极坐标与参数方程经典练习题带详细解答
高中数学极坐标与参数方程大题(详解)
参数方程极坐标系解答题1．已知曲线C：+=1，直线l：（t为参数）（Ⅰ）写出曲线C的参数方程，直线l的普通方程．（Ⅱ）过曲线C上任意一点P作与l夹角为30°的直线，交l于点A，求|PA|的最大值与最小值．解答：解：（Ⅰ）对于曲线C：+=1，可令x=2cosθ、y=3sinθ，故曲线C的参数方程为，（θ为参数）．对于直线l：，由①得：t=x﹣2，代入②并整理得：2x+y﹣6=0；（Ⅱ）设曲线C上任意一点P（2cosθ，3sinθ）．P到直线l的距离为．则，其中α为锐角．当sin（θ+α）=﹣1时，|PA|取得最大值，最大值为．当sin（θ+α）=1时，|PA|取得最小值，最小值为．2．已知极坐标系的极点在直角坐标系的原点处，极轴与x轴的正半轴重合，直线l的极坐标方程为：，曲线C的参数方程为：（α为参数）．（I）写出直线l的直角坐标方程；（Ⅱ）求曲线C上的点到直线l的距离的最大值．解答：解：（1）∵直线l的极坐标方程为：，∴ρ（sinθ﹣cosθ）=，∴，∴x﹣y+1=0．（2）根据曲线C的参数方程为：（α为参数）．得（x﹣2）2+y2=4，它表示一个以（2，0）为圆心，以2为半径的圆，圆心到直线的距离为：d=，∴曲线C上的点到直线l的距离的最大值=．3．已知曲线C1：（t为参数），C2：（θ为参数）．（1）化C1，C2的方程为普通方程，并说明它们分别表示什么曲线；（2）若C1上的点P对应的参数为t=，Q为C2上的动点，求PQ中点M到直线C3：（t为参数）距离的最小值．解答：解：（1）把曲线C1：（t为参数）化为普通方程得：（x+4）2+（y﹣3）2=1，所以此曲线表示的曲线为圆心（﹣4，3），半径1的圆；把C2：（θ为参数）化为普通方程得：+=1，所以此曲线方程表述的曲线为中心是坐标原点，焦点在x轴上，长半轴为8，短半轴为3的椭圆；（2）把t=代入到曲线C1的参数方程得：P（﹣4，4），把直线C3：（t为参数）化为普通方程得：x﹣2y﹣7=0，设Q的坐标为Q（8cosθ，3sinθ），故M（﹣2+4cosθ，2+sinθ）所以M到直线的距离d==，（其中sinα=，cosα=）从而当cosθ=，sinθ=﹣时，d取得最小值．4．在直角坐标系xOy中，以O为极点，x轴正半轴为极轴建立直角坐标系，圆C的极坐标方程为，直线l的参数方程为（t为参数），直线l和圆C交于A，B两点，P是圆C上不同于A，B的任意一点．（Ⅰ）求圆心的极坐标；（Ⅱ）求△PAB面积的最大值．解答：解：（Ⅰ）由圆C的极坐标方程为，化为ρ2=，把代入可得：圆C的普通方程为x2+y2﹣2x+2y=0，即（x﹣1）2+（y+1）2=2．∴圆心坐标为（1，﹣1），∴圆心极坐标为；（Ⅱ）由直线l的参数方程（t为参数），把t=x代入y=﹣1+2t可得直线l的普通方程：，∴圆心到直线l的距离，∴|AB|=2==，点P直线AB距离的最大值为，．5．在平面直角坐标系xoy中，椭圆的参数方程为为参数）．以o为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，直线的极坐标方程为．求椭圆上点到直线距离的最大值和最小值．解答：解：将化为普通方程为（4分）点到直线的距离（6分）所以椭圆上点到直线距离的最大值为，最小值为．（10分）6．在直角坐标系xoy中，直线I的参数方程为（t为参数），若以O为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为ρ=cos（θ+）．（1）求直线I被曲线C所截得的弦长；（2）若M（x，y）是曲线C上的动点，求x+y的最大值．解答：解：（1）直线I的参数方程为（t为参数），消去t，可得，3x+4y+1=0；由于ρ=cos（θ+）=（），即有ρ2=ρcosθ﹣ρsinθ，则有x2+y2﹣x+y=0，其圆心为（，﹣），半径为r=，圆心到直线的距离d==，故弦长为2=2=；（2）可设圆的参数方程为：（θ为参数），则设M（，），则x+y==sin（），由于θ∈R，则x+y的最大值为1．7．选修4﹣4：参数方程选讲已知平面直角坐标系xOy，以O为极点，x轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，P点的极坐标为，曲线C的极坐标方程为．（Ⅰ）写出点P的直角坐标及曲线C的普通方程；（Ⅱ）若Q为C上的动点，求PQ中点M到直线l：（t为参数）距离的最小值．解解（1）∵P点的极坐标为，答：∴=3，=．∴点P的直角坐标把ρ2=x2+y2，y=ρsinθ代入可得，即∴曲线C的直角坐标方程为．（2）曲线C的参数方程为（θ为参数），直线l的普通方程为x﹣2y﹣7=0设，则线段PQ的中点．那么点M到直线l的距离.，∴点M到直线l的最小距离为．8．在直角坐标系xOy中，圆C的参数方程（φ为参数）．以O为极点，x轴的非负半轴为极轴建立极坐标系．（Ⅰ）求圆C的极坐标方程；（Ⅱ）直线l的极坐标方程是ρ（sinθ+）=3，射线OM：θ=与圆C的交点为O，P，与直线l的交点为Q，求线段PQ的长．解答：解：（I）圆C的参数方程（φ为参数）．消去参数可得：（x﹣1）2+y2=1．把x=ρcosθ，y=ρsinθ代入化简得：ρ=2cosθ，即为此圆的极坐标方程．（II）如图所示，由直线l的极坐标方程是ρ（sinθ+）=3，射线OM：θ=．可得普通方程：直线l，射线OM．联立，解得，即Q．联立，解得或．∴P．∴|PQ|==2．9．在直角坐标系xoy中，曲线C1的参数方程为（α为参数），以原点O为极点，x轴正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线C2的极坐标方程为ρsin（θ+）=4．（1）求曲线C1的普通方程与曲线C2的直角坐标方程；（2）设P为曲线C1上的动点，求点P到C2上点的距离的最小值，并求此时点P的坐标．解答：解：（1）由曲线C1：，可得，两式两边平方相加得：，即曲线C1的普通方程为：．由曲线C2：得：，即ρsinθ+ρcosθ=8，所以x+y﹣8=0，即曲线C2的直角坐标方程为：x+y﹣8=0．（2）由（1）知椭圆C1与直线C2无公共点，椭圆上的点到直线x+y﹣8=0的距离为，∴当时，d的最小值为，此时点P的坐标为．10．已知直线l的参数方程是（t为参数），圆C的极坐标方程为ρ=2cos（θ+）．（Ⅰ）求圆心C的直角坐标；（Ⅱ）由直线l上的点向圆C引切线，求切线长的最小值．解答：解：（I）∵，∴，∴圆C的直角坐标方程为，即，∴圆心直角坐标为．（5分）（II）∵直线l的普通方程为，圆心C到直线l距离是，∴直线l上的点向圆C引的切线长的最小值是（10分）11．在直角坐标系xOy中，以O为极点，x轴正半轴为极轴建立坐标系，直线l的参数方程为，（t为参数），曲线C1的方程为ρ（ρ﹣4sinθ）=12，定点A（6，0），点P是曲线C1上的动点，Q为AP的中点．（1）求点Q的轨迹C2的直角坐标方程；（2）直线l与直线C2交于A，B两点，若|AB|≥2，求实数a的取值范围．解答：解：（1）根据题意，得曲线C1的直角坐标方程为：x2+y2﹣4y=12，设点P（x′，y′），Q（x，y），根据中点坐标公式，得，代入x2+y2﹣4y=12，得点Q的轨迹C2的直角坐标方程为：（x﹣3）2+（y﹣1）2=4，（2）直线l的普通方程为：y=ax，根据题意，得，解得实数a的取值范围为：[0，]．12．在直角坐标系xoy中以O为极点，x轴正半轴为极轴建立坐标系．圆C1，直线C2的极坐标方程分别为ρ=4sinθ，ρcos （）=2．（Ⅰ）求C1与C2交点的极坐标；（Ⅱ）设P为C1的圆心，Q为C1与C2交点连线的中点，已知直线PQ的参数方程为（t∈R为参数），求a，b的值．解答：解：（I）圆C1，直线C2的直角坐标方程分别为x2+（y﹣2）2=4，x+y﹣4=0，解得或，∴C1与C2交点的极坐标为（4，）．（2，）．（II）由（I）得，P与Q点的坐标分别为（0，2），（1，3），故直线PQ的直角坐标方程为x﹣y+2=0，由参数方程可得y=x﹣+1，∴，解得a=﹣1，b=2．13．在直角坐标系xOy中，l是过定点P（4，2）且倾斜角为α的直线；在极坐标系（以坐标原点O为极点，以x轴非负半轴为极轴，取相同单位长度）中，曲线C的极坐标方程为ρ=4cosθ（Ⅰ）写出直线l的参数方程，并将曲线C的方程化为直角坐标方程；（Ⅱ）若曲线C与直线相交于不同的两点M、N，求|PM|+|PN|的取值范围．解答：解：（I）直线l的参数方程为（t为参数）．曲线C的极坐标方程ρ=4cosθ可化为ρ2=4ρcosθ．把x=ρcosθ，y=ρsinθ代入曲线C的极坐标方程可得x2+y2=4x，即（x﹣2）2+y2=4．（II）把直线l的参数方程为（t为参数）代入圆的方程可得：t2+4（sinα+cosα）t+4=0．∵曲线C与直线相交于不同的两点M、N，∴△=16（sinα+cosα）2﹣16＞0，∴sinαcosα＞0，又α∈[0，π），∴．又t1+t2=﹣4（sinα+cosα），t1t2=4．∴|PM|+|PN|=|t1|+|t2|=|t1+t2|=4|sinα+cosα|=，∵，∴，∴．∴|PM|+|PN|的取值范围是．14．在直角坐标系xOy中，直线l的参数方程为（t为参数），以原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，⊙C的极坐标方程为ρ=2sinθ．（Ⅰ）写出⊙C的直角坐标方程；（Ⅱ）P为直线l上一动点，当P到圆心C的距离最小时，求P的直角坐标．解答：解：（I）由⊙C的极坐标方程为ρ=2sinθ．∴ρ2=2，化为x2+y2=，配方为=3．（II）设P，又C．∴|PC|==≥2，因此当t=0时，|PC|取得最小值2．此时P（3，0）．15．已知曲线C1的极坐标方程为ρ=6cosθ，曲线C2的极坐标方程为θ=（p∈R），曲线C1，C2相交于A，B两点．（Ⅰ）把曲线C1，C2的极坐标方程转化为直角坐标方程；（Ⅱ）求弦AB的长度．解答：解：（Ⅰ）曲线C2：（p∈R）表示直线y=x，曲线C1：ρ=6cosθ，即ρ2=6ρcosθ所以x2+y2=6x即（x﹣3）2+y2=9（Ⅱ）∵圆心（3，0）到直线的距离，r=3所以弦长AB==．∴弦AB的长度．16．在直角坐标系xOy中，以O为极点，x轴正半轴为极轴建立坐标系，直线l的极坐标方程为ρsin（θ+）=，圆C的参数方程为，（θ为参数，r＞0）（Ⅰ）求圆心C的极坐标；（Ⅱ）当r为何值时，圆C上的点到直线l的最大距离为3．解答：解：（1）由ρsin（θ+）=，得ρ（cosθ+sinθ）=1，∴直线l：x+y﹣1=0．由得C：圆心（﹣，﹣）．∴圆心C的极坐标（1，）．（2）在圆C：的圆心到直线l的距离为：∵圆C上的点到直线l的最大距离为3，∴．r=2﹣∴当r=2﹣时，圆C上的点到直线l的最大距离为3．17．选修4﹣4：坐标系与参数方程在直角坐标xOy中，圆C1：x2+y2=4，圆C2：（x﹣2）2+y2=4．（Ⅰ）在以O为极点，x轴正半轴为极轴的极坐标系中，分别写出圆C1，C2的极坐标方程，并求出圆C1，C2的交点坐标（用极坐标表示）；（Ⅱ）求圆C1与C2的公共弦的参数方程．解答：解：（I）由，x2+y2=ρ2，可知圆，的极坐标方程为ρ=2，圆，即的极坐标方程为ρ=4cosθ，解得：ρ=2，，故圆C1，C2的交点坐标（2，），（2，）．（II）解法一：由得圆C1，C2的交点的直角坐标（1，），（1，）．故圆C1，C2的公共弦的参数方程为（或圆C1，C2的公共弦的参数方程为）（解法二）将x=1代入得ρcosθ=1从而于是圆C1，C2的公共弦的参数方程为．。
极坐标与参数方程-习题及答案
金材教育 极坐标与参数方程未命名1．在直角坐标系xOy 中，曲线C 1的参数方程为{x =cosαy =1+sinα （α为参数)，以坐标原点为极点，以x 轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线C 2的极坐标方程为ρsin (θ+π4)=2√2.（1（写出C 1的普通方程和C 2的直角坐标方程（（2）直线y =x 与C 1交于异于原点的A ,与C 2交于点B ，求线段AB 的长. 【答案】(1)x 2+(y −1)2=1；C 2:x +y =4. (2)|AB |=√2.【解析】分析：（1）利用sin 2α+cos 2α=1，将曲线C 1的参数方程化为普通方程，由{x =ρcosθy =ρsinθ 求出C 2的直角坐标方程；（2）由直线的参数方程的意义，求出线段AB 的长。
详解：（1）C 1:{x =cosαy =1+sinα (α为参数）的普通方程是x 2+(y −1)2=1.∵ρsin (θ+π4)=2√2，整理得√22ρsinθ+√22ρcosθ=2√2，∴C 2的直角坐标方程为x +y =4； 故C 1:x 2+(y −1)2=1；C 2:x +y =4.（2）直线y =x 的极坐标方程为θ=π4，C 1的极坐标方程为ρ=2sinθ， ∴点A (√2,π4),B (2√2,π4)，即ρA =√2,ρB =2√2， 于是|AB |=ρB −ρA =√2.点睛：本题主要考查曲线的普通方程、直角坐标方程的求法等，属于基础题。
考查了推理论证能力，运算求解能力。
2．（本题满分10分）选修4-4：坐标系与参数方程选讲在直角坐标系中，曲线的参数方程为（为参数），以原点为极点，以轴正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线的极坐标方程为（1）求曲线的普通方程与曲线的直角坐标方程；（2）设点，曲线与曲线交于，求的值．【答案】（1）；（2）85。
【解析】试题分析：（1）根据曲线的参数方程，两式相加消去参数，即可得到普通方程；由曲线的极坐标方程得ρ2=41+3sin2θ⇒ρ2+3ρ2sin2θ=4，可化为直角坐标方程；（2）将，代入直角坐标方程，整理后，利用=t1t2即可求解．试题解析：（1）两式相加消去参数t可得曲线的普通方程，由曲线的极坐标方程得ρ2=41+3sin2θ⇒ρ2+3ρ2sin2θ=4，整理可得曲线的直角坐标方程．（2）将代人直角坐标方程得利用韦达定理可得，所以|MA||MB|=考点：简单曲线的极坐标方程；直线的参数方程．3．选修4-4：坐标系与参数方程在直角坐标系xOy中，曲线C1的参数方程为：{x=√55ty=9+2√55t（t为参数），在以O为极点，x轴正半轴为极轴的极坐标系中，曲线C2的极坐标方程为ρ=8sinθ.（1）求曲线C1的普通方程和曲线C2的直角坐标方程；（2）若曲线C 1与C 2交于A ，B 两点，点P 的坐标为(0,9)，求1|PA |+1|PB |. 【答案】(1)x 2+(y −4)2=16；2x −y +9=0. (2)4√59. 【解析】分析：（1）消元法解出直线C 1的普通方程，利用直角坐标和极坐标的互化公式解出圆C 2的直角坐标方程（2）将直线C 1的参数方程为代入圆C 2的直角坐标方程并化简整理关于t 的一元二次方程。
极坐标参数方程高考练习含答案非常好的练习题
极坐标参数方程高考练习含答案非常好的练习题公司标准化编码 [QQX96QT-XQQB89Q8-NQQJ6Q8-MQM9N]极坐标与参数方程高考精练（经典39题）1．在极坐标系中，以点(2,)2C π为圆心，半径为3的圆C 与直线:()3l R πθρ=∈交于,A B两点.（1）求圆C 及直线l 的普通方程.（2）求弦长AB .2．在极坐标系中，曲线2:sin 2cos L ρθθ=，过点A （5，α）（α为锐角且3tan 4α=）作平行于()4R πθρ=∈的直线l ，且l 与曲线L 分别交于B ，C 两点.(Ⅰ)以极点为原点，极轴为x 轴的正半轴，取与极坐标相同单位长度，建立平面直角坐标系，写出曲线L 和直线l 的普通方程；(Ⅱ)求|BC|的长.3．在极坐标系中，点M 坐标是)2,3(π，曲线C 的方程为)4sin(22πθρ+=；以极点为坐标原点，极轴为x 轴的正半轴建立平面直角坐标系，斜率是1-的直线l 经过点M ．（1）写出直线l 的参数方程和曲线C 的直角坐标方程；（2）求证直线l 和曲线C 相交于两点A 、B ，并求||||MB MA ⋅的值．4．已知直线l 的参数方程是)(242222是参数t t y t x ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+==，圆C 的极坐标方程为)4cos(2πθρ+=．（1）求圆心C 的直角坐标；（2）由直线l 上的点向圆C 引切线，求切线长的最小值．5．在直角坐标系xOy 中，直线l 的参数方程为()为参数t ty ta x ,3⎩⎨⎧=+=.在极坐标系（与直角坐标系xOy 取相同的长度单位，且以原点O 为极点，以x 轴正半轴为极轴）中，圆C 的方程为θρcos 4=.（Ⅰ）求圆C 在直角坐标系中的方程；（Ⅱ）若圆C 与直线l 相切，求实数a 的值.6．在极坐标系中，O 为极点，已知圆C 的圆心为(2,)3π，半径r=1，P 在圆C 上运动。
（I ）求圆C 的极坐标方程；（II ）在直角坐标系（与极坐标系取相同的长度单位，且以极点O 为原点，以极轴为x 轴正半轴）中，若Q 为线段OP 的中点，求点Q 轨迹的直角坐标方程。
极坐标与参数方程大题及答案
极坐标与参数方程大题及答案一、极坐标问题1.求解方程$r = 2\\cos(\\theta)$的直角坐标方程。
首先，根据极坐标到直角坐标的转换公式：$$x = r\\cos(\\theta)$$$$y = r\\sin(\\theta)$$将$r = 2\\cos(\\theta)$代入上述两式，得到：$$x = 2\\cos(\\theta)\\cos(\\theta)$$$$y = 2\\cos(\\theta)\\sin(\\theta)$$化简上述两个式子，得到直角坐标方程为：$$x = 2\\cos^2(\\theta)$$$$y = 2\\cos(\\theta)\\sin(\\theta)$$2.将直角坐标方程x2+y2−4x=0转换为极坐标方程。
首先，我们可以将直角坐标方程中的x2和y2替换成r2，从而得到：r2+y2−4x=0然后，将直角坐标方程中的x和y替换成$r\\cos(\\theta)$和$r\\sin(\\theta)$，得到：$$r^2 + (r\\sin(\\theta))^2 - 4(r\\cos(\\theta)) = 0$$将上述方程化简，得到极坐标方程为：$$r^2 + r^2\\sin^2(\\theta) - 4r\\cos(\\theta) = 0$$3.将极坐标方程$r = \\sin(\\theta)$转换为直角坐标方程。
使用极坐标到直角坐标的转换公式，将$r = \\sin(\\theta)$代入，得到：$$x = \\sin(\\theta)\\cos(\\theta)$$$$y = \\sin^2(\\theta)$$化简上述两个式子，得到直角坐标方程为：$$x = \\frac{1}{2}\\sin(2\\theta)$$$$y = \\sin^2(\\theta)$$二、参数方程问题1.求解方程$\\frac{x + y}{x - y} = 2$的参数方程。
极坐标与参数方程经典题型(附含详细解答)
专题：极坐标与参数方程1、已知在直角坐标系xOy 中，曲线C 的参数方程为14cos 24sin x y θθ=+⎧⎨=+⎩（θ为参数），直线l 经过定点(3,5)P ，倾斜角为3π. （1）写出直线l 的参数方程和曲线C 的标准方程；（2）设直线l 与曲线C 相交于A ，B 两点，求||||PA PB 的值.2、在直角坐标系中，以坐标原点为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系，已知曲线2:sin 2cos C ρθθ=，过点(2,1)P -的直线2cos 45:1sin 45x t l y t ⎧=+⎪⎨=-+⎪⎩（t 为参数）与曲线C 交于,M N 两点.（1）求曲线C 的直角坐标方程和直线l 的普通方程；（2）求22||||PM PN +的值.3、在平面直角坐标系xOy 中，已知曲线：23cos 3sin x y αα⎧=+⎪⎨=⎪⎩（α为参数），以平面直角坐标系xOy 的原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴，取相同的单位长度建立极坐标系，已知直线l ：(cos sin )6ρθθ-=.（1）求曲线C 上点P 到直线l 距离的最大值；（2）与直线l 平行的直线1l 交C 于,A B 两点，若||2AB =，求1l 的方程．4、在平面直角坐标系xOy 中，以原点为极点，轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线1C 的参数方程为22cos 2sin x y θθ⎧=⎪⎨=⎪⎩（为参数），曲线 2C 的极坐标方程为cos 2sin 40ρθρθ--=．（1）求曲线1C 的普通方程和曲线 2C 的直角坐标方程；（2）设P 为曲线1C 上一点，Q 为曲线2C 上一点，求||PQ 的最小值．5.在平面直角坐标系xOy 中，曲线1C 的参数方程为2cos sin x y ϕϕ=⎧⎨=⎩（ϕ为参数），在以原点为极点，轴的正半轴为极轴，建立的极坐标系中，曲线2C 是圆心为3,2π⎛⎫⎪⎝⎭，半径为1的圆.（1）求曲线1C 的普通方程，2C 的直角坐标方程；（2）设M 为曲线1C 上的点，N 为曲线2C 上的点，求||MN 的取值范围.6. 在平面直角坐标系xOy 中，曲线1C 的参数方程为2cos sin x y ϕϕ⎧=⎪⎨=⎪⎩（ϕ为参数），曲线2C ：2220x y y +-=，以原点为极点，轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，射线():0l θαρ=≥与曲线1C ，2C 分别交于,A B （均异于原点O ）.（1）求曲线1C ，2C 的极坐标方程； （2）当02πα<<时，求22||||OA OB +的取值范围.7. 在平面直角坐标系xOy 中，曲线1C 过点(,1)P a ，其参数方程为212x a ty t ⎧=+⎪⎨=+⎪⎩（t 为参数，a R ∈），以原点为极点，轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线2C 的极坐标方程为2cos 4cos 0ρθθρ+-=.（1）求曲线1C 的普通方程和2C 的直角坐标方程；（2）已知曲线1C 与2C 交于,A B 两点，且||2||PA PB =，求实数a 的值.8. 在平面直角坐标系xOy 中，以原点为极点，轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，直线l 的极坐标方程为(sin 3cos )43ρθθ+=，若射线6πθ=，3πθ=，分别与l 交于,A B两点.（1）求||AB ；（2）设点P 是曲线2219y x +=上的动点，求ABP ∆面积的最大值.极坐标与参数方程——练习1.在平面直角坐标系xOy 中,已知直线l 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1＋12t ，y ＝32t ，(t 为参数),椭圆C 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝cos θ，y ＝2sin θ(θ为参数).设直线l 与椭圆C 相交于A,B 两点，求线段AB 的长.2.在直角坐标系xOy 中,曲线C 1：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝tcos α，y ＝tsin α(t 为参数,t≠0),其中0≤α＜π,在以O 为极点,x 轴正半轴为极轴的极坐标系中,曲线C 2：ρ＝2sin θ,C 3：ρ＝23cos θ.(1)求C 2与C 3交点的直角坐标；(2)若C 1与C 2相交于点A,C 1与C 3相交于点B ,求|AB |的最大值.3.在直角坐标系xOy 中,直线l 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3＋12t ，y ＝32t(t 为参数).以原点为极点,x轴正半轴为极轴建立极坐标系,⊙C 的极坐标方程为ρ＝23sin θ.(1)写出⊙C 的直角坐标方程；(2)P 为直线l 上一动点,当P 到圆心C 的距离最小时,求P 的直角坐标.4.在平面直角坐标系xOy 中,曲线C 的方程为x 2－2x ＋y 2＝0,以原点为极点,x 轴正半轴为极轴建立极坐标系,直线l 的极坐标方程为θ＝π4(ρ∈R ).(1)写出C 的极坐标方程,并求l 与C 的交点M,N 的极坐标； (2)设P 是椭圆x 23＋y 2＝1上的动点,求△PMN 面积的最大值.5.直线l 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1＋12t ，y ＝32t(t 为参数),曲线C 的极坐标方程为(1＋sin 2θ)ρ2＝2. (1)写出直线l 的普通方程与曲线C 的直角坐标方程.(2)设直线l 与曲线C 相交于A ,B 两点,若点P 为(1,0),求1|PA |2＋1|PB |2的值.6. 在直角坐标系xoy 中，直线l 的参数方程为325:45x t C y t ⎧=-+⎪⎪⎨⎪=⎪⎩（t 为参数），以原点O 为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，圆C 的极坐标方程为sin a ρθ=． （1）若2a =，求圆C 的直角坐标方程与直线 l 的普通方程； （2）设直线l 截圆C 的弦长等于圆Ca 的值．7. 在直角坐标系xOy 中，直线1C ：y =，曲线2C 的参数方程是cos 2sin x y ϕϕ⎧=⎪⎨=-+⎪⎩（ϕ为参数），以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系．（1）求1C 的极坐标方程和2C 的普通方程； （2）把1C 绕坐标原点沿顺时针方向旋转3π得到直线3C ，3C 与2C 交于A ，B 两点，求||AB ．8.将圆x 2＋y 2＝1上每一点的横坐标保持不变，纵坐标变为原来的2倍,得曲线C. (1)写出C 的参数方程；(2)设直线l ：2x ＋y －2＝0与C 的交点为P 1,P 2,以坐标原点为极点,x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，求过线段P 1P 2的中点且与l 垂直的直线的极坐标方程.极坐标与参数方程参考答案1.【解答】解：（1）∵曲线C的参数方程为（θ为参数），消去参数θ，得曲线C的普通方程：（x﹣1）2+（y﹣2）2=16；∵直线l经过定点P（3，5），倾斜角为，∴直线l的参数方程为：，t为参数．（2）将直线l的参数方程代入曲线C的方程，得t2+（2+3）t﹣3=0，设t1、t2是方程的两个根，则t1t2=﹣3，∴|PA|•|PB|=|t1|•|t2|=|t1t2|=3．2．【解答】解：（1）曲线C：ρsin2θ=2cosθ，即ρ2sin2θ=2ρcosθ，∴曲线C的直角坐标方程为y2=2x；直线l：（t为参数），消去t，可得直线l的普通方程x﹣y﹣3=0；（2）将直线l：代入曲线C的标准方程：y2=2x得：t2﹣4t﹣6=0，∴|PM|2+|PN|2=|t1|2+|t2|2=（t1﹣t2）2+2t1t2=32．3、【解答】（1）直线l ：(cos sin )6ρθθ-=化成普通方程为60x y --=．曲线化成普通方程为22(2)3x y -+=∴圆心(2,0)C 到直线l 的距离为d ==∴曲线C 上点P 到直线l 距离的最大值为（2）设直线1l 的方程为0x y λ-+=， (2,0)C 到直线1l 的距离为d === ∴或∴直线1l 的方程为或4.【解答】（1）由曲线C 1的参数方程为（θ为参数），消去参数θ得，曲线C 1的普通方程得+=1．由ρcos θ﹣ρsin θ﹣4=0得，曲线C 2的直角坐标方程为x ﹣y ﹣4=0…（2）设P （2cos θ，2sin θ），则点P 到曲线C 2的距离为d==，当cos （θ+45°）=1时，d 有最小值0，所以|PQ|的最小值为0.5．【解答】解：（1）消去参数φ可得C1的直角坐标方程为+y2=1，∵曲线C2是圆心为（3，），半径为1的圆曲线C2的圆心的直角坐标为（0，3），∴C2的直角坐标方程为x2+（y﹣3）2=1；（2）设M（2cosφ，sinφ），则|MC2|====，∴﹣1≤sinφ≤1，∴由二次函数可知2≤|MC2|≤4，由题意结合图象可得|MN|的最小值为2﹣1=1，最大值为4+1=5，∴|MN|的取值范围为[1，5]6.【解答】解：（1）∵，∴，由得曲线C1的极坐标方程为，∵x2+y2﹣2y=0，∴曲线C2的极坐标方程为ρ=2sinθ；（2）由（1）得，|OB|2=ρ2=4sin2α，∴∵，∴1＜1+sin2α＜2，∴，∴|OA|2+|OB|2的取值范围为（2，5）．7．【解答】解：（1）曲线C1参数方程为，∴其普通方程x﹣y﹣a+1=0，由曲线C2的极坐标方程为ρcos2θ+4cosθ﹣ρ=0，∴ρ2cos2θ+4ρcosθ﹣ρ2=0∴x2+4x﹣x2﹣y2=0，即曲线C2的直角坐标方程y2=4x．（2）设A、B两点所对应参数分别为t1，t2，联解得要有两个不同的交点，则，即a＞0，由韦达定理有根据参数方程的几何意义可知|PA|=2|t1|，|PB|=2|t2|，又由|PA|=2|PB|可得2|t1|=2×2|t2|，即t1=2t2或t1=﹣2t2∴当t1=2t2时，有t1+t2=3t2=，t1t2=2t22=，∴a=＞0，符合题意．当t1=﹣2t2时，有t1+t2=﹣t2=，t1t2=﹣2t22=，∴a=＞0，符合题意．综上所述，实数a的值为或．8．【解答】解：（1）直线，令，解得，∴，令，解得ρ=4，∴又∵，∴，∴|AB|=2．（2）∵直线，曲线，∴=当且仅当，即时，取“=”，∴，∴△ABP面积的最大值为3．极坐标与参数方程——练习参考答案1．【解答】解：由，由②得，代入①并整理得，．由，得，两式平方相加得．联立，解得或．∴|AB|=．2．【解答】解：（1）曲线C2：ρ=2sinθ得ρ2=2ρsinθ，即x2+y2=2y，①C 3：ρ=2cosθ，则ρ2=2ρcosθ，即x2+y2=2x，②由①②得或，即C2与C3交点的直角坐标为（0，0），（，）；（2）曲线C1的直角坐标方程为y=tanαx，则极坐标方程为θ=α（ρ∈R，ρ≠0），其中0≤a＜π．因此A得到极坐标为（2sinα，α），B的极坐标为（2cosα，α）．所以|AB|=|2sinα﹣2cosα|=4|sin（α）|，当α=时，|AB|取得最大值，最大值为4．3．【解答】解：（1）由⊙C的极坐标方程为ρ=2sinθ．∴ρ2=2，化为x2+y2=，配方为=3．（2）设P，又C．∴|PC|==≥2，因此当t=0时，|PC|取得最小值2．此时P（3，0）．4．【解答】解：（1）因为x=ρcosθ，y=ρsinθ，所以C的极坐标方程为ρ=2cosθ，直线l的直角坐标方程为y=x，联立方程组，解得或，所以点M，N的极坐标分别为（0，0），（，）．（2）由（1）易得|MN|=因为P是椭圆+y2=1上的点，设P点坐标为（cosθ，sinθ），则P到直线y=x的距离d=，所以S△PMN==≤1，当θ=kπ﹣，k∈Z时，S△PMN取得最大值1．5．【解答】解：（1）直线l的参数方程为（t为参数），消去参数t得直线l的普通方程为x﹣y﹣=0，曲线C的极坐标方程ρ2+ρ2sin2θ=2，化成直角坐标方程为x2+2y2=2，即+y2=1．（2）将直线l的参数方程代入曲线C：x2+2y2=2，得7t2+4t﹣4=0．设A，B两点在直线l的参数方程中对应的参数分别为t1，t2，则t1+t2=﹣，t1t2=﹣，∴+=+==．6．【解答】解：（1）当a=2时，ρ=asinθ转化为ρ=2sinθ整理成直角坐标方程为：x2+（y﹣1）2=1直线的参数方程（t为参数）．转化成直角坐标方程为：4x+3y﹣8=0 （2）圆C的极坐标方程转化成直角坐标方程为：直线l截圆C的弦长等于圆C的半径长的倍，所以：2|3a﹣16|=5|a|，利用平方法解得：a=32或．7．【解答】解：（1）∵直线，∴直线C1的极坐标方程为，∵曲线C2的参数方程是（θ为参数），∴消去参数θ，得曲线C2的普通方程为．（2）∵把C1绕坐标原点沿逆时针方向旋转得到直线C3，∴C3的极坐标方程为，化为直角坐标方程为．圆C2的圆心（，2）到直线C3：的距离：．∴．8．【解答】解：（1）在曲线C上任意取一点（x，y），由题意可得点（x，）在圆x2+y2=1上，∴x2+=1，即曲线C的方程为x2+=1，化为参数方程为（0≤θ＜2π，θ为参数）．（2）由，可得，，不妨设P1（1，0）、P2（0，2），则线段P1P2的中点坐标为（，1），再根据与l垂直的直线的斜率为，故所求的直线的方程为y﹣1=（x﹣），即x﹣2y+ =0．再根据x=ρcosα、y=ρsinα可得所求的直线的极坐标方程为ρcosα﹣2ρsinα+=0，即ρ=．。
高中数学选修4极坐标与参数方程专题练习(附解答过程)
极坐标与参数方程一．选择题（共16小题）1．化极坐标方程ρ2cosθ﹣ρ=0为直角坐标方程为（）A．x2+y2=0或y=1 B．x=1 C．x2+y2=0或x=1 D．y=12．在极坐标方程中，曲线C的方程是ρ=4sinθ，过点（4，）作曲线C的切线，则切线长为（）A．4 B．C．2D．23．已知点M的极坐标为，那么将点M的极坐标化成直角坐标为（）A．B．C．D．4．点M的直角坐标是，则点M的极坐标为（）A．B．C．D．5．极坐标方程分别是ρ=cosθ和ρ=sinθ的两个圆的圆心距是（）A．2 B．C．1 D．6．曲线的极坐标方程ρ=4sinθ化为直角坐标为（）A．x2+（y+2）2=4 B．x2+（y﹣2）2=4 C．（x﹣2）2+y2=4 D．（x+2）2+y2=47．在极坐标系中，圆ρ=﹣2sinθ的圆心的极坐标是（）A．B．C．（1，0）D．（1，π）8．过点（2，）且平行于极轴的直线的坐标方程为（）A．ρsinθ= B．ρcosθ= C．ρsinθ=2D．ρcosθ=29．在极坐标系中，圆ρ=2cosθ的半径为（）A．B．1 C．2 D．410．与参数方程为（t为参数）等价的普通方程为（）A．x2+=1 B．x2+=1（0≤x≤1）C．x2+=1（0≤y≤2）D．x2+=1（0≤x≤1，0≤y≤2）11．若直线，（t为参数）与圆，（θ为参数）相切，则b=（）A．﹣4或6 B．﹣6或4 C．﹣1或9 D．﹣9或112．已知直线l的参数方程为（t为参数），则其直角坐标方程为（）A．x+y+2﹣=0 B．x﹣y+2﹣=0 C．x﹣y+2﹣=0 D．x+y+2﹣=013．若直线y=x﹣b与曲线（θ∈[0，2π））有两个不同的公共点，则实数b的取值范围为（）A．B．C．D．14．参数方程（θ为参数）化为普通方程是（）A．2x﹣y+4=0 B．2x+y﹣4=0C．2x﹣y+4=0，x∈[2，3]D．2x+y﹣4=0，x∈[2，3]15．直线y=2x+1的参数方程是（）A．（t为参数）B．（t为参数）C．（t为参数）D．（θ为参数）16．把方程xy=1化为以t参数的参数方程是（）A． B．C．D．二．解答题（共12小题）17．已知圆O1和圆O2的极坐标方程分别为ρ=2，．（1）把圆O1和圆O2的极坐标方程化为直角坐标方程；（2）求经过两圆交点的直线的极坐标方程．18．在直角坐标系xOy中，直线C1：x=﹣2，圆C2：（x﹣1）2+（y﹣2）2=1，以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系．（Ⅰ）求C1，C2的极坐标方程；（Ⅱ）若直线C3的极坐标方程为θ=（ρ∈R），设C2与C3的交点为M，N，求△C2MN的面积．19．在极坐标系中，已知圆C的圆心C（，），半径r=．（Ⅰ）求圆C的极坐标方程；（Ⅱ）若α∈[0，），直线l的参数方程为（t为参数），直线l交圆C于A、B两点，求弦长|AB|的取值范围．20．已知直线l的参数方程是（t为参数），圆C的极坐标方程为ρ=2cos（θ+）．（Ⅰ）求圆心C的直角坐标；（Ⅱ）由直线l上的点向圆C引切线，求切线长的最小值．21．在直角坐标系xOy中以O为极点，x轴正半轴为极轴建立坐标系．圆C1，直线C2的极坐标方程分别为ρ=4sinθ，ρcos（）=2．（Ⅰ）求C1与C2交点的极坐标；（Ⅱ）设P为C1的圆心，Q为C1与C2交点连线的中点，已知直线PQ的参数方程为（t∈R为参数），求a，b的值．22．在直角坐标系xOy中，以O为极点，x正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为ρcos（）=1，M，N分别为C与x轴，y轴的交点．（1）写出C的直角坐标方程，并求M，N的极坐标；（2）设MN的中点为P，求直线OP的极坐标方程．23．已知P为半圆C：（θ为参数，0≤θ≤π）上的点，点A的坐标为（1，0），O为坐标原点，点M在射线OP上，线段OM与C的弧的长度均为．（1）以O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，求点M的极坐标；（2）求直线AM的参数方程．24．已知直线l：（t为参数）．以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C的坐标方程为ρ=2cosθ．（1）将曲线C的极坐标方程化为直坐标方程；（2）设点M的直角坐标为（5，），直线l与曲线C的交点为A，B，求|MA|•|MB|的值．25．极坐标系的极点为直角坐标系的原点，极轴为x轴的正半轴，两种坐标系中的长度单位相同，已知曲线C的极坐标方程为ρ=2（cosθ+sinθ）．（1）求C的直角坐标方程；（2）直线l：为参数）与曲线C交于A，B两点，与y轴交于E，求|EA|+|EB|的值．26．在平面直角坐标系中，曲线C1的参数方程为（ϕ为参数），以O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C2是圆心在极轴上且经过极点的圆，射线与曲线C2交于点．（1）求曲线C1，C2的普通方程；（2）是曲线C1上的两点，求的值．27．在平面直角坐标系xOy中，直线l的参数方程为（为参数），曲线C的参数方程为（t为参数）．试求直线l和曲线C的普通方程，并求出它们的公共点的坐标．参考答案与解析一．选择题解：∵ρ2cosθ﹣ρ=0，∴ρcosθ﹣1=0或ρ=0，∵，∴x2+y2=0或x=1，故选C．2．解：ρ=4sinθ化为普通方程为x2+（y﹣2）2=4，点（4，）的直角坐标是A（2 ，2），圆心到定点的距离及半径构成直角三角形．由勾股定理：切线长为．故选C．3．解：由点M的极坐标为，∴x M=5=﹣，=，∴M．故选：D．4．解：由于ρ2=x2+y2，得：ρ2=4，ρ=2，由ρcosθ=x得：cosθ=，结合点在第二象限得：θ=，则点M的极坐标为．故选C．5．解：由ρ=cosθ，化为直角坐标方程为x2+y2﹣x=0，其圆心是A（，0），由ρ=sinθ，化为直角坐标方程为x2+y2﹣y=0，其圆心是B（0，），由两点间的距离公式，得AB=，故选D．6．解：曲线的极坐标方程ρ=4sinθ 即ρ2=4ρsinθ，即x2+y2=4y，化简为x2+（y﹣2）2=4，故选：B．7．解：将方程ρ=﹣2sinθ两边都乘以p得：ρ2=﹣2ρsinθ，化成直角坐标方程为x2+y2+2y=0．圆心的坐标（0，﹣1）．∴圆心的极坐标故选B．8．解：由点（2，）可得直角坐标为，即．设P（ρ，θ）为所求直线上的任意一点，则，即．故选：A．9．解：由ρ=2cosθ，得ρ2=2ρcosθ，化为直角坐标方程得x2+y2=2x，即（x﹣1）2+y2=1．∴圆ρ=2cosθ的半径为1．故选：B．10．解：由参数方程为，∴，解得0≤t≤1，从而得0≤x≤1，0≤y≤2；将参数方程中参数消去得x2+=1．因此与参数方程为等价的普通方程为．故选D．11．解：把直线，（t为参数）与圆，（θ为参数）的参数方程分别化为普通方程得：直线：4x+3y﹣3=0，圆：x2+（y﹣b）2=9，∵此直线与该圆相切，∴，解得b=﹣4，或6．故选A．12．解：因为直线l的参数方程为（t为参数），消去参数t，得直线l的直角坐标方程为y﹣2=（x﹣1），即x﹣y+2﹣=0．故选：B．13．解：化为普通方程（x﹣2）2+y2=1，表示圆，因为直线与圆有两个不同的交点，所以解得法2：利用数形结合进行分析得，∴同理分析，可知．故选D．14．解：由条件可得cos2θ=y+1=1﹣2sin2θ=1﹣2（x﹣2），化简可得2x+y﹣4=0，x∈[2，3]，故选D．15．解：∵y=2x+1，∴y+1=2（x+1），令x+1=t，则y+1=2t，可得，即为直线y=2x+1的参数方程．故选：B．16．解：xy=1，x可取一切非零实数，而A中的x的范围是x≥0，不满足条件；B中的x的范围是﹣1≤x≤1，不满足条件；C中的x的范围是1≤x≤1，不满足条件；故选D二．解答题17．解：（1）ρ=2⇒ρ2=4，所以x2+y2=4；因为，所以，所以x2+y2﹣2x﹣2y﹣2=0．（5分）（2）将两圆的直角坐标方程相减，得经过两圆交点的直线方程为x+y=1．化为极坐标方程为ρcosθ+ρsinθ=1，即．（10分）18．解：（Ⅰ）由于x=ρcosθ，y=ρsinθ，∴C1：x=﹣2 的极坐标方程为ρcosθ=﹣2，故C2：（x﹣1）2+（y﹣2）2=1的极坐标方程为：（ρcosθ﹣1）2+（ρsinθ﹣2）2=1，化简可得ρ2﹣（2ρcosθ+4ρsinθ）+4=0．（Ⅱ）把直线C3的极坐标方程θ=（ρ∈R）代入圆C2：（x﹣1）2+（y﹣2）2=1，可得ρ2﹣（2ρcosθ+4ρsinθ）+4=0，求得ρ1=2，ρ2=，∴|MN|=|ρ1﹣ρ2|=，由于圆C2的半径为1，∴C2M⊥C2N，△C2MN的面积为•C2M•C2N=•1•1=．19．解：（Ⅰ）∵C（，）的直角坐标为（1，1），∴圆C的直角坐标方程为（x﹣1）2+（y﹣1）2=3．化为极坐标方程是ρ2﹣2ρ（cosθ+sinθ）﹣1=0 …（5分）（Ⅱ）将代入圆C的直角坐标方程（x﹣1）2+（y﹣1）2=3，得（1+tcosα）2+（1+tsinα）2=3，即t2+2t（cosα+sinα）﹣1=0．∴t1+t2=﹣2（cosα+sinα），t1•t2=﹣1．∴|AB|=|t1﹣t2|==2．∵α∈[0，），∴2α∈[0，），∴2≤|AB|＜2．即弦长|AB|的取值范围是[2，2）…（10分）20．解：（I）∵，∴，∴圆C的直角坐标方程为，即，∴圆心直角坐标为．（5分）（II）∵直线l的普通方程为，圆心C到直线l距离是，∴直线l上的点向圆C引的切线长的最小值是（10分）21．解：（I）圆C1，直线C2的直角坐标方程分别为x2+（y﹣2）2=4，x+y﹣4=0，解得或，∴C1与C2交点的极坐标为（4，）．（2，）．（II）由（I）得，P与Q点的坐标分别为（0，2），（1，3），故直线PQ的直角坐标方程为x﹣y+2=0，由参数方程可得y=x﹣+1，∴，解得a=﹣1，b=2．22．解：（Ⅰ）由从而C的直角坐标方程为即θ=0时，ρ=2，所以M（2，0）（Ⅱ）M点的直角坐标为（2，0）N点的直角坐标为所以P点的直角坐标为，则P点的极坐标为，所以直线OP的极坐标方程为，ρ∈（﹣∞，+∞）23．解：（Ⅰ）由已知，M点的极角为，且M点的极径等于，故点M的极坐标为（，）．（5分）（Ⅱ）M点的直角坐标为（），A（1，0），故直线AM的参数方程为（t为参数）（10分）24．解：（1）∵ρ=2cosθ，∴ρ2=2ρcosθ，∴x2+y2=2x，故它的直角坐标方程为（x﹣1）2+y2=1；（2）直线l：（t为参数），普通方程为，（5，）在直线l上，过点M作圆的切线，切点为T，则|MT|2=（5﹣1）2+3﹣1=18，由切割线定理，可得|MT|2=|MA|•|MB|=18．25．解：（1）∵曲线C的极坐标方程为ρ=2（cosθ+sinθ）∴ρ2=2ρcosθ+2ρsinθ∴x2+y2=2x+2y即（x﹣1）2+（y﹣1）2=2﹣﹣﹣﹣﹣﹣（5分）（2）将l的参数方程代入曲线C的直角坐标方程，得t2﹣t﹣1=0，所以|EA|+|EB|=|t1|+|t2|=|t1﹣t2|==．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（10分）26．解：（1）曲线C1的参数方程为（ϕ为参数），普通方程为．曲线C2是圆心在极轴上且经过极点的圆，射线与曲线C2交于点，曲线C2的普通方程为（x﹣2）2+y2=4﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（4分）（2）曲线C1的极坐标方程为，所以=+=﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（10分）27．解：直线l的参数方程为（为参数），由x=t+1可得t=x﹣1，代入y=2t，可得直线l的普通方程：2x﹣y﹣2=0．曲线C的参数方程为（t为参数），化为y2=2x，联立，解得，，于是交点为（2，2），．28．解：（Ⅰ）由得直线l的普通方程为x+y﹣3﹣=0﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣2分又由得ρ2=2ρsinθ，化为直角坐标方程为x2+（y﹣）2=5；﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣5分（Ⅱ）把直线l的参数方程代入圆C的直角坐标方程，得（3﹣t）2+（t）2=5，即t2﹣3t+4=0设t1，t2是上述方程的两实数根，所以t1+t2=3又直线l过点P，A、B两点对应的参数分别为t1，t2，所以|PA|+|PB|=|t1|+|t2|=t1+t2=3．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣10分．。
极坐标与参数方程经典30题
专题14坐标系与参数方程一、解答题1．（2019·安徽高考模拟（文））在平面直角坐标系中，曲线的参数方程为（其中为参数）.以坐标原点为原点，轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程为.（I）写出曲线的普通方程和曲线的直角坐标方程；（II）设点，分别在曲线，上运动，若，两点间距离的最小值为，求实数的值.【答案】（I），；（II）或.【解析】（I）曲线；曲线的极坐标方程为，即，将，代入，得（II）因为曲线的半径，若点，分别在曲线，上运动，，两点间距离的最小值为，即圆的圆心到直线的距离，，解得或.2．（2019·江西高考模拟（文））已知平面直角坐标系，以为极点，轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，直线过点，且倾斜角为，圆C的极坐标方程为.（1）求圆C的普通方程和直线的参数方程；（2）设直线与圆C交于M、N两点，求的值.【答案】（1）圆的方程：，直线的参数方程为（为参数）（2）【解析】（1）圆的方程：，直线的参数方程为（为参数）（2）将直线的参数方程代入圆的方程，得：3．（2019·辽宁高考模拟（文））选修4-4：坐标系与参数方程在平面直角坐标系中，圆的参数方程为（为参数），以坐标原点为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线的极坐标方程为.（1）求圆的极坐标方程；（2）已知射线，若与圆交于点（异于点），与直线交于点，求的最大值.【答案】（1）；（2）3【解析】（1）由圆的参数方程为消去参数，得到圆的普通方程为，即，所以其极坐标方程为，即；（2）由题意，将代入圆的极坐标方程得；将代入线的极坐标方程，得，所以，因为，所以，因此，当，即时，取得最大值3.4．（2019·湖北高考模拟（理））选修4-4：坐标系与参数方程在平面直角坐标系中，直线的普通方程是，曲线的参数方程是（为参数）。
在以为极点，轴的正半轴为极轴建立的极坐标系中，曲线的极坐标方程是。
（1）求直线及曲线的极坐标方程；（2）已知直线与曲线交于两点，直线与曲线交于两点，求的最大值。
极坐标与参数方程高考题(含答案)
极坐标与参数方程高考题1。
在直角坐标系xOy 中，直线1:2C x =-，圆()()222:121C x y -+-=，以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系.(I)求12,C C 的极坐标方程.(II ）若直线3C 的极坐标方程为()πR 4θρ=∈,设23,C C 的交点为,M N ，求2C MN ∆ 的面积. 解:(Ⅰ)因为cos ,sin x y ρθρθ==，∴1C 的极坐标方程为cos 2ρθ=-，2C 的极坐标方程为22cos 4sin 40ρρθρθ--+=.（Ⅱ)将=4πθ代入22cos 4sin 40ρρθρθ--+=，得240ρ-+=，解得1ρ=,2ρ=,｜MN|=1ρ－2ρ，因为2C 的半径为1，则2C MN 的面积o 11sin 452⨯=12。
2。
已知曲线194:22=+y x C ，直线⎩⎨⎧-=+=t y t x l 222:(t 为参数) （1）写出曲线C 的参数方程，直线l 的普通方程；（2）过曲线C 上任意一点P 作与l 夹角为30°的直线,交l 于点A ，求PA 的最大值与最小值.解:（1）曲线C 的参数方程为(θ为参数)。
直线l 的普通方程为2x+y-6=0.(2）曲线C 上任意一点P(2cos θ,3sin θ)到l 的距离为|4cos θ+3sin θ—6|, 则|PA|==|5sin(θ+α)—6|，其中α为锐角，且tan α=43.当sin(θ+α)=-1时，|PA|取得最大值，当sin （θ+α)=1时,｜PA|取得最小值, 3。
在直角坐标系xOy 中,以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系,半圆C 的极坐标方程为ρ=2cos θ02πθ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，,（1）求C 的参数方程;（2）设点D 在C 上,C 在D 处的切线与直线x+2垂直，根据（1）中你得到的参数方程，确定D 的坐标.解：(1)C 的普通方程为(x-1)2+y 2=1(0≤y ≤1)。
极坐标与参数方程练习(含答案)
极坐标与参数方程练习1.把点P 的直角坐标(—6，2)化为极坐标为________．5)6π 2．已知点A 的极坐标为⎝⎛⎭⎫2，2π3，则它的直角坐标是________．(－1，3) 3．极坐标为⎝⎛⎭⎫32，π的点M 的直角坐标是________．⎝⎛⎭⎫－32，0 4．曲线的极坐标方程ρ＝4sin θ化为直角坐标方程为________．x 2＋(y －2)2＝45．极坐标方程ρsin ⎝⎛⎭⎫θ＋π3＝4化为直角坐标系方程是________80y +-= 6．极坐标系中，曲线ρ＝－4sin θ和ρcos θ＝1相交于点A ，B ，则||AB ＝_____________.2 37．在极坐标系中，圆ρ＝2cos θ的圆心的极坐标是______，(1,0)8．已知圆的极坐标方程为ρ＝2cos θ，则圆心的直角坐标是_____；半径长为________．(1,0) 19．若直线ρsin ⎝⎛⎭⎫θ＋π4＝22，与直线3x ＋ky ＝1垂直，则常数k ＝____________.－3 10．在极坐标系中，点()1，0到直线ρ()cos θ＋sin θ＝2的距离为________．2211．极坐标系中，圆ρ2＋2ρcos θ－3＝0上的动点到直线ρcos θ＋ρsin θ－7＝0的距离的最大值是________．42＋212．已知圆的极坐标方程ρ＝2cos θ，直线的极坐标方程为ρcos θ－2ρsin θ＋7＝0，则圆心到直线距离为__________．85513．在极坐标系中，点A ⎝⎛⎭⎫1，π4到直线ρsin θ＝－2的距离是________．．2＋2214．在极坐标系中，过点A ⎝⎛⎭⎫4，－π2引圆ρ＝4sin θ的一条切线，则切线长为______． 15．参数方程：⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝3cos φy ＝2sin φ (φ为参数)化为 普通方程为________ 22194x y +=16．在直角坐标系中圆C 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝2cos θy ＝2＋2sin θ(θ为参数)，则圆C 的普通方程为________，x 2＋(y －2)2＝417．已知圆C 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝cos θ＋1y ＝sin θ，(θ为参数)，则点P ()4，4与圆C 上的点的最远距离是_________．618．直线⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－2＋t y ＝1－t (t 为参数)被圆(x －3)2＋(y ＋1)2＝25所截得的弦长为________．.82 19．若直线l 1：⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝1－2t ，y ＝2＋kt (t 为参数)与直线l 2：⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝s ，y ＝1－2s (s 为参数)垂直，则k ＝________.-1 20．若直线3x ＋4y ＋m ＝0与圆⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝1＋cos θy ＝－2＋sin θ (θ为参数)没有公共点，则实数m 的取值范围是________________ (－∞，0)∪(10，＋∞)。
极坐标与参数方程专项训练及详细答案
一．选择题（共4小题）1．在极坐标系中，圆C ：ρ2+k 2cos ρ+ρsin θ﹣k=0关于直线l ：θ=（ρ∈R ）对称的充要条件是（ ）2．过点A （4，﹣）引圆ρ=4sin θ的一条切线，则切线长为（ ）． B C二．填空题（共11小题） 5．极坐标系下，直线与圆的公共点个数是 __ ．6．（坐标系与参数方程选做题）已知曲线C 1、C 2的极坐标方程分别为，，则曲线C 1上的点与曲线C 2上的点的最远距离为 _________ ．7．在极坐标系中，点M （4，）到直线l ：ρ（2cos θ+sin θ）=4的距离d= _________ ． 8．极坐标方程所表示曲线的直角坐标方程是 _________ ．9．已知直线（t 为参数）与曲线（y ﹣2）2﹣x 2=1相交于A ，B 两点，则点M （﹣1，2）到弦AB 的中点的距离为 _________ ． 10．（坐标系与参数方程选做题）已知曲线C 的极坐标方程是ρ=6sin θ，以极点为坐标原点，极轴为x的正半轴，建立平面直角坐标系，直线l 的参数方程是为参数），则直线l 与曲线C 相交所得的弦的弦长为 _________ ． 11．（坐标系与参数方程）在直角坐标系中，以原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建极坐标系，两种坐标系取相同的单位长度．已知曲线C ：psin 2θ=2acos θ（a ＞0），过点P （﹣2，﹣4）的直线l 的参数方程为，直线l 与曲线C 分别交于M 、N ．若|PM|、|MN|、|PN|成等比数列，则实数a 的值为_________ ．12．已知曲线（t 为参数）与曲线（θ为参数）的交点为A ，B ，，则|AB|=13．在平面直角坐标下，曲线，曲，若曲线C 1、C 2有公共点，则实数a 的取值范围为 _________ ．14．（选修4﹣4：坐标系与参数方程） 在直角坐标系xoy 中，直线l 的参数方程为（t 为参数），在极坐标系（与直角坐标系xoy 取相同的长度单位，且以原点O 为极点，以x 轴正半轴为极轴）中，圆C 的方程为． （Ⅰ）求圆C 的直角坐标方程；（Ⅱ）设圆C 与直线l 交于点A 、B ，若点P 的坐标为，求|PA|+|PB|．15．已知过定点P （﹣1，0）的直线l ：（其中t 为参数）与圆：x 2+y 2﹣2x ﹣4y+4=0交于M ，N 两点，则PM ．PN= _________ ．三．解答题（共3小题）16．选修4﹣4：坐标系与参数方程在平面直角坐标系xOy中，已知曲线C 的参数方程为．以直角坐标系原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线l 的极坐标方程为．点P为曲线C上的一个动点，求点P到直线l距离的最小值．17．在平面直角坐标系xOy中，圆C 的参数方程为（θ为参数），直线l经过点P（1，1），倾斜角，（1）写出直线l的参数方程；（2）设l与圆圆C相交与两点A，B，求点P到A，B两点的距离之积．18．选修4﹣4：坐标系与参数方程已知在直角坐标系xOy中，曲线C 的参数方程为（θ为参数），在极坐标系（与直角坐标系xOy取相同的长度单位，且以原点O为极点，以x轴正半轴为极轴）中，直线l的方程为．（Ⅰ）求曲线C在极坐标系中的方程；（Ⅱ）求直线l被曲线C截得的弦长．参考答案与试题解析一．选择题（共4小题）1．在极坐标系中，圆C：ρ2+k2cosρ+ρsinθ﹣k=0关于直线l：θ=（ρ∈R）对称的充要条件是（）在直线所以，即2．过点A（4，﹣）引圆ρ=4sinθ的一条切线，则切线长为（），运算求得结果．）即==43．在平面直角坐标系xOy中，点P的坐标为（﹣1，1），若取原点O为极点，x轴正半轴为极轴，建（|OP|=﹣．∴圆心的极坐标二．填空题（共11小题）5．（坐标系与参数方程选做题）极坐标系下，直线与圆的公共点个数是1．解：直线，即x+y=圆心到直线的距离等于=6．（坐标系与参数方程选做题）已知曲线C 1、C 2的极坐标方程分别为，，则曲线C 1上的点与曲线C 2上的点的最远距离为．d=|CQ||PQ|=d+r=故答案为：7．（2004•上海）在极坐标系中，点M （4，）到直线l ：ρ（2cos θ+sin θ）=4的距离d=．，）化成直角坐标方程为（）==故填：8．极坐标方程所表示曲线的直角坐标方程是．解：∵极坐标方程=59．已知直线（t 为参数）与曲线（y ﹣2）2﹣x 2=1相交于A ，B 两点，则点M （﹣1，2）到弦AB 的中点的距离为 ．=，，根据中点坐标的性质可得中点对应的参数为中点的距离为×…故答案为：．10．（坐标系与参数方程选做题）已知曲线C 的极坐标方程是ρ=6sin θ，以极点为坐标原点，极轴为x的正半轴，建立平面直角坐标系，直线l 的参数方程是为参数），则直线l 与曲线C 相交所得的弦的弦长为 4 ．，我们可以求出直线的一般方程，代入点到圆心距为．所以11．（坐标系与参数方程）在直角坐标系中，以原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建极坐标系，两种坐标系取相同的单位长度．已知曲线C ：psin 2θ=2acos θ（a ＞0），过点P （﹣2，﹣4）的直线l 的参数方程为，直线l 与曲线C 分别交于M 、N ．若|PM|、|MN|、|PN|成等比数列，则实数a 的值为1 ．2|x 则由•，|x |x 12．已知曲线（t 为参数）与曲线（θ为参数）的交点为A ，B ，，则|AB|=．解：把曲线化为普通方程得：=，即把曲线联立得：，消去，﹣．213．在平面直角坐标下，曲线，曲线，若曲线C 1、C 2有公共点，则实数a 的取值范围为 ． 解：曲线曲线∴，﹣22，故答案为：14．（选修4﹣4：坐标系与参数方程） 在直角坐标系xoy 中，直线l 的参数方程为（t 为参数），在极坐标系（与直角坐标系xoy 取相同的长度单位，且以原点O 为极点，以x 轴正半轴为极轴）中，圆C 的方程为． （Ⅰ）求圆C 的直角坐标方程；（Ⅱ）设圆C 与直线l 交于点A 、B ，若点P 的坐标为，求|PA|+|PB|． 的方程为∴的直角坐标方程：（Ⅱ），即由于所以15．已知过定点P （﹣1，0）的直线l ：（其中t 为参数）与圆：x 2+y 2﹣2x ﹣4y+4=0交于M ，N 两点，则PM ．PN= 7 ．（其中×t=7=0三．解答题（共3小题）16．选修4﹣4：坐标系与参数方程在平面直角坐标系xOy 中，已知曲线C 的参数方程为．以直角坐标系原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线l 的极坐标方程为．点P为曲线C 上的一个动点，求点P 到直线l 距离的最小值．）=2化简为：ρ，即===﹣17．在平面直角坐标系xOy 中，圆C 的参数方程为（θ为参数），直线l 经过点P （1，1），倾斜角，（1）写出直线l 的参数方程；（2）设l 与圆圆C 相交与两点A ，B ，求点P 到A ，B 两点的距离之积． 化为普通方程为，把直线，∴18．选修4﹣4：坐标系与参数方程已知在直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为（θ为参数），在极坐标系（与直角坐标系xOy取相同的长度单位，且以原点O为极点，以x轴正半轴为极轴）中，直线l的方程为．（Ⅰ）求曲线C在极坐标系中的方程；（Ⅱ）求直线l被曲线C截得的弦长．的距离为=。
典型极坐标参数方程练习题带答案
极坐标参数方程练习题1．在直角坐标系xOy 中，直线C 1：x ＝－2，圆C 2：(x －1)2＋(y －2)2＝1，以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系． (1)求C 1，C 2的极坐标方程； (2)若直线C 3的极坐标方程为θ＝π4(ρ∈R )，设C 2与C 3的交点为M ，N ，求△C 2MN 的面积． 解：(1)因为x ＝ρcos θ，y ＝ρsin θ，所以C 1的极坐标方程为ρcos θ＝－2，C 2的极坐标方程为ρ2－2ρcos θ－4ρsin θ＋4＝0.(2)将θ＝π4代入ρ2－2ρcos θ－4ρsin θ＋4＝0，得ρ2－32ρ＋4＝0，解得ρ1＝22，ρ2＝ 2.故ρ1－ρ2＝2，即|MN |＝ 2.由于C 2的半径为1，所以△C 2MN 的面积为12.4．(2014·辽宁，23，10分，中)将圆x 2＋y 2＝1上每一点的横坐标保持不变，纵坐标变为原来的2倍，得曲线C .(1)写出C 的参数方程；(2)设直线l ：2x ＋y －2＝0与C 的交点为P 1，P 2，以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，求过线段P 1P 2的中点且与l 垂直的直线的极坐标方程．解：(1)设(x 1，y 1)为圆上的点，经变换为C 上点(x ，y )，依题意，得⎩⎨⎧x ＝x 1，y ＝2y 1，由x 21＋y 21＝1得x 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫y 22＝1.即曲线C 的方程为x 2＋y 24＝1.故C 的参数方程为⎩⎨⎧x ＝cos t ，y ＝2sin t (t 为参数)．(2)由⎩⎨⎧x 2＋y 24＝1，2x ＋y －2＝0解得⎩⎨⎧x ＝1，y ＝0或⎩⎨⎧x ＝0，y ＝2.不妨设P 1(1，0)，P 2(0，2)，则线段P 1P 2的中点坐标为⎝⎛⎭⎪⎫12，1，所求直线斜率为k ＝12，于是所求直线方程为y －1＝12⎝⎛⎭⎪⎫x －12.化为极坐标方程，并整理得2ρcos θ－4ρsin θ＝－3， 即ρ＝34sin θ－2cos θ.(2)(2015·吉林长春二模，23，10分)在直角坐标系xOy 中，以O 为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 的极坐标方程为ρcos ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ－π3＝1，M ，N 分别为曲线C 与x轴，y 轴的交点．①写出曲线C 的直角坐标方程，并求M ，N 的极坐标； ②设M ，N 的中点为P ，求直线OP 的极坐标方程．【解析】 (1)将2ρcos 2θ＝sin θ两边同乘以ρ，得2(ρcos θ)2＝ρsin θ，化为直角坐标方程为2x 2＝y ，①C 2：ρcos θ＝1化为直角坐标方程为x ＝1，② 联立①②可解得⎩⎨⎧x ＝1，y ＝2，所以曲线C 1与C 2交点的直角坐标为(1，2)． (2)①∵ρcos ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ－π3＝1，∴ρcos θ·cosπ3＋ρsin θ·sin π3＝1. 又⎩⎨⎧x ＝ρcos θ，y ＝ρsin θ，∴12x ＋32y ＝1，即曲线C 的直角坐标方程为x ＋3y －2＝0. 令y ＝0，则x ＝2；令x ＝0，则y ＝233. ∴M (2，0)，N ⎝ ⎛⎭⎪⎫0，233.∴M 的极坐标为(2，0)，N 的极坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫233，π2.②M ，N 连线的中点P 的直角坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫1，33，P 的极角为θ＝π6.∴直线OP 的极坐标方程为θ＝π6(ρ∈R )． 注：极坐标下点的坐标表示不唯一．【点拨】 解答题(1)的关键是掌握直角坐标化为极坐标的方法；题(2)先转化为直角坐标问题求解，再转化为极坐标．(2013·课标Ⅰ，23，10分)已知曲线C 1的参数方程为⎩⎨⎧x ＝4＋5cos t ，y ＝5＋5sin t (t 为参数)，以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 2的极坐标方程为ρ＝2sin θ.(1)把C 1的参数方程化为极坐标方程；(2)求C 1与C 2交点的极坐标(ρ≥0，0≤θ＜2π)．【解析】 (1)将⎩⎨⎧x ＝4＋5cos t ，y ＝5＋5sin t 消去参数t ，化为普通方程为(x －4)2＋(y －5)2＝25，即C 1：x 2＋y 2－8x －10y ＋16＝0.将⎩⎨⎧x ＝ρcos θ，y ＝ρsin θ代入x 2＋y 2－8x －10y ＋16＝0，得 ρ2－8ρcos θ－10ρsin θ＋16＝0.所以C 1的极坐标方程为ρ2－8ρcos θ－10ρsin θ＋16＝0. (2)C 2的普通方程为x 2＋y 2－2y ＝0.联立C 1，C 2的方程⎩⎨⎧x 2＋y 2－8x －10y ＋16＝0，x 2＋y 2－2y ＝0， 解得⎩⎨⎧x ＝1，y ＝1或⎩⎨⎧x ＝0，y ＝2.所以C 1与C 2交点的极坐标分别为⎝⎛⎭⎪⎫2，π4，⎝ ⎛⎭⎪⎫2，π2. 【点拨】 本题主要考查圆的参数方程、极坐标方程和标准方程以及圆与圆的位置关系，解题的关键是将参数方程和极坐标方程化为直角坐标方程求解．(2012·辽宁，23，10分)在直角坐标系xOy 中，圆C 1：x 2＋y 2＝4，圆C 2：(x －2)2＋y 2＝4.(1)在以O 为极点，x 轴正半轴为极轴的极坐标系中，分别写出圆C 1，C 2的极坐标方程，并求出圆C 1，C 2的交点坐标(用极坐标表示)；(2)求圆C 1与C 2的公共弦的参数方程．解：(1)由⎩⎨⎧x ＝ρcos θ，y ＝ρsin θ，x 2＋y 2＝ρ2知圆C 1的极坐标方程为ρ＝2，圆C 2的极坐标方程为ρ＝4cosθ.解⎩⎨⎧ρ＝2，ρ＝4cos θ得ρ＝2，θ＝±π3，故圆C 1与圆C 2的交点坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫2，π3，⎝ ⎛⎭⎪⎫2，－π3.注：极坐标系下点的表示不唯一．(2)方法一：由⎩⎨⎧x ＝ρcos θ，y ＝ρsin θ得圆C 1与C 2交点的直角坐标分别为(1，3)，(1，－3)．故圆C 1与C 2的公共弦的参数方程为⎩⎨⎧x ＝1，y ＝t (－3≤t ≤3)．⎝ ⎛⎭⎪⎫或参数方程写成⎩⎨⎧x ＝1，y ＝y ，－3≤y ≤ 3 方法二：将x ＝1代入⎩⎨⎧x ＝ρcos θ，y ＝ρsin θ，得ρcos θ＝1，从而ρ＝1cos θ.于是圆C 1与C 2的公共弦的参数方程为⎩⎨⎧x ＝1，y ＝tan θ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π3≤θ≤π3.5．(2015·河北邯郸二模，23，10分)已知圆C 的极坐标方程为ρ＝2cos θ，直线l 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝12＋32t ，y ＝12＋12t (t 为参数)，点A 的极坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫22，π4，设直线l 与圆C 交于点P ，Q .(1)写出圆C 的直角坐标方程； (2)求|AP |·|AQ |的值．解：(1)因为圆C 的极坐标方程为ρ＝2cos θ， 所以ρ2＝2ρcos θ，将其转化成直角坐标方程为x 2＋y 2＝2x ， 即(x －1)2＋y 2＝1.(2)由点A 的极坐标⎝ ⎛⎭⎪⎫22，π4得直角坐标为A ⎝ ⎛⎭⎪⎫12，12.将直线l 的参数方程⎩⎪⎨⎪⎧x ＝12＋32t ，y ＝12＋12t (t 为参数)代入圆C 的直角坐标方程(x －1)2＋y2＝1，得t 2－3－12t －12＝0.设t 1，t 2为方程t 2－3－12t －12＝0的两个根，则t 1t 2＝－12， 所以|AP |·|AQ |＝|t 1t 2|＝12.2．(2015·课标Ⅱ，23，10分，中)在直角坐标系xOy 中，曲线C 1：⎩⎨⎧x ＝t cos α，y ＝t sin α，(t为参数，t ≠0)，其中0≤α＜π.在以O 为极点，x 轴正半轴为极轴的极坐标系中，曲线C 2：ρ＝2sin θ，C 3：ρ＝23cos θ.(1)求C 2与C 3交点的直角坐标；(2)若C 1与C 2相交于点A ，C 1与C 3相交于点B ，求|AB |的最大值． 解：(1)曲线C 2的直角坐标方程为x 2＋y 2－2y ＝0， 曲线C 3的直角坐标方程为x 2＋y 2－23x ＝0. 联立⎩⎨⎧x 2＋y 2－2y ＝0，x 2＋y 2－23x ＝0， 解得⎩⎨⎧x ＝0，y ＝0或⎩⎪⎨⎪⎧x ＝32，y ＝32.所以C 2与C 3交点的直角坐标为(0，0)和⎝ ⎛⎭⎪⎫32，32.(2)曲线C 1的极坐标方程为θ＝α(ρ∈R ，ρ≠0)，其中0≤α<π. 因此A 的极坐标为(2sin α，α)，B 的极坐标为(23cos α，α)． 所以|AB |＝|2sin α－23cos α| ＝4⎪⎪⎪⎪⎪⎪sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π3.当α＝5π6时，|AB |取得最大值，最大值为4. 3．(2015·陕西，23，10分，易)在直角坐标系xOy 中，直线l 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3＋12t ，y ＝32t (t 为参数)，以原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，⊙C 的极坐标方程为ρ＝23sin θ.(1)写出⊙C 的直角坐标方程；(2)P 为直线l 上一动点，当P 到圆心C 的距离最小时，求P 的直角坐标． 解：(1)由ρ＝23sin θ，得 ρ2＝23ρsin θ， 从而有x 2＋y 2＝23y ，所以x 2＋(y －3)2＝3.(2)设P ⎝ ⎛⎭⎪⎫3＋12t ，32t ，又C (0，3)，则|PC |＝⎝ ⎛⎭⎪⎫3＋12t 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫32t －32＝t 2＋12， 故当t ＝0时，|PC |取得最小值， 此时，P 点的直角坐标为(3，0)．5．(2014·课标Ⅱ，23，10分，中)在直线坐标系xOy 中，以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，半圆C 的极坐标方程为ρ＝2cos θ，θ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2.(1)求C 的参数方程；(2)设点D 在C 上，C 在D 处的切线与直线l ：y ＝3x ＋2垂直，根据(1)中你得到的参数方程，确定D 的坐标．解：(1)C 的普通方程为(x －1)2＋y 2＝1(0≤y ≤1)．可得C 的参数方程为⎩⎨⎧x ＝1＋cos t ，y ＝sin t(t 为参数，0≤t ≤π)．(2)设D (1＋cos t ，sin t )．由(1)知C 是以G (1，0)为圆心，1为半径的上半圆．因为C 在点D 处的切线与l 垂直，所以直线GD 与l 的斜率相同，tan t ＝3，t ＝π3.故D 的直角坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋cos π3，sin π3，即⎝ ⎛⎭⎪⎫32，32.7．(2013·课标Ⅱ，23，10分，中)已知动点P ，Q 都在曲线C ：⎩⎨⎧x ＝2cos t ，y ＝2sin t (t 为参数)上，对应参数分别为t ＝α与t ＝2α(0<α<2π)，M 为PQ 的中点．(1)求M 的轨迹的参数方程；(2)将M 到坐标原点的距离d 表示为α的函数，并判断M 的轨迹是否过坐标原点． 解：(1)依题意有P (2cos α，2sin α)，Q (2cos 2α，2sin 2α)， 因此M (cos α＋cos 2α，sin α＋sin 2α)．M 的轨迹的参数方程为⎩⎨⎧x ＝cos α＋cos 2α，y ＝sin α＋sin 2α(α为参数，0<α<2π)． (2)M 点到坐标原点的距离d ＝x 2＋y 2＝2＋2cos α(0<α<2π)． 当α＝π时，d ＝0，故M 的轨迹过坐标原点．(2014·课标Ⅰ，23，10分)已知曲线C ：x 24＋y 29＝1.直线l ：⎩⎨⎧x ＝2＋t ，y ＝2－2t(t 为参数)．(1)写出曲线C 的参数方程，直线l 的普通方程；(2)过曲线C 上任意一点P 作与l 夹角为30°的直线，交l 于点A ，求|PA |的最大值与最小值．【思路导引】 (1)由基本关系式可消参求出普通方程；(2)把|PA |用参数θ来表示，从而求其最值．【解析】 (1)曲线C 的参数方程为⎩⎨⎧x ＝2cos θ，y ＝3sin θ(θ为参数)．直线l 的普通方程为2x ＋y －6＝0.(2)曲线C 上任意一点P (2cos θ，3sin θ)到l 的距离为d ＝55|4cos θ＋3sin θ－6|. 则|PA |＝d sin 30°＝255|5sin(θ＋α)－6|，其中α为锐角，且tan α＝43. 当sin(θ＋α)＝－1时，|PA |取得最大值，最大值为2255. 当sin(θ＋α)＝1时，|PA |取得最小值，最小值为255. (2013·辽宁，23，10分)在直角坐标系xOy 中，以O 为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系．圆C 1，直线C 2的极坐标方程分别为ρ＝4sin θ，ρcos ⎝⎛⎭⎪⎫θ－π4＝2 2.(1)求C 1与C 2交点的极坐标；(2)设P 为C 1的圆心，Q 为C 1与C 2交点连线的中点，已知直线PQ 的参数方程为⎩⎨⎧x ＝t 3＋a ，y ＝b 2t 3＋1(t ∈R 为参数)，求a ，b 的值．【解析】 (1)圆C 1的直角坐标方程为x 2＋(y －2)2＝4， 直线C 2的直角坐标方程为x ＋y －4＝0. 解⎩⎨⎧x 2＋（y －2）2＝4，x ＋y －4＝0得⎩⎨⎧x 1＝0，y 1＝4，⎩⎨⎧x 2＝2，y 2＝2.所以C 1与C 2交点的极坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫4，π2，⎝ ⎛⎭⎪⎫22，π4.注：极坐标系下点的表示不唯一．(2)由(1)可得，P 点与Q 点的直角坐标分别为(0，2)，(1，3)．故直线PQ 的直角坐标方程为x －y ＋2＝0.由参数方程可得y ＝b 2(x －a )＋1＝b 2x －ab2＋1，所以⎩⎪⎨⎪⎧b2＝1，－ab 2＋1＝2，解得a ＝－1，b ＝2.【点拨】 解答本题的关键是明确转化思想的运用，即把极坐标化为直角坐标，把参数方程化为普通方程求解问题．2011·课标全国，23，10分)在直角坐标系xOy 中，曲线C 1的参数方程为⎩⎨⎧x ＝2cos α，y ＝2＋2sin α(α为参数)，M 是C 1上的动点，P 点满足OP →＝2OM →，P 点的轨迹为曲线C 2.(1)求C 2的方程；(2)在以O 为极点，x 轴的正半轴为极轴的极坐标系中，射线θ＝π3与C 1的异于极点的交点为A ，与C 2的异于极点的交点为B ，求|AB |.解：(1)设P (x ，y )， 则由条件知M ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2，y 2.由于M 点在C 1上，所以⎩⎪⎨⎪⎧x 2＝2cos α，y 2＝2＋2sin α，即⎩⎨⎧x ＝4cos α，y ＝4＋4sin α. 从而C 2的参数方程为⎩⎨⎧x ＝4cos α，y ＝4＋4sin α(α为参数)．(2)C 1化为普通方程为x 2＋(y －2)2＝4，故曲线C 1的极坐标方程为ρ＝4sin θ，同理可得曲线C 2的极坐标方程为ρ＝8sin θ.射线θ＝π3与C 1的交点A 的极径为 ρ1＝4sinπ3＝23， 射线θ＝π3与C 2的交点B 的极径为 ρ2＝8sinπ3＝4 3. 所以|AB |＝|ρ2－ρ1|＝2 3.5．(2014·辽宁锦州一模，23，10分)已知圆的极坐标方程为ρ2－42ρcos(θ－π4)＋6＝0.(1)将极坐标方程化为普通方程；(2)若点P (x ，y )在该圆上，求x ＋y 的最大值和最小值． 解：(1)原方程变形为ρ2－4ρcos θ－4ρsin θ＋6＝0，化直角坐标方程为x 2＋y 2－4x －4y ＋6＝0，即(x －2)2＋(y －2)2＝2. (2)设圆的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2＋2cos α，y ＝2＋2sin α(α为参数)，点P (x ，y )在圆上，则x ＋y ＝4＋2sin ⎝⎛⎭⎪⎫α＋π4.所以x ＋y 的最大值为6，最小值为2.6．(2015·山西太原联考，23，10分)已知平面直角坐标系xOy ，以O 为极点，x 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，点P 的极坐标为⎝⎛⎭⎪⎫23，π6，曲线C 的极坐标方程为ρ2＋23ρsin θ＝1.(1)写出点P 的直角坐标及曲线C 的直角坐标方程；(2)若Q 为曲线C 上的动点，求PQ 中点M 到直线l ：⎩⎨⎧x ＝3＋2t ，y ＝－2＋t(t 为参数)距离的最小值．解：(1)点P 的直角坐标为(3，3)．由ρ2＋23ρsin θ＝1，得x 2＋y 2＋23y ＝1，即x 2＋(y ＋3)2＝4，∴曲线C 的直角坐标方程为x 2＋(y ＋3)2＝4.(2)曲线C 的参数方程为⎩⎨⎧x ＝2cos θ，y ＝－3＋2sin θ(θ为参数)，直线l 的普通方程为x －2y －7＝0. 设Q (2cos θ，－3＋2sin θ)，则M ⎝ ⎛⎭⎪⎫32＋cos θ，sin θ，那么点M 到直线l 的距离为 d ＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪32＋cos θ－2sin θ－712＋22＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪cos θ－2sin θ－1125＝5sin （θ－φ）＋1125≥ －5＋1125＝11510－1，115 10－1.∴点M到直线l的最小距离为。
极坐标与参数方程综合练习(三套带答案)
极坐标与参数方程综合练习（一）1、圆5cos ρθθ=-的圆心是( )A.45,3π⎛⎫--⎪⎝⎭ B.5,3π⎛⎫- ⎪⎝⎭ C.5,3π⎛⎫⎪⎝⎭D.55,3π⎛⎫-⎪⎝⎭答案：A解析：5 cos ρθθ=-两边同乘以,ρ得25 5 ,cos sin ρρθρθ=-即2250x y x +-+=,故圆心的直角坐标为5(,2,半径为5,结合该点的位置知该点的一个极坐标是4(5,)3π-. 2、已知曲线C 的极坐标方程为6sin ρθ=,以极点为平面直角坐标系的原点,极轴为轴正半轴,直线l的参数方程为1{2x y t=-= (t 为参数),则直线l 与曲线C x 相交所得弦长为( )A.1 B.2 C.3 D.4 答案：D解析：曲线C 的直角坐标方程为2260x y y +-=,即()2239,x y +-=直线1{2x y t=-=的直角坐标方程为210,x y -+=∵圆心C 到直线l的距离d ==∴直线l 与圆C相交所得弦长为 4.== 3、极坐标方程) 2cos R θρ=∈表示的曲线是( ) A.两条相交直线 B.两条射线 C.一条直线 D.一条射线答案：A解析：由 2cos θ=6πθ=或116θπ=,又R ρ∈,故为两条过极点的直线.4过点且斜率为的直线的参数方程为( )A.(为参数)B.(为参数)C.(为参数)D.(为参数)答案： A解析： 因为倾斜角满足所以所以所求参数方程为(为参数).5、在极坐标系中,点关于直线1cos ρθ=(2,)2π的对称点的极坐标为________.答案：)4π解析：结合图形不难知道点(2,)2π关于直线1cos ρθ=的对称点的极坐标为)4π.6、直线2{1x t y t =+=-- (t 为参数)与曲线3cos {3sin x y αα== (α为参数)的交点个数为__________. 答案：2解析：直线方程可化为10x y +-=, 曲线方程可化为229x y +=,故圆心(0,0),半径3r =,∵圆心到直线10x y +-=的距离3d ==<, ∴直线与圆有2个交点.7、在直角坐标xOy 中,圆221:4C x y +=,圆()222:24C x y -+=.1.在以O 为极点,x 轴正半轴为极轴的极坐标系中,分别写出圆12,C C 的极坐标方程,并求出圆12,C C 的交点坐标(用极坐标表示);2.求圆1C 与2C 的公共弦的参数方程.答案：1.由222cos ,{sin ,x y x y ρθρθρ==+=圆1C 的极坐标方程为2ρ=, 圆2C 的极坐标方程为4cos ρθ=.解2,{4cos ρρθ==得2ρ=,3πθ=±,故圆1C 与圆2C 交点的坐标为2,3π⎛⎫ ⎪⎝⎭,2,3π⎛⎫- ⎪⎝⎭.注:极坐标系下点的表示不唯一. 2.方法一:由cos ,{sin x y ρθρθ==得圆1C 与圆2C交点的直角坐标分别为(,(1,.故圆1C 与圆2C的公共弦的参数方程为(1,{x t y t=≤≤= . (或参数方程写成1,{,x y y y =≤≤=方法二:将1x =代入cos ,{sin ,x y ρθρθ==得cos 1ρθ=,从而1cos ρθ=. 于是圆1C 与圆2C 的公共弦的参数方程为1,{tan 33x y ππθθ=⎛⎫-≤≤ ⎪=⎝⎭. 解析：8、在平面直角坐标系xOy 中,求过椭圆5cos {3sin x y ϕϕ== (ϕ为参数)的右焦点,且与直线42{3x ty t=-=- (t 为参数)平行的直线的普通方程.答案：由题设知,椭圆的长半轴长5a =,短半轴长3b =,从而4c ==, 所以右焦点为()4,0?.将已知直线的参数方程化为普通方程220x y -+=. 故所求直线的斜率为12, 因此其方程为()14?2y x =-, 即240x y --=.极坐标与参数方程综合练习（二）1、在极坐标系中,过点()1,0并且与极轴垂直的直线方程是( ) A.cos ρθ= B.sin ρθ= C.cos 1ρθ= D.sin 1ρθ= 答案：C解析：在直角坐标系中,过点()1,0并且与极轴垂直的直线方程是1x =, 其极坐标方程为cos 1ρθ= , 故选 C.点评:本题考查极坐标方程与直角坐标方程的互化,求出直角坐标系中直线的方程是解题的关键.2、参数方程()()cossin,22{0211sin 2x y θθθπθ=+<<=+表示()A.双曲线的一支,这支过点11,2⎛⎫ ⎪⎝⎭B.过点11,2⎛⎫⎪⎝⎭的抛物线C.双曲线的一支,这支过点11,2⎛⎫- ⎪⎝⎭D.过点11,2⎛⎫- ⎪⎝⎭的抛物线答案：B解析：因为cossin 22x θθ=+,所以21sin x θ=+,因为()11sin 2y θ=+,所以212y x =,即22x y =,是抛物线.当1x =时,12y =,故抛物线过点11,2⎛⎫ ⎪⎝⎭.3、已知圆A :221x y +=在伸缩变换'2,{'3x x y y==的作用下变成曲线C ,则曲线C 的方程为( )A.22149x y += B.22194x y += C.22123x y += D.22132x y += 答案：A解析：由题意得1',2{1',3x x y y ==代入圆的方程得22''149x y +=,即双曲线C 的方程为22149x y +=. 4、在平面直线坐标系xOy 中,点P的直角坐标为(1,,若以原点O 为极点,x 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系,则点P 的极坐标可以是( )A.1,3π⎛⎫- ⎪⎝⎭ B.42,3π⎛⎫ ⎪⎝⎭ C.2,3π⎛⎫- ⎪⎝⎭ D.42,3π⎛⎫-⎪⎝⎭答案：C解析：∵在直角坐标系xOy 中,点P 位于第四项限,2ρ==,tan θ=P 的极坐标可以是2,3π⎛⎫- ⎪⎝⎭.5、圆2cos ,{2sin 2x y θθ==+的圆心坐标是( )A.(0,2)B.(2,0)C.(0,-2)D.(-2,0) 答案：A解析：本题考查参数方程与普通方程的互化.消去参数θ,得圆的方程为()2224x y +-=,所以圆心坐标为()0,2.6、极坐标方程) cos R θρ=∈表示的曲线是( ) A.两条相交直线 B.两条射线 C.一条直线 D.一条射线 答案：A解析：由 cos θ=6πθ=或116θπ=,又R ρ∈,故为两条过极点的直线.7、已知直线l 的参数方程为2{4x a ty t=-=- (t 为参数),圆C 的参数方程为4cos ,{4sin x y θθ== (θ为参数).若直线l 与圆C 有公共点,则实数a 的取值范围是__________.答案：⎡-⎣解析：易知直线l 的普通方程为220x y a --=,圆C 的普通方程为2224x y +=,由题意知圆C 的圆心到直线l 的距离4d =≤,解得a -≤≤.8、在极坐标系中,直线cos sin 10ρθθ-=与圆2cos ρθ=交于,?A B 两点,则AB =__________。
极坐标与参数方程经典练习题-带详细解答
1．极坐标系与直角坐标系xoy 有相同的长度单位，以原点O 为极点，以x 轴正半轴为极轴.已知直线l的参数方程为1222x t y ⎧=+⎪⎪⎨⎪=⎪⎩（t 为参数），曲线C 的极坐标方程为2sin 8cos ρθθ=.（Ⅰ）求C 的直角坐标方程；（Ⅱ）设直线l 与曲线C 交于,A B 两点，求弦长||AB .2．已知直线l 经过点1(,1)2P ，倾斜角α＝6π，圆C的极坐标方程为)4πρθ=-. (1)写出直线l 的参数方程，并把圆C 的方程化为直角坐标方程；(2)设l 与圆C 相交于两点A 、B ，求点P 到A 、B 两点的距离之积．3．（本小题满分10分）选修4－4：坐标系与参数方程已知直线l 的参数方程是)(242222是参数t t y t x ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+==，圆C 的极坐标方程为)4cos(2πθρ+=． （I ）求圆心C 的直角坐标；(Ⅱ)由直线l 上的点向圆C 引切线，求切线长的最小值．4．已知极坐标系的极点与直角坐标系的原点重合，极轴与直角坐标系中x 轴的正半轴重合，且两坐标系有相同的长度单位，圆C 的参数方程为12cos 12sin x y αα=+⎧⎨=-+⎩（α为参数），点Q的极坐标为7)4π。
（1）化圆C 的参数方程为极坐标方程；（2）直线l 过点Q 且与圆C 交于M ，N 两点，求当弦MN 的长度为最小时，直线l 的直角坐标方程。
}5．在极坐标系中，点M 坐标是)2,3(π，曲线C 的方程为)4sin(22πθρ+=；以极点为坐标原点，极轴为x 轴的正半轴建立平面直角坐标系，斜率是1-的直线l 经过点M ．（1）写出直线l 的参数方程和曲线C 的直角坐标方程；（2）求证直线l 和曲线C 相交于两点A 、B ，并求||||MB MA ⋅的值．6．（本小题满分10分） 选修4-4坐标系与参数方程在直角坐标系中，曲线1C 的参数方程为⎩⎨⎧+==ααsin 22cos 2y x ，(α为参数) M 是曲线1C 上的动点，点P 满足2=，（1）求点P 的轨迹方程2C ；（2）在以D 为极点，X 轴的正半轴为极轴的极坐标系中，射线3πθ=与曲线1C ，2C 交于不同于原点的点A,B 求AB7．在平面直角坐标系xOy 中，以O 为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 的极坐V 标方程为πcos =13ρθ⎛⎫- ⎪⎝⎭，M ，N 分别为曲线C 与x 轴、y 轴的交点． （1）写出曲线C 的直角坐标方程，并求M ，N 的极坐标；（2）求直线OM 的极坐标方程．8．在直角坐标系中，曲线C 1的参数方程为：2cos x y αα=⎧⎪⎨=⎪⎩（α为参数），以原点为极点，x 轴的正半轴为极轴，并取与直角坐标系相同的长度单位，建立极坐标系，曲线C 2是极坐标方程为：cos ρθ=，?(1)求曲线C 2的直角坐标方程；(2)若P ，Q 分别是曲线C 1和C 2上的任意一点，求PQ 的最小值.9．已知圆C 的极坐标方程为2cos ρθ=，直线l的参数方程为121122x x t ⎧=⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩ （t 为参数），点A的极坐标为24π⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭，设直线l 与圆C 交于点P 、Q .（1）写出圆C 的直角坐标方程；（2）求AP AQ ⋅的值.10．已知动点P ，Q 都在曲线C ：2cos 2sin x t y t=⎧⎨=⎩（β为参数）上，对应参数分别为t α=与2t α=（0＜α＜2π），M 为PQ 的中点。
高中数学极坐标与参数方程大题(详解)
参数方程极坐标系解答题1．已知曲线C：+=1，直线l：（t为参数）（Ⅰ）写出曲线C的参数方程，直线l的普通方程．（Ⅱ）过曲线C上任意一点P作与l夹角为30°的直线，交l于点A，求|PA|的最大值与最小值．+=1，，的距离为则取得最小值，最小值为2．已知极坐标系的极点在直角坐标系的原点处，极轴与x轴的正半轴重合，直线l的极坐标方程为：，曲线C的参数方程为：（α为参数）．（I）写出直线l的直角坐标方程；（Ⅱ）求曲线C上的点到直线l的距离的最大值．的极坐标方程为：cos=∴y+1=0（d=的距离的最大值．3．已知曲线C1：（t为参数），C2：（θ为参数）．（1）化C1，C2的方程为普通方程，并说明它们分别表示什么曲线；（2）若C1上的点P对应的参数为t=，Q为C2上的动点，求PQ中点M到直线C3：（t为参数）距离的最小值．：（化为普通方程得：+t=代入到曲线sin=，），﹣4．在直角坐标系xOy中，以O为极点，x轴正半轴为极轴建立直角坐标系，圆C的极坐标方程为，直线l的参数方程为（t为参数），直线l和圆C交于A，B两点，P是圆C上不同于A，B的任意一点．（Ⅰ）求圆心的极坐标；（Ⅱ）求△PAB面积的最大值．的极坐标方程为，把，利用三角形的面积计算公式即可得出．的极坐标方程为，化为=把∴圆心极坐标为；（t，=距离的最大值为5．在平面直角坐标系xoy中，椭圆的参数方程为为参数）．以o为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，直线的极坐标方程为．求椭圆上点到直线距离的最大值和最小值．由题意椭圆的参数方程为为参数）直线的极坐标方程为解：将化为普通方程为点所以椭圆上点到直线距离的最大值为，最小值为6．在直角坐标系xoy中，直线I的参数方程为（t为参数），若以O为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为ρ=cos（θ+）．（1）求直线I被曲线C所截得的弦长；（2）若M（x，y）是曲线C上的动点，求x+y的最大值．cos+=），其圆心为（，﹣）d=，2=2；）可设圆的参数方程为：，）=sin（7．选修4﹣4：参数方程选讲已知平面直角坐标系xOy，以O为极点，x轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，P点的极坐标为，曲线C的极坐标方程为．（Ⅰ）写出点P的直角坐标及曲线C的普通方程；（Ⅱ）若Q为C上的动点，求PQ中点M到直线l：（t为参数）距离的最小值．点的极坐标为=3=代入可得的直角坐标方程为的参数方程为（的中点.8．在直角坐标系xOy中，圆C的参数方程（φ为参数）．以O为极点，x轴的非负半轴为极轴建立极坐标系．（Ⅰ）求圆C的极坐标方程；（Ⅱ）直线l的极坐标方程是ρ（sinθ+）=3，射线OM：θ=与圆C的交点为O，P，与直线l的交点为Q，求线段PQ的长．+．l，OM（，射线．，射线联立，解得Q联立，解得或=29．在直角坐标系xoy中，曲线C1的参数方程为（α为参数），以原点O为极点，x轴正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线C2的极坐标方程为ρsin（θ+）=4．（1）求曲线C1的普通方程与曲线C2的直角坐标方程；（2）设P为曲线C1上的动点，求点P到C2上点的距离的最小值，并求此时点P的坐标．）求得椭圆上的点，可得，两式两边平方相加得：的普通方程为：得：，无公共点，椭圆上的点∴当的坐标为10．已知直线l的参数方程是（t为参数），圆C的极坐标方程为ρ=2cos（θ+）．（Ⅰ）求圆心C的直角坐标；（Ⅱ）由直线l上的点向圆C引切线，求切线长的最小值．，∴，的直角坐标方程为即，∴圆心直角坐标为距离是11．在直角坐标系xOy中，以O为极点，x轴正半轴为极轴建立坐标系，直线l的参数方程为，（t为参数），曲线C1的方程为ρ（ρ﹣4sinθ）=12，定点A（6，0），点P是曲线C1上的动点，Q为AP的中点．（1）求点Q的轨迹C2的直角坐标方程；（2）直线l与直线C2交于A，B两点，若|AB|≥2，求实数a的取值范围．]12．在直角坐标系xoy中以O为极点，x轴正半轴为极轴建立坐标系．圆C1，直线C2的极坐标方程分别为ρ=4sinθ，ρcos（）=2．（Ⅰ）求C1与C2交点的极坐标；（Ⅱ）设P为C1的圆心，Q为C1与C2交点连线的中点，已知直线PQ的参数方程为（t∈R为参数），求a，b的值．x+1解得，）2）x﹣∴非负半轴为极轴，取相同单位长度）中，曲线C的极坐标方程为ρ=4cosθ（Ⅰ）写出直线l的参数方程，并将曲线C的方程化为直角坐标方程；（Ⅱ）若曲线C与直线相交于不同的两点M、N，求|PM|+|PN|的取值范围．的参数方程为（∴，∵∴的取值范围是14．在直角坐标系xOy中，直线l的参数方程为（t为参数），以原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，⊙C的极坐标方程为ρ=2sinθ．（Ⅰ）写出⊙C的直角坐标方程；（Ⅱ）P为直线l上一动点，当P到圆心C的距离最小时，求P的直角坐标．=2，又C|PC|=sin配方为=3，又C=2215．已知曲线C1的极坐标方程为ρ=6cosθ，曲线C2的极坐标方程为θ=（p∈R），曲线C1，C2相交于A，B两点．（Ⅰ）把曲线C1，C2的极坐标方程转化为直角坐标方程；（Ⅱ）求弦AB的长度．=的长度16．在直角坐标系xOy中，以O为极点，x轴正半轴为极轴建立坐标系，直线l的极坐标方程为ρsin（θ+）=，圆C的参数方程为，（θ为参数，r＞0）（Ⅰ）求圆心C的极坐标；（Ⅱ）当r为何值时，圆C上的点到直线l的最大距离为3．+=得：圆心（﹣，﹣，的圆心到直线∴﹣时，圆17．选修4﹣4：坐标系与参数方程在直角坐标xOy中，圆C1：x2+y2=4，圆C2：（x﹣2）2+y2=4．（Ⅰ）在以O为极点，x轴正半轴为极轴的极坐标系中，分别写出圆C1，C2的极坐标方程，并求出圆C1，C2的交点坐标（用极坐标表示）；（Ⅱ）求圆C1与C2的公共弦的参数方程．，以及解法二利用直角坐标与极坐标的关系求出，可知圆圆解，），）解法一：由得圆，），）的公共弦的参数方程为的公共弦的参数方程为）代入从而的公共弦的参数方程为。
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（2）设直线l与曲线C相交于A，B两点，若点P为（1，0），求
34．在直角坐标系 中，以原点 为极点， 轴的正半轴为极轴建立极坐标系．已知曲线 的极坐标方程为 ，直线 的极坐标方程为 ．（Ⅰ）写出曲线 与直线 的直角坐标方程；
（Ⅱ）设 为曲线 上一动点，求 点到直线 距离的最小值．
（1）求曲线 的普通方程与曲线 的直角坐标方程；
（2）设 为曲线 上的动点，求点 到 上点的距离的最小值．
23．已知曲线 的极坐标方程为 ，曲线 的极坐标方程为 ，曲线 、 相交于 、 两点. （ ）（Ⅰ）求 、 两点的极坐标；
（Ⅱ）曲线 与直线 （ 为参数）分别相交于 两点，求线段 的长度.
24．在直角坐标系中,以原点为极点, 轴的正半轴为极轴建坐标系,已知曲线 ,已知过点 的直线 的参数方程为: 直线 与曲线 分别交于
(2)设l与圆C相交于两点A、B，求点P到A、B两点的距离之积．
3．（本小题满分10分）选修4－4：坐标系与参数方程
已知直线 的参数方程是 ，圆C的极坐标方程为 ．
（I）求圆心C的直角坐标；(Ⅱ)由直线 上的点向圆C引切线，求切线长的最小值．
4．已知极坐标系的极点与直角坐标系的原点重合，极轴与直角坐标系中 轴的正半轴重合，且两坐标系有相同的长度单位，圆C的参数方程为 （ 为参数），点Q的极坐标为 。
（Ⅱ）若直线 与曲线C相交于A、B两点，试求线段AB的长.
42．在平面直角坐标系 中，以 为极点， 轴非负半轴为极轴建立坐标系，已知曲线 的极坐标方程为 ，直线 的参数方程为: （ 为参数），两曲线相交于 两点. 求：（1）写出曲线 的直角坐标方程和直线 的普通方程；（2）若 求 的值.
43在直角坐标系 中，直线 的参数方程为 （ 为参数），若以直角坐标系 的 点为极点， 为极轴，且长度单位相同，建立极坐标系，得曲线 的极坐标方程为 ．直线 与曲线 交于 两点，求线段AB的长.
12．已知曲线 的极坐标方程是 ，直线 的参数方程是 （ 为参数）.
（I）将曲线 的极坐标方程转化为直角坐标方程；
（Ⅱ）设直线 与 轴的交点是 为曲线 上一动点，求 的最大值.
13．已知曲线C:ρsin(θ+ )= ,曲线P:ρ2-4ρcosθ+3=0,
(1)求曲线C,P的直角坐标方程.(2)设曲线C和曲线P的交点为A,B,求|AB|.
35．在直角坐标系 中，直线 的参数方程为： 为参数，其中 ，椭圆 的参数方程为 为数)，圆 的标准方程为 .（1）写出椭圆 的普通方程；
（2）若直线 为圆 的切线，且交椭圆 于 两点，求弦 的长.
36．已知曲线 的极坐标方程为 ．以极点为原点，极轴为 轴的正半轴，建立平面直角坐标系，直线 的参数方程为 （ 为参数）．
（1）判断直线 与曲线 的位置关系，并说明理由；
（2）若直线 和曲线 相交于 两点，且 ，求直线 的斜率．
37．在直角坐标系 中，曲线 的参数方程为 ,在以 为极点， 轴的正半轴为极轴的极坐标系中，曲线 的方程为 .
（1）求曲线 、 的直角坐标方程；
（2）（2）若A、B分别为曲线 、 上的任意点，求 的最小值.
(1)写出曲线 和直线 的普通方程;(2)若 成等比数列,求 的值.
25．设直线l过点P(－3,3)，且倾斜角为 .
(1)写出直线l的参数方程；
(2)设此直线与曲线C： (θ为参数)交于A，B两点，求|PA|·|PB|.
26．平面直角坐标系中，直线 的参数方程是 （ 为参数），以坐标原点为极点， 轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，已知曲线 的极坐标方程为 ．
1．极坐标系与直角坐标系 有相同的长度单位，以原点 为极点，以 轴正半轴为极轴.已知直线 的参数方程为 （ 为参数），曲线 的极坐标方程为 .（Ⅰ）求 的直角坐标方程；（Ⅱ）设直线 与曲线 交于 两点，求弦长 .
2．已知直线l经过点 ，倾斜角α＝ ，圆C的极坐标方程为 .
(1)写出直线l的参数方程，并把圆C的方程化为直角坐标方程；
（2）求证直线 和曲线 相交于两点 、 ，并求 的值．
6．（本小题满分10分） 选修4-4坐标系与参数方程
在直角坐标系中，曲线 的参数方程为 ，( 为参数)
M是曲线 上的动点，点P满足 ，（1）求点P的轨迹方程 ；（2）在以D为极点，X轴的正半轴为极轴的极坐标系中，射线 与曲线 ， 交于不同于原点的点A,B求
3．（I） ；(Ⅱ)
【解析】(I)把圆C的极坐标方程利用 化成普通方程，再求其圆心坐标.
所以 ．10分
考点：1.极坐标方程与普通方程的互化；2.韦达定理.
2．（1） ；（2） .
【解析】
试题分析：（1）由参数方程的概念可以写成l的参数方程为 ，化简为 (t为参数)；在 两边同时乘以 ，且ρ2＝x2＋y2，ρcosθ＝x，ρsinθ＝y，∴ .（2）在l取一点，用参数形式表示 ，再代入 ，得到t2＋ t－ ＝0，|PA|·|PB|＝|t1t2|＝ .故点P到点A、B两点的距离之积为 .
与 （0＜ ＜2π），M为PQ的中点。
（Ⅰ）求M的轨迹的参数方程
（Ⅱ）将M到坐标原点的距离d表示为 的函数，并判断M的轨迹是否过坐标原点。
11．已知曲线 的参数方程为 （ 为参数），在同一平面直角坐标系中，将曲线 上的点按坐标变换 得到曲线 ．（1）求曲线 的普通方程；
（2）若点 在曲线 上，点 ，当点 在曲线 上运动时，求 中点 的轨迹方程．
（1）化圆C的参数方程为极坐标方程；
（2）直线 过点Q且与圆C交于M，N两点，求当弦MN的长度为最小时，直线 的直角坐标方程。
5．在极坐标系中，点 坐标是 ，曲线 的方程为 ；以极点为坐标原点，极轴为 轴的正半轴建立平面直角坐标系，斜率是 的直线 经过点 ．
（1）写出直线 的参数方程和曲线 的直角坐标方程；
14．极坐标与参数方程：已知点P是曲线 上一点，O为原点．若直线OP的倾斜角为 ，求点 的直角坐标．
15．在平面直角坐标系 中，曲线 的参数方程为 ，（其中 为参数， ），在极坐标系（以坐标原点 为极点，以 轴非负半轴为极轴）中，曲线 的极坐标方程为 ．
（1）把曲线 和 的方程化为直角坐标方程；
（2）若曲线 上恰有三个点到曲线 的距离为 ，求曲线 的直角坐标方程．
（1）写出曲线 的参数方程；
（2）若直线 与曲线 相交于 、 两点，且 ，求直线 的倾斜角 的值．
40．在直角坐标系中，以原点O为极点，x轴为正半轴为极轴，建立极坐标系.
设曲线 （ 为参数）；直线 .
（Ⅰ）写出曲线 的普通方程和直线l的直角坐标方程；
（Ⅱ）求曲线 上的点到直线l的最大距离.
41．在直角坐标系 中，直线 的参数方程为 ，曲线C的参数方程为 .（Ⅰ）将曲线C的参数方程转化为普通方程；
18．已知曲线C1的参数方程为 (t为参数),以坐标原点为极点,x轴的正半轴为极轴建立极坐标系,曲线C2的极坐标方程为 .
(1)把C1的参数方程化为极坐标方程;(2)求C1与C2交点的极坐标(ρ≥0,0≤θ<2π).
19．极坐标系的极点是直角坐标系的原点，极轴为 轴正半轴。已知曲线 的极坐标方程为 ，曲线 的参数方程为
38．已知在直角坐标系 中，曲线 的参数方程为 （ 为参数），在极坐标系（与直角坐标系 取相同的长度单位，且以原点 为极点，以 轴正半轴为极轴）中，直线 的方程为 ．
（Ⅰ）求曲线 在极坐标系中的方程；（Ⅱ）求直线 被曲线 截得的弦长．
39．已知曲线 的极坐标方程是 ．以极点为平面直角坐标系的原点，极轴为 轴的正半轴，建立平面直角坐标系，直线 的参数方程是 是参数 ．
线 的参数方程为 （ 为参数）.（1）求曲线 的直角坐标方程与直线 的普通方程；（2）设曲线 与直线 相交于 两点，以 为一条边作曲线 的内接矩形，求该矩形的面积.
31．已知直线 过点 ，且倾斜角为 ，圆 的极坐标方程为 ．
（1）求直线 的参数方程和圆 的直角坐标方程；
（2）若直线 和圆 相交于 、 ，求 及弦长 的值．
21．以直角坐标系的原点为极点， 轴的正半轴为极轴建立极坐极系，并在两种坐极系中取相同的长度单位．已知直线的极坐标方程为 （ ）,它与曲线 （ 为参数）相交于两点A和B,求AB的长．
22．选修4－4：极坐标系与参数方程
在直角坐标系 中，曲线 的参数方程为 ，（ 为参数），以原点 为极点， 轴正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线 的极坐标方程为 ．
(Ⅰ)求直线 的极坐标方程；(Ⅱ）若直线 与曲线 相交于 两点，求 ．
27． 已知直线 的参数方程为 为参数),曲线 的极坐标方程为 ,直线 与曲线 交于 两点,与 轴交于点 .
（1）求曲线 的直角坐标方程；（2）求 的值.
28．已知曲线 的极坐标方程为 ，曲线 的参数方程为 （ 为参数）．（1）判断 与 的位置关系；（2）设 为 上的动点， 为 上的动点，求 的最小值.
32．在平面直角坐标系 中，直线 的参数方程为 （ 为参数）．以原点为极点， 轴正半轴为极轴建立极坐标系，圆 的方程为 ．
（Ⅰ）写出直线 的普通方程和圆 的直角坐标方程；
（Ⅱ）若点 的直角坐标为 ，圆 与直线 交于 两点，求 的值．
33．以直角坐标系的原点为极点，x轴的非负半轴为极轴，并在两种坐标系中取相同的长度单位．已知：直线l的参数方程为 （t为参数）， 曲线C的极坐标方程为（1＋sin2θ）ρ2＝2．
参考答案
1．(Ⅰ) ；（Ⅱ） .
【解析】
试题分析：本题考查坐标系和参数方程.考查学生的转化能力和计算能力.第一问利用互化公式将极坐标方程转化为普通方程；第二问，先将直线方程代入曲线中，整理，利用两根之和、两根之积求弦长.
试题解析：（Ⅰ）由 ，得 ，即曲线 的直角坐标方程为 ．5分
（Ⅱ）将直线l的方程代入 ，并整理得， ， ， ．