图形切拼
五年级奥数专题10：图形的切拼
十图形的切拼（A）年级班姓名得分一、填空题1. 用24块面积都是1平方分米的木块,拼成的长方形（不含正方形）中,最小的周长是______分米.2. 如图长方形纸片,假如按图中所示剪成四块,这四块纸片可拼成一个正方形.那么所拼成的正方形的边长是______厘米.3. 左下图是两个由同样大的小方格组成的图形.我们可以用不同的方法把这两块图形拼成一个轴对称图形.例如右下图就是这样的轴对称图形,沿虚线折叠后,虚线两边的图形就完全重合了.那么符合要求的拼法一共有______种.4. 在下列图形中,图形A可以用6个如的图形组成.问:在其余的图形中,哪几个也可以用6个如的图形组成?答______.5. 如图“L”形,是由4个1平方厘米的小正方形组成,现用这样的“L”形拼成一个正方形(要求无重叠,无空格地拼),最少要用______个这样的“L”形,这个正方形的边长是______厘米.如果用这样的“L”形拼成一个长方形,最少要用______个这样的“L”形,这个长方形的长是______厘米,宽是______厘米.6. 下面5个图形都具有两个特点:由4个连在一起的同样大小的正方形组成;每个小正方形至少和另一个小正方形有一条公共边.我们把具有以上两个特点的图形叫做“俄罗斯方块”.如果把某个俄罗斯方块在平面上旋转后与另一个俄罗斯方块相同(比如上面图中的B与E),那么这两个俄罗斯方块只算一种.除上面4种外,还有______种俄罗斯方块.7. 用方格纸剪成面积是4的图形,其形状只能有以下七种:(1)如果用其中的四种拼成一个面积是16的正方形,那么四种图形的编号和最小值是(2)如果只用其中的一种图形拼成面积是16的正方形,那么可以用的图形共有______种.8. 在下列(1)号、(2)号、(3)号、(4)号四个图形中,和拼成的的图形是______.9. 设右图的周长是56厘米,则其面积是______平方厘米.10. 三种塑料板的型号如下:己有A型板30块,要购买CB,两种型号板若干,拼成5×5正方形10个.B型板每块价格5元, C型板每块价格为4元.请你考虑要各买多少个,使所花的总钱数尽可能少.那么购买CB,两种板要花______元.二、解答题11. 将一个4×9的长方形分成两块,然后拼成一个正方形.12. 将如下图形所示的一些小图形拼成一个正方形.13. 将下图中“8级阶梯”切成三块,然后拼成一个正方形.14. 下面是俄罗斯方块中的七个图形:请你用它们拼出(A)图,再用它们拼出(B)图(每块只能用一次,并且不准翻过来用).如果能拼出来,就在图形上画出拼法,并写明七个图形的编号;如果不能拼出来,就说明理由.十图形的切拼(B)年级班姓名得分一、填空题1. 下面的十个图形都是由六个面积为1平方厘米的小正方形拼成的,但是周长却不完全相同,周长等于12厘米的图形有______个.2. 如图左图是常见的一副七巧板的图;右图是用这副七巧板的七块拼组而成的小房子图.那么,第2块板的面积是整幅图的面积的______;第4块板与第7块面积之和是整幅图的面积的______.3. 明华用下列图形中的四个拼成一个4×4的正方形,他用的图形中有三个是FC,和G形.那么.在剩余的图形中______可能是第四个.4. 把右图剪成两块,使它能拼成一个正方形.(先在图中标出沿哪条线剪开然后在旁边画出这两块是怎样拼成正方形的图)5. 有8块长2厘米,宽1厘米的长方形纸板,2块竖着摆,6块横着摆,拼成一个16平方厘米的正方形,有______种不同的拼法.6. 将边长分别是3厘米和4厘米的两个正方形切割成四块,然后将它们拼成一个边长是5厘米的大正方形.(先在左下图画出切割示意图,后在右下图画出新拼成的正方形示意图.)7. 将下图(a)的正十字形剪两刀就能拼成图(b)中两个相同的五边形.请在图(a)中画出表示剪法的线条,在图(b)中画出拼接示意图.8. 有四个同样的直角三角形,每个直角三角形的两条直角边的长都是大于1的整厘米数,面积为10平方厘米,用这四个直角三角形不重叠放置围成含有两个正方形图案的图形.在可以围成的所有正方形图案中,最小的正方形的面积是______平方厘米,最大的正方形的面积是______平方厘米.9. 有许多长为1厘米、2厘米、3厘米的正方形硬纸片,用这些硬纸片拼成一个长5厘米、宽3厘米的长方形的纸片,共有______种不同的拼法.(通过旋转及翻转能相互得到的拼法认为是相同的拼法)10. 一种游戏机的“方块”游戏中共有下面七种图形:每种图形都由4个面积为1的小方格组成,现用7个这样的图形拼成一个7×4的长方形(可以重复使用某种图形),那么,最多可以用上面七种图形中的______种.二、解答题11. 用10个边长分别为3,5,6,11,17,19,22,23,24,25的正方形可以拼接一个长方形,(1)求这个长方形的长和宽是多少?(2)请画出拼接图.12. 如图,在正方形中沿对角线画一个宽度均匀的“×”形(关于对角线对称),并按图中所标涂上不同的颜色,若正方形的面积为50平方厘米,黄色部分的面积为18平方厘米,求中间红色小正方形的面积.13. 右图是由25个小正方形所组成,请将此图剪拼成一个正方形,使其面积保持不变,要求(1)只准剪一刀(可折迭后再剪);(2)在原图基础上画出剪拼后的图形;(3)用文字把剪拼的方法表述清楚.14. (1)用1×1,2×2,3×3三种型号的正方形地板砖铺设23×23的正方形地面,请你设计一种铺设方案,使得1×1的地板砖只用一块.(2)请你证明: 只用2×2,3×3两种型号的地板砖,无论如何铺设都不能铺23×23的正方形地面而不留空隙.。
图形的割补切拼与旋转
图形的割补切拼与旋转图形是指具有特定形状和结构的物体或图案，包括各种几何图形、图像、图表等。
在设计、艺术、建筑等领域中，图形常常需要进行割补切拼和旋转等操作，以实现创意和美感的表达。
本文将探讨图形的割补切拼与旋转的应用和技巧。
一、图形的割补切拼图形的割补切拼是指将不同的图形拼接在一起构成新的形状。
这一技巧在平面设计、拼贴艺术等领域中得到广泛应用。
通过割取原有图形的一部分，并将其与其他图形进行拼接，可以创造出富有变化和层次感的作品。
在进行图形割补切拼时，需要考虑以下因素：1. 图形的形状和尺寸：选择适合拼接的图形，考虑其形状和尺寸是否与原有图形相符合，以保持整体的比例和协调性。
2. 色彩和纹理：合理运用颜色和纹理的变化，可以为割补切拼的图形增加丰富的视觉效果。
例如，可以利用不同的颜色和纹理将割补部分与原有图形进行区分，同时注重整体的和谐。
3. 图形的边缘处理：在进行割补切拼时，需要注意图形的边缘处理，使其看起来自然流畅。
可以运用平滑、渐变或其他特殊效果来实现边缘的融合。
二、图形的旋转图形的旋转是指将图形围绕指定的中心点或轴线进行旋转操作，使其产生新的表现形式。
旋转可以改变图形的方向和位置，给作品带来生动和变化。
在进行图形旋转时，应注意以下关键点：1. 旋转中心的选择：选择合适的旋转中心，可以使旋转后的图形呈现出不同的观感。
旋转中心可以是图形自身的某个点，也可以是外部指定的点。
2. 旋转角度的确定：旋转角度是决定旋转结果的重要参数。
可以根据设计的需要，选择适当的旋转角度，如45度、90度、180度等，也可以使用任意角度进行旋转。
3. 图形的排列和重复：通过对图形的旋转和排列，可以形成各种有趣的图案和花纹。
在进行重复旋转时，要注意保持图形之间的均衡和对称。
三、图形割补切拼与旋转的应用举例1. 平面设计：在海报、名片、宣传册等设计中，可以通过割补切拼和旋转来创造独特的视觉效果，吸引观众的目光。
2. 拼贴艺术：将不同的图片和材料进行割补切拼，可以产生出丰富多样的拼贴作品，展现出创意和个性。
四年级上册数学试题 奥数第21讲 图形的切拼一 全国用含答案
第21讲图形的切拼（一）把一个几何图形剪成几块形状相同的图形，或是把一个几何图形剪开后拼成另一种满足某种条件的图形，完成这样的图形剪拼，需要考虑图形剪开后各部分的形状、大小以及它们之间的位置关系。
这一讲，我们一起来研究这类问题。
例1如下图所示：是由三个正方形组成的图形，请你把它分成大小、形状都相同的四个图形。
）1（就要求把原来如果我们不考虑分成的四个图形的形状，只考虑它的面积，分析与解答：个正方每部分面积应是正方形面积的，再把三个三个正方形分成四个面积相等的部分。
）的分法。
形合成一个与个正方形形状相同的图形，于是我们就有了如图（2）2（块形状、大小都一样的小三角形。
块和9请把一个等边三角形分别分成例28个大小、48分析与解答：①分成块的方法是：先取各边的中点并把它们连接起来，得到形状相同的三角形，然后再把每一个三角形平均分成两份，得到如下左图所示的图形。
得到下右图所示然后再把分点彼此连接起来，9块的方法是：先把每边三等分，②分成的符合条件的图形。
将下图中的图形分成形状相同、面积相等的两部分，想一想，应该怎么分？例3的小正方形（请你在“坐标纸”上画11×分析与解答：为了方便，可先将图分成许多个面个面积单位，每一部分的面积应为16一画），如下左图：由此可知，图形的面积为32，以及原图形的形，其次为7积单位。
为了保证分成的两个图形形状相同，根据最长边为8下面继续进行类似的推理，，用两种阴影分别表示出来。
状，可知每一部分的最长边只能为7可以找到答案。
面积相等的两部分。
具体分法见下右图，图中的阴影和空白部分将上图分成了形状相同、形状都相同的两部4厘米，请你先把它剪成大小、例4长方形的长和宽分别是9厘米和分，然后再把它们拼成一个正方形。
厘4=36×（平方厘米），所以正方形的边长应为6分析与解答：已知长方形面积是：9合起来正3厘米，分成相等的两块，米，因此可以把长方形上半部剪下6厘米，下半部剪下厘米的正方形，如下图所示：好拼成一个边长为6请你把下图中的两个图形中的某一个分成三块，然后再把它们拼成一个正方形。
四年级上册数学试题 - 奥数第22讲： 图形的切拼(二) 全国用(含答案)
第22讲图形的切拼(二)学校有一块正方形的绿地（如下图所示），里面恰好有12棵小松树。
现在学校要把它划分成四块交给四个班的同学认养，要求每块绿地的形状和大小都相同，并且恰好都有三棵小松树。
怎么分呢？数学老师把这个问题交给了五（1）班的同学们。
呵，大家讨论的可热烈啦。
一下课，同学们就交给了老师两种方案，见下图。
同学们，你们知道他们是采用什么方法分割的吗？下面我们通过几个例题一起研究等分图形的技巧和一些图形的切拼问题。
例1下图是一个直角梯形，请在它内部画一条直线段，把梯形分成形状相同、面积相等的两部分。
分析与解答：从计算图形面积开始。
梯形面积=（20+40）×60÷2=1800（平方厘米）。
所以分成两部分后，每一部分的面积为900平方厘米。
设MN为梯形ABCD的中位线，MN=（20+40）÷2=30（厘米），这样MN把梯形ABCD 分成了两部分，如图：梯形ABNM的面积是：（30+40）×30÷2=1050（平方厘米）；梯形MNCD的面积是：（20+30）×30÷2=750（平方厘米）。
两个梯形的面积一大一小相差：1050-750=300（平方厘米），根据”移多补少”的原理，所以梯形MNCD的面积的面积应增加300÷2=150（平方厘米），梯形ABNM的面积也就相应减少150平方厘米.因为MN=30（厘米），比较简单的方法是：以MN为三角形的高，在NB上找一点P，使三角形MPN 面积为150平方厘米，所以线段NP：150×2÷30=10（厘米），这样NP就把梯形分成了面积相等的两部分。
具体分法见上图，线段MP把梯形ABCD分成了面积相等的两部分。
说明：下面我们来验证这两部分形状完全一样.在四边形ABPM中，过M点作ME垂直AB于E，则ME把四边形ABPM分成了两部分：直角三角形AEM和直角梯形EBPM.因为MN=EB=30（厘米），所以AE=10（厘米）。
四年级下册数学试题-奥数专题讲练：5 图形的分割与拼接 精英篇(解析版)全国通用
第五讲图形的分割与拼接教学目标本章内容比较抽象，在这一讲中我们主要学习几种图形处理方法：1、理解掌握图形的分割；2、理解掌握图形的拼合；3、理解图形的剪拼；4、利用剪拼图形计算、解决问题.本章中很多类型的题目还要求同学们去动手尝试．通过本章知识的学习，让同学们了解不同图形的分割、拼合、剪拼的方法，锻炼同学们的平面想象能力以及增强学生的动手操作能力．有8个相等的直角三角形，你能拼成下图中的空心正八角星吗？想挑战吗分析：把一个直角三角形的斜边与另一个直角三角形的直角边的一部分重合，但顶点均不重合，依次摆放下去，便可由这八个相等的直角三角形组成如右图所示的空心正八角星．专题精讲把一个几何图形按某种要求分成几个图形，就叫做图形的分割．反过来，按一定的要求也可以把几个图形拼成一个完美的图形，就叫做图形的拼合．将一个或者多个图形先分割开，再拼成一种指定的图形，则叫做图形的剪拼．我们在图形的分割、拼合和剪拼的过程中，都要结合所提供的图形特点来思考．如果把一个图形分割成若干个大小、形状相等的部分，那么就要想办法找图形的对称点，把图形先分少，再分多．图形中，如果有数量方面的要求，可以先从数量入手，找出平分后每块上所含数量的多少，再结合数量来分割图形．如果是要把几个图形拼合成一个大图形，要特别注意每条边的长度，把相等的边长拼合在一起，先拼少的，再拼多的．如果是剪拼图形，要抓住“剪、拼前后图形的面积相等”这个关键，根据已知条件和图形的特点，通过分析推理和必要的计算，确定剪拼的方法．（一）图形的分割【例1】（★★★）如右图所示是由三个正方形组成的图形，请把它分成大小、形状都相同的四个图形？→→分析：要求把原来三个正方形分成四个大小、形状都相同的四个图形，先不考虑形状，大小相同也就是面积相等，也就是把整个图形的面积分成四份，分割后的每一部分占一份，可以考虑把每一个正方形的面积分成四份，再把三个正方形中的每一个小正方形合成要求的图形，如右上图所示.[拓展]把如右图这样由五个正方形组成的图形，分成四块大小、形状都相同的图形→→分析：从面积考虑，把整个图形的面积分成四份，分割后的每一部分占一份.正方形，则可把每个正方形分成四个面积相等的小正方形，每块图形应有五个这样的小正方形，如右上图所示.[巩固]右图是由五个正方形组成的图形．把它分成形状、大小都相同的四个图形，应怎样分?分析：如果不考虑分成的四个图形的形状，只考虑它们的面积，这就要求把原来五个正方形分成四个面积相等的图形，每个图形的面积应是1个多正方形．我们把每个正方形各分成四个面积相等的小正方形，分成的每块图形应有五个这样的小正方形．根据图形的对称性，我们很快就能得到如右上图的分法.【例2】（★★★★）把任意一个三角形分成面积相等的4个小三角形，有许多种分法．请你画出4种不同的分法．的面积必定相等．而要得到这4个等底等高的小三角形，只需把原三角形的某条边四等分，再将各分点与这边相对的顶点连接起来就行了.根据上面的分析，可得如左上图所示的三种分法．又因为4＝l×4＝2×2，所以，如果我们把每一个小三角形的面积看做1，那么1×4就可以视为把三角形的面积直接分成4等份，即分成4个面积为1的小三角形；而2×2可以视为先把原三角形分成两等份，再把每一份分别分成两等份．根据前面的分析，在每次等分时，都要想办法找等底等高的三角形．根据上面的分析，又可以得到如右上图的另两种分法．[前铺] 把任意一个三角形分成面积相等的2个小三角形，有许多种分法．请你画出4种不同的分法．分析：根据等底等高的三角形面积相等这一结论，只要把原三角形分成2个等底等高的小三角形，它们的面积必定相等．而要得到这2个等底等高的小三角形，只需找出原三角形的某条边的中点与这边相对的顶点连接起来就行了.根据上面的分析，可得如下图所示的三种分法．[拓展]怎样把一个等边三角形分别分成8块和9块形状、大小都一样的三角形.→分析：（1）分成8块的方法是：先取各边的中点并把它们连接起来，得到4个大小、形状相同的三角形，然后再把每一个三角形分成一半，得到如左上图所示的图形.（2）分成9块的方法是：先把每边三等分，然后再把分点彼此连接起来，得到加上右上图所示的符合条件的图形.【例3】（★★★★）如下图所示，请将这个正方形分切成两块，使得两块的形状、大小都相同，并且每一块都含有学而思奥数五个字.→图1 图2分析：图中有相同汉字挨在一起的情况，肯定要从它们之间切开（图1），因此，首先要在它们之间划出切分线.因为要将这个正方形切开成两块形状和大小都一样的图形，所以其中一块绕中心点旋转180°必定与另一块重合.要是把切分线也绕中心点旋转180°就可得到一些新的切分线（图2）.这就为我们解决问题提供了线索，本题的两种解法如上图所示.[拓展] 如右图所示的正方形是由36个小正方格组成的.如图那样放着4颗黑子，4颗白子，现在要把它切割成形状、大小都相同的四块，并使每一块中都有一颗黑子和一颗白子.试问如何切割？分析：首先在相同颜色的棋子之间划出切分线，以中心旋转90°、180°、270°之后，得一些新的切分线，同时考虑到每块包含有一颗黑子和一颗白子的要求，以及每一块面积应该是36÷4=9，即含有9个小正方格，先找到符合要求的一块后，让它绕中心旋转90°、180°、270°便得到其他三块，如右上图.（二）图形的拼合【例4】（★★★）将方格纸剪成面积是4的图形，形状只有七种，如下图所示．其中有哪几种自身可以拼成面积是16的正方形?分析：面积是16的正方形，其边长等于4，用图形(5)和(7)显然能拼成边长是4的正方形(如左上图所示)．用图形(1)、(2)和(6)也能拼成边长为4的正方形(如右上图所示)．通过观察与试验，无法用所给图中的(3)和(4)拼成题目要求的正方形．因此，用所给图中的七种图形，共可以拼成5种面积是16的正方形．[巩固]下面哪些图形自身用4次就能拼成一个正方形？分析：用4块图（4）和图（5）那样的图形显然能够拼成一个大正方形．其实用图（1）、图（2）、图（3）也能拼成一个大正方形，拼法见右上图．【例5】（★★★★）用6个完全一样的等腰直角三角形拼图，要求边与边完全重合．你能拼出几种图形?把它们画出来．分析：建议用等腰直角三角板，把不同的边进行重合，不要漏掉旋转重合，或者准备一些等腰直角三角形的纸片，由学生拼接后贴到黑板上，见下图[前铺]用3个等腰直角三角形拼图，要求边与边完全重合，能拼出几种图形?分析：这种类型的题需要学生亲自操作，建议教师准备材料与学生互动。
小学奥数 图形的分割与拼接.学生版
4-2-3.图形的分割与拼接知识点拨本讲主要学习三大图形处理方法：1．理解掌握图形的分割；2．理解掌握图形的拼合；3．理解图形的剪拼．本讲中很多类型的题目还要求同学们去动手尝试．通过本讲知识的学习，让同学们了解不同图形的分割、拼合、剪拼的方法，锻炼同学们的平面想象能力以及增强学生的动手操作能力．把一个几何图形按某种要求分成几个图形，就叫做图形的分割．反过来，按一定的要求也可以把几个图形拼成一个完美的图形，就叫做图形的拼合．将一个或者多个图形先分割开，再拼成一种指定的图形，则叫做图形的剪拼．我们在图形的分割、拼合和剪拼的过程中，都要结合所提供的图形特点来思考．如果把一个图形分割成若干个大小、形状相等的部分，那么就要想办法找图形的对称点，把图形先分少，再分多．图形中，如果有数量方面的要求，可以先从数量入手，找出平分后每块上所含数量的多少，再结合数量来分割图形．如果是要把几个图形拼合成一个大图形，要特别注意每条边的长度，把相等的边长拼合在一起，先拼少的，再拼多的．如果是剪拼图形，要抓住“剪、拼前后图形的面积相等”这个关键，根据已知条件和图形的特点，通过分析推理和必要的计算，确定剪拼的方法．模块一、图形的分割【例 1】用一条线段把一个长方形平均分割成两块，一共有多少种不同的分割法？BA O【巩固】画一条直线，将六边形分成大小相等、形状相同的两部分，这样的直线有条．【例 2】用直线把左图分成面积相等的两部分，在右图中画虚线给出了分法，其中正确的有________个。
例题精讲llll【例 3】在一块长方形的地里有一正方形的水池(如下图)．试画一条直线把除开水池外的这块地平分成两块．AO【例 4】把任意一个三角形分成面积相等的4个小三角形，有许多种分法．请你画出4种不同的分法．【巩固】把任意一个三角形分成面积相等的2个小三角形，有许多种分法．请你画出3种不同的分法．【例 5】怎样把一个等边三角形分别分成8块和9块形状、大小都一样的三角形．【例 6】下图是一个直角梯形，请你画一条线段，把它分成两个形状相同并且面积相等的四边形．231DCBA【例 7】把下图四等分，要求剪成的每个小图形形状、大小都一样．除了剪正方形外，你还有别的方法吗？20402060【例 8】下图是一个34⨯的方格纸，请用四种不同的方法将它分割成完全相同的两部分，但要保持每个小方格的完整．【巩固】右图是一个44⨯的方格纸，请用六种不同的方法将它分割成完全相同的两部分，但要保持每个小方格的完整．【例 9】下图是一个被挖去了为总面积四分之一小正方形的大正方形，请你将它分成大小形状完全一样的四部分．【巩固】下图是一个被挖去了为总面积四分之一小正方形的大正方形，请你将它分成大小形状完全一样的两部分．如果分三部分呢？【巩固】图中是由三个正三角形组成的梯形．你能把它分割成4个形状相同、面积相等的梯形吗？【例 10】将图中的图形分割成面积相等的三块．【例 11】下图是由五个正方形组成的图形．把它分成形状、大小都相同的四个图形，应怎样分？【例 12】如何把下图中的三个图形分割成两个相同的部分(除了沿正方形的边进行分割外，还可沿正方形的对角线进行分割)．【例 13】已知左下图是由同样大小的5个正方形组成的．试将图形分割成4块形状、大小都一样的图形．【巩固】把右图剪成形状、大小相等的8个小图形，怎么剪？作出分出的小图形．【例 14】如图，它是由15个边长为1厘米的小正方形组成的．⑴ 请在原图中沿正方形的边线，把它划分为5个大小形状完全相同的图形，分割线用笔描粗．⑵ 分割后每个小图形的周长是厘米．⑶ 分割后5个小图形的周长总和与原来大图形的周长相差厘米．第3题【例 15】下图是由18个小正方形组成的图形，请你把它分成6个完全相同的图形．【例 16】如图，将一个等边三角形分割成互相不重叠的23个较小的等边三角形(这些较小的等边三角形的大小不一定都相同)，请在图中画出分割的结果．【例 17】如图，将一个正方形分割成互相不重叠的21个小正方形，这些小正方形的大小不一定相同，请画图表示．【例 18】一个正三角形形状的土地上有四棵大树(如下图所示)，现要把这块正三角形的土地分成和它形状相同的四小块，并且要求每块地中都要有一棵大树．应怎样分？【例 19】将下图分割成大小、形状相同的三块，使每一小块中都含有一个○．【例 20】请把下面这个长方形沿方格线剪成形状、大小都相同的4块，使每一块内都含有“奥数读本”这四个字中的一个，该怎么剪？奥数读本【例 21】请把下面的图形分成形状、大小都相同的4块，使每一块里面都有“春蕾杯赛”4个字．春春蕾杯赛春春蕾蕾蕾杯杯杯赛赛赛第13题【例 22】 学习与思考对小学生的发展是很重要的，学习改变命运，思考成就未来，请你将下图分成形状和大小都相同的四个图形，并且使其中每个图形都含有“学习思考”这四个字．应怎样分？学习思考学习思考学习思考考思习学（5）（4）（3）（2）（1）【例 23】 如下图所示，请将这个正方形分切成两块，使得两块的形状、大小都相同，并且每一块都含有学而思奥数五个字．学而思奥数数奥思而学【例 24】如下图所示的正方形是由36个小正方格组成的．如图那样放着4颗黑子，4颗白子，现在要把它切割成形状、大小都相同的四块，并使每一块中都有一颗黑子和一颗白子．试问如何切割？【例 25】如图，要求把正方形分成四块，两个正方形共分为八块，使每块的大小和形状都相同，而且都带一个○．【例 26】将下页图所示图形拆成形状相同、面积相等的三部分，使每个部分中含有一个，请将第一部分的六边形都标上“1”，第二部分的六边形都标上“2”。
小学奥数第二十一讲 图形的切拼和变换.doc
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】第二十一讲图形的切拼和变换阅读与思考法国皇帝拿破仑是一位著名的军事家。
他从一名军官成为一国之君，东征西讨，战功赫赫。
他对数学也有着浓厚的兴趣，他喜欢思考和讨论数学问题。
在圣赫勒拿岛上，拿破仑常与自愿陪同他的前宫廷大臣卡萨斯讨论一些智力问题。
一天，他给卡萨斯出了一道智力题，那是他当年随军远征时见过一块形状奇异的土地（如图1）。
他曾发出誓言；谁能将它分成形状相同的两块，这块土地就赏给谁。
然而，当时无人能做到。
卡萨斯也考虑了好几个晚上，仍未能解得此题。
当拿破仑告诉他后，他看到题目的解法竟然如此简单而后悔不已。
这一有趣的问题后人称为“拿破仑分地”问题，它的具体解法如图2.也就是本讲中我们要讨论的第一个问题——“图形的切拼”，也即图形的切割问题。
另外，我们在求某些组合图形的面积时，由于题目中的条件不多，用公式无法计算，即使用到前面第八、九两讲所学习的方法和技巧也很难奏效，但若是用到平移、旋转、对称等其他几何图形变换的手段往往能起到“山重水复疑无路，柳暗花明又一村”的效果。
平移就是将一个图形沿固定方向进行移动，使原图形变成新的图形结构。
平移只改变图形的位置，不改变图形的形状和大小。
旋转就是将一个图形绕定点旋转到一个新的位置，从而形成一个新的图形结构。
旋转也只是改变图形的位置，不改变图形的形状和大小。
对称分轴对称和中心对称。
轴对称图形就是沿对称轴折叠，轴两侧的部分可以完全生命。
轴对称图形的对称轴平分这个图形的面积，这一特性在求组合图形的面积时经常用到。
如果在一个图形上任取一点，把这一点与一定点连续起来，并且将连线段延长一倍，延长线段的外端点在图形的另一部分上，这个定点叫做对称中心，这样的图形就是中心对称图形。
典型例题|例1|将下面图形分成三块形状相同，大小相同的图形（如图3）。
训练1：如图4是一个等腰梯形，上底与腰相等，下底是上底的2倍，怎样剪开可以得到四个面积相等形状一样的小等腰梯形？（在图形中画出来）|例2|如图5是由三个正方形组成的图形，请把它分成大小、形状都相同的四个图形。
图形的分割与组合
再考虑形状．如果能将图12—4先分成两个面积相等、形状相同的图形，然后再将其中的一个再分成两个面积相等、形状相同的图形,那么达到目的了．
图形的分割与组合
图形的分割与组合是几何学中一个非常有趣味的课题，研究图形的分割与组合问题不仅可以增强几何图形的直观感觉和判断能力，丰富对图形的想象力，提高数学的思维能力，而且还有一定的实用价值，对工厂里的下料、工艺美术的图案设计都有一定的用处．
例1将图12—1所示的图形分成两块，然后拼成一个正方形．
除了上面的几种分法外，还可以这样想，因为6=1+5=2+4=3+3。所以对
余下的三角形分成五个面积相等的小三角形。对6=2+4而言，可先从原三角形
分出的三角形和剩下的三角形分别分成2个和4个面积相等的小三角形，对6=3+3可采用与上面类似的方法进行分割。
解法1将三角形的任一边六等分，再将分点与这边相对的顶点用线段连接起来，见图10-1。
第一种，将图10-4中不规则的那块图形，按图10-5中虚线所示分成三块，拼得的正方形见图10-6。
第二种，将图10-4中的长方形图形，按图10-7中虚线所示分成三块，拼得的正方形见图10-8。
例3有一块长24米、宽15米的长方形地毯，现在要把它移到长20米、宽18米的新房间里去。问是否可以找到一种剪裁法，把长方形地毯分成形状与面积都一样的两块，拼合后正好能铺满新房间的地面？
解：按图12—9中的粗线将长方形分成两块，然后错位对齐，即可拼成新的长方形，见图12—10．
例4图12—11是一块正中间开有长方形孔的长方形木板，尺寸如图所示（单位：厘米）．把它锯成两块，拼成一个面积为100平方厘米的桌面，如何切分．
正方体染色切拼问题
染色方案与计数
总结词
染色方案与计数主要研究的是如何通过计算得出正方体染色的方案数量，以及如何通过 染色方案得出正方体的数量。
详细描述
在染色方案与计数问题中，主要考虑的是如何通过计算得出正方体染色的方案数量，以 及如何通过染色方案得出正方体的数量。这个问题可以通过数学模型和组合数学的方法 进行解决，主要涉及到组合数学中的排列组合和计数原理。同时，还需要考虑到正方体
结构分析
在建筑结构分析中，正方体染色切拼问题可以用于研究结构的稳定性、承载能力和抗震性能等。通过 将复杂的结构体系简化为正方体模型，可以更方便地进行数值模拟和计算，提高分析的效率和准确性 。
数学教育中的应用
几何教学
正方体染色切拼问题可以作为几何教学的一种有效手段，帮助学生更好地理解几何概念和性质。通过实际操作和 观察染色切拼的过程，学生可以更直观地认识几何图形的性质和变化规律，提高空间想象能力和几何思维能力。
将切拼问题的解决方案应用于实际生 活中，如建筑设计、工艺品制作等领 域。
计算机模拟
利用计算机模拟技术，对切拼过程进 行模拟，以验证解决方案的可行性和 正确性。
04 正方体染色中的应用
建筑设计
正方体染色切拼问题在建筑设计中有着广泛的应用，如建筑立面、室内装饰和景观设计等。通过运用 染色切拼的方法，可以创造出独特、富有创意的视觉效果，增强建筑的立体感和层次感。
VS
动画制作
在动画制作中，正方体染色切拼问题可以 用于制作更加生动和有趣的动画效果。通 过对正方体进行动态的染色和切拼，可以 创造出各种动态的视觉效果，增强动画的 表现力和观赏性。
05 结论与展望
CHAPTER
研究结论
正方体染色切拼问题是一个经典的几何问题，通过研究正方体的染色和切拼，可以深入了解 几何图形的性质和变换。
图形的切拼
4图形切拼
将下列图形分割成两个大小相等形状相同的图形，然后拼成一个正 方形。
5图形切拼
将下面图形分成两块，然后拼成一个正方形
6图形切拼
将下面图形分成两块，然后拼成一个正方形
7图形切拼
将任意一个长方形分割成三块，然后拼成一个三角形。 。
8图形切拼
将任意一个三角形分割成三块，然后拼成一个长方形。
小学数学思维训练
图形的切拼
1图形切拼
这是一道经典的几何分割问题，请将这个图形分成四等份，并且每等 份必须是现在图形的缩小版。
2图形切拼
将一个正方形分成相同的四块，然后用这四块分别拼成一个三角形、 平行四边形和梯形。
3图形切拼
将一个4×9的长方形分割成两个大小相等形状相同的图形，然后拼成 一个正方形。
9图形切拼
将下图分成两块，然后拼成一个正方形。
10图形切拼 。 将两个相同的正方形纸片剪成若干块，然后拼成一个大正方形
11图切拼
将任意一个凸四边形分割成四块，然后拼成一个平行四边形。
赠送矢量小图标
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数学竞赛新知杯 平面图形的切拼(专题)
平面图形的切拼（专题）历史上出现最早的拼图是起源于我国明朝的“七巧板”。
又名“益智图”。
它是由一个正方形分割成五个三角形和一个正方形、一个平行四边形，用这七块可以拼成各种几何图形，也可以拼出成千上万种有趣的形状，充分发挥人们的想象能力。
平面图形的拼图，就是将一个图形分成若干块，然后拼成各种有规则的图形。
这里讲的一些例子，就是图形按某种要求进行切拼，当然也是需要经过认真计算才行的。
例1、将任意一个三角形剪两刀，分成三块，并将它们拼成一个长方形，请问这两刀该怎么剪？ 解： 如下图所示，将三角形两边的中点分别为E 和F ，过E 和F 做第三边垂线，得AF 和BF ，只要沿AF 和BE 剪开就可达到要求。
例2、把一张长12厘米、宽5厘米的长方形小纸条，裁成长3厘米、宽2厘米的长方形小纸条，最多裁成多少块？怎样裁法？例3、有一块花格布，如图（1），要把这缝制成一大一小的两个正方形坐垫如图（2）（3），请你把它剪成四块，拼成需要的四个正方形，而且花纹正好吻合，应怎样做？例4、把下面的这个不规则图形分成四个形状大小都相同的图形，然后把它们拼成一个正方形。
例5、一张长14厘米、宽11厘米的长方形纸片，最多能裁出多少个长4厘米、宽1厘米的纸条？怎样裁？画图说明？例6、试把五个同样的小正方形组成的“+”字形切两刀，使切得的各块能拼成一个正方形（如下图）。
习 题1、 把下列二个图形分别分成形状相同面积相等的两个图形。
2、 任给一个三角形，（1）试剪一刀，把它剪成二块，用这两块拼成一个平行四边形；（2）试剪二刀，把它剪成三块，用这三块拼成一个长方形？3、 如图所示，一个由36个大小一样的小正方组成的一个S 型图案，请把它分成形状面积都一样的四块，最后拼成一个大正方形。
4、 下图是一个大广场的地面图案，要求用4根直线，把广场分为5个部分，且每一部分要有9个方块。
5、 经过一个正六边形的一个顶点画两条线段，把这个正六边形面积三等分。
第23讲_图形的分割与拼接(含答案)
“图形的分割与拼接”专项复习本讲主要学习三大图形处理方法：1．理解掌握图形的分割；2．理解掌握图形的拼合；3．理解图形的剪拼．本讲中很多类型的题目还要求同学们去动手尝试．通过本讲知识的学习，让同学们了解不同图形的分割、拼合、剪拼的方法，锻炼同学们的平面想象能力以及增强学生的动手操作能力．把一个几何图形按某种要求分成几个图形，就叫做图形的分割．反过来，按一定的要求也可以把几个图形拼成一个完美的图形，就叫做图形的拼合．将一个或者多个图形先分割开，再拼成一种指定的图形，则叫做图形的剪拼．我们在图形的分割、拼合和剪拼的过程中，都要结合所提供的图形特点来思考．如果把一个图形分割成若干个大小、形状相等的部分，那么就要想办法找图形的对称点，把图形先分少，再分多．图形中，如果有数量方面的要求，可以先从数量入手，找出平分后每块上所含数量的多少，再结合数量来分割图形．如果是要把几个图形拼合成一个大图形，要特别注意每条边的长度，把相等的边长拼合在一起，先拼少的，再拼多的．如果是剪拼图形，要抓住“剪、拼前后图形的面积相等”这个关键，根据已知条件和图形的特点，通过分析推理和必要的计算，确定剪拼的方法．【典型例题】板块一图形的分割【例 1】用一条线段把一个长方形平均分割成两块，一共有多少种不同的分割法？BA O【解析】怎样把一个图形按照规定的要求分割成若干部分呢？这就是图形的分割问题．按照规定的要求合理分割图形，是很讲究技巧的，多做这种有趣的训练，可以培养学生的创造性思维，发展空间观念，丰富想象，提高观察能力．这道题要求把长方形平均分割成两块，过长方形中心的任意一条直线都可以把长方形平均分割成两块，根据这点给出如下分法(如右图)：⑴做长方形的两条对角线，设交点为O⑵过O点任作一条直线AB，直线AB将长方形平均分割成两块．可见用线段平分长方形的分法是无穷多的．【巩固】画一条直线，将六边形分成大小相等、形状相同的两部分，这样的直线有条．【解析】无数条．任何过六边形中心的直线均符合要求．【例 2】 把任意一个三角形分成面积相等的4个小三角形，有许多种分法．请你画出4种不同的分法． 【解析】根据等底等高的三角形面积相等这一结论，只要把原三角形分成4个等底等高的小三角形，它们的面积必定相等．而要得到这4个等底等高的小三角形，只需把原三角形的某条边四等分，再将各分点与这边相对的顶点连接起来就行了．根据上面的分析，可得如左下图所示的三种分法．又因为4 1 4 22=⨯=⨯，所以，如果我们把每一个小三角形的面积看做1，那么14⨯就可以视为把三角形的面积直接分成4等份，即分成4个面积为1的小三角形；而22⨯可以视为先把原三角形分成两等份，再把每一份分别分成两等份．根据前面的分析，在每次等分时，都要想办法找等底等高的三角形． 根据上面的分析，又可以得到如右下图的另两种分法．AB C C B AABC【巩固】把任意一个三角形分成面积相等的2个小三角形，有许多种分法．请你画出3种不同的分法．AB CC B ABA【解析】 根据等底等高的三角形面积相等这一结论，只要把原三角形分成2个等底等高的小三角形，它们的面积必定相等．而要得到这2个等底等高的小三角形，只需找出原三角形的某条边的中点与这边相对的顶点连接起来就行了．根据上面的分析，可得如图所示的三种分法．【例 3】怎样把一个等边三角形分别分成8块和9块形状、大小都一样的三角形．→【解析】 ⑴分成8块的方法是：先取各边的中点并把它们连接起来，得到4个大小、形状相同的三角形， 然后再把每一个三角形分成两部分，得到如左上图所示的图形．⑵分成9块的方法是：先把每边三等分，然后再把分点彼此连接起来，得到加上右上图所示的符合条件的图形．【例 4】 下图是一个直角梯形，请你画一条线段，把它分成两个形状相同并且面积相等的四边形．321DCB A 1FE 221D C BA【解析】 直角梯形的上底为1，下底为2，要分成两个相同的四边形，需要一条边可以分成1和2，AD 边长正好为3，所以AD 边分成两段，找到AD 的三等分点E ，现在，CD AE =，DE AB =，BF EF =，所以还要找到BC 的中点F ，连接EF ，就把梯形ABCD 分成完全相同的两部分．如右上图．【例 5】在一块长方形的地里有一正方形的水池(如下图)．试画一条直线把除开水池外的这块地平分成两块．AO【解析】用连对角线的办法找出这块长方形地的中心O 和正方形水池的中心A ．过O 、A 画一条直线，这条直线正好能把除开水池外的这块地平分为两块(如右上图)．【例 6】 把下图四等分，要求剪成的每个小图形形状、大小都一样．除了剪正方形外，你还有别的方法吗？2060402020【解析】 先把图形分成2040⨯相等的两块，每一块中再分成相等的两份，这样就不难分成四块了，如右上图．【例 7】 下图是一个34⨯的方格纸，请用四种不同的方法将它分割成完全相同的两部分，但要保持每个小方格的完整．【解析】 分成的两块每块有1226÷=(个)小格，并且这两块要关于中心点对称，大小和形状完全一样，我们从对称线入手，介绍一种分割技巧——染色法，先选中一个小格，找它关于中心点或中心线的对称位置，标上相应的符号．当找它关于中心线的对称位置时是一种情况，关于中心点的对称位置是另一种情况，具体如下图所示．【巩固】右图是一个44⨯的方格纸，请用六种不同的方法将它分割成完全相同的两部分，但要保持每个小方格的完整．【解析】因为要分割成完全相同的两块，即大小、形状完全相同．方格纸一共有4416⨯=(个)小格，所以分成的两块每块有1628÷=(个)小格，并且这两块要关于中心点对称，大小和形状完全一样，应用染色法，从中心点的一侧入手染色，逐步推进．(建议教师同时呈现六幅空的44⨯格图，不同的变化在不同的图上同时呈现)如下图：【例 8】下图是一个被挖去了为总面积四分之一小正方形的大正方形，请你将它分成大小形状完全一样的四部分．【解析】要求把阴影部分分成四个大小、形状都相同的四个图形，先不考虑形状，大小相同也就是面积相等，也就是把整个图形的面积分成四份，分割后的每一部分占一份．考虑先把阴影部分分成12个小正方形再分成四份，这样每份正好有3个小正方形．再看形状，三个小正方形只能排成“－”形或者“∟”形．答案如下图．【巩固】下图是一个被挖去了为总面积四分之一小正方形的大正方形，请你将它分成大小形状完全一样的两部分．如果分三部分呢？【解析】从形状，面积两方面综合考虑，很容易就能得到答案．答案如右上图．【巩固】图中是由三个正三角形组成的梯形．你能把它分割成4个形状相同、面积相等的梯形吗？【解析】这道题的要点在于通过计算解决问题，要求把原来三个正三角形分成四个大小、形状都相同的四个梯形，先不考虑形状，大小相同也就是面积相等，即把整个梯形的面积分成四份，分割后的每一个梯形占一份，可以考虑把每一个三角形的面积分成四份，再把三个正三角形中的每一个小三角形合成要求的梯形，这种类型的题目可以从中点入手，找到每个正三角形的中点并连接，如右上图．【例 9】下图是由五个正方形组成的图形．把它分成形状、大小都相同的四个图形，应怎样分？【解析】如果不考虑分成的四个图形的形状，只考虑它们的面积，这就要求把原来五个正方形分成四个面积相等的图形，每个图形的面积应是1个多正方形．我们把每个正方形各分成四个面积相等的小正方形，分成的每块图形应有五个这样的小正方形．根据图形的对称性，我们很快就能得到如右上图的分法．也可以将中间的正方形分成四个小正方形，如右上图．【例 10】已知左下图是由同样大小的5个正方形组成的．试将图形分割成4块形状、大小都一样的图形．【解析】已知图形是由同样大小的5个正方形组成的，要分成4块同样大小的图形，则每块图形是5 4个正方形．由此想到，若把每个正方形都分成4等份，则分割成的每一块中应包含5份．再稍经试验，即得右上图的解(图内部的实线为分割线)．【巩固】把右图剪成形状、大小相等的8个小图形，怎么剪？作出分出的小图形．【解析】 总格数为12，用总格数除以8，得到每个小图形应该是一个半小正方形，根据平均一个小图形的格数作图，如右图．【例 11】 下图是由18个小正方形组成的图形，请你把它分成6个完全相同的图形．【解析】 通过计算，18÷6=3，说明基本形状是由三个小正方形组成，三个正方形有两种形式：与，通过观察，上面的图形具有对称性，不可能分成6个，再由6结合染色法，如下图．666555444333222111【例 12】 一个正三角形形状的土地上有四棵大树(如下图所示)，现要把这块正三角形的土地分成和它形状相同的四小块，并且要求每块地中都要有一棵大树．应怎样分？【解析】 由于土地的形状为正三角形，由题意可知，把大三角形的面积分成四份，每一块占一份，且形状与原三角形相同，于是我们想到取大正三角形的各边中点，依次连接各边中点，即可将这块大正三角形的土地分成与它相等的四份，如右上图所示．【总结】本题若死守三角形面积等于底 高的一半，则无以下手，引导学生转换一下思考角度，取原三角形各边中点，将原三角形分成面积相等的四部分，问题即可解决．【例 13】 将下图分割成大小、形状相同的三块，使每一小块中都含有一个○．【解析】 图中一共有18个小方格，要求分割成大小、形状相同的三块，每一块有：1836÷=(块)，而且分割成大小、形状相同的三块，可以看出图形的中心点是O ，而且上面的部分是对称的，但是只有5块，需要对称的再加上一块，再由图形的特点，可以判断应分为右下图的三部分．O【例 14】 请把下面这个长方形沿方格线剪成形状、大小都相同的4块，使每一块内都含有“奥数读本”这四个字中的一个，该怎么剪？本读数奥 【解析】 图中“奥数”与“读本”中的两个字都是挨着的，所以肯定要在它们中间分割，因此，首先在他们中间划出分割线，因为要将这个长方形分成大小、形状完全相同的4块，因为长方形是64⨯的，所以分割后的每一块都有6小块组成，可以考虑先把长方形分成相同的两部分，再把每一部分分成相同的两部分，如下图所示．本读数奥答案不唯一．【例 15】 (2008年第八届“春蕾杯”小学数学邀请赛初赛)请把下面的图形分成形状、大小都相同的4块，使每一块里面都有“春蕾杯赛”4个字．春春蕾杯赛春春蕾蕾蕾杯杯杯赛赛赛第13题【解析】 如下图所示：图1答案不唯一．【例 16】 学习与思考对小学生的发展是很重要的，学习改变命运，思考成就未来，请你将下图分成形状和大小都相同的四个图形，并且使其中每个图形都含有“学习思考”这四个字．应怎样分？学习思考学习思考学习思考考思习学 （5）（4）（3）（2）（1）【解析】 看到这道题目，我们想到俄罗斯方块，由题意可知，所分出的每一块图形，必须由4个小正方形组成，它的形状不外乎如右上图所示的五种俄罗斯方块，这就控制了搜索的范围．根据原题中各个字的具体位置，上图中有些图形是必须排除的，例如，如果把图⑵与原题右下角22⨯的正方形重叠，其中“考”字出现了两次，不符合题意，因此，图⑵可以先排除掉． 现在，再固定某一角上的一个小正方形，按其中的字来考虑．如固定右上角写有“考”的小正方形来分析，只有下列4种可能出现的情况：考思习学考思学习学考思习学考思习学习思考考思习学考思习学考思习学【例 17】 如下图所示，请将这个正方形分切成两块，使得两块的形状、大小都相同，并且每一块都含有学而思奥数五个字．学而思奥数数奥思而学→图1 图2【解析】 图中有相同汉字挨在一起的情况，肯定要从它们之间切开(图1)，因此，首先要在它们之间划出切分线．因为要将这个正方形切开成两块形状和大小都一样的图形，所以其中一块绕中心点旋转180︒必定与另一块重合．要是把切分线也绕中心点旋转180°就可得到一些新的切分线(图2)．这就为我们解决问题提供了线索，本题的两种解法如上图所示．【巩固】如下图所示的正方形是由36个小正方格组成的．如图那样放着4颗黑子，4颗白子，现在要把它切割成形状、大小都相同的四块，并使每一块中都有一颗黑子和一颗白子．试问如何切割？【解析】首先在相同颜色的棋子之间划出切分线，以中心旋转90、180、270之后，得到一些新的切分线，同时考虑到每块包含有一颗黑子和一颗白子的要求，以及每一块面积应该是3649÷=，即含有9个小正方格，先找到符合要求的一块后，让它绕中心旋转90、180、270便得到其他三块，如右上图．【例 18】如图，甲、乙是两个大小一样的正方形．要求把每一个正方形分成四块，两个正方形共分为八块，使每块的大小和形状都相同，而且都带一个○．甲乙【解析】一个正方形分成大小和形状都相同的四块，一定是从中心点分开的，只要能找出其中符合题目要求的一块，然后再将这块绕着正方形的中心点分别旋转90、180、270就可以得到另外三块．又因为这个正方形面积为36平方单位，所以分成的每一块的面积都是9平方单位．即每一块都由9个小正方格组成．另外，由于两个正方形要切分成一样大小的四块，因此可将两个正方形重叠在一起考虑．①将两个正方形重叠在一起，如下图所示，为便于区别，将其中一组的“○”改写成“×”．按要求将这重叠的正方形切分成大小、形状都相同的四块，并且每块都有一个“○”和“×”．②图中有相同符号的“○”挨在一起的从中间把它们切开，在它们中间划上截线．并将这些截线绕中心点旋转90、180、270得到另外三段截线．如下图．利用它们设想出划分线．③设想分块从中心位置开始，逐步向外扩散，在里层方格中，先指定某一方格已分入到某小块中，并作上记号(斜线阴影)，然后将它绕中心旋转180后得到另一方格分入到另一小块中，也作上记号(横线阴影)，如图．对于中间一层方格和最外一层方格，设想分块时一定要紧扣条件：每一块中都要有一个“○”和一个“⨯”．每一块都有9个方格组成，不能断开．下图是分解了的分块过程示意图．④注意到斜线阴影部分已经有了一个“○”和一个“⨯”．那么左下角包含“○”的方格就不能再分到斜线阴影部分去了，而只能将右下角的方格分到斜线阴影部分．于是左上角的方格就应该分给横线阴影部分．空白部分是另外两块． 下就是最后分得的结果．【例 19】 正三角形ABC 的面积是1平方米，将三条边分别向两端各延长一倍，连结六个端点得到一个六边形(如右图)，求六边形的面积．CBA【解析】采用分割法，过A 、B 、C 分别作平行线，得到右上图，其中所有小三角形的面积都相同，所以六边形面积等于13平方米．【巩固】正方形ABCD 的面积是1平方米，将四条边分别向两端各延长一倍，连结八个端点得到一个正方形(如图)，求大正方形的面积．DCB A【解析】四条边分别向两端各延长一倍，很容易可以观察出，大正方形有9个小正方形组成，所以，大正方形的面积是：199⨯=(平方米)．【巩固】正六边形ABCDEF的面积是1平方米，将六条边分别向两端各延长一倍，交于六个点，组成如下图的图形，求这个图形的面积．FE D CB AFE D CBA【解析】采用分割法，连接正六边形的对角线，会发现，所有的三角形面积都相同，一共有12个小三角形，原来正六边形的面积是1平方米，由6个小三角形组成，所以现在的大图形的面积是：122⨯=(平方米)【例 20】(第九届“中环杯”小学生思维能力训练活动初赛)如图，它是由15个边长为1厘米的小正方形组成的．⑴请在原图中沿正方形的边线，把它划分为5个大小形状完全相同的图形，分割线用笔描粗．⑵分割后每个小图形的周长是厘米．⑶分割后5个小图形的周长总和与原来大图形的周长相差厘米．第3题【分析】⑴因为总共有15个小正方形，所以分成5个大小形状相同的图形后每个图形应该有1553÷=(个)小正方形，如图．⑵每个小图形的周长为8厘米．⑶5个小图形的周长和：8540⨯=(厘米)，原图形的周长：44218⨯+=(厘米)，所以相差401822-=(厘米)．图1【例 21】如何把下图中的三个图形分割成两个相同的部分(除了沿正方形的边进行分割外，还可沿正方形的对角线进行分割)．【解析】要把图形分成两个相同的部分，首先要保证分得的两部分面积相同，其次要保证分得的两部分形状相同，从面积入手进行分割会使问题更容易解决．第一个图形一共有6个小正方形，2个三角形，要分割成两块完全相同的部分，每一部分都要有3个正方形、1个三角形，这样很容易就可以解决这个问题了；同样，对第二个图形，一共有7个正方形，2个三角形，因为正方形的个数是奇数，所以，肯定有一个正方形被分成相同的两块，对于这个图形，我们很容易看出有一个正方形的位置很特殊，在最中间，所以考虑将它分成两部分，由对称的原则，从对角线分开；第三个图形更复杂一些，一共有6个正方形，6个三角形，分成的两块每一块都要有3个正方形、3个三角形，因为最上面的两个三角形组合成了一个大的三角形，所以右下方的两个三角形不能分开，再根据对称的原则，就容易解决这个问题了，具体分法见下图．【例 22】(2003年《小学生数学报》数学邀请赛)如图，将一个等边三角形分割成互相不重叠的23个较小的等边三角形(这些较小的等边三角形的大小不一定都相同)，请在图中画出分割的结果．【解析】分割的方法不唯一，如图所示．【例 23】(2005年《小学生数学报》数学邀请赛)如图，将一个正方形分割成互相不重叠的21个小正方形，这些小正方形的大小不一定相同，请画图表示．【解析】分割的方法不唯一，如右图所示．板块二图形的拼合【例 24】用两块大小一样的等腰直角三角形能拼成几种常见的图形？【解析】建议用等腰直角三角板，把不同的边进行重合，不要漏掉旋转重合，或者准备一些等腰直角三角形的纸片，由学生拼接后贴到黑板上，见下图：【巩固】用3个等腰直角三角形拼图，要求边与边完全重合，能拼出几种图形？【解析】这种类型的题需要学生亲自操作，建议教师准备材料与学生互动．一共可以拼成如下图的几种形状：【巩固】用同样大小的四块等腰直角三角板，能否拼出一个三角形、一个正方形、一个长方形、一个梯形、一个平行四边形五种图形？若能，画出示意图．【解析】能用四块同样大小的等腰直角三角板拼出一个三角形、一个正方形、一个长方形、一个梯形、一个平行四边形五种图形．建议用等腰直角三角板，把不同的边进行重合，不要漏掉旋转重合，或者准备一些等腰直角三角形的纸片，由学生拼接后贴到黑板上，具体拼法如图所示．【例 25】下面哪些图形自身用4次就能拼成一个正方形？【解析】用4块图(4)和图(5)那样的图形显然能够拼成一个大正方形．其实用图(1)、图(2)、图(3)也能拼成一个大正方形，拼法见下图．【例 26】用下面的3个图形，拼成右边的大正方形．【解析】首先数一数所有的空格数，一共只有16个，只能组成44的正方形，使用目标倒推法，在右边的大正方形中拼图，仍然使用染色法，相当于把已知图形往右边的大正方形中放，这样就很容易拼合了，如下图：【巩固】用“四连块”拼成一个正方形，按编号画入右边图中．④③②①【解析】 首先数一数所有的空格数，一共只有16个，只能组成44⨯的正方形，目标倒推，在右边的大正方形中拼图，仍然使用染色法，相当于把已知图形往右边的大正方形中放，这样就很容易拼成了，注意标号的位置，具体如下图所示：→→→【例 27】 有6个完全相同的，你能将它们拼成下面的形状吗？【解析】 利用染色法以及图形的对称性，对称轴两侧都有三个小图形，按照下面的顺序标号即可完成．→→【例 28】 (保良局亚洲区城市小学数学邀请赛)三种塑料板的型号如图：(A ) (B ) (C )已有A 型板30块，要购买B 、C 两种型号板若干，拼成55⨯正方形10个，B 型板每块价格5元，C 型板每块价格为4元．请你考虑要各买多少块，使所花的总钱数尽可能少，那么购买B 、C 两种板要花多少元？【解析】 要使花的钱尽可能的少，已有30个A 型板最好能用上，而价格较贵的B 型板尽可能少用，因为A 型与B 型的面积都为3，所以在拼成的55⨯的正方形中，除了C 型外，余下的面积应能被3整除．有25449-⨯=或254121-⨯=能被3整除知，只能用4块C 型板或1块C 型板，考虑尽可能多地使用A 型板，有如下图1、图2 的拼法：BC CCC B AAAAAA BCA图1 图2图1的拼法要花445226⨯+⨯=(元)，图2的拼法要花459+=(元)，因为只有30块A 型板，所以在10快55⨯的正方形中，图2的拼法只能有4块，剩下6块用图1拼法，共需：94266192⨯+⨯=(元)【例 29】 试用图a 中的8个相等的直角三角形，拼成图b 中的空心正八边形和图c 中的空心正八角星．【解析】 把一个直角三角形的斜边与另一个直角三角形的一条直角边重合，同时，斜边上的一个锐角顶点与直角顶点重合，像这样依次摆放下去，便可得空心正八边形．若把一个直角三角形的斜边与另一个直角三角形的直角边的一部分重合，但顶点均不重合，依次摆放下去，便可由这八个相等的直角三角形组成空心正八角星．板块三 图形的剪拼【例 30】 试将一个正方形分成相同的四块，然后用这四块分别拼成三角形、平行四边形和梯形．【解析】 要用分成的四块组成三角形，那么剪成得图形一定是三角形，这样平均分成四等分，当然这种分法有好几种．组成图形的时候我们可以换位思考，看如何将三角形、平行四边形、梯形分成大小相等的三角形．如图所示：【例 31】 把两个小正方形剪开以后拼成一个大正方形．【解析】 因为大正方形的面积等于两个小正方形的面积和，所以大正方形的边长不能等于两个小正方形的。
江苏省初中数学竞赛系列培训 图形的切拼
列培 训
形 的 切 拼
黄志军 吴 克
２０ ０ １年 ３月 １ Ｏ日 由 中 央 电 视 台 播 出 第 八 届 “ 罗 庚 金 杯 ” 年 数 华 少
学 邀请 赛初 赛第 一 道试 题 是 ：２０ “ ０ ２年 将 在 北 京 召 开 国 际 数 学 家 大 会 ．
Ａ 图６
维普资讯
若 ａ ＜ ４时 ， 如 图 ６必 有 一 个 正 方 形 的 某 条 边 所 在 直 线 Ｇ ｌ 则
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若 口 一 ４时 ， 先 必 切 去 一 个 边 长 为 ４的 首
正 方 形 ＡＥ Ｄ ， 图 ６ 余 下 的 １× ４ 的 矩 形 Ｆ 如 ．
ＥＢＣＦ正 好 分 成 ４个 １ １的 正 方 形 ． 时 ５个 × 此 正 方 形 边 长 之 和 为 ８ ．
不 是 等 腰 三 角 形 ．画 出 必 要 的 示 意 图 ， 附 以 简 要 的 并
文 字说 明．
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分 析与 解 如 图 ４ 在 ＡＤ 边 上 任 取 一 点 ， Ｎ （ 点 Ｎ 非 ＡＤ 的 中 点 ） 分 别 取 线 段 ＡＮ 、 使 ， ＤＮ 的 中
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２０ ０ ２年 将 在 北 京 召 开 国 际 数 学 家 大 会 的 信 息 ， 介 绍 了 大 会 会 标 的 图 并 案 ， 中 还 蕴 涵 着 勾 股 定 理 及 其 具 有 中 华 特 色 的 “ 图 ” 怎 样 把 一 个 图 其 弦 ．
形按 照 要求 分割成 若 干部分 ？怎样 把 一个 图形 分割成 若干 部分 后 ， 按 再
四年级上册数学试题 - 奥数第22讲 图形的切拼(二) 全国用(含答案)
第22讲图形的切拼(二)学校有一块正方形的绿地（如下图所示），里面恰好有12棵小松树。
现在学校要把它划分成四块交给四个班的同学认养，要求每块绿地的形状和大小都相同，并且恰好都有三棵小松树。
怎么分呢？数学老师把这个问题交给了五（1）班的同学们。
呵，大家讨论的可热烈啦。
一下课，同学们就交给了老师两种方案，见下图。
同学们，你们知道他们是采用什么方法分割的吗？下面我们通过几个例题一起研究等分图形的技巧和一些图形的切拼问题。
例1下图是一个直角梯形，请在它内部画一条直线段，把梯形分成形状相同、面积相等的两部分。
分析与解答：从计算图形面积开始。
梯形面积=（20+40）×60÷2=1800（平方厘米）。
所以分成两部分后，每一部分的面积为900平方厘米。
设MN为梯形ABCD的中位线，MN=（20+40）÷2=30（厘米），这样MN把梯形ABCD 分成了两部分，如图：梯形ABNM的面积是：（30+40）×30÷2=1050（平方厘米）；梯形MNCD的面积是：（20+30）×30÷2=750（平方厘米）。
两个梯形的面积一大一小相差：1050-750=300（平方厘米），根据”移多补少”的原理，所以梯形MNCD的面积的面积应增加300÷2=150（平方厘米），梯形ABNM的面积也就相应减少150平方厘米.因为MN=30（厘米），比较简单的方法是：以MN为三角形的高，在NB上找一点P，使三角形MPN 面积为150平方厘米，所以线段NP：150×2÷30=10（厘米），这样NP就把梯形分成了面积相等的两部分。
具体分法见上图，线段MP把梯形ABCD分成了面积相等的两部分。
说明：下面我们来验证这两部分形状完全一样.在四边形ABPM中，过M点作ME垂直AB于E，则ME把四边形ABPM分成了两部分：直角三角形 AEM和直角梯形EBPM.因为MN=EB=30（厘米），所以AE=10（厘米）。
图形拼切
图形操作题★★考点分析：主要考点有：把图形按题目的要求分成几部分或者把不规则的图形通过切,拼成规则图形；在实际应用中,根据所给的条件通过计算选出最优的方案。
★★例题精析：1.★2. 直角三角形ABC的边分别为5cm，3cm和4cm，将它的直角边AC沿直线AE对折，使直角边AC 落在斜边AB上，使AC与AD重合，如图，则图中阴影部分（未重叠部分）的面积是多少平方厘米？【13年大联考题】ACB3. 如下图，将正方形沿虚线剪开,可以将正方形分成四块大小相同的小正方形.请你设法将另4个图形也剪成大小相同的4块，并且剪的四块图形与原来图形形状相同.用虚线画出你的设计方案。
4. 把一个长为9，宽为4的长方形分成相同的两块，然后拼成一个正方形。
5.下图是由小正方形组成的图形，沿虚线把该图形分成两部分，这两部分刚好拼成一个大正方形。
请用实线把图形分成两部分。
6. 把一个长方形的长增加5分米，宽增加8分米后，得到一个面积比原长方形多181平方分米的正方形。
求这个正方形的边长是多少分米？7. 一块长48厘米、宽36厘米的长方形木板，把它锯成若干块边长为整厘米数的正方形而无剩余，最少能锯（）块。
用若干块长48厘米、宽36厘米的长方形木板，把它拼成一个正方形，最少需要这样的长方形（）块。
8. 用6块（如下图所示）长方体木块拼成一个大长方体，有许多种做法，其中表面积最小的是多少平方厘米？3厘米1厘米2厘米9.一个正方体的表面涂满了红色，然后如下图切开，切开的小正方体中：（1）三个面涂有红色的有几个？（2）二个面涂有红色的有几个？（3）一个面涂有红色的有几个？（4）六个面都没有涂色的有几个？练习:1.有一个长方形，如果长减少4米，宽减少2米，面积就比原来减少44平方米，且剩下部分正好是一个正方形。
求这个正方形的周长。
2.。
小学数学竞赛：图形的分割与拼接.学生版解题技巧 培优 易错 难
【例 50】有5个长方形，它们的长和宽都是整数，且5个长和5个宽恰好是1~10这10个整数。现在用5个长方形拼成1个大正方形，那么，大正方形面积的最小值为__________。
（A）169（B）144（C）121（D）100
【例 51】如图， 、 、 、 四个长方形的周长的和是 ，并且每个长方形都有一条边的长度已经给定，分别是 ， ， ， 。中间的长方形的周长是。
【例 52】现有一块L形的蛋糕如图所示，现在要求一刀把它切成3部分，因此只能按照如图的方式切，但不能斜着切或横着切.要使得到的最小的那块面积尽可能大，那么最小的面积为平方厘米．
【例 29】用下面的3个图形，拼成右边的大正方形．
【巩固】用“四连块”拼成一个正方形，按编号画入右边图中．
【例 30】有6个完全相同的 ，你能将它们拼成下面的形状吗？
【例 31】三种塑料板的型号如图：
( )( )( )
已有 型板30块，要购买 、 两种型号板若干，拼成 正方形10个， 型板每块价格5元， 型板每块价格为4元．请你考虑要各买多少块，使所花的总钱数尽可能少，那么购买 、 两种板要花多少元？
【例 21】请把下面的图形分成形状、大小都相同的 块，使每一块里面都有“春蕾杯赛” 个字．
【例 22】学习与思考对小学生的发展是很重要的，学习改变命运，思考成就未来，请你将下图分成形状和大小都相同的四个图形，并且使其中每个图形都含有“学习思考”这四个字．应怎样分？
【例 23】如下图所示，请将这个正方形分切成两块，使得两块的形状、大小都相同，并且每一块都含有学而思奥数五个字．
小学五年级奥数立体图形染色计数：图形的切拼与染色问题模拟题
立体图形染色计数：图形的切拼与染色问题模拟题
1。
一个正方体被切成8个小正方体，表面积增加了54cm2，求这个正方体的体积是多少立方厘米？
2. 一个正方体棱长7cm，表面涂成红色，切成棱长1cm的小正方体,三面涂红色的、两面涂红色的、1面涂红色的各有多少个？没有涂成红色的有多少个？
3. 把22个棱长2cm的小正方体重叠起来,拼成一个立体图形(如图），求这个立体图形的表面积。
4. 一个长方体的宽和高相等，并且都等于长的一半,将这个长方体切成12个小长方体（如图)，这些小长方体的表面积之和是600dm2，求这个大长方体的体积.。
第23讲_图形的分割与拼接(含参考答案)
“图形的分割与拼接”专项复习本讲主要学习三大图形处理方法：1．理解掌握图形的分割；2．理解掌握图形的拼合；3．理解图形的剪拼．本讲中很多类型的题目还要求同学们去动手尝试．通过本讲知识的学习，让同学们了解不同图形的分割、拼合、剪拼的方法，锻炼同学们的平面想象能力以及增强学生的动手操作能力．把一个几何图形按某种要求分成几个图形，就叫做图形的分割．反过来，按一定的要求也可以把几个图形拼成一个完美的图形，就叫做图形的拼合．将一个或者多个图形先分割开，再拼成一种指定的图形，则叫做图形的剪拼．把图再【解析】无数条．任何过六边形中心的直线均符合要求．【例 2】把任意一个三角形分成面积相等的4个小三角形，有许多种分法．请你画出4种不同的分法．【解析】根据等底等高的三角形面积相等这一结论，只要把原三角形分成4个等底等高的小三角形，它们的面积必定相等．而要得到这4个等底等高的小三角形，只需把原三角形的某条边四等分，再将各分点与这边相对的顶点连接起来就行了．根据上面的分析，可得如左下图所示的三种分法．又因为4 14 22=⨯=⨯，所以，如果我们把每一个小三角形的面积看做1，那么14⨯就可以视为把三角形的面积直接分成4等份，即分成4个面积为1的小三角形；而22⨯可以视为先把原三角形分成两等份，再把每一份分别分成两等份．根据前面的分析，在每次等分时，都要想办法找等底等高的三角形．根据上面的分析，又可以得到如右下图的另两种分法．【巩固】把任意一个三角形分成面积相等的2个小三角形，有许多种分法．请你画出3种不同的分法．【解析】根据等底等高的三角形面积相等这一结论，只要把原三角形分成2个等底等高的小三角形，它们的面积必定相等．而要得到这2个等底等高的小三角形，只需找出原三角形的某条边的中点与这边相对的顶点连接起来就行了．根据上面的分析，可得如图所示的三种分法．【例 3】怎样把一个等边三角形分别分成8块和9块形状、大小都一样的三角形．，，【例7】下图是一个34⨯的方格纸，请用四种不同的方法将它分割成完全相同的两部分，但要保持每个小方格的完整．【解析】分成的两块每块有1226÷=(个)小格，并且这两块要关于中心点对称，大小和形状完全一样，我们从对称线入手，介绍一种分割技巧——染色法，先选中一个小格，找它关于中心点或中心线的对称位置，标上相应的符号．当找它关于中心线的对称位置时是一种情况，关于中心点的对称位置是另一种情况，具体如下图所示．【巩固】右图是一个44⨯的方格纸，请用六种不同的方法将它分割成完全相同的两部分，但要保持每个小方格的完整．【解析】因为要分割成完全相同的两块，即大小、形状完全相同．方格纸一共有4416⨯=(个)小格，所以分成的两块每块有1628÷=(个)小格，并且这两块要关于中心点对称，大小和形状完全一样，应用染色法，从中心点的一侧入手染色，逐步推进．(建议教师同时呈现六幅空的44⨯格图，不同的变化在不同的图上同时呈现)如下图：【例8】下图是一个被挖去了为总面积四分之一小正方形的大正方形，请你将它分成大小形状完全一样的四部分．【解析】要求把阴影部分分成四个大小、形状都相同的四个图形，先不考虑形状，大小相同也就是面积相等，也就是把整个图形的面积分成四份，分割后的每一部分占一份．考虑先把阴影部分分成12个小正方形再分成四份，这样每份正好有3个小正方形．再看形状，三个小正方形只能排成“－”形或者“∟”形．答案如下图．5份．再【解析】总格数为12，用总格数除以8，得到每个小图形应该是一个半小正方形，根据平均一个小图形的格数作图，如右图．【例11】下图是由18个小正方形组成的图形，请你把它分成6个完全相同的图形．【解析】通过计算，18÷6=3，说明基本形状是由三个小正方形组成，三个正方形有两种形式：与，通过观察，上面的图形具有对称性，不可能分成6个，再由6结合染色法，如下图．【例12】一个正三角形形状的土地上有四棵大树(如下图所示)，现要把这块正三角形的土地分成和它形状相同的四小块，并且要求每块地中都要有一棵大树．应怎样分？【解析】 由于土地的形状为正三角形，由题意可知，把大三角形的面积分成四份，每一块占一份，且形状与原三角形相同，于是我们想到取大正三角形的各边中点，依次连接各边中点，即可将这块大正三角形的土地分成与它相等的四份，如右上图所示．【总结】本题若死守三角形面积等于底⨯高的一半，则无以下手，引导学生转换一下思考角度，取原三角形各边中点，将原三角形分成面积相等的四部分，问题即可解决．【例 13】 将下图分割成大小、形状相同的三块，使每一小块中都含有一个○．【解析】 图中一共有18个小方格，要求分割成大小、形状相同的三块，每一块有：1836÷=(块)，而且分割成大小、形状相同的三块，可以看出图形的中心点是O ，而且上面的部分是对称的，但是只有5块，需要对称的再加上一块，再由图形的特点，可以判断应分为右下图的三部分．【例 14】 请把下面这个长方形沿方格线剪成形状、大小都相同的4块，使每一块内都含有“奥64⨯的，4块，4个小2的正方4种可【例 17】 如下图所示，请将这个正方形分切成两块，使得两块的形状、大小都相同，并且每一块都含有学而思奥数五个字．学而思奥数数奥思而学→图1图2【解析】 图中有相同汉字挨在一起的情况，肯定要从它们之间切开(图1)，因此，首先要在它们之间划出切分线．因为要将这个正方形切开成两块形状和大小都一样的图形，所以其中一块绕中心点旋转180︒必定与另一块重合．要是把切分线也绕中心点旋转180°就可得到一些新的切分线(图2)．这就为我们解决问题提供了线索，本题的两种解法如上图所示．【巩固】如下图所示的正方形是由36个小正方格组成的．如图那样放着4颗黑子，4颗白子，现在要把它切割成形状、大小都相同的四块，并使每一块中都有一颗黑子和一颗白子．试问如何切割？【解析】首先在相同颜色的棋子之间划出切分线，以中心旋转90、180、270之后，得到一些新的切分线，同时考虑到每块包含有一颗黑子和一颗白子的要求，以及每一块面积应该是3649÷=，即含有9个小正方格，先找到符合要求的一块后，让它绕中心旋转90、180、270便得到其他三块，如右上图．【例 18】如图，甲、乙是两个大小一样的正方形．要求把每一个正方形分成四块，两个正方形共分为八块，使每块的大小和形状都相同，而且都带一个○．甲乙【解析】一个正方形分成大小和形状都相同的四块，一定是从中心点分开的，只要能找出其中符合题目要求的一块，然后再将这块绕着正方形的中心点分别旋转90、180、270就可以得到另外三块．又因为这个正方形面积90、③设想分块从中心位置开始，(斜对于中间一层方格和最外一层方格，设想分块时一定要紧扣条件：每一块中都要有一个“○”和一个“⨯”．每一所以，大正方形的面积是：199⨯=(平方米)．【巩固】正六边形ABCDEF的面积是1平方米，将六条边分别向两端各延长一倍，交于六个点，组成如下图的图形，求这个图形的面积．【解析】采用分割法，连接正六边形的对角线，会发现，所有的三角形面积都相同，一共有12个小三角形，原来正六边形的面积是1平方米，由6个小三角形组成，所以现在的大图形的面积是：122⨯=(平方米)【例20】(第九届“中环杯”小学生思维能力训练活动初赛)如图，它是由15个边长为1厘米的小正方形组成的．⑴请在原图中沿正方形的边线，把它划分为5个大小形状完全相同的图形，分割线用笔描粗．⑵分割后每个小图形的周长是厘米．⑶分割后5个小图形的周长总和与原来大图形的周长相差厘米．【分析】⑴因为总共有15个小正方形，所以分成5个大小形状相同的图形后每个图形应该有÷=(个)小正方形，如图．1553⑵每个小图形的周长为8厘米．⑶5个小图形的周长和：8540-=(厘⨯=(厘米)，原图形的周长：44218⨯+=(厘米)，所以相差401822米)．【例21】如何把下图中的三个图形分割成两个相同的部分(除了沿正方形的边进行分割外，还可沿正方形的对角线进行分割)．【解析】要把图形分成两个相同的部分，首先要保证分得的两部分面积相同，其次要保证分得的两部分形状相同，从面积入手进行分割会使问题更容易解决．第一个图形一共有6个小正方形，2个三角形，要分割成两块完全相同的部分，每一部分都要有3个正方形、1个三角形，这样很容3个个较小的21一个梯形、一个平行四边形五种图形？若能，画出示意图．【解析】能用四块同样大小的等腰直角三角板拼出一个三角形、一个正方形、一个长方形、一个梯形、一个平行四边形五种图形．建议用等腰直角三角板，把不同的边进行重合，不要漏掉旋转重合，或者准备一些等腰直角三角形的纸片，由学生拼接后贴到黑板上，具体拼法如图所示．【例 25】下面哪些图形自身用4次就能拼成一个正方形？【解析】用4块图(4)和图(5)那样的图形显然能够拼成一个大正方形．其实用图(1)、图(2)、图(3)也能拼成一个大正方形，拼法见下图．【例 26】用下面的3个图形，拼成右边的大正方形．【解析】首先数一数所有的空格数，一共只有16个，只能组成44⨯的正方形，使用目标倒推法，在右边的大正方形中拼图，仍然使用染色法，相当于把已知图形往右边的大正方形中放，这样就很容易拼合了，如下图：【巩固】用“四连块”拼成一个正方形，按编号画入右边图中．【解析】首先数一数所有的空格数，一共只有16个，只能组成44⨯的正方形，目标倒推，在右边的大正方形中拼图，仍然使用染色法，相当于把已知图形往右边的大正方形中放，这样就很容易拼成了，注意标号的位置，具体如下图所示：型板每块A型与⨯=或491、图2快55⨯的【解析】把一个直角三角形的斜边与另一个直角三角形的一条直角边重合，同时，斜边上的一个锐角顶点与直角顶点重合，像这样依次摆放下去，便可得空心正八边形．若把一个直角三角形的斜边与另一个直角三角形的直角边的一部分重合，但顶点均不重合，依次摆放下去，便可由这八个相等的直角三角形组成空心正八角星．板块三图形的剪拼【例 30】试将一个正方形分成相同的四块，然后用这四块分别拼成三角形、平行四边形和梯形．【解析】要用分成的四块组成三角形，那么剪成得图形一定是三角形，这样平均分成四等分，当然这种分法有好几种．组成图形的时候我们可以换位思考，看如何将三角形、平行四边形、梯形分成大小相等的三角形．如图所示：【例 31】把两个小正方形剪开以后拼成一个大正方形．【解析】因为大正方形的面积等于两个小正方形的面积和，所以大正方形的边长不能等于两个小正方形的边长和，而是等于小正方形的对角线的长，所以要沿着两个小正方形的对角线剪开再进行拼接，如右图．【例 32】将下图分成4个形状、大小都相同的图形，然后拼成一个正方形．【解析】总共有36块小正方形，所以最后拼成的大正方形边长有6个单位，具体切拼方法如下：【例 33】试将一个49⨯的长方形分割成两个大小相等、形状相同的图形，然后拼成一个正方形．【解析】已知长方形格数9436⨯=(个)，所以正方形的边长应为6个格，因此可以把长方形上半部分成3个格、6个格，下半部分成6个格、3个格，分成相等的两块，合起来正好拼成一个边长为6个格的正方形，如右下图．【巩固】长方形的长和宽各是9厘米和4厘米，要把它剪成大小、形状都相同的两块，并使它们拼成一个正方形．4如果3；显【解析】要使裁剪的块数少，就要充分利用等腰直角三角形的特点，还要尽可能多的让长方形的边与三角形的边重合，假设拼好的长方形以BC为长，现在要把△ADE补到△CGE的位置上，这就要求这两个三角形完全一样，显然，只要取D、E分别为AB、AC的中点即可．所以首先连接AB的中点D和AC的中点E，将△ADE沿DE剪开，再按顺时针方向旋转180°即可．如下图所示．【例 37】试将任意一个三角形分成三块，然后拼成一个长方形．【解析】方法一：三角形与长方形的不同在于：角、边的个数不同，把三角形变为四边形，需要加一个角，加一条边，而且长方形四个角都是直角，自然能想到在三角形中做两条垂线，并且过三角形两条边的中点，这样才能拼出一个长方形，如左下图．方法二：因为由平行四边形转化为长方形很简单，所以只需要把三角形先分割、拼凑成平行四边形，作三角形的中位线，旋转180°即可转化为平行四边形，然后拼成长方形，如右下图．方法一：方法二：【巩固】试将任意一个矩形分成两块，然后拼成一个三角形．4请就要使剪裁的块数尽可能地少，应怎样剪拼？【解析】地毯的面积为8324⨯=平方米，两者虽然长、宽不相等，⨯=平方米，新房间的面积为6424但面积相等．通过对比不难发现：地毯的长比房间的长多2米，房间的宽比地毯的宽多1米，因此，我们可以把地毯看做由12个21⨯(平方米)的小长方形组成的大长方形，如左下图所示，要达到题目的要求，只要使原地毯的长缩短一小格．即减少2米，使原地毯的宽增加一小格，即增加1米，我们可以沿对角线的方向，把它剪成阶梯形的两块，并使它们的形状和大小完全相同，如中间图，然后把它们错位互相拼接在一起，即阴影部分先向上平行移动1米，再向右平行移动2米，即得右下图．【例 40】 如何把一个长20厘米、宽12厘米的长方形切成两块，拼成一个长16厘米、宽15厘米的新长方形． →图d 图e 【解析】 因为原长方形比新长方形的长多4厘米，新长方形比原长方形的宽多3厘米，因此我们把原长方形分成20个长4厘米，宽3厘米的小长方形．因为新长方形的长为16厘米，所以原长方形的长应减少一个小长方形，而新长方形的宽为15厘米，所以原长方形的宽应增加一个小长方形．可1618厘80厘米，再)；⑴⑵⑶【解析】 拼成大正方形的面积应是a a b b ⨯+⨯，设边长c ，则有等式c c a a b b ⨯=⨯+⨯，又因为将边长为a 的正方形切成四个全等形，那么分割线一定经过正方形中心，假设切割线MN 为大正方形边长，如图⑴，一定有MN MN a a b b ⨯=⨯+⨯，而MH a =，则：NH b =，所以2AN CM BH a b ===-÷（），由此可以确定MN ，然后将MN 绕中心O 旋转90到EF 位置，即可把正方形切成符合要求的4块．如图⑵与图⑶．这种分法同时确保图⑶的中间部分就是边长为b 的小正方形．这是因为：⑴中心四边形的角即边长为a 的正方形的四个角，∠A ，∠B ，∠C ，∠D ，又因为各边长度相等．因此中心四边形是正方形．⑵中心正方形的边长[2]2a a b a b a a b b =--÷--÷=--=（）（）（）．精心整理因此，中间部分是边长为b 的正方形．【例 45】 如下图所示，这是一张十字形纸片，它是由五个全等正方形组成，试沿一直线将它剪成两片，然后再沿另一直线将其中一片剪成两片，使得最后得到的三片拼成两个并列的正方形．【解析】 实际拼成两个并列的正方形就是一个长方形，其长是宽的2倍，设十字形面积是5个平方单位，长方形的长为x 长度单位，宽为2x 长度单位，那么有25,102x x x ==，即22231x =+，由勾股定理可知：所求长方形的长可视为一直角三角形直角边分别是3和1的斜边．它恰是两个对角顶点的连线．剪拼方法如右图所示，甲拼在甲′位置，乙拼在乙′位置，就可得符合题意的图形．【总结】假若沿第二条线把另一片也剪成两片，那么共剪成的4片是4个全等多边形，这时两条直线都经过十字形的中心，并且互相垂直．剪开的这4个图形其中一个绕中心旋转90也和另一个重合．由此我们便得到一个重要结论：对于一个正方形来讲，如果从中心沿360490÷=角的两边切开，得到整个图形的14，这个14的图形若绕中心旋转3603120÷=角的两边切开，1n 边的角的两边剪开，得到整个图形的360和另一个1n。
总集篇图形的拼切、对称、平移、旋转、折叠、运动问题-2024年小升初数学含答案
总集篇·图形的拼切、对称、平移、旋转、折叠、运动问题-2024年小升初数学难点：总集篇·图形的拼切、对称、平移、旋转、折叠、运动问题【十四大考点】【第一篇】专题解读篇本专题是难点04：总集篇·图形的拼切、对称、平移、旋转、折叠、运动问题。
本部分内容主要以图形的变化问题为主，其中包括平面图形和立体图形在拼切、对称、平移、旋转、折叠以及运动过程中的变化，考点考题以思维拓展为主，内容综合性极强，难度极大，建议作为小升初复习难点内容，并根据学生实际水平和总体掌握情况，选择部分考点进行讲解或训练，一共划分为十四个考点，欢迎使用。
【第二篇】目录导航篇【考点一】平面图形的拼接裁剪问题其一：长方形和正方形 (4)【考点二】平面图形的拼接裁剪问题其二：平行四边形和三角形 (6)【考点三】平面图形的拼接裁剪问题其三：平行四边形和梯形 (7)【考点四】平面图形的拼接裁剪问题其四：圆和长方形、正方形 (8)【考点五】平面图形的折叠问题 (8)【考点七】平面图形的对称问题 (10)【考点八】平面图形的平移运动问题 (11)【考点九】平面图形的旋转运动问题 (12)【考点十】立体图形的切拼问题其一：长方体和正方体 (14)【考点十一】立体图形的切拼问题其二：圆柱和圆锥 (16)【考点十二】立体图形的注水运动问题 (19)【考点十三】立体图形的旋转运动问题 (21)【考点十四】立体图形的折叠变化问题 (23)【第三篇】知识总览篇【第四篇】典型例题篇【考点一】平面图形的拼接裁剪问题其一：长方形和正方形。
【方法点拨】平面图形的拼接裁剪是小升初比较常考的图形变化问题，从知识综合与难度层次方面来看，与圆形相关的拼切裁剪问题是主要考察点，其次是特殊四边形的拼接裁剪，一般来讲，拼接裁剪造成的图形变化，相对容易理解，可以尝试画出示意图再观察变化特点。
【典型例题1】长方形的裁剪问题。
在一个长10厘米、宽8厘米的长方形纸上剪去一个边长是4厘米的正方形，小林想到了两种剪法（如下图），剩下部分的周长和面积分别是多少？【对应练习】李奶奶正在剪窗花，她在一张长48厘米，宽32厘米的长方形纸上剪下一个最大的正方形，【典型例题2】长方形的拼接问题。
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六年级下册第六讲：图形切拼
教学目标：
1.培养学生的动手操作、实践能力，发展学生的空间观念。
2.学会借助模型观察、分析，积累图形切拼的方法。
教学重点：探索规律，，抓住题目的的合适条件找解题突破口，积累图形切拼的方法。
教学难点：较强空间观念的形成。
导入：
我们在日常生活中，经常会遇到将一个图形切割成几个相同的或有其他规定要求的图形。
样，也会遇到将几个图形按要求拼补成一个图形的问题。
这就是数学研究中的“图形的分割与组合”，实质是一种“等积变形”。
图形的切拼问题来源于生活，解决问题的方法也要在实践中挖掘，所以一般问题我们都可以动手用纸片实际操作一下。
这样有利于对解题思路的开拓。
例1．有3张大小相同的正方形纸片，如左图所放，只能看到两个完整的正方形。
怎样放才能看到四个完整的正方形？
分析：解答此题要充分理解题意，明确题中要求是“能看到四个完整的正方形”。
（右图）
例2．画一个三角形，要使它能被分成12个完全一样的三角形，并画出其分法。
分析：利用等边三角形的三线合一的性质解答。
例3．（1）下图中，线段MN 将长方形分割成2部分，那么4条线段最多能将长方形分成多
少部分？
M
N
分析：一条线段将长方形分为两部分，长方形内两条相交线段可将长方形分为4部分，再画
一条线段与原来两条线段相交，最多可将长方形分为7部分，所画第4条线段与原来3条线段都相交，且交点不重复，最多可将长方形分为11部分。
（2）平面内有16条直线，最多能把这个平面划分成几部分？
分析：平面内若干条直线，当它们两两相交且无三条直线交于一点时，划分的平面数最多。
为寻求规律，先简化图形，列表分析：
从上表可知平面上16条直线，最多能将平面划分成：
7＋4＋5＋……＋16=7＋
（4＋16）×13
2
=137（部分）
例4． 直线L 上最多能找到多少个点，使它与A ，B 一起组成等腰三角形的三个顶点。
L
· · A B 分析：一共有5个点符合要求。
L
C 1 C 2 C 3 C 4 C 5
A B
例5．有8块长2厘米，宽1厘米的长方形纸板，2块竖着摆，6块横着摆，拼成一个16平方厘米的正方形，有多少种不同的拼法？
（9种）
例6．下图为一个底角是60°，上底和腰相等的等腰梯形，请你将它分割为大小一样、形状相同的四个图形。
分析：一个大的梯形直接按要求分为四个图形不太容易，但根据条件，上底边和腰相等，底角是60°，可以联想到等边三角形，先把梯形分割成几个相等的等边三角形，然后再等分等边三角形，让分得的个数恰好是4的倍数。
（1）（2）
练习：
1．求边长是整数厘米，周长是20厘米的不同的等腰三角形有多少个？
分析：由于三角形两边之和大于第三边，因而这等腰三角形的最长边不能大于9厘米，它们的边长可以是：9，9，2；8，8，4；7，7，6；6，6，8。
所以所求三角形有4个。
2．用四块形状和大小完全一样的三角板（30度、60度、90度），拼拼搭搭（不能重复），能出现多少个边长不同的正方形？请画出示意图。
分析：可以拼出许多图形，只要四块三角板相应地移动，使正方形的边长相应变化就行了。
还有一些拼的方法，可以让学生进行操作。
3．将下面图形分成三块形状相同，大小相同的图形。
分析：这个图形是21个小正方形组成的，分成大小相同的三块，每块应该是由7个小正方形组成的。
（如右图所示）
4．将下图分成五个大小相等、形状相同的图形。
分析：因为图中共有15个小正方形，所以分割成的图形的面积应该是15÷5=3（个）小正方形的面积。
5．如图，在5×8的长方形中，挖去了一个1×4的长方条（空白部分），请你把它划分成两
部分，使它们能拼成一个正方形。
分析：先计算挖去小长方形后的面积是36，由此可知，拼成的正方形边长是6。
（右图）6．左下图是两个由同样大的小方格组成的图形，我们可以用不同的方法把这两块图形拼成一个轴对称图形。
符合要求的拼法一共有几种？
（3种）
（1）（2）（3）
7．将边长分别是3厘米和4厘米的两个正方形切割成四块，然后将它们拼成一个边长是5厘米的大正方形，画出示意图。
分析：有两种方法。
8．将下图“8级阶梯”切成三块，然后拼成一个正方形。
分析：1＋2＋3＋4＋5＋6＋7＋8=36=6×6，所以拼成的正方形的边长仍是6，为了阶梯对合，所以从4级阶梯处切开，再考虑到边长是6。
智力冲浪：
有许多长为1厘米、2厘米、3厘米的正方形硬纸片，用这些硬纸片拼成一个长5厘米、宽3厘米的长方形纸片，共有多少种不同的拼法（通过旋转及翻转能相互得到的拼法认为是相同的拼法）。
分析：（1）有一个边长为3厘米的纸片有如下3种拼法。
（2）有两个边长为2厘米的纸片有如下4种拼法。
（3）有一个边长为2厘米及11个边长为1厘米纸片有如下2种拼法，边长全是1厘
米纸片有1种拼法。