参数方程讲义

坐标系与参数方程一、知识点梳理(一)平面直角坐标系中的伸缩变化伸缩变换：设点),(y x P 是平面直角坐标系中的任意一点，在变换⎩⎨⎧>⋅='>⋅=').0(,y y 0),(x,x :μμλλϕ的作用下，点),(y x P 对应到点),(y x P '''，称ϕ为平面直角坐标系中的坐标伸缩变换，简称伸缩变换。

（二）极坐标系与极坐标1定义：在平面内取一个定点O ，叫做极点，引一条射线Ox ，叫做极轴，再选一个长度单位和角度的正方向（通常取逆时针方向）。

对于平面内的任意一点M ，用ρ表示线段OM 的长度，θ表示从Ox 到OM 的角，ρ叫做点M 的极径，θ叫做点M 的极角，有序数对(ρ, θ)就叫做点M 的极坐标，这样建立的坐标系叫做极坐标系。

2极坐标有四个要素：（1)极点；(2)极轴；(3)长度单位；图1(4)角度单位及它的方向。

3极坐标与直角坐标的不同点是，直角坐标系中，点与坐标是一一对应的，而极坐标系中，点与坐标是一多对应的．即一个点的极坐标是不惟一的。

4极坐标与直角坐标互化公式（以坐标原点为极点） （1）互化背景：把直角坐标系的原点作为极点，X 轴的正半轴作为极轴，并在两种坐标系中取相同长度的单位，如图所示：（2）互化公式：设M 是坐标平面内任意一点，它的直角坐标是），（y x ,极坐标是），（θρ，于是极坐标与直角坐标的互化公式如图一：（图一）（图二）5极坐标方程定义：用坐标系中的点与原点的距离以及该点与原点的连线与坐标轴的夹角来表示点的方法。

（三）常见曲线的极坐标方程（四）参数方程 1参数方程的定义：在取定的坐标系中，如果曲线上任意一点的坐标x 、y 都是某个变数t 的函数，即⎩⎨⎧==)()(t f y t f x并且对于t 每一个允许值，由方程组所确定的点M （x ，y ）都在这条曲线上，那么方程组就叫做这条曲线的参数方程，联系x 、y 之间关系的变数叫做参变数，简称参数． 2常见的参数方程 （1）直线的参数方程过定点),(00y x 且倾角为θ的直线00()(tan )y y k x x k θ-=-=的参数方程为：⎩⎨⎧+=+=θθsin cos 00t y y t x x （t 为参数，其他都是已知量）（2）曲线的参数方程圆：中心在),(00y x ，半径等于r 的圆22200()()x x y y r -+-=的参数方程为⎩⎨⎧+=+=θθsin cos 00r y y r x x （θ为参数）椭圆：中心在原点，焦点在x 轴（或y 轴）上的椭圆12222=+b y a x （a>b>0)或12222=+ay b x 的参数方程分别为：⎩⎨⎧==θθsin cos b y a x 或 ⎩⎨⎧==θθsin cos a y b x （θ为参数）（五）参数方程、极坐标方程、直角坐标方程相互转化 1直线：直角坐标方程—极坐标方程—参数方程直线的直角坐标方程转化为极坐标方程，只需把横纵坐标的位置转化为极坐标即令cos sin x y ρθρθ==；将参数方程转化为直角坐标方程，先移项变成点斜式，进行化简消参求出斜率，那么经过定点就可写出方程；极坐标与参数方程互化时，先将极坐标方程或参数方程转化为直角坐标方程，再相互转化。

转化示意图如下：直角坐标方程极坐标方程参数方程（图三）2圆：直角坐标方程—极坐标方程—参数方程相互转化 圆的直角坐标方程转化为极坐标方程，只需把横纵坐标的位置转化为极坐标即令cos sin x y ρθρθ==，将极坐标方程转化为直角坐标方程则需在等式两边同时乘以ρ或2ρ，由222y x +=ρ化简得到；将参数方程转化为直角坐标方程，先移项然后等式两边同时平方，进行相加，根据1cos sin22=+θθ运算消参，那么经过化简就可写出方程；极坐标方程与参数方程互化时，先将极坐标方程或参数方程转化为直角坐标方程，再相互转化。

转化示意图如下：直角坐标方程 极坐标方程 参数方程图四3、椭圆：直角坐标方程—极坐标方程—参数方程相互转化椭圆的直角坐标方程转化为极坐标方程，只需把横纵坐标的位置转化为极坐标即令cos sin x y ρθρθ==，将极坐标方程转化为直角坐标方程则需在等式两边同时乘以ρ或2ρ，由222y x +=ρ化简得到；将参数方程转化为直角坐标方程，先移项然后等式两边同时平方，进行相加运算，根据1cos sin22=+θθ运算消参，那么经过化简就可写出方程；极坐标方程与参数方程互化时，先将极坐标方程或参数方程转化为直角坐标方程，再相互转化。

直角坐标方程 极坐标方程 参数方程图五(六)参数方程的几何意义根据直线参数方程的标准式中t 的几何意义，有如下结论：1直线与圆锥曲线相交，交点对应参数分别为1,2t t ，则弦长12l t t =-；2定点0M 是弦12,M M 的中点，则120t t +=； 3设12,M M 的中点为M ，则点M 对应的参数值122M t t t +=二、考点突破题型一：参数方程化普通方程、极坐标方程化普通方程 对直线、曲线方程进行消参，通过定义及公式进行化简 经典例题分析：例1. 在直角坐标系x y O 中，直线l 的参数方程为132x t y ⎧=+⎪⎪⎨⎪=⎪⎩（t 为参数）．以原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，C e 的极坐标方程为ρθ=． （I ）写出C e 的直角坐标方程；(II)写出直线的直角坐标方程【答案】（I ）(223x y +-=；（II ）0333=--y x【解析】（I ）由ρθ=，两边同时乘以ρ得2sin ρθ=，又因为222x y ρ=+ 从而有22+x y =，所以(22+3x y =.（II ）由直线参数方程公式可得，过定点（3,0),斜率为3，由点斜式化简得到方程为0333=--y x 考点：1、极坐标方程化为直角坐标方程；2、参数方程化为直角坐标方程【名师点晴】本题主要考查的是极坐标方程化为直角坐标方程，解决此类问题的关键是极坐标方程或参数方程转化为平面直角坐标系方程，并把几何问题代数化．题型二：普通方程化参数方程、极坐标方程例2.已知曲线221:149x y C +=，直线l ：2,22,x t y t =+⎧⎨=-⎩（t 为参数），写出曲线C 的参数方程，直线l 的普通方程；【答案】2cos ,3sin ,x y θθ=⎧⎨=⎩260x y +-=；【解析 】根据椭圆的性质可得a=3,b=2,由椭圆参数方程公式θθsin cos a y b x ==可得该椭圆参数方程为2cos ,3sin ,x y θθ=⎧⎨=⎩， 【考点定位】椭圆和直线的参数方程【名师点睛】本题考查普通方程与参数方程的互化,熟练掌握普通方程与参数方程的互化公式是做这类题的关键，体现了数学转化思想和方法，同时考查了学生的综合分析问题的能力和计算能力.例3：直线l 过点(1,1)P ，倾斜角6πα=， （1）写出l 的参数方程；（2）直线l 与圆2cos 2sin x y θθ=⎧⎨=⎩相交于A 、B 两点，求||||PA PB g 。

【答案】(1) 1112x y t ⎧=+⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩ (2)2 【解析 】（1）根据直线参数方程可得,令t 为参数l 的参数方程1112x y t ⎧=⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩；(2)因为点A 、B 都在直线l 上，可设点A ，B 对应的参数分别为t1和t2 ，则点A ，B 的坐标分别为111(1,1)22A t ++ 221(1,1)22B t ++ 将直线l 的参数方程代入圆的方程x2 +y2 =4，整理得)2120t t ++-=t1和t2是方程①的解，从而t1t2=-2，|PA|·|PB|=|t1t2|=|-2|=2例4. 在直角坐标系xOy 中，直线1C :x =-2，圆2C ：()()22121x y -+-=,以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系.（1）求1C ，2C 的极坐标方程；（2）若曲线3c 的极坐标方程22)4sin(=+πθρ，求曲线3c 的直角坐标方程【答案】（Ⅰ）cos 2ρθ=-,22cos 4sin 40ρρθρθ--+=（II ）40x y +-=【解析】 用直角坐标与极坐标互化公式即可；用和差公式张开化简，然后用公式代入。

【考点定位】直角坐标方程与极坐标互化；【名师点睛】对直角坐标方程与极坐标方程的互化问题，要熟记互化公式，另外要注意互化时要将极坐标方程作适当转化，若是和角，常用两角和与差的三角公式展开，化为可以公式形式，有时为了出现公式形式，两边可以同乘以ρ。

题型三、求两个方程交点坐标及两个方程公共点先把两个方程转化为同一种表示法的方程，再联列方程组求解求解用带入消元或加减消元，涉及到二求次方程的根，要根据判别式确定方程解得个数。

例5 在直角坐标系xoy 中，曲线1cos ,:sin ,x t C y t αα=⎧⎨=⎩（t 为参数，0t ≠），其中0απ≤<，在以O 为极点，x 轴正半轴为极轴的极坐标系中，曲线2:2sin C ρθ=，曲线3:C ρθ=．（Ⅰ）求2C 与1C 交点的直角坐标；（Ⅱ）若2C 与1C 相交于点A ，3C 与1C 相交于点B ，求AB 的最大值．【答案】（Ⅰ）(0,0)和3)2；（Ⅱ）4． 【解析】（Ⅰ）曲线2C 的直角坐标方程为2220x y y +-=，曲线3C的直角坐标方程为220x y +-=．联立222220,0,x y y x y ⎧+-=⎪⎨+-=⎪⎩解得0,0,x y =⎧⎨=⎩或3,2x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩1C 所以2C 与交点的直角坐标为(0,0)和3)2． （Ⅱ）曲线1C 的极坐标方程为(,0)R θαρρ=∈≠，其中0απ≤<．因此A 得到极坐标为(2sin ,)αα，B 的极坐标为,)αα．所以2sin AB αα=-4in()3s πα=-，当56πα=时，AB 取得最大值，最大值为4．【考点定位】1、极坐标方程和直角坐标方程的转化；2、三角函数的最大值．【名师点睛】（Ⅰ）将曲线2C 与1C 的极坐标方程化为直角坐标方程，联立求交点，得其交点的直角坐标，也可以直接联立极坐标方程，求得交点的极坐标，再化为直角坐标；（Ⅱ）分别联立2C 与1C 和3C 与1C 的极坐标方程，求得,A B 的极坐标，由极径的概念将AB 表示，转化为三角函数的最大值问题处理，高考试卷对参数方程中参数的几何意义和极坐标方程中极径和极角的概念考查加大了力度，复习时要克服把所有问题直角坐标化的误区。

例6已知直线l 的参数方程为⎩⎨⎧-=-=t y t a x 42，（t 为参数），圆C 的参数方程为⎩⎨⎧==θθsin 4cos 4y x ，（θ为常数）. （I ）求直线l 和圆C 的普通方程； （II ）若直线l 与圆C 有公共点，求实数a 的取值范围.【答案】（I ）220x y a --=,2216x y +=;（II）a -≤ 【解析】(1)由直线、圆参数方程，消去参数就可以得到普通方程，用相互转化公式得直线方程为220x y a --= 圆的方程 2216x y +=（2）直线与圆有公共点等价于，圆心到直线距离小于或等于圆的半径，由点到直线距离公式可得，圆心（0,0）到直线220x y a --=距离452≤-=a d ，所以a的取值范围为a -≤ 考点：1.参数方程.2.直线与圆的位置关系.【名师点睛】“互化思想”是解决极坐标方程与参数方程问题的重要思想,解题时应熟互化公式,以及直线、圆、椭圆的参数方程形式题型四、利用参数方程求值域1应用点到直线的距离公式即A),(00y x 到直线0:=++c by ax L 的距离2200b a cby ax d +++=来结局距离最短等问题也是常考点2直线被曲线截得弦长公式：),(121212为两个交点横坐标为直线斜率，x x k x x k AB -+= ),(1121212为两个交点纵坐标为直线斜率，y y k y y kAB -+= 3切线长：等于圆心到切点距离和圆外这点到圆心距离的平方例7. 【2015高考陕西】在直角坐标系x y O 中，直线l 的参数方程为1322x t y ⎧=+⎪⎪⎨⎪=⎪⎩（t 为参数）．以原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，C e的极坐标方程为ρθ=．（I ）写出C e 的直角坐标方程；（II ）P 为直线l 上一动点，当P 到圆心C 的距离最小时，求P 的直角坐标． 【答案】（1）22(3x y += （2）（3,0）【解析】由ρθ=，得2sin ρθ=，从而有22x y +=所以22(3x y +=；设13,22p t t ⎛⎫+ ⎪ ⎪⎝⎭，又C(，则pc ==t=0时pc 取到最小值，此时p 的作为（3,0）名师点睛:本题主要考察极坐标与参数方程，利用两点距离公式例8在直角坐标系xOy 中，圆C 的方程为22(6)25x y ++=． （Ⅰ）以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，求C 的极坐标方程；（Ⅱ）直线l 的参数方程是cos sin x t y t αα=⎧⎨=⎩（t为参数）, l 与C 交于,A B 两点，||AB =l 的斜率．【答案】（Ⅰ）212cos 110ρρθ++=；（Ⅱ）3±.【解析】（I ）由cos ,sin x y ρθρθ==可得C 的极坐标方程212cos 110.ρρθ++=（II ）在（I ）中建立的极坐标系中，直线l 的极坐标方程为()R θαρ=∈由,A B 所对应的极径分别为12,,ρρ将l 的极坐标方程代入C 的极坐标方程得212cos 110.ρρα++=于是121212cos ,11,ρραρρ+=-=12||||AB ρρ=-==由||AB =得23cos ,tan 83αα==±，所以l 的斜率为3或3-.考点：圆的极坐标方程与普通方程互化， 直线的参数方程，点到直线的距离公式.【名师点睛】极坐标与直角坐标互化的注意点：在由点的直角坐标化为极坐标时，一定要注意点所在的象限和极角的范围，否则点的极坐标将不唯一．在曲线的方程进行互化时，一定要注意变量的范围．要注意转化的等价性.例9在平面直角坐标系xOy 中，已知直线l的参数方程是x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩，t 为参数）；以O 为极点，x 轴正半轴为极轴的极坐标系中，圆C 的极坐标方程为2cos()4ρθπ=+．（Ⅰ）写出直线l 的普通方程与圆C 的直角坐标方程；（Ⅱ）由直线l 上的点向圆C 引切线，求切线长的最小值.【答案】: （Ⅰ）02222=+-+y x y x (Ⅱ)62【解析】: （Ⅰ）根据直线参数方程转化公式可得圆c 的极坐标方程两边同时乘以ρ并用和差公式张开可得曲线C:02222=+-+y x y x （Ⅱ）因为圆C 极坐标方程θθρsin 2cos 2-=，所以θρθρρsin 2cos 22-=，所以圆C 的直角坐标方程为02222=+-+y x y x ，圆心为⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-22,22,半径为1,因为直线l 的参数方程为,x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩（t 为参数），所以直线l 上的点P +⎝向圆 C引切线长是所以直线l 上的点向圆C 引的切线长的最小值是62．题型五 根据条件求直线和曲线的轨迹方程 例10、直角坐标系xOy 中,曲线1C 的参数方程为2cos 22sin x y αα=⎧⎨=+⎩(α为参数),M 是1C 上的动点,P 点满足OP uuu v =2OM u u u u v ,P 点的轨迹为2C . (Ⅰ)求2C 的参数方程; (Ⅱ)在以O 为极点,x 轴的正半轴为极轴的极坐标系中,射线3πθ=与1C 的异于极点的交点为A ,与2C 的异于极点的交点为B ,求||AB .【答案】:4cos 44sin x y αα=⎧⎨=+⎩；【解析】(Ⅰ)设P (x ,y ),则由条件知M (2x ,2y),由于M 在1C 上,∴2cos 222sin 2xy αα⎧=⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩,即4cos 44sin x y αα=⎧⎨=+⎩,∴2C 的参数方程为4cos 44sin x y αα=⎧⎨=+⎩(α为参数); (Ⅱ)曲线1C 的极坐标方程为ρ=4sin θ,曲线2C 的极坐标方程为ρ=8sin θ, ∴射线3πθ=与1C 的交点A 的极径为1ρ=4sin3π,射线3πθ=与2C 的交点B 的极径为2ρ=8sin3π, ∴||AB =21||ρρ-=3考点:轨迹方程的求解，向量的基本性质，极坐标 名师点睛：根据已知条件列出相关式子进行化简，掌握关于向量极坐标的知识，便可解出这样类型的题目三、专题1．极坐标方程ρcos θ＝2sin2θ表示的曲线为（ ） A.一条射线和一个圆 B ．两条直线 C ．一条直线和一个圆 D ．一个圆2．在极坐标方程中，曲线C 的方程是ρ＝4sin θ，过点(4，π6)作曲线C 的切线，则切线长为( )A ．4 B.7 C ．2 2D ．2 33．极坐标方程θρcos ＋12＝化为普通方程是( )．A ．y 2＝4(x －1)B ．y 2＝4(1－x)C ．y 2＝2(x －1)D ．y 2＝2(1－x)4．在满足极坐标和直角坐标互的化条件下,极坐标方程θθρ222sin 4＋ cos 312＝经过直角坐标系下的伸缩变换⎪⎩⎪⎨⎧''y＝y x＝ x 3321后，得到的曲线是( )．A ．直线B ．椭圆C ．双曲线D ． 圆 5．方程θθρsin ＋ cos 11＝－表示的曲线是( )．A ．圆 B.椭圆 C ．双曲线 D ． 抛物线6.判断以下各点,哪一个在曲线231432x t t y t t ⎧=++⎪⎨=-+⎪⎩ (t为参数)上( )A.(0,2)B.(-1,6)C.(1,3)D.(3,4) 7.若直线的参数方程为1223x ty t =+⎧⎨=-⎩(t 为参数),则直线的斜率为( )2233....3322A B C D --8.过点M(2,1)作曲线C:44x cos y sin θθ=⎧⎨=⎩ (θ为参数)的弦,使M 为弦的中点,则此弦所在直线的方程为( )A.y-1=- (x-2)B.y-1=-2(x-2)C.y-2=- (x-1)D.y-2=-2(x-1) 9.直线l 的参数方程是122x ty t=+⎧⎨=-⎩ (t ∈R),则l 的方向向量d可以是( )A.(1,2)B.(2,1)C.(-2,1)D.(1,-2)10. 以平面直角坐标系的原点为极点，x 轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，两种坐标系中取相同的长度单位，已知直线l 的参数方程是13x t y t =+⎧⎨=-⎩（t 为参数），圆C 的极坐标方程是θρcos 4=，则直线l 被圆C 截得的弦长为（ ）A ．14B ．142 C ．2 D ．2211. 曲线1cos 2sin x y θθ=-+⎧⎨=+⎩，（θ为参数）的对称中心（ ）A ．在直线2y x =上B ．在直线2y x =-上C ．在直线1y x =-上D ．在直线1y x =+上12．与曲线01cos =+θρ关于4πθ=对称的曲线的极坐标方程是__________。