极坐标与参数方程讲义
极坐标与参数方程讲义
解析几何之参数方程一、二次曲线参数方程1、圆的参数方程2、椭圆的参数方程3、双曲线的参数方程4、抛物线的参数方程二、直线的参数方程1、直线参数方程的推导问题：直线的参数方程中，参数t 的意义？（1）t 的符号：相对于()000,P x y 的位置；（2）t 的绝对值：0PP t =2、直线参数方程的变式：解析几何之极坐标一、极坐标系1、建系391,,2,,3,,4,4244A B C D ππππ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭2、点与其极坐标之间的对应关系3、对称点问题2 设点(),M ρθ，直线l 过极点且垂直于极轴，分别求点M 关于极轴，直线l ，极点的对称点的极坐标4、极坐标与直角坐标关系问题3 把下列点的极坐标化为直角坐标()22,,1,23A B π⎛⎫ ⎪⎝⎭问题4 把下列点的直角坐标化为极坐标()()1,1,1,A B π-问题5 分别求下列条件中AB 的中点M 的极坐标（1）24,,6,33A B ππ⎛⎫⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭；（2）24,,6,43A B ππ⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭二、曲线的极坐标方程的概念1、概念2、极坐标方程与直角坐标方程的转化问题6 将下列极坐标方程化为直角坐标方程（1）1ρ=； （2）sin ρθ=； （3）cos 1ρθ=；（4）2cos 0ρθρ-=； （5）22sin 2a ρθ=（6）22cos 3sin 6cos 0m ρθρθθ+-=3、直线的极坐标方程4、圆的极坐标方程5、圆锥曲线统一方程【高考真题】1.在极坐标系中,圆=2cos p θ的垂直于极轴的两条切线方程分别为（ ）A ．=0()cos=2R θρρ∈和B ．=()cos=22R πθρρ∈和C ．=()cos=12R πθρρ∈和 D ．=0()cos=1R θρρ∈和2 已知圆的极坐标方程为4cos ρθ=, 圆心为C , 点P 的极坐标为4,3π⎛⎫ ⎪⎝⎭, 则|CP | = ______ 3 在极坐标系中,曲线cos 1ρθ=+与cos 1ρθ=的公共点到极点的距离为__________4 在极坐标系中,点(2,6π)到直线ρsin θ=2的距离等于_________ 5 在直角坐标系xOy 中,以原点O 为极点,x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系.若极坐标方程为cos 4ρθ=的直线与曲线23x t y t⎧=⎪⎨=⎪⎩(为参数)相交于,A B 两点,则______AB = 6 已知曲线C 的参数方程为2cos 2sin x t y t⎧=⎪⎨=⎪⎩ (为参数),C 在点()1,1处的切线为,以坐标原点极点,x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系,则的极坐标方程为_____________7设曲线C 的参数方程为2x ty t =⎧⎨=⎩(为参数),若以直角坐标系的原点为极点,x 轴的正为半轴为极轴建立极坐标系,则曲线c 的极坐标方程为__________8在直角坐标系xOy 中,椭圆C 的参数方程为cos sin x a y b θθ=⎧⎨=⎩()0a b ϕ>>为参数，.在极坐标系(与直角坐标系xOy 取相同的长度单位,且以原点O 为极点,以x 轴正半轴为极轴)中,直线与圆O 的极坐标方程分别为2sin 42m πρθ⎛⎫+= ⎪⎝⎭()m 为非零常数与b ρ=.若直线经过椭圆C 的焦点,且与圆O 相切,则椭9在直角坐标系xoy 中以O 为极点,x 轴正半轴为极轴建立坐标系.圆1C ,直线2C 的极坐标方程分别为4sin ,cos 2 2.4πρθρθ⎛⎫==-= ⎪⎝⎭. (1)求1C 与2C 交点的极坐标;(2)设P 为1C 的圆心,Q 为1C 与2C 交点连线的中点.已知直线PQ 的参数方程为()3312x t a t R b y t ⎧=+⎪∈⎨=+⎪⎩为参数,求,a b 的值.10．坐标系与参数方程:在平面直角坐标系中,以坐标原点为极点,x 轴的非负半轴为极轴建立坐标系.已知点A 的极坐标为(2,)4π,直线的极坐标方程为cos()4a πρθ-=,且点A 在直线上. (1)求a 的值及直线的直角坐标方程;(2)圆C 的参数方程为1cos sin x y αα=+⎧⎨=⎩,(α为参数),试判断直线与圆的位置关系.11．已知曲线1C 的参数方程为45cos 55sin x t y t=+⎧⎨=+⎩(为参数),以坐标原点为极点,x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系,曲线2C 的极坐标方程为2sin ρθ=.(Ⅰ)把1C 的参数方程化为极坐标方程;(Ⅱ)求1C 与2C 交点的极坐标()0,02ρθπ≥≤≤.12在直角坐标系xoy 中，以坐标原点为极点，x 轴为极轴建立极坐标系，半圆C 的极坐标方程为2cos ρθ=，0,2πθ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦. （Ⅰ）求C 的参数方程；（Ⅱ）设点D 在C 上，C 在D 处的切线与直线:32l y x =+垂直，根据（Ⅰ）中你得到的参数方程，确定D 的坐标.13将圆221x y +=上每一点的横坐标保持不变，纵坐标变为原来的2倍，得曲线C（1）写出C 的参数方程；（2）设直线:220l x y +-=与C 的交点为12,P P ，以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极坐标建立极坐标系，求过线段12PP 的中点且与l 垂直的直线的极坐标方程.。
极坐标与参数方程知识讲解
参数方程和极坐标系一、 知识要点（一）曲线的参数方程的定义：在取定的坐标系中，如果曲线上任意一点的坐标x 、y 都是某个变数t 的函数，即 ⎩⎨⎧==)()(t f y t f x 并且对于t 每一个允许值，由方程组所确定的点M （x ，y ）都在这条曲线上，那么方程组就叫做这条曲线的参数方程，联系x 、y 之间关系的变数叫做参变数，简称参数．（二）常见曲线的参数方程如下：1．过定点（x 0，y 0），倾角为α的直线：ααsin cos 00t y y t x x +=+= （t 为参数）其中参数t 是以定点P （x 0，y 0）为起点，对应于t 点M （x ，y ）为终点的有向线段PM 的数量，又称为点P 与点M 间的有向距离．根据t 的几何意义，有以下结论．○1．设A 、B 是直线上任意两点，它们对应的参数分别为t A 和t B ，则AB ＝A B t t -＝B A A B t t t t ⋅--4)(2．○2．线段AB 的中点所对应的参数值等于2B A t t +． 2．中心在（x 0，y 0），半径等于r 的圆：θθsin cos 00r y y r x x +=+= （θ为参数）3．中心在原点，焦点在x 轴（或y 轴）上的椭圆：θθsin cos b y a x == （θ为参数） （或 θθsin cos a y b x ==） 中心在点（x0,y0）焦点在平行于x 轴的直线上的椭圆的参数方程为参数）ααα(.sin ,cos 00⎩⎨⎧+=+=b y y a x x 4．中心在原点，焦点在x 轴（或y 轴）上的双曲线：θθtg sec b y a x == （θ为参数） （或 θθec a y b x s tg ==） 5．顶点在原点，焦点在x 轴正半轴上的抛物线：pty pt x 222== （t 为参数，p ＞0） 直线的参数方程和参数的几何意义过定点P （x 0，y 0），倾斜角为α的直线的参数方程是 ⎩⎨⎧+=+=ααsin cos 00t y y t x x （t 为参数）． J3.2极坐标系1、定义：在平面内取一个定点O ，叫做极点，引一条射线Ox ，叫做极轴，再选一个长度单位和角度的正方向（通常取逆时针方向）。
高中数学极坐标和参数方程讲义
极坐标和参数方程讲义姓名： 学号：一、极坐标与普通方程互化条件：极点与原点重合，极轴与x 轴正半轴重合，长度单位相同.互化公式：⎩⎨⎧==θρθρsin cos y x 或 ⎪⎩⎪⎨⎧≠=+=)0(tan 222x x yy x θρθ的象限由点(x,y)所在的象限确定.【典型范例】例题1. 点M 的极坐标分别是(2,)2π，(4,)π，2(6,)3π，3(2,)4π 换算成直角坐标是3. 点M 的直角坐标分别是(2,0)，(0,2)-，(2,2)--，(如果0,02ρθπ≥≤<换算成极坐标是例题2．在极坐标系中，过圆4cos =ρθ的圆心，且垂直于极轴的直线的极坐标方程为 ．变式1.在极坐标系中，圆心在()2，π且过极点的圆的方程为（ ）A.ρθ=22cosB.ρθ=-22cosC.ρθ=22sinD.ρθ=-22sin变式2．(广东文)已知曲线21,C C 的极坐标方程分别为θρθρcos 4,3cos ==（20,0πθρ<≤≥），则曲线1C 与2C 交点的极坐标为__ ___.变式3. (广州一模)在极坐标系中，过点4π⎛⎫⎪⎝⎭作圆4sin ρθ=的切线，则切线的 极坐标方程是 ．例题3．( 广东文)在极坐标系中，直线l 的方程为ρsin θ=3，则点(2，6π)到直线l 的距离为 ．变式1.(韶关调研理) 设Ｍ、Ｎ分别是曲线2sin 0ρθ+=和s ()42in πρθ+=上的动点， 则Ｍ、Ｎ的最小距离是变式2.（深圳一模理）在极坐标系中，已知点A （1，43π）和B )4,2(π,则A 、B 两点间的距离是 ．二、常见的参数方程的概念：圆222r )b y ()a x (=-+-的参数方程可表示为)(.rsin b y ,rcos a x 为参数θθθ⎩⎨⎧+=+=.椭圆1b y a x 2222=+(a>b>0)的参数方程可表示为)(.bsin y ,acos x 为参数θθθ⎩⎨⎧==. 经过点)y ,x (M o o O ，倾斜角为α的直线l 的参数方程可表示为⎩⎨⎧+=+=.tsin y y ,tcos x x o o αα（t 为参数）。
极坐标与参数方程知识讲解修订版
极坐标与参数方程知识讲解修订版IBMT standardization office【IBMT5AB-IBMT08-IBMT2C-ZZT18】参数方程和极坐标系一、 知识要点（一）曲线的参数方程的定义：在取定的坐标系中，如果曲线上任意一点的坐标x 、y 都是某个变数t 的函数，即⎩⎨⎧==)()(t f y t f x 并且对于t 每一个允许值，由方程组所确定的点M （x ，y ）都在这条曲线上，那么方程组就叫做这条曲线的参数方程，联系x 、y 之间关系的变数叫做参变数，简称参数．（二）常见曲线的参数方程如下：1．过定点（x 0，y 0），倾角为α的直线：ααsin cos 00t y y t x x +=+= （t 为参数）其中参数t 是以定点P （x 0，y 0）为起点，对应于t 点M （x ，y ）为终点的有向线段PM 的数量，又称为点P 与点M 间的有向距离．根据t 的几何意义，有以下结论．○1．设A 、B 是直线上任意两点，它们对应的参数分别为t A 和t B ，则AB ＝A B t t -＝B A A B t t t t ⋅--4)(2．○2．线段AB 的中点所对应的参数值等于2BA t t +． 2．中心在（x 0，y 0），半径等于r 的圆：θθsin cos 00r y y r x x +=+= （θ为参数）3．中心在原点，焦点在x 轴（或y 轴）上的椭圆：θθsin cos b y a x == （θ为参数） （或 θθsin cos a y b x ==）中心在点（x0,y0）焦点在平行于x 轴的直线上的椭圆的参数方程为参数）ααα(.sin ,cos 00⎩⎨⎧+=+=b y y a x x 4．中心在原点，焦点在x 轴（或y 轴）上的双曲线：θθtg sec b y a x == （θ为参数） （或 θθec a y b x s tg ==）5．顶点在原点，焦点在x 轴正半轴上的抛物线：pty pt x 222== （t 为参数，p ＞0）直线的参数方程和参数的几何意义过定点P （x 0，y 0），倾斜角为α的直线的参数方程是 ⎩⎨⎧+=+=ααsin cos 00t y y t x x （t 为参数）．J3.2极坐标系1、定义：在平面内取一个定点O ，叫做极点，引一条射线Ox ，叫做极轴，再选一个长度单位和角度的正方向（通常取逆时针方向）。
高等数学课件：极坐标参数方程
例 2．将极坐标方程2 a2cos2 化为直角坐标方程： 解： 2 a2(cos 2sin2), 4 a22(cos2sin2), 4 a2[(cos)2 (sin)2], (x2 y2)2 a2(x2 y2).
（三）极坐标系中曲线的对称性
（2）当 R, R 时，
M(, )
的量法 ：逆转为正，顺转为负. O
0
x
的量法 ： 0 时，则在角的 终边上取 M 点，使OM ；
0 时，则在角的 终边的反向延长线上取 M 点，
使 OM .
O
0
x
M(, )
M(, )
(, )
O
x
M1(, )
这样，一对实数(, ) 对应唯 一 点 M，
(, 2k) (, (2k
2．
椭圆
x2 a2
y2 b2
1
(ab0)
的参数方程：
xacost
ybsint
,
t[0, 2].
椭圆
(
x
x a2
)2
(
y
y b2
)2
1
(ab0)
的参数方程：
x y
x y
acost bsint
(a
b
0),
t[0, 2].
3．摆线的参数方程：
xa(t sint) y a(1cost )
(
y
)
2 3
1
，
aa
2 22
故普通方程为 x 3 y 3 a 3 .
（二）几种常见曲线的参数方程
1． 圆 x2 y2 a2 的参数方程：
x acost yasint
艺术生高考数学专题讲义考点60极坐标与参数方程
艺术生高考数学专题讲义考点60极坐标与参数方程一、极坐标与参数方程的基本概念及性质1.极坐标：在平面直角坐标系中，以极轴为基准，通过极径和极角来确定一个点的坐标。
极坐标中，点的坐标表示为(r,θ)，其中r为极径，θ为极角。
2.参数方程：用一个参数t表示自变量，由参数方程可以将二维平面上的点的坐标表示为一对关于参数t的函数。
一般形式为{x=f(t),y=g(t)}。
二、极坐标和参数方程的转化1. 极坐标转参数方程：通过极坐标的关系式，将r和θ用参数t表示，并转化为参数方程。
例如，直角坐标系中的点{(x,y)}可以用极坐标{(r,θ)}表示，其中x=r cosθ，y=r sinθ。
将x和y分别用参数t表示，可得到参数方程{x=f(t), y=g(t)}。
2. 参数方程转极坐标：反过来，将参数方程中的x和y分别转化为极坐标中的r和θ。
例如，参数方程{x=f(t), y=g(t)}可以表示为极坐标{(r, θ)}，其中r²=f²(t)+g²(t)，tanθ=g(t)/f(t)。
1.圆的极坐标和参数方程：极坐标：r=a；参数方程：{x=a cosθ, y=a sinθ}。
2.直线的极坐标和参数方程：极坐标：θ=α；参数方程：{x=a sec(θ-α), y=a tan(θ-α)}。
3.椭圆的极坐标和参数方程：极坐标：r=a√(1-ε²cos²θ)；参数方程：{x=a cosθ, y=b sinθ}。
4.渐近线的极坐标和参数方程：极坐标：θ=π±α；参数方程：{x=a cos(θ±α), y=a sin(θ±α)}。
四、极坐标与参数方程的应用1.曲线的表示：极坐标和参数方程可以用来表示一些特殊的曲线，如圆、椭圆、双曲线等。
通过改变参数的取值范围和数值，可以得到不同形状的曲线。
2.确定曲线的方程：已知一些特征点的极坐标或参数方程，可以借助与直角坐标系的关系，确定曲线的方程。
第12讲 极坐标与参数方程
第12讲极坐标与参数方程【知识回顾】1.极坐标（方程）与直角坐标（方程）的相互转化，参数方程与普通方程相互转化，极坐标方程与参数方程相互转化。
方法如下：2.用的参数方程及其应用（1）圆222)()(rbyax=-+-的参数方程可表示为)(.sin,cos为参数θθθ⎩⎨⎧+=+=rbyrax.（2）椭圆的参数方程可表示为（3）已知直线l过),(yxM，倾斜角为α，l与圆锥曲线相交于BA,两点，则求弦长AB的方法如下：将直线l的参数方程)(sincos0为参数ttyytxx⎩⎨⎧+=+=αα代入圆锥曲线的方程，消去yx,得到关于t的一元二次方程，由判别式∆和韦达定理得到21tt+，21t t的值，代入弦长公式21221214)(t tttttAB-+=-=，M到两交点的距离之积为21t tMBMA=•.3.简单参数方程及应用（1）将参数方程化为普通方程的基本途径就是消参,消参过程注意两点:①准确把握参数形式之间的关系;②注意参数取值范围对曲线形状的影响.（2）已知曲线普通方程求参数方程时,（3）一般地,如果题目中涉及圆、椭圆上的动点或求最值范围问题时可考虑用参数方程,设曲线上点的坐标,将问题转化为三角恒等变换问题解决,使解题过程简单明了。
高考题中极坐标与参数方程主要考查简单图形的极坐标方程，极坐标与直角坐标的互化，直线、圆和圆锥曲线的参数方程，参数方程化为直角坐标方程等。
αOyxle MM0)(.sin,cos为参数ϕϕϕ⎩⎨⎧==byax12222=+byax)0(>>ba课堂反馈】1. 在极坐标系中，过点(1, π2)且平行于极轴的直线方程是( )A. ρ=1B. ρsinθ=1C. ρcosθ=1D. ρ=2sinθ2. 点M 的极坐标是(3,π6)，则点M 的直角坐标为( )A. (3√32,32)B. (√32,32)C. (32,3√32)D. 以上都不对3. 若点P(2,4)在直线l ：{x =1+ty =3−at(t 为参数)上，则a 的值为( ) A. 3 B. 2 C. 1 D. −14. 直线l 的参数方程为{x =1+3t ,y =2+4t(t 为参数)，则点(1,0)到直线l 的距离是( ) A. 15B. 25C. 45D. 655. 已知圆的方程为x 2+y 2−2y =0.以原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，该圆的极坐标方程为( )A. ρ=−2sinθB. ρ=2sinθC. ρ=−2cosθD. ρ=2cosθ6. 点P(2,0)到直线{x =1+4ty =2+3t，(t 为参数，t ∈R)的距离为( )A. 35B. 45C. 65D. 1157. 已知曲线的参数方程为{x =3t 2+2y =t 2−1(0≤t ≤5)，则曲线为( ) A. 线段 B. 双曲线的一支 C. 圆弧 D. 射线8. 直线{x =1+3ty =1+t(t 是参数)上对应t =0，t =1两点间的距离是 ( ) A. 1B. 10C. √10D. 2√29. 曲线θ=2π3与ρ=6sinθ的两个交点之间的距离为( )A. 1B. √3C. 3√3D. 610. 极坐标方程分别是ρ=4cosθ和ρ=4sinθ的两个圆的圆心距是 ( )A. 1B. 2√2C. 2D. √211. 直线{x =1+√3ty =t(t 为参数)与曲线{x =cosθ+1y =sinθ(θ为参数)相交的弦长为( ) A. 1B. 2C. 3D. 412. 若圆的参数方程为为参数)，则圆的圆心坐标为( )A. (0,2)B. (0,−2)C. (−2,0)D. (2,0)13. 直线ρ(√3cosθ−sinθ)=2与圆ρ=4sinθ的交点的极坐标为( )A. (2,π6)B. (2,π3)C. (4,π6)D. (4,π3)14. 圆ρ=2sinθ的圆心到直线ρcosθ−2ρsinθ+1=0的距离为( )A. √55B. 2√55C. 3√55D. 4√5515. 曲线{x =−2+5ty =1−2t(t 为参数)与坐标轴的交点是( ) A. (0,25)、(12,0) B. (0,15)、(12,0) C. (0,−4)、(8,0) D. (0,59)、(8,0)16. 已知圆的极坐标方程是ρ=2cosθ，那么该圆的直角坐标方程是( )A. (x −1)2+y 2=1B. x 2+(y −1)2=1C. (x +1)2+y 2=1D. x 2+y 2=2 17. 曲线C ：p =2cosθ上任意一点P 到点Q(√2,π4)的最大距离等于( )A. √2B. 2C. √3D. √618. 下列极坐标方程表示圆的是( )A. ρ=1B. θ=π2 C. ρsinθ=1 D. ρ(sinθ+cosθ)=119. 在极坐标系中，曲线ρ2−6ρcosθ−2ρsinθ+6=0与极轴交于A ，B 两点，则A ，B 两点间的距离等于( ) A. √3 B. 2√3 C. 2√15 D. 4 20. 椭圆x 216+y 24=1上的点到直线{x =√2−ty =12t(t 为参数)的最大距离是( ) A. 3 B. √11 C. 2√2 D. √1021. 在直角坐标系xOy 中，圆C 的参数方程{y=sinφx=1+cosφ(φ为参数)，以O 为极点，x 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系；(1)设M(x,y)是圆C 上的动点，求m =3x +4y 的取值范围； (2)求圆C 的极坐标方程。
演示文稿极坐标和参数方程
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一、极坐标的概念
1.平面上点的极坐标
如图10 1所示,在平面上取一定点O,从O引一条射线Ox,再 取定一个单位长度并规定角旋转的正方向(通常以逆时针方向 为正),这样就构成了一个极坐标系.O点称为极点,射线Ox称为 极轴.
M ,
•
O•
x
图10-1 极坐标系图形示意
例如,如图10-2所示,当
0, 0
2时,
点M
1和M
的极坐标
2
分别为
3,
6
和1,2
,
而极坐标为
3,
3 4
和
2,11 6
所对应的点
分别是M 3和M 4.
2
3
4
M •
3
•M 2
M •
1
6
O • M4
x 11 6
图10 2 M , M , M , M 的极坐标
1
2
3
4
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由于实际应用的需要,极径和极角也可以取负值.当 0 时,规定在角的终边上取点M ,使 OM ,如图10 3(a)所示;当 0时,则在角的终边的反向延长线上取点M ,使 OM ,如 图10 3(b)所示;当 0时,极轴按逆时针方向旋转;当 0时,极
图10-11 心形线
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3.极坐标方程的建立 我们知道曲线可以看成是适合某种条
件的点的轨迹.如果在极坐标系内用流动坐标 , , 将满足的条
件表示成一个关系式 f ,则这个关系式就是曲线的极坐标
方程.
例8 求经过点Aa,0且a 0,而和极轴垂直的直线的极坐
标方程.
解 如图10 -12所示,设M , 是直线上任意一点.连接OM ,
极坐标与参数方程讲义
极坐标与参数方程一、极坐标知识点 1.极坐标系的概念 (1)极坐标系如图所示,在平面内取一个定点O ,叫做极点,自极点O 引一条射线Ox ,叫做极轴;再选定一个长度单位,一个角度单位(通常取弧度)及其正方向(通常取逆时针方向),这样就建立了一个极坐标系.注:极坐标系以角这一平面图形为几何背景,而平面直角坐标系以互相垂直的两条数轴为几何背景;平面直角坐标系内的点与坐标能建立一一对应的关系,而极坐标系则不可.但极坐标系和平面直角坐标系都是平面坐标系.(2)极坐标设M 是平面内一点,极点O 与点M 的距离|OM|叫做点M 的极径,记为ρ;以极轴Ox 为始边,射线OM 为终边的角xOM ∠叫做点M 的极角,记为θ.有序数对(,)ρθ叫做点M 的极坐标,记作(,)M ρθ.一般地,不作特殊说明时,我们认为0,ρ≥θ可取任意实数.特别地,当点M 在极点时,它的极坐标为(0, θ)(θ∈R).和直角坐标不同,平面内一个点的极坐标有无数种表示.如果规定0,02ρθπ>≤<,那么除极点外,平面内的点可用唯一的极坐标(,)ρθ表示;同时,极坐标(,)ρθ表示的点也是唯一确定的.2.极坐标和直角坐标的互化(1)互化背景:把直角坐标系的原点作为极点,x 轴的正半轴作为极轴,并在两种坐标系中取相同的长度单位,如图所示:(2)互化公式:设M 是坐标平面内任意一点,它的直角坐标是(,)x y ,极坐标是(,)ρθ(0ρ≥),于是极坐标与直角坐标的互化公式如表:在一般情况下,由tan θ确定角时,可根据点M 所在的象限最小正角. 3.常见圆与直线的极坐标方程注:由于平面上点的极坐标的表示形式不唯一,即(,),(,2),(,),(,),ρθρπθρπθρπθ+-+--+都表示同一点的坐标,这与点的直角坐标的唯一性明显不同.所以对于曲线上的点的极坐标的多种表示形式,只要求至少有一个能满足极坐标方程即可.例如对于极坐标方程,ρθ=点(,)44M ππ可以表示为5(,2)(,2),444444ππππππππ+-或或(-)等多种形式,其中,只有(,)44ππ的极坐标满足方程ρθ=. 二、考点阐述考点1、极坐标与直角坐标互化例题1、在极坐标中，求两点)4,2(),4,2(ππ-Q P 之间的距离以及过它们的直线的极坐标方程。
第一轮复习讲义知识点四十极坐标与参数方程
y － y 0 ＝tan ( x － x 0 )
x x0 t cos y y 0 t sin
x r cos x a r cos 或 y r sin y b r sin x a cos y b sin
M0( x 0 ， y 0 )，倾斜角为 和参数方
x2 ＋ y2 ＝ r 2
圆 ( x － a ) ＋( y － b ) ＝ r
2 2
2
椭圆
x2 y2 1 ( a ＞ b ＞0) a2 b2
直线参数方程中参数 t 的几何意义：过定点
程为：
x x0 t cos y y 0 t sin
极 坐 标 与 参 数 方 程
考 点 知 识 梳 理
一、平面直角坐标系中的伸缩变换
' x x( 0) 设点 P( x ， y )是平面直角坐标系中的任意一点，在变换式 的作用下，点 ' y y ( 0)
P( x ， y )对应到点 Pˊ( x ' ， y ' )，称为平面直角坐标系中的坐标伸缩 y 2 y'
【解析】 ：C
x' 3 x B： y' 2 y
x' 3x C： 1 y' y 2
x 3x' D： 1 y y' 2
二、极坐标
（一）定义：在平面内取一定点 O，由点 O 引出一条射线 Ox，并选定一个长度单位，
（二） 、参数方程与普通方程的互化
2
曲线的参数方程和普通方程是曲线方程的不同形式，一般地，可以通过消去参数 而从参数 ．．．． 方程得到普通方程。如果知道变数 x 、 y 中的一个参数 t 的关系，例如 x ＝ f (t ) ，把它代入
极坐标与参数方程知识讲解
极坐标与参数方程知识讲解参数方程和极坐标系（一）曲线的参数方程的定义:在取定的坐标系中，如果曲线上任意一点的坐标x 、y 都是某个变数t 的函数，即并且对于t 每一个允许值，由方程组所确定的点M （x ，y ）都在这条曲线上，那么方程组就叫做这条曲线的参数方程，联系 x 、y 之间关系的变 数叫做参变数，简称参数.（二）常见曲线的参数方程如下：1. 过定点（X o ，y o ），倾角为a 的直线：其中参数t 是以定点P （x o ，y o ）为起点，对 应于t 点M （x, y ）为终点的有向线段PM 的数量, 又称为点P 与点M 间的有向距离.根据t 的几何意义，有以下结论.①.设A 、B 是直线上任意两点，它们对应的 参数分别为 t A 和 t B ，则 |AB = |t^t A= J （tBYA ）' -4t A t B .2. 中心在（x o , y o ），半径等于r 的圆:知识要点X=X 0tcos ：y = y 0（t 为参数）（2 .线段AB 的中点所对应的参数值等于t A t Bx =X Q r COST y = y 0 rsin3 •中心在原点，焦点在x 轴（或y 轴）上的 椭圆： 沃 •为参数）（或 ）1y 二 bs iny = asi nr 丿中心在点（x0,y0）焦点在平行于x 轴的直线上 的椭圆的参数方程x]xo：cos[ X-为参数）y = y 0 +bsi na.焦点在x 轴（或y 轴）上的2、极坐标有四个要素：①极点；②极轴；③ 长度单位；④角度单位及它的方向.极坐标与直角 坐标都是一对有序实数确定平面上一个点，在极坐 标系下，一对有序实数 —对应惟一点P （，）， 但平面内任一个点P 的极坐标不惟一.一个点可以 有无数个坐标，这些坐标又有规律可循的，PC'，） （极点除外）的全部坐标为C',r + 2k ：J 或（（2k l ）：）,（k Z ）.极点的极径为0,而极角任意取.若5. 线：顶点在原点， 焦点在X 轴正半轴上的抛物x =2pt 2y = 2pt （t 为参数， 4. 双曲线:（A 为参数） （或（二为参数） 中心在原点，P> 0）直线的参数方程和参数的几何意义过定点P （X o, y°）,倾斜角为a的直线的参数方程是其阳瞌；（t为参数）.J3.2极坐标系1、定义：在平面内取一个定点0，叫做极点，引一条射线Ox,叫做极轴，再选一个长度单位和角度的正方向（通常取逆时针方向）。
极坐标与全参数方程知识讲解
参数方程和极坐标系一、 知识要点（一）曲线的参数方程的定义：在取定的坐标系中，如果曲线上任意一点的坐标x 、y 都是某个变数t 的函数，即 ⎩⎨⎧==)()(t f y t f x并且对于t 每一个允许值，由方程组所确定的点M （x ，y ）都在这条曲线上，那么方程组就叫做这条曲线的参数方程，联系x 、y 之间关系的变数叫做参变数，简称参数． （二）常见曲线的参数方程如下： 1．过定点（x 0，y 0），倾角为α的直线：ααsin cos 00t y y t x x +=+= （t 为参数）其中参数t 是以定点P （x 0，y 0）为起点，对应于t 点M （x ，y ）为终点的有向线段PM 的数量，又称为点P 与点M 间的有向距离．根据t 的几何意义，有以下结论． ○1．设A 、B 是直线上任意两点，它们对应的参数分别为t A 和t B ，则AB ＝A B t t -＝B A A B t t t t ⋅--4)(2．○2．线段AB 的中点所对应的参数值等于2BA t t +． 2．中心在（x 0，y 0），半径等于r 的圆：θθsin cos 00r y y r x x +=+= （θ为参数）3．中心在原点，焦点在x 轴（或y 轴）上的椭圆：θθsin cos b y a x == （θ为参数） （或θθsin cos a y b x ==）中心在点（x0,y0）焦点在平行于x 轴的直线上的椭圆的参数方程为参数）ααα(.sin ,cos 00⎩⎨⎧+=+=b y y a x x 4．中心在原点，焦点在x 轴（或y 轴）上的双曲线：θθtg sec b y a x == （θ为参数） （或θθec a y b x s tg ==）5．顶点在原点，焦点在x 轴正半轴上的抛物线：pty ptx 222== （t 为参数，p ＞0）直线的参数方程和参数的几何意义过定点P （x 0，y 0），倾斜角为α的直线的参数方程是 ⎩⎨⎧+=+=ααsin cos 00t y y t x x （t 为参数）． J3.2极坐标系1、定义：在平面内取一个定点O ，叫做极点，引一条射线Ox ，叫做极轴，再选一个长度单位和角度的正方向（通常取逆时针方向）。
高中数学讲义微专题94 极坐标与参数方程
距离，而 表示极轴绕极点逆时针旋转至过该点时转过的角度，通常： 0, 0, 2
3、直角坐标系与极坐标系坐标的互化：如果将极坐标系的原点与直角坐标系的原点重合，极
轴与 x 轴重合，则同一个点可具备极坐标 , 和直角坐标 x, y ，那么两种坐标间的转化公
l : x y a 0 与圆 x 12 y 2 2 5 相交于 A, B ，且 AB 2 3 ，利用圆与直线关系
1 2 a
可求得圆心到直线距离 d
2 即 a 3 2 ，解得 a 5 或 a 1
2
答案： a 5 或 a 1 例 6：以直角坐标系的原点为极点， x 轴的正半轴为极轴，并在两种坐标系中取相同的长度单
，则
OCP
的面积为___________
思路一：将 C 转变为直角坐标系方程：
4sin
3
2 sin
2
3 cos 2 2 sin 2
3 cos
x2 y2 2 3x 2y x
3
2
y 12 4 ，所以 C
3,1 ，再求出 P 的直角坐标
为
2,2 3
，则
SOCP
1 t2
2
可得：
x2
y
2
（3）平方消参：利用 sin2 cos2 1 消去参数
x 3cos
例如：
y
2 sin
x
3 y
2
cos sin
x2 9
y2 4
1
3、常见图形的参数方程：
（1）圆： x
a 2
y
b 2
r
2
的参数方程为：
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极坐标与参数方程一、极坐标知识点1.极坐标系的概念（1）极坐标系如图所示,在平面内取一个定点0,叫做极点，自极点0引一条射线Ox，叫做极轴；再选定一个长度单位，一个角度单位（通常取弧度）及其正方向（通常取逆时针方向）,这样就建立了一个极坐标系.注：极坐标系以角这一平面图形为几何背景，而平面直角坐标系以互相垂直的两条数轴为几何背景；平面直角坐标系内的点与坐标能建立一一对应的关系，而极坐标系则不可•但极坐标系和平面直角坐标系都是平面坐标系•（2）极坐标设M是平面内一点，极点0与点M的距离|0M|叫做点M的极径，记为；以极轴0X为始边，射线0M为终边的角XOM叫做点M的极角，记为•有序数对（，）叫做点M的极坐标，记作M （,）.一般地，不作特殊说明时，我们认为0，可取任意实数•特别地，当点M在极点时，它的极坐标为（0，）（€ R）.和直角坐标不同，平面内一个点的极坐标有无数种表示•如果规定0,0 2 ，那么除极点外，平面内的点可用唯一的极坐标（，）表示；同时，极坐标（，）表示的点也是唯一确定的•2.极坐标和直角坐标的互化（1）互化背景：把直角坐标系的原点作为极点，x轴的正半轴作为极轴，并在两种坐标系中取相同的长度单位，如图所示:⑵互化公式：设M是坐标平面内任意一点，它的直角坐标是（x，y），极坐标是（，）（0），于是极坐标与直角坐标的互化公式如表：在一般情况下，由tan确定角时，可根据点M所在的象限最小正角注：由于平面上点的极坐标的表示形式不唯一，即(,),(,2 ),(, ),(, ),都表示同一点的坐标,这与点的直角坐标的唯一性明显不同.所以对于曲线上的点的极坐标的多种表示形式，只要求至少有一个能满足极坐标方程即可.例如对于极坐标方程，点M(,)可以表示为4 45(, 2 )或(， 2 )或(-, 等多种形式,其中,只有(，)的极坐标满足方4 4 4 4 4 4 4 4程、考点阐述考点1、极坐标与直角坐标互化例题1、在极坐标中，求两点 P(2,Q ), Q(2,-)之间的距离以及过它们的直线的极坐标方 程。
解：两点的直角坐标为 PC..2,、. 2),Q(...2,2),它们之间的距离 PQ 2.2. 由于直线PQ 垂直于极轴，且距离极点..2，所以直线的极坐标方程为 cos .. 2练习、已知曲线G, C 2的极坐标方程分别为 cos 3 ，n4cos > 0,0 <-，求曲线 G 与C 2交点的极坐标.2cos 32 灵解：我们通过联立解方程组( 0,0 -)解得 ，即两曲线的4cos2—6交点为(2 •. 3,—)。
61.2.已知圆C ： (x 1)2(y J 3)21,则圆心C 的极坐标为 _________________ (0, 0 2 )2答案：((2,))3练习已知点c 极坐标为(2,—),求出以C 为圆心，半径r=2的圆的极坐标方程 (写出解题过3程)；解)如图所示，设 M 为圆上一点，M (,),贝y MOC3或3，由余弦定理得424 cos(§)4极坐标方程为=4cos （ 亍）。
考点2、极坐标与直角坐标方程互化例题2、已知曲线C 的极坐标方程是4sin .以极点为平面直角坐标系的原点,，点P 是曲线C 上的动点，点 Q 是直线1上的动点，求| PQ |的最小值. 解：曲线C 的极坐标方程4si n 可化为24 sin ,其直角坐标方程为 x 2 y 2 4y 0,即 x 2（y 2）24. ...... ••…（3分）直线l 的方程为x y 4 0.所以圆心到直线I 的距离d I 2 43/2 •••( 6分)42极轴为x 轴的正半轴，建立平面直角坐标系，直线x 蛋l 的参数方程是2_ （t 为参 2所以，PQ的最小值为3罷2. ................... ( 10分) 练习、设过原点的直线与圆：的一个交点为，点为线段的中点。
(1)求圆C的极坐标方程；(2)求点M轨迹的极坐标方程，并说明它是什么曲线.解：圆的极坐标方程为... 4分设点的极坐标为，点的极坐标为，•••点为线段的中点，•••，……7分将，代入圆的极坐标方程，得•••点轨迹的极坐标方程为，它表示圆心在点，半径为的圆. ……10分练习(20151理数)(23)(本小题满分10分)选修4 — 4 :坐标系与参数方程在直角坐标系xOy中.直线：x = —2，圆：(x—1)2+ (y—2) 2= 1,以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系•(I ) 求，的极坐标方程；(II ) 若直线的极坐标方程为，设与的交点为，，求△ GMN的面积(23 )解：(I )因为，，所以的极坐标方程为，的极坐标方程为。
5分(II )将代入，得，解得，。
故，即。
由于的半径为1，所以的面积为。
……10分二、参数方程1.参数方程的概念一般地，在平面直角坐标系中，如果曲线上任意一点的坐标x, y都是某个变数t的函数x f (t)①,并且对于t的每一个允许值，由方程组①所确定的点M (x,y)都在这条曲线上y g(t)那么方程①就叫做这条曲线的参数方程，联系变数x, y的变数t叫做参变数,简称参数,相对于参数方程而言，直接给出点的坐标间关系的方程叫做普通方程.2.参数方程和普通方程的互化(1)曲线的参数方程和普通方程是曲线方程的不同形式，一般地可以通过消去参数而从参数方程得到普通方程.(2)如果知道变数x, y中的一个与参数t的关系，例如x f (t),把它代入普通方程，求出另一个变数与参数的关系y g(t),那么x f (t)就是曲线的参数方程，在参数方程与y g(t)注：椭圆的参数方程中，参数的几何意义为椭圆上任一点的离心角，要把它和这一点的旋转角 区分开来，除了在四个顶点处，离心角和旋转角数值可相等外 的范围内），在其他任何一点，两个角的数值都不相等。
但当，在其他象限内类似。
25. 双曲线的参数方程（了解）x asec , /其参数方程为（为参数），其中 [0,2 ）且y bta n普通方程的互化中，必须使X, y 的取值范围保持一致注：普通方程化为参数方程，参数方程的形式不一定唯一。
应用参数方程解轨迹问题， 关键在于适当地设参数，如果选用的参数不同，那么所求得的曲线的参数方程的形式也不同。
3.圆的参数如图所示，设圆0的半径为r ，点M 从初始位置M o 出发，按逆时针方向在圆 O 上作x r cos匀速圆周运动，设 M （x,y ），贝U（为参数）。
这就是圆心在原点 0，半径为r 的圆的参数方程，其中 的几何意义是0M 。
转过的角度。
圆心为（a,b ），半径为r 的圆的普通方程是（x a ）2（y b ）2r 2,它的参数方程为：X a rcos (为参数)。
y b r sin以坐标原点0为中心, 焦点在x 轴上的椭圆的标准方程为2 2每1(a b 0),其参a bx a cos数方程为（为参数），其中参数 称为离心角；焦点在y 轴上的椭圆的标准方y bsi n2 2程是£务1（a b 0）,其参数方程为a bbcos asi（为参数）,其中参数仍为离心角，通常规定参数的范围为€ [0 , 2 ）。
（即在 2时，相应地也有以坐标原点O 为中心，焦点在x 轴上的双曲线的标准议程为2 x 2a2話1(ao,b0),4•椭圆的参数方程2 2焦点在y 轴上的双曲线的标准方程是y 2x2a b以上参数 都是双曲线上任意一点的离心角。
6. 抛物线的参数方程以坐标原点为顶点，开口向右的抛物线y 22px(p:加为参数)7. 直线的参数方程)的直线I 的普通方程是y y o tan (x x °),2x x 0 t cos而过M o (X o , y o )，倾斜角为的直线I 的参数方程为(t 为参数)。
y y o t sin注：直线参数方程中参数的几何意义： 过定点M o (x o ,y o ),倾斜角为的直线I 的参数x x o t cos方程为(t 为参数)，其中t 表示直线I 上以定点 M o 为起点，任一点y y o t sinuuuuurM(x, y)为终点的有向线段 M 0M 的数量，当点M 在M o 上方时，t > 0；当点M 在M 。
下 方时，t v0;当点M 与M o 重合时，t =0。
我们也可以把参数t 理解为以M o 为原点，直 线I 向上的方向为正方向的数轴上的点 M 的坐标，其单位长度与原直角坐标系中的单位长度相同。
考点3、参数方程与直角坐标方程互化例题3:已知曲线的参数方程为(为参数)，曲线的极坐标方程为.(1) 将曲线的参数方程化为普通方程，将曲线的极坐标方程化为直角坐标方程； (2) 曲线，是否相交，若相交请求出公共弦的长，若不相交，请说明理由. 解：(1)由得•••曲线的普通方程为•••，即•••曲线的直角坐标方程为 ....... (5分)1(a 0,b 0),其参数方程为bcota(为参数，其中 (0,2 )e &0)的参数方程为经过点M °(x o ,y °),倾斜角为((2)v圆的圆心为，圆的圆心为.••两圆相交设相交弦长为，因为两圆半径相等，所以公共弦平分线段公共弦长为 ..... （10分）练习（本小题满分10分）选修4— 4 :坐标系与参数方程C ： Xcos （为参数），曲线C 2： y sinC , C 2各是什么曲线，并说明 C 与C 2公共点的个数;（2）若把C,C 上各点的纵坐标都压缩为原来的一半， 分别得到曲线C 1' ,c 2'。
写出C 1 ',C 2'的参数方程。
C 1'与C 2'公共点的个数和 C 1与C 2公共点的个数是否相同？说明 你的理由。
练习（2014II ） （23）（本小题满分10分）选修4-4 :坐标系与参数方程 在直角坐标系中，以坐标原点为极点， 轴正半轴为极轴建立极坐标系， 半圆的极坐标方程为•（1） 求得参数方程；（2） 设点在上，在处的切线与直线垂直，根据（ 1）中你得到的参数方程，确定的坐标•（23）解：（I ） C 的普通方程为•可得C 的参数方程为（t 为参数，）（n ）设D.由（I ）知C 是以G （ 1,0 ）为圆心，1为半径的上半圆。
因为C 在点D 处的切线与t 垂直，所以直线GD 与t 的斜率相同，.故D 的直角坐标为， 即。
练习（2013 I ） （23）（本小题10分）选修4—4:坐标系与参数方程 已知曲线C 1的参数方程为（为参数），以坐标原点为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 2的极坐标方程为。
（I ）把C 的参数方程化为极坐标方程； （n ）求 C 与 C 交点的极坐标（p 》0,0 <0< 2n ）。