高考数学全国卷III

2018年普通高等学校招生全国统一考试(理科数学全国卷3)

数 学(理科)

一、选择题：本题共12小题。每小题5分.

1.已知集合{}

10A x x =-≥，{}2,1,0=B ，则=⋂B A （ ）

.A {}0 .B {

}1 .C {}1,2 .D {}0,1,2

2.()()=-+i i 21 （ ）

.A i --3 .B i +-3 .C i -3 .D i +3

3.中国古建筑借助榫卯将木构件连接起来.构件的凸出部分叫榫头，凹进部分叫卯眼，图中木构件右边的小长方体是榫头，若如图摆放的木构件与某一卯眼的木构件咬合成长方体，则咬合时带卯眼的木构件的俯视图可以是( )

4. 若1

sin 3α=

，则cos2α= （ ） .A 89 .B 79 .C 79- .D 89-

5. 252()x x

+的展开式中4x 的系数为 （ ）

.A 10 .B 20 .C 40 .D 80

6.直线20x y ++=分别与x 轴、y 轴交于A 、B 两点，点P 在圆()2

222x y -+=上，则ABP ∆面积的取值范围是 （ ）

.A []2,6 .B []4,8 .C 2,32⎡⎣ .D 22,32⎡⎣

7.函数422y x x =-++的图像大致为 （ ）

8.某群体中的每位成员使用移动支付的概率都为P ，各成员的支付方式相互独立，设X 为该群体的10位成员中使用移动支付的人数，4.2=DX ,()()64=<=X P X P ，则=P （ ）

.A .B .C .D

9.ABC ∆的内角C B A 、、的对边分别c b a 、、,若ABC ∆的面积为222

4

a b c +-，则=C

（ ）

.

A 2π .

B 3π .

C 4π .

D 6

π

10.设D C B A 、、、是同一个半径为4的球的球面上四点，△ABC 为等边三角形且其面积为93，则三棱锥ABC D -积的最大值为 （ ）

.A 3 .B 183 .C 3 .D 3

11.设21F F 、是双曲线C : 22

221x y a b

-=（0,0>>b a ）的左、右焦点，O 是坐标原点，过2F 作C 的一

条渐近线的垂线，垂足为P ，若16PF OP =，则C 的离心率为 （ ）

.A 5 .B 2 .C 3 .D

2

12.设3.0log 2.0=a ，3.0log 2=b ，则 （ ）

.A 0a b ab +<< .B 0ab a b <+< .C 0a b ab +<< .D 0ab a b <<+

二、填空题:本题共4小题，舟小题5分，共20分.

13.已知向量()2,1=，()2,2-=，()λ,1=，()

+2//，则_____=λ.

14.曲线()1x y ax e =+在点()1,0处的切线的斜率为2-，则_____=a .

15.函数()cos 36f x x π⎛

⎫=+ ⎪⎝

⎭在[]0,π的零点个数为 .

16.已知点()1,1-M 和抛物线:C 24y x =，过C 的焦点且斜率为k 的直线与C 交于B A 、两点，若∠

AMB=90

。

，则_____=k

三、解答题:共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤，第17-21题为必考题，每个试题考生都必须作答，第22, 23题为选考题，考生根据要求作答. (一)必考题:共60分。

17.（12分）等比数列{}n a 中，11=a ，354a a =.

（1）求{}n a 的通项公式；

（2）记n S 为{}2a 的前n 项和，若63=m S ，求m .

18.（12分）某工厂为提高生产效率，开展技术创新活动，提出了完成某项生产任务的两种新的生产方式，为比较两种生产方式的效率，选取40名工人，将他们随机分成两组，每组20人，第一组工人用第一种生产方式，第二组工人用第二种生产方式，根据工人完成生产任务的工作时间(单位：min )制了如下茎叶图：

(2)求40名工人完成生产任务所需时间的中位数m ，并将完成生产任务所需时间超过m 和不超过m 的工人数填入下而的列联表:

(3)根据(2)的列联表，能否有99%的把握认为两种生产方式的效率有差异?

附：

()

()()()()

2

2

n ad bc

K

a b c d a c b d

-

=

++++

，

19. (12分)如图，边长为2的正方形ABCD所在的平面与半圆弧CD所在的平面垂直，M是弧CD上异于D

C、的点.

(1)证明:平面AMD平面BMC；

(2)当三棱锥ABC

M-体积最大时，求面MAB与面MCD所成二面角的正弦值.

20.（12分）己知斜率为k的直线l与椭圆:

C

22

1

43

x y

-=交于B

A、两点，线段AB的中点为()m

M,1()0>

m.

（1）证明：

2

1

-

<

k；

（2）设F为C的右焦点，P为C上一点，且0

FP FA FB

++=

u u u r u u u r u u u r

，证明：、、成等差数列，并求该数列的公差.

()

2

p K k

≥

k