极化恒等式(矩形大法)
平面向量常考方法总结
平面向量中的基本方法一、向量基本不等式向量基本不等式：b a b a ⋅≥+222，()42b a b a +≤⋅当且仅当b a =时取等【例1】已知平面向量a 、b 满足1422=+⋅+b b a a，则a +2的最大值是.【练习1】已知平面向量a 、b 满足12922=+⋅+b b a a，则a +3的最大值是.【例2】已知平面向量a 、b满足32≤a ，则b a ⋅的最小值是.【练习2】已知平面向量a 、b满足323≤-a ，则b a ⋅的最小值是.向量三角不等式：+≤±≤-，当向量a 、b 共线时，取等推论：y x y x y x +≤±≤-，Ry x ∈,{}y x y x y x -+=+,max ，{}y x y x y x -+=-,min【例3】已知平面向量a 、b 是非零向量，且12=-a ，2=-，则-的最大值是.【练习3】已知平面向量a 、b 是非零向量，且22=+a ，310=-，则的最大值是.【例4】已知平面向量a 、b 1=2=，若对任意单位向量e ，6≤+，ba ⋅的取值范围是.【练习4】已知平面向量a 、b 1=21=，若对任意单位向量e 26≤+，b a ⋅的取值范围是.向量回路恒等式：CBAD CD AB +=+【例5】在平面凸四边形ABCD 中，已知2=AB ，N M ,分别是边BC AD ,的中点，且23=MN .若()1=-⋅BC AD MN ，则=⋅CD AB .【练习5】在平面四边形ABCD 中，设3=AC ,2=BD ，则()()=++AD BC CD AB .四、向量对角线定理向量对角线定理：记D C B A 、、、是空间中的任意四点，则有⎪⎭⎫--+=⋅21BD AC 【例6】在四边形ABCD 中，已知F E ,分别是边BC AD ,的中点，且m BC AD =⋅，n BD AC =⋅,2=AB ,1=EF ,3=CD ，则=-n m .五、互换系数恒等式若向量a ，b =，则有a a μλ+=+【例7】已知a ，b ，c 是平面内的三个单位向量，且b a ⊥，b a +++23的最小值为.【练习7】已知a ，b ，c o60=，的最小值为.六、极化恒等式极化恒等式的代数形式：()()⎥⎦⎤⎢⎣⎡-++=⋅2241b a b a b a 极化恒等式的对偶形式：()()22222b a b a b a -++=⎪⎭⎫ ⎝⎛+【例8】已知a ，b 是满足31≤≤，31≤≤，31≤≤，的取值范围是.【练习8】已知a ，b 是满足31≤≤，31≤≤3≤+，的取值范围是.【例9】已知a ，b 是满足31≤≤，31≤≤，31≤≤，则b a ⋅的取值范围是.【例10】在四边形ABCD 中，已知O 分别是边BD 的中点，且7-=⋅AD AB ,3=OA ,5=OC ，则=⋅DC BC .【练习9】在ABC ∆中，已知D 分别是边BC 的中点，F E ,分别是边AD 的两个三等份点，且4=⋅CA BA ,1-=⋅CF BF ，则=⋅CE BE .【练习10】如图，在同一平面内，点A 位于两直线n m ,同侧，且A 到于两直线n m ,的距离分别为3,1点C B ,分别在n m ,5=+，则AC AB ⋅最大值为.【例11】在ABC ∆中，F E ,分别是边AC AB ,的中点，P 在EF 的上，若ABC ∆的面积为2，则2BC PC PB +⋅最小值为.【练习11】已知AB 中为圆O 的直径，M 为弦CD 的一点，8=AB ,6=CD ，则MB MA ⋅的取值范围是.七、矩形大法点O 矩形ABCD 所在平面内任意一点，则有：2222OD OB OC OA +=+【例12】在直角ABC ∆中，D 为斜边AB 的中点，P 为CD=.【练习12】在平面内,若21AB AB ⊥1==,21AB AB AP +=21＜的取值范围是.。
极化恒等式课件-2025届高三数学一轮复习
磨尖点一 求向量数量积的定值
磨尖点二 求向量数量积的最值（范围）
磨尖点三 求参数及其他问题
磨尖课04 极化恒等式
1
4
1. 极化恒等式： ⋅ = [ +
2
2
− − 2 ].
（1）公式推导：
+
2
+ ሻ2 −
=
2
+ 2 ⋅ +
2 ,
−
2
=
2
− 2 ⋅
（3）记忆规律：向量的数量积等于第三边的中线长与第三边边长的一半的平方差.
磨尖课04 极化恒等式
4
磨尖点一 求向量数量积的定值
磨尖课04 极化恒等式
6
典例1 （2023 ·全国乙卷）正方形的边长是2，是的中点，则 ⋅ =
( B ) .
A. 5
B.3
C.2 5
解析 设的中点为，由极化恒等式可得 ⋅ =
为△ 所在平面内的动点，且 = 1，则 ⋅ 的取值范围是( D ) .
A.[−5,3]
B.[−3,5]
C.[−6,4]
D.[−4,6]
磨尖课04 极化恒等式
11
解析 （法一）依题意建立如图所示的平面直角坐标系，则 0,0 ， 3,0 ， 0,4 ，
磨尖课04 极化恒等式
4sin +
sin2
= 1 − 3cos − 4sin = 1 − 5sin + ，其中tan =
因为−1 ≤ sin + ≤ 1，所以−4 ≤ 1 − 5sin + ≤ 6，
3
，
4
磨尖课04 极化恒等式
13
极化恒等式
例2 2013 浙江省理科第7题
在
ABC
中，
P0
是边
AB
上一定点，满足
P0 B
1 4
AB
，且对
于边 AB 上任一点 P ，恒有 PB PC P0B P0C ，则（ D ）
A. ABC 90 B.BAC 90 C. AB AC D. AC BC
C
A
P
P0 B
（2011 年上海数学竞赛）在正三角形 ABC中， D 是 BC 上点，
a b
1 4
ab
2
a
b
2
向量数量积
平行四边形模型 三角形模型
（2）两大思想：数形结合 等价转化
例：如图，边长为1正方形ABCD顶点A, D分别在x轴, y轴(含原点)滑动， 则OB OC的最大值为
解：4OB OC (OB OC )2 (OB OC )2 4 | OE |2 1 4(1 1 )2 1 8 2
因而有 : OB OC 2
法二：建系，令OAD＝， OB＝(cos sin , cos ),OC＝(sin , cos sin )
(2016年测试卷)已知向量a,b及实数t，满足 | a tb | 3, 若a b 2，则t的最大值为
2t a tb 1 [(a tb)2 (a tb)2 ] 9 | a |2 9
练一练：
1.（2014年7月学考）：已知RT ABC的斜边AB的长为4，
设P是以C为圆心，1为半径的圆上任意一点，
求PA PB的取值范围。
PA PB[3,5]
2.在ABC中，AB＝8，BC＝10，AC＝6，P点在平面ABC内，
且PB PC＝－9，则 | PA |的取值范围为
高中数学《极化恒等式》教学课件
边长关系
利用极化恒等式，可以推导出三角 形边长之间的关系，从而解决一些 与三角形边长相关的问题。
角度关系
通过极化恒等式，可以推导出三角 形角度之间的关系，有助于解决与 角度相关的问题。
在向量中的应用
向量模的平方
向量线性关系
利用极化恒等式，可以表示向量的模 的平方，从而简化向量的运算。
利用极化恒等式，可以推导出向量线 性关系，有助于解决向量线性相关的 问题。
谢谢聆听
极化恒等式的定义
极化恒等式的定义
极化恒等式是高中数学中一个重要的恒等式 ，它表示的是向量内积的运算性质。具体定 义为：对于任意两个向量$mathbf{a}$和 $mathbf{b}$，有$mathbf{a} cdot mathbf{b} = |mathbf{a}| |mathbf{b}| cos theta$，其中$theta$是向量$mathbf{a}$ 和$mathbf{b}$之间的夹角。
mathbf{b} cdot mathbf{b}$。将这两个等 式代入点积的性质中，即可得到极化恒等式
。
极化恒等式的性质
01
极化恒等式的性质1
极化恒等式揭示了向量内积和向量模长之间的关系，它 表明两个向量的内积等于它们模长的乘积乘以它们之间 的夹角的余弦值。
02
极化恒等式的性质2
极化恒等式具有对称性，即交换两个明
极化恒等式的证明方法
01
02
03
代数证明法
通过代数运算和恒等变换 ，逐步推导极化恒等式的 成立。
几何证明法
利用几何图形和空间向量 的性质，通过直观的方式 证明极化恒等式。
归纳法
通过对特殊情况的证明， 逐步归纳出一般情况的证 明方法。
极化恒等式 面积-概述说明以及解释
极化恒等式面积-概述说明以及解释1.引言1.1 概述概述在数学领域中，极化恒等式是一种重要的数学工具，用于研究向量空间中的内积和范数。
同时，面积是几何学中一个重要的概念，用于描述平面图形的大小和形态。
本文将介绍极化恒等式和面积的基本概念，并探讨它们在数学和几何学中的应用。
首先，我们将详细介绍极化恒等式。
极化恒等式是一种将内积运算与范数运算联系起来的重要定理。
它表明，在一个向量空间中，任意两个非零向量的内积可以通过它们的范数和角度来表示。
具体来说，对于一个向量空间V中的任意两个非零向量x和y，极化恒等式可以表示为：⟨x, y⟨ = x y cosθ其中，⟨x, y⟨表示向量x和y的内积，x 和y 分别表示x和y的范数，θ表示x和y之间的夹角。
在接下来的部分中，我们将探讨面积的概念。
面积是几何学中描述平面图形大小的一种度量。
不同的形状和图形具有不同的计算方法。
对于简单的几何形状，如正方形、长方形和圆形，面积可以通过一些基本公式直接计算得到。
而对于复杂的曲线和曲面，面积的计算可能需要使用积分和微分等数学工具。
最后，我们将探讨极化恒等式和面积的应用。
极化恒等式在向量分析、线性代数和泛函分析等领域中具有广泛的应用。
通过使用极化恒等式，我们可以研究向量空间中的正交性、投影性质和内积的性质。
而面积的计算则广泛应用于几何学、物理学、工程学等领域。
通过计算图形的面积，我们可以研究物体的形状、表面积以及它们之间的关系。
总之，本文将详细介绍极化恒等式和面积的基本概念，并探讨它们在数学和几何学中的应用。
通过对这些概念的理解和应用，我们可以更好地理解向量空间和平面图形的性质，为进一步的研究和应用打下坚实的基础。
1.2文章结构文章结构的设计对于一篇长文非常重要，它能够帮助读者更好地理解和掌握文章的内容。
在本文中，我们将介绍极化恒等式和面积这两个主要部分。
2. 正文2.1 极化恒等式在本节中，我们将详细介绍极化恒等式的概念和相关理论。
高考数学复习考点题型专题讲解6 极化恒等式、投影向量
高考数学复习考点题型专题讲解专题6 极化恒等式、投影向量极化恒等式：a ·b ＝14[(a ＋b )2－(a －b )2].(1)几何意义：向量的数量积可以表示为以这组向量为邻边的平行四边形的“和对角线”与“差对角线”平方差的14.(2)在平行四边形PMQN 中，O 是对角线交点，则： ①PM →·PN →＝14[|PQ →|2－|NM →|2](平行四边形模式)；②PM →·PN →＝|PO →|2－14|NM →|2(三角形模式).类型一 投影向量的应用由投影与投影所在的向量共线，问题转化为求向量间的投影数量与投影所在向量方向上单位向量的积.例1 已知|a |＝4，e 为单位向量，它们的夹角为2π3，则向量a 在向量e 上的投影向量是________；向量e 在向量a 上的投影向量是________. 答案 －2e －18a解析 由|a |＝4，e 为单位向量，它们的夹角为2π3， 向量a 在向量e 上的投影数量：|a |cos 23π＝－2，向量e 在向量a 上的投影数量：|e |cos 23π＝－12，故向量a 在向量e 上的投影向量：－2e ， 向量e 在向量a 上的投影向量：－12×a |a |＝－18a .训练1 (1)已知向量a 与b 的夹角为34π，且|a |＝2，|b |＝3，则a 在b 方向上的投影向量与投影向量的长度分别是( ) A.23b ，2B.23b ，－ 2 C.－23b ，2D.－23b ，－ 2 (2)已知向量a ＝(1，2)，A (6，4)，B (4，3)，b 为向量AB →在向量a 上的投影向量，则|b |＝________. 答案 (1)D (2)455解析 (1)设a 在b 方向上的投影向量为λb (λ∈R )，则a ·b ＝λb ·b ， 故λ＝a ·b b 2＝|a |cos 34π|b |＝－23.故a 在b 方向上的投影向量为－23b ，a 在b 方向上的投影向量的长度为|a | cos 34π＝－ 2.(2)AB →＝(－2，－1)， 由投影公式可知|b |＝|AB →·a ||a |＝|－2×1＋（－1）×2|5＝455.类型二 利用极化恒等式求向量的数量积利用极化恒等式求平面向量数量积的步骤： (1)取第三边的中点，连接向量的起点与中点；(2)利用极化恒等式将数量积转化为中线长与第三边长的一半的平方差； (3)求中线及第三边的长度，从而求出数量积的值.注：对于不共起点或不共终点的向量需通过平移转化为共起点(终点)的向量，再利用极化恒等式.例2 (1)如图，在△ABC 中，D 是BC 的中点，E ，F 是AD 上的两个三等分点.BA →·CA →＝4，BF →·CF →＝－1，则BE →·CE →的值为________.(2)如图，在平行四边形ABCD 中，AB ＝1，AD ＝2，点E ，F ，G ，H 分别是AB ，BC ，CD ，AD 边上的中点，则EF →·FG →＋GH →·HE →＝________.答案 (1)78 (2)32解析 (1)设BD ＝DC ＝m ，AE ＝EF ＝FD ＝n ， 则AD ＝3n .根据向量的极化恒等式，有AB →·AC →＝AD →2－DB →2＝9n 2－m 2＝4，FB →·FC →＝FD →2－DB →2＝n 2－m 2＝－1，联立解得n 2＝58，m 2＝138.因此EB →·EC →＝ED →2－DB →2＝4n 2－m 2＝78.即BE →·CE →＝78.(2)连接EG ，FH 交于点O (图略)， 则EF →·FG →＝EO →2－OH →2＝1－⎝ ⎛⎭⎪⎫122＝34，GH →·HE →＝GO →2－OH →2＝1－⎝ ⎛⎭⎪⎫122＝34，因此EF →·FG →＋GH →·HE →＝32.训练2 (1)在△ABC 中，M 是BC 的中点，AM ＝3，BC ＝10，则AB →·AC →＝________.(2)如图，在△ABC 中，已知AB ＝4，AC ＝6，∠BAC ＝60°，点D ，E 分别在边AB ，AC 上，且AB →＝2AD →，AC →＝3AE →，若F 为DE 的中点，则BF →·DE →的值为________.答案 (1)－16 (2)4解析 (1)因为M 是BC 的中点， 由极化恒等式得AB →·AC →＝|AM →|2－14|BC →|2＝9－14×100＝－16.(2)取BD 的中点N ，连接NF ，EB ，因AB ＝4，AE ＝2，∠BAC ＝60°，故BE ⊥AE ，所以BE ＝2 3. 在△DEB 中，FN 綉12BE ，所以FN ＝3，故BF →·DE →＝2FB →·FD →＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫FN →2－14DB →2＝2(3－1)＝4.类型三 利用极化恒等式求数量积的最值(范围)(1)利用极化恒等式求数量积的最值(范围)时，关键在于取第三边的中点，找到三角形的中线，再写出极化恒等式.(2)难点在于求中线长的最值(范围)，可通过观察图形或用点到直线的距离等求解.例3 (1)如图，在同一平面内，点A 位于两平行直线m ，n 的同侧，且A 到m ，n 的距离分别为1，3，点B ，C 分别在m ，n 上，|AB →＋AC →|＝5，则AB →·AC →的最大值是________.(2)(2022·济南调研)在△ABC 中，点E ，F 分别是线段AB ，AC 的中点，点P 在直线EF 上，若△ABC 的面积为2，则PB →·PC →＋BC →2的最小值为________. 答案 (1)214 (2)2 3解析 (1)法一(极化恒等式法)连接BC ，取BC 的中点D ，AB →·AC →＝AD →2－BD →2， 又AD ＝12|AB →＋AC →|＝52，故AB →·AC →＝254－BD →2＝254－14BC →2，又因为BC min ＝3－1＝2， 所以(AB →·AC →)max ＝214.法二(坐标法)以直线n 为x 轴，过点A 且垂直于n 的直线为y 轴，建立如图所示的平面直角坐标系xOy ，如图，则A (0，3)，C (c ，0)，B (b ，2)， 则AB →＝(b ，－1)，AC →＝(c ，－3) 从而(b ＋c )2＋(－4)2＝52， 即(b ＋c )2＝9，又AC →·AB →＝bc ＋3≤（b ＋c ）24＋3＝214，当且仅当b ＝c 时，等号成立. (2)取BC 中点O ，PB →·PC →＝PO →2－14BC →2⇒PB →·PC →＋BC →2＝PO →2＋34BC →2≥2PO →2·34BC →2＝3|PO →||BC →|，当且仅当PO ＝32BC 时等号成立.∵PO ≥12h ，∴3|PO →||BC →|≥32h |BC →|＝3S △ABC ＝23，∴PB →·PC →＋BC →2的最小值为2 3.训练3 (1)如图所示，正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1的棱长为2，MN 是它的内切球的一条弦(我们把球面上任意两点之间的线段称为球的弦)，P 为正方体表面上的动点，当弦MN 的长度最大时，PM →·PN →的取值范围是________.(2)如图所示，正方形ABCD的边长为1，A，D分别在x轴，y轴的正半轴(含原点)上滑动，则OC→·OB→的最大值是________.答案(1)[0，2] (2)2解析(1)由正方体的棱长为2，得内切球的半径为1，正方体的体对角线长为2 3.当弦MN的长度最大时，MN为球的直径.设内切球的球心为O，则PM→·PN→＝PO→2－ON→2＝|PO→2|－1.由于P为正方体表面上的动点，故|OP|∈[1，3]，所以PM→·PN→∈[0，2].(2)如图，取BC的中点M，AD的中点N，连接MN，ON，则OC →·OB →＝OM →2－14＝|OM →|2－14.因为OM ≤ON ＋NM ＝12AD ＋AB ＝32，当且仅当O ，N ，M 三点共线时取等号. 所以OC →·OB →的最大值为2.一、基本技能练1.设向量a ，b 满足|a ＋b |＝10，|a －b |＝6，则a ·b 等于( ) A.1 B.2 C.3 D.4 答案 A解析 由极化恒等式得a ·b ＝14[(a ＋b )2－(a －b )2]＝14×(10－6)＝1.2.如图，在平面四边形ABCD 中，O 为BD 的中点，且OA ＝3，OC ＝5，若AB →·AD →＝－7，则BC →·DC →＝( )A.－9B.21C.－21D.9答案 D解析 AB →·AD →＝|AO →|2－14|BD →|2＝－7，∴14|BD →|2＝16，BC →·DC →＝|CO →|2－14|BD →|2＝25－16＝9.3.如图，BC ，DE 是半径为1的圆O 的两条直径，BF →＝2FO →，则FD →·FE →＝( )A.－34B.－89C.－14D.－49答案 B解析 ∵BF →＝2FO →，圆O 的半径为1，∴|FO →|＝13.法一 FD →·FE →＝(FO →＋OD →)·(FO →＋OE →)＝FO →2＋FO →·(OE →＋OD →)＋OD →·OE →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫132＋0－1＝－89.法二 由极化恒等式得FD →·FE →＝FO →2－14DE →2＝19－1＝－89.4.已知正方形ABCD 的面积为2，点P 在边AB 上，则PD →·PC →的最大值是( ) A.92B.2 C.32D.34 答案 B解析 如图所示，取CD 的中点E ，连接PE ，由极化恒等式可得PD →·PC →＝PE →2－EC →2＝|PE →|2－12，所以当P 与A (B )重合时，|PE →|＝52最大，从而(PD →·PC →)max ＝2. 5.已知a ，b 是平面内两个互相垂直的单位向量，若c 满足(a －c )·(b －c )＝0，则|c |的最大值是( ) A.1 B.2 C.2D.22答案 C解析 由极化恒等式(a －c )·(b －c )＝14[(a ＋b －2c )2－(a －b )2]，∵(a －c )·(b －c )＝0， 所以(a ＋b －2c )2＝(a －b )2， 故c 2＝(a ＋b )·c ， 又因为|a |＝|b |＝1，a ⊥b ， ∴|a ＋b |＝2，于是|c |2≤|a ＋b ||c |＝2|c |， ∴|c |≤ 2.6.已知AB 为圆x 2＋y 2＝1的一条直径，点P 为直线x －y ＋2＝0上任意一点，则PA →·PB →的最小值为( )A.1B. 2C.2D.2 2答案 A解析如图所示，由极化恒等式易知，当OP与直线x－y＋2＝0垂直时，PA→·PB→有最小值，即PA→·PB→＝PO→2－OB→2＝(2)2－12＝1.故选A.7.已知AB是圆O的直径，AB长为2，C是圆O上异于A，B的一点，P是圆O所在平面上任意一点，则(PA→＋PB→)·PC→的最小值为( )A.－14B.－13C.－12D.－1答案 C解析∵PA→＋PB→＝2PO→，∴(PA→＋PB→)·PC→＝2PO→·PC→，取OC中点D(图略)，由极化恒等式得，PO→·PC→＝|PD→|2－14|OC→|2＝|PD→|2－14，又|PD →|2min ＝0，∴(PA →＋PB →)·PC →的最小值为－12.8.已知△ABC 是边长为2的等边三角形，P 为平面ABC 内一点，则PA →·(PB →＋PC →)的最小值为( ) A.－2 B.－32C.－43D.－1答案 B解析 取BC 的中点D ，连接AD ，PD ，取AD 的中点E ，连接PE .由△ABC 是边长为2的等边三角形，E 为中线AD 的中点得AE ＝12AD ＝32，则PA →·(PB →＋PC →)＝2PA →·PD →＝2(|PE →|2－|EA →|2) ＝2⎣⎢⎡⎦⎥⎤|PE →|2－⎝ ⎛⎭⎪⎫322≥2×⎝⎛⎭⎪⎫0－34＝－32， 当且仅当|PE →|＝0时，取等号， ∴PA →·(PB →＋PC →)的最小值为－32.9.已知正方形ABCD 的边长为1，点E 是AB 边上的动点，则DE →·DA →的值为________. 答案 1解析 取AE 中点O ，设AE ＝x (0≤x ≤1)，则AO ＝12x ，∴DE →·DA →＝|DO →|2－14|AE |2＝12＋⎝ ⎛⎭⎪⎫12x 2－14x 2＝1. 10.在△ABC 中，AB ＝6，AC ＝5，A ＝120°，动点P 在以C 为圆心，2为半径的圆上，则PA →·PB →的最小值为________. 答案 16解析 设AB 的中点为M ，则PA →·PB →＝PM →2－MA →2＝|PM →|2－9， 所以要求PA →·PB →的最小值，只需求|PM →|的最小值，显然当点P 为线段MC 与圆的交点时，|PM →|取得最小值，最小值为|MC |－2. 在△AMC 中，由余弦定理得|MC |2＝32＋52－2×3×5×cos 120°＝49， 所以|MC |＝7，所以|PM →|的最小值为5， 则PA →·PB →的最小值为16.11.在Rt△ABC 中，CA ＝CB ＝2，M ，N 是斜边AB 上的两个动点，且MN ＝2，则CM →·CN →的取值范围是________. 答案 ⎣⎢⎡⎦⎥⎤32，2解析 取MN 的中点为P ，由极化恒等式得 CM →·CN →＝|CP →|2－14|MN |2＝|CP →|2－12.当P 为AB 的中点时，|CP →|取最小值为2，则CM →·CN →的最小值为32；当M 与A (或N 与B )重合时，|CP →|取最大值为102，则CM →·CN →的最大值为2，所以CM →·CN →的取值范围是⎣⎢⎡⎦⎥⎤32，2.12.已知AB 为圆O 的直径，M 为圆O 的弦CD 上一动点，AB ＝8，CD ＝6，则MA →·MB →的取值范围是________. 答案 [－9，0]解析 如图，取CD 的中点G ，连接OG ，MO ，CO ，得OG ⊥CD ，MA →·MB →＝|MO →|2－14|BA →|2＝|MO →|2－16，∵|OC →|≥|OM →|≥|OG →|， ∴7≤|OM →|≤4， ∴MA →·MB →∈[－9，0]. 二、创新拓展练13.若点O 和点F 分别为椭圆x 24＋y 23＝1的中心和左焦点，点P 为椭圆上的任意一点，则OP →·FP →的最大值为( ) A.2 B.3 C.6 D.8答案 C解析 如图，由已知OF ＝1，取FO 中点E ，连接PE ，由极化恒等式得：OP →·FP →＝|PE →|2－14|OF →|2＝|PE →|2－14，∵当P 在椭圆右顶点时，|PE →|2有最大值，|PE →|2max＝254， ∴OP →·FP →的最大值为6.14.(多选)(2022·苏北四市调研)已知在△ABC 中，P 0是边AB 上一定点，满足P 0B ＝14AB ，且对于边AB 上任一点P ，恒有PB →·PC →≥P 0B →·P 0C →，则( ) A.PB →·PC →＝PD →2－DB →2B.存在点P ，使|PD →|<|P 0D →| C.P 0C →·AB →＝0 D.AC ＝BC 答案 AD解析 如图所示，取BC 的中点D ，连接PD ，根据向量的极化恒等式，有PB →·PC →＝PD →2－DB →2，P 0B →·P 0C →＝P 0D →2－DB →2. 又PB →·PC →≥P 0B →·P 0C →，所以|PD →|≥|P 0D →|，A 正确；B 错误；故由点P 为边AB 上任意一点知：点D 到边AB 上点的距离的最小值为|DP 0→|，从而DP 0⊥AB ， ∴P 0C →·AB →≠0，C 错误；取AB 的中点E ，则由P 0B ＝14AB 知，CE ∥DP 0，故CE ⊥AB ，于是AC ＝BC ，D 正确.15.(2022·宁波模拟)AB 为⊙C ：(x －2)2＋(y －4)2＝25的一条弦，|AB |＝6，若点P 为⊙C 上一动点，则PA →·PB →的取值范围是( ) A.[0，100] B.[－12，48] C.[－9，64] D.[－8，72] 答案 D解析 如图，取AB 中点为Q ，连接PQ .∴PA →＋PB →＝2PQ →，PA →－PB →＝BA →，∴PA →·PB →＝14[(PA →＋PB →)2－(PA →－PB →)2]＝14(4|PQ →|2－|BA →|2).又∵|BA →|＝6，|CQ |＝25－⎝ ⎛⎭⎪⎫622＝4，∴PA →·PB →＝|PQ →|2－9， ∵点P 为⊙C 上一动点， ∴|PQ |max ＝5＋|CQ |＝9， |PQ |min ＝5－|CQ |＝1，∴PA →·PB →的取值范围为[－8，72].16.在半径为1的扇形中，∠AOB ＝60°，C 为弧上的动点，AB 与OC 交于P ，则OP →·BP →的最小值为________. 答案 －116解析 取OB 的中点D ，作DE ⊥AB 于点E ，连接PD ，则OP →·BP →＝|PD →|2－|OD →|2＝|PD →|2－14，易知|PD →|∈[]|DE →|，|AD →|＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤34，32，则OP →·BP →＝PD →2－14∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－116，12，故所求最小值为－116.17.如图，在平面四边形ABCD 中，AC ＝AD ＝2，∠DAC ＝120°，∠ABC ＝90°，则BD →·BC →的最大值为________.答案 1解析 取CD 的中点E ，连接EA ，EB ，∵AC ＝AD ＝2，∠DAC ＝120°， ∴AE ⊥CD ，DE ＝AD sin 60°＝3， 由∠ABC ＝∠AEC ＝90°，∴A ，B ，C ，E 四点共圆，且AC 为直径，则BD →·BC →＝|BE →|2－|ED →|2＝|BE →|2－(3)2≤|AC →|2－3＝22－3＝1， 所以BD →·BC →的最大值为1.18.(2022·金丽衢12校联考)已知平面向量a ，b ，c ，d 满足|a |＝|b |＝2，a·b ＝0，|b ＋2c |＝2，若(d －a )·(d ＋2b )≤4，则|c ＋d |的取值范围为________. 答案 [0，10＋4]解析 如图，因为|a |＝|b |＝2，a ·b ＝0，所以不妨设a ＝OA →＝(2，0)，b ＝OB →＝(0，2).设c ＝OC →，d ＝OD →.因为|b ＋2c |＝2，即⎪⎪⎪⎪⎪⎪c －⎝ ⎛⎭⎪⎫－12b ＝1，所以可知点C 在以(0，－1)为圆心，1为半径的圆上.设E (0，－4)，M 为AE 的中点，由(d －a )·(d ＋2b )＝AD →·ED →＝DM →2－AM →2＝DM →2－5≤4，可得点D 在以M (1，－2)为圆心，3为半径的圆内(包含边界)， 所以|c ＋d |＝|d －(－c )|＝|OD →－OC ′→|＝|C ′D →|∈[0，10＋4].。
高中数学《极化恒等式》PPT教学课件
已知RTABC的斜边AB的长为4，设P是以C为圆心， 1为半径的圆上任意一点，求PA PB的取值范围。
解：PA
PB＝(
PA
P B ) 2 －(
P A－P B ) 2＝P M
在正三角形 ABC中， D 是 BC上点， AB 3, BD 1，
则 AB AD
。
解：取
BD的中点
E
，
AB
AD
2
AE
1
2
BD
(3
3 )2 1 1 15
4
2
42
如图，在半径为1的扇形AOB 中，AOB ＝60 ，C为弧上的动点， AB与OC相交于点P，则OP BP的最小值是 1
巧用极化恒等式，妙解高考向量题
想一想
在处理向量的问题中，一个强有力的工具，特别 在求向量数量积最值的时候，甚至是“秒杀”某些高 考向量题，那就是向量的极化恒等式。
M
极化恒等式的几何意义：
4a b (a b)2 (a b)2 a b (a b)2 (a b)2 4
| BC |
| BC |
| BC |
从而原式 |
PD |2
3 4
|
BC |2
|
4 BC |2
3 4
|
BC |2
2
3
当且仅当PD BC，| BC |＝4 4时等号成立。 3
A. ABC 90o B. BAC 90o
C. AB AC
D. AC BC
极化恒等式-教师版
极化恒等式知识精讲：1.极化恒等式:a ⃗ ⋅b ⃗ =14[(a ⃗ +b ⃗ )2−(a ⃗ −b⃗ )2] 2.极化恒等式的几何意义是：设点M 是△ABC 边的中点，则AB⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅AC ⃗⃗⃗⃗⃗ =|AM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |2−14|BC ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |2=AM 2−BM 2，即：向量的数量积可转化为中线长与半底边长的平方差．1.已知A 为椭圆x 29+y 25=1上的动点，MN 为圆(x −1)2+y 2=1的一条直径，则AM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅AN⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 的最大值为________.备注：极化恒等式的典型应用BC2. （三星）（2017全国2理）已知ΔABC 是边长为2的等边三角形，P 为平面ABC 内一点，则PA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅(PB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +PC ⃗⃗⃗⃗⃗ )的最小值是（ ）A.−2B.−32 C. −43 D.−1 解：方法一：建系法连接OP ，OA⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(0,√3)，OB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(−1,0)，OC ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(1,0). PC ⃗⃗⃗⃗⃗ +PB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =2PO ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ，∴PO ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅PA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(−x,−y )⋅(−x,√3−y) ∴PO ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅PA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =x 2+y 2−√3y =x 2+(y −√32)2−34 ∴PO ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅PA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ≥−34，∴ PA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅(PC ⃗⃗⃗⃗⃗ +PB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ )=2PO ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅PA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ≥−32 ∴最小值为−32方法二：均值法∵PC ⃗⃗⃗⃗⃗ +PB⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =2PO ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ，∴ PA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅(PC ⃗⃗⃗⃗⃗ +PB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ )=2PO ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅PA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 由上图可知：OA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =PA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ −PO ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ；两边平方可得3=(PA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ )2+(PO ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ )2−2PA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅PO ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ∵ (PA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ )2+(PO ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ )2≥−2PA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅PO ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ，∴ 2PO ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅PA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ≥−32∴ PA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅(PC ⃗⃗⃗⃗⃗ +PB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ )=2PO ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅PA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ≥−32，∴最小值为−32 解法三：配凑法 ∵PC ⃗⃗⃗⃗⃗ +PB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =2PO ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ∴PA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅(PC ⃗⃗⃗⃗⃗ +PB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ )=2PO ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅PA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(PO⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +PA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ )2−(PO ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ −PA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ )22=(PO⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +PA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ )2−(AO ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ )22≥−32∴最小值为−323．在∆ABC 中，BC 边上的中线AD 的长为2，点P 是∆ABC 所在平面上的任意一点，则PA PB PA PC ⋅+⋅的最小值为 A ．1B ．2C ．-2D ．-1【详解】建立如图所示的平面直角坐标系，使得点D 在原点处，点A 在y 轴上，则A (0,2)．设点P 的坐标为x y (,)，则(,2),(,)PA x y PO x y =−−=−−， 故()22(2)PA PB PA PC PA PB PC PA PO x y y ⋅+⋅=⋅+=⋅=+−22=+−−≥−x y 2[(1)]2222，当且仅当==x y 0,1时等号成立．所以PA PB PA PC ⋅+⋅的最小值为−2．选C ．4. （武汉二中高二）已知圆M:x 2+(y −1)2=1, 圆N:x 2+(y +1)2=1, 直线l 1、l 2分别过圆心M ,且l 1与圆M 相交于A 、B , l 2与圆N 相交于C 、D , P 是椭圆x 23+y 24=1上的任意一动点, 则PA → ⋅PB → +PC → ⋅PD →的最小值为______________.6 备注：用到极化恒等式5．在平面四边形ABCD 中，===AB BC CD 22，∠ABC =60∘,∠ADC =90∘，若BE →=EF →=FG →=GC →，则2AE →∙DC →+AE →∙AF →=_____；若P 为边BC 上一动点，当PA →∙PC →取最小值时，则cos ∠PDC 的值为_____．解：∵平面四边形ABCD 中，===AB BC CD 22，∠ABC =60∘,∠ADC =90∘，∴△ABC 是边长为2的等边三角， 在Rt △ADC 中，AC =2,CD =1，所以∠ACD =60∘，又BE →=EF →=FG →=GC →， ∴E,F,G 是BC 边的四等分点．如图建立坐标系：则：A(0,√3),B (−1,0),C (1,0)， D (32,√32),E (−12,0),F (0,0),G (12,0)， 所以2AE →DC →+AE →AF →=2(−12,−√3)(−12,−√32)+(−12,−√3)(0,−√3)=132，再设P (x,0)，则−1≤x ≤1，∴PA →PC →=(−x,√3)(1−x,0)=x 2−x =(x −12)2−14，显然x =12时，PA →PC →最小，此时P (12，0)，∴cos ∠PDC =cos ⟨DP →，DC →⟩=(−1，−√3)⋅(−1，−√3)(−1)+(−√32)(−12)+(−√32)=5√714．故答案为：132，5√714．6．在△OAB 中，OA =OB =2，AB =2√3，动点P 位于直线OA 上，当PA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅PB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 取得最小值时，向量PA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 与PB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 的夹角余弦值为（ ）A ．−3√77B ．7C ．−√217D ．√213【详解】∵|AB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |2=(OB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ −OA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ )2=OA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 2+OB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 2−2OA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅OB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ，即8−2OA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅OB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =12，∴OA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅OB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =−2， 设OP ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =λOA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ (0≤λ≤1)，PA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(1−λ)OA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ，PB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =OB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ −OP ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =OB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ −λOA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ， 所以，PA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅PB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(1−λ)OA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅(OB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ −λOA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ )=(1−λ)OA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅OB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +λ(λ−1)OA⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 2 =−2(1−λ)+4λ(λ−1)=4λ2−2λ−2=(2λ−12)2−94，当λ=14时，PA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅PB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 取得最小值−94，此时|PA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |=34|OA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |=32， |PB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |2=|OB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ −14OA⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |2=116OA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 2+OB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 2−12OA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅OB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =116×22+22−12×(−2)=214，所以，|PB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |=√212，则cos <PA⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ,PB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ >=PA⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅PB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |PA⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |⋅|PB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |=−9432×√212=−√217. 故选：C.7. （三星）在锐角∆ABC 中已知B= 3，|AB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ −AC ⃗⃗⃗⃗⃗ |=2,则AB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅AC ⃗⃗⃗⃗⃗ 的取值范围是__________.解：法一：极化恒等式；法二：以B 为原点，BA 所在直线为x 轴建立坐标系，因为设A（x ，0）因为△ABC 是锐角三角形，所以A+C=120°，∴30°＜A ＜90°，即A 在如图的线段DE 上（不与D ，E 重合），所以1＜x ＜4，则AB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ AC ⃗⃗⃗⃗⃗ =x 2﹣x=（x ﹣12）2﹣14，所以AB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ AC ⃗⃗⃗⃗⃗ 的范围为（0，12）．方法2∵∠B=π3， △ABC 是锐角三角形，所以A+C=120°，∴30°＜A ＜90°=a=2由正弦定理可得()−==A B a b csin 120sinA sin 0∴=b ,=−Ac A sin 2sin 1200)( ∴120cos cos AB AC c b A A ===+=+⎝⎭−AA Asin tan 32202)(∵∈tanA0,3)( ∴(0,12AB AC ∈)8.在△ABC 中，AC ＝2BC ＝4，∠ACB 为钝角，M ，N 是边AB 上的两个动点，且MN ＝1，若CM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅CN⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 的最小值为34，则cos ∠ACB ＝ ． 【答案】1−3√58【解析】取MN 的中点P ，则由极化恒等式得CM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅CN⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =|CP ⃗⃗⃗⃗⃗ |2−14|MN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |2=|CP ⃗⃗⃗⃗⃗ |2−14∵CM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅CN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 的最小值为34∴|CP ⃗⃗⃗⃗⃗ |min 由平几知识知：当CP ⊥AB 时，CP 最小. 如图，作CH ⊥AB ，H 为垂足，则CH=1 又AC ＝2BC ＝4，所以∠B ＝30o ，sinA=14 所以cos ∠ACB ＝cos （150o －A ）=1−3√58.9.如图所示，矩形ABCD 的边AB=4，AD=2，以点C 为圆心，CB 为半径的圆与CD 交于点E ，若点P 是圆弧EB ̂ (含端点B 、E)上的一点，则PA → ·PB → 的取值范围是 .H【解析】取AB 的中点设为O ，则， 当O 、P 、C 共线时， PO 取得最小值为PO =2√2−2；当P 与B （或E ）重合时，PO 取得最大值为PO=2， 所以的取值范围是.10.如图，是边长为P 是以C 为圆心，1为半径的圆上的任意一点，则AP⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ∙BP ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 最小值是_____.－111.（三星）如图，在△ABC 中，D 是BC 的中点，E,F 是AD 上的两个三等分点，BA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅CA ⃗⃗⃗⃗⃗ =4,BF ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅CF ⃗⃗⃗⃗⃗ =−1,则BE ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅CE ⃗⃗⃗⃗⃗ 的值是________.备注：极化恒等式的典型应用2221=4PA PB PO AB PO ⋅−=−4PA PB ⋅−[8∆ABC CA BP12.若平面向量a ，b 满足|2a －b|≤3，则a·b 的最小值为________.【解析】根据极化恒等式得：8a ⋅b =(2a +b)2−(2a −b)2=(2a +b)2−9≥−9，故a ⋅b ≥−98，所以a ⋅b 的最小值为−98．13.已知平面向量a ，b ，e 满足|e|＝1，a·e ＝1，b·e ＝－2，|a ＋b|＝2，那么a·b 的最大值为________． 解： 由a·e ＝1，b·e ＝－2得: a·e －b·e ＝3，即（a －b ）·e ＝3，|a －b|cos θ＝3a·b=14[|a ＋b|2－|a －b|2]≤－5414.在中，已知，，则面积的最大值是 ．解：取BC 的中点为D ，则AB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ •AC ⃗⃗⃗⃗⃗ =AD 2−BC24，所以AD =√2因为BC 边上的高线长不大于中线长，当中线就是高线时，面积最大，故．15.已知平面向量a ⃗ ,b ⃗ ,c ⃗ 满足|a ⃗ |=1，a ⃗ ⋅b ⃗ =12，a ⃗ ⋅c ⃗ =2，|2b ⃗ −c ⃗ |=2，那么b⃗ ⋅c ⃗ 的最小值为________． 【解析】由a ⃗ ⋅b ⃗ =12，a ⃗ ⋅c ⃗ =2得2a ⃗ ⋅b ⃗ +a ⃗ ⋅c ⃗ =3，即a ⃗ ⋅(2b ⃗ +c ⃗ )=3 又a ⃗ ⋅(2b ⃗ +c ⃗ )=|a ⃗ ||2b ⃗ +c ⃗ |cos θ（其中θ为向量a ⃗ 与2b ⃗ +c ⃗ 的夹角） 所以|2b⃗ +c ⃗ |=3cos θ所以b⃗ ⋅c ⃗ =18[(2b ⃗ +c ⃗ )2−(2b ⃗ −c ⃗ )2]=18(9cos 2θ−4)≥58.∆ABC =BC 21AB AC •=∆ABC ∆ABC16.已知锐角的外接圆的半径为1， ，则的取值范围为__________．17.已知正三角形ABC 内接于半径为2的圆O ，点P 是圆O 上的一个动点，则PA → ⋅PB →的取值范围是_____.[－2,6]18.在ΔABC 中，AB =3,AC =4,∠BAC =60°，若P 是ΔABC 所在平面内的一点，且AP =2，则PB → ⋅PC →的最大值为_____.10+2√3719.已知点P 是边长为2√3的正三角形ABC 内切圆上的一点，则PA → ⋅PB →的取值范围为_____.[−3,6]20.已知正方形ABCD 的边长为1，中心为O ，直线l 经过中心O ，交AB 于点M ，交CD 于点N ，P 为平面上一点，若2OP → ＝λOB → ＋(1－λ)OC → ，则PM → ·PN →的最小值为__________.−71621.设点P 为正三角形△ABC 的边BC 上的一个动点，当PA → ·PC →取得最小值时，sin ∠PAC 的值为________．√392622.在平面直角坐标系xOy 中，点A ，B 分别在x 轴，y 轴正半轴上移动，AB ＝2，若点P 满足PA → ·PB →＝2，则OP 的取值范围为________．[√3−1,√3+1]23.在△ABC 中，E ，F 分别是线段AB ，AC 的中点，点P 在直线EF 上，若△ABC 的面积为2，则PB → ·PC →＋BC →2的最小值是__________．4√3∆ABC ∠=πB 6BA BC⋅⎝ ⎛23,3。
第5讲 平面向量极化恒等式和矩形大法(解析版) 高一数学同步题型讲义(新人教2019)必修二
第5讲平面向量极化恒等式和矩形大法【考点分析】考点一：极化恒等式极化恒等式:()()⎥⎦⎤⎢⎣⎡--+=⋅2241b a b a b a 证明：()2222b b a a b a +⋅+=+①；()2222b b a a b a +⋅-=-②两式相减得：()()⎥⎦⎤⎢⎣⎡--+=⋅2241b a b a b a特别地，如图在ABC ∆中，若M 为BC 的中点，AC AB =⋅.AB CM 考点二：平面向量的矩形大法如图：若四边形ABCD 为矩形，O 为矩形所在平面内任一点，则2222OD OB OC OA +=+。
证明：()()()()OD OC OD OC OB OA OB OA OD OC OB OA OD OB OC OA -++-+=-+-=--+22222222()()OD OC DC OB OA BA +++⋅=()()()OD OC OB OA BA OD OC BA OB OA BA --+=+-+⋅=()=+=CB DA BA 所以2222OD OB OC OA +=+。
【题型目录】题型一：极化恒等式的应用题型二：极化恒等式之矩形大法【典型例题】题型一：平面向量的坐标运算【例1】已知向量a ，b 满足+a b -a b ，则 a b =（）A ．1B ．2C ．3D ．5【答案】A【详解】由平行四边形模拟得()16104141=-=⎪⎭⎫=⋅b a 【例2】如图，在ABC △中，︒=∠90C ，4=AC ，3=BC ，D 是AB 的中点，E 、F 分别是边BC 、AC 上的动点，且EF =1，则DF DE ⋅的最小值等．【答案】415【详解】414222-=-=⋅DH EF DH DF DE （H 为EF 的中点），因CD DH CH ≥+，所以22125=-=-≥CH CD DH ，所以415414412=-≥-=⋅DH DF DE 【例3】边长为1的正方形内有一内切圆，MN 是内切圆的一条弦，点P 为正方形四条边上的动点，当弦MN 的长度最大时，PM PN ⋅ 的取值范围是_________.【答案】10,4⎡⎤⎢⎥⎣⎦【解析】【分析】设正方形ABCD 的内切圆为圆O ，当弦MN 的长度最大时，MN 为圆O 的一条直径，计算可得出214PM PN PO ⋅=- ，计算出PO 的取值范围，即可得解.【详解】如下图所示：设正方形ABCD 的内切圆为圆O ，当弦MN 的长度最大时，MN 为圆O 的一条直径，()()22214PM PN PO OM PO OM PO OM PO ⋅=+⋅-=-=- ，当P 为正方形ABCD 的某边的中点时，min 12OP = ，当P 与正方形ABCD 的顶点重合时，max 22OP = 1222OP ≤ 因此，2110,44PM PN PO ⎡⎤⋅=-∈⎢⎥⎣⎦.故答案为：10,4⎡⎤⎢⎥⎣⎦.【例4】四边形ABCD 为菱形，30BAC ∠=︒，6AB =，P 是菱形ABCD 所在平面的任意一点，则PA PC ⋅ 的最小值为________.【答案】27-【解析】【分析】取AC 的中点O ，连接OA ，OC ，OP ，应用向量加减法的几何意义及数量积的运算律可得22PA PC PO OA ⋅=- ，即可求最小值.【详解】由题设，63=AC AC 的中点O ，连接OA ，OC ，OP ，则PA PO OA =+ ，PC PO OC PO OA =+=- ，所以()()2222727PA PC PO OA PO OA PO OA PO ⋅=+⋅-=-=-≥- .故答案为：27-【例5】已知下图中正六边形ABCDEF 的边长为4，圆O 的圆心为正六边形的中心，直径为2，若点P 在正六边形的边上运动，MN 为圆O 的直径，则PM PN ⋅ 的取值范围是（）A ．[]11,16B ．[]11,15C ．[]12,15D ．[]11,14【答案】B【解析】【分析】根正六边形的性质，求得内切圆和外接圆的半径，再化简得到22P PM P O OM N ⋅=- ，结合r PO R ≤≤ ，即可求解.【详解】由正六边形ABCDEF 的边长为4，圆O 的圆心为正六边形的中心，半径为1，所以正六边形ABCDEF 的内切圆的半径为sin 604sin 60r OA === 外接圆的半径为4R =，又由()()()()PM PN PO OM PO ON PO OM PO OM ⋅=+⋅+=+⋅- 2221PO OM PO =-=- ，因为r PO R ≤≤ ，即4]PO ∈ ，可得21[11,15]PO -∈ ，所以PM PN ⋅ 的取值范围是[]11,15.故选：B.【题型专练】1.如图直角梯形ABCD 中，EF 是CD 边上长为6的可移动的线段，4=AD ，AB =12BC =，则BE BF⋅ 的取值范围为________________.【答案】[]99,148【解析】【分析】首先在BC 上取一点G ，使得4BG =，取EF 的中点P ，连接DG ，BP ，根据题意得到()()222194BE BF BE BF BE BF BP ⎡⎤⋅=+--=-⎢⎥⎣⎦ ，再根据BP 的最值求解即可.【详解】在BC 上取一点G ，使得4BG =，取EF 的中点P ，连接DG ，BP ，如图所示：则83DG =，8GC =，()2288316CD =+=，83tan 38BCD ∠=60BCD ∠= .()()()22222112944BE BF BE BF BE BF BP FE BP ⎡⎤⎡⎤⋅=+--=-=-⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦ ，当BP CD ⊥时，BP 取得最小值，此时12sin 6063BP =⨯= 所以()(2min 63999BE BF ⋅=-= .当F 与D 重合时，13CP =，12BC =，则22211213212131572BP =+-⨯⨯⨯= ，当E 与C 重合时，3CP =，12BC =，则222112*********BP =+-⨯⨯⨯= ，所以()max 1579148BE BF ⋅=-= ，即BE BF ⋅ 的取值范围为[]99,148.故答案为：[]99,1482.如图，在ABC 中,90,2,ABC AB BC ∠===M 点是线段AC 上一动点.若以M 为圆心､半径为1的圆与线段AC 交于,P Q 两点，则BP BQ ⋅ 的最小值为（）A ．1B ．2C ．3D ．4【答案】B【解析】【分析】根据M 为PQ 的中点，将,BP BQ 用,BM MQ 表示出来，然后利用向量运算法则，即可将问题转化为2BM 的最小值，即B 到线段AC 的距离的平方．【详解】解：由题意，MQ MP =- ，且1MP = ，4AC ==，所以BP BM MP =+ ，BQ BM MQ BM MP =+=- ，所以2()()1BP BQ BM MP BM MP BM ⋅=+⋅-=- ，易知，当BM AC ⊥时，BM 最小，所以min BA BC AC BM ⋅=⋅，即24min BM ⨯=⨯，解得min BM =，故BP BQ ⋅ 的最小值为212-=．故选：B ．3.已知P 是边长为4的正三角形ABC 所在平面内一点，且(22)()=+-∈R AP AB AC λλλ，则PA PC ⋅ 的最小值为（）。
2-7极化恒等式之矩形大法
专题7 极化恒等式之矩形大法秒杀秘籍：第一讲 极化恒等式之矩形大法如图，在矩形ABCD 中，若对角线AC 和BD 交于点O ，P 为平面内任意一点，有以下两个重要的向量关系：①2222PA PC PB PD ；① .PA PCPB PD证明：①连接PO ，根据极化恒等式2222222a b a b a b ⎡⎤+-⎛⎫⎛⎫+=+⎢⎥ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎣⎦，可得22222224AC PA PC PO PB PD ⎛⎫+=+=+ ⎪⎝⎭；①根据极化恒等式2222a b a b a b +-⎛⎫⎛⎫⋅=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，可得224AC PA PC PO PB PD ⋅=-=⋅ 推广到空间，得到的结论就是：底面是矩形的四棱锥相对侧棱长的平方和以及向量乘积均相等．【例1】（2015•四川预赛）在矩形ABCD 中，3AB =，4AD =，P 为矩形ABCD 所在平面上一点，满足2PA =，21PC =PB PD ⋅= .【例2】（2013•重庆卷）在平面内，12AB AB ⊥，121OB OB ==，12AP AB AB =+若12OP ，则OA 的取值范围是（ ） A ．50,⎡⎢⎣⎭B. 57,⎝⎦C. 5,2⎝D. 7,2⎝【例3】（2008•浙江卷）已知a 、b 是平面内两个互相垂直的单位向量，若向量c 满足0)()(=-⋅-c b c a ，则c 的最大值是（ ） A ．1B ．2C ．2D 2【例4】（2012•江西卷）在Rt ABC △中，点D 是斜边AB 的中点，点P 为线段CD 的中点，则222PA PBPC+等于（ ） A ．2B ．4C ． 5D ． 10【例5】已知向量a 、b 、c 满足3a ，2b ，1c ，且(c)(c)0a b ，则a b -的取值范围是 _ .【例6】（2019•浙江模拟）设,,a b c 为平面向量，||||2a b ==，若(2)()0c a c b --=，则c b 的最大值为（ ） A ．2B ．94C ．174D ．5【例7】（2014•广东卷）已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的右焦点为(50)5．（1）求椭圆C 的标准方程；（2）若动点0(P x ，0)y 为椭圆C 外一点，且点P 到椭圆C 的两条切线相互垂直，求点P 的轨迹方程．达标训练1.（2018•漳州模拟）已知||||2a b ==，||1c =，()()0a c b c -⋅-=，则||a b -的取值范围是（ ） A ．[6161] B ．7171[-+C ．[771]D ．6161[]-+ 2.（2018•龙岩期中）已知向量,,a b c 满足：||1,()(),(2)a a c b c a a b =-⊥-⊥-，若37||b =，||c 的最大值和最小值分别为m ，n ，则m n +等于（ ） A ．32B 5C 37D 353.（2018•唐山二模）在ABC △中，90C ∠=︒，||6AB =，点P 满足||2CP =，则PA PB ⋅的最大值为（ ） A ．9B ．16C ．18D ．254.（2018•运城市四模）已知a ，b 为单位向量，且a b ⊥，向量c 满足||2c a b --=，则||c 的范围为（ ） A ．[1，12] B ．[22，22]C ．[2,22]D ．[322-，322]+5.（2018•三门峡期末）已知向量,,a b c ，满足||2a =，||3b a b =⋅=，若2(2)()03c a c b -⋅-=，则||b c -的最小值是（ ） A ．23B ．23+C ．1D ．26.（2018•浙江三模）已知||||1a b ==，向量c 满足|()|||c a b a b -+=-，则||c 的最大值为 ．7.（2018•赣州期中）已知||||1a b ==，且a b ⊥，若||1a b m ++成立，则||m 的取值范围是 ．8.（2018•黔东二模）在平面上，12OB OB ⊥，12|||2MB MB ==12OP OB OB =+．若||1MP <，则||OM 的取值范围是 ．9.（2018•宝山区二模）如图，已知O 为矩形1234PP P P 内的一点，满足14OP =，35OP =，137PP =，则24OPOP ⋅的值为 ． 10.（2018•黔东南州二模）在平面上，12OB OB ⊥，且1||2OB =，2||1OB =，12OP OB OB =+．若12||||MB MB =，则||PM 的取值范围是 ．11.（2018•天津南开区一模）在四边形ABCD 中，2AB AC AD ==，AB AD ⊥，则CB CD ⋅的最小值为 ．12.（2019•播州月考）已知向量||1AB =，||2BC =，若0AB BC ⋅=，0AD DC ⋅=，则||BD 的最大值为（ ）A 255B ．2C 5D ．2513.（2019•浙江期中）已知a ，b 是两个单位向量，与a ，b 共面的向量c 满足2()0c a b c a b -+⋅+⋅=，则||c 的最大值为（ ）A ．22B ．2C 2D ．114.（2019•衢州期中）设平面向量,,a b c 满足||1a =，||2b =，1a b ⋅=，()()0a c b c -⋅-=，则|2|a c -的最大值为（ ）A 37+B 31+C 3D ．215.（2016•重庆月考）已知向量,,a b c ，满足||4,||2a b ==，0a b ⋅=，()()0c a c b -⋅-=．（1）求|2|a b -的值； （2）求||c 的最大值．16.（2016•武汉模拟）已知椭圆2222:1x y C a b+=的短轴长为22．（1）求椭圆C 的标准方程；（2）1T ，2T 为椭圆上不同两点，过1T ，2T 作椭圆切线交于点P ，若12T P T P ⊥，求点P 的轨迹E 的方程；（3）若1PT 交E 于1Q ，2PT 交E 与2Q ，求△12PQ Q 面积的最大值．。
极化恒等式(矩形大法)
极化恒等式与矩形大法一、 知识清单1. 极化恒等式：如图，AB AC 2AD += ① A B A CCB -= ②,则：①2+②2得：222242++=AB AD BC AC ；①2-②2得：2244-=⋅AB AD BC AC推广：2222+-=⋅⋅⋅=AB AB AC cosA AB AC BC AC速记方法：22()()4a b a b a b +--⋅==，2222()()2a b a b a b +-+=+=2. 矩形大法：如图，由极化恒等式可得22224PD PB 2PO BD ++=①22224PA PC 2PO AC ++= ②因为BD=AC ，所以2222+=+PD PB PA PC ，速记方法：矩形外一点到矩形对角顶点的平方和相等。
推广1：若ABCD 为平行四边形，则有222222BD ()2AC -+-+=PA PC PD PB推广2：若P 为平面外一点，上述性质仍成立。
二、 典型例题1．（2012浙江文15）在ABC ∆中，M 是BC 的中点，3AM =，10BC =，则A B A C ⋅= _________．解析：由极化恒等式有：224AB 164AM BC AC -=⋅=- 2. （2013浙江理7）在ABC ∆中,0P 是边AB 上一定点，满足014P B AB =，且对于边AB 上任一点P ，恒有00PB PC P B PC ⋅≥⋅。
则( ) A.90ABC ∠= B. 90BAC ∠= C.AB AC = D. AC BC =解析：D 为BC 中点，由极化恒等式有：224PB 4PD BC PC -⋅=则当PD 最小时，PB⃗⃗⃗⃗⃗ ∙PC ⃗⃗⃗⃗⃗ 最小， 所以过D 作AB 垂线，垂足即为P 0,作AB 中点E ，则CE ⊥AB ，即AC=BC 。
3. 已知向量,,a b e 是平面向量，e 是单位向量． 2,3,0,()1a b a b e a b ===⋅-++求a b -的范围？解析：由0,()1a b e a b =⋅-++得0()()a e b e =-⋅-如图，,,OA a OB b OE e === ，构造矩形ACBE ，由矩形大法有2222OE OC OA OB +=+，则OC =[,]1]a b AB CE OC OE OC OE -==∈-+=4.向量,,a b e 是平面向量，e 是单位向量． 2,3,0,()2a b a b e a b ===⋅-++求a b -，a b ⋅范围？ 解析：由题得1()()a e b e =--⋅-，,,OA a OB b OE e === ，构造平行四边形ACBE ，由极化恒等式：221()()4a EA EC AB eb e EB =--=-⋅-⋅=由平行四边形大法：222222()()22EC AB OE OC OA OB -+-+==-，即10OC =2a b AB -===2222()13()[101]22a b a b a b a b +----⋅==∈-三、 强化练习1. 设正ABC ∆的面积为2，边,AB AC 的中点分别为,D E ，M 为线段DE 上的动点，则2MB MC BC ⋅+的最小值为 .2.ABC ∆外接圆O 半径为1，且120AOB ∠=，则AC CB ⋅的取值范围是 . 31[,0)(0,]22-3.已知平行四边形ABCD 的面积为6，2AB =，点P 是平行四边形ABCD 所在平面内的一个动点，且满足2PC =，则PA PB ⋅的最小值 .CA ．4-B ．2-C ．0D ．24. 如图，C ，D 以AB 为直径的圆O 上的动点，已知AB =2，则AC BD ⋅的最大值是 （ ）AA. 125. 已知∆ABC ，满足3219()||++=||||+AB AC AB AC AB AC AB AC ，点D 为线段AB 上一动点，若⋅DA DC 的最小值为3-，则∆ABC 的面积=S （ ）DA.9B.6.记M 的最大值和最小值分别为max M 和min M .若平面向量,,a b c 满足a b a b ==⋅()222c a b c =⋅+-=. 则（ ）Amax3.2A a c-=max 3.2B a c +=min3.2C a c-=min 3.D a c +=7.点P 是底边长为2的正三棱柱表面上的动点，MN 是该棱柱内切球的一条直径，则PM PN 的取值范围是 . []0,48．向量,,a b e 是平面向量，e 是单位向量．若()()2,0,a b a e b e ==-⋅-=则a b -的最小值是( )AA 1B 1C ．3D ．39.如图，已知圆O 的半径为2，P 是圆内一定点，OP=1，圆O 上的两动点A ，B 满足PA PB ⊥，存在点C 使PACB 构成矩形，则OC OP ⋅的取值范围是 [10.向量,,a b c 满足21b c a ===,则()()c a c b ⋅--的最大值是 ； 最小值是 . 1[,3]8-。
第四章 第6节 极化恒等式-解析版
第6节 极化恒等式知识与方法1.平行四边形性质：如下图所示，在平行四边形ABCD 中，()22222AC BD AB AD+=+.2.极化恒等式的平行四边形模式：在平行四边形ABCD 中，()2214AB AD AC BD ⋅=-. 3.极化恒等式的三角形模式：22AB AD AE EB ⋅=-，其中E 为BD 中点.提醒：极化恒等式主要用于解决数量积计算问题，利用极化恒等式，关键是取中点，巧妙之处是可将本身需要夹角才能计算的数量积转化为只需长度即可计算的量.典型例题【例1】（2012·浙江）在ABC 中，M 是BC 中点，3AM =，10BC =，则AB AC ⋅=_______. 【解析】解法1：AB AM MB =+，()()AC AM MC AB AC AM MB AM MC =+⇒⋅=+⋅+ ()2223516AM MB MC AM MB MC =+⋅+⋅+=-=-.解法2：由极化恒等式，22223516AB AC AM BM ⋅=-=-=-.【答案】16- 【例2】（2017·新课标Ⅱ卷）已知ABC 是边长为2的等边三角形，P 为平面ABC 内一点，则()PA PB PC⋅+的最小值是（ ） A.2-B.32-C.4-D.1-【解析】解法1：如图，设AC 中点为D ，则3OD =()()22232224PA PB PC PA PO PD ODPD ⎛⎫⋅+=⋅=-=-⎪⎝⎭，所以当0PD =，即点P 与点D 重合时，()PA PB PC ⋅+取得最小值32-.解法2：建立如图所示的坐标系，设(),P x y ，则()1,0B -，()1,0C ，(0,3A ， 所以()3PA x y =-，()1,PB x y =---，()1,PC x y =--，()2,2PB PC x y +=--， 故())()22233232222PA PBPCx y y x y ⎛⋅+=+-=+- ⎝⎭， 所以当03x y =⎧⎪⎨=⎪⎩时，()PA PB PC ⋅+取得最小值32-.【答案】B【例3】正三角形ABC 内接于半径为2的圆O ，E 为线段BC 上一动点，延长AE 交圆O 于点F ，则FA FB ⋅的取值范围为_______.【解析】解法1：建立如图1所示的平面直角坐标系，则可设()2cos ,2sin F θθ62ππθ⎛⎫-≤≤ ⎪⎝⎭，圆的半径为2423sin60ABAB ⇒=⇒=︒，故()3,1A --，)3,1B -，所以()32cos ,12sin FA θθ=----，()32cos ,12sin FB θθ=--，从而[]224cos 34sin 4sin 124sin 0,6FA FB θθθθ⋅=-+++=+∈. 解法2：如图2，设AB 中点为D ，圆的半径为24233sin 60ABAB AD ⇒=⇒=︒由极化恒等式，2223FA FB FD AD FD ⋅=-=-，由图可知当F 与点B 重合时，FD 3F 与点C 重合时，FD 取得最大值3，所以[]230,6FA FB FD ⋅=-∈.【答案】[]0,6【例4】正方形ABCD 的边长为2，以A 为圆心，1为半径作圆与AB 、AD 分别交于E 、F 于两点，若P为劣弧EF 上的动点，则PC PD ⋅的最小值为_______.【解析】解法1：建立如图所示的平面直角坐标系，则()2,2C ，()0,2D ，设()cos ,sin P θθ02πθ⎛⎫≤≤ ⎪⎝⎭，则()2cos ,2sin PC θθ=--，()cos ,2sin PD θθ=--，所以()()()()22cos cos 2sin 54sin 2cos 55PC PD θθθθθθϕ⋅=--+-=--=-+， 其中ϕ为某确定的锐角，022ππθϕθϕϕ≤≤⇒≤+≤+，故当2πθϕ+=时，PC PD ⋅取得最小值为55-.解法2：设CD 中点为G ，由极化恒等式，2221PC PD PG DG PG ⋅=-=-， 由图可知min 151PG AG =-， 所以())2min51155PC PD⋅=-=-【答案】55-强化训练1.（★★★）在平行四边形ABCD 中，2AC =，4BD =，则AB AD ⋅=_______.【解析】由极化恒等式，()()22221124344AB AD AC BD ⋅=-=-=-.【答案】3-2.（★★★）设M 、N 是20x y +-=上的两个动点，且2MN =OM ON ⋅的最小值为（ ）A.1B.2C.52 D.32【解析】解法1：如图，设(),2M x x -，则由2MN =()1,3N x x -- 所以()()()2123266OM ON x x x x x x ⋅=-+--=-+，显然当32x =时，OM ON ⋅取最小值32.解法2：如图，设G 为MN 中点，由极化恒等式，222221142OM ON OG MG OG MN OG ⋅=-=-=-， 显然OG 222-=OM ON ⋅的最小值32. 【答案】D3.（2016·江苏·★★★★）在ABC 中，D 是BC 中点，E 、F 是AD 上两个三等分点，4BA CA ⋅=，1BF CF ⋅=-，则BE CE ⋅的值是_______.【解析】设AE EF FD x ===，BD CD y ==，由极化恒等式，222222222259481318x BA CA AD BD x y BF CF FD BD x y y ⎧=⎧⎪⋅=-=-=⎪⎪⇒⎨⎨⋅=-=-=-⎪⎪⎩=⎪⎩， 故2222748BE CE ED BD x y ⋅=-=-=.【答案】784.（★★★）在ABC 中，60A =︒，2AB =，3AC =，D 在边AC 上运动，则DA DB ⋅的最小值为________.【解析】由余弦定理，2222cos 7BC AB AC AB AC A =+-⋅⋅=，所以7BC 取AB 中点G ，由极化恒等式，2221DA DB DG AG DG ⋅=-=-， 故DG 的长最小时，DA DB ⋅也最小，由图可知当点D 位于图中0D 处时，DG 的长最小， 且012DG BH =，03sin 3BH AB A DG =⋅==，所以DA DB ⋅的最小值为14-.【答案】14-5.（★★★）已知AB 是圆O 的直径，4AB =，C 是圆O 上异于A 、B 的一点，P 是圆O 所在平面内的任意一点，则()PA PB PC +⋅的最小值是________.【解析】如图，设OC 中点为D ， 则()()()22222212PA PBPC PO PC PD OD PD +⋅=⋅=-=-≥-，当且仅当P 、D 重合时取等号， 所以()PA PB PC +⋅的最小值是2-【答案】2-6.（★★★）在半径为1的扇形AOB 中，60AOB ∠=︒，C 为弧AB 上的动点，AB 与OC 交于点P ，则OP BP ⋅的最小值为_______.【解析】如图，设OB 中点为D ，则22214OP BP PD OD PD ⋅=-=-，故当PD 最小时，OP BP ⋅最小，由图可知当P 与0P 重合时，PD 最小，且易求得03DP =，所以OP BP ⋅的最小值为116-.【答案】116-7.（★★★）若O 和F 分别是椭圆22143x y +=的中心和左焦点，P 为椭圆上一点，则OP FP ⋅的最大值是（ ）A.2B.3C.6D.8【解析】如图，由题意，()1,0F -，设OF 中点为D ，则12OD =，由极化恒等式，22214OP FP PD OD PD ⋅=-=-，显然max 52PD =，所以OP FP ⋅的最大值是6.【答案】C8.（★★★）如下图所示，正方形ABCD 的边长为4，AB 为半圆O 的直径，P 为半圆圆弧上的动点，则PC PD ⋅的取值范围为________.【解析】如图，设E 为CD 中点，由极化恒等式，2224PC PD PE DE PE ⋅=-=-，由图可得225PE ≤≤所以PC PD ⋅的取值范围为[]0,16.【答案】[]0,169.（★★★★）四边形ABCD 中，M 是AB 上的点，1MA MB MC MD ====，90CMD ∠=︒,若N 是线段CD 上的动点，NA NB ⋅的取值范围是_______.【解析】M 是AB 上的点且1MA MB MC MD ====⇒C 、D 两点在以AB 为直径的圆上，且圆心为M ，90CMD CMD ∠=︒⇒是等腰直角三角形，由极化恒等式，2221NA NB NM AM NM ⋅=-=-，显然上点N 在CD 21NM ≤≤，所以102NA NB -≤⋅≤.【答案】1,02⎡⎤-⎢⎥⎣⎦10.（★★★★）在ABC 中，3AB =，4AC =，60A =︒，若P 是ABC 所在平面内一点，且2AP =，则PB PC ⋅的最大值是_________.【解析】如图，2AP =⇒点P 在以A 为圆心，2为半径的圆上运动，设BC 中点为D ，由余弦定理，222132cos 1313BC AB AC AB AC A BC CD =+-⋅⋅∠=⇒= 由极化恒等式，222134PB PC PD CD PD ⋅=-=-，由斯特瓦尔特公式，222AB CD AC BD AD BC BD CD BC ⋅+⋅-⋅=⋅⋅，即22213131313341313AD +-解得：37AD =AD 的长），当点P 在圆上运动时，max 3722PD AD =+=+，所以()2max37132102374PB PC⎫⋅=+-=+⎪⎪⎝⎭【答案】10237。
极化恒等式
如图，在△ABC中，设D为BC的中点，
则 · ＝|AD|2－|BD|2．
（1）推导过程：由 .
（2）三角形模式是平面向量极化恒等式的终极模式，几乎所有的问题都是用它解决．
（3）记忆规律：向量的数量积等于第三边的中线长与第三边长的一半的平方差．
二、极化恒等式的作用和使用范围
1、极化恒等式的作用：
极化恒等式
一、极化恒等式及其推论：
1、极化恒等式：a·b＝ [(a＋b)2－(a－b)2]
（1）公式推导：
（2）几何意义：向量的数量积可以表示为以这组向量为邻边的平行四边形的“和对角线”与“差对角线”平方差的 ．
2、 平行四边形模式：
如图，平行四边形ABCD，O是对角线交点．
则 · ＝ [|AC|2－|BD|2]．
第一步：取第三边的中点，连接向量的起点与中点；
第二步：利用极化恒等式公式，将数量积转化为中线长与第三边长的一半的平方差；
第三步：利用平面几何方法或用正余弦定理求中线及第三边的长度，从而求出数量积，
如需进一步求数量积范围，可以用点到直线或用基本不等式等求得中线长的最值(范围)。
建立了向量的数量积与几何长度(数量)之间的桥梁，实现向量与几何、代数之间的互相转化。
2、极化恒等式的适用范围：
（1）共起点或共终点的两向量的数量积问题可直接进行转化；
（2）不共起点和不共终点的数量积问题可通过向量的平移，
等价转化为共起点或共终点的两向量的数量积问题。
三、极化恒等式使用方法
在确定求数量积的两个向量共起点或共终点的情况下，极化恒等式的一般步骤如下：
微专题 平面向量(解析版)
微专题平面向量【秒杀总结】结论1：极化恒等式1.平行四边形平行四边形对角线的平方和等于四边的平方和：|a +b |2+|a -b |2=2(|a|2+|b |2)证明：不妨设AB =a ，AD =b ，则AC =a +b ，DB =a -bAC 2=AC 2=a +b 2=a 2+2a ⋅b +b 2(1)DB 2=DB 2=a -b 2=a 2-2a ⋅b +b 2(2)(1)(2)两式相加得：AC 2+DB 2=2a 2+b 2=2AB 2+AD 2 2.极化恒等式：上面两式相减，得：14a +b 2-a -b 2 ----极化恒等式(1)平行四边形模式：a ⋅b =14AC 2-DB 2几何意义：向量的数量积可以表示为以这组向量为邻边的平行四边形的“和对角线”与“差对角线”平方差的14．(2)三角形模式：a ⋅b =AM 2-14DB 2(M 为BD 的中点)结论2：矩形大法：矩形所在平面内任一点到其对角线端点距离的平方和相等．已知点O 是矩形ABCD 与所在平面内任一点，证明：OA 2+OC 2=OB 2+OD 2．【证明】(坐标法)设AB =a ,AD =b ，以AB 所在直线为轴建立平面直角坐标系xoy ，则B (a ,0),D (0,b ),C (a ,b )，设O (x ,y )，则OA 2+OC 2=(x 2+y 2)+[(x -a )2+(y -b )2]OB 2+OD 2=[(x -a )2+y 2]+[x 2+(y -b )2]∴OA 2+OC 2=OB 2+OD 2结论3：三点共线的充要条件设OA 、OB 、OP 是三个不共线向量，则A 、B 、P 共线⇔存在λ∈R 使OP =(1-λ)OA +λOB ．特别地，当P 为线段AB 的中点时，OP =12OA+12OB ．结论4：等和线【基本定理】(一)平面向量共线定理已知OA =λOB +μOC ，若λ+μ=1，则A ,B ,C 三点共线；反之亦然．(二)等和线平面内一组基底OA ,OB 及任一向量OP ，OP =λOA +μOB (λ,μ∈R )，若点P 在直线AB 上或者在平行于AB 的直线上，则λ+μ=k (定值)，反之也成立，我们把直线AB 以及与直线AB 平行的直线称为等和线．(1)当等和线恰为直线AB 时，k =1；(2)当等和线在O 点和直线AB 之间时，k ∈(0,1)；(3)当直线AB 在点O 和等和线之间时，k ∈(1,+∞)；(4)当等和线过O 点时，k =0；(5)若两等和线关于O 点对称，则定值k 互为相反数；结论5：奔驰定理【奔驰定理】若O 为ΔABC 内任一点，且αOA +βOB +γOC =0 ，则S ΔBOC :S ΔAOC :S ΔAOB =α:β:γ【典型例题】例1.在ΔABC 中，M 是BC 的中点，AM =3,BC =10，则AB ⋅AC =____．【答案】-16【解析】因为M 是BC 的中点，由极化恒等式得：AB ⋅AC =AM 2-14BC 2=9-14×100=-16．例2.正三角形内接于半径为2的圆O ，点P 是圆O 上的一个动点，则PA ⋅PB的取值范围是．【答案】[-2,6]【解析】取AB 的中点D ，连结CD ，因为三角形ABC 为正三角形，所以O 为三角形ABC 的重心，O 在CD 上，且OC =2OD =2，所以CD =3，AB =23(也可用正弦定理求AB )又由极化恒等式得：PA ⋅PB =PD 2-14AB 2=PD 2-3因为P 在圆O 上，所以当P 在点C 处时，|PD |max =3当P 在CO 的延长线与圆O 的交点处时，|PD |min =1所以PA ⋅PB∈[-2,6]例3.已知圆C 1:x 2+y 2=9与C 2:x 2+y 2=36，定点P (2,0)，A 、B 分别在圆C 1和圆C 2上，满足PA ⊥PB ，则线段AB 的取值范围是．【答案】[41-2,41+2]【解析】以PA ,PB 为邻边作矩形PAQB ，则|AB |=|PQ |由|OP |2+|OQ |2=|OA |2+|OB |2得|OQ |2+4=9+36，即|OQ |=41，Q 的轨迹是以O 为圆心，半径为41的圆，|PM |=41-2,|PN |=41+2，∴|AB |=|PQ |∈[41-2,41+2]．例4.在平面内，已知AB 1 ⊥AB 2 ，OB 1 =OB 2 =1，AP =AB 1 +AB 2 ，若|OP |<12，则|OA |的取值范围是()A.0,52B.52,72C.52,2D.72,2【答案】D【解析】因为AP =AB 1 +AB 2，所以四边形AB 1PB 2是平行四边形，又AB 1 ⊥AB 2 ，所以四边形AB 1PB 2是矩形，从而|OA |2+|OP |2=|OB 1 |2+|OB 2 |2=2，因为|OP |<12，所以74<|OA |2≤2，即72<|OA |≤2.例5.在△ABC 中，已知D 是AB 边上一点，若AD =2DB ,CD =13CA+λCB ，则λ=()A.13B.23C.-13D.-23【答案】B【解析】∵AD =2DB ，∴CD =CA +AD =CA +23AB =CA +23(CB -CA )=13CA +23CB又∵CD =13CA +λCB ，∴λ=23．例6.给定两个长度为1的平面向量OA 和OB，它们的夹角为1200，点C 在以O 为圆心的圆弧AB 上变动．若OC =xOA +yOB，其中x ,y ∈R ，则x +y 的最大值是__________．【答案】2【解析】(秒杀)作平行于AB 的直线l ，当且仅当l 与圆相切时，x +y 的取最大值2．令OC =λOD ，则由OC =λOD =xOA +yOB得OD =x λOA+y λOB ．由A ,B ,D 三点共线可得x λ+y λ=1⇒x +y =λ=OCOD ≤2【过关测试】一、单选题1.(2023·北京西城·高三统考期末)在△ABC 中，AC =BC =1,∠C =90°．P 为AB 边上的动点，则PB⋅PC的取值范围是( )A.-14,1B.-18,1C.-14,2D.-18,2【答案】B【解析】以C 为坐标原点，CA ，CB 所在直线分别为x 轴，y 轴，建立直角坐标系，则A 0,1 ,B 1,0 ，直线AB 所在直线方程为y =-x +1，设P t ,-t +1 ，t ∈0,1 ，则PB=1-t ,t -1 ，PC =-t ,t -1 ，PB ⋅PC =-t 1-t +t -1 2=2t -34 2-18，当t =0时，PB ⋅PC max =1，当t =34时，PB ⋅PC min =-18，故其取值范围为-18,1，故选：B .2.(2023·北京昌平·高三统考期末)已知向量a ,b ,c 满足a =2,b =1,a ,b =π4,c -a⋅c -b =0，则c的最大值是( )A.2-1 B.5-12C.5+12D.2+1【答案】C【解析】把a ,b平移到共起点，以b 的起点为原点，b 所在的直线为x 轴，b 的方向为x 轴的正方向，见下图，设OB =b ,OA =a ,OC =c ，则c -a =AC,c -b =BC又∵c -a ⋅c -b =0∴AC ⊥BC 则点C 的轨迹为以AB 为直径的圆，又因为a =2,b =1,a ,b=π4,所以B 1,0 A 1,1 故以AB 为直径的圆为x -1 2+y -122=14，所以c 的最大值就是以AB 为直径的圆上的点到原点距离的最大值，所以最大值为12+122+12=5+12故选：C3.(2023·广西桂林·统考一模)如图，在△ABC 中，M 为线段BC 的中点，G 为线段AM 上一点且AG=2GM ，过点G 的直线分别交直线AB 、AC 于P 、Q 两点，AB =xAP (x >0)，AC =yAQ (y >0)，则1x+1y +1的最小值为( )A.34B.1C.43D.4【答案】B【解析】由于M 为线段BC 的中点，则AM =12AB +12AC又AG =2GM ，所以AM =32AG ，又AB =xAP (x >0)，AC =yAQ (y >0)所以32AG=x 2AP +y 2AQ ，则AG =x 3AP +y 3AQ因为G ,P ,Q 三点共线，则x3+y 3=1，化得x +y +1 =4由1x +1y +1=14x +y +1 1x +1y +1 =14x y +1+y +1x+2 ≥142x y +1⋅y +1x+2=1当且仅当x y +1=y +1x 时，即x =2,y =1时，等号成立，1x +1y +1的最小值为1故选：B4.(2023·全国·高三专题练习)如图，在半径为4的扇形AOB 中，∠AOB =120∘，点P 是AB上的一点，则AP ·BP的最小值为( )A.-8 B.-3C.-2D.-4【答案】A【解析】设∠BOP =θ0≤θ≤2π3 ，如图，以OB 所在的直线为x 轴，以OB 的垂线为y 轴，建立平面直角坐标系.则由已知可得，O 0,0 ，B 4,0 ，∠AOB =2π3，根据三角函数的定义知A -2,23 ，P 4cos θ,4sin θ .则AP =4cos θ+2,4sin θ-23 ，BP =4cos θ-4,4sin θ ，所以，AP ·BP =4cos θ+2,4sin θ-23 ⋅4cos θ-4,4sin θ =-8cos θ+3sin θ +8=-16sin θ+π6+8，因为，0≤θ≤2π3，所以π6≤θ+π6≤5π6.则，当θ+π6=π2，即θ=π3时，该式子有最小值为-8.故选：A .5.(2023·全国·高三专题练习)在平面内，定点A ,B ,C ,D 满足|DA |=|DB|=|DC |，DA ⋅DB =DB ⋅DC =DC ⋅DA =-2，动点P ，M 满足|AP |=1，PM =MC ，则|BM |2的最大值是( )A.434B.494C.47+634D.37+2334【答案】B【解析】由题意知|DA |=|DB |=|DC |，即点D 到A ,B ,C 三点的距离相等，可得D 为△ABC 的外心，又由DA ⋅DB =DB ⋅DC =DC ⋅DA=-2，可得DA ⋅DB -DB ⋅DC =DB ⋅(DA -DC )=DB ⋅CA=0，所以DB ⊥AC ，同理可得DA ⊥BC ,DC ⊥AB ，所以D 为△ABC 的垂心，所以△ABC 的外心与垂心重合，所以△ABC 为正三角形，且D 为△ABC 的中心，因为DA ⋅DB =DA DB cos ∠ADB =DA 2×-12 =-2，解得DA =2，所以△ABC 为边长为23的正三角形，如图所示，以A 为原点建立直角坐标系，则B (3,-3),C (3,3),D (2,0)，因为AP=1，可得设P (cos θ,sin θ)，其中θ∈[0,2π]，又因为PM =MC ，即M 为PC 的中点，可得M 3+cos θ2,3+sin θ2，所以BM 2=3+cos θ2-3 2+3+sin θ2+3 2=37+12sin θ-π6 4≤37+124=494.即BM 2的最大值为494.故选：B .6.(2023·全国·高三专题练习)△ABC 中，AB =2，∠ACB =π4，O 是△ABC 外接圆圆心，是OC ⋅AB +CA ⋅CB的最大值为( )A.0 B.1C.3D.5【答案】C【解析】过点O 作OD ⊥AC ,OE ⊥BC ，垂足分别为D ，E ，如图，因O 是△ABC 外接圆圆心，则D ，E 分别为AC ，BC 的中点，在△ABC 中，AB =CB -CA ，则|AB |2=|CA |2+|CB |2-2CA ⋅CB ，即CA ⋅CB =|CA |2+|CB|2-22，CO ⋅CA =CO CA cos ∠OCA = CD ⋅ CA =12 CA 2，同理CO ⋅CB =12|CB |2，因此，OC ⋅AB +CA ⋅CB =OC ⋅CB -CA+CA ⋅CB =CO ⋅CA -CO ⋅CB +CA ⋅CB=12|CA |2-12|CB |2+|CA |2+|CB |2-22=|CA |2-1，由正弦定理得：|CA |=|AB|sin B sin ∠ACB =2sin B sin π4=2sin B ≤2，当且仅当B =π2时取“=”，所以OC ⋅AB +CA ⋅CB的最大值为3.故选：C7.(2023·全国·高三专题练习)AB 为⊙C ：(x -2)2+(y -4)2=25的一条弦，AB =6，若点P 为⊙C 上一动点，则PA ⋅PB的取值范围是( )A.[0，100] B.[-12，48]C.[-9，64]D.[-8，72]【答案】D【解析】取AB 中点为Q ，连接PQ∴PA +PB =2PQ ，PA -PB =BA ∴PA ⋅PB =14(PA +PB )2-(PA -PB )2=144|PQ |2-|BA |2 ，又∵|BA |=6，CQ =25-62 2=4∴PA ⋅PB =|PQ|2-9，∵点P 为⊙C 上一动点，∴|PQ |max =5+CQ =9,|PQ |min =5-CQ =1∴PA ⋅PB的取值范围[-8，72].故选：D .8.(2023·全国·高三专题练习)在△ABC 中，D 为三角形所在平面内一点，且AD =13AB +12AC ，则S △BCDS △ACD=( )A.16B.12C.13D.23【答案】B【解析】如图，设AD 交BC 于E ，且AE =xAD =x 3AB +x 2AC，由B ,E ,C 三点共线可得：x3+x 2=1⇒x =65，∴AE =25AB +35AC ，∴25AE -AB =35AC-AE ⇒2BE =3EC .设S △CED =2y ，则S △BED =3y ，∴S △BCD =5y .又AE =65AD ⇒AD =5DE ，∴S △ACD =10y ，∴S △BCD S △ACD =5y 10y =12.故选：B .9.(2023·全国·高三专题练习)已知向量a ，b ，c 满足a =4，a 在b 方向上的投影为2，c ⋅c -a=-3，则|b -c|的最小值为( )A.3-1B.3+1C.23-2D.23+2【答案】A【解析】设a ，b 向量的夹角为θ，则a cos θ=2，则cos θ=2a =24=12，因为θ∈0,π ，所以θ=π3.不妨设a =OA =2,23 ，b =OB =m ,0 m >0 ，设c =OC=x ,y ，则c ⋅c -a=x ,y ⋅x -2,y -23 =-3，整理得x -1 2+y -3 2=1，所以点C 的轨迹是以1,3 为圆心，半径r =1的圆，记圆心为D ，又b -c =m -x ,-y ，即|b -c |=m -x 2+y 2=BC ，当直线BC 过圆心D ，且垂直于x 轴时，BC 可取得最小值，即BC min =3-r =3-1.故选：A .10.(2023·全国·高三专题练习)已知边长为2的菱形ABCD 中，点F 为BD 上一动点，点E 满足BE =2EC ，AE ⋅BD =-23，则AF ⋅EF 的最小值为( )A.-23B.-43C.-15275D.-7336【答案】D【解析】由题意知：BE =23BC ，设∠DAB =θ∴AE ⋅BD =AB +BE ⋅AD -AB =AB ⋅AD -AB 2+23BC ⋅AD -23BC ⋅AB=4cos θ-4+83-83cos θ=-23∴cos θ=12 ⇒θ=π3以AC 与BD 交点为原点，AC 为x 轴，BD 为y 轴建立如下图所示的平面直角坐标系：∴A -3,0 ，E 233,-13，设F 0,t 则AF =3,t ，EF =-233,t +13 ∴AF ⋅EF =-2+t t +13 =t 2+13t -2当t =-16时，AF ⋅EF min =136-118-2=-7336本题正确选项：D11.(2023·全国·高三专题练习)P 是ΔABC 所在平面上的一点,满足PA +PB +PC =2AB,若S ΔABC =6,则ΔPAB 的面积为( )A.2 B.3C.4D.8【答案】A【解析】∵PA +PB +PC =2AB =2PB -PA ，∴3PA =PB -PC =CB ，∴PA ∥CB ，且方向相同．∴S ΔABC S ΔPAB =BCAP =CB PA =3，∴S ΔPAB =S ΔABC3=2．选A ．12.(2023·全国·高三专题练习)在矩形ABCD 中，AB =1，AD =2，动点P 在以点C 为圆心且与BD 相切的圆上．若AP =λAB +μAD，则λ+μ的最大值为A.3B.22C.5D.2【答案】A【解析】[方法一]：特殊值法x =2,y =1+255λ+μ=x 2+y =1+255>22,故选A [方法二]：解析法如图所示，建立平面直角坐标系.设A 0,1 ,B 0,0 ,C 2,0 ,D 2,1 ,P x ,y ,易得圆的半径r =25，即圆C 的方程是x -2 2+y 2=45，AP =x ,y -1 ,AB =0,-1 ,AD =2,0 ，若满足AP =λAB +μAD ，则x =2μy -1=-λ，μ=x 2,λ=1-y ，所以λ+μ=x2-y +1，设z =x 2-y +1，即x 2-y +1-z =0，点P x ,y 在圆x -2 2+y 2=45上，所以圆心(2,0)到直线x 2-y +1-z =0的距离d ≤r ，即2-z 14+1≤25，解得1≤z ≤3，所以z 的最大值是3，即λ+μ的最大值是3，故选A .二、多选题13.(2023·全国·高三专题练习)在△ABC 中，AB =AC =3，BC =4，O 为△ABC 内的一点，设AO =λAB +μAC ，则下列说法正确的是( )A.若O 为△ABC 的重心，则λ+μ=23 B.若O 为△ABC 的内心，则λ+μ==25C.若O 为△ABC 的外心，则λ+μ=910 D.若O 为△ABC 的垂心，则λ+μ=15【答案】ACD【解析】对于A 选项，重心为中线交点，则OA +OB +OC =0 ，即AO =OB +OC，因为AO =λAB +μAC =λOB -OA +μOC -OA ，则AO =λ1-λ-μOB +μ1-λ-μOC ，所以λ1-λ-μ=1，μ1-λ-μ=1，所以λ+μ=23，故A 正确；对于B 选项，内心为角平分线交点，则BC ⋅OA +AC ⋅OB +AB ⋅OC =0，即4OA +3OB +3OC =0 ，所以AO =34OB +34OC ，由A 选项，则λ1-λ-μ=34，μ1-λ-μ=34，所以λ+μ=35，故B 错误；对于C 选项，外心为垂直平分线交点，即△ABC 的外接圆圆心，因为AB =AC =3，设D 为边BC 的中点，所以AD =12AB +AC ，AO ⎳AD ，所以λ=μ，因为AO =λAB +μAC ，所以AO 2=λ2AB 2+λ2AC 2+2λ2AB ⋅AC ，在△ABC 中，cos A =AB 2+AC 2-BC 22AB ⋅AC=9+9-162×3×3=19，则sin A =1-cos 2A =459，BCsin A=2R =2AO ，所以42×4592=9λ2+9λ2+2λ2⋅3×3×19，易知λ>0，所以λ=920，所以λ+μ=910，故C 正确；对于D 选项，垂心为高线交点，设BE ⊥AC ，垂足为边AC 上点E ，则B ，E ，O 共线，由C 选项，因为AO =λAB +μAC，λ=μ，所以AO ⋅AC =λOB -OA⋅AC +λAC 2，因为OB ⊥AC ，则AO ⋅AC =-λOA ⋅AC +λAC 2，即1-λ AO ⋅AC =λAC 2，因为AO =AE +EO ，所以1-λ AE +EO ⋅AC =λAC 2，即1-λ AE ⋅AC =λAC 2，因为S △ABC =12AB ⋅AC ⋅sin A =12AC ⋅BE ，所以BE =453，所以AE =AB 2-BE 2=32-4532=13，所以1-λ ×13×3=λ×32，解得λ=110，所以λ+μ=15，故D 正确；故选：ACD14.(2023·全国·模拟预测)已知a ，b ，c 是互不相等的非零向量，其中a ，b 是互相垂直的单位向量，c =xa+ybx ,y ∈R ，记OA =a ，OB =b ，OC =c ，则下列说法正确的是( )A.若a -c⋅b -c =0，则O ，A ，B ，C 四点在同一个圆上B.若a -c ⋅b -c =0，则c的最大值为2C.若c =1，则a -c ⋅b -c 的最大值为22+1D.若c=1，则x +y 的最小值为-2【答案】AD【解析】对于A 选项，如图，若a -c ⋅b -c =0，则CA ⋅CB =0，所以CA ⊥CB ，又a ⊥b ，所以∠AOB +∠ACB =π，所以O ，A ，B ，C 四点在同一个圆上，故A 正确；对于B 选项，若a -c⋅b -c =0，由A 选项知，O ，A ，B ，C 四点在同一个圆上，又c =OC ，则其长度为圆上弦的长度.当线段OC 为该圆的直径时，c最大，且最大值等于AB =a 2+b 2=2，故B 错误；对于C 选项，由题可得A ，B ，C 均在以O 为圆心、1为半径的圆上，设OA =cos α,sin α ，OC =cos β,sin β ，又OA ⊥OB ，则OB =cos π2+α ,sin π2+α =-sin α,cos α .其中α，β∈0,2π .则a -c⋅b -c =OA -OC ⋅OB -OC=cos α-cos β ⋅-sin α-cos β +sin α-sin β ⋅cos α-sin β =sin αcos β-sin βcos α-cos αcos β+sin αsin β +1=sin α-β -cos α-β +1=1+2sin α-β-π4≤1+2，当α-β=3π4时取等号.故C 错误.对于D 选项，由C 选项分析结合c =xa+yb 可知cos β=x cos α-y sin αsin β=x sin α+y cos α .又c=1，则x cos α-y sin α 2+x sin α+y cos α 2=1⇒x 2cos 2α+sin 2α +y 2cos 2α+sin 2α -2xy cos αsin α+2xy cos αsin α=1⇒x 2+y 2=1，则由重要不等式有：x +y 2=x 2+y 2+2xy ≤2x 2+y 2 =2.得x +y ≥-2，当且仅当x =y =-22时取等号.故D 正确.故选：AD15.(2023·全国·高三专题练习)“奔驰定理”是平面向量中一个非常优美的结论，因为这个定理对应的图形与“奔驰”轿车，(Mercedesbenz )的log o 很相似，故形象地称其为“奔驰定理”，奔驰定理：已知O 是△ABC内一点，△BOC ，△AOC ，△AOB 的面积分别为S A ，S B ，S C ，且S A ⋅OA +S B ⋅OB +S C ⋅OC =0．设O 是锐角△ABC 内的一点，∠BAC ，∠ABC ，∠ACB 分别是的△ABC 三个内角，以下命题正确的有( )A.若OA +2OB +3OC =0 ，则S A :S B :S C =1:2:3B.若OA =OB =2，∠AOB =5π6，2OA +3OB +4OC =0 ，则S △ABC =92C.若O 为△ABC 的内心，3OA +4OB +5OC =0 ，则∠C =π2D.若O 为△ABC 的垂心，3OA +4OB +5OC =0 ，则cos ∠AOB =-66【答案】ACD【解析】对A ，由奔驰定理可得，OA +2OB +3OC =S A ⋅OA +S B ⋅OB+S C ⋅OC =0 ，又OA 、OB 、OC不共线，故S A :S B :S C =1:2:3，A 对；对B ，S C =12×2×2×sin ∠AOB =1，由2OA +3OB +4OC =0 得S A :S B :S C =2:3:4，故S △ABC =94S C =94，B 错；对C ，若O 为△ABC 的内心，3OA +4OB +5OC =0 ，则S A :S B :S C =3:4:5，又S A :S B :S C =12ar :12br :12cr =a :b :c (r 为内切圆半径)，三边满足勾股定律，故∠C =π2，C 对；对D ，若O 为△ABC 的垂心，则∠BOC +∠A =π，OB ⋅OC =OB ⋅OC cos ∠BOC =-OB⋅OCcos ∠A ，又OB ⋅AC =OB ⋅OC -OA =0⇔OB ⋅OC =OB ⋅OA ⇔OCcos ∠A =OA cos ∠C ，同理OC cos ∠B =OB cos ∠C ,OA cos ∠B =OB cos ∠A ，∴OA :OB :OC=cos ∠A :cos ∠B :cos ∠C ，∵3OA +4OB +5OC =0 ，则S A :S B :S C =3:4:5，且S A :S B :S C =12OB OC sin ∠BOC :12OA OC sin ∠AOC :12OAOB sin ∠AOB=cos ∠B cos ∠C sin ∠A :cos ∠A cos ∠C sin ∠B :cos ∠A cos ∠B sin ∠C =sin ∠A cos ∠A :sin ∠B cos ∠B :sin ∠C cos ∠C=tan ∠A :tan ∠B :tan ∠C 如图，D 、E 、F 分别为垂足，设AF =m ，tan ∠A =3t t >0 ，则FC =3mt ,BF =34m ,AB =74m ,AC =9t 2+1⋅m ，又AE :EC =BE tan ∠A :BE tan ∠C =5:3，故AE =58AC ,BE =3t ⋅AE =15t8AC ，由AB ⋅FC =AC ⋅BE ⇔74m ⋅3mt =15t 89t 2+1 m 2，解得t =55，由tan 2∠C =1cos 2∠C-1=5⇒cos ∠C =66，故cos ∠AOB =-cos ∠C =-66，D 对故选：ACD 16.(2023·全国·高三专题练习)重庆荣昌折扇是中国四大名扇之一，始于1551年明代嘉靖年间，明末已成为贡品人朝，产品以其精湛的工业制作而闻名于海内外．经历代艺人刻苦钻研、精工创制，荣昌折扇逐步发展成为具有独特风格的中国传统工艺品，其精雅宜士人，其华灿宜艳女，深受各阶层人民喜爱．古人曾有诗赞曰：“开合清风纸半张，随机舒卷岂寻常；金环并束龙腰细，玉栅齐编凤翅长，偏称游人携袖里，不劳侍女执花傍；宫罗旧赐休相妒，还汝团圆共夜凉”图1为荣昌折扇，其平面图为图2的扇形COD ，其中∠COD=2π3,OC =3OA =3，动点P 在CD 上(含端点)，连接OP 交扇形OAB 的弧AB 于点Q ，且OQ =xOC +yOD ，则下列说法正确的是( )图1 图2A.若y =x ，则x +y =23B.若y =2x ，则OA ⋅OP=0C.AB ⋅PQ≥-2 D.PA ⋅PB ≥112【答案】ABD【解析】如图，作OE ⊥OC ,分别以OC ,OE 为x ,y 轴建立平面直角坐标系，则A (1,0),C (3,0),B -12,32 ,D -32,332 ,设Q (cos θ,sin θ),θ∈0,2π3，则P (3cos θ,3sin θ),由OQ =xOC +yOD 可得cos θ=3x -32y ,sin θ=332y ，且x >0,y >0 ，若y =x ，则cos 2θ+sin 2θ=3x -32x 2+332x2=1，解得x =y =13 ，(负值舍去)，故x +y =23，A 正确；若y =2x ，则cos θ=3x -32y =0，OA ⋅OP =(1,0)⋅(0,1)=0，故B 正确；AB ⋅PQ =-32,32 ⋅(2cos θ,2sin θ)=3sin θ-3cos θ=23sin θ-π3 ，由于θ∈0,2π3 ，故θ-π3∈-π3,π3，故23sin θ-π3 ≥-3，故C 错误；由于PA =(3cos θ-1,3sin θ),PB =3cos θ+12,3sin θ-32，故PA ⋅PB =(3cos θ-1,3sin θ)⋅3cos θ+12,3sin θ-32 =172-3sin θ+π6 ，而θ+π6∈π6,5π6，故PA ⋅PB =172-3sin θ+π6 ≥172-3=112，故D 正确，故选：ABD17.(2023·全国·高三专题练习)如图，圆О是边长为23的等边三角形ABC 的内切圆，其与BC 边相切于点D ，点M 为圆上任意一点，BM =xBA +yBD(x ，y ∈R )，则2x +y 可以取值为( )A.16B.13C.23D.1【答案】CD【解析】根据三角形面积公式得到12×l 周长×r =S =12×AB ×AC ×sin60°，可得到内切圆的半径为1；以D 点为原点，BC 所在直线为x 轴，AD 所在直线为y 轴，建立坐标系，可得到点的坐标为：B (-3,0)，C (3,0)，A (0,3)，D (0,0)，M (cos θ,1+sin θ)，BM =(cos θ+3,1+sin θ)，BA =(3,3)，BD=(3,0)，∵BM =xBA +yBD∴BM=(cos θ+3,1+sin θ)=(3x +3y ,3x )，∴cos θ=3x +3y -3，sin θ=3x -1，∴x =1+sin θ3y =cos θ3-sin θ3+23，2x +y =cos θ3+sin θ3+43=23sin θ+π3 +43，∵-1≤sin θ+π3≤1，∴23≤2x +y ≤2，故选项CD 满足.故选：CD .18.(2023·全国·高三专题练习)“奔驰定理”是平面向量中一个非常优美的结论，因为这个定理对应的图形与“奔驰”轿车(Mercedesbenz )的log o 很相似，故形象地称其为“奔驰定理”.奔驰定理：已知O 是△ABC内的一点，△BOC 、△AOC 、△AOB 的面积分别为S A 、S B 、S C ，则S A ⋅OA +S B ⋅OB +S C ⋅OC =0.若O 是锐角△ABC 内的一点，∠BAC 、∠ABC 、∠ACB 是△ABC 的三个内角，且点O 满足OA ⋅OB =OB ⋅OC=OC ⋅OA，则( )A.O 为△ABC 的垂心B.∠AOB =π-∠ACBC.OA :OB :OC=sin ∠BAC :sin ∠ABC :sin ∠ACBD.tan ∠BAC ⋅OA +tan ∠ABC ⋅OB +tan ∠ACB ⋅OC =0【答案】ABD【解析】A 项：OA ⋅OB =OB ⋅OC ，即OA ⋅OB -OB ⋅OC =0，OB ⋅OA -OC =0，OB ⋅CA =0，OB ⊥CA ，同理可得OA ⊥CB ，OC⊥AB ，故O 为△ABC 的垂心，A 正确；B ：如图，延长AO 交BC 于点D ，延长BO 交AC 于点E ，延长CO 交AB 于点F ，因为OA ⊥CB ，所以∠ADB =90∘，∠BAO =90∘-∠ABC ，因为OB⊥CA ，所以∠BEA =90∘，∠ABO =90∘-∠BAC ，则∠AOB =π-∠ABO -∠BAO =π-90∘-∠BAC -90∘-∠ABC =∠BAC +∠ABC =π-∠ACB ，B 正确；C 项：在△AOB 中，由正弦定理易知OA sin ∠ABO =OBsin ∠BAO，因为∠BAO =90∘-∠ABC ，∠ABO =90∘-∠BAC ，所以OA sin 90∘-∠BAC =OBsin 90∘-∠ABC，即OA cos ∠BAC =OB cos ∠ABC ，OA OB =cos ∠BACcos ∠ABC，同理可得OB OC =cos ∠ABCcos ∠ACB ，故OA :OB :OC=cos ∠BAC :cos ∠ABC :cos ∠ACB ，C 错误；D 项：∠AOB =π-∠ACB ，同理可得∠AOC =π-∠ABC ，∠BOC =π-∠BAC ，则S A =12⋅OB ⋅OC ⋅sin ∠BOC =12⋅OB ⋅OC⋅sin π-∠BAC=12⋅OB ⋅OC ⋅sin ∠BAC =12⋅OA⋅OB ⋅OC ⋅sin ∠BAC OA ，同理可得S B =12⋅OA ⋅OB ⋅OC ⋅sin ∠ABC OB ，S C =12⋅OA⋅OB ⋅OC ⋅sin ∠ACB OC，因为S A ⋅OA +S B ⋅OB +S C ⋅OC =0，所以将S A 、S B 、S C 代入，可得sin ∠BAC OA⋅OA+sin ∠ABC OB ⋅OB +sin ∠ACB OC⋅OC =0 ，因为OA :OB :OC=cos ∠BAC :cos ∠ABC :cos ∠ACB ，所以sin ∠BAC OA :sin ∠ABC OB :sin ∠ACBOC=tan ∠BAC :tan ∠ABC :tan ∠ACB ，故tan ∠BAC ⋅OA +tan ∠ABC ⋅OB +tan ∠ACB ⋅OC =0成立，D 正确，故选：ABD .三、填空题19.(2023·全国·高三专题练习)在△ABC 中，点E ，F 分别是线段AB ，AC 的中点，点P 在直线EF 上，若△ABC 的面积为2，则PB ⋅PC +BC 2的最小值是_____________.【答案】23【解析】如图，取BC 中点为M ，做PN ⊥BC ，则PB ⋅PC =14PB +PC 2-PC -PB 2 ，又PB +PC =2PM，PC -PB =BC ，则PB ⋅PC =PM 2-14BC 2，得PB ⋅PC +BC 2=PM 2+34BC 2.注意到S △ABC =12⋅BC⋅2PN =BC ⋅PN =2，则BC =2PN .又由图可得PM ≥PN ，则PM 2+34BC 2≥PN 2+3PN2≥2PN 2⋅3PN 2=23，当且仅当PM ⊥BC ，且PN 2=3PN 2，即PN =43时取等号.故答案为：2320.(2023·四川南充·统考一模)已知向量a 与b 夹角为锐角，且a =b =2，任意λ∈R ，a -λ⋅b 的最小值为3，若向量c 满足c -a ⋅c -b =0，则c的取值范围为______．【答案】3-1,3+1【解析】设向量a 与b 的夹角为θ，0<θ<π2，则a ⋅b =2×2×cos θ=4cos θ，a -λ⋅b =a -λ⋅b 2=a 2-2λa ⋅b +λ2b 2=4-8λcos θ+4λ2=4λ2-8cos θ ⋅λ+4，所以当λ=--8cos θ2×4=cos θ时，a -λ⋅b 取得最小值为3，即4cos θ 2-8cos θ ⋅cos θ+4=41-cos 2θ =2sin θ=3，所以sin θ=32,θ=π3.如图所示，设OA =a ,OB =b ,OC =c，三角形OAB 是等边三角形，设O 1是AB 的中点，则OO 1 =3，由于c -a ⋅c -b =AC ⋅BC =0，所以∠ACB =π2，所以C 点的轨迹是以AB 为直径的圆，圆的半径为12AB =1，根据圆的几何性质可知，OC 即c的取值范围为3-1,3+1 .故答案为：3-1,3+121.(2023·上海徐汇·位育中学校考模拟预测)已知圆O 半径为1，P 、A 、B 是圆O 上不重合的点，则PA ⋅PB的最小值为_____.【答案】-12【解析】取AB 中点C ，劣弧AB 的中点D ，PA ⋅PB =PC +CA ⋅PC +CB =PC 2-CB 2，显然，P 为劣弧AB 的中点D 时，PC 2=DC 2最小，记DC =a ,CB =b ，由垂径定理可得：1-a 2+b 2=1，即b 2=2a -a 2，则PA ⋅PB ≥a 2-b 2=2a 2-2a =2a -12 2-12，当a =12时，PA ⋅PB 取最小值，最小值为-12.故答案为：-1222.(2023·全国·高三专题练习)已知平面向量a ,b ,c 满足|b |⋅|c |=1，若|3a -(b +c )|=|a ⋅b |⋅|c |，则-a 2+2b 2+c2的最小值是_____________．【答案】21-12【解析】设<a ,b >=α,<b ,c >=β，由|3a -(b +c )|=|a ⋅b |⋅|c|，根据三角不等式，有|3a |-|(b +c )|≤|3a -(b +c )|=|a ⋅b |∙|c |=|a ||b |cos α|∙|c |=|a cos α|≤|a|，得|2a|≤|b +c |，故-a 2+2b 2+c 2≥-14|b +c |2+2|b |2+|c |2=74|b |2+34|c |2-12b ⋅c=74|b |2+34|c |2-12|b ||c |cos β≥274|b |2⋅34|c |2-12=21-12.故答案为：21-12.23.(2023·全国·高三专题练习)已知平面向量a 、b 、c 满足：a 与b 的夹角为2π3,c -a⋅c -b =0,a + b =2，记M 是c -a -b的最大值，则M 的最小值是__________．【答案】3+12【解析】如图，设OA =a ,OB =b ,OC =c ,E 为AB 中点，令|a |=x ,|b |=y ,|AB |=2r ,|OE |=t ，则∠AOB =2π3,x +y =2 ①，因为OE =12(OA+OB ),AB =OB -OA ，故有OA ⋅OB =|OE |2-14|AB |2⇒-12xy =t 2-r 2，cos ∠AOB =x 2+y 2-4r 22xy ⇒-xy =x 2+y 2-4r 2⇒4r 2=(x +y )2-xy ②，由①②得r 2=1-xy 4，从而t 2=r 2-12xy =1-34xy ,xy ∈(0,1]，因为c -a ⋅c -b=0，所以AC ⊥BC ，即点C 在以AB 为直径的圆E 上.∵|c -a -b |=|c -(a +b)|=|OE +EC -2OE |=|EO +EC |≤|EO |+|EC |，∴M =|c -a -b|max =|EO |+|EC |=t +r =1-34xy +1-14xy ≥1+32，当且仅当|a|=|b |=1时，即xy =1时等号成立.故答案为：3+1224.(2023·全国·高三专题练习)点M 在△ABC 内部，满足2MA +3MB+4MC =0 ，则S △MAC :S △MAB =____________．【答案】34【解析】如图，分别延长MA 至D ,MB 至E ,MC 至F ，使MD =2MA ,ME=3MB ，MF =4MC ，连接DE ,EF ,DF .由2MA +3MB +4MC =0 ，得MD +ME +MF =0 ，∴点M 是△DEF 的重心，延长EM 交DF 于G ，则MG =13EG ，过M 作MH ⊥DF 于H ，过E 作EI ⊥DF 与I ，则MH =13EI ，故S △MDF =13S △DEF ，同理可证S △MDE =S △MEF =13S △DEF ，∴S △MDE =S △MEF =S △MDF ，设S △MDE =1，设S △MEF =S △MDF =S △MDE =12⋅MD ⋅ME ⋅sin ∠DME =1，则S △MAB =12⋅MA ⋅MB ⋅sin ∠DME =12⋅12⋅MD ⋅13⋅ME ⋅sin ∠DME=12×13×12⋅MD⋅ME⋅sin∠DME=16，同理S△MAC=12×14×S△MDF=18，∴S△MAC:S△MAB=18：16=3:4.故答案为：3:4.。
极化恒等式
极化恒等式极化恒等式是数学中的一个公式，可以描述内积的性质。
内积是向量空间中的一个重要概念，它可以衡量两个向量之间的相似程度。
在向量空间中，有两个向量a和b，它们的内积表示为<a, b>，由以下三个性质组成：1.对称性：<a, b>=<b, a>2.线性性：<a, λb+μc>=λ<a, b>+μ<a, c>3.正定性：<a, a>>0，且当且仅当a=0时，<a, a>=0其中第二个性质是指内积与标量的乘积与加法有关系。
接下来，我们来介绍极化恒等式，它可以被描述为：对于一个有限维向量空间V和其上的一个内积<a, b>，则<a, b>=1/2(<a+b, a+b>-<a, a>-<b, b>)其中，a和b代表V中的任意两个向量。
这个公式的意义可以这样理解：它是将任意两个向量a和b通过加法和减法转化为四个内积的和和差之和，从而形成了内积的表示。
这是因为内积在向量的加减法中具有一定的对称性，通过这个公式的转化，可以更充分地利用内积的对称性。
接下来，我们将从正式证明和几何意义两个方面阐述极化恒等式的内容。
一、正式证明基于上述定义，我们可以简单地证明极化恒等式。
具体而言，我们需要利用内积的三个性质来证明。
首先，我们可以将<a, b>表示为<a, b>+<b, a>，即<a, b>=1/2(<a, b>+<b, a>)。
然后根据线性性将a+b代入其中，可以得到：<a, b>=1/2(<a+b, a+b>-<a, a>-<b, b>)因此，我们证明了极化恒等式。
二、几何意义极化恒等式的几何意义非常简洁明了，它可以帮助我们更深入地理解内积的性质。
极化恒等式及其应用
圆(x－3)2＋(y－2)2＝1 的圆心为 D(3,2)，半径为 1，所以|PD|＝ 1－32＋0－22＝2 2， |DM|＝|DN|＝1，所以P→M·P→N＝|P→D|2－|D→M|2＝8－1＝7．
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配套精练
总结 提炼
一、 极化恒等式的作用和使用范围
1．极化恒等式的作用
建立了向量的数量积与几何长度(数量)之间的桥梁，实现向量与几何、代数之间的 互相转化．
2．极化恒等式的适用范围
(1)共起点或共终点的两向量的数量积问题可直接进行转化； (2)不共起点和不共终点的数量积问题可通过向量的平移，等价转化为共起点或共终 点的两向量的数量积问题．
配套精练
【解析】 对于 A，A→E＝A→C＋C→E＝A→C＋13C→B＝A→C＋13(A→B－A→C)＝13A→B＋23A→C，故 A 错 误； 对于 B，由题意得 D 为 BE 的中点，所以A→D＝12A→B＋12A→E，故 B 正确； 对于 C，取 DE 的中点 G，BC＝6，D，E 是 BC 的三等分点，得 G 是 BC 的中点，且 DE＝2，所以A→D·A→E＝A→G2－14D→E2＝4，所以A→G2＝5，A→B·A→C＝A→G2－14B→C2＝5－9＝ －4，故 C 正确； 对于 D，由 G 是 BC 的中点，得A→B＋A→C＝2A→G，两边平方得A→B2＋2A→B·A→C＋A→C2＝ 4A→G2，所以A→B2＋A→C2＝20＋8＝28，故 D 正确．
以 CA，CB 为两邻边作矩形 CBDA，由矩形性质得 OC2＋OD2＝OA2＋OB2．因为 OA ＝OB＝2，OC＝1，代入上式得 OD＝ 7．|a－b|＝|O→A－O→B|＝AB＝CD，而 OD－ OC≤CD≤OD＋OC，即 7－1≤CD≤ 7＋1，故|a－b|的取值范围是[ 7－1， 7＋1]．
二级结论专题6 平面向量
二级结论专题6平面向量二级结论1：极化恒等式【结论阐述】（1）极化恒等式：()()2214⎡⎤⋅=+--⎣⎦a b a b a b ；（2）极化恒等式平行四边形型：在平行四边形ABCD 中，()2214AB AD AC BD ⋅=- ，即向量的数量积可以表示为以这组向量为邻边的平行四边形的“和对角线”与“差对角线”平方差的14；（3）极化恒等式三角形模型：在ABC 中，M 为边BC 中点，则；2214AB AC AM BC ⋅=- .说明：（1）三角形模式是平面向量极化恒等式的终极模式，几乎所有的问题都是用它解决；（2）记忆规律：向量的数量积等于第三边的中线长与第三边长的一半的平方差.【应用场景】极化恒等式常用于解决与平面向量数量积有关的求值（定值）､最值､范围等问题.【典例指引1】（2022·甘肃·高台县第一中学模拟预测）1．如图，在ABC ∆中，D 是BC 的中点，,E F 是,A D 上的两个三等分点，4⋅=BA CA ，1BF CF ⋅=- ，则BE CE ⋅uur uur的值是_______.【典例指引2】2．已知ABC 是边长为2的等边三角形，P 为平面ABC 内一点，则()PA PB PC +的最小值是()A ．2-B ．32-C ．43-D ．1-【针对训练】（2022·山东日照市·高三二模）】3．如图，在平行四边形ABCD 中，已知8,5,3,2AB AD CP PD AP BP ===⋅= ，则AB AD⋅ 的值是（）A ．44B ．22C ．24D ．72（2022·河北武强中学高三月考）4．如图，在平面四边形ABCD 中，O 为BD 的中点，且OA ＝3，OC ＝5.若AB AD ⋅=－7，则BC DC ⋅的值是________．（2022·全国福建省漳州市高三期末）5．在ABC ∆中，,2,1,,AB AC AB AC AB AC E F +=-== 为BC 的三等分点，则·AE AF =A ．89B ．109C ．259D ．269（2022·海南海口·二模）6．在正三角形ABC 中，点,E F 是线段,AB AC 的中点，点P 在直线EF 上，若三角形ABC 的面积为2，则2+PC PB BC ⋅的最小值是___________（2022•南通期末）7．在面积为2的ABC 中，E ，F 分别是AB ，AC 的中点，点P 在直线EF 上，则2PC PB BC ⋅+uu u r uu r uu u r 的最小值是______.（天津高考）8．如图，在四边形ABCD 中，60,3B AB ︒∠==，6BC =，且3,2AD BC AD AB λ=⋅=- ，则实数λ的值为_________，若,M N 是线段BC 上的动点，且||1MN = ，则DM DN ⋅的最小值为_________．二级结论2：三角形“四心”向量形式的充要条件【结论阐述】设O 为ABC ∆所在平面上一点，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，则（1）O 为ABC ∆的外心()()()02sin aOA OB OC OA OB AB OB OC BC OA OC AC A⇔===⇔+⋅=+⋅=+⋅= .（如图1）（2）如图2，O 为ABC ∆的重心⇔OA OB OC ++=0.（3）如图2，O 为ABC ∆的垂心⇔OA OB OB OC OC OA ⋅=⋅=⋅.（4）如图3，O 为ABC ∆的内心sin sin sin aOA bOB cOC A OA B OB C OC ⇔++=⇔⋅+⋅+⋅=00 .说明：三角形“四心”——重心，垂心，内心，外心（1）重心——中线的交点：重心将中线长度分成2：1；（2）垂心——高线的交点：高线与对应边垂直；（3）内心——角平分线的交点（内切圆的圆心）：角平分线上的任意点到角两边的距离相等；（4）外心——中垂线的交点（外接圆的圆心）：外心到三角形各顶点的距离相等.【应用场景】主要用于有关向量与三角形“四心”问题的判断与研究.【典例指引1】9．在ABC 所在平面内有三点O ，N ，P ，则下列说法正确的是（）A ．满足||||||OA OB OC ==，则点O 是ABC 的外心B ．满足0NA NB NC ++=，则点N 是ABC 的重心C ．满足PA PB PB PC PC PA ⋅=⋅=⋅，则点P 是ABC 的垂心D ．满足()0||||AB AC BC AB AC +⋅=，且12||||AB AC AB AC ⋅= ，则ABC 为等边三角形【典例指引2】10．已知,,,O A B C 是平面上的4个定点，,,A B C 不共线，若点P 满足()OP OA AB AC λ=++，其中R λ∈，则点P 的轨迹一定经过ABC 的（）A ．重心B ．外心C ．内心D ．垂心【针对训练】11．在△ABC 中，=3AB ，=4AC ，=5BC ，O 为△ABC 的内心，若AO AB BC λμ=+，则λμ+=（）A ．23B ．34C ．56D ．3512．已知O 是平面上的一个定点，A ､B ､C 是平面上不共线的三点，动点P 满足AB AC OP OA AB AC λ⎛⎫ ⎪=++⎪⎝⎭()R λ∈，则点P 的轨迹一定经过ABC 的（）A ．重心B ．外心C ．内心D ．垂心13．设G 为ABC 的重心，若=2AB，BC =，=4AC ，则AG BC ⋅=___________14．设O 为ABC 的外心，若=4AB，BC =，则BO AC ⋅=___________.15．设I 为ABC 的内心，若=2AB，BC =，=4AC ，则AI BC ⋅=___________二级结论3：奔驰定理【结论阐述】奔驰定理：设O 是ABC ∆内一点，BOC ∆，AOC ∆，AOB ∆的面积分别记作A S ，B S ，C S 则0A B C S OA S OB S OC ⋅+⋅+⋅=.说明：本定理图形酷似奔驰的车标而得名.奔驰定理在三角形四心中的具体形式：①O 是ABC ∆的重心⇔::1:1:1A B C S S S =⇔0OA OB OC ++=.②O 是ABC ∆的内心⇔::::A B C S S S a b c =⇔0aOA bOB cOC ++=.③O 是ABC ∆的外心::sin 2:sin 2:sin 2sin 2sin 2sin 20A B C S S S A B C A OA B OB C OC ⇔=⇔⋅+⋅+⋅=.④O 是ABC ∆的垂心⇔::tan :tan :tan A B C S S S A B C =⇔tan tan tan 0A OA B OB C OC ⋅+⋅+⋅=.奔驰定理是三角形四心向量式的完美统一.【应用场景】奔驰定理常用于解答与三角形内任意一点有关的三角形面积问题.【典例指引1】（2022·四川西昌·高二期末）16．在平面上有ABC 及内一点O 满足关系式：0OBC OAC OAB S OA S OB S OC ⋅+⋅+⋅=△△△即称为经典的“奔驰定理”，若ABC 的三边为a ，b ，c ，现有0a OA b OB c OC ⋅+⋅+⋅=则O为ABC 的（）A ．外心B ．内心C ．重心D ．垂心【典例指引2】17．设G 是△ABC 重心，且(56sin )(40sin )(35sin )0A GA B GB C GC ++=，则B ∠=_________．【针对训练】一､单选题18．若O 是平面上的定点，A ，B ，C 是平面上不共线的三点，且满足()OP OC CB CA λ=++（R λ∈），则P 点的轨迹一定过ABC 的（）A ．外心B ．内心C ．重心D ．垂心19．若O 是平面内一定点，A ，B ，C 是平面内不共线的三点，若点P 满足2OB OC OP += +λAP(λ∈(0，+∞))，则点P 的轨迹一定通过△ABC 的（）A ．外心B ．内心C ．重心D ．垂心20．已知O 是平面内一定点，,,A B C 是平面上不共线的三个点，动点P 满足()()0,,λλ⎛⎫ ⎪=++∈+∞⎪⎝⎭AB ACOP OA AB AC 则点P 的轨迹一定通过ABC 的（）A ．外心B ．内心C ．重心D ．垂心21．在ABC 中，CB a =，CA b =，且sin sin a b OP OC m a B b A ⎛⎫ ⎪+ ⎪⎝⎭=+，m R ∈，则点P 的轨迹一定通过ABC 的（）A ．重心B ．内心二､多选题（2022·重庆实验外国语学校高一期中）22．对于给定的ABC ，其外心为O ，重心为G ，垂心为H ，内心为Q ，则下列结论正确的是（）A ．212AO AB AB⋅= B ．GA GB GA GC GB GC⋅=⋅=⋅ C ．0HA HB HC ++= D ．若A P Q 、、三点共线，则存在实数λ使||||AB AC AP AB AC λ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭（2022·广东·东莞市光明中学高一阶段练习）23．点O 在ABC 所在的平面内，则以下说法正确的有（）A ．若0OA OB OC ++=，则点O 是ABC 的重心．B ．若0||||||||AC AB BC BA OA OB AC AB BC BA ⎛⎫⎛⎫⋅-=⋅-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，则点O 是ABC 的内心．C ．若()()0OA OB AB OB OC BC +⋅=+⋅=，则点O 是ABC 的外心．D ．若OA OB OB OC OC OA ⋅=⋅=⋅，则点O 是ABC 的垂心．三､填空题24．已知O 是平面上的一定点，A ，B ，C 是平面上不共线的三个点，动点P 满足2cos cos OB OC AB AC OP AB B AC C λ⎛⎫+ ⎪=++ ⎪⎝⎭，[)0,λ∈+∞，则动点P 的轨迹一定通过ABC 的________(填序号）．①内心②垂心③重心④外心参考答案：1．78【详解】因为222211436=42244AD BC FD BC BA CA BC AD BC AD --⋅=-⋅--==（）（），2211114123234FD BC BF CF BC AD BC AD -⋅=-⋅--==- （）（），因此22513,82FD BC == ，2222114167.22448ED BC FD BC BE CE BC ED BC ED --⋅=-⋅--===（）（）【考点】向量数量积【名师点睛】研究向量的数量积，一般有两个思路，一是建立平面直角坐标系，利用坐标研究向量的数量积；二是利用一组基底表示所有向量，两种思路实质相同，但坐标法更易理解和化简.对于涉及中线的向量问题，一般利用向量加、减法的平行四边形法则进行求解．2．B【分析】根据条件建立坐标系，求出点的坐标，利用坐标法结合向量数量积的公式进行计算即可．【详解】建立如图所示的坐标系，以BC 中点为坐标原点，则A ，(1,0)B -，(1,0)C ，设(,)P x y ，则()PA x y =-- ，(1,)PB x y =--- ，(1,)PC x y =--，则22223()222[(4PA PB PC x y x y +=-+=+-∴当0x =，y =时，取得最小值332()42⨯-=-，故选：B ．3．B【分析】以{},AB AD 为基底分别表示出,AP BP ，再利用平面向量数量积的运算律即可解出．【详解】因为3CP PD =，所以14AP AD DP AD AB =+=+ ，1344BP AP AB AD AB AB AD AB =-=+-=- ，而2AP BP ⋅=，所以，13244AD AB AD AB ⎛⎫⎛⎫+⋅-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，化简得：2213582216AB AD -⋅-⨯= ，即22AB AD ⋅= ．故选：B ．4．9【解析】根据平面向量的线性表示与数量积运算，利用AB AD ⋅=()()AO OB AO OD +⋅+ ,求出||||4OB OD == ，再利用()()BC DC BO OC DO OC ⋅=+⋅+，运算可求出结果.【详解】在平面四边形ABCD 中，O 为BD 的中点，且3,5,0OA OC OB OD ==∴+=若7AB AD ⋅=- ，则()()AO OB AO OD +⋅+ 2AO AO OD AO OB OB OD =+⋅+⋅+⋅ 22()AO OA OD OB OB =+⋅+- 223OB =- 7=-，216OB ∴= ，||||4OB OD ∴== ，()()BC DC BO OC DO OC ∴⋅=+⋅+ 2BO DO BO OC OD OC OC =⋅+⋅+⋅+= 222()4BO OC BO OD OC -+⋅++=- 2059++=.故答案为：9【点睛】本题考查了平面向量的线性表示与数量积运算，考查了转化思想和运算能力，属于中档题.5．B【详解】试题分析：因为AB AC AB AC +=- ，所以AB AC ⊥ ，以点A 为坐标原点，,AB AC 分别为,x y 轴建立直角坐标系，设()()2,00,1AB AC ==，，又E F ，为BC 的三等分点所以，4122,,3333AE AF ⎛⎫⎛⎫== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以412210,,33339AE AF ⎛⎫⎛⎫⋅=⋅= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ ，故选B.考点：平面向量的数量积.【一题多解】若AB AC AB AC +=- ，则222222AB AC AB AC AB AC AB AC ++⋅=+-⋅，即有0AB AC ⋅=，,E F 为BC 边的三等分点，则()()1133AE AF AC CE AB BF AC CB AB BC ⎛⎫⎛⎫⋅=+⋅+=+⋅+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭21123333AC AB AC AB ⎛⎫⎛⎫=+⋅+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭22225210(14)099999AC AB AB AC =++⋅=++= ,故选B ．6【分析】取BC 中点D ，由题意，计算得2BC =ABC ，数形结合可知，PD 的最小值为PBC △的高4BC ，利用向量的基底表示与线性运算将问题转化为2222113+=+·+=+224PC PB BC PD BC PD BC BC PD BC ⋅-⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，代值计算.【详解】取BC 中点D ，由正ABC 的面积为2，221πsin 2233ABC S BC BC ∴=⋅⋅=⇒=，ABC 的高为πsin3h BC =⋅=，数形结合得，PD 的最小值为PBC △的高，即12PD h ≥=，所以22316PD BC ≥ ，所以2211+=+·+22PC PB BC PD PD BC BC ⋅-⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭2222221333815854416431632PD BC BC PD BC BC -+=+≥+⨯⨯ .故答案为：27．【分析】由平面几何的知识结合三角形面积公式可得2sin PB PC BPC⋅=∠，由平面向量数量积的运算可得2cos sin BP PC P CB B PC∠=∠⋅uu u r uu r ，由余弦定理结合基本不等式可得244cos sin BP B C BP C C -∠∠≥，进而可得242cos sin PC P BPC BP B CBC ⋅-∠∠+≥uu u r uu r uu u r ，令()42cos (),0,sin x f x x x π-=∈，利用导数求得()f x 的最小值后即可得解.【详解】因为E 、F 分别是AB 、AC 的中点，所以EF 到BC 的距离等于点A 到BC 的距离的一半，所以2ABC PBC S S = ，又2ABC S = ，所以11sin 2PBC S PB PC BPC ==⋅⋅∠ ，因此2sin PB PC BPC⋅=∠，所以2cos cos sin BPCPB PC BP PC B PC P C B ∠⋅⋅∠∠⋅==uu u r uu r ；又由余弦定理可得：2222cos =+-⋅⋅∠BC PB PC PB PC BPC44cos s 22cos in PB PC PB PC BP BPCBPCC ≥⋅-⋅-∠=∠∠，当且仅当PB PC =时，取等号；所以22cos 44cos 42cos sin sin sin BPC BPC BP PC PB BC CBPC BPC BPC∠-∠-∠++∠∠≥=∠⋅uu u r uu r uu u r ，令=∠x BPC ，42cos ()sin xf x x-=，()0,x π∈；又2222sin (42cos )cos 24cos ()sin sin x x x xf x x x---'==，由()0f x '>得1cos 2x <，所以3x ππ<<；由()0f x '<得1cos 2x >，所以03x π<<；所以()f x 在0,3π⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递减，在,3ππ⎛⎫⎪⎝⎭上单调递增；所以min()23f x fπ⎛⎫==⎪⎝⎭因此2PC PB BC⋅+uu u r uu r uu u r的最小值是故答案为：【点睛】本题考查了基本不等式、余弦定理、导数的应用及向量数量积的最值问题，考查了运算求解能力与转化化归思想，属于中档题.8．16132【分析】可得120BAD∠= ，利用平面向量数量积的定义求得λ的值，然后以点B为坐标原点，BC所在直线为x轴建立平面直角坐标系，设点(),0M x，则点()1,0N x+（其中05x≤≤），得出DM DN⋅关于x的函数表达式，利用二次函数的基本性质求得DM DN⋅的最小值.【详解】AD BCλ=，//AD BC∴，180120BAD B∴∠=-∠=，cos120AB AD BC AB BC ABλλ⋅=⋅=⋅1363922λλ⎛⎫=⨯⨯⨯-=-=-⎪⎝⎭，解得16λ=，以点B为坐标原点，BC所在直线为x轴建立如下图所示的平面直角坐标系xBy，()66,0BC C=∴，,∵3,60AB ABC=∠=︒，∴A的坐标为3,22A⎛⎝⎭,∵又∵16AD BC=,则5,22D⎛⎝⎭，设(),0M x，则()1,0N x+（其中05x≤≤），5,22DM x ⎛=-- ⎝⎭，3,22DN x ⎛=-- ⎝⎭，()222532113422222DM DN x x x x x ⎛⎫⎛⎫⋅=--+=-+=-+ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，所以，当2x =时，DM DN ⋅ 取得最小值132.故答案为：16；132.【点睛】本题考查平面向量数量积的计算，考查平面向量数量积的定义与坐标运算，考查计算能力，属于中等题.9．ABCD【分析】根据三角形外心、重心和垂心的定义逐一用向量判断ABC ，用向量的数量积和运算律判断D 即可.【详解】解：对于A ，因为||||||OA OB OC ==，所以点O 到ABC 的三个顶点的距离相等，所以O 为ABC 的外心，故A 正确；对于B ，如图所示，D 为BC 的中点，由0NA NB NC ++=得：2ND NA =- ，所以||:||2:1AN ND = ，所以N 是ABC 的重心，故B正确；对于C ，由PA PB PB PC ⋅=⋅ 得：()0PA PC PB -⋅=，即0AC PB ⋅= ，所以AC PB ⊥；同理可得：AB PC ⊥，所以点P 是ABC 的垂心，故C 正确；对于D ，由()0||||AB AC BC AB AC +⋅=得：角A 的平分线垂直于BC ，所以AB AC =；由12||||AB AC AB AC ⋅=得：1cos 2A =，所以3A π=，所以ABC 为等边三角形，故D 正确．故选：ABCD ．10．A【分析】设BC 边的中点为D ，则2AB AC AD +=，进而结合题意得2AP AD λ= ，再根据向量共线判断即可.【详解】解：根据题意，设BC 边的中点为D ，则2AB AC AD +=，因为点P 满足()OP OA AB AC λ=++，其中Rλ∈所以，()2OP OA AP AB AC AD λλ-==+= ，即2AP AD λ=，所以，点P 的轨迹为ABC 的中线AD ，所以，点P 的轨迹一定经过ABC 的重心.故选：A11．C【分析】根据向量的减法法则化简题中的等量关系，结合三角形内心的性质得到系数的关系求解.【详解】由AO AB BC λμ=+得()()AO OB OA OC OB λμ=-+- ，则()()1++=0OA OB OC -λλ-μμ，因为O 为△ABC 的内心，所以++=0BC OA AC OB AB OC，从而()()1::5:4:3λλμμ--=，解得712λ=，14μ=，所以56λμ+=.故选：C.12．C【分析】根据向量的线性运算，结合已知条件，即可判断点P 轨迹.【详解】因为AB AB为AB 方向上的单位向量，AC AC为AC方向上的单位向量，则||||AB ACAB AC +的方向与BAC ∠的角平分线一致，由AB AC OP OA AB AC λ⎛⎫⎪=++⎪ ⎪⎝⎭，可得AB AC OP OA AB ACλ⎛⎫⎪-=+⎪⎝⎭，即AB AC AP AB AC λ⎛⎫ ⎪=+⎪ ⎪⎝⎭，所以点P 的轨迹为BAC ∠的角平分线所在直线，故点P 的轨迹一定经过ABC 的内心.故选：C.13．4【分析】由G 为ABC 的重心，易得()1=,3AG AB AC + 又=BC AC AB -，结合数量积运算律即可得到结果.【详解】由已知可得ABC 是以B 为直角顶点的直角三角形，因为G 为ABC 的重心，所以()22+1===+,3323AB AC AG AF AB AC ⋅=BC AC AB -，∴()()()()22111=+==164=4333AG BC AB AC AC AB AC AB ⋅⋅--- ，故答案为：414．2-【分析】根据条件和几何意义，将BO AC转化为相应的向量投影即可求解.【详解】如图，设D ､E 分别为,AB BC 的中点，则,OD AB OE BC ⊥⊥，所以()BO AC BO BC BA BO BC BO BA =-=- cos cos BO BC OBC BO BA OBA=∠-∠2211=··==222BE BC BA BD BC BA --- ,故答案为：-2.15．6-【分析】利用向量的数量积运算求解或根据投影的几何意义求解.【详解】解法1：不难发现，ABC 是以B 为直角顶点的直角三角形，如图，设圆I 与AB ､AC ､BC 分别相切于点D ､E ､F ，设圆I 的半径为r ，则ID IE IF r ===，显然四边形BDIF 是正方形，所以BD BF r ==，从而2AD r =-，CF r =，易证=AE AD ，=CE CF ，所以2AE r =-，CE r =，故224AE CE r AC +=+==，从而1r ，23AD r =-=()AI BC AI AC AB AI AC AI AB ⋅=⋅-=⋅-⋅ cos cos AI AC IAC AI AB IAB=⋅⋅∠-⋅⋅∠()26AE AC AD AB AD AC AB AD =⋅-⋅=-==-故答案为:6-解法2：按解法1求得ABC 的内切圆半径1r ，由图可知AI 在BC1，所以)16AI BC ⋅=⨯-故答案为:6-16．B【分析】利用三角形面积公式，推出点O 到三边距离相等。
2023年数学高考复习真题演练(全国卷)18 最全归纳平面向量中的范围与最值问题(含详解)
专题18 最全归纳平面向量中的范围与最值问题【考点预测】一．平面向量范围与最值问题常用方法： （1）定义法第一步:利用向量的概念及其基本运算将所求问题转化为相应的等式关系 第二步：运用基木不等式求其最值问题 第三步:得出结论 （2）坐标法第一步 : 根据题意建立适当的直角坐标系并写出相应点的坐标 第二步: 将平面向量的运算坐标化第三步:运用适当的数学方法如二次函数的思想、基本不等式的思想、三角函数思想等求解 （3）基底法第一步：利用其底转化向量 第二步：根据向量运算律化简目标第三步：运用适当的数学方法如二次函数的思想、基本不等式的思想、三角函数思想等得出结论 （4）几何意义法第一步: 先确定向量所表达的点的轨迹 第二步: 根据直线与曲线位置关系列式 第三步：解得结果 二．极化恒等式（1）平行四边形平行四边形对角线的平方和等于四边的平方和：2222||||2(||||)a b a b a b ++-=+证明：不妨设,AB a AD b == ，则C A a b =+，DB a b =-()22222C 2AC A a b a a b b ==+=+⋅+ ① ()222222DB DB a ba ab b ==-=-⋅+ ②①②两式相加得： ()()22222222AC DB a bAB AD+=+=+（2）极化恒等式：上面两式相减，得：()()2214a b a b ⎡⎤+--⎢⎥⎣⎦————极化恒等式①平行四边形模式：2214a b AC DB ⎡⎤⋅=-⎣⎦几何意义：向量的数量积可以表示为以这组向量为邻边的平行四边形的“和对角线”与“差对角线”平方差的14. ②三角形模式：2214a b AM DB ⋅=-（M 为BD 的中点） 三.矩形大法矩形所在平面内任一点到其对角线端点距离的平方和相等已知点O 是矩形ABCD 与所在平面内任一点，证明：2222OA OC OB OD +=+。
【证明】（坐标法）设,AB a AD b ==，以AB 所在直线为轴建立平面直角坐标系xoy ， 则(,0),(0,),(,)B a D b C a b ，设(,)O x y ，则222222()[()()]OA OC x y x a y b +=++-+-222222[()][()]OB OD x a y x y b +=-+++-2222OA OC OB OD ∴+=+四.等和线（1）平面向量共线定理已知OA OB OC λμ=+，若1λμ+=，则,,A B C 三点共线；反之亦然。
向量中基本公式
向量中基本公式一、对角线定理1、对于一般四边形ABCD 中，D C AB证明：（1）∙-∙=∙; (2)22222BC AD DC AB --+=∙二、中位线向量定理：若E 、F 分别是AD 、BC 的中点，则+=2 1、在平面四边形ABCD 中，=∙=∙=∙DB AC BC AD DC AB 则若,5,2)1(=∙====DB AC 则,9,11,7,3)2(三、平行四边形：A B重要结论：（1）()⎪⎭⎫ ⎝⎛+=+22222)(即()())(22222+=-++（2）22ABAD BD AC -=∙422AD AB -=∙（3）若P 为平行四边形所在平面的任一点，则=--+⎩⎨⎧<≥=y x y y x x y x ,,},max{1、记，⎩⎨⎧<≥=y x x yx y y x ,,},min{记，设,为平面向量，则（ ）A.max max≤-+B.max max≥-+C.,min +≤⎭⎬⎫⎩⎨⎧-+D.,min +≥⎭⎬⎫⎩⎨⎧-+2、在四边形ABCD 中，若+=,21,3||===AC ,=四、矩形大法：若ABCD 为矩形，点P 是不同于端点的任意一点（1）2222+=+ (2)∙=∙3、在直角三角形ABC 中，点D 是斜边AB 的中点，点P 为线段CD 的中点，则=( ) A. 2 B. 4 C. 5 D. 10五、 三角形： C若M 为BC 的中点，则+=2=∙422AM -∙=222- 在△ABC 中，M 为BC 的中点，若AB=3,AC=4,则=∙AM 在△ABC 中，M 为BC 的中点，若AM=3,BC=4,则=∙AC AB六、极化恒等式：()()422--+=∙。
极化恒等式定义
极化恒等式定义极化恒等式定义是线性代数中的一个重要概念，它可以用于解决许多矩阵运算的问题。
在此，我们将分步骤阐述什么是极化恒等式定义，以及它的应用。
第一步：什么是极化恒等式定义极化恒等式定义指的是用内积表示一个对称双线性函数的方法，即将一个对称双线性函数转化为一个内积。
例如，假设$\langle\cdot,\cdot\rangle$是$V$上的一个内积，$f:V\timesV\rightarrow K$是$V$上的一个对称双线性函数，那么可以通过下列公式来定义$f$:$$f(x,y) = \frac{1}{2}\left(\langle x,y\rangle + \langle y,x\rangle\right)$$其中$K$表示一个数域，例如实数域或复数域。
第二步：极化恒等式定义的应用除了用于表示对称双线性函数之外，极化恒等式定义还可以用于求解矩阵的特征值和特征向量。
假设$A$是一个矩阵，那么$A$的特征向量为非零向量$x\in R^n$，满足$Ax=\lambda x$，其中$\lambda$是$A$的特征值。
那么可以通过极化恒等式定义来计算$A$的特征向量和特征值。
具体来说，我们可以先将$A$表示为一个对称双线性函数$f(x,y)=x^TAy$，然后根据极化恒等式定义，可以得到$$f(x,x) = \frac{1}{2}\left(\langle x,Ax\rangle +\langle Ax,x\rangle\right) = \frac{1}{2}(x^TAx + x^T(Ax)^T) = x^T\left(\frac{A + A^T}{2}\right)x$$其中$A^T$表示$A$的转置矩阵。
因为$A$是对称矩阵，所以$A=A^T$，因此可以得到$f(x,x)=x^TAx$。
此时，$A$的特征值和特征向量就可以通过求解$f(x,x)=\lambda x^Tx$的解来得到。
总之，极化恒等式定义是线性代数中的一个重要概念，它可以被用于许多矩阵运算的问题。
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极化恒等式与矩形大法
一、 知识清单
1. 极化恒等式：如图，AB AC 2AD += ① A B A C
CB -= ②,则：
①2
+②2
得：222
2
42++=AB AD BC AC ；①2-②2
得：22
44-=⋅AB AD BC AC
推广：222
2
+-=⋅⋅⋅=AB AB AC cosA AB AC BC AC
速记方法：22()()
4a b a b a b +--⋅==，22
22()()2
a b a b a b +-+=+=
2. 矩形大法：如图，由极化恒等式可得
222
2
4PD PB 2PO BD ++=①2222
4PA PC 2
PO AC ++= ②
因为BD=AC ，所以2222+=+PD PB PA PC ，
速记方法：矩形外一点到矩形对角顶点的平方和相等。
推广1：若ABCD 为平行四边形，则有22
2
2
2
2
BD ()2
AC -+-+=PA PC PD PB
推广2：若P 为平面外一点，上述性质仍成立。
二、 典型例题
1．（2012浙江文15）在ABC ∆中，M 是BC 的中点，3AM =，10BC =，则A B A C ⋅= _________．
解析：由极化恒等式有：22
4AB 164
AM BC AC -=
⋅=- 2. （2013浙江理7）在ABC ∆中,0P 是边AB 上一定点，满足01
4
P B AB =，且对于边AB 上任一点P ，
恒有00
PB PC P B PC ⋅≥⋅。
则( ) A.90ABC ∠= B. 90BAC ∠= C.AB AC = D. AC BC =
解析：D 为BC 中点，由极化恒等式有：22
4PB 4
PD BC PC -⋅=则当PD 最小时，PB
⃗⃗⃗⃗⃗ ∙PC ⃗⃗⃗⃗⃗ 最小， 所以过D 作AB 垂线，垂足即为P 0,作AB 中点E ，则CE ⊥AB ，即AC=BC 。
3. 已知向量,,a b e 是平面向量，e 是单位向量． 2,3,0,()1a b a b e a b ===⋅-++求a b -的范围？
解析：由0,()1a b e a b =⋅-++得0()()a e b e =-⋅-
如图，,,OA a OB b OE e === ，构造矩形ACBE ，由矩形大法有
2222OE OC OA OB +=+，则OC =
[,]1]a b AB CE OC OE OC OE -==∈-+=
4.向量,,a b e 是平面向量，e 是单位向量． 2,3,0,()2a b a b e a b ===⋅-++求a b -，a b ⋅范围？ 解析：由题得1()()a e b e =--⋅-，,,OA a OB b OE e === ，构造平行四边形ACBE ，
由极化恒等式：22
1()()4
a EA EC AB e
b e EB =--=-⋅-⋅=
由平行四边形大法：22
2
2
2
2
()()22
EC AB OE OC OA OB -+-+=
=-，即10OC =
2a b AB -=
==
2
2
2
2
()13()
[101]22
a b a b a b a b +----⋅==∈-
三、 强化练习
1. 设正ABC ∆的面积为2，边,AB AC 的中点分别为,D E ，M 为线段DE 上的动点，则
2
MB MC BC ⋅+的最小值为 .
2.ABC ∆外接圆O 半径为1，且120AOB ∠=，则AC CB ⋅的取值范围是 . 31[,0)(0,]22
-
3.已知平行四边形ABCD 的面积为6，2AB =，点P 是平行四边形ABCD 所在平面内的一个动点，且满足2PC =，则PA PB ⋅的最小值 .C
A ．4-
B ．2-
C ．0
D ．2
4. 如图，C ，D 以AB 为直径的圆O 上的动点，已知AB =2，则AC BD ⋅的最大值是 （ ）A
A. 1
2
5. 已知∆ABC ，满足
3219()
||
++=||||+AB AC AB AC AB AC AB AC ，点D 为线段AB 上一动点，若⋅DA DC 的最小值为3-，则∆ABC 的面积=S （ ）D
A.9
B.
6.记M 的最大值和最小值分别为max M 和min M .若平面向量,,a b c 满足a b a b ==⋅()
222
c a b c =⋅+-=. 则（ ）A
max
3.2A a c
-=
max 3.2B a c +=
min
3.2C a c
-=
min 3.D a c +=
7.点P 是底边长为2的正三棱柱表面上的动点，MN 是该棱柱内切球的一条直径，则
PM PN 的取值范围是 . []0,4
8．向量,,a b e 是平面向量，e 是单位向量．若()()
2,0,a b a e b e ==-⋅-=则a b -的最小值是( )A
A 1
B 1
C ．3
D ．3
9.如图，已知圆O 的半径为2，P 是圆内一定点，OP=1，圆O 上的两动点A ，B 满足PA PB ⊥，存在
点C 使PACB 构成矩形，则OC OP ⋅的取值范围是 [
10.向量,,a b c 满足21b c a ===,则()()
c a c b ⋅--的最大值是 ； 最小值是 . 1
[,3]8
-。