离散数学期末考试题及答案

离散数学试题(B卷答案1）

一、证明题（10分）

1)(⌝P∧(⌝Q∧R))∨(Q∧R)∨(P∧R)⇔R

证明: 左端⇔(⌝P∧⌝Q∧R)∨((Q∨P)∧R)

⇔((⌝P∧⌝Q)∧R))∨((Q∨P)∧R)

⇔(⌝(P∨Q)∧R)∨((Q∨P)∧R)

⇔(⌝(P∨Q)∨(Q∨P))∧R

⇔(⌝(P∨Q)∨(P∨Q))∧R

⇔T∧R(置换)⇔R

2) ∃x (A(x)→B(x))⇔∀xA(x)→∃xB(x)

证明：∃x(A(x)→B(x))⇔∃x(⌝A(x)∨B(x))

⇔∃x⌝A(x)∨∃xB(x)

⇔⌝∀xA(x)∨∃xB(x)

⇔∀xA(x)→∃xB(x)

二、求命题公式(P∨(Q∧R))→(P∧Q∧R)的主析取范式和主合取范式（10分）。

证明：(P∨(Q∧R))→(P∧Q∧R)⇔⌝(P∨(Q∧R))∨(P∧Q∧R))

⇔（⌝P∧(⌝Q∨⌝R)）∨(P∧Q∧R)

⇔(⌝P∧⌝Q)∨(⌝P∧⌝R))∨(P∧Q∧R)

⇔(⌝P∧⌝Q∧R)∨(⌝P∧⌝Q∧⌝R)∨(⌝P∧Q∧⌝R))∨(⌝P∧⌝Q∧⌝R))∨(P∧Q∧R)

⇔m0∨m1∨m2∨m7

⇔M3∨M4∨M5∨M6

三、推理证明题（10分）

1）C∨D，(C∨D)→⌝E，⌝E→(A∧⌝B)，(A∧⌝B)→(R∨S)⇒R∨S 证明：(1) (C∨D)→⌝E P

(2) ⌝E→(A∧⌝B) P

(3) (C∨D)→(A∧⌝B) T(1)(2)，I

(4) (A∧⌝B)→(R∨S) P

(5) (C∨D)→(R∨S) T(3)(4)，I

(6) C∨D P

(7) R∨S T(5)，I

2) ∀x(P(x)→Q(y)∧R(x))，∃xP(x)⇒Q(y)∧∃x(P(x)∧R(x))

证明(1)∃xP(x) P

(2)P(a) T(1)，ES

(3)∀x(P(x)→Q(y)∧R(x)) P

(4)P(a)→Q(y)∧R(a) T(3)，US

(5)Q(y)∧R(a) T(2)(4)，I

(6)Q(y) T(5)，I

(7)R(a) T(5)，I

(8)P(a)∧R(a) T(2)(7)，I

(9)∃x(P(x)∧R(x)) T(8)，EG

(10)Q(y)∧∃x(P(x)∧R(x)) T(6)(9)，I

四、某班有25名学生，其中14人会打篮球，12人会打排球，6人会打篮球和排球，5人会打篮球和网球，还有2人会打这三种球。而6个会打网球的人都会打另外一种球，求不会打这三种球的人数（10分）。

解：A，B，C分别表示会打排球、网球和篮球的学生集合。则|A|=12，|B|=6，|C|=14，|A∩C|=6，|B∩C|=5，|A∩B∩C|=2。

先求|A∩B|。

∵6=|（A∪C）∩B|=|（A∩B）∪（B∩C）|=|（A∩B）|+|（B∩C）|-|A∩B∩C|=|（A∩B）|+5-2，∴|（A∩B）|=3。

于是|A∪B∪C|=12+6+14-6-5-3+2=20。不会打这三种球的人数25-20=5。

五、已知A、B、C是三个集合，证明A-(B∪C)=(A-B)∩(A-C) （10分）。

证明：∵x∈ A-（B∪C）⇔ x∈ A∧x∉（B∪C）

⇔ x∈ A∧（x∉B∧x∉C）

⇔（x∈ A∧x∉B）∧（x∈ A∧x∉C）

⇔ x∈（A-B）∧x∈（A-C）

⇔ x∈（A-B）∩（A-C）

∴A-（B∪C）=（A-B）∩（A-C）

六、已知R、S是N上的关系，其定义如下：R={| x，y∈N∧y=x2}，S={| x，y∈N∧y=x+1}。求R-1、R*S、S*R、R{1，2}、S[{1，2}]（10分）。

解：R-1={| x，y∈N∧y=x2}

R*S={| x，y∈N∧y=x2+1}

S*R={| x，y∈N∧y=（x+1）2}，R{1，2}={<1，1>，<2，4>}，S[{1，2}]={1，4}。

七、设R={，，}，求r(R)、s(R)和t(R) （15分）。

解：r(R)={，，，，，}

s(R)={，，，，，}

R2= R5={，，}

R3={，，}

R4={，，}

t(R)={，，，，，，，，

b>，}

八、证明整数集I上的模m同余关系R={|x≡y(mod m)}是等价关系。其中，x≡y(mod m)的含义是x-y可以被m整除（15分）。

证明：1）∀x∈I，因为（x-x）/m=0，所以x≡x(mod m)，即xRx。

2）∀x，y∈I，若xRy，则x≡y(mod m)，即（x-y）/m=k∈I，所以（y - x）/m=-k ∈I，所以y≡x(mod m)，即yRx。

3）∀x，y，z∈I，若xRy，yRz，则（x-y）/m=u∈I，（y-z）/m=v∈I，于是（x-z）/m=（x-y+y-z）/m=u+v ∈I，因此xRz。

九、若f:A→B和g:B→C是双射，则（gf）-1=f-1g-1（10分）。

证明：因为f、g是双射，所以gf：A→C是双射，所以gf有逆函数（gf）-1：C→A。同理可推f-1g-1：C→A是双射。

因为∈f-1g-1⇔存在z（∈g-1∧∈f-1）⇔存在z（∈f∧∈g）⇔∈gf⇔∈（gf）-1，所以（gf）-1=f-1g-1。

离散数学试题(B卷答案2）

一、证明题（10分）

1)((P∨Q)∧⌝(⌝P∧(⌝Q∨⌝R)))∨(⌝P∧⌝Q)∨(⌝P∧⌝R)⇔T

证明: 左端⇔((P∨Q)∧(P∨(Q∧R)))∨⌝((P∨Q)∧(P∨R))(摩根律)

⇔ ((P∨Q)∧(P∨Q)∧(P∨R))∨⌝((P∨Q)∧(P∨R))(分配律)

⇔ ((P∨Q)∧(P∨R))∨⌝((P∨Q)∧(P∨R)) (等幂律)

⇔T (代入)

2) ∀x∀y(P(x)→Q(y))⇔⇔(∃xP(x)→∀yQ(y))

证明：∀x∀y(P(x)→Q(y))⇔∀x∀y(⌝P(x)∨Q(y))

⇔∀x(⌝P(x)∨∀yQ(y))