专题34 极化恒等式(原卷版)

平面向量中的极化恒等式及有关最值(范围)问题(1)

2(a·b－a·c－b·c＋1)＝48＋2(a＋b)·c＝48＋2|a＋b|cos θ(其中θ为 a＋b
与 c 的夹角)，因为|a－b|＝|a＋b|，所以|a－b|2＝48＋2|a－b|cos θ，则由
cos θ∈[－1，1]，得 48－2|a－b|≤|a－b|2≤48＋2|a－b|，解得 6≤|a－
1x 2
2－1x2＝1.
4
4
(2)如图，由已知|OF|＝1，取 FO 中点 E，连接 PE，由极化恒等式得
O→P·F→P＝|PE|2－1|OF|2＝|PE|2－1，
4
4
∵|PE|2max＝245，∴O→P·F→P的最大值为 6.
答案 (1)1 (2)C
题型二平面向量中的最值(范围)问题
类型 1 利用函数型
则A→P·B→P的取值范围是________；若向量A→C＝λD→E＋μA→P，则λ＋μ的最
小值为________.
解析 (1)由题意，不妨设 b＝(2，0)，a＝(cos θ，sin θ)(θ∈[0，2π))，
则 a＋b＝(2＋cos θ，sin θ)，a－b＝(cos θ－2，sin θ).
令 y＝|a＋b|＋|a－b|
＝（2＋cos θ）2＋sin2θ＋（cos θ－2）2＋sin2θ
＝ 5＋4cos θ＋ 5－4cos θ，
则 y2＝10＋2 25－16cos2θ∈[16，20].
由此可得(|a＋b|＋|a－b|)max＝ 20＝2 5，
(|a＋b|＋|a－b|)min＝ 16＝4，
即|a＋b|＋|a－b|的最小值是 4，最大值是 2 5.
4a2
4a2
θ）2＝1，化简得
b2(1－cos2θ)＝

高考数学专题《极化恒等式》填选压轴题及答案

专题23 极化恒等式【方法点拨】极化恒等式：221()()4a b a b a b ⎡⎤⋅=+--⎣⎦.说明：（1）极化恒等式的几何意义是：设点D 是△ABC 边的中点，则22221||||4AB AC AD BC AD BD ⋅=-=-，即：向量的数量积可转化为中线长与半底边长的平方差．（2）具有三角几何背景的数学问题利用极化恒等式考虑尤为简单，让“秒杀”向量数量积问题成为一种可能，此恒等式的精妙之处在于建立向量与几何长度(数量)之间的桥梁，实现向量与几何、代数的巧妙结合.（3）遇到共起点的两向量的数量积问题，常取第三边的中点，从而运用极化恒等式加以解决. 特别适合于以三角形为载体，含有线段中点的向量问题．【典型例题】例1 如图，在ABC △中，D 是BC 的中点，,E F 是AD 上两个三等分点，4BA CA ⋅=，1BF CF ⋅=-，则BE CE ⋅的值是．【答案】78【解析】设BD x =，DF y =由极化恒等式得222294BA CA AB AC AD BD y x ⋅=⋅=-=-=， 22221BF CF FB FC FD BD y x ⋅=⋅=-=-=-解之得可得2294a b -=，221a b -=-，因此2138x =，258y =，因此222451374888BE CE EB EC ED BD y x ⨯⋅=⋅=-=-=-=．点评：紧紧把握极化恒等式使用条件，三次使用极化恒等式求解.例2 已知ABC ∆是边长为2的等边三角形，P 是平面ABC 内一点，则(2)PA PB PC +的BC最小值为．【答案】73-【分析】本题的难点在于如何将2PB PC +“二合一”？注意到两向量共起点且其系数和为3，可利用三点共线的方法将其“二合一”，然后使用极化恒等式. 【解析】设23PB PC PD +=，则2133PD PB PC =+，D 在BC 上所以(2)=3PA PB PC PA PD +如图，取BC 中点为E ，由极化恒等式得221=4PA PD PE AD -在ABD ，由余弦定理得22242128=+2cos 422=9329AD AB BD AB BD ABD -⋅⋅∠=+-⋅⋅⋅ 所以当=0PE ，即P 为AD 中点时，()min7=9PA PD-所以(2)PA PB PC +的最小值73-，此时P 为AD 中点.例3 如图所示，矩形ABCD 的边AB =4，AD =2，以点C 为圆心，CB 为半径的圆与CD 交于点E ，若点P 是圆弧(含端点B 、E )上的一点，则P A → ·PB →的取值范围是 .【答案】【分析】取AB 的中点设为O ，则，然后利用平几知识确定PO 的取值范围，代入即可.【解析】取AB 的中点设为O ，则，当O 、P 、C 共线时， PO 取得最小值为222PO =-；当P 与B （或E ）重合时，POEB [882,0]-2221=44PA PB PO AB PO ⋅-=-2221=44PA PB PO AB PO ⋅-=-EBCAP D取得最大值为PO =2，所以的取值范围是.例4 半径为2的圆O 上有三点A ，B ，C ，满足++0OA AB AC =，点P 是圆内一点，则++PA PO PB PC ⋅的取值范围是（）A . [)4,14-B . (]4,14-C . [)4,4-D . (]4,4-【答案】A【分析】直接两次使用极化恒等式即可. 【解析】由++0OA AB AC =得+AB AC AO = 在平行四边形ABOC 中，OB OC =，故易知四边形ABOC是菱形，且BC =设四边形ABOC 对角线的交点为E由极化恒等式得222114PA PO PE AO PE ⋅=-=-222134PB PC PE BC PE ⋅=-=-所以2++24PA PO PB PC PE ⋅=- 因为P 是圆内一点，所以03PE ≤<所以242414PE -≤-<，即4++14PA PO PB PC -≤⋅<，选A .例5 在△ABC 中，AC ＝2BC ＝4，∠AC B 为钝角，M ，＝1，若CM CN ⋅的N 是边AB 上的两个动点，且MN 最小值为34，则cos ∠ACB ＝．【分析】取MN 的中点P ，由极化恒等式将“CM CN ⋅的最小值为34”转化为AB 边上的PA PB⋅[8-高CH =1，然后利用两角差的的余弦公式求解.【解析】取MN 的中点P ，则由极化恒等式得2221144CM CN CP MN CP ⋅=-=- ∵CM CN ⋅的最小值为34∴min 1CP =由平几知识知：当CP ⊥AB 时，CP 最小. 如图，作CH ⊥AB ，H 为垂足，则CH =1 又AC ＝2BC ＝4，所以∠B ＝30o ，sin A =14所以cos ∠ACB ＝cos （150o －A ）=1358-.例6 已知直角三角形ABC 中，90A ∠=︒，AB =2，AC =4，点P 在以A 为圆心且与边BC 相切的圆上，则PB PC ⋅的最大值为（）A ．161655+ B ．16855+ C ．165D ．565【答案】D【解析】设BC 中点为D ，则22221120544PB PC PD BC PD PD =-=-⨯=-，又因为max 49555PD AD r =+=+=，所以()max8156555PB PC =-=，故选：D.例7 正方体1111ABCD A B C D -棱长为2，E 是棱AB 的中点，F 是四边形11AA D D 内一点（包含边界），且34FE FD ⋅=-，当三棱锥F AED -的体积最大时，EF 与平面11ABB A 所成H角的正弦值为（） A ．23B ．53C ．255D ．52【答案】A【分析】由条件34FE FD ⋅=-及极化恒等式入手，设DE 的中点为G ，则222153444FE FD FG DE FG ⋅=-=-=-，所以212FG =，故点F 的轨迹是以G 为球心，22为半径的球被面11AA D D 所截得的半圆，当点F 在半圆弧的最高点时，三棱锥F AED -的体积最大，此时易求得EF 与平面11ABB A 所成角的正弦值为23. 【解析】设DE 的中点为G ，则由极化恒等式得222153444FE FD FG DE FG ⋅=-=-=-，所以212FG =，故点F 的轨迹是以G 为球心，22为半径的球被面11AA D D 所截得的半圆，当点F 在半圆弧的最高点时，三棱锥F AED -的体积最大，此时易求得EF 与平面11ABB A 所成角的正弦值为23.【巩固练习】1. 如图，在平面四边形ABCD 中，O 为BD 的中点，且OA ＝3，OC ＝5.若AB ―→·AD ―→＝－7，则BC ―→·DC ―→＝________.2．矩形中，为矩形所在平面内一点，,矩形对角线，则值为 .ABCD P ABCD 3,4PA PC ==6AC =PB PD ⋅3.若平面向量a ，b 满足|2a －b |≤3，则a ·b 的最小值为________.4.已知平面向量a ，b ，e 满足|e |＝1，a ·e ＝1，b ·e ＝－2，|a ＋b |＝2，那么a ·b 的最大值为________．5.在中，已知，，则面积的最大值是．6.已知单位向量PA ，PB ，PC 满足2330PA PB PC ++=，则AB AC ⋅的值为（） A ．89B ．23C ．59D ．17. 已知2OA OB ==，且向量OA 与OB 的夹角为120°，又1PO =，则AP BP ⋅的取值范围为（） A ．[]1,1-B ．[]1,3-C ．[]3,1-D ．[]3,3-8.已知平面向量,a b c ,满足1a =，12a b ⋅=，2a c ⋅=，22b c -=，那么b c ⋅的最小值为________．9.已知锐角的外接圆的半径为1，，则的取值范围为__________．10.在ABC ∆中，︒=∠==60,4,3BAC AC AB ，若P 是ABC ∆所在平面内的一点，且2=AP ，则PC PB ⋅的最大值为_____.11.已知点P 是边长为32的正三角形ABC 内切圆上的一点，则PB PA ⋅的取值范围为_____.12.已知正方形ABCD 的边长为1，中心为O ，直线l 经过中心O ，交AB 于点M ，交CD 于点N ，P 为平面上一点，若2OP → ＝λOB → ＋(1－λ)OC → ，则PM → ·PN → 的最小值为__________. 13.设点P 为正三角形△ABC 的边BC 上的一个动点，当P A → ·PC →取得最小值时，sin ∠P AC 的值为________．14.在平面直角坐标系xOy 中，点A ，B 分别在x 轴，y 轴正半轴上移动，AB ＝2，若点P 满足P A → ·PB →＝2，则OP 的取值范围为________．15.在△ABC 中，E ，F 分别是线段AB ，AC 的中点，点P 在直线EF 上，若△ABC 的面积为2，则PB → ·PC → ＋BC →2的最小值是__________．16.在半径为1的扇形AOB 中，若∠AOB ＝60°，C 为弧AB 上的动点，AB 与OC 交于点P ，则OP →·BP →的最小值是________．ABC ∆2BC =1AB AC •=ABC ∆ABC ∆6B π∠=BA BC ⋅17. 如图所示，正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1的棱长为2，MN 是它的内切球的一条弦(我们把球面上任意两点之间的线段称为球的弦)，P 为正方体表面上的动点，当弦MN 的长度最大时， PM →·PN →的取值范围是________．18. 已知球O 的半径为1， ,A B是球面上的两点，且AB =P 是球面上任意一点，则PA PB ⋅的取值范围是（） A ．31,22⎡⎤-⎢⎥⎣⎦ B ．13,22⎡⎤-⎢⎥⎣⎦ C ．10,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦ D ．30,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦【答案或提示】1.【答案】9【提示】两次使用极化恒等式，由224BD AB AD OA ⋅=-得=8BD ，2294BD BC DC OC ⋅=-=.2.【答案】【提示】设矩形的对角线交点为O ，由222222346942AC PA PC PO PO +-⋅=-=-=，得272PO =，227119422BD PB PD PO ⋅=-=-=-.3.【答案】98-【解析】根据极化恒等式得：2228(2)(2)(2)99⋅=+--=+--≥a b a b a b a b ，故98⋅≥-a b ，所以⋅a b 的最小值为98-．4.【答案】－54【提示】由a ·e ＝1，b ·e ＝－2得: a ·e －b ·e ＝3，即（a －b ）·e ＝3，|a －b |cos θ＝3 a ·b=14[|a ＋b |2－|a －b |2]≤－54 5.112-【提示】取BC 的中点为D ，则224BC AB AC AD •=-，所以2AD =因为BC 边上的高线长不大于中线长，当中线就是高线时，面积最大，故面积的最大值． 6.【答案】A【解析】∵2330PA PB PC ++=，∴23PB PC PA +=-，如图，设BC 中点为D ，则()1123PD PB PC PA =+=-，且1PA PB PC ===， ∴,,P A D 三点共线，PD BC ⊥，1133PD PC ==，43AD =， ∴ABC 为等腰三角形， ∴22223CD PC PD =-=， ∴22224228339AB AC AD CD ⎛⎫⎛⎫⋅=-=-= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭.故选：A. 7. 【答案】C【解析】连结A B 、，则=23AB 设AB 的中点为T ，由222134PT AB PT AP BP ⋅==--，易知02PT ≤≤，所以2331PT -≤-≤ 故31AP BP -≤⋅≤，故选：C 8.【答案】58【解析】由12a b ⋅=，2a c ⋅=得23a b a c ⋅⋅=+，即(23a b c ⋅+)= 又(22cos a b c a b c θ⋅+)=+（其中θ为向量a 与2b c +的夹角）所以32cos b c θ+= 所以2221195(2)(2)488cos 8b c b c b c θ⎛⎫⎡⎤⋅=+--=-≥ ⎪⎣⎦⎝⎭. ABC ∆29.【答案】 10.【答案】10237+ 【提示】方法同上. 11.【答案】[]3,6-12.【答案】716-13.【答案】392614.【答案】31,31⎡⎤-+⎣⎦15.【答案】4316.【解析】如图，取OB 的中点D ，连接PD ，则OP →·BP →则PD 2则OD 2则PD 2则14则即求PD 的最小值．由图可知，当PD ⊥OB 时，PD min ＝34，则OP →·BP →的最小值是－116.17.【答案】[0,2]【解析】由正方体的棱长为2，得内切球的半径为1，正方体的体对角线长为2 3.当弦MN 的长度最大时，MN 为球的直径．设内切球的球心为O ，则PM →·PN →＝PO →2－ON →2＝PO →2－1.由于P 为正方体表面上的动点，故OP ∈[1，3]，所以PM →·PN →∈[0,2]． 18.【答案】B【解析】设,A B 的中点为C ，则12OC =33,32⎛⎤+ ⎥⎝⎦由极化恒等式得22213·44 PA PB PC AB PC=-=-因为12OC=，点P是球面上任意一点所以13 22PC≤≤所以13·,22PA PB⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦,故选B.。

(完整版)向量中的中点转化与极化恒等式

极化恒等式【一.式子结构分析】 1.()2222a ba ab b +=++r r r r r r ，同理可以有：()2222a ba ab b -=-+r r r r r r .两个式子相加可得：()()()22222a b a ba b +=++-r rr r r r ,这个说明平行四边形对角线的平方和等于四边的平方和，也等于邻边的平方和的两倍，由此可得三角形的中线长公式：a m =本20页）. 2.()2222a ba ab b +=++r r r r r r ，同理可以有：()2222a ba ab b -=-+r r r r r r .两个式子相减可得：()()224a ba b a b +--⋅=r r r r rr ,这个叫极化恒等式，2017年全国甲卷理科选择最后一题考查了.3. 很多时候我们也会遇到22a b -r r 这样的式子，一般22()()a b a b a b -+=-r r r r r r ，类似于平方差公式，实质上同2差不多【二、极化恒等式】和数学上很多经典的公式定理一样，极化恒等式也并没有那么神秘，甚至说是很基本. 回忆必修四105页例2()2222a ba ab b +=++r r r r r r ，同理可以有：()2222a ba ab b -=-+r r r r r r .两个式子相加可得：()()()22222a b a ba b +=++-r rr r r r ,这个说明平行四边形对角线的平方和等于四边的平方和，也等于邻边的平方和的两倍，由此可得三角形的中线长公式：a m =本20页）.两个式子相减可得：()()224a ba b a b +--⋅=r r r r rr ,这个叫极化恒等式，2017年全国甲卷理科选择最后一题考查了.极化恒等式的几何意义是:向量的数量积可以表示为以这组向量为邻边的平行四边形的“和对角线”与“差对角线”平方差的14，即221()4a b AD BC ⋅=-r r .在三角形中，也可以用三角形的中线来表示，即2214a b AM BC ⋅=-r r ，他揭示了三角形的中线与边长的关系.下面通过几道题目，来分析极化恒等式的妙用.4. 在ABC ∆中，M 是BC 的中点，3,10AM BC ==，则AB AC ⋅=u u u r u u u r________.解析： ()22()4AB ACAB AC AB AC +-⋅=-u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r224BC AM -=u u u ru u u u r 16=- 事实上，类似的问题时有看到，只是很多时候用其他的方法取代了“极化恒等式”，或在无意中使用“极化恒等式”.在ABC ∆中，D 是BC 的中点，2,3AB AC ==，则AD BC ⋅=u u u r u u u r________.解析： ()()2AB ACAD BC AB AC +⋅=⋅-u u u r u u u r u u u r u u u ru u u r u u u r 221()2ABAC =-u u ur u u u r 52=.5. 在Rt △ABC 中，CA ＝CB ＝3，M ，N 是斜边AB上的两个动点，且MN =CM CN u u u u r u u u rg的取值范围为_______.解析：设MN 的中点为D ，则()()2214CM CN CM CN CM CN ⎡⎤=+--⎢⎥⎣⎦u u u u r u u u r u u u u r u u u ru u u u r u u u r g()[]22241124,26CD MN CD ⎡⎤=-=-⎢⎥⎣⎦∈u u u r u u u u r u u u r 类题：△ABC 中，AC ⊥BC ，AB ＝3，AC ＝1，D 为BC 的中点，F 为线段AD 上任意一点，求()AF FB FC+u u u r u u u r u u u rg 的最大值.解析：()22AF FB FC AF FD AF FD +==u u u r u u u r u u u r u u u r u u u rg gg ，因AF FD AD +==，故当AF FD ==()AF FB FC +u u u r u u u r u u u r g 取最大值32.6. （2017年高考全国卷Ⅱ理12）已知ABC ∆是边长为2的等边三角形，P 为平面ABC 内一点，则()PA PB PC ⋅+u u u r u u u r u u u r的最小值是A.2-B.32-C. 43- D.1- 解法分析思路一：建系，将向量运算坐标化解法1：如图1，建立平面直角坐标系xOy，(A ，()1,0B -，()1,0C ，设(),P x y ，则()PA x y =-u u u r，()()()1,1,2,2PB PC x y x y x y +=---+--=--u u u r u u u r ，所以()(2223322222PA PB PC x y y x y ⎡⎤⎛⎢⎥+=+-=+-- ⎢⎥⎝⎭⎦≥⎣u u u r u u u r u u u r g ，当且仅当0x =，2y =，即P 为AO 的中点时取等号，则所求最小值为32-，选B.图1思路二：取BC 中点M ，将PB PC +u u u r u u u r 转化为2PM u u u u r ，则()22PA PB PC PA PM PA PM +==u u u r u u u r u u u r u u u r u u u u r u u u r u u u u rg g g ，怎么求PA PM u u u r u u u u rg 的最小值呢？如图2，设AM 的中点为N ，则()()()()22222113324444PA PM PA PM PA PM PN MA PN ⎡⎤⎡⎤=+--=-=--⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣≥⎦u u u r u u u u r u u u r u u u u r u u u r u u u u r u u u r u u u r u u u r g ，当且仅当20PN =u u u r ，即P 与N 重合（P 为AM 的中点）时取等号，故PA PM u u u r u u u u r g 的最小值为34-，所求最小值为33242⎛⎫⨯-=- ⎪⎝⎭，选B. 注：（1）转化PA PM u u u r u u u u r g 时用到了极化恒等式()()2214PA PM PA PM PA PM⎡⎤=+--⎢⎥⎣⎦u u u r u u u u r u u u r u u u u r u u u r u u u u r g ，其一般形式为()()2214a b a b a b ⎡⎤=+--⎢⎥⎣⎦r r r r r r g ；（2）PA PM u u u r u u u u r g 也可这样转化： PA PM =u u u r u u u u r g ()()PN NA PN NM ++u u u r u u u r u u u r u u u u r g ()()PN NA PN NA =+-u u u r u u u r u u u r u u u r g 22234PN NA PN =-=-u u u r u u u r u u u r .图2类题：已知动点M 是腰长为2的等腰直角三角形ABC ∆（C ∠为直角）的三边上的动点，则(+)MA MB MC ⋅u u u r u u u r u u u u r的取值范围是（）A ．1[,0]2- B ．[0,4] C ．1[,4]2-D．答案：C解析：取AB 中点D ，CD 中点E ，则(+)MA MB MC ⋅u u u r u u u r u u u u r2MD MC =⋅u u u u r u u u u r()()22124MD MCMD MC ⎡⎤=⨯+--⎢⎥⎣⎦u u u ur u u u u r u u u u r u u u u r 22214212ME CD ME ⎡⎤=-=-⎢⎥⎣⎦u u u r u u u r u u u r7. ***如图，在凸四边形ABCD 中，66AB AD BD ⋅==u u u r u u u r ，，O 是BD 的中点，且3AO OC =u u u r u u u r，则CB CD ⋅u u u r u u u r等于（）A ．115- B ．89-C ．223-D ．83解析：22(+)()4AB AD AB AD AB AD --⋅=u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r 222494AO DB AO -==-u u u r u u u ru u u r 6=22(+)()4CB CD CB CD CB CD --⋅=u u u r u u u r u u u r u u u ru u u r u u u r 29CO =-u u u r 223=-.8. ***（2013年浙江高考理）ABC ∆中0P 是边AB 上一定点，满足014P B AB =，且对于边AB 上任取的一点P ，恒有00PB PC P B PC ⋅≥⋅u u u r u u u r u u u r u u u r，则( )A ．B ．C ．D ．【答案】D解析：法1：【将式子转化为与某一个变量有关系的式子，即函数式.由已知条件，当14PB AB =时，函数式子取最大值】设,PB x BC a ==，作CH AB ⊥，则cos BH a B =.则22()cos PB PC PB PB BC PB BP BC x xa B ⋅=⋅+=-⋅=-u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r由题意，当且仅当111cos 224x a B BH AB ===时，上式有最小值.此时，H 也为AB 的中点，故AC BC =.法2：由题意，设|→AB |=4，则|→P 0B |=1，过点C 作AB 的垂线，垂足为H ，在AB 上任取一点P ，设HP 0=a ，则由数量积的几何意义可得，→PB ∙→PC =|→PH ||→PB |=(|→PB | −(a +1))|→PB |，→P 0B ∙→P 0C =−|→P 0H ||→P 0B |=−a ，于是→PB ∙→PC ≥→P 0B ∙→P 0C 恒成立，相当于(|→PB |−(a +1))|→PB |≥−a 恒成立，整理得|→PB |2−(a +1)|→PB |+a ≥0恒成立，只需∆=(a +1)2−4a =(a −1)2≤0即可，于是a =1，因此我们得到HB =2，即H 是AB 的中点，故△ABC 是等腰三角形，所以AC =BC法3：如图建系，设(,0),(,),(,0)C C B b C x y P x ， 2()CCPB PC x b x x bx ⋅=-++u u u r u u u r ，当且仅当24C b x b x +==时，上式取最小值，此时2C bx =，故AC BC =. 法4：以AB 中点为坐标原点建系也可，同法2.法5: 极化恒等式 224=()()a b a b a b ⋅+--r r r r r r如图，取线段BC 的中点M ，则22224=()()4PB PC PB PC PB PC PM BC ⋅+--=-u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r ，要使得4PB PC ⋅u u u r u u u r 的值最小，只需24PM u u u u r 取最小值.因为P 是线段AB 上动点，所以只有当PM AB⊥时，PM u u u u r取得最小值，且点P 与点0P 必须重合，M 是线段BC 的中点，只有AC=BC 时才能成立.090=∠ABC 090=∠BAC AC AB =BC AC =CBAHC BAxPy9. ***（2012年安徽卷）若平面向量,a b r r 满足23a b -r r≤，则a b ⋅r r 的最小值是_________.解析：2212(2)(2)4a b a b a b ⎡⎤⋅=+--⎣⎦r r r r r r 219(2)44a b ---r r ≥≥.所以98a b ⋅-r r ≥.A.32+ B. 12+ C. 322+ D. 122+解：法1：全部与圆心联系起来，基本定义设AB 中点为D ，=()()PA PB PO OA PO OB ⋅+⋅+u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u uu r22PO PO OD OA OB =+⋅+⋅u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r1122PO OD =+⋅+u u u r u u ur 3,2PO OD =<>u u u r u u u r，∵cos ,[1,1]PO OD <>∈-u u u r u u u r ，∴PA PB ⋅u u u r u u u r的范围为33[22.法2：建立坐标系，需要用到辅助角公式以O 点为原点，OA 为x 轴建立平面直角坐标系，则1(1,0),(,)22A B ，（也可设点11),)22A B -）设(cos ,sin ),02P αααπ≤<，则1(1cos ,sin ),(cos sin ),2PA PB αααα=--=--u u u r u u u r 1(1cos )(cos )(sin sin )2PA PB αααα⋅=--+--u u u ru u u r33cos 222αα=--313(sin )222αα=+3)23πα=+∵1sin()13πα-≤+≤，∴333)2232πα≤+≤，故PA PB ⋅u u u r u u u r 的范围为33[3,3]22-+.法3：建立坐标系，设点3131(,),(,)22A B -，(,)P x y ， 332PA PB x ⋅=-u u u r u u u r法4：转化为求三角形的面积的最大值，使用余弦定理和基本不等式cos cos30PA PB PA PB APB PA PB ⋅=⋅∠=⋅u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r 32PA PB =⋅u u u r u u u r ，根据余弦定理和基本不等式2220cos302PA PB AB PA PB +-⋅=u u u r u u u r 12PA PB ⋅-≥，法5：转化为求三角形的面积的最大值，使用余弦定理和基本不等式求32PA PB ⋅u u ur u u u r 的最大值也即求三角形的面积的最大值，也即求点 P 到AB 距离的最大值法6：与三角形中点联系起来设AB 中点为D ，则=()()PA PB PD DA PD DB ⋅+⋅+u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r =()()PD DA PD DA +⋅-u u u r u u u r u u u r u u u r22214PD DA PD =-=-u u u r u u u r u u u r易知，PD u u u r 的范围是33[1,1]-+，故PA PB ⋅u u u r u u u r 的范围为33[3,3]22-+.11. ***（2011年浙江卷）已知直线AB 与抛物线24y x =交于点,A B ，点M 为AB 的中点，C 为抛物线上一个动点，若0C 满足{}00min C A C B CA CB ⋅=⋅u u u u r u u u u r u u r u u u r，则下列一定成立的是（）A.0C M AB ⊥B.0C M l ⊥u u u u u r，其中l 是抛物线过0C 的切线C.00C A C B ⊥D.0C M AB = 答案 D解析如图所示，极化恒等式 CA →·CB →＝(AM →－CM →)·(BM →－CM →)＝CM →2－(BM →＋AM →)·CM →＋AM →·BM →＝CM →2－14AB →2，当直线AB 一定时，当且仅当|CM →|取得最小值时，使得CA →·CB →取最小值，只有当C M ⊥l 时，|CM →|取得最小值，故选D.【注】本题实质上就是求抛物线上一点到其内一点距离的最小值下面用两种方法来证明，法1：几何分析法，只需证明CM 不与l 垂直时，有比CM 还要短的. 这一招太聪明了，如果直接证明CM 最短很不好证. 设过点C '的切线为l ',此时C M '不与l '垂直，作MH l '⊥，交抛物线于点1C .则1MC MH MC MC '>>>. 法2：求导运算22200()()CM x x y y =-+-2222000022x x x x y y y y =-++-+22222200002222y y x x y y y y ⎛⎫=-++-+ ⎪⎝⎭22222200002222y y x x y y y y ⎛⎫=-++-+ ⎪⎝⎭()f y =300()2(1)20f y y x y y '=+--=时，上式有最小值？？？？【注】此处如何整理出 CM ⊥CA 时，0011y y x x y-⋅=--，整理得3002(1)20y x y y +--=，两条件相同. 12. 已知圆O 的半径为2，,P Q 是圆O 上任意两点，且060POQ ∠=，AB 是圆O 的一条直径，若点C满足(1)OC OP OQ λλ=-+u u u r u u u r u u u r，则CA CB ⋅u u r u u u r 的最小值是（） A ．1- B ．2- C ．3- D ．4-解析：由(1)OC OP OQ λλ=-+u u u r u u u r u u u r 得，点C 在PQ 上，24CA CB CO ⋅=-u u r u u u r易得当且仅当C 为PQ 中点时，CO 有最小值1-.变式：已知圆O 的半径为2，,P Q 是圆O 上任意两点，且060POQ ∠=，AB 是圆O 的一条直径，若点C 满足(1)OC OP OQ λλ=-+u u u r u u u r u u u r，则CA CB ⋅u u r u u u r 的最小值是（）A ．1-B ．2-C ．3-D ．4-解析：设OP OP '=-u u u r u u u r ，所以(1)(1)OC OP OQ OP OQ λλλλ'=-+=-+u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r，点C 在P Q '上，24CA CB CO ⋅=-u u r u u u r易得当且仅当C 为PQ 中点时，CO 有最小值3-. 【三. 三角形向量中线公式和中点转化】13. ***点O 是ABC ∆的三边中垂线的交点，a ，b ，c 是角A ，B ，C 的对边，已知2220,13b b c b -+=<<，则BC AO u u u r u u u rg 的范围是____________．解析：O 是ABC ∆的外心，设BC 中点为M ，则OM BC ⊥()BC AO BC AM MO BC AM u u u r u u u r u u u r u u u u r u u u u r u u u r u u u u r g g g =+=2211()()()22AC AB AC AB b c u u u r u u u r u u u r u u u r g =-+=-2b b =-.因为2220b b c -+=，所以2220c b b =->，所以02b <<，又13b <<，所以12b <<.所以BC AO u u u r u u u rg 的范围是（0，2）.14. 已知圆22:1C x y +=，点00(,)P x y 是直线:3240l x y +-=上的动点，若在圆C 上总存在两个不同的点,A B ，使OA OB OP +=u u u r u u u r u u u r，则0x 的取值范围是（）A ．24(0,)13B ．24(,0)13- C ．13(0,)24 D ．13(0,)12 答案：A【解析】法1：如图，∵OA OB OP +=u u u r u u u r u u u r；∴OP 与AB 互相垂直平分，∴圆心到直线AB 的距离122020<+y x ；∴42020<+y x ①；又042300=-+y x ；∴00232x y -=，代入①得：4232202<⎪⎭⎫ ⎝⎛-+x x ；解得132400<<x ；∴0x 的取值范围是24(0,)13．故选：A ．法2：OP=2时，是临界状态，求出即可.15. ***在ABC ∆中，D 是BC 边上任意一点（D 与B ，C 不重合），且22+AB AD BD DC =⋅，则ABC∆一定是（）A ．直角三角形B ．锐角三角形C ．等腰三角形D ．等边三角形解析：类似于平方差公式，22AB AD -表示成向量的平方22AB AD -u u u r u u u r ，可以转化运算 22+AB AD BD DC =⋅u u u r u u u r u u u r u u u r ,220AB AD BD DC --⋅=u u u r u u u r u u u r u u u r ,()0DB AB AC ⋅+=u u u r u u u r u u u r，故是等腰，选C.16. （1）已知圆直径=6AB ，O 点为圆心，C 为半径上不同于A 、B 的任意一点，若P 为半径OC 上的动点，(+)PA PB PC ⋅u u u r u u u r u u u r的最小值是_________.解：(+)2PA PB PC PO PC ⋅=⋅u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r 262PO PO =-+92-≥.（2）已知圆半径为1，圆上的弦AB 长为1，P 为圆上的动点，PA PB ⋅u u u r u u u r的最大值是（）A.332+ B. 132+ C. 332+ D. 132+ 解：设AB 中点为D ，则=()()PA PB PD DA PD DB ⋅+⋅+u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r =()()PD DA PD DA +⋅-u u u r u u u r u u u r u u u r22214PD DA PD =-=-u u u r u u u r u u u r易知，PD u u u r 的范围是33[1,1]-+，故PA PB ⋅u u u r u u u r 的范围为33[3,3]22-+. 17. （1）已知直角梯形ABCD ，AD ∥BC ，090BAD ∠=，AD=2，BC=1，P 是腰AB 上的动点，则+PC PD u u u r u u u r的最小值为_____. 法1：建系，设(0,)P b法2：取CD 中点Q ，+2PC PD PQ =u u u r u u u r，易得P 是AB 的中点时取最小.（2）已知点A ，B ，C 在圆221x y +=上运动，且AB BC ⊥，若点P 的坐标为(2,0)，则PA PB PC ++u u u r u u u r u u u r的最大值为（）A.6B.7C.8D.9 【答案】B.法2：因AB BC ⊥，所以AC 为直径，O 为AC 中点，2PA PB PC PO PB ++=+u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r，当(1,0)B -时，最大，为7.18. ***如图，在梯形ABCD 中，CD AB //，2=AB ，4=CD ，5==AD BC ，E ，F 分别是AD ，BC 的中点，对于常数λ，在梯形ABCD 的四条边上恰有8个不同的点P ，使得λ=⋅PF PE 成立，则实数λ的取值范围是（）A ．)209,45(-- B ．)411,45(- C ．)411,41(- D ．)41,209(-- 答案：D【解析】法1：以CD 中点为坐标原点，CD 所在直线为x 轴建立直角坐标系，则33(1,2),(1,2),(2,0),(2,0),(,1),F(,1)22A B C D E ---，当P 在CD 边上时，设(,0),||(0,2)P x x ∈，则25511(,)444PE PF x λ=⋅=-∈-u u u r u u u r，对应值都有两个；当P 在AB 边上时，设(,2),||(0,1)P x x ∈，则2551(,)444PE PF x λ=⋅=-∈--u u u r u u u r ，对应值都有两个；当P 在BC 边上时，设(,42),(1,2)P x x x -∈，则2275124PE PF x x λ=⋅=-+u u u r u u u r ，当91(,)204λ∈--时，每一个λ都有两个x 与之对应；根据对称性，当P 在AD 边上时，同P 在BC 边上时.综上，若有8个不同的点P ，使得λ=⋅PF PE 成立，则实数λ的取值范围是9151191(,)(,)(,)20444204---=--I ，选D. 法2：（巧取中点转化，极化恒等式）取EF 中点H ，取AB 中点M ，取CD 中点N ，1MH NH == 则()()PE PF PH HE PH HF ⋅=+⋅+u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r 2212PH HE =-u u u r u u u r 2214PH EF =-u u u r u u u r 29=4PH -u u u r ，当P 在AB 边上时，2951=(,)444PE PF PH λ=⋅-∈--u u u r u u u r u u u r ，根据对称性，对应值都有两个；当P 在CD 边上时，29511(,)444PH λ=-∈-u u u r ，根据对称性，对应值都有两个；当P 在AD 边上时，PH 的最小值即H 到AD 的距离，由等积法min 5PH =，又2AH =，当(,2)5PH ∈时，91(,)204λ∈--，对应值都有两个；根据对称性，当P 在AD 边上时，同P 在BC 边上时. 综上，若有8个不同的点P ，使得λ=⋅PF PE 成立，则实数λ的取值范围是9151191(,)(,)(,)20444204---=--I ，选D. 19. 如图，在同一平面内，点P 位于两平行直线l 1，l 2同侧，且P 到l 1，l 2的距离分别为1,3.点M ，N 分别在l 1，l 2上，|PM →＋PN →|＝8，则PM →·PN →的最大值为( ) A ．15 B ．12 C ．10 D ．9 答案 A解析：取MN 中点O ，则()142PO PM PN =+=u u u r u u u ur u u u r ，1OM u u u u r ≥ ()()PM PN PO OM PO ON =++u u u u r u u u r u u u r u u u u r u u u r u u u rg g 22216PO OM OM =-=-u u u r u u u u r u u u u r 22216PO OM OM =-=-u u u r u u u u r u u u u r20. ***已知ABC ∆的面积为2，E,F 是AB ，AC 的中点，P 为直线EF 上任意一点，则2PB PC BC ⋅+u u u r u u u r u u u r 的最小值为（）A ．2B ．3C ．23D ．4 解析：法1：巧取中点转化法，极化恒等式取BC 中点D ，设底边BC 的高为h ，则12PD h ≥，22()()PB PC BC PD DB PD DC BC +=+++u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r g g222PD DB BC =-+u u u r u u u r u u u r 2234PD BC =+u u u r u u u r 2222313444PD BC h BC =++u u u r u u u r u u u r ≥==≥ 法2：建立平面直角坐标系(如图所示)，【四、极化恒等式在立体几何中的应用】21. 正方体1111ABCD A B C D -的棱长为2，MN 是它内切球的一条弦（把球面上任意2点之间的线段称为球的弦），P 为正方体表面上的动点，当弦MN 最长时，PM PN ⋅u u u u r u u u r 的最大值为_________.解析：设球心为O ，易得球的半径1R =，2221=(2)14PM PN PO R PO ⋅-=-u u u u r u u u r u u u r u u u r ，易得PO PM PN ⋅u u u u r u u u r 的最大值为2.22. 点P 是棱长为1的正方体1111ABCD A B C D -的底面1111A B C D 上一点，则PA PC ⋅u u u r u u u r 的取值范围是_________.解析：设AC 的中点为M ，224PA PC PM AC ⋅=-u u u r u u u r u u u u r u u u r 242PM =-u u u u r 1,12⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦23.24.。

极化恒等式

例2 2013 浙江省理科第7题
在
ABC
中，
P0
是边
AB
上一定点，满足
P0 B
1 4
AB
，且对
于边 AB 上任一点 P ，恒有 PB PC P0B P0C ，则（ D ）
A. ABC 90 B.BAC 90 C. AB AC D. AC BC
C
A
P
P0 B
（2011 年上海数学竞赛）在正三角形 ABC中， D 是 BC 上点，
a b
1 4
ab
2
a
b
2
向量数量积
平行四边形模型三角形模型
（2）两大思想：数形结合等价转化
例：如图，边长为1正方形ABCD顶点A, D分别在x轴, y轴(含原点)滑动，则OB OC的最大值为
解：4OB OC (OB OC )2 (OB OC )2 4 | OE |2 1 4(1 1 )2 1 8 2
因而有 : OB OC 2
法二：建系，令OAD＝， OB＝(cos sin , cos ),OC＝(sin , cos sin )
(2016年测试卷)已知向量a,b及实数t，满足 | a tb | 3, 若a b 2，则t的最大值为
2t a tb 1 [(a tb)2 (a tb)2 ] 9 | a |2 9
练一练：
1.（2014年7月学考）：已知RT ABC的斜边AB的长为4，
设P是以C为圆心，1为半径的圆上任意一点，
求PA PB的取值范围。
PA PB[3,5]
2.在ABC中，AB＝8，BC＝10，AC＝6，P点在平面ABC内，
且PB PC＝－9，则 | PA |的取值范围为

极化恒等式专题(含试题详解)

极化恒等式作业详解 1. 在三角形ABC 中，D 为AB 中点，90,4,3C AC BC ︒∠===，E,F 分别为BC,AC 上的动点，且EF=1，则DE DF ⋅最小值为______【答案】154【解析】设EF 的中点为M ，连接CM ，则1||2CM =，即点M 在如图所示的圆弧上，则222211115||||||||4244DE DF DM EM DM CD ⋅=-=---=≧ 2. 设三角形ABC ，P 0是边AB 上的一定点，满足P 0B=14AB,且对于边AB 上任一点P ，恒有00PB PC P B PC ⋅≥⋅,则三角形ABC 形状为_______.【答案】C 为顶角的等腰三角形.【解析】取BC 的中点D ，连接PD,P 0D.00PB PC P B PC ⋅⋅2222011||||||44PD BC P b BC ∴--0||PD P D ∴ 0P D AB ∴⊥,设O 为BC 的中点，OC AB AC BC ∴⊥∴=即三角形ABC 为以C 为顶角的等腰三角形.3. 已知ABC ∆是边长为2的等边三角形，P 为平面ABC 内一点，则()PA PB PC ⋅+的最小值是_____【答案】32- 【解析】设BC 的中点为O ，OC 的中点为M,连接OP,PM,222133()22||||2||222PA PB PC PO PA PM AO PM ∴⋅+=⋅=-=-≥- 当且仅当M 与P 重合时取等号4. 直线0ax by c ++=与圆220:16x y +=相交于两点M,N,若222c a b =+，P 为圆O 上任意一点，则PM PN ⋅的取值范围为_______【答案】[6,10]- 【解析】圆心O 到直线0ax by c ++=的距离为22||1c d a b ==+设MN 的中点为A ，222||||||15PM PN PA MA PA ⋅=-=-||||||||||OP OA PA OP OA -+23||5,||15[6,10]PA PM PN PA ∴⋅=-∈-5. 如图，已知B,D 是直角C 两边上的动点，,||3,AD BD AD ⊥=,6BAD π∠=12()CM CA CB =+1()2CN CD CA =+，则CM CN ⋅的最大值为______【答案】1(134)4+ 【解析】设MN 的中点为G ，BD 的中点为H ，22213()(3)24611HG =+= 21||4CM CN CG ⋅=-221||||16MN CG =- 211311311||||||(134)2424164CG CH HG CM CN ⎛⎫+=+∴⋅+-=+ ⎪ ⎪⎝⎭所以CM CN ⋅的最大值为1(134)4+。

极化恒等式

公众号：2020押题获取更多免费押题卷
OE2
-
1
2
2
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由三角形两边和大于第三边可以得到： OE≤OF+EF OF 为直角三角形 OAD 的中线，所以 OF= 1
2 EF=1
所以：
OB
OC
பைடு நூலகம்
的最大值为
2
例 2：
我们在此题的基础上增加一点难度：求 PC PD 的最小值和最大值
解答：根据“极化恒等式”的方法，我们找到斜边 CD 的中点 O 点，则
PC PD = PO2 OD2
其中 OD=1 故我们只需要判断 PO 的最大值与最小值根据三角形两边和大于第三边，我们得到： 1）PO≤AP+AO 2）PO+AO≥AO
(其中 AP=1,AO= 5 )
所以 PO 的最大值为（ 5 +1），最小值为（ 5 -1）
故： PC PD 的最大值为（5+2 5 ），最小值为（5+2 5 ）
1 极化恒等式的推导：
极化恒等式
(如图，有向量 OA 与向量 OB,两向量之和为 OD,其中 E 为 AB,OD 的中点)
2 使用条件：共起点内积 3 适用于：平面向量，空间向量 3 使用方法：找斜边中点，再使用公式代入 4 例 1：
解析：取 BC 的中点 E，AD 的中点为 F
OB OC
OE2
EC2 =

妙用极化恒等式解决平面向量数量积问题

妙用极化恒等式解决平面向量数量积问题【题型归纳目录】题型一：定值问题题型二：范围与最值问题题型三：求参问题以及其它问题【知识点梳理】（1）平行四边形平行四边形对角线的平方和等于四边的平方和：2222||||2(||||)a b a b a b ++-=+ 证明：不妨设,AB a AD b ==，则C A a b =+ ，DB a b =- ()22222C 2AC A a ba ab b ==+=+⋅+ ①()222222DB DB a ba ab b==-=-⋅+ ②①②两式相加得：()()22222222AC DB a b AB AD+=+=+ （2）极化恒等式：上面两式相减，得：()()2214a ba b ⎡⎤+--⎢⎥⎣⎦————极化恒等式①平行四边形模式：2214a b AC DB ⎡⎤⋅=-⎣⎦ 几何意义：向量的数量积可以表示为以这组向量为邻边的平行四边形的“和对角线”与“差对角线”平方差的14.②三角形模式：2214a b AM DB ⋅=- （M 为BD 的中点）AB CM 【典型例题】题型一：定值问题例1．（2023·全国·高三专题练习）如图，在ABC 中，D 是BC 的中点，E 、F 是AD 上的两个三等分点，·4BA CA = ，·1BF CF =-，则·BE CE 的值是（）A ．4B ．8C ．78D ．34例2．（2023·全国·高三专题练习）如图，在ABC 中，D 是BC 边的中点，E ，F 是线段AD的两个三等分点，若7BA CA ⋅= ，2BE CE ⋅= ，则BF CF ⋅=（）A ．2-B ．1-C ．1D ．2例3．（2023·全国·高一假期作业）如图，在平行四边形ABCD 中，1,2AB AD ==，点,,,E F G H分别是,,,AB BC CD AD 边上的中点，则EF FG GH HE ⋅+⋅=A ．32B ．32-C ．34D ．34-题型二：范围与最值问题例4．（2023·山东师范大学附中模拟预测）边长为1的正方形内有一内切圆，MN 是内切圆的一条弦，点P 为正方形四条边上的动点，当弦MN 的长度最大时，PM PN ⋅的取值范围是_________.例5．（2023·湖北省仙桃中学模拟预测）如图直角梯形ABCD 中，EF 是CD 边上长为6的可移动的线段，4=AD ，AB =12BC =，则BE BF ⋅的取值范围为________________.例6．（2023·陕西榆林·三模（文））四边形ABCD 为菱形，30BAC ∠=︒，6AB =，P 是菱形ABCD 所在平面的任意一点，则PA PC ⋅的最小值为________.例7．（2023·重庆八中模拟预测）ABC 中，3AB =，4BC =，5AC =，PQ 为ABC 内切圆的一条直径，M 为ABC 边上的动点，则MP MQ ⋅的取值范围为（）A ．[]0,4B ．[]1,4C ．[]0,9D ．[]1,9题型三：求参问题以及其它问题例8．（2023春·江苏扬州·高一期末）在ABC 中，26AC BC ==，ACB ∠为钝角，M ，N 是边AB 上的两个动点，且2MN =，若CM CN ⋅的最小值为3，则cos ACB ∠=_________．例9．（2023·全国·高三专题练习）在ABC 中，24AC BC ==，ACB ∠为钝角，,M N 是边AB 上的两个动点，且1MN =CM CN ⋅ 的最小值为34，则cos ACB ∠=__________．例10．（2023·全国·高一）设三角形ABC ，P 0是边AB 上的一定点，满足P 0B =14AB ，且对于边AB 上任一点P ，恒有00PB PC P B P C ⋅≥⋅，则三角形ABC 形状为___________.【同步练习】一、单选题1．（2023春·江西·高三校联考阶段练习）已知点P 在棱长为2的正方体表面上运动，AB 是该正方体外接球的一条直径，则PA PB ⋅的最小值为（）A ．-2B ．-3C ．-1D ．02．（2023秋·浙江湖州·高三安吉县高级中学校考期末）已知正方形ABCD 的边长为2,MN 是它的外接圆的一条弦，点P 为正方形四条边上的动点，当弦MN 的长度最大时，PM PN ⋅的取值范围是（）A ．[]1,0-B ．⎡⎣C ．[]1,2D ．[]1,1-3．（2023春·四川广安·高三校考开学考试）如图，在边长为4的等边ABC 中，点E 为中线BD 的三等分点（靠近点B ），点F 为BC 的中点，则FE EC ⋅=（）A ．4B ．56-C ．103-D ．–34．（2023·贵州贵阳·统考模拟预测）如图，在ABC 中，26,3,,23AB AC BAC BD DC π==∠==，则AB AD ⋅=（）A ．18B ．9C ．12D ．65．（2023·广东·高三校联考阶段练习）八角星纹是大汶口文化中期彩陶纹样中具有鲜明特色的花纹.八角星纹常绘于彩陶盆和豆的上腹，先于器外的上腹施一圈红色底衬，然后在上面绘并列的八角星形的单独纹样.八角星纹以白彩的成，黑线勾边，中为方形或圆形，且有向四面八方扩张的感觉.八角星纹延续的时间较长，传播范围亦广，在长江以南的时间稍晚的崧泽文化的陶豆座上也屡见刻有八角大汶口文化八角星纹.图2是图1抽象出来的图形，在图2中，圆中各个三角形（如ACD ）为等腰直角三角形，点O 为四心，中间部分是正方形且边长为2，定点A ，B 所在位置如图所示，则AB AO ⋅的值为（）A ．10B ．12C ．14D ．166．（2023秋·辽宁葫芦岛·高三葫芦岛第一高级中学校考期末）如图，在四边形ABCD 中，4AC = ，12BA BC ⋅= ，E 为AC 中点.2BE ED =，求DA DC ⋅ 的值（）A ．0B ．12C ．2D ．67．（2023秋·重庆南岸·高三重庆市第十一中学校校考阶段练习）如图，在ABC 中，60ABC ∠=︒，3AB =，4BC =，M 是BC 边上的中点，P 是AM 上一点，且满足13BP BA mBC =+ ，则BP AM ⋅=（）．A ．43B ．13C ．13-D ．43-8．（2023·浙江·永嘉中学校联考模拟预测）已知ABC 是边长为1的正三角形，2BD DC =，AB +AC =2AE ，则AE AD ⋅=（）A ．34B ．32C ．38D ．19．（2023·四川绵阳·统考二模）如图，在边长为2的等边ABC 中，点E 为中线BD 的三等分点（靠近点B ），点F 为BC 的中点，则FE EC ⋅=（）A．B．56-C．34D．12二、填空题10．（2023春·河北邢台·高三邢台市第二中学校考阶段练习）如图，在梯形ABCD中，//AB DC，1AD BC==；2AB=，π3ABC∠=，E是BC的中点，则DB AE⋅=_________．11．（2023秋·河北石家庄·高二统考期末）已知AB为圆()22:11C x y-+=的直径，点P为直线20x y-+=上的任意一点，则PA PB⋅的最小值为______．12．（2023·全国·模拟预测）已知在△ABC中，∠BAC=60°，点D为边BC的中点，E，F分别为BD，DC的中点，若AD=1，则AB AF AC AE⋅+⋅的最大值为______．13．（2023·浙江·校联考模拟预测）在ABC中，E为边BC中点，若8BC=，ACE△的外接圆半径为3，则22AB AC+的最大值为________.14．（2023·全国·高一专题练习）在平行四边形ABCD中，3Aπ∠=，边AB、AD的长分别为2、1，若M、N分别是边BC、CD上的点，且满足BM CNBC CD=，则AM AN⋅的取值范围是______.15．（2023秋·江苏苏州·高二统考期末）已知圆O的直径AD上有两点B、C，且有2AB BC CD===，MN为圆O的一条弦，则BM CN⋅的范围是______.16．（2023秋·天津静海·高三静海一中校考期末）在等腰梯形ABCD中，已知//,2,1,60AB DC AB BC ABC==∠=︒，动点E和F分别在线段BC和DC上，且1,6BE BC DFλλ==，则AE AF⋅的最大值为__________．17．（2023秋·天津南开·高三统考阶段练习）已知平行四边形ABCD中，2,45AB DAB==∠= ，E是BC的中点，点P满足2AP AE AD=-，则||PD=________；PE PD ⋅=__________．18．（2023秋·天津南开·高三校考阶段练习）如图在ABC 中，90ABC ∠= ，8BC =，12AB =，F 为AB 中点，E 为CF 上一点.若3CE =，则EA EB ⋅=______；若()01CE CF λλ=≤≤ ，则EA EB ⋅的最小值为______.三、解答题19．（2023·高一单元测试）在Rt ABC 中，已知斜边BC a =，若长为2a 的线段PQ 以点A为中点，求BP CQ ⋅ 的最大值．参考答案【典型例题】题型一：定值问题例1．（2023·全国·高三专题练习）如图，在ABC 中，D 是BC 的中点，E 、F 是AD 上的两个三等分点，·4BA CA = ，·1BF CF =-，则·BE CE 的值是（）A ．4B ．8C ．78D ．34【答案】C【解析】因为D 是BC 的中点，E ，F 是AD 上的两个三等分点，所以BF BD DF =+，CF CD DF BD DF =+=-+ ，3BA BD DA BD DF =+=+ ，3CA CD DA BD DF =+=-+，所以()()221BF CF BD DF BD DF DF BD ⋅=+⋅-+=-=- ，()()22·3394BD DF BD DF DF B A D BA C =+⋅-+=-= ，可得258DF = ，2138BD =，又因为2BE BD DE BD DF =+=+ ，2CE CD DE BD DF=+=-+所以()()225137224488·8BD DF BD DF DF BD BE CE =+⋅-+=-=⨯-= ，故选：C ．例2．（2023·全国·高三专题练习）如图，在ABC 中，D 是BC 边的中点，E ，F 是线段AD的两个三等分点，若7BA CA ⋅= ，2BE CE ⋅= ，则BF CF ⋅=（）A ．2-B ．1-C ．1D ．2【答案】B【解析】依题意，D 是BC 边的中点，E ，F 是线段AD 的两个三等分点，则222211436=72244AD BC FD BC BA CA BC AD BC AD --⎛⎫⎛⎫⋅=-⋅-== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭-，22221141223232269414FD BC BE CE BC AD BC AD AD BC -⋅=⋅--=-⎛⎫⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭== ，因此221,8FD BC == ，221144181.2244FD BC BF CF BC FD BC FD -⨯-⎛⎫⎛⎫⋅=-⋅--===- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭故选：B.例3．（2023·全国·高一假期作业）如图，在平行四边形ABCD 中，1,2AB AD ==，点,,,E F G H分别是,,,AB BC CD AD 边上的中点，则EF FG GH HE ⋅+⋅=A ．32B ．32-C ．34D ．34-【答案】A【解析】取HF 中点O ，则222131(24EF FG EF EH EO OH ⋅=⋅=-=-=,222131()24GH HE GH GF GO OH ⋅=⋅=-=-= ，因此32EF FG GH HE ⋅+⋅= ，选A.题型二：范围与最值问题例4．（2023·山东师范大学附中模拟预测）边长为1的正方形内有一内切圆，MN 是内切圆的一条弦，点P 为正方形四条边上的动点，当弦MN 的长度最大时，PM PN ⋅的取值范围是_________.【答案】10,4⎡⎤⎢⎥⎣⎦【解析】如下图所示：设正方形ABCD 的内切圆为圆O ，当弦MN 的长度最大时，MN 为圆O 的一条直径，()()22214PM PN PO OM PO OM PO OM PO ⋅=+⋅-=-=- ，当P 为正方形ABCD 的某边的中点时，min12OP=，当P 与正方形ABCD的顶点重合时，max2OP=，即122OP ≤≤ ，因此，2110,44PM PN PO ⎡⎤⋅=-∈⎢⎥⎣⎦ .故答案为：10,4⎡⎤⎢⎥⎣⎦.例5．（2023·湖北省仙桃中学模拟预测）如图直角梯形ABCD 中，EF 是CD 边上长为6的可移动的线段，4=AD，AB =12BC =，则BE BF ⋅的取值范围为________________.【答案】[]99,148【解析】在BC 上取一点G ，使得4BG =，取EF 的中点P ，连接DG ，BP ，如图所示：则DG =8GC =，16CD ==，tanBCD ∠=60BCD ∠= .()()()22222112944BE BF BE BF BE BF BP FE BP ⎡⎤⎡⎤⋅=+--=-=-⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦ ，当BP CD ⊥时，BP 取得最小值，此时12sin 60BP =⨯=所以()(2min999BE BF⋅=-=.当F 与D 重合时，13CP =，12BC =，则22211213212131572BP =+-⨯⨯⨯= ，当E 与C 重合时，3CP =，12BC =，则222112321231172BP =+-⨯⨯⨯= ，所以()max1579148BE BF ⋅=-= ，即BE BF ⋅ 的取值范围为[]99,148.故答案为：[]99,148例6．（2023·陕西榆林·三模（文））四边形ABCD 为菱形，30BAC ∠=︒，6AB =，P 是菱形ABCD 所在平面的任意一点，则PA PC ⋅的最小值为________.【答案】27-【解析】由题设，=AC AC 的中点O ，连接OA ，OC ，OP ，则PA PO OA =+ ，PC PO OC PO OA =+=- ，所以()()2222727PA PC PO OA PO OA PO OA PO ⋅=+⋅-=-=-≥- .故答案为：27-例7．（2023·重庆八中模拟预测）ABC 中，3AB =，4BC =，5AC =，PQ 为ABC 内切圆的一条直径，M 为ABC 边上的动点，则MP MQ ⋅的取值范围为（）A ．[]0,4B ．[]1,4C ．[]0,9D ．[]1,9【答案】C【解析】由题可知，222AB BC AC +=，所以ABC 是直角三角形，90B ∠=︒，设内切圆半径为r ，则()113434522ABC S r =⨯⨯=⨯++ ，解得1r =，设内切圆圆心为O ，因为PQ 是ABC 内切圆的一条直径，所以1OP = ，OQ OP =- ，则MP MO OP =+，MQ MO MO O OQ P =+=- ，所以()()2221MP MQ MO OP MO OP MO OP MO ⋅=+-=-=- ，因为M 为ABC 边上的动点，所以min 1MO r ==；当M 与C 重合时，max MO 所以MP MQ ⋅的取值范围是[]0,9，故选：C题型三：求参问题以及其它问题例8．（2023春·江苏扬州·高一期末）在ABC 中，26AC BC ==，ACB ∠为钝角，M ，N 是边AB 上的两个动点，且MN =，若CM CN ⋅的最小值为3，则cos ACB ∠=_________．【答案】29-【解析】取线段MN 的中点P ，连接CP ，过C 作CO AB ⊥于O ，如图，112PM MN ==，依题意，()()2221CM CN CP PM CP PM CP PM CP ⋅=+⋅-=-=- ，因CM CN ⋅的最小值为3，则CP 的最小值为2，因此2CO =，在Rt AOC 中，1cos 3CO OCA CA ∠==，sin 3OCA ∠=在Rt BOC 中，2cos 3CO OCB CB ∠==，sin 3OCB ∠=，所以cos cos()cos cos sin sin ACB OCA OCB OCA OCB OCA OCB ∠=∠+∠=∠∠-∠∠29-=.例9．（2023·全国·高三专题练习）在ABC 中，24AC BC ==，ACB ∠为钝角，,M N 是边AB 上的两个动点，且1MN =，若CM CN ⋅ 的最小值为34，则cos ACB ∠=__________．【答案】18-【解析】取MN 的中点P ，取PN PM =- ，12PN PM ==，()()()()214CM CN CP PM CP PN CP PM CP PM CP ⋅=+⋅+=+⋅-=- ，因为CM CN ⋅ 的最小值34，所以min 1CP =．作CH AB ⊥，垂足为H ，如图，则1CH =，又2BC =，所以30B ∠=︒，因为4AC =，所以由正弦定理得：1sin 4A =，cos 4A =，所以()1cos cos 150sin 22ACB A A A ∠=︒-=-+1124=+⨯=故答案为：18-.例10．（2023·全国·高一）设三角形ABC ，P 0是边AB 上的一定点，满足P 0B =14AB ，且对于边AB 上任一点P ，恒有00PB PC P B P C ⋅≥⋅，则三角形ABC 形状为___________.【答案】C 为顶角的等腰三角形【解析】取BC 的中点D ，连接PD ，P 0D，如图所示：22111224PB PC PD BC PD BC PD BC ⎛⎫⎛⎫⋅=+⋅-=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，同理2200014P B P C P D BC ⋅-= ，00PB PC P B P C ⋅≥⋅ ，222201144PD BC P D BC-≥∴- 0PD P D ∴≥0P D AB ∴⊥，设O 为AB 的中点，001//,2P B OB P D OC OC AB AC BC ∴=⇒⇒⊥∴=即三角形ABC 为以C 为顶角的等腰三角形.故答案为：C 【同步练习】一、单选题1．（2023春·江西·高三校联考阶段练习）已知点P 在棱长为2的正方体表面上运动，AB 是该正方体外接球的一条直径，则PA PB ⋅的最小值为（）A ．-2B ．-3C ．-1D ．0【答案】A【解析】由题意可得正方体外接球的直径AB =O 为正方体外接球的球心，则O 为AB 的中点，OA OB =-且OA OB =222()()()3P OA OP OB OP OA OB OA B A PB O OP OP OP OP =-⋅-=⋅-+⋅+=⋅=- ，由212OP ≥=，PA PB ⋅ 的最小值为2132-=-.故选︰A ．2．（2023秋·浙江湖州·高三安吉县高级中学校考期末）已知正方形ABCD 的边长为2,MN 是它的外接圆的一条弦，点P 为正方形四条边上的动点，当弦MN 的长度最大时，PM PN ⋅的取值范围是（）A ．[]1,0-B ．⎡⎣C ．[]1,2D ．[]1,1-【答案】A【解析】当弦MN 的长度最大时，弦MN 过正方形ABCD 的外接圆的圆心O ，因为正方形ABCD 的边长为2，所以圆O 如下图所示：则PM PO OM =+ ，PN PO ON PO OM =+=-，所以，()()22PM PN PO OM PO OM PO OM ⋅=+⋅-=- .因为点P 为正方形四条边上的动点，所以1PO ≤≤又OM = ，所以[]1,0PM PN ⋅∈-，故选：A.3．（2023春·四川广安·高三校考开学考试）如图，在边长为4的等边ABC 中，点E 为中线BD 的三等分点（靠近点B ），点F 为BC 的中点，则FE EC ⋅=（）A ．B ．56-C ．103-D ．–3【答案】C【解析】由已知，4BA = ，4BC =，60ABC ∠= ，所以cos BA BC BA BC ABC ⋅=⋅∠ 14482=⨯⨯=.由已知D 是AC 的中点，所以()12BD BA BC =+，()1136BE BD BA BC ==+，12BF BC = .所以FE BE BF =- ()1162BA BC BC =+-1163BA BC =- ，EC BC BE=- ()16BC BA BC =-+ 1566BA BC =-+ ，所以，11156366FE EC BA BC BA BC ⎛⎫⎛⎫⋅=-⋅-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭22175363618BA BA BC BC =-+⋅-17516816363618310=-⨯+⨯-⨯=-.故选：C.4．（2023·贵州贵阳·统考模拟预测）如图，在ABC 中，26,3,,23AB AC BAC BD DC π==∠==，则AB AD ⋅= （）A ．18B ．9C ．12D ．6【答案】D【解析】2()2B D C BD BD C →→==-，即23BD BC →→=，22123333AD AB BD AB BC AB AC ABAB AC →→→→→→→→→→⎛⎫∴=+=+=+-=+ ⎪⎝⎭，2212122π663cos 6333333123AB AD A A B AB AB AC AB C →→→⎛⎫∴⋅=⋅=+⋅=⨯+⨯⨯⨯= ⎪⎭+⎝ .故选：D5．（2023·广东·高三校联考阶段练习）八角星纹是大汶口文化中期彩陶纹样中具有鲜明特色的花纹.八角星纹常绘于彩陶盆和豆的上腹，先于器外的上腹施一圈红色底衬，然后在上面绘并列的八角星形的单独纹样.八角星纹以白彩的成，黑线勾边，中为方形或圆形，且有向四面八方扩张的感觉.八角星纹延续的时间较长，传播范围亦广，在长江以南的时间稍晚的崧泽文化的陶豆座上也屡见刻有八角大汶口文化八角星纹.图2是图1抽象出来的图形，在图2中，圆中各个三角形（如ACD ）为等腰直角三角形，点O 为四心，中间部分是正方形且边长为2，定点A ，B 所在位置如图所示，则AB AO ⋅的值为（）A ．10B ．12C ．14D ．16【答案】C【解析】如图所示：连接OD ，因为中间阴影部分是正方形且边长为2，且图中各个三角形为等腰直角三角形，所以可得4ADO ODB π∠=∠=，||OD = ||4AD = ，2ADB π∠=则()()··AB AO AD DB AD DO =++ ，23cos cos44AD AD DO DB AD DB DO ππ=++⋅+24421422⎛=+⨯-+⨯= ⎝⎭.故选：C.6．（2023秋·辽宁葫芦岛·高三葫芦岛第一高级中学校考期末）如图，在四边形ABCD 中，4AC = ，12BA BC ⋅= ，E 为AC 中点.2BE ED =，求DA DC ⋅ 的值（）A ．0B ．12C ．2D ．6【答案】A【解析】4AC = ，E 为AC 中点，2AE CE ∴==，()()()()22BA BC BE EA BE EC BE EA BE EA BE EA ⋅=+⋅+=+⋅-=- 2412BE =-= ，4BE ∴= ，122DE BE ∴==，()()()()22DA DC DE EA DE EC DE EA DE EA DE EA ∴⋅=+⋅+=+⋅-=- 440=-=.故选：A.7．（2023秋·重庆南岸·高三重庆市第十一中学校校考阶段练习）如图，在ABC 中，60ABC ∠=︒，3AB =，4BC =，M 是BC 边上的中点，P 是AM 上一点，且满足13BP BA mBC =+ ，则BP AM ⋅=（）．A ．43B ．13C ．13-D ．43-【答案】D【解析】因为P 是AM 上一点，故可设AP AM λ=，因为M 是BC 边上的中点，所以12BM BC =，所以12AM BM BA BC BA =-=- ，()11122BP BA AP BA AM BA BC BA BA BC λλλλλ=+=+=+-=-+ ，又13BP BA mBC =+ ，所以111,32m λλ-==，故13m =，所以()13BP BA BC =+ ，所以()()()221111132322BP AM BA BCBC BA BC BA BC BA ⎛⎫⎛⎫⋅=+⋅-=--⋅ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，因为60ABC ∠=︒，3AB =，4BC =，所以43cos606BC BA ⋅=⨯⨯=，所以111416963223BP AM ⎛⎫⋅=⨯--⨯=- ⎪⎝⎭ ，故选：D.8．（2023·浙江·永嘉中学校联考模拟预测）已知ABC 是边长为1的正三角形，2BD DC =，AB +AC =2AE ，则AE AD ⋅=（）A ．34B ．32C ．38D ．1【答案】A【解析】由2AB +AC =AE，可知E 为BC 中点，所以AE BC ⊥，如图所示：因为2BD DC =，根据上图可知16AD AE ED AE BC=+=+ 21364AE AD AE AE BC AE ⎛⎫⋅=⋅+==⎪⎝⎭故选：A9．（2023·四川绵阳·统考二模）如图，在边长为2的等边ABC 中，点E 为中线BD 的三等分点（靠近点B ），点F 为BC 的中点，则FE EC ⋅=（）A．B ．56-C ．34D ．12【答案】B【解析】由已知，2BA =，2BC = ，60ABC ∠= ，所以cos BA BC BA BC ABC ⋅=⋅∠ 12222=⨯⨯=.由已知D 是AC 的中点，所以()12BD BA BC =+ ，()1136BE BD BA BC ==+ ，12BF BC = .所以FE BE BF =- ()1162BA BC BC =+-1163BA BC =- ，EC BC BE =- ()16BC BA BC =-+ 1566BA BC =-+，所以，11156366FE EC BA BC BA BC ⎛⎫⎛⎫⋅=-⋅-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭22175363618BA BA BC BC=-+⋅-17554243636186=-⨯+⨯-⨯=-.故选：B.二、填空题10．（2023春·河北邢台·高三邢台市第二中学校考阶段练习）如图，在梯形ABCD 中，//AB DC ，1AD BC ==；2AB =，π3ABC ∠=，E 是BC 的中点，则DB AE ⋅= _________．【答案】94【解析】在梯形ABCD 中，依题意，12CD BA =，而E 是BC 的中点，则12DB DC CB BA BC =+=--，12AE BE BA BA BC =-=-+ ，又22AB BC ==，π3ABC ∠=，所以2211113)()2224(2D BA BC BA BC BA B B AE C BA BC ⋅=--⋅-+=-+⋅2113π9221cos 22434=⨯-+⨯⨯⨯=.故答案为：9411．（2023秋·河北石家庄·高二统考期末）已知AB 为圆()22:11C x y -+=的直径，点P 为直线20x y -+=上的任意一点，则PA PB ⋅的最小值为______．【答案】72【解析】圆心()1,0C ，半径为1，且点C 为线段AB 的中点，()()()()2221PA PB PC CA PC CB PC CA PC CA PC CA PC ⋅=+⋅+=+⋅-=-=- ，圆心C 到直线20x y -+=的距离为2d ==当PC 与直线20x y -+=垂直时，PC 取最小值，即21PA PB PC ⋅=- 取最小值，且()()22minmin7112PA PBPC d ⋅=-=-=.故答案为：72.12．（2023·全国·模拟预测）已知在△ABC 中，∠BAC =60°，点D 为边BC 的中点，E ，F 分别为BD ，DC 的中点，若AD =1，则AB AF AC AE ⋅+⋅的最大值为______．【答案】53【解析】设AC =b ，AB =c ，则1||||cos602bc AB AC AB AC ︒⋅=⨯= ，∵D 为边BC 的中点，∴()12AD AB AC =+ ，∴()222124AD AB AB AC AC =+⋅+ ，即：224b c bc ++=，①又∵222b c bc +≥，当且仅当b c =时取等号.②∴由①②得：43bc ≤.又∵E 、F 分别为BD 、DC 的中点，∴231)4(41AD AE AB AB AC +=+= ，231)4(41AD AF AC AC AB +=+= ，∴223131113()()4444442AB AF AC AC AB AB AC A C AE AB C AB AB A AC⋅+⋅=⋅++⋅+=++⋅22131145()11442233b c bc bc =++=+≤+⨯=，当且仅当b c =时取等号.∴AB AF AC AE ⋅+⋅ 的最大值为53.故答案为：53.13．（2023·浙江·校联考模拟预测）在ABC 中，E 为边BC 中点，若8BC =，ACE △的外接圆半径为3，则22AB AC +的最大值为________.【答案】104【解析】如图所示：1()2AE AB AC =+ ，()222124AE AB AC AB AC =++⋅ ，()()22224242AB AC AE AB AC AE A B E E E A EC ++=-⋅=-⋅+ ()()()()22222222424AE AE AE A A EB EB E A B E E E E B =+----⋅==+ 因为8BC =，所以4EB =.因为ACE △的外接圆半径为3，所以6AE ≤，当且仅当AE 为圆直径时等号成立.所以()()2222223616104A C EB B A AE +≤++== ，当且仅当AE 为圆直径时等号成立.故答案为：10414．（2023·全国·高一专题练习）在平行四边形ABCD 中，3A π∠=，边AB 、AD 的长分别为2、1，若M 、N 分别是边BC 、CD 上的点，且满足BM CN BC CD= ，则AM AN ⋅ 的取值范围是______.【答案】[2,5]【解析】如图，建立平面直角坐标系，则(0,0),(2,0)A B ，因为3A π∠=，1AD =，所以122D ⎛ ⎝⎭，522C ⎛ ⎝⎭，设,[0,1]BM CN BC CDλλ==∈，则52,222M N λλ⎛⎫⎛+- ⎪ ⎪ ⎝⎭⎝⎭，所以22532225(1)6224AM AN λλλλλλ⎛⎫⎛⎫⋅=+-+=--+=-++ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭ ，因为[0,1]λ∈，所以2(1)6[2,5]λ-++∈，所以AM AN ⋅ 的取值范围为[2,5]，故答案为：[2,5]15．（2023秋·江苏苏州·高二统考期末）已知圆O 的直径AD 上有两点B 、C ，且有2AB BC CD ===，MN 为圆O 的一条弦，则BM CN ⋅ 的范围是______.【答案】1716,2⎡⎤-⎢⎥⎣⎦【解析】因为圆O 的直径AD 上有两点B 、C ，且有2AB BC CD ===，则BC 的中点为圆心O ，故圆O 的半径为3，()()()()BM CN OM OB ON OC OM OB ON OB ⋅=-⋅-=-+ 1OM ON OB ON OB OM =⋅-⋅+⋅- ，由于()()22222OB ON OM OB OM ON OM ON OB ON OB OM +-=++-⋅-⋅+⋅ ()192OM ON OB ON OB OM =-⋅-⋅+⋅ ，且0OB ON OM OB NM +-=-≥ ，当且仅当OB NM = 时，等号成立，7OB ON OM OB NM OB NM +-=-≤+≤ ，当且仅当OB 、MN 方向相同且MN 为圆O 的直径时，两个等号同时成立，故[]0,7OB ON OM +-∈ ，则()[]1920,49OM ON OB ON OB OM -⋅-⋅+⋅∈ ，所以1915,2OM ON OB ON OB OM ⎡⎤⋅-⋅+⋅∈-⎢⎥⎣⎦ ，所以1716,2BM CN ⎡⎤⋅∈-⎢⎥⎣⎦ .故答案为：1716,2⎡⎤-⎢⎥⎣⎦.16．（2023秋·天津静海·高三静海一中校考期末）在等腰梯形ABCD 中，已知//,2,1,60AB DC AB BC ABC ==∠=︒，动点E 和F 分别在线段BC 和DC 上，且1,6BE BC DF λλ== ，则AE AF ⋅ 的最大值为__________．【答案】3【解析】由题可得图形如下：由于12112AB AD ⋅=⨯⨯= ，21cos02AB DC ⋅=⨯⨯= ，111122AD BC ⋅=⨯⨯= ，111122BC DC ⎛⎫⋅=⨯⨯-=- ⎪⎝⎭，因为1,6BE BC DF DC λλ== ，所以011116016λλλ<≤⎧⎪⇒≤≤⎨<≤⎪⎩，则()()()16AE AF AB BE AD DF AB BC AD DC λλ⎛⎫⋅=+⋅+=+⋅+ ⎪⎝⎭ 11111112666262AB AD AB DC BC AD BC DC λλλλ⎛⎫=⋅+⋅+⋅+⋅=+⨯++⨯- ⎪⎝⎭ 1111232λλ=++，1,16λ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，当且仅当132λλ=，即λ=时取等号，即取最小值，函数1111232y λλ=++在1,63λ⎡∈⎢⎥⎣⎦上单调递减，在λ⎤∈⎥⎝⎦上单调递增，当1λ=时，11111117123212324λλ++=++=；当16λ=时，1111112312321212λλ++=++=，所以AE AF ⋅ 的最大值为3.故答案为：3．17．（2023秋·天津南开·高三统考阶段练习）已知平行四边形ABCD中，2,45AB DAB ==∠= ，E 是BC 的中点，点P 满足2AP AE AD =- ，则||PD = ________；PE PD ⋅= __________．【答案】5【解析】由题意知245AB AD DAB ==∠=，12AE AB AD =+ ，22122AB AD AP AE AD AD AB =+⎛⎫=-- ⎪=⎝⎭ ，2PD AD AP AD AB =-=- ，所以2222244PD AD AB AD AB AD AB --⋅+=＝2242cos 454210-⨯+⨯= =，所以||PD = PE PD ⋅= ()()()1222AE AD AB A AP AP D AB AD AB ⎛⎫⋅=+-- ⎪⎝--⎭ ()122AD AB AD AB ⎛⎫-- ⎪⎝=⎭ ()22211125222AD AB PD ===-⨯= .；518．（2023秋·天津南开·高三校考阶段练习）如图在ABC 中，90ABC ∠= ，8BC =，12AB =，F 为AB 中点，E 为CF 上一点.若3CE =，则EA EB ⋅= ______；若()01CE CF λλ=≤≤ ，则EA EB ⋅ 的最小值为______.【答案】1336-【解析】因为90ABC ∠= ，162BF AB ==，8BC =，则10CF ==，当3CE =时，7EF =，此时()()()()22227613EA EB EF FA EF FB EF FB EF FB EF FB ⋅=+⋅+=-⋅+=-=-= ；()1EF CF CE CF λ=-=- ，则()222213636EA EB EF FB CF λ⋅=-=--≥- ，当且仅当1λ=时，等号成立，故EA EB ⋅ 的最小值为36-.故答案为：13；36-.三、解答题19．（2023·高一单元测试）在Rt ABC 中，已知斜边BC a =，若长为2a 的线段PQ 以点A 为中点，求BP CQ ⋅ 的最大值．【解析】由题意作出图形，如图，因为90BAC ∠= ，所以0AB AC ⋅= ，因为AP AQ =- ，BP AP AB =- ，CQ AQ AC =- ，所以()()BP CQ AP AB AQ AC ⋅=-⋅- ()()AQ AB AQ AC =--⋅- 2AQ AQ AC AB AQ AB AC=-+⋅-⋅+⋅ ()2a AQ AC AB AB AC =-+⋅-+⋅ 2a AQ BC=-+⋅ 212a PQ BC =-+⋅ 22cos ,a a PQ BC =-+ ，故当cos ,1PQ BC = ，即PQ 与BC 同向时，BP CQ ⋅ 取得最大值0．。

高中数学极化恒等式专题习题含答案(图片版)

向量之极化恒等式专题一、极化恒等式原理：代数原理：22()()4a b a b ab +--=向量原理：22()()4a b a b a b +--⋅=ABDC 中有如下向量关系：2222()()44AB AC AB AC AD CB AB AC +---⋅==即：平行四边形临边对应的向量的数量积等于和对角线平方与差对角线平方之差的四分之一在ABC 中有如下向量关系：2222222222()()41=444414AB AC AB AC AD CB AE CB AB AC AE CBAB AC AE CB+----⋅===-⇒⋅=-即：在三角形中相邻两边所在向量的数量积等于相应中线的平方与四分之一对边平方之差。

极化恒等式构建了向量的数量积和几何图形之间的关系，对高考中向量的一类问题可以起到“秒杀”的作用。

备注：ABDC 中还有一组关系22222()AD CB AB AC +=+ ,同学们可以自行推导。

二、极化恒等式秒杀一类向量题赏析：例1.已知Rt ABC ∆的斜边AB 的长为4，设P 是以C 为圆心，1为半径的圆上的任意一点，则PA PB ⋅的取值范围是例2.如图，圆O 为Rt ABC ∆的内切圆，已知03,4,90AC BC C ==∠=，过圆心O 的直线l 交圆于,P Q 两点，则BP CQ ⋅的取值范围是例3.已知点,A B 分别在直线1,3x x ==上，4OA OB -= ,当OA OB +取得最小值时，OA OB ⋅的值为例4.在Rt ABC ∆中，090,3,4,ACB AC AB ∠===若点,A B 分别在直角坐标系的两坐标轴上运动时，OA OC ⋅的最大值是例5.已知,A B 为椭圆2214x y +=的一条动弦，且经过原点，M 为直线34150x y --=上的一个动点，则MA MB ⋅的最小值为例6.在锐角ABC 中，已知3B π∠=，2AB AC -= ，则AB AC ⋅ 的最值范围是例7.在平面上，2121,1AB AB AP AB AB +===⊥21<的取值范围是例8.已知向量c b a ,,()()0,12=-⋅-===c b c a-的取值范围是Ans ：7.⎥⎦⎤⎝⎛227，8..[]17,1-7+，三、牛刀小试1.在ABC 中，M 是BC 的中点，3,10,AM BC AB AC ==⋅=则2.设ABC ，0P 是边AB 上一定点，满足014P B AB =，且对于边AB 上任意一点P ，恒有00PB PC P B P C ⋅≥⋅，则（）A.090ABC ∠= B.090BAC ∠= C.AB AC = D.AC BC=3.如图，已知直线AB 与抛物线24y x =交于点,.A B M 为AB 的中点，C 为抛物线上一个动点，若0C 满足{}00min C A C B CA CB ⋅=⋅，则下列一定成立的是（）A.0C M AB ⊥B.00,C M l l C ⊥其中为抛物线过点的切线C.00C A C B⊥ D.012C M AB =4.在正ABC 中，D 是BC 上的点，3,1AB BD ==，则AB AD ⋅=5.已知,a b 是平面内2个互相垂直的单位向量，若向量c满足()()0a c b c -⋅-= ，则c的最大值是6.设正方形ABCD 的边长为4，动点P 在以AB 为直径的圆弧 APB 上（如图所示），则PC PD ⋅的取值范围是7.（2012苏模拟）在ABC 中，点,E F 分别是线段,AB AC 的中点，点P 在直线EF上，若ABC 的面积为2，则2PC PB BC ⋅+ 的最小值是8.如图，在半径为1的扇形AOB 中，060AOB ∠=，C 为弧上的动点，AB 与OC 交于点P ，则OP BP ⋅的最小值为9.如图放置的边长为1的正方形ABCD 顶点分别在x 轴，y 轴的正半轴（含原点）滑动，则OB OC ⋅的最大值为10.正方体1111ABCD A B C D -的棱长为2，MN 是它内切球的一条弦（把球面上任意2个点之间的线段称为球的弦），P 为正方体表面上的动点，当弦MN 最长时，PM PN ⋅的最大值为11.点P 是棱长为1的正方体1111ABCD A B C D -的底面1111A B C D 上一点，则PA PC ⋅的取值范围是12.若平面向量b a ,满足23a b -≤，则b a ⋅的最小值是13.已知B A ,是单位圆上的两点，O 为圆心，且32π=∠AOB ，MN 是圆O 的一条直径，点O 在圆内，且满足())10(1<<-+=λλλOB OA OC ，则CN CM ⋅的取值范围是14.已知AB 是圆O 的直径,AB 长为2,C 是圆O 上异于,A B 的一点,P 是圆O 所在平面上任意一点,则()PA PB PC +⋅的最小值为Ans ：1.16- 2.D 3.B4.2155.26.[]16,07.328.161-9.210.211.⎥⎦⎤⎢⎣⎡1,2112.49-13.⎪⎭⎫⎢⎣⎡-0,4314.21-。

平面向量的极化恒等式(原卷版)

专题八平面向量的极化恒等式利用向量的极化恒等式可以快速对共起点(终点)的两向量的数量积问题数量积进行转化，体现了向量的几何属性，让“秒杀”向量数量积问题成为一种可能，此恒等式的精妙之处在于建立了向量的数量积与几何长度(数量)之间的桥梁，实现向量与几何、代数的巧妙结合．对于不共起点和不共终点的问题可通过平移转化法等价转化为对共起点(终点)的两向量的数量积问题，从而用极化恒等式解决．1．极化恒等式：a ·b ＝14[(a ＋b )2－(a －b )2]几何意义：向量的数量积可以表示为以这组向量为邻边的平行四边形的“和对角线”与“差对角线”平方差的14．2．平行四边形模式：如图(1)，平行四边形ABCD ，O 是对角线交点．则：(1)AB →·AD →＝14[|AC |2－|BD |2]．3．三角形模式：如图(2)，在△ABC 中，设D 为BC 的中点，则AB →·AC →＝|AD |2－|BD |2．三角形模式是平面向量极化恒等式的终极模式，几乎所有的问题都是用它解决．记忆：向量的数量积等于第三边的中线长与第三边长的一半的平方差．考点一平面向量数量积的定值问题【方法总结】利用极化恒等式求数量积的定值问题的步骤(1)取第三边的中点，连接向量的起点与中点；(2)利用积化恒等式将数量积转化为中线长与第三边长的一半的平方差； (3)求中线及第三边的长度，从而求出数量积的值．积化恒等式适用于求对共起点(终点)的两向量的数量积，对于不共起点和不共终点的问题可通过平移转化法等价转化为对共起点(终点)的两向量的数量积，从而用极化恒等式解决．在运用极化恒等式求数量积时，关键在于取第三边的中点，找到三角形的中线，再写出极化恒等式，难点在于求中线及第三边的长度，通常用平面几何方法或用正余弦定理求解，从而得到数量的值．【例题选讲】[例1] (1)(2014·全国Ⅱ)设向量a ，b 满足|a ＋b |＝10，|a －b |＝6，则a ·b ＝( ) A ．1 B ．2 C ．3 D ．5答案 A 解析通法由条件可得，(a ＋b )2＝10，(a －b )2＝6，两式相减得4a·b ＝4，所以a ·b ＝1．极化恒等式 a ·b ＝14[(a ＋b )2－(a －b )2]＝14(10－6)＝1．(2) (2012·浙江)在△ABC 中，M 是BC 的中点，AM ＝3，BC ＝10，则AB →·AC →＝________．AABC图(2)答案－16 解析因为M 是BC 的中点，由极化恒等式得：AB →·AC →＝|AM |2－14|BC |2＝9－14×100＝－16．(3)如图所示，AB 是圆O 的直径，P 是AB 上的点，M ，N 是直径AB 上关于点O 对称的两点，且AB ＝6，MN ＝4，则PM →·PN →＝( )A ．13B ．7C ．5D ．3答案 C 解析连接AP ，BP ，则PM →＝P A →＋AM →，PN →＝PB →＋BN →＝PB →－AM →，所以PM →·PN →＝(P A →＋AM →)·(PB →－AM →)＝P A →·PB →－P A →·AM →＋AM →·PB →－|AM →|2＝－P A →·AM →＋AM →·PB →－|AM →|2＝AM →·AB →－|AM →|2＝1×6－1＝5．(4)如图，在平行四边形ABCD 中，AB ＝1，AD ＝2，点E ，F ，G ，H 分别是AB ，BC ，CD ，AD 边上的中点，则EF →·FG →＋GH →·HE →＝________．答案 32 解析连结EG ，FH ，交于点O ，则EF →·FG →＝EF →·EH →＝EO →2－OH →2＝1－⎝⎛⎭⎫122＝34，GH →·HE →＝GH →·GF →＝GO →2－OH →2＝1－⎝⎛⎭⎫122＝34，因此EF →·FG →＋GH →·HE →＝32．(5) (2016·江苏)如图，在△ABC 中，D 是BC 的中点，E ，F 是AD 上的两个三等分点．BA →·CA →＝4，BF →·CF →＝－1，则BE →·CE →的值为________．答案 78 解析极化恒等式法设BD ＝DC ＝m ，AE ＝EF ＝FD ＝n ，则AD ＝3n ．根据向量的极化恒等式，有AB →·AC →＝AD →2－DB →2＝9n 2－m 2＝4， FB →·FC →＝FD →2－DB →2＝n 2－m 2＝－1．联立解得n 2＝58，m 2＝138．因此EB →·EC →＝ED →2－DB →2＝4n 2－m 2＝78．即BE →·CE →＝78．坐标法以直线BC 为x 轴，过点D 且垂直于BC 的直线为y 轴，建立如图所示的平面直角坐标系xoy ，如图：设A (3a ，3b )，B (－c ，0)，C (－c ，0)，则有E (2a ，2b )，F (a ，b ) BA →·CA →＝(3a ＋c ，3b )·(3a －c ，3b )＝9a 2－c 2＋9b 2＝4 BF →·CF →＝(a ＋c ，b )·(a －c ，b )＝a 2－c 2＋b 2＝－1，则a 2＋b 2＝58，c 2＝138BE →·CE →＝()2a －c ，2b ·()2a －c ，2b ＝4a 2－c 2＋4b 2＝78．基向量 BA →·CA →＝(DA →－DB →)(DA →－DC →)＝4AD →2－BC →24＝36FD →2－BC →24＝4，BF →·CF →＝(DF →－DB →)(DF →－DC →)＝4FD →2－BC →24＝－1，因此FD →2＝58，BC →＝132，BE →·CE →＝(DE →－DB →)(DE →－DC →)＝4ED →2－BC →24＝16FD →2－BC →24＝78．(6)在梯形ABCD 中，满足AD ∥BC ，AD ＝1，BC ＝3，AB →·DC →＝2，则AC →·BD →的值为________．BC答案 4 解析过A 点作AE 平行于DC ，交BC 于E ，取BE 中点F ，连接AF ，过D 点作DH 平行于AC ，交BC 延长线于H ，E 为BH 中点，连接DE ，22212AB DC AB AE AF BF AF ⋅=⋅=-=-=，AC ⋅ 2224BD DB DH BE DE DE =-⋅=-=-，又1FE BE BF =-=，AD ∥BC ，则四边形ADEF 为平行四边形，AF DE =，1AC BD ∴⋅=．B【对点训练】1．已知正方形ABCD 的边长为1，点E 是AB 边上的动点，则DE →·DA →的值为________．2．如图，△AOB 为直角三角形，OA ＝1，OB ＝2，C 为斜边AB 的中点，P 为线段OC 的中点，则AP →·OP →＝ ( )A ．1B ．116 C ．14 D ．－123．如图，在平面四边形ABCD 中，O 为BD 的中点，且OA ＝3，OC ＝5，若AB →·AD →＝－7，则BC →·DC →的值是________．4．已知点A ，B 分别在直线x ＝3，x ＝1上，|OA →－OB →|＝4，当|OA →＋OB →|取最小值时，OA →·OB →的值是_____． A ．0 B ．2 C ．3 D ．65．在边长为1的正三角形ABC 中，D ，E 是边BC 的两个三等分点(D 靠近点B )，则AD →·AE →等于( ) A ．16 B ．29 C ．1318 D ．136．在△ABC 中，|AB →＋AC →|＝|AB →－AC →|，AB ＝2，AC ＝1，E ，F 为BC 的三等分点，则AE →·AF →等于( )A ．89B ．109C ．259D ．2697．如图，在平行四边形ABCD 中，已知AB ＝8，AD ＝5，CP →＝3PD →，AP →·BP →＝2，则AB →·AD →的值是( )A ．44B ．22C ．24D ．728．如图，在△ABC 中，已知AB ＝4，AC ＝6，∠A ＝60°，点D ，E 分别在边AB ，AC 上，且AB →＝2AD →，AC →＝2AE →，若F 为DE 的中点，则BF →·DE →的值为________．A BD CE F9．如图，在△ABC 中，已知AB ＝3，AC ＝2，∠BAC ＝120°，D 为边BC 的中点，若CD ⊥AD ，垂足为E ，则EB →·EC →＝________．10．在平面四边形ABCD 中，点E ，F 分别是边AD ，BC 的中点，且AB ＝1，EF ＝2，CD ＝5，若AD →·BC →＝15．则AC →·BD →的值为________．考点二平面向量数量积的最值(范围)问题【方法总结】利用极化恒等式求数量积的最值(范围)问题的步骤(1)取第三边的中点，连接向量的起点与中点；(2)利用积化恒等式将数量积转化为中线长与第三边长的一半的平方差； (3)求中线长的最值(范围)，从而得到数量的最值(范围)．积化恒等式适用于求对共起点(终点)的两向量的数量积的最值(范围)问题，利用极化恒等式将多变量转变为单变量，再用数形结合等方法求出单变量的范围．对于不共起点和不共终点的问题可通过平移转化法等价转化为对共起点(终点)的两向量的数量积的最值(范围)问题，从而用极化恒等式解决．在运用极化恒等式求数量积的最值(范围)时，关键在于取第三边的中点，找到三角形的中线，再写出极化恒等式，难点在于求中线长的最值(范围)，通过观察或用点到直线的距离最小或用三角形两边之和大于等于第三边，两边之差小于第三边或用基本不等式等求得中线长的最值(范围)，从而得到数量的最值(范围)．【例题选讲】[例1](1)若平面向量a ，b 满足|2a －b |≤3，则a ·b 的最小值为________．答案－98 解析 a ·b ＝18[(2a ＋b )2－(2a －b )2]＝18[|2a ＋b |2－|2a －b |2]≥02－328＝－98．当且仅当|2a ＋b |＝0，|2a －b |＝3，即|a |＝34，|b |＝32，< a ，b >＝π时，a ·b 取最小值－98．(2)如图，在同一平面内，点A 位于两平行直线m ，n 的同侧，且A 到m ，n 的距离分别为1，3，点B ，C 分别在m ，n 上，|AB →＋AC →|＝5，则AB →·AC →的最大值是________．答案214解析坐标法以直线n 为x 轴，过点A 且垂直于n 的直线为y 轴，建立如图所示的平面直角坐标系xOy ，如图：则A ()0，3，C ()c ，0，B ()b ，2，则AB →＝()b ，－1，AC →＝()c ，－3，从而()b ＋c 2＋()－42＝52，即()b ＋c 2＝9，又AC →·AB →＝bc ＋3≤()b ＋c 24＋3＝214，当且仅当b ＝c 时，等号成立．极化恒等式连接BC ，取BC 的中点D ，AB →·AC →＝AD 2－BD 2，又AD ＝12||AB →＋AC →＝52，故AB →·AC →＝254－BD 2＝254－14BC 2，又因为BC min ＝3－1＝2，所以(AB →·AC →) max ＝214．(3)(2017·全国Ⅱ)已知△ABC 是边长为2的等边三角形，P 为平面ABC 内一点，则P A →·(PB →＋PC →)的最小值是( )A ．－2B ．－32C ．－43D ．－1答案 B 解析方法一 (解析法) 建立坐标系如图①所示，则A ，B ，C 三点的坐标分别为A (0，3)，B (－1，0)，C (1，0)．设P 点的坐标为(x ，y )，图①则P A →＝(－x ，3－y )，PB →＝(－1－x ，－y )，PC →＝(1－x ，－y )，∴P A →·(PB →＋PC →)＝(－x ，3－y )·(－2x ，－2y )＝2(x 2＋y 2－3y )＝2⎣⎡⎦⎤x 2＋⎝⎛⎭⎫y －322－34≥2×⎝⎛⎭⎫－34＝－32．当且仅当x ＝0，y ＝32时，P A →·(PB →＋PC →)取得最小值，最小值为－32．故选B ．方法二 (几何法) 如图②所示，PB →＋PC →＝2PD →(D 为BC 的中点)，则P A →·(PB →＋PC →)＝2P A →·PD →．图②要使P A →·PD →最小，则P A →与PD →方向相反，即点P 在线段AD 上，则(2P A →·PD →)min ＝－2|P A →||PD →|，问题转化为求|P A →||PD →|的最大值．又当点P 在线段AD 上时，|P A →|＋|PD →|＝|AD →|＝2×32＝3，∴|P A →||PD →|≤⎝ ⎛⎭⎪⎫|P A →|＋|PD →|22＝⎝⎛⎭⎫322＝34，∴[P A →·(PB →＋PC →)]min ＝(2P A →·PD →)min ＝－2×34＝－32．故选B ．极化恒等式法设BC 的中点为D ，AD 的中点为M ，连接DP ，PM ，∴P A →·(PB →＋PC →)＝2PD →·P A →＝2|PM→|2－12|AD →|2＝2|PM →|2－32≥－32．当且仅当M 与P 重合时取等号．BC(4)已知正三角形ABC 内接于半径为2的圆O ，点P 是圆O 上的一个动点，则P A →·PB →的取值范围是________．答案 [－2，6] 解析取AB 的中点D ，连接CD ，因为三角形ABC 为正三角形，所以O 为三角形ABC 的重心，O 在CD 上，且OC ＝2OD ＝2，所以CD ＝3，AB ＝23．又由极化恒等式得：P A →·PB →＝|PD |2－14|AB |2＝|PD |2－3，因为P 在圆O 上，所以当P 在点C 处时，|PD |max ＝3，当P 在CO 的延长线与圆O 的交点处时，|PD |min＝1，所以P A →·PB →∈[－2，6]．(5)如图，已知P 是半径为2，圆心角为π3的一段圆弧AB 上的一点，若AB →＝2BC →，则PC →·P A →的最小值为_____．答案 5－213 解析通法以圆心为坐标原点，平行于AB 的直径所在直线为x 轴，AB 的垂直平分线所在的直线为y 轴，建立平面直角坐标系(图略)，则A (－1，3)，C (2，3)，设P (2cos θ，2sin θ)⎝⎛⎭⎫π3≤θ≤2π3，则PC →·P A →＝(2－2cos θ，3－2sin θ)·(－1－2cos θ，3－2sin θ)＝5－2cos θ－43sin θ＝5－213sin(θ＋φ)，其中0<tan φ＝36<33，所以0<φ<π6，当θ＝π2－φ时，PC →·P A →取得最小值，为5－213．极化恒等式法设圆心为O ，由题得AB ＝2，∴AC ＝3．取AC 的中点M ，由极化恒等式得PC →·P A →＝PM →2－AM →2＝PM →2－94，要使PC →·P A →取最小值，则需PM 最小，当圆弧AB ︵的圆心与点P ，M 共线时，PM 最小．易知DM ＝12，∴OM ＝⎝⎛⎭⎫122＋(3)2＝132，所以PM 有最小值为2－132，代入求得PC →·P A →的最小值为5－213．(6)在面积为2的△ABC 中，E ，F 分别是AB ，AC 的中点，点P 在直线EF 上，则PC →·PB →＋BC →2的最小值是________．答案 23 解析取BC 的中点为D ，连接PD ，则由极化恒等式得PC →·PB →＋BC →2＝PD →2－BC →24＋BC→2＝PD →2＋3BC →24≥AD →24＋3BC →24，此时当且仅当AD →⊥BC →时取等号，PC →·PB →＋BC →2≥AD →24＋3BC →24≥2AD →24·3BC →24＝23．另解取BC 边的中点M ，连接PM ，设点P 到BC 边的距离为h ．则S △ABC ＝12·||BC →·2h ＝2⇒||BC→＝2h，PM ≥h ，所以PB →·PC →＋BC →2＝⎝⎛⎭⎫PM →2－14BC →2＋BC →2＝PM →2＋34BC →2＝PM →2＋3h 2≥h 2＋3h2≥23(当且仅当||PM →＝h ，h 2＝3时，等号成立)【对点训练】1．已知AB 是圆O 的直径，AB 长为2，C 是圆O 上异于A ，B 的一点，P 是圆O 所在平面上任意一点，则(P A →＋PB →)·PC →的最小值为( )A ．－14B ．－13C ．－12D ．－12．如图，设A ，B 是半径为2的圆O 上的两个动点，点C 为AO 中点，则CO →·CB →的取值范围是( )A ．[－1，3]B ．[1，3]C ．[－3，－1]D ．[－3，1]3．如图，在半径为1的扇形AOB 中，∠AOB ＝π3，C 为弧上的动点，AB 与OC 交于点P ，则OP →·BP →的最小值为________．4．(2020·天津)如图，在四边形ABCD 中，∠B ＝60°，AB ＝3，BC ＝6，且AD →＝λBC →，AD →·AB →＝－32，则实数λ的值为________，若M ，N 是线段BC 上的动点，且|MN →|＝1，则DM →·DN →的最小值为________．5．在△ABC 中，AC ＝2BC ＝4，∠ACB 为钝角，M ，N 是边AB 上的两个动点，且MN ＝1，若CM CN 的最小值为34，则cos ∠ACB ＝________．6．已知AB 为圆O 的直径，M 为圆O 的弦CD 上一动点，AB ＝8，CD ＝6，则MA →·MB →的取值范围是________． 7．如图，设正方形ABCD 的边长为4，动点P 在以AB 为直径的弧APB 上，则PC →·PD →的取值范围为______． 8．已知正△ABC 内接于半径为2的圆O ，E 为线段BC 上的一个动点，延长AE 交圆O 于点F ，则F A →·FB → 的取值范围是________．9．已知AB 是半径为4的圆O 的一条弦，圆心O 到弦AB 的距离为1，P 是圆O 上的动点，则P A →·PB →的取值范围为_________．10．矩形ABCD 中，AB ＝3，BC ＝4，点M ，N 分别为边BC ，CD 上的动点，且MN ＝2，则AM →·AN →的最小值为________．11．在△ABC 中，已知AB ＝3，C ＝π3，则CA →·CB →的最大值为________．12．已知在△ABC 中，P 0是边AB 上一定点，满足P 0B ＝14AB ，且对于边AB 上任一点P ，恒有PB →·PC →≥P 0B →·P 0C →，则( )A ．∠ABC ＝90°B ．∠BAC ＝90° C ．AB ＝ACD ．AC ＝BC13．在正方形ABCD 中，AB ＝1，A ，D 分别在x ，y 轴的非负半轴上滑动，则OC →·OB →的最大值为______．14．在三角形ABC 中，D 为AB 中点，∠C ＝90°，AC ＝4，BC ＝3，E ，F 分别为BC ，AC 上的动点，且EF ＝1，则DE →·DF →最小值为________．15．在Rt ABC 中，∠C ＝90°，AC ＝3，AB ＝5，若点A ，B 分别在x ，y 轴的非负半轴上滑动，则OA →·OC →的最大值为________．16．已知正方形ABCD 的边长为2，点F 为AB 的中点，以A 为圆心，AF 为半径作弧交AD 于E ，若P 为劣弧EF 上的动点，则PC →·PD →的最小值为______．17．如图，已知B ，D 是直角C 两边上的动点，AD ⊥BD ，|AD →|＝3，∠BAD ＝π6，CM →＝12(CA →＋CB →)，CN →＝12(CD →＋CA →)，则CM →·CN →的最大值为________． ABC DMN18．如图，在平面四边形ABCD 中，AB ⊥BC ，AD ⊥CD ，∠BCD ＝60°，CB ＝CD ＝23．若点M 为边BC上的动点，则AM →·DM →的最小值为________．B19．(2018·天津)如图，在平面四边形ABCD 中，AB ⊥BC ，AD ⊥CD ，∠BAD ＝120°，AB ＝AD ＝1．若点E为边CD 上的动点，则AE →·BE →的最小值为________．20．如图，圆O 为Rt △ABC 的内切圆，已知AC ＝3，BC ＝4，C ＝π2，过圆心O 的直线l 交圆于P ，Q 两点，则BP →·CQ →的取值范围为________．21．在三棱锥S －ABC 中，SA ，SB ，SC 两两垂直，且SA ＝SB ＝SC ＝2，点M 为三棱锥S －ABC 的外接球面上任意一点，则MA →·MB →的最大值为________．22．如图所示，正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1的棱长为2，MN 是它的内切球的一条弦(我们把球面上任意两点之间的线段称为球的弦)，P 为正方体表面上的动点，当弦MN 的长度最大时，PM →·PN →的取值范围是________．23．已知线段AB 的长为2，动点C 满足CA →·CB →＝λ（λ为常数），且点C 总不在以点B 为圆心，12为半径的圆内，则负数λ的最大值为________．24．若点O 和点F 分别为椭圆x 24＋y 23＝1的中心和左焦点，点P 为椭圆上的任意一点，则OP →·FP →的最大值为( )A ．2B ．3C ．6D ．8。

专题34 极化恒等式(解析版)

专题34 极化恒等式专题知识梳理1.公式推导()()()()222222222142a ba ab b ab a b a b a b a ab b ⎫+=++⎪⎡⎤⇒=+--⎬⎢⎥⎣⎦⎪-=-+⎭在△ABC 中，D 是边BC 的中点，则22AB AC AD DB =-.如图，由()()222222111222AB AC AB AC AB AC AD CB AD DB ⎡⎤⎡⎤⎛⎫=+--=-=- ⎪⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎝⎭得证.类比初中的“完全平方和”与“完全平方差公式”。

2.几何意义向量的数量积可以表示为以这组向量为邻边的平行四边形的“和对角线”与“差对角线”平方差的14。

考点探究【例1】如图，在△ABC 中，D 是BC 的中点，E ，F 是AD 上的两个三等分点，BA →·CA →＝4，BF →·CF →＝－1则BE →·CE →的值是____．DCBA【解析】法一(坐标法)以直线BC 为x 轴，过点D 且垂直于BC 的直线为y 轴，建立如图所示的平面直角坐标系xoy ，如图：设A (3a ，3b )，B (－c ，0)，C (－c ，0)，则有E (2a ，2b )，F (a ，b ) BA →·CA →＝(3a ＋c ，3b )·(3a －c ，3b )＝9a 2－c 2＋9b 2＝4 BF →·CF →＝(a ＋c ，b )·(a －c ，b )＝a 2－c 2＋b 2＝－1，则a 2＋b 2＝58，c 2＝138BE →·CE →＝()2a －c ，2b ·()2a －c ，2b ＝4a 2－c 2＋4b 2＝78.法二(基向量)BA →·CA →＝()DA →－DB→()DA →－DC →＝4AD →2－BC →24＝36FD →2－BC →24＝4 BF →·CF →＝()DF →－DB →·()DF →－DC →＝4FD →2－BC →24＝－1，因此FD →2＝58，BC →＝132，BE →·CE →＝()DE →－DB →·()DE →－DC →＝4ED →2－BC →24＝16FD →2－BC →24＝78. 【例2】如图，在同一平面内，点A 位于两平行直线m ，n 的同侧，且A 到m ，n 的距离分别为1，3，点B ，C 分别在m ，n 上，|AB →＋AC →|＝5，则AB →·AC →的最大值是___．【解析】法一(坐标法)：以直线n 为x 轴，过点A 且垂直于n 的直线为y 轴，建立如图所示的平面直角坐标系xOy ，如图：则A ()0，3，C ()c ，0，B ()b ，2，则AB →＝()b ，－1，AC →＝()c ，－3，从而()b ＋c 2＋()－42＝52，即()b ＋c 2＝9，又AC →·AB →＝bc ＋3≤()b ＋c 24＋3＝214，当且仅当b ＝c 时，等号成立．法二(极化恒等式)：连接BC ，取BC 的中点D ，AB →·AC →＝AD 2－BD 2，又AD ＝12||AB →＋AC →＝52，故AB →·AC →＝254－BD 2＝254－14BC 2，又因为BC min ＝3－1＝2，所以()AB →·AC →max ＝214. 题组训练1.如图，在平面四边形ABCD 中，O 为BD 的中点，且OA ＝3，OC ＝5，若AB →·AD →＝－7，则BC →·DC →的值是____．【解析】因为AB →·AD →＝AO →2－14BD →2＝9－14BD →2＝－7△14BD →2＝16，所以BC →·DC →＝CO →2－14BD →2＝25－16＝9.2.在△ABC 中，M 是边BC 的中点AM ＝3，BC ＝10，AB →·AC →＝__ __．【解析】 AB →·AC →＝14[]()AB →＋AC →2－()AB →－AC→2＝AM →2－14BC →2＝9－14×100＝－16.3.在△ABC 中，点E ，F 分别是线段AB ，AC 的中点，点P 在直线EF 上，若△ABC 的面积为2，则PB →·PC →＋BC →2的最小值是____．【解析】取BC 边的中点M ，连接PM ，设点P 到BC 边的距离为h .则S △ABC ＝12·||BC →·2h ＝2△||BC →＝2h，PM ≥h ，所以PB →·PC →＋BC →2＝⎝⎛⎭⎫PM →2－14BC →2＋BC →2＝PM →2＋34BC →2＝PM →2＋3h 2≥h 2＋3h2≥23(当且仅当||PM →＝h ，h 2＝3时，等号成立)4.在△ABC 中，已知AB ＝1，AC ＝2，△A ＝60°，若点P 满足AP →＝AB →＋λAC →，且BP →·CP →＝1，则实数λ的值为__ _【解析】因为AP →＝AB →＋λAC →△BP →＝AP →－AB →＝λAC →，所以BP →·CP →＝λAC →·()AP →－AC →＝λAC →·[(AB →＋λAC →)－AC →]＝λ()λ－1AC →2＋λAB →·AC →＝4λ()λ－1＋λ＝1，故λ＝1或－14.5.在半径为1的扇形AOB 中，△AOB ＝60°，C 为弧上的动点，AB 与OC 交于点P ，则OP →·BP →的最小值是____．【解析】如图取OB 的中点D ，连结PD OP →·BP →＝PD 2－OD 2＝PD 2－14，即求PD 的最小值．由图可知：当PD△AB 时，PD min ＝34，则OP →·BP →的最小值是－116.6.已知AB 为圆O 的直径，M 为圆O 的弦CD 上一动点，8AB =，6CD =，则MA MB ⋅的取值范围是 ▲ ．【解析】如图[]2221164749,0MA MB MO BA MO OC OM OG OM MA MB =-=-≤≤⇒≤≤⇒∈-7.如图，在四边形ABCD 中，4AC =，12BA BC ⋅=，E 为AC 的中点.（1）若12cos 13ABC ∠=，求ABC ∆的面积ABC S ∆；（2）若2BE ED =，求DA DC ⋅的值.【解析】（1）12cos 13ABC ∠=，()0,ABC π∠∈，5sin 13ABC ∴∠==， 1212cos ,13BA BC BA BC ABC BA BC ⋅==⋅∠=⋅13,BA BC ∴⋅=1155sin 1322132ABC S BA BC ABC ∆∴=⋅∠=⨯⨯=. （2）()()()()()2222222111122412444422BA BC BA BC BA BC BECA BE CA BE BE BE ED ED ⎡⎤⎡⎤⋅==+--=-=-=-=⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⇒==⇒=()()()2222112044DA DC DA DCDA DC DEAC ⎡⎤⎡⎤⋅=+--=-=⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦8.如图，在ABC ∆中，已知4,6,60AB AC BAC ==∠=︒，点,D E 分别在边,AB AC 上，且2,3AB AD AC AE ==，若F 为DE 的中点，则BF DE 的值为________.【解析】取BD 的中点N ，连接,NF EB，则BE AE BE ⊥⇒= 在DEB ∆中，1//2FN EB FN ⇒=，()2221222144BF DE FB FD FN DB FN BF DE ⎛⎫==-=-⇒= ⎪⎝⎭9.（2019·苏州模拟）如图，在平面四边形ABCD 中，AB BC ⊥，AD CD ⊥，60BCD ∠=︒，CB CD ==若点M 为边BC 上的动点，则AMDM ⋅的最小值为 ▲ ．【解析】设E 是AD 的中点，作EN BC ⊥于N ，延长CB 交DA 的延长线于F ，由题意可得：6,22,4FD FC CD BF AB FA ====⇒===55242EN EF AD EN AB FA ⇒=⇒==⇒=. 则 2222252111124AM DM MA MD ME EA ME EN ⎛⎫ = =-=-≥-=-= ⎪⎝⎭，所以 ()min214AM DM=. 10.在△ABC中，已知AB =3C π=，则CA CB 的最大值为 .【解析】设D 是AB 的中点，连接CD ，点O 是△ABC 的外心，连接DO 并延长交圆O 于'C ，由△'ABC 是等边三角形，3'22AD C D =⇒=，则 22222233333'24242CA CB CD DA CD C D ⎛⎫⎛⎫ =-=-≤-=-= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭所以 ()max32CA CB=.11.在ABC ∆中，点,E F 分别是线段,AB AC 的中点，点P 在直线EF 上，若ABC ∆的面积为2，则2PB PC BC +的最小值是_____________.【解析】取BC 中点2222222133,23444O PB PC PO BC PB PC BC PO BC PO BC PO BC=-⇒+=+≥=()2min13332322ABC PO h PO BC h BC S PB PCBC ∆≥⇒≥==⇒+=。

极化恒等式【精编】

例1：设向量b a ,满足6,10=-=+b a b a ，则b a •等于（） A.1 B. 2 C. 3 D. 5解：由极化恒等式，即得.14610422=-=--+=•ba b a b a例2:在平行四边形ABCD 中，已知,2,3,5,8=•===BP AP PD CP AD AB 则AD AB •的值是 .解:222=-=•AE PE PB PA 182=∴PE 8,3==CD PD CP中位线为故FAE DP AE PD ,4,2==∴ 40222222=-+=∴PEAE AF AP 2222=-=•=•∴PE AP AD AB AE AF例3：.设点P 是边长为2的△ABC 三边上的一动点，则)(PC PB PA ••的取值范围是解：如图，设BC 的中点为D ，则PD PC PB 2=+,设AD 的中点为M ，则)41(2)(22AD PM PC PB PA -=+•,显然，当P 在B 点时，PM 的值最大，此时2)(=+•PC PB PA ；当AB PM ⊥时，PM 的值最小，此时89)(-=+•PC PB PA .所以)(PC PB PA +•的取值范围是]2,89[-.例4：正方形ABCD-A 1B 1C 1D 1的棱长为2，MN 是它的内切球的一条弦（把球面上任意两点之间的线段称为球的弦），p 为正方形表面上的动点，当弦MN 最长时，PN PM •的最大值为解：设球心为O ，球半径为R ，则R=2,根据极化恒等式：4444222-=-=•PO R PO PN PM 又P 为正方形表面上的动点，所以PO 的最大值为正方体体对角线长的一半，即3，所以PN PM •的最大值为2例5：.△ABC 中，∠C=︒90,AC=4,BC=3,D 是AB 的中点，E,F 分别是边BC ，AC 上的动点，且EF=1，则DF DE •的最小值等解：41422--=•EF DH DF DE （H 为EF 的中点）。

平面向量系列之极化恒等式

平面向量系列极化恒等式一、极化恒等式极化恒等式：])()[(4122b a b a b a --+=⋅ 极化恒等式的几何意义：向量的数量积可以表示为以这组向量为邻边的平行四边形的“和对角线”与“差对角线”平方差的41，即：2222||||]|||[|41BM AM BC AD b a -=-=⋅，如图：证明：2222||2||)(||||||b b a a b a AD b a AD ++=+=⇒+= 2222||2||)(||||||b b a a b a BC b a BC +-=-=⇒-= 以上两式相减得：22)()(4b a b a b a --+=⋅ ])()[(4122b a b a b a --+=⋅二、例题精析1、（2014，浙江高考理）在三角形ABC 中，M 是BC 的中点，AM=3，BC=10，则AC AB ⋅=_________ [解析]如图所示，由极化恒等式易得：16532222-=-=-=⋅BM AM AC AB2、（2016，长春二模）已知AB 为圆122=+y x 的一条直径，点P 为直线02=+-y x 上任意一点，则PB PA ⋅的最小值是_______[解析]如图所示，由极化恒等式易知，当OP 垂直直线时，PB PA ⋅有最小值，即： 1122222=-=-=⋅OB PO PB PA3、（2013，湖州二模）正方体的棱长为2，MN 是它的内切球的一条弦，P 为正方体表面上的动点，当弦MN 的长度最大时，PN PM ⋅的取值范围是_______[解析] 当弦MN 的长度最大时，即MN 为圆的直径，由极化恒等式得：当点P 在A ，C ，A1，C1任一点时有最大值，当点P 在圆与正方体的切点时有最小值，即：213)(22221max =-=-=⋅MO O C PN PM ， 011)(2222min =-=-=⋅MO MO PN PM ，故]2,0[∈⋅PN PM 。

极化恒等式(矩形大法)

极化恒等式与矩形大法一、知识清单1. 极化恒等式：如图，AB AC 2AD += ① A B A CCB -= ②,则：①2+②2得：222242++=AB AD BC AC ；①2-②2得：2244-=⋅AB AD BC AC推广：2222+-=⋅⋅⋅=AB AB AC cosA AB AC BC AC速记方法：22()()4a b a b a b +--⋅==，2222()()2a b a b a b +-+=+=2. 矩形大法：如图，由极化恒等式可得22224PD PB 2PO BD ++=①22224PA PC 2PO AC ++= ②因为BD=AC ，所以2222+=+PD PB PA PC ，速记方法：矩形外一点到矩形对角顶点的平方和相等。

推广1：若ABCD 为平行四边形，则有222222BD ()2AC -+-+=PA PC PD PB推广2：若P 为平面外一点，上述性质仍成立。

二、典型例题1．（2012浙江文15）在ABC ∆中，M 是BC 的中点，3AM =，10BC =，则A B A C ⋅= _________．解析：由极化恒等式有：224AB 164AM BC AC -=⋅=- 2. （2013浙江理7）在ABC ∆中,0P 是边AB 上一定点，满足014P B AB =，且对于边AB 上任一点P ，恒有00PB PC P B PC ⋅≥⋅。

则( ) A.90ABC ∠= B. 90BAC ∠= C.AB AC = D. AC BC =解析：D 为BC 中点，由极化恒等式有：224PB 4PD BC PC -⋅=则当PD 最小时，PB⃗⃗⃗⃗⃗ ∙PC ⃗⃗⃗⃗⃗ 最小，所以过D 作AB 垂线，垂足即为P 0,作AB 中点E ，则CE ⊥AB ，即AC=BC 。

3. 已知向量,,a b e 是平面向量，e 是单位向量． 2,3,0,()1a b a b e a b ===⋅-++求a b -的范围？解析：由0,()1a b e a b =⋅-++得0()()a e b e =-⋅-如图，,,OA a OB b OE e === ，构造矩形ACBE ，由矩形大法有2222OE OC OA OB +=+，则OC =[,]1]a b AB CE OC OE OC OE -==∈-+=4.向量,,a b e 是平面向量，e 是单位向量． 2,3,0,()2a b a b e a b ===⋅-++求a b -，a b ⋅范围？解析：由题得1()()a e b e =--⋅-，,,OA a OB b OE e === ，构造平行四边形ACBE ，由极化恒等式：221()()4a EA EC AB eb e EB =--=-⋅-⋅=由平行四边形大法：222222()()22EC AB OE OC OA OB -+-+==-，即10OC =2a b AB -===2222()13()[101]22a b a b a b a b +----⋅==∈-三、强化练习1. 设正ABC ∆的面积为2，边,AB AC 的中点分别为,D E ，M 为线段DE 上的动点，则2MB MC BC ⋅+的最小值为 .2.ABC ∆外接圆O 半径为1，且120AOB ∠=，则AC CB ⋅的取值范围是 . 31[,0)(0,]22-3.已知平行四边形ABCD 的面积为6，2AB =，点P 是平行四边形ABCD 所在平面内的一个动点，且满足2PC =，则PA PB ⋅的最小值 .CA ．4-B ．2-C ．0D ．24. 如图，C ，D 以AB 为直径的圆O 上的动点，已知AB =2，则AC BD ⋅的最大值是（）AA. 125. 已知∆ABC ，满足3219()||++=||||+AB AC AB AC AB AC AB AC ，点D 为线段AB 上一动点，若⋅DA DC 的最小值为3-，则∆ABC 的面积=S （）DA.9B.6.记M 的最大值和最小值分别为max M 和min M .若平面向量,,a b c 满足a b a b ==⋅()222c a b c =⋅+-=. 则（）Amax3.2A a c-=max 3.2B a c +=min3.2C a c-=min 3.D a c +=7.点P 是底边长为2的正三棱柱表面上的动点，MN 是该棱柱内切球的一条直径，则PM PN 的取值范围是 . []0,48．向量,,a b e 是平面向量，e 是单位向量．若()()2,0,a b a e b e ==-⋅-=则a b -的最小值是( )AA 1B 1C ．3D ．39.如图，已知圆O 的半径为2，P 是圆内一定点，OP=1，圆O 上的两动点A ，B 满足PA PB ⊥，存在点C 使PACB 构成矩形，则OC OP ⋅的取值范围是 [10.向量,,a b c 满足21b c a ===,则()()c a c b ⋅--的最大值是；最小值是 . 1[,3]8-。

(完整版)向量中的中点转化与极化恒等式

极化恒等式【一.式子结构分析】 1.()2222a ba ab b +=++r r r r r r ，同理可以有：()2222a ba ab b -=-+r r r r r r .两个式子相加可得：()()()22222a b a ba b +=++-r rr r r r ,这个说明平行四边形对角线的平方和等于四边的平方和，也等于邻边的平方和的两倍，由此可得三角形的中线长公式：a m =本20页）. 2.()2222a ba ab b +=++r r r r r r ，同理可以有：()2222a ba ab b -=-+r r r r r r .两个式子相减可得：()()224a ba b a b +--⋅=r r r r rr ,这个叫极化恒等式，2017年全国甲卷理科选择最后一题考查了.3. 很多时候我们也会遇到22a b -r r 这样的式子，一般22()()a b a b a b -+=-r r r r r r ，类似于平方差公式，实质上同2差不多【二、极化恒等式】和数学上很多经典的公式定理一样，极化恒等式也并没有那么神秘，甚至说是很基本. 回忆必修四105页例2()2222a ba ab b +=++r r r r r r ，同理可以有：()2222a ba ab b -=-+r r r r r r .两个式子相加可得：()()()22222a b a ba b +=++-r rr r r r ,这个说明平行四边形对角线的平方和等于四边的平方和，也等于邻边的平方和的两倍，由此可得三角形的中线长公式：a m =本20页）.两个式子相减可得：()()224a ba b a b +--⋅=r r r r rr ,这个叫极化恒等式，2017年全国甲卷理科选择最后一题考查了.极化恒等式的几何意义是:向量的数量积可以表示为以这组向量为邻边的平行四边形的“和对角线”与“差对角线”平方差的14，即221()4a b AD BC ⋅=-r r .在三角形中，也可以用三角形的中线来表示，即2214a b AM BC ⋅=-r r ，他揭示了三角形的中线与边长的关系.下面通过几道题目，来分析极化恒等式的妙用.4. 在ABC ∆中，M 是BC 的中点，3,10AM BC ==，则AB AC ⋅=u u u r u u u r________.解析： ()22()4AB ACAB AC AB AC +-⋅=-u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r224BC AM -=u u u ru u u u r 16=- 事实上，类似的问题时有看到，只是很多时候用其他的方法取代了“极化恒等式”，或在无意中使用“极化恒等式”.在ABC ∆中，D 是BC 的中点，2,3AB AC ==，则AD BC ⋅=u u u r u u u r________.解析： ()()2AB ACAD BC AB AC +⋅=⋅-u u u r u u u r u u u r u u u ru u u r u u u r 221()2ABAC =-u u ur u u u r 52=.5. 在Rt △ABC 中，CA ＝CB ＝3，M ，N 是斜边AB上的两个动点，且MN =CM CN u u u u r u u u rg的取值范围为_______.解析：设MN 的中点为D ，则()()2214CM CN CM CN CM CN ⎡⎤=+--⎢⎥⎣⎦u u u u r u u u r u u u u r u u u ru u u u r u u u r g()[]22241124,26CD MN CD ⎡⎤=-=-⎢⎥⎣⎦∈u u u r u u u u r u u u r 类题：△ABC 中，AC ⊥BC ，AB ＝3，AC ＝1，D 为BC 的中点，F 为线段AD 上任意一点，求()AF FB FC+u u u r u u u r u u u rg 的最大值.解析：()22AF FB FC AF FD AF FD +==u u u r u u u r u u u r u u u r u u u rg gg ，因AF FD AD +==，故当AF FD ==()AF FB FC +u u u r u u u r u u u r g 取最大值32.6. （2017年高考全国卷Ⅱ理12）已知ABC ∆是边长为2的等边三角形，P 为平面ABC 内一点，则()PA PB PC ⋅+u u u r u u u r u u u r的最小值是A.2-B.32-C. 43- D.1- 解法分析思路一：建系，将向量运算坐标化解法1：如图1，建立平面直角坐标系xOy，(A ，()1,0B -，()1,0C ，设(),P x y ，则()PA x y =-u u u r，()()()1,1,2,2PB PC x y x y x y +=---+--=--u u u r u u u r ，所以()(2223322222PA PB PC x y y x y ⎡⎤⎛⎢⎥+=+-=+-- ⎢⎥⎝⎭⎦≥⎣u u u r u u u r u u u r g ，当且仅当0x =，2y =，即P 为AO 的中点时取等号，则所求最小值为32-，选B.图1思路二：取BC 中点M ，将PB PC +u u u r u u u r 转化为2PM u u u u r ，则()22PA PB PC PA PM PA PM +==u u u r u u u r u u u r u u u r u u u u r u u u r u u u u rg g g ，怎么求PA PM u u u r u u u u rg 的最小值呢？如图2，设AM 的中点为N ，则()()()()22222113324444PA PM PA PM PA PM PN MA PN ⎡⎤⎡⎤=+--=-=--⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣≥⎦u u u r u u u u r u u u r u u u u r u u u r u u u u r u u u r u u u r u u u r g ，当且仅当20PN =u u u r ，即P 与N 重合（P 为AM 的中点）时取等号，故PA PM u u u r u u u u r g 的最小值为34-，所求最小值为33242⎛⎫⨯-=- ⎪⎝⎭，选B. 注：（1）转化PA PM u u u r u u u u r g 时用到了极化恒等式()()2214PA PM PA PM PA PM⎡⎤=+--⎢⎥⎣⎦u u u r u u u u r u u u r u u u u r u u u r u u u u r g ，其一般形式为()()2214a b a b a b ⎡⎤=+--⎢⎥⎣⎦r r r r r r g ；（2）PA PM u u u r u u u u r g 也可这样转化： PA PM =u u u r u u u u r g ()()PN NA PN NM ++u u u r u u u r u u u r u u u u r g ()()PN NA PN NA =+-u u u r u u u r u u u r u u u r g 22234PN NA PN =-=-u u u r u u u r u u u r .图2类题：已知动点M 是腰长为2的等腰直角三角形ABC ∆（C ∠为直角）的三边上的动点，则(+)MA MB MC ⋅u u u r u u u r u u u u r的取值范围是（）A ．1[,0]2- B ．[0,4] C ．1[,4]2-D．答案：C解析：取AB 中点D ，CD 中点E ，则(+)MA MB MC ⋅u u u r u u u r u u u u r2MD MC =⋅u u u u r u u u u r()()22124MD MCMD MC ⎡⎤=⨯+--⎢⎥⎣⎦u u u ur u u u u r u u u u r u u u u r 22214212ME CD ME ⎡⎤=-=-⎢⎥⎣⎦u u u r u u u r u u u r7. ***如图，在凸四边形ABCD 中，66AB AD BD ⋅==u u u r u u u r ，，O 是BD 的中点，且3AO OC =u u u r u u u r，则CB CD ⋅u u u r u u u r等于（）A ．115- B ．89-C ．223-D ．83解析：22(+)()4AB AD AB AD AB AD --⋅=u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r 222494AO DB AO -==-u u u r u u u ru u u r 6=22(+)()4CB CD CB CD CB CD --⋅=u u u r u u u r u u u r u u u ru u u r u u u r 29CO =-u u u r 223=-.8. ***（2013年浙江高考理）ABC ∆中0P 是边AB 上一定点，满足014P B AB =，且对于边AB 上任取的一点P ，恒有00PB PC P B PC ⋅≥⋅u u u r u u u r u u u r u u u r，则( )A ．B ．C ．D ．【答案】D解析：法1：【将式子转化为与某一个变量有关系的式子，即函数式.由已知条件，当14PB AB =时，函数式子取最大值】设,PB x BC a ==，作CH AB ⊥，则cos BH a B =.则22()cos PB PC PB PB BC PB BP BC x xa B ⋅=⋅+=-⋅=-u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r由题意，当且仅当111cos 224x a B BH AB ===时，上式有最小值.此时，H 也为AB 的中点，故AC BC =.法2：由题意，设|→AB |=4，则|→P 0B |=1，过点C 作AB 的垂线，垂足为H ，在AB 上任取一点P ，设HP 0=a ，则由数量积的几何意义可得，→PB ∙→PC =|→PH ||→PB |=(|→PB | −(a +1))|→PB |，→P 0B ∙→P 0C =−|→P 0H ||→P 0B |=−a ，于是→PB ∙→PC ≥→P 0B ∙→P 0C 恒成立，相当于(|→PB |−(a +1))|→PB |≥−a 恒成立，整理得|→PB |2−(a +1)|→PB |+a ≥0恒成立，只需∆=(a +1)2−4a =(a −1)2≤0即可，于是a =1，因此我们得到HB =2，即H 是AB 的中点，故△ABC 是等腰三角形，所以AC =BC法3：如图建系，设(,0),(,),(,0)C C B b C x y P x ， 2()CCPB PC x b x x bx ⋅=-++u u u r u u u r ，当且仅当24C b x b x +==时，上式取最小值，此时2C bx =，故AC BC =. 法4：以AB 中点为坐标原点建系也可，同法2.法5: 极化恒等式 224=()()a b a b a b ⋅+--r r r r r r如图，取线段BC 的中点M ，则22224=()()4PB PC PB PC PB PC PM BC ⋅+--=-u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r ，要使得4PB PC ⋅u u u r u u u r 的值最小，只需24PM u u u u r 取最小值.因为P 是线段AB 上动点，所以只有当PM AB⊥时，PM u u u u r取得最小值，且点P 与点0P 必须重合，M 是线段BC 的中点，只有AC=BC 时才能成立.090=∠ABC 090=∠BAC AC AB =BC AC =CBAHC BAxPy9. ***（2012年安徽卷）若平面向量,a b r r 满足23a b -r r≤，则a b ⋅r r 的最小值是_________.解析：2212(2)(2)4a b a b a b ⎡⎤⋅=+--⎣⎦r r r r r r 219(2)44a b ---r r ≥≥.所以98a b ⋅-r r ≥.A.32+ B. 12+ C. 322+ D. 122+解：法1：全部与圆心联系起来，基本定义设AB 中点为D ，=()()PA PB PO OA PO OB ⋅+⋅+u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u uu r22PO PO OD OA OB =+⋅+⋅u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r1122PO OD =+⋅+u u u r u u ur 3,2PO OD =<>u u u r u u u r，∵cos ,[1,1]PO OD <>∈-u u u r u u u r ，∴PA PB ⋅u u u r u u u r的范围为33[22.法2：建立坐标系，需要用到辅助角公式以O 点为原点，OA 为x 轴建立平面直角坐标系，则1(1,0),(,)22A B ，（也可设点11),)22A B -）设(cos ,sin ),02P αααπ≤<，则1(1cos ,sin ),(cos sin ),2PA PB αααα=--=--u u u r u u u r 1(1cos )(cos )(sin sin )2PA PB αααα⋅=--+--u u u ru u u r33cos 222αα=--313(sin )222αα=+3)23πα=+∵1sin()13πα-≤+≤，∴333)2232πα≤+≤，故PA PB ⋅u u u r u u u r 的范围为33[3,3]22-+.法3：建立坐标系，设点3131(,),(,)22A B -，(,)P x y ， 332PA PB x ⋅=-u u u r u u u r法4：转化为求三角形的面积的最大值，使用余弦定理和基本不等式cos cos30PA PB PA PB APB PA PB ⋅=⋅∠=⋅u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r 32PA PB =⋅u u u r u u u r ，根据余弦定理和基本不等式2220cos302PA PB AB PA PB +-⋅=u u u r u u u r 12PA PB ⋅-≥，法5：转化为求三角形的面积的最大值，使用余弦定理和基本不等式求32PA PB ⋅u u ur u u u r 的最大值也即求三角形的面积的最大值，也即求点 P 到AB 距离的最大值法6：与三角形中点联系起来设AB 中点为D ，则=()()PA PB PD DA PD DB ⋅+⋅+u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r =()()PD DA PD DA +⋅-u u u r u u u r u u u r u u u r22214PD DA PD =-=-u u u r u u u r u u u r易知，PD u u u r 的范围是33[1,1]-+，故PA PB ⋅u u u r u u u r 的范围为33[3,3]22-+.11. ***（2011年浙江卷）已知直线AB 与抛物线24y x =交于点,A B ，点M 为AB 的中点，C 为抛物线上一个动点，若0C 满足{}00min C A C B CA CB ⋅=⋅u u u u r u u u u r u u r u u u r，则下列一定成立的是（）A.0C M AB ⊥B.0C M l ⊥u u u u u r，其中l 是抛物线过0C 的切线C.00C A C B ⊥D.0C M AB = 答案 D解析如图所示，极化恒等式 CA →·CB →＝(AM →－CM →)·(BM →－CM →)＝CM →2－(BM →＋AM →)·CM →＋AM →·BM →＝CM →2－14AB →2，当直线AB 一定时，当且仅当|CM →|取得最小值时，使得CA →·CB →取最小值，只有当C M ⊥l 时，|CM →|取得最小值，故选D.【注】本题实质上就是求抛物线上一点到其内一点距离的最小值下面用两种方法来证明，法1：几何分析法，只需证明CM 不与l 垂直时，有比CM 还要短的. 这一招太聪明了，如果直接证明CM 最短很不好证. 设过点C '的切线为l ',此时C M '不与l '垂直，作MH l '⊥，交抛物线于点1C .则1MC MH MC MC '>>>. 法2：求导运算22200()()CM x x y y =-+-2222000022x x x x y y y y =-++-+22222200002222y y x x y y y y ⎛⎫=-++-+ ⎪⎝⎭22222200002222y y x x y y y y ⎛⎫=-++-+ ⎪⎝⎭()f y =300()2(1)20f y y x y y '=+--=时，上式有最小值？？？？【注】此处如何整理出 CM ⊥CA 时，0011y y x x y-⋅=--，整理得3002(1)20y x y y +--=，两条件相同. 12. 已知圆O 的半径为2，,P Q 是圆O 上任意两点，且060POQ ∠=，AB 是圆O 的一条直径，若点C满足(1)OC OP OQ λλ=-+u u u r u u u r u u u r，则CA CB ⋅u u r u u u r 的最小值是（） A ．1- B ．2- C ．3- D ．4-解析：由(1)OC OP OQ λλ=-+u u u r u u u r u u u r 得，点C 在PQ 上，24CA CB CO ⋅=-u u r u u u r易得当且仅当C 为PQ 中点时，CO 有最小值1-.变式：已知圆O 的半径为2，,P Q 是圆O 上任意两点，且060POQ ∠=，AB 是圆O 的一条直径，若点C 满足(1)OC OP OQ λλ=-+u u u r u u u r u u u r，则CA CB ⋅u u r u u u r 的最小值是（）A ．1-B ．2-C ．3-D ．4-解析：设OP OP '=-u u u r u u u r ，所以(1)(1)OC OP OQ OP OQ λλλλ'=-+=-+u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r，点C 在P Q '上，24CA CB CO ⋅=-u u r u u u r易得当且仅当C 为PQ 中点时，CO 有最小值3-. 【三. 三角形向量中线公式和中点转化】13. ***点O 是ABC ∆的三边中垂线的交点，a ，b ，c 是角A ，B ，C 的对边，已知2220,13b b c b -+=<<，则BC AO u u u r u u u rg 的范围是____________．解析：O 是ABC ∆的外心，设BC 中点为M ，则OM BC ⊥()BC AO BC AM MO BC AM u u u r u u u r u u u r u u u u r u u u u r u u u r u u u u r g g g =+=2211()()()22AC AB AC AB b c u u u r u u u r u u u r u u u r g =-+=-2b b =-.因为2220b b c -+=，所以2220c b b =->，所以02b <<，又13b <<，所以12b <<.所以BC AO u u u r u u u rg 的范围是（0，2）.14. 已知圆22:1C x y +=，点00(,)P x y 是直线:3240l x y +-=上的动点，若在圆C 上总存在两个不同的点,A B ，使OA OB OP +=u u u r u u u r u u u r，则0x 的取值范围是（）A ．24(0,)13B ．24(,0)13- C ．13(0,)24 D ．13(0,)12 答案：A【解析】法1：如图，∵OA OB OP +=u u u r u u u r u u u r；∴OP 与AB 互相垂直平分，∴圆心到直线AB 的距离122020<+y x ；∴42020<+y x ①；又042300=-+y x ；∴00232x y -=，代入①得：4232202<⎪⎭⎫ ⎝⎛-+x x ；解得132400<<x ；∴0x 的取值范围是24(0,)13．故选：A ．法2：OP=2时，是临界状态，求出即可.15. ***在ABC ∆中，D 是BC 边上任意一点（D 与B ，C 不重合），且22+AB AD BD DC =⋅，则ABC∆一定是（）A ．直角三角形B ．锐角三角形C ．等腰三角形D ．等边三角形解析：类似于平方差公式，22AB AD -表示成向量的平方22AB AD -u u u r u u u r ，可以转化运算 22+AB AD BD DC =⋅u u u r u u u r u u u r u u u r ,220AB AD BD DC --⋅=u u u r u u u r u u u r u u u r ,()0DB AB AC ⋅+=u u u r u u u r u u u r，故是等腰，选C.16. （1）已知圆直径=6AB ，O 点为圆心，C 为半径上不同于A 、B 的任意一点，若P 为半径OC 上的动点，(+)PA PB PC ⋅u u u r u u u r u u u r的最小值是_________.解：(+)2PA PB PC PO PC ⋅=⋅u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r 262PO PO =-+92-≥.（2）已知圆半径为1，圆上的弦AB 长为1，P 为圆上的动点，PA PB ⋅u u u r u u u r的最大值是（）A.332+ B. 132+ C. 332+ D. 132+ 解：设AB 中点为D ，则=()()PA PB PD DA PD DB ⋅+⋅+u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r =()()PD DA PD DA +⋅-u u u r u u u r u u u r u u u r22214PD DA PD =-=-u u u r u u u r u u u r易知，PD u u u r 的范围是33[1,1]-+，故PA PB ⋅u u u r u u u r 的范围为33[3,3]22-+. 17. （1）已知直角梯形ABCD ，AD ∥BC ，090BAD ∠=，AD=2，BC=1，P 是腰AB 上的动点，则+PC PD u u u r u u u r的最小值为_____. 法1：建系，设(0,)P b法2：取CD 中点Q ，+2PC PD PQ =u u u r u u u r，易得P 是AB 的中点时取最小.（2）已知点A ，B ，C 在圆221x y +=上运动，且AB BC ⊥，若点P 的坐标为(2,0)，则PA PB PC ++u u u r u u u r u u u r的最大值为（）A.6B.7C.8D.9 【答案】B.法2：因AB BC ⊥，所以AC 为直径，O 为AC 中点，2PA PB PC PO PB ++=+u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r，当(1,0)B -时，最大，为7.18. ***如图，在梯形ABCD 中，CD AB //，2=AB ，4=CD ，5==AD BC ，E ，F 分别是AD ，BC 的中点，对于常数λ，在梯形ABCD 的四条边上恰有8个不同的点P ，使得λ=⋅PF PE 成立，则实数λ的取值范围是（）A ．)209,45(-- B ．)411,45(- C ．)411,41(- D ．)41,209(-- 答案：D【解析】法1：以CD 中点为坐标原点，CD 所在直线为x 轴建立直角坐标系，则33(1,2),(1,2),(2,0),(2,0),(,1),F(,1)22A B C D E ---，当P 在CD 边上时，设(,0),||(0,2)P x x ∈，则25511(,)444PE PF x λ=⋅=-∈-u u u r u u u r，对应值都有两个；当P 在AB 边上时，设(,2),||(0,1)P x x ∈，则2551(,)444PE PF x λ=⋅=-∈--u u u r u u u r ，对应值都有两个；当P 在BC 边上时，设(,42),(1,2)P x x x -∈，则2275124PE PF x x λ=⋅=-+u u u r u u u r ，当91(,)204λ∈--时，每一个λ都有两个x 与之对应；根据对称性，当P 在AD 边上时，同P 在BC 边上时.综上，若有8个不同的点P ，使得λ=⋅PF PE 成立，则实数λ的取值范围是9151191(,)(,)(,)20444204---=--I ，选D. 法2：（巧取中点转化，极化恒等式）取EF 中点H ，取AB 中点M ，取CD 中点N ，1MH NH == 则()()PE PF PH HE PH HF ⋅=+⋅+u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r 2212PH HE =-u u u r u u u r 2214PH EF =-u u u r u u u r 29=4PH -u u u r ，当P 在AB 边上时，2951=(,)444PE PF PH λ=⋅-∈--u u u r u u u r u u u r ，根据对称性，对应值都有两个；当P 在CD 边上时，29511(,)444PH λ=-∈-u u u r ，根据对称性，对应值都有两个；当P 在AD 边上时，PH 的最小值即H 到AD 的距离，由等积法min 5PH =，又2AH =，当(,2)5PH ∈时，91(,)204λ∈--，对应值都有两个；根据对称性，当P 在AD 边上时，同P 在BC 边上时. 综上，若有8个不同的点P ，使得λ=⋅PF PE 成立，则实数λ的取值范围是9151191(,)(,)(,)20444204---=--I ，选D. 19. 如图，在同一平面内，点P 位于两平行直线l 1，l 2同侧，且P 到l 1，l 2的距离分别为1,3.点M ，N 分别在l 1，l 2上，|PM →＋PN →|＝8，则PM →·PN →的最大值为( ) A ．15 B ．12 C ．10 D ．9 答案 A解析：取MN 中点O ，则()142PO PM PN =+=u u u r u u u ur u u u r ，1OM u u u u r ≥ ()()PM PN PO OM PO ON =++u u u u r u u u r u u u r u u u u r u u u r u u u rg g 22216PO OM OM =-=-u u u r u u u u r u u u u r 22216PO OM OM =-=-u u u r u u u u r u u u u r20. ***已知ABC ∆的面积为2，E,F 是AB ，AC 的中点，P 为直线EF 上任意一点，则2PB PC BC ⋅+u u u r u u u r u u u r 的最小值为（）A ．2B ．3C ．23D ．4 解析：法1：巧取中点转化法，极化恒等式取BC 中点D ，设底边BC 的高为h ，则12PD h ≥，22()()PB PC BC PD DB PD DC BC +=+++u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r g g222PD DB BC =-+u u u r u u u r u u u r 2234PD BC =+u u u r u u u r 2222313444PD BC h BC =++u u u r u u u r u u u r ≥==≥ 法2：建立平面直角坐标系(如图所示)，【四、极化恒等式在立体几何中的应用】21. 正方体1111ABCD A B C D -的棱长为2，MN 是它内切球的一条弦（把球面上任意2点之间的线段称为球的弦），P 为正方体表面上的动点，当弦MN 最长时，PM PN ⋅u u u u r u u u r 的最大值为_________.解析：设球心为O ，易得球的半径1R =，2221=(2)14PM PN PO R PO ⋅-=-u u u u r u u u r u u u r u u u r ，易得PO PM PN ⋅u u u u r u u u r 的最大值为2.22. 点P 是棱长为1的正方体1111ABCD A B C D -的底面1111A B C D 上一点，则PA PC ⋅u u u r u u u r 的取值范围是_________.解析：设AC 的中点为M ，224PA PC PM AC ⋅=-u u u r u u u r u u u u r u u u r 242PM =-u u u u r 1,12⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦23.24.。

向量_极化恒等式

1极化恒等式第一种写法：已知#…a ,#…b ,则#…a ⋅#…b =⒧#…a +#…b ⒭2−⒧#…a −#…b ⒭24第二章写法：已知M 是AB 的中点,则# …OA ⋅# …OB =|# …OM|2−|# …MA|2=|# …OM|2−14|# …AB|2极化恒等式两种写法,常用的是第二种,用于解决向量的数量积求值范围问题,一般情况下,如果AB 的长度是固定的,那么在处理# …OA ⋅# …OB 时,常用极化恒等式将其转化为|# …OM|2的函数,至于其他用法,熟练之后自然会具体问题具体分析1.【2012浙江理数T15】在△ABC 中,M 是BC 的中点,AM =3,BC =10,则# …AB ⋅# …AC−16# …AB ⋅# …AC =⒧# …AM +# …MB⒭⋅⒧# …AM +# …MC ⒭=⒧# …AM +# …MB⒭⋅⒧# …AM −# …MB⒭=|AM|2−|MB|2=−162.【2016江苏T13】如图,在△ABC 中,D 是BC 的中点,E ,F 是AD 上的两个三等分点,# …BA⋅# …C A =4,# …BF⋅# …C F =−1,则# …BE ⋅# …C E的值是78记|BD|=x ,|DF|=y ,則4=# …BA ⋅# …C A =|AD|2−|BD|2=9y 2−x 2−1=# …BF ⋅# …C F =|DF|2−|BD|2=y 2−x 2⎧⎪⎪⎨⎪⎪⎩x 2=138y 2=58从而# …BE ⋅# …C E =|DE|2−|BD|2=4y 2−x 2=783.【2018天津理数T8】如图,在平面四边形ABC D 中,AB⊥BC ,AD⊥C D,∠BAD =120∘,AB =AD =1.若点E 为边C D 上的动点,则# …AE ⋅# …BE 的最小值为A.2116B.32C.2516D.3A取AB 中点F ,则# …AE ⋅# …BE =|# …EF|2−|# …AF|2当EF ⟂C D 时,|# …EF|取得最小值54,比时# …AE ⋅# …BE 取得最小值2116,选A4.【2013浙江理数T7】设△ABC ,P 0是边AB 上一定点,满足# …P 0B =14# …AB ,且对于边AB 上任一点P ,恒有# …PB ⋅# …PC ⩾# …P 0B ⋅# …P 0C ,则A.∠ABC =90∘ B.∠BAC =90∘C.AB =ACD.AC =BCD取AB,BC的中点D,E.则# …PB⋅# …PC=(# …PE+# …EB)⋅(# …PE−# …EB)=|PE|2−|EB|2⩾|P0E|2−|EB|2,所以|PE|⩾|P0E|,则必有P0E⟂AB,从而C D⟂AB,所以AC=BC,选择D5.【2017全国2卷理数T12】已知△ABC是边长为2的等边三角形,P为平面ABC内一点,则# …PA⋅⒧# …PB+PC⒭的最小值是A.−2B.−32C.−43D.−1B取BC中点M,取AM中点N,则# …PA⋅(# …PB+# …PC)=2# …PA⋅# …PM=2⒧PN2−MN2⒭⩾−2MN2=−32,当PN重合时取到,所以所求最小值是−32,选择B6.【2020天津T15】如图,在四边形ABC D中,∠B=60∘,AB=3,BC=6,且# …AD=λ# …BC,# …AD⋅# …AB=−32,则(1)实数λ的最小值为(2)若M,N是线段BC上的动点,且|# …MN|=1,则# …DM⋅# …DN的最小值为A DB M N C(1)16(2)132# …AD⋅# …AB=λ# …BC⋅# …AB=−9λ=−32,所以λ=16.取MN中点E,则# …DM⋅# …DN=|DE|2−|MN|24当DE⟂BC时,取到最小值13 2.7.【2005江苏T18】在△ABC 中,O 为中线AM 上的一个动点,若AM =2,则# …OA ⋅⒧# …OB +# …OC ⒭的最小值为−2设|OM|=x ,则# …OA ⋅(# …OB +# …OC )=2# …OA ⋅# …OM =−2x(2−x)⩾−2,取等条件是x =1,故所求最小值为−28.【2012安徽理数T14】若|2#…a −#…b |⩽3,则#…a ⋅#…b 的最小值是−98#…a ⋅#…b =|2#…a +#…b |2−|2#…a −#…b |28⩾−|2#…a −#…b |28⩾−989.在平行四边形ABC D 中,AD =√2,AB =2.若# …BF =# …FC ,则# …AF ⋅# …DF72# …AF ⋅# …DF =(# …AB +# …BF)⋅(# …AB −# …BF)=|AB|2−|BF|2=7210.已知△ABC 中,AB =8,BC =10,AC =6,P 在平面ABC 内,且# …PB ⋅# …PC =−9,则|# …PA|的取值范围是[1,9]解析11.正方体ABC D −A 1B 1C 1D 1的棱长为2,MN 是它的内切球的一条弦（我们把球面上任意两点之间的线段称为球的弦）,P 为正方体表面上的动点,当弦MN 的长度最大是,# …PM ⋅# …PN 的取值范围是[0,2]解析12.在面积为2的平行四边形ABC D中,点P为直线AD上的动点,则# …PB⋅# …PC+# …BC2的最大值是2√3设M为BC的中点,由题意,# …PB⋅# …PC+BC2=PM2−14BC2+BC2=PM2+34BC2⩾√3⋅PM⋅BC⩾√3⋅2S△PBC=2√3.取等条件为PM=√32BC且PM⟂BC.故所求最小值为2√313.在半径为1的扇形AOB中,∠AOB=60∘,C为弧AB的动点,AB与OC交于点P,则# …OP⋅# …BP的最小值是−1 16解析14.已知正四面体ABC D的棱长为2,P是以棱BC为直径的球面上一动点,则# …PA⋅# …PD的最大值是A.1+√2B.3C.2+√2D.2(√2+1)D取AD中点E,BC中点F,则# …PA⋅# …PD=|PE|2−|AE|2=|# …PF+# …FE|2−1⩽(|# …PF|+|# …FE|)2−1=(1+√2)2−1=2+2√2,选D15.【成都七中23届高三上一诊模拟T16】已知A(2cos15∘,2sin15∘),O(0,0),且|# …OB|=|# …OC|=2,则# …AB⋅# …AC的取值范围[−2,16]如图方法1极化恒等式记M为BC的中点,由极化恒等式可知:# …AB⋅# …AC=# …AM2−# …BM2,易知OM⊥BC,所以# …BM2=# …OB2−# …OM2所以# …AB⋅# …AC=# …AM2−# …BM2=# …AM2+# …OM2−# …OB2=# …AM2+# …OM2−# …OA2由余弦定理可知# …AM 2+# …OM 2−# …OA 2=2|# …MA|⋅|# …MO|cos ∠AMO =2# …MA ⋅# …MO记D 为OA 的中点,再由极化恒等式可知2# …MA ⋅# …MO =2 # …MD 2−# …OD 2因为B ,C 是圆上任意两点(可重合)所以|# …MD|∈[0,3]所以−2⩽# …AB ⋅# …AC ⩽16方法2投影暂无16.【乐山市21届一诊T10】已知△ABC 是边长为2的等边三角形,点P 是△ABC 所在平面的内的一点,且BP =1,则当# …AP ⋅# …C P 取得最小值时,# …BP ⋅# …BC 的值是A.√3B.√32C.−√3D.−√32A 方法1建系建系如图A(0,√3),B(−1,0),C (1,0),设P(−1+cos θ,sin θ)# …AP ⋅# …C P =⒧−1+cos θ,sin θ−√3⒭(−2+cos θ,sin θ)=3−2√3sin ⒧θ+π3⒭当且仅当θ=π6+2kπ时取等,代入# …BP ⋅# …BC =√3方法2向量转换# …AP⋅# …C P=⒧# …AB+# …BP⒭⋅⒧# …C B+# …BP⒭=# …AB⋅# …C B+# …AB⋅# …BP+# …BP⋅# …C B+# …BP2=2√3+1+# …AB⋅# …BP+# …BP⋅# …C B下求# …AB⋅# …BP+# …BP⋅# …BP⋅# …C B的最小值# …AB⋅# …BP+# …BP⋅# …BP⋅# …C B=−2# …BM⋅# …BP=−2|# …BM|⋅|# …BP|cos∠PBM=−2√3cos∠PBM⩾−2√3,当∠PBM=0时取得最小值,代入# …BP⋅# …BC=√3方法3极化恒等式# …AP⋅# …C P=# …PM2−14# …AC2=# …PM2−1⩾3−2√3,当P在线段BM与圆B的交点P′时,取得最小值,代入# …BP⋅# …BC=√3。

极化恒等式及其应用

圆(x－3)2＋(y－2)2＝1 的圆心为 D(3,2)，半径为 1，所以|PD|＝ 1－32＋0－22＝2 2， |DM|＝|DN|＝1，所以P→M·P→N＝|P→D|2－|D→M|2＝8－1＝7．
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配套精练
总结提炼
一、极化恒等式的作用和使用范围
1．极化恒等式的作用
建立了向量的数量积与几何长度(数量)之间的桥梁，实现向量与几何、代数之间的互相转化．
2．极化恒等式的适用范围
(1)共起点或共终点的两向量的数量积问题可直接进行转化； (2)不共起点和不共终点的数量积问题可通过向量的平移，等价转化为共起点或共终点的两向量的数量积问题．
配套精练
【解析】对于 A，A→E＝A→C＋C→E＝A→C＋13C→B＝A→C＋13(A→B－A→C)＝13A→B＋23A→C，故 A 错误；对于 B，由题意得 D 为 BE 的中点，所以A→D＝12A→B＋12A→E，故 B 正确；对于 C，取 DE 的中点 G，BC＝6，D，E 是 BC 的三等分点，得 G 是 BC 的中点，且 DE＝2，所以A→D·A→E＝A→G2－14D→E2＝4，所以A→G2＝5，A→B·A→C＝A→G2－14B→C2＝5－9＝－4，故 C 正确；对于 D，由 G 是 BC 的中点，得A→B＋A→C＝2A→G，两边平方得A→B2＋2A→B·A→C＋A→C2＝ 4A→G2，所以A→B2＋A→C2＝20＋8＝28，故 D 正确．
以 CA，CB 为两邻边作矩形 CBDA，由矩形性质得 OC2＋OD2＝OA2＋OB2．因为 OA ＝OB＝2，OC＝1，代入上式得 OD＝ 7．|a－b|＝|O→A－O→B|＝AB＝CD，而 OD－ OC≤CD≤OD＋OC，即 7－1≤CD≤ 7＋1，故|a－b|的取值范围是[ 7－1， 7＋1]．

(完整版)向量—极化恒等式

向量的几何意义-极化恒等式
定义解读，引入主题
向量数量积(代数)定义
定义解读，引入主题
向量数量积(几何)意义
rr r r
a b | a || b | cos
rr
| a | (| b | cos )
r
r
(| a | cos ) | b |
运用定义，解决问题
例1：如图，在RT △ABC中，已知AB=3，AC=4，
1
uuur 2 ( AB
uuur AC
2
)
2
定义解读，引入主题
四.向量数量积运算中的垂直问题
定义解读，引入主题
四.向量数量积运算中的垂直问题
rr r r
r
r
(2)几何意义：a b | a | (| b | cos ) (| a | cos ) | b |
rr r r r r (3)极化恒等式：4a b (a b)2 (a b)2
uuur uuur uuuur 2 uuur 2 AB AC AM MB
uuuur AM
uuur CB
uuur uuur
9
则AO AB ______2______.
变式1：(09 陕西预赛)在△ABC，O是△ABC的
外心
，AB=3，AC=5，则
uuur AO
uuur BC
____8____.
运用定义，解决问题
D
运用定义，解决问题
16
5 2
巩固深化，提升能力
变式1
如图，在边长为1的正方
形中，p为AB上的一动点，
uuur BC=5，则AC
uuur CB
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
______1_6_____.

向量中的中点转化与极化恒等式

极化恒等式【一.式子结构分析】 1.()2222a b a ab b +=++,同理可以有:()2222a ba ab b -=-+。

两个式子相加可得：()()()22222a ba ba b +=++-，这个说明平行四边形对角线的平方和等于四边的平方和，也等于邻边的平方和的两倍，由此可得三角形的中线长公式：a m =(必修五课本20页）. 2.()2222a b a ab b +=++，同理可以有:()2222a ba ab b -=-+。

两个式子相减可得：()()224a b a b a b +--⋅=，这个叫极化恒等式,2017年全国甲卷理科选择最后一题考查了。

3. 很多时候我们也会遇到22a b -这样的式子，一般22()()a b a b a b -+=-,类似于平方差公式，实质上同2差不多【二、极化恒等式】和数学上很多经典的公式定理一样，极化恒等式也并没有那么神秘，甚至说是很基本。

回忆必修四105页例2()2222a b a ab b +=++，同理可以有：()2222a ba ab b -=-+.两个式子相加可得：()()()22222a ba ba b +=++-，这个说明平行四边形对角线的平方和等于四边的平方和，也等于邻边的平方和的两倍，由此可得三角形的中线长公式:a m =（必修五课本20页）.两个式子相减可得：()()224a ba b a b +--⋅=,这个叫极化恒等式，2017年全国甲卷理科选择最后一题考查了.极化恒等式的几何意义是：向量的数量积可以表示为以这组向量为邻边的平行四边形的“和对角线”与“差对角线"平方差的14,即221()4a b AD BC ⋅=-.在三角形中，也可以用三角形的中线来表示，即2214a b AM BC ⋅=-,他揭示了三角形的中线与边长的关系。

下面通过几道题目,来分析极化恒等式的妙用.4. 在ABC ∆中,M 是BC 的中点，3,10AM BC ==，则AB AC ⋅=________.解析: ()22()4AB ACAB AC AB AC +-⋅=-224BCAM -=16=- 事实上，类似的问题时有看到，只是很多时候用其他的方法取代了“极化恒等式”，或在无意中使用“极化恒等式”.在ABC ∆中,D 是BC 的中点，2,3AB AC ==，则AD BC ⋅=________.解析： ()()2AB AC AD BC AB AC +⋅=⋅-221()2ABAC =-52=. 5. 在Rt △ABC 中，CA ＝CB ＝3，M ，N 是斜边AB 上的两个动点，且MN =则CM CN 的取值范围为_______。