第六章 第三节 三元一次不等式(组)与简单的线性规划

第六章 第三节 三元一次不等式（组）与简单的线性规

划问题 课下练兵场

一、选择题

1.满足条件202305350y x x y x y -⎧⎪

++>⎨⎪+-<⎩

≤的可行域中共有整点的个数为 ( )

A.3

B.4

C.5

D.6

解析：画出可行域，由可行域知有4个整点，分别是(0,0)，(0，－1)， (1，－1)，(2，－2). 答案：B

2.点P (x ，y )在直线4x ＋3y ＝0上，且x ，y 满足－14≤x －y ≤7，则点P 到坐标原点距离的取值范围是

( ) A.[0,5] B.[0,10] C.[5,10] D.[5,15]

解析：因x ，y 满足－14≤x －y ≤7， 则点P(x ，y)在14x y x y -⎧⎨

--⎩

≤7

≥

所确定的区域内， 且原点也在这个区域内. 又点0在直线4x ＋3y ＝0上，

430,14

x y x y -=⎧⎨

-=-⎩

解得430

(6,8).,(3,4).14x y A B x y -=⎧-⎨

-=-⎩

解得

P 到坐标原点的距离的最小值为0， 又|AO |＝10，|BO |＝5，

故最大值为10.∴其取值范围是[0,10]. 答案：B

3.设二元一次不等式组2190,

80,2140x y x y x y +-⎧⎪

-+⎨⎪+-⎩

≥≥≤所表示的平面区域为M ，使函数y ＝a x (a ＞0，

a ≠1)的图象过区域M 的a 的取值范围是 ( ) A.[1,3] B.[2，10] C.[2,9] D.[10，

9]

解析：画出可行域如图由.

80,

2190,x y x y -+=⎧⎨

+-=⎩

得交点A(1,9)，

2140,

2190,

x y x y +-=⎧⎨

+-=⎩由 得交点B (3,8)，

当y ＝a x 的图象过点A (1,9)时，a ＝9，

当y ＝a x 的图象过点B (3,8)时，a ＝2，∴2≤a ≤9. 答案：C

4.如果点P 在平面区域22021030x y x y x y ++⎧⎪

-+⎨⎪+-⎩

≥≤≤上，点Q 在曲线x 2＋(y ＋2)2＝1上，那么|PQ |的

最 小值为 ( ) A .5－1 B .

4

5

－1 C .22－1 D .2－1

解析：由图可知不等式组确定的区域为阴影部分包括边界，点P 到Q 的距离最小为到(0，－2)的最小值减去圆的半径1，由图可知

圆心(0，－2)到直线x －2y ＋1＝0的距离d ＝|0－2·(－2)＋1|

12＋(－2)2

＝5，

此时点P 恰好是(－1,0)，符合题意. ∴|PQ |min ＝d －1＝5－1. 答案：A

5.(2009·湖北高考)在“家电下乡”活动中，某厂要将100台洗衣机运往邻近的乡镇.现有4辆甲型货车和8辆乙型货车可供使用.每辆甲型货车运输费用400元，可装洗衣机20台；每辆乙型货车运输费用300元，可装洗衣机10台.若每辆车至多只运一次，则该厂所花的最少运输费用为 ( ) A.2 000元 B.2 200元 C.2 400元 D.2 800元 解析：设需使用甲型货车x 辆，乙型货车y 辆，运输费用z 元，根据题意，得线性约束

条件2010100,

04,08,x y x y +⎧⎪

⎨⎪⎩

≥≤≤≤≤

求线性目标函数z ＝400x ＋300y 的最小值. 解得当4,

2

x y =⎧⎨

=⎩时，z min ＝2 200.

答案：B

6.(2010·海口模拟)已知约束条件340210,380x y x y x y -+⎧⎪

+-⎨⎪+-⎩

≥≥≤若目标函数z ＝x ＋ay (a ≥0)恰好在点(2,2)

处取得最大值，则a 的取值范围为 ( ) A.0＜a ＜13 B.a ≥13 C.a ＞13 D.0＜a ＜1

2

解析：画出已知约束条件的可行域为△ABC 内部(包括边 界)，如图，易知当a ＝0时，不符合题意；当a ＞0时，由目 标函数z ＝x ＋ay 得y ＝－1a x ＋z a ，则由题意得－3＝k AC ＜－1

a

＜0，故a ＞13.

综上所述，a ＞1

3.

答案：C 二、填空题

7.能表示图中阴影部分的二元一次不等式组是 .

解析：由阴影部分知x≤0,0≤y≤1，又2×0－0＋2＞0，

故2x－y＋2≥0，

∴所求二元一次不等式组为

01. 220 x

y

x y

⎧

⎪

⎨

⎪-+

⎩

≤

≤≤

≥

答案：

01. 220 x

y

x y

⎧

⎪

⎨

⎪-+

⎩

≤

≤≤

≥

8.(2009·上海高考)已知实数x、y满足

2,

2

y x

y x

x

⎧

⎪

⎨

⎪

⎩

≤

≥-,

≤3

则目标函数z＝x－2y的最小值是

.

解析：如图作出阴影部分为可行域，由

2,3,

36,

y x x

x x

==

⎧⎧

⎨⎨

==

⎩⎩

得即A(3,6)，经过分析可知直线

z＝x－2y经过A点时z取最小值为－9. 答案：－9

9.若线性目标函数z＝x＋y在线性约束条件

30

20

x y

x y

y a

+-

⎧

⎪

-

⎨

⎪

⎩

≤

≤

≤

下取得最大值时的最优解只有

一个，则

实数a的取值范围是.

解析：作出可行域如图：

由图可知直线y＝－x与y＝－x＋3平行，若最大值只有一个，则直线y＝a必须在直线y＝2x与y＝－x＋3的交点(1,2)的下方，故a≤2.

答案：a≤2

三、解答题