4-固体物理学习题解答(完整版)

《固体物理学》部分习题参考解答

第一章

1.1 有许多金属即可形成体心立方结构，也可以形成面心立方结构。从一种结构转变为另一种结构时体积变化很小.设体积的变化可以忽略，并以R f 和R b 代表面心立方和体心立方结构中最近邻原子间的距离，试问R f /R b 等于多少？

答：由题意已知，面心、体心立方结构同一棱边相邻原子的距离相等，都设为a ：

对于面心立方，处于面心的原子与顶角原子的距离为：R f

=

2 a

对于体心立方，处于体心的原子与顶角原子的距离为：R b

=2

a

那么，

R f R b

3

1.2 晶面指数为（123）的晶面ABC 是离原点O 最近的晶面，OA 、OB 和OC 分别与基失a 1，a 2和a 3重合，除O 点外，OA ，OB 和OC 上是否有格点？若ABC 面的指数为（234），情况又如何？

答：根据题意，由于OA 、OB 和OC 分别与基失a 1，a 2和a 3重合，那么 1.3 二维布拉维点阵只有5种，试列举并画图表示之。

答：二维布拉维点阵只有五种类型：正方、矩形、六角、有心矩形和斜方。分别如图所示：

1.4 在六方晶系中，晶面常用4个指数（hkil ）来表示，如图所示，前3个指数表示晶面族中最靠近原点的晶面在互成120°的共平面轴a 1，a 2，a 3上的截距a 1/h ，a 2/k ，a 3/i ，第四个指数表示该晶面的六重轴c 上的截距c/l.证明：i=-（h+k ） 并将下列用（hkl ）表示的晶面改用（hkil ）表示：（001）(133)(110)(323)（100）（010）(213)

答：证明

设晶面族（hkil ）的晶面间距为d ，晶面法线方向的单位矢量为n °。因为晶面族（hkil ）中最靠近原点的晶面ABC 在a 1、a 2、a 3轴上的截距分别为a 1/h ，a 2/k ，a 3/i ，因此

123o

o o a n hd

a n kd a n id

=== ……… (1) 正方 a=b a ^b=90° 六方 a=b a ^b=120° 矩形 a ≠b a ^b=90° 带心矩形 a=b a ^b=90° 平行四边形 a ≠b a ^b ≠90°

由于a 3=–（a 1+ a 2）

313()o

o

a n a a n =-+

把（1）式的关系代入，即得

()id hd kd =-+ ()i h k =-+

根据上面的证明，可以转换晶面族为 （001）→（0001），(

13)→(1323)，(110)→(1100)，(323)→(3213)，（100）→(1010)，

（010）→(0110)，(213)→(2133)

1.5 如将等体积的硬球堆成下列结构，求证球可能占据的最大面积与总体积之比为（1）简立

方：

6

π

（28

（3）面心立方：

6

（4）六方密堆积：

6

（5）金刚石：

16

。

答：令Z 表示一个立方晶胞中的硬球数，Ni 是位于晶胞内的球数，Nf 是在晶胞面上的球数，Ne 是在晶胞棱上的球数，Nc 是在晶胞角隅上的球数。于是有：

11124

8

i f

e c Z N N

N N =+

+

+

边长为a 的立方晶胞中堆积比率为

33

4*

3

r F Z a

π

=

假设硬球的半径都为r ，占据的最大面积与总体积之比为θ，依据题意 （1）对于简立方，晶胞中只含一个原子，简立方边长为2r ，那么： θ=

3

34/3(2)

r r π=

6

π

（2）对于体心立方，晶胞中有两个原子，其体对角线的长度为4r

，那么：

θ=

3

8

（3）对于面心立方，晶胞中有四个原子，面对角线的长度为4r ，则其边长为r ，那么：

θ= 3

6

（4）对于六方密堆积

一个晶胞有两个原子，其坐标为（000）（1/3，2/3，1/2），在理想的密堆积情况下，密排六方结构中点阵常数与原子半径的关系为a=2r ，因此

θ

3

42()

2

r π⨯

=6

（5）对于金刚石结构

Z=8 8r =

那么33

3

44*

83

3

8

r F Z a

π

π==⨯

⨯

=

16

.

1.6 有一晶格，每个格点上有一个原子，基失（以nm 为单位）a=3i ，b=3j ，c=1.5（i+j+k ），此处i ，j ，k 为笛卡儿坐标系中x ，y ，z 方向的单位失量.问： （1）这种晶格属于哪种布拉维格子？

（2）原胞的体积和晶胞的体积各等于多少？ 答：（1）因为a=3i ，b=3j ，而c=1.5（i+j+k ）=1/2（3i+3j+3k ）=1/2（a+b+c ′）式中c ′=3c 。

显然，a 、b 、c ′构成一个边长为3*10-10

m 的立方晶胞，基矢c 正处于此晶胞的体心上。因此，所述晶体属于体心立方布喇菲格子。

（2）晶胞的体积= c (a b)'⨯ = 3k (3i 3j)⨯ =27*10-30(m 3

)

原胞的体积=c (a b)⨯ =

1(333)(33)2

i j k i j +++ =13.5*10-30(m 3

) 1.7

六方晶胞的基失为：2

2

a a j =+

，2

2

a b ai j =-+，c ck =

求其倒格子基失，并画出此晶格的第一布里渊区. 答：根据正格矢与倒格矢之间的关系，可得： 正格子的体积Ω=a·（b*c ）

=

2

2c

那么，倒格子的基矢为12()

b c b π⨯=

Ω

2j a

π=

+

，22()

c a b π⨯=

Ω

2j a

π=-

+

，

32()

a b b π⨯=

Ω

2k c

π=

其第一布里渊区如图所示：

1.8 若基失a ，b ，c 构成正交晶系，求证：晶面族（hkl ）的面间距为

hkl d =

答：根据晶面指数的定义，平面族（hkl ）中距原点最近平面在三个晶轴a 1，a 2，a 3上的截距