极坐标与参数方程经典试题带详细解答

极坐标与参数方程经典试题带详细解答————————————————————————————————作者：————————————————————————————————日期：21．极坐标系与直角坐标系xoy 有相同的长度单位，以原点O 为极点，以x 轴正半轴为极轴.已知直线l 的参数方程为12232x t y t ⎧=+⎪⎪⎨⎪=⎪⎩（t 为参数），曲线C 的极坐标方程为2sin 8cos ρθθ=.（Ⅰ）求C 的直角坐标方程；（Ⅱ）设直线l 与曲线C 交于,A B 两点，求弦长||AB .2．已知直线l 经过点1(,1)2P ，倾斜角α＝6π，圆C 的极坐标方程为2cos()4πρθ=-.(1)写出直线l 的参数方程，并把圆C 的方程化为直角坐标方程； (2)设l 与圆C 相交于两点A 、B ，求点P 到A 、B 两点的距离之积． 3．（本小题满分10分）选修4－4：坐标系与参数方程已知直线l 的参数方程是)(242222是参数t t y t x ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+==，圆C 的极坐标方程为)4cos(2πθρ+=．（I ）求圆心C 的直角坐标；(Ⅱ)由直线l 上的点向圆C 引切线，求切线长的最小值． 4．已知极坐标系的极点与直角坐标系的原点重合，极轴与直角坐标系中x 轴的正半轴重合，且两坐标系有相同的长度单位，圆C 的参数方程为12cos 12sin x y αα=+⎧⎨=-+⎩（α为参数），点Q 的极坐标为7(22,)4π。

（1）化圆C 的参数方程为极坐标方程；（2）直线l 过点Q 且与圆C 交于M ，N 两点，求当弦MN 的长度为最小时，直线l 的直角坐标方程。

5．在极坐标系中，点M 坐标是)2,3(π，曲线C 的方程为)4sin(22πθρ+=；以极点为坐标原点，极轴为x 轴的正半轴建立平面直角坐标系，斜率是1-的直线l 经过点M ．（1）写出直线l 的参数方程和曲线C 的直角坐标方程；（2）求证直线l 和曲线C 相交于两点A 、B ，并求||||MB MA ⋅的值．6．（本小题满分10分） 选修4-4坐标系与参数方程在直角坐标系中，曲线1C 的参数方程为⎩⎨⎧+==ααsin 22cos 2y x ，(α为参数) M 是曲线1C 上的动点，点P 满足OM OP 2=，（1）求点P 的轨迹方程2C ；（2）在以D 为极点，X 轴的正半轴为极轴的极坐标系中，射线3πθ=与曲线1C ，2C 交于不同于原点的点A,B 求AB7．在平面直角坐标系xOy 中，以O 为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 的极坐V 标方程为πcos =13ρθ⎛⎫-⎪⎝⎭，M ，N 分别为曲线C 与x 轴、y 轴的交点． （1）写出曲线C 的直角坐标方程，并求M ，N 的极坐标；（2）求直线OM 的极坐标方程．8．在直角坐标系中，曲线C 1的参数方程为：2cos 2sin x y αα=⎧⎪⎨=⎪⎩（α为参数），以原点为极点，x 轴的正半轴为极轴，并取与直角坐标系相同的长度单位，建立极坐标系，曲线C 2是极坐标方程为：cos ρθ=， (1)求曲线C 2的直角坐标方程；(2)若P ，Q 分别是曲线C 1和C 2上的任意一点，求PQ 的最小值.9．已知圆C 的极坐标方程为2cos ρθ=，直线l 的参数方程为13221122x t x t ⎧=+⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩ （t 为参数），点A 的极坐标为2,24π⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭，设直线l 与圆C 交于点P 、Q .（1）写出圆C 的直角坐标方程；（2）求AP AQ ⋅的值.10．已知动点P ，Q 都在曲线C ：2cos 2sin x ty t=⎧⎨=⎩（β为参数）上，对应参数分别为t α=与2t α=（0＜α＜2π），M 为PQ 的中点。

（Ⅰ）求M 的轨迹的参数方程（Ⅱ）将M 到坐标原点的距离d 表示为α的函数，并判断M 的轨迹是否过坐标原点。

11．已知曲线C 的参数方程为3cos 2sin x y θθ=⎧⎨=⎩（θ为参数），在同一平面直角坐标系中，将曲线C 上的点按坐标变换1312x x y y ⎧'=⎪⎪⎨⎪'=⎪⎩得到曲线C '．（1）求曲线C '的普通方程；（2）若点A 在曲线C '上，点B (3,0)，当点A 在曲线C '上运动时，求AB 中点P 的轨迹方程．12．已知曲线C 的极坐标方程是θρsin 2=，直线l 的参数方程是⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+-=t y t x 54253（t 为参数）.（I ）将曲线C 的极坐标方程转化为直角坐标方程；（Ⅱ）设直线l 与x 轴的交点是,M N 为曲线C 上一动点，求MN 的最大值.13．已知曲线C:ρsin(θ+)=,曲线P:ρ2-4ρcos θ+3=0,(1)求曲线C,P 的直角坐标方程.(2)设曲线C 和曲线P 的交点为A,B,求|AB|.14．极坐标与参数方程： 已知点P 是曲线2cos ,:(3sin ,x C y θθπθπθ=⎧⎪≤≤⎨=⎪⎩为参数，2)上一点，O 为原点．若直线OP 的倾斜角为3π，求点P 的直角坐标． 15．在平面直角坐标系xOy 中，曲线1C 的参数方程为⎩⎨⎧-=-=2cos 3sin 32θαy x ，（其中α为参数，R ∈α），在极坐标系（以坐标原点O 为极点，以x 轴非负半轴为极轴）中，曲线2C 的极坐标方程为cos()4a πρθ-=．（1）把曲线1C 和2C 的方程化为直角坐标方程；（2）若曲线1C 上恰有三个点到曲线2C 的距离为32，求曲线2C 的直角坐标方程． 16．已知在平面直角坐标系xOy 中，圆C 的参数方程为33cos 13sin x y θθ⎧=+⎪⎨=+⎪⎩（θ为参数），以Ox 为极轴建立极坐标系，直线l 的极坐标方程为cos()06πρθ+=.⑴写出直线l 的直角坐标方程和圆C 的普通方程；⑵求圆C 截直线l 所得的弦长. 17．圆O 1和O 2的极坐标方程分别为4cos 4sin ρθρθ==-，． （1）把圆O 1和O 2的极坐标方程化为直角坐标方程； （2）求经过圆O 1和O 2交点的直线的直角坐标方程．18．已知曲线C 1的参数方程为(t 为参数),以坐标原点为极点,x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系,曲线C 2的极坐标方程为.(1)把C 1的参数方程化为极坐标方程;(2)求C 1与C 2交点的极坐标(ρ≥0,0≤θ<2π). 19．极坐标系的极点是直角坐标系的原点，极轴为x 轴正半轴。

已知曲线1C 的极坐标方程为θρcos 2=，曲线2C 的参数方程为)),0[(sin 3cos 2παααα∈⎩⎨⎧+=+=为字母常数且为参数，其中t t y t x 求曲线1C 的直角坐标方程和曲线2C 的普通方程； 当曲线1C 和曲线2C 没有公共点时，求α的取值范围。

20．以坐标原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 1的极坐标方程为：=2cos()3πρθ-，曲线C 2的参数方程为：4cos cos 3(0)2sin sin 3x t t y t πααπα⎧=+⎪⎪>⎨⎪=+⎪⎩为参数，，点N 的极坐标为(4)3π，．（Ⅰ）若M 是曲线C 1上的动点，求M 到定点N 的距离的最小值；（Ⅱ）若曲线C 1与曲线C 2有有两个不同交点，求正数t 的取值范围．21．以直角坐标系的原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐极系，并在两种坐极系中取相同的长度单位．已知直线的极坐标方程为4πθ=（R ∈ρ）,它与曲线⎩⎨⎧+=+=ααsin 22,cos 21y x （α为参数）相交于两点A 和B,求AB 的长． 22．选修4－4：极坐标系与参数方程在直角坐标系xoy 中，曲线1C 的参数方程为⎩⎨⎧==ααsin cos 3y x ，（α为参数），以原点O 为极点，x 轴正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线2C 的极坐标方程为24)4sin(=+πθρ．（1）求曲线1C 的普通方程与曲线2C 的直角坐标方程；（2）设P 为曲线1C 上的动点，求点P 到2C 上点的距离的最小值． 23．已知曲线1C 的极坐标方程为82cos 2=θρ，曲线2C 的极坐标方程为6π=θ，曲线1C 、2C 相交于A 、B 两点. （R ρ∈）（Ⅰ）求A 、B 两点的极坐标； （Ⅱ）曲线1C 与直线⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+=t y t x 21231（t 为参数）分别相交于N M ,两点，求线段MN 的长度.24．在直角坐标系中,以原点为极点,x 轴的正半轴为极轴建坐标系,已知曲线()2:sin 2cos 0C a a ρθθ=>,已知过点()2,4P --的直线l 的参数方程为:222,242x t y t ⎧=-+⎪⎪⎨⎪=-+⎪⎩直线l 与曲线C 分别交于,M N(1)写出曲线C 和直线l 的普通方程;(2)若||,||,||PM MN PN 成等比数列,求a 的值. 25．设直线l 过点P (－3,3)，且倾斜角为56π. (1)写出直线l 的参数方程；(2)设此直线与曲线C ：24x cos y sin θθ⎧⎨⎩＝，＝ (θ为参数)交于A ，B 两点，求|PA |·|PB |.26．平面直角坐标系中，直线l 的参数方程是3x ty t =⎧⎪⎨=⎪⎩（t 为参数），以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，已知曲线C 的极坐标方程为2222cos sin 2sin 30ρθρθρθ+--=．(Ⅰ)求直线l 的极坐标方程；(Ⅱ）若直线l 与曲线C 相交于,A B 两点，求||AB ．27． 已知直线l 的参数方程为12(312x t t y t ⎧=⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩为参数), 曲线C 的极坐标方程为22sin 4πρθ⎛⎫=+⎪⎝⎭,直线l 与曲线C 交于,A B 两点, 与y 轴交于点P . （1）求曲线C 的直角坐标方程；（2）求11PA PB+的值. 28．已知曲线1C 的极坐标方程为2cos ρθ=，曲线2C 的参数方程为4,5325x t y t ⎧=-⎪⎪⎨⎪=-+⎪⎩（t为参数）．（1）判断1C 与2C 的位置关系；（2）设M 为1C 上的动点，N 为2C 上的动点，求MN 的最小值.29．已知曲线1C 的参数方程为431x ty t =⎧⎨=-⎩（t 为参数），当0t =时，曲线1C 上对应的点为P ，以原点O 为极点，以x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线2C 的极坐标方程为2233sin ρθ=+.（1）求证：曲线1C 的极坐标方程为3cos 4sin 40ρθρθ--=；（2）设曲线1C 与曲线2C 的公共点为,A B ，求PA PB •的值.30．已知曲线C 的极坐标方程为4cos ρθ=，以极点为原点，极轴为x 轴正半轴建立平面直角坐标系，设直线l 的参数方程为35212x t y t ⎧=+⎪⎪⎨⎪=⎪⎩（t 为参数）.（1）求曲线C 的直角坐标方程与直线l 的普通方程；（2）设曲线C 与直线l 相交于P Q 、两点，以PQ 为一条边作曲线C 的内接矩形，求该矩形的面积.31．已知直线l 过点(0,4)P -，且倾斜角为4π，圆C 的极坐标方程为4cos ρθ=． （1）求直线l 的参数方程和圆C 的直角坐标方程；（2）若直线l 和圆C 相交于A 、B ，求||||PA PB ⋅及弦长||AB 的值．32．在平面直角坐标系xOy 中，直线l 的参数方程为11232x t y t ⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩（t 为参数）．以原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，圆C 的方程为23sin ρθ=． （Ⅰ）写出直线l 的普通方程和圆C 的直角坐标方程；（Ⅱ）若点P 的直角坐标为(1,0)，圆C 与直线l 交于,A B 两点，求||||PA PB +的值． 33．以直角坐标系的原点为极点，x 轴的非负半轴为极轴，并在两种坐标系中取相同的长度单位．已知：直线l 的参数方程为 11232x t y t ⎧=+⎪⎪⎨⎪=⎪⎩ （t 为参数）， 曲线C 的极坐标方程为（1＋sin 2θ）ρ2＝2．（1）写出直线l 的普通方程与曲线C 的直角坐标方程；（2）设直线l 与曲线C 相交于A ，B 两点，若点P 为（1，0），求2211APBP+34．在直角坐标系xoy 中，以原点o 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系．已知曲线1C 的极坐标方程为2221sin ρθ=+，直线l 的极坐标方程为42sin cos ρθθ=+．（Ⅰ）写出曲线1C 与直线l 的直角坐标方程；（Ⅱ）设Q 为曲线1C 上一动点，求Q 点到直线l 距离的最小值．35．在直角坐标系xOy 中，直线l 的参数方程为：2cos (3sin x t t y t αα=+⎧⎪⎨=+⎪⎩为参数，其中0)2πα<<，椭圆M 的参数方程为2cos (sin x y βββ=⎧⎨=⎩为参数)，圆C 的标准方程为()2211x y -+=.（1）写出椭圆M 的普通方程；（2）若直线l 为圆C 的切线，且交椭圆M 于,A B 两点，求弦AB 的长.36．已知曲线C 的极坐标方程为2cos 4sin ρθθ=-．以极点为原点，极轴为x 轴的正半轴，建立平面直角坐标系，直线l 的参数方程为1cos 1sin x t y t αα=+⎧⎨=-+⎩（t 为参数）．（1）判断直线l 与曲线C 的位置关系，并说明理由；（2）若直线l 和曲线C 相交于,A B 两点，且32AB =，求直线l 的斜率．37．在直角坐标系xOy 中，曲线1C 的参数方程为为参数）t t y t x (,2,22⎩⎨⎧+-=+=,在以O 为极点，x 轴的正半轴为极轴的极坐标系中，曲线2C 的方程为θρ2sin 312+=.（1）求曲线1C 、2C 的直角坐标方程；（2）（2）若A 、B 分别为曲线1C 、2C 上的任意点，求AB 的最小值.38．已知在直角坐标系x y O 中，曲线C 的参数方程为22cos 2sin x y θθ=+⎧⎨=⎩（θ为参数），在极坐标系（与直角坐标系x y O 取相同的长度单位，且以原点O 为极点，以x 轴正半轴为极轴）中，直线l 的方程为sin 224πρθ⎛⎫+= ⎪⎝⎭．（Ⅰ）求曲线C 在极坐标系中的方程；（Ⅱ）求直线l 被曲线C 截得的弦长．39．已知曲线C 的极坐标方程是θρcos 4=．以极点为平面直角坐标系的原点，极轴为x 轴的正半轴，建立平面直角坐标系，直线l 的参数方程是t t y t x (sin cos 1⎩⎨⎧=+=αα是参数)．（1）写出曲线C 的参数方程；（2）若直线l 与曲线C 相交于A 、B 两点，且14=AB ，求直线l 的倾斜角α的值． 40．在直角坐标系中，以原点O 为极点，x 轴为正半轴为极轴，建立极坐标系.设曲线⎩⎨⎧==ααsin cos 3y x C ：（α为参数）； 直线4)sin (cos =+θθρ：l . （Ⅰ）写出曲线C 的普通方程和直线l 的直角坐标方程； （Ⅱ）求曲线C 上的点到直线l 的最大距离.41．在直角坐标系xoy 中，直线l 的参数方程为3122 (312x t t y t ⎧=+⎪⎪⎨⎪=-+⎪⎩为参数），曲线C 的参数方程为2cos (2sin x y θθθ=⎧⎨=⎩为参数）.（Ⅰ）将曲线C 的参数方程转化为普通方程；（Ⅱ）若直线l 与曲线C 相交于A 、B 两点，试求线段AB 的长.42．在平面直角坐标系中，以为极点，轴非负半轴为极轴建立坐标系，已知曲线的极坐标方程为，直线的参数方程为: （为参数），两曲线相交于两点. 求：（1）写出曲线的直角坐标方程和直线的普通方程；（2）若求的值.xoy O x C 2sin 4cos ρθθ=l 222242x t y t ⎧=-+⎪⎪⎨⎪=-+⎪⎩t ,M N C l (2,4)P --PM PN +43在直角坐标系中，直线的参数方程为（为参数），若以直角坐标系 的点为极点，为极轴，且长度单位相同，建立极坐标系，得曲线的极坐标方程为．直线与曲线交于两点，求线段AB 的长.xoy l 122322x t y t ⎧=⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩t xOy O Ox C 2cos()4πρθ=-l C ,A B参考答案1．(Ⅰ) 28y x =；（Ⅱ）32||3AB =. 【解析】试题分析：本题考查坐标系和参数方程.考查学生的转化能力和计算能力.第一问利用互化公式将极坐标方程转化为普通方程；第二问，先将直线方程代入曲线中，整理，利用两根之和、两根之积求弦长.试题解析：（Ⅰ）由2sin 8cos ρθθ=，得22sin 8cos ρθρθ=，即曲线C 的直角坐标方程为28y x =．5分（Ⅱ）将直线l 的方程代入28y x =，并整理得，2316640t t --=，12163t t +=，12643t t =-． 所以212121232||||()43AB t t t t t t =-=+-=． 10分考点：1.极坐标方程与普通方程的互化；2.韦达定理. 2．（1）22111()()222x y -+-=；（2）14.【解析】试题分析：（1）由参数方程的概念可以写成l 的参数方程为1cos 261sin6x t y t ππ⎧=+⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩，化简为1322112x t y t⎧=+⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩ (t 为参数) ；在2cos()4πρθ=-两边同时乘以ρ，且ρ2＝x 2＋y 2，ρcosθ＝x ，ρsinθ＝y ，∴22111()()222x y -+-=.（2）在l 取一点，用参数形式表示1322112x t y t⎧=+⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩，再代入22111()()222x y -+-=，得到t 2＋12t －14＝0，|PA|·|PB|＝|t 1t 2|＝14.故点P 到点A 、B 两点的距离之积为14. 试题解析：(1)直线l 的参数方程为1cos 261sin 6x t y t ππ⎧=+⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩,即1322112x t y t ⎧=+⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩ (t 为参数) 由2cos()4πρθ=-,得ρ＝cosθ＋sinθ，所以ρ2＝ρcosθ＋ρsinθ，∵ρ2＝x 2＋y 2，ρcosθ＝x ，ρsinθ＝y ，∴22111()()222x y -+-=. (2)把1322112x t y t⎧=+⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩代入22111()()222x y -+-=. 得t 2＋12t －14＝0，|PA|·|PB|＝|t 1t 2|＝14.故点P 到点A 、B 两点的距离之积为14. 考点：1.参数方程的应用；2.极坐标方程与直角坐标方程的转化.3．（I ）22(,)22-；(Ⅱ)26 【解析】(I)把圆C 的极坐标方程利用222,cos ,sin x y x y ρρθρθ=+==化成普通方程，再求其圆心坐标.（II ）设直线上的点的坐标为22(,42)22t t +,然后根据切线长公式转化为关于t 的函数来研究其最值即可.解：（I ）θθρsin 2cos 2-=Θ，θρθρρsin 2cos 22-=∴， ………（2分）02222=+-+∴y x y x C 的直角坐标方程为圆， …………（3分）即1)22()22(22=++-y x ，)22,22(-∴圆心直角坐标为．…………（5分） （II ）：直线l 上的点向圆C 引切线长是6224)4(4081)242222()2222(2222≥++=++=-+++-t t t t t ， …………（8分） ∴直线l 上的点向圆C 引的切线长的最小值是62 …………（10分）∴直线l 上的点向圆C 引的切线长的最小值是621522=- …………（10分）4．（1）22cos 2sin 20ρρθρθ-+-=（2）40x y --= 【解析】试题分析：(1) 先化参数方程为普通方程，然后利用平面直角坐标与极坐标互化公式：222,cos ,sin x y x y ρρθρθ+===即可；（2）先把Q 点坐标化为平面直角坐标，根据圆的相关知识明确：当直线l ⊥CQ 时，MN 的长度最小，然后利用斜率公式求出MN 斜率. 试题解析：(1)圆C 的直角坐标方程为2222(1)(1)42220x y x y x y -++=⇒+-+-=，2分又222,cos ,sin x y x y ρρθρθ+=== 4分∴圆C 的极坐标方程为22cos 2sin 20ρρθρθ-+-= 5分（2）因为点Q 的极坐标为7(22,)4π，所以点Q 的直角坐标为（2，-2）7分 则点Q 在圆C 内，所以当直线l ⊥CQ 时，MN 的长度最小 又圆心C （1，-1），∴2(1)121CQ k ---==--，直线l 的斜率1k = 9分 ∴直线l 的方程为22y x +=-，即40x y --= 10分考点：（1）参数方程与普通方程；（2）平面直角坐标与极坐标；（3）圆的性质. 5．解：（1）∵点M 的直角坐标是)3,0(，直线l 倾斜角是ο135， …………（1分）∴直线l 参数方程是⎩⎨⎧+==οο135sin 3135cos t y t x ，即⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+=-=t y t x 22322， ………（3分） )4sin(22πθρ+=即2(sin cos )ρθθ=+，两边同乘以ρ得22(sin cos )ρρθρθ=+，曲线C 的直角坐标方程曲线C 的直角坐标方程为02222=--+y x y x ；………………（5分）（2）⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+=-=t y t x 22322代入02222=--+y x y x ，得03232=++t t∵06>=∆，∴直线l 的和曲线C 相交于两点A 、B ，………（7分） 设03232=++t t 的两个根是21t t 、，321=t t ，∴||||MB MA ⋅3||21==t t ． ………………（10分）【解析】略 6．曲线2C 的极坐标方程为θρsin 8=，它们与射线3πθ=交于A 、B 两点的极径分别是343sin8,323sin421====πρπρ，因此，3221=-=ρρAB点评：本题考查坐标系与参数方程的有关内容，求解时既可以化成直角坐标方程求解，也可以直接求解（关键要掌握两种坐标系下的曲线与方程的关系与其他知识的联系） 【解析】略7．（1）点M 的极坐标为(2,0)，点N 的极坐标为23π,32⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭;（2） 0=θ，ρ∈R ．【解析】试题分析：（1）先利用三角函数的差角公式展开曲线C 的极坐标方程的左式，再利用直角坐标与极坐标间的关系，即利用ρcosθ=x，ρsinθ=y，ρ2=x 2+y 2，进行代换即得．（2）先在直角坐标系中算出点M 的直角坐标为(2,0)，再利用直角坐标与极坐标间的关系求出其极坐标和直线OM 极坐标方程即可．解：（1）由πcos =13ρθ⎛⎫-⎪⎝⎭， 得12ρcos θ＋32ρsin θ＝1，∴曲线C 的直角坐标方程为13=122x y +， 即x ＋3y －2＝0．当θ＝0时，ρ＝2，∴点M 的极坐标为(2,0)；当π=2θ时，23=3ρ，∴点N 的极坐标为23π,32⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭． （2）由（1）得，点M 的直角坐标为(2,0)，点N 的直角坐标为230,3⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭， 直线OM 的极坐标方程为0=θ，ρ∈R ．考点：1．极坐标和直角坐标的互化；2．曲线的极坐标方程．8．(1) 221124x y ⎛⎫-+= ⎪⎝⎭;(2) min 712PQ -=【解析】试题分析：(1)把222cos ,x y ρθρ==+代入曲线C 2是极坐标方程cos ρθ=中，即可得到曲线C 2的直角坐标方程；(2)由已知可知P （ααsin 2,cos 2）,)0,21(2C ，由两点间的距离公式求出2PC 的表达式，再根据二次函数的性质，求出2PC 的最小值，然后可得min PQ =2PC min －12. 试题解析： (1)θρcos =Θ， 2分22x y x +=221124x y ⎛⎫-+= ⎪⎝⎭. 4分 (2)设P （ααsin 2,cos 2）,)0,21(2C()22222212cos 2sin 214cos 2cos 2sin 492cos 2cos 4PC ααααααα⎛⎫=-+⎪⎝⎭=-++=-+6分1cos 2α∴=时，2min 72PC =， 8分min 712PQ -=. 10分 考点：1.极坐标方程和直角坐标方程的互化；2.曲线与曲线间的位置关系以及二次函数的性质.9．（1）()2211x y -+=；（2）12. 【解析】试题分析：（1）在极坐标方程2cos ρθ=的两边同时乘以ρ，然后由222x y ρ=+，cos x ρθ=即可得到圆C 的直角坐标方程；（2）将直线l 的标准参数方程代入圆的直角坐标方程，消去x 、y 得到有关t 的参数方程，然后利用韦达定理求出AP AQ ⋅的值.（1）由2cos ρθ=，得22cos ρρθ=222x y ρ=+Q ，cos x ρθ=， 222x y x ∴+=即()2211x y -+=，即圆C 的直角坐标方程为()2211x y -+=；（2）由点A 的极坐标2,24π⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭得点A 直角坐标为11,22⎛⎫⎪⎝⎭，将132211y 22x t t⎧=+⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩代入()2211x y -+=消去x 、y ，整理得2311022t t ---=， 设1t 、2t 为方程2311022t t ---=的两个根，则1212t t =-， 所以1212AP AQ t t ⋅==. 考点：1.圆的极坐标方程与直角坐标方程之间的转化；2.韦达定理【答案】（Ⅰ）cos cos 2sin sin 2x y αααα=+⎧⎨=+⎩,(α为参数,02απ<<)（Ⅱ）过坐标原点【解析】（Ⅰ）由题意有,(2cos ,2sin )P αα, (2cos 2,2sin 2)Q αα,因此(cos cos 2,sin sin 2)M αααα++,M 的轨迹的参数方程为cos cos 2sin sin 2x y αααα=+⎧⎨=+⎩,(α为参数,02απ<<).（Ⅱ）M 点到坐标原点的距离为2222cos (02)d x y ααπ=+=+<<，当απ=时，0d =，故M 的轨迹过坐标原点.本题第（Ⅰ）问，由曲线C 的参数方程,可以写出其普通方程,从而得出点P 的坐标,求出答案; 第（Ⅱ）问，由互化公式可得.对第（Ⅰ）问，极坐标与普通方程之间的互化,有一部分学生不熟练而出错;对第(2)问,不理解题意而出错.【考点定位】本小题主要考查坐标系与参数方程的基础知识,熟练这部分的基础知识是解答好本类题目的关键.11．（1）221x y +=；（2）2231()24x y -+=. 【解析】试题分析：本题主要考查参数方程与普通方程的互化、中点坐标公式等基础知识，考查学生的转化能力、分析能力、计算能力.第一问，将曲线C 的坐标直接代入1312x x y y ⎧'=⎪⎪⎨⎪'=⎪⎩中，得到曲线C '的参数方程，再利用参数方程与普通方程的互化公式，将其转化为普通方程；第二问，设出P 、A 点坐标，利用中点坐标公式，得出00,x y ，由于点A 在曲线C '上，所以将得到的00,x y 代入到曲线C '中，得到,x y 的关系，即为AB 中点P 的轨迹方程.试题解析：（1）将3cos 2sin x y θθ=⎧⎨=⎩ 代入1312x x y y ⎧'=⎪⎪⎨⎪'=⎪⎩ ，得C '的参数方程为cos sin x y θθ=⎧⎨=⎩∴曲线C '的普通方程为221x y +=． 5分（2）设(,)P x y ，00(,)A x y ，又(3,0)B ，且AB 中点为P所以有：00232x x y y=-⎧⎨=⎩又点A 在曲线C '上，∴代入C '的普通方程22001x y +=得22(23)(2)1x y -+=∴动点P 的轨迹方程为2231()24x y -+=． 10分 考点：参数方程与普通方程的互化、中点坐标公式.12．（1）2220x y y +-=；（2）51+.【解析】试题分析：（1）根据222,cos ,sin x y x y ρρθρθ=+==可以将极坐标方程转化为坐标方程，（2）将直线的参数方程转化成直角坐标方程，再根据平时熟悉的几何知识去做题. 试题解析：（1）θρsin 2=两边同时乘以ρ得22sin ρρθ=，则222x y y +=曲线C 的极坐标方程转化为直角坐标方程为：2220x y y +-=（2）直线l 的参数方程化为直角坐标方程得：4(2)3y x =-- 令0y =得2x =，即(2,0)M ，又曲线C 为圆，圆C 的圆心坐标为(0,1)，半径1r =，则5MC =.51MN MC r ∴≤+=+.考点：1.极坐标与直角坐标的转化，2.参数方程与直角坐标方程的转化. 13．(1) x 2+y 2-4x+3=0 (2)【解析】(1)由ρsin(θ+)=,得ρ[sin θ·(-)+cos θ·]=, ∴ρcos θ-ρsin θ-1=0, ∴x-y-1=0,由ρ2-4ρcos θ+3=0, 得x 2+y 2-4x+3=0.(2)曲线P 表示为(x-2)2+y 2=1表示圆心在(2,0),半径r=1的圆, 由于圆心到直线C 的距离为d==, ∴|AB|=2=.14．25215(,).55--【解析】试题分析：利用22cos sin 1θθ+=消去参数，得曲线C 的直角坐标方程为221,(0)43x y y +=≤，注意参数对范围的限制. 直线OP 方程为3y x =,联立方程解得，25,5215,5x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩（舍去），或25,5215,5x y ⎧=-⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩故点P 的直角坐标为25215(,).55-- 解：由题意得，曲线C 的直角坐标方程为221,(0)43x y y +=≤， （2分）直线OP 方程为3y x =，---------------（4分）联立方程解得，25,5215,5x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩（舍去），或25,5215,5x y ⎧=-⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩故点P 的直角坐标为25215(,).55-- （10分）考点：参数方程15．（1）曲线1C 的直角坐标方程为：9)2()2(22=++-y x ；曲线2C 的直角坐标方程为a y x 2=+；（2）曲线2C 的直角坐标方程为223±=+y x . 【解析】试题分析：（1）对于曲线1C ，把已知参数方程第一式和第二式移向，使等号右边分别仅含αsin 3、αcos 3，平方作和后可得曲线1C 的直角坐标方程；对于曲线2C ，把⎩⎨⎧==θρθρsin cos y x 代入极坐标方程cos()4a πρθ-=的展开式中即可得到曲线2C 的直角坐标方程.（2）由于圆1C 的半径为3，所以所求曲线2C 与直线0=+y x 平行，且与直线0=+y x 相距23时符合题意.利用两平行直线的距离等于23，即可求出a ，进而得到曲线2C 的直角坐标方程.试题解析：（1）曲线1C 的参数方程为⎩⎨⎧-=-=2cos 3sin 32θαy x ，即⎩⎨⎧+=-=2cos 32sin 3y xθα，将两式子平方化简得，曲线1C 的直角坐标方程为：9)2()2(22=++-y x ；曲线2C 的极坐标方程为a =+=-θρθρπθρsin 22cos 22)4cos(，即a y x =+2222， 所以曲线2C 的直角坐标方程为a y x 2=+.（2）由于圆1C 的半径为3，故所求曲线2C 与直线0=+y x 平行，且与直线0=+y x 相距23时符合题意.由2322=a ，解得23±=a .故曲线2C 的直角坐标方程为223±=+y x . 考点：圆的参数方程；直线与圆的位置关系；简单曲线的极坐标方程．16．（1）03=-y x 和22(3)(1)9x y -+-=；（2）42．【解析】试题分析：（1）圆的参数方程化为普通方程，消去参数即可，直线的极坐标方程化为直角坐标方程，利用两者坐标之间的关系互化，此类问题一般较为容易；（2）求直线被圆截得的弦长，一般不求两交点的坐标而是利用特征三角形解决.试题解析：解：⑴消去参数θ，得圆C 的普通方程为：22(3)(1)9x y -+-= ；由cos()06πρθ+=，得0sin 21cos 23=-θρθρ， ∴直线l 的直角坐标方程为03=-y x . 5分⑵圆心(3,1)到直线l 的距离为()11313322=+-⨯=d ，设圆C 截直线l 所得弦长为m ，则2219222=-=-=d r m， 24=∴m . 10分考点：极坐标方程和参数方程.17．（1）2240x y x +-=为圆1O 的直角坐标方程，2240x y y ++=为圆2O 的直角坐标方程． （2）y x =-【解析】(I)根据cos x ρθ=，sin y ρθ=把极坐标方程化成普通方程. （II ）两圆方程作差，就可得到公共弦所在直线的方程.解：以极点为原点，极轴为x 轴正半轴，建立平面直角坐标系，两坐标系中取相同的长度单位．（Ⅰ）cos x ρθ=，sin y ρθ=，由4cos ρθ=得24cos ρρθ=．所以224x y x +=．即2240x y x +-=为圆1O 的直角坐标方程． 同理2240x y y ++=为圆2O 的直角坐标方程．（Ⅱ）由22224040x y x x y y ⎧+-=⎪⎨++=⎪⎩，解得1100x y =⎧⎨=⎩，，2222x y =⎧⎨=-⎩． 即圆1O ，圆2O 交于点(00)，和(22)-，．过交点的直线的直角坐标方程为y x =-．18．(1)(2)(, ),(2, )【解析】(1)将消去参数t,化为普通方程 ,即C 1:.将代入得.所以C 1的极坐标方程为.(2)C 2的普通方程为 .由解得或所以C 1与C 2交点的极坐标分别为(, ),(2, )19．（1）曲线1C ：0222=-+x y x，曲线0tan 23)(tan :2=-+-ααy x C ；),2()6,0[),0[33tan 11tan |3tan |0tan 23)(tan :)2(22πππαπαααααα⋃∈∴∈<∴=>++-=∴=-+-Θr d y x C【解析】本试题主要是考查了极坐标与参数方程的综合运用。