全国各地高考模拟函数综合性大题2

函数综合性大题2

1. 已知函数2

()8,()6ln .f x x x g x x m =-+=+ (１)求()f x 在区间[],1t t +上的最大值();h t

(2）是否存在实数,m 使得()y f x =的图象与()y g x =的图象有且只有三个不同的交点？若存在，求出m 的取值范围；若不存在，说明理由. 解：（1）2

2

()8(4)16.f x x x x =-+=--+

ﻩ当14,t +<即3t <时，()f x 在[],1t t +上单调递增，

22()(1)(1)8(1)67;h t f t t t t t =+=-+++=-++

ﻩ当41,t t ≤≤+即34t ≤≤时,()(4)16;h t f == ﻩ当4t >时，()f x 在[],1t t +上单调递减,

ﻩ2

()()8.h t f t t t ==-+

ﻩﻩ综上,2267,3,

()16,34,8,4t t t h t t t t t ⎧-++<⎪

=≤≤⎨⎪-+>⎩

(2)函数()y f x =的图象与()y g x =的图象有且只有三个不同的交点,即函数

ﻩ()()()x g x f x φ=-的图象与x 轴的正半轴有且只有三个不同的交点。

ﻩ

22()86ln ,

62862(1)(3)

'()28(0),

x x x x m x x x x x x x x x x φφ=-++-+--∴=-+==>

当(0,1)x ∈时，'()0,()x x φφ>是增函数；

ﻩ当(0,3)x ∈时,'()0,()x x φφ<是减函数; ﻩ当(3,)x ∈+∞时，'()0,()x x φφ>是增函数； ﻩ当1,x =或3x =时，'()0.x φ=

ﻩ()(1)7,()(3)6ln 315.x m x m φφφφ∴==-==+-最大值最小值

当x 充分接近０时，()0,x φ<当x 充分大时，()0.x φ>

ﻩ∴要使()x φ的图象与x 轴正半轴有三个不同的交点,必须且只须

()70,

()6ln 3150,x m x m φφ=->⎧⎪⎨

=+-<⎪⎩

最大值最小值 即7156ln3.m <<-

所以存在实数m ,使得函数()y f x =与()y g x =的图象有且只有三个不同的交点，m

的取值范围为(7,156ln 3).-

1. 设函数321

()()3

f x ax bx cx a b c =++<<,其图象在点(1,(1)),(,())A f B m f m 处的切线

的斜率分别为0,a -。 （1）求证：01b

a

<≤

； （2）若函数()f x 的递增区间为[,]s t ，求||s t -的取值范围;

（３）若当x k ≥时(k 是与,,a b c 无关的常数），恒有()0f x a '+<，试求k 的最小值。 解:（1)2()2f x ax bx c '=++,由题意及导数的几何意义得

(1)20f a b c '=++=， （1）

2()2f m am bm c a '=++=-, （2)

又a b c <<，可得424a a b c c <++<,即404a c <<,故0,0,a c <> 由(1）得2c a b =--,代入a b c <<,再由0a <，得

113b

a

-<<, (3) 将2c a b =--代入（2）得2220am bm b +-=，即方程2220ax bx b +-=有实根.

故其判别式2480b ab ∆=+≥得

2b a -≤,或b

a

≥0, （４） 由(3）,(4)得01b

a

<≤；

(2）由2()2f x ax bx c '=++的判别式2440b ac '∆=->，

知方程2()20()f x ax bx c '=++=*有两个不等实根，设为12,x x ，

又由(1)20f a b c '=++=知,11x =为方程(*)的一个实根，则有根与系数的关系得

122122,10b b

x x x x a a

+=-

=--<<， 当2x x <或1x x >时,()0f x '<，当21x x x <<时,()0f x '>， 故函数()f x 的递增区间为21[,]x x ,由题设知21[,][,]x x s t =, 因此122||||2b s t x x a -=-=+

，由（Ⅰ）知01b

a

<≤得 ||s t -的取值范围为[2,4)；

(3)由()0f x a '+<,即220ax bx a c +++<，即2220ax bx b +-<，

因为0a <,则2220b b x x a a +⋅

-⋅>，整理得2(22)0b

x x a

-+>, 设2()(22)b b g x x a a =-+，可以看作是关于b

a

的一次函数,

由题意()0b g a >对于01b

a

<≤恒成立,

故(1)0,(0)0,g g -⎧⎨>⎩≥ 即2

2220,

0,x x x ⎧-⎪⎨>⎪⎩

≥+得1x ≤或1x ，

由题意,[,)(,1][31,)k +∞⊆-∞-+∞,

故1k ，因此k 1． 2. 已知函数)0()(>+

=t x

t

x x f 和点)0 , 1(P ,过点P 作曲线)(x f y =的两条切线PM 、PN ,切点分别为M 、N ．

(Ⅰ）设)(t g MN =，试求函数)(t g 的表达式;

(Ⅱ)是否存在t ,使得M 、N 与)1 , 0(A 三点共线.若存在,求出t 的值;若不存在,

请说明理由．

(Ⅲ）在(Ⅰ)的条件下，若对任意的正整数n ,在区间]64

, 2[n

n +

内总存在1+m 个实数m a a a ,,,21 ，1+m a ，使得不等式)()()()(121+<+++m m a g a g a g a g 成立，求m 的最大值。

．解：(Ⅰ)设M 、N 两点的横坐标分别为1x 、2x ，

21)(x t

x f -

='， ∴切线PM 的方程为:))(1()(12

1

11x x x t x t x y --=+-，