和为232n n+ （1）求{}n a 的公比q 的值； （2）求{}n b 的通项公式.22．已知数列{}n a 为等差数列，23a =，前n 项和为n S ，数列{}n b 为等比数列，公比为2，且2354b S =，3216b S +=.（1）求数列{}n a 与{}n b 的通项公式；（2）设数列{}n c 满足n n n c a b =+，求数列{}n c 的前n 项和n T .23．已知数列{}n a 的前n 项和是2n S n =.（1）求数列{}n a 的通项公式； （2）记12n n n b a a +=，设{}n b 的前n 项和是n T ，求使得20202021n T >的最小正整数n ． 24．在数列{}n a ，{}n b 中，2165n n n a a a +++=，()*13n n n b a a n +=-∈N ，且11a =，22b =.（1）求3a ，1b 的值； （2）求{}n b 的通项公式； （3）设()()11311n n n n b c b b +++=--，记{}n c 的前n 项和为n S ，证明：2479n S ≤<.25．已知各项均为正数的数列{}n a 的前n 项和满足1n S >，且()()*612,n n n S a a n =++∈N .（1）求{}n a 的通项公式： （2）设数列{}n b 满足,2n n na nb n ⎧=⎨⎩是奇数，是偶数，并记n T 为{}n b 的前n 项和，求2n T . 26．已知数列{}n a 的前n 项和()2*N n S nn =∈，{}n b 是递增等比数列，且11b a =，35b a =.（1）求数列{}n a 和{}n b 的通项公式；（2）若()*N n n n c a b n =⋅∈，求数列{}n c 的前n 项和n T .【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题 1．C 解析：C 【分析】根据题意，假设电梯所停的楼层，表达出“不满意度”之和，利用等差数列的求和公式即可求得结论． 【详解】解：设电梯所停的楼层是(212)n n ，则12(2)2[12(12)]S n n =++⋯+-+++⋯+- (2)(1)(12)(13)222n n n n ----=+⨯ 22235335353()157()157232624n n n =-+=--+ 开口向上，对称轴为5396x =≈， 故S 在9n =时取最小值239539314402min S ⨯-⨯+==．故选：C ． 【点睛】本题考查数列知识，考查函数思想的运用，考查计算能力，求得“不满意度”之和是关键．2．D解析：D 【分析】由题意，判断出数列{}n a 是公差为0的等差数列，然后分别利用等差数列的定义与等比数列的定义判断每个选项即可. 【详解】因为数列{}n a 和{}n S 都是等差数列，1n n n a S S -=-，所以可判断n a 为定值，所以数列{}n a 是公差为0的等差数列，即10n n a a --=.对A ，()()1111----++-=-+-=n n n n n n n n n a S a S S S a a a ，所以数列{}n n a S +是等差数列；对B ，1121----=⋅⋅⋅⋅-=n n n n n n n n n a S a S a S a S a ，所以数列{}n n a S ⋅是等差数列；对C ，222211-==n n n n a a a a ，所以数列{}2n a 是等比数列；对D ，设n a a =，则222,==n n S na S n a ，则221222222(1)(1)-==--n n n a n n a n S S ，所以数列{}2n S 不是等比数列.故选：D 【点睛】解答本题的关键在于判断出数列{}n a 是公差为0的等差数列，然后结合等差数列的定义，等比数列的定义列式判断是否为等差或者等比数列.3．D解析：D 【分析】由1(2)n n n a S S n -=-≥求出{}n a 的递推关系，再求出1a 后确定数列是等比数列，求出通项公式，根据新定义确定“和谐项”的项数及项，然后由等比数列前n 项和公式求解． 【详解】当2n ≥时，11121(221)2n n n n n n n a S S a a a a ---=--==---，∴12n n a a -=， 又11121a S a ==-，11a =，∴{}n a 是等比数列，公比为2，首项为1， 所以12n na ，由122021n n a -=<得110n -≤，即11n ≤，∴所求和为1112204712S -==-．故选：D ． 【点睛】关键点点睛：本题考查数列新定义，考查等比数列的通项公式与前n 项和公式，解题思路是由1(2)n n n a S S n -=-≥得出递推关系后确定数列是等比数列，从而求得通项公式．解题关键是利用新定义确定数列中“和谐项”的项数及项．4．B解析：B 【分析】观察数列的前4项，可得(1)2n n n a +=，将100n =代入即可得解. 【详解】由题意得11a =，2312a ==+，36123a ==++，4101234a ==+++⋅⋅⋅ 观察规律可得(1)1232n n n a n +=+++⋅⋅⋅+=， 所以10010010150502a ⨯==. 故选：B.【点睛】关键点点睛：本题考查了观察法求数列的通项公式，关键是将各项拆成正整数的和的形式发现规律.5．A解析：A 【解析】等差数列{}n a 的前n 和为n S ，1239a a a ++=，636S =，11339656362a d a d +=⎧⎪∴⎨⨯+=⎪⎩，解得1a 1,d 2，12111223a =+⨯=，故选A.6．A解析：A 【解析】由题意得，111121,1,n n n a a a a S S -=-==- ，则21nn S =- ，即666332S a = ，故选A. 7．C解析：C 【解析】分析：由已知，111(1)1n a n n n n ==-++，利用裂项相消法求和后，令其等于1011，得到n 所满足的等量关系式，求得结果.详解：111(1)1n a n n n n ==-++ ()n *∈N ，数列{}n a 的前n 项和11111(1)()()2231n S n n =-+-+⋯+-+ 1111n n n =-=++，当1011n S =时，解得10n =，故选C. 点睛：该题考查的是有关数列的问题，在解题的过程中，需要对数列的通项公式进行分析，选择相应的求和方法--------错位相减法，之后根据题的条件，建立关于n 的等量关系式，从而求得结果.8．D解析：D 【分析】利用已知条件求出数列{}n a 的通项公式，再求出{}n a 的前n 项的和为n S ，即可判断四个选项的正误. 【详解】因为23n n S a n =-①，当1n =时，1123a a =-，解得：13a =， 当2n ≥时，()11231n n S a n --=--②，①-②得：1223n n n a a a -=--，即123n n a a -=+，所以()1323n n a a -+=+，所以{}3n a +是以6为首项，2为首项的等比数列，所以1362n n a -+=⨯，所以1623n n a -=⨯-，所以{}n a 不是等比数列，{}n a 为递增数列，故A B 、不正确，()11263623612n n n S n n ⨯-=⨯-=⨯---，故选项C 不正确，选项D 正确.故选：D 【点睛】本题主要考查了利用数列的递推公式求通项公式，考查了构造法，考查了分组求和，属于中档题.9．B解析：B 【分析】本题先根据题意求出1x 、2x 、1y 、2y ，再写出点M 、N 的坐标并求MN k ，最后求直线MN 的方程即可. 【详解】解：∵1，1x ，2x ，7成等差数列，∴12121721x x x x +=+⎧⎨=+⎩，解得1235x x =⎧⎨=⎩，∵1，1y ，2y ，8成等比数列，∴12212181y y y y ⋅=⨯⎧⎨=⨯⎩，解得1224y y =⎧⎨=⎩∴点()3,2M ，()5,4N ，42153MN k -==- ∴直线MN 的方程：41(5)y x -=⨯-，即10x y --=.故选：B. 【点睛】本题考查等差中项，等比中项，根据两点求直线的一般式方程，是基础题.10．A解析：A 【分析】先确定函数()f x 对称性与单调性，再结合等差数列的等距性确定3a ；结合基本不等式将等比数列性质转化到等差数列性质上，解不等式即得结果. 【详解】因为()()()3311(1)1f x x x x x =-+=-+-+，而3y x x =+关于原点对称且在R 上单调递增，所以()f x 关于(1,1)对称且在R 上单调递增， 先证明下面结论：若()g x 为奇函数且在R 上单调递增，{}n a 为等差数列，123g()()()()0n a g a g a g a ++++=，则1230n a a a a ++++=.证明：若1230n a a a a ++++>，则当n 为偶数时，1211220n n n n a a a a a a -++=+==+>111()()()()+()0n n n n a a g a g a g a g a g a >-∴>-=-∴>同理21+122()()0,,()+()0n n n g a g a g a g a -+>>，即123g()()()()0n a g a g a g a ++++>与题意矛盾，当n 为奇数时，1211220n n n a a a a a -++=+==>类似可得12112()()0,()(),,()0n n n g a g a g a g a g a -++>+>，即123g()()()()0n a g a g a g a ++++>，与题意矛盾同理可证1230n a a a a ++++<也不成立，因此1230n a a a a ++++=再引申结论：若()f x 为关于(,)a b 函数且在R 上单调递增，{}n a 为等差数列，123()()()()n f a f a f a f a nb ++++=，则123n a a a a na ++++=证明过程只需令()()g x f x a b =+-，再利用上面结论即得.①若等差数列{}n a 满足55S =，即 12345()()()()()5f a f a f a f a f a ++++=，则123453555a a a a a a ++++=∴=， 31a ∴=，故①是假命题，②若正项等比数列{}n a 满足33S =， 即123()()()3f a f a f a ++= 因为数列{}n a 中各项互不相等，所以公比不为1，不妨设公比大于1，即123123()()()a a a f a f a f a <<∴<<，因为1322a a a +>=∴2()1f a <，()3222111a a a -+<∴<故②是真命题 故选：A 【点睛】本题考查函数()f x 对称性与单调性、等差数列性质、基本不等式应用，考查综合分析判断能力，属中档题.11．B解析：B【分析】根据题意得到()21n n S a n N +=-∈，1121n n S a --=-（n 2≥），两式做差得到12n n a a -=，可得到数列的通项，进而得到结果.【详解】数列{}n a 的前n 项和()21n n S a n N +=-∈，1121n n S a --=-（n 2≥）,两式做差得到12n n a a -=（n 2≥），由此可得到数列是等比数列，令n=1代入得到1121S a =-=1a ，解得1a =1，故得到数列通项为12n n a ，令n=5得到516.a =故答案为B. 【点睛】这个题目考查的是数列通项公式的求法及数列求和的常用方法；数列通项的求法中有常见的已知n S 和n a 的关系，求n a 表达式，一般是写出1n S -做差得通项，但是这种方法需要检验n=1时通项公式是否适用.12．C解析：C 【分析】根据题意得到12n n b b +=，计算得到答案. 【详解】123n n a a +-=，()1323n n a a +∴+=+，即12n n b b +=， 14b =，910422048b ∴=⨯=.故选：C . 【点睛】本题考查了根据数列的递推式求通项公式，确定12n n b b +=是解题的关键.二、填空题13．【分析】对两边取到数可得从而可得数列是等差数列求出数列的通项公式即可求出【详解】因为所以即又所以数列是以为首项2为公差的等差数列所以所以故答案为：【点睛】本题主要考查取到数构造新数列同时考查等差数列 解析：121n - 【分析】 对1121n n n a a a --=+两边取到数可得1112n n a a --=，从而可得数列1{}n a 是等差数列，求出数列1{}na 的通项公式，即可求出n a . 【详解】因为1121n n n a a a --=+，所以11121112n n n n a a a a ---+==+，即1112n n a a --=，又111a ，所以数列1{}na 是以1为首项，2为公差的等差数列， 所以11(1)221n n n a =+-⨯=-，所以121n a n =-. 故答案为：121n - 【点睛】本题主要考查取到数构造新数列，同时考查等差数列的概念及通项公式，属于中档题.14．【分析】先计算出数列的前两项分别为和由题意可知可得再结合得数列是首项为公比为的等比数列然后利用等比数列的相关公式计算【详解】由①得则所以得：②②-①得：即又成立所以数列是首项为公比为的等比数列则故故解析：3116.【分析】先计算出数列{}n a 的前两项分别为1和2，由题意可知()1121212n n nn S S S S n +-=+⎧⎨=+≥⎩可得()122n na n a +=≥，再结合212aa =得数列{}n a 是首项为1，公比为2的等比数列，然后利用等比数列的相关公式计算55S a . 【详解】由121(2)n n S S n -=+≥ ①得12121213S S a =+=+=，则11a =，所以2212a S a =-=，得：121n n S S +=+②， ②-①得：()122n n a a n +=≥，即()122n na n a +=≥ 又212a a =成立，所以数列{}n a 是首项为1，公比为2的等比数列， 则4451216a a q =⋅==，()()55151********a q S q-⨯-===--，故553116Sa =. 故答案为：3116【点睛】本题考查利用递推关系式求解数列的通项公式，考查等比数列的通项公式、求和公式的应用，较简单.15．①②③④【解析】由条件a1>1a49a50－1>0(a49－1)(a50－1)<0可知a49>1a50<1所以0<q<1①对；∵a1a99＝<1②对；因为a49>1a50<1所以T49的值是Tn 中最解析：①②③④ 【解析】由条件a 1>1，a 49a 50－1>0，(a 49－1)(a 50－1)<0可知a 49>1，a 50<1，所以0<q <1，①对；∵a 1a 99＝250a <1，②对；因为a 49>1，a 50<1，所以T 49的值是T n 中最大的，③对；∵T n ＝a 1a 2a 3…a n ，又∵a 1a 98＝a 49a 50>1，a 1a 99＝250a <1，所以使T n >1成立的最大自然数n 等于98.故填①②③④.16．【分析】利用累加法可求得数列的通项公式【详解】当时符合上式则故答案为：【点睛】本题考查由累加法求数列的通项公式属于基础题 解析：12n -【分析】利用累加法可求得数列的通项公式. 【详解】11a =，212(2)n n n a a n ---=≥∴()()()121321=+n n n a a a a a a a a --+-+⋅⋅⋅+-0121+2+2++2n -=⋅⋅⋅()()2212122+2221212n n n ----==+-=-∴12nna ()2,*n n N ≥∈当=1n 时，11a =符合上式，则12n n a .故答案为：12n - 【点睛】本题考查由累加法求数列的通项公式，属于基础题.17．【分析】首先利用与的关系式得到求得公比首项和第二项再通过赋值求的值【详解】当时两式相减得即并且数列是等比数列所以当时解得故答案为：【点睛】关键点点睛：本题的关键是利用数列和的关系式求数列的通项解析：34-【分析】首先利用1n a +与n S 的关系式，得到14n n a a +=，求得公比，首项和第二项，再通过赋值2n =求λ的值.【详解】当2n ≥时，1133n nnn a S a S λλ+-+=⎧⎨+=⎩，两式相减得()1133n n n n n a a S S a +--=-=，即14n n a a +=，并且数列{}n a 是等比数列， 所以4q =，312a =，2133,4a a ∴==， 当2n =时，()321233a S a a λ+==+， 解得34λ=-. 故答案为：34- 【点睛】关键点点睛：本题的关键是利用数列n a 和n S 的关系式，求数列的通项.18．1092【分析】由题意分析传染模型为一个等比数列可解【详解】由题意：所以第六轮的传染人数为所以前六轮被传染的人数为故答案为：1092【点睛】数学建模是高中数学六大核心素养之一在高中数学中应用题是常见解析：1092 【分析】由题意分析，传染模型为一个101,3a q R ===等比数列，可解. 【详解】由题意：101,3a q R ===所以1113n n n a a q --==第六轮的传染人数为7a所以前六轮被传染的人数为771131109213S a --=-=-.故答案为：1092 【点睛】数学建模是高中数学六大核心素养之一，在高中数学中，应用题是常见考查形式： 求解应用性问题时，首先要弄清题意，分清条件和结论，抓住关键词和量，理顺数量关系，然后将文字语言转化成数学语言，建立相应的数学模型；19．8【分析】求出数列在n 的不同取值范围的正负判断出的单调性可求出【详解】令解得或当时单调递增当时单调递减当时单调递增所以取得最小值时的值为8故答案为：8【点睛】本题考查数列前n 项和的最值的求法解题的关解析：8 【分析】求出数列在n 的不同取值范围的正负判断出n S 的单调性可求出. 【详解】 令30217n n a n -=≥-，解得3n ≤或172n ≥，∴当3n ≤时，0n a ≥，n S 单调递增，当47n ≤≤时，0n a <，n S 单调递减， 当8n ≥时，0n a >，n S 单调递增， 所以n S 取得最小值时n 的值为8. 故答案为：8. 【点睛】本题考查数列前n 项和的最值的求法，解题的关键是根据数列的正负判断n S 的单调性.20．【分析】根据等比数列的性质得到成等比从而列出关系式又接着用表示代入到关系式中可求出的值【详解】因为等比数列的前n 项和为则成等比且所以又因为即所以整理得故答案为：【点睛】本题考查学生灵活运用等比数列的 解析：134【分析】根据等比数列的性质得到232,,n n n n n S S S S S --成等比，从而列出关系式，又634S S =，接着用6S 表示3S ，代入到关系式中，可求出96S S 的值. 【详解】因为等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，则232,,n n n n n S S S S S --成等比，且0n S ≠，所以6396363--=-S S S S S S S ，又因为634S S =，即3614=S S ，所以6696666141144--=-S S S S S S S ，整理得96134=S S . 故答案为：134. 【点睛】本题考查学生灵活运用等比数列的性质化简求值，是一道基础题。
(必考题)高中数学必修五第一章《数列》测试卷(有答案解析)(1)
一、选择题1．设首项为1的数列{}n a 的前n 项和为n S ，且113,2,23,21,n n n a n k k N a a n k k N *-*-⎧+=∈=⎨+=+∈⎩，若4042m S >，则正整数m 的最小值为（ ）A ．14B ．15C ．16D ．172．设等差数列{}n a 前n 项和为n S ，等差数列{}n b 前n 项和为n T ，若11n n S n T n -=+．则55a b =（ ） A ．23B ．45C ．32D ．543．已知数列{}n a 中，12a =，()*,N n m n m a a a n m +=⋅∈，若1234480k k k k a a a a +++++++=，则k =（ ）A ．3B ．4C ．5D ．64．已知数列{}n a 中，其前n 项和为n S ，且满足2n n S a =-，数列{}2n a 的前n 项和为n T ，若20n n S T λ+>对*n N ∈恒成立，则实数λ的取值范围是（ ）A ．(3,)+∞B ．(1,3)-C ．93,5⎛⎫⎪⎝⎭D ．(1,)-+∞5．设数列{}n a 满足12a =，26a =，且()*2122n n n a a a n N ++-+=∈，若[]x 表示不超过x 的最大整数（例如[]1.61=，[]1.62-=-），则222122018232019a a a ⎡⎤⎡⎤⎡⎤+++⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦＝（ ）A ．2018B ．2019C ．2020D ．20216．已知数列{}n a 满足()1341n n a a n ++=≥，且19a =，其前n 项之和为n S ，则满足不等式16125n S n --<的最小整数n 是（ ） A ．5B ．6C ．7D ．87．已知等差数列{}n a 的前n 和为n S ，若1239a a a ++=，636S =，则12(a = ) A ．23B ．24C ．25D ．268．已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，55a =，836S =，则数列11{}n n a a +的前n 项和为（ ）A ．11n + B ．1n n + C ．1n n- D ．11n n -+ 9．已知递增的等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，175a a ⋅=，266a a +=，对于n *∈N ，不等式1231111+++⋅⋅⋅+<nM S S S S 恒成立，则整数M 的最小值是（ ） A ．1B ．2C ．3D ．410．对于数列{}n a ，定义11233n nn a a a T n-+++=为{}n a 的“最优值”，现已知数列{}n a 的“最优值”3n n T =，记数列{}n a 的前n 项和为n S ，则20202020S=（ ） A ．2019B ．2020C ．2021D ．202211．若a ，b 是函数()()20,0f x x px q p q =-+>>的两个不同的零点，a ，b ，2-这三个数适当排序后可成等比数列，点(),2a b 在直线2100x y +-=上，则p q +的值等于（ ） A ．6B ．7C ．8D ．912．已知数列{}n a 满足12a =，*11()12n na n N a +=-+∈，则2020a =（ ） A ．2B ．13 C ．12-D ．3-二、填空题13．设S n 是数列{}n a 的前n 项和，且*1111,20,3n n n a a S S n N ++=+=∈，则1223910S S S S S S ++⋅⋅⋅⋅⋅+=___________.14．在平面直角坐标系xOy 中，点A 在y 轴正半轴上，点n P 在x 轴上，其横坐标为n x ，且{}n x 是首项为1、公比为2的等比数列，记*1,n n n P AP n N θ+∠=∈．若32arctan 9θ=，则点A 的坐标为________．15．设数列{}n a 的前n 项和为n S ，若1sin 12n n a n π+⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，则2018S =______. 16．在等比数列{}n a 中，2514,2==a a ，则公比q =__________． 17．已知数列{}n a 的前n 项和是n S ，若111,n n a a a n +=+=，则1916S S -的值为________. 18．设无穷数列{a n }的前n 项和为S n ，下列有三个条件： ①m n m n a a a +⋅＝； ②S n ＝a n +1+1，a 1≠0；③S n ＝2a n +1p（p 是与n 无关的参数）． 从中选出两个条件，能使数列{a n }为唯一确定的等比数列的条件是______． 19．等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，且4873a a a +-=_________． 20．若等差数列{}n a 中，10a <，n S 为前n 项和，713S S =，则当n S 最小时n =________． 三、解答题21．设数列{}n a 满足()121*4n n a n N a +=-∈-，其中11a =. （1）证明：112n a ⎧⎫-⎨⎬-⎩⎭是等比数列； （2）令32n n n a b a -=-，设数列(){}21-⋅n n b 的前n 项和为n S ，求使2021n S <成立的最大自然数n 的值.22．设数列{}n a ，{}n b 是公比不相等的两个等比数列，数列{}n c 满足*,n n n c a b n =+∈N ．（1）若2,3nnn n a b ==，是否存在常数k ，使得数列{}1n n c kc +-为等比数列?若存在，求k 的值；若不存在，说明理由；（2）证明：{}n c 不是等比数列．23．已知数列{}n a 满足11a =，13(1)n n na n a +=+． （1）设nn a b n=，求证:数列{}n b 是等比数列; （2）求数列{}n a 的前n 项和n S ．24．已知递增等比数列{}n a 满足：12a =，416a = ． （1）求数列{}n a 的通项公式；（2）若数列{}n b 为等差数列，且满足221b a =-，3358b a =，求数列{}n b 的通项公式及前10项的和；25．设数列{}n a 的前n 项和为n S ，______．从①数列{}n a 是公比为2的等比数列，2a ，3a ，44a -成等差数列；②22n n S a =-；③122n n S +=-．这三个条件中任选一个，补充在下面问题中，并作答．（1）求数列{}n a 的通项公式； （2）若21log nn na b a +=，求数列{}n b 的前n 项和n T ．26．已知数列{}n a 的前n 项和为21n S n n =++．（1）求这个数列的通项公式； （2）设()11n n n b n a a *+=∈N ，证明：对n *∀∈N ，数列{}n b 的前n 项和524n T <．【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题 1．C 解析：C 【分析】根据已知递推关系求出数列{}n a 的奇数项加9成等比数列，偶数项加6成等比数列，然后求出2n S 后，检验141615,,S S S 可得． 【详解】当n 为奇数时，122232(3)329n n n n a a a a ---=+=++=+，所以292(9)n n a a -+=+，又1910a +=，所以1359,9,9,a a a +++成等比数列，公比为2，1219102n n a --+=⨯，即1211029n n a --=⨯-，当n 为偶数时，122323326n n n n a a a a ---=+=++=+，所以262(6)n n a a -+=+，又2134a a =+=，所以2469,9,9,a a a +++成等比数列，公比为2，126102n n a -+=⨯，即121026n n a -=⨯-，所以210(12)10(12)9620220151212n n n n S n n n --=-+-=⨯----，714202201572435S =⨯--⨯=，816202201584980S =⨯--⨯=， 7151415243510293706S S a =+=+⨯-=，所以满足4042m S >的正整数m 的最小值为16． 故选：C ． 【点睛】关键点点睛：本题考查由数列的递推关系求数列的和．解题关键是分类讨论，确定数列的奇数项与偶数项分别满足的性质，然后结合起来求得数列的偶数项的和2n S ，再检验n 取具体数值的结论．2．B解析：B 【分析】本题首先可令9n =，得出9945S T =，然后通过等差数列的性质得出959S a =以及959T b =，代入9945S T =中，即可得出结果. 【详解】因为11n n S n T n -=+，所以99914915S T -==+， 因为n S 是等差数列{}n a 前n 项和，n T 是等差数列{}n b 前n 项和， 所以()1995992a a S a +==，()1995992b b T b +==， 则95959459S a T b ==，5545a b =， 故选：B. 【点睛】关键点点睛：本题考查等差数列的相关性质的应用，主要考查等差数列前n 项和公式以及等差中项的应用，若等差数列{}n a 前n 项和为n S ，则()12n n n a a S +=，当2m n k +=时，2m n k a a a +=，考查化归与转化思想，是中档题.3．B解析：B 【分析】由已知，取1m =，则112n n n a a a a +=⋅=，得出数列{}n a 是以2为首项，2为公差的等比数列，根据等比数列的通项公式建立方程得可求得解． 【详解】因为数列{}n a 中，12a =，()*,N n m n m a a a n m +=⋅∈，所以取1m =，则112n n n a a a a +=⋅=，所以数列{}n a 是以2为首项，2为公差的等比数列，所以2nn a =，又1234480k k k k a a a a +++++++=，即12344220282k k k k +++++++=，即040238k ⨯=，解得4k =， 故选：B ． 【点睛】关键点点睛：解决本题的问题的关键在于令1m =，得出数列{}n a 是以2为首项，2为公差的等比数列，利用等比数列的通项公式建立方程得解．4．D解析：D【分析】由2n n S a =-利用1112n n n S n a S S n -=⎧=⎨-≥⎩ ，得到数列{}n a 是以1为首项，12为公比的等比数列，进而得到{}2n a 是以1为首项，14为公比的等比数列，利用等比数列前n 项和公式得到n S ，n T ，将20n n S T λ+>恒成立，转化为6321nλ-<-+，从而得出答案. 【详解】当1n =时，112S a =-，得 11a =；当2n ≥时，由2n n S a =-，得112n n S a --=-，两式相减得112n n a a -=， 所以数列{}n a 是以1为首项，12为公比的等比数列． 因为112n n a a -=，所以22114n n a a -=．又211a =，所以{}2n a 是以1为首项，14为公比的等比数列，所以1112211212n n n S ⎛⎫- ⎪⎡⎤⎛⎫⎝⎭==-⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦-，11414113414nn n T ⎛⎫- ⎪⎡⎤⎛⎫⎝⎭==-⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦-， 由20n n S T λ+>，得()()321210nnλ-++>，所以()()321321663212121n nn n n λ-+--<==-+++， 所以6332121λ-<-=-=+， 所以1λ>-．综上，实数λ的取值范围是(1,)-+∞． 故选: D 【点睛】方法点睛：数列与不等式知识相结合的考查方式主要有三种： 一是判断数列问题中的一些不等关系； 二是以数列为载体，考查不等式的恒成立问题；三是考查与数列问题有关的不等式的证明．在解决这些问题时，往往转化为函数的最值问题.5．B解析：B 【分析】由2122n n n a a a ++-+=，可得()2112n n n n a a a a +++---=，214a a -=．利用等差数列的通项公式、累加求和方法、取整函数即可得出． 【详解】2122n n n a a a ++-+=，()2112n n n n a a a a +++∴---=，214a a -=．{}1n n a a +∴-是等差数列，首项为4，公差为2． 142(1)22n n a a n n +∴-=+-=+．2n ∴≥时，()()()112211n n n n n a a a a a a a a ---=-+-+⋯⋯+-+(1)22(1)..2222(1)2n n n n n n +=+-+⋯+⨯+=⨯=+． 2(1)1n n n a n++∴=．∴当2n ≥时，2(1)11⎡⎤++⎡⎤==⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦n n n a n ． 222122018232019220172019a a a ⎡⎤⎡⎤⎡⎤∴+++=+=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦. 故选：B ． 【点睛】本题考查了数列递推关系、等差数列的通项公式、累加求和方法、取整函数，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．6．C解析：C 【分析】首先分析题目已知3a n+1+a n =4（n ∈N*）且a 1=9，其前n 项和为S n ，求满足不等式|S n ﹣n ﹣6|＜1125的最小整数n ．故可以考虑把等式3a n+1+a n =4变形得到111-13n n a a +-=-，然后根据数列b n =a n ﹣1为等比数列，求出S n 代入绝对值不等式求解即可得到答案． 【详解】对3a n+1+a n =4 变形得：3（a n+1﹣1）=﹣（a n ﹣1） 即：111-13n n a a +-=- 故可以分析得到数列b n =a n ﹣1为首项为8公比为13-的等比数列． 所以b n =a n ﹣1=8×11-3n -⎛⎫ ⎪⎝⎭a n =8×11-3n -⎛⎫ ⎪⎝⎭+1所以181********n nnS n n ⎡⎤⎛⎫--⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎛⎫⎣⎦=+=-⨯-+ ⎪⎛⎫⎝⎭-- ⎪⎝⎭|S n ﹣n ﹣6|=n11-6-3125⎛⎫⨯< ⎪⎝⎭解得最小的正整数n=7 故选C ． 【点睛】此题主要考查不等式的求解问题，其中涉及到可化为等比数列的数列的求和问题，属于不等式与数列的综合性问题，判断出数列a n ﹣1为等比数列是题目的关键，有一定的技巧性属于中档题目．7．A解析：A 【解析】等差数列{}n a 的前n 和为n S ，1239a a a ++=，636S =，11339656362a d a d +=⎧⎪∴⎨⨯+=⎪⎩，解得1a 1,d 2，12111223a =+⨯=，故选A.8．B解析：B 【解析】设等差数列{}n a 的首项为1a ，公差为d . ∵55a =，836S = ∴114582836a d a d +=⎧⎨+=⎩∴111a d =⎧⎨=⎩∴n a n =，则11111(1)1+==-++n n a a n n n n ∴数列11n n a a +⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和为1111111111122334111nn n n n -+-+-+⋅⋅⋅+-=-=+++ 故选B.点睛：裂项相消法是最难把握的求和方法之一，其原因是有时很难找到裂项的方向，突破这一难点的方法是根据式子的结构特点，常见的裂项技巧：(1)()1111n n k k n n k ⎛⎫=- ⎪++⎝⎭；（2）1k =； （3）()()1111212122121n n n n ⎛⎫=- ⎪-+-+⎝⎭；（4）()()11122n n n =++ ()()()11112n n n n ⎡⎤-⎢⎥+++⎢⎥⎣⎦；此外，需注意裂项之后相消的过程中容易出现丢项或多项的问题，导致计算结果错误.9．C解析：C 【分析】先求出等差数列的1a 和d ，由等差数列前n 项和公式得n S ，把1nS 拆成两项的差，用裂项相消法求得和12111nS S S +++，在n 变化时，求得M 的范围，得出结论． 【详解】∵{}n a 是等差数列，∴17266a a a a +=+=，由171765a a a a +=⎧⎨=⎩解得1715a a =⎧⎨=⎩或1751a a =⎧⎨=⎩，又{}n a 是递增数列，∴1715a a =⎧⎨=⎩，715127163a a d --===-， 1(1)(1)(2)233n n n n n n n S na d n --+=+=+=， 121113331324(2)n S S S n n +++=+++⨯⨯+3111111112324112n n n n ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+-++-+- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥-++⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦31119311122124212n n n n ⎛⎫⎛⎫=+--=-+ ⎪ ⎪++++⎝⎭⎝⎭94<， 由不等式1231111+++⋅⋅⋅+<n M S S S S 恒成立，得94M ≥，∴最小的整数3M =． 故选：C ． 【点睛】本题考查不等式恒成立问题，考查等差数列的性质，等差数列的通项公式和前n 项和公式，裂项相消法求和，本题属于中档题．10．D解析：D 【分析】根据11233n nn a a a T n-+++=，且3nn T =，得到112333n n n a a a n -+++=⋅，然后利用数列通项与前n 项和的关系求得21n a n =+，再利用等差数列求和公式求解. 【详解】 ∵11233n nn a a a T n-+++=，且3nn T =，∴112333n n n a a a n -+++=⋅，当2n ≥时，有()211213313n n n a a a n ---+++⋅=-⋅，两式相减可得：()()1113313213n n n n n a n n n ---⋅=⋅--⋅=+⋅.∴21n a n =+（2n ≥）. 当1n =时，13a =适合上式. ∴21n a n =+.则数列{}n a 是以3为首项，以2为公差的等差数列. ∴()202032202012020S 202220202+⨯+⨯==⨯.∴202020222020S =. 故选：D . 【点睛】本题主要考查数列通项与前n 项和的关系以及等差数列的定义和求和公式的应用，属于中档题.11．D解析：D 【分析】由零点定义得,a b p ab q +==得0,0a b >>，因此2-只能是等比数列的中间项，从而得4ab =，由点(),2a b 在直线2100x y +-=上，得5a b +=，这样可得,p q 值．从而得出结论． 【详解】∵a ，b 是函数()()20,0f x x px q p q =-+>>的两个不同的零点，∴,a b p ab q +==，∴0,0a b >>，而a ，b ，2-这三个数适当排序后可成等比数列，只能是2-是,a b 的等比中项，即4ab =，点(),2a b 在直线2100x y +-=上，则22100a b +-=，得5a b +=， 由45ab a b =⎧⎨+=⎩，∴5,4p q ==，9p q +=．故选：D ． 【点睛】本题考查函数零点的概念，考查等比数列的定义，考查韦达定理，关键是由题意分析出0,0a b >>．12．D解析：D 【分析】先利用题中所给的首项，以及递推公式，将首项代入，从而判断出数列{}n a 是周期数列，进而求得结果. 【详解】由已知得12a =，2211123a =-=+，32111213a =-=-+， 4213112a =-=--，521213a =-=-， 可以判断出数列{}n a 是以4为周期的数列，故2020505443a a a ⨯===-， 故选：D. 【点睛】该题考查的是有关数列的问题，涉及到的知识点利用递推公式判断数列的周期性，从而求解数列的某项，属于中档题.二、填空题13．【分析】由代入化简求得再结合求和方法计算可得结果【详解】因为所以所以所以又所以数列是以为首项为公差的等差数列所以所以所以所以故答案为：【点晴】由代入化简求得数列是等差数列是解题的关键解析：17【分析】由11n n n a S S ++=-代入化简求得n S ，再结合求和方法计算可得结果. 【详解】因为1120n n n a S S +++= 所以1120n n n n S S S S ++-+= 所以112n n n n S S S S ++-= 所以1112n nS S +-=又11113S a == 所以数列1n S ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是以3为首项，2为公差的等差数列， 所以()131221nn n S =+-⨯=+ 所以121n S n =+ 所以111111212322123n n S S n n n n +⎛⎫=⋅=- ⎪++++⎝⎭所以12239101111111111123557192123217S S S S S S ⎛⎫⎛⎫++⋅⋅⋅⋅⋅⋅+=-+-+⋅⋅⋅+-=-=⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ 故答案为：17【点晴】由11n n n a S S ++=-代入化简求得数列1n S ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是等差数列是解题的关键. 14．或【分析】设点的坐标利用两角差正切公式求列式解得结果【详解】设因为所以或故答案为：或【点睛】本题考查两角差正切公式等比数列考查综合分析求解能力属中档题解析：(0,2)或(0,16) 【分析】设点A 的坐标，利用两角差正切公式求3tan θ，列式解得结果. 【详解】设(0,),0A a a >,因为233443343,124,128P AP AP OAP O x x θ=-=⨯==⨯=∠∠=∠所以238442284t 21an 39a a a a a a aθ-===∴=++⋅或16 故答案为：(0,2)或(0,16)【点睛】本题考查两角差正切公式、等比数列，考查综合分析求解能力，属中档题.15．【分析】分别计算出进而得出再由可得出的值【详解】由题意可得故答案为：【点睛】本题考查数列求和找出数列的规律是解答的关键考查计算能力属于中等题 解析：1008【分析】分别计算出43k a -、42k a -、41k a -、()4k a k N *∈，进而得出43424146k k k k a a a a ---+++=，再由201845042=⨯+可得出2018S 的值.【详解】由题意可得()434243sin 112k k a k π--⎛⎫=-+= ⎪⎝⎭，()424142sin 1342k k a k k π--⎛⎫=-+=- ⎪⎝⎭，()()4141sin 211k a k k π-=-+=，4414sin 1412k k a k k π+⎛⎫=+=+ ⎪⎝⎭，()()43424141341416k k k k a a a a k k ---∴+++=+-+++=，201845042=⨯+，201820172018450534505265046504S a a a a ⨯-⨯-∴=⨯++=⨯++()30241345051008=++-⨯=.故答案为：1008. 【点睛】本题考查数列求和，找出数列的规律是解答的关键，考查计算能力，属于中等题.16．【分析】本题先用表示再建立方程组解题即可【详解】解：∵是等比数列∴∵∴解得：故答案为：【点睛】本题考查等比数列的基本量法是基础题 解析：12【分析】本题先用1a ，q 表示2a ，5a ，再建立方程组21451412a a q a a q ==⎧⎪⎨==⎪⎩解题即可. 【详解】解：∵ {}n a 是等比数列，∴ 21a a q =，451a a q∵24a =，512a =，∴ 21451412a a q a a q ==⎧⎪⎨==⎪⎩，解得：1812a q =⎧⎪⎨=⎪⎩， 故答案为：12. 【点睛】本题考查等比数列的基本量法，是基础题.17．27【分析】由得相减后得数列的奇数项与偶数项分别成等差数列由此可得通项从而求得结论【详解】∵∴相减得又所以数列的奇数项与偶数项分别成等差数列公差为1故答案为：27【点睛】易错点睛：本题考查等差数列的解析：27 【分析】由1n n a a n ++=得121n n a a n +++=+相减后得数列的奇数项与偶数项分别成等差数列，由此可得通项，从而求得结论． 【详解】∵1n n a a n ++=，∴121n n a a n +++=+，相减得21n na a +-=，又1121,1a a a =+=，20a =，211a a -=-，所以数列{}n a 的奇数项与偶数项分别成等差数列，公差为1，21n a n -=，21n a n =-，1916171819981027S S a a a -=++=++=．故答案为：27． 【点睛】易错点睛：本题考查等差数列的通项公式，解题时由已知等式中n 改写为1n +，两相减后得21n n a a +-=，这里再计算21a a -，如果2211()22n na a a a +--==，则可说明{}n a 是等差数列，象本题只能说明奇数项与偶数项分别成等差数列．不能混淆，误以为{}n a 是等差数列．这是易错的地方．18．①③【分析】选①②在①中令在②中令联立方程由方程无解推出矛盾；选①③在③中由通项与前项和之间的关系求出公比在①中令在③中用表示出联立方程求出确定数列；选②③由通项与前项和之间的关系即可作出判断【详解解析：①③ 【分析】选①②，在①中令1m n ==，在②中令1n =联立方程，由方程无解推出矛盾；选①③，在③中由通项与前n 项和之间的关系求出公比，在①中令1m n ==，在③中用12,a a 表示出12,S S 联立方程，求出1,a p 确定数列{}n a ；选②③，由通项与前n 项和之间的关系即可作出判断. 【详解】在①中，令1m n ==，得221a a =；在②中，11n n S a +=+，当2n ≥时， 11n n S a -=+，两式相减，得1n n n a a a +=-，即12n n a a +=；在③中，11112,2n n n n S a S a p p++=+=+，两式相减，得 1122n n n a a a ++=-，即 12n n a a +=，若选①②，则22112,1a a a a ⎧=⎨=+⎩即 2211111,10a a a a =--+=， 2(1)41130∆=--⨯⨯=-<，方程无解，故不能选①②作为条件；若选①③，则由12n n a a +=知，数列{}n a 的公比为2，由 221111221212a a a a p a a a p ⎧⎪=⎪⎪=+⎨⎪⎪+=+⎪⎩得1212a p =⎧⎪⎨=-⎪⎩，所以数列 {}n a 是首项为2，公比为2的等比数列； 若选②③作为条件，则无法确定首项，数列{}n a 不唯一，故不能选②③作为条件. 综上所述，能使数列{}n a 为唯一确定的等比数列的条件是①③. 故答案为：①③ 【点睛】思路点睛：本题考查利用递推关系求数列中的项，涉及等比数列的判定和通项公式，遇到和与项的递推关系时，一般有两种方法：（1）消去和，得到项的递推关系；（2）消去项，得到和的递推关系.19．【分析】首先设出等差数列的首项和公差根据其通项公式得到再根据其求和公式得到从而得到结果【详解】设等差数列的首项为公差为则有因为所以故答案为：【点睛】思路点睛：该题考查的是有关等差数列的问题解题思路如 解析：13313S 【分析】首先设出等差数列的首项和公差，根据其通项公式，得到487733a a a a +-=，再根据其求和公式，得到13713S a =，从而得到结果. 【详解】设等差数列的首项为1a ，公差为d ，则有48711117333(7)(6)318=3a a a a d a d a d a d a +-=+++-+=+， 因为11313713()132a a S a +==，所以487133313a a a S +-=， 故答案为：13313S . 【点睛】思路点睛：该题考查的是有关等差数列的问题，解题思路如下：（1）首先设出等差数列的首项和公差；（2）利用等差数列的通项公式，得到项之间的关系，整理得出487733a a a a +-=； （3）利用等差数列的求和公式，求得13713S a =； （4）比较式子，求得结果.20．10【分析】根据条件确定中项的符号变化规律即可确定最小时对应项数【详解】单调递增因此即最小故答案为：10【点睛】本题考查等差数列性质等差数列前项和性质考查基本分析求解能力属中档题解析：10 【分析】根据条件确定{}n a 中项的符号变化规律，即可确定n S 最小时对应项数. 【详解】7138910111213101103()0S S a a a a a a a a =∴+++++=∴+= 17130,a S S <=∴{}n a 单调递增，因此10110,0a a <>即10n =，n S 最小 故答案为：10 【点睛】本题考查等差数列性质、等差数列前n 项和性质，考查基本分析求解能力，属中档题.三、解答题21．（1）证明见解析；（2）最大自然数6n =. 【分析】（1）根据题中条件，可得1112n a +--的表达式，根据等比数列的定义，即可得证；（2）由（1）可得1122n n a -=-，则可得2n n b =，根据错位相减求和法，可求得n S 的表达式，根据n S 的单调性，代入数值，分析即可得答案. 【详解】解：（1）∵()1621*44n n n n a a n N a a +-=-=∈--， ∴()()1116323346312311122162262822224n n n n n n n n n n n n n n n n a a a a a a a a a a a a a a a a +++----⎛⎫----+--======- ⎪-----+----⎝⎭--即11122112n n a a +--=--， ∴112n a ⎧⎫-⎨⎬-⎩⎭是首项为113132212a a --==--，公比为2的等比数列. （2）由（1）知，1122n n a -=-， 即321112222n n n n n n n a a b a a a ---==-==---， ∴()()21212-⋅=-⋅nn n b n ，()123123252212n n S n =⋅+⋅+⋅++-⋅，① ()23412123252212n n S n +=⋅+⋅+⋅++-⋅，②①减②得()()()112311421222222122221212n nn n n S n n +++--=⋅++++--⋅=+⋅--⋅-()13226n n +=-⋅-.∴()12326n n S n +=-⋅+.∴()()()21112122322210++++-=-⋅--⋅=+>n n n n n S S n n n ，∴n S .单调递增.∵7692611582021S =⨯+=<，87112628222021S =⨯+=>.故使2021n S <成立的最大自然数6n =. 【点睛】解题的关键是根据所给形式，进行配凑和整理，根据等比数列定义，即可得证，求和常用的方法有：①公式法，②倒序相加法，③裂项相消法，④错位相减法等，需熟练掌握. 22．（1）存在，2k =或3k =；（2）证明见解析. 【分析】（1）若数列{}1n n c kc +-为等比数列，则有()()()21211n n n n n n c kc c kc c kc +++--=-⋅-，其中2n ≥且*n ∈N ，将23nnn c =+代入上式，整理得1(2)(3)2306n n k k --⋅⋅=化简即可得出答案；（2）证{}n c 不是等比数列只需证2213c c c ≠⋅，验证其不成立即可.【详解】解：（1）由题意知，若数列{}1n n c kc +-为等比数列，则有()()()21211n n n n n n c kc c kc c kc +++--=-⋅-，其中2n ≥且*n ∈N ， 将23nnn c =+代入上式，得()()()211221111232323232323n n n n n n n n n n n n k k k ++++++--⎡⎤⎡⎤⎡⎤+-+=+-+⋅+-+⎣⎦⎣⎦⎣⎦， 即21111(2)2(3)3(2)2(3)3(2)2(3)3n n n n n n k k k k k k ++--⎡⎤⎡⎤⎡⎤-+-=-+-⋅-+-⎣⎦⎣⎦⎣⎦，整理得1(2)(3)2306n nk k --⋅⋅=，解得2k =或3k =．（2）设数列{}n a ，{}n b 的公比分别为,,p q p q ≠且,0p q ≠，11,0a b ≠， 则1111n n n c a pb q --=+，为证{}n c 不是等比数列，只需证2213c c c ≠⋅， 事实上()22222221111112c a p b q a p a b pq b q =+=++，()()()222222221311111111c c a b a p b q a p a b p q b q ⋅=+⋅+=+++，由于p q ≠，故222p q pq +>，又11,0a b ≠，从而2213c c c ≠⋅，所以{}n c 不是等比数列. 【点睛】方法点睛：等差、等比数列的证明经常利用定义法和等比中项法，通项公式法和前n 项和公式法经常在选择题、填空题中用来判断数列是否为等差、等比数列不能用来证明．23．（1）证明见解析；（2）(21)3144n n n S -=+.【分析】（1）将13(1)n n na n a +=+变形为131n n a an n+=+，得到{}n b 为等比数列，（2）由（1）得到{}n a 的通项公式，用错位相减法求得n S 【详解】（1）由11a =，13(1)n n na n a +=+，可得131n na a n n+=+， 因为nn a b n=则13n n b b +=，11b =，可得{}n b 是首项为1，公比为3的等比数列， （2）由（1）13n n b -=，由13n na n-=，可得13n n a n -=⋅， 01211323333n n S n -=⋅+⋅+⋅++⋅，12331323333n n S n =⋅+⋅+⋅++⋅，上面两式相减可得：0121233333n n n S n --=++++-⋅13313n n n -=-⋅-， 则(21)3144n n n S -=+．【点睛】数列求和的方法技巧：(1)倒序相加：用于等差数列、与二项式系数、对称性相关联的数列的求和． (2)错位相减：用于等差数列与等比数列的积数列的求和． (3)分组求和：用于若干个等差或等比数列的和或差数列的求和．(4) 裂项相消法：用于通项能变成两个式子相减，求和时能前后相消的数列求和.24．（1）2nn a =；（2）21n b n =-，数列{}n b 前10项的和10100S =.【分析】（1）利用等比数列的通项公式，结合已知12a =，416a =，可以求出公比，这样就可以求出数列{}n a 的通项公式；（2）由数列{}n a 的通项公式，可以求出21a -和 358a 的值，这样也就求出2b 和 3b 的值，这样可以求出等差数列{}n b 的公差，进而可以求出通项公式，利用前n 项和公式求出数列{}n b 前10项的和.【详解】（1）设等比数列的公比为q ，由已知12a =，34121616q a a q =⇒⋅=⇒=，所以112n n n a q a -=⋅=，即数列{}n a 的通项公式为2n n a =；（2）由（1）知2nn a =，所以2221213b a =-=-=，333552588b a ==⨯=， 设等差数列{}n b 的公差为d ，则322d b b -==，12121n d b b n b =-=∴=-， 设数列{}n b 前10项的和为10S ，则11010910910101210022S d b ⨯⨯=+⋅=⨯+⨯=， 所以数列{}n b 的通项公式21n b n =-，数列{}n b 前10项的和10100S =. 【点睛】方法点睛：数列求和的常用方法：（1）公式法：即直接用等差、等比数列的求和公式求和.（2）错位相减法：若{}n a 是等差数列，{}n b 是等比数列，求1122n n a b a b a b ++⋅⋅⋅. （3）裂项相消法：把数列的通项拆成两项之差，相消剩下首尾的若干项.常见的裂顶有()11111n n n n =-++，()1111222n n n n ⎛⎫=- ⎪++⎝⎭，()()1111212122121n n n n ⎛⎫=- ⎪-+-+⎝⎭等.（4）分组求和法：把数列的每一项分成若干项，使其转化为等差或等比数列，再求和. （5）倒序相加法.25．（1）条件性选择见解析，2n n a =；（2）332n nn T +=-． 【分析】（1）选①：由题意可得32442a a a =+-，再利用等比数列的公比为2可求1a ，进而可求数列{}n a 的通项公式；选②：22n n S a =-，令1n =可求1a ，当2n ≥时，可得1122n n S a --=-，与已知条件两式相减可求得()122n n a a n -=≥，进而可求数列{}n a 的通项公式；选③：122n n S +=-，当1n =时，112S a ==，当2n ≥时，122n n S -=-，与已知条件两式相减可求得2nn a =，检验12a =也满足，进而可求数列{}n a 的通项公式；（2）由（1）知2nn a =，则221log 1log 2122n n n n n n a n b a +++===，利用乘公比错位相减即可求和. 【详解】（1）选①：因为2a ，3a ，44a -成等差数列， 所以32442a a a =+-，又因为数列{}n a 的公比为2，所以2311122242a a a ⨯=+⨯-，即1118284a a a =+-，解得12a =， 所以1222n n n a -=⨯=．选②：因为22n n S a =-，当1n =时，1122S a =-，解得12a =． 当2n ≥时，1122n n S a --=-，所以()()111222222n n n n n n n a S S a a a a ---=-=---=-． 即()122n n a a n -=≥．所以数列{}n a 是首项为2，公比为2的等比数列． 故1222n n n a -=⨯=．选③：因为122n n S +=-，所以当1n =时，112S a ==，当2n ≥时，122nn S -=-，所以()()1122222n n nn n n a S S +-=-=---=，当1n =时，1122a ==依然成立．所以2nn a =． （2）由（1）知2nn a =，则221log 1log 2122n n n n n n a n b a +++===， 所以2323412222n n n T +=++++， ① 231123122222n n n n n T ++=++++， ② ①－②得23111111122222n n n n T ++⎛⎫=++++- ⎪⎝⎭ 212111111111111121222211111222221122n n n n n n n n n -+++++⎛⎫-- ⎪+++⎝⎭=+-=+-=+---- 13322n n ++=-． 所以332n nn T +=-． 所以数列{}n b 的前n 项和332n n n T +=-． 【点睛】方法点睛：数列求和的方法（1）倒序相加法：如果一个数列{}n a 的前n 项中首末两端等距离的两项的和相等或等于同一个常数，那么求这个数列的前n 项和即可以用倒序相加法（2）错位相减法：如果一个数列的各项是由一个等差数列和一个等比数列的对应项之积构成的，那么这个数列的前n 项和即可以用错位相减法来求；（3）裂项相消法：把数列的通项拆成两项之差，在求和时，中间的一些项可相互抵消，从而求得其和；（4）分组转化法：一个数列的通项公式是由若干个等差数列或等比数列或可求和的数列组成，则求和时可用分组转换法分别求和再相加减；（5）并项求和法：一个数列的前n 项和可以两两结合求解，则称之为并项求和，形如()()1nn a f n =-类型，可采用两项合并求解. 26．（1）*3,(1)2,(2,)n n a n n n N =⎧=⎨≥∈⎩；（2）证明见解析． 【分析】（1）利用*1,(1),(2,)n n nn S n a S S n n N -=⎧=⎨-≥∈⎩求解即可；（2）利用n a 求n b ，当1n =时，1151224b =≤显然成立，当2n ≥时，利用列项相消法求和判断即可. 【详解】解：（1）当1n =时，111113a S ==++=；当2n ≥时，1n n n a S S -=-22(1)[(1)(1)1]n n n n =++--+-+2n =，所以*3,(1)2,(2,)n n a n n n N =⎧=⎨≥∈⎩； （2）由（1）易知*1,(1)121(2,),4(1)n n b n n N n n ⎧⎪=⎪=⎨≥∈⎪+⎪⎩ 当1n =时，1151224b =≤显然成立． 当2n ≥时，1111()4(1)41n b n n n n ==-++， 123n n T b b b b =+++ 11111111[()()()]12423341n n =+-+-++-+ 1111()12421n =+-+ 515244(1)24n =-<+； 故结论成立．【点睛】关键点睛：本题考查数列求通项公式，利用数列求和证明不等式.利用列项相消法求和是解决本题的关键.。
(好题)高中数学必修五第一章《数列》测试卷(包含答案解析)
一、选择题1．已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，11a =，23a =，且()11222n n nn S S S n +-+=+≥，若()()72n n S a n λλλ-++≥-对任意*n ∈N 都成立，则实数λ的最小值为（ ） A ．52-B ．116C ．332D ．12．设首项为1的数列{}n a 的前n 项和为n S ，且113,2,23,21,n n n a n k k N a a n k k N *-*-⎧+=∈=⎨+=+∈⎩，若4042m S >，则正整数m 的最小值为（ ）A ．14B ．15C ．16D ．173．数列{}n a 中，11a =，113,3,3n n n n a N a n a N *+*-⎧+∉⎪⎪=⎨⎪∈⎪⎩，使2021n a <对任意的()n k k *≤∈N 恒成立的最大k 值为（ ） A ．1008B ．2016C ．2018D ．20204．2020年12月17日凌晨1时59分，嫦娥五号返回器携带月球样品成功着陆，这是我国首次实现了地外天体采样返回，标志着中国航天向前又迈出了一大步．月球距离地球约38万千米，有人说：在理想状态下，若将一张厚度约为0.1毫米的纸对折n 次其厚度就可以超过到达月球的距离，那么至少对折的次数n 是（ ）（lg 20.3≈，lg3.80.6≈） A ．40B ．41C ．42D ．435．已知数列{}n a 中，13n n a S +=，则下列关于{}n a 的说法正确的是（ ） A ．一定为等差数列 B ．一定为等比数列C ．可能为等差数列，但不会为等比数列D ．可能为等比数列，但不会为等差数列6．记n S 为等比数列{}n a 的前n 项和.若2342S S S =+，12a =，则2a =（ ） A ．2B ．-4C ．2或-4D ．47．在等差数列{}n a 中，0n a ≠，()21102n n n a a a n -+-+=≥，若2138n S -=，则n =( )．A ．38B ．20C ．10D ．98．记数列{}n a 前n 项和为n S ，若1，n a ，n S 成等差数列，且数列()()11211n n n a a a +++⎧⎫⎪⎪⎨⎬--⎪⎪⎩⎭的前n 项和n T 对任意的*n N ∈都有210n T λ-+≥恒成立，则λ的取值范围为（ ）A ．1,6⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦B ．1,2⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦C ．5,6D ．(],1-∞9．已知数列{}n a 的前n 项的和为n S ，且()23n n S a n n N *=-∈，则（ ） A ．{}n a 为等比数列 B ．{}n a 为摆动数列 C ．1329n n a +=⨯-D ．6236n n S n =⨯--10．若{}n a 是等比数列，其公比是q ，且546,,a a a -成等差数列，则q 等于( ) A ．－1或2B ．1或－2C ．1或2D ．－1或－211．若n S 是等比数列{}n a 的前项和，3S ，9S ，6S 成等差数列，且82a =，则25a a +=（ ） A ．12-B ．4-C ．4D ．1212．等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，已知32110S a a =+，534a =，则1a =（ ） A ．2B ．3C ．4D ．5二、填空题13．数列{}n a 中，1111,,21n n n a a a a --==+则n a =_____________.14．设数列{}2()n n n a +是等比数列，且116a =，2154a =，则数列{3}n n a 的前15项和为__________．15．在数列{}n a 中，已知11a =，()()122122n n n a a a a a n --=++++≥，则n a =____________．16．在数列{a n }中，已知a 1＝1，1(1)sin 2n n n a a π++-=，记S n 为数列{a n }的前n 项和，则S 2019＝______17．等比数列{}n a 的各项均为正数，且2414a a =，则2122232425log log log log log a a a a a ++++=___________.18．设,n n S T 分别是等差数列{}{},n n a b 的前n 项和，已知()*2142n n S n n N T n +=∈-，则10317a b b =+_________．19．已知数列{}n a 的首项1a a =，其前n 项和为n S ，且满足()2*12,n n S S n n n N -+=≥∈，若对任意*n N ∈，1n n a a +<恒成立，则a 的取值范围是___________.20．设无穷数列{a n }的前n 项和为S n ，下列有三个条件： ①m n m n a a a +⋅＝；②S n ＝a n +1+1，a 1≠0；③S n ＝2a n +1p（p 是与n 无关的参数）．从中选出两个条件，能使数列{a n }为唯一确定的等比数列的条件是______．三、解答题21．已知数列{}n a 满足：*111,21,n n a a a n n N +=-=-∈（1）证明{}n a n +是等比数列，并求出数列{}n a 的通项公式； （2）设21,n n n n b S a n+=+为数列{}n b 的前n 项和，求n S 22．在数列{}n a 中，11a =，()*21221,,k k k a a a k N -+∈成等比数列，公比为0k q >.（Ⅰ）若2k q =，求13521k a a a a -+++⋅⋅⋅+； （Ⅱ）若()*22122,,k k k a a a k N ++∈成等差数列，公差为k d ，设11k k b q =-. ①求证：{}n b 为等差数列；②若12d =，求数列{}k d 的前k 项和k D . 23．在①数列{}n a 为递增的等比数列，且2312a a +=，②数列{}n a 满足122n n S S +-=，③数列{}n a 满足1121222n n n n a a a na -++++=这三个条件中任选一个，补充在下面问题中，再完成解答．问题：设数列{}n a 的前n 项和为n S ，12a =，__________． （1）求数列{}n a 的通项公式； （2）设2221log log n n n b a a +=⋅，求数列{}n b 的前n 项和n T ．24．在①246a a +=，945S =②222n n n S =+③()121n n a n n a n -=≥-，11a =这三个条件中任选一个补充在下面的问题中，并加以解答．设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，________，数列{}n b 为等比数列，112b a =，222a b =，求数列{}n n a b 的前n 项和n T ．25．从①()*123(1)2n n n b b b b n +++++=∈N ，②{}n b 为等差数列且215227b b b =+=，，这两个条件中选择一个条件补充到问题中，并完成解答.问题：已知数列{}{},n n a b 满足2n bn a =，且___________. （1）证明：数列{}n a 为等比数列；（2）若m c 表示数列{}n b 在区间()0,m a 内的项数，求数列{}m c 前m 项的和m T . 26．已知数列{}n a 的前n 项和()2*N n S nn =∈，{}n b 是递增等比数列，且11b a =，35b a =.（1）求数列{}n a 和{}n b 的通项公式；（2）若()*N n n n c a b n =⋅∈，求数列{}n c 的前n 项和n T .【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题 1．C 解析：C 【分析】由n S 与n a 的关系得21nn a =-，则272n maxn λ-⎛⎫≥⎪⎝⎭，设272n nn c -=，利用数列的单调性即可求解． 【详解】解：数列{}n a 的前n 项和为n S ，11a =，23a =，且()11222n n nn S S S n +-+=+≥， 所以112nn n n n S S S S +--=+-，故()122nn n a a n +-=≥，因为1212a a -=，所以()121nn n a a n +-=≥，所以112n n n a a ---=，2122n n n a a ----=，⋯，1212a a -=， 则1211222n n a a --=++⋯+，故11211222121n n n n a --=++⋯+==--， 所以()123122122222221n n n nS n n n +-=+++⋯+-=-=---，所以21nn n S a n -=--，因为()()72n n S a n λλλ-++≥-对任意*n N ∈都成立， 所以272nmaxn λ-⎛⎫≥ ⎪⎝⎭． 设272n n n c -=，则111252792222n n n nn n n nc c +++----=-=，当4n ≤时，1n n c c +>，当5n ≥时，1n n c c +<， 因此1234567c c c c c c c <<⋯<><> 即5332c λ≥=，故λ的最小值为332． 故选：C 【点睛】本题解答的关键利用11,1,2n nn S n a S S n -=⎧=⎨-≥⎩求出数列n a 的递推公式，再利用累加法求出na 的通项；2．C解析：C 【分析】根据已知递推关系求出数列{}n a 的奇数项加9成等比数列，偶数项加6成等比数列，然后求出2n S 后，检验141615,,S S S 可得． 【详解】当n 为奇数时，122232(3)329n n n n a a a a ---=+=++=+，所以292(9)n n a a -+=+，又1910a +=，所以1359,9,9,a a a +++成等比数列，公比为2，1219102n n a --+=⨯，即1211029n n a --=⨯-，当n 为偶数时，122323326n n n n a a a a ---=+=++=+，所以262(6)n n a a -+=+，又2134a a =+=，所以2469,9,9,a a a +++成等比数列，公比为2，126102n n a -+=⨯，即121026n n a -=⨯-，所以210(12)10(12)9620220151212n n n n S n n n --=-+-=⨯----，714202201572435S =⨯--⨯=，816202201584980S =⨯--⨯=， 7151415243510293706S S a =+=+⨯-=，所以满足4042m S >的正整数m 的最小值为16． 故选：C ． 【点睛】关键点点睛：本题考查由数列的递推关系求数列的和．解题关键是分类讨论，确定数列的奇数项与偶数项分别满足的性质，然后结合起来求得数列的偶数项的和2n S ，再检验n 取具体数值的结论．3．C解析：C 【分析】根据数列的通项公式，列出各项，找数列的规律，判断到哪一项是大于2021，即可得答案. 【详解】由已知可得，数列{}n a ：1,4,7,4,7,10,7,10,13,，可得规律为1,4,7，4,7,10，7,10,13……此时将原数列分为三个等差数列：1,4,7,n a n =，{}31,n n n m m N ∈=+∈；4,7,10,2n a n =+，{}32,n n n m m N ∈=+∈；7,10,13,4n a n =+，{}33,n n n m m N ∈=+∈，当673m =时，312020n m =+=，即2020202120222020,2023,2026a a a ===. 而672m =时，312017n m =+=，即2017201820192017,2020,2023a a a ===， 所以满足2021n a <对任意的()n k k *≤∈N 恒成立的最大k 值为2018．故选：C. 【点睛】关于数列的项的判断，一般有两种题目类型，一种是具有周期的数列，可以通过列出前几项找出数列的周期，利用周期判断；另一种是数列的项与项之间存在规律，需要通过推理判断项与项之间的规律从而得数列的通项.4．C解析：C 【分析】设对折n 次时，纸的厚度为n a ，则{}n a 是以10.12a =⨯为首项，公比为2的等比数列，求出{}n a 的通项，解不等式460.12381010n n a =⨯≥⨯⨯即可求解【详解】设对折n 次时，纸的厚度为n a ，每次对折厚度变为原来的2倍， 由题意知{}n a 是以10.12a =⨯为首项，公比为2的等比数列，所以10.1220.12n nn a -=⨯⨯=⨯，令460.12381010n n a =⨯≥⨯⨯，即122 3.810n ≥⨯，所以lg 2lg 3.812n≥+，即lg 20.612n ≥+，解得：12.6420.3n ≥=， 所以至少对折的次数n 是42，故选：C 【点睛】关键点点睛：本题解题的关键是根据题意抽象出等比数列的模型，求出数列的通项，转化为解不等式即可.5．C解析：C【分析】根据13n n a S +=得14n n S S +=，分类讨论当10S =和10S ≠两种情况分析得数列{}n a 可能为等差数列，但不会为等比数列. 【详解】解：13n n a S +=，13n n n S S S +∴=-， 14n n S S +∴=，若10S =，则数列{}n a 为等差数列；若10S ≠，则数列{}n S 为首项为1S ，公比为4的等比数列，114n n S S -∴=⋅，此时21134n n n n a S S S -==-⋅﹣（2n ≥），即数列从第二项起，后面的项组成等比数列.综上，数列{}n a 可能为等差数列，但不会为等比数列. 故选：C. 【点睛】本题考查等差数列、等比数列的判断，考查学生分析解决问题的能力，正确分类讨论是关键.6．B解析：B 【分析】利用等比数列的前n 项和公式求出公比，由此能求出结果． 【详解】∵n S 为等比数列{}n a 的前n 项和，2342S S S =+，12a =，∴()()()34212122211q q q qq--+=+--，解得2q =-，∴214a a q ==-，故选B ． 【点睛】本题主要考查等比数列的性质以及其的前n 项和等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．7．C解析：C 【分析】由2110n n n a a a -+-+=，可得2112n n n n a a a a -++==，得到2n a =，再根据等差数列的求和公式，得到2138(21)n n n S a --==，代入即可求解，得到答案． 【详解】由题意，等差数列{}n a 中，()21102n n n a a a n -+-+=≥，可得2112n n n n a a a a -++==，又0,n a ≠解得2n a =， 又由12121(21)()(2)3812n n n n a a n a S ---+==-=，即(21)823n -⨯=，解得10n =，故选C ． 【点睛】本题主要考查了等差数列的性质，以及等差数列的求和公式的应用，其中解答中熟记等差数列的性质，求得2n a =和2138(21)n n n S a --==是解答本题的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题．8．C解析：C 【分析】直接利用递推关系式的应用求出数列的通项公式，进一步利用裂项相消法的应用和分离参数法及函数的恒成立问题的应用求出参数的取值范围. 【详解】数列{}n a 前n 项和为n S ，若1，n a ，n S 成等差数列， 所以21n n a S =+①， 当1n =时，11a =.当2n ≥时，1121n n a S --=+②， ①﹣②得122n n n a a a --=，整理得12nn a a -=（常数）， 所以数列{}n a 是以1为首项，2为公比的等比数列. 所以12n na .所以()()()()111122111121212121n n n n n n n n a a a +++++==-------，则1111111111337212121n n n n T ++=-+-++-=----. 由于对任意的*n N ∈都有210n T λ-+≥恒成立， 所以12n T λ+≥恒成立. 即()min 12n T λ+≥，当1n =时，()1min 5113n T T +=+=， 所以523λ≥，解得56λ≥， 所以5,6λ⎛⎤∈-∞ ⎥⎝⎦.故选：C 【点睛】本题主要考查了由递推关系式求数列的通项公式，考查了裂项求和以及恒成立问题，属于中档题.9．D解析：D 【分析】利用已知条件求出数列{}n a 的通项公式，再求出{}n a 的前n 项的和为n S ，即可判断四个选项的正误. 【详解】因为23n n S a n =-①，当1n =时，1123a a =-，解得：13a =， 当2n ≥时，()11231n n S a n --=--②，①-②得：1223n n n a a a -=--，即123n n a a -=+，所以()1323n n a a -+=+，所以{}3n a +是以6为首项，2为首项的等比数列，所以1362n n a -+=⨯，所以1623n n a -=⨯-，所以{}n a 不是等比数列，{}n a 为递增数列，故A B 、不正确，()11263623612n n n S n n ⨯-=⨯-=⨯---，故选项C 不正确，选项D 正确.故选：D 【点睛】本题主要考查了利用数列的递推公式求通项公式，考查了构造法，考查了分组求和，属于中档题.10．A解析：A 【解析】分析：由546,,a a a -成等差数列可得5642a a a -+=，化简可得()()120q q +-=，解方程求得q 的值. 详解：546,,a a a -成等差数列，所以5642a a a -+=，24442a q a q a ∴-+=，220q q ∴--=，()()120q q ∴+-=，1q ∴=-或2，故选A.点睛：本题考查等差数列的性质，等比数列的通项公式基本量运算，属于简单题. 等比数列基本量的运算是等比数列的一类基本题型，数列中的五个基本量1,,,,,n n a q n a S ，一般可以“知二求三”，通过列方程组所求问题可以迎刃而解，解决此类问题的关键是熟练掌握等比数列的有关性质和公式，并灵活应用.11．C解析：C 【分析】当公比q=1时，易推断不符合题意，故q 1≠，然后利用等比数列的前n 项和的公式和等差数列的性质得方程，再利用等比数列的性质求解. 【详解】设数列{}n a 的公比为q ，当1q =时，2n a =，则36S =，612S =，918S =，此时396,,S S S 不成等差数列，不符合题意，舍去；当1q ≠时，∵396,,S S S 成等差数列，∴3692S S S +=， 即()()()3691111112?111a q a q a q qq q---+=---，即96320q q q --=，解得312q =-或31q =（舍去）或30q =（舍去）， ∴8268a a q ==，8534a a q==-，∴254a a +=，故选C. 【点睛】本题综合考查了等比数列与等差数列；在应用等比数列的前n 项和公式时，公比不能为1，故在解题过程中，应注意公比为1的这种特殊的等比数列，以防造成漏解.12．A解析：A 【解析】设等差数列{a n }的公差为d ,∵S 3=a 2+10a 1,a 5=34， ∴3a 1+3d =11a 1+d ,a 1+4d =34， 则a 1=2. 本题选择A 选项.二、填空题13．【分析】对两边取到数可得从而可得数列是等差数列求出数列的通项公式即可求出【详解】因为所以即又所以数列是以为首项2为公差的等差数列所以所以故答案为：【点睛】本题主要考查取到数构造新数列同时考查等差数列 解析：121n -【分析】 对1121n n n a a a --=+两边取到数可得1112n n a a --=，从而可得数列1{}n a 是等差数列，求出数列1{}na 的通项公式，即可求出n a . 【详解】 因为1121n n n a a a --=+，所以11121112n n n n a a a a ---+==+，即1112n n a a --=，又111a ，所以数列1{}na 是以1为首项，2为公差的等差数列， 所以11(1)221n n n a =+-⨯=-，所以121n a n =-. 故答案为：121n - 【点睛】本题主要考查取到数构造新数列，同时考查等差数列的概念及通项公式，属于中档题.14．【解析】等比数列首项为第二项为故是首项为公比为的等比数列所以所以其前项和为时为【点睛】本小题主要考查等比数列通项公式的求法考查利用裂项求和法求数列的前项和题目给定一个数列为等比数列并且给出和也就是要 解析：1516【解析】等比数列首项为1123a =,第二项为2169a =,故是首项为13,公比为13的等比数列.所以()21111333n n n nn a -+=⋅=,所以211131n n a n n n n ==-++,其前n 项和为111n -+,15n =时,为11511616-=. 【点睛】本小题主要考查等比数列通项公式的求法,考查利用裂项求和法求数列的前n 项和.题目给定一个数列()2n n n a +为等比数列,并且给出1a 和2a ,也就是要用这两项求得给定数列的第一和第二项,根据前两项求得等比数列的通项公式,由此得到211131n n a n n n n ==-++,利用裂项求和法求得数列的前n 项和. 15．【分析】（1）直接根据已知条件得到即进而求出数列的通项公式；再根据前项和与通项之间的关系即可求出数列的通项公式；【详解】∵∴数列是以为首项以3为公比的等比数列当时不适合上式数列的通项公式为故答案为：解析：21(1)23(2).n n n -=⎧⎨⋅⎩【分析】（1）直接根据已知条件得到112n n n S S S ---=，即13nn S S -=，进而求出数列{}n S 的通项公式；再根据前n 项和与通项之间的关系即可求出数列{}n a 的通项公式； 【详解】∵()()122122n n n a a a a a n --=++++≥，∴112n n n S S S ---=，∴13nn S S -=， ∴数列{}n S 是以111S a ==为首项，以3为公比的等比数列，13n n S -∴=．当2n 时，12213323n n n n n n a S S ----=-=-=⋅．11a =不适合上式，∴数列的通项公式为21(1)23(2).n n n a n -=⎧=⎨⋅⎩ 故答案为：21(1)23(2).n n n -=⎧⎨⋅⎩ 【点睛】本题考查递推公式求数列的通项公式，考查函数与方程思想、转化与化归思想，考查逻辑推理能力、运算求解能力，求解时注意将数列写成分段的形式.16．1010【分析】推导出从而得到数列是一个以4为周期的数列由此能求出的值【详解】数列中；可以判断所以数列是一个以4为周期的数列故答案为：1010【点睛】本题考查数列的求和考查数列的周期性三角函数性质等解析：1010 【分析】 推导出1(1)sin2n n n a a π++=+，从而得到4n n a a +=，数列{}n a 是一个以4为周期的数列，由此能求出2019S 的值． 【详解】数列{}n a 中，11a =，1(1)sin2n n n a a π++-=， 1(1)sin2n n n a a π++∴=+， 21sin 1a a π∴=+=，323sin1102a a π=+=-=，43sin 20a a π=+=，545sin0112a a π=+=+=， 511a a ∴==；可以判断4n n a a +=，所以数列{}n a 是一个以4为周期的数列.201945043=⨯+，20191234122504()504(1100)1101010S a a a a a a a ∴=⨯++++++=⨯++++++=，故答案为：1010． 【点睛】本题考查数列的求和，考查数列的周期性、三角函数性质等基础知识，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.17．【分析】由题意利用等比数列的性质求得的值再利用对数的运算性质求得结果【详解】解：等比数列{an}的各项均为正数且∴则故答案为：【点睛】本题考查等比中项的性质考查运算求解能力求解时注意对数运算法则的运用 解析：5-【分析】由题意利用等比数列的性质求得3a 的值，再利用对数的运算性质，求得结果. 【详解】解：等比数列{a n }的各项均为正数， 且224314a a a ==，∴312a =， 则2122232425log log log log log a a a a a ++++523231og 5log 5(1)5a a ===⋅-=-，故答案为：5-. 【点睛】本题考查等比中项的性质，考查运算求解能力，求解时注意对数运算法则的运用.18．【分析】利用等差数列的性质得到再根据求解【详解】因为所以故答案为：【点睛】本题主要考查等差数列的性质以及前n 项和公式的应用还考查了运算求解的能力属于中档题 解析：39148【分析】利用等差数列的性质得到1013171191912a a a b b b b =⨯+++191912S T =⨯，再根据2142n n S n T n +=-求解.【详解】因为()*2142n n S n n N T n +=∈-， 所以()()110113171119191991921912221a a a b b b a b b b a =⨯=⨯+++++， 191911219139224192148S T ⨯+=⨯=⨯=⨯-， 故答案为：39148【点睛】本题主要考查等差数列的性质以及前n 项和公式的应用，还考查了运算求解的能力，属于中档题.19．【分析】由化简可得从而可得由知则从而解得【详解】解：即即故由知；若对任意恒成立只需使即解得故故答案为：【点睛】本题考查了数列的性质的判断与应用同时考查了整体思想的应用及转化思想应用解析：24,33⎛⎫⎪⎝⎭【分析】由21n n S S n -+=化简可得1121n n S S n +--=+，从而可得22n n a a +-=，由1a a =知242a a =-，32a a =+，442a a =-，则1234a a a a <<<从而解得．【详解】解：21n n S S n -+=，21(1)n n S S n ++=+， 1121n n S S n +-∴-=+，即121n n a a n ++=+， 即2123n n a a n +++=+， 故22n n a a +-=， 由1a a =知2124a a +=， 214242a a a ∴=-=-，32a a =+， 462a a =-；若对任意n ∈+N ，1n n a a +<恒成立， 只需使1234a a a a <<<， 即42262a a a a <-<+<-， 解得2433a <<，故24,33a ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭故答案为：24,33⎛⎫ ⎪⎝⎭． 【点睛】本题考查了数列的性质的判断与应用，同时考查了整体思想的应用及转化思想应用．20．①③【分析】选①②在①中令在②中令联立方程由方程无解推出矛盾；选①③在③中由通项与前项和之间的关系求出公比在①中令在③中用表示出联立方程求出确定数列；选②③由通项与前项和之间的关系即可作出判断【详解解析：①③ 【分析】选①②，在①中令1m n ==，在②中令1n =联立方程，由方程无解推出矛盾；选①③，在③中由通项与前n 项和之间的关系求出公比，在①中令1m n ==，在③中用12,a a 表示出12,S S 联立方程，求出1,a p 确定数列{}n a ；选②③，由通项与前n 项和之间的关系即可作出判断. 【详解】在①中，令1m n ==，得221a a =；在②中，11n n S a +=+，当2n ≥时， 11n n S a -=+，两式相减，得1n n n a a a +=-，即12n n a a +=；在③中，11112,2n n n n S a S a p p++=+=+，两式相减，得 1122n n n a a a ++=-，即 12n n a a +=，若选①②，则22112,1a a a a ⎧=⎨=+⎩即 2211111,10a a a a =--+=， 2(1)41130∆=--⨯⨯=-<，方程无解，故不能选①②作为条件；若选①③，则由12n n a a +=知，数列{}n a 的公比为2，由 221111221212a a a a p a a a p ⎧⎪=⎪⎪=+⎨⎪⎪+=+⎪⎩得 1212a p =⎧⎪⎨=-⎪⎩，所以数列 {}n a 是首项为2，公比为2的等比数列； 若选②③作为条件，则无法确定首项，数列{}n a 不唯一，故不能选②③作为条件. 综上所述，能使数列{}n a 为唯一确定的等比数列的条件是①③.故答案为：①③ 【点睛】思路点睛：本题考查利用递推关系求数列中的项，涉及等比数列的判定和通项公式，遇到和与项的递推关系时，一般有两种方法：（1）消去和，得到项的递推关系；（2）消去项，得到和的递推关系.三、解答题21．（1）证明见解析，2nn a n =-；（2）()12552n S n ⎛⎫=-+⋅+⎪⎝⎭. 【分析】 （1）根据条件可得112112n n n n a n a n n a n a n++++-++==++，从而可证，所以数列{}n a n +是首项为2，公比为2的等比数列，得出答案. （2）由题意可得21212n n n n n b a n ++==+，由错位相减法可得答案. 【详解】（1）数列{}n a 满足111,21n n a a a n +==+-112112n n n n a n a n n a n a n++++-++∴==++即公比12,12q a =+=∴数列{}n a n +是首项为2，公比为2的等比数列；2n n a n ∴+=（2）由题意，21212n n n n n b a n ++==+ 所以123123357212222n n nn S b b b b +=+++⋅⋅⋅+=+++⋅⋅⋅+.........① 234113572121 (222222)n n n n n S +--=+++++………② 由①－②，得123234113572135721212222222222n n n n n n n S ++-+⎡⎤⎡⎤=+++⋅⋅⋅+-+++⋅⋅⋅++⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦234131111212?··222222n n n ++⎛⎫=+++++- ⎪⎝⎭()1111122121512251222212nn n n n ++⎡⎤⎛⎫-⎢⎥ ⎪⎝⎭+⎢⎥⎛⎫⎣⎦=+⨯-=-+⋅ ⎪⎝⎭- 从而()12552n S n ⎛⎫=-+⋅+ ⎪⎝⎭【点睛】关键点睛：本题考查由递推公式求数列的通项公式和利用错位相减法求和，解答本题的关键是根据21212n n n n n b a n ++==+得出求和的方法，利用错位相减法求和时计算要仔细，考查运算能力，属于中档题.22．（Ⅰ）413-k ；（Ⅱ）①证明见解析；②(3)2+=k k k D . 【分析】（Ⅰ）根据题中条件，得到221214k k k a q a +-==，求出21k a -的通项，利用等比数列的求和公式，即可求出结果；（Ⅱ）①先由条件，得到212222k k k a a a ++=+，推出112k kq q +=+，得出11k k b b +-=，即可证明数列是等差数列；②根据12d =，由①的结论，根据等差数列的通项公式，求出k b ，推出11k q k=+，得到221211k k a k a k +-+⎛⎫= ⎪⎝⎭，根据212k k k d a a +=-，求出{}k d 的通项，判断其是等差数列，由等差数列的求和公式，即可得出结果. 【详解】 （Ⅰ）由已知，221214k k k a q a +-==，所以1214k k a --=， 又11a =，所以数列{}21k a -是以1为首项，以4为公比的等比数列，所以()132111414413k k k a a a -⨯-=-++⋅⋅⋅+=-； （Ⅱ）①对任意的*k N ∈，2k a ，21k a +，22k a +成等差数列， 所以212222k k k a a a ++=+，即22221212k k k k a a a a +++=+，即112k kq q +=+， 所以111111111k k kq q q +==+---，即11k k b b +-=，所以{}n b 成等差数列，其公差为1.②若12d =，则21a q =，231a q =，322a a -=，所以21120q q --=，又0k q >，所以12q =，从而111111k k k q q =+-=--，即11k q k=+. 所以221211k k a k a k +-+⎛⎫= ⎪⎝⎭，可得235212111323k k k a a a a a k a a a ---=⨯⨯⨯⋅⋅⋅⨯=， 则221(1)k k k a a q k k -==+，所以2212(1)(1)1k k k d a a k k k k +=-=+-+=+，即{}k d 为等差数列，所以()1(3)22k k k d d k k D ++==. 【点睛】思路点睛：求解等差数列与等比数列的综合问题时，一般需要根据等差数列与等比数列的通项公式，以及求和公式，进行求解.（有时需要根据递推公式，先证明数列是等差数列或等比数列，再进一步求解）23．（1）选①②③均有2nn a =，*n N ∈；（2）32342(1)(2)n n T n n +=-++． 【分析】（1）选①，运用等比数列的通项公式解方程可得公比，可得所求通项公式；选②，运用构造等比数列，以及数列的递推式，可得所求通项公式；选③，将n 换为1n -，两式相减，结合等比数列的定义和通项公式，可得所求通项公式； （2）求得22211111()(2)22n n n b log a log a n n n n +===-⋅++，由数列的裂项相消求和，化简整理可得所求和． 【详解】（1）选①数列{}n a 为递增的等比数列，且2312a a +=，设等比数列{}n a 的公比为q ，(0)q >，则1(1)2(1)12a q q q q +=+=，解得2(3q =-舍去），所以2nn a =；选②数列{}n a 满足122n n S S +-=，可得122(2)n n S S ++=+，数列{2}n S +是首项为124S +=，公比为2的等比数列，则122n n S ++=，即为122n n S +=-，当2n 时，1122222n n n n n n a S S +-=-=--+=，12a =也满足上式，所以2nn a =，*n N ∈；选③1121222n n n n a a a na -+++⋯+=（1），当2n 时，12121222(1)n n n n a a a n a ---++⋯+=-（2），由（2）2⨯-（1）可得122(1)n n n a na n a +=--，即12n n a a +=， 又因为12a =，2124a a ==，也满足上式，故数列{}n a 为首项为2，公比为2的等比数列，所以2nn a =，*n N ∈；（2）由（Ⅰ）可得2nn a =，22211111()(2)22n n n b log a log a n n n n +===-⋅++，所以1111111111(1)232435112n T n n n n =-+-+-++-+--++ 1111323(1)221242(1)(2)n n n n n +=+--=-++++． 【点睛】方法点睛：本题考查等比数列的定义、通项公式和求和公式的运用，考查数列的求和，数列求和的方法总结如下：1.公式法，利用等差数列和等比数列的求和公式进行计算即可；2.裂项相消法，通过把数列的通项公式拆成两项之差，在求和时中间的一些项可以相互抵消，从而求出数列的和；3.错位相减法，当数列的通项公式由一个等差数列与一个等比数列的乘积构成时使用此方法；4.倒序相加法，如果一个数列满足首末两项等距离的两项之和相等，可以使用此方法求和．24．选①或②或③，()1122n n T n +=-⨯+.【分析】选①，设等差数列{}n a 的公差为d ，等比数列{}n b 的公比为q ，根据已知条件建立有关1a 、d 的方程组，求出这两个量，并求出q 的值，可得出数列{}n a 、{}n b 的通项公式，进而利用错位相减法可求得n T ；选②，设等比数列{}n b 的公比为q ，利用11,1,2n nn S n a S S n -=⎧=⎨-≥⎩求出数列{}n a 的通项公式，并求出q ，可求得数列{}n b 的通项公式，再利用错位相减法可求得n T ；选③，设等比数列{}n b 的公比为q ，利用累乘法可求出数列{}n a 的通项公式，并求出q ，可求得数列{}n b 的通项公式，再利用错位相减法可求得n T . 【详解】选①，设等差数列{}n a 的公差为d ，等比数列{}n b 的公比为q ，由已知条件可得2419124693645a a a d S a d +=+=⎧⎨=+=⎩，解得11a d ==，()11n a a n d n ∴=+-=，22122222a q a ∴===，111222n n n nb b q --∴==⨯=，2n n n a b n ∴=⋅，1231222322n n T n =⨯+⨯+⨯++⨯，()23121222122n n n T n n +=⨯+⨯++-⨯+⨯，上式-下式可得()()2311121222222212212n n n n n n T n n n +++--=++++-⨯=-⨯=-⨯--，因此，()1122n n T n +=-⨯+；选②，当1n =时，111a S ==；当2n ≥时，()()2211122n n n n n n n a S S n --+-+=-=-=. 11a =也满足n a n =，所以，对任意的n *∈N ，n a n =.22122222a q a ∴===，111222n n n nb b q --∴==⨯=，2n n n a b n ∴=⋅，1231222322n n T n =⨯+⨯+⨯++⨯，()23121222122n n n T n n +=⨯+⨯++-⨯+⨯，上式-下式可得()()2311121222222212212n n n n n n T n n n +++--=++++-⨯=-⨯=-⨯--，因此，()1122n n T n +=-⨯+；选③，()121n n a nn a n -=≥-，且11a =， 由累乘法可得321121231121n n n a a a na a n a a a n -=⋅⋅⋅⋅=⨯⨯⨯⨯=-. 22122222a q a ∴===，111222n n n nb b q --∴==⨯=，2n n n a b n ∴=⋅，1231222322n n T n =⨯+⨯+⨯++⨯，()23121222122n n n T n n +=⨯+⨯++-⨯+⨯，上式-下式可得()()2311121222222212212n n n n n n T n n n +++--=++++-⨯=-⨯=-⨯--， 因此，()1122n n T n +=-⨯+.【点睛】 方法点睛：数列求和的常用方法：（1）对于等差等比数列，利用公式法直接求和；（2）对于{}n n a b 型数列，其中{}n a 是等差数列，{}n b 是等比数列，利用错位相减法求和；（3）对于{}n n a b +型数列，利用分组求和法；（4）对于11n n a a +⎧⎫⎨⎬⎩⎭型数列，其中{}n a 是公差为()0d d ≠的等差数列，利用裂项相消法求和.25．条件选择见解析；（1）证明见解析；（2）122m m T m +=--. 【分析】（1）选择①，可得(1)(1),22n n n n n b n +-=-=从而可得2,nn a =进而利用等比数列的定义可得结论；选择②，列出首项与公差的方程可得n b n =，从而可得2n n a =，进而利用等比数列的定义可得结论；（2）若选择①，则2n n a =，可得21m m c =-，利用分组求和法，结合等比数列的求和公式可得答案；选择②，则2n n a =，利用分组求和法，结合等比数列的求和公式可得答案；【详解】（1）选择①，因为()*123(1)2n n n b b b b n N +++++=∈， 当1n =时，11b =，当2n ≥时，(1)(1),122n n n n n b n n +-=-==时也成立，故n b n =. 所以1122,22n n n n n n a a a ++===， 所以数列{}n a 是以2为首项，2为公比的等比数列.若选择②，设数列{}n b 公差为d ，由题意1112247b d b b d +=⎧⎨++=⎩，，得111b d =⎧⎨=⎩，，得n b n =，即2log n a n =，得2nn a =，所以11222n n n n a a ++==. 所以数列{}n a 是以2为首项，2为公比的等比数列.（2）若选择条件①，则2n n a =，所以1c 对应的区间为(0,2)，则121c c =；对应的区间为(0,4)，则23c =；3c 对应的区间为(0,8)，则37c =；m c 对应的区间为()0,2m ，则21m m c =-； 所以()1212122121212212m m m m T m m +-=-+-+-=-=---.若选择条件②，则2n n a =，所以1c 对应的区间为(0,2)，则121c c =；对应的区间为(0,4)，则23c =；3c 对应的区间为(0,8)，则37c =；m c 对应的区间为()0,2m ，则21m m c =-； 所以()1212122121212212m m m mT m m +-=-+-+-=-=---. 【点睛】方法点睛：数列求和的常见方法：1、公式法；2、错位相减法；3、裂项相消法；4、分组求和法；5、倒序相加法.26．（1）()*21n a n n N=-∈，()1*3n n b n N -=∈；（2）()*(1)31n n T n n N =-⨯+∈. 【分析】（1）首先根据n S 与n a 的关系求数列{}n a 的通项公式，再根据条件求等比数列{}n b 的基本量，求数列{}n b 的通项公式；（2）()1*(21)3n n n n c a b n n N -=⋅=-⋅∈，利用错位相减法求和.【详解】（1）当1n =时，111a S ==；当1n >时，221(1)21n n n a S S n n n -=-=--=-； 当n=1时符合上式，∴()*21n a n n N =-∈；∴111b a ==，359==b a ，∴数列{}n b 的公比3q =，∴()1*3n n b n N -=∈； （2）由（1）可得()1*(21)3n n n n c a b n n N -=⋅=-⋅∈， ∴2211231113353(23)3(21)3n n n n n T c c c c c n n ---=+++++=⨯+⨯+⨯+⋅⋅⋅+-⨯+-⨯，①2313133353(23)3(21)3n n n T n n -=⨯+⨯+⨯+⋅⋅⋅+-⨯+-⨯，②①-②，整理得()*(1)31n n T n n N=-⨯+∈.【点睛】本题考查已知数列n S 与n a 的关系式，求通项公式，和错位相减法求和，一般数列求和包含1.公式法，利用等差和等比数列的前n 项和公式求解；2.错位相减法求和，适用于等差数列乘以等比数列的数列求和；3.裂项相消法求和，适用于能变形为()()1n a f n f n =+-， 4.分组转化法求和，适用于n n n c a b =+；5.倒序相加法求和.。
(好题)高中数学必修五第一章《数列》测试题(包含答案解析)
一、选择题1．已知数列{}n a 中，12a =，()*,N n m n m a a a n m +=⋅∈，若1234480k k k k a a a a +++++++=，则k =（ ）A ．3B ．4C ．5D ．62．已知等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，则下列命题一定正确的是（ ） A ．若20200S >，则10a > B ．若20210S >，则10a > C ．若20200S >，则20a >D ．若20210S >，则20a >3．已知数列{}n a 中，其前n 项和为n S ，且满足2n n S a =-，数列{}2n a 的前n 项和为n T ，若20n n S T λ+>对*n N ∈恒成立，则实数λ的取值范围是（ ）A ．(3,)+∞B ．(1,3)-C ．93,5⎛⎫⎪⎝⎭D ．(1,)-+∞4．“杨辉三角”是中国古代重要的数学成就，它比西方的“帕斯卡三角形”早了300多年.如图是由“杨辉三角”拓展而成的三角形数阵，记n a 为图中虚线上的数1,3,6,10，构成的数列{}n a 的第n 项，则100a 的值为（ ）A ．5049B ．5050C ．5051D ．51015．对于数列{}n a ，定义11222n nn a a a Y n-++⋅⋅⋅+=为数列{}n a 的“美值”，现在已知某数列{}n a 的“美值”12n n Y +=，记数列{}n a tn -的前n 项和为n S ，若6n S S ≤对任意的*n N ∈恒成立，则实数t 的取值范围是（ ）A ．712,35⎡⎤⎢⎥⎣⎦B ．712,35⎛⎫ ⎪⎝⎭C ．167,73⎡⎤⎢⎥⎣⎦D ．167,73⎛⎫ ⎪⎝⎭6．已知数列{}n a 满足11a =，+121nn n a a a =+，则数列{}1n n a a +的前n 项和n T =（ ） A ．21nn - B ．21nn + C ．221nn + D ．42nn + 7．两个公比均不为1的等比数列{}{},n n a b ，其前．n 项的乘积．．．．分别为,n n A B ，若552a b =，则99A B =( ) A ．512B ．32C ．8D ．28．已知等差数列{}n a 满足3434a a =，则该数列中一定为零的项为（ ）A ．6aB ．7aC ．8aD ．9a9．数列{}n a 满足122,1a a ==，并且()111212n n n n a a a -+=-≥，则1011a a +=（ ） A ．192B ．212 C ．2155D ．236610．记n S 为等比数列{}n a 的前n 项和，若数列{}12n S a -也为等比数列，则43a a =（ ）． A ．2B ．1C ．32D ．1211．已知{}n a 是等比数列，且2222212345123451060a a a a a a a a a a ++++=++++=，，则24a a +=（ ）A ．2B ．3C ．4D ．512．已知{}n a 为等比数列，13527a a a =，246278a a a =，以n T 表示{}n a 的前n 项积，则使得n T 达到最大值的n 是（ ） A ．4B ．5C ．6D ．7二、填空题13．已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，若11a =，22a =，0n a ≠，()111122n n n n n a n S a S nS +++--=-，其中2n ≥，且*n ∈N ．设21n n b a -=，数列{}n b 的前n 项和为n T ，则100T =______．14．设数列{}n a 是等比数列，公比2q，n S 为{}n a 的前n 项和，记219n nn n S S T a +-=（*n N ∈），则数列{}n T 最大项的值为__________．15．已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，若121(2)n n S S n -=+≥且23S =，则55S a =_________． 16．已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若12020OB a OA a OC =+（向量OA 、OC 不平行），A 、C 、B 共线，则2020S =_________．17．在等比数列{}n a 中，2514,2==a a ，则公比q =__________． 18．已知函数()f x 在()1,∞-+上单调，且函数()2y f x =-的图象关于1x =对称，若数列{}n a 是公差不为0的等差数列，且()()5051f a f a =，则1100a a +等于________. 19．已知数列{}n a 与{}nb 满足11222n n a a a ++++=-，1(1)(1)nn n n a b a a +=--，数列{}n b 的前n 项的和为n S ，若n S M ≤恒成立，则M 的最小值为_________.20．著名的斐波那契数列：1，1，2，3，5，…，的特点是从三个数起，每一个数等于它前面两个数的和，则222212320482048a a a a a ++++是数列中的第______项．三、解答题21．给出以下三个条件：①11a =，22121n n a a n +-=+，*n N ∈；②22n n S a n =+，*n N ∈；③数列2211n n a ⎧⎫+⎨⎬+⎩⎭的前n 项和为n .请从这三个条件中任选一个，将下面题目补充完整，并求解.设数列{}n a 的前n 项和为n S ，0n a >，________. （1）求数列{}n a 的通项公式；（2）若12n a nn nS b a +=，*n N ∈，求数列{}n b 的前n 项和n T .注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分.22．已知各项为正数的等比数列{}n a ，前n 项和为n S ，若2125,2,log a log a 成等差数列，37S =，数列{}n b 满足，11b =，数列11n n n b b a ++⎧⎫-⎨⎬⎩⎭的前n 项和为232n n+ （1）求{}n a 的公比q 的值； （2）求{}n b 的通项公式.23．已知数列{}n a 满足11a =，13(1)n n na n a +=+． （1）设nn a b n=，求证:数列{}n b 是等比数列; （2）求数列{}n a 的前n 项和n S ．24．已知等差数列{}n a 的公差为()0d d ≠，前n 项和为n S ，且满足___________(从①()101051S a =+﹔②1a ，2a ，6a 成等比数列；③535S =，这三个条件中任选两个补充到题干中的横线位置，并根据你的选择解决问题). （1）求n a ﹔（2）设11n n n b a a +=，数列{}n b 的前n 项和为n T ，求证：13n T <. 25．已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，且n nS a 和2n a 的等差中项为1． （Ⅰ）求数列{}n a 的通项公式；（Ⅱ）设41log n n b a +=，求数列11n n b b +⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和n T ． 26．已知等比数列{}n a 满足26a =，13630a a +=. （Ⅰ）求{}n a 的通项公式； （Ⅱ）若12a >，设23n n b n a =⋅（*N n ∈），记数列{}n b 的前n 项和为n S ，求n S .【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题 1．B 解析：B 【分析】由已知，取1m =，则112n n n a a a a +=⋅=，得出数列{}n a 是以2为首项，2为公差的等比数列，根据等比数列的通项公式建立方程得可求得解． 【详解】因为数列{}n a 中，12a =，()*,N n m n m a a a n m +=⋅∈，所以取1m =，则112n n n a a a a +=⋅=，所以数列{}n a 是以2为首项，2为公差的等比数列，所以2nn a =，又1234480k k k k a a a a +++++++=，即12344220282k k k k +++++++=，即040238k ⨯=，解得4k =， 故选：B ． 【点睛】关键点点睛：解决本题的问题的关键在于令1m =，得出数列{}n a 是以2为首项，2为公差的等比数列，利用等比数列的通项公式建立方程得解．2．B解析：B 【分析】根据等比数列的前n 项和公式分别讨论20200S >和20210S >即可得答案. 【详解】当1q =时，2020120200S a =>，故10a >，20a >， 当1q ≠时，()202012020101a q S q-=>-，分以下几种情况，当1q <-时，10a <，此时210a a q =>； 当10q -<<时，10a >，此时120a a q =<， 当01q <<时，10a >，此时210a a q =>； 当1q >时，10a >，此时210a a q =>； 故当20200S >时，1a 与2a 可正可负，故排除A 、C . 当1q =时， 2021120210S a =>，故10a >， 20a >； 当1q ≠时，()202112021101a q S q-=>-，由于20211q-与1q -同号，故10a >，所以21a a q =符号随q 正负变化，故D 不正确，B 正确； 故选：B 【点睛】关键点点睛：本题解决时根据等比数列的求和公式，分类讨论公比的情形是解决问题的关键，分析出首项及公比的情况即可确定第二项的符号,属于中档题.3．D解析：D 【分析】由2n n S a =-利用1112n n n S n a S S n -=⎧=⎨-≥⎩ ，得到数列{}n a 是以1为首项，12为公比的等比数列，进而得到{}2n a 是以1为首项，14为公比的等比数列，利用等比数列前n 项和公式得到n S ，n T ，将20n n S T λ+>恒成立，转化为6321nλ-<-+，从而得出答案. 【详解】当1n =时，112S a =-，得 11a =；当2n ≥时，由2n n S a =-，得112n n S a --=-，两式相减得112n n a a -=， 所以数列{}n a 是以1为首项，12为公比的等比数列． 因为112n n a a -=，所以22114n n a a -=．又211a =，所以{}2n a 是以1为首项，14为公比的等比数列，所以1112211212n n n S ⎛⎫- ⎪⎡⎤⎛⎫⎝⎭==-⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦-，11414113414nn n T ⎛⎫- ⎪⎡⎤⎛⎫⎝⎭==-⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦-， 由20n n S T λ+>，得()()321210nnλ-++>，所以()()321321663212121n nn n n λ-+--<==-+++， 所以6332121λ-<-=-=+， 所以1λ>-．综上，实数λ的取值范围是(1,)-+∞． 故选: D 【点睛】方法点睛：数列与不等式知识相结合的考查方式主要有三种： 一是判断数列问题中的一些不等关系； 二是以数列为载体，考查不等式的恒成立问题；三是考查与数列问题有关的不等式的证明．在解决这些问题时，往往转化为函数的最值问题.4．B解析：B 【分析】观察数列的前4项，可得(1)2n n n a +=，将100n =代入即可得解. 【详解】由题意得11a =，2312a ==+，36123a ==++，4101234a ==+++⋅⋅⋅ 观察规律可得(1)1232n n n a n +=+++⋅⋅⋅+=， 所以10010010150502a ⨯==. 故选：B. 【点睛】关键点点睛：本题考查了观察法求数列的通项公式，关键是将各项拆成正整数的和的形式发现规律.5．C解析：C 【分析】由1112222n n n n a a a Y n-+++⋅⋅⋅+==，可得1112222n n n n a a a -+=⋅+⨯++⋅⋅进而求得22n a n =+，所以()22n a tn t n -=-+可得{}n a tn -是等差数列，由6n S S ≤可得660a t -≥，770a t -≤，即可求解【详解】由1112222n n n n a a a Y n-+++⋅⋅⋅+==可得1112222n n n n a a a -+=⋅+⨯++⋅⋅，当2n ≥时()21212221n n n a a a n --+⋅=⋅-+⋅+，又因为1112222n n n a a n a -+=++⋅⋅⋅+，两式相减可得：()()11122221n n n n n n n n a -+=--=+，所以22n a n =+， 所以()22n a tn t n -=-+， 可得数列{}n a tn -是等差数列， 由6n S S ≤对任意的*n N ∈恒成立， 可得：660a t -≥，770a t -≤， 即()2620t -⨯+≥且()2720t -⨯+≤， 解得：16773t ≤≤，所以实数t 的取值范围是167,73⎡⎤⎢⎥⎣⎦， 故选：C 【点睛】关键点点睛：本题解题的关键点是由已知条件得出1112222n n n n a a a -+=⋅+⨯++⋅⋅再写一式可求得n a ，等差数列前n 项和最大等价于0n a ≥，10n a +≤，6．B解析：B 【分析】利用倒数法求出数列{}n a 的通项公式，进而利用裂项相消法可求得n T . 【详解】已知数列{}n a 满足11a =，+121nn n a a a =+， 在等式+121n n n a a a =+两边同时取倒数得112112n n n n a a a a ++==+，1112n n a a +∴-=， 所以，数列1n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是等差数列，且首项为111a ，公差为2，则()112121n n n a =+-=-，121n a n ∴=-，()()11111212122121n n a a n n n n +⎛⎫∴==- ⎪-+-+⎝⎭，因此，1111111111111112323525722121221n T n n n ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+-+-++-=- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪-++⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭21n n =+. 故选：B. 【点睛】使用裂项法求和时，要注意正负项相消时消去了哪些项，保留了哪些项，切不可漏写未被消去的项，未被消去的项有前后对称的特点，实质上造成正负相消是此法的根源与目的．7．A解析：A 【分析】直接利用等比数列的性质化简99A B ,再代入552a b =即得解. 【详解】由题得99912919285599129192855()()()2512()()()A a a a a a a a a aB b b b b b b b b b ⋅⋅⋅=====⋅⋅⋅. 故答案为A. 【点睛】(1)本题主要考查等比数列的性质，意在考查学生对该知识的掌握水平和分析推理能力.(2) 等比数列{}n a 中，如果m n p q +=+,则m n p q a a a a =,特殊地，2m p q =+时，则2·m p q a a a =，m a 是p q a a 、的等比中项. 8．B解析：B 【分析】由条件可得34a d =-,进而得n a (7)n d =-,从而得解. 【详解】33a 44a =,33a ∴()33444a d a d =+=+, 34d a ∴=-n a ∴3(3)a n d =+-⋅4(3)d n d =-+- (7)n d =- 70a ∴=,故选：B 【点睛】本题主要考查了等差数列的通项公式，等差数列的性质，属于基础题.9．C解析：C 【解析】依题意有11111121,2n n n n n n n n a a a a a a a a -++--=-=-，由此计算得323a =，424a =，…… 101110112221,,101155a a a a ==+=. 10．D解析：D 【分析】分公比是否为1进行讨论，再利用等比数列的前n 项和公式及定义求解即可. 【详解】解：设等比数列{}n a 的公比为q ，当1q =时，()1111222n S a na a n a -=-=-， 则{}12n S a -不为等比数列，舍去， 当1q ≠时，()1111111222111n n n a q a aS a a q a qq q--=-=+----， 为了符合题意，需11201a a q -=-，得12q =，故4312a q a ==. 故选D ． 【点睛】本题考查等比数列的前n 项和公式，定义，考查逻辑推理能力以及运算求解能力，属于中档题.11．A解析：A 【分析】首先根据题意，利用等比数列求和公式，得到5112345(1)101a q a a a a a q-++++==-，222222101521234(1)601a q q a a a a a -=-++=++，两式相除得到51(1)61a q q+=+，即5112345(1)61a q a a a a a q+-+-+==+，与1234510a a a a a ++++=联立求得结果.【详解】设数列{}n a 的公比为q ，且1q ≠，则5112345(1)101a q a a a a a q -++++==-， 222222101521234(1)601a q qa a a a a -=-++=++， 两式相除得210551112(1)(1)(1)6111a q a q a q q q q --+÷==--+， 所以5112345(1)61a q a a a a a q+-+-+==+， 又123123452445)()2()104(6a a a a a a a a a a a a --+-+=+=++-+=+， 所以242a a +=， 故选：A. 【点睛】该题考查的是有关数列的问题，涉及到的知识点有等比数列的求和公式，这题思维的应用，属于中档题目.12．A解析：A 【分析】先求出首项和公比，得出{}n a 是一个减数列，前4项都大于1，从第五项开始小于1，从而得出结论． 【详解】{}n a 为等比数列，3135327a a a a ==，32464278a a a a ==， 33a ∴=，432a =，4312a q a ∴==，112a =，543·14a a q ==<． 故{}n a 是一个减数列，前4项都大于1，从第五项开始小于1， 以n T 表示{}n a 的前n 项积，则使得n T 达到最大值的n 是4， 故选：A ． 【点评】本题主要考查等比数列的性质，属于基础题．二、填空题13．【分析】根据已知条件推导出数列从第三项开始奇数项成等差数列且公差为然后利用等差数列的求和公式可求得的值【详解】当且时由可得即可得①所以②②①得所以则则所以数列从第三项开始奇数项成等差数列且公差为故答 解析：9901【分析】根据已知条件推导出数列{}n a 从第三项开始，奇数项成等差数列，且公差为2，然后利用等差数列的求和公式可求得100T 的值. 【详解】当2n ≥且*n ∈N 时，0n a ≠， 由()111122n n n n n a n S a S nS +++--=-，可得()()11112n n n n n a S S n S S ++-+-=-，即()1112n n n n a a a na ++++=， 可得12n n a a n ++=，①，所以，()2121n n a a n +++=+，②， ②-①得22n n a a +-=，所以，32224a a +=⨯=，则32a =，则3112a a -=≠， 所以，数列{}n a 从第三项开始，奇数项成等差数列，且公差为2，21n n b a -=，10099982199299012T ⨯⨯=+⨯+=. 故答案为：9901. 【点睛】方法点睛：数列求和的常用方法：（1）对于等差等比数列，利用公式法直接求和；（2）对于{}n n a b 型数列，其中{}n a 是等差数列，{}n b 是等比数列，利用错位相减法求和；（3）对于{}n n a b +型数列，利用分组求和法； （4）对于11n n a a +⎧⎫⎨⎬⎩⎭型数列，其中{}n a 是公差为()0d d ≠的等差数列，利用裂项相消法求和.14．【解析】数列是等比数列公比为的前项和当且仅当时取等号又或时取最大值数列最大项的值为故答案为 解析：3【解析】数列{}n a 是等比数列，公比q 2=，n S 为{}n a 的前n 项和，219()n n n n S S T n N a *+-=∈ ，2111(12)(12)9812129222n nn n n na a T a --⋅---∴==--⋅822n n +≥=， 当且仅当822nn =时取等号，又,1n N n *∈=或2 时，n T 取最大值19243T =--= ．∴ 数列{}n T 最大项的值为3 ．故答案为3 ．15．【分析】先计算出数列的前两项分别为和由题意可知可得再结合得数列是首项为公比为的等比数列然后利用等比数列的相关公式计算【详解】由①得则所以得：②②-①得：即又成立所以数列是首项为公比为的等比数列则故故解析：3116.【分析】先计算出数列{}n a 的前两项分别为1和2，由题意可知()1121212n n nn S S S S n +-=+⎧⎨=+≥⎩可得()122n na n a +=≥，再结合212aa =得数列{}n a 是首项为1，公比为2的等比数列，然后利用等比数列的相关公式计算55S a . 【详解】由121(2)n n S S n -=+≥ ①得12121213S S a =+=+=，则11a =，所以2212a S a =-=，得：121n n S S +=+②， ②-①得：()122n n a a n +=≥，即()122n na n a +=≥ 又212a a =成立，所以数列{}n a 是首项为1，公比为2的等比数列， 则4451216a a q =⋅==，()()55151********a q S q-⨯-===--，故553116Sa =. 故答案为：3116【点睛】本题考查利用递推关系式求解数列的通项公式，考查等比数列的通项公式、求和公式的应用，较简单.16．【分析】先证明当共线且则根据题意可求得的值然后利用等差数列求和公式可求得的值【详解】当共线时则共线可设所以又则由于（向量不平行）共线则由等差数列的求和公式可得故答案为：【点睛】本题考查等差数列求和同 解析：1010【分析】先证明当A 、C 、B 共线且OB mOA nOC =+，则1m n +=，根据题意可求得12020a a +的值，然后利用等差数列求和公式可求得2020S 的值. 【详解】当A 、C 、B 共线时，则AB 、AC 共线，可设AB AC λ=， 所以，()OB OA OC OA λ-=-，()1OB OA OC λλ∴=-+， 又OB mOA nOC =+，则()11m n λλ+=-+=，由于12020OB a OA a OC =+（向量OA 、OC 不平行），A 、C 、B 共线，则120201a a +=，由等差数列的求和公式可得()120202020202020201101022a a S +⨯===.故答案为：1010. 【点睛】本题考查等差数列求和，同时也考查了三点共线结论的应用，考查计算能力，属于中等题.17．【分析】本题先用表示再建立方程组解题即可【详解】解：∵是等比数列∴∵∴解得：故答案为：【点睛】本题考查等比数列的基本量法是基础题 解析：12【分析】本题先用1a ，q 表示2a ，5a ，再建立方程组21451412a a q a a q ==⎧⎪⎨==⎪⎩解题即可. 【详解】解：∵ {}n a 是等比数列，∴ 21a a q =，451a a q∵24a =，512a =，∴ 21451412a a q a a q ==⎧⎪⎨==⎪⎩，解得：1812a q =⎧⎪⎨=⎪⎩， 故答案为：12. 【点睛】本题考查等比数列的基本量法，是基础题.18．【分析】根据的图象的对称性利用平移变换的知识得到的图象的对称性结合函数的单调性根据得到的值最后利用等差数列的性质求得所求答案【详解】由函数的图象关于对称则函数的图象关于对称又在上单调且所以因为数列是 解析：2-【分析】根据()2y f x =-的图象的对称性，利用平移变换的知识得到()f x 的图象的对称性，结合函数的单调性，根据()()5051f a f a =得到5051a a +的值，最后利用等差数列的性质求得所求答案. 【详解】由函数()2y f x =-的图象关于1x =对称，则函数()f x 的图象关于1x =-对称， 又()f x 在()1,∞-+上单调,且()()5051f a f a =，所以5051a a 2+=-，因为数列{}n a 是公差不为0的等差数列，所以11005051a a 2a a +=+=-, 故答案为：2-. 【点睛】本题考查函数的对称性和单调性，等差数列的性质，涉及函数的图象的平移变换，属中档题，小综合题，难度一般.19．【分析】由已知式写出为的式子相减求得检验是否相符求得用裂项相消法求得和由表达式得的范围从而得最小值【详解】∵所以时两式相减得又所以有从而显然所以的最小值为1故答案为：1【点睛】方法点睛：本题主要考查 解析：1【分析】由已知式写出n 为1n -的式子，相减求得n a ，检验1a 是否相符，求得n b ，用裂项相消法求得和n S ，由n S 表达式得M 的范围，从而得最小值． 【详解】 ∵11222n n a a a ++++=-，所以2n ≥时，12122n n a a a -+++=-，两式相减得1222n n nn a +=-=，又21222a =-=，所以*n N ∈，有2nn a =，从而11211(21)(21)2121n n n n n n b ++==-----，122231111111212121212121n n n n S b b b +⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+++=-+-++- ⎪ ⎪ ⎪------⎝⎭⎝⎭⎝⎭11121n +=--，显然1n S <，所以1M ≥，M 的最小值为1．故答案为：1． 【点睛】方法点睛：本题主要考查求数列的通项公式，考查裂项相消法求和，数列求和的常用方法有：（1）公式法，（2）错位相减法，（3）裂项相消法，（4）分组（并项）求和法，（5）倒序相加法．20．【分析】由题意可得进而可得然后再利用累加法即可求出结果【详解】由题意可知所以即所以……所以又所以∴所以是数列中的第项故答案为：【点睛】本题考查了数列的递推公式和累加法的应用考查学生的计算能力属于中档题 解析：2049【分析】由题意可得21n n n a a a ++=+，进而可得21211n n n n n a a a a a ++++⋅=+⋅，然后再利用累加法，即可求出结果． 【详解】由题意可知21n n n a a a ++=+，所以()1211n n n n n a a a a a ++++⋅=⋅+，即21211n n n n n a a a a a ++++⋅=+⋅所以220482049204820482047a a a a a ⋅=+⋅，220472048204720472046a a a a a ⋅=+⋅，……223221·a a a a a ⋅=+，所以2222048204920482047221·a a a a a a a ⋅=++⋯++， 又21a a =所以2222204820492048204721a a a a a a ⋅=++⋯++∴2222123204820492048a a a a a a ++++=．所以222212320482048a a a a a ++++是数列中的第2049项.故答案为：2049 ． 【点睛】本题考查了数列的递推公式和累加法的应用，考查学生的计算能力，属于中档题．三、解答题21．（1）条件性选择见解析，n a n =；（2）12n n T n +=⋅.【分析】（1）选择①，由累加法求得2n a ，从而得n a ；选择②，由当2n ≥时1n n n a S S -=-得出数列{}n a 的递推关系，利用0n a >排除一个，由另一个得出通项公式n a ；选择③，类似选择②求出通项2211n n a ++，从而得n a ．（2）由（1）可得n b ，然后用错位相减法求和n T ． 【详解】 （1）选择①，因为22121n n a a n +-=+，*n ∈N ，所以2n ≥时，2221211a a -=⨯+， 2232221a a -=⨯+，()221211n n a a n --=-+，2n ≥，所以当2n ≥时，()()221212311n a a n n -=++++-+-⎡⎤⎣⎦，因为11a =，所以当2n ≥时，22n a n =，当1n =时，也满足上式. 因为0n a >，所以n a n =. 选择②，因为22n n S a n =+，所以当2n ≥时，21121n n S a n --=+-，两式相减，得22121n n n a a a -=-+，即()2211n n a a --=，所以11n n a a --=或11n n a a --=，因为21121a a =+，所以11a =，因为0n a >，所以11n n a a --=舍去， 所以11n n a a --=，即11n n a a --=，2n ≥， 所以n a n =. 选择③，因为数列2211n n a ⎧⎫+⎨⎬+⎩⎭的前n 项和为n ，所以当2n ≥时，()221111n n n n a +=--=+，即22n a n =， 当1n =时，211111a +=+，即211a =，也满足上式， 所以22n a n =，因为0n a >，所以n a n =. （2）()()11122212n n a n nn nn n S b n a n+++⨯===+⋅， 所以()1212223212n n n T b b b n =+++=⋅+⋅+++⋅，()23122232212n n n T n n +=⋅+⋅++⋅++⋅，所以()()231422212n n n T n +-=++++++⋅()()1141241212n n n -+-=+-+⋅-12n n +=-⋅，所以12n n T n +=⋅.【点睛】方法点睛：本题考查累加法求通项公式，错位相减法求和．数列求和的常用方法： 设数列{}n a 是等差数列，{}n b 是等比数列，（1）公式法：等差数列或等比数列的求和直接应用公式求和； （2）错位相减法：数列{}n n a b 的前n 项和应用错位相减法； （3）裂项相消法；数列1{}n n ka a +（k 为常数，0n a ≠）的前n 项和用裂项相消法； （4）分组（并项）求和法：数列{}n n pa qb +用分组求和法，如果数列中的项出现正负相间等特征时可能用并项求和法；（5）倒序相加法：满足m n m a a A -+=（A 为常数）的数列，需用倒序相加法求和． 22．（1）2q ；（2）()121n n b n =-⋅+.【分析】（1）对正项的等比数列{}n a ，利用基本量代换，列方程组，解出公比q ； （2）设11n nn n b b d a ++-=，由题意分析、计算得 1n d n =+，从而得到()112n n n b b n +-=+⋅，用累加法和错位相减法求出 n b .【详解】（1）∵2125log ,2,log a a 成等差数列，∴ ()225215log log log 4a a a a +==，即132516a a a ==，又0,n a >34a ∴=，又37,S =21211147a q a a q a q ⎧=∴⎨++=⎩ 解得2q或23q =-(舍).()2记11n n n n b b d a ++-=，当2n ≥时，()()221313122n n n n n d n -+-+=-=+又12d =也符合上式，1n d n ∴=+.而31322n n n a a --=⋅=，()112n n n b b n +∴-=+⋅，()()()21121321122322,)2(n n n n b b b b b b b b n n --∴=+-+-+⋯+-=+⋅+⋅+⋯+⋅≥，()231222232122n n n b n n -∴=+⋅+⋅+⋅⋅⋅+-⋅+⋅两式相减得()2112222121n n n n b n n --=+++⋯+-⋅=-⋅-，()2)2(11,n n b n n ∴=-⋅+≥.而11b =也符合上式， 故()121nn b n =-⋅+.【点睛】(1) 等差（比）数列问题解决的基本方法：基本量代换； (2)数列求和常用方法：①公式法；②倒序相加法；③裂项相消法；④错位相减法．23．（1）证明见解析；（2）(21)3144n n n S -=+.【分析】（1）将13(1)n n na n a +=+变形为131n na a n n+=+，得到{}n b 为等比数列， （2）由（1）得到{}n a 的通项公式，用错位相减法求得n S 【详解】（1）由11a =，13(1)n n na n a +=+，可得131n na a n n+=+， 因为nn a b n=则13n n b b +=，11b =，可得{}n b 是首项为1，公比为3的等比数列， （2）由（1）13n n b -=，由13n na n-=，可得13n n a n -=⋅， 01211323333n n S n -=⋅+⋅+⋅++⋅， 12331323333n n S n =⋅+⋅+⋅++⋅，上面两式相减可得：0121233333n n n S n --=++++-⋅13313n n n -=-⋅-， 则(21)3144n n n S -=+．【点睛】数列求和的方法技巧：(1)倒序相加：用于等差数列、与二项式系数、对称性相关联的数列的求和． (2)错位相减：用于等差数列与等比数列的积数列的求和． (3)分组求和：用于若干个等差或等比数列的和或差数列的求和．(4) 裂项相消法：用于通项能变成两个式子相减，求和时能前后相消的数列求和. 24．条件选择见解析；（1）32n a n =-；（2）证明见解析. 【分析】（1）由①可得11a =，由②可得13d a =，由③可得3127a a d =+=，选择①②､①③､②③条件组合，均得11a =，3d =，即得解析式；（2）可得11133231n b n n ⎛⎫=- ⎪-+⎝⎭，由裂项相消法求出n T 即可证明.【详解】（1）①由()101051S a =+，得()11109105912a d a d ⨯+=++，即11a =； ②由1a ，2a ，6a 成等比数列，得2216a a a =，222111125a a d d a a d ++=+，即13d a =；③由535S =，得()15355352a a a +==，即3127a a d =+=； 选择①②､①③､②③条件组合，均得11a =，3d =， 故()13132n a n n =+-=-. （2）()()111111323133231n n nb a a n n n n +⎛⎫===- ⎪-+-+⎝⎭∴123n n T b b b b =++++11111111134477103231n n ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+-+-++- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥-+⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦111331n ⎛⎫=- ⎪+⎝⎭， ∵n *∈N ，∴1031n >+，∴13n T <.【点睛】方法点睛：数列求和的常用方法：（1）对于等差等比数列，利用公式法可直接求解；（2）对于{}n n a b 结构，其中{}n a 是等差数列，{}n b 是等比数列，用错位相减法求和； （3）对于{}+n n a b 结构，利用分组求和法；（4）对于11n n a a +⎧⎫⎨⎬⎩⎭结构，其中{}n a 是等差数列，公差为d ，则111111n n n n a a d a a ++⎛⎫=- ⎪⎝⎭，利用裂项相消法求和. 25．（Ⅰ）2nn a =；（Ⅱ）22n nT n =+． 【分析】（Ⅰ）利用等差中项的定义得出n S 与n a 的关系，然后由1(2)n n n a S S n -=-≥得出数列{}n a 的递推关系，求出1a 其为等比数列，从而得通项公式；（Ⅱ）用裂项相消法求和n T ． 【详解】解：（Ⅰ）因为n n S a 和2n a 的等差中项为1，所以22n n nS a a +=，即22n n S a =-， 当2n 时，1122n n S a --=-．两式相减得1122n n n n S S a a ---=-，整理得12n n a a -=． 在22n n S a =-中，令1n =得12a =，所以，数列{}n a 是以2为首项，2为公比的等比数列，因此1222n nn a -=⨯=．（Ⅱ）411log 2n n n b a ++==． 则114114(1)(2)12+⎛⎫==- ⎪++++⎝⎭n n b b n n n n ． 所以11111111244233412222n n T n n n n ⎛⎫⎛⎫=⨯-+-++-=⨯-= ⎪ ⎪++++⎝⎭⎝⎭． 【点睛】方法点睛：本题考查求等比数列的通项公式，裂项相消法求和．数列求和的常用方法： 设数列{}n a 是等差数列，{}n b 是等比数列，（1）公式法：等差数列或等比数列的求和直接应用公式求和； （2）错位相减法：数列{}n n a b 的前n 项和应用错位相减法； （3）裂项相消法；数列1{}n n ka a +（k 为常数，0n a ≠）的前n 项和用裂项相消法； （4）分组（并项）求和法：数列{}n n pa qb +用分组求和法，如果数列中的项出现正负相间等特征时可能用并项求和法；（5）倒序相加法：满足m n m a a A -+=（A 为常数）的数列，需用倒序相加法求和．26．（Ⅰ）123n n a -=⨯或132n n a -=⨯；（Ⅱ）1(1)22n n S n +=-⨯+.【分析】（Ⅰ）设等比数列{}n a 的公比为q ，由已知建立方程组，求得数列的首项和公比，从而求得数列的通项；（Ⅱ）由（Ⅰ）及已知可得132n n a -=⨯和223n n n b n a n =⋅=⋅（*n ∈N ），运用错位相减法可求得数列的和．【详解】解：（Ⅰ）设等比数列{}n a 的公比为q ，由26a =，可得16a q =，记为①． 又因为13630a a +=，可得12630a a q +=，即15a q +=记为②，由①②可得123a q =⎧⎨=⎩或132a q =⎧⎨=⎩， 故{}n a 的通项公式为123n n a -=⨯或132n n a -=⨯．（Ⅱ）由（Ⅰ）及12a >可知132n n a -=⨯，所以223n n n b n a n =⋅=⋅（*n ∈N ）， 所以1212222n n S n =⨯+⨯++⨯ ③231212222n n S n +=⨯+⨯++⨯ ④ ③－④得1212222n n n S n +-=+++-⨯111222(1)22n n n n n +++=--⨯=-⨯-，所以1(1)22n n S n +=-⨯+．【点睛】 方法点睛：数列求和的常用方法：（1）公式法：即直接用等差、等比数列的求和公式求和.（2）错位相减法：若{}n a 是等差数列，{}n b 是等比数列，求1122n n a b a b a b ++⋅⋅⋅. （3）裂项相消法：把数列的通项拆成两项之差，相消剩下首尾的若干项.常见的裂顶有()11111n n n n =-++，()1111222n n n n ⎛⎫=- ⎪++⎝⎭，()()1111212122121n n n n ⎛⎫=- ⎪-+-+⎝⎭等. （4）分组求和法：把数列的每一项分成若干项，使其转化为等差或等比数列，再求和. （5）倒序相加法.。
(压轴题)高中数学必修五第一章《数列》测试题(答案解析)(1)
一、选择题1．在数列{}n a 中，11a =-，33a =，212n n n a a a ++=-（*n N ∈），则10a =（ ） A ．10B ．17C ．21D ．352．设等差数列{}n a 前n 项和为n S ，等差数列{}n b 前n 项和为n T ，若11n n S n T n -=+．则55a b =（ ） A ．23B ．45C ．32D ．54 3．已知数列{}n a 为等比数列，若2312a a a ⋅=，且4a 与72a 的等差中项为54，则123n a a a a ⋅⋅⋅⋅⋅的最大值为（ ） A ．5B ．512C ．1024D ．20484．已知等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，则下列命题一定正确的是（ ） A ．若20200S >，则10a > B ．若20210S >，则10a > C ．若20200S >，则20a >D ．若20210S >，则20a >5．已知数列{}n a 满足11a =，+121nn n a a a =+，则数列{}1n n a a +的前n 项和n T =（ ） A ．21nn - B ．21nn + C ．221nn + D ．42nn + 6．已知数列{}n a 的通项公式350n a n =-，则前n 项和n S 的最小值为( ) A ．－784B ．－368C ．－389D ．－3927．对于数列{}n a ，定义11233n nn a a a T n-+++=为{}n a 的“最优值”，现已知数列{}n a 的“最优值”3n n T =，记数列{}n a 的前n 项和为n S ，则20202020S=（ ） A ．2019B ．2020C ．2021D ．20228．已知{}n a 是公比为整数的等比数列，设212n nn na ab a -+=，n ∈+N ，且113072b =，记数列{}n b 的前n 项和为n S ，若2020n S ≥，则n 的最小值为（ ） A ．11B ．10C ．9D ．89．在等比数列{}n a 中，48,a a 是关于x 的方程21040x x ++=的两个实根，则2610a a a =（ ） A ．8B ．8-C ．4D ．88-或10．已知{}n a 是等比数列，且2222212345123451060a a a a a a a a a a ++++=++++=，，则24a a +=（ ）A ．2B ．3C ．4D ．511．已知函数()()31f x x x =-+，数列{}n a 中各项互不相等，记()()()12n n S f a f a f a =+++，给出两个命题：①若等差数列{}n a 满足55S =，则33a =；②若正项等比数列{}n a 满足33S =，则21a <；其中（ ）A ．①是假命题，②是真命题B ．①是真命题，②是假命题C ．①②都是假命题D ．①②都是真命题12．公元前四世纪，毕达哥拉斯学派对数和形的关系进行了研究.他们借助几何图形（或格点）来表示数，称为形数.形数是联系算术和几何的纽带.如图所示，数列1，6，15，28，45，…，从第二项起每一项都可以用六边形表示出来，故称它们为六边形数，那么该数列的第11项对应的六边形数为（ ）A ．153B ．190C ．231D ．276二、填空题13．已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，若11a =，22a =，0n a ≠，()111122n n n n n a n S a S nS +++--=-，其中2n ≥，且*n ∈N ．设21n n b a -=，数列{}n b 的前n 项和为n T ，则100T =______．14．已知数列{}n a 的前n 项和n S ，且满足1n n a S +=，则39121239S S S S a a a a +++⋅⋅⋅+=___________. 15．数列{}n a 满足()()1232312n a a a na n n n ++++=++，则n a = __________.16．已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，若121(2)n n S S n -=+≥且23S =，则55S a =_________． 17．数列{}n a 的通项()sin2n n a n n N π*=⋅∈，则前10项的和12310a a a a ++++=______18．已知数列{}n a 的首项1a a =，其前n 项和为n S ，且满足()2*12,n n S S n n n N -+=≥∈，若对任意*n N ∈，1n n a a +<恒成立，则a 的取值范围是___________.19．在数列{}n a 中，11a =()*1n =∈N ；等比数列{}n b 的前n 项和为2n n S m =-．当n *∈N 时，使得n n b a λ≥恒成立的实数λ的最小值是_________．20．111112123123100++++=+++++++________.三、解答题21．已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，且233n n S a =-. （1）求数列{}n a 的通项公式; （2）设3log n n b a =，nn nb c a =，求数列{}n c 的前n项和n T .22．从条件①()21n n S n a =+，(2)n a n =≥，③0n a >，22n n n a a S +=，中任选一个，补充到下面问题中，并给出解答．（注：如果选择多个条件分别作答，按照第一个解答计分．）已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，11a =，___________． （1）求数列{}n a 的通项公式；（2）若1a ，k a ，2k S +成等比数列，求正整数k 的值．23．在如图三角形数阵中第n 行有n 个数，ij a 表示第i 行第j 个数，例如，43a 表示第4行第3个数.该数阵中每一行的第一个数从上到下构成以m 为公差的等差数列，从第三行起每一行的数从左到右构成以m 为公比的等比数列(其中0m >).已知221141322112,2,2aa a a m a ==+=. 313233414241344515253545121322512 n n n a a a a a a a a a a a a a a a a a a ⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅nna ⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅（1）求m 及53a ； （2）记112233n nn T a a a a =++++，求n T .24．已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，且233n n S a =-. （1）求数列{}n a 的通项公式；（2）设3log n n b a =，n T 为数列{}n b 的前n 项和，求数列1n T ⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和.25．已知等比数列{}n a 的公比3q =，并且满足2a ，318a +，4a 成等差数列. （1）求数列{}n a 的通项公式； （2）设数列{}n b 满足31log n n nb a a =+，记n S 为数列{}n b 的前n 项和，求使2220n S n ->成立的正整数n 的最小值.26．已知等比数列{}n a 满足26a =，13630a a +=. （Ⅰ）求{}n a 的通项公式； （Ⅱ）若12a >，设23n n b n a =⋅（*N n ∈），记数列{}n b 的前n 项和为n S ，求n S .【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题 1．B 解析：B 【分析】根据等式关系得到数列{}n a 为等差数列，求出公差得到其通项公式，最后代值求解即可. 【详解】212n n n a a a ++=-（*n N ∈），212n n n a a a ++∴+=，即数列{}n a 是等差数列， 11a =-，33a =，312a a d ∴=+即312d =-+，则公差2d =，则()11223n a n n =-+-⨯=-（*n N ∈）， 所以10210317a =⨯-=. 故选：B . 【点睛】关键点点睛：本题的解题关键是由题中所给关系得出其为等差数列，进而求出通项公式进行计算.2．B解析：B 【分析】本题首先可令9n =，得出9945S T =，然后通过等差数列的性质得出959S a =以及959T b =，代入9945S T =中，即可得出结果. 【详解】 因为11n n S n T n -=+，所以99914915S T -==+， 因为n S 是等差数列{}n a 前n 项和，n T 是等差数列{}n b 前n 项和， 所以()1995992a a S a +==，()1995992b b T b +==， 则95959459S a T b ==，5545a b =， 故选：B. 【点睛】关键点点睛：本题考查等差数列的相关性质的应用，主要考查等差数列前n 项和公式以及等差中项的应用，若等差数列{}n a 前n 项和为n S ，则()12n n n a a S +=，当2m n k +=时，2m n k a a a +=，考查化归与转化思想，是中档题.3．C解析：C 【分析】用1a 和q 表示出2a 和3a 代入2312a a a ⋅=求得4a ，再根据3474422a a a a q +=+，求得q ，进而求得1a 到6a 的值，即得解. 【详解】2231112a a a q a q a ⋅=⋅=42a ∴=3474452224a a a a q +=+=⨯12q ∴=，41316a a q ==故1415116()2222n n n n a ---=⨯=⨯=，所以123456116,8,4,2,1,12a a a a a a ======<， 所以数列的前4或5项的积最大，且最大值为16842=1024⨯⨯⨯. 故选：C 【点睛】结论点睛：等比数列{}n a 中，如果11,01a q ><<，求123n a a a a ⋅⋅⋅⋅⋅的最大值，一般利用“1交界”法求解，即找到大于等于1的项，找到小于1的项，即得解.4．B解析：B 【分析】根据等比数列的前n 项和公式分别讨论20200S >和20210S >即可得答案. 【详解】当1q =时，2020120200S a =>，故10a >，20a >， 当1q ≠时，()202012020101a q S q-=>-，分以下几种情况，当1q <-时，10a <，此时210a a q =>； 当10q -<<时，10a >，此时120a a q =<， 当01q <<时，10a >，此时210a a q =>； 当1q >时，10a >，此时210a a q =>； 故当20200S >时，1a 与2a 可正可负，故排除A 、C . 当1q =时， 2021120210S a =>，故10a >， 20a >； 当1q ≠时，()202112021101a q S q-=>-，由于20211q-与1q -同号，故10a >，所以21a a q =符号随q 正负变化，故D 不正确，B 正确； 故选：B 【点睛】关键点点睛：本题解决时根据等比数列的求和公式，分类讨论公比的情形是解决问题的关键，分析出首项及公比的情况即可确定第二项的符号,属于中档题.5．B解析：B 【分析】利用倒数法求出数列{}n a 的通项公式，进而利用裂项相消法可求得n T . 【详解】已知数列{}n a 满足11a =，+121nn n a a a =+， 在等式+121n n n a a a =+两边同时取倒数得112112n n n n a a a a ++==+，1112n n a a +∴-=， 所以，数列1n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是等差数列，且首项为111a ，公差为2，则()112121n n n a =+-=-，121n a n ∴=-，()()11111212122121n n a a n n n n +⎛⎫∴==- ⎪-+-+⎝⎭，因此，1111111111111112323525722121221n T n n n ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+-+-++-=- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪-++⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭21n n =+. 故选：B. 【点睛】使用裂项法求和时，要注意正负项相消时消去了哪些项，保留了哪些项，切不可漏写未被消去的项，未被消去的项有前后对称的特点，实质上造成正负相消是此法的根源与目的．6．D解析：D 【解析】令3500n -≥，求得16n >，即数列从第17项开始为正数，前16项为负数，故数列的前16项的和最小，1612,47a a =-=-，()16472163922S --⨯∴==-，故选D.【方法点睛】求等差数列前n 项和的最大值的方法通常有两种：①将前n 项和表示成关于n 的二次函数，n S 2An Bn =+，当2B n A =-时有最大值（若2B n A=-不是整数，n 等于离它较近的一个或两个整数时n S 最大）；②可根据0n a ≥且10n a +≤确定n S 最大时的n 值.7．D解析：D 【分析】 根据11233n nn a a a T n-+++=，且3nn T =，得到112333n n n a a a n -+++=⋅，然后利用数列通项与前n 项和的关系求得21n a n =+，再利用等差数列求和公式求解. 【详解】 ∵11233n nn a a a T n-+++=，且3nn T =，∴112333n n n a a a n -+++=⋅，当2n ≥时，有()211213313n n n a a a n ---+++⋅=-⋅，两式相减可得：()()1113313213n n n n n a n n n ---⋅=⋅--⋅=+⋅.∴21n a n =+（2n ≥）. 当1n =时，13a =适合上式.∴21n a n =+.则数列{}n a 是以3为首项，以2为公差的等差数列. ∴()202032202012020S 202220202+⨯+⨯==⨯.∴202020222020S =. 故选：D . 【点睛】本题主要考查数列通项与前n 项和的关系以及等差数列的定义和求和公式的应用，属于中档题.8．B解析：B 【分析】设{}n a 是公比为q ，根据已知条件有1n n n b qq -=+求得2q，数列{}n b 的前n 项和为3(21)n n S =-即2020n S ≥可求n 的最小值【详解】令{}n a 是公比为q ，由212n nn na ab a -+=，n ∈+N ∴1n n n b qq -=+，又113072b =即10113072q q +=，又q Z ∈，知：2q∵{}n b 的前n 项和为n S ，则3(21)nn S =-∴2020n S ≥时，3(21)2020n -≥，n ∈+N 解得10n ≥ 故选：B 【点睛】本题考查了数列，由数列的递推关系及已知条件求公比，进而根据新数列的前n 项和及不等式条件求n 的最小值9．B解析：B 【分析】结合根与系数关系，根据等比中项满足的性质，计算6a ，代入，计算式子，即可． 【详解】48,a a 是关于x 的方程21040x x ++=的两实根，所以24821064a a a a a ===，由48480,100a a a a >+=-<得480,0a a <<，所以2640a a q =<，即62a =-，所以26108a a a =-.故选B【点睛】本道题考查了等比中项的性质，关键利用好该性质，计算结果，即可，难度中等．10．A解析：A 【分析】首先根据题意，利用等比数列求和公式，得到5112345(1)101a q a a a a a q-++++==-，222222101521234(1)601a q q a a a a a -=-++=++，两式相除得到51(1)61a q q+=+，即5112345(1)61a q a a a a a q+-+-+==+，与1234510a a a a a ++++=联立求得结果.【详解】设数列{}n a 的公比为q ，且1q ≠，则5112345(1)101a q a a a a a q -++++==-， 222222101521234(1)601a q qa a a a a -=-++=++， 两式相除得210551112(1)(1)(1)6111a q a q a q q q q --+÷==--+， 所以5112345(1)61a q a a a a a q+-+-+==+， 又123123452445)()2()104(6a a a a a a a a a a a a --+-+=+=++-+=+， 所以242a a +=， 故选：A. 【点睛】该题考查的是有关数列的问题，涉及到的知识点有等比数列的求和公式，这题思维的应用，属于中档题目.11．A解析：A 【分析】先确定函数()f x 对称性与单调性，再结合等差数列的等距性确定3a ；结合基本不等式将等比数列性质转化到等差数列性质上，解不等式即得结果. 【详解】因为()()()3311(1)1f x x x x x =-+=-+-+，而3y x x =+关于原点对称且在R 上单调递增，所以()f x 关于(1,1)对称且在R 上单调递增，先证明下面结论：若()g x 为奇函数且在R 上单调递增，{}n a 为等差数列，123g()()()()0n a g a g a g a ++++=，则1230n a a a a ++++=.证明：若1230n a a a a ++++>，则当n 为偶数时，1211220n n n n a a a a a a -++=+==+>111()()()()+()0n n n n a a g a g a g a g a g a >-∴>-=-∴>同理21+122()()0,,()+()0n n n g a g a g a g a -+>>，即123g()()()()0n a g a g a g a ++++>与题意矛盾，当n 为奇数时，1211220n n n a a a a a -++=+==>类似可得12112()()0,()(),,()0n n n g a g a g a g a g a -++>+>，即123g()()()()0n a g a g a g a ++++>，与题意矛盾同理可证1230n a a a a ++++<也不成立，因此1230n a a a a ++++=再引申结论：若()f x 为关于(,)a b 函数且在R 上单调递增，{}n a 为等差数列，123()()()()n f a f a f a f a nb ++++=，则123n a a a a na ++++=证明过程只需令()()g x f x a b =+-，再利用上面结论即得.①若等差数列{}n a 满足55S =，即 12345()()()()()5f a f a f a f a f a ++++=，则123453555a a a a a a ++++=∴=， 31a ∴=，故①是假命题，②若正项等比数列{}n a 满足33S =， 即123()()()3f a f a f a ++= 因为数列{}n a 中各项互不相等，所以公比不为1，不妨设公比大于1，即123123()()()a a a f a f a f a <<∴<<，因为1322a a a +>=∴2()1f a <，()3222111a a a -+<∴<故②是真命题 故选：A 【点睛】本题考查函数()f x 对称性与单调性、等差数列性质、基本不等式应用，考查综合分析判断能力，属中档题.12．C解析：C 【分析】根据题中所给图与对应的六边形数，记第n 个六边形数为n a ，找出规律，相邻两项差构成等差数列，累加求得22n a n n =-，将11n =代入求得结果.【详解】记第n 个六边形数为n a ，由题意知：11a =，215141a a -==+⨯，32142a a -=+⨯，43143a a -=+⨯，，114(1)n n a a n --=+-，累加得21(1)[543]59[14(1)]212n n n a a n n n -+--=++++-==--，即22n a n n =-，所以21121111231a =⨯-=，故选：C. 【点睛】该题考查的是有关数列的问题，涉及到的知识点有利用累加法求数列的通项公式，属于中档题目.二、填空题13．【分析】根据已知条件推导出数列从第三项开始奇数项成等差数列且公差为然后利用等差数列的求和公式可求得的值【详解】当且时由可得即可得①所以②②①得所以则则所以数列从第三项开始奇数项成等差数列且公差为故答 解析：9901【分析】根据已知条件推导出数列{}n a 从第三项开始，奇数项成等差数列，且公差为2，然后利用等差数列的求和公式可求得100T 的值. 【详解】当2n ≥且*n ∈N 时，0n a ≠， 由()111122n n n n n a n S a S nS +++--=-，可得()()11112n n n n n a S S n S S ++-+-=-，即()1112n n n n a a a na ++++=， 可得12n n a a n ++=，①，所以，()2121n n a a n +++=+，②， ②-①得22n n a a +-=，所以，32224a a +=⨯=，则32a =，则3112a a -=≠， 所以，数列{}n a 从第三项开始，奇数项成等差数列，且公差为2，21n n b a -=，10099982199299012T ⨯⨯=+⨯+=. 故答案为：9901. 【点睛】方法点睛：数列求和的常用方法：（1）对于等差等比数列，利用公式法直接求和；（2）对于{}n n a b 型数列，其中{}n a 是等差数列，{}n b 是等比数列，利用错位相减法求和；（3）对于{}n n a b +型数列，利用分组求和法；（4）对于11n n a a +⎧⎫⎨⎬⎩⎭型数列，其中{}n a 是公差为()0d d ≠的等差数列，利用裂项相消法求和.14．【分析】由推得得到数列表示首项为公比为的等比数列求得和进而得到再结合等比数列求和公式即可求解【详解】由数列的前项和且满足当时两式相减可得即令可得解得所以数列表示首项为公比为的等比数列所以则所以所以故 解析：1013【分析】由1n n a S +=，推得11(2)2n n a n a -=≥，得到数列{}n a 表示首项为12，公比为12的等比数列，求得n a 和 n S ，进而得到21n nnS a =-，再结合等比数列求和公式，即可求解. 【详解】由数列{}n a 的前n 项和n S ，且满足1n n a S +=， 当2n ≥时，111n n a S --+=，两式相减，可得()11120n n n n n n a a S S a a ----+-=-=，即11(2)2n n a n a -=≥， 令1n =，可得11121a S a +==，解得112a =， 所以数列{}n a 表示首项为12，公比为12的等比数列，所以12nn a ⎛⎫= ⎪⎝⎭， 则11122111212nn n S ⎡⎤⎛⎫-⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎛⎫⎣⎦==- ⎪⎝⎭-，所以1122112nn n n n S a ⎛⎫- ⎪⎝⎭==-⎛⎫ ⎪⎝⎭， 所以()2939121239222(111)S S S S a a a a ++++=+++-+++()9102129211101312-=-=-=-.故答案为：1013. 【点睛】关键点睛：由1n n a S +=，利用1,1=,2n n n n S n a S S n -=⎧⎨-≥⎩，推得11(2)2n n a n a -=≥从而证得数列{}n a 为等比数列是解答本题的关键.15．【分析】对递推关系多递推一次再相减可得再验证是否满足；【详解】∵①时②①-②得时满足上式故答案为：【点睛】数列中碰到递推关系问题经常利用多递推一次再相减的思想方法求解 解析：31n【分析】对递推关系多递推一次，再相减，可得31n a n ，再验证1n =是否满足；【详解】 ∵()()1232312n a a a na n n n ++++=++①2n ∴≥时，()()()123123111n a a a n a n n n -++++-=-+② ①-②得31,31n nna n n a n ，1n =时，1123=6,a 满足上式，31na n .故答案为：31n . 【点睛】数列中碰到递推关系问题，经常利用多递推一次再相减的思想方法求解.16．【分析】先计算出数列的前两项分别为和由题意可知可得再结合得数列是首项为公比为的等比数列然后利用等比数列的相关公式计算【详解】由①得则所以得：②②-①得：即又成立所以数列是首项为公比为的等比数列则故故解析：3116.【分析】先计算出数列{}n a 的前两项分别为1和2，由题意可知()1121212n n nn S S S S n +-=+⎧⎨=+≥⎩可得()122n na n a +=≥，再结合212aa =得数列{}n a 是首项为1，公比为2的等比数列，然后利用等比数列的相关公式计算55S a . 【详解】由121(2)n n S S n -=+≥ ①得12121213S S a =+=+=，则11a =，所以2212a S a =-=，得：121n n S S +=+②， ②-①得：()122n n a a n +=≥，即()122n na n a +=≥ 又212a a =成立，所以数列{}n a 是首项为1，公比为2的等比数列， 则4451216a a q =⋅==，()()55151********a q S q-⨯-===--，故553116Sa =. 故答案为：3116【点睛】本题考查利用递推关系式求解数列的通项公式，考查等比数列的通项公式、求和公式的应用，较简单.17．5【分析】利用的周期性求解即可【详解】的周期当时的值为10-10则前10项的和故答案为：5【点睛】本题考查利用数列的周期性求和属于基础题解析：5 【分析】利用()sin2n n N π*∈的周期性求解即可. 【详解】()sin 2n n N π*∈的周期2=42T ππ=，当1,2,3,4n =时sin 2n π的值为1,0，-1,0,则前10项的和123101+0305070905a a a a ++++=-+++-+++=，故答案为：5 【点睛】本题考查利用数列的周期性求和，属于基础题.18．【分析】由化简可得从而可得由知则从而解得【详解】解：即即故由知；若对任意恒成立只需使即解得故故答案为：【点睛】本题考查了数列的性质的判断与应用同时考查了整体思想的应用及转化思想应用解析：24,33⎛⎫⎪⎝⎭【分析】由21n n S S n -+=化简可得1121n n S S n +--=+，从而可得22n n a a +-=，由1a a =知242a a =-，32a a =+，442a a =-，则1234a a a a <<<从而解得．【详解】解：21n n S S n -+=，21(1)n n S S n ++=+， 1121n n S S n +-∴-=+，即121n n a a n ++=+， 即2123n n a a n +++=+， 故22n n a a +-=， 由1a a =知2124a a +=， 214242a a a ∴=-=-， 32a a =+， 462a a =-；若对任意n ∈+N ，1n n a a +<恒成立， 只需使1234a a a a <<<， 即42262a a a a <-<+<-， 解得2433a <<，故24,33a ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭故答案为：24,33⎛⎫⎪⎝⎭．【点睛】本题考查了数列的性质的判断与应用，同时考查了整体思想的应用及转化思想应用．19．【分析】分别求出的通项再构建新数列求出最大项后可得实数的最小值【详解】因为故是以1为首项以1为公差的等差数列所以当时是等比数列也适合故即又恒成立等价于恒成立令则当时当时故【点睛】方法点睛：含参数的数解析：94【分析】分别求出{}n a 、{}n b 的通项，再构建新数列212n n n c -=，求出{}n c 最大项后可得实数λ的最小值. 【详解】()*1n =∈N，故是以1为首项，以1为公差的等差数列，()11n n =+-⨯=，2*()n a n n N ∴=∈．当2n ≥时，111(2)(2)2nn n n n n b S S m m ---=-=---=，{}n b 是等比数列，112b S m ∴==-也适合12n n b -=，故21m -=即1m =，1*2()n n b n N -∴=∈．又n n b a λ≥恒成立等价于212n n λ-≥恒成立，2max max 1()()2n n n a n b λ-∴≥=，令212n n n c -=，则()2221121142222n n n n n n n n n c c --------=-=， 当23n ≤≤时，10-->n n c c ，当4n ≥时，10n n c c --<， 故max 39()4n c c ==，94λ∴≥． 【点睛】方法点睛：含参数的数列不等式的恒成立，可利用参变分离将参数的取值范围问题转化新数列的最值问题，后者可利用数列的单调性来处理.20．【分析】将分母利用等差数列求和公式化简然后利用裂项相消法求解即可【详解】故答案为：【点睛】本题主要考查等差数列的求和公式及裂项相消法求和属于中档题 解析：200101【分析】将分母利用等差数列求和公式化简，然后利用裂项相消法求解即可. 【详解】111112123123100+++++++++++11112(12)3(13)100(1100)222=++++++⨯+2222122334100101=++++⨯⨯⨯⨯11111112(1)22334100101=⨯-+-+-++- 12(1)101=⨯- 200101= 故答案为：200101【点睛】本题主要考查等差数列的求和公式及裂项相消法求和，属于中档题.三、解答题21．（1）3nn a =；（2）3314243nn n T ⎛⎫⎛⎫=-+ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭.【分析】(1)利用1n n n a S S -=-求通项公式； (2)先求出n b n =，得到3n n n n b nc a ==，用错位相减法求和. 【详解】解：（1）当1n =时，1112233a S a ==-，13a ∴=当2n ≥时，()()112223333n n n n n a S S a a --=-=---， 故13n n a a -=，因为110a =≠，故0n a ≠ 给13nn a a -=，∴数列{}n a 为以3为首项，3为公比的等比数列. 1333n n n a -∴=⨯=.（2）由（1）知3nn a =，所以3log n n n b a ==，故3n n nn b n c a ==. 即123231233333n n n nT c c c c =++++=++++① 所以231112133333n n n n nT +-=++++② ①-②得2311111121111113311333333323313n n n n n n n n n n T +++⎛⎫- ⎪⎛⎫⎝⎭=++++-=-=-- ⎪⎝⎭-所以3314243nn n T ⎛⎫⎛⎫=-+ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭【点睛】数列求和常用方法：(1)公式法； (2)倒序相加法；(3)裂项相消法； (2)错位相减法． 22．（1）答案见详解；（2）答案见详解. 【分析】选①时，先写()1122n n S n a ++=+，作差得到n a n ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是等差数列，即求得n a n =，再按要求列方程解得正整数k 的值即可；选②时，代入1n n n a S S -=-，化简得到是等差数列，求得2n S n =，再计算n a 即可，再按要求列方程解得正整数k 的值即可；选③时，先写21112n n n a a S ++++=，作差得到数列{}n a 是等差数列，即求得na n =，再按要求列方程解得正整数k 的值即可. 【详解】解：若选①，()21n n S n a =+，则()1122n n S n a ++=+， 两式作差得()()11221n n n a n a n a ++-=++，即101n na a n n，n *∈N ，所以n a n ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是等差数列，首项是111a =，公差是0，故1n a n =，所以n a n =；由{}n a 通项公式知，()12n n n S +=，故()()2232k k k S +++=，又11a =，k a k =， 结合题意知，()()22312k k k ++=⨯，即2560k k --=，解得1k =-或6k =，因为k 是正整数，所以6k =.若选②(2)n a n =≥，11a =，故0n S >1n n n a S S -=-=，=1=，2n ≥，故1=，公差是1n =，故2n S n =.2n ≥时，()221121n n n a S S n n n -=-=--=-，且11a =也适合该式，故数列{}n a 的通项公式21n a n =-；11a =，21k a k =-，()222k S k +=+，结合题意知，()()222112k k -=⋅+，即23830k k --=，解得3k =或13k =-， 因为k 是正整数，所以3k =.若选③，0n a >，22n n n a a S +=，则21112n n n a a S ++++=，两式作差得()211n n a a +++()212n n n a a a +-+=，化简得()()1110n n n n a a a a +++--=，由0n a >知，10n n a a ++>，得110n n a a +--=，即11n n a a +-=， 数列{}n a 是等差数列，首项是1，公差为1，故n a n =； 由{}n a 通项公式知，()12n n n S +=，故()()2232k k k S +++=，又11a =，k a k =，结合题意知，()()22312k k k ++=⨯，即2560k k --=，解得1k =-或6k =，因为k 是正整数，所以6k =.【点睛】 方法点睛：由数列前n 项和求通项公式时，一般根据11,2,1n n n S S n a a n --≥⎧=⎨=⎩求解，若已知式是关于na 和n S 关系式时，也通常利用两式作差得到1n n n S S a --=消去n S ，或者代入1n n n a S S -=-消去n a ，进行化简计算.23．（1）2m =，5340a =；（2）1(1)22n n +-⨯+ 【分析】（1）根据题意以m 表示出313241,,a a a ，由4132122a a =+即可求出m ，进而求出53a ； （2）根据等差数列和等比数列的通项公式求出2nnn a n =⨯，再利用错位相减法即可求出n T .【详解】（1）由已知得3111(31)22a a m m =+-⨯=+，23231(22)22a a m m m m m =⨯=+⨯=+，4111(41)32a a m m =+-⨯=+，4132122a a =+， ()21322222m m m ∴+=++，即220m m -=， 又0m >，2m ∴=，51114210a a ∴=+⨯=， 25351240a a ∴=⨯=；（2）由（1）得111(1)22n a a n n =+-⨯=，当3n ≥时，1122n nnn n a a n -=⨯=⨯，又211124a a =+=，2221248a ma ==⨯=，11222,8a a ∴==满足2n nn a n =⨯， 1234122232422n n T n ∴=⨯+⨯+⨯+⨯++⨯，23412122232(1)22n n n T n n +=⨯+⨯+⨯++-⨯+⨯，两式相减得12341222222n n n T n +-=+++++-⨯()11112122222(1)2212n n n n n n n n ++++-=-⨯=--⨯=-⨯--，1(1)22n n T n +∴=-⨯+.【点睛】方法点睛：数列求和的常用方法：（1）对于等差等比数列，利用公式法可直接求解；（2）对于{}n n a b 结构，其中{}n a 是等差数列，{}n b 是等比数列，用错位相减法求和； （3）对于{}+n n a b 结构，利用分组求和法；（4）对于11n n a a +⎧⎫⎨⎬⎩⎭结构，其中{}n a 是等差数列，公差为d ，则111111n n n n a a d a a ++⎛⎫=- ⎪⎝⎭，利用裂项相消法求和. 24．（1）3nn a =；（2）2+1nn 【分析】（1）利用1n n n a S S -=-可得{}n a 是首项为3，公比为3的等比数列，即可求出通项公式；（2）可得n b n =，则()1+2n n n T =，1112+1nT n n ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，由裂项相消法即可求出前n 项和. 【详解】 （1）233n n S a =-，即3322n n S a =-，当1n =时，1113322S a a =-=，解得13a =， 当2n ≥时，1133332222n n n n n a a a S S --⎛⎫---== ⎝-⎪⎭， 整理得13n n a a -=，{}n a ∴是首项为3，公比为3的等比数列，1333n n n a -∴=⨯=；（2）33l 3log og nn n b a n ===，()1+2n n n T ∴=，则()12112+1+1nT n n n n ⎛⎫==- ⎪⎝⎭， 数列1n T ⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和为11111221+++223+1+1nn n n ⎛⎫---= ⎪⎝⎭. 【点睛】方法点睛：数列求和的常用方法：（1）对于等差等比数列，利用公式法可直接求解；（2）对于{}n n a b 结构，其中{}n a 是等差数列，{}n b 是等比数列，用错位相减法求和；（3）对于{}+n n a b 结构，利用分组求和法；（4）对于11n n a a +⎧⎫⎨⎬⎩⎭结构，其中{}n a 是等差数列，公差为d ，则111111n n n n a a d a a ++⎛⎫=- ⎪⎝⎭，利用裂项相消法求和. 25．（1）()*3n n a n N =∈；（2）所求的正整数n 的最小值为20. 【分析】（1）由公比3q =，并且满足2a ，318a +，4a 成等差数列直接用基本量代换求数列{}n a 的通项公式；（2）先求出311+log ,3n n n n b a n a ==+，用分组求和法求出n S ，解不等式即可. 【详解】（1）因为数列{}n a 是公比为3的等比数列，又由234,18,a a a +成等差数列，∴243236a a a +=+，所以1113271836a a a +=+，解得13a =，从而数列{}n a 的通项公式为()*3n n a n N =∈. （2）311+log ,3n n n n b a n a ==+ ∴()()21111111111331211333222313n n n n n n n n S n ⎛⎫- ⎪++⎛⎫⎝⎭=+++++++=+=+- ⎪⎝⎭-， ∴21213n n S n n -=+-， 又113n n ⎧⎫+-⎨⎬⎩⎭是递增的， 当19n =时， 219122020,3n S n -=-<当20n =时， 220122120,3n S n -=-> 所以所求的正整数n 的最小值为20.【点睛】(1)等差（比）数列问题解决的基本方法：基本量代换； (2)分组求和法进行数列求和适用于{}n n a b +,分组后对{}n a 和{}n b 分别求和.26．（Ⅰ）123n n a -=⨯或132n n a -=⨯；（Ⅱ）1(1)22n n S n +=-⨯+.【分析】（Ⅰ）设等比数列{}n a 的公比为q ，由已知建立方程组，求得数列的首项和公比，从而求得数列的通项；（Ⅱ）由（Ⅰ）及已知可得132n n a -=⨯和223n n n b n a n =⋅=⋅（*n ∈N ），运用错位相减法可求得数列的和．【详解】解：（Ⅰ）设等比数列{}n a 的公比为q ，由26a =，可得16a q =，记为①．又因为13630a a +=，可得12630a a q +=，即15a q +=记为②，由①②可得123a q =⎧⎨=⎩或132a q =⎧⎨=⎩， 故{}n a 的通项公式为123n n a -=⨯或132n n a -=⨯．（Ⅱ）由（Ⅰ）及12a >可知132n n a -=⨯，所以223n n n b n a n =⋅=⋅（*n ∈N ）， 所以1212222n n S n =⨯+⨯++⨯ ③231212222n n S n +=⨯+⨯++⨯ ④ ③－④得1212222n n n S n +-=+++-⨯111222(1)22n n n n n +++=--⨯=-⨯-，所以1(1)22n n S n +=-⨯+．【点睛】 方法点睛：数列求和的常用方法：（1）公式法：即直接用等差、等比数列的求和公式求和.（2）错位相减法：若{}n a 是等差数列，{}n b 是等比数列，求1122n n a b a b a b ++⋅⋅⋅.（3）裂项相消法：把数列的通项拆成两项之差，相消剩下首尾的若干项.常见的裂顶有()11111n n n n =-++，()1111222n n n n ⎛⎫=- ⎪++⎝⎭，()()1111212122121n n n n ⎛⎫=- ⎪-+-+⎝⎭等. （4）分组求和法：把数列的每一项分成若干项，使其转化为等差或等比数列，再求和. （5）倒序相加法.。
(典型题)高中数学必修五第一章《数列》检测(包含答案解析)
一、选择题1．若等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，首项10a >，202020210a a +>，202020210a a ⋅<，则满足0n S >成立的最大正整数n 是（ ） A ．4039B ．4040C ．4041D ．40422．已知数列{}n a 为等比数列，若2312a a a ⋅=，且4a 与72a 的等差中项为54，则123n a a a a ⋅⋅⋅⋅⋅的最大值为（ ） A ．5B ．512C ．1024D ．20483．已知数列{}n a 中，12a =，()*,N n m n m a a a n m +=⋅∈，若1234480k k k k a a a a +++++++=，则k =（ ）A ．3B ．4C ．5D ．64．设数列{}n a 满足12a =，26a =，且()*2122n n n a a a n N ++-+=∈，若[]x 表示不超过x 的最大整数（例如[]1.61=，[]1.62-=-），则222122018232019a a a ⎡⎤⎡⎤⎡⎤+++⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦＝（ ） A ．2018B ．2019C ．2020D ．20215．已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，对任意的*n N ∈有2233n n S a =-，且112k S <<，则k 的值为（ ） A ．2或4B ．2C ．3或4D ．66．在等比数列{n a }中，13a =，424a =，则345a a a ++的值为（ ） A ．33B ．72C ．84D ．1897．已知数列1a ，21a a ，…1nn a a -，…是首项为1，公比为2的等比数列，则2log n a =（ ）A ． (1)n n +B ．(1)4n n - C ．(1)2n n + D ．(1)2n n - 8．已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，且21n n S a =-，则66S a =（ ） A ．6332B ．3116C ．12364D ．1271289．设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若10a >，81335a a =，则n S 中最大的是( ). A ．10SB ．11SC ．20SD ．21S10．已知{}n a 是公比为整数的等比数列，设212n nn na ab a -+=，n ∈+N ，且113072b =，记数列{}n b 的前n 项和为n S ，若2020n S ≥，则n 的最小值为（ ） A ．11B ．10C ．9D ．811．已知等比数列{}n a 中，若1324,,2a a a 成等差数列，则公比q =（ ） A ．1B ．1-或2C ．3D ．1-12．等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，已知32110S a a =+，534a =，则1a =（ ） A ．2B ．3C ．4D ．5二、填空题13．已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，若11a =，22a =，0n a ≠，()111122n n n n n a n S a S nS +++--=-，其中2n ≥，且*n ∈N ．设21n n b a -=，数列{}n b 的前n 项和为n T ，则100T =______．14．已知数列{}n a 的首项1a m =，其前n 项和为n S ，且满足2123n n S S n n ++=+，若数列{}n a 是递增数列，则实数m 的取值范围是_______．15．设数列{}n a 中12a =，若等比数列{}n b 满足1n n n a a b +=，且10101b =，则2020a =__. 16．在各项均为正数的等比数列{}n a 中，公比()0,1q ∈.若355a a +=，264a a =，2log n n b a =，数列{}n b 的前n 项和为n S ，则当1212nS S S n+++取最大值时n 的值为______.17．已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，若121(2)n n S S n -=+≥且23S =，则55S a =_________． 18．数列{}n a 中，16a =，29a =，且{}1n n a a +-是以2为公差的等差数列，则n a =______.19．数列{}n a 满足11a =，22a =，且2221sin 2cos 22n nn n a a ππ+⎛⎫=+⋅+ ⎪⎝⎭（*n N ∈），则2020a =__.20．我们知道，斐波那契数列是数学史上一个著名数列，在斐波那契数列{}n a 中，()*12211,1,n n n a a a a a n ++===+∈N ．用n S 表示它的前n 项和，若已知2020S m =，那么2022a =_______．三、解答题21．给出以下三个条件：①11a =，22121n n a a n +-=+，*n N ∈；②22n n S a n =+，*n N ∈；③数列2211n n a ⎧⎫+⎨⎬+⎩⎭的前n 项和为n .请从这三个条件中任选一个，将下面题目补充完整，并求解.设数列{}n a 的前n 项和为n S ，0n a >，________. （1）求数列{}n a 的通项公式；（2）若12n a nn nS b a +=，*n N ∈，求数列{}n b 的前n 项和n T .注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分. 22．设数列{}n a 满足123(21)2n a a n a n +++-=.（1）求{}n a 的通项公式； （2）记数列n a n ⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和为n T ，证明：3n T <. 23．在①2n an n b a =⋅，②10n n b a =-，③21n n n b a a +=这三个条件中任选一个，补充在下面问题中，并完成问题的解答.问题：已知数列{}n a 是各项均为正数的等差数列，22a =，且11a +、4a 、8a 成等比数列. （1）求数列{}n a 的通项公式；（2）记_____________，求数列{}n b 的前n 项和n S .24．在数列{}n a ，{}n b 中，2165n n n a a a +++=，()*13n n n b a a n +=-∈N ，且11a =，22b =.（1）求3a ，1b 的值； （2）求{}n b 的通项公式； （3）设()()11311n n n n b c b b +++=--，记{}n c 的前n 项和为n S ，证明：2479n S ≤<.25．已知正项等比数列{}n a ，24a =， 1232a a a +=；数列{}n b 的前n 项和n S 满足n n S na =.（Ⅰ）求n a ，n b ；（Ⅱ）证明：312412233412n n n b b b b a a a a a a a a ++++++<. 26．在①222n n S n a =+，②3516a a +=且3542S S +=，③2142n n S n S n +=+且756S =这三个条件中任选一个，补充在下面的问题中，并加以解答．问题：设数列{}n a 为等差数列，其前n 项和为n S ，_________．数列{}n b 为等比数列，11b a =，23b a =．求数列1n n b S ⎧⎫+⎨⎬⎩⎭的前n 项和n T ．【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题 1．B 解析：B 【分析】由等差数列的10a >，及202020210a a ⋅<得数列是递减的数列，因此可确定202020210,0a a ><，然后利用等差数列的性质求前n 项和，确定和n S 的正负．【详解】∵202020210a a ⋅<，∴2020a 和2021a 异号，又数列{}n a 是等差数列，首项10a >，∴{}n a 是递减的数列，202020210,0a a ><， 由202020210a a +>，所以140404040202020214040()2020()02a a S a a +==+>，14041404120214041()404102a a S a +==<，∴满足0n S >的最大自然数n 为4040． 故选：B ． 【点睛】关键点睛：本题求满足0n S >的最大正整数n 的值，关键就是求出100n n S S +><，，时成立的n 的值，解题时应充分利用等差数列下标和的性质求解,属于中档题.2．C解析：C 【分析】用1a 和q 表示出2a 和3a 代入2312a a a ⋅=求得4a ，再根据3474422a a a a q +=+，求得q ，进而求得1a 到6a 的值，即得解. 【详解】2231112a a a q a q a ⋅=⋅=42a ∴=3474452224a a a a q +=+=⨯12q ∴=，41316a a q ==故1415116()2222n n n n a ---=⨯=⨯=，所以123456116,8,4,2,1,12a a a a a a ======<， 所以数列的前4或5项的积最大，且最大值为16842=1024⨯⨯⨯. 故选：C 【点睛】结论点睛：等比数列{}n a 中，如果11,01a q ><<，求123n a a a a ⋅⋅⋅⋅⋅的最大值，一般利用“1交界”法求解，即找到大于等于1的项，找到小于1的项，即得解.3．B解析：B 【分析】由已知，取1m =，则112n n n a a a a +=⋅=，得出数列{}n a 是以2为首项，2为公差的等比数列，根据等比数列的通项公式建立方程得可求得解． 【详解】因为数列{}n a 中，12a =，()*,N n m n m a a a n m +=⋅∈，所以取1m =，则112n n n a a a a +=⋅=，所以数列{}n a 是以2为首项，2为公差的等比数列，所以2nn a =，又1234480k k k k a a a a +++++++=，即12344220282k k k k +++++++=，即040238k ⨯=，解得4k =， 故选：B ． 【点睛】关键点点睛：解决本题的问题的关键在于令1m =，得出数列{}n a 是以2为首项，2为公差的等比数列，利用等比数列的通项公式建立方程得解．4．B解析：B 【分析】由2122n n n a a a ++-+=，可得()2112n n n n a a a a +++---=，214a a -=．利用等差数列的通项公式、累加求和方法、取整函数即可得出． 【详解】2122n n n a a a ++-+=，()2112n n n n a a a a +++∴---=，214a a -=．{}1n n a a +∴-是等差数列，首项为4，公差为2．142(1)22n n a a n n +∴-=+-=+．2n ∴≥时，()()()112211n n n n n a a a a a a a a ---=-+-+⋯⋯+-+(1)22(1)..2222(1)2n n n n n n +=+-+⋯+⨯+=⨯=+． 2(1)1n n n a n++∴=．∴当2n ≥时，2(1)11⎡⎤++⎡⎤==⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦n n n a n ． 222122018232019220172019a a a ⎡⎤⎡⎤⎡⎤∴+++=+=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦.故选：B ． 【点睛】本题考查了数列递推关系、等差数列的通项公式、累加求和方法、取整函数，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．5．A解析：A 【分析】利用递推关系式求出{}n a 的通项公式，再求出{}n a 的前n 项和为n S ，即可求出k 的值. 【详解】对任意的*n N ∈有2233n n S a =-， 可得：1112233a S a ==- ，解得：1=2a -， 当2n ≥时：2233n n S a =-，112233n n S a --=- 两式相减得112233n n n n n S S a a a ---=-=，即12n n a a -=-， 所以{}n a 是首项为2-，公比为2-的等比数列，所以()2nn a =-，()()()212212123nn nS ⎡⎤-⨯--⎣⎦⎡⎤==---⎣⎦--， 所以211(2)123kk S ⎡⎤<=---<⎣⎦， 所以5(219)2k <-<， 当2k =和4k =时不等式成立，所以k 的值为2或4， 故选：A. 【点睛】本题主要考查了由递推公式求通项公式，考查了等比数列前n 项和公式，属于中档题.6．C解析：C 【分析】根据341a a q =，可求出q ，再根据等比数列通项公式求出35,a a 即可.【详解】因为341a a q =，即3243q =，所以2q，所以22313212a a q ==⨯=，44513248a a q ==⨯=，所以34512244884a a a ++=++=. 故选：C 【点睛】本题主要考查等比数列的通项公式的应用，属于基础题.7．D解析：D 【分析】 根据题意，求得1nn a a -，再利用累乘法即可求得n a ，再结合对数运算，即可求得结果. 【详解】由题设有111122(2)n n nn a n a ---=⨯=≥， 而(1)1213221121122(2)n n n n n n a aa a a n a a a -+++--=⨯⨯⨯⨯=⨯=≥，当1n =时，11a =也满足该式，故(1)22(1)n n n a n -=≥，所以2(1)log 2n n n a -=， 故选：D. 【点睛】本题考查利用累乘法求数列的通项公式，涉及对数运算，属综合基础题.8．A解析：A 【解析】由题意得，111121,1,n n n a a a a S S -=-==- ，则21nn S =- ，即666332S a = ，故选A. 9．C解析：C 【解析】分析：利用等差数列的通项公式，化简求得20210a a +=，进而得到20210,0a a ><，即可作出判定．详解：在等差数列{}n a 中，18130,35a a a >=，则113(7)5(12)a d a d +=+，整理得12390a d +=，即()()1119200a d a d +++=， 所以20210a a +=，又由10a >，所以20210,0a a ><，所以前n 项和n S 中最大是20S ，故选C ．点睛：本题考查了等差数列的通项公式，及等差数列的前n 项和n S 的性质，其中解答中根据等差数列的通项公式，化简求得20210a a +=，进而得到20210,0a a ><是解答的关键，着重考查了学生分析问题和解答问题的能力．10．B解析：B 【分析】设{}n a 是公比为q ，根据已知条件有1n n n b qq -=+求得2q，数列{}n b 的前n 项和为3(21)n n S =-即2020n S ≥可求n 的最小值【详解】令{}n a 是公比为q ，由212n nn na ab a -+=，n ∈+N ∴1n n n b qq -=+，又113072b =即10113072q q +=，又q Z ∈，知：2q∵{}n b 的前n 项和为n S ，则3(21)nn S =-∴2020n S ≥时，3(21)2020n -≥，n ∈+N 解得10n ≥ 故选：B 【点睛】本题考查了数列，由数列的递推关系及已知条件求公比，进而根据新数列的前n 项和及不等式条件求n 的最小值11．B解析：B 【分析】用等比数列的通项公式和等差中项公式求解. 【详解】因为1324,,2a a a 成等差数列，所以312242a a a =+，即2111242a q a a q =+，化简得220q q --=，解得1q =-或2q.故选B. 【点睛】本题考查等比数列与等差数列的综合运用.12．A解析：A 【解析】设等差数列{a n }的公差为d ,∵S 3=a 2+10a 1,a 5=34， ∴3a 1+3d =11a 1+d ,a 1+4d =34， 则a 1=2. 本题选择A 选项.二、填空题13．【分析】根据已知条件推导出数列从第三项开始奇数项成等差数列且公差为然后利用等差数列的求和公式可求得的值【详解】当且时由可得即可得①所以②②①得所以则则所以数列从第三项开始奇数项成等差数列且公差为故答 解析：9901【分析】根据已知条件推导出数列{}n a 从第三项开始，奇数项成等差数列，且公差为2，然后利用等差数列的求和公式可求得100T 的值. 【详解】当2n ≥且*n ∈N 时，0n a ≠， 由()111122n n n n n a n S a S nS +++--=-，可得()()11112n n n n n a S S n S S ++-+-=-，即()1112n n n n a a a na ++++=， 可得12n n a a n ++=，①，所以，()2121n n a a n +++=+，②， ②-①得22n n a a +-=，所以，32224a a +=⨯=，则32a =，则3112a a -=≠， 所以，数列{}n a 从第三项开始，奇数项成等差数列，且公差为2，21n n b a -=，10099982199299012T ⨯⨯=+⨯+=. 故答案为：9901. 【点睛】方法点睛：数列求和的常用方法：（1）对于等差等比数列，利用公式法直接求和；（2）对于{}n n a b 型数列，其中{}n a 是等差数列，{}n b 是等比数列，利用错位相减法求和；（3）对于{}n n a b +型数列，利用分组求和法； （4）对于11n n a a +⎧⎫⎨⎬⎩⎭型数列，其中{}n a 是公差为()0d d ≠的等差数列，利用裂项相消法求和.14．【分析】利用退一作差法求得再求得根据列不等式解不等式求得的取值范围【详解】由可得：两式相减得：两式相减可得：数列是以为公差的等差数列数列是以为公差的等差数列将代入及可得：将代入可得要使得恒成立只需要解析：15,44⎛⎫⎪⎝⎭【分析】利用退一作差法求得114(3)n n a a n +--=≥，再求得234,,a a a ，根据1234a a a a <<<列不等式，解不等式求得m 的取值范围. 【详解】由2123n n S S n n ++=+可得：212(1)3(1)(2)n n S S n n n -+=-+-≥两式相减得：141(2)n n a a n n ++=+≥143(3)n n a a n n -∴+=-≥两式相减可得：114(3)n n a a n +--=≥∴数列2a ，4a ，6a ，...是以4为公差的等差数列，数列3a ，5a ，7a ，...是以4为公差的等差数列，将1n =代入2123n n S S n n ++=+及1a m =可得：252a m =-将2n =代入141(2)n n a a n n ++=+≥可得342a m =+42492a a m =+=-要使得*n N ∀∈，1n n a a +<恒成立 只需要1234a a a a <<<即可524292m m m m ∴<-<+<-解得1544m << 则m 的取值范围是15,44⎛⎫⎪⎝⎭. 故答案为：15,44⎛⎫ ⎪⎝⎭【点睛】本小题主要考查已知n S 求n a ，考查数列的单调性，属于中档题.15．【分析】由变形可得进而由累乘法可得结合等比数列的性质即可得解【详解】根据题意数列满足即则有而数列为等比数列则则又由则故答案为：2【点睛】本题考查了等比数列的性质以及应用考查了累乘法求数列通项的应用及解析：【分析】 由1n n n a a b +=变形可得1n n n a b a +=，进而由累乘法可得202020192018201711ab b b b a =⋅⋅⋅⋅⋅，结合等比数列的性质即可得解. 【详解】根据题意，数列{}n b 满足1n n n a a b +=，即1n n na b a +=， 则有20202020201920182201920182017112019201820171a a a a ab b b b a a a a a ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=⋅⋅⋅⋅⋅=⋅⋅⋅⋅⋅ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭， 而数列{}n b 为等比数列，则()2019201920182017110101b b b b b ⋅⋅⋅⋅⋅==，则202011a a =， 又由12a =，则20202a =. 故答案为：2. 【点睛】本题考查了等比数列的性质以及应用，考查了累乘法求数列通项的应用及运算求解能力，属于中档题.16．8或9【分析】根据等差等比数列的通项公式先求出数列和的通项公式再结合等差数列的求和公式求得进而得到再结合数列取值即可求解【详解】各项均为正数的等比数列中若所以解得所以解得或因为所以所以又由所以则当时解析：8或9 【分析】根据等差、等比数列的通项公式，先求出数列{}n a 和{}n b 的通项公式，再结合等差数列的求和公式，求得()92n n n S -=，进而得到92n nc -=，再结合数列{}n c 取值，即可求解.【详解】各项均为正数的等比数列{}n a 中，若355a a +=，264a a =，所以35352656a a a a a a +=⎧⎨==⎩，解得3541a a =⎧⎨=⎩，所以253a a q =，解得12q =或12q =-，因为()0,1q ∈，所以12q =， 所以55512n n n a a q --⎛⎫=⋅= ⎪⎝⎭.又由5221log log 52n n n b a n -⎛⎫===- ⎪⎝⎭.所以()()45922n n n n n S +--==，则92n n S nc n -==， 当9,n n N +<∈时，902n nc -=>；当9n =时，0n c =；当10,n n N +>∈时，0n c <，故当8n =或9n =时，1212nS S S n+++取最大值. 故答案为：8或9. 【点睛】本题主要考查了等差、等比数列的通项公式，以及等差数列的前n 项和公式的应用，其中解答中熟记等差、等比数列的通项公式，以及等差数列的求和公式，准确计算是解答解答的关键，着重考查推理与运算能力.17．【分析】先计算出数列的前两项分别为和由题意可知可得再结合得数列是首项为公比为的等比数列然后利用等比数列的相关公式计算【详解】由①得则所以得：②②-①得：即又成立所以数列是首项为公比为的等比数列则故故解析：3116.【分析】先计算出数列{}n a 的前两项分别为1和2，由题意可知()1121212n n nn S S S S n +-=+⎧⎨=+≥⎩可得()122n na n a +=≥，再结合212aa =得数列{}n a 是首项为1，公比为2的等比数列，然后利用等比数列的相关公式计算55S a . 【详解】由121(2)n n S S n -=+≥ ①得12121213S S a =+=+=，则11a =，所以2212a S a =-=，得：121n n S S +=+②，②-①得：()122n n a a n +=≥，即()122n na n a +=≥ 又212a a =成立，所以数列{}n a 是首项为1，公比为2的等比数列， 则4451216a a q =⋅==，()()55151********a q S q-⨯-===--，故553116Sa =. 故答案为：3116【点睛】本题考查利用递推关系式求解数列的通项公式，考查等比数列的通项公式、求和公式的应用，较简单.18．【分析】由是以2为公差的等差数列可得：再利用累加求和方法等差数列的求和公式即可得出【详解】∵是以2为公差的等差数列∴∴故答案为：【点睛】本题考查了等差数列的通项公式与求和公式累加求和方法考查了推理能 解析：25n +【分析】由{}1n n a a +-是以2为公差的等差数列，可得：121n n a a n --=-，再利用累加求和方法、等差数列的求和公式即可得出. 【详解】∵{}1n n a a +-是以2为公差的等差数列， ∴()()1212221n n a a a a n n --=-+-=-，∴()()()12116321n n n a a a a a a n -=+-+⋯⋯+-=++⋯⋯+-()2121552n n n +-=+=+， 故答案为：25n +. 【点睛】本题考查了等差数列的通项公式与求和公式、累加求和方法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题.19．2020【分析】当n 为偶数时可得出故偶数项是以2为首项公差为2的等差数列求出通项公式代值计算即可得解【详解】当n 为偶数时即故数列的偶数项是以2为首项公差为2的等差数列所以所以故答案为：2020【点睛解析：2020 【分析】当n 为偶数时，可得出22n n a a +=+，故偶数项是以2为首项，公差为2的等差数列，求出通项公式，代值计算即可得解. 【详解】 当n 为偶数时，2223cos 1sin 2cos 1cos 2222n n n n n n n a a a n a ππππ+-⎛⎫=+⋅+=⋅++=+ ⎪⎝⎭， 即22n n a a +=+，故数列{}n a 的偶数项是以2为首项，公差为2的等差数列，所以2122n n a n ⎛⎫=+-⨯=⎪⎝⎭， 所以20202020a =. 故答案为：2020. 【点睛】本题考查数列的递推式，解题关键是得出当n 为偶数时，可得出2n a +与n a 的关系式，进而求出{}n a 的通项公式，考查逻辑思维能力和计算能力，属于常考题.20．【分析】由已知利用累加法即可得到答案【详解】由已知各式相加得即又所以故答案为：【点睛】本题考查了累加求和方法斐波那契数列的性质考查了推理能力与计算能力属于中档题 解析：1m +【分析】由已知，123a a a +=，234,a a a +=202020212022a a a +=，利用累加法即可得到答案. 【详解】由已知，123a a a +=，234,a a a +=202020212022a a a +=，各式相加得1234202020222a a a a a a +++++=，即220202022a S a +=，又21a =，2020S m =，所以20221a m =+. 故答案为：1m + 【点睛】本题考查了“累加求和”方法、“斐波那契数列”的性质，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．三、解答题21．（1）条件性选择见解析，n a n =；（2）12n n T n +=⋅.【分析】（1）选择①，由累加法求得2n a ，从而得n a ；选择②，由当2n ≥时1n n n a S S -=-得出数列{}n a 的递推关系，利用0n a >排除一个，由另一个得出通项公式n a ；选择③，类似选择②求出通项2211n n a ++，从而得n a ．（2）由（1）可得n b ，然后用错位相减法求和n T ． 【详解】 （1）选择①，因为22121n n a a n +-=+，*n ∈N ， 所以2n ≥时，2221211a a -=⨯+，2232221a a -=⨯+，()221211n n a a n --=-+，2n ≥，所以当2n ≥时，()()221212311n a a n n -=++++-+-⎡⎤⎣⎦，因为11a =，所以当2n ≥时，22n a n =，当1n =时，也满足上式. 因为0n a >，所以n a n =. 选择②，因为22n n S a n =+，所以当2n ≥时，21121n n S a n --=+-，两式相减，得22121n n n a a a -=-+，即()2211n n a a --=，所以11n n a a --=或11n n a a --=，因为21121a a =+，所以11a =，因为0n a >，所以11n n a a --=舍去， 所以11n n a a --=，即11n n a a --=，2n ≥， 所以n a n =. 选择③，因为数列2211n n a ⎧⎫+⎨⎬+⎩⎭的前n 项和为n ，所以当2n ≥时，()221111n n n n a +=--=+，即22n a n =， 当1n =时，211111a +=+，即211a =，也满足上式， 所以22n a n =，因为0n a >，所以n a n =. （2）()()11122212n n a n nn nn n S b n a n+++⨯===+⋅， 所以()1212223212n n n T b b b n =+++=⋅+⋅+++⋅，()23122232212n n n T n n +=⋅+⋅++⋅++⋅，所以()()231422212n n n T n +-=++++++⋅()()1141241212n n n -+-=+-+⋅-12n n +=-⋅，所以12n n T n +=⋅.【点睛】方法点睛：本题考查累加法求通项公式，错位相减法求和．数列求和的常用方法： 设数列{}n a 是等差数列，{}n b 是等比数列，（1）公式法：等差数列或等比数列的求和直接应用公式求和； （2）错位相减法：数列{}n n a b 的前n 项和应用错位相减法； （3）裂项相消法；数列1{}n n ka a +（k 为常数，0n a ≠）的前n 项和用裂项相消法； （4）分组（并项）求和法：数列{}n n pa qb +用分组求和法，如果数列中的项出现正负相间等特征时可能用并项求和法；（5）倒序相加法：满足m n m a a A -+=（A 为常数）的数列，需用倒序相加法求和． 22．（1）()2121n a n n =≥-；（2）证明见解析. 【分析】（1）当1n =时，可求1a ，当2n ≥时，可得1213(23)2(1)n a a n a n -+++-=-与已知条件两式相减可得()212n n a -=，检验1a 满足221n a n =-，即可得{}n a 的通项公式； （2）由（1）知()2121n a n n =≥-，所以22111(21)(22)(1)1n a n n n n n n n n n=<==-----，计算其前n 项和即可证明. 【详解】（1）当1n =时，12a = 当2n ≥时，1213(23)(21)2n n a a n a n a n -+++-+-=①1213(23)2(1)n a a n a n -+++-=-②①-②得：()212n n a -=. ∴()2221n a n n =≥-. 当1n =时，12a =，上式也成立. ∴()2121n a n n =≥-（2）由（1）知()221n a n n n=-. 当1n =时，2na n =， 当2n ≥时，22111(21)(22)(1)1n a n n n n n n n n n=<==----- ∴11111212231n T n n ⎛⎫⎛⎫⎛⎫≤+-+-++- ⎪ ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭⎝⎭133n =-< 【点睛】 方法点睛：数列求和的方法（1）倒序相加法：如果一个数列{}n a 的前n 项中首末两端等距离的两项的和相等或等于同一个常数，那么求这个数列的前n 项和即可以用倒序相加法（2）错位相减法：如果一个数列的各项是由一个等差数列和一个等比数列的对应项之积构成的，那么这个数列的前n 项和即可以用错位相减法来求；（3）裂项相消法：把数列的通项拆成两项之差，在求和时，中间的一些项可相互抵消，从而求得其和；（4）分组转化法：一个数列的通项公式是由若干个等差数列或等比数列或可求和的数列组成，则求和时可用分组转换法分别求和再相加减；（5）并项求和法：一个数列的前n 项和可以两两结合求解，则称之为并项求和，形如()()1nn a f n =-类型，可采用两项合并求解.23．（1）n a n =；（2）答案见解析. 【分析】（1）设等差数列{}n a 的公差为d ，根据已知条件可得出关于1a 、d 的方程组，解出这两个量的值，利用等差数列的通项公式可求得{}n a 的通项公式；（2）选①，求得2nn b n =⋅，利用错位相减法可求得n S ；选②，求得10,101010,10n n n b n n n -≤⎧=-=⎨->⎩，分10n ≤和10n >两种情况讨论，结合等差数列的求和公式可求得n S ； 选③，可得11122n b n n ⎛⎫- ⎪+⎝⎭=，利用裂项相消法可求得n S . 【详解】（1）因为11a +、4a 、8a 成等比数列，所以()24181a a a =+， 设等差数列{}n a 的公差为d ，则0d ≥，则有()()()2111317a d a a d +=++，① 又22a =，所以12a d +=，②联立①②解得111a d =⎧⎨=⎩，所以()11n a a n d n =+-=；（2）选①，则2nn b n =⋅，231222322n n S n =⨯+⨯+⨯++⨯()23121222122n n n S n n +=⨯+⨯++-⨯+⨯，上式-下式得()()2311121222222212212n n n n n n S n n n +++--=++++-⨯=-⨯=-⋅--，化简得()1122n n S n +=-⋅+；选②，则10,101010,10n n n b n n n -≤⎧=-=⎨->⎩，当10n ≤时，10n b n =-，()()9101922n n n n n S +--==； 当10n >时，()()()()2101109101918098101210+222n n n n n S n -+-⨯-+⎡⎤=++++++++-==⎣⎦.综上()219,10219180,102n n n n S n n n ⎧-≤⎪⎪=⎨-+⎪>⎪⎩；选③，则()1111222n b n n n n ⎛⎫==- ⎪++⎝⎭1111111111111213243546112n S n n n n ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+-+-+-++-+- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥-++⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦()()2111113521212412n n n S n n n n +⎛⎫∴=+--=⎪++++⎝⎭. 【点睛】方法点睛：数列求和的常用方法：（1）对于等差等比数列，利用公式法直接求和；（2）对于{}n n a b 型数列，其中{}n a 是等差数列，{}n b 是等比数列，利用错位相减法求和；（3）对于{}n n a b +型数列，利用分组求和法；（4）对于11n n a a +⎧⎫⎨⎬⎩⎭型数列，其中{}n a 是公差为()0d d ≠的等差数列，利用裂项相消法求和.24．（1）314a =，11b =；（2）12n n b -=；（3）见详解.【分析】（1）根据题中条件，得到312232653a a a b a a +=⎧⎨=-⎩，求出3a ，2a ，进而可得1b ；（2）根据题中条件，得到()211323n n n n a a a a +++=--，推出数列{}n b 是以2为公比的等比数列，进而可求出通项公式；（3）由（2）先得()()222121nn n n c +=--，利用裂项相消的方法求出n S ，进而可得结论成立. 【详解】（1）因为2165n n n a a a +++=，()*13n n nb a a n +=-∈N ， 所以312232653a a a b a a +=⎧⎨=-⎩， 又11a =，22b =，所以32326532a a a a +=⎧⎨-=⎩，解得23414a a =⎧⎨=⎩，所以12131b a a =-=；（2）由2165n n n a a a +++=可得211263n n n n a a a a +++=--，即()211323n n n n a a a a +++=--，又()*13n n n b a a n +=-∈N ，所以12n n bb +=，则数列{}n b 是以2为公比的等比数列，又11b =，所以12n nb -=；（3）由（2）可得()()()()()()()()21221321212111321212121n nn n n n n n n n n b c b b ++++++---===⨯------211132121n n +⎛⎫=⨯- ⎪--⎝⎭， 因此{}n c 的前n 项和为32435211111111132121321213212111321211n n n S +⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⨯=-+-+-+⋅⋅⋅+ ⎪ ⎪ ⎪----- ⎪--⎝--⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎭23234511111111132121121321212121n n +⎛⎫⎛⎫=+++⋅⋅⋅+-+++⋅⋅⋅+ ⎪ ⎪-------⎝⎭⎝⎭121212211111111144113213239121212121321n n n n n n +++++++-----⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+--=--=- ⎪ ⎪ ⎪-⎝⎭⎝-⎝⎭⎭因为*n ∈N ，所以121102121n n +++>--，则12112124493911n n n S ++⎛⎫=-< ⎪⎝⎭+--， 又121121211493n n n S ++⎛⎫=-+- ⎝-⎪⎭显然单调递增， 所以127n S S ≥=， 综上2479n S ≤<. 【点睛】 结论点睛：裂项相消法求数列和的常见类型： （1）等差型111111n n n n a a d a a ++⎛⎫=- ⎪⎝⎭，其中{}n a 是公差为()0d d ≠的等差数列； （2=（3）指数型()11nn n a a a a +-=-；（4）对数型11log log log n aa n a n na a a a ++=-. 25．（Ⅰ）2nn a =；()112n n b n -=+⋅；（Ⅱ）证明见解析.【分析】（1）由题设求出数列{}n a 的基本量，即可确定n a ；再由1n n n b S S -=-确定n b ； （2）用错位相减法整理不等式左侧即可证明. 【详解】（1）设正项等比数列{}n a 的公比为q ，由1232a a a +=，得22q q +=解得2q 或1q =-（舍）又242nn a a =⇒=由n n S na =，得12b =2n ≥时，()()11121212n n n n n n b S S n n n ---=-=⋅--⋅=+⋅则()112n n b n -=+⋅（2）()()11112212222n n n n n n n n b n a a +++++⎛⎫==+ ⎪⋅⎝⎭设31241223341n n n n b b b bT a a a a a a a a ++=++++则()2341111134522222n n T n +⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=⨯+⨯+⨯+++ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭()()341211111341222222n n n T n n ++⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=⨯+⨯+++++ ⎪ ⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭两式相减得()2341211111131112222222n n n T n ++⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=⨯+⨯+⨯++⨯-+ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭得()2111422n n T n +⎛⎫=-+⋅ ⎪⎝⎭得()112422n n T n +⎛⎫=-+⋅< ⎪⎝⎭【点睛】关键点睛：当数列{}n c 满足n n n c a b =，{}n a 为等差数列，{}n b 为等比数列时，数列{}n c 的前n 项求和可用错位相减法. 26．见解析 【分析】根据选择的条件求出{}n a 的通项，再利用分组求和可得n T . 【详解】若选①，由222n n S n a =+可得1122a a =+，故12a =，又22422S a ⨯=+，故()222224a a =+⨯+，故24a =， 故等差数列的公差422d =-=，故()2212n a n n =+-=， 所以()()2212n n n S n n +==+， 所以12b =，26b =，所以等比数列{}n b 的公比为3q =，故123n n b -=⨯故()111111=232311n n n n b S n n n n --++⨯=-+⨯++， 故11111111131=231223341131n nn T n n n -⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫-+-+-++-+⨯=- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪+-+⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭. 若选②，由题设可得11126163351042a d a d a d +=⎧⎨+++=⎩，解得122a d =⎧⎨=⎩，同①可得131nn T n =-+. 若选③，由题设可得1213S S =即212a a =，故1d a =，故1n a na =， 而74567S a ==，故48a =，故12a =，故2n a n =，同①可得131nnTn=-+.【点睛】方法点睛：等差数列或等比数列的处理有两类基本方法：（1）利用基本量即把数学问题转化为关于基本量的方程或方程组，再运用基本量解决与数列相关的问题；（2）利用数列的性质求解即通过观察下标的特征和数列和式的特征选择合适的数列性质处理数学问题．另外求和注意根据通项的特征选择合适的求和方法.。
(典型题)高中数学必修五第一章《数列》检测(含答案解析)
一、选择题1．设等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，且4331S S S =-，若11a >，则（ ） A ．13a a <，24a a < B ．13a a >，24a a < C ．13a a <，24a a >D ．13a a >，24a a >2．设n S 是等差数列{}n a 的前n 项和，若735S =，则4a =（ ） A ．5B ．6C ．7D ．83．在等比数列{n a }中，13a =，424a =，则345a a a ++的值为（ ） A ．33B ．72C ．84D ．1894．在等差数列｛a n ｝中，1233,a a a ++=282930165a a a ++=，则此数列前30项和等于（ ） A ．810B ．840C ．870D ．9005．已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，55a =，836S =，则数列11{}n n a a +的前n 项和为（ ） A ．11n + B ．1n n + C ．1n n- D ．11n n -+ 6．数列{}n a 的前n 项和为()21n S n n =-（*n ∈N ），若173a a ka +=，则实数k 等于（ ） A ．2B ．3C ．269D ．2597．已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，且21n n S a =-，则66S a =（ ） A ．6332B ．3116C ．12364D ．1271288．设n S 是数列{}n a 的前n 项和，且()*2n n S a n n N =+∈，则{}na 的通项公式为na=（ ） A ．23n -B ．23n -C ．12n -D ．12n -9．等差数列{}n a 中，10a >,310S S =，则当n S 取最大值时，n 的值为 （ ） A ．6B ．7C ．6或7D ．不存在10．设{}n a 为等比数列，给出四个数列：①{}2n a ，②{}2n a ，③{}2na ，④{}2log ||n a .其中一定为等比数列的是（ ） A ．①③B ．②④C ．②③D ．①②11．已知{}n a 为等比数列，13527a a a =，246278a a a =，以n T 表示{}n a 的前n 项积，则使得n T 达到最大值的n 是（ ） A ．4B ．5C ．6D ．712．在1和19之间插入个n 数，使这2n +个数成等差数列，若这n 个数中第一个为a ，第n 个为b ，当116a b+取最小值时，n 的值是（ ） A ．4B ．5C ．6D ．7二、填空题13．在各项均为正数的等比数列{}n a 中，公比()0,1q ∈，若355a a +=，264a a =，2log n n b a =，数列{}n b 的前n 项和为n S ，则数列n S n ⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项的和n T 为______.14．已知等比数列{}n a 中，21a =，58a =-，则{}n a 的前6项和为__________． 15．数列1，-2，2，-3，3，-3，4，-4，4，-4，5，-5，5，-5，5，…，的项正负交替，且项的绝对值为1的有1个，2的有2个，…，n 的有n 个，则该数列第2020项是__________．16．设,n n S T 分别是等差数列{}{},n n a b 的前n 项和，已知()*2142n n S n n N T n +=∈-，则10317a b b =+_________．17．已知数列{}n a 的首项1a a =，其前n 项和为n S ，且满足()2*12,n n S S n n n N -+=≥∈，若对任意*n N ∈，1n n a a +<恒成立，则a 的取值范围是___________.18．数列{}n a 满足：112a =，212n n a a a n a ++⋯+=⋅，则数列{}n a 的通项公式n a =___________.19．已知数列{}n a 的通项公式为()12n n a n =+⋅，若不等式()2235n n n a λ--<-对任意*n N ∈恒成立，则整数λ的最大值为_____.20．对于数列{}n a ，存在x ∈R ，使得不等式()2*144n na x x n N a +≤≤-∈成立，则下列说法正确的有______.（请写出所有正确说法的序号）. ①数列{}n a 为等差数列； ②数列{}n a 为等比数列； ③若12a =，则212n na -=；④若12a =，则数列{}n a 的前n 项和21223n n S +-=.三、解答题21．设数列{}n a 满足()*122222nn a a a n n +++=∈N . （1）求数列{}n a 的通项公式； （2）求数列21n n a ⎧⎫-⎨⎬⎩⎭的前n 项和n T . 22．已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，首项11a =，121n n S S +=+. （1）求数列{}n a 的通项公式；（2）设n n b na =，记数列{}n b 的前n 项和为n T ，是否存在正整数n ，使得2021n T =?若存在，求出n 的值；若不存在，说明理由.23．已知等差数列{}n a 和等比数列{}n b 的首项均为1，{}n b 的前n 项和为n S ，且22a S =，43a S =.（1）求数列{}n a ，{}n b 的通项公式；（2）设n n n c a b =⋅，*n N ∈，求数列{}n c 的前n 项和n T .24．已知正项等比数列{}n a ，24a =， 1232a a a +=；数列{}n b 的前n 项和n S 满足n n S na =.（Ⅰ）求n a ，n b ； （Ⅱ）证明：312412233412n n n b b b b a a a a a a a a ++++++<. 25．在①420S =,②332S a =，③3423a a b -=这三个条件中任选一个，补充在下面问题中，并作答．问题：已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，{}n b 是各项均为正数的等比数列，14a b =，______，2138,34b b b =-=，是否存在正整数k ，使得数列1n S ⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前k 项和34kT >？若存在，求k 的最小值；若不存在，说明理由， 注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分．26．已知{}n a 是由正整数组成的无穷数列，该数列前n 项的最大值记为n A ，最小值记为n B ，令nn nA bB =． （1）若2(1,2,3,)n a n n ==，写出1b ，2b ，3b 的值．（2）证明：1(1,2,3,)n n b b n +≥=．（3）若{}n b 是等比数列，证明：存在正整数0n ，当0n n 时，n a ，1n a +，2n a +是等比数列．【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题 1．B 解析：B 【分析】首先根据题中所给的条件4331S S S =-，11a >利用等比数列求和公式求出0q <，分情况讨论求得10q -<<，从而可以得到项之间的大小关系. 【详解】设等比数列{}n a 的公比为q ， 由4331S S S =-可得431a S =-， 若1q =，则1113a a =-显然不成立，所以1q ≠， 所以()312111q a a q q -++=，即()232111q q a q +=-+， 因为22131024q q q ⎛⎫++=++> ⎪⎝⎭，210a >，所以30q <，所以0q <，当1q ≤-时，31q ≤-，211q q ++≥，因为11a >，则()232111q q a q +=-+不可能成立，所以10q -<<，()213110a a a q -=->，()224110a a a q q -=-<，所以13a a >，24a a <， 故选：B. 【点睛】关键点点睛：本题解题的关键是利用等比数列求和公式将已知条件化简得到()232111q q a q +=-+，结合11a >求出q 的范围.2．A解析：A 【分析】由等差数列的前n 和公式，求得1710a a +=，再结合等差数列的性质，即可求解. 【详解】由题意，根据等差数列的前n 和公式，可得1777()352a a S +==，解得1710a a +=， 又由等差数列的性质，可得17452a a a +==. 故选：A. 【点睛】熟记等差数列的性质，以及合理应用等差数列的前n 和公式求解是解答的关键3．C解析：C 【分析】根据341a a q =，可求出q ，再根据等比数列通项公式求出35,a a 即可.【详解】因为341a a q =，即3243q =，所以2q，所以22313212a a q ==⨯=，44513248a a q ==⨯=，所以34512244884a a a ++=++=. 故选：C 【点睛】本题主要考查等比数列的通项公式的应用，属于基础题.4．B解析：B 【解析】数列前30项和可看作每三项一组，共十组的和，显然这十组依次成等差数列，因此和为10(3165)8402+= ，选B. 5．B解析：B 【解析】设等差数列{}n a 的首项为1a ，公差为d . ∵55a =，836S = ∴114582836a d a d +=⎧⎨+=⎩∴111a d =⎧⎨=⎩∴n a n =，则11111(1)1+==-++n n a a n n n n ∴数列11n n a a +⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和为1111111111122334111nn n n n -+-+-+⋅⋅⋅+-=-=+++ 故选B.点睛：裂项相消法是最难把握的求和方法之一，其原因是有时很难找到裂项的方向，突破这一难点的方法是根据式子的结构特点，常见的裂项技巧：(1)()1111n n k k n n k ⎛⎫=- ⎪++⎝⎭；（2）1k=； （3）()()1111212122121n n n n ⎛⎫=- ⎪-+-+⎝⎭；（4）()()11122n n n =++ ()()()11112n n n n ⎡⎤-⎢⎥+++⎢⎥⎣⎦；此外，需注意裂项之后相消的过程中容易出现丢项或多项的问题，导致计算结果错误.6．C解析：C 【分析】由已知结合递推公式可求n a ，然后结合等差数列的通项公式即可求解. 【详解】因为()21n S n n =-， 所以111a S ==，当2n ≥时，()()()12112343n n n a S S n n n n n -=-=----=-，111a S ==适合上式，故43n a n =-，因为173a a ka +=， ∴1259k +=， 解可得269k = 故选：C. 【点睛】本题主要考查了由数列前n 项和求数列的通项公式，考查来了运算能力，属于中档题.7．A解析：A 【解析】由题意得，111121,1,n n n a a a a S S -=-==- ，则21nn S =- ，即666332S a = ，故选A.8．C解析：C 【分析】由()*2n n S a n n N =+∈结合11,1,2n nn S n a S S n -=⎧=⎨-≥⎩即可求出1a 和121n n a a -=-，通过构造法即可求出通项公式. 【详解】当1n =时，11121a S a ==+，解得1 1a =-；当2n ≥时，122(1)n n n a a n a n -=+---．∴121n n a a -=-，∴()1121n n a a --=-．∵112a -=-，∴12nn a -=-， ∴12nn a =-．故选:C ． 【点睛】本题考查了数列通项公式的求解，考查了,n n a S 的递推关系求通项公式，考查了等比数列的通项公式，考查了构造法求数列的通项公式，属于中档题.9．C解析：C 【解析】设等差数列{}n a 的公差为d ∵310S S = ∴()()113319913922a d a d ⨯-⨯-+=+∴160a d += ∴70a = ∵10a >∴当n S 取最大值时，n 的值为6或7 故选C10．D解析：D 【分析】设11n n a a q -=，再利用等比数列的定义和性质逐一分析判断每一个选项得解.【详解】设11n n a a q -=，①,112=2n n a a q-,所以数列{}2n a 是等比数列；②，222222111=()n n n a a qa q --=，所以数列{}2n a 是等比数列； ③，11112111211222=2,222n nn n n n n n a a q a a q a q a q a a q-------==不是一个常数，所以数列{}2n a 不是等比数列； ④，122122121log ||log |q |log ||log |q |n n n n a a a a ---=不是一个常数，所以数列{}2log ||n a 不是等比数列.故选D 【点睛】本题主要考查等比数列的判定，意在考查学生对该知识的理解掌握水平和分析推理能力.11．A解析：A 【分析】先求出首项和公比，得出{}n a 是一个减数列，前4项都大于1，从第五项开始小于1，从而得出结论． 【详解】{}n a 为等比数列，3135327a a a a ==，32464278a a a a ==， 33a ∴=，432a =，4312a q a ∴==，112a =，543·14a a q ==<． 故{}n a 是一个减数列，前4项都大于1，从第五项开始小于1， 以n T 表示{}n a 的前n 项积，则使得n T 达到最大值的n 是4， 故选：A ． 【点评】本题主要考查等比数列的性质，属于基础题．12．B解析：B 【分析】设等差数列公差为d ,可得20a b +=,再利用基本不等式求最值,从而求出答案. 【详解】设等差数列公差为d ,则119a d b d =+=-，,从而20a b +=, 此时0d >,故0,0a b >>,所以11616()()1161725b a a b a b a b ++=+++≥+=, 即116255204a b +=,当且仅当16b aa b =,即4b a =时取“=”, 又1,19a d b d =+=-,解得3d =,所以191(1)3n =++⨯,所以5n =,故选:B . 【点睛】本题主要考查数列和不等式的综合运用,需要学生对所学知识融会贯通,灵活运用.二、填空题13．【分析】首先利用方程组求出数列的通项公式进一步求出数列的通项公式进一步利用分类讨论思想的应用求出数列的和【详解】解：各项均为正数的等比数列中若所以由于公比解得所以解得所以由于所以则当时当时所以故答案解析：()()2217941714494n n n n T n n n ⎧-≤⎪⎪=⎨-+⎪>⎪⎩【分析】首先利用方程组求出数列{}n a 的通项公式，进一步求出数列{}n b 的通项公式，进一步利用分类讨论思想的应用求出数列的和. 【详解】解：各项均为正数的等比数列{}n a 中，若355a a +=，264a a =，所以35352654a a a a a a +=⎧⎨==⎩，由于公比()0,1q ∈，解得3541a a =⎧⎨=⎩，所以253a a q =，解得12q =. 所以55512n n n a a q --⎛⎫=⋅= ⎪⎝⎭.由于5221log log 52n n n b a n -⎛⎫===- ⎪⎝⎭.所以()()45922n n n n n S +--==， 则()9292n n n n S n c nn--===， 当9n ≤时，()212171744n n n n n n T c c c --=+++==.当9n >时，()()212910*********24n n n n n T c c c c c c c c c c -+=+++---=++-+++=. 所以()()2217941714494n n n n T n n n ⎧-≤⎪⎪=⎨-+⎪>⎪⎩. 故答案为：()()2217941714494n n n n T n n n ⎧-≤⎪⎪=⎨-+⎪>⎪⎩【点睛】本题考查等比数列的通项公式，等差数列的前n 项和公式，考查分类讨论思想和数学运算能力，是中档题.14．【解析】因为已知等比数列中所以则故答案为【方法点睛】本题主要考查等比数列的通项公式属于中档题等比数列基本量的运算是等比数列的一类基本题型数列中的五个基本量一般可以知二求三通过列方程组所求问题可以迎刃 解析：212【解析】因为已知等比数列{}n a 中，所以21a =，58a =-，3528,2a q q a ==-=-，则()()()66121611211212,21122a q a a S q q⎡⎤----⎣⎦==-===---，故答案为212. 【方法点睛】本题主要考查等比数列的通项公式，属于中档题. 等比数列基本量的运算是等比数列的一类基本题型，数列中的五个基本量1,,,,,n n a q n a S ，一般可以“知二求三”，通过列方程组所求问题可以迎刃而解，解决此类问题的关键是熟练掌握等比数列的有关性质和公式，并灵活应用，在运算过程中，还应善于运用整体代换思想简化运算过程.15．【分析】将绝对值相同的数字分为一组则每组数字个数构成等差数列然后计算原第2020项在这个数列的第几项再根据题意可得【详解】将绝对值相同的数字分为一组则每组数字个数构成等差数列因为则2020项前共包含 解析：64-【分析】将绝对值相同的数字分为一组，则每组数字个数构成等差数列n a n =，然后计算原第2020项在这个数列的第几项，再根据题意可得. 【详解】将绝对值相同的数字分为一组，则每组数字个数构成等差数列n a n =， 因为(1)6364202063201622n n n +⨯⇒⇒=， 则2020项前共包含63个完整组，且第63组最后一个数字为第2016项，且第2016项的符号为负，故2020项为第64组第4个数字，由奇偶交替规则，其为64-. 故答案为：64-. 【点睛】本题考查数列创新问题，解题关键是把绝对值相同的数字归为一组，通过组数来讨论原数列中的项，这借助于等差数列就可完成，本题考查了转化思想，属于中档题.16．【分析】利用等差数列的性质得到再根据求解【详解】因为所以故答案为：【点睛】本题主要考查等差数列的性质以及前n 项和公式的应用还考查了运算求解的能力属于中档题 解析：39148【分析】利用等差数列的性质得到1013171191912a a a b b b b =⨯+++191912S T =⨯，再根据2142n n S n T n +=-求解.【详解】 因为()*2142n n S n n N T n +=∈-， 所以()()110113171119191991921912221a a a b b b a b b b a =⨯=⨯+++++， 191911219139224192148S T ⨯+=⨯=⨯=⨯-， 故答案为：39148【点睛】本题主要考查等差数列的性质以及前n 项和公式的应用，还考查了运算求解的能力，属于中档题.17．【分析】由化简可得从而可得由知则从而解得【详解】解：即即故由知；若对任意恒成立只需使即解得故故答案为：【点睛】本题考查了数列的性质的判断与应用同时考查了整体思想的应用及转化思想应用解析：24,33⎛⎫⎪⎝⎭【分析】由21n n S S n -+=化简可得1121n n S S n +--=+，从而可得22n n a a +-=，由1a a =知242a a =-，32a a =+，442a a =-，则1234a a a a <<<从而解得．【详解】解：21n n S S n -+=，21(1)n n S S n ++=+， 1121n n S S n +-∴-=+，即121n n a a n ++=+， 即2123n n a a n +++=+， 故22n n a a +-=， 由1a a =知2124a a +=， 214242a a a ∴=-=-， 32a a =+， 462a a =-；若对任意n ∈+N ，1n n a a +<恒成立， 只需使1234a a a a <<<， 即42262a a a a <-<+<-， 解得2433a <<，故24,33a ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭故答案为：24,33⎛⎫⎪⎝⎭． 【点睛】本题考查了数列的性质的判断与应用，同时考查了整体思想的应用及转化思想应用．18．【分析】当时作差即可得到再利用累乘法求出数列的通项公式即可；【详解】解：因为①；当时②；①减②得即所以所以所以所以……所以所以又所以当时也成立所以故答案为：【点睛】对于递推公式为一般利用累乘法求出数 解析：21n n+ 【分析】当2n ≥时，()212111n n a a a n a --++⋯+=-⋅，作差即可得到111n n a n a n --=+，再利用累乘法求出数列的通项公式即可； 【详解】解：因为212n n a a a n a ++⋯+=⋅①；当2n ≥时，()212111n n a a a n a --++⋯+=-⋅②；①减②得()2211n n n a n a n a -=⋅-⋅-，即()()22111n n n a n a -⋅-⋅-=，所以()()()21111n n n n a n a --+=⋅-⋅，所以()()111n n n a n a -⋅-⋅+=，所以111n n a n a n --=+ 所以2113a a =，3224a a =，4335a a =，……，111n n a n a n --=+，所以324211312313451n n a a a a n a a a a n --⋅⋅⋅⨯⨯⨯=⨯+，所以()121n a a n n =+，又112a =，所以()11n a n n =+，当1n =时()11n a n n =+也成立，所以()11n a n n =+故答案为：()11n n +【点睛】对于递推公式为()1nn a f n a -=，一般利用累乘法求出数列的通项公式，对于递推公式为()1n n a a f n --=，一般利用累加法求出数列的通项公式；19．4【分析】根据题意等价变形得对任意恒成立再求数列的最大值即可得答案【详解】解：∵∴不等式等价于记∴时即时数列单调递减又∵∴∴即∴整数的最大值为4故答案为：4【点睛】本题考查根据数列不等式恒成立求参数解析：4 【分析】根据题意等价变形得2352nn λ-->对任意*n N ∈恒成立，再求数列232n n n b -=的最大值即可得答案. 【详解】解：∵()102nn a n =+⋅>，∴不等式()2235n n n a λ--<-等价于2352nn λ-->， 记232n nn b -=，112121223462n n n nn b n n b n ++--==--， ∴3n ≥时，11n nb b +<，即3n ≥时数列单调递减， 又∵ 1211,24b b =-=， ∴ ()3max 38n b b ==，∴358λ->，即337588λ<-=，∴整数λ的最大值为4. 故答案为：4. 【点睛】本题考查根据数列不等式恒成立求参数，考查化归转化思想，是中档题.20．②③④【分析】由题意可得存在使求得值可得再由等比数列的定义通项公式及前项和逐一核对四个命题得答案【详解】解：由存在使得不等式成立得即则则数列为等比数列故①错误②正确；若则故③正确；若则数列的前项和故解析：②③④ 【分析】由题意可得，存在x ∈R ，使244x x -，求得x 值，可得14n na a +=，再由等比数列的定义、通项公式及前n 项和逐一核对四个命题得答案． 【详解】解：由存在x ∈R ，使得不等式2*144()n na xx n N a +-∈成立， 得244x x -，即2440x x -+，则2(2)0x -，2x ∴=．∴14n na a +=． 则数列{}n a 为等比数列，故①错误，②正确； 若12a =，则121242n n n a --==，故③正确；若12a =，则数列{}n a 的前n 项和212(14)22143n n n S +⨯--==-，故④正确． 故答案为：②③④． 【点睛】本题考查命题的真假判断与应用，考查等比数列的判定，训练了等比数列通项公式与前n 项和的求法，属于中档题．三、解答题21．（1）2nn a =；（2）2332n nn T +=-. 【分析】 （1）当2n ≥时，112211222n n a a a n --+++=-与已知条件两式相减可得2n n a =，再令1n =，计算1a 即可求解；（2）由（1）得2nn a =，所以22211n n n n a --=，再利用乘公比错位相见即可求和. 【详解】（1）数列{}n a 满足122222n n a a a n +++= 当2n ≥时，112211222n n a a a n --+++=- 两式作差有12n na =，所以2nna = 当1n =时，12a =，上式也成立所以2nn a =（2）22211n n n n a --= 则211113(21)222nn T n ⎛⎫⎛⎫=⨯+⨯++-⨯ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，231111113(21)2222n n T n +⎛⎫⎛⎫⎛⎫=⨯+⨯++-⨯ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，()()()2311111111111111131421221221231222222222212n n n n n n T n n n ++-+⎛⎫- ⎪⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎝⎭=⨯+++⋯+--⨯=+⨯--=-+⨯⎢⎥ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎣⎦-所以2332n nn T +=-. 【点睛】方法点睛：数列求和的方法（1）倒序相加法：如果一个数列{}n a 的前n 项中首末两端等距离的两项的和相等或等于同一个常数，那么求这个数列的前n 项和即可以用倒序相加法（2）错位相减法：如果一个数列的各项是由一个等差数列和一个等比数列的对应项之积构成的，那么这个数列的前n 项和即可以用错位相减法来求；（3）裂项相消法：把数列的通项拆成两项之差，在求和时，中间的一些项可相互抵消，从而求得其和；（4）分组转化法：一个数列的通项公式是由若干个等差数列或等比数列或可求和的数列组成，则求和时可用分组转换法分别求和再相加减；（5）并项求和法：一个数列的前n 项和可以两两结合求解，则称之为并项求和，形如()()1nn a f n =-类型，可采用两项合并求解.22．（1）12n n a ；（2）不存在，理由见解析.【分析】（1）根据11n n n a S S ++=-以及等比数列的通项公式可求得结果；（2）利用错位相减法求出n T ，分别对1,2n n ==和3n ≥讨论等式是否成立可得答案. 【详解】（1）由121n n S S +=+①,知2n ≥时，121n n S S -=+②, ①-②得()122n n a a n +=≥，在①式中令12121212n a a a a =⇒+=+⇒=，212a a =， ∴对任意*n ∈N ，均有12n na a +=，∴{}n a 为等比数列，11122n n n a --=⨯=， （2）由（1）得12n n b n -=⋅，所以()01221122232122n n n T n n --=⋅+⋅+⋅++-⋅+⋅，所以()()12212122222122n n n n T n n n --=⋅+⋅++-⋅+-⋅+⋅，所以()12111212222221212nn n nn n nT n n n -⋅--=++++-⋅=-⋅=--⋅-，所以(1)21nn T n =-⋅+，令()()1212021122020nnn n -⋅+=⇒-⋅=，当1n =和2n =时，等式显然不成立；当3n ≥时，方程化为()212505n n --⋅=，左边为偶数，右边等于505为奇数，等式也不成立，故不存在正整数n ，使得2021n T =成立. 【点睛】关键点点睛：利用11n n n a S S ++=-求出通项公式，根据错位相减法求出n T 是解题关键. 23．（1）()1121n a a n d n =+-=-，1112nn n b b q ；（2）()3232n n T n =+-⋅.【分析】（1）设等差数列{}n a 的公差为d ，等比数列{}n b 的公比为q ，由22a S =，43a S =,求得2,2d q ==，然后利用等差数列和等比数列通项公式求解.（2）由（1）得到()1212n n c n -=-⋅，然后错位相减法求解.【详解】（1）设等差数列{}n a 的公差为d ，等比数列{}n b 的公比为q ， 因为22a S =，43a S =,所以11d q +=+，2131d q q +=++，解得2,2d q ==所以()1121n a a n d n =+-=-，1112nn n b b q ；（2）由（1）知：()1212n n c n -=-⋅，所以()0121123252...212n n T n -=⋅+⋅+⋅++-⋅， 则()1232123252...212nn T n =⋅+⋅+⋅++-⋅， 两式相减得：()23122...2212n nn T n -=++++--⋅，()()1412121212n n n --=+--⋅-，()3322n n =-+-⋅，所以()3232nn T n =+-⋅.【点睛】方法点睛：求数列的前n 项和的方法 (1)公式法：①等差数列的前n 项和公式，()()11122n n n a a n n S na d +-==+②等比数列的前n 项和公式()11,11,11nn na q S a q q q=⎧⎪=-⎨≠⎪-⎩；(2)分组转化法：把数列的每一项分成两项或几项，使其转化为几个等差、等比数列，再求解．(3)裂项相消法：把数列的通项拆成两项之差求和，正负相消剩下首尾若干项．(4)倒序相加法：把数列分别正着写和倒着写再相加，即等差数列求和公式的推导过程的推广．(5)错位相减法：如果一个数列的各项是由一个等差数列和一个等比数列对应项之积构成的，则这个数列的前n 项和用错位相减法求解.(6)并项求和法：一个数列的前n 项和中，可两两结合求解，则称之为并项求和．形如a n ＝(－1)n f (n )类型，可采用两项合并求解．24．（Ⅰ）2nn a =；()112n n b n -=+⋅；（Ⅱ）证明见解析.【分析】（1）由题设求出数列{}n a 的基本量，即可确定n a ；再由1n n n b S S -=-确定n b ； （2）用错位相减法整理不等式左侧即可证明. 【详解】（1）设正项等比数列{}n a 的公比为q ，由1232a a a +=，得22q q +=解得2q 或1q =-（舍）又242nn a a =⇒=由n n S na =，得12b =2n ≥时，()()11121212n n n n n n b S S n n n ---=-=⋅--⋅=+⋅则()112n n b n -=+⋅（2）()()11112212222n n n n n n n n b n a a +++++⎛⎫==+ ⎪⋅⎝⎭设31241223341n n n n b b b bT a a a a a a a a ++=++++则()2341111134522222n n T n +⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=⨯+⨯+⨯+++ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭()()341211111341222222n n n T n n ++⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=⨯+⨯+++++ ⎪ ⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭两式相减得()2341211111131112222222n n n T n ++⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=⨯+⨯+⨯++⨯-+ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭得()2111422n n T n +⎛⎫=-+⋅ ⎪⎝⎭得()112422n n T n +⎛⎫=-+⋅< ⎪⎝⎭【点睛】关键点睛：当数列{}n c 满足n n n c a b =，{}n a 为等差数列，{}n b 为等比数列时，数列{}n c 的前n 项求和可用错位相减法.25．选①k 的最小值为4；选②k 的最小值为4；选③k 的最小值为3； 【分析】先由条件求出11162n n b -⎛⎫=⨯ ⎪⎝⎭，得出142a b ==，若选①可得2d =，则2n a n =，从而1111n S n n =-+，由裂项相消法求出k T ，可得答案；若选②可得12a d ==，所以2n a n =，一下同选①；若选③可得43d =，从而131142n S n n ⎛⎫=⨯- ⎪+⎝⎭，由裂项相消法求出k T ，可得答案. 【详解】设等比数列{}n b 的公比为q ，由2138,34b b b =-= 所以18b q =，则8384q q -⨯=，解得12q =或23q =-（舍） 则1816b q ==，所以11162n n b -⎛⎫=⨯ ⎪⎝⎭则142a b ==若选① 由4143486202S a d d ⨯=+=+=，则2d = 所以2n a n =， 则212nn a a S n n n +=⨯=+ 所以()111111n S n n n n ==-++ 则1211111111122311n n n T S S S n n n ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+++=-+-++-= ⎪ ⎪ ⎪++⎝⎭⎝⎭⎝⎭由314k k T k =>+，则3k >，由k 为正整数，则k 的最小值为4. 若选② 由332S a =，即()11323222a d a d ⨯+=+ ，可得12a d == 所以2n a n =，一下同选①.若选③ 由3423a a b -=，可得()()113238a d a d +-+=，即43d = 所以()()14222233n n n S n n n -=+⨯=+ ()1313112242n S n n n n ⎛⎫=⨯=⨯- ⎪++⎝⎭ 12111311111311111432424212n n T S S S n n n n ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+++=⨯-+-++-=+-- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥+++⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦所以93118412n T n n ⎛⎫=-+ ⎪++⎝⎭所以9311124438k k k T ⎛⎫-+ ⎪++⎭>⎝=，即111122k k +<++，也即240k k --> 解得k >23<<，又k 为正整数，则k 的最小值为3. 【点睛】关键点睛：本题考查等差、等比数列求通项公式和等差数列的前n 项和以及用裂项相消法求和，解答本题的关键是将所要求和的数列的通项公式裂成两项的差，即1111n S n n =-+，131142n S n n ⎛⎫=⨯- ⎪+⎝⎭，注意裂项和的系数和求和时相抵消的项以及最后余下的项，属于中档题.26．（1）11b =，22b =，33b =；（2）证明见解析；（3）证明见解析 【分析】（1）由{}n a 是单调递增数列可得1nn a b a =即可求出；（2）设1n a k +=，讨论n k B ≤，n n B k A <<和n k A ≥可证明；（3）设{}n b 的公比为q ，且1q ≥，显然1q =时满足；1q >时，由{}n A 是递增数列，{}n B 是递减数列，且{}n B 不能无限减少可得.【详解】 （1）2n a n =，可得{}n a 是单调递增数列，1,n n n a B A a ∴==，1111a b a ∴==，2212ab a ==，3313a b a ==， （2）设1n a k +=，nn nA bB =， 若n k B ≤，则+1nn n n nk A A b b B =≥=， 若n n B k A <<，则+1nn nn A b b B ==， 若n k A ≥，则+1n n n nn A kb b B B =≥=， 综上，1(1,2,3,)n n b b n +≥=；（3）设等比数列{}n b 的公比为q ，1111a b a ==，则1n n nn A b q B -==， 由（2）可得1n n b b +≥，则1q ≥， 当1q =时，1nnA B =，即n n A B =，此时{}n a 为常数列，则存在01n =，当0n n ≥时，n a ，1n a +，2n a +是等比数列；当1q >时，{}n A 是递增数列，{}n B 是递减数列，{}n a 是由正整数组成的无穷数列，则数列{}n a 必存在最小值，即存在正整数0n ，0n a 是数列{}n a 的最小值，则当0n n ≥时，0n n B a =，此时01n n nn n n A a b q B a -===，即01n n n a a q -=，故当0n n ≥时，n a ，1n a +，2n a +是等比数列；综上，存在正整数0n ，当0n n ≥时，n a ，1n a +，2n a +是等比数列．【点睛】本题考查数列单调性的有关判断，解题的关键是正确理解数列的变化情况，清楚{}n b 的变化特点.。
(好题)高中数学必修五第一章《数列》测试(含答案解析)
一、选择题1．已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，11a =，23a =，且()11222n n nn S S S n +-+=+≥，若()()72n n S a n λλλ-++≥-对任意*n ∈N 都成立，则实数λ的最小值为（ ） A ．52-B ．116C ．332D ．12．设等差数列{}n a 前n 项和为n S ，等差数列{}n b 前n 项和为n T ，若11n n S n T n -=+．则55a b =（ ） A ．23B ．45C ．32D ．54 3．已知数列{}n a 为等比数列，若2312a a a ⋅=，且4a 与72a 的等差中项为54，则123n a a a a ⋅⋅⋅⋅⋅的最大值为（ ） A ．5B ．512C ．1024D ．20484．已知数列{}n a 的通项公式350n a n =-，则前n 项和n S 的最小值为( ) A ．－784B ．－368C ．－389D ．－3925．在等差数列{}n a 中，0n a ≠，()21102n n n a a a n -+-+=≥，若2138n S -=，则n =( )．A ．38B ．20C ．10D ．96．已知函数()()f x x R ∈满足()()42f x f x -++=，若函数2xy x =-与()y f x =图象的交点为()()()1122,,,,,,n n x y x y x y ⋯，则()1nii i xy =+=∑（ ）A ．0B ．nC ．2nD ．3n7．对于数列{}n a ，定义11233n nn a a a T n-+++=为{}n a 的“最优值”，现已知数列{}n a 的“最优值”3n n T =，记数列{}n a 的前n 项和为n S ，则20202020S=（ ） A ．2019B ．2020C ．2021D ．20228．公元1202年意大利数学家列昂纳多·斐波那契以兔子繁殖为例，引入“兔子数列”：1，1，2，3，5，8，13，21，34，55，…，即121a a ==，12n n n a a a --=+（*3,n n ≥∈N ）.此数列在现代物理、准晶体结构、化学等领域都有着广泛的应用.若记212n n n n b a a a ++=-（*n ∈N ），数列{}n b 的前n 项和为n S ，则2020S =（ ） A ．0B ．1C ．2019D ．20209．已知等比数列{}n a 中，若1324,,2a a a 成等差数列，则公比q =（ ） A ．1B ．1-或2C ．3D ．1-10．若n S 是等比数列{}n a 的前项和，3S ，9S ，6S 成等差数列，且82a =，则25a a +=（ ） A ．12-B ．4-C ．4D ．1211．已知数列{}n a 的通项公式为211n aa n n n=-+，5a 是数列{}n a 的最小项，则实数a 的取值范围是（ ） A ．[40,25]--B ．[40,0]-C ．[25,0]-D ．[25,0]-12．记等差数列{}n a 的前n 项和为n S .若64a =，19114S =，则15S =（ ） A ．45B ．75C ．90D ．95二、填空题13．数列{}n a 满足()()1232312n a a a na n n n ++++=++，则n a = __________.14．已知等差数列{}n a 的首项是19-，公差是2，则数列{}n a 的前n 项和n S 的最小值是_______.15．数列{}n a 满足11a =，22a =，且2221sin 2cos 22n nn n a a ππ+⎛⎫=+⋅+ ⎪⎝⎭（*n N ∈），则2020a =__.16．等比数列{}n a 的各项均为正数，且2414a a =，则2122232425log log log log log a a a a a ++++=___________.17．数列{}n a 中，若31()n na a n *+=∈N ，13a =，则{}n a 的通项公式为________. 18．已知等差数列{}n a 的前n 项和为()*n S n N∈，公差0d ≠，690S=，7a 是3a 与9a 的等比中项，当0n S >时，n 的最大值为______.19．已知数列{}n a 与{}n b 前n 项和分别为n S ，n T ，且0n a >，22n n n S a a =+，1121(2)(2)n n n n n n b a a +++=++，对任意的*n N ∈，n k T >，恒成立，则k 的最小值是__________．20．已知数列{}n a 的通项公式为3217n n a n -=-，前n 项和为n S ，则n S 取得最小值时n 的值为_________.三、解答题21．在①119n n a a +-=-，②113n n a a +=-③18n n a a n +=+-这三个条件中任选一个，补充在下面的问题中，并解答.设n S 是数列{}n a 的前n 项和，且19a =，__________，求{}n a 的通项公式，并判断n S 是否存在最大值，若存在，求出最大值：若不存在，说明理由. 注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分22．在数列{}n a ，{}n b 和{}n c 中，{}n a 为等差数列，设{}n a 前n 项的和为n S ，{}n c 的前n 项和为n T ，11a =，410S a =，12b =，n n n c a b =⋅，22n n T c =-. （1）求数列{}n a ，{}n b 的通项公式； （2）求证：()()()()()()12122311111111nn n c c c c c c c c c ++++<------.23．已知正项数列{}n a 、{}n b ，记数列{}n a 的前n 项和为n S ，若1143a b +=，21n n S a +=，2211(1)0n n n n nb b b n b ----+=（1）求数列{}n a 、{}n b 的通项公式； （2）求数列{}2n n a b 的前n 项和n T ．24．从①1a 、2a 、5a 成等比数列，②525S =，③222n nS S n n+-=+，这三个条件中任选一个，补充在下面问题中并作答.已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，47a =， ，122na n nb a +=+，求数列{}n b 的前n 项和为n T .25．已知数列{}n a 是等差数列，n S 是数列{}n a 的前n 项和，35a =，749=S . （1）求数列{}n a 的通项公式及前n 项和n S ；（2）若数列{}n b 满足2n b =，求数列{}n b 的前n 项和n T .26．已知{}n a 是由正整数组成的无穷数列，该数列前n 项的最大值记为n A ，最小值记为n B ，令nn nA bB =． （1）若2(1,2,3,)n a n n ==，写出1b ，2b ，3b 的值．（2）证明：1(1,2,3,)n n b b n +≥=．（3）若{}n b 是等比数列，证明：存在正整数0n ，当0n n 时，n a ，1n a +，2n a +是等比数列．【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题1．C 解析：C 【分析】由n S 与n a 的关系得21nn a =-，则272n maxn λ-⎛⎫≥ ⎪⎝⎭，设272n n n c -=，利用数列的单调性即可求解． 【详解】解：数列{}n a 的前n 项和为n S ，11a =，23a =，且()11222n n nn S S S n +-+=+≥， 所以112nn n n n S S S S +--=+-，故()122nn n a a n +-=≥，因为1212a a -=，所以()121nn n a a n +-=≥，所以112n n n a a ---=，2122n n n a a ----=，⋯，1212a a -=， 则1211222n n a a --=++⋯+，故11211222121n n n n a --=++⋯+==--， 所以()123122122222221n n n nS n n n +-=+++⋯+-=-=---，所以21nn n S a n -=--，因为()()72n n S a n λλλ-++≥-对任意*n N ∈都成立， 所以272nmaxn λ-⎛⎫≥ ⎪⎝⎭． 设272n nn c -=，则111252792222n nn n n n n nc c +++----=-=， 当4n ≤时，1n n c c +>，当5n ≥时，1n n c c +<， 因此1234567c c c c c c c <<⋯<><> 即5332c λ≥=，故λ的最小值为332． 故选：C 【点睛】本题解答的关键利用11,1,2n nn S n a S S n -=⎧=⎨-≥⎩求出数列n a 的递推公式，再利用累加法求出na 的通项；2．B解析：B本题首先可令9n =，得出9945S T =，然后通过等差数列的性质得出959S a =以及959T b =，代入9945S T =中，即可得出结果. 【详解】 因为11n n S n T n -=+，所以99914915S T -==+， 因为n S 是等差数列{}n a 前n 项和，n T 是等差数列{}n b 前n 项和， 所以()1995992a a S a +==，()1995992b b T b +==， 则95959459S a T b ==，5545a b =， 故选：B. 【点睛】关键点点睛：本题考查等差数列的相关性质的应用，主要考查等差数列前n 项和公式以及等差中项的应用，若等差数列{}n a 前n 项和为n S ，则()12n n n a a S +=，当2m n k +=时，2m n k a a a +=，考查化归与转化思想，是中档题.3．C解析：C 【分析】用1a 和q 表示出2a 和3a 代入2312a a a ⋅=求得4a ，再根据3474422a a a a q +=+，求得q ，进而求得1a 到6a 的值，即得解. 【详解】2231112a a a q a q a ⋅=⋅=42a ∴=3474452224a a a a q +=+=⨯12q ∴=，41316a a q ==故1415116()2222n n n n a ---=⨯=⨯=，所以123456116,8,4,2,1,12a a a a a a ======<， 所以数列的前4或5项的积最大，且最大值为16842=1024⨯⨯⨯. 故选：C结论点睛：等比数列{}n a 中，如果11,01a q ><<，求123n a a a a ⋅⋅⋅⋅⋅的最大值，一般利用“1交界”法求解，即找到大于等于1的项，找到小于1的项，即得解.4．D解析：D 【解析】令3500n -≥，求得16n >，即数列从第17项开始为正数，前16项为负数，故数列的前16项的和最小，1612,47a a =-=-，()16472163922S --⨯∴==-，故选D.【方法点睛】求等差数列前n 项和的最大值的方法通常有两种：①将前n 项和表示成关于n 的二次函数，n S 2An Bn =+，当2B n A =-时有最大值（若2B n A=-不是整数，n 等于离它较近的一个或两个整数时n S 最大）；②可根据0n a ≥且10n a +≤确定n S 最大时的n 值.5．C解析：C 【分析】由2110n n n a a a -+-+=，可得2112n n n n a a a a -++==，得到2n a =，再根据等差数列的求和公式，得到2138(21)n n n S a --==，代入即可求解，得到答案． 【详解】由题意，等差数列{}n a 中，()21102n n n a a a n -+-+=≥，可得2112n n n n a a a a -++==，又0,n a ≠解得2n a =， 又由12121(21)()(2)3812n n n n a a n a S ---+==-=，即(21)823n -⨯=，解得10n =，故选C ． 【点睛】本题主要考查了等差数列的性质，以及等差数列的求和公式的应用，其中解答中熟记等差数列的性质，求得2n a =和2138(21)n n n S a --==是解答本题的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题．6．D解析：D 【分析】由题意可得()()f x x R ∈的图像关于点()2,1对称，函数2xy x =-的图像也关于()2,1对称，然后利用对称性以及倒序相加法即可得出答案. 【详解】函数()()f x x R ∈满足()()42f x f x -++=，∴()f x 的图像关于点()2,1对称，而函数2xy x =-的图像也关于()2,1对称， 设123n x x x x >>>>121224n n x x x x -∴+=+==⨯= 121212n n y y y y -+=+==⨯=令121nin i xx x x ==++∑，则111ni n n i x x x x -==++∑，()()()1211124n i n n n i x x x x x x x n -==++++∴+=∑，12ni i x n =∴=∑令121nin i y y yy ==++∑，则111ni n n i y y y y -==++∑，()()()1211122n i n n n i y y y n y y y y -=∴=+++++=∑，1ni i n y =∴=∑()13ni i i x y n =+=∴∑，故选：D 【点睛】本题考查了函数的对称性应用，考查了倒序相加法求和，解题的关键是找出中心对称点，属于中档题.7．D解析：D 【分析】 根据11233n nn a a a T n-+++=，且3nn T =，得到112333n n n a a a n -+++=⋅，然后利用数列通项与前n 项和的关系求得21n a n =+，再利用等差数列求和公式求解. 【详解】 ∵11233n nn a a a T n-+++=，且3nn T =，∴112333n n n a a a n -+++=⋅，当2n ≥时，有()211213313n n n a a a n ---+++⋅=-⋅，两式相减可得：()()1113313213n n n n n a n n n ---⋅=⋅--⋅=+⋅.∴21n a n =+（2n ≥）. 当1n =时，13a =适合上式. ∴21n a n =+.则数列{}n a 是以3为首项，以2为公差的等差数列. ∴()202032202012020S 202220202+⨯+⨯==⨯.∴202020222020S =. 故选：D . 【点睛】本题主要考查数列通项与前n 项和的关系以及等差数列的定义和求和公式的应用，属于中档题.8．A解析：A 【分析】由1n nb b +用递推式可得到值为-1，{}n b 是等比数列，再求前2020项和. 【详解】 由题意可知()2221121213221212n n n n n n n n n n n n n n n a a a a b a a a b a a a a a a ++++++++++++-+-===--()222211212212121n n n n n n n n n n n n n a a a a a a a a a a a a a ++++++++++---==---， 又212131b a a a =-=-，因此()1nn b =-，故()()()20201111110S =-++-+++-+=，故选：A. 【点睛】本题考查了通过递推数列揭示数列存在的规律即等比数列，还考查了数列求和，属于中档题.9．B解析：B 【分析】用等比数列的通项公式和等差中项公式求解. 【详解】因为1324,,2a a a 成等差数列，所以312242a a a =+，即2111242a q a a q =+，化简得220q q --=，解得1q =-或2q .故选B. 【点睛】本题考查等比数列与等差数列的综合运用.10．C解析：C 【分析】当公比q=1时，易推断不符合题意，故q 1≠，然后利用等比数列的前n 项和的公式和等差数列的性质得方程，再利用等比数列的性质求解. 【详解】设数列{}n a 的公比为q ，当1q =时，2n a =，则36S =，612S =，918S =，此时396,,S S S 不成等差数列，不符合题意，舍去；当1q ≠时，∵396,,S S S 成等差数列，∴3692S S S +=， 即()()()3691111112?111a q a q a q qq q---+=---，即96320q q q --=，解得312q =-或31q =（舍去）或30q =（舍去）， ∴8268a a q ==，8534a a q ==-，∴254a a +=，故选C. 【点睛】本题综合考查了等比数列与等差数列；在应用等比数列的前n 项和公式时，公比不能为1，故在解题过程中，应注意公比为1的这种特殊的等比数列，以防造成漏解.11．D解析：D 【分析】由题设得到5n a a ≥恒成立，参变分离后可得实数a 的取值范围. 【详解】由题设有5n a a ≥恒成立， 故21125555a an n n -+≥-+恒成立即()()()5565a n n n n---≥， 当6n ≥时，有()56a n n ≤-恒成立，故0a ≤， 当14n ≤≤时，有()56a n n ≥-恒成立，故25a ≥-， 当5n =时，a R ∈， 故250a -≤≤. 故选：D. 【点睛】本题考查数列的函数性质：最值问题，此类问题可利用函数的单调性来研究，也可以利用恒成立来研究，本题属于较难题.12．B解析：B 【分析】结合题意根据等差数列的通项公式和前n 项和公式列方程115419199114a d a d +=⎧⎨+⨯=⎩，解得11232d a ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，再利用前n 项和公式即可求得答案. 【详解】解：根据题意64a =，19114S =，结合等差数列的通项公式和前n 项和公式得：115419199114a d a d +=⎧⎨+⨯=⎩，即：115496a d a d +=⎧⎨+=⎩，解得11232d a ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩， 所以()1511515131451051515157752222S a d -+=+=⨯+⨯⨯==. 故选：B. 【点睛】本题考查利用等差数列的通项公式和前n 项和公式求等差数列的基本量，考查数学运算能力，是基础题.二、填空题13．【分析】对递推关系多递推一次再相减可得再验证是否满足；【详解】∵①时②①-②得时满足上式故答案为：【点睛】数列中碰到递推关系问题经常利用多递推一次再相减的思想方法求解 解析：31n【分析】对递推关系多递推一次，再相减，可得31n a n ，再验证1n =是否满足；【详解】 ∵()()1232312n a a a na n n n ++++=++①2n ∴≥时，()()()123123111n a a a n a n n n -++++-=-+② ①-②得31,31n nna n n a n ，1n =时，1123=6,a 满足上式，31na n .故答案为：31n . 【点睛】数列中碰到递推关系问题，经常利用多递推一次再相减的思想方法求解.14．【分析】本题先求等差数列前n 项和再由此求出数列的前n 项和的最小值【详解】解：∵等差数列的首项是公差是2∴∴时数列的前n 项和的最小值是故答案为：【点睛】本题考查等差数列前n 项和的最小值的求法考查等差数解析：100-. 【分析】本题先求等差数列前n 项和()()22119220101002n n n S n n n n -=-+⨯=-=--，再由此求出数列{}n a 的前n 项和n S 的最小值. 【详解】解：∵等差数列{}n a 的首项是19-，公差是2， ∴()()22119220101002n n n S n n n n -=-+⨯=-=--， ∴10n =时，数列{}n a 的前n 项和n S 的最小值是100-. 故答案为：100-. 【点睛】本题考查等差数列前n 项和的最小值的求法，考查等差数列的性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题.15．2020【分析】当n 为偶数时可得出故偶数项是以2为首项公差为2的等差数列求出通项公式代值计算即可得解【详解】当n 为偶数时即故数列的偶数项是以2为首项公差为2的等差数列所以所以故答案为：2020【点睛解析：2020 【分析】当n 为偶数时，可得出22n n a a +=+，故偶数项是以2为首项，公差为2的等差数列，求出通项公式，代值计算即可得解. 【详解】 当n 为偶数时，2223cos 1sin 2cos 1cos 2222n n n n n n n a a a n a ππππ+-⎛⎫=+⋅+=⋅++=+ ⎪⎝⎭， 即22n n a a +=+，故数列{}n a 的偶数项是以2为首项，公差为2的等差数列，所以2122n n a n ⎛⎫=+-⨯= ⎪⎝⎭，所以20202020a =. 故答案为：2020.【点睛】本题考查数列的递推式，解题关键是得出当n 为偶数时，可得出2n a +与n a 的关系式，进而求出{}n a 的通项公式，考查逻辑思维能力和计算能力，属于常考题.16．【分析】由题意利用等比数列的性质求得的值再利用对数的运算性质求得结果【详解】解：等比数列{an}的各项均为正数且∴则故答案为：【点睛】本题考查等比中项的性质考查运算求解能力求解时注意对数运算法则的运用 解析：5-【分析】由题意利用等比数列的性质求得3a 的值，再利用对数的运算性质，求得结果. 【详解】解：等比数列{a n }的各项均为正数， 且224314a a a ==，∴312a =， 则2122232425log log log log log a a a a a ++++523231og 5log 5(1)5a a ===⋅-=-，故答案为：5-. 【点睛】本题考查等比中项的性质，考查运算求解能力，求解时注意对数运算法则的运用.17．【分析】两边取对数化简整理得得到数列是以为首项公比为3的等比数列结合等比数列的通项公式即可求解【详解】由两边取对数可得即又由则所以数列是以为首项公比为3等比数列则所以故答案为：【点睛】本题主要考查了 解析：133()n n a n -*=∈N【分析】两边取对数，化简整理得313log 3log n na a +=，得到数列3{log }n a 是以1为首项，公比为3的等比数列，结合等比数列的通项公式，即可求解. 【详解】由31()n na a n *+=∈N ，两边取对数，可得313log 3log n n a a +=，即313log 3log n na a +=， 又由13a =，则31log 1a =，所以数列3{log }n a 是以31log 1a =为首项，公比为3等比数列，则113log 133n n n a --=⋅=，所以133()n n a n -*=∈N . 故答案为：133()n n a n -*=∈N 【点睛】本题主要考查了对数的运算性质，以及等比数列的通项公式的求解，其中解答中合理利用对数的运算性质，结合等比数列的通项公式求解是解答的关键，着重考查推理与运算能力.18．【分析】根据是与的等比中项求出和再根据等差数列的求和公式求出解不等式即可得解【详解】因为是与的等比中项所以所以化简得因为所以因为所以即将代入得解得所以所以由得即解得所以正整数的最大值为故答案为：20解析：【分析】根据690S =，7a 是3a 与9a 的等比中项求出1a 和d ，再根据等差数列的求和公式求出n S ，解不等式0n S >即可得解.【详解】因为7a 是3a 与9a 的等比中项，所以2739a a a =⋅，所以()()()2111628a d a d a d +=++，化简得21100a d d +=，因为0d ≠，所以110a d =-， 因为690S =，所以1656902a d ⨯+=，即15152a d +=， 将110a d =-代入得510152d d -+=，解得2d =-，所以120a =， 所以2(1)20(2)212n n n S n n n -=+⨯-=-+， 由0n S >得2210n n -+>，即2210n n -<，解得021n <<， 所以正整数n 的最大值为20. 故答案为：20 【点睛】关键点点睛：熟练掌握等差数列的通项公式和求和公式以及等比中项的应用是解题关键.19．【分析】首先利用与的关系式求数列的通项公式再利用裂项相消法求再利用的最值求的最小值【详解】当时解得或当两式相减后可得整理后得：所以数列是公差为1的等差数列即数列单调递增当时对任意的恒成立即的最小值是解析：13【分析】首先利用n S 与n a 的关系式，求数列{}n a 的通项公式，再利用裂项相消法求n T ，再利用n T 的最值求k 的最小值. 【详解】当1n =时，2111122S a a a =+=，解得10a =或11a =，0n a >，11a ∴=，当2n ≥，2211122n n nn n n S a a S a a ---⎧=+⎨=+⎩，两式相减后可得()()()221112n n n n n n S S a a a a ----=-+-，整理后得：()()1110n n n n a a a a --+--=，所以11n n a a --=，∴数列{}n a 是公差为1的等差数列，即n a n =，()()112111221221n n n n n n b n n n n +++==-++++++， 2231111111...21222223221n n n T n n +⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+-++- ⎪ ⎪ ⎪+++++++⎝⎭⎝⎭⎝⎭1112121n n +=-+++ 111321n n +=-++， 数列{}n T 单调递增，当n →+∞时，13n T → 对任意的*n N ∈，n k T >，恒成立，()max n k T ∴>，即13k ≥,k 的最小值是13.故答案为：13【点睛】易错点睛：本题主要考查函数与数列的综合问题，属于难题.解决该问题应该注意的事项： (1)数列是一类特殊的函数，它的图象是一群孤立的点；(2)转化以函数为背景的条件时，应该注意题中的限制条件，如函数的定义域，这往往是很容易被忽视的问题；(3)利用函数的方法研究数列中的相关问题时，应准确构造相应的函数，注意数列中相关限制条件的转化.20．8【分析】求出数列在n 的不同取值范围的正负判断出的单调性可求出【详解】令解得或当时单调递增当时单调递减当时单调递增所以取得最小值时的值为8故答案为：8【点睛】本题考查数列前n 项和的最值的求法解题的关解析：8 【分析】求出数列在n 的不同取值范围的正负判断出n S 的单调性可求出. 【详解】 令30217n n a n -=≥-，解得3n ≤或172n ≥，∴当3n ≤时，0n a ≥，n S 单调递增，当47n ≤≤时，0n a <，n S 单调递减， 当8n ≥时，0n a >，n S 单调递增， 所以n S 取得最小值时n 的值为8. 故答案为：8.【点睛】本题考查数列前n 项和的最值的求法，解题的关键是根据数列的正负判断n S 的单调性.三、解答题21．答案见解析 【分析】选①：由等差数列通项公式得出通项n a 后，解0n a ≥，满足此不等式的最大的n 使得n S 最大，注意若n a 0=，则有两个值使得n S 最大，选②：由等比数列前n 项和公式得出n S ，由于公比是负数，因此按n 的奇偶性分类讨论求得n S 的最大值；选③：由累加法求得n a ，利用n a 的表达式是n 的二次函数形式，当15n ≥时，0n a >，确定n S 不存在最大值. 【详解】 选①因为119n n a a +-=-，19a =，所以{}n a 是首项为9，公差为19-的等差数列.所以()118291999n a n n ⎛⎫=+-⋅-=-+ ⎪⎝⎭. 由182099n -+≥，得82n ≤，即820a ≥ 所以n S 存在最大值，且最大值为81S 或82S ， 因为818180181936929S ⨯⎛⎫=⨯+⨯-= ⎪⎝⎭，所以n S 的最大值为369. 选② 因为113n n a a +=-，19a =，所以{}n a 是首项为9，公比为13-的等比数列. 所以1311933n n n a --⎛⎫⎛⎫=⨯-=- ⎪⎪⎝⎭⎝⎭.1︒当n 为奇数时，1913271114313n n n S ⎡⎤⎛⎫⨯--⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎛⎫⎣⎦==+ ⎪⎝⎭+， 因为271143n ⎛⎫+ ⎪⎝⎭随着n 的增大而减小，所以此时n S 的最大值为19S =；2︒当n 为偶数的，1913271114313n n n S ⎡⎤⎛⎫⨯--⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎛⎫⎣⎦==- ⎪⎝⎭+， 且2712719434n n S ⎛⎫=-<< ⎪⎝⎭， 综上，n S 存在最大值，且最大值为9. 选③因为18n n a a n +=+-，所以18n n a a n +-=-，所以217a a -=-，326a a -=-，…，19n n a a n --=-， 以上1n -个等式相加得()()21791171622n n n n n a a -+---+-==， 因为19a =，所以()2173422n n n a n -+=≥，又19a =也满足上式，所以217342n n n a -+=. 当15n ≥时，0n a >，故n S 不存在最大值. 【点睛】关键点点睛：本题考查数列前n 项和的最大值问题，一种方法是求出n S 的表达式，由函数的性质确定n S 的最大值，一种是利用数列项的性质，如数列是递减的数列，10a >，则满足0n a ≥的最大的n 使得n S 最大．22．（1）n a n =，2nn b n=；（2）证明见解析；【分析】（1）设{}n a 的公差为d ，由410S a =，即可得到1d a =，从而求出{}n a 的通项公式，再由1122n n n n n c T T c c --=-=-，可得{}n c 是首项为2，公比为2的等比数列，即可求出{}n c 的通项，最后由n n n c a b =⋅，求出{}n b 的通项公式；（2）依题意可得()()1111112121n n n n n c c c ++=-----，利用裂项相消法求和即可得证；【详解】解：（1）因为{}n a 为等差数列，且{}n a 前n 项的和为n S ，设其公差为d ， 因为410S a =，11a =，所以()11441492a d a d ⨯-+=+，所以11d a ==，所以n a n =，因为11a =，12b =，n n n c a b =⋅，所以1112c a b =⋅=，因为{}n c 的前n 项和为n T 且22n n T c =-，当2n ≥时，()()111222222n n n n n n n c T T c c c c ---=-=---=-，所以()122n n c c n -=≥，所以{}n c 是首项为2，公比为2的等比数列，所以2n n c =，因为n n n c a b =⋅，所以2nn n n c b a n==（2）因为()()()()1112111121212121n n n n n n n n c c c +++==-------所以()()()()()()1212231111111nn n c c c c c c c c c ++++------122311111111111111212121212121212121n n n n +++=-+-++-=-=-<--------- 【点睛】数列求和的方法技巧 (1)倒序相加：用于等差数列、与二项式系数、对称性相关联的数列的求和． (2)错位相减：用于等差数列与等比数列的积数列的求和． (3)分组求和：用于若干个等差或等比数列的和或差数列的求和． 23．（1）13n n a =，12n n b +=；（2）151144323nn nn T -+=--⋅⋅ 【分析】（1）由1n =求得1a ，再風1b ，然后由11n n n a S S ++=-得到数列{}n a 的递推关系，知其为等比数列，从而得通项公式，由n b 的递推关系得1(1)n n nb n b -=+，用累乘的方法求得n b ；（2）用错位相减法求和n T ． 【详解】（1）由题意知：1111221S a a a +=+=,113a =，∴11413b a =-=， ∵1121,21n n n n S a S a +++=+= ∴111333n n n n a a q a +=⇒=⇒= 又∵()[]11(1)0,0n n n n n b b nb n b b --+⋅-+=> ∴121121131(1)122n n n n n n n b b b n n n nb n b b b b b n n ----++=+⇒⋅=⋅⋅⇒=-（1b 也适合）， （2）∵123n n nn a b +=∴2323413333n n n T +=++++ 231123133333n n n n T ++=++++ ∴12311111221111219313333333313n n n n n n n T -++⎛⎫- ⎪++⎝⎭=++++-=+-- 11211113633n n n -++⎛⎫=+-- ⎪⎝⎭ ∴151144323n n n n T -+=--⋅⋅． 【点睛】本题考查求等比数列的通项公式，累乘法求通项公式，错位相减法求和．数列求和的常用方法：设数列{}n a 是等差数列，{}n b 是等比数列，（1）公式法：等差数列或等比数列的求和直接应用公式求和； （2）错位相减法：数列{}n n a b 的前n 项和应用错位相减法； （3）裂项相消法；数列1{}n n ka a +（k 为常数，0n a ≠）的前n 项和用裂项相消法； （4）分组（并项）求和法：数列{}n n pa qb +用分组求和法，如果数列中的项出现正负相间等特征时可能用并项求和法；（5）倒序相加法：满足m n m a a A -+=（A 为常数）的数列，需用倒序相加法求和． 24．答案见解析. 【分析】选①，设等差数列{}n a 的公差为d ，根据已知条件可得出关于1a 、d 的方程组，解出这两个量的值，可求得数列{}n a 的通项公式，可求得n b ，进而可求得n T ；选②，设等差数列{}n a 的公差为d ，根据已知条件可得出关于1a 、d 的方程组，解出这两个量的值，可求得数列{}n a 的通项公式，可求得n b ，进而利用分组求和法可求得n T ； 选③，设等差数列{}n a 的公差为d ，利用等差数列的求和公式求出d 的值，可求得1a 的值，求出数列{}n a 的通项公式，可求得n b ，进而利用分组求和法可求得n T . 【详解】解:选①，设数列{}n a 的公差为d ，则由47a =可得137a d +=，由1a 、2a 、5a 成等比数列得()()21114a a d a d +=+，可得212d a d =，所以，121372a d d a d +=⎧⎨=⎩，解得170a d =⎧⎨=⎩或112a d =⎧⎨=⎩，若17a =，0d =，则7n a =，23n b =，23n T n =；若11a =，2d =，则()1121n a a n d n =+-=-，212nn b n =-+，()()()()23123252212nn T n ⎡⎤∴=+++++++-+⎣⎦()()23135212222n n =++++-+++++⎡⎤⎣⎦()()1221212122212nn n n n +-+-=+=+--；选②，设数列{}n a 的公差为d ，则由47a =可得137a d +=， 由525S =得1545252a d ⨯+=，即125a d +=， 联立以上两式可得11a =，2d =，所以，()1121n a a n d n =+-=-，212nn b n =-+，()()()()23123252212nn T n ⎡⎤∴=+++++++-+⎣⎦()()23135212222n n =++++-+++++⎡⎤⎣⎦()()1221212122212nn n n n +-+-=+=+--；选③，设数列{}n a 的公差为d ，则由47a =可得137a d +=，()112n n n d S na -=+，()112n n d Sa n -∴=+，()21122n n d S a n ++∴=++， 由222n nS S n n+-=+得2d =，则11a =， 所以，()1121n a a n d n =+-=-，212nn b n =-+，()()()()23123252212n n T n ⎡⎤∴=+++++++-+⎣⎦()()23135212222n n =++++-+++++⎡⎤⎣⎦()()1221212122212nn n n n +-+-=+=+--.【点睛】方法点睛：数列求和的常用方法：（1）对于等差等比数列，利用公式法直接求和；（2）对于{}n n a b 型数列，其中{}n a 是等差数列，{}n b 是等比数列，利用错位相减法求和；（3）对于{}n n a b +型数列，利用分组求和法； （4）对于11n n a a +⎧⎫⎨⎬⎩⎭型数列，其中{}n a 是公差为()0d d ≠的等差数列，利用裂项相消法求和.25．（1）21n a n =-，2n s n =；（2）21n nT n =+. 【分析】（1）根据条件列出式子求出数列{}n a 的首项和公差，即可求出通项公式和前n 项和； （2）可得112+1n b n n ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，利用裂项相消法即可求出. 【详解】（1）设等差数列{}n a 的公差为d ，则3171+25767+492a a d S a d ==⎧⎪⎨⨯==⎪⎩，解得1a 1,d 2， ()1+1221n a n n ∴=-⨯=-，()21+212n n n S n -==； （2）()2112+1+1n b n n n n ⎛⎫===- ⎪⎝⎭， 1111122122311n nT n n n ⎛⎫∴=-+-++-=⎪++⎝⎭. 【点睛】方法点睛：数列求和的常用方法：（1）对于等差等比数列，利用公式法可直接求解；（2）对于{}n n a b 结构，其中{}n a 是等差数列，{}n b 是等比数列，用错位相减法求和； （3）对于{}+n n a b 结构，利用分组求和法；（4）对于11n n a a +⎧⎫⎨⎬⎩⎭结构，其中{}n a 是等差数列，公差为d ，则111111n n n n a a d a a ++⎛⎫=- ⎪⎝⎭，利用裂项相消法求和. 26．（1）11b =，22b =，33b =；（2）证明见解析；（3）证明见解析 【分析】（1）由{}n a 是单调递增数列可得1nn a b a =即可求出；（2）设1n a k +=，讨论n k B ≤，n n B k A <<和n k A ≥可证明；（3）设{}n b 的公比为q ，且1q ≥，显然1q =时满足；1q >时，由{}n A 是递增数列，{}n B 是递减数列，且{}n B 不能无限减少可得.【详解】（1）2n a n =，可得{}n a 是单调递增数列，1,n n n a B A a ∴==，1111a b a ∴==，2212a b a ==，3313a b a ==， （2）设1n a k +=，n n n A b B =， 若n k B ≤，则+1n n n n nk A A b b B =≥=， 若n n B k A <<，则+1n n n n A b b B ==， 若n k A ≥，则+1n n n nn A k b b B B =≥=， 综上，1(1,2,3,)n n b b n +≥=； （3）设等比数列{}n b 的公比为q ，1111a b a ==，则1n n n n A b q B -==， 由（2）可得1n n b b +≥，则1q ≥，当1q =时，1n nA B =，即n n A B =，此时{}n a 为常数列，则存在01n =，当0n n ≥时，n a ，1n a +，2n a +是等比数列； 当1q >时，{}n A 是递增数列，{}n B 是递减数列，{}n a 是由正整数组成的无穷数列，则数列{}n a 必存在最小值，即存在正整数0n ，0n a 是数列{}n a 的最小值，则当0n n ≥时，0n n B a =， 此时01n n n n n n A a b q B a -===，即01n n n a a q -=， 故当0n n ≥时，n a ，1n a +，2n a +是等比数列；综上，存在正整数0n ，当0n n ≥时，n a ，1n a +，2n a +是等比数列． 【点睛】本题考查数列单调性的有关判断，解题的关键是正确理解数列的变化情况，清楚{}n b 的变化特点.。
(好题)高中数学必修五第一章《数列》测试(包含答案解析)
一、选择题1．记无穷数列{}n a 的前n 项12,,,n a a a …的最大项为n A ，第n 项之后的各项12,n n a a ++，···的最小项为n B ，令n n n b A B =-，若数列{}n a 的通项公式为2276n a n n =-+，则数列{}n b 的前10项和为（ ）A ．169-B ．134-C ．103-D ．78-2．若等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，首项10a >，202020210a a +>，202020210a a ⋅<，则满足0n S >成立的最大正整数n 是（ ） A ．4039B ．4040C ．4041D ．40423．已知数列{}n a 是等比数列，满足51184a a a =，数列{}n b 是等差数列，且88b a =，则79b b +等于（ ）A ．24B ．16C ．8D ．44．已知数列{}n a 中，12a =，()*,N n m n m a a a n m +=⋅∈，若1234480k k k k a a a a +++++++=，则k =（ ）A ．3B ．4C ．5D ．65．在正项等比数列{}n a 中，若3788a a a =，2105a a +=，则公比q =（ ） A ．122B ．122或1212⎛⎫ ⎪⎝⎭C ．142D ．142或1412⎛⎫ ⎪⎝⎭6．已知数列{}n a 满足()1341n n a a n ++=≥，且19a =，其前n 项之和为n S ，则满足不等式16125n S n --<的最小整数n 是（ ） A ．5B ．6C ．7D ．87．数列{}n a 的前n 项和为()21n S n n =-（*n ∈N ），若173a a ka +=，则实数k 等于（ ） A ．2B ．3C ．269D ．2598．已知等差数列{}n a 中， 23a =，59a =，则数列{}n a 的前6项之和等于（ ） A ．11 B ．12 C ．24D ．369．已知{}n a 是等比数列，且2222212345123451060a a a a a a a a a a ++++=++++=，，则24a a +=（ ）A ．2B ．3C ．4D ．510．已知等比数列{}n a 中，若1324,,2a a a 成等差数列，则公比q =（ ）A ．1B ．1-或2C ．3D ．1-11．等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，已知32110S a a =+，534a =，则1a =（ ） A ．2B ．3C ．4D ．512．已知数列{}n a 中，11a =，又()1,1n a a +=，()21,1n b a =+，若//a b ，则4a =（ ） A ．7B ．9C ．15D ．17二、填空题13．设S n 是数列{}n a 的前n 项和，且*1111,20,3n n n a a S S n N ++=+=∈，则1223910S S S S S S ++⋅⋅⋅⋅⋅+=___________.14．设数列{}n a 中12a =，若等比数列{}n b 满足1n n n a a b +=，且10101b =，则2020a =__. 15．已知等差数列{}n a 中，268,0a a ==，等比数列{}n b 中， 122123,b a b a a a ==++，那么数列{}n b 的前4项和4S =________16．数列{}n a 满足11a =，22a =，且2221sin 2cos 22n nn n a a ππ+⎛⎫=+⋅+ ⎪⎝⎭（*n N ∈），则2020a =__.17．已知数列{a n }的前n 项和为S n ，若S n ﹣1是a n 和S n 的等比中项，设1(1)(21)n n n b n a +=-⋅+，则数列{b n }的前100项和为_____.18．已知等差数列{a n }的前n 项和为S n ，且a 2＝4，S 5＝30，则数列{1nS }的前n 项和为_____．19．等比数列{}n a 前n 项和为n S ，若634S S =，则96S S =______. 20．对于数列{}n a ，存在x ∈R ，使得不等式()2*144n na x x n N a +≤≤-∈成立，则下列说法正确的有______.（请写出所有正确说法的序号）. ①数列{}n a 为等差数列； ②数列{}n a 为等比数列； ③若12a =，则212n na -=；④若12a =，则数列{}n a 的前n 项和21223n n S +-=.三、解答题21．已知数列{}n a 满足：*111,21,n n a a a n n N +=-=-∈（1）证明{}n a n +是等比数列，并求出数列{}n a 的通项公式；（2）设21,n n n n b S a n+=+为数列{}n b 的前n 项和，求n S 22．已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，满足332S a =，8522a a =-. （1）求数列{}n a 的通项公式； （2）记121n n n n b a a a ++=⋅⋅，求数列{}n b 的前n 项和n T .23．已知等比数列{}n a 的公比不为1，且11a =，32a 是23a 与4a 的等差中项. （Ⅰ）求{}n a 的通项公式； （Ⅱ）若数列{}n b 满足()()1211nn n n a b a a +=++，求数列{}n b的前n 项和n T .24．已知正项等比数列{}n a ，首项13a =，且13213,,22a a a 成等差数列． （1）求数列{}n a 的通项公式； （2）若数列{}nb 满足3321log log n n n b a a +=⋅，求数列{}n b 的前n 项和n S ．25．在数列{}n a 中，已知12a =，且12(1)(1)n n na n a n n +=+-+，*n ∈N . （1）设1nn a b n=-，求数列{}n b 的通项公式； （2）求数列{}n a 的前n 项和n T .26．已知{}n a 是由正整数组成的无穷数列，该数列前n 项的最大值记为n A ，最小值记为n B ，令nn nA bB =． （1）若2(1,2,3,)n a n n ==，写出1b ，2b ，3b 的值．（2）证明：1(1,2,3,)n n b b n +≥=．（3）若{}n b 是等比数列，证明：存在正整数0n ，当0n n 时，n a ，1n a +，2n a +是等比数列．【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题 1．A 解析：A 【分析】先利用单调性依次写出前几项，再根据规律求和即可. 【详解】数列{}n a 的通项公式为2276n a n n =-+，故从2a 起单调递增，且1231,0,3a a a ===， 所以11112101b A B a a =-=-=-=，22213b A B a a =-=-，33334b A B a a =-=-，44445b A B a a =-=-，…，1010101011b A B a a =-=-，又2112117116171a =⨯-⨯+=，所以数列{}n b 的前10项和为()()()()12101334451011...1...b b b a a a a a a a a +++=+-+-+-++-111111171169a a =+-=+-=-.故选：A. 【点睛】 关键点点睛：本题的解题关键在于发现数列从2a 起单调递增，才能依次确定{}n b 的项，找到规律，突破难点.2．B解析：B 【分析】由等差数列的10a >，及202020210a a ⋅<得数列是递减的数列，因此可确定202020210,0a a ><，然后利用等差数列的性质求前n 项和，确定和n S 的正负．【详解】∵202020210a a ⋅<，∴2020a 和2021a 异号，又数列{}n a 是等差数列，首项10a >，∴{}n a 是递减的数列，202020210,0a a ><， 由202020210a a +>，所以140404040202020214040()2020()02a a S a a +==+>，14041404120214041()404102a a S a +==<，∴满足0n S >的最大自然数n 为4040． 故选：B ． 【点睛】关键点睛：本题求满足0n S >的最大正整数n 的值，关键就是求出100n n S S +><，，时成立的n 的值，解题时应充分利用等差数列下标和的性质求解,属于中档题.3．C解析：C 【分析】利用等比数列和等差数列的性质计算． 【详解】∵数列{}n a 是等比数列，∴2511884a a a a ==，又80a ，∴84a =，又{}n b 是等差数列，∴7988228b b b a +===． 故选：C ． 【点睛】关键点点睛：本题考查等差数列与等比数列的性质，掌握等差数列与等比数列的性质是解题关键．对正整数,,,m n p l ，若m n p l +=+，{}n a 是等差数列，则m n p l a a a a +=+，若{}n a 是等比数列，则m n p l a a a a =，特别地若2m n p +=，{}n a 是等差数列，则2m n p a a a +=，若{}n a 是等比数列，则2m n p a a a =．4．B解析：B 【分析】由已知，取1m =，则112n n n a a a a +=⋅=，得出数列{}n a 是以2为首项，2为公差的等比数列，根据等比数列的通项公式建立方程得可求得解． 【详解】因为数列{}n a 中，12a =，()*,N n m n m a a a n m +=⋅∈，所以取1m =，则112n n n a a a a +=⋅=，所以数列{}n a 是以2为首项，2为公差的等比数列，所以2nn a =，又1234480k k k k a a a a +++++++=，即12344220282k k k k +++++++=，即040238k ⨯=，解得4k =， 故选：B ． 【点睛】关键点点睛：解决本题的问题的关键在于令1m =，得出数列{}n a 是以2为首项，2为公差的等比数列，利用等比数列的通项公式建立方程得解．5．D解析：D 【分析】由等比数列的性质可得出关于2a 、10a 的方程组，进而可求得等比数列{}n a 的公比. 【详解】由3788a a a =得()326753111168a q a q a q a qa ⋅⋅===，即62a =．22106()4a a a ∴==，又2105a a +=，解得21014a a =⎧⎨=⎩或21041a a =⎧⎨=⎩，0q >，11181084242a q a ⎛⎫∴=== ⎪⎝⎭或1111884104211242a q a -⎛⎫⎛⎫⎛⎫==== ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭．故选：D. 【点睛】关键点点睛：本题的解题关键就是利用等比数列下标和的性质建立有关2a 、10a 的方程组，通过求出2a 、10a 的值，结合等比数列的基本量来进行求解.6．C解析：C 【分析】首先分析题目已知3a n+1+a n =4（n ∈N*）且a 1=9，其前n 项和为S n ，求满足不等式|S n ﹣n ﹣6|＜1125的最小整数n ．故可以考虑把等式3a n+1+a n =4变形得到111-13n n a a +-=-，然后根据数列b n =a n ﹣1为等比数列，求出S n 代入绝对值不等式求解即可得到答案． 【详解】对3a n+1+a n =4 变形得：3（a n+1﹣1）=﹣（a n ﹣1）即：111-13n n a a +-=- 故可以分析得到数列b n =a n ﹣1为首项为8公比为13-的等比数列．所以b n =a n ﹣1=8×11-3n -⎛⎫ ⎪⎝⎭a n =8×11-3n -⎛⎫ ⎪⎝⎭+1所以181********n nn S n n ⎡⎤⎛⎫--⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎛⎫⎣⎦=+=-⨯-+ ⎪⎛⎫⎝⎭-- ⎪⎝⎭|S n ﹣n ﹣6|=n11-6-3125⎛⎫⨯< ⎪⎝⎭解得最小的正整数n=7 故选C ． 【点睛】此题主要考查不等式的求解问题，其中涉及到可化为等比数列的数列的求和问题，属于不等式与数列的综合性问题，判断出数列a n ﹣1为等比数列是题目的关键，有一定的技巧性属于中档题目．7．C解析：C 【分析】由已知结合递推公式可求n a ，然后结合等差数列的通项公式即可求解. 【详解】因为()21n S n n =-， 所以111a S ==，当2n ≥时，()()()12112343n n n a S S n n n n n -=-=----=-，111a S ==适合上式，故43n a n =-，因为173a a ka +=， ∴1259k +=， 解可得269k = 故选：C. 【点睛】本题主要考查了由数列前n 项和求数列的通项公式，考查来了运算能力，属于中档题.8．D解析：D 【分析】根据等差数列的性质得162512a a a a +=+=，再根据等差数列前n 项和公式计算即可得答案. 【详解】解：因为等差数列{}n a 中， 23a =，59a =， 所以根据等差数列的性质得162512a a a a +=+=， 所以根据等差数列前n 项和公式()12n n n a a S +=得()16666123622a a S +⨯===. 故数列{}n a 的前6项之和等于36. 故选：D. 【点睛】本题考查等差数列的性质，前n 项和公式，考查运算能力，是中档题.9．A解析：A 【分析】首先根据题意，利用等比数列求和公式，得到5112345(1)101a q a a a a a q -++++==-，222222101521234(1)601a q q a a a a a -=-++=++，两式相除得到51(1)61a q q+=+，即5112345(1)61a q a a a a a q+-+-+==+，与1234510a a a a a ++++=联立求得结果.【详解】设数列{}n a 的公比为q ，且1q ≠，则5112345(1)101a q a a a a a q -++++==-， 222222101521234(1)601a q q a a a a a -=-++=++，两式相除得210551112(1)(1)(1)6111a q a q a q q q q--+÷==--+， 所以5112345(1)61a q a a a a a q+-+-+==+， 又123123452445)()2()104(6a a a a a a a a a a a a --+-+=+=++-+=+， 所以242a a +=， 故选：A. 【点睛】该题考查的是有关数列的问题，涉及到的知识点有等比数列的求和公式，这题思维的应用，属于中档题目.10．B解析：B 【分析】用等比数列的通项公式和等差中项公式求解. 【详解】因为1324,,2a a a 成等差数列，所以312242a a a =+，即2111242a q a a q =+，化简得220q q --=，解得1q =-或2q .故选B. 【点睛】本题考查等比数列与等差数列的综合运用.11．A解析：A 【解析】设等差数列{a n }的公差为d ,∵S 3=a 2+10a 1,a 5=34， ∴3a 1+3d =11a 1+d ,a 1+4d =34， 则a 1=2. 本题选择A 选项.12．C解析：C 【分析】利用向量平行的坐标运算公式得出121n n a a +=+，可得出1121n n a a ++=+，所以数列{}1n a +是以2为首项，公比为2的等比数列，然后求解4a . 【详解】因为//a b ，所以121n na a +=+，则()112221n n n a a a ++=+=+，即1121n n a a ++=+， 又11a =，所以112a +=，所以数列{}1n a +是以2为首项，公比为2的等比数列， 所以441216a +==，得415a =. 故选：C. 【点睛】本题考查向量的平行，考查数列的通项公式求解及应用，难度一般. 一般地，若{}n a 满足()10,1,0n n a pa q p p q +=+≠≠≠，则只需构造()1n n a x p a x ++=+，其中1q x p =-，然后转化为等比数列求通项.二、填空题13．【分析】由代入化简求得再结合求和方法计算可得结果【详解】因为所以所以所以又所以数列是以为首项为公差的等差数列所以所以所以所以故答案为：【点晴】由代入化简求得数列是等差数列是解题的关键解析：17【分析】由11n n n a S S ++=-代入化简求得n S ，再结合求和方法计算可得结果. 【详解】因为1120n n n a S S +++= 所以1120n n n n S S S S ++-+= 所以112n n n n S S S S ++-= 所以1112n nS S +-= 又11113S a ==所以数列1n S ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是以3为首项，2为公差的等差数列， 所以()131221nn n S =+-⨯=+ 所以121n S n =+ 所以111111212322123n n S S n n n n +⎛⎫=⋅=- ⎪++++⎝⎭所以12239101111111111123557192123217S S S S S S ⎛⎫⎛⎫++⋅⋅⋅⋅⋅⋅+=-+-+⋅⋅⋅+-=-=⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ 故答案为：17【点晴】由11n n n a S S ++=-代入化简求得数列1n S ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是等差数列是解题的关键. 14．【分析】由变形可得进而由累乘法可得结合等比数列的性质即可得解【详解】根据题意数列满足即则有而数列为等比数列则则又由则故答案为：2【点睛】本题考查了等比数列的性质以及应用考查了累乘法求数列通项的应用及解析：【分析】 由1n n n a a b +=变形可得1n n n a b a +=，进而由累乘法可得202020192018201711ab b b b a =⋅⋅⋅⋅⋅，结合等比数列的性质即可得解. 【详解】根据题意，数列{}n b 满足1n n n a a b +=，即1n n na b a +=， 则有20202020201920182201920182017112019201820171a a a a ab b b b a a a a a ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=⋅⋅⋅⋅⋅=⋅⋅⋅⋅⋅ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭， 而数列{}n b 为等比数列，则()2019201920182017110101b b b b b ⋅⋅⋅⋅⋅==，则202011a a =， 又由12a =，则20202a =. 故答案为：2. 【点睛】本题考查了等比数列的性质以及应用，考查了累乘法求数列通项的应用及运算求解能力，属于中档题.15．320【分析】先求出等差数列的通项公式即可求出即可得通项再利用等比数列前项和公式求【详解】设等差数列的公差为则解得所以所以数列的公比为所以故答案为：320【点睛】本题主要考查了等比数列求和涉及等差数解析：320 【分析】先求出等差数列{}n a 的通项公式，即可求出1b ，2b ，即可得{}n b 通项，再利用等比数列前n 项和公式求4S【详解】设等差数列{}n a 的公差为d ，则2161850a a d a a d =+=⎧⎨=+=⎩，解得1102a d =⎧⎨=-⎩ ， 1(1)10(1)(2)212n a a n d n n =+-=+-⨯-=-+ ，所以128b a ==，2123108624b a a a =+=++=+， 所以数列{}n b 的公比q 为213b b = ， 所以448(13)32013S ⨯-==-.故答案为：320 【点睛】本题主要考查了等比数列求和，涉及等差数列通项公式，等比数列通项公式，属于基础题.16．2020【分析】当n 为偶数时可得出故偶数项是以2为首项公差为2的等差数列求出通项公式代值计算即可得解【详解】当n 为偶数时即故数列的偶数项是以2为首项公差为2的等差数列所以所以故答案为：2020【点睛解析：2020 【分析】当n 为偶数时，可得出22n n a a +=+，故偶数项是以2为首项，公差为2的等差数列，求出通项公式，代值计算即可得解. 【详解】 当n 为偶数时，2223cos 1sin 2cos 1cos 2222n n n n n n n a a a n a ππππ+-⎛⎫=+⋅+=⋅++=+ ⎪⎝⎭， 即22n n a a +=+，故数列{}n a 的偶数项是以2为首项，公差为2的等差数列， 所以2122n n a n ⎛⎫=+-⨯=⎪⎝⎭， 所以20202020a =. 故答案为：2020. 【点睛】本题考查数列的递推式，解题关键是得出当n 为偶数时，可得出2n a +与n a 的关系式，进而求出{}n a 的通项公式，考查逻辑思维能力和计算能力，属于常考题.17．【分析】利用等比中项列方程然后求得再利用裂项求和法求得数列的前项和【详解】依题意当时解得当时解得当时解得以此类推猜想下用数学归纳法证明：当时成立假设当时当时所以假设成立所以对任意（证毕）所以所以数列 解析：100101【分析】利用等比中项列方程，然后求得n a ，再利用裂项求和法求得数列{}n b 的前100项和. 【详解】依题意()21n n n S a S -=⋅，当1n =时，()22111a a -=，解得111212a ==⨯， 当2n =时，()()2122121a a a a a +-=⋅+，解得211623a ==⨯， 当3n =时，()()212331231a a a a a a a ++-=⋅++，解得3111234a ==⨯， 以此类推，猜想()11111n a n n n n ==-++，1111111223111n n S n n n n 1=-+-++-=-=+++. 下用数学归纳法证明： 当1n =时，1112S a ==成立. 假设当n k =时，1k k S k =+ 当1n k =+时，()21111k k k S a S +++-=⋅，()()21111k k k k S S S S +++-=-⋅，22111121k k k k k S S S S S ++++-+=-⋅，1121k k k S S S ++-+=-⋅，()121k k S S +⋅-=-，1122111k k k k S S k k ++--⎛⎫⋅-=⋅=- ⎪++⎝⎭，()111211k k k S k k +++==+++，所以假设成立.所以对任意*N n ∈，()11111n a n n n n ==-++，1n n S n =+.（证毕） 所以()11111(1)(21)(1)(21)(1)111n n n n n b n a n n n n n +++⎛⎫=-⋅+⋅-⋅+⎪==+⋅-⋅+ +⎝⎭，所以数列{}n b 的前100项和为111111111001122334100101101101⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫+-+++--+=-= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭. 故答案为：100101【点睛】本小题主要考查等比中项的性质，考查裂项求和法，属于中档题.18．【分析】依据等差数列通项及前n 项和公式求得等差数列{an}的基本量应用等差数列前n 项和公式表示出进而得到数列{}的通项并利用裂项法求前n 项和即可【详解】根据等差数列通项及前n 项和公式知解得∴由等差数 解析：1n n + 【分析】依据等差数列通项及前n 项和公式求得等差数列{a n }的基本量122a d =⎧⎨=⎩，应用等差数列前n项和公式表示出n S ，进而得到数列{1nS }的通项，并利用裂项法求前n 项和即可 【详解】根据等差数列通项及前n 项和公式，知2151451030a a d S a d =+=⎧⎨=+=⎩解得122a d =⎧⎨=⎩ ∴由等差数列前n 项和公式：22(1)n S n n n n n =+-=+，()n N +∈对于数列{1n S }有211111n S n n n n ==-++∴数列{1n S }的前n 项和1111111...1223111n n T nn n n故答案为：1nn + 【点睛】本题考查了等差数列，根据已知量，结合等差数列的通项公式和前n 项和公式列方程求基本量，进而得到其前n 项和公式，根据新数列与等差数列前n 项和的关系求得数列通项公式，结合裂项法得到新数列的前n 项和公式19．【分析】根据等比数列的性质得到成等比从而列出关系式又接着用表示代入到关系式中可求出的值【详解】因为等比数列的前n 项和为则成等比且所以又因为即所以整理得故答案为：【点睛】本题考查学生灵活运用等比数列的 解析：134【分析】根据等比数列的性质得到232,,n n n n n S S S S S --成等比，从而列出关系式，又634S S =，接着用6S 表示3S ，代入到关系式中，可求出96S S 的值. 【详解】因为等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，则232,,n n n n n S S S S S --成等比，且0n S ≠，所以6396363--=-S S S S S S S ，又因为634S S =，即3614=S S ，所以6696666141144--=-S S S S S S S ，整理得96134=S S . 故答案为：134. 【点睛】本题考查学生灵活运用等比数列的性质化简求值，是一道基础题。
(典型题)高中数学必修五第一章《数列》检测题(有答案解析)(1)
一、选择题1．记无穷数列{}n a 的前n 项12,,,n a a a …的最大项为n A ，第n 项之后的各项12,n n a a ++，···的最小项为n B ，令n n n b A B =-，若数列{}n a 的通项公式为2276n a n n =-+，则数列{}n b 的前10项和为（ ）A ．169-B ．134-C ．103-D ．78-2．某大楼共有12层，有11人在第一层上了电梯，他们分别要去第2至12层，每层1人，因特殊原因，电梯只能停在某一层，其余10人都要步行到所要去的楼层，假设初始的“不满意度”为0，每位乘客每向下步行一层的“不满意度”增量为1，每向上步行1层的“不满意度”增量为2，要使得10人“不满意度”之和最小，电梯应该停在第几层（ ） A ．7B ．8C ．9D ．103．设等差数列{}n a 前n 项和为n S ，等差数列{}n b 前n 项和为n T ，若11n n S n T n -=+．则55a b =（ ） A ．23B ．45C ．32D ．544．已知数列{}n a 中，其前n 项和为n S ，且满足2n n S a =-，数列{}2n a 的前n 项和为n T ，若20n n S T λ+>对*n N ∈恒成立，则实数λ的取值范围是（ ）A ．(3,)+∞B ．(1,3)-C ．93,5⎛⎫⎪⎝⎭D ．(1,)-+∞5．已知数列{}n a 中，13n n a S +=，则下列关于{}n a 的说法正确的是（ ） A ．一定为等差数列 B ．一定为等比数列C ．可能为等差数列，但不会为等比数列D ．可能为等比数列，但不会为等差数列6．记n S 为等比数列{}n a 的前n 项和.若2342S S S =+，12a =，则2a =（ ） A ．2B ．-4C ．2或-4D ．47．在等差数列｛a n ｝中，1233,a a a ++=282930165a a a ++=，则此数列前30项和等于（ ） A ．810B ．840C ．870D ．9008．已知等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，若123451111110a a a a a ++++=，则31a =，5S =（ ）A ．10B ．15C ．20D ．259．若a ，b 是函数()()20,0f x x px q p q =-+>>的两个不同的零点，a ，b ，2-这三个数适当排序后可成等比数列，点(),2a b 在直线2100x y +-=上，则p q +的值等于（ ） A ．6B ．7C ．8D ．910．已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，满足28a =-，390n S -=，228n S =，则n =（ ） A ．10B ．11C ．12D ．1311．设{}n a 为等差数列，122a =，n S 为其前n 项和，若1013S S =，则公差d =( ) A ．-2B ．-1C ．1D ．212．在1和19之间插入个n 数，使这2n +个数成等差数列，若这n 个数中第一个为a ，第n 个为b ，当116a b+取最小值时，n 的值是（ ） A ．4B ．5C ．6D ．7二、填空题13．数列{}n a 满足()()1232312n a a a na n n n ++++=++，则n a = __________.14．在各项均为正数的等比数列{}n a 中，公比()0,1q ∈，若355a a +=，264a a =，2log n n b a =，数列{}n b 的前n 项和为n S ，则数列n S n ⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项的和n T 为______.15．在各项均为正数的等比数列{}n a 中，公比()0,1q ∈.若355a a +=，264a a =，2log n n b a =，数列{}n b 的前n 项和为n S ，则当1212nS S S n+++取最大值时n 的值为______.16．已知递增等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，22a =，37S =，数列(){}2log 1+n S 的前n 项和为n T ，则122020111T T T +++=________.17．已知{}n a 为等差数列，其公差为2-，且7a 是3a 与9a 的等比中项，n S 为{}n a 的前n 项和，则10S 的值为__________．18．n S 为等差数列{}n a 的前n 项和，且11a =，621S =，记[]lg n n b a =，其中[]x 表示不超过x 的最大整数，如[]0.90=，[]lg991=，则数列{}n b 的前100项和为________．19．数列{}n a 中，若31()n na a n *+=∈N ，13a =，则{}n a 的通项公式为________. 20．已知数列{}n a 的通项公式为()12n n a n =+⋅，若不等式()2235n n n a λ--<-对任意*n N ∈恒成立，则整数λ的最大值为_____.三、解答题21．已知数列{}n a 为等差数列，23a =，前n 项和为n S ，数列{}n b 为等比数列，公比为2，且2354b S =，3216b S +=.（1）求数列{}n a 与{}n b 的通项公式；（2）设数列{}n c 满足n n n c a b =+，求数列{}n c 的前n 项和n T . 22．已知{}n a 为等差数列，数列{}n b 的前n 和为1128,22,10n S a b a a ==+=，___________.在①112n n S b =-，②2n a n b λ=这两个条件中任选其中一个，补充在上面的横线上，并完成下面问题的解答(如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分).（1）求数列{}n a 和{}n b 的通项公式； （2）求数列{}n n a b +的前n 项和n T . 23．设数列{}n a 满足()*122222n n a a a n n +++=∈N . （1）求数列{}n a 的通项公式；（2）求数列21n n a ⎧⎫-⎨⎬⎩⎭的前n 项和n T .24．已知{}n a 是等差数列，{}n b 是各项都为正数的等比数列，121a b ==，再从①2410a a +=；②244b b =；③45b a =这三个条件中选择___________，___________两个作为已知.（1）求数列{}n a 的通项公式； （2）求数列{}n b 的前n 项和.25．设等差数列{}n a 的首项1a 为()0a a >，其前n 项和为n S . （Ⅰ）若1S ，2S ，4S 成等比数列，求数列{}n a 的通项公式；（Ⅱ）若对任意的*n ∈N ，恒有0n S >，问是否存在()*2,k k k ≥∈N ，使得ln k S 、1ln k S +、2ln k S +成等比数列？若存在，求出所有符合条件的k 值；若不存在，请说明理由.26．已知数列{}n a 满足：12a =，()*112n n n a a n N n ++⎛⎫=∈ ⎪⎝⎭. （1）求数列{}n a 的通项公式； （2）求数列{}n a 的前n 项和n T ；（3）设2nn n b a =，数列{}n b 的前n 项和为n S ，求2n n S S -的最小值.【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题 1．A 解析：A 【分析】先利用单调性依次写出前几项，再根据规律求和即可. 【详解】数列{}n a 的通项公式为2276n a n n =-+，故从2a 起单调递增，且1231,0,3a a a ===， 所以11112101b A B a a =-=-=-=，22213b A B a a =-=-，33334b A B a a =-=-，44445b A B a a =-=-，…，1010101011b A B a a =-=-，又2112117116171a =⨯-⨯+=，所以数列{}n b 的前10项和为()()()()12101334451011...1...b b b a a a a a a a a +++=+-+-+-++-111111171169a a =+-=+-=-.故选：A. 【点睛】 关键点点睛：本题的解题关键在于发现数列从2a 起单调递增，才能依次确定{}n b 的项，找到规律，突破难点.2．C解析：C 【分析】根据题意，假设电梯所停的楼层，表达出“不满意度”之和，利用等差数列的求和公式即可求得结论． 【详解】解：设电梯所停的楼层是(212)n n ，则12(2)2[12(12)]S n n =++⋯+-+++⋯+- (2)(1)(12)(13)222n n n n ----=+⨯ 22235335353()157()157232624n n n =-+=--+ 开口向上，对称轴为5396x =≈， 故S 在9n =时取最小值239539314402min S ⨯-⨯+==．故选：C ． 【点睛】本题考查数列知识，考查函数思想的运用，考查计算能力，求得“不满意度”之和是关键．3．B解析：B 【分析】本题首先可令9n =，得出9945S T =，然后通过等差数列的性质得出959S a =以及959T b =，代入9945S T =中，即可得出结果. 【详解】 因为11n n S n T n -=+，所以99914915S T -==+， 因为n S 是等差数列{}n a 前n 项和，n T 是等差数列{}n b 前n 项和， 所以()1995992a a S a +==，()1995992b b T b +==， 则95959459S a T b ==，5545a b =， 故选：B. 【点睛】关键点点睛：本题考查等差数列的相关性质的应用，主要考查等差数列前n 项和公式以及等差中项的应用，若等差数列{}n a 前n 项和为n S ，则()12n n n a a S +=，当2m n k +=时，2m n k a a a +=，考查化归与转化思想，是中档题.4．D解析：D 【分析】由2n n S a =-利用1112n n n S n a S S n -=⎧=⎨-≥⎩ ，得到数列{}n a 是以1为首项，12为公比的等比数列，进而得到{}2n a 是以1为首项，14为公比的等比数列，利用等比数列前n 项和公式得到n S ，n T ，将20n n S T λ+>恒成立，转化为6321n λ-<-+，从而得出答案. 【详解】当1n =时，112S a =-，得 11a =；当2n ≥时，由2n n S a =-，得112n n S a --=-，两式相减得112n n a a -=， 所以数列{}n a 是以1为首项，12为公比的等比数列．因为112n n a a -=，所以22114n n a a -=．又211a =，所以{}2n a 是以1为首项，14为公比的等比数列，所以1112211212n n n S ⎛⎫- ⎪⎡⎤⎛⎫⎝⎭==-⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦-，11414113414nn n T ⎛⎫- ⎪⎡⎤⎛⎫⎝⎭==-⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦-， 由20n n S T λ+>，得()()321210nnλ-++>，所以()()321321663212121n nn n n λ-+--<==-+++， 所以6332121λ-<-=-=+， 所以1λ>-．综上，实数λ的取值范围是(1,)-+∞． 故选: D 【点睛】方法点睛：数列与不等式知识相结合的考查方式主要有三种： 一是判断数列问题中的一些不等关系； 二是以数列为载体，考查不等式的恒成立问题；三是考查与数列问题有关的不等式的证明．在解决这些问题时，往往转化为函数的最值问题.5．C解析：C 【分析】根据13n n a S +=得14n n S S +=，分类讨论当10S =和10S ≠两种情况分析得数列{}n a 可能为等差数列，但不会为等比数列. 【详解】解：13n n a S +=，13n n n S S S +∴=-， 14n n S S +∴=，若10S =，则数列{}n a 为等差数列；若10S ≠，则数列{}n S 为首项为1S ，公比为4的等比数列，114n n S S -∴=⋅，此时21134n n n n a S S S -==-⋅﹣（2n ≥），即数列从第二项起，后面的项组成等比数列.综上，数列{}n a 可能为等差数列，但不会为等比数列. 故选：C. 【点睛】本题考查等差数列、等比数列的判断，考查学生分析解决问题的能力，正确分类讨论是关键.6．B解析：B 【分析】利用等比数列的前n 项和公式求出公比，由此能求出结果． 【详解】∵n S 为等比数列{}n a 的前n 项和，2342S S S =+，12a =，∴()()()34212122211q q q qq--+=+--，解得2q =-，∴214a a q ==-，故选B ． 【点睛】本题主要考查等比数列的性质以及其的前n 项和等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．7．B解析：B 【解析】数列前30项和可看作每三项一组，共十组的和，显然这十组依次成等差数列，因此和为10(3165)8402+= ，选B. 8．A解析：A 【分析】对已知等式左侧的式子一、五两项，二、四两项分别通分，结合等比数列的性质再和第三项通分化简可得521234531111110S a a a a a a ++++==，结合3a 的值进而可得结果. 【详解】15123455242212345152433311111110a a a a a a a S a a a a a a a a a a a a a a ++++++++++=++===， 则510S =， 故选：A. 【点睛】本题主要考查了等比数列的性质，利用性质化简是解题的关键，属于中档题.9．D解析：D 【分析】由零点定义得,a b p ab q +==得0,0a b >>，因此2-只能是等比数列的中间项，从而得4ab =，由点(),2a b 在直线2100x y +-=上，得5a b +=，这样可得,p q 值．从而得出结论． 【详解】∵a ，b 是函数()()20,0f x x px q p q =-+>>的两个不同的零点，∴,a b p ab q +==，∴0,0a b >>，而a ，b ，2-这三个数适当排序后可成等比数列，只能是2-是,a b 的等比中项，即4ab =，点(),2a b 在直线2100x y +-=上，则22100a b +-=，得5a b +=， 由45ab a b =⎧⎨+=⎩，∴5,4p q ==，9p q +=．故选：D ． 【点睛】本题考查函数零点的概念，考查等比数列的定义，考查韦达定理，关键是由题意分析出0,0a b >>．10．C解析：C 【分析】根据数列是等差数列，结合等差数列的性质得313n n n S S a ---=，从而求得146n a -=，然后由121()()22n n n n a a n a a S -++==求解. 【详解】由题意得322890138n n S S --=-=， 所以13138n a -=. 所以146n a -=. 所以121()()1922822n n n n a a n a a S n -++====， 解得12n =. 故选：C 【点睛】本题主要考查等差数列的前n 项和公式和等差数列的性质的应用，属于中档题.11．A解析：A 【分析】由题意结合等差数列的性质和前n 项和的定义求解公差即可. 【详解】由题意可得：12111213131030a a a a S S =++=-=，则120a =，等差数列的公差121022212111a a d --===--. 本题选择A 选项. 【点睛】本题主要考查数列的前n 项和与通项公式的关系，等差数列公差的计算等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.12．B解析：B 【分析】设等差数列公差为d ,可得20a b +=,再利用基本不等式求最值,从而求出答案. 【详解】设等差数列公差为d ,则119a d b d =+=-，,从而20a b +=, 此时0d >,故0,0a b >>,所以11616()()1161725b a a b a b a b ++=+++≥+=, 即116255204a b +=,当且仅当16b aa b =,即4b a =时取“=”, 又1,19a d b d =+=-,解得3d =,所以191(1)3n =++⨯,所以5n =, 故选:B . 【点睛】本题主要考查数列和不等式的综合运用,需要学生对所学知识融会贯通,灵活运用.二、填空题13．【分析】对递推关系多递推一次再相减可得再验证是否满足；【详解】∵①时②①-②得时满足上式故答案为：【点睛】数列中碰到递推关系问题经常利用多递推一次再相减的思想方法求解 解析：31n【分析】对递推关系多递推一次，再相减，可得31n a n ，再验证1n =是否满足；【详解】 ∵()()1232312n a a a na n n n ++++=++①2n ∴≥时，()()()123123111n a a a n a n n n -++++-=-+② ①-②得31,31n nna n n a n ，1n =时，1123=6,a 满足上式，31na n .故答案为：31n . 【点睛】数列中碰到递推关系问题，经常利用多递推一次再相减的思想方法求解.14．【分析】首先利用方程组求出数列的通项公式进一步求出数列的通项公式进一步利用分类讨论思想的应用求出数列的和【详解】解：各项均为正数的等比数列中若所以由于公比解得所以解得所以由于所以则当时当时所以故答案解析：()()2217941714494n n n n T n n n ⎧-≤⎪⎪=⎨-+⎪>⎪⎩【分析】首先利用方程组求出数列{}n a 的通项公式，进一步求出数列{}n b 的通项公式，进一步利用分类讨论思想的应用求出数列的和. 【详解】解：各项均为正数的等比数列{}n a 中，若355a a +=，264a a =，所以35352654a a a a a a +=⎧⎨==⎩，由于公比()0,1q ∈，解得3541a a =⎧⎨=⎩，所以253a a q =，解得12q =. 所以55512n n n a a q --⎛⎫=⋅= ⎪⎝⎭.由于5221log log 52n n n b a n -⎛⎫===- ⎪⎝⎭.所以()()45922n n n n n S +--==， 则()9292n n n n S n c nn--===， 当9n ≤时，()212171744n n n n n n T c c c --=+++==. 当9n >时，()()212910*********24n n n n n T c c c c c c c c c c -+=+++---=++-+++=. 所以()()2217941714494n n n n T n n n ⎧-≤⎪⎪=⎨-+⎪>⎪⎩. 故答案为：()()2217941714494n n n n T n n n ⎧-≤⎪⎪=⎨-+⎪>⎪⎩【点睛】本题考查等比数列的通项公式，等差数列的前n 项和公式，考查分类讨论思想和数学运算能力，是中档题.15．8或9【分析】根据等差等比数列的通项公式先求出数列和的通项公式再结合等差数列的求和公式求得进而得到再结合数列取值即可求解【详解】各项均为正数的等比数列中若所以解得所以解得或因为所以所以又由所以则当时解析：8或9 【分析】根据等差、等比数列的通项公式，先求出数列{}n a 和{}n b 的通项公式，再结合等差数列的求和公式，求得()92n n n S -=，进而得到92n nc -=，再结合数列{}n c 取值，即可求解.【详解】各项均为正数的等比数列{}n a 中，若355a a +=，264a a =，所以35352656a a a a a a +=⎧⎨==⎩，解得3541a a =⎧⎨=⎩，所以253a a q =，解得12q =或12q =-，因为()0,1q ∈，所以12q =， 所以55512n n n a a q --⎛⎫=⋅= ⎪⎝⎭.又由5221log log 52n n n b a n -⎛⎫===- ⎪⎝⎭.所以()()45922n n n n n S +--==，则92n n S nc n -==， 当9,n n N +<∈时，902n nc -=>；当9n =时，0n c =；当10,n n N +>∈时，0n c <，故当8n =或9n =时，1212nS S S n+++取最大值. 故答案为：8或9. 【点睛】本题主要考查了等差、等比数列的通项公式，以及等差数列的前n 项和公式的应用，其中解答中熟记等差、等比数列的通项公式，以及等差数列的求和公式，准确计算是解答解答的关键，着重考查推理与运算能力.16．【分析】首先根据等比数列的性质得到从而得到利用等差数列的求和公式得到再利用裂项法求的值即可【详解】因为所以即解得或又因为数列为递增数列所以所以因为所以故故答案为：【点睛】本题主要考查等差等比数列的求 解析：40402021【分析】首先根据等比数列的性质得到21nn S =-，从而得到()2log 1+=n S n ，利用等差数列的求和公式得到()12n n n T +=，再利用裂项法求122020111+++T T T 的值即可.【详解】因为22a =，37S =， 所以31232227S a a a q q=++=++=，即22520q q -+=， 解得12q =-或2q .又因为数列{}n a 为递增数列，所以2q.所以11a =，122112nn n S -==--.因为()22log 1log 2+==nn S n ，()1122…+=+++=n n n T n ，所以()1211211⎛⎫==- ⎪++⎝⎭n T n n n n . 故122020111111112122320202021⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫+++=-+-++- ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦T T T 140402*********⎛⎫=-=⎪⎝⎭故答案为：40402021【点睛】本题主要考查等差、等比数列的求和公式，同时考查裂项法求和，属于中档题.17．110【分析】根据题意求出首项再代入求和即可得【详解】是与的等比中项解得故答案为：110【点睛】本题主要考查等差数列等比数列的通项公式及等差数列求和是基础题解析：110 【分析】根据题意，求出首项120a =，再代入求和即可得． 【详解】31124a a d a =+=-，711612a a d a =+=-，911816a a d a =+=-，7a 是3a 与9a 的等比中项，()()2111(12)416a a a ∴-=--，解得120a =，()101102010921102S ∴=⨯+⨯⨯⨯-=．故答案为：110． 【点睛】本题主要考查等差数列、等比数列的通项公式及等差数列求和，是基础题．18．92【分析】设的公差为d 由解得则然后由分和三种情况求解【详解】设的公差为d 所以解得∴记的前n 项和为则当时当时当即时∴故答案为：92【点睛】本题主要考查等差数列的基本运算和数列求和以及取整函数的应用还解析：92 【分析】设{}n a 的公差为d ，由11a =，621S =，解得1d =，则n a n =，然后由[]lg n n b a =，分0lg 1n a ≤<， 1lg 2n a ≤<和 lg 2n a =三种情况求解.【详解】设{}n a 的公差为d ，()6166212s a a =+=， 所以167a a +=， 解得1d =， ∴n a n =，记{}n b 的前n 项和为n T ，则[][][]1001210012100lg lg lg T b b b a a a =++⋯+=++⋯+， 当0lg 1n a ≤<时，1,2,9n =⋅⋅⋅，0n b =， 当1lg 2n a ≤<时，10,11,99n =⋅⋅⋅，1n b =， 当lg 2n a =，即100n a =时，2n b = ∴10009190292T =⨯+⨯+=．故答案为：92 【点睛】本题主要考查等差数列的基本运算和数列求和以及取整函数的应用，还考查了运算求解的能力，属于中档题.19．【分析】两边取对数化简整理得得到数列是以为首项公比为3的等比数列结合等比数列的通项公式即可求解【详解】由两边取对数可得即又由则所以数列是以为首项公比为3等比数列则所以故答案为：【点睛】本题主要考查了 解析：133()n n a n -*=∈N【分析】两边取对数，化简整理得313log 3log n na a +=，得到数列3{log }n a 是以1为首项，公比为3的等比数列，结合等比数列的通项公式，即可求解. 【详解】由31()n na a n *+=∈N ，两边取对数，可得313log 3log n n a a +=，即313log 3log n na a +=， 又由13a =，则31log 1a =，所以数列3{log }n a 是以31log 1a =为首项，公比为3等比数列，则113log 133n n n a --=⋅=，所以133()n n a n -*=∈N . 故答案为：133()n n a n -*=∈N 【点睛】本题主要考查了对数的运算性质，以及等比数列的通项公式的求解，其中解答中合理利用对数的运算性质，结合等比数列的通项公式求解是解答的关键，着重考查推理与运算能力.20．4【分析】根据题意等价变形得对任意恒成立再求数列的最大值即可得答案【详解】解：∵∴不等式等价于记∴时即时数列单调递减又∵∴∴即∴整数的最大值为4故答案为：4【点睛】本题考查根据数列不等式恒成立求参数解析：4 【分析】根据题意等价变形得2352nn λ-->对任意*n N ∈恒成立，再求数列232nn n b -=的最大值即可得答案. 【详解】解：∵()102nn a n =+⋅>，∴不等式()2235n n n a λ--<-等价于2352nn λ-->，记232n nn b -=，112121223462n n nnn b n n b n ++--==--， ∴3n ≥时，11n nb b +<，即3n ≥时数列单调递减， 又∵ 1211,24b b =-=， ∴ ()3max 38n b b ==， ∴358λ->，即337588λ<-=，∴整数λ的最大值为4. 故答案为：4. 【点睛】本题考查根据数列不等式恒成立求参数，考查化归转化思想，是中档题.三、解答题21．（1）21n a n =-，132n n b -=⋅；（2）2323n n T n =⨯+-.【分析】（1）设等差数列{}n a 的公差为d ，根据已知条件求出d 、2b 的值，进而可求得数列{}n a 与{}n b 的通项公式；（2）求出数列{}n c 的通项公式，利用分组求和法可求得n T . 【详解】（1）设等差数列{}n a 的公差为d ，则()13323392a a S a +===，23546b S ∴==，则32212b b ==， 由3216b S +=可得2122264S a a a d d =+=-=-=，2d ∴=，因此，()()2232221n a a n d n n =+-=+-=-，221226232n n n n b b ---=⨯=⨯=⋅；（2）12132n n n n c a b n -=+=-+⋅，()()()()01211323325322132n n T n -⎡⎤∴=+⋅++⨯++⨯++-+⨯⎣⎦()()121135213323232n n -=++++-++⨯+⨯++⨯⎡⎤⎣⎦()()2312121323212nnn n n ⨯-+-=+=⨯+--.【点睛】方法点睛：数列求和的常用方法：（1）对于等差等比数列，利用公式法直接求和；（2）对于{}n n a b 型数列，其中{}n a 是等差数列，{}n b 是等比数列，利用错位相减法求和；（3）对于{}n n a b +型数列，利用分组求和法； （4）对于11n n a a +⎧⎫⎨⎬⎩⎭型数列，其中{}n a 是公差为()0d d ≠的等差数列，利用裂项相消法求和.22．条件选择见解析；（1）n a n =，2nn b =；（2）212222n n n n T +=-++.【分析】选①（1）由等差数列的基本量法求出公差d 后可得通项公式n a ，再利用1(2)n n n b S S n -=-≥确定数列{}n b 是等比数列，从而得出通项公式n b ；（2）用分组（并项）求和法求和．选②（1）由等差数列的基本量法求出公差d 后可得通项公式，由112a b λ=求得λ，从而得通项公式n b ，并并确定其是等比数列； （2）用分组（并项）求和法求和． 【详解】 解：选①解：（1）设等差数列{}n a 的公差为d ，1281122,10,2810,1,1a a a a d a d =+=∴+=∴==， 1(1)1n a n n ∴=+-⨯=，由112n n S b =-，得()21n n S b =-， 当2n ≥时，()()112121n n n n n b S S b b --=-=---，即12n n b b -=，所以{}n b 是一个以2为首项，2为公比的等比数列.1222n n n b -∴=⨯=.（2）由（1）知2nn n a b n +=+，()()()1212222n n T n ∴=++++++，()12(12)222n n T n =+++++++，()21212(1)2221222nn n n n n n T +-+∴=+=-++-. 选②解：（1）设等差数列{}n a 的公差为d ，1281122,10,2810,1,1a a a a d a d =+=∴+=∴==， 1(1)1n a n n ∴=+-⨯=. 112,1,2n a n b a b λ===，令1n =，得112a b λ=，即22,1λλ=∴=，22n a n n b ∴==.（2）解法同选①的第（2）问解法相同. 【点睛】方法点睛：本题考查求等差数列和等比数列的通项公式，考查分组（并项）求和法． 数列求和的常用方法：设数列{}n a 是等差数列，{}n b 是等比数列，（1）公式法：等差数列或等比数列的求和直接应用公式求和； （2）错位相减法：数列{}n n a b 的前n 项和应用错位相减法； （3）裂项相消法；数列1{}n n ka a +（k 为常数，0n a ≠）的前n 项和用裂项相消法； （4）分组（并项）求和法：数列{}n n pa qb +用分组求和法，如果数列中的项出现正负相间等特征时可能用并项求和法；（5）倒序相加法：满足m n m a a A -+=（A 为常数）的数列，需用倒序相加法求和．23．（1）2nn a =；（2）2332n nn T +=-. 【分析】 （1）当2n ≥时，112211222n n a a a n --+++=-与已知条件两式相减可得2n n a =，再令1n =，计算1a 即可求解；（2）由（1）得2nn a =，所以22211n n n n a --=，再利用乘公比错位相见即可求和. 【详解】（1）数列{}n a 满足122222n n a a a n +++= 当2n ≥时，112211222n n a a a n --+++=- 两式作差有12n na =，所以2nn a = 当1n =时，12a =，上式也成立所以2nn a =（2）22211n n n n a --= 则211113(21)222nn T n ⎛⎫⎛⎫=⨯+⨯++-⨯ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，231111113(21)2222n n T n +⎛⎫⎛⎫⎛⎫=⨯+⨯++-⨯ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，()()()2311111111111111131421221221231222222222212nn n n n n T n n n ++-+⎛⎫- ⎪⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎝⎭=⨯+++⋯+--⨯=+⨯--=-+⨯⎢⎥ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎣⎦-所以2332n nn T +=-. 【点睛】方法点睛：数列求和的方法（1）倒序相加法：如果一个数列{}n a 的前n 项中首末两端等距离的两项的和相等或等于同一个常数，那么求这个数列的前n 项和即可以用倒序相加法（2）错位相减法：如果一个数列的各项是由一个等差数列和一个等比数列的对应项之积构成的，那么这个数列的前n 项和即可以用错位相减法来求；（3）裂项相消法：把数列的通项拆成两项之差，在求和时，中间的一些项可相互抵消，从而求得其和；（4）分组转化法：一个数列的通项公式是由若干个等差数列或等比数列或可求和的数列组成，则求和时可用分组转换法分别求和再相加减；（5）并项求和法：一个数列的前n 项和可以两两结合求解，则称之为并项求和，形如()()1nn a f n =-类型，可采用两项合并求解.24．答案见解析 【分析】（1）根据题设条件可得关于基本量的方程组，求解后可得{}n a 的通项公式. （2）利用公式法可求数列{}n b 的前n 项和. 【详解】解：选择条件①和条件②（1）设等差数列{}n a 的公差为d ，∴12411,2410.a a a a d =⎧⎨+=+=⎩解得：11a =，2d =.∴()11221n a n n =+-⨯=-，*N n ∈. （2）设等比数列{}n b 的公比为q ，0q >，∴21242411, 4.b b q b b b q ==⎧⎨==⎩解得112b =，2q .设数列{}n b 的前n 项和为n S ，∴()1112122122nn n S --==--. 选择条件①和条件③：（1）设等差数列{}n a 的公差为d ，∴12411,2410.a a a a d =⎧⎨+=+=⎩解得：11a =，2d =.∴()11221n a n n =+-⨯=-. （2）459b a ==，设等比数列{}n b 的公比为q ，0q >. ∴213411,9.b b q b b q ==⎧⎨==⎩，解得113b =，3q =. 设数列{}n b 的前n 项和为n S ，∴()1113313136nn n S ---==-. 选择条件②和条件③：（1）设等比数列{}n b 的公比为q ，0q >， ∴21242411, 4.b b q b b b q ==⎧⎨==⎩，解得112b =，2q ，5431242a b =⨯==. 设等差数列{}n a 的公差为d ，∴5144a a d =+=，又11a =，故34d =. ∴()33111444n a n n =+-⨯=+. （2）设数列{}n b 的前n 项和为n S ，由（1）可知()1112122122n n n S --==--. 【点睛】方法点睛：等差数列或等比数列的处理有两类基本方法：（1）利用基本量即把数学问题转化为关于基本量的方程或方程组，再运用基本量解决与数列相关的问题；（2）利用数列的性质求解即通过观察下标的特征和数列和式的特征选择合适的数列性质处理数学问题． 25．（Ⅰ）0d =时，n a a =；2d a =时，2n a an a =-；（Ⅱ）不存在，理由见解析. 【分析】（Ⅰ）根据等差数列写出(1)2n n n dS na -=+，利用等比中项性质列式代入求解；（2）设存在()*2,k k k ≥∈N ，根据等比中项列式，整理化简之后分类讨论0d =与0d >是否成立. 【详解】（Ⅰ）因为1S ，2S ，4S 成等比数列，所以2214S S S ，又因为数列{}n a 是等差数列，首项1a 为()0a a >，所以(1)2n n n d S na -=+，则()()2246a d a a d +=+，可得0d =或2d a =，当0d =时，n a a =；当2d a =时，2(1)2n a a n a an a =+-=-.（Ⅱ）设存在()*2,k k k ≥∈N，使ln kS、1ln k S +、2ln k S +成等比数列，则122ln l ln n k k k S S S ++=⋅，对任意的*n ∈N ，恒有0n S >，首项0a >，所以0d ≥因为()22222ln ln ln ln ln 22k k k k k k S S S S S S +++⋅⎡⎤+⎡⎤⋅<=⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦()()()22211121112ln ln 22k k k k k k k k S dS a a S a S a ++++++++⎡⎤+--+⎡⎤⎢⎥==⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦， 当0d =时，()()()2222222111211+121ln ln ln ln 222k k k k k k k k S dS a a S a S S +++++++⎡⎤⎡⎤⎡⎤+--⎢⎥⎢⎥⎢⎥=<=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦即122ln l ln n k k k S S S ++>⋅，不成立；当0d >时，()()()2222222111211+121ln ln ln ln 222k k k k k k k k k S dS a a SdS a S S +++++++⎡⎤⎡⎤⎡⎤+-+-⎢⎥⎢⎥⎢⎥=<=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦， 即122ln l ln n k k k S S S ++>⋅，不成立；综上，不存在()*2,k k k ≥∈N ，使得ln kS、1ln k S +、2ln k S +成等比数列.【点睛】关于等比中项性质的运用，需要注意,,a b c 三个数成等比数列，列式得2b ac =，然后再根据数列是等差还是等比数列化为基本量1,a d 或1,a q 计算.26．（1）2nn a n =⋅；（2）()1122n n T n +=-⋅+；（3）12. 【分析】（1）利用累乘法可求得数列{}n a 的通项公式； （2）利用错位相减法可求得数列{}n a 的前n 项和n T ；（3）令2n n n c S S =-，分析数列{}n c 的单调性，由此可求得2n n S S -的最小值. 【详解】（1）数列{}n a 满足：12a =，()*112n n n a a n N n ++⎛⎫=∈ ⎪⎝⎭，则2140a a =>，323202a a =⨯>，，以此类推，对任意的n *∈N ，0n a >， 由已知条件可得()121n n n a a n++=， 3211212223222121n n n n a a a n a a n a a a n -⨯⨯=⋅⋅⋅⋅=⨯⨯⨯⨯=⋅-； （2）1231222322n n T n =⨯+⨯+⨯++⨯，()23121222122n n n T n n +=⨯+⨯++-⨯+⨯，上式-下式得()()2311121222222212212n n n n n n T n n n +++--=++++-⋅=-⋅=-⋅--， 因此，()1122n n T n +=-⋅+；（3）21n n n b a n ==，则111123n S n =++++， 令2n n n c S S =-，则()()()()122122221n n n n n n n n n n c c S S S S S S S S +++++-=---=---()()11111102221121222122n n n n n n n =+-=-=>+++++++，则1n n c c +>， 则数列{}n c 为单调递增数列，所以，数列{}n c 的最小值为12112c S S =-=. 【点睛】方法点睛：数列求和的常用方法：（1）对于等差等比数列，利用公式法直接求和；（2）对于{}n n a b 型数列，其中{}n a 是等差数列，{}n b 是等比数列，利用错位相减法求和；（3）对于{}n n a b +型数列，利用分组求和法；（4）对于11n n a a +⎧⎫⎨⎬⎩⎭型数列，其中{}n a 是公差为()0d d ≠的等差数列，利用裂项相消法求和.。
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高二数学必修五第一章数列练习题（有答案和解释）
课时作业（一）一、选择题 1．下列解析式中不是数列1，－1，1，－1，1，…的通项公式的是( ) 【解析】A中当n＝1时，a1＝－1，n＝2时，a2＝1，显然不是数列1，－1，1，－1，1，…的通项公式．【答案】 A 2．已知数列{an}的通项公式是an＝n2＋2，则其第3、4项分别是( ) A．11，3 B．11，15 C．11，18 D．13，18 【解析】a3＝32＋2＝11，a4＝42＋2＝18. 【答案】 C 3．已知数列1，3，5，7，…，2n－1，…则35是它的( ) A．第22项B．第23项 C．第24项 D．第28项【解析】令2n－1＝35，解得n＝23. 【答案】 B 4．下列四个数中，是数列{n(n＋1)}中的一项的是( ) A．380 B．39 C．32 D．23 【解析】分别令n(n＋1)＝380，39，32，23解出n∈N＋即可，验证知n＝19时，19×20
＝380. 【答案】 A 5．(2013•德州高二检测)数列－13×5，25×7，－37×9，49×11，…的通项公式an为( ) A．(－1)n＋11（2n
＋1）（2n＋3） B．(－1)n＋1n（2n＋1）（2n＋3） C．(－1)n1（2n ＋1）（2n＋3） D．(－1)nn（2n＋1）（2n＋3）【解析】观察式子的分子为1，2，3，4，…，n，…，分母为3×5，5×7，7×9，…，(2n＋1)(2n＋3)，…，而且正负间隔，故通项公式an＝(－1)nn（2n ＋1）（2n＋3）. 【答案】 D 二、填空题 6．数列35，12，511，37，717，…的一个通项公式是________．【解析】数列35，12，511，37，717，…即数列35，48，511，614，717，…，故an＝n＋23n＋2. 【答案】an＝n＋23n＋2 7．已知数列{an}的通项公式an ＝－n2＋7n＋9，则其第3、4项分别是________、________．【解析】a3＝－32＋7×3＋9＝21，a4＝－42＋7×4＋9＝21. 【答案】21 21 8．已知曲线y＝x2＋1，点(n，an)(n∈N＋)位于该曲线上，则a10＝________．【解析】∵点(n，an)位于曲线y＝x2＋1上，∴an＝n2＋1，故a10＝102＋1＝101. 【答案】101 三、解答题 9．根据数列的前几项，写出下列各数列的一个通项公式． (1)－1，7，－13，19，… (2)0.8，0.88，0.888，… (3)12，14，－58，1316，－2932，6164，… 【解】(1)符号可通过(－1)n表示，后面的数的绝对值总比前面的数的绝对值大6，故通项公式为an＝(－1)n•(6n
－5)． (2)将数列变形为89(1－0.1)，89(1－0.01)，89(1－0.001)，…，∴an＝89(1－110n)． (3)各项的分母分别为21，22，23，24，…，易看出第2，3，4项的分子分别比分母少3.因此把第1项变为－2－32. 原数列可化为－21－321，22－322，－23－323，24－324，…，∴an＝(－1)n•2n－32n. 10．已知数列{an}中，a1＝2，a17＝66，通项公式是项数n的一次函数． (1)求数列{an}的通项公式； (2)88
是否是数列{an}中的项？【解】(1)设an＝an＋b.∴a1＝a＋b＝2，① a17＝17a＋b＝66.② ②－①，得16a＝64，∴a＝4，b＝－2. ∴an ＝4n－2(n∈N＋)． (2)令4n－2＝88⇒4n＝90,n＝452∉N＋，∴88
不是数列{an}中的项．
11．如图1－1－3所示，有n(n≥2)行n＋1列的士兵方阵：(1)写出一个数列，用它表示当n分别为2，3，4，5，6，…时方阵中的士兵人数．
图1－1－3 (2)说出(1)中数列的第5，6项，用a5，a6表示； (3)
若把(1)中的数列记为{an}，求该数列的通项公式an； (4)求a10，
并说明a10所表示的实际意义．【解】(1)当n＝2时，表示士兵
的人数为2行3列，人数为6；当n＝3时，表示3行4列，人数为12，依此类推，故所求数列为6，12，20，30，42，…. (2)方阵的
行数比数列的序号大1，因此第5项表示的是6行7列，第6项表示
7行8列，故a5＝42，a6＝56. (3)根据对数列的前几项的观察、归纳，猜想数列的通项公式．前4项分别为：6＝2×3，12＝3×4，20＝4×5，30＝5×6 因此an＝(n＋1)(n＋2)． (4)由(3)知a10＝
11×12＝132，a10表示11行12列的士兵方阵中士兵的人数．。