离散数学(刘任任版)第11章答案

习题十二
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1．一个简单图 G 有多少不同的定 向图？ q 解.设 G( p, q) 是简单图，则G 共有2 个不同
的定向图。
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2．简单有向图的基础图一定是简 单图吗？
解.否，如下图
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3．设 D( p, q) 是简单有向图，证明： （1） 若 D 是强连通图，则 p ≤ q ≤ p ( p − 1) （2）若D 是弱连通图，则 p − 1 ≤ q ≤ p ( p − 1)
v2011-5-271213.证明：在完全二叉树中,弧的数目q恒
为q=2(t-1) ,其中t是树叶结点数目. 证：由定理12.3.1有 (m-1)i+1=t 这里 m=2,i+t=p(顶点数), 所以i+1=t 因二叉树的基础图是树， 故 q=p-1=(i+t)-1 =(t-1)+t-1 =2(t-1)
p + i =1 i
p i=1 + D p 2 i i=1 − D 2 1
d (u i ) + d (u i ) = p − 1
−
+
∈ V (D)有
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6．设D是单连通图. 试证明：若对任意u ∈ V (D )， d + (u ) = d − (u ) ，则 D 有一条有向回路. 均有 证明.因 D 单连通，故对任意 u ∈ V (D ) ， 有 d + (u ) = d − (u ) > 0 于是，从 D 的某一个顶点 出发可得一条有向闭链，从而 D 存在有向回 路.
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7.题
• • 设 P(u0 , v0 ) 是D中的最长有向通路,若它的长度 小于 δ + ,则由于D是简单有向通路,则必存在 以 v0 为尾,头不在 P(u0 , v0 ) 中的弧,从而P可以 继续延长,这与 P(u0 , v0 ) 是最长的有向通路矛盾, 所以结论得证.
max{δ − , δ + } = δ + (1)证明:不失一般性,不妨假设
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4. 设D( p, q ) 是有向图, p p + − 明： ∑ d D (ui ) = q = ∑ d D (ui )
i =1 i =1
证
证明：因为有向图中的每条弧对应一个顶 点（尾）的出度和另一个顶点（头）的 入度计数.故
+ − d D (u i ) = ∑ d D (u i ) = q ∑ i =1 i =1 p p
(用到第二节的内容)10．若有向完 D
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12．用归纳法证明书上第164页第12
题
（1） = 3 时，由条件，竞赛图必为 n 三个顶点分别为甲、乙、丙 （2）假设对 k < n 的所有情况满足题意 而 D 是 个选手的竞赛图. n ≥ 4，任取 u ∈ V (0) . D （a）若 D − u 中各点仍满足题意，则由为纳假设， − u中必存在满 足要求的甲、乙、丙三人，从而 D 中也存在三个人. （b）若 D − u 中有一个人全胜，设为甲，由条件可知，必有 胜 D 甲，令 为丙，又由 不全胜知， − u 中必有一点乙满足乙胜 丙，故存在满足要求的甲、乙，由归纳法原理知，结论成立.
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5．基础图是完全图的有向图 D ( p, q ) p p + 2 满足 ∑ (d D (ui )) = ∑ (d − (ui ))2
i =1 i =1
证明.由D 的假设知，对任何 u i
（1） d − (ui ) 2 + 2d − (ui ) d + (ui ) + d + (ui ) 2 = ( p − 1) 2 于是， d − (u i ) = ( p − 1) − d + (u i ) ， （2）又由（1）有 代入（2） 有 (d − (ui )) 2 + 2[( p − 1) − d + (ui )]d + (ui ) + (d + (ui )) 2 = ( p − 1) 2 (d − (u i )) 2 + 2( p − 1)d + (u i ) − (d + (u i )) 2 = ( p − 1) 2 整理得 1 d (u ) = q = p ( p − 1) （完全 （3）由题4知 ∑ 2 有向图）对（3）两边求和， 整理得 ∑ ( d ( u ) = ∑ ( d ( u ))
n
u
u
u
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另证：
由推论（12.2.2(p155)）.竞赛图 D 中含顶点 u ， 使得从 u 出发，到其它各顶点都有一条长度 不超过2的有向通路，若从 u 到其它各顶点都 d − (u ) = 0 不含题意. 是长度为2的有向通路，则 设 u 到 的长度为2，则有 < v, u >∈ A( D) .故 D 中 存在三角形，其顶点即为甲、乙、丙.
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,由 (1)可知 D 中之最长有向通路 P(u0 , v0 ) 的 长度大于等于k,由于 D 是简单的,从而应有 + • d (v0 ) ≥ k 条头不相同的弧,它们以 v0 为尾.且由于P的最长性知,这些以 v0 为尾的 d + (v 0 ) 条弧的头均在P上,故结论成立. • • (转)
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•
max{δ − , δ + } = δ + (2)不失一般性,可以假定
全图 中有一条有向回路，则 中有一个 D 三角形的有向回路。
显然，有向回路至少含三个顶点,将有向回路以 外的顶点去掉，得有向完全图 D ′，且任何顶 点 u 满足 d − (u ) ≠ 0 , 满足题12的条件 .故结论成 立.
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14．证明：一个完全二叉树必有 奇数个结点.
q ) 证：由题13知， = 2(l − 1（偶数），而
q = p −1
于是 p = q + 1 = 2(l − 1) + 1（奇数）
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证明（1）因 是强连通图，故D 中任意两个顶 D 点 u, v 之间既存在有向(u , v) 通路，又存在有 D 向(v, u ) 一通路，于是， 的基础图G 必含回路. 故q ≥ p ，又因 D 是简单有向图.故 D 中任何两 个顶点之间最多有二条弧， 从而 q ≤ p ( p − 1) ，故 p ≤ q ≤ p ( p − 1) . （２）因 D是弱连通图，故D 的基础图 G 是连通 的，若 G 无回路，则 q = p − 1 ， 因此 p − 1 ≤ q ≤ p ( p − 1) 。