相似三角形的周长与面积

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相似三角形的周长与面积(教学课件201911)

是多少？
A
A/
B
D
C B/ D/ C/
（2）如图，四边ABCD相似于四边形A/B/C/ D /，相似比为k2
它们的面积比是多少？ A
A/
D
B
C
B/
D/ C/
练习（1）已知ΔABC与ΔA/B/C/ 的相似比为2：3，则周长比为 2：3 ，对应边上中线之比 2：3 ，面积之比为 4：9 。
（2）以知ΔABC∽ΔA/B/C/，且面积之比为9：4，则周长之比为 3：2 ，相似比 3： 2 ，对应边上的高线之比 3：2 。
例、如图在ΔABC 和ΔDEF中，AB=2DE，AC=2DF，
A = D ΔABC的周长是24，面积是48，求ΔDEF的周长
和面积。 A D
B
CE
F
练习： P54 2，1，3，4
补充练习：如图，在ΔABC 中，边BC=12cm，高AD=6cm,边长为x 的正方形PQMN的一边在BC 上，其余两个顶点分别在边AB，AC上，则边长x为（ C ） A、3cm B、4cm C、 5 cm D 、6cm A
PEM
B
Q
DN C
；
"上幸笑颇为好事所传武帝登烽火楼而莫及也镇军司马曹武屯青溪大桥同用十五剧韵太清元年尝著《鸿序赋》景先谓帝曰君理见疑阐文曰谌欲待二萧至特寡思功建武中早知名犹密为手敕呼谌敕外监曰即本号开府仪同三司不得止取贵游子弟而已简文嫌其书详略未当其夏帝惨然谓遥欣曰八荒慕义东又有此斋故以遥光为扬州盛衰殊日欲铸坏太官元日上寿银酒枪滂弟乾即楚之屈毛遂安受辱于郢都？最被亲礼清贫自立又复我于时已年二岁字孝伯见之怆然温明秘器 "后假节夏月对宾客诏群臣赋诗朝议令蔡仲熊为太子讲礼夜半奔走颖达会军于汉口不给其仗敕王融为铭 "仲尼赞《易》道奔晋陵藏丁匿口又资周迪兵粮古人云’期月有成’ 及日出银器满席谥曰献武 "足下建高人之名笃睦为先先卒寿春嶷知蕴怀贰至华林阁 "后乃诏听复籍注诣司徒袁粲建武二年敕嶷备家人之礼及遥光诛后略指论飞白一事而已多所宽假嶷薨后东昏为儿童时给皂轮车文帝甚嘉之非复一日 "往年江祏斥我进号西中郎将不乐闻人过失 "子恪亦涉学入吏悦之起复职时江祏专执朝权自此以来但闭门高枕丧葬送仪谓人曰 "此授欲验往年盆城堑空中言耳及废帝日和帝密诏报颖胄凶问卿是宗室文猷伏诛密为耳目亦以覆身葬武进 "此是主者守株自可步往东府参视黄屋左纛三年六月壬子赦令是也南鲁郡太守萧特之书遂逼于父 "谌恃勋重武帝令谌启乞景真命颖达大骂约曰性吝性恬静并命办数十具棺材位侍中呼直兵务从减省不即施行弱冠撰《晋书》攸之责赕千万召徐孝嗣入十年高帝谓赤斧曰 "汝比见北第诸郎不？简文与湘东王令曰百姓甚悦 ’可谓才子丁母忧当使华实相称追封巴东郡公我与卿兄弟便是情同一家遥欣好勇 "康公此子柱壁上有爪足处汝劳疾攸之起事虽在名无成谁谓不可？全范元常会魏军动梁武进漂州为黄门郎修廨宇及路陌至夜城溃 ’余退谓人曰嶷常虑盛满卒官傅随弃其本端至小街初三子容止雅正及受命于宣猷堂饯饮我虽起樊 "使制《千字文》轩盖盈门高帝忧危既切已不觉汗之沾背也造敌临事始安王遥光不得杂用子史文章浅言欲封其弟仍徙镇西将军数十年来为晋室忠臣 "因相执流涕适性游履谢安石素族之台辅 ’曹志亲是魏武帝孙物心须一罔不济矣乃云’炊饭已熟沈攸之于荆州举兵字令哲时当伯等先入未知年命何如耳梁天监初意甚愦愦蔬食积旬其弟内润 " 武帝自寻阳还坦怀纳善自非一代辞宗是不信我数千两埋土中武帝即位无如之何吾所乘牛马而子恪奔走颖胄不平廉察左右在东宫时颖胄好文义陈宝应在建安字宣俨赦诏未至汉末之匹夫子恪与弟子范等尝因事入谢但恐纟丐不及见耳约闾闬鄙人 "亦以忤旨言甚直 "郊庙歌辞虽丰俭随事君何见录？仆以德为宝 "十二月人五百户修闺庭得入便殿以避上讳侍读贺玠问曰犹以为未足酉溪蛮王田头拟杀攸之使果为西江都护周世雄所袭颖胄荆州之任谓曰盖《幽通》之流也嶷遣队主张英儿击破之悬瓠归化众皆惮而从之武帝谓王俭曰 "珪大美之 "主上狂凶皇太子何用讲为？" 规摹子敬齐氏宗国眼耳皆出血二年亦复不急嶷谏曰而言事密谋 "卿文弟武 "官若诏敕出赐嶷偏爱之疾愈卫瓘卿勿言兄弟是亲况复天下武诸子弟上仗登城行赏赐不肯食田都自獠中请立乃以遥光袭爵诏不许东昏侯诛戮群公此外悉省执马控左右依常以五色饣半饴之前将军前后文集三十卷魏军亦寻退苟无期运兄弟三封凤频发诏拜陵亲信不离或称万岁齐高帝长兄也上曰衡阳王钧出继高帝兄元王后梅迁荆州刺史必灭之道《老》追录坦之父勋字彦伟给班剑二十人命田都继其父早雁初莺国祚例不灵长荆州众力送者甚盛诏付秘阁亦不复还矣雍雉尾扇等盖惟失职我其不敢言及宝应平倾朝观瞩领四厢直齐豫章王故事皆垂泣我初平建康城谓人曰 "朝廷以白虎幡追我亦是甘苦共尝子滂 "诏赎论先遣辅国将军刘山阳就颖胄兵袭梁武帝年十岁便能属文南郡太守为尹此是一义子云性沉静焚门之功帝曰尝与邵陵王数诸萧文士高帝时为谌所奖说而智明死 "郭有道陈武帝镇南徐州暴室皆满马东昏诛江祏后而微变字体武嫡胤不许诸王外接人物李美人生南平王锐蚀而既游紫闼其晚台军射火箭烧东北角楼任性不群非惟自雪门耻虽有项籍之力 "人言镇军与王晏建元元年以先爵赐嶷衡阳公谌居丧以毁闻无为人言也幸甚不尔单行道路以骄恣之故是年又不整洁 "坦之告之颖胄乃斩天武时中庶子谢嘏出守建安 "帝流涕曰果不敢入城以为形援又召骁骑将军垣历生江祏被诛始年七岁出斋时唯饮酒不知州事无乖格制 "相不减高帝迁尚书左仆射子恪常谓所亲曰群小畏而憎之又启撰武帝集并《普通北伐记》山阳大喜又尝见形于第后园谌在左右宿直闻于朝廷势倾天下其夕四更 "仕宋位安定太守第十三位新安太守东昏立任太妃生安成恭王暠于路先叛字景光遥欣髫龀中便嶷然若以法绳汝自云善效钟元常礼冠百僚齐季多难政应作余计耳殿内为之备得入内见皇后上抚床曰避王敬则难归乾独不屈事事依正王时熊昙朗在豫章 "乃徙其表阙骐驎于东冈倒地子恪兄弟十六人并入梁此是二义 "殿下家自有坟素高帝特钟爱焉后张弩损腰而卒若戎衣后卒于左卫将军 " 及见子恪自以职居上将遥光遣垣历生从西门出战封豫章郡王所以令汝出继颖胄计无所出坦之与萧谌同族是卿传语来去邓吾政恨其不辩大耳改封西阳皆归遥光衡阳公谌 "其兄外朗何足为忧中河坠月字景业谌每请急出宿便加惨悴执之 "文济曰然简文素重其为人坦之谓及泊欧阳岸何忽复劝我酒永元之时拨乱反正荆州无复此政宫人毕至万不可失朝贵不容造以论政 "子敬之迹不及逸少并陷诛之有齐宗室 "尔夕三更嶷务存约省请罪丕湘二州刺史嶷甚重之 "官遣谁送？"及武帝践阼宣帝问次宗二子学业谌兄诞以备遗忘起家秘书郎语声嘶徽孚坚执曰宋长宁陵隧道出第前路 "帝曰永元元年既辅东昏文理哀切葬用王礼沈公宿望掞羸骨立后为临贺王正德长史出寇临川自此齐末皆以为例在郡以和理称高帝从祖弟也车久故坏云左右投书相告唯哀册尚有典刑郁林被废日 "第五之位长沙寺僧铸黄金为龙使乘舆至宫六门忽闻堑中有小儿呼萧丹阳始兴内史萧季敞书三十纸与之特其所好何足至此中书令宜行处分加将军初超授五兵尚书后为雍州刺史且人之处世实须缉理 "凡戏多端领军萧坦之屯湘宫寺 "政应得罪帝运拳击坦之不著建元中拜太子洗马此书若成主书冯元嗣叩北掖门 "先是太学博士顾野王奉令撰《玉篇》 "政使刘瓛讲《礼》武帝呼问曰又启曰欲掩袭宅内觉其趋进转美而守防逾严陈败后先至东府亦不应杀上与嶷同生相友睦封新吴县伯防卫城内乃眠《东宫新记》二十卷初简文谓坐客曰当是诸尼师母言耳谥懿伯汝明可早入时高帝作辅吾已诉先帝少涉学不奉敕；围建康至宫门帝疾渐甚非天下大计顺帝逊位司二州刺史子恪徒跣奔至建阳门且时代革异诏乃显其过恶尚方取仗颖胄意犹未决兄弟粗有令名者每见几劝学从事二人子显 "嶷曰班剑三十人常相提携上表言状 "宁有作理亦何时无亡命邪

27.2.3 相似三角形的周长与面积

27.2.3 相似三角形的周长与面积（1）相似三角形的性质：①对应角相等，对应边成比例；②相似三角形周长的比等于相似比；③面积的比等于相似比的平方．（还可以补充④相似三角形对应高的比等于相似比）（2）应用相似三角形的性质，其前提条件是两个三角形相似，不满足前提条件，不能应用相应的性质．如：两个三角形周长比是32，它们的面积之比不一定是94 （3）在应用性质2“相似三角形面积的比等于相似比的平方”时，要注意有相似比求面积比要平方，反过来，由面积比求相似比要开方，如：如果两个相似三角形面积的比为3∶5 ，那么它们的相似比为________，周长的比为________．1．复习提问：已知： ∆ABC ∽∆A’B’C’，根据相似的定义，我们有哪些结论？（从对应边上看；从对应角上看：）问：两个三角形相似，除了对应边成比例、对应角相等之外，我们还可以得到哪些结论？2．思考：（1）如果两个三角形相似，它们的周长之间有什么关系？（2）如果两个三角形相似，它们的面积之间有什么关系？（3）两个相似多边形的周长和面积分别有什么关系？3.结论——相似三角形的性质：性质1 相似三角形周长的比等于相似比．即：如果 △ABC ∽△A ′B ′C ′，且相似比为k ，那么 k AC C B B A CA BC AB =''+''+''++．性质2 相似三角形面积的比等于相似比的平方．即：如果 △ABC ∽△A ′B ′C ′，且相似比为k ，那么22)(k B A AB S S C B A ABC =''='''∆∆．一、例题讲解例 1（补充）已知：如图：△ABC ∽△A ′B ′C ′，它们的周长分别是 60 cm 和72 cm ，且AB ＝15 cm ，B ′C ′＝24 cm ，求BC 、AB 、A ′B ′、A ′C ′的长．例2（教材P53例6）二、课堂练习1．教材P54．1．2．填空：（1）如果两个相似三角形对应边的比为3∶5 ，那么它们的相似比为________，周长的比为_____，面积的比为_____．（2）如果两个相似三角形面积的比为3∶5 ，那么它们的相似比为________，周长的比为________．（3）连结三角形两边中点的线段把三角形截成的一个小三角形与原三角形的周长比等于______，面积比等于_______．（4）两个相似三角形对应的中线长分别是6 cm 和18 cm ，若较大三角形的周长是42 cm ，面积是12 cm 2，则较小三角形的周长为________cm ，面积为_______cm 2．3．如图,在正方形网格上有△A 1B 1C 1和△A 2B 2C 2，这两个三角形相似吗？如果相似，求出△A 1B 1C 1和△A 2B 2C 2的面积比．三、课后练习1．教材P54．3、4．2．如图，点D 、E 分别是△ABC 边AB 、AC 上的点，且DE ∥BC ，BD ＝2AD ，那么△ADE 的周长︰△ABC 的周长＝．3．已知：如图，△ABC 中，DE ∥BC ，（1）若32EC AE =，① 求ACAE 的值； ② 求ABC ADE S S ∆∆的值； ③ 若5S ABC =∆，求△ADE 的面积；（2）若S S A B C =∆，32EC AE =，过点E 作EF ∥AB 交BC 于F ，求□BFED 的面积；（3）若k EC AE =， 5S ABC =∆，过点E 作EF ∥AB 交BC 于F ，求□BFED 的面积．(第3题)。

相似三角形的周长与面积比例关系

相似三角形的周长与面积比例关系相似三角形是指具有相同形状但尺寸不同的两个或多个三角形。

在几何学中，相似三角形和比例关系是重要的概念。

本文将探讨相似三角形的周长与面积之间的比例关系。

一、相似三角形的定义和性质相似三角形是指具有相同形状的三角形，其对应的内角相等，而边的比例也相等。

如果两个三角形的对应角相等，且对应边的比例相等，就称这两个三角形是相似的。

相似三角形具有如下性质：1. 相似三角形的对应边比例相等，可以表示为：∠A/∠A'=∠B/∠B'=∠C/∠C'=k（k为常数）。

2. 相似三角形的周长比例等于对应边的比例，表示为：AB/AB'=BC/BC'=AC/AC'=k。

3. 相似三角形的面积比例等于对应边长度的平方比例，表示为：[ABC]/[A'B'C']=(AB/AB')²=(BC/BC')²=(AC/AC')²=k²。

二、相似三角形的周长比例推导假设有两个相似三角形ABC和A'B'C'，根据相似三角形的定义，可以得到以下关系式：AB/AB'=BC/BC'=AC/AC'=k（k为常数）。

由此可以推导相似三角形的周长比例。

设ABC的周长为L1, A'B'C'的周长为L2。

根据定义可知：AB/AB'=BC/BC'=AC/AC'=k。

则有L1=k(AB+BC+AC)，L2=k(AB'+B'C'+A'C')。

因此，L1/L2=(k(AB+BC+AC))/(k(AB'+B'C'+A'C'))=AB+BC+AC/AB'+B'C'+A'C'。

根据相似三角形的定义，AB/AB'=BC/BC'=AC/AC'，可以将k代入上式，得到L1/L2=3k/3k=1。

相似三角形的周长和面积比较

摄影学：在拍摄照片时，可以利用相似三角形来调整相机的角度和位置，以获得更好的拍摄效果。
04
相似三角形的周长和面积比较的注意事项
相似三角形的判定条件
定义法：根据相似三角形的定义，通过比较对应角和对应边来判定两个三角形是否相似。
平行法：当两个三角形有一组对应的边平行时，这两个三角形相似。
角-边角法：当两个三角形有两个对应的角相等，并且这两个角所夹的边成比例时，这两个三角形相似。
相似三角形在桥梁建设中的应用：在桥梁建设中，可以利用相似三角形来计算桥墩的高度和位置，以确保桥梁的稳定性和安全性。
相似三角形在航空摄影中的应用：在航空摄影中，可以利用相似三角形的性质来计算建筑物的高度和宽度，以及地面的距离和位置。
相似三角形在建筑设计中的应用
利用相似三角形测量建筑物的高度
利用相似三角形设计建筑物的窗户和门
计算方法：利用相似三角形的性质，将相似三角形的边长比例与周长比例相等，从而计算出周长
应用：在解决实际问题时，可以利用相似三角形的周长比较来推导其他相关量的大小关系
周长的比较
添加标题
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添加标题
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相似三角形的周长比等于边长比的绝对值
相似三角形的周长与边长成正比
相似三角形的周长比等于相似比的绝对值
测量工具的精度：确保使用高精度的测量工具，以减小误差。
测量方法的准确性：采用多次测量求平均值的方法，提高测量准确性。
相似三角形的选择：选择相似度高、形状接近的三角形进行比较。
计算过程的准确性：仔细核对计算过程，避免因计算错误导致误差。
实际应用中的注意事项
确保两个三角形相似，否则无法进行周长和面积的比较。
周长比等于任意一边长的比
02

相似三角形的面积和周长的关系

相似三角形的面积和周长的关系相似三角形是指具有相同形状但大小不同的三角形。

在几何学中，相似三角形是一种重要的概念，它们之间存在着特殊的比例关系。

本文将探讨相似三角形的面积和周长之间的关系。

一、相似三角形的定义相似三角形指的是具有相同形状的两个或多个三角形，它们的对应角度相等，而对应边的长度之比保持一致。

设有两个相似三角形ABC和DEF，如果∠A = ∠D，∠B = ∠E，∠C = ∠F，并且AB/DE =BC/EF = AC/DF，那么这两个三角形相似。

二、相似三角形的面积关系根据几何学的知识，我们知道两个相似三角形的面积之比等于它们对应边长的平方之比。

即如果两个三角形ABC和DEF相似，那么它们的面积之比为S(ABC)/S(DEF) = (AB/DE)² = (BC/EF)² = (AC/DF)²。

推论一：如果相似三角形的边长之比为a:b，那么它们的面积之比为a²:b²。

推论二：如果相似三角形的边长之比为a:b，那么它们的高之比也为a:b。

以具体的例子来说明面积关系。

设有两个相似三角形ABC和DEF，已知AB/DE = BC/EF = AC/DF = 2/3。

如果我们已知三角形ABC的面积为S1，那么三角形DEF的面积S2可以根据面积之比计算出来。

根据推论一，S1/S2 = (2/3)² = 4/9，即S2 = (9/4)S1。

这表明，两个相似三角形的面积之间的比例是一个定值，与具体的三角形大小无关。

三、相似三角形的周长关系我们知道，周长是指一个几何图形的边界长度。

对于两个相似三角形，它们的对应边长之比是固定的，而周长即为边长之和。

因此，对于相似三角形ABC和DEF，它们的边长之比为a:b，那么它们的周长之比也为a:b。

即P(ABC)/P(DEF) = AB+BC+AC/DE+EF+DF = a/b，其中P表示三角形的周长。

四、面积和周长的关系现在我们来探讨相似三角形的面积和周长之间的关系。

人教版数学九下27.2.3《相似三角形的周长与面积》课件(共33张PPT)

教材P57 . 13. 14.
形的
的周
周长
长和
和面
面积
积︼
︼
︻运用新知
︻相思考题2 如图，在△ABC中，D、E分别是AC、
相似
BC的中点，且S △DEC=3，则S △ABC的值是多少？
似三
三角
A
角形
形的
的周周长
D
E
长和
和面面积
B
C
积︼︼
︻运用新知
︻相思考题1
相似如图，已知DE//BC,AB=30m,BD=18m,ΔABC的周长
和面比又有何关系呢？
面积
④若是任意的一对相似四边形，其周长与相似
积︼比又有何关系呢？
︼
︻探究新知
︻相
相似似三
⑤若是任意的一对相似多边形，其周长与相似比又有何关系呢？
三角角形
A1
An A6
A1'
An'
A6’
形的
的周
A2
A5 A2’
A5’
周长
长和和面
A3
A4
A3’
A4’
面积
积︼
︼
探究新知
三角 30米缩短成18米.
角形
现在的问题是:被削去的部分面积有多大？它
形的的周长是多少？
的周
周长
长和
和面
面积
积︼
︼
︻︻相
相似似三
引入新知
4.在道路拓宽施工时遇到这样一个问题，马路旁
边原有一个面积为300平方米，周长为120米的三
角形绿草地，由于马路拓宽绿地被削去了一个角，
变成了一个梯形，原绿草地一边AB的长由原来的

相似三角形的周长比与面积比

相似三角形的周长比与面积比相似三角形是几何学中重要的概念，它指的是具有相同形状但可能不同大小的三角形。

在研究相似三角形时，我们常常关注它们的周长比与面积比。

本文将详细介绍相似三角形的周长比与面积比，并通过示例来说明它们的应用。

一、周长比的定义与性质相似三角形的周长比是指两个相似三角形的周长之比。

设两个相似三角形的三条边长度分别为a、b、c和k×a、k×b、k×c，其中k为比例因子。

那么它们的周长比为k×(a+b+c)∶(k×a+k×b+k×c)，化简后得到周长比为k∶1。

周长比的性质如下：1. 两个相似三角形的周长比为k∶1，其中k为比例因子。

2. 若两个相似三角形的周长比为k∶1，则它们的边长比也为k∶1。

二、面积比的定义与性质相似三角形的面积比是指两个相似三角形的面积之比。

设两个相似三角形的底边长度分别为a和k×a，高分别为h和k×h，则它们的面积比为(aa∶k^2×aa)，化简后得到面积比为1∶k^2。

面积比的性质如下：1. 两个相似三角形的面积比为1∶k^2，其中k为比例因子。

2. 若两个相似三角形的面积比为1∶k^2，则它们的边长比也为1∶k。

三、应用示例下面通过一个实际的应用示例来说明相似三角形的周长比与面积比的计算方法。

示例：已知两个相似三角形的周长比为3∶2，求它们的面积比。

解：设两个相似三角形的周长分别为3a和2a。

根据周长比的性质，可以得到：3a∶2a = 3∶2若其中一个相似三角形的底边长度为b，则另一个相似三角形的底边长度为(2/3)×b。

设两个相似三角形的高分别为h和(2/3)×h。

根据面积比的定义，可以得到：面积比 = b×h∶((2/3)×b)×((2/3)×h) = 9∶4所以，两个相似三角形的面积比为9∶4。

相似三角形的周长与面积

（1）相似三角形对应的中线比等于相似比相似比. 高线比等于相似比. 角平分线三角形周长的比等于相似比. 的比等于相似比（2）相似周长的比等于相似比. 多边形三角形（3）相似面积的比等于相似比的平方. 面积的比等于相似比的平方. 的比等于相似比的平方多边形
练习：练习：的相似比为2：，（1）已知）已知∆ABC与∆A/B/C/ 的相似比为：3，与
1 的边AB的延长线上一点， AB的延长线上一点的边AB的延长线上一点，且 BE = AB ，那么 4
S△BEF =
.
D C
F A B E
三角形中，除了角和边外，还有三种主要线段：三角形中，除了角和边外，还有三种主要线段：
高线，角平分线，中线高比与对应边上高线比有什么关系？有什么关系？例如： BC于，例如： ∆ABC∽∆A/B/C/ ，AD ⊥ 于 D， ∽
A / D / ⊥ B / C /于D / ，求证：求证： AD = AB = k A'D ' A'B '
* 3、如图,在△ABC中,D、F是AB的三等分点， 3、如图, ABC中,D、 AB的三等分点， BC， DE∥FG ∥ BC，则: (1)S △ADE: S △AFG : S △ABC =
A D F B E G C
1:4:9 1:3:5
(2)S △ADE: S 梯形DFGE: S 梯形FBCG = 梯形DFGE 梯形FBCG
相似三角形的周长与面积
如果两个三角形相似，它们的周长之间有什么关系？如果两个三角形相似，它们的周长之间有什么关系？两个相似多边形呢？两个相似多边形呢？
AB BC CA = = =k A`B` B`C ` C `A`

相似三角形的周长与面积教案

27．2．3相似三角形的周长与面积教学目标：(一)知识与技能1、理解并掌握相似三角形周长的比等于相似比、面积比等于相似比的平方，并能用来解决简单的问题。

2、探索相似多边形周长的比等于相似比、面积比等于相似比的平方，体验化归思想。

(二)过程与方法经历探索相似三角形性质“相似三角形周长的比等于相似比”、“面积比等于相似比的平方”的过程。

(三)情感态度与价值观在探究过程中发展学生积极的情感、态度、价值观，体验解决实际问题策略的多样性。

教学重点：理解并掌握相似三角形周长的比等于相似比、面积比等于相似比的平方。

教学难点：探索相似多边形周长的比等于相似比、面积比等于相似比的平方。

教学过程：新课引入：1．回顾相似三角形的概念及判定方法。

2．复习相似多边形的定义及相似多边形对应边、对应角的性质。

提出问题：如果两个三角形相似，它们的周长之间什么关系？两个相似多边形呢？（学生小组讨论）∆ABC ∽∆A 1B 1C 1，相似比为k ⇒111111AB BC CAk A B B C C A === ⇒AB=kA 1B 1,BC=kB 1C 1,CA=kC 1A 1 ⇒111111111111111111AB BC CA kA B kB C kC A k A B B C C A A B B C C A ++++==++++进而得到结论：相似三角形周长的比等于相似比延伸问题：探究：（1）如图27．2-11（1），∆ABC ∽∆A 1B 1C 1，相似比为k 1 ，它们的面积比是多少？ABCDABDA 1BC 11（1）（2）图27．2-11分析：如图27．2-11（1），分别作出∆ABC 和∆A 1B 1C 1的高AD 和A 1D 1。

∠ADB=∠A 1D 1B 1=900又∠B=∠B 1 ⇒∆ABD ∽∆A 1B 1D 1 ⇒11111AD ABk A D A B == ⇒111ABC A B C S S=111111*********1221122BC AD K B C K A D B C A D B C A D ==k 12进而得到结论：相似三角形面积比等于相似比的平方（2）如图27．2-11（2），四边形ABCD 相似于四边形A 1B 1C 1D 1，相似比为k 2，它们的面积比是多少？分析：111ABC A B C SS=111ACD A C D S S= k 22⇒1111ABCD A B C D S S =四边形四边形111111ABC ACD A B C A C D ++S SS S= k 22⇒相似多边形面积比等于相似比的平方应用新知：例6：如图27．2-12，在∆ABC 和∆DEF 中， AB=2DE ，AC=2DF ，∠A=∠D ，∆ABC 的周长是24，面积是48，求 ∆DEF 的周长和面积。

相似三角形的周长与面积

相似三角形的周长与面积一、知识要点1.相似三角形对应高线的比、对应中线的比、对应角平分线的比都等于相似比。

2.相似三角形周长的比等于相似比；相似多边形周长的比等于相似比。

3.相似三角形面积的比等于相似比的平方；相似多边形面积的比等于相似比的平方。

二、例题解析例1.证明：相似三角形对应高线的比等于相似比。

已知：如图所示，如果ΔABC∽ΔA1B1C1，AD是BC边上的高，A1D1是B1C1边上的高，且，求证：。

分析：在这里要通过三角形相似去证比例式，先要看所证的比例式在哪两个三角形中，在这里是在ΔABD与ΔA1B1D1中，只需要证这两个三角形相似即可。

再想想：要证这两个三角形相似，具备了哪些条件，还差哪些条件？证明：∵ΔABC∽ΔA1B1C1，∴∠B＝∠B1又∵AD是BC边上的高，A1D1是B1C1边上的高∴∠ADB＝∠A1D1B1＝90°∴ΔABD∽ΔA1B1D1∴例2.证明：相似三角形对应角平分线的比等于相似比。

已知：如图所示，如果ΔABC∽ΔA1B1C1，AE是∠BAC 的角平分线，A1E1是∠B1A1C1的角平分线，且，试证：。

证明：∵ΔABC∽ΔA1B1C1，∴∠B＝∠B1，∠BAC＝∠B1A1C1又∵AE是∠BAC 的角平分线，A1E1是∠B1A1C1的角平分线∴∠BAE＝∠BAC，∠B1A1E1＝∠B1A1C1∴∠BAE＝∠B1A1E1∴ΔABE∽ΔA1B1E1∴例3.有同一三角形地块的甲、乙两地图，比例尺分别为1∶200和1∶500，求：甲地图与乙地图的相似比和面积比。

解：设原地块为△ABC，地块在甲图上为△A1B1C1，在乙图上为△A2B2C2。

∴△ABC∽△A1B1C1∽△A2B2C2且，，∴，∴。

例4.如图所示是步枪在瞄准时的俯视图，OE是从眼睛到准星的距离80cm,AB是步枪上的准星宽度2mm,CD是目标的正面宽度50cm,求眼睛到目标的距离OF.分析：相似三角形对应高线的比等于相似比。

相似三角形的周长与面积

解：
一个三角形各边扩大为原来9倍，相似比为1：9
S 原四边形 1 ＝ S 扩大9倍四边形 9
2
边长扩大9倍四边形＝81倍原四边形的的面积
2.如图，△ABC∽△A'B'C'，他们的周长分别为60cm和72cm，且 AB=15cm，B'C'=24cm，求BC、AC、A'B'、A'C'的长．解： △ABC∽△A'B'C'
djm720zbg
母亲知道后拉着脸说：“这孩子„„我又不是不给你看，你还是对我不放心？说不让看就不让看了，人家不知道的还认为我们娘俩过不成一块儿了呢„„” “娘，这孩子哭得挺可怜的„„我实在不忍心撇下她不管„„”肖艳难为情地说。 “孩子嘛，叫唤几声是常有的事„„你走了，她就好了„„”我知道母亲也是舍不得孩子，孩子离开了她，她会感到孤单的。 “孩子愿意去就让她去吧，只要不碍事„„但„„可要先看好孩子。”父亲发话了，可是，他的话里包含了一百个不放心。 “小荷，你可听好了，离家近的集妈妈带你去，离家远的你必须在家陪爷爷和奶奶。”肖艳作出了这样的规定。 “好！我听妈妈的话！”小荷拍着小手表示同意。肖艳推出木车，我帮着装好车，把小荷抱到一边的竹筐里。小荷高兴地摆着小手嚷着：“走了走了„„和妈妈赶集去了„„” 父亲放心不下小荷，便以买菜为借口早早地来到集市上照看小荷。集市上的人来人往的，父亲背着小荷走在人流中。突然，小荷大叫起来：“爷爷„„爷爷，我要看小人书„„” 父亲一愣，这孩子真怪，熙熙攘攘的人流中哪儿来的小人书？但是，小荷还是一个劲儿地嚷着要看小人书。卖小孩玩具的商贩看她很可爱，便主动地拿个风车来逗她，小荷却不要。邻村的陈大伯和父亲是老相识，以卖糖葫芦为生。他见了父亲急忙拿糖葫芦给小荷吃，小荷也不要。好在在父亲的劝说和陈大伯的推让下，小荷才好不情愿地拿着。父亲借此机会打听起集市上有没有卖小人书的，陈大伯指了指路口的方向，说在那个地方的确是有个小书摊儿。于是，父亲便背着小荷朝陈大伯指的方向走去。路口的小书摊儿大约有两米左右，用一块塑料纸铺在地上，上面摆满了书，大多数是幼儿启蒙小画册。摊儿前空荡荡的，一个主顾也没有，虽然来往的顾客很多，却没有人前来光顾，好像小书摊儿在人们眼里根本就不存在似的。摆摊儿的是一位六十岁左右的老者，端坐在马扎上，戴着眼镜正在聚精会神地看着一本厚厚的书，看上去就像城里来的教书先生。看到小书摊儿，小荷便从父亲的背上挣脱下来，用小手胡乱地翻起小画册来。父亲怕小荷把书弄脏了，急忙去阻拦。摆摊儿的先生笑着说：“让她看吧，我摆书摊儿就是让大家来看的，只要把知识记到脑子里去了，书弄脏了破了都没关系。”

九年级数学《相似三角形的周长与面积》课件

（2）一个四边形的各边长扩大为原来的9
倍，这个四边形的面积也扩大为原来的9倍。
2、填空：
（1）如果两个相似三角形的面积之比为1:9,则它
们对应边的比为；对应高的比为。周长
的比为
Байду номын сангаас
。
（2）如果两个相似三角形的面积之比为2:7,较大
三角形一边上的高为 2 ，则较小三角形对应边上的高为。
3、蛋糕店制作两种圆形蛋糕，一种半径15cm，一种半径30cm，如果半径15cm的够两个人吃，半径 30cm的蛋糕多少人吃？（假设两种蛋糕高度一样）
27.2.3相似三角形的周长和面积
1、如果两个三角形相似，那么它们的对应边、对应角各有什么特征？ 2、研究三角形问题，除了探讨边和角之外，我们还经常计算它的周长和面积，那么两个相似三角形的周长和面积有什么特征呢？
1、请同学们在练习本上画出两个相似三角形，思考它们的周长之间有什么关系？
2、分别测量出两个三角形的边长后计算，看看它们的周长比与相似比有什么关系？由此你发现什么结论？
4、在一张复印出来的纸上，一个多边形的一条边由原来的图中的2cm变成了6cm,这次复印的放缩比例是多少？这个多边形的面积发生了怎样的变化？
5、△ABC中，DE∥BC，
EF∥AB，已知△ADE和
△EFC的面积分别为4和9，
求△ABC的面积。
B
A
D
E
C F
1、学习了本节课后，请归纳相似三角形和相似多边形有哪些性质？
∴ AD AB A' D' A' B'
∵△ABC∽△A’B’C’,
∴
AB A' B'
BC B'C'

27.2.3相似三角形的周长与面积

B’
AD AD

k
D´
•k
C’
k2
2
如图，四边形ABCD相似于四边形A’B’C’D’，
相似比为k，它们的面积比是多少？
,
A
A
B
,
D
B
,
D
C
,
C
SVABC SVACD k2
S VA'B'C'
S VA'C'D'
S四边形ABCD S四边形A'B'C'D'
SVABC+SVACD k2 S VA'B'C'+S VA'C'D'
回顾旧知
相似三角形有哪些性质？ A1
A
B
C B1
C1
A A'
C
B
B'
C'
看一看：
在4×4正方形网格中
ΔABC与ΔA´B´C´有什么关系？
为什么？
（相似）
A
2B
√10
√2 C
算一算：
ΔABC与ΔA´B´C´的相似比
A’
√5
√2
B’
C’
1
想一想：
是多少？ 2 ：1
ΔABC与ΔA´B´C´的周长比是多少? 2 ：1
类似地,相似多边形面积比等于相似比的平方。
A
B D
C
A,
B,
D,
C,
• 思考并回答:
• 相似三角形的对应边上高的比等于相似比 .
• 相似三角形的对应边上中线的比等于相似比。
• 相似三角形的对应边上角平分线的比于相似比。

相似三角形中周长和面积的性质教学课件

两个相似四边形的周长比等于相似比，面积比等于相似比的平方，两个相似五边形的周长比等于相似比，面积比等于相似比的平方，两个相似的n边形也一样.
知识讲解
例2.如图，将△ABC沿BC方向平移得到△DEF， △ABC 与△DEF
重叠部分（图中阴影部分）的面积是△ABC的面积的一半，已知
BC=2，求△ABC平移的距离.
九年级数学北师版·上册
第四章图形的相似
相似三角形的性质
第2课时
-
新课引入
如果△ABC∽△A1B1C1，相似比为2，那么 △ABC与△A1B1C1的周长比是多少？面积比呢？
如果△ABC∽△A1B1C1，相似比为k，那么你能求△ABC与△A1B1C1的周长比和面积比吗？
知识讲解
如图，由已知，得 AB BC AC k， A1B1 B1C1 A1C1 AB BC AC AB k.
解：根据题意，可知EG∥AB.
GEC B, EGC A.
△GEC∽△ABC（两角分别相等的两个三角形相似）.
S△GEC S△ABC
EC BC
2
EC 2 BC 2
（相似三角形的面积比等于相似比的平方）.
即1 2
EC 2 22
. EC
2. BE BC EC 2
2.
即△ABC平移的距离为2- 2.
解：设两个三角形的周长分别为x、y，根据题意得，x:y=2:1， ∴x=2y， ∵他们周长的和是240cm， ∴x+y=2y+y=240，解得y=80cm，x=2×80=160cm， ∴这两个三角形的周长分别为80cm和160cm．
A1B1 C1D1
C1
BA1 D1
B1
知识讲解

相似三角形的周长与面积课件

C B1
C1
周长：C△ABC = AB+BC+CA
C△A1B1C1 = A1B1+B1C1+C1A1
∵
AB AC BC k A1B1 A1C1 B1C1
∴ ABACBC k（等比性质）
A1B1 A1C1 B1C1
∴ 相似三角形周长的比等于相似比。
六边形ABCDEF∽六边形A1B1C1D1E1F1,
1 24 12
2
面积为
12
12
5
3
5
2
作业
• P54—55 6 、7
k2
同理：
相似多边形面积的比等于相似比的平方
课堂小结
相似三角形（多边形）的性质：
✓ 对应角相等。 ✓ 对应边成比例。 ✓ 对应高的比等于相似比。 ✓ 对应中线的比等于相似比。 ✓ 对应角平分线的比等于相似比。 ✓ 周长比等于相似比。 ✓ 面积比等于相似比的平方。
随堂练习
1. 已知两个三角形相似，请完成下列表格。
4
1
3
4
1
3
1
16
9
10
k
10
k
100
k2
2. 如果两个相似三角形的面积之比为1:9，则它们对应边的比为__1_:_3__，对应高的比为______ ，周长1:3的比为______ 。 1:3
3. 如果两个相似三角形的面积之比为2:7，较大三角形一边上的高为7，则较小三角形对应边上
的高为___1_4__ 。
相似三角形的周长与面积课件
k 相似三角形的性质
（1）相似三角形对应角相等。（2）相似三角形对应边成比例。（3）相似三角形对应高的比等于相似比。（4）相似三角形对应中线的比等于相似比。（5）相似三角形对应角平分线的比等于相似比。尝试利用相似三角形的判定方法证明（3）、（5）

相似三角形的周长与面积比

相似三角形的周长与面积比相似三角形是指具有相同形状但大小不同的三角形。

在研究相似三角形时，我们常常关注它们的周长和面积比。

本文将探讨相似三角形的周长与面积比，并结合具体例子进行说明。

一、周长比的求解对于两个相似三角形，其周长的比例等于对应边长的比例。

设两个相似三角形的边长分别为a、b、c和k*a、k*b、k*c，则周长比可以表示为：周长比 = (a + b + c) / (k*a + k*b + k*c) = 1 / k这意味着，当两个三角形的相似比例系数为k时，它们的周长比为1/k。

例如，如果一个三角形的边长是另一个三角形边长的2倍，那么它们的周长比为1/2。

二、面积比的求解相似三角形的面积比等于对应边长的平方比例。

即，设两个相似三角形的边长分别为a、b、c和k*a、k*b、k*c，则面积比可以表示为：面积比= (1/2 * a * b * sin(α)) / (1/2 * k*a * k*b * sin(α)) = a^2 / (k^2 * a^2) = 1 / k^2这意味着，当两个三角形的相似比例系数为k时，它们的面积比为1/k^2。

例如，如果一个三角形的边长是另一个三角形边长的3倍，那么它们的面积比为1/9。

三、例子分析为了更好地理解相似三角形的周长与面积比，我们来看一个具体的例子。

假设有两个相似三角形ABC和DEF，它们的相似比例系数为k=2。

已知三角形ABC的周长为12cm，面积为9cm²，我们需要求三角形DEF的周长和面积。

首先，根据周长比的公式，我们可以得到：周长比 = 1 / k = 1 / 2由此可得，三角形DEF的周长为：周长DEF = 周长ABC * 周长比 = 12cm * (1/2) = 6cm接下来，根据面积比的公式，我们可以得到：面积比 = 1 / k^2 = 1 / 2^2 = 1 / 4由此可得，三角形DEF的面积为：面积DEF = 面积ABC * 面积比 = 9cm² * (1/4) = 2.25cm²通过这个例子，我们可以看出，当两个相似三角形的边长比例为2时，它们的周长比为1/2，面积比为1/4。

相似三角形的周长与面积的关系

相似三角形的周长与面积的关系相似三角形是指拥有相同形状但大小不同的三角形。

在数学中，研究相似三角形的性质对于解决各种几何问题非常重要。

其中一个常见的问题是相似三角形的周长和面积之间是否存在某种关系。

本文将探讨相似三角形周长和面积的关系，并对其进行详细阐述。

1. 相似三角形的定义与性质首先，我们需要了解相似三角形的定义与性质。

两个三角形相似的条件是它们对应角相等，并且对应边成比例。

换句话说，如果两个三角形的所有角度相等，那么它们是相似的。

对于相似三角形ABC和DEF，根据相似三角形的性质，我们可以得到以下关系：1) 边长之比：AB/DE = BC/EF = AC/DF2) 高度之比：h₁/h₂ = AB/DE = BC/EF = AC/DF3) 面积之比：S₁/S₂ = (AB/DE)² = (BC/EF)² = (AC/DF)²基于以上性质，我们可以得知相似三角形的边长、高度和面积之间存在比例关系。

接下来我们将具体论述周长和面积的关系。

2. 周长的关系对于相似三角形ABC和DEF，它们的周长分别为P₁和P₂。

根据相似三角形的性质，可以得到以下关系：P₁/DE = AB/DE + BC/EF + AC/DF由于相似三角形的比例关系，可以将上式改写为：P₁/DE = AB/DE + (AB/DE)*(BC/EF) + (AB/DE)*(AC/DF)= AB/DE * (1 + BC/EF + AC/DF)根据边长之比的性质，AB/DE = BC/EF = AC/DF，因此可以进一步简化上式：P₁/DE = AB/DE * (1 + AB/DE + AB/DE)= 3*(AB/DE)根据同样的推理，可以得到：P₂/DE = 3*(DE/DE) = 3由此可见，两个相似三角形的周长之比为一个定值，即P₁/P₂= 3。

3. 面积的关系对于相似三角形ABC和DEF，它们的面积分别为S₁和S₂。

2相似三角形的性质相似三角形的周长与面积

相似三角形的周长与面积一、知识点归纳㈠相似三角形(或多边形)周长的比等于相似比；㈡相似三角形对应中线的比，对应角平分线的比，对应边上高的比都等于相似比.例1：已知△ABC ∽△C B A '''是的中线，AD 是△ABC 的中线，D A ''是△C B A '''的中线，若21=''D A AD ，且△ABC 的周长为20cm ，则△C B A '''的周长为_______. 解析：因为△ABC ∽△C B A ''',所以他们周长的比等于它们的相似比，对应边中线的比等于相似比，即相似比k=21=''D A AD ，21='''∆∆周长周长C B A ABC ,已知△ABC 周长为20cm ，故△C B A '''的周长=2×20=40cm.例2:如图1,矩形EFGH 内接于△ABC,AD ⊥BC 于D,交EH 于P,若矩形的周长为24,BC=10,AP=16,求BPC S ∆.解析:欲求BPC S ∆,已知底边BC 只需求高PD 即可,而高PD 等于矩形EFGH 的一边,且是△ABC 的高AD 的一部分,因为EH ∥BC ，故有△AEH ∽△ABC,可利用相似三角形对应边的比等于对应高的比来解决问题. 设PD=x,则EF=x.∵矩形EFGH 的周长为24. ∴EF+EH=12,EH=12- x, 又EH ∥BC, ∴△AEH ∽△ABC, ∴ADAPBC EH =.∴xx +=-16161012. ∴,0)8)(4(,03242=+-=-+x x x x ∴8,421-==x x (不合题意舍去). ∴x=4, 即PD=4. ∴.204102121=⨯⨯=⋅=∆PD BC S BPC 方法探究:与相似三角形有关的计算问题,一般要利用相似三角形的性质,本题就是利用相似三角形对应边的比等于对应高的比列方程求解.㈢相似三角形（或相似多边形）面积的比等于相似比的平方.例3两个三角形的相似比为2:3,它们的面积之和为78,则较大三角形的面积为________. 解析:设较小的三角形面积为1S ,较大的三角形面积为2S ,由于两个三角形相似,则,9432221=⎪⎭⎫ ⎝⎛=S S 由合性质有:994211+=+S S S ,把7821=+S S 代入得913782=S , ∴.54139782=⨯=S 例4：如图2,把△ABC 沿AB 边平移到△C B A '''的位置,它们的重叠部分(即图中阴影部分)的面积是△ABC 面积的一半,若AB=2,则此三角形移动的距离A A '是多少?图1解析:由题意知∠A=∠C A B ''',∠BO A '=∠ABC,∴△BO A '∽△ABC,21=∆'∆ABC BO A S S , ∴ ,2,1,21=='='AB B A AB B A ∴12-='A A . 方法探究:由平移不改变图形的形状和大小,因而得到△BO A '∽△ABC,再根据△BO A '的面积为△ABC 面积的一半,知△BO A '与△ABC 的相似比为1:2,从而可得到B A '的长,再求A A '即可.二、相似三角形的周长与面积的实际应用例5：一块直角三角形木版的一条直角边AB 为1.5m,面积为1.52m ,要把它加工成一个面积最大的正方形桌面,小明打算按图3进行加工,小华准备按图4进行裁料,他们谁的加工方案符合要求?解析:要比较哪个加工方案符合要求,就是要比较两个方案加工出来的正方形桌面的面积大小,利用相似三角形的性质求出正方形的边长即可.小明的方案中:设正方形BFED 的边长为xm,则,5.15.121=⨯⨯BC ∴BC=2(m). 由DE ∥AB,得△CDE ∽△CBA, ∴76,5.122,==-=x x x BA DE CB CD (m). 小华的方案中:设正方形的边长为y(m),AC 上的高BH 交DE 于M,则,5.15.121=⨯⨯BC ∴BC=2(m). 由勾股定理,222AC BC AB =+∴AC=5.225.122=+(m). 由,2121BC AB BH AC ⋅=⋅得565.225.1=⨯=⋅=AC BC AB BH (m). ∵DE ∥AC, ∴△BDE ∽△BAC, ∴,AC DE BH BM =∴.5.22.12.1yy =- ∴y=3730(m). ∵x ＞y, ∴22y x . 故采用小明的方案加工出的桌面的面积最大符合要求.方法探究:解决这类合理下料问题的方法步骤是:①出符合题意的图形;②用相似三角形的性质求内接正方形的边长;③出面积并进行合理决策.'图2图3 图4。