离散数学期末考试题及答案

离散数学试题(B卷答案1）一、证明题（10分）1)(⌝P∧(⌝Q∧R))∨(Q∧R)∨(P∧R)⇔R证明: 左端⇔(⌝P∧⌝Q∧R)∨((Q∨P)∧R)⇔((⌝P∧⌝Q)∧R))∨((Q∨P)∧R)⇔(⌝(P∨Q)∧R)∨((Q∨P)∧R)⇔(⌝(P∨Q)∨(Q∨P))∧R⇔(⌝(P∨Q)∨(P∨Q))∧R⇔T∧R(置换)⇔R2) ∃x (A(x)→B(x))⇔∀xA(x)→∃xB(x)证明：∃x(A(x)→B(x))⇔∃x(⌝A(x)∨B(x))⇔∃x⌝A(x)∨∃xB(x)⇔⌝∀xA(x)∨∃xB(x)⇔∀xA(x)→∃xB(x)二、求命题公式(P∨(Q∧R))→(P∧Q∧R)的主析取范式和主合取范式（10分）。

证明：(P∨(Q∧R))→(P∧Q∧R)⇔⌝(P∨(Q∧R))∨(P∧Q∧R))⇔（⌝P∧(⌝Q∨⌝R)）∨(P∧Q∧R)⇔(⌝P∧⌝Q)∨(⌝P∧⌝R))∨(P∧Q∧R)⇔(⌝P∧⌝Q∧R)∨(⌝P∧⌝Q∧⌝R)∨(⌝P∧Q∧⌝R))∨(⌝P∧⌝Q∧⌝R))∨(P∧Q∧R)⇔m0∨m1∨m2∨m7⇔M3∨M4∨M5∨M6三、推理证明题（10分）1）C∨D，(C∨D)→⌝E，⌝E→(A∧⌝B)，(A∧⌝B)→(R∨S)⇒R∨S 证明：(1) (C∨D)→⌝E P(2) ⌝E→(A∧⌝B) P(3) (C∨D)→(A∧⌝B) T(1)(2)，I(4) (A∧⌝B)→(R∨S) P(5) (C∨D)→(R∨S) T(3)(4)，I(6) C∨D P(7) R∨S T(5)，I2) ∀x(P(x)→Q(y)∧R(x))，∃xP(x)⇒Q(y)∧∃x(P(x)∧R(x))证明(1)∃xP(x) P(2)P(a) T(1)，ES(3)∀x(P(x)→Q(y)∧R(x)) P(4)P(a)→Q(y)∧R(a) T(3)，US(5)Q(y)∧R(a) T(2)(4)，I(6)Q(y) T(5)，I(7)R(a) T(5)，I(8)P(a)∧R(a) T(2)(7)，I(9)∃x(P(x)∧R(x)) T(8)，EG(10)Q(y)∧∃x(P(x)∧R(x)) T(6)(9)，I四、某班有25名学生，其中14人会打篮球，12人会打排球，6人会打篮球和排球，5人会打篮球和网球，还有2人会打这三种球。

而6个会打网球的人都会打另外一种球，求不会打这三种球的人数（10分）。

解：A，B，C分别表示会打排球、网球和篮球的学生集合。

则|A|=12，|B|=6，|C|=14，|A∩C|=6，|B∩C|=5，|A∩B∩C|=2。

先求|A∩B|。

∵6=|（A∪C）∩B|=|（A∩B）∪（B∩C）|=|（A∩B）|+|（B∩C）|-|A∩B∩C|=|（A∩B）|+5-2，∴|（A∩B）|=3。

于是|A∪B∪C|=12+6+14-6-5-3+2=20。

不会打这三种球的人数25-20=5。

五、已知A、B、C是三个集合，证明A-(B∪C)=(A-B)∩(A-C) （10分）。

证明：∵x∈ A-（B∪C）⇔ x∈ A∧x∉（B∪C）⇔ x∈ A∧（x∉B∧x∉C）⇔（x∈ A∧x∉B）∧（x∈ A∧x∉C）⇔ x∈（A-B）∧x∈（A-C）⇔ x∈（A-B）∩（A-C）∴A-（B∪C）=（A-B）∩（A-C）六、已知R、S是N上的关系，其定义如下：R={<x，y>| x，y∈N∧y=x2}，S={<x，y>| x，y∈N∧y=x+1}。

求R-1、R*S、S*R、R{1，2}、S[{1，2}]（10分）。

解：R-1={<y，x>| x，y∈N∧y=x2}R*S={<x，y>| x，y∈N∧y=x2+1}S*R={<x，y>| x，y∈N∧y=（x+1）2}，R{1，2}={<1，1>，<2，4>}，S[{1，2}]={1，4}。

七、设R={<a，b>，<b，c>，<c，a>}，求r(R)、s(R)和t(R) （15分）。

解：r(R)={<a，b>，<b，c>，<c，a>，<a，a>，<b，b>，<c，c>}s(R)={<a，b>，<b，c>，<c，a>，<b，a>，<c，b>，<a，c>}R2= R5={<a，c>，<b，a>，<c，b>}R3={<a，a>，<b，b>，<c，b>}R4={<a，b>，<b，c>，<c，c>}t(R)={<a，b>，<b，c>，<c，a>，<a，c>，<b，a>，，<a，a>，<b，b>，<c，b>，<c，c>}八、证明整数集I上的模m同余关系R={<x，y>|x≡y(mod m)}是等价关系。

其中，x≡y(mod m)的含义是x-y可以被m整除（15分）。

证明：1）∀x∈I，因为（x-x）/m=0，所以x≡x(mod m)，即xRx。

2）∀x，y∈I，若xRy，则x≡y(mod m)，即（x-y）/m=k∈I，所以（y - x）/m=-k ∈I，所以y≡x(mod m)，即yRx。

3）∀x，y，z∈I，若xRy，yRz，则（x-y）/m=u∈I，（y-z）/m=v∈I，于是（x-z）/m=（x-y+y-z）/m=u+v ∈I，因此xRz。

九、若f:A→B和g:B→C是双射，则（gf）-1=f-1g-1（10分）。

证明：因为f、g是双射，所以gf：A→C是双射，所以gf有逆函数（gf）-1：C→A。

同理可推f-1g-1：C→A是双射。

因为<x，y>∈f-1g-1⇔存在z（<x，z>∈g-1∧<z，y>∈f-1）⇔存在z（<y，z>∈f∧<z，x>∈g）⇔<y，x>∈gf⇔<x，y>∈（gf）-1，所以（gf）-1=f-1g-1。

离散数学试题(B卷答案2）一、证明题（10分）1)((P∨Q)∧⌝(⌝P∧(⌝Q∨⌝R)))∨(⌝P∧⌝Q)∨(⌝P∧⌝R)⇔T证明: 左端⇔((P∨Q)∧(P∨(Q∧R)))∨⌝((P∨Q)∧(P∨R))(摩根律)⇔ ((P∨Q)∧(P∨Q)∧(P∨R))∨⌝((P∨Q)∧(P∨R))(分配律)⇔ ((P∨Q)∧(P∨R))∨⌝((P∨Q)∧(P∨R)) (等幂律)⇔T (代入)2) ∀x∀y(P(x)→Q(y))⇔⇔(∃xP(x)→∀yQ(y))证明：∀x∀y(P(x)→Q(y))⇔∀x∀y(⌝P(x)∨Q(y))⇔∀x(⌝P(x)∨∀yQ(y))⇔∀x⌝P(x)∨∀yQ(y)⇔⌝∃xP(x)∨∀yQ(y)⇔(∃xP(x)→∀yQ(y))二、求命题公式(⌝P→Q)→(P∨⌝Q) 的主析取范式和主合取范式（10分）解：(⌝P→Q)→(P∨⌝Q)⇔⌝(⌝P→Q)∨(P∨⌝Q)⇔⌝(P∨Q)∨(P∨⌝Q)⇔(⌝P∧⌝Q)∨(P∨⌝Q)⇔(⌝P∨P∨⌝Q)∧(⌝Q∨P∨⌝Q)⇔(P∨⌝Q)⇔M1⇔m0∨m2∨m3三、推理证明题（10分）1)(P→(Q→S))∧(⌝R∨P)∧Q⇒R→S证明：(1)R(2)⌝R∨P(3)P(4)P→(Q→S)(5)Q→S(6)Q(7)S(8)R→S2) ∃x(A(x)→∀yB(y))，∀x(B(x)→∃yC(y))∀xA(x)→∃yC(y)。

证明：(1)∃x(A(x)→∀yB(y)) P(2)A(a)→∀yB(y) T(1)，ES(3)∀x(B(x)→∃yC(y)) P(4)∀x(B(x)→C(c)) T(3)，ES(5)B(b)→C(c) T(4)，US(6)A(a)→B(b) T(2)，US(7)A(a)→C(c) T(5)(6)，I(8)∀xA(x)→C(c) T(7)，UG(9)∀xA(x)→∃yC(y) T(8)，EG四、只要今天天气不好，就一定有考生不能提前进入考场，当且仅当所有考生提前进入考场，考试才能准时进行。

所以，如果考试准时进行，那么天气就好（15分）。

解设P：今天天气好，Q：考试准时进行，A(e)：e提前进入考场，个体域：考生的集合，则命题可符号化为：⌝P→∃x⌝A(x)，∀xA(x)↔Q Q→P。

(1)⌝P→∃x⌝A(x) P(2)⌝P→⌝∀xA(x) T(1)，E(3)∀xA(x)→P T(2)，E(4)∀xA(x)↔Q P(5)(∀xA(x)→Q)∧(Q→∀xA(x)) T(4)，E(6)Q→∀xA(x) T(5)，I(7)Q→P T(6)(3)，I五、已知A、B、C是三个集合，证明A∩(B∪C)=(A∩B)∪(A∩C) （10分）证明：∵x∈ A∩（B∪C）⇔ x∈ A∧x∈（B∪C）⇔ x∈ A∧（x∈B∨x∈C）⇔（x∈A∧x∈B）∨（x∈ A∧x∈C）⇔ x∈（A∩B）∨x∈ A∩C⇔ x∈（A∩B）∪（A∩C）∴A ∩（B∪C）=（A∩B）∪（A∩C）六、A={ x1,x2,x3 }，B={ y1,y2}，R={<x1, y1>,<x2, y2>,<x3, y2>}，求其关系矩阵及关系图（10分）。

七、设R={<2,1>,<2,5>,<2,4>,<3,4>,<4,4>,<5,2>}，求r(R)、s(R)和t(R)，并作出它们及R的关系图（15分）。

解：r(R)={<2,1>,<2,5>,<2,4>,<3,4>,<4,4>,<5,2>,<1,1>,<2,2>,<3,3>,<4,4>,<5,5>}s(R)={<2,1>,<2,5>,<2,4>,<3,4>,<4,4>,<5,2>,<1,2>,<4,2>,<4,3>}R2=R5={<2,2>,<2,4>,<3,4>,<4,4>,<5,1>,<5,5>,<5,4>}R3={<2,1>,<2,5>,<2,4>,<3,4>,<4,4>,<5,2>,<5,4>}R4={<2,2>,<2,4>,<3,4>,<4,4>,<5,1>,<5,5>,<5,4>}t(R)={<2,1>,<2,5>,<2,4>,<3,4>,<4,4>,<5,2>,<2,2>,<5,1>,<5,4>,<5,5>}八、设R1是A上的等价关系，R2是B上的等价关系，A≠∅且B≠∅。