极化恒等式(矩形大法)

极化恒等式与矩形大法

一、 知识清单

1. 极化恒等式：如图，AB AC 2AD += ① A B A C

CB -= ②,则：

①2

+②2

得：222

2

42++=AB AD BC AC ；①2-②2

得：22

44-=⋅AB AD BC AC

推广：222

2

+-=⋅⋅⋅=AB AB AC cosA AB AC BC AC

速记方法：22()()

4a b a b a b +--⋅==，22

22()()2

a b a b a b +-+=+=

2. 矩形大法：如图，由极化恒等式可得

222

2

4PD PB 2PO BD ++=①2222

4PA PC 2

PO AC ++= ②

因为BD=AC ，所以2222+=+PD PB PA PC ，

速记方法：矩形外一点到矩形对角顶点的平方和相等。

推广1：若ABCD 为平行四边形，则有22

2

2

2

2

BD ()2

AC -+-+=PA PC PD PB

推广2：若P 为平面外一点，上述性质仍成立。 二、 典型例题

1．（2012浙江文15）在ABC ∆中，M 是BC 的中点，3AM =，10BC =，则A B A C ⋅= _________．

解析：由极化恒等式有：22

4AB 164

AM BC AC -=

⋅=- 2. （2013浙江理7）在ABC ∆中,0P 是边AB 上一定点，满足01

4

P B AB =，且对于边AB 上任一点P ，

恒有00

PB PC P B PC ⋅≥⋅。则( ) A.90ABC ∠= B. 90BAC ∠= C.AB AC = D. AC BC =

解析：D 为BC 中点，由极化恒等式有：22

4PB 4

PD BC PC -⋅=则当PD 最小时，PB

⃗⃗⃗⃗⃗ ∙PC ⃗⃗⃗⃗⃗ 最小， 所以过D 作AB 垂线，垂足即为P 0,作AB 中点E ，则CE ⊥AB ，即AC=BC 。

3. 已知向量,,a b e 是平面向量，e 是单位向量． 2,3,0,()1a b a b e a b ===⋅-++求a b -的范围？

解析：由0,()1a b e a b =⋅-++得0()()a e b e =-⋅-

如图，,,OA a OB b OE e === ，构造矩形ACBE ，由矩形大法有

2222OE OC OA OB +=+，则OC =

[,]1]a b AB CE OC OE OC OE -==∈-+=

4.向量,,a b e 是平面向量，e 是单位向量． 2,3,0,()2a b a b e a b ===⋅-++求a b -，a b ⋅范围？ 解析：由题得1()()a e b e =--⋅-，,,OA a OB b OE e === ，构造平行四边形ACBE ，

由极化恒等式：22

1()()4

a EA EC AB e

b e EB =--=-⋅-⋅=

由平行四边形大法：22

2

2

2

2

()()22

EC AB OE OC OA OB -+-+=

=-，即10OC =

2a b AB -=

==

2

2

2

2

()13()

[101]22

a b a b a b a b +----⋅==∈-

三、 强化练习

1. 设正ABC ∆的面积为2，边,AB AC 的中点分别为,D E ，M 为线段DE 上的动点，则

2

MB MC BC ⋅+的最小值为 .

2.ABC ∆外接圆O 半径为1，且120AOB ∠=，则AC CB ⋅的取值范围是 . 31[,0)(0,]22

-

3.已知平行四边形ABCD 的面积为6，2AB =，点P 是平行四边形ABCD 所在平面内的一个动点，且满足2PC =，则PA PB ⋅的最小值 .C

A ．4-

B ．2-

C ．0

D ．2

4. 如图，C ，D 以AB 为直径的圆O 上的动点，已知AB =2，则AC BD ⋅的最大值是 （ ）A

A. 1

2

5. 已知∆ABC ，满足

3219()

||

++=||||+AB AC AB AC AB AC AB AC ，点D 为线段AB 上一动点，若⋅DA DC 的最小值为3-，则∆ABC 的面积=S （ ）D

A.9

B.

6.记M 的最大值和最小值分别为max M 和min M .若平面向量,,a b c 满足a b a b ==⋅()

222

c a b c =⋅+-=. 则（ ）A

max

3.2A a c

-=

max 3.2B a c +=

min

3.2C a c

-=

min 3.D a c +=

7.点P 是底边长为2的正三棱柱表面上的动点，MN 是该棱柱内切球的一条直径，则

PM PN 的取值范围是 . []0,4

8．向量,,a b e 是平面向量，e 是单位向量．若()()

2,0,a b a e b e ==-⋅-=则a b -的最小值是( )A

A 1

B 1

C ．3

D ．3

9.如图，已知圆O 的半径为2，P 是圆内一定点，OP=1，圆O 上的两动点A ，B 满足PA PB ⊥，存在

点C 使PACB 构成矩形，则OC OP ⋅的取值范围是 [

10.向量,,a b c 满足21b c a ===,则()()

c a c b ⋅--的最大值是 ； 最小值是 . 1

[,3]8

-