专题34 极化恒等式(原卷版)

专题34 极化恒等式

专题知识梳理

1.公式推导

()()

()()

2

22222

222142a b

a a

b b ab a b a b a b a ab b ⎫+=++⎪

⎡⎤⇒=+--⎬⎢⎥⎣⎦⎪-=-+⎭

在△ABC 中，D 是边BC 的中点，则22

AB AC AD DB =-.

D

C

B

A

如图，由

()

()

2

22

222111222AB AC AB AC AB AC AD CB AD DB ⎡⎤⎡⎤⎛⎫

=+--=-=- ⎪⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎝⎭

得证.

类比初中的“完全平方和”与“完全平方差公式”。

2.几何意义

向量的数量积可以表示为以这组向量为邻边的平行四边形的“和对角线”与“差对角线”平方差的

14

。

考点探究

【例1】如图，在△ABC 中，D 是BC 的中点，E ，F 是AD 上的两个三等分点，BA →·CA →＝4，BF →·CF →

＝－1则BE →·CE →的值是____．

【例2】如图，在同一平面内，点A 位于两平行直线m ，n 的同侧，且A 到m ，n 的距离分别为1，3，点B ，C 分别在m ，n 上，|AB →＋AC →|＝5，则AB →·AC →

的最大值是___．

题组训练

1.如图，在平面四边形ABCD 中，O 为BD 的中点，且OA ＝3，OC ＝5，若AB →·AD →＝－7，则BC →·DC →的值是____．

2.在△ABC 中，M 是边BC 的中点AM ＝3，BC ＝10，AB →·AC →＝__ __．

3.在△ABC 中，点E ，F 分别是线段AB ，AC 的中点，点P 在直线EF 上，若△ABC 的面积为2，则PB →·PC →＋BC →

2的最小值是____．

4.在△ABC 中，已知AB ＝1，AC ＝2，∠A ＝60°，若点P 满足AP →＝AB →＋λAC →，且BP →·CP →

＝1，则实数λ的值为__ _

5.在半径为1的扇形AOB 中，∠AOB ＝60°，C 为弧上的动点，AB 与OC 交于点P ，则OP →·BP →

的最小值是____．

6.已知AB 为圆O 的直径，M 为圆O 的弦CD 上一动点，8AB =，6CD =，则MA MB ⋅的取值范围是 ▲ ．

7.如图，在四边形ABCD 中，4AC =，12BA BC ⋅=，E 为AC 的中点.

（1）若12

cos 13

ABC ∠=

，求ABC ∆的面积ABC S ∆； （2）若2BE ED =，求DA DC ⋅的值.

8.如图，在ABC ∆中，已知4,6,60AB AC BAC ==∠=︒，点,D E 分别在边,AB AC 上，且

2,3AB AD AC AE ==，若F 为DE 的中点，则BF DE 的值为________.

9.（2019·苏州模拟）如图，在平面四边形ABCD 中，AB BC ⊥，AD CD ⊥，60BCD ∠=︒，23CB CD ==. 若点M 为边BC 上的动点，则AM DM ⋅的最小值为 ▲ ．

10.在△ABC 中，已知AB =3

C π

=，则CA CB 的最大值为 .

11.在ABC ∆中，点,E F 分别是线段,AB AC 的中点，点P 在直线EF 上，若ABC ∆的面积为2，则

2

PB PC BC +的最小值是_____________.