相似三角形的周长
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△ ABC △ A' B 'C '
AD AB S k S A' D' A' B '
这样，得到：
1 1 BC AD k B' C 'k A' D' 2 2 2 k 1 1 B' C ' A' D' B' C ' A' D' 2 2
相似三角形面积的比等于相似比的平方．
∴
∠D＝∠A 1 ∴ △DEF∽△ABC，相似比为 2
DE DF 1 AB AC 2
B
C
E
F
又
L ADE 1 L ADE 1 , = L ADE =12 L ABC 2 24 2 S ADE 1 S ADE 1 = = S ADE =12 S ABC 4 48 4
练习
1.判断
解： 一个三角形各边扩大为原来9倍，相似比为1：9
S原四边形 1 ＝ S 扩大9倍四边形 9
2
边长扩大9倍四边形＝81倍原四边形的的面积
2.如图，△ABC∽△A'B'C'，他们的周长分别为 60cm和72cm，且AB=15cm，B'C'=24cm，求BC、 AC、A'B'、A'C'的长． 解： △ABC∽△A'B'C'
D C
F A E B
12、 如图，△ABC是一块锐角三角形余料， 边BC=120毫米，高AD=80毫米，要把它加 工成正方形零件，使正方形的一边在BC上， 其余两个顶点分别在AB、AC上，这个正方 形零件的边长是多少？
往事新忆
1.回忆全等三角形的性质:
两个全等三角形具有哪些性质?A
全等三角形的 ①对应角相等 ②对应边相等 ③对应高相等 ④对应中线相等 ⑤对应角平分线相等
B C
E DH A’
B’
E’ D’ H’
ห้องสมุดไป่ตู้C’
新知猜想
展开想象的翅膀: 相似三角形的对应角、对应边、 对应高、对应中线及对应角平分线 有何关系？
C'
3. 蛋糕店制作两种圆形蛋糕，一种半径是15cm, 一种半径是30cm，如果半径是15cm的蛋糕够2个 人吃，半径是30cm的蛋糕够多少人吃？（假设 两种蛋糕高度相同） 解： 两地蛋糕是相似的 相似比是1：2 面积的比为
1 1: 4 2
2
设半径是30cm的蛋糕够x人吃 1： 4＝ 2： x x=8 答：半径是30cm的蛋糕够8个人吃．
S ABC 2 2 k S ABC k S A' B 'C ' S A ' B ' C '
S四边形ABCD =k 2 S四边形A'B'C'D'
相似多边形面积的比等于相似比的平方．
例题分析
例6.如图，在△ABC和△DEF中，AB＝2DE，AC ＝2DF，∠A＝∠D，△ABC的周长是24，面积是 48，求△DEF的周长和面积． A D 解：在△ABC和△DEF中， ∵ AB＝2DE，AC＝2DF
AB＝k A'B'，BC＝kB'C'，CA＝kC'A'
得到：
探究
（1）如图，△ABC∽△A'B'C'，相似比为k1，它们
的面积比是多少 ？ A
A'
B
D
C
B'
D'
C'
如图，分别作出△ABC和△A'B'C'的高AD和A'D'． ∵ ∠ADB =∠A/D/B/ ∠B＝∠B' ∴ △ABD∽△A'B'D'
AB BC CA k A' B' B' C ' C ' A'
因此 从而
AB BC CA kA ' B' kB ' C ' kC ' A' k A' B' B' C 'C ' A' A' B' B' C 'C ' A'
相似三角形周长的比等于相似比
相似多边形周长的比等于相似比
相似三角形对应高的比等于相似比 已知：如图， A △ABC∽ △A’B’C’, △ABC与 △A’B’C’ 的相似比是k,AD、 B A’D’是对应高。求 D A’ AD 证： k ' ' AD 证明：
∵△ABC∽△A’B’C’ B’ ∴∠B= ∠B’ D’ Ｏ ∴∠ABD=∠A’B’D’=9０ AD AB ∴ △ABD∽△A’B’D’ ' ' k AD A' B'
C
C’
由例题我们可以得到什么样的结论？
定理：相似三角形的对应高的比，
等于相似比。
• 我也做一做：
A组，求证：相似三角形对应 中线的比等于相似比。 B组，求证：相似三角形对应 角平分线的比等于相似比。
如果两个三角形相似，它 们的周长之间有什么关系？ 两个相似多边形呢？
B
A A' C
B'
C'
如果△ABC∽△A'B'C'，相似比为k，那么
4. 在一张复印出来的纸上，一个多边形的一条 边由原图中的2cm变成了6cm，这次复印的放 缩比例是多少？这个多边形的面积发生了怎样 的变化？
解：
放缩比例为 面积发生了
6 3 2 1
S变化 9S原图
S变化 3 9 S原图 1 1
2
5、如图，平行四边形ABCD中，AE：EB=1：2， 求△AEF与△CDF周长的比。如果S△AEF=6 cm2, 求S△CDF？
探究
（2）如图，四边形ABCD相似于四边形A'B'C'D'，相似比为k2，它们的 面积比是多少？ A'
A D B C D' B'
分别连接AC，A'C' 则△ABC∽△A'B'C'，△ADC∽△A'C'D'，
C'
2 S ACD 2 S ACD k S A 'C ' D ' k S A ' C ' D ' S ABC S ACD k 2 S A 'B 'C ' S A 'C 'D '
B 18 18 A ' B ' AB 15 18 A' 15 15 15 24 BC 15 BC 20 18 B ' C ' 18 B' AC 60 15 20 25
60 15 k 72 18
AB 15 A ' B ' 18
A
C
A ' C ' 72 18 24 30
（1）一个三角形的各边长扩大为原来的5倍，这个 三角形的周长也扩大为原来的5倍； （2）一个四边形的各边长扩大为原来的9倍，这个 四边形的面积也扩大为原来的9倍． 解： （1）一个三角形各边扩大为原来5倍，相似比为1：5
原周长 1 ＝ 扩大5倍周长 5
扩大5倍周长＝5原周长
（2）一个四边形的各边长扩大为原来的9倍，这 个四边形的面积也扩大为原来的9倍．
AD AB S k S A' D' A' B '
这样，得到：
1 1 BC AD k B' C 'k A' D' 2 2 2 k 1 1 B' C ' A' D' B' C ' A' D' 2 2
相似三角形面积的比等于相似比的平方．
∴
∠D＝∠A 1 ∴ △DEF∽△ABC，相似比为 2
DE DF 1 AB AC 2
B
C
E
F
又
L ADE 1 L ADE 1 , = L ADE =12 L ABC 2 24 2 S ADE 1 S ADE 1 = = S ADE =12 S ABC 4 48 4
练习
1.判断
解： 一个三角形各边扩大为原来9倍，相似比为1：9
S原四边形 1 ＝ S 扩大9倍四边形 9
2
边长扩大9倍四边形＝81倍原四边形的的面积
2.如图，△ABC∽△A'B'C'，他们的周长分别为 60cm和72cm，且AB=15cm，B'C'=24cm，求BC、 AC、A'B'、A'C'的长． 解： △ABC∽△A'B'C'
D C
F A E B
12、 如图，△ABC是一块锐角三角形余料， 边BC=120毫米，高AD=80毫米，要把它加 工成正方形零件，使正方形的一边在BC上， 其余两个顶点分别在AB、AC上，这个正方 形零件的边长是多少？
往事新忆
1.回忆全等三角形的性质:
两个全等三角形具有哪些性质?A
全等三角形的 ①对应角相等 ②对应边相等 ③对应高相等 ④对应中线相等 ⑤对应角平分线相等
B C
E DH A’
B’
E’ D’ H’
ห้องสมุดไป่ตู้C’
新知猜想
展开想象的翅膀: 相似三角形的对应角、对应边、 对应高、对应中线及对应角平分线 有何关系？
C'
3. 蛋糕店制作两种圆形蛋糕，一种半径是15cm, 一种半径是30cm，如果半径是15cm的蛋糕够2个 人吃，半径是30cm的蛋糕够多少人吃？（假设 两种蛋糕高度相同） 解： 两地蛋糕是相似的 相似比是1：2 面积的比为
1 1: 4 2
2
设半径是30cm的蛋糕够x人吃 1： 4＝ 2： x x=8 答：半径是30cm的蛋糕够8个人吃．
S ABC 2 2 k S ABC k S A' B 'C ' S A ' B ' C '
S四边形ABCD =k 2 S四边形A'B'C'D'
相似多边形面积的比等于相似比的平方．
例题分析
例6.如图，在△ABC和△DEF中，AB＝2DE，AC ＝2DF，∠A＝∠D，△ABC的周长是24，面积是 48，求△DEF的周长和面积． A D 解：在△ABC和△DEF中， ∵ AB＝2DE，AC＝2DF
AB＝k A'B'，BC＝kB'C'，CA＝kC'A'
得到：
探究
（1）如图，△ABC∽△A'B'C'，相似比为k1，它们
的面积比是多少 ？ A
A'
B
D
C
B'
D'
C'
如图，分别作出△ABC和△A'B'C'的高AD和A'D'． ∵ ∠ADB =∠A/D/B/ ∠B＝∠B' ∴ △ABD∽△A'B'D'
AB BC CA k A' B' B' C ' C ' A'
因此 从而
AB BC CA kA ' B' kB ' C ' kC ' A' k A' B' B' C 'C ' A' A' B' B' C 'C ' A'
相似三角形周长的比等于相似比
相似多边形周长的比等于相似比
相似三角形对应高的比等于相似比 已知：如图， A △ABC∽ △A’B’C’, △ABC与 △A’B’C’ 的相似比是k,AD、 B A’D’是对应高。求 D A’ AD 证： k ' ' AD 证明：
∵△ABC∽△A’B’C’ B’ ∴∠B= ∠B’ D’ Ｏ ∴∠ABD=∠A’B’D’=9０ AD AB ∴ △ABD∽△A’B’D’ ' ' k AD A' B'
C
C’
由例题我们可以得到什么样的结论？
定理：相似三角形的对应高的比，
等于相似比。
• 我也做一做：
A组，求证：相似三角形对应 中线的比等于相似比。 B组，求证：相似三角形对应 角平分线的比等于相似比。
如果两个三角形相似，它 们的周长之间有什么关系？ 两个相似多边形呢？
B
A A' C
B'
C'
如果△ABC∽△A'B'C'，相似比为k，那么
4. 在一张复印出来的纸上，一个多边形的一条 边由原图中的2cm变成了6cm，这次复印的放 缩比例是多少？这个多边形的面积发生了怎样 的变化？
解：
放缩比例为 面积发生了
6 3 2 1
S变化 9S原图
S变化 3 9 S原图 1 1
2
5、如图，平行四边形ABCD中，AE：EB=1：2， 求△AEF与△CDF周长的比。如果S△AEF=6 cm2, 求S△CDF？
探究
（2）如图，四边形ABCD相似于四边形A'B'C'D'，相似比为k2，它们的 面积比是多少？ A'
A D B C D' B'
分别连接AC，A'C' 则△ABC∽△A'B'C'，△ADC∽△A'C'D'，
C'
2 S ACD 2 S ACD k S A 'C ' D ' k S A ' C ' D ' S ABC S ACD k 2 S A 'B 'C ' S A 'C 'D '
B 18 18 A ' B ' AB 15 18 A' 15 15 15 24 BC 15 BC 20 18 B ' C ' 18 B' AC 60 15 20 25
60 15 k 72 18
AB 15 A ' B ' 18
A
C
A ' C ' 72 18 24 30
（1）一个三角形的各边长扩大为原来的5倍，这个 三角形的周长也扩大为原来的5倍； （2）一个四边形的各边长扩大为原来的9倍，这个 四边形的面积也扩大为原来的9倍． 解： （1）一个三角形各边扩大为原来5倍，相似比为1：5
原周长 1 ＝ 扩大5倍周长 5
扩大5倍周长＝5原周长
（2）一个四边形的各边长扩大为原来的9倍，这 个四边形的面积也扩大为原来的9倍．