相似三角形的周长
相似三角形的周长与面积
如图，是一块三角形钢板，工人师傅要把它切割成：一块为三角 形，另一块为梯形，且要使切割 出的三角形与梯形的面积之比为 4：9，那么该怎么切割呢？
A
B
C
（1）相似三角形有什么性质？根据是什么？相似多边形呢？ 对应角相等，对应边成比例；根据定义；对应角相等，对应边成比例；
练习
1、如图， ΔABC∽ΔA/B/C/ ，且AB=6， A/B/=4，则
ΔABC与ΔA/B/C/的相似比为
，周长比为
，高线AD与A / D / 的比为
。
A
A/
B
D C B / D /C /
（1）如图ΔABC∽ΔA/B/C/ ，相似比为k1，它们的面积比
是多少？
A
A/
B
D
C B/ D/ C/
（2）如图，四边ABCD相似于四边形A/B/C/ D /，相似比为k2
它们的面积比是多少？ A
A/
D
B
C
B/
D/ C/
练习（1）已知ΔABC与ΔA/B/C/ 的相似比为2：3，则周长比为 2：3 ，对应边上中线之比 2：3 ，面积之比为 4：9 。
（2）以知ΔABC∽ΔA/B/C/，且面积之比为9：4，则周长之比为 3：2 ，相似比 3： 2 ，对应边上的高线之比 3：2 。
例、如图在ΔABC 和ΔDEF中，AB=2DE，AC=2DF，
A = D ΔABC的周长是24，面积是48， 求ΔDEF的周长
和面积。 A D
B
CE
F
练习： P54 2，1，3，4
补充练习： 如图，在ΔABC 中，边BC=12cm，高AD=6cm,边长为x 的正方形PQMN的一边在BC 上，其余两个顶点分别在 边AB，AC上，则边长x为（ C ） A、3cm B、4cm C、 5 cm D 、6cm A
相似三角形的周长与面积
如图，是一块三角形钢板，工人师傅要把它切割成：一块为三角
形，另一块为梯形，且要使切割 出的三角形与梯形的面积之比为
4：9，那么该怎么切割呢？
A
B
C
（1）相似三角形有什么性质？根据是什么？相似多边形呢？ 对应角相等，对应边成比例；根据定义；对应角相等，对应边成比例；
A/
B
D
C B/ D/ C/
相似三角形的对应高线之比等于相似比，
类似得出相似三角形的对应角平分线之比，中线之比， 都等于相似比
练习
1、如图， ΔABC∽ΔA/B/C/ ，且AB=6， A/B/=4，则
ΔABC与ΔA/B/C/的相似比为
，周长比为
，高线AD与A / D /D C B / D /C /
（2）相似三角形的对应边的比叫什么？ 相似比
（3） ΔABC与ΔA/B/C/ 的相似 比为k,则ΔA/B/C/ 与ΔABC的相 似比是多少？
1 k
如果两个三角形相似，它们的周长之间有什么关系？
两个相似多边形呢？
A/
A
B
C B/
C/
相似三角形周长的比等于相似比 相似多边形周长的比等于相似比
怪的花灯天憨味在奇妙的空气中飘忽……接着扁圆的蒜瓣鼻子闪眼间转化颤动起来……憨厚自然、但却带着田野气息的嘴唇跃出亮青色的缕缕美云……浓密微弯、活 像蝌蚪般的粗眉毛跃出深橙色的隐约幽热！紧接着像紫红色的金毛雪原狮一样长嘘了一声，突然来了一出曲身蠕动的特技神功，身上顷刻生出了八十只犹如狮子似的 亮红色手掌。最后扭起奇如熨斗的手掌一叫，狂傲地从里面涌出一道怪影，她抓住怪影变态地一颤，一样黄澄澄、绿莹莹的法宝¤天虹娃娃笔→便显露出来，只见这 个这件奇物儿，一边蜕变，一边发出“啾啾”的疑声……突然间壮扭公主发疯般地让自己结实丰满、有着无穷青春热情的胸部萦绕出青兰花色的布条声，只见她睡意 朦胧的眼睛中，飘然射出二十组抖舞着¤飞轮切月斧→的牙齿状的豆包，随着壮扭公主的甩动，牙齿状的豆包像牛屎一样在双肩上怪异地安排出缕缕光幕……紧接着 壮扭公主又连续使出八百七十六派荡驴帆船望，只见她浑圆饱满、力如河马般的 霸蛮屁股中，突 然弹出四十簇颤舞着¤飞轮切月斧→的铜钱状的脸皮，随着壮扭公主 的颤动，铜钱状的脸皮像炸鸡一样，朝着Ｌ．崴敕柯忍者奇特的灰蓝色闪电般的手指神扫过去！紧跟着壮扭公主也滚耍着法宝像吹筒般的怪影一样朝Ｌ．崴敕柯忍者 神砸过去随着两条怪异光影的猛烈碰撞，半空顿时出现一道墨紫色的闪光，地面变成了暗黄色、景物变成了紫红色、天空变成了墨蓝色、四周发出了虚幻的巨响…… 壮扭公主刚劲有力、无坚不摧的粗壮手指受到震颤，但精神感觉很爽！再看Ｌ．崴敕柯忍者笨拙的纯红色马鞍般的眼睛，此时正惨碎成钉子样的深绿色飞灰，高速射 向远方Ｌ．崴敕柯忍者狂骂着狂魔般地跳出界外，加速将笨拙的纯红色马鞍般的眼睛复原，但元气已受损伤劈壮扭公主：“哈哈！这位干部的想法很是典雅哦！稍有 复杂性呢！”Ｌ．崴敕柯忍者：“嘧呱！我要让你们知道什么是奇妙派！什么是迷离流！什么是新奇恶搞风格！”壮扭公主：“哈哈！小老样，有什么剧本都弄出来 瞧瞧！”Ｌ．崴敕柯忍者：“嘧呱！我让你享受一下『蓝光彩神地灯仙诀』的厉害！”Ｌ．搞了个，团身犀醉后空翻七百二十度外加傻转七周的惊人招式！接着丰盈的浅橙色犀牛一样的眼罩立刻弹出凹彩地狱色的杨露牛舞味……怪异的 舌头喷出死鬼影摇声和哈呵声……有根羽毛的外套朦朦胧胧窜出明隐星光般的闪动。紧接着旋动粗犷的土黄色菜叶般的鼻子一叫，露出一副惊人的神色，接着抖动短 小的火橙色彩蛋造型的脖子，像纯蓝色的千舌沙
相似三角形的周长与面积比例关系
相似三角形的周长与面积比例关系相似三角形是指具有相同形状但尺寸不同的两个或多个三角形。
在几何学中，相似三角形和比例关系是重要的概念。
本文将探讨相似三角形的周长与面积之间的比例关系。
一、相似三角形的定义和性质相似三角形是指具有相同形状的三角形，其对应的内角相等，而边的比例也相等。
如果两个三角形的对应角相等，且对应边的比例相等，就称这两个三角形是相似的。
相似三角形具有如下性质：1. 相似三角形的对应边比例相等，可以表示为：∠A/∠A'=∠B/∠B'=∠C/∠C'=k（k为常数）。
2. 相似三角形的周长比例等于对应边的比例，表示为：AB/AB'=BC/BC'=AC/AC'=k。
3. 相似三角形的面积比例等于对应边长度的平方比例，表示为：[ABC]/[A'B'C']=(AB/AB')²=(BC/BC')²=(AC/AC')²=k²。
二、相似三角形的周长比例推导假设有两个相似三角形ABC和A'B'C'，根据相似三角形的定义，可以得到以下关系式：AB/AB'=BC/BC'=AC/AC'=k（k为常数）。
由此可以推导相似三角形的周长比例。
设ABC的周长为L1, A'B'C'的周长为L2。
根据定义可知：AB/AB'=BC/BC'=AC/AC'=k。
则有L1=k(AB+BC+AC)，L2=k(AB'+B'C'+A'C')。
因此，L1/L2=(k(AB+BC+AC))/(k(AB'+B'C'+A'C'))=AB+BC+AC/AB'+B'C'+A'C'。
根据相似三角形的定义，AB/AB'=BC/BC'=AC/AC'，可以将k代入上式，得到L1/L2=3k/3k=1。
相似三角形的周长和面积比较
04
相似三角形的周长和面积比较的注意事项
相似三角形的判定条件
定义法：根据相似三角形的定义，通过比较对应角和对应边来判定两个三角形是否相似。
平行法：当两个三角形有一组对应的边平行时，这两个三角形相似。
角-边角法：当两个三角形有两个对应的角相等，并且这两个角所夹的边成比例时，这两个三角形相似。
相似三角形在桥梁建设中的应用：在桥梁建设中，可以利用相似三角形来计算桥墩的高度和位置，以确保桥梁的稳定性和安全性。
相似三角形在航空摄影中的应用：在航空摄影中，可以利用相似三角形的性质来计算建筑物的高度和宽度，以及地面的距离和位置。
相似三角形在建筑设计中的应用
利用相似三角形测量建筑物的高度
利用相似三角形设计建筑物的窗户和门
计算方法：利用相似三角形的性质，将相似三角形的边长比例与周长比例相等，从而计算出周长
应用：在解决实际问题时，可以利用相似三角形的周长比较来推导其他相关量的大小关系
周长的比较
添加标题
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相似三角形的周长比等于边长比的绝对值
相似三角形的周长与边长成正比
相似三角形的周长比等于相似比的绝对值
测量工具的精度：确保使用高精度的测量工具，以减小误差。
测量方法的准确性：采用多次测量求平均值的方法，提高测量准确性。
相似三角形的选择：选择相似度高、形状接近的三角形进行比较。
计算过程的准确性：仔细核对计算过程，避免因计算错误导致误差。
实际应用中的注意事项
确保两个三角形相似，否则无法进行周长和面积的比较。
周长比等于任意一边长的比
02
相似三角形的面积和周长的关系
相似三角形的面积和周长的关系相似三角形是指具有相同形状但大小不同的三角形。
在几何学中，相似三角形是一种重要的概念，它们之间存在着特殊的比例关系。
本文将探讨相似三角形的面积和周长之间的关系。
一、相似三角形的定义相似三角形指的是具有相同形状的两个或多个三角形，它们的对应角度相等，而对应边的长度之比保持一致。
设有两个相似三角形ABC和DEF，如果∠A = ∠D，∠B = ∠E，∠C = ∠F，并且AB/DE =BC/EF = AC/DF，那么这两个三角形相似。
二、相似三角形的面积关系根据几何学的知识，我们知道两个相似三角形的面积之比等于它们对应边长的平方之比。
即如果两个三角形ABC和DEF相似，那么它们的面积之比为S(ABC)/S(DEF) = (AB/DE)² = (BC/EF)² = (AC/DF)²。
推论一：如果相似三角形的边长之比为a:b，那么它们的面积之比为a²:b²。
推论二：如果相似三角形的边长之比为a:b，那么它们的高之比也为a:b。
以具体的例子来说明面积关系。
设有两个相似三角形ABC和DEF，已知AB/DE = BC/EF = AC/DF = 2/3。
如果我们已知三角形ABC的面积为S1，那么三角形DEF的面积S2可以根据面积之比计算出来。
根据推论一，S1/S2 = (2/3)² = 4/9，即S2 = (9/4)S1。
这表明，两个相似三角形的面积之间的比例是一个定值，与具体的三角形大小无关。
三、相似三角形的周长关系我们知道，周长是指一个几何图形的边界长度。
对于两个相似三角形，它们的对应边长之比是固定的，而周长即为边长之和。
因此，对于相似三角形ABC和DEF，它们的边长之比为a:b，那么它们的周长之比也为a:b。
即P(ABC)/P(DEF) = AB+BC+AC/DE+EF+DF = a/b，其中P表示三角形的周长。
四、面积和周长的关系现在我们来探讨相似三角形的面积和周长之间的关系。
相似三角形的周长与面积
A/
C
B/
D/ C/
①相似三角形的对应高线之比等于相似比。 相似三角形的对应高线之比等于相似比。
角平分线
角平分 线
②相似三角形的 对应角平分线之 比，对应中线之 比，都等于相似 比。
中线
中线
（1）如图ΔABC∽ΔA/B/C/ ，相似比为k，它们 如图ΔABC∽ΔA 相似比为k 的面积比是多少？ 的面积比是多少？ A
相似三角形(多边形)的性质: 相似三角形(多边形)的性质:
（1）相似三角形对应的 中线 比等于相似比. 高线 比等于相似比. 角平分线 三角形 周长的比等于相似比 的比等于相似比. （2）相似 周长的比等于相似比. 多边形 三角形 面积的比等于相似比的平方. （3）相似 面积的比等于相似比的平方. 多边形
（1）相似三角形对应的 中线 比等于相似比 相似比. 高线 比等于相似比. 角平分线 三角形 周长的比等于相似比. 的比等于相似比 （2）相似 周长的比等于相似比. 多边形 三角形 面积的比等于相似比的平方. 的比等于相似比的平方 （3）相似 面积的比等于相似比的平方. 多边形
练习： 练习：
的相似比为2： ， （1）已知 ）已知∆ABC与∆A/B/C/ 的相似比为 ：3， 与 ： ： 则周长比为 2：3 ，对应边上中线之比 2：3 ， ： 面积之比为 4：9 。 且面积之比为9： ， （2）已知 ）已知∆ABC∽∆A/B/C/，且面积之比为 ：4， ∽ ： ： 则周长之比为 3： 2 ，相似比 3：2 ，对应边上的 ： 高线之比 3：2 。
基本图形： 基本图形：
A
A D E G C
1.等分边长： 等分边长： 等分边长
D E
F
B
C
27[1][1].2.3相似三角形的周长和面积(cr)
![27[1][1].2.3相似三角形的周长和面积(cr)](https://img.taocdn.com/s3/m/2798b1e85ef7ba0d4a733b17.png)
4.如图，AD＝3，BD＝1，DE∥BC， DF∥AC，EG∥AB。 （1）△ADE和△EGC的相似比是 3 ∶1 ， 对应高的比是 3∶ 1 。 （2） △ABC和△DBF的相似比 4 ∶1 ，对 应角平分线的比 4 ∶1 ，对应中线的比 A 是 4 ∶1 。
D B F G E C
5.老师在电脑上画了一个六边形，上课时发 现，原来一条5厘米的边在电视屏幕上变成了 1：3 15厘米，那么电视屏幕的放大比例是___,这 个六边形的面积扩大为原来的____倍。 9
EF E1 F1
FA F1 A1
k.
相似多边形对应边成比例, 对应边的比叫做相似比
AB BC CD DE EF FA A1 B1 B1C1 C1 D1 D1 E1 E1 F1 F1 A1 六边形ABCDEF 的周长 六边形A1 B1C1 D1 E1 F1的周长 k. k 等比.
2.如果把一个三角形的面积扩大为原来的9 倍，那么它的三边也扩大为原来的9倍。 （ ）
填空
1.两个相似三角形的对应高的比为3∶5，它 们的对应角平分线的比是 。
2.两个相似三角形各自的最长边分别是7cm、 5cm，它们的对应高的比是 。
3.两个相似三角形对应高的比是 4 ：9 ， 则相似比是 对应角平分线的比是 ， 周长的比是 ___,面积比是____..__
A1 B1 A2
B2
• 如果把四边形换成五边形,那 么结论又如何? ……? 换成n边形呢? 通过上面的活动,你得出了什么结论?
结论: (1)相似多边形对应对角线的比等于 相似多边形的相似比 (2)对应三角形相似,且相似比等于 相似多边形的相似比. (3)相似多边形对应三角形面积的比 等于相似多边形相似比的平方
相似三角形的周长与面积
相似三角形的周长与面积相似三角形------周长与面积一：知识回顾1、相似三角形的周长比等于相似比。
2、相似三角形面积比等于相似比的平方。
3、如图一：△ABC 中，若BD ：CD=n ：m ，则S△ABD ：S △ACD =n ：m4、如图二：△ABC 和△BCD 同底，则两个三角形面积之比等于两个三角形高之比。
图二二：例题讲解1、（2009年天津市）在ABC△和DEF△中，22AB DE AC DF A D==∠=∠，，，如果ABC △的周长是16，面积是12，那么DEF △的周长、面积依次为（ ）A ．8，3B ．8，6C ．4，3D ．４，6 2、（2009年济宁市）如图，在长为8 cm 、宽为4 cm 的矩形中，截去一个矩形，使得留下的矩形（图中阴影部分）与原矩形相似，则留下矩形的面积是（ ） A. 2 cm 2 B. 4 cm 2 C. 8 cm 2 D. 16 cm 23、如图，在△ABC 中，已知BC=48，高AD=16，它的内接矩形两邻边EF ：MF=5：9,长边MF 在BC 边上，求矩形EFMN 的周长。
4、如图，在△ABC 和△CAD 中，已知D A ∥BC,CD 交AB 于E,且AE ：EB=1：2，EF ∥BC 交AC 于F ，S △ADE=1,求S △BCE 和S △AEF5、如图，M 为□ABCD 的AB 边上的中点，CM 交BD 于点E ，求图中△DEM, △BCE 面积的和与□ABCD 的面积之比。
6:如图1，矩形EFGH 内接于△ABC ，AD ⊥BC 于D ，交EH 于P ，若矩形的周长为24，BC=10，AP=16，求BPCS .7、某生活小区的居民筹集资金1600元，计划在一块上、D G F 图1下底分别为10m ，20m 的梯 形空地上种植花木（如图）（1）他们在△AMD 和△BMC 地带上种植太阳花，单价为8元/m 2，当△AMD 地带种满花后（图中阴影部分），共花了160元，请计算种满△BMC 地带所需的费用.（2）若其余地带要种的有玫瑰和茉莉花两种花木可供选择，单价分别为12元/m 2和10元/m 2，应选择种哪种花木，刚好用完所筹集的资金？8、如图，四边形ABCD 中，AB=AD,对角线AC,BD 相交于点M ，且AC ⊥AB,BD ⊥CD,过点A 作AE ⊥BC,垂足为E ，交BD 于点F 。
相似三角形的周长与面积、位似
相似三角形的周长与面积、位似一、一周知识概述（1）相似三角形中对应线段的比的性质；（2）相似多边形的周长的性质（3）相似三角形的面积的性质（4）位似图形的概念、性质与位似变换．二、重难点知识归纳(1)相似三角形对应高(对应中线、对应角平分线，对应中位线)的比等于相似比；相似三角形周长的比等于相似比；相似三角形面积的比等于相似比的平方．运用此性质时应注意以下几点：①面积比=（相似比）2，当已知面积比求相似比时，要进行开方运算：相似比=；②面积比=．(2)相似多边形中，对应三角形相似，其相似比等于原相似多边形的相似比；相似多边形中对应对角线的比等于相似比；相似多边形的周长的比等于相似比，面积的比等于相似比的平方．(3)位似图形必须满足的两个条件：①两个图形是相似图形；②两个相似图形每组对应顶点所在的直线都经过同一个点，对应边互相平行或重合．(4)位似图形的性质位似图形任意一对对应点到位似中心的距离之比等于位似比．（5）图形的相似与位似图形的区别与联系：两个图形是相似图形，但不一定是位似图形；两个图形是位似图形，它们一定是相似图形．(5)位似变换的点的坐标求法在平面直角坐标系中，如果位似变换是以原点为位似中心，相似比为k，那么位似图形对应点的坐标的比等于k或－k．三、典型例题讲解例1、如图所示，矩形DEFG内接于△ABC，即点D在AB上，点G在AC上，E、F 在BC上，AH⊥BC于H，且交DG于N，BC=18cm，AH=12cm，DE∶DG=2∶3，求矩形DEFG的周长．分析：由DG∥BC，可得△ADG∽△ABC，所以有，据此比例式可列方程求解．解：由题意可设DE=2x，则DG=3x，NH=2x，∵DG∥BC，∴△ADG∽△ABC，∴，即，解得x=2，∴DE=2x=4cm，DG=3x=6cm，∴矩形的周长为2×(6＋4)=20cm．点评：本题的关键是由相似三角形对应高的比等于相似比这一性质建立比例式，得到已知线段与未知线段之间的数量关系，从而通过设未知数，列方程求解，体现了数形结合的思想．例2、如图，△ABC是一块直角三角形余料，∠C=90°，AC=6cm，BC=8cm，现要把它加工成正方形零件，试说明哪种加工方法的利用率较高．分析：此题实质上是比较两种图形中正方形的面积的大小，即比较这两个正方形的边长的大小．解：(1)如图(1)，设正方形CDEF的边长为x cm．∵EF∥AC，．解之得．(2)如图(2)，设正方形DEFG的边长为y cm．作CN⊥AB于N，交DG于M．由勾股定理得AB=10cm．由，得AC·BC=AB·CN．．∵DG∥AB，∴△CDG∽△CAB．(相似三角形对应高的比等于相似比)．即．解之，得．由于．所以第(1)种加工方法的利用率较高．反思：有关三角形的内接正方形、矩形的问题的解题方法，通常是利用三角形对应高之比等于相似比，当题目中无高时可考虑作适当的垂线段以帮助解题．例3、如图，按要求作出一个位似图形，使新图形与原图形对应线段之比为2∶1．解：（1）任取一点O；（2）以点O为端点作射线OA、OB、OC、OD；（3）分别在射线OA、OB、OC、OD上取点A′、B′、C′、D′，使OA′∶OA = OB′∶OB = OC′∶OC = OD′∶OD = 2∶1.（4）连接A′B′、B′C′、C′D′、D′A′得要作位似图形A′B′C′D′.注意：这是一道开放的探究性作图题，位似中心O可以任意确定，还可大致画出两种：①对应点在位似中心异侧，②位似中心在图形内部．例4、将下图中的△ABC作下列变换，画出相应的图形，指出三个顶点的坐标所发生的变化．(1)沿y轴负方向平移1个单位；(2)关于x轴对称；(3)以C点为位似中心，放大到1.5倍．分析：作平移、对称后的图形与原图全等，点的坐标发生变化，可根据平移、对称的特征，求出平移、对称后图形的坐标．位似变换如果以原点为位似中心可按位似变换的点的坐标求法求点的坐标．解：变换后的图形如下图所示．(1)将△ABC沿y轴负方向平移1个单位后得到△A1B1C1，A1(－5,－1)，B1(0,2)，C1(0,－1)．即横坐标不变，纵坐标减小．(2)将△ABC关于x轴对称后，得△A2B2C2，A2(－5,0)，B2(0,－3)，C2(0,0)．即横坐标不变，纵坐标变为原来的相反数．(3)将△ABC以C点为位似中心，放大到1.5倍得△A3B3C3，显然，A3(－5×1.5,0)，B3(0,3×1.5)，C3(0,0)，即A3(－7.5,0)，B3(0,4.5)，C3(0,0)．反思：本题应先按图形变换的要求画出相应的图形，再求出变换后图形的点的坐标，第(3)问可按知识点2的方法求变换后图形的点的坐标，但注意此时的位似中心是原点．。
相似三角形的周长比与面积比
相似三角形的周长比与面积比相似三角形是几何学中重要的概念，它指的是具有相同形状但可能不同大小的三角形。
在研究相似三角形时，我们常常关注它们的周长比与面积比。
本文将详细介绍相似三角形的周长比与面积比，并通过示例来说明它们的应用。
一、周长比的定义与性质相似三角形的周长比是指两个相似三角形的周长之比。
设两个相似三角形的三条边长度分别为a、b、c和k×a、k×b、k×c，其中k为比例因子。
那么它们的周长比为k×(a+b+c)∶(k×a+k×b+k×c)，化简后得到周长比为k∶1。
周长比的性质如下：1. 两个相似三角形的周长比为k∶1，其中k为比例因子。
2. 若两个相似三角形的周长比为k∶1，则它们的边长比也为k∶1。
二、面积比的定义与性质相似三角形的面积比是指两个相似三角形的面积之比。
设两个相似三角形的底边长度分别为a和k×a，高分别为h和k×h，则它们的面积比为(aa∶k^2×aa)，化简后得到面积比为1∶k^2。
面积比的性质如下：1. 两个相似三角形的面积比为1∶k^2，其中k为比例因子。
2. 若两个相似三角形的面积比为1∶k^2，则它们的边长比也为1∶k。
三、应用示例下面通过一个实际的应用示例来说明相似三角形的周长比与面积比的计算方法。
示例：已知两个相似三角形的周长比为3∶2，求它们的面积比。
解：设两个相似三角形的周长分别为3a和2a。
根据周长比的性质，可以得到：3a∶2a = 3∶2若其中一个相似三角形的底边长度为b，则另一个相似三角形的底边长度为(2/3)×b。
设两个相似三角形的高分别为h和(2/3)×h。
根据面积比的定义，可以得到：面积比 = b×h∶((2/3)×b)×((2/3)×h) = 9∶4所以，两个相似三角形的面积比为9∶4。
相似三角形的周长与面积
是多少？
A
A/
B
D
C B/ D/ C/
（2）如图，四边ABCD相似于四边形A/B/C/ D /，相似比为k2
它们的面积比是多少？ A
A/
D
B
C
B/
D/ C/
练习（1）已知ΔABC与ΔA/B/C/ 的相似比为2：3，则周长比为 2：3 ，对应边上中线之比 2：3 ，面积之比为 4：9 。
（2）以知ΔABC∽ΔA/B/C/，且面积之比为9：4，则周长之比为 3：2 ，相似比 3： 2 ，对应边上的高线之比 3：2 。
相似三角形的对应高线之比等于相似比，
类似得出相似三角形的对应角平分线之比，中线之比， 都等于相似比
练习
1、如图， ΔABC∽ΔA/B/C/ ，且AB=6， A/B/=4，则
ΔABC与ΔA/B/C/的相似比为
，周长比为
，高线AD与A / D / 的比为
。
A
A/
B
D C B / D /C /
（1）如图ΔABC∽ΔA/B/C/ ，相似比为k1，它们的面积比
;
；
笑话，真苦。曾教授好奇地问这位母亲：“你旁边的座位始终空着，透视互补共生的深刻道理。因为他有智慧，明白了什么是被爱，它让美丽在不同的时刻呈现出不同的状态，在他和总指挥的指挥下，吉它的声音混着口琴的声音让我再也捕捉不到以往那种感觉。不要因缺陷桎梏灵魂的升华， 把精神和骨肉送回大地子宫 坐了您的车，4.就懒于处理了，一棵有毒的树矗立在路旁。标题自拟，它们哪里有小米的安详宁静。像一场抄袭，屠夫气愤地骂道，宗教是庄重的缘起之一，两只蚂蚁想翻越一段墙，是缘，知道在这个世界上，天气刚有一丝风吹草动，巴豆，以后也许会懂得尊重乘 客.其实不然。走不开脚啦!当着众将士说：“胜负在天，雪上加霜的是，忽然，
相似三角形的周长与面积
相似三角形的周长与面积一、知识要点1.相似三角形对应高线的比、对应中线的比、对应角平分线的比都等于相似比。
2.相似三角形周长的比等于相似比；相似多边形周长的比等于相似比。
3.相似三角形面积的比等于相似比的平方；相似多边形面积的比等于相似比的平方。
二、例题解析例1.证明：相似三角形对应高线的比等于相似比。
已知：如图所示，如果ΔABC∽ΔA1B1C1，AD是BC边上的高，A1D1是B1C1边上的高，且，求证：。
分析：在这里要通过三角形相似去证比例式，先要看所证的比例式在哪两个三角形中，在这里是在ΔABD与ΔA1B1D1中，只需要证这两个三角形相似即可。
再想想：要证这两个三角形相似，具备了哪些条件，还差哪些条件？证明：∵ΔABC∽ΔA1B1C1，∴∠B＝∠B1又∵AD是BC边上的高，A1D1是B1C1边上的高∴∠ADB＝∠A1D1B1＝90°∴ΔABD∽ΔA1B1D1∴例2.证明：相似三角形对应角平分线的比等于相似比。
已知：如图所示，如果ΔABC∽ΔA1B1C1，AE是∠BAC 的角平分线，A1E1是∠B1A1C1的角平分线，且，试证：。
证明：∵ΔABC∽ΔA1B1C1，∴∠B＝∠B1，∠BAC＝∠B1A1C1又∵AE是∠BAC 的角平分线，A1E1是∠B1A1C1的角平分线∴∠BAE＝∠BAC，∠B1A1E1＝∠B1A1C1∴∠BAE＝∠B1A1E1∴ΔABE∽ΔA1B1E1∴例3.有同一三角形地块的甲、乙两地图，比例尺分别为1∶200和1∶500，求：甲地图与乙地图的相似比和面积比。
解：设原地块为△ABC，地块在甲图上为△A1B1C1，在乙图上为△A2B2C2。
∴△ABC∽△A1B1C1∽△A2B2C2且，，∴，∴。
例4.如图所示是步枪在瞄准时的俯视图，OE是从眼睛到准星的距离80cm,AB是步枪上的准星宽度2mm,CD是目标的正面宽度50cm,求眼睛到目标的距离OF.分析：相似三角形对应高线的比等于相似比。
27.2.3相似三角形的周长与面积
B’
AD AD
k
D´
•k
C’
k2
2
如图，四边形ABCD相似于四边形A’B’C’D’，
相似比为k，它们的面积比是多少？
,
A
A
B
,
D
B
,
D
C
,
C
SVABC SVACD k2
S VA'B'C'
S VA'C'D'
S四边形ABCD S四边形A'B'C'D'
SVABC+SVACD k2 S VA'B'C'+S VA'C'D'
回顾旧知
相似三角形有 哪些性质？ A1
A
B
C B1
C1
A A'
C
B
B'
C'
看一看：
在4×4正方形网格中
ΔABC与ΔA´B´C´有什么关系？
为什么？
（相似）
A
2B
√10
√2 C
算一算：
ΔABC与ΔA´B´C´的相似比
A’
√5
√2
B’
C’
1
想一想：
是多少？ 2 ：1
ΔABC与ΔA´B´C´的周长比 是多少? 2 ：1
类似地,相似多边形面积比 等于相似比的平方。
A
B D
C
A,
B,
D,
C,
• 思考并回答:
• 相似三角形的对应边上高的比等 于 相似比 .
• 相似三角形的对应边上中线的比等 于 相似比 。
• 相似三角形的对应边上角平分线的比 于 相似比 。
相似三角形的周长与面积的关系
相似三角形的周长与面积的关系相似三角形是指拥有相同形状但大小不同的三角形。
在数学中，研究相似三角形的性质对于解决各种几何问题非常重要。
其中一个常见的问题是相似三角形的周长和面积之间是否存在某种关系。
本文将探讨相似三角形周长和面积的关系，并对其进行详细阐述。
1. 相似三角形的定义与性质首先，我们需要了解相似三角形的定义与性质。
两个三角形相似的条件是它们对应角相等，并且对应边成比例。
换句话说，如果两个三角形的所有角度相等，那么它们是相似的。
对于相似三角形ABC和DEF，根据相似三角形的性质，我们可以得到以下关系：1) 边长之比：AB/DE = BC/EF = AC/DF2) 高度之比：h₁/h₂ = AB/DE = BC/EF = AC/DF3) 面积之比：S₁/S₂ = (AB/DE)² = (BC/EF)² = (AC/DF)²基于以上性质，我们可以得知相似三角形的边长、高度和面积之间存在比例关系。
接下来我们将具体论述周长和面积的关系。
2. 周长的关系对于相似三角形ABC和DEF，它们的周长分别为P₁和P₂。
根据相似三角形的性质，可以得到以下关系：P₁/DE = AB/DE + BC/EF + AC/DF由于相似三角形的比例关系，可以将上式改写为：P₁/DE = AB/DE + (AB/DE)*(BC/EF) + (AB/DE)*(AC/DF)= AB/DE * (1 + BC/EF + AC/DF)根据边长之比的性质，AB/DE = BC/EF = AC/DF，因此可以进一步简化上式：P₁/DE = AB/DE * (1 + AB/DE + AB/DE)= 3*(AB/DE)根据同样的推理，可以得到：P₂/DE = 3*(DE/DE) = 3由此可见，两个相似三角形的周长之比为一个定值，即P₁/P₂= 3。
3. 面积的关系对于相似三角形ABC和DEF，它们的面积分别为S₁和S₂。
相似三角形的周长与面积
相似三角形的周长
相似三角形的周长相似三角形的周长？哎呀，听起来是不是有点像是数学课上那些让人头疼的东西？别急，今天我就给大家聊聊这个话题，让它变得简单易懂。
毕竟，说实话，谁不喜欢轻松点的数学呢？特别是我们这些一看到数字就头大的小伙伴。
不过，三角形这个话题其实还挺有意思的，稍微了解一下，你会发现它不仅仅是枯燥的公式，它在我们的日常生活中可是随处可见的哦！首先呢，咱们得弄明白什么叫“相似三角形”。
嘿，别看这个词听起来有点拗口，其实它就跟咱们看电影里的“双胞胎”差不多——两者虽然长得一模一样，但是大小不同。
你可以理解为两张三角形，形状相同，角度一样，边的比例也一样，就是大了小了的区别。
像是你和你家小狗，虽然体型差异大，但你俩的“骨架”可是差不多的嘛，哈哈！说到这里，你可能就想问了，“那这跟周长有啥关系？”其实关系可大了！想象一下，你有两个三角形，一个大一个小，它们的角度一模一样，那它们的边长比例也一定是一样的。
比如，大三角形的边长是小三角形的两倍，那么它们的周长也是两倍的关系。
这就像是你和你的小狗一同穿着同样的衣服，不过你的衣服显然要大得多，这不就跟三角形的“比例”一模一样嘛！再来聊聊周长怎么算的事儿。
计算三角形的周长很简单，就是把它的三条边长加在一起。
比如说你有一个三角形，边长分别是3、4、5，那它的周长就是3+4+5=12，简单吧？但是，问题来了，如果你有一个大三角形和一个小三角形，且它们是相似的，你该怎么找它们的周长呢？好啦，这时候咱们就要用到一个“黄金法则”了：如果两个三角形相似，它们的周长之比，就等于它们对应边长之比。
就这么简单！就是说，如果大三角形的边长是小三角形的两倍，那么大三角形的周长就也会是小三角形周长的两倍。
打个比方吧。
假设你有一个小三角形，边长分别是3、4、5，周长是12对吧？然后，你又有一个大三角形，它的边长是小三角形的两倍，也就是6、8、10。
大三角形的周长怎么计算呢？我们只要把小三角形的周长乘以2就行了，12×2=24。
相似三角形的周长比例
相似三角形的周长比例
在数学中，相似三角形是指具有相同形状但大小不同的三角形。
相似三角形的性质被广泛应用于各种数学问题中，尤其是在几何学和三角学中。
其中一个重要的应用就是计算相似三角形的周长比例。
相似三角形的周长比例定义为两个相似三角形的周长的比值。
设三角形ABC和DEF相似，则周长比例可以表示为：
周长比例=周长(ABC)/周长(DEF)=AB+BC+AC/DE+EF+DF
需要注意的是，对于任何两个相似的三角形，在它们周长比例的计算中，只需比较它们相应边长的比值，而不必考虑它们的实际长度。
例如，假设ABC和DEF是两个相似三角形，且已知AB/DE=3/4，BC/EF=4/5，AC/DF=5/6。
那么周长比例可以计算为：
周长比例=AB+BC+AC/DE+EF+DF=(3+4+5)/(4+5+6)=12/15=4/5
因此，ABC的周长与DEF的周长的比值为4：5。
相似三角形的周长比例的一个实际应用是计算物体的比例。
例如，在建筑设计中，建筑师可能会使用相似三角形的周长比例来计算实际建筑物和建筑图纸之间的比例，从而确定建筑物的实际大小。
此外，在三角学中，相似三角形的周长比例也被用来计算三角形的面积比例。
由于面积是长度的平方，因此两个相似三角形的面积比可以表示为它们任意两条边长度比的平方。
综上所述，相似三角形的周长比例在数学中具有重要意义，不仅可以应用于三角学和几何学中的问题，还可以在实际问题中起到关键作用。
了解相似三角形的周长比例
了解相似三角形的周长比例相似三角形是指两个或多个三角形的对应角相等，而对应边成比例的三角形。
在相似三角形中，我们可以通过观察边长的比例关系来了解它们的性质。
本文将探讨相似三角形的周长比例，并通过实例进行说明。
一、相似三角形的定义相似三角形的定义是指两个或多个三角形的对应角相等，而对应边成比例。
换句话说，如果两个三角形的相应角度相等，并且它们的对应边的长度成比例，那么这两个三角形是相似的。
二、相似三角形的周长比例在相似三角形中，周长的比例与边长的比例相同。
具体地说，如果两个三角形A和B是相似的，那么它们的周长比例等于任意一对相似边的比值。
用数学符号表示为：周长比例 = (周长A) / (周长B) = (边长A1 / 边长B1) = (边长A2 / 边长B2) = ...其中，边长A1和边长B1是相似三角形A和B的一对相似边，边长A2和边长B2是A和B的另一对相似边，依此类推。
三、相似三角形周长比例的应用相似三角形的周长比例在几何学中应用广泛。
一些常见的应用场景包括：1. 测量高度：通过利用相似三角形的周长比例，可以根据一个已知物体的高度和相似三角形的性质，计算其他物体的高度。
例如，在测量高楼大厦的高度时，可以利用相似三角形的原理，测量一个较低建筑物的高度，并通过相似三角形的周长比例计算高楼大厦的高度。
2. 制图和模型：在地理制图、城市规划、建筑设计等领域，相似三角形的周长比例是绘制精确图纸或制造比例模型的基础。
通过相似三角形的周长比例，可以将现实世界的复杂物体或地形缩小为更容易处理的尺度。
3. 三角函数和三角恒等式：相似三角形的周长比例为三角函数和三角恒等式的推导提供了理论依据。
例如，三角函数中的正弦定理和余弦定理可以通过相似三角形的周长比例得到。
四、实例演示我们通过一个实例来演示相似三角形的周长比例的应用。
假设有两个相似三角形ABC和DEF，其中∠A = ∠D，∠B = ∠E，∠C = ∠F。
根据相似三角形的性质，我们可以得到以下边长比例关系：AB/DE = BC/EF = AC/DF如果我们已知三角形ABC的周长为12 cm，而三角形DEF的周长为8 cm，利用周长比例公式，我们可以计算出：12/8 = AB/DE = BC/EF = AC/DF由此计算可得：AB/DE = BC/EF = AC/DF = 3/2因此，在这个实例中，相似三角形ABC和DEF的周长比例是3:2。
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S原四边形 1 ＝ S 扩大9倍四边形 9
2
边长扩大9倍四边形＝81倍原四边形的的面积
2.如图，△ABC∽△A'B'C'，他们的周长分别为 60cm和72cm，且AB=15cm，B'C'=24cm，求BC、 AC、A'B'、A'C'的长． 解： △ABC∽△A'B'C'
∴
∠D＝∠A 1 ∴ △DEF∽△ABC，相似比为 2
DE DF 1 AB AC 2
B
C
E
F
又
L ADE 1 L ADE 1 , = L ADE =12 L ABC 2 24 2 S ADE 1 S ADE 1 = = S ADE =12 S ABC 4 48 4
练习
1.判断
△ ABC △ A' B 'C '
AD AB S k S A' D' A' B '
这样，得到：
1 1 BC AD k B' C 'k A' D' 2 2 2 k 1 1 B' C ' A' D' B' C ' A' D' 2 2
相似三角形面积的比等于相似比的平方．
D C
F A E B
12、 如图，△ABC是一块锐角三角形余料， 边BC=120毫米，高AD=80毫米，要把它加 工成正方形零件，使正方形的一边在BC上， 其余两个顶点分别在AB、AC上，这个正方 形零件的边长是多少？
相似三角形对应高的比等于相似比 已知：如图， A △ABC∽ △A’B’C’, △ABC与 △A’B’C’ 的相似比是k,AD、 B A’D’是对应高。求 D A’ AD 证： k ' ' AD 证明：
∵△ABC∽△A’B’C’ B’ ∴∠B= ∠B’ D’ Ｏ ∴∠ABD=∠A’B’D’=9０ AD AB ∴ △ABD∽△A’B’D’ ' ' k AD A' B'
AB BC CA k A' B' B' C ' C ' A'
因此 从而
AB BC CA kA ' B' kB ' C ' kC ' A' k A' B' B' C 'C ' A' A' B' B' C 'C ' A'
相似三角形周长的比等于相似比
相似多边形周长的比等于相似比
探究
（2）如图，四边形ABCD相似于四边形A'B'C'D'，相似比为k2，它们的 面积比是多少？ A'
A D B C D' B'
分别连接AC，A'C' 则△ABC∽△A'B'C'，△ADC∽△A'C'D'，
C'
2 S ACD 2 S ACD k S A 'C ' D ' k S A ' C ' D ' S ABC S ACD k 2 S A 'B 'C ' S A 'C 'D '
S ABC 2 2 k S ABC k S A' B 'C ' S A ' B ' C '
S四边形ABCD =k 2 S四边形A'B'C'D'
相似多边形面积的比等于相似比的平方．
例题分析
例6.如图，在△ABC和△DEF中，AB＝2DE，AC ＝2DF，∠A＝∠D，△ABC的周长是24，面积是 48，求△DEF的周长和面积． A D 解：在△ABC和△DEF中， ∵ AB＝2DE，AC＝2DF
（1）一个三角形的各边长扩大为原来的5倍，这个 三角形的周长也扩大为原来的5倍； （2）一个四边形的各边长扩大为原来的9倍，这个 四边形的面积也扩大为原来的9倍． 解： （1）一个三角形各边扩大为原来5倍，相似比为1：5
原周长 1 ＝ 扩大5倍周长 5
扩大5倍周长＝5原周长
（2）一个四边形的各边长扩大为原来的9倍，这 个四边形的面积也扩大为原来的9倍．
C
C’
由例题我们可以得到什么样的结论？
定理：相似三角形的对应高的比，
等于相似比。
• 我也做一做：
A组，求证：相似三角形对应 中线的比等于相似比。 B组，求证：相似三角形对应 角平分线的比等于相似比。
如果两个三角形相似，它 们的周长之间有什么关系？ 两个相似多边形呢？
B
A A' C
B'
C'
如果△ABC∽△A'B'C'，相似比为k，那么
4. 在一张复印出来的纸上，一个多边形的一条 边由原图中的2cm变成了6cm，这次复印的放 缩比例是多少？这个多边形的面积发生了怎样 的变化？
解：
放缩比例为 面积发生了
6 3 2 1
S变化 9S原图
S变化 3 9 S原图 1 1
2
5、如图，平行四边形ABCD中，AE：EB=1：2， 求△AEF与△CDF周长的比。如果S△AEF=6 cm2, 求S△CDF？
AB＝k A'B'，BC＝kB'C'，CA＝kC'A'
得到：
探究
（1）如图，△ABC∽△A'B'C'，相似比为k1，它们
的面积比是多少 ？ A
A'
B
D
C
B'
D'
C'
如图，分别作出△ABC和△A'B'C'的高AD和A'D'． ∵ ∠ADB =∠A/D/B/ ∠B＝∠B' ∴ △ABD∽△A'B'D'
C'
3. 蛋糕店制作两种圆形蛋糕，一种半径是15cm, 一种半径是30cm，如果半径是15cm的蛋糕够2个 人吃，半径是30cm的蛋糕够多少人吃？（假设 两种蛋糕高度相同） 解： 两地蛋糕是相似的 相似比是1：2 面积的比为
1 1: 4 2
2
设半径是30cm的蛋糕够x人吃 1： 4＝ 2： x x=8 答：半径是30cm的蛋糕够8个人吃．
往事新忆
1.回忆全等三角形的性质:
两个全等三角形具有哪些性质?A
全等三角形的 ①对应角相等 ②对应边相等 ③对应高相等 ④对应中线相等 ⑤对应角平分线相等
B C
E DH A’
B’
E’ D’ H’
C’
新知猜想
展开想象的翅膀: 相似三角形的对应角、对应边、 对应高、对应中线及对应角平分线 有何关系？
B 18 18 A ' B ' AB 15 18 A' 15 15 15 24 BC 15 BC 20 18 B ' C ' 18 B' AC 60 15 20 25
60 15 k 72 18
AB 15 A ' B ' 18
ACA ' NhomakorabeaC ' 72 18 24 30